Guías de Sistemas Electromecánicos UTFSM.

7/23/2019 Guías de Sistemas Electromecánicos UTFSM.

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Guía de problemas

resueltos enSistemas

Electromecánicos



Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”

1

GUÍA I: “MATERIALES Y CIRCUITOS MAGNÉTICOS”

1. Un reactor tiene los siguientes datos V = 380 [V], f = 50 [Hz], pérdidas de foucalt PF =60 [W], pérdidas por histéresis PH = 190 [W].

a) Determine las pérdidas en el fierro si la frecuencia de alimentación cambiase a 60 [HZ]. b) La sección neta del núcleo es de 40 [cm2], el devanado tiene 400 vueltas y el espesor decada chapa es de 0,5 [mm]. ¿En qué porcentaje puede aumentarse la tensión aplicada sinsobrecalentar el reactor al usar chapas de 0,35 [mm] para el núcleo?

Resolución:

a) Se sabe que las pérdidas totales en el fierro están dadas por las pérdidas de foucalt, más las pérdidas por histéresis, ambas dependientes de la frecuencia de alimentación según:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] M

Hz

f

T

BC P

M mm Hz

f

T

BC P

PPP

H H

F F

H F T

·50

·1

ˆ·

·5.0

·50

·1

ˆ·

2

222

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

+=

τ

(1)

Además:

q f N

V B

ef

···44,4ˆ = (2)

Reemplazando:

[ ] [ ]

[ ] M

Hz

f

q f N

V C P

M

mm Hz

f

q f N

V C P

ef

H H

ef

F F

·50

····44,4

·

·

5.0

·

50

·

···44,4

·

2

222

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

τ

(3)




2

[ ] [ ]

[ ]

M

f Hzq N

V C P

M mm Hzq N

V C P

ef

H H

ef

F F

·

·50

1·

··44,4

·

·5.0

·50

1·

··44,4·

2

222

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ =

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

τ

(4)

Se tiene entonces que las pérdidas de foucalt son independientes de la frecuencia, no así las por histéresis, que son inversamente proporcionales a la frecuencia.Entonces:

[ ]

[ ]W PP

W PP

H H

F F

3.15860

50·

60

5060

5060

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

==

(5)

De aquí se obtiene que las nuevas pérdidas totales en el fierro son:

][3.218606060 W PPP H F T =+= (6)

b) Para no sobrecalentar el reactor, las pérdidas totales deben mantenerse constantes (250[W])

Se sabe que:

q B f N V ef ·ˆ···44,4= (7)

Ahora bien, despejando B y reemplazándolo en (1.2), dado que una variación en el espesor de las chapas, sólo afecta a las pérdidas de foucalt, se tiene:

M f

q f N

V C P

ef

F F ·

5.0·

50·

···44,4·

222

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

τ (8)

De este modo las pérdidas de foucalt, reemplazando los datos iniciales, son:

62

222

410·93,7····

5.0

5.0·

50

50·

10·40·50·400·44,4· −

−

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ =

ef F

ef

F F V M C M

V C P (9)

Y las pérdidas por histéresis:

62 10·93,7··· −= ef H H V M C P (10)

Con lo que se tiene, que CH·M=165,93 y CF·M=52,42




3

Luego, para evitar sobrecalentamiento, las pérdidas no deben ser mayores a 250 [W], esdecir:

[ ]V V

V

V M C V M C PPP

ef

ef

ef H ef F H F T

62,405

)93,1655.0

35.0·42,52(10·93,7·250

10·93,7···

5.0

35.0·10·93,7···'''

262

622

62

=⇒

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

+⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ =+=

−

−−

(11)

Finalmente, se puede aumentar el voltaje efectivo en un 6,74%.

2. Un reactor tiene un devanado con 128 vueltas y un núcleo con una sección transversalde 40 [cm

2], y largo medio 70 [cm]. El material del núcleo tiene la característica de la

figura. El núcleo tiene un entrehierro de 0,2[mm]. El reactor se conecta en serie conuna fuente de tensión sinusoidal de 50 [Hz] para limitar la corriente.

Figura 1.

Curva de magnetización

a) Si la tensión en el reactor es de 68 [Vef ], ¿cuánto vale la corriente? b) Si la corriente que circula por el reactor es de 2,1 [Aef ], ¿cuánto vale la tensióninducida?




4

Resolución:

a) Se sabe que:

q B f N V ·ˆ···44,4= (12)

Con lo que se obtiene que B = 0,6[T], luego vamos a la figura, y de ahí se obtiene que laintensidad de campo H = 1,6 [A/cm]. Además:

][829.47746410··4

6.0ˆ7

0 m

A B H aire ===

−π μ (13)

Luego:

aireairemm L H L H I N ··· max += (14)

Con lo que Imax = 1,62[A], Ief = 1.146[A]

b) Por ley de Ampere, se tiene que:

airemm L B

L H v A I N ·ˆ

·]·[14.3802·1.2·128ˆ·0μ

+=== (15)

Como vemos, se tienen 2 incógnitas, dado que, si bien Hm está relacionado con B, no se

conoce la función matemática que los relaciona. Una opción es considerar que la soluciónse encuentra en la zona lineal, lo que induciría un determinado error. Otra opción, es iterar buscando los valores de Hm y B que cumplen con (15).

Luego con Hm = 3[A/cm]:

]·[15.3690002.0·10··4

170·3ˆ·

7v A I N =+=

−π (16)

Luego con Hm = 3.2[A/cm]:

]·[34.3860002.0·10··4

02.170·2.3ˆ·

7v A I N =+=

−π (17)

Se observa que casi se cumple la relación. Luego supongamos B = 1.01[T], entonces:

][70.114004.0·01.1·50·128·44.4 V V ef =≈ (18)




5

3. Un reactor tiene pérdidas totales en el núcleo por 100 [W] cuando es alimentado conuna tensión alterna de 220 [Vrms] y 50 [Hz].

a) Si se cambia la alimentación por una fuente de 110 [Vrms], 100 [Hz], como cambian las pérdidas en el núcleo. Justifique. b) Si las pérdidas se distribuyen originalmente como 60% por corrientes parásitas y 40% por histéresis, calcule las pérdidas totales para la nueva condición de (a).

Resolución:

a) Se sabe que:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] M

Hz

f

T

BC P

M mm Hz

f T

BC P

PPP

H H

F F

H F T

·50

·1

ˆ·

·5.0·50·1

ˆ·

2

222

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

+=

τ (19)

De esto se tiene:

f BP

f BP

H

F

·ˆ~

·ˆ~2

22

(20)

Además:

q f N

V B

ef

···44,4ˆ = (21)

Por lo tanto, si f f yV

V ef

ef ·2'2

' == , entonces las pérdidas de foucalt son:

( )

( )

4'

4

·ˆ~·2·

4

ˆ~'

'·'ˆ~'

222

2

22

F F

F

F

PP

f B f

BP

f BP

=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (22)




6

Y las pérdidas por histéresis:

( )

( )

8'

8·ˆ~·2·

4ˆ~'

'·'ˆ~'

222

2

H H

H

H

PP

f B f

BP

f BP

=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (23)

Por lo tanto, las pérdidas totales bajan, dado que ambas bajan.

b) Con los datos iniciales:

[ ]

[ ]W PP

W PP

T H

T F

40%·40

60%·60

==

== (24)

Luego, utilizando (16.3) y (17.3):

[ ]

[ ]

[ ]W P

W P

W P

T

H

F

20

540·8

1'

1560·4

1'

=⇒

==

==

(25)

4. El sistema magnético representado en la figura, tiene las curvas de magnetización de

que se señala. Determine:

a) La corriente requerida en el devanado para producir un flujo total de φ = 0.25·10-3[Wb]. b) La reluctancia total del sistema en el punto de operación de a).c) La permeabilidad relativa μr para cada material, bajo estas condiciones.d) La reluctancia para cada tipo de material magnético.




7

2 5 mm

2 5 m m

3 0 mm

2 5 m m

Figura 2. Sistema Magnético.

Figura 3. Curva de Magnetización.




8

Resolución:

a) Por conservación de flujo:

φ ==⇒

=+−⇒

=

2211

2211

··

0··

0

A B A B

A B A B

Bdivr

(26)

Por lo tanto el flujo se conserva, las inducciones cambian con el área.

Acero:

][500ˆ][8.010·3112.0 10·25.0ˆ

ˆ 3

3

m A H curvaT

A B a

a=→→=== −

−

φ (27)

Fierro:

][700ˆ][4.010·625.0

10·25.0ˆˆ

3

3

m

A H curvaT

A B f

f

=→→===−

−φ (28)

De la figura se extrae que los largos medios para el acero y fierro son: lma = 0.055[m], lmf =0.2175[m]. Por Ley Ampere:

][254.0

][360.0ˆ

)·ˆ·ˆ(ˆ·

A I

A I

l H l H I N

ef

mf f maa

=⇒

=⇒

+=

(29)

b) La reluctancia total esta dada por:

]·[72000010·25.0

180ˆˆ·

ˆˆ

3 WbV A I N F MMT

T ====ℜ−

φ φ (30)

c) La permeabilidad relativa:Para el acero:




9

127310··4

1·

500

8.01·

ˆ

ˆ7===

−π μ μ

oa

a

ra H

B (31)

Para el fierro

45510··4

1·

700

4.01·

ˆ

ˆ

7===

−π μ μ

o f

f

ra H

B (32)

d)

]·

[11000010·25.0

5.27ˆ·ˆ

ˆ

ˆ3 Wb

V Al H F maa MMa

a ====ℜ−

φ φ (33)

]·

[60900010·25.0

25.152ˆ·ˆ

ˆ

ˆ3 Wb

V Al H F maa MMa

a ====ℜ−

φ φ (34)

5. El núcleo de la figura posee un devanado de 680 vueltas. La característica de

magnetización del material se muestra también en la figura.

a) Si la bobina se alimenta con 110 [Vef ], 50 [Hz], determine el valor máximo de lacorriente por el devanado.

b) Se aumenta la tensión a 220 [Vef ]. ¿Cuánto vale la inducción máxima?, ¿Cómo varía lacorriente magnetizante?c) Idéntico a (b), suponiendo que existe un entrehierro de 0,5 [mm].d) Se conecta una resistencia de 20 [Ω] en serie con el devanado y se aplica una tensióncontinua de 12 [V]. Determine el estado magnético del material.e) Idéntico a (d), considerando un entrehierro de 0,5[mm].




10

1,5

79,4 H [AV/m]

B [T]

500 µ0

15000 µ0

V

I

N

16 [cm]

12 [cm]

3 [cm]

Figura 4. Sistema magnético y Curva de Magnetización

Resolución:

e) Se sabe que:

Bq f N V ef ˆ····44,4= (35)

De este se obtiene, al despejar B y calcular (con q = 6·10-4 [m2]), que B = 1.214 [T]. Para

dicho valor de B , H vale:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=== m

A B B H

m43.64·15000

ˆˆ

0μ μ (36)

Luego, por ley de Àmpere:

][17.444.0·43.64·680

1

··

mA I

L H I N

==⇒

=

(37)

f) De (23) se tiene que dado que Vef se duplica, también lo hace B , luego B = 2.428 [T].

Con ello se trabaja en la parte de saturación de la gráfica.

][53.1556ˆ

)45.1ˆ·(500

1ˆ0

m

A H

B H

=

−=μ

(38)




11

Luego utilizando (25), se obtiene que I = 1.007[A].

g) En sistemas magnéticos, en la frontera de 2 materiales de distinta permeabilidad, lasinducciones normales son iguales, además se considera la inducción tangencial en el aireigual a cero. De este modo, la inducción sigue manteniendo el mismo valor.

