U.A.II - Trigonometría

α : ángulo central, debe estar en radianes

INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR PEDAGÓGICO PÚBLICO

“VÍCTOR ANDRÉS BELAUNDE”

JAÉN

FICHA DE INFORMACION Nº 01

INTRODUCCION

TRIGONOMETRIAEs aquella parte de la matemática elemental que estudia la medida de los tres ángulos de un triángulo en relación con sus lados.

MEDIDA DE ÁNGULOSSistemas de medición de ángulosHay tres sistemas para medir los ángulos; Sexagesimal, Centesimal y Radial.

Sexagesimal: Toma como unidad de medida un arco que es igual a la 360 ava parte de la circunferencia, y a cada parte se le llama grado sexagesimal. Se simboliza así: “O”. Ejemplo: 30º Se lee: 30 grados sexagesimales.

Centesimal: Toma como unidad de medida un arco que es igual a la 400 ava parte de la circunferencia, y a cada parte se le llama grado centesimal. Se simboliza así: g. Ejemplo: 40 g. Se lee: 40 grados centesimales.

Radial: Toma como unidad de medida un arco de una longitud igual a la de su radio, y a esta longitud de arco se le llama radián. Se simboliza así: rad. Ejemplo: 2,16 rad. Se lee: 2,16 radianes.

Equivalencia entre los tres Sistemas

LONGITUD DE UN ARCO:

Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera

1 circunferencia < > 360º < > 400 < > 2πrad.

1º < > 60’ y 1’ < > 60’’1 g < > 100 min y 1 min < > 100 s S

180 =

C200

= Rπ

→ {S9

= C10

S = 180Rπ

C = 200Rπ

L = r αL

Trigonometría 2013 RAZONES TRIGONOMETRICAS

Ejercicios:1.Convertir agrados centesimales

a) 225° b) 549° c) 72° d) 9°

2.Convertir a radianes

a) 15° b) 120° c) 756° d) 210°

3.Convertir a grados sexagesimales

a) 200g b) 40g c) 80g d) 420g

4.Expresa 12g 43min 25s en minutos centesimales.

5.Convierte 7800’’ a grados y minutos sexagesimales.

6.Convierte 81.41º a grados, minutos y segundos sexagesimales.

7.Halla el ángulo en radianes que genera “el horario”, en un reloj convencional, durante 15 minutos.

8.Hallar el valor de R en

9.Simplificar la expresión

10. Hallar R en:

11. Hallar el valor de R en:

Matemática V Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera

http://1.bp.blogspot.com/_EufbqHFDYVw/TAgw6t9cWeI/AAAAAAAAAB8/R5r3FPdGvpY/s1600/stri8a.gif

http://3.bp.blogspot.com/_EufbqHFDYVw/TAgxghjG2vI/AAAAAAAAACE/eB9dqhS3sgw/s1600/stri8b.gif

http://1.bp.blogspot.com/_EufbqHFDYVw/TAgzdYOFw3I/AAAAAAAAACU/ucH056HnM9A/s1600/stri9a.gif

http://2.bp.blogspot.com/_EufbqHFDYVw/TAgz7GF_TeI/AAAAAAAAACc/nHt-bXRM6-k/s1600/stri9b.gif



RAZONES TRIGONOMETRICAS

RAZON TRIGONOMETRICAUna razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. Las tres razones trigonométricas básicas son el seno, el coseno, y la tangente. Éstas se abrevian como sen, cos y tan.

Hasta ahora conocemos una relación entre los lados del triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras; y otra entre los ángulos de cualquier triángulo: su suma es 180º.

Los ángulos agudos de un triángulo se relacionan con la medida de sus lados mediante unos cocientes llamados razones trigonométricas. En la siguiente tabla te mostramos cuáles son

estas razones trigonométricas:



EJERCICIO 1: Sabiendo que α es un ángulo agudo y que el cos α =

1/5, calcula sen α y tg α.Solución:

EJERCICIO 2: Completa la siguiente tabla haciendo uso de las relaciones fundamentales y sabiendo que α es un ángulo agudo:

Solución:

EJERCICIO 3: En el triángulo de la figura calcula:

a) sen α d) sen β b) cos α e) cos β


sen

α

cos

α

0.

25

tg

α

0.

6


c) tg α f) tg β

EJERCICIO 4: Calcula sen α y cos α de un ángulo agudo, α, sabiendo que la . tg α=3/4.Solución:

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE TRIANGULOS NOTABLES

EJERCICIO 5: Obtén con la calculadora

a) sen 30º = 0,5



b) cos 60º = 0,5

c) tg 45º = 1

Ejercicios:1.Halla con la calculadora las siguientes razones redondeando a

centésimas:

a) sen 25º b) cos 67º

c) tg 225º d) tg 150º

2.Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 47º y el cateto opuesto 8 cm, halla la hipotenusa.

3.La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 26 cm y un ángulo 66º. Calcula los catetos.

4.Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 44º y el cateto adyacente 16 cm, calcula el otro cateto.

5.En un triángulo rectángulo los catetos miden 15 y 8 cm, halla los ángulos agudos.

6.La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 45 cm y un cateto 27 cm, calcula los ángulos agudos.

7.En un triángulo isósceles los ángulos iguales miden 78º y la altura 28 cm,

8.halla el lado desigual.

9.Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 41 cm y los ángulos iguales 72º, calcula el otro lado.

10. El cos de un ángulo del primer cuadrante es 3/4, calcula el seno del ángulo.

11. La tangente de un ángulo del primer cuadrante es 12/5 calcula el seno.



12. El sen a = 3/5 y a es un ángulo del segundo cuadrante, calcula la tg a.

13. El cos a = 3/5 y a es un ángulo del cuarto cuadrante, calcula la tg a.

14. La tg a = 3 y a es un ángulo del tercer cuadrante, calcula el cos a.

15. La sombra de un árbol cuando los rayos del sol forman con la horizontal un ángulo de 36º, mide 11m. ¿Cuál es la altura del árbol?

16. El hilo de una cometa mide 50 m de largo y forma con la horizontal un ángulo de 37º, ¿a qué altura vuela la cometa?

17. Para medir la altura de un edificio se miden los ángulos de elevación desde dos puntos distantes 100m. ¿Cuál es la altura si los ángulos son 33º y 46º?

18. Dos personas distantes entre sí 840 m, ven simultáneamente un avión con ángulos de elevación respectivos de 60º y 47º, ¿a qué altura vuela el avión?

19. Para medir la altura de una montaña se miden los ángulos de elevación desde dos puntos distantes 480m y situados a 1200 m sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la altura si los ángulos son 45º y 76º?




RAZONES TRIGONOMETRICAS

PROPIEDADES FUNDAMENTALESTeorema:

El producto de dos razones reciprocas es siempre igual a la unidad.

1. Razones Trigonométricas Recíprocas

Para un mismo ángulo, siempre se cumple:

Sen . Csc = 1

Cos . Sec = 1

Tg . Ctg = 1

Ejemplos:

Sen 10º . Csc10º = 1 Tg A . Ctg A = 1 Cos(x+y).Sec(x+y) = 1 Csc(x + y – z). Sen(x + y – z) = 1

2. Razones trigonométricas de Ángulos Complementarios

Si: y son dos ángulos complementarios, siempre se cumple que:

sen = cos

tg = ctg

sec = csc

Es decir: + = 90º

Ejemplos:

Sen20º = Cos 70º

Tg 50º = Ctg 40º

Sec 80º = Csc10º

Ejercicios:

1. Resolver el menor valor positivo de “x” verifique:Sen5x = Cosx

Solución:

Dada la ecuación: Sen5x = Cosx

Luego los ángulos deben sumar 90º, entonces:

5x + x = 90º

6x = 90º

.x = 15º.

2. Resolver “x” el menor positivo que verifique:Sen3x – Cosy = 0

Tg 2y . Ctg30º – 1 = 0

Solución:

Nótese que el sistema planteado es equivalente a:

Sen3x = Cosy 3x + y = 90º (R.T. complementarios)

Tg2y . Ctg30º = 1 2y = 30º

(R.T. recíprocas)

.y = 15º.

Reemplazando en la primera igualdad:

3x + 15º = 90º

3x = 75º

.x = 25º.

3. Si: Sen 9x – Cos 4x = 0,


c

b

a


calcular: P= Tg7x

Ctg6x Solución:

Del Dato: Sen 9x = Cos 4x

9x + 4x = 90º

13x = 90º

Pero: 7x + 6x = 13x

7x + 6x = 90º

Entonces: R.T.(7x) = Co–R.T.(6x)

Luego:

Tg7xCtg6x

=1 P = 1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL1. Sistemas de Coordenadas Rectangulares

Donde:

x : Eje de Abscisasy : Eje de OrdenadasIC: Primer CuadranteIIC : Segundo CuadranteIIIC : Tercer CuadranteIVC : Cuarto CuadranteO : Origen del Sistema

Ubicación de un Punto

Donde:

P : Punto del Sistema Bidimensionala : Abscisa del Punto Pb : Ordenada del Punto P(a; b): Coordenadas del Punto P

2. Radio Vector (r)

Es el segmento de recta dirigido (flecha) que parte del origen hacia un punto cualquier del sistema; su longitud o módulo está representado por “r”.

Donde: r : Longitud del Radio Vector

3. Ángulo en posición normal

Es aquel Ángulo Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema bidimensional y su lado inicial descansa en el semieje positivo de las abscisas, mientras que su lado final puede encontrarse en cualquiera de los cuadrantes o coincidir con algún semieje en cuyo caso es llamado ángulo cuadrantal.


P(a; b)b

a x

y

O

x

y

IIC

IC

IIIC

IVC

–

–

+

+

r2 = a2 + b2+r

(a; b)

| a

| b

x

y


Donde:

, son las medidas de los ángulos en posición normal mostrados.

L.I.: Lado Inicial

L.F.: Lado Final

Del siguiente gráfico definiremos las Razones Trigonométricas para un ángulo en posición normal los cuales son independientes del sentido de giro o el número de vueltas que pudiera realizar.

4. Regla de Signos

IC IIC IIIC IVCsen + + - -cos + - - +tg + - + -cot + - + -sec + - - +csc + + - -

Ejercicios:

01. Del siguiente gráfico

calcular:

E=√10 senθ−12cot θ

Solución:

a) Con el par ordenado del dato calculamos “r”:

r2 = r2 + (-3)2 r = √10b) Reemplazamos las definiciones:

E=√10 . (−3

√10 )−12 ( 1−3 ) = -3 + 4 E = 1

02. Indicar el signo resultante de la siguiente

operación.

E = sen130º . cos230º . tg330º

Solución

E = sen130º . cos230º . tg330º

E = + . – . – E = +

03. Si III ¿En qué cuadrante está 2/3?

Solución

Si III 180º < < 270º

60º <

θ3 < 90º 120º <

2θ3 < 180º

Como .2/3. está entre 120º y 180º, entonces pertenece al:


y

xTambién son llamados ∢s en posición

canónica o estándar.

r

(x; y)

x

ysenθ=OrdenadaM . R .V .

= yr

csc θ= M .T .V .Ordenada

= ry

cosθ= AbscisaM . R .V .

= xr

secθ=M . R .V .Abscisa

= rx

tgθ=OrdenadaAbscisa

= yx

cot θ= AbscisaOrdenada

= xy

S P

T C

encsc

ositivasTodas

gcot

ossec

+

+ +

(1; -3)

y

x

IVCIIICIIC

x

y

)2;3(


.II Cuadrante.

04. Indicar el cuadrante al que pertenece la

medida angular “” si:

tg < 0 csc > 0

Solución

tg = - { IIC IVC }

csc = + { IC IIC }

Practica Dirigida

1. Poner V o F según convenga:

a) sen20º = cos70º ( )

b) tg10º . ctg10º = 1 ( )

c) sec(x + 40º) = csc(50º - x) ( )

d) tg(x + y) . ctg(x + y) = 1 ( )

e) tg20º = ctg20º ( )

2. Señale el valor de “x”. Si: Sen2x . Csc40º = 1

3. Sabiendo que: Tg 5x . Ctg(x + 40º) = 1.

Calcular: Cos3x

4. Hallar “x”. Si: Cos(3x – 12º) . Sec(x + 36º) = 1

5. Determine “x” en:

Sen(3x + 25º) . Csc(x + 35) = 1

6. Calcular:

E = (7tg10º - 2ctg80º) (ctg10º + tg80º)

7. Calcular:E=sen10º

cos80º+2tg20º

ctg70º−3sec40º

csc50º

8. Si: Sec7x = Csc4x

Calcular: E= 2Senx

Cos10x− Tg3x

Ctg8x

9. Si: “x” e “y” son complementarios además:

( tgx )ctg2 y=3√3

Calcular: E=2 sen ( x2 )+sec2 y

10.Calcular: cos(x + y)

Si: Sen(x – 5º) . Csc(25º - x) = 1

Sen(y + 10º) = Cos(y + 20º)

1. Del siguiente gráfico calcular:

E=√10 senθ−12cot θ

2. Del gráfico calcular:

E=√11 cosθ−6√2 tgθ

3. Si el punto P(-1; 3) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “”, calcular:

K = Sen.Cos

4. Si el punto Q(– 3; – 4 ) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “”, calcular:

E = Sec + Tg

5. Si el punto Q(– 5; –12) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “”, calcular:

E = Csc - Ctg

6. Del gráfico calcular: E=√5 sec β+4 cot β

7. Calcular: csc + cos



IIC

(1; -3)

y

x

(1; -2)

y

x

La división de un número entre 0 (cero) es una operación no

definida.

