TRIGONOMETRA

ANGULO .- Se determina rotando un rayo con respecto a su extremo. La posicin de inicio se llama lado inicial del ngulo y la posicin despus de la rotacin es el lado terminal. El extremo del rayo es el vrtice del ngulo ANGULO EN POSICIN ESTANDAR .- El vrtice coincide con el origen de coordenadas y su lado inicial con la parte positiva del eje de abscisas ( eje X ).

ANGULOS POSITIVOS .- S e genera por rotacin contraria a las manecillas del reloj.

NOTACION .- Se nombran utilizando letras del alfabeto griego , , , , , , etc. O letras maysculas del alfabeto espaol: A , B , C , etc.

ANGULOS COTERMINALES.- Cuando el lado terminal de A es el lado inicial de B y el lado inicial de A es el lado terminal de B

MEDIDA ANGULARRADIAN.- Un radin es la medida de un ngulo central ,que subtiende un arco , s ; de igual longitud que el radior , de la circunferencia , es decir :

= s / r . El ngulo se mide en radianes .s = r ( longitud de arco )

NOTA. Un ngulo central de una revolucin completaCorresponde a la longitud de arco igual a s = 2r , adems 2 6. 28La longitud de una circunferencia es un poco ms de seis veces su radio .

Luego = 2 radianes = 2 rad.

De donde : revolucin = 2/2 = radianes revolucin = 2/4 = /2 radianes1/6 revolucin = 2 /6 = /3 radianes ,

MEDIDA EN GRADOSGRADO .- Un grado ( 1 ) es equivalente a una rotacin de 1/ 360 de una rotacin completa , con respecto al vrtice .

Una revolucin completa en sentido positivo corresponde a 360, entonces

2 rad. = 360 , y , 180 = rad.

, y ,

0180270900I cuadrante II cuadranteIII cuadranteIV cuadrante

CIRCULO TRIGONOMETRICO Sea la circunferencia de centro el origen de coordenadas y de radio 1 , cuya ecuacin es x + y = 1

Si cada nmero real positivo ,t, corresponde a un punto M(x,y ) de la circunferencia , Ejm. t =0 , , t = 2 corresponden al punto ( 1, 0 ) t = /2 corresponde a ( 0,1) , etc

En general, cada nmero real , t, correspondeA un ngulo central ( en posicin estandar) cuya medida, en radianes, es t .

La longitud del arco AM ,es : s = r ( r = 1 ) indica que el nmero real ,t, es la longitud del arco subtendido por el ngulo , dado en radianes.

Las coordenadas x e y son dos funciones de la variable real t . Se pueden emplearEstas coordenadas para definir las funciones trigonomtricas

XYoM(x,y)A(1,0)(0,1)(-1,0)(0,-1)Br

RAZONES TRIGONOMTRICAS

oBMAN11r =1Fig. 1Fig.2En Fig.1 En Fig. 2

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

CuadranteAnguloSenCosTanCotSecCosecI0< < 90++++++II90< < 180+----+III180< < 270--++--IV270 < < 360-+--+-

EJEMPLOS

VARIACION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

Las razones trigonomtricas varan de acuerdo a los valores del ngulo en los intervalos que se indican :-1 sen 1

-1 cos 1

- < tan < +

- < cot < +

< sec - 1 1 sec < +

< cosec - 1 1 cosec < +

OBSERVACIONES:

Si el ngulo es negativo el valor de las razones trigonomtricas se reduce a los valores de la razn de un ngulo positivo segn las relaciones :sen( - ) = - sen ( )

cos ( - ) = cos ( )

tan ( - ) = - tan ( )

cot ( - ) = - cot ( )

sec(- ) = sec ( )

cosec ( - ) = - cosec ( )

2. Si =0

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS NGULOS DE 30 , 60 y 45En el tringulo equiltero ABC cuyo lado es 1. CD es la altura y mide del tringulo rectngulo ADC , se tiene sen 30 = sen , cos 30 = cos , tan 30 = tan

sen 60 = sen , cos 60 = cos , tan 60 = tan

SEN 30 = COS 60 = , por que los ANGULOS son COMPLEMENTARIOS

2) En el cuadrado ABCD de lado 1 , AD es la diagonal cuya longitud es

Sen45 =

Cos45 =

Tan 45 = 1

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES

FORMULASFormulas de la suma y diferencia :

1.sen( ) = sen cos cos A sen cos ( ) = cos cos sen sen

3.

4

Frmulas para ngulo doble1. Sen 2 = 2 Sen . Cos 2. Cos 2 = Cos - Sen

Observacin .- cos 2 = cos - sen = (1 - sen ) sen = 1 2 sen , cos 2 = cos - sen = cos - ( 1 cos ) = - 1 + 2cos , De all que,

5. sen = 6. cos =

3.

4.7.

CONVERSIN DE PRODUCTO A SUMAS O DIFERENCIASCONVERSIN DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS PARA NGULOS MULTIPLOS DE 30 (/6 ) , 45 (/4) y 60 ( / 3 )

TAREA : LLENAR EL CUADRO CON LOS VALORES CORRESPONDIENTES

Funcin30/645/460/390/21202 /31353 /41505 /61802107 /62404 /32703 /23005 /33602 sen cos tan

cot sec Cosec

LEY DE SENOS ABCabchABCabchA es agudo A es obtuso

Ley de coseno