Luego, aplicando ley de Àmpere para determinar el efecto sobre la corriente:

][429.2

005.0·56.193373244,0·53.1556·680

·····0

A I

I

L B

L H L H L H I N airemmaireairemm

=

+=

+=+=μ

(39)

h) Un reactor puede ser modelado como una inductancia, dado que la tensión es continua,entonces se comporta como un “cable”. Luego la tensión inducida es 0, sin embargo, lacorriente es distinta de cero.

][6.020

12 A

R

V I === (40)

Luego, ocupando ley de Àmpere podemos calcular el valor de H. Con el podemos deducir desde la curva de magnetización que se encuentra en estado de saturación.

][033.245.127,927·10··4·50045.1·ˆ

27.92744.0

6,0·680·

7

2 T H B

m

A

L

I N H

m=+=+=⇒

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡===

−

π μ

(41)

i) Igual a la pregunta anterior, la corriente es la misma. Suponiendo se encuentra en la zona deno saturación. Aplicando ley de Àmpere:

][97,0·ˆ

·ˆ

·ˆ

·

01

01

T L L

I N B

L B

L B

I N

a

m

m

am

m

=

+

=⇒

+=

μ μ

μ μ

(42)

El material, como se supuso se encuentra en zona de no saturación.




12

6. El núcleo de la figura tiene en su columna central un devanado con 50 vueltas. Elmaterial tiene una permeabilidad relativa constante de 4000. La dispersión magnética

es despreciable. (El espesor es 3 [cm])

a) Determine el circuito magnético equivalente e indique el valor de los parámetros. b) Determine el flujo en la columna de la derecha si la corriente en el devanado es de 2[Aef ].c) Calcule la inductancia del devanado.d) Calcule la inductancia si el devanado está ubicado en la columna del lado izquierdo.

Figura 5. Sistema Magnético

Resolución:

a) El circuito magnético equivalente es el siguiente:

Figura 6. Circuito Magnético

Los largos medios son: l1 = 0.22[m], l2 = 0.08[m], l3 = 0.3[m]. Y las áreas: A1 =0.0006[m2], A2 = 0.0012[m2], A3 = 0.0006[m2] . Entonces las reluctancias son:




13

]·

[9920610·6·10··4·4000

3.0

·

]·

[13227

10·12·10··4·4000

08.0

·

]·

[7275110·6·10··4·4000

22.0

·

473

33

472

22

471

11

Wb

V A

A

lWb

V A

A

l

Wb

V A

A

l

===ℜ

===ℜ

===ℜ

−−

−−

−−

π μ

π μ

π μ

(43)

b) El flujo es::

)··(··· 321

313332 ℜ+ℜ

ℜ

ℜ+ℜ=ℜ+ℜ= φ φ φ T I N (44)

Con I = 2 [A]:

][766.03 mWb=φ (45)

c) Para calcular la inductancia es necesario conocer la reluctancia total del sistema:

]·

[75.55198·

// 231

31231

Wb

V AT =ℜ+

ℜ+ℜ

ℜℜ=ℜ+ℜℜ=ℜ (46)

Luego:

][0453.075.55198

5022

H N

LT

==ℜ

= (47)

d) Para calcular la nueva inductancia es necesario conocer la nueva reluctancia total delsistema:

]·

[93.84421·

//' 132

32132

Wb

V AT =ℜ+

ℜ+ℜ

ℜℜ=ℜ+ℜℜ=ℜ (48)

Luego:

][0296.093.84421

50'

22

H N

LT

==ℜ

= (49)




14

7. El reactor de la figura tiene un núcleo con permeabilidad infinita y dos entrehierrosde g = 1 [mm] cada uno. El devanado tiene 100 vueltas. Las pérdidas en el fierro y en

el cobre son despreciables. La bobina es alimentada con 220[Vef ], 50 [Hz].

a) Determine el circuito magnético y el valor máximo del flujo en la columna central. b) Determine el circuito eléctrico equivalente y el valor de la reactancia.c) Grafique v(t ) e i(t ), pata t: 0 → 40 [ms]. Cuantifique amplitudes, periodos y desfase.d) Repita los 3 puntos anteriores si el entrehierro de la izquierda se hace igual a g = 0[mm].

Figura 7. Sistema Magnético

Resolución:

a) El circuito magnético equivalente es el siguiente:


Donde Req = Rizq //Rder . Los valores de dichas reluctancias están dadas por:




15

[ ] ( )( )

[ ]1izq

der izqeq

izq

3217

3

0izq

2210482//

10·171·35,010·3;4420970018,0·10··4

10·1

·

−

−−−

−

−

=

ℜ

=ℜℜ=ℜ

ℜ=ℜ

====ℜ

H

Adonde H A

g

der

π μ

(50)

Además el flujo magnético máximo, por la columna central, vale:

[ ]Wb f N

V ef 01,0··44,4

ˆ ==φ (51)

b) El circuito eléctrico equivalente es el que sigue:

Figura 9. Circuito Eléctrico

El valor de la inductancia se calcula como:

[ ] H N

Leq

045,0221048

10022

==ℜ

= (52)

De (33) entonces se tiene que:

[ ]Ω=== 14045,0·50··2· π ω L X (53)

c) Ahora bien, se sabe que:




16

][3112·220ˆ

][222·16ˆ

][º9016·

][º0220

V V y A I

A X j

V I

V V

≈=≈=

−∠≈=⇒

∠=

•

•

•

(54)

De este modo:

Figura 10. Formas de Onda V(t) e I(t)

d) Dado que se considera un entrehierro de 0 [mm], entonces la reluctancia de laizquierda es cero, lo que “cortocircuita” el reactor, teniéndose una reluctanciaequivalente igual a cero. Esto implica una inductancia L infinita, lo que a su vez se

traduce una corriente también igual a cero. El flujo por la columna central no cambia,sin embargo, todo ese flujo se va por la columna izquierda.-

8. Sea un núcleo de permeabilidad infinita provisto de un entrehierro y 2 bobinas

caracterizadas por los parámetros R1 = R2 << L1 y L1 = L2 = L12. Las 2 bobinasestán conectadas en serie y la bobina 2 puede ser cortocircuitada mediante un

interruptor. Si I1 es la corriente a trabes de la bobina1, I2 es la corriente a través de la

bobina 2, e I3 es la corriente a través del interruptor, determine I2 e I3 en términos de

I cuando el interruptor está cerrado e I1 es una corriente alterna.




17

Figura 11. Núcleo

Resolución:

a) Si I1 es C.A.:

01221 L L L L === (55)

Luego los flujos enlazados son:

)·(··

)·(··

210221211

210122111

I I L L I L I

I I L L I L I

+=+=Ψ

+=+=Ψ (56)

Con el interruptor cerrado:

t V

∂

Ψ∂−== 22 0 (57)

De este se deduce que 2Ψ es constante, si se considera 2Ψ = 0:

0;0)·( 02102 ≠=+=Ψ L I I L (58)

Luego:

12

21 0

I I

I I

=⇒

=+ (59)

Por LCK:

1213 ·2 I I I I =−= (60)




18

9. El reactor de la figura está construido con un núcleo de hierro cuya permeabilidadpuede ser considerada infinita, a excepción de la columna achurada que está

construida con acero con la característica mostrada en la figura. Este reactor es

alimentado con una tensión alterna de 55,5 [Vrms] y frecuencia 50 [Hz].

a) Determine la densidad de flujo máxima ( B ) a la cual opera la columna de acero. b) Calcule la amplitud de la corriente por el devanado.

Figura 12. Sistema magnético

Resolución:

b) Se sabe que:

][110·25·50·100·44,4

5,55

···44,4ˆ 4 T f A N

V B

ef

=== − (61)

Como el flujo magnético por la columna izquierda es igual a la suma de los flujos por lasotras 2 columnas (sección de acero y entrehierro), y no hay más fuentes de flujo, entoncesde esto se desprende que el flujo por la sección de acero es menor al flujo de la fuente(dado que el área es constante), por lo tanto es menor a 1[T], y se encuentra en zona lineal(no saturada). Esto nos permite resolver el problema por reluctancia.





19

[ ]

[ ]132

acero

157

3

0g

10·400025,0·001,0

10·10

·

10·59,10025,0·10··4

10·5,0

·

−−

−

−

−

===ℜ

===ℜ

H A

l

H A

g

a

acero

μ

π μ (62)

Y la magnitud de la inducción por el acero es, aplicando “divisor de corriente”:

][8,0·ˆˆ13 T B B

acerog

g≈

ℜ+ℜ

ℜ= (63)

c) Por redundancia se considera sólo una de las reluctancias, en este caso la del acero. De estemodo ocupando ley de Àmpere:

aceroacero

l H I N ·ˆˆ· = (64)

Luego, se sabe que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡===

m

A B H

a

acero

acero800

001,0

8,0ˆˆ

μ (65)

Conocidos el valor máximo del campo, el número de vueltas y el largo de la sección deacero, se tiene finalmente que:

][8,0100 1,0·800ˆ A I == (66)

10. El sistema magnético de la figura tiene un núcleo con la característica demagnetización mostrada en la figura. Considere además que este reactor tiene

pérdidas despreciables en el fierro y es alimentado con una tensión de 50 [Hz].

a) ¿Cuándo se puede afirmar que el núcleo está saturado?

b) Dibuje el circuito magnético equivalente (sin cuantificar).c) ¿Qué parte del núcleo se satura primero?d) Dibuje el circuito eléctrico equivalente (sin cuantificar).e) Calcule la reactancia.

f) Si el devanado trabaja con una inducción B = 1 [T]:i. Calcule el valor efectivo de la tensión inducida E.ii. Determine la corriente efectiva I.iii. Determine la tensión efectiva V.




20


Resolución:

a) Se afirma que el núcleo está saturado cuando alcanza un valor de inducción B = 1,5 [T].

b) Si el núcleo no está saturado, de la figura se desprende que µ fe → ∞. De esta forma, elnúcleo no aporta reluctancia al camino magnético, estando las reluctancias relacionadasúnicamente a los entrehierros. De esta forma el circuito magnético equivalente es:


Donde Req = R1 //R3

c) El mayor flujo se produce en la columna izquierda (abrazada por el devanado), por lo tanto,y dado que la sección transversal es igual en todo el núcleo, la mayor inducción se produceen dicha columna, lo que implica que será la primera en saturarse.

d) El reactor puede ser modelado como una inductancia, por lo tanto, el circuito equivalentees:




21

Figura 16. Circuito Eléctrico

e) Asumiendo que el núcleo no está saturado, la inductancia es:

31

22

//ℜℜ=ℜ= N N

Leq

(67)

Como ya mencionamos, las reluctancias están asociadas únicamente a los entrehierros.

[ ]

[ ]1547

3

0

33

1547

3

0

11

10·96,710·20·10··4

10·2

·

10·98,310·20·10··4

10·1

·

−

−−

−

−

−−

−

===ℜ

===ℜ

H A

g

H A

g

π μ

π μ (68)

Luego Req = R1 //R3 = 55 10·65,210·98,3·3

2= [H-1]

De aquí se obtiene, utilizando (42), es L= 151 [mH]. Entonces la reactancia queda:

][4,4710·151·50··2· 3 Ω=== −π ω L X (69)

f) El devanado funciona con una inducción ][1ˆ T B = i.-

][8,8810·20·50·200·44,4·ˆ···44,4 4V q B f N E ef === − (70)

ii.-

][87,14,47

8,88 A

X

E I === •

• (71)




22

iii.-

•••+= E R I V · (72)

|I·R| = 93,7[V]

|E| = 88,8[V]

Figura 17. Diagrama Fasorial

][1,129·22

V E R I V =+=•••

(73)

11. El sistema magnético de la figura tiene la resistencia Rad conectada en serie con el

devanado 1 y se aplica una tensión de 220 [Vef ], 50 [Hz]. Considere pérdidas

despreciables en el núcleo y fe ∞ con el devanado 2 abierto. N1 = 100, N2 = 200,

R1 = 10 [ ] (devanado 1), R2 = 20 [ ] (devanado 2)

a) ¿Qué valor debe tener R ad para obtener V2 = 200 [Vef ]? b) Grafique v1(t) e i1(t) especificando magnitud y ángulo.