Ejercicios Resueltos


ANGULOS EN POSICION NORMAL

ANGULOS CUADRANTALESTeorema:

Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo siempre tendrá la forma:

“nπ2 ”; n Z ó “n. 90º”.

Ejemplos:

Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos:

n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….; n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º;

El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos Cuadrantales y su medida.

1. R. T. de Ángulos Cuadrantales

Donde:

COMPROBACIÓN

1.sen90 º = y

r= rr= 1

2.cos 90º = x

r= 0

r= 0

3.tg 90 º = y

r= r

0= ∃ /¿ ¿

3. R. T. de Ángulos Coterminales

Si dos o más ángulos son coterminales entonces las Razones Trigonométricas de sus medidas tienen el mismo valor numérico por ende diremos que son iguales.

Ejemplos


-90º

180º 90º

y

x

0 = Cero1 = UnoN = No definido

r

(0; r)

90º

y

x

(a; b)y

x

R.T. = R.T. Son ∢s coterminales los que tienen el mismo lado inicial y

m∢

R.T.

0º, 360º

90º 180º 270º

0; 2 /2 3/2

Sen 0 1 0 -1

Cos 1 0 -1 0

Tg 0 N 0 N

Ctg N 0 N 0

Sec 1 N -1 N

Csc N 1 N -1

Practica Dirigida


1. Calcular:

E= (3Sen90º−Cos180º)2+1

(2Sen270º−Cos360º )2+8

Solución:

Reemplazando valores:

E= [3(1)−( -1 )]2+1

[2(-1 )−(1 )]2+8

E= 42+1

(-3 )2+8 E=17

17 E = 1

2. Siendo: Sen = –0,6; Cos = –Cos; calcular:

C = Sec + Tg

Solución:

De los datos:

a. Sen = – { IIIC IVC }b. Cos = –Cos { IIC IIIC }

Luego: IIIC

c. También:

Senα=−0,6=−35

Por Pitágoras:52 = 32 + x2 25 = 9 + x2 4 = x

d. Piden:C = Sec + Tg

C = − 5

4+ 3

4 C = − 2

4 C=−1

2

1. Simplificar:

E=(a+b )sen 90º−( a−b )cos0 º

2abcos360 º

a) a b) b c) a-1

d) b-1 e) ab

2. Simplificar:

E=(a+b )2sec 0 º+(a−b )2sen270 º

2abcsc90 º

a) a b) b c) 1d) 2 e) 4

3. Si: f(x) = senx + cos2x + tg4x

Calcular: “f ( π

2)”

a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) -2

4. Si: f(x) = sen2x + cos4x + cot6x

Calcular: “f ( π

4)”

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -2

5. Indicar el cuadrante al que pertenece “”Si: |tg| = -tg sec < 0


x = 4

53

Practica Dirigida


a) IC b) IIC c) IIIC

d) IVC e) IC IIC

6. Si: son medidas de ángulos coter-minales y se cumple:

|sec| = sec |cot| = -cotIndicar el cuadrante al que pertenece “”


d) IVC e) IC IVC

7. Calcular: E=√senx+√cos x−1a) 0 b) 1 c) 2

d) √2 e) 2√2

8. Calcular: E=√1+3 senx+√senx−1a) 0 b) 1 c) 2

d) √2 e) 2√2

.

9. Si: IVC, determinar el signo de:

E=tg α (1−cos α)sen α−cosα

a) + b) - c) + ó -

d) + - e) Todas son correctas

10. Si: IIIC, determinar el signo de:

E=cos β (3+sen β )tg β−csc β

a) + b) - c) + ó -

d) + - e) Todas con correctas

11. Una raíz de la ecuación: x2 – 2x – 3 = 0 es un valor de “tg”; si IIIC.

Calcular: E=√10 (sen α+cos α )

a) -1 b) -2 c) -3

d) -4 e) -5

12. Si: √sen α=–√cos β−1

3

Calcular: E = tg2 + sec

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9



1. Calcular:

E=( a+b)2 sec360º + ( a-b)2cos180º

2abcsc270ºa) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) -2

2. Calcular:

E=(a+b )3 sen90 º+( a−b )3 cos 360º

a2 sec0 º+3b2 csc 90 º

a) a b) b c) 2ad) 2b e) ab

3. Si: f ( x )=sen x

2+cos

x3+tg x

4

Calcular: “f()”

a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3

4. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x

Calcular: “f ( π

2)”

a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) -2

5. Si: |cos| =

√32 IIC

Calcular: E=cot θ+√3 senθ

a) √3 b) −√3 c)

√32

d) −√3

2 e) −√3

3

6. Si: x e y son medidas de ángulos coterminales

tal que: cos x=− √10 cosy < 0 además

cot y= a+5a−1 ; calcular “a”.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

7. Si: 270º < x < 360º indicar el signo de la expresión:

E=cot

x3

. sec3x4

cosx5

a) + b) - c) + ó -

d) + - e) Todas con correctas

8. Si: son medidas de ángulos coterminales

y tg α=2

5; cos < 0.

Calcular: E=√29 sen α+tg αθ

secθ . cos α

a) −4

5 b) −8

5 c)

45

d)

85 e)

−125

9. Si: IIC, IIIC IVC Indicar el signo de la expresión:

E=csc α+cos βtg β−secθ

a) + b) - c) + ó -

d) + - e) Todas son positivas

10. Del gráfico calcular:

E=3 cos (α−β6 )+sen(α−β )

√3 sen (α−β2 )

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4

d) 4/3 e) 3/2


Suert

e



REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE

DefiniciónEs el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que si lo sea.

R.T. () R.T. ()

: no es agudo : sí es agudo

Para Ángulos Menores de una Vuelta

COMPROBACIÓN .

1.sen(90 º+θ ) = y

r= b

r= +cos θ

2.cos (90 º+θ ) = x

r= −a

r= −senθ

3.tg (90 º+θ ) = y

x= b−a

= −cot θ

COMPROBACIÓN .

1. sen(180 º– θ ) = b

r= +senθ

2.cos(180 º−θ ) = −a

r= −cos θ

3.tg(180 º−θ ) = b

−a= −tg θ


r b

a

90º+

(-a; b) y

x

En el

rb

a

180º -

(-a; b)

y

x

En el

IC IIC IIC IVC m∢R.T.

90º- 90º+ 270º- 270º

+

sen +cos

+cos -cos -cos

cos +sen

-sen -sen +se

n

tg +cot -cot +cot -cot

cot +tg -tg +tg -tg

sec +csc -csc -csc +cs

c

IC IIC IIC IV m∢R.T.

180º-

180º+

360º+

sen +sen -sen -sen

cos -cos -cos +cos

tg -tg +tg -tgcot -cot +cot -cot

sec -sec -sec +sec

+cs


EN GENERAL

R.T.

( 90 º ± α ¿ ) ¿¿

¿¿ = Co. R.T. ()

R.T. (180 º ± α ¿ ) ¿¿

¿¿ = R.T. ()

01. Reducir la siguiente expresión:

E = cos(90º + A) + cos(270º + A)

Solución:

1. Recomendamos seguir el siguiente orden:2. Primero señalamos el cuadrante.3. Luego indicamos el signo de la R. T.

Original en ese cuadrante.

E = cos(90º + A) + cos(270º + A)

E = [-senA] + [+senA]

E = -senA + senA

E = 0

02. Calcular:

E = 8sen150º + sec240º + 3cot315º

Solución:

Recomendamos seguir el siguiente orden:

1. Primero señalamos el cuadrante.2. Luego indicamos el signo de la R. T.

Original en ese cuadrante.

Para este tipo de medidas se sugiere relacionarlas exclusivamente con 180º ó 360º y luego continuar con los pasos del ejemplo anterior.

E = 8sen(180º – 150º) + sec(240º – 180º )

+ 3cot(360º – 315º)

E = 8 [+sen30º] + [-sec60º] + 3[-cot45º]

E = 8 .

12 - 2 - 3 . 1 = 4 - 2 - 3

E = -1

03. Reducir: E = csc(180º - x) + csc(360º - x)

Solución:

Siguiente los pasos del ejemplo anterior.

E = csc(180º - x) + csc(360º - x)

E = [+cscx] + [-cscx]

E = cscx – cscx E = 0


Depende del cuadrante

cambia

Depende del cuadrante

Permanece igual

–IVC

+ IIC

–IVC

–IIIC+

IIC

+IVC

– IIC

“En ambos cambiamos a su R.T. complementaria por el 90º y 270º”


Práctica Dirigida

1. Calcular:E = sen150º + tg225º + cos300º

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -2

2. Calcular:E = sec240º + cot135º + csc330º

a) 1 b) 3 c) 5

d) -5 e) -3

3. Calcular el valor de Sen 120º . Cos 330º

a) √ 3 /4 b) √ 3 /2 c) 1/4

d) 3/4 e) 1

4. Calcular el valor de : E = Sen 150º - Cos 120º + Tg 135º

a) -2 b) -1 c) 0

d) 1 e) 2

5. Simplificar:

3 Sen 20º − 2 Cos 110ºCos 70º

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

6. Reducir:

E=sen(90 º+x )

cos (360 º−x )+tg(180 º−x )cot (270 º+x )

a) 0 b) 2 c) -2

d) 2tgx e) -2tgx

7. Reducir:

E=sec (π+x )

csc ( 3 π2−x )

+cot (2π−x )

tg( π2+x )

a) 0 b) 2 c) -2

d) 2senx e) -2cosx

8. Si: Calcular: “cscx”

Si: |secx| = -secx

a) √2 b) √3 c) √5

d) −√5 e) −√3

9. Si: x + y = Calcular: “tg(cosx + cosy)”

a) 0 b) tgx c) tgy

d) –tgx e) -tgy

10. Si: + = Calcular: “cos(tg + tg)”

a) 0 b) 1 c) -1

d) cos e) cos

11. Si : x + y = 2. Calcular : Tg x + Sen x + Tg y + Sen y

a) 1 b) 2 c) -1

d) 0 e) -2

12. En un triángulo ABC calcular:E = tgA + tg(B + C) + tg(A + B + C)

a) tgA b) tgB c) tgC

d) 0 e) 1

13. En un triángulo ABC calcular:

E=sen( A+B )senC

+cos(B+C )cosA

+tg (A+C )tgB

a) 0 b) 1 c) -1


tg( π+x )+cot( 3π2−x )=tg π

4


d) 3 e)-3

Tarea Domiciliaria

1. Reducir:

E=sen ( π2+x )+cos (π+ x )+ tg ( 3 π

2−x )

a) senx b) cosx c) tgx

d) cotx e) 1

2. Reducir:

E=tg(π−x ) . tg( 3 π2+x )

a) 0 b) 1 c) -1

d) tgx e) cotx

3. Calcular:

E=2 sen2π4+3 tg

3 π4+5 cot

5π4

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


E=sen(2 A+B+C )cos (B+C )

a) 1 b) -1 c) tgA

d) cotA e) -tgA

5. Calcular:

E=tg π8+tg 3 π

8+ tg 5π

8+tg 7 π

8

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2 e) -2

6. Simplificar:

E=cos (90º+x )sen (−x )

+tg( π+x )tg(− x )

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2tgx e) -2tgx

7. Si: x + y = Calcular: E = sen(tgx + tgy)

a) 0 b) 1 c) -1

d) senx e) seny


E=tg(2 A+B+2C )tg(A+C )

a) 0 b) 1 c) -1

d) tgB e) -tgB

9. En un triángulo ABC calcular:E = cosA + cos(B + C) + cos(A + B + C)

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2 e) -2

10. Reducir:

E= sen230 ºsen310 º

+ tg140 ºcot 130º

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -2


E=csc(A+B )csc(−C )

+sec(B+C )sec(−A )

+cot (A+C )cot (−B )

a) 0 b) 1 c) -1

d) 3 e) -3




REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE

Para Ángulos Negativos

COMPROBACIÓN .

1.sen(−α ) = −b

r=− b

r=−senα

2.cos (−α )=a

r=+ cos α

3.tg (−α )=−b

a=−tg α

Nota:El signo negativo de la Medida Angular es colocado adelante de la R.T. salvo los R.T. coseno y secante en las cuales el signo de la medida angular puede obviarse.

