Trigonometría en triangulo no rectángulos.

FórmulasUso de los radiantes

Identidades trigonométricas

Fórmulas Funciones Trigonométricas Inversas

Relaciones Fundamentales

•cosec(x)x= 1

Sen(x)•tg(x)x=

Sen(x)

Cos(x)

•sec(x)x= 1

Cos(x)•tg(x)= 1

Cotg(x)

•cotg(x)= 1

tg(x)

•cotg(x)=Cos(x)

Sec(x)

•sen²(x)+cos²(x)=1 •1+tg²(x)=1

cos²(x)•tg(x).cotg(x)=1

•1+cotg²(x)=1

sen²(x)Estas 4 relaciones son muy

importantes. Nos van a servir después para resolver las

identidades Trigonométricas

Funciones de suma y diferencia de ángulos: •sen(2.x)=2.sen(x).cos(x) El Seno del doble de un ángulo.

•sen = x

2 El Seno de la mitad de un ángulo.

•sen(x z)= sen(x).cos(z) cos(x).sen(z) + - + - El Seno de una suma o resta

•cos(2.x)=cos²(x)-sen²(x)=2.cos²(x)-1 El Coseno del doble de un ángulo.

El Coseno de la mitad de un ángulo.

•cos(x z)= cos(x).cos(z) sen(x).sen(z) + - + - El Coseno de una suma o resta.

•tg(x z)= + - tg(x) tg(z)+-

+ -

1 tg(x).tg(z)La Tangente de una suma o resta.

•cotg(x z)=+ - La Cotangente de una suma o resta.cotg(x).cotg(z) 1+ -

cotg(x) cotg(z).x+-

Suma y diferencia de funciones

•sen(x)+sen(z)=2sen .cosx+z

2

x-z

2

•sen(x)-sen(z)=2sen .cosx+z

2x-z2

•cos(x)+cos(z)=2cos .cosx+z

2x-z2

•cos(x)-cos(z)=2sen .senx+z

2x-z2

•tg(x) tg(z)=+ -sen((x) (z))+ -

cos(x).cos(z)

•cotg(x) cotg(z)=+ -sen((x) (z))+ -

sen(x). sen(z)

Producto de funciones

•sen(x).cos(z)= .sen(x+z)+ .cos(x-z) 1 2

1 2

•sen(x).sen(z)= .cos(x+z)+ .cos(x-z) 1 2

1 2

•cos(x).cos(z)= .cos(x-z)+ .cos(x+z) 1 2

1 2

•tg(x).tg(z)=tg(x)+tg(z)

cotg(x)+cotg(z)

•cotg(x).cotg(z)=cotg(x)+cotg(z)

tg(x)+tg(z)

Uso de los radiantes

Para pasar cualquier valor de un ángulo de grados a Radianes o viceversa puedo usar regla de 3 simple.

Equivalencias de ángulos:

2 360°equivalen

a

180°

1/2 90°

1/3 60°

1/4 45°

Calculo de Funciones Trigonométricas en función de Valores de tablas:

0° 30° 45° 60° 90°

Sen 012 2 2 1

Cos 1 2 212 0

Tg 01

1

Acá tenemos una tabla de Senos,

Cosenos y Tangentes.

En función de esta tabla podemos

calcular los Senos, Cosenos y

Tangentes sin calculadora.

Un ejemplo claro de esto es:

Calcular Sen 15° Reemplazo 15° por 45°-30° (que es lo mismo ).

Aplico la fórmula del Seno de una resta.

Sen (x z)=sen(x).cos(z) + - + - Cos(x).sen(z)Sen(15°)=Sen(45°-30°)

Sen(15°)=Sen(45°).Cos(30°)-Cos(45°)Sen(30°)

Sen(15°)= . - . Sen(15°)= -4 42

1 2

22 4Sen(15°)=-

Reemplazo los Senos y Cosenos que tengo en la tabla dicha anteriormente.

Hago las cuentas.

Nota: Es mejor dejar expresado el resultado así, con raíces, que hacer las cuentas, ya que si hacemos cuentas, estaríamos truncando la parte decimal.

Otro ejemplo

Cos(105°)=Cos(45°+60°)

Cos(105°)=cos(45°).cos(60°)+sen(45°).sen(60°)

Calcular: Cos105°

Aplico la fórmula del Coseno de una suma.

Cos (x z)=cos(x).cos(z) + - + - sen(x).sen(z)

Cos(105°)= . + . 2

1 2

2 2Cos(105°)= +

4 4 4Cos(105°)=+

Identidades Trigonométricas ¿Cómo se resuelven?: Lo que hay que

hacer es ir reemplazando las funciones, usando todas las fórmulas que vimos, hasta que quede una igualdad obvia.

Ejemplo: Verificar la siguiente identidad:

Reemplazo usando fórmulas

Sen(180°-x)

Cos(x)+Co tg(x)=

1

Sen(x).Sen(90°-x)

Sen(x)=Seno(180°-x)Co tg(x)=

Cos(x)

Sen(x)Cos(x)=Sen(90°-x)

Reemplazando me queda:

=

=Sen(x) Cos(x)

+ Cos(x)

Sen(x)

1Sen(x).Cos(x)

Sen²(x)+Cos²(x)

Sen(x).Cos(x)1

Sen(x).Cos(x)

Hago la cuenta con común denominador

del 1° miembro de la igualdad:

Sen(x)

Cos(x)+

Cos(x)

Sen(x)

…

Sen(x).Cos(x)=

=Sen(x)

Cos(x)+

Cos(x)

Sen(x) Sen(x).Cos(x)Sen²(x)+Cos²(x)

Reemplazo esta expresión

Sen²(x)+Cos²(x)=1

1

Sen(x).Cos(x)

1

Sen(x).Cos(x)=