23

Resolución:

a) Sea:.


][75.6ˆ·2

3)·(ˆ)·(ˆˆ

][5.4200·50·44.4

200ˆ

21

212

1

2121

2

mWbg

gg

mWb

==+

=ℜ

ℜ+ℜ=

==

φ φ φ φ

φ (74)

La tensión inducida es:

][15010·75.6·100·50·44.4 31 ef

V E == − (75)

Luego se tiene el siguiente circuito eléctrico:


Luego:

][16121

21

21

21

2

V E V V

V E V

r

r

=−=⇒

=+ (76)

La reactancia es:




24

][781.265392·

1

··1

021

21

21

21 −=+

=ℜℜ

ℜ+ℜ=ℜ H

Agg

ggT

μ (77)

][83.11·

][68.372

Ω==⇒

=

ℜ

=

L X

mH N

L

L

T

ω (78)

Luego:

][679.1283.11

15011 A

X

E I

L

=== (79)

][697.2697.12

][697.12

679.12

161

1

1

1

Ω=−=

Ω===+

R R I

V R R

ad

r

ad

(80)

b) Del diagrama fasorial se extrae que:

º97.42161

150)( 1 =⇒== φ φ

r V

E tg (81)

Finalmente:

)·50··2(·67.12·2)()·50··2(·220·2)(

1

1

rad t sent i

t sent v

φ π

π

−== (82)



Sistemas Electromecánicos, Guía II:”Transformadores”

1

GUÍA II : “TRANSFORMADORES”

1. El transformador de la figura tiene una tensión primaria de 115 [Vef ] y debe entregaruna tensión secundaria de Vs = 500 [Vef ]. La frecuencia de la red es de f = 50 [Hz]. Elmaterial del núcleo puede ser usado con Bmax = 1.4 [T] y tiene un factor de apilamientok1 = 0.95. Los devanados pueden trabajar con una densidad de corriente de J = 2[A/mm2]. El factor de utilización de cada ventana del núcleo es k2 = 0.45 (Área decobre / Área de la ventana)

Figura 1. Transformador, medidas en [cm].

a) Determine las vueltas N p y Ns de los devanados. b) Determinar la potencia nominal del transformador.c) Considerando que la resistividad del cobre es de ρ = 2·10-8 [Ω·m], estime las pérdidastotales en los devanados cuando operan a corriente nominal. Suponga que los extremos de la

bobina son semicirculares.

Resolución:

a) Se tiene que:




2

Bq N f V ef ˆ····44.4= (1)

Donde:

][00342.0][2.346·6·

22

1 mcmk q===

(2)

Despejando N y evaluando para el primario:

][10800342.0·4.1·50·44.4

115

·ˆ··44.4vueltas

q B f

V N

pef

p === (3)

De la misma forma para el secundario, utilizando Vsef = 500 [V], o bien:

][470108·115

500· vueltas N

V

V N

p pef

sef

s===

(4)

b) El área de la ventana está dada por:

][0018.0][186·3 22 mcm A A A s pv ===+= (5)

Definamos Aci como el área del conductor "i", entonces:

ci

i

A

I J = (6)

De donde se obtiene que:

cs s

cp p

A J I

A J I

·

·

=

= (7)

Figura 2. Ventana




3

Usando Àmpere en la ventana de la figura:

p s p p

s p p p

I N I N

I N I N l H

··

··0·

=⇒

−==∂∫rr

(8)

Además según el factor de apilamiento:

22

22

···

···

k

A N A Ak A N

k

A N A Ak A N

cs s s scs s

cp p

p pcp p

=⇒=

=⇒=

(9)

Reemplazando (9) en (5), y usando (7):

v s s p p

s s p p

v

cs scp p

v

Ak J I N I N

J k

I N

J k

I N A

k

A N

k

A N A

····

·

·

·

·

··

2

22

22

=+⇒

+=

+=

(10)

Usando esto último con (8):

v p p Ak J I N ····2 2= (11)

Despejando I p, se obtiene:

][7.1·

][5.72

0018.0·45.0·

10810

1·2

2

··

62

A I

N

N I

A Ak

N

J I

p

p

s s

v

p

p

==

===−

(12)

Luego la potencia nominal del transformador es:

][8507.1·500·· VA I V I V S s s p p ==== (13)

c) Las pérdidas en el cobre son del tipo I2·R, donde:




4

∑=ci

i

A

l R · ρ (14)

Con: Aci corresponde al área del conductor "i"; Ai corresponde al área del devanado "i".Despejando de (9) Aci y reemplazando en (14):

mi

i

ii

i

i

i

ii l Ak

N l

Ak

N

Ak

N l R ·

·

··

·

·

·

··

222

ρ ρ ρ ∑∑ === (15)

Las pérdidas son:

s

ms s s s s s pérd

p

mp p

p p p p pérd

Ak

l N I R I P

Ak

l N I R I P

·

····

·

····

2

222

_

2

222

_

ρ

ρ

==

==

(16)

Usando de (10):

J k

N I A

J k

N I A s s

s

p p

p ·

·

·

·

22

=∧= (17)

Con (8), A p = As , por lo tanto:

ms s s s pérd

mp p p p pérd

l J N I P

l J N I P

····

····

_

_

ρ

ρ

=

= (18)

Considerando el esquema de la figura del enunciado:

][36.010)]·75.03·(·22·6[

][45.010)]·75.05.13·(·22·6[2

2

ml

ml

ms

mp

=++=

=+++=

−

−

π

π (19)

Entonces:

][1.26

][5.1136.0)·10·2)·(10·2·(470·7.1

][6.1445.0)·10·2)·(10·2·(108·5.768

_

68 _

W P

W P

W P

Totales

s pérd

p pérd

=

==

==

−

−

(20)




5

2. El reactor de la figura está hecho con láminas de acero eléctrico M-15. las curvas demagnetización y de pérdidas de este acero se muestran en las figuras siguientes. Eldevanado se excita con una tensión sinusoidal para producir una inducción en el acerode B(t) = 1.4·sen(377·t). El factor de apilamiento del núcleo es 0.94. la densidad delacero es 7.65 [gr/cm3], N = 200 [vueltas]. Determine:

Figura 3. Reactor (medidas en pulgadas) y Circuito Simplicado

a) El voltaje aplicado en el tiempo b) El valor máximo de la corriente magnetizante Im.

c) El valor efectivo de la corriente magnetizante (ayuda: regraficar la característica B – H en escala lineal).d) Las pérdidas en el núcleo.e) Se representa el reactor por el circuito eléctrico simplificado de la figura.

e.1) ¿Cuánto vale R fe?e.2) ¿Cuánto vale la corriente de vacío I0?




6

Figura 4. Curva de Magnetización

Figura 5. Pérdidas en el Núcleo




7

Resolución:

a) Por Faraday:

)·cos(ˆ······ t B A N t

B A N

t N

t V ω ω

φ −=

∂

∂−=

∂

∂−=

∂

Ψ∂−=

(21)

Donde:

][377

][00242.0]lg[76.394.0·2·2 22

seg

rad

m pu A

=

===

ω (22)

Entonces:

)·377cos(4.255)(

)·377·cos(4.1·377·00242.0·200)(

t t V

t t V

−=

−= (23)

b) Por ley de Ampere:

mm L H N I ·ˆ·ˆ = (24)

Donde Lm = 28 [pulg] = 0.7112 [m]; ][4.1ˆ T B = ; según curva B-H, ][25ˆm

A H =

][09.0200

7112.0·25ˆ A I m == (25)

c) La característica B-H en escala lineal:




8

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

H [AV/m]

B [ T

]

Figura 6. Curva Lineal de Magnetización

Considerando que con ][4.1ˆ T B = el material no está totalmente saturado, lo que implicaque la corriente magnetizante es aproximadamente sinusoidal

][063.02

ˆ A

I I m

mef == (26)

d) De la curva de pérdidas, se tiene que con ][4.1ˆ T B = :

][1kg

W P c = (27)

De tal forma:

Masa P Pérdidas c ·= (28)

Donde :




9

][23.1725]lg[28.1052)·6·94.0·2·2(2)·2·94.0·2·8(

][65.7

·

32

3

cm puVolumen

cm

gr

Volumenasa

==+=

=

=

δ

δ

(29)

Donde :

][198.13198.13·1

][198.1365.7·25.17

W Pérdidas

Kg Masa

==⇒

== (30)

e) Se tiene que:

fe

ef

fe P

V R

2

= (31)

Donde:

][6.1802

4.255

2

ˆV

V V ef === (32)

Luego:

][3.2471198.13

6.180 2

Ω== fe R (33)

Anteriormente se obtuvo:

][063.0 A I mef = (34)

Por su parte, la corriente a través de la resistencia del fierro es:

][073.03.2471

6.180 A

R

V I

fe

ef

fe === (35)

Luego, sumando fasorialmente las corrientes se obtiene que:

][096.0220 A I I I m fe =+= (36)




10

3. Un transformador monofásico de 100 [kVA], 13200/230 [V], 50 [Hz], fue sometido aun ensayo en cortocircuito con corriente nominal, midiéndose 528 [V] y 1590 [W].Ensayado en vacío con tensión nominal se middió 4.5 [A] y 318 [W].

a) Determine los parámetros del circuito equivalente T y expréselos en (pu), enΩ referidos al devanado de alta tensión, y en Ω referidos al devanado de baja tensión b) Para una carga de 80 [kVA], cos(φ) = 0.8 capacitivo, determine las corrientes en lasramas del circuito equivalente y expréselas en (pu), en [A] referidas al lado de alta tensióny en [A] referidas al lado de baja tensión.c) Exprese las pérdidas nominales en (pu) y determine el rendimiento nominal deltransformador.d) Determine la regulación del transformador para las condiciones indicadas en b).e) Si la red es de 60 [Hz] y 13.2 [kV]. Determine las nuevas pérdidas del fierro nominales,suponiendo que las medidas a 50 [Hz] son 2/3 PH y 1/3 PF.