Ejemplo:

Calcular:

E = tg(sen20º) + tg(sen340º)

Solución:

1. Primero reducimos:

Sen340º = sen(360º – 20º) = –Sen20º

2. Reemplazando:

E = tg(sen20º) + tg(–sen20º)

E = tg(sen20º) – tg(sen20º) E = 0

Para ángulos Mayores a una Vuelta Para este caso la medida angular que es mayor a una vuelta () será dividida entre 360º; tomando el resto () de dicha operación como medida angular resultante; manteniéndose la R.T. original, esto es:

360º = 360º . n +

n

R.T. = R.T.


sen(-) = -sen

cos(-) = cos

tg(-) = -tg

cot(-) = -cot

sec(-) = sec

csc(-) = -csc-

r

r(a; -b)

(a; b)y

x

–IVC


Ejercicios Resueltos:

01. Sen 1985º

1985º 360º

1800º 5

Residuo 185º

Luego :

Sen 1985º = Sen 185º

= Sen (180º + 5º) …… (*)

= -Sen 5º

Sen 1985º = -Sen 5º

02. Tg 5535º

5535º 360º

5400º 15

Residuo 135º

Luego :

Tg 5535º = Tg 135º

= Tg (90º + 45º) …… (*)

= -Ctg 45º

Tg 5535º = -1

03. Sen (-2400º)

Sen (-2400º) = -Sen 2400º

2400º 360º

2160º 6

Residuo 240º

Luego :

–Sen 2400º = –Sen 240º

= – Sen (240º – 180º) …… (*)

= – (–Sen 60º) = Sen 60º

Sen (–2400º) =

√32

Práctica Dirigida

01. Calcular:E = csc750º + sec1380º

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

02. Calcular:E = tg855º + csc1230º

a) 1 b) 2 c) 3

d) -2 e) -3

03. Reducir: E = tg(5 + x) + tg(8 + x)

a) 0 b) tgx c) cotx

d) 2tgx e) 2cotx

04. Reducir: E = cos(17 + x) + cos(24 + x)

a) 0 b) 2senx c) 2cosx

d) -2senx e) -2cosx

05. Reducir:

E=sen (29π2+x)+sen(35

π2+ x)


¡NO TE OLVIDES!

Los pasos (*), pertenecientes al capítulo anterior.


a) 0 b) 2senx c) 2cosx

d) -2senx e) -2cosx

06. Reducir:

E=cot(53π2+x )+cot(71

π2−x )

a) 0 b) 2tgx c) 2cotx

d) -2tgx e) -2cotx

07. Calcular: cos123

π4

a) 1 b) -1 c)

√22

d) −√2

2 e) −√3

2

08. Calcular: tg 2003

π4

a) 1 b) -1 c)

√22

d) −√2

2 e) −√2

2

09. Si: x+ y=13

π2

Calcular:

E= senxcos y

+ tgxcot y

+sec xcsc y

a) 1 b) -1 c) 3

d) -3 e) 1/3

10. Si: x+ y=23

π2

Calcular: E = tg(senx + cosy)

a) 0 b) 1 c) -1

d) tgx e) tgy

11. Reducir al segundo cuadrante “tg2235º”

a) –tg135º b) –tg105º c) –tg100º

d) –tg120º e) –tg143º

12. Reducir al tercer cuadrante: sen4360º

a) –sen200º b) –sen210º c) –sen220º

d) –sen230º e) –sen240º

13. Si: 3 x+5 y=35

π2

Calcular:

E=sen( x+ y ) sec(2 x+4 y )tg (2 x+3 y ) . tg( x+2 y )

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2 e)-2

Tarea Domiciliaria

01. Calcular:

E=√3 tg 840 º+sec1920 º

a) -1 b) -3 c) -5

d) 3 e) 5

02. Calcular:

E = cos(53 + ) + cos(48 + )

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2cos e) -2cos

03. Reducir:



E=tg (37π2+x)+ tg (43

π2−x )

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2cotx e) -2cotx

04. Reducir:

E=sen [( 4k+1 ) π2+x ]

a) cosx b) –cosx c) senx

d) –senx e) 1

05. Reducir:

E=csc [(12 k+3 ) π2+x ]

a) secx b) cscx c) -secx

d) –cscx e) 1

06. Calcular:

E=sen543π4

. tg 321π4

a)

√22 b)

−√22 c) 1

d) -1 e) −√3

2

07. Si: x+ y=59

π2

Calcular: senx . secy

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2 e) -2

08. Si: 2x + 3y = 23

Calcular: tg(x + y) cot(x + 2y)

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2 e) -2

09. Si: x + y = 2

Calcular: E = tg(senx) + tg(seny)

a) 0 b) 1 c) -1

d) tgx e) tgy

10. Si: x + y =

Calcular: E = cot(tgx) + cot(tgy)

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2cotx e) 2coty


E=sen(2 A+2 B+3C )

sen( A+B )+tg (3 A+3B )

tg 3C

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2 e) -2


E=tgA . tg ( A+B ) . tg( A+C )

tgB . tg(B+C )

a) –tgA b) –tgB c) -tgC

d) tgA e) tgB

13. Calcular:

E=cos3 π8+cos3 3 π

8+cos3 5π

8+cos3 7π

8

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2 e) -2




CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA

1. Definición

Llamado también circunferencia unitaria, es una circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas y su radio es igual a la unidad.

Donde:

O : Centro u origen de coordenadasR : Radio (R = 1)A : Origen de arcoM : Extremo de arco : Medida del arco Rad : Medida del ángulo MÔAC.T. : Circunferencia Trigonométrica

NotaLos arcos pueden ser positivos, si están generados en el sentido antihorario y negativos si están generados en el sentido horario.

: Arco positivo : Arco negativo

2. Arco en Posición Normal

Es aquel arco positivo o negativo que se genera a partir del punto “A” y su extremo final, se encuentra en cualquier parte de la C.T.

Ejemplo:Ubicar en una C.T. los siguientes ángulos:

a) 60º b) 90º c) 150º

d) 225º e) -30º

3. Representación de Seno y Coseno

a) Seno: El seno de un arco, es la ordenada del extremo del arco y se representa mediante una vertical trazado desde el eje de abscisas hasta el extremo de arco.

Sen Signo

IC Sen 1 (+)

IIC Sen 2 (+)

IIIC Sen 3 (–)

IVC Sen 4 (–)

b) Coseno El coseno de un arco, es la abscisa del extremo de arco y se representa


C.T.

Y

XR = 1

Rad

M

OA

B

B’

A’

C.T.

O

(-)

(+)

B

A

B’

A’

270º

225º

180º

150º

90º60º

-30º

360º

0º

O

C.T.

27

0º

180º

90º

0ºx360º

4

12

3

Sen 4Sen 3

Sen 1Sen 2


mediante una horizontal trazada desde el eje de ordenadas hasta el extremo del arco.

NOTA:

1.

2. Desigualdad:

> Mayor que< Menor que

Mayor o igual que

Menor o igual que

Ejemplo:

Representar en la C.T.

a) Sen 30º, Cos 53º

b) Sen 100º , Cos 200º

c) Cos 315º

PRACTICA DIRIGIDA

01. Indicar el signo de comparación que debe ir en el círculo:

Sen70º Sen160º

a) < b) > c) d) e) =

02. Indicar el signo de comparación que debe ir en el círculo:

Sen50º Sen130º

a) < b) > c) d) e) =

03. Indicar el signo de comparación que debe ir en el círculo.

cos100º cos200º

a) < b) > c) d) e) =


cos160º cos260º

a) < b) > c) d) e) =

05. Si:

π2<x1<x2<π

Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. senx1 < senx2II. cosx1 < cosx2


X

Y

Cos 1 1

4

Cos 4

Cos 33

C.T.

2 Cos 2

90º

0º360

270

180

Flecha Derecha

Flecha Izquierda

Flecha

Abajo

Flecha

Arriba

(-)

(+)(-)(+)

53º90º100

º

180º

200º

270º

360º

0º

30º

315º

Cos 315º

Cos 200º

Sen 100º Sen 30º

Cos 53º

Cos Signo

IC Cos 1 (+)

IIC Cos 2 (–)

IIIC Cos 3 (–)

IVC Cos 4 (+)


III. cosx1 < senx2

a) VVV b) VFF c) FFV

d) FVF e) VFV

06. Si: 3π2<x1<x2<2 π

Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. senx1 < senx2II. cosx1 < cosx2III. cosx1 < senx2

a) VVV b) VVF c) FFVd) VFV e) FVF


|sen250º| |sen340º|

a) < b) > c) d) e) =


|cos100º| |cos200º|

a) < b) > c) d) e) =

09. Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo sombreado.a) senb) cosc) -send) -cose) 2sen

10. Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo sombreado.a) senb) cosc) -send) -cose) 2cos

11. Del gráfico mostrado calcular el área del triángulo sombreado.

a) sen

b) cos

c) -sen

d) -cos

e) 2cos


a) sen

b) cos

c) -sen

d) -cos

e) 2sen

13. Del gráfico calcular “sen + sen”

a) 0

b) 1

c) -1

d) 1/2

e) -1/2

14. Ordenar en forma creciente los siguientes valores.

a = sen50º ; b = sen100º c = sen150º

a) abc b) cba c) cab

d) acb e) bca

VARIACIÓN DEL SENO Y COSENO EN UNA C. T.

1. VARIACIÓN DEL SENO


C.T

y

x

C.T.

y

x

C.T.

y

x

C.T

.

y

x

C.T.

y

x


Si:

[0º; 360º] 1 Sen 1 (Sen )mín = 1

(Sen )máx = +1

2. VARIACIÓN DEL COSENO

Si:


1 +1360º0º180º

270º

90º

X

Y

1

+1

360º0º180º

270º

90º

X

Y

X

Y

180º 0º

45º

60º

Sen 45ºSen 60º

90º

Ejemplo 01.Hallar la variación del Seno.

Si: [45º; 60º

De la C.T.:

Sen 45º Sen Sen 60º

√2

2 Sen

√3

2

SENO

IC 0 Sen 1

IIC

IIIC

IVC

COSENO

IC 0 Cos 1

IIC

IIIC

IVC


[0º; 360º] 1 Cos 1

(Cos )mín = 1

(Cos )máx = +1

Nota:i. FLECHA :

Arriba : : CrecienteAbajo : : Decreciente

ii.DESIGUALDADES :

PROPIEDADES INTERVALOS

Si: a, b, c R 1. I. Abierto a; b ó a x b

2. I. Cerrado [a; b] ó a x b

3. I. Semiabierto a, b] ó a x b[a, b ó a x b

1. a b a c b c2. a b c > 0 ac bc

3. a2 0

Práctica Dirigida Nº 02

1. En qué cuadrantes el Seno crece, a medida que el ángulo crece.

a) I y IIC b) II y IIIC c) I y IVCd) II y IVC e) III y IVC

2. En qué cuadrante(s) el Seno decrece y el Coseno crece.


d) IVC e) IIC y IIIC

3. Indicar la variación del Seno en el IC.

a) 0; 1 b) 0; 1] c) [0; 1d) [0; 1] e) 1; 1

4. Hallar el máximo valor de:E = 4Sen + 5Cos 2


C.T.Cos 60ºCos 120º

0º

120º

180º

90º

0ºX

Y

Ejemplo 02.Hallar la variación del Coseno.

Si: 60º; 120º

De la C.T.:

Cos 120º Cos Cos 60º


a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

5. Hallar la suma del máximo y mínimo de:

K = 7Sen 4Cos 3Sen2 + 5

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

6. Si: Sen = x2

x3

Indicar la variación de “x”.

a) 6; 6 b) [6; 6] c) 6; 6]d) [6; 6 e) 0; 6

7. Si: Sen =

3 x− 27

Indicar el intervalo de “x”.

a) 53 ; 3 b)

53 ; 3] c) [

53 ; 3

d) 53 ; 0 e) [

53 ; 3]

8. Si: IVC.

Además: Cos =

3 x− 52

a) 53 ;

73 b)

53 ;

73 ] c) [

53 ;

73 ]

d) 0; 53 e) 0;

73

9. Si: IC.

Hallar la variación de: E = 3Cos + 1

a) 1; 2 b) 1; 3 c) 1; 4d) 0; 1 e) 0; 4

10. Si: 30º 150º

Hallar el mínimo y máximo valor de Sen.

a) {12 ; 1} b) {

12 ; 1} c) {0;

√3

2 }

d) {

√3

2 ; 1} e) {

√2

2 ; 1}

11. En la C.T. mostrada, 90º; 180º

Indicar la variación de “z”, si: PQ = PM.

a) 0 z 12

b) 0 z 12

c) 0 z 12

d)12 z 1

e)12 z 1

12. Si: IIC, indicar el máximo valor entero de “x”, en:

1 + Sen =

x − 13

a) 3 b) 4 c) 6d) 8 e) 9

13. Si: 90º 270º.

Hallar la extensión de Sen.

a) 1; 1 b) [1; 1 c) 1; 1]d) [1; 1] e) 0; 1]

14. En la C.T. mostrada se tiene que: ,

además el área sombreada es igual a 12 2.