Resolución:

a) El ensayo de cortocircuito se alimenta desde alta tensión:

Figura 7. Ensayo de Cortocircuito

][016.010·100

1590)(

][040.013200

528)()(

3

_ pu

S

P r

puv z

n

ncu

e

cce

===

===

(37)

Entonces:

][037.0)()()( 22 pur z x eee =−=σ (38)

Las impedancias base:




11

][53.010·100

230

][174210·100

13200

3

22

3

22

Ω===

Ω===

b

bsbs

b

bp

bp

S

V Z

S

V Z

(39)

Luego, las impedancias en el lado de alta:

][5.64)·(

][9.27)·(

Ω==

Ω==

bpee

bpee

Z x X

Z r R

σ σ

(40)

Y en el lado de baja:

][0196.0)·(

][0085.0)·(

Ω==

Ω==

bsee

bsee

Z x X

Z r R

σ σ

(41)

Ensayo en vacío se alimenta desde baja tensión:

Figura 8. Ensayo de Vacío

Referido al lado de baja tensión

][4.166318

2302

0

2

Ω=== P

V R sn

fe (42)

Potencia reactiva en vacío:

][985)318()5.4·230(

22

0 VARQ=−=

(43)

][7.53985

2302

0

2

Ω===Q

V X sn

m (44)

Referido al lado de alta tensión:




12

][9.176)230

13200·(7.53)·('

][1.548)230

13200·(4.166)·('

22

22

Ω===

Ω===

k V

V X X

k V

V R R

sn

pn

mm

sn

pn

fe fe

(45)

En (pu):

][10153.0

7.53)(

][31453.0

4.166)(

pu Z

X x

pu Z

Rr

bs

mm

bs

fe

fe

===

===

(46)

b) Corriente en la carga, considerando ][º0230*

V V s ∠= y φ = arcos(0.8) = 36.9º

][º9.36348º0230

º9.3610·80 3

*

*arg

*

AV

S

I s

ac

s ∠=∠

∠== (47)

Figura 9. Circuito T equivalente

Caída de tensión en la rama de magnetización:

][º9.02.229)0196.0·0085.0·(21·

***

V V j I V s si ∠=++= (48)

Corriente magnetizante:




13

][º1.893.4º907.53

º9.02.229

·' *

*

A X j

V

I m

i

m −∠=∠

∠== (49)

Corriente por R fe:

][º9.04.14.166

º9.02.229' *

*

A R

V

I fe

i

fe ∠=∠

== (50)

La suma de (49) y (50) no da la corriente I':

][º1.715.4'''***

A I I I fem −∠=+= (51)

Luego la corriente primaria vista desde baja tensión:

][º2.366.346º1.715.4º9.36348''***

A I I I s p ∠=−∠+∠=+= (52)

Refiriendo ahora dichas corrientes al lado de alta tensión, según:

13200

230'·'·

1

2 I N

N I I == (53)

Entonces:

][º2.3604.6

][º9.0024.0

][1.89075.0

][º9.3606.6'

*

*

*

*

A I

A I

A I

A I

p

fe

m

s

∠=

∠=

−∠=

∠=

(54)

La corriente de base de alta tensión es:

][58.713200

10·100 3

A I bp == (55)

Luego las corrientes en (pu) son:




14

][º2.36797.058.7

º2.3604.6)(

][º9.00032.058.7

º9.0024.0)(

][º1.890099.058.7

º1.89075.0)(

][º9.368.058.7

º9.3606.6)(

*

*

*

*

*

*

*

*

pu I

I

i

pu I

I

i

pu I

I

i

pu I

I

i

bp

p

p

bp

fe

fe

bp

m

m

bp

s

s

∠=∠

==

∠=∠

==

−∠=−∠

==

∠=∠

==

(56)

c) Considerando que el ensayo de cortocircuito se realizó a corriente nominal, las pérdidas decobre nominales en (pu) son:

][0159.010·100

1590)(

3 _ pu p ncu == (57)

Considerando que el ensayo de vacío se realizó a tensión nominal, las pérdidas del fierro en(pu) son:

][00318.010·100

318)(

3 _ pu p n fe == (58)

Luego el rendimiento estará dado por:

%1.9800318.00159.01

1

_ _ _

_

_

_ =

++=

++==

ncun fenútil

nútil

nentrada

n salida

n P P P

P

P

P η (59)

d) La regulación está dada por:

)()·())·cos(( φ φ ε σ sen xr een += (60)

Además se tienen las siguientes relaciones para corrientes distintas a la nominal:

)(·

)(

)·(

)·cos(

)(

)·(

)(··

)·cos(·

_ _ _ _

φ φ φ φ ε

σ

σ sen

Z

V

I Z

X

Z

V

I Z

R

senV

I X

V

I R

bs

n s

s

bs

e

bs

n s

s

bs

e

n s

se

n s

se +=+= (61)




15

%735.0))6.0·(037.08.0·016.0(435

348

))()·())·cos(·(( _

−=−+=

+=

ε

φ φ ε σ sen xr I

I ee

n s

s

(62)

e) Se tiene:

.··44.4

· cte N

V B f == (63)

Luego las pérdidas de foucalt son constantes a cualquier frecuencia según:

2)··( B f k P F F = (64)

Sin embargo, las pérdidas por histéresis no lo son:

Bk B B f k B f k P H H H H '·)···(·· 2 === (65)

Dependen de la inducción, pero:

6

5

6

5

60

50

··

50

60

60

50

60

50

60605050

=⇒===⇒

=

H

H

Hz

Hz

Hz

Hz

Hz Hz Hz Hz

P

P

f

f

B

B

f B f B

(66)

Considerando los datos del enunciado:

][283

][177)318·6

5·(

3

2

][106318·3

1

6060 _ 60

60

60

W P P P

W P

W P

H F n fe

H

F

=+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==

==

(67)

4. De los ensayos de vacío y cortocircuito de un transformador monofásico de 20 [kVA],2400/240 [V], 60 [Hz] se obtuvo: con el devanado de alta tensión abierto V0 = 240 [V],I0 = 1.066 [A], P0 = 126.6 [W]; con el devanado de baja tensión cortocircuitado V cc =57.5 [V], Icc = 8.34 [A], Pcc = 284 [W]. Determine:

a) Los parámetros del circuito equivalente referidos al lado de baja tensión. b) La regulación y el rendimiento para plena carga con factor de potencia de la carga 0.8




16

inductivo.

Resolución:

c) El ensayo de cortocircuito se alimenta desde alta tensión:

Figura 10. Ensayo de Cortocircuito

][014.02400

10·20·

34.8

284·

1·)(

][024.02400

10·20·34.8

5.57·1·)(

2

3

2222

2

3

2

puV

S

I

P

Z I

P r

puV S

I V

Z I V z

pn

n

cc

cc

bpcc

cce

pn

n

cc

cc

bpcc

cce

====

====

(68)

Entonces:

][019.0)()()( 22 pur z x eee =−=σ (69)

Ensayo en vacío se alimenta desde baja tensión:

Figura 11. Ensayo de Vacío

Referido al lado de baja tensión

][4556.126

2402

0

20 Ω===

P

V R fe (70)

Potencia reactiva en vacío:




17

][222)6.126()066.1·240( 220 VARQ =−= (71)

][259222

2402

0

20 Ω===

Q

V X m (72)

La impedancia base de baja tensión es:

][88.220000

24022

Ω===n

snbs

S

V Z (73)

El circuito visto desde baja tensión es:

][º9.36348º0230

º9.3610·80 3

*

*arg

* AV

S

I s

ac

s∠=

∠

∠==

(74)


Considerando:

][259][455

][027.02

)·(

2'

][020.02

·

2'

Ω=Ω=

Ω====

Ω====

m

fe

bsee

p p

bsee p s

X R

Z x X X X

Z r R R R

σ σ

σ σ (75)

b) La regulación, con cos(φ) = 0.8 ind. (φ = 36.9º), está dada por:

%26.26.0·019.08.0·014.0

)()·())·cos((

=+=

+=

n

een sen xr

ε

φ φ ε σ (76)




18

Para obtener el rendimiento a plena carga consideremos:

][º9.36240

10·20

][º0240

3

*

*

A I

V V

s

s

=−∠=

∠=

(77)


La tensión en la rama de magnetización es:

][º2.07.242

]º90027.0020.0º·[9.363.83º0240)··(

*

***

V V

X j R I V V

i

s s s si

∠=

∠+−∠+∠=++= σ

(78)

Luego la corriente en la rama de magnetización:

][º4.6008.1

][º2.053.0455

º2.07.242

][º8.8994.0º90259

º2.07.242

·

***

*

*

*

* A I I I

A R

V

I

A X j

V

I

fem

fe

i

fe

m

i

m

−∠=+=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∠=∠

==

−∠=∠

∠==

(79)

Con esto:

][2.373.84'**

*

A I I I s p −∠=+= (80)

Ahora las potencia activa tanto en el cobre, el fierro y la carga son:




19

][3.15987)º9.36·cos(3.83·240)·cos(·

][8.127455·53.0·

][9.280020.0·8.83020.0·3.84·'·'

arg

22

2222

W I V P

W R I P

W R I R I P

s sac

fe fe fe

s s p pcu

===

===

=+=+=

φ

(81)

Entonces con esto último el rendimiento es:

%5.97arg

arg=

++=

fecuac

ac

P P P

P η (82)

Nota: Se sabe que Sn = V pn·I pn , lo que nos lleva a que:

n

pn

pn

pn

bpS

V

I

V Z

2

== (83)

Análogo para el secundario.

5. Un transformador monofásico de 50 [kVA], 7630/220 [V], 50 [Hz], tiene tensión decortocircuito de 3.6% y pérdidas de cobre nominales de 2.5%..

a) Demostrar que (pcu n) = (r e) y que (vcc) = (zcc). b) Calcule los valores en Ω de la resistencia y la reactancia de cortocircuito referidas aldevanado de alta tensión..c) El transformador tiene el 80% de la tensión nominal en el primario y entrega corrientenominal a una carga capacitiva pura.

c.1) Determine la tensión en el secundario en [V].c.2) Determine la regulación del transformador.c.3) Dibuje el diagrama fasorial.

Resolución:

a) Definiendo la impedancia base como:

n

nb

I

V Z = (84)

Entonces se tiene que:




20

])[(·

·)(

2 _

_ pur Z

R

I

V

R

V I

R I

S

P p e

b

e

n

n

e

nn

en

n

ncu

ncu ===== (85)

Figura 14. Circuito Simplificado del Ensayo CC

Según la figura anterior:

])[(·

)( pu z Z

Z

V

Z I

V

V v cc

b

cc

n

ccn

n

cccc ==== (86)

b) Se tiene:

][025.0100

5.2)()(

][036.0100

6.3)()(

_ pu pr

puv z

ncue

cccc

===

===

(87)

][026.0)()()( 22 pur z x ecc =−=σ (88)

La impedancia base de alta tensión es:

][116410·50

76303

22

Ω===n

pn

bpS

V Z (89)

Entonces los parámetros en Ω primarios:

][3.301164·026.0)·(][1.291164·025.0)·(Ω===

Ω===

bp

bpee

Z x X

Z r R

σ σ

(90)

c) Se tiene el siguiente circuito simplificado:




21

Figura 15. Circuito Simplificado

Trabajando en (pu) se tiene que (v p') = 0.8 [pu] e (i p') = 1. Por LVK:

)]·()·())·[('()'(**

ce p p x j x jr iv −+= σ (91)

)](0026.0·[025.0

º08.0º1

)]()·[()(

)'()'( *

*

c

ce

p

p

x j

x x jr

v

i

++

∠=∠

−+

=

α

σ (92)

Calculando el módulo de la corriente y despejando:

º88

826.0)(

)](0026.0[025.0

8.01

2

=⇒

=⇒

++=

α

c

c

x

x

(93)

c.1) La tensión en el secundario es:

][º27.181

º90826.0º·881·220)]·()['(

*

**

V V

x j I V V

c

c p snc

−∠=

−∠∠=−=

(94)

c.2) Consideremos la regulación como:

0

0

s

s s

V V V −=ε (95)

Donde Vs0 corresponde a la tensión en el secundario en vacío, y Vs corresponde a latensión en el secundario con carga. De este modo:




22

%24.38.0·220

7.1818.0·220

V

'

c

0

−=−

=−

=⇒

=

=

' V

V ' V

V

V V

p

c p

s

p s

ε

(96)

c.3) Diagrama fasorial:

Figura 16. Circuito Simplificado

Con esto se tiene:


Notar que la tensión del secundario es mayor que la del primario, esto es consecuencia de lacarga capacitiva, se tiene regulación negativa

6. Dos transformadores monofásicos de 400 [kVA] cada uno, con igual relación detransformación operan en paralelo alimentando a una carga de 300 [kW] con factorde potencia 0.8 capacitivo. Las impedancias de los transformadores son Za = 0.5 +

j·0.8 [Ω] y Zb = 0.75 + j·4 [Ω]. Calcule la potencia entregada por cada transformador.

Resolución:




23

a) Consideremos el siguiente circuito equivalente de la situación que se presenta:

Figura 18. Circuito Equivalente Simplificado

Se tiene que º9.36)8.0cos( −== ar φ y que:

][º9.36375º9.368.0*

kVA P

S cc −∠=−∠= (97)

Por LVK:

****

V V V V cba === (98)

Entonces, considerando las potencias:

][º9.36375*·*·

*·*·

*·*·

*****

*****

*****

kVA I V I V S

I V I V S

I V I V S

cccc

bbbb

aaaa

−∠===

==

==

(99)

Las corrientes por cada transformador son:

***

***

º·4.1719.0·

º·97.382.0·

c

ab

acb

c

ba

bca

I Z Z

Z I I

I

Z Z

Z I I

−∠=+

=

∠=

+

=

(100)

Así las potencias, reemplazando (99.3) son:




24

][5.1925.71*·º·4.1719.0*·

][º87.405.307*·º·97.382.0*·

*****

*****

kVA I V I V S

kVA I V I V S

cbb

caa

−∠=∠==

−∠=−∠==

(101)

7. El transformador de la figura es alimentado a través de una resistencia R = 100 [Ω]con la tensión rectangular de la figura. El núcleo tiene característica B – H de lafigura.

a) Grafique la corriente del primario I1(t) con t enntre 0 y 0.2 [s] b) Determine el valor efectivo de la tensión V2.

Ayuda: Cuantifique y grafique B(t).Datos: A = 40 [cm2], Lfe = 20 [cm], N1 = 500, N2 = 50, R = 100 [Ω]:

Figura 19. Resolución:




25

a) Cuando el transformador no se encuentra en estado de saturación la inductancia

magnetizante Lm tiende a ∞. Entonces la corriente del primario sea igual a cero, y latensión primaria E1 igual a V1.

Es necesario saber si el transformador está en estado de saturación o no en un semiperiodo.Para esto, se debe calcular el tiempo que tarda en cambiar de -1.5[T] a 1.5[T], a través de:

t A N

t V B

t

B A N

t N t V ∂=∂⇒

∂

∂=

∂

Φ∂= ·

·

)(···)(

1

1111 (102)

Entonces, considerando Br como 1.5[T], entonces la variación de B es de 2·Br, luego:

1

1

1

1

0 11

···2···2

)·(··

1·2

V A N Bt

A N t V B

t t V A N

B

r r

t

r

=⇒=

∂= ∫ (103)

Entonces evaluando, t = 0.03[s]. Considerando que un semiperiodo dura 0.05[s], eltransformador alcanza a saturarse en un semiperiodo.

Así, cuando el trafo no está saturado:

00

5.11 =⇒∞→== I

H

B feμ (104)

Cuando el trafo está saturado:

][211 A

R

V I == (105)

Para realizar los gráficos, se debe considerar

122211 10

1··)(··)( V V

t

B A N t V

t

B A N t V =

∂

∂=

∂

∂= (106)

⎩⎨⎧

≤≤∧≤≤≤≤∧≤≤=

][1.008.0][05.003.0];[2][08.005.0][03.00;0

1 st st A

st st I (107)

Se tiene entonces:




26

1030

20 4060

50 70 80 90 100

10 3020 40 6050 70 80 90 100

10 3020 40 6050 70 80 90 100

1030

20 4060

50 70 80 90 100t[ms]

V2[V]

I1[V]

B[T]

V2[V]

1.5

-1.5

200

-200

2

-2

20

-20

Figura 20. Gráficas

b) El valor efectivo de V2(t) es:

][75.7]03.0·2003.0·20·[1.0

1)·(·

1 22

0

222 V t t V

T V

T

ef =+=∂= ∫ (108)

8. Las dimensiones lineales del transformador A son el doble de las correspondientes altransformador B. Ambos transformadores tienen igual número de vueltas, láminas deigual espesor en el núcleo, la misma inducción de trabajo, igual densidad de corrientey la misma frecuencia. El diámetro de los conductores también está en relación 2 a 1.Determine:




27

a) Las potencias nominales B

A

P

P .

b) Las reactancias de magnetización B

A

X

X .

c) Las resistencias del fierro feB

feA

R

R .

Resolución:

a) Para conocer la relación de potencias nominales es necesario conocer las relaciones de lastensiones del primario y entre las corrientes del primario de uno y otro transformador.Según:

4·2ˆ····44,4

ˆ····44,4 2

1

1

1

1 ===⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

B

B

B

A

B

A

B B

A A

q

q

q

q

V

V

Bq f N V

Bq f N V (109)

4)·(

)·2·(

)·(

)·(

·

·2

2

2

2

1

1

1

1 ====⇒⎭⎬⎫

=

=

cB

cB

cB

cA

cB

cA

B

A

cB B

cA A

radio

radio

radio

radio

S

S

I

I

S J I

S J I

π

π

π

π (110)

De este modo:

16··

·

1

1

1

1

1

1

111

111 ==⇒

⎭

⎬⎫

=

=

B

A

B

A

B

A

B B B

A A A

I

I

V

V

P

P

I V P

I V P (111)

b) Las reactancias de magnetización están dadas por:

22

1·2·

··

··

··

··

2

2

2

22

22

====⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=ℜ

=

=ℜ

=

feA

feB

B

A

feB

B fe

feA

A fe

mB

mA

feB

B fe

B

mB

feA

A fe

A

mA

l

l

q

q

l

q N

l

q N

L

L

l

q N

N L

l

q N

N L

μ

μ

μ

μ

(112)

Entonces:

2·

·==

mB

mA

mB

mA

L

L

X

X

ω (113)

c) Según las pérdidas del fierro, con "cfe" definido como las pérdidas del fierro por unidad devolumen:




28

82·

·3 ===⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

B

A

feA

feA

B fe feA

A fe feA

Vol

Vol

P

P

Vol c P

Vol c P (114)

Así la relación entre las resistencias del fierro:

28

1·4· 2

21

21

21

21

===⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

feA

feB

B

A

feA

feA

feB

B feA

feA

A feA

P

P

V

V

R

R

P

V R

P

V R

(115)

9. Un generador alimenta a una industria mediante el circuito de la figura. El

transformador T2 está compuesto por 3 transformadores monofásicos de 333 [kVA],Z = 0.00145 + j·0.0078 [Ω] referida al lado de baja tensión. La línea de distribucióntiene una impedancia ZL = 0.14 + j·0.5 [Ω] por fase. La resistencia de cortocircuito deltransformador T1 es despreciable. ¿Cuál es el valor máximo que puede tener lareactancia de cortocircuito de T1 (en %) si la regulación máxima admisible es de 10 %cuando la industria trabaja a plena carga con factor de potencia 0.9?

Figura 21. Sistema de Distribución

Resolución:

a) La impedancia de cortocircuito de un transformador monofásico de T2 referida al lado dealta tensión es:

][78.0·145.0240

3

4160

)·0078.0·00145.0(240

3

4160

·'

2

*2

*2 Ω+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= j j Z Z (116)

El transformador está en delta estrella, es decir:




29

LL s fase p V

N

N V ·

1

2= (117)

Entonces, el circuito equivalente por fase referido al lado de la línea de distribución(4160[Vll]) resulta:

j·ZT1 j·0.51 j·0.780.14 0.145

Zc’

In

4160

3

ZL’ Z2’

Figura 22. Circuito Equivalente Referido a Línea de Distribución

Donde la corriente nominal es:

][8.1384160·3

10

·V3

6

LLn

3Ω===

n

n

S I

φ (118)

Según la ecuación de regulación:

·sen( φ s

V

·X I ( φφ·

V

·R I ε

T nT n

11

cos += (119)

Donde R T = 0.285[Ω], V1 = 2402[V], XT = XT1+1.29 [Ω].

][1.2

436.0·2402

)29.1·(8.1389.0·

2402

285.0·8.1381.0

1

1

Ω=⇒

++=

T

T

X

X

(120)

Llevándolo a porcentaje, se tiene antes que:

][3.178.138

2402 Ω=== fb

fb

b I

V Z (121)

De este modo:




30

%1.12100·% 11 ==

b

T T

Z

X X (122)

10. Un grupo formado por 3 transformadores monofásicos idénticos de 100 [kVA],2400/120 [V] conectados delta – estrella es alimentado a través de una línea deimpedancia Z = 0.8 + j·0.3 [Ω] por fase. La tensión al comienzo de la línea es 2400 [V]entre líneas. La prueba de uno de los transformadores con su lado de aja tensión encortocircuito ha entregado Vcc = 52 [V], Icc = 41.6 [A], Pcc = 950 [W].

a) Calcule la tensión entre líneas del secundario cuando se suministra corriente nominal auna carga trifásica con factor de potencia unitario. b) Calcule las corrientes en el primario y en el secundario del transformador y en losconductores de la línea cuando se produce un cortocircuito trifásico en los terminales delsecundario.c) Efectúe los cálculos anteriores usando el sistema por unidad.

Resolución:

a) Primero se debe obtener el circuito equivalente por fase:

Figura 23. Circuito Equivalente por Fase

Donde:

120

2400

2

1 = N

N (123)




31

Reflejando la impedancia de carga*C Z en el primario, resulta:

Figura 24. Circuito Equivalente por Fase Reflejado en el Primario

Donde:

2

2

1

*

1

22

2

12

1

1

*

' ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ===

N

N Z

N

N I

N

N V

I

V Z C C (124)

Debido a que el primario está en delta, entonces:

3

'**

1

*

C

TOTAL

Z Z

Z

+= (125)

Del ensayo de cortocircuito, con alimentación desde lado primario, se obtiene la magnitudde

*1 Z , su parte real con la ecuación de potencia y su parte imaginaria:

[ ]Ω=== 25.16.41

52*1

CC

CC

I

V Z (126)

[ ]Ω=== 55.06.41

950221

CC

CC

I

P R (127)

[ ]Ω=−= 12.121

211 R Z X σ (128)




32

Finalmente la impedancia es:

[ ]

[ ]Ω+=

Ω+=

37.018.03

12.155.0

*1

*1

j

Z

j Z

(129)

La carga tiene factor de potencia unitario:

2

2

1

*

'' ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ==

N

N R R Z C C C (130)

Resultando el circuito equivalente por fase:


La carga está alimentada con corriente nominal I1:

( )[ ] A

V

S I I

n LL

n

n 2.7224003

10·100·3

3

3

1

311 ==== φ (131)

Usando LVK:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++=

3

'*1

**1

*1

C

Lnn

R Z

Z I V

º2.72

3

'*1

*

*1

*1 α ∠=

++

=⇒C

L

n

n R Z

Z

V

I (132)

Reemplazando:




33

( ) ( )3

'37.018.03.08.0

º03

2400

º2.72C R

j j ++++

∠=∠α (133)

El módulo de dicha corriente es:

( )22

37.03.03

'18.08.0

3

2400

2.72

++⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

=

C R (134)

Con lo que se obtiene:

[ ]Ω= 6.54'C R º2−=α

(135)

Entonces, se tiene que las tensiones de fase del secundario suponiendo Dy0:

[ ]V R

I V C n º21314

3

6.54º·22.72

3

''

*1

*2 −∠=−∠== (136)

[ ]V N

N V V º2114

3

2400120

º·21314

3

'1

2

*2

*2 −∠=−∠==

(137)

Y la tensión entre líneas del secundario:

[ ]V V V LL º28197º·303*2

*2 ∠=+∠= (138)

b) Circuito equivalente por fase, al producirse un cortocircuito en los terminales delsecundario:

Figura 26. Circuito Equivalente por Fase, Cortocircuito de Terminales del Secundario




34

Se tiene entonces que la corriente por los conductores de línea del lado del primario es:

( ) ( )[ ] A

j j Z

Z

V

I

L

º34116737.018.03.08.0

º03

2400

3*

1

*

*1

*1 −∠=

+++

∠=

+

= (139)

Figura 27. Equivalencia de Corrientes

Por equivalencia según la figura, en los devanados del primario circula una corriente:

[ ] A

I

I º64674º303

*1

*1 −∠=−∠=Δ (140)

Y en los devanados del secundario:

[ ] A N

N I I S º6413480120

2400º·64674

2

1

*1

* −∠=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −∠== Δ (141)

c) En (pu) se tiene:

[ ] puV º01*1 ∠=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ (142)

Impedancia base del primario:

[ ]Ω=== 2.1910·100·32400 3

2

3

2

11φ n

nLLb

S V Z (143)

Luego las impedancias en (pu) son:




35

[ ] pu j

Z

Z

Z b

L

L º21045.02.19

3.08.0

1

*

*

∠=+

==⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ (144)

[ ] pu j

Z

Z Z

bº64021.02.19

37.018.033 1

*1

*

1

∠=+

==

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛

(145)

Figura 28. Circuito Equivalente por Fase en (pu).