Hallar la variación de:

E = √3 Cos + 2

a)12 E

72

b)12 E

72

c)12 E 1

d)12 E 1

e)12 E

72

15. Si: 180º 270º ; hallar la variación de:

E = 2Sen ( + 30º) + 1

a) √3

2 ; 12

b) [√3

2 ; 12 ]


X

Y

M

Q

PZ

O0º180º

90º

X

Y


c) 12 ; 0

d) √3

2 ; 0

e) [-12 ; 0]

Tarea Domiciliaria


sen70º cos70º

a) < b) > c) d) e) =


sen260º cos260º

a) < b) > c) d) e) =

03. Ordenar en forma creciente los siguientes valores:

a = sen80º ; b = sen130º c = sen190ºa) abc b) cba c) cabd) bac e) bca

04. Ordenar en forma decreciente los siguientes valores:

a = cos70º ; b = cos100º c = cos195ºa) abc b) cba c) cab

d) bca e) bac


a) 0,5 sen

b) 0,5 cos

c) -0,5 sen

d) -0,5 cos

e) -cos


a) 0,5 sen

b) 0,5 cos

c) -0,5 sen

d) -0,5 cos

e) -sen

07. Del gráfico mostrado calcular el área del cuadrilátero sombreado.

a) 0,5(sen + cos)

b) 0,5(sen - cos)

c) 0,5(cos - sen)

d) -0,5(sen + cos)

e) 0,5sen cos


a) 0,5 sen

b) 0,5 cos

c) -0,5 sen

d) -0,5 cos

e) -sen

09. Del gráfico mostrado calcular el área del cuadrilátero sombreado.

a) 0,5(sen + cos)

b) 0,5(sen - cos)

c) 0,5(cos - sen)

d) -0,5(sen + cos)

e) 0,5sen cos


a) sen

b) cos

c) -sen

d) -cos

e) 0,5cos


C.T.

y

x

C.T

.

y

x

C.T

y

x

C.T

.

y

x

C.T

y

x

C.T

y

x


Tarea Domiciliaria

1. En qué cuadrantes el Coseno decrece.

a) I y IIC b) II y IIIC c) III y IVC

d) II y IVC e) I y IIIC

2. En qué cuadrante(s) el Coseno crece y el Seno crece.


d) IVC e) IIC y IIIC

3. Indicar la variación del Coseno en el IIC.

a) [1; 0] b) 1; 0 c) 1; 0]

d) [1; 0 e) 1; 1

4. Hallar el mínimo valor de:E = 6Cos + 13Sen + 20

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

5. Hallar la suma del máximo y mínimo valor de:

H = 7Cos 3Sen2 5Cos3 ß + 2

a) 2 b) 1 c) 1

d) 2 e) 3

6. Si: Cos = x5

x6


a) 30; 30 b) 30; 30] c) [30; 30

d) [30; 30] e) 0; 30]

7. Si: Sen =

5 x− 183


a) [3; 215 ] b) [3;

215 ] c) 3;

215

d) 3; 215 ] e) [0; ]

8. Si: IIIC

Además: Sen =

z − 14

Indicar la variación de “z”.

a) 3; 0] b) 3; 0 c) [3; 0

d) 0; 3 e) [3; 0]

9. Si: 180º 360º

Hallar la variación del Cos .

a) [1; 1] b) 1; 1 c) 1; 1]

d) [1; 1 e) 1; 0]

10. Si: 120º 240º

Hallar el mínimo y máximo valor de Cos .

a) {1; √3

2 } b) {1; 0} c) {1; 12 }

d) {√3

2 ; 12 } e) {

12 ; 0}



El producto de dos razones reciprocas es siempre igual a la unidad.

1. Razones Trigonométricas Recíprocas

Ejemplo:



Observaciones:1) A×B≠B× A no se cumple la propiedad conmutativa.

2) Cuando A=B, denotaremos el producto cartesiano A× A por A2.

Particularmente, si A=B=R entonces el producto cartesiano de R×R se

denotará porR2, donde R es el conjunto de los números reales.

3) Cuando los conjuntos A y B son finitos, el número de elementos del conjunto

A×B es igual al número de elementos del conjunto A por el número de

elementos del conjunto B. Esto es:

n ( A×B )=n (A ) ∙ n (B )

Ejemplo 5: Del ejemplo 3, tenemos:

n ( A×B )=n (A ) ∙ n (B )=(3 ) (2 )=6

n ( A×B )=6

1.1. Producto Cartesiano R×R: Dado R el conjunto de los números reales, el

producto de R por R es el conjunto formado por todos los pares ordenados ( x , y ) tales que x e y pertenecen al conjunto de los números reales. Esto es:

R×R={( x , y ) / x∈R∧ y∈R }R2= {( x , y ) / x∈ R∧ y∈ R }

1.2. Representación Geométrica del Producto Cartesiano Para graficar los pares ordenados del producto

cartesiano R×R o R2, se usa el sistema coordenado

rectangular o sistema coordenado cartesiano en el plano, o el plano cartesiano, donde R representa al conjunto de los números reales.

Ejemplo 6: Si A={2,4,6 } y B= {2,6 }. Graficar A×B y B× A

A×B= {(2,2 ) , (2,6 ) , (4,2 ) , (4,6 ) , (6,2 ) , (6,4 ) }B× A= {(2,2 ) , (2,4 ) , (2,6 ) , (6,2 ) , (6,4 ) , (6,6 ) }


A×B

6

2

2 4 6

Y

B

B× A

6

4

2

2 6

Y

A


Ejemplo 7: Si A={x∈R / x−3<7 }, B= {y∈R /−2< y<3 } Graficar A×B y B× ASolución:

A={x∈R / x<10 } y B= {y∈R /−2< y<3 }

A×B= {(x , y)∈R /x<10∧−2< y<3 }

B× A= {(x , y)∈R /−2<x<3∧ y<10 }

Ejemplo 8: Graficar: {(2,3 ) , (−3,2 ) , (0 ,−2 ) , (4 ,−1 ) } y nombrar el cuadrante en que

queda cada uno.Solución:Sean los puntos:

A (2,3 ) ,B (−3,2 ) ,C (0 ,−2 ) , D (4 ,−1 )

El punto A está en el I cuadrante

El punto B está en el II cuadrante

El punto C está en el eje Y

El punto D está en el IV cuadrante

1.3. Ejercicios Resueltos

1. Determinar los valores de x e y, en cada caso:

a) ( y−2,2x+1 )=( x−1 , y+2 )

( y−2,2x+1 )=( x−1 , y+2 )⟹{ y−2=x−12 x+1= y+2

⟹{x=2y=3


A×B

B× A


b) (3 x−8 y ,4 x+3 y )=(4−2x−10 y ,2x+4 y+7 )

{3x−8 y=4−2x−10 y4 x+3 y=2x+4 y+7

⟹ {5 x+2 y=42 x− y=7

⟹ { 5 x+2 y=4 (1)4 x−2 y=14 (2)

Sumando las ecuaciones (1) y (2) de dos variables, tenemos:

{ 5 x+2 y=44 x−2 y=14

⟹9x=18⟹ x=2

Reemplazamos el valor de x=2 en la ecuación (1):

5 (2 )+2 y=4⟹10+2 y=4⟹2 y=−6⟹ y=−3

2. Dados los conjuntos A={3 ;5 ;7 } y B={1;2 } Hallar:

A×B={(3 ;1) ,(3 ;2) ,(5 ;1), (5 ;2) ,(7 ;1), (7 ;2)}

B× A={(1 ;3) ,(1 ;5) ,(1 ;7) ,(2;3) ,(2 ;5), (2;7)}

3. Si A={x∈ R/2<x<5 } y B={ y∈ R/1< y<4 } Graficar A×B y B× A

4. Sean: A={x∈Z /−1≤x ≤3 }, B= {x∈Z /1≤ x≤4 } , yC={x∈Z /1≤x ≤4 }; Hallar los conjuntos:

a) A×B b) B×C c) ( A−C )×BSolución: Determinando los conjuntos por extensión:

A={−1,0,1,2,3 } ,B={1,2,3,4 } ,C={1,2,3,4 }

a) A×B={(−1,1 ) , (−1,2 ) , (−1,3 ) , (−1,4 ) , (0,1 ) , (0,2 ) , (0,3 ) , (0,4 ) , (1,1 )(1,3 ) , (1,4 ) , (2,1 ) , (2,2 ) , (2,3 ) , (2,4 ) , (3,1 ) , (3,2 ) , (3,3 ) , (3,4 ) }

b) B×C={(1,1 ) , (1,2 ) , (1,3 ) , (1,4 ) , (2,1 ) , (2,1 ) , (2,2 ) , (2,3 ) , (2,4 ) ,(3,1 ) , (3,2 ) , (3,3 ) , (3,4 ) , (4,1 ) , (4,2 ) , (4,3 ) , (4,4 ) }

c) A−C={−1,0 }, B= {1,2,3,4 }

( A−C )×B={(−1,1 ) , (−1,2 ) , (−1,3 ) , (−1,4 ) ,(0,1 ) , (0,2 ) , (0,3 ) , (0,4 ) }


A×B


5. Que parte del plano cartesiano se obtiene si se presenta gráficamente los siguientes productos cartesianos:

a) ¿0 ,+∞>×<0 ,+∞>¿

¿0 ,+∞>×<0 ,+∞>⟹ {(x , y )/ x>0∧ y>0 }

b) ←∞ ,0>×←∞,0>¿

←∞ ,0>×←∞,0>⟹ {(x , y )/ x<0∧ y<0 }

c) ←∞ ,0>×<0 ,+∞>¿

←∞ ,0>×<0 ,+∞>⟹ {( x , y ) /x<0∧ y>0}

d) ¿0 ,+∞>×←∞ ,0>¿

¿0 ,+∞>×←∞ ,0>⟹ {( x , y )/ x>0∧ y<0}


d)c)

b)a)

x<0∧ y<0

x<0∧ y>0

x>0∧ y<0

x>0∧ y>0


1.4. Actividades de Aprendizaje

I. Determinar los valores de x e y, en cada caso:

1) ( x−7 y ,2x−6 y )=(15 ,−10 )

2) (4,2 x−10 )=( x−1 , y+2 )

3) ( x+ y ,3 )=(5 , y−x )

4) (2 x− y , x+ y+3 )=( x+ y+1,2x+ y )

5) ( x+ y2−1,

x− y2+1)=( y−x2

+2 ,x+ y

2−2)

II. En cada caso hallar los conjuntos y graficar:

1) Sea A={x∈R /1≤ x≤3 } ,B={ y∈R/2≤ y≤4 } , A×B

2) Sean: A={x∈Z /−1≤x ≤3 }, B= {x∈Z /1≤ x≤4 } , y

C={x∈Z /1≤x ≤4 }; Graficar:a) A×B b) B×C c) ( A−C )×B

3) Sean: A={x∈N / x<3 }, B= {x∈N / x es par y x<5 }, y

C={x∈N / x esimpar y x ≤4 }; Hallar el conjunto ( A∩B )× (C−A )

4) Si A=¿ y B=¿ Hallar ( A∩B )× (B−A )

5) Si A={x∈ R/2≤x ≤5 } y T={ y∈R /1≤ y<4 } Graficar T × A y A×T


1. RELACIONES



1.1. Definición : Dados dos conjuntos A y B no vacíos, decimos que R es una relación

de A en B si es subconjunto del producto cartesiano A×B. Simbólicamente, se denota:

R : A⟶B⟺ R⊂A ×B

En toda relación R existe:

Un conjunto de partida, el conjunto A

Un conjunto de llegada, el conjunto B y

Una regla de correspondencia o proposición p(x , y), la cual nos indica la

condición que deben cumplir los pares ordenado de la relación.

Notación:

Conjunto de Partida Conjunto de Llegada

R={(a ;b)∈ A ×B/ p(a ,b)}

Regla de Correspondencia

Si (a;b)∈R, la proposición p(x , y) es verdadera entonces aRb.

Ejemplo 1: Dados los conjuntos A={5,8,11}, B={4,7,10 } se define la relación

R={(a ;b)∈ A ×B/a<b } Hallar los pares ordenados de R.