Luego la corriente por los conductores de la línea (lado del primario):

[ ] pu

Z

Z

V

I

L

º341.16º64021.0º21045.0

º01

3*1

*

*1

*1 −∠=

∠+∠

∠=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ (146)

Como se está trabajando en (pu) resulta:

[ ] pu I I I ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ

*1

*1

*2 (147)

Considerando las corrientes bases:

[ ] AV

S I

nLL

n

b 2.722400·3

10·100·3

3

3

1

31 === φ (148)

[ ] A I

I bb 7.41

31

1 ==Δ (149)

( )[ ] A

V

S I

nLL

n

b 3.833120·3·3

10·100·3

3

3

2

32 === φ (150)

Comprobando las corrientes obtenidas anteriormente son:

i. en línea del primario:




36

[ ] A I I I b º3411622.72º·341.161*1

*1 −∠=−∠=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ = 51)

ii. En devanados del primario:

[ ] A I I I b º64671º307.41º·341.16º301*1

*1 −∠=−∠−∠=−∠⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ = ΔΔ 52)

iii. En devanados del secundario:

[ ] A I I I bS S S º34134163.833º·341.16**

−∠=−∠=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ = (153)

Nota: Las pequeñas diferencias se deben a la aproximación y no uso de decimales.

11. La figura simboliza a un transformador trifásico de 3 devanados con el primario enconexión estrella, un secundario en delta y el otro secundario (terciario) en estrella.Este transformador alimenta a 2 rectificadores controlados, tal como se muestra en lafigura, en lo que se conoce como rectificador de 12 pulsos, equipo muy utilizado en elcontrol de alta potencia.

a) Haga el conexionado completo del transformador, especificando cómo van las bobinas

en el núcleo, considerando una conexión del tipo Yd11 (P-S) e Yy0 (P-T). b) Determine la relación de transformación entre P-S y P-T para que las tensionessecundarias tengan igual valor,c) ¿Cuál es el ángulo de desfase entre las tensiones de los secundarios?

Figura 29. Transformador Trifásico




37

Resolución:

a) Entre primario P y secundario S, suponiendo configuración Yd11:

Figura 30. Diagrama Fasorial entre P y S

Entre primario P y secundario T (terciario), suponiendo configuración Yy0:

Figura 31. Diagrama Fasorial entre P y T

Las conexiones son como se muestra a continuación:

Figura 32. Conexiones




38

b) Se requiere la siguiente condición:

TLLSLL V V = (154)

Considerando las siguientes relaciones de S y T con respecto a P:

SLL

PLL

S

P

V

V

N

N =

3

S

P SLL PLL

N

N V V

3=

(155)

TLL

PLL

T

P

V

V

N

N = (156)

Reemplazando VPLL en la segunda relación, resulta:

TLL

S

P SLL

T

P

V

N

N V

N

N

3

= (157)

Considerando la condición requerida, TLLSLL V V = , se llega a la relación entre las

vueltas en los devanados del secundario y el terciario:

S

P

T

P

N

N

N

N 3

=

T S N N 3=⇒

(158)

c) Al observar los diagramas fasoriales de la parte a) se observa que, el ángulo entre*aS V y

*aT V es 30º.

12. Un transformador monofásico de 50 [kVA], 7620/200 [V], 50 [Hz] tiene unaimpedancia de cortocircuito reflejada al devanado de alta tensión Zcc = 23+j·58 [ ] yes alimentado con 7.62 [kV] en el primario.

a) Determine la corriente (en [A]) que circula por el primario cuando en el secundario seconecta un condensador de 3180 [μF].




39

b) Determine la tensión de salida en la carga (en [V]) con la carga del punto a).c) Tres de estos transformadores se conectan formando un banco trifásico con conexióntriángulo en el lado de alta tensión y conexión estrella en el lado de baja tensión. El bancotrifásico es conectado a una red de 7.62 [kV] y alimenta una carga resistiva trifásica enconexión estrella de 2 [Ω] por fase. Determine:

i. El circuito equivalente por fase referido al lado de baja tensión.ii. La tensión en la carga.iii. Las corrientes (magnitud) entregadas por la red de alimentación

Resolución:

a) Consideremos el siguiente circuito equivalente simplificado:

Figura 33. Circuito Equivalente

Se tiene entonces que la impedancia del condensador es:

][110·3180·50··2

1

·

16 Ω=== −π ω C

X c (159)

Luego la impedancia del condensador reflejada al primario:

][1452200

7620·1·'

2

2

22

21

22

21

21 Ω=====

V

V X

X

V

V

P

V X c

c

c (160)

La corriente por el primario es entonces:

][º8946.5)145258·(23

º07620

'·*

*1

* A

j X j Z

V I

ccc

∠=−+

∠=

−= (161)

b) Luego la tensión que cae en el condensador es:




40

][º17928º901452º·896.54)'··('**

V X j I V cc −∠=−∠∠=−= (162)

Es necesario ahora reflejar esta tensión al secundario, para ello:

][º108.2087620200'·'·

1

2 V V N N V V ccc −∠=== (163)

c) Consideremos la figura:

Figura 34. Circuito Delta Estrella

Pasándolo a equivalente estrella – estrella:


Luego, el circuito equivalente por fase:




41


Luego, referido a baja tensión:

040.0·016.03

'

7620200)·58·23(·

3

·33

'

*

22

1

2

*

2

1

2**

j

Z

j N N Z

N N

Z Z

cc

cc

cccc

+=

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +=⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ =

⎟⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

(164)

Luego la tensión que cae en la carga se obtiene con un divisor de tensión, y es de:

][4.198

040.0)2016.0(

2·200

22

V V c =

++

= (165)

Y por último la corriente de entrada. Para ello calculamos primero la corriente que pasa por la carga, y que es la corriente que entrega el secundario del trafo.

][2.992

4.198' A

R

V I c === (166)

Finalmente la corriente por las líneas de alta tensión:

][5.4

3

7620200

·2.99

3

'·1

2 A N

N I I =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= (167)




42

13. Dibuje el diagrama de conexiones de un transformador trifásico:

a) Yd1.

b) Dy11.c) Yz5

Resolución:

Según VDE 0532 se tiene que la primera letra indica la forma de conexión del pimario (D:Delta, Y: estrella). La segunda determina la forma de conexión del secundario (d: delta, y:estrella, z: zigzag). Y finalmente el número "a" indica 30º·a de desfase entre las tensionesdel primario y secundario.

Entonces se tiene:

a) Yd1: Estrella – Delta con 30 º de desfase.

b) Dy11: Delta – Estrella con desfase de 330º (-30º).

c) Yz5: Estrella –Zigzag con 150º de desfase.



Sistemas Electromecánicos, Guía III:”Fuerzas Electromagnéticas

1

GUÍA III : “FUERZAS ELECTROMAGNÉTICAS”

1. El núcleo de la figura 1 tiene una permeabilidad del fierro infinita y sección transver-sal de 9 [cm

2]. El devanado tiene 250 [vueltas] y una resistencia de 7,5 [Ω]. Las dos

partes del núcleo están separadas una distancia de X = 1 [mm].

a) Se conecta a una fuente de 40 [V] de CC. Determine la fuerza total que actúa sobre la parte móvil. b) La bobina se conecta a una fuente de 100 [Vef ] y 60 [Hz]. Determine el valor de la in-ducción máxima en la bobina. Determine el valor medio de la fuerza desarrollada, comenteel signo de la fuerza de origen eléctrica en los puntos a) y b).

Figura 1. Núcleo

Resolución:

a) Se sabe que la fuerza eléctrica está dada por:

xi f e∂

Ψ∂= ··

2

1 (1)

Donde i se puede determinar por Ley de Ohm:

][33,55,7

40 A

R

V I === (2)




2

Luego ψ está dado por:

A H ·· N· N·B·A N· oφ ===Ψ (3)

Posteriormente, aplicando Ley de Àmpere:

x

I N H

·2

·= (4)

De este modo:

2

2

0

02

·2···

·2

···

x A I N

x

x

A I N

µ

µ

−=∂Ψ∂⇒

=Ψ

(5)

Finalmente f e queda:

2

220 ···

·4

1 A I N f e

µ −= (6)

Ahora evaluando, se tiene que | f e| = 502[N].

b) Consideremos el siguiente circuito eléctrico equivalente.


Luego se sabe que la inductancia L puede determinarse según:

][35·2

·· 022

mH x

A N N L ==

ℜ=

µ (7)




3

Por consiguiente:

][2,1310·35·60··2· 3 Ω=== −π ω L X L (8)

Con esto la corriente I, y la tensión VL son:

][º4,6059,62,13·5,7

0100 A

j I −∠=

+

∠=

• (9)

][º6,2987·· V X j I V L L ∠==••

(10)

Luego la inducción máxima es:

][45,110·9·250·60·44,4

87

···44,4ˆ 4 T A N f

V

B L

=== − (11)

Ahora bien

)·(·ˆ··)(

)·(·45,1)·(·ˆ)(

t sen B A N t

t sent sen Bt B

ω

ω ω

=Ψ

== (12)

Luego, usando Ley de Àmpere y la ecuación (12).

N

xt sen Bi

·2·

)·(·ˆ

0µ

ω = (13)

Con esto f e queda, considerando que ψ no depende de x.

0

22 )·(··ˆ)·(·ˆ·

·

1))··(·ˆ···(

2

1··

2

1

µ

ω ω

µ ω

t sen A Bt sen B

N t sen B N A

x

i f

o

e −=−=∂

∂Ψ−= (14)

Luego:

][5,754

])[·(·1509 2

N f

N t sen f

e

e

−=

−= ω (15)




4

2. La figura muestra la sección transversal de un actuador magnético, cilindrico. E

émbolo, de sección A = 15[cm2], se desliza libremente por un agujero circular en l

carcaza. El devanado tiene 3000 vueltas y el material magnético puede se

considerado perfecto. ( µfe=∞).

Figura 3. Actuador magnético

a) Determine el valor de la inductancia como función de la distancia x. b) Si por el devanado circula una corriente continua de 1.5 [A], calcule la fuerzamagnética ejercida sobre el émbolo cuando x = 4 [mm].

Resolución:

a) La inductancia está dada por:

T

N x L

ℜ=

2

)( (16)

Dado que µfe → ∞, aireT ℜ=ℜ :

][10·69.1

·

)(·

2

0

2

H x

A x

N x L

A

x

o

T

−

==→=ℜ

µ µ

(17)

b) La fuerza magnética es:

2

22

222 ··

··2

1)

··(··

2

1··

2

1 A N I

x

A N

x I

x

L I f oo

e

µ µ −=

∂

∂=

∂

∂= (18)




5

Por lo tanto:

][22.1192004.0

10·15·10··4·3000·5.1·

2

12

4722

N f e =−=−−π

(19)

3. El relé que se muestra en la figura 3 está hecho de un material magnético de µ→∞

tiene un embolo móvil cuyo material también tiene permeabilidad infinita. La altur

del embolo es mucho mayor que la longitud del entrehierro (h >> g). Datos: N = 100

[vueltas], g = 0,002 [m], d = 0,15[m], l = 0,1[m], i = 10[A].

Figura 4. Relé

a) Calcule la energía magnética almacenada Wmag como función de la posición del embolo(0 < x < d).

b) Calcule la fuerza sobre el embolo como función de x cuando se mantiene constante lacorriente de la bobina en 10 [A].

Resolución:

c) Se sabe que:

g

A N x L

·2

··)( 0

2 µ = (20)

Donde A es una función de x, de la forma:

)1(·)·(d

xd l xd l A −=−= (21)




6

Por lo tanto L(x) queda:

)1(·2

···)( 0

2

d

x

g

d l N x L −=

µ (22)

La energía magnética está dada por:

)1·(·4

····)·(·

2

1 20

22

d

x

g

I d l N I x LW mag −==

µ (23)

Finalmente:

d x J x

W mag <<−= 0])[15,0

1·(5,235 (24)

d) Se sabe que:

x

W f

mag

e∂

∂= (25)

Por lo tanto:

][15705,235

N d

f e == (26)

4. Se tiene el sistema magnético doblemente excitado de la figura 5, en el que se pide.

Figura 5. Sistema magnético doblemente excitado




7

a) Determinar expresiones para las inductancias propias y mutuas en función de θr . b) Determine el torque.c) Señale como debe modificarse la construcción física del aparato para lograr.

i) 0=∂

∂

r

s L

θ ii) 0=

∂

∂

r

r L

θ

Resolución:

a) Estator:

l

N A N L s

22 ··µ =

ℜ= (27)

Ahora bien si θr es 0 ó π, entonces Ls es máximo, cuando es π/2 es mínimo. Por lo tanto:

2020 )·2·cos( s sr s s s L L L L L <+= θ (28)

Rotor:

l

N A N Lr

22 ··µ =

ℜ= (29)

Si θr es 0 ó π, entonces Ls es máximo, cuando es π/2 es mínimo. Por lo tanto:

2020)·2·cos(

sr r r r r L L L L L <+= θ

(30)

Inductancia Mutua:

Lrs es máxima si θr = 0 (máxima positiva) ó θr = π (máxima negativa). Y es mínima (Lrs = 0si θr = ± π/2. Por lo tanto:

)·cos(0 r srs L L θ = (31)

b) La energía está dada según:

r srsr r s sr r s ii Li Li Lii E ··)··(2

1),,( 22 ++=θ (32)

Con lo que se obtiene el torque:




8

)(···)·2()···(

··)··(2

1

022

22

22

r rsr sr r r s s

r

rsr s

r

r r

r

s s

r

sen Lii sen Li LiT

Lii

Li

Li

E T

θ θ

θ θ θ θ

−+−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂=

(33)

c) Con:

.0 cte L L

s s =⇒=

∂

∂

θ (34)


Con:

)·cos(

)·2·cos(

00

0

21

r rsrs

sr

r s

r

r

r

r

L L

L L

L L L

L L

θ

θ

θ θ

=

=

+=⇒

≠∂

∂∧=

∂

∂

(35)

·

x

is





9

5. En el sistema mono excitado de la figura el rotor gira a una velocidad en estad

estacionario ωr. El devanado es alimentado con corriente alterna ( i(t) = imax·sen(ωe·t

). Hallar la velocidad a la cual debe ser impulsado la parte rotatoria para obtene

movimiento continuo (Tmedio ≠ 0).

Figura 8. Sistema monoexcitado

Resolución:

a) La condición para movimiento continuo Te ≠ 0 implica que ωe = ωr . Luego el rotor debe seimpulsado a ωr. Esto se demuestra a continuación.Sea δ(t) el ángulo del rotor para un tiempo t, expresado según:

)0(·)( δ ω δ += t t r (36)

Se define también el torque eléctrico:

δ

δ

∂∂= ),(i E

T e (37)

Dado que L1 = L·sen(2·δ), y desarrollando (31):

)·2()··(·ˆ· 22δ ω sent seni LT r e −= (38)

Luego el torque medio:

)·()))0(··(2()··(··(·21 22·2

0 t t sent sen LiT r r ee ω δ ω ω π

π ∂+∫−= (39)

Usando la propiedad trigonométrica sen2(t)= (1-cos2(t))/2, y desarrollando se obtiene que:

)·())0()·((2(·8

· 20

2

t t sen Li

T r er e ω δ ω ω π

π ∂+−∫= (40)




10

Pero, dado que el torque medio es distinto de 0, ωr = ωe.

0)0(0))0(·2(

4

·

)·())0(·2(·8

·

2

20

2

≠≠=

∂∫=

δ δ

ω δ π

π

ssi sen Li

T

t sen Li

T

e

r e

(41)

6. En el transductor de la figura se tiene N1 = 50 [vueltas] e igual a N2, g = 1 [mm], e

radio es de 10 [cm] y el largo axial es de 15 [cm]. Determine:

a) Inductancia L11. b) El torque desarrollado si las corrientes por las bobinas son iguales a i1 = i2 = 2 [Adc].

Figura 9. Tranductor

Resolución:

a)

0

21

11

···

·2

µ π l R

g

N L

T

T

=ℜ

ℜ=

(42)

Así:




11

][74·2

···· 02

111 mH

g

l R N L ==

µ π (43)

b) Primero se necesita determinar la forma del campo en el entrehierro:

Figura 10. Campo en el entrehierro

][126.0·2

··ˆ 2 T g

I N B r o == (44)

Luego la inductancia mutua es:

Figura 11. Campo en el entrehierro

Entonces el flujo en la bobina del rotor debido a la corriente por el estator es:




12

)·2

1·(···

········)·(

21

21

π

δ π

θ θ θ θ δ π

π

π

δ

δ π

δ

−=Φ

∂−∂=∂=Φ ∫∫∫++

R L B

R L B R L Bk R L B

(45)

Luego el flujo:

)·2

1·(····2

···· 10

2121π

δ π

µ −=Φ=Ψ R L

g

I N N N r e

r (46)

Entonces la inductancia es:

][3.49ˆ)

·2

1·(ˆ

)·2

1·(····2

··

21

2121

0

21

2121

mH L

L L

R L g

N N

I I L r e

=

−=

−==

Ψ=

π

δ

π

δ π

(47)

Entonces:

Figura 12. Inductancia y Torque eléctrico




13

Donde el torque está dado por:

]·[126.0

2·ˆ·))·21·(ˆ(·

··

212212

2121

m N T

L I L

L

I T

LiiT

−=

−=−∂∂

∂

=

∂

∂=

π π δ

δ

δ

(48)

con δ entre 0 y π

7. El actuador rotatorio de la figura tiene un devanado de 100 [vueltas] y un

reluctancia que puede aproximarse por la funcion: ]

1

)[·2·cos(10·210·3)(55

H r r θ θ −=ℜSi el rotor es mantenido en posición θr = 30 º por una cuerda (como se muestra en l

figura) y el devanado es alimentado por una tensión alterna de 100 [Vrms], 50 [Hz

Calcule la tensión (fuerza) promedio a que es sometida la cuerda.


Resolución:

a) Si se aplica una tensión alterna a los terminales del devanado se establecerá un flujsinusoidal independiente de la posición del rotor:




14

)·50··2cos(2

)(

)·50··2(·2·100

t t

t sent

V

π π

π

=Φ⇒

=∂

Φ∂−=

(49)

Dicho flujo si bien varía en función del tiempo, es constante respecto de cambios en l posición del rotor. Sabemos que para condición de flujo constante:

r

m

e

E T

θ ∂

∂−= (50)

2

222 ·

2

1

2

1·

2

1

N Li L E m

ℜΦ=

Φ== (51)

Reemplazando (40) en (39):

)·2(·10·22

1 5

2

2

2

2

r

r

e sen N N

T θ θ

Φ−=

∂

∂ℜΦ−= (52)

Ahora reemplazando la expresión de flujo de (38):

)2()···100(cos210·4

)( 2

2

2

5

r e sent N

t T θ π π ⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= (53)

Luego el torque eléctrico medio:

∫ ∂−=T

r et t

T sen

N T

0

2

22

5

)··100(cos1

)2(··

10·4π θ

π (54)

Donde T es el periodo de cos2(100·π·t), esto es T = 10 [ms]. Es sabido que el valor medide dicha función es 1/2.

][755,1)2(·

10·222

5 Nm sen N

T r e=−= θ

π (55)

Dado que el brazo es de 5 [cm]:




15

][2,70)º60cos(

1,3510·5

755,12

N F

F

F

n

cuerda

n

==

==−

(56)

8. El actuador de la figura tiene una sección de 2 x 2 [cm2] y un entrehierro de 1 [mm

cuando los elementos del núcleo están juntos. El devanado es de 200 [vueltas] y 5 [Ω

de resistencia. Si se alimenta el devanado con 20 [Vdc], calcule la máxima masa que s

puede colgar para que siga junto.

M

Figura 14. Electro-imán

Resolución:

La corriente por el devanado es:

][4 A R

V I == (57)

Con esto podemos obtener la energía:.

x

A N I A

x

I N N I E

A B N I I E

oo

m

m

···

4

1)·

·2

···(·

2

1

···

2

1·

2

1

22 µ µ ==

=Φ=

(58)

La fuerza es entonces:




16

][4,80···

4

12

22

N A I N

x

E f om

e −=−=∂

∂=

µ (59)

El signo negativo indica que la fuerza es de atracción. Así, se puede colgar una masa d peso menor o igual a f e

][2,8· Kg M f g M e =⇒= (60)



Sistemas Electromecánicos, Guía IV:”Tensiones Inducidas y Campos Magnéticos en Devanados

1

GUÍA IV : “TENSIONES INDUCIDAS Y CAMPOS MAGNÉTICOS EN

DEVANADOS”

1. Una máquina tiene un devanado de 2 polos distribuidos en 24 ranuras en el estator. E

rotor tiene un devanado monofásico alimentado con corriente continua a través de a-

nillos deslizantes y produce una inducción magnética sinusoidal con un valor máximo

Bm = 0,7 [T]. El estator tiene un largo axial de 30 [cm] y un radio de 15 [cm]. El rotor

es impulsado a 1500 [rpm]. Determinar:

a) Velocidad del campo respecto del rotor. b) Frecuencia de las tensiones inducidas en el estator.c) Número de vueltas Nr en cada ranura del estator necesarias para obtener una tensión

efectiva de 670 [V] por fase.d) Valor efectivo de la tensión V b-a’ mostrada en la figura considerando una tensiónefectiva por fase de 670 [V]

Figura 1. Devanado

Resolución:

a) El campo gira junto con el rotor.