Solución:El conjunto de partida es: A={5,8,11}

El conjunto de llegada es: B={4,7,10 }

A×B= {(5,4 ) , (5,7 ) , (5,10 ) , (8,4 ) , (8,7 ) , (8,10 ) , (11,4 ) , (11,7 ) , (11,10)}

La regla de correspondencia “a<b” nos dice que: “la primera componente es menor

que la segunda componente de cada par ordenado de R esto es:

R={(5,7 ) , (5,10 ) , (8,10 ) }

Ejemplo 2: Sean A={2,4 } y B= {1,3,5 }, entonces

A×B= {(2,1 ) , (2,3 ) , (2,5 ) , (4,1 ) , (4,3 ) , (4,5 ) }

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son relaciones de A en B:

R1={ (2,1 ) , (2,5 )}, R2={ (2,3 ) , (4,1 ) , (4,5 ) }, R3={(2,1 ) (4,3 ) , (2,3 ) }, R4=A×B

Pero los siguientes conjuntos de pares ordenados no son relaciones de A en B:

R5={(1,2 ) , (4,1 ) , (4,5 ) }, R6={(2,1 ) , (4,1 ) , (3,4 ) }, Puesto que (1,2 )∉ A×B, (3,4 )∉ A ×B.

Por lo tanto, R5⊄A ×B, R6⊄ A×B.

1.2. Dominio y Rango de una Relación : Sea R⊂A ×B una relación, se definen:

Dominio de R por el conjunto

Dom (R )={x∈ A /∃ y∈B ,(x , y)∈R }



Rango de R por el conjunto

Ran (R )={ y∈B/∃ x∈ A , ( x , y )∈R }

Es claro que Dom (R )⊂A y que Ran (R )⊂B

Ejemplo 3: Si R={(1,4 ) , (1,5 ) , (2,3 ) , (2,4 ) , (2,5 ) } entonces:

Dom (R )= {1,2 } y Ran (R )={3,4,5 }

Ejemplo 4: Dado A={x2+1/−2≤ x<3 ; x∈Z } Se define:

R2={(x ; y)∈ A× N / y=x2+3 } Representar R2 como un conjunto de pares

ordenados, hallar su dominio y rango.

Solución: Determinamos por extensión los conjuntos: A={1,2,5 } y N= {1,2,3,4 ,…}, la relación es: R2={(1,4 ), (2,7 ) , (5,28 ) }

Por lo tanto, Dom(R2)={1,2,5 } y Ran(R2)={4,7,28 }

1.3. Criterio para el calculo del Dominio y Rango de una Relacion en R

- Para determinar el dominio de la relación, despejamos la variable “ y”,

enseguida se analiza los valores que puede tomar x para que la variable y sea real.

- Para determinar el rango de la relación, despejamos la variable “x ”, enseguida

se analiza los valores que puede tomar y para que la variable x sea real.

Ejemplo 6: Sea S :R→R una relación, definida por:

S={(x , y) /x+2 y=12 }

Esta es una relación con infinitos elementos ya que los elementos x∈ R e y∈R,

entonces Dom (S )=Ran (S )=R

Ejemplo 8: Determinar el dominio y rango de la siguiente relación:

R={( x , y )∈R×R /x2+ y2+10 y−75=0}

Solución:

- Para determinar el dominio de R, despejamos la variable “ y” de la ecuación

x2+ y2+10 y−75=0, esto es: x2+ y2+10 y−75=0, completando cuadrado

( y+5 )2=100−x2⟹ y=−5±√100−x2

Ahora analizamos los valores que pueda tomar x para que y sea un número real,

esto es: 100−x2≥0⟹ x2≤100⟹−10≤ x≤10

Por lo tanto, Dom (R )= [−10,10 ]

- Para determinar el rango de R, despejamos la variable “x ” de la ecuación

x2+ y2+10 y−75=0

esto es: x=±√75−10 y− y2



Ahora analizamos los valores que pueda tomar y para que x sea un número real, esto es:

7 5−10 y− y2≥0⟹ ( y+5 )2≤100⟹−15≤ y ≤5

Por lo tanto, Ran (R )=[−15,5 ]


1. Si A={1,2,5,6 } y B= {3,5,7,9 }, hallar el dominio y rango de las relaciones

R1={ ( x , y )∈ A×B/ x ≥ y } y R2= {( x , y )∈ A×B/ x+ y=8 }

Determinamos las relaciones: R1= {(3,3 ) , (5,3 ) (5,5 ) (6,3 ) , (6,5 ) } , R2= {(1,7 ) (5,3 ) }

Por lo tanto, Dom(R1)={3,5,6 }, Ran(R1)={3,5 }, Dom(R2)={1,5 } y

Ran(R2)={3,7 }

2. Sea A={1 ,2,3. .. ,10 } y R : A→A una relación dada por

R={(1,1),(1,2), (1 ,3) ,(2 ,4) ,(2 ,5) ,(7 ,6)}

Entonces: Dom(R)={1,2,7 } y Ran(R)={1,2,3,4,5,6 }

3. Hallar el dominio y rango en: R={(x , y)∈R×R / x y2−x+3 y2+1=0 }

Para calcular el dominio despejamos y

x y2−x+3 y2+1=0⟹ y2 ( x+3 )−x+1=0

y2= x−1x+3

⟹ y=±√ x−1x+3

Ahora, analizamos los valores que pueda tomar x para que y sea real, en este

caso debe cumplirse:x−1x+3

≥0

Por lo tanto el dominio es: Dom (R )= ⟨−∞ ,−3 ⟩∪ [1 ,+∞ ⟩

Para calcular el rango despejamos x

x y2−x+3 y2+1=0⟹ x ( y2−1 )+3 y2+1=0

x=−3 y2+1y2−1

Ahora, analizamos los valores que pueda tomar y para que x sea real, en este caso debe cumplirse:

y2−1≠0⟹ y ≠±1

Por lo tanto el rango es: Ran (R )=R− {−1,1 }


1. Sea R :N→N una relación definida por: R={(n ,m)/n+3m=12 ;n ,m∈N }a) Exprese R como un conjunto de pares ordenados b) Hallar Dom (R ) y el

Ran (R )



2. Sean A={1,2,3 } y B= {2,4,5,6 }, verifica si los siguientes conjuntos de pares ordenados son relaciones de A en B:

a) R1= {(1,4 ) , (2,5 ) , (2,6 ) }b) R2= {(2,2 ) , (3,4 ) }

c) R3= {( x , y )∈ A×B/2 x+ y≤6 }

3. R4={( x , y )∈ A×B / x+ y=7 }Sea A={1 ,2 ,3 }, B= {1,2 }. Entonces R={(3,1 ) , (3 ,2 ) }, S=∅ y T=A×B son todas relaciones de A en B. Hallar el dominio y rango de cada relación.

4. Sean R⊂N ×N y S⊂N ×N dos relaciones definidas por:

R={(n ,m)/n+m=17 }; S={(n ,m)/nm=36 }. Encuentre el dominio y rango de: R, S

y R∩S.

5. Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones:a)

R1= {( x , y )∈N ×N /3 x−2 y=6 }

b) R2= {( x , y )∈N ×N /2 x+ y≤8 }

c) R3={( x , y )∈R× Ry=√4−x2}

R4={( x , y )∈R× R/ xy−2 y−x=0}1.6. Grafica de una Relación de R en R: Llamaremos gráfica de una relación de R en

R al conjunto de puntos P ( x , y ) cuyas coordenadas satisfagan a dicha relación,

teniendo en cuenta que una relación puede estar expresada en una de las siguientes formas de ecuación:

E ( x , y )=0, E ( x , y )<0, E ( x , y )>0, E ( x , y )≤0, E ( x , y )≥0

Para trazar la gráfica de una relación dada por la ecuación E ( x , y )=0, seguiremos

el siguiente criterio:

1. Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados:- Intersección con el eje X :

E ( x , y )∩eje x= {(x , y )∈ R2/ y=0 }=P(x ,0)

- Intersección con el eje Y :

E ( x , y )∩eje y= {( x , y )∈R2/ x=0 }=Q(0 , y )

2. Determinación de la simetría con respecto a los ejes coordenados:- Simetría con respecto al eje X : Existe simetría con respecto al eje X si se

cumple:

E ( x , y )=E ( x ,− y )

- Simetría con respecto al eje Y : Existe simetría con respecto al eje Y si se cumple:

E ( x , y )=E (−x , y )

- Simetría con respecto al origen: Existe simetría con respecto al origen si se cumple:

E ( x , y )=E (−x ,− y )



3. Determinación de la extensión de la curva: Consiste en determinar el dominio y el rango.

4. Determinación de las ecuaciones de las Asíntotas:

- Asíntotas verticales: Despejamos la variable y de E ( x , y )=0 e igualamos el

denominador a cero.

- Asíntotas horizontales: Despejamos la variable x de E ( x , y )=0 e igualamos el

denominador a cero.

5. Tabulación: Consiste en determinar un número de pares ordenados a partir de

la ecuación E ( x , y )=0

6. Trazado de la curva: Mapeo de los pares ordenados

Ejemplo 10: discutir y graficar la relación: R={( x , y )∈R×R /xy−2 y−x=0 }

Solución: La relación dada es de la forma:

R ( x , y )=xy−2 y−x=01. Intersección con los ejes:

- Con el eje X : hacemos y=0 en R ( x , y )⟹x=0⟹P (0,0 )- Con el eje Y : hacemos x=0 en R ( x , y )⟹ y=0⟹Q (0,0 )

2. Simetrías:

Con respecto al eje X : R ( x , y )=R ( x ,− y )

R ( x ,− y )=x (− y )−2 (− y )−x=−xy+2 y−x≠ R ( x , y )

Por lo tanto, no existe simetría en el eje X

Con respecto al eje Y : R ( x , y )=R (−x , y )

R (−x , y )=(−x ) y−2 y−(−x )=−xy−2 y+x≠ R ( x , y )

Por lo tanto, no existe simetría en el eje Y

Con respecto al origen: R ( x , y )=R (−x ,− y )

R (−x ,− y )= (−x ) (− y )−2 (− y )−(−x )=xy+2 y+ x≠ R ( x , y )

Por lo tanto, no existe simetría con el origen

3. Extensión:

Dominio: Despejamos y en R ( x , y )=xy−2 y−x=0, tenemos:

y= xx−2

⟹ x−2≠0⟹ x ≠2

Por lo tanto, Dom (R )=R−{2 }

Rango: Despejamos x en R ( x , y )=xy−2 y−x=0, tenemos:



x= 2 yy−1

⟹ y−1≠0⟹ y≠1

Por lo tanto, Ran (R )=R− {1 }

4. Asíntotas:

Vertical: Despejamos “ y” en R ( x , y )=xy−2 y−x=0, tenemos:

y= xx−2

⟹ x−2=0⟹ x=2

Por lo tanto, la ecuación de la asíntota vertical es x=2

Horizontal: Despejamos “x ” en R ( x , y )=xy−2 y−x=0, tenemos:

x= 2 yy−1

⟹ y−1=0⟹ y=1

Por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal y=1

5. Tabulación: 6. Trazado de la gráfica:

4. Discutir y graficar :R={(x , y)∈R×R / x2 y−4 y+x=0 }


R ( x , y )=x2 y−4 y+x=0

1. Intersección con los ejes:

- Con el eje X : hacemos y=0 en R ( x , y )⟹x=0⟹P (0,0 )

- Con el eje Y : hacemos x=0 en R ( x , y )⟹ y=0⟹Q (0,0 )

2. Simetrías:

- Con respecto al eje X : R ( x , y )=R ( x ,− y )


x y

-3 0.6

-2 0.5

-1 0.3

0 0

1 -1

3 3

4 2


R ( x ,− y )=x2 (− y )−4 (− y )+x=−x2 y+4 y+x≠ R ( x , y )

Por lo tanto, no existe simetría en el eje X

- Con respecto al eje Y : R ( x , y )=R (−x , y )

R (−x , y )=(−x )2 y−4 y−x=x2 y−4 y−x ≠R ( x , y )

Por lo tanto, no existe simetría en el eje Y

- Con respecto al origen: R ( x , y )=R (−x ,− y )

R (−x ,− y )= (−x )2 (− y )−4 (− y )−x=−x2 y+4 y−x≠ R ( x , y )

Por lo tanto, no existe simetría con el origen

3. Extensión:

- Dominio: Despejamos “ y” en R ( x , y )=x2 y−4 y+x=0, tenemos:

y= −xx2−4

⟹ x2−4 ≠0

⟹ x≠±2Por lo tanto, Dom (R )=R−⟨−2,2 ⟩

- Rango: Despejamos x en R ( x , y )=x2 y−4 y+x=0, tenemos:

x=−1±√1+16 y2

2 y, y≠0

Por lo tanto, Ran (R )=R

4. Asíntotas:

- Vertical: Despejamos “ y” en R ( x , y )=x2 y−4 y+x=0, tenemos:

y= −xx2−4

⟹ x2−4=0⟹ x=±2

Por lo tanto, la asíntota vertical es x=±2

- Horizontal: Despejamos “x ” en R ( x , y )=x2 y−4 y+x=0, tenemos:

x=−1±√1+16 y2

2 y⟹2 y=0⟹ y=0

Por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal y=0




5. Discutir y graficar :R={(x , y)∈R2/x2 y2−4 x2−4 y2=0}


R ( x , y )=x2 y2−4 x2−4 y2=0

1. Intersección con los ejes:

- Con el eje X : hacemos y=0 en R ( x , y )⟹x=0⟹P (0,0 )- Con el eje Y : hacemos x=0 en R ( x , y )⟹ y=0⟹Q (0,0 )

2. Simetrías:

- Con respecto al eje X : R ( x , y )=R ( x ,− y )R ( x ,− y )=x2 (− y )2−4 x2−4 (− y )2=x2 y2−4 x2−4 y2=R (x , y )

Por lo tanto, existe simetría en el eje X

- Con respecto al eje Y : R ( x , y )=R (−x , y )R (−x , y )=(−x )2 y2−4 (−x )2−4 y2=x2 y2−4 x2−4 y2=R ( x , y )

Por lo tanto, existe simetría en el eje Y

- Con respecto al origen: R ( x , y )=R (−x ,− y )R (−x ,− y )= (−x )2 (− y )2−4 (−x )2−4 (− y )2=−x2 y2−4 x2−4 y2=R ( x , y )

Por lo tanto, existe simetría en el origen

3. Extensión:

- Dominio: Despejamos “ y” en R ( x , y )=x2 y2−4 x2−4 y2=0, tenemos:

y=±√ 4 x2

x2−4⟹ 4 x2

x2−4≥0⟹ 4 x2

( x−2 ) ( x+2 )≥0

Por lo tanto, Dom (R )= ⟨−∞ ,−2 ⟩∪ ⟨2 ,+∞ ⟩∪ {0 }

- Rango: Despejamos x en R ( x , y )=x2 y2−4 x2−4 y2=0, tenemos:

x=±√ 4 y2

y2−4⟹ 4 y2

y2−4≥0⟹ 4 y2

( y−2 ) ( y+2 )≥0

Por lo tanto, Ran (R )=⟨−∞ ,−2 ⟩∪ ⟨2 ,+∞ ⟩∪ {0 }

4. Asíntotas:


x y-4 0.3

-2.5 1.1-1.5 -0.9-1 -0.30 01 0.3

1.5 0.92.5 1.1-4 -0.3-2 0.5-3 0.6


- Vertical: Despejamos “ y” en R ( x , y )=x2 y2−4 x2−4 y2=0, tenemos:

y=±√ 4 x2

x2−4⟹x2−4=0⟹ x=±2

Por lo tanto, la asíntota vertical es x=±2

- Horizontal: Despejamos “x ” en R ( x , y )=x2 y2−4 x2−4 y2=0, tenemos:

x=±√ 4 y2

y2−4⟹ y2−4=0⟹ y=±2

Por lo tanto, la ecuación de la asíntota horizontal y=±2


d)

6. Sea R una relación de R en R definida por:

a) R={(x , y) /(−2≤x<2∧−2≤ y ≤2)∨(−5<x<−1)∧(−1< y ≤−3)}b) R={( x , y )/ x2+ y2≤16}c) R={(x , y) : x2+ y2−2 x≤0 }d) R={(x , y) : x2+2 y<1 }e) R={(x , y) : x+ y ≥0 }Representar cada relación en un sistema de coordenadas R2

2. FUNCIONES2.1. Introducción : Los matemáticos inventaron el concepto de función de manera

sumamente útil para describir situaciones de la “vida real” en las que una cantidad depende de ó determina otra cantidad. Por ejemplo:

a) Suponga que S/. 100 gana un interés simple a una tasa anual del 6%. Entonces,

la fórmula I=100 (0.06 ) t muestra que el interés (I ) depende del tiempo (t).

b) En la producción de un cierto artículo, el costo fijo es de S/.850 y todos los otros costos adicionales son de S/. 20 por unidad producida. La siguiente igualdad

C=20q+850 expresa que el costo total de producción (C), dependen de la

cantidad de artículos a producir (q).

c) El área de un círculo ( A ), depende del radio (r ). La fórmula para hallar el área del

círculo es A=π r2.


x y

-4−4 √3

3

-3−6√5

50 0

36√5

5

44 √3

3


d) La distancia recorrida (d ) durante 120 minutos de un móvil depende de la

velocidad alcanzada ( v ). La forma de calcular la distancia es d=120t

Estos ejemplos tienen en común dos características, la primera es que en cada uno se encuentran dos variables, una variable independiente que representa las entradas y una variable dependiente que representa las salidas; y la segunda característica es que en cada uno hay una regla de correspondencia, según la cual cada entrada determina una salida, esto es:

EjemplosPrimera Característica Segunda Característica

Entradas Salidas Regla de correspondenciaa) Tiempo Interés simple I=100 (0.06 ) tb) Cantidad de artículos Costo total C=20q+850c) Radio Área del circulo A=π r2

d) Velocidad Distancia recorrida d=120t

Estas situaciones se pueden expresar como relaciones funcionales que en general se especifican mediante una fórmula que muestra lo que debe hacerse con la entrada para determinar la salida. La definición formal de función tiene las mismas características (entrada/regla/salida), con la terminología, esto es: una

función ( f ) es una regla que asigna a cada número de entrada (x) exactamente un

número de salida (f ( x )).

2.2. Función de dos conjuntos : Una función f : A⟶ B es una regla de

correspondencia que asigna a cada elemento de A (entrada) exactamente un

elemento de B (salida). Esto es:

Donde b1=f (a1 ), se dice que b1 es la imagen de a1 por f o también, que b1=f (a1 ) es

el valor de f en el punto a1 . De la misma manera, b3 es la imagen de a2; y b4 tiene

dos imágenes de a3 y a5. Notamos, que en una función puede ocurrir que dos

elementos del conjunto A se le asocien el mismo elemento del conjunto B. En otras palabras, diferentes entradas pueden producir la misma salida.

Observación: Toda función es una relación, pero no toda relación es función.

Ejemplo 19: la relación R={(1,2 ) , (2,3 ) , (3,4 ) , (2,5 ) } no es una función, puesto que

para el elemento 2 tiene dos imágenes 3 y 5 tales que (2,3 ) , (2,5 )∈R, que

contradice a la definición de función.

2.3. Dominio y Rango de una Función : Sea f : A⟶ B, se tiene:


Salida f (x)

Entrada ( x )

Función( f )

Regla

f (a1 )=b1

f (a2 )=b3

f (a3 )=b4

f (a5 )=b4

.b1

.b2

.b3

.b4

.b5

B

. a1

.a2

.a3

.a4

.a5

A f

f: A⟶B


Al conjunto formado por todas las entradas para los cuales se aplica la regla se le llama el dominio de la función. Se denota por:

Dom (f )={a∈ A /∃b∈B∧ (a ,b )∈ f }⊆A

Al conjunto formado por todas las salidas o imágenes de A se llama rango de la función. Se denota por:

Ran ( f )= {b∈B/∃a∈ A∧b=f (a)}⊆B

Ejemplo 20: Sean A={1,2,3,4 } y B={1, 4,5,9,10}. Determinar si

f={ (1,1 ) , (2,4 ) ,(3,9)}, es una función de A en B, el dominio y rango. Mediante el siguiente diagrama:

Se muestra que f es función porque cada elemento de A le corresponde

exactamente un elemento de B.

Dom (f )={1,2,3 } y Ran ( f )={1,4,9 }

2.4. Aplicación de A en B: Sea f : A⟶ B una función, es una aplicación de A en B si y

solo si Dom (f )=A.

Observación: Una aplicación es un caso particular de una función, luego toda aplicación es una función, pero toda función no siempre es una aplicación.

Ejemplo 21: Sean A={1,3,5 } ,B={2,4,6 }. Entonces:

a) El conjunto f={(1,4 ) , (3,2 ) } es función donde Dom (f )={1,3 } y Ran ( f )={2,4 } pero f

no es una aplicación de A en B puesto que el Dom (f )≠ A

b) El conjunto f={(1,2 ) , (3,4 ) , (5,6 ) } es una función donde Dom (f )={1,3,5 } y

Ran ( f )={2,4,6 } como Dom (f )=A entonces f es una aplicación de A en B.

Observación: Si A=B=R, se define la función f de R en R llamada función real de variable real y se denota por:

f :R⟶ R

2.5. Funciones de R en R: Se pueden escribir en la forma:

f={( x , y )∈R× R/ y=f (x )}ó

f={ (x , f ( x ) )∈R×R /x∈Dom (f )}

Donde la ecuación y=f (x ) es llamada regla de correspondencia que permite

calcular para cualquier x∈Dom( f ), su imagen y=f (x ).


f (1)=1

f (2)=4

f (3 )=9Rango

1

4

5

9

10

B

Dominio

1

2

3

4

A f


2.6. Notación Funcional : Las funciones suelen denotarse con una sola letra minúscula

como f , g o h, etc. Si x es una entrada (número en el dominio), entonces f (x) indica el número de salida que la función f produce con la entrada x. El símbolo

f (x) se lee “f de x” ó “f en x” ó f evaluada.

2.7. Valores de una Función : Son los números de salida f ( x ) que están en el rango de

la función, que se obtienen al sustituir la variable independiente x por su valor.

Ejemplo 22: Sea f ( x )=x3+x2, define a la función f que asigna a cada número de

entrada x el número de salida x3+x2. Escribiremos algunos valores de la función:

f (2 )=(2 )3+(2 )2=8+4=12⟹ f (2 )=12

f (−1 )=(−1 )3+(−1 )2=−1+1=0⟹ f (−1 )=0

f ( t )=(t )3+( t )2=t3+t 2⟹ f ( t )=t3+t 2

f ( x+1 )= (x+1 )3+( x+1 )2

Observación:

f ( x+h )≠ f ( x )+h

f ( x+h )≠ f ( x )+f (h )

Ejemplo 23: Sea f ( x )=5 x2−2 x+1. Encuentre f (1 ),f ( x+1 ) y compruebe

f ( x+h )≠ f ( x )+h y f ( x+h )≠ f ( x )+f (h ).

Solución: Sif ( x )=5 x2−2 x+1, entoces:

f (1 )=5 (1 )2−2 (1 )+1=4⟹ f (1 )=4

f ( x+1 )=5 ( x+1 )2−2 ( x+1 )+1=5 x2+8x+4

f ( x+1 )=5 x2+8 x+4

Reemplazar y comprobar

f ( x+1 )≠ f ( x )+1 f ( x+1 )≠ f ( x )+ f (1 )5 x2+8x+4≠5x2−2 x+1+1 5 x2+8x+4≠5x2−2 x+1+4

5 x2+8x+4≠5x2−2 x+2 5 x2+8x+4≠5x2−2 x+5

2.8. Dominio y Rango de una Función Real : Sea f :R⟶ R una función de la forma

y=f ( x ), entonces:

El dominio de f , se determina analizando todos los valores posibles que pueda

tomar x, de tal manera que f (x) sea real, salvo el caso que dicho dominio sea

especificado.


Nombre de la función

Número de entrada

Instrucciones que dicen qué hacer

con la entrada x para producir la

correspondiente salida f ( x ).

Número de salida

f ( x )=√x2+1


El rango de f , se determina despejando la variable x en función de “ y”, luego

se analiza todos los valores posibles que pueda tomar “ y”, de tal manera que x sea real.

Ejemplo 24: Hallar el dominio y rango de las funciones:

a) f ( x )=x2−4 x+7, x∈ [2,3 ]El dominio de la función está especificado: x∈ [2,3 ], entonces Dom( f )=[2,3 ]El rango de la función es Ran ( f )= [3,4 ]

b) f ( x )= 2x−1

Para que la división exista x−1≠0 o sea x≠1.

Por lo tanto, el Dom (f )=R− {1 }

Despejamos la variable x, entonces x= 2y+1, y ≠0

Por lo tanto, el Ran (f )=R−{0 }

c) f ( x )=√x+2Para que exista la raíz cuadrada de un número real x+2≥0, entonces x≥−2.

Luego, Dom (f )=[−2 ,+∞ ⟩ .Despejamos la variable x, x= y2−2. Luego, Ran ( f )=R

2.9. Funciones Especiales : Funciones que tienen formas y representaciones especiales.


Función Forma o Regla de correspondencia Dominio y Rango

Constante f ( x )=c, c∈R Dom (f )=RRan ( f )=c

Identidad f ( x )=x Dom (f )=RRan (f )=R

Lineal f ( x )=ax+b, donde a ,b∈R, a≠0Dom (f )=RRan (f )=R

Cuadrática f ( x )=a x2+bx+c, a ,b , c∈R, a≠0Dom (f )=RRan ( f )=R0

+¿¿

Raíz Cuadrada f ( x )=√xDom (f )=R0

+¿¿

Ran ( f )=R0+¿¿

Compuesta f ( x )={ 1; si−1≤x<10 ;si1≤x ≤2x−3 ; si2<x ≤8

Dom (f )=[−1,8 ]Ran (f )=←1;5¿

Valor Absoluto f ( x )=x={ x , si x≥0−x , si x<0

Dom (f )=RRan ( f )=R0

+¿¿

Máximo Enterof ( x )= ⟦x ⟧,

⟦x ⟧=n⟺n≤x<n+1, n∈ZDom (f )=RRan ( f )=Z

Racional f ( x )=1x

Dom (f )=R− {0 }Ran ( f )=R−{0 }

Exponencial f ( x )=bx, b>0, b≠1Dom (f )=RRan ( f )=R0

+¿¿

Logarítmica f ( x )=logb x⟺b y=x, b>0, b≠1Dom (f )=R0

+¿¿

Ran (f )=R


2.10. Graficas de Funciones : La gráfica es una forma de representar geométricamente una función en un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas.

Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas nos permite especificar y localizar un punto P en un plano determinado por un par ordenado de números

reales de la forma (x , y ), llamamos a x abscisa o coordenada x de P, y a y

ordenada o coordenada y del punto P. Mediante este procedimiento a cada punto

en un plano le corresponde exactamente un par ordenado (x , y ) de números reales,

y recíprocamente, a cada par ordenado (x , y ) de números reales le corresponde un

único punto en el plano. Consecuentemente, como el sistema coordenado establece una correspondencia uno a uno entre los puntos en el plano y los pares ordenados de números reales vamos a referirnos al punto P con abscisa x y ordenada y,

simplemente como el punto ( x , y ) o como P(x , y).La gráfica de una función f (x) se define como la gráfica de la ecuación y=f (x ),

que es el conjunto de todos los puntos (x , f (x )) en el plano, donde x pertenece al

dominio de la función f (x).

Técnica General para Graficar una Función: Consiste en dar valores a x para

calcular el valor de y=f (x ), obteniendo puntos de la forma (x , f (x )). Luego estos

puntos son representados en el plano y finalmente se hace un trazo suave que una estos puntos. Los valores de x deben estar en el dominio de la función, se escogen

por conveniencia de tal manera que sea fácil calcular el valor de y y nos dé una idea de la forma de la gráfica.

Ejemplo 25: Graficar la función f ( x )=√x

Solución: El dominio de la función es Dom (f )=R0+¿¿

, puesto que es la función raíz

cuadrada.

Damos algunos valores a x para obtener el valor de y a través de la fórmula

y=√x.

x 0 1 2 9 /4 4y=√x 0 1 √2 3/2 2(x , y ) (0,0 ) (1,1 ) (2,1.41 ) (9 /4,3/2 ) (4,2 )

Luego representamos estos puntos de la gráfica en el plano.

Finalmente, hacemos un trazo suave uniendo los puntos de la gráfica dibujados.

Otras técnicas que nos facilitará determinar más rápidamente la forma y las

características más importantes de la función y=f (x ), pueden ser la intersección

con los ejes coordenados, que consiste en obtener los puntos donde la gráfica de la función corta los ejes de coordenadas; y la simetría, esta técnica nos puede



ahorrar trabajo, pues con la mitad de la gráfica podemos obtener por simetría el resto de la gráfica.

Ejemplo 26: Determinar las intersecciones x e y de la gráfica de y=2x+3 y hacer el bosquejo de su gráfica.

Solución:Intersección con el eje X :

hacemos y=0 en y=2x+3:

2 x+3=0⟹ x=−32

Obtenemos el punto (−32,0), donde la

gráfica corta al eje X .

Intersección con el eje Y :

hacemos x=0 en y=2x+3:

y=2 (0 )+3⟹ y=3Obtenemos el punto (0,3 ), donde la

gráfica corta al eje Y .

Observación: La gráfica de una función lineal es una línea recta.

Ejemplo 27: Probar la simetría con respecto al eje x, al eje y y al origen de la

gráfica de y=x3 y graficar.

Solución:

Simetría con respecto al eje x: al

reemplazar y por − y en y=x3 se

obtiene:

− y=x3⟹ y=−x3

que no es equivalente a la ecuación dada. Por tanto, la gráfica no es simétrica con respecto al eje x.Simetría con respecto al eje y: al

reemplazar x por −x en y=x3 se

obtiene:

y= (− x )3⟹ y=−x3

que no es equivalente a la ecuación dada. Por tanto, la gráfica no es simétrica con respecto al eje y.Simetría con respecto al origen:

al reemplazar x por −x y y por − y en

y=x3 se obtiene:

− y= (−x )3⟹− y=−x3⟹ y=x3

que es equivalente a la ecuación dada. Por tanto, la gráfica si es simétrica con respecto al origen.



Prueba de la recta vertical: Consiste en determinar si una curva es o no la gráfica de una función. Si una recta vertical interseca una gráfica en más de un punto, ésta no es la gráfica de una función.

Ejemplo 28: verificar si las siguientes ecuaciones definen o no una función a través de la prueba de l a recta vertical.

Si es función, la recta corta No es función, la rectaen un solo punto a la curva. corta en dos puntos ade la gráfica. la curva de la gráfica.

2.11. Operaciones con Funciones : Sea f y g, dos funciones cualesquiera, definimos:

Operaciones Dominio( f +g ) (x )=f ( x )+g (x) Dom (f +g )=Dom (f )∩Dom (g)( f−g ) ( x )=f ( x )−g (x) Dom (f−g )=Dom ( f )∩Dom(g)( f ∙ g ) ( x )=f ( x ) ∙ g(x ) Dom (f ∙ g )=Dom ( f )∩Dom (g)

( fg ) ( x )= f ( x )g (x)

, g(x )≠0 Dom( fg )=Dom ( f +g )−{x /g (x )=0}

Ejemplo 27: Sea f (x)=x2 y g(x )=3 x. Encuentre ( f +g ) (x ), ( f−g ) ( x ), ( f ∙ g ) ( x ) y

( fg ) ( x ) y establezca su dominio.

Solución:

Dom (f )=R y Dom (g )=R, entonces Dom (f )∩Dom (g )=R

( f +g ) (x )=f ( x )+g (x )=x2+3 x

( f−g ) ( x )=f ( x )−g ( x )=x2−3 x

( f ∙ g ) ( x )=f ( x ) ∙ g ( x )=(x2 ) . (3 x )=3 x3

fg( x )=

f (x )g (x)

= x2

3 x= x

3, x≠0

Por lo tanto, Dom (f +g )=Dom (f−g )=Dom ( f ∙ g )=Dom( fg )=R2.12. Composición de Funciones : Dadas dos funciones f y g, se define la composición

de f con g, denotada por f ∘ g como:


Ingresos=(precio venta por unidad )×(númerodeunidades vendidas)


( f ∘ g ) (x )=f (g (x))Donde el dominio de f ∘ g es el conjunto de todas las x en el dominio de g, tales que

g(x ) pertenece al dominio de f .

Ejemplo 28: Sean f (x)=√x y g ( x )=x+1.encontrar:

a) ( f ∘ g ) (x ) b) (g∘ f ) (x )

Solución:

a) ( f ∘ g ) (x )=f (g ( x ) )=f (x+1 )=√x+1

Dom (g )=R y Dom (f )=R0+¿¿

. Entonces, Dom (f ∘g )=[−1 ,+∞ )

b) (g∘ f ) (x )=g ( f ( x ) )=g (√ x )=√ x+1

Dom (g )=R y Dom (f )=R0+¿¿

. Entonces, Dom (g∘ f )=R0+¿ ¿

Observación: ( f ∘ g ) (x )≠ (g∘ f ) ( x )

2.13. Aplicaciones de la Función Lineal :

1. Función Lineal de Costo Total : En la producción de una empresa de cualquier bien, se tiene dos tipos de costos: Costo Fijo; es la suma de todos los costos que son independientes del nivel

de producción, como renta, seguros, tasa interés sobre préstamos, etc. Costo Variable; es la suma de todos los costos dependientes del nivel de

producción, como salarios y materiales.Luego el Costo Total está dado por:

CostoTotal=Costos Variables+Costos Fijos

Simbólicamente, denotaremos la función lineal de costo total por:

C ( x )=mx+b

Donde m representa el precio por cada unidad producida o el costo variable por

unidad, x el número de unidades de artículos producidos y b el costo fijo.

2. Función Lineal de Ingresos : Es el dinero que recibe un fabricante por la venta de un producto. Está dado por:

Si x es el número de unidades de artículos producidos o vendidos y a es el precio de venta por unidad, entonces la función lineal de ingreso es:

I ( x )=ax


Ran( f )

f (g(x ))

Dom(g)

g(x )

f ∘ g

fg

x

Dom( f )

Ganancia=Ingresos−CostoTotal


3. Función Lineal de Ganancia :

Simbólicamente, denotaremos la función lineal de ganancia por:

G ( x )=(a−m ) x−b

Donde x representa el número de unidades de artículos producidos y vendidos.

Ejemplo 29: Una empresa, fabricantes de filtros para agua, tiene costos fijos por S/. 20 000.00, costos de producción de S/. 20.00 pro unidad y un precio de venta unitario de S/. 30.00. Determinar las funciones de costos, ingresos y ganancias para la empresa.

Solución: Sea x el número de unidades producidas y vendidas. m=20, b=20 000, a=30. Reemplazando:

Función de Costos C ( x )=20 x+20 000Función de Ingreso I ( x )=30 xFunción de Ganancia G ( x )=10 x−20 000

Punto de Equilibrio: Es cuando el ingreso y el costo total son iguales:

I ( x )=C (x ), es decir cuando G(x )=0 Hay ganancia, cuando I (x)>C (x), es decir, G(x )>0 Hay pérdida, cuando el I (x)<C (x), es decir, G ( x )<0

El punto de equilibrio está dado por el punto P (x0 , y0 ) que es la solución de las

ecuaciones simultáneas I ( x ) y C (x), donde x0 es la cantidad de equilibrio y y0 es

el ingreso de equilibrio.

Geométricamente, el punto de equilibrio P (x0 , y0 ) es el punto de intersección de

las líneas rectas que representan las funciones de costos e ingresos.

Ejemplo 30: La compañía J.J. Servicios fabrica sus productos con un costo S/. 4.00 por unidad y los vende a S/. 10.00 la unidad. Si los costos fijos de la empresa son de S/. 12 000.00 al mes.a) Determinar el punto de equilibrio de la empresa.b) ¿Cuál es la pérdida de la empresa si sólo se producen y venden 1500 unidades

por mes?c) ¿Cuál es la ganancia si se producen y venden 300 unidades por mes?


y0

x0 X

Y

0

Ganancia

Pérdida

I (x)

C (x)

P(x0 , y0)


d) ¿Cuántas unidades debe producir y vender la empresa para obtener una ganancia mínima de S/. 9 000.00 al mes?

Solución: De los datos del problema, las funciones de costos y de ingresos están dados por:

C ( x )=4 x+12 000 y I ( x )=10 xa) Igualamos:

C ( x )=I ( x )4 x+12 000=10 x

4 x−10 x=−12 000−6 x=−12 000

x=2 000Reemplazamos el valor de

x=2 000 en I (x), tenemos:

I (2 000 )=10 (2000 )=20 000

Esto quiere decir que para una empresa de equilibrio, la empresa debe fabricar 2 000 unidades de su producto, a fin de producir un ingreso de S/. 20 000.00

b) La función de la ganancia es:

G ( x )=6 x−12 000Si se producen y venden 1 500 unidades por mes, se tiene:

G (1500 )=6 (1500 )−12 000=−3000Entonces, G ( x )<0, es decir la empresa tendrá una pérdida de S/. 3 000 por

mes.

c) Si se producen y venden 3 000 unidades por mes, se tiene:

G (3 000 )=6 (3 000 )−12 000=6 000Entonces, G ( x )>0, es decir la empresa tendrá una ganancia de S/. 6 000 por

mes.

d) G ( x )=9 000, reemplazamos en la ecuación de la ganancia G ( x )=6 x−12 000,

esto es:

G ( x )=6 x−12 0009 000=6 x−12 000

6 x=9000−12 000=21 000x=3 5000

Es decir, la empresa debe producir al menos 3 500 unidades para obtener una ganancia mensual mínima de S/. 9 000.00


1. Determine los valores f (3 ) , f (−3 ) , f (2) de la función:

f ( x )={ 3 x−1 , si x>2x2−4 x+7 , si x<2

Solución: Para f (3 ), cuando x>2, reemplazamos en la función f ( x )=3 x−1,

entonces f (3 )=3 (3 )−1=8. Para f (−3 ), cuando x<2, reemplazamos en la función


30

20

10

1 2 3 X

Y

0

Ganancia

Pérdida

I (x)

C (x)

P(2 000,20 000)


f ( x )=x2−4 x+7, entonces: f (−3 )=(−3 )2−4 (−3 )+7=28. Para f (2) no está

definido ya que x>2 o x<2.

2. Hallar el dominio y rango de la función: f ( x )=x+1

x2+6 x+5

Solución: Igualamos el denominador a cero y resolvemos para x.

x2+6 x+5=0⟹ ( x+5 ) ( x+1 )=0⟹ x= {−5 ,−1 }Por lo tanto, el Dom (f )=R− {−5 ,−1 }

Despejamos la variable x, en:

y= x+1( x+5 ) ( x+1 )

⟹ y= 1x+5

⟹ x+5=1y⟹ x= 1

y−5

Por lo tanto, el Ran ( f )=R−{0 }

3. Graficar la función definida por partes:

f ( x )={ x , si0≤x<3x−1 , si3≤x ≤5

4 , si5<x ≤7

Solución: Dom (f )=[0,7 ]Damos valores a x para obtener los puntos (x , f ( x ))

x 0 1 2 3 4 5 6 7f ( x ) 0 1 2 2 3 4 4 4

(x , f ( x )) (0,0 ) (1,1 ) (2,2 ) (3,2 ) (4,3 ) (5,4 ) (6,4 ) (7,4 )Dibujamos los puntos en el plano cartesiano y hacemos el trazo uniendo los puntos:

De la gráfica observamos que el Ran ( f )= [0,4 ]

4. Determine las intersecciones de la gráfica y=4−x2 y haga el bosquejo de la

gráfica. Con base en su gráfica, ¿es y una función de x?, si es así, ¿Cuál es su dominio y cuál su rango?


Dominio:0≤ x≤7

Rango:0≤ y≤4


Solución:Intersección con el eje X :

hacemos y=0 en y=4−x2:

4−x2=0⟹ x2=4⟹ x=±√4⟹ x=±2Obtenemos dos puntos (−2,0 ) y (−2,0 ), donde la gráfica va a cortar al eje X .

Intersección con el eje Y : hacemos x=0 en y=4−x2:

y=4−(0 )2⟹ y=4Obtenemos el punto (0,4 ), donde la gráfica corta al eje Y .

Con respecto a la gráfica y si es una función de x ya que al trazar una recta vertical a la gráfica siempre se corta en un solo punto.Por lo tanto, el dominio de y es todos los valores reales de x y su rango es

−∞< y ≤4

5. Si f ( x )=x+3 y g ( x )=x+5, encuentre: ( f +g ) (x ), ( f +g ) (0 ), ( f−g ) ( x ), ( fg ) ( x ), ( fg ) (−2 )

, ( fg ) ( x ), ( f ∘ g ) (3 )

Solución:

( f +g ) (x )=f ( x )+g (x )=x+3+x+5=2x+8

( f +g ) (x )=2x+8

( f +g ) (0 )=8

( f−g ) ( x )=f ( x )−g ( x )=x+3−( x+5 )=−2

( f−g ) ( x )=−2

( fg ) ( x )=f (x ) g ( x )=( x+3 ) (x+5 )=x2+8 x+15

( fg ) ( x )=x2+8 x+15

( fg ) (−2 )=(2 )2+8 (2 )+15=4+16+15=35

( fg ) (−2 )=35

( fg ) ( x )= f (x )g ( x )= x+3x+5



( fg ) ( x )= x+3x+5

( f ∘ g ) (x )=f (g ( x ) )=f (x+5 )=x+5+3=x+8

( f ∘ g ) (x )=x+8

( f ∘ g ) (3 )=3+8=11

( f ∘ g ) (3 )=11

6. El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de S/. 1.50 y los costos fijos por día son S/. 900.00.a) Escriba la ecuación de costo lineal y dibujar su gráficab) Determine el costo de procesar 1000 kilos de granos de café por un día.

Solución:a) C ( x )? m=1.50 b=900.00

Reemplazamos:

C ( x )=mx+bC (x)=1.50 x+900

C ( x )=1.5 x+900……(1)

b) Sustituimos x=1000 en la ecuación (1), se obtiene:

C ( x )=1.5 (1000 )+900=2400⟹C ( x )=2400Por lo tanto, el costo de procesar 1000 kilos de granos de café al día será de S/. 2 400.00.

7. El costo marginal de producir un medicamento por unidad es de S/. 10.00, mientras que el costo de producir 100 unidades es de S/. 1 500.00. encuentre la

función de costo C (x), suponiendo que es lineal.

Solución: Como C (x) es lineal, entonces: C ( x )=mx+bEl costo marginal es de S/. 10.00 por unidad, es decir que m=10 entonces

C ( x )=10 x+bAhora calculamos el valor b que es el costo fijo y para esto se tiene que el costo de producir 100 unidades del medicamento es de S/. 1 500.000 es decir

C (100)=1 500, entonces reemplazando en C ( x )=10 x+b, tenemos:



C (100 )=10(100)+b1 500=1000+b⟹b=500

Por lo tanto, la función de costo es C ( x )=10 x+500


1. Dada la función f ( x )=√x2+5 x. Determinar:

a) Dominio y rango de la funciónb) La tabla de valoresc) Intersección con los ejes coordenadosd) Dibujar la gráfica

2. Determine las intersecciones de la gráfica y=− x+3 y haga el bosquejo de la

gráfica. Con base en su gráfica, ¿es y una función de x?, si es así, ¿Cuál es su dominio y cuál su rango?

3. Sean f ( x )=3 x2+6 y g ( x )=4−2 x. Encuentre ( f +g )(2), ( f−g )(−2),

( fg ) (0 ) ,( fg )(−1) f (g (2 )) yg( f (2 ))

4. Un fabricante tiene costos fijos de S/. 60 000.00 al mes y un costo de producción unitario de S/. 10.00. el producto se vende por S/. 15.00 la unidad.a) Determinar las funciones de costos, ingresos y gananciab) Calcule la ganancia o pérdida correspondiente a los niveles de producción de

10 000 y 14 000 unidades.

3. PROBLEMAS PROPUESTOS1. Determina los valores de x e y en cada caso:

a) (4 ; y−2 )= ( x−3 ;5 ) b) ( x+4,6 )=(10 , y−x )

c) ( x4 ; 2 y3 )=(−3 ;

49 ) d) ( x+5,3− y )=(7,2 )

e) ( x+25;y−2

6 )= (2;−1 ) f) (x3−19 , x2 y−6 )= ( y3 , x y2)

2. Determine por extensión y graficar los siguientes productos cartesianos:a) A={3,2,1 } y B={−1 ;8 } hallar B× Ab) C={x / x es par∧2<x<8 } y D={x / xes impar∧4< x<8 }, C×Dc) F={2 x−1/−2≤x<2 ; x∈Z } Hallar F2

d) G={x∈R /−2<x<5 } y H={x∈ R/4<x<7 } Hallar G×He) A={x2−1/0≤ x≤5 ;x∈Z }, B={x2+1/−5≤ x≤−3; x∈Z },

C={x3+4/ ( x−1 ) ( x+2 ) ( x−3 )=0 , x∈Z }, A×B, A×C , B×C3. Hallar dominio y rango de las siguientes relaciones:

a) Sea R una relación en A={2,3,4,5 } definida por “x e y son primos relativos” (el

único divisor común de x e y es 1).

b) Sea R una relación definida en los naturales,

R={(x , y) /2 x+3 y=13 ; x , y∈N }c) R={( x , y )∈R×R / y=√4−x2 }d) R={( x , y )∈R× R/ y= 1

2 x2−3x−5 }



4. Sean A={1,2,4 }, B= {1,3,4 }. Sean R={(1,3 ) , (1,4 ) , (4,4 ) } una relación de A en B,

S= {(1,1 ) , (3,4 ) , (3,2 ) } una relación de B en A y T=∅ una relación de A en B.

Encuentre:

a) Dom(R) b) Dom(S) c) Dom(T ).d) Ran(R) e) Ran(S) f) Ran(T ).5. Discutir y graficar las siguientes relaciones:

a) x y2−3 y2−1=0 b) x2 y2−x2+ y2+1=0

c) y2= 4 x2

x2−4d) y= 2 x2−5 x+2

3 x2−10 x+3e) y2 ( x+1 )=4

6. Obtenga el dominio de cada función:

a) g ( x )= x5

b) h ( z )=1

√zc) f ( x )= x

x+8

d) g ( x )=√4 x+3 e) g (r )=√ x−1x2−5x+6

7. Determinar los valores de la función para cada una de las funciones:

a) g(x )=2−x2 ;g (−8) ;g (u); g(u2)b) f (x)=x2+2 x+1; f (−1); f (1); f (x+h)

c) h ( x )={4 ;Si x ≥03 ;Si x<0

; h(3);h(−4);h(0)

d) Sea A={1,2.3,4,5,6 } y sea f : A→A una función dada por:

f ( x )={x+1 , x ≠61 , x=6

Encuentre f (3), f (6), f ( f (3)), f (f (2)).8. Hallar dominio, rango y graficar cada una de las funciones siguientes:

a) f ( x )={2 x+1; si−1≤x<29−x2 ;si x≥2

b) ( x )={x+6 ;si x≥3x2; si x<3

c) f ( x )= 4 x2−92 x+3

d) f ( x )={2 x+1; si−1≤x<29−x2 ;si x≥2

9. Determine los interceptos de la gráfica de cada ecuación, haga el bosquejo y determine su dominio y su rango para cada función.

a) y=x2+2 x−8 b) y= 52−x

c) y= (x−2 )2+1

10. Probar la simetría con respecto a los ejes coordenados y el origen de las gráficas de las siguientes ecuaciones:

a) f ( x )=√x2−25 b) 2 x2+ y2 x8=8− y c) y=3

x3+811. Si f ( x )=x+3 y g(x )=x2+ x, encontrar lo siguiente:

a) ( f +g)(x) b) ( f−g)(2) c) ( f . g)(x)d) ( f ∘ g)(3)12. Problemas:

a) El costo toral de producir 10 unidades de una calculadora es de S/. 100.00. el

costo marginal es S/. 4.00 por calculadora. Encuentre la función de costo, C (x) si

es lineal.

b) La compañía Anderson fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es de S/. 6.00 y el costo fijo es de S/. 80 000.00 Cada unidad tiene un precio de venta de S/. 10.00 Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una ganancia de S/. 60 000.00.



c) Una compañía de refinación de maíz produce gluten de maíz para alimento de ganado, con un costo variable de S/. 76.00 por tonelada. Si S/. 110 000.00 son los costos fijos por mes y el alimento se vende en S/. 126.00 por tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual de $540 000?

d) Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en S/. 19.95. el costo de fabricación de cada cartucho es de S/. 12.92. los costos fijos mensuales son de S/. 8 000.00. durante el primer mes de ventas de un nuevo juego, ¿cuántos cartuchos debe vender el fabricante para llegar al punto de equilibrio (esto es, para que el ingreso sea igual al costo total)?

e) Un fabricante produce lámparas, que vende a S/. 820.00 y sus costos de producción son los siguientes: S/. 1 300.00 en arriendo, y S/. 350.00 por el material y la mano de obra de cada lámpara producida. ¿Cuántas lámparas debe producir para obtener utilidades de S/. 26 900.00?

4. ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN

1. Determina los valores de x e y en cada caso:

a) ( x+25;y−2

6 )= (2;−1 ) b) ( x+4,6 )=(10 , y−x )

2. Sean A={x /x∈R∧−1≤x ≤2 }, B= {y / y∈R∧2≤ y ≤4 }. Graficar en el plano cartesiano

A×B y B× A .

3. Considere la siguiente relación en R:

R={(x , y) /x2 y2−4 x2−4 y2=0}Hallar el dominio y rango de la relación.

4. Discutir y graficar la siguiente relación:

R={(x , y)∈R2/ yx2−4 y−x2=0}

5. Calcular el dominio y rango de la siguiente función, graficar:

f ( x )={x+1 , si0<x≤34 , si3< x≤5x−1 , si x>5

6. Sean f ( x )=x2 y g ( x )=2+1 x. Encuentre, ( f−g )(−3), ( fg )(2) f (g (−4 )) yg( f ( x )).

7. Un fabricante tiene gastos fijos mensuales de S/. 40 000.00 y un costo unitario de producción de S/. 8.00. el producto se vende a S/. 12.00 la unidad.a) Determinar las funciones de costos, ingresos y ganancias.b) Determinar el punto de equilibrio del fabricante.c) Calcule la ganancia o pérdida correspondiente a niveles de producción de 8 000 y 12

000 unidades.d) ¿Cuántas unidades debe producir y vender el fabricante para obtener una ganancia

de S/. 10 000.00?


U.A.II - Trigonometría

Documents

Transcript of U.A.II - Trigonometría