0/ =rotor campov (1) b) La frecuencia del estator está dada por:




4

][56.56707.0·20·2·2

707.0

1 _

3 _

vueltas N

f

efect

dist

==

= (17)

b) Considerando un par de polos n = 1500[rpm] luego:

][50][50··260

··211 Hz f

s

rad n p =⇒== π

π ω (18)

Por consiguiente:

][2.0ˆ);·(·ˆ 11 Wbcont sen =+= φ γ ω φ φ (19) Entonces:

)··cos(··2.0

)·(·2.0··

111

11

γ ω ω

γ ω φ

+−=∂

Ψ∂−=⇒

+==Ψ

t N t

V

t sen N N

ef

ef ef

(20)

Luego el valor efectivo inducido en cada fase del estator:

][1716··2.0·44.42

··2·2.0

2

··2.01

·11V N f

N f N V ef

ef ef

ef ====π ω

(21) Debido a que los ejes magnéticos de las bobinas del estator de las 3 fases están desfasadoen 120º, las tensiones inducidas en estas fases también están desfasadas en 120º

3. Una máquina tiene un devanado trifásico de 2 polos en el estator, distribuido en 2

ranuras con Ne = 25 [vueltas] en cada una. El radio del rotor es de 10 [cm], el larg

axial es de 50 [cm] y el entrehierro tiene un ancho de 1 [mm]. El devanado del estato

es alimentado por una corriente trifásica de 10 [Aef ] y 50 [Hz]. En el rotor se tienen

bobinas concentradas 1-1’ y 2-2’ de Nr = 10 [vueltas] cada una. Tal como se muestr

en la figura.




5

Figura 2. Máquina

a) Calcule el factor de devanado para la fundamental del devanado del estator.

b) Calcule la inducción máxima fundamental producida para una fase del estator.c) Calcule la expresión del campo fundamental resultante del devanado trifásico Bres(θ,t)cuando el valor máximo fundamental producido por una fase es de B1max=1,2[T].d) El roto está detenido y se tiene el campo del punto c):

d.1) Calcule el valor efectivo de las tensiones en el rotor V1-1’ y |V1-1’+V2-2’|.d.2) ¿Cuál es la frecuencia de dichas tensiones?

e) Determine la frecuencia de las tensiones inducidas en la bobina 1-1’ cuando el rotor gira a:

e.1) 3000 [rpm]e.2) -3000[rpm]

Resolución:

a) Tenemos:

4··2

][º15··2

==

==

m p

z q

z

pelect

π β

(22)

Luego:

958,0

2··

2··

1 =

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

= β

β

n senq

nq sen

f dev (23)




6

b) Se sabe que:

][08,14

·2

·ˆ··ˆ1

01 T f

g

q I N B dev

est e ==π

µ (24)

c) La inducción magnética resultante de un devanado trifásico es un campo giratorio:

)·(·ˆ2

3),( 1 t sen Bt Bres ω θ θ −= (25)

Dado que ω = 2·π·f = 314 [rad/s]:

)·314(·8,1),( t sent Bres −= θ θ (26) d) Tensión en 1-1’:

][400ˆ·····22

1'11 V B N Rl V resr efec ==− ω (27)

V1-1’ y V2-2’ están desfasados en 90º, ya que las bobinas lo están también entre sí en 90ºEntonces

][566·2 '11'22'11 V V V V ==+ −−− (28) Y la frecuencia de las tensiones inducidas en el rotor es:

][5060

3000·1

60

· Hz

p f ===

η (29)

e) Cuando el rotor gira a 3000 [rpm], el campo está estacionario con respecto al rotor, de estmodo:

00 '22'11 === −− V V f r (30)

Ahora bien, cuando el rotor gira a la misma velocidad en sentido opuesto, el campo gira η’ = 6000 [rpm] respecto del rotor. Por lo tanto:

][10060

'· Hz

p f r ==

η (31)




7

4. Determine el número de vueltas efectivas de un devanado trifásico conexión estrella

de una capa, de 4 polos, de 2 ranuras por polo y por fase para la fundamental y quint

armónica. Cada bobina tiene 60 vueltas. Dibuje el conexionado del devanado

Figura 3. Máquina

Resolución:

a) El factor de distribución está dado por::

)2/·(·

)2/··( _

β

β

n senq

nq sen f ndist

= (32) Donde:

][º30····2

··2··2eli

qmqm p

p

z

p====

π π π β (33)

Luego:

259.0)2/º30·5(·2

)2/º30·5·2(

966.0)2/º30·1(·2

)2/º30·1·2(

5 _

1 _

==

==

sen

sen f

sen

sen f

dist

dist

(34)

El número total de vueltas por fase es:

][240·· vueltas N pq N bobT == (35)




8

Las vueltas efectivas son entonces:

][16.62·

][84.231·

5 _ 5 _

1 _ 1 _

vueltas N f N

vueltas N f N

T dist ef

T dist ef

==

== (36)

Y el número de ranuras:

][24

6

2··2··2ranuras

p z ===

π

π

β

π

(37)

b) Para realizar el conexionado del devanado es necesario conocer:

][3

]/[2

][2

fasesm

fase x poloranurasq

polo pares p

=

=

=

Y conexión

ranuras z

eli

][24

][º30

=

= β

(38)

Figura 4. Conexionado Extendido




9

Figura 5.

Conexionado Circular

5. La máquina de la figura tiene el rotor alimentado con una corriente continua Ir = 1

[A] mediante anillos deslizantes. El rotor es impulsado por otra maquina motriz a un

velocidad de 3000 [rpm].

Figura 6.

Máquina

a) Grafique el campo del rotor.. b) Calcule la amplitud de la componente de trecera armónica del campo del rotor..c) ¿Cuánto vale la tensión inducida en el rotor?d) Dibuje la tensión inducida en el estator. En la misma figura dibuje además lafundamental y 3ª armónica de tensión. Especifique.




10

e) ¿Vef 1 estator ?f) Determine la inductancia del rotor.

Resolución:

c) Utilizando ley de Àmpere:

g B

g H N I r r ·2ˆ

·2·ˆ·0µ

== (39) Despejando (23) se tiene que:

][75,0··2

··ˆ T p g

N I B r r o == (40)

Luego la gráfica queda:

Figura 7. Campo del Rotor

d) Se sabe que:

][32,0ˆ·3

4

3

ˆˆ

ˆ4ˆ

13

1

T B B

B

B B

===

=

π

π (41)

e) Dado que no existe una corriente distinta a la del rotor que produzca un campo, entonces eflujo por el rotor es constante, luego la tensión inducida en el rotor es 0.




11

f) Se tiene:

][201

][50

]/[50··260

··2

11

1

1

ms f

T

Hz f

srad p

==⇒

=⇒

== π η

π ω

(42)

][67,61

][150·3

33

13

ms f

T

Hz f f

==⇒

==⇒

(43)

La amplitud del Vestator es:

][360ˆ·3

4ˆ

][1080ˆ4ˆ

][2,848ˆ·····2ˆ

3

1

1

V V V

V V V

V B N Rl V

estator estator

estator estator

sestator

==

==

==

π

π

ω

(44)

g) ][764

21

1 V V

V estator

efect estator == (45) h) La reluctancia es:

l R

g

o

T ···

·2

π µ =ℜ (46)

De este modo la reluctancia es:

][296·2

····2

2

mH g

l R N L

N L

or

r

T

r r

==

ℜ=

π µ (47)




12

6. Demuestre que un devanado bifásico alimentado por corrientes bifásicas produce un

campo giratorio. Considere que el devanado bifásico tiene sus ejes magnético

desplazados en 90 [ºeli], de acuerdo a:

)cos(2

)(·),( θ θ

t i N t FMM

aef

a= (48)

)(2

)(·),( θ θ sent i N

t FMM bef

b= (49)

Donde las corrientes bifásicas están expresadas por:

)··cos(ˆ)( t I t ia ω = (50) )·(·ˆ)( t sen I t ib ω = (51)

Resolución:

a) Consideremos

)2

cos(2

)(·),(

π θ θ −=

t i N t FMM

bef

b (52) )

2··cos(ˆ)(

π ω −= t I t ib (53)

Entonces:

)cos(2

)··cos(ˆ·),( θ

ω θ

t I N t FMM

ef

a = (54)

)2

cos(2

)2

··cos(ˆ·),(

π θ

π ω

θ −−

=t I N

t FMM ef

b (55)

La FMM resultantes es:

),(),(),( t FMM t FMM t FMM ba θ θ θ += (56) Usando en (54) y (55):

)]cos()[cos(2

1))·cos(cos( y x y x y x −++= (57)




13

Resulta:

)]·cos()··[cos(4

ˆ·),( t t

I N t FMM

ef

a ω θ ω θ θ −++= (58) )]·cos()··[cos(

4

ˆ·),( t t

I N t FMM

ef

b ω θ π ω θ θ −+−+= (59) Reemplazando en (56):

)]··cos(2)·cos()··[cos(4

ˆ·),( t t t

I N t FMM

ef ω θ π ω θ ω θ θ −+−+++= (60)

Donde:

)·cos()·cos( t t ω θ π ω θ +−=−+ (61) Entonces:

)··cos(2

ˆ·)]··cos(2·[

4

ˆ·),( t

I N t

I N t FMM

ef ef ω θ ω θ θ −=−= (62)

El cual corresponde aun campo giratorio de frecuencia ][ s

rad ω .

7. La figura muestra un molino usado para la molienda de cobre, el que es movido po

un motor sincrónico de 70 polos con un devanado trifásico en el estator. El variado

de frecuencia entrega en su salida corrientes trifásicas de frecuencia variable.

a) ¿Cuánto vale el número pares de polos? b) Escriba la expresión del campo fundamental producido por una fase del estator,despreciando las armónicas y considerando que el valor máximo de la inducción 0,8 [T].Cuantifique.c) Escriba la expresión del campo fundamental resultante del devanado trifásico.Cuantifique.d) ¿Qué frecuencia f 0 debe generar el convertidor para que el molino gire a 9 [rpm].(Nota: En un motor sincrónico el motor gira siempre a la misma velocidad del campogiratorio.)




14

Figura 8. Molienda de cobre.

Resolución:

b) El número de pares de polos es:

352

70== p (63)

c)

])[···2()··35(·8,0

)···2()··(·ˆ

01

01

T t f sen sen B

t f sen p sen B B

π θ

π θ

φ

φ

=

= (64)

d)

])[···2·35(·2,1)···2·(·

ˆ·2

3

03

03

T t f sen B

t f p sen B B

π θ

π θ

φ

φ

−=−= (65)

e)

][25,5

60

·

··2

60

··2

0

0

Hz p

f

p

f r

==

==

η

π η π ω

(66)

8. Una máquina rotatoria de 2 polos tiene un devanado trifásico de estator distribuido e

18 ranuras, cada una de 20 [vueltas]. El rotor está construido con un devanad

concentrado de 100 [vueltas] y las siguientes dimensiones geométricas: L = 30 [cm], R

= 5 [cm], g = 1 [mm].




15

a) Calcule los factores de devanado del estator para la fundamental y 5ª armónica. b) Si por el devanado del rotor circulan 10 [A] y el rotor gira a velocidad constante de3000 [rpm]. Determine la amplitud de la fundamental de la tensión inducida en el estator.c) Determine la tensión inducida en el devanado de rotor cuanto este gira a una velocidadde 1500 [rpm] y el estator es alimentado con corrientes ia, i b, ic desfasadas 120 º entre sí de

amplitud 10 2 [A] y 50 [Hz].

Resolución:

a) Primero calculamos el número de ranuras por fase y por polo “q” y el ángulo eléctrico “ β ”

][º20][9

··2

33·1·2

18

··2

elect elect rad z

p

m p

z q

===

===

π π β

(67)

Ahora el factor de devanado es:

ndist ncuerdandist ndev f f f f == · (68)

)2··(·

)2

··(

β

β

nq senq

nq sen

f ndist = (69)

Así para la fundamental y quinta armónica:

2176,0

9558,0

5

1

=

=

dist

dist

f

f (70)

b) Por ley de Àmpere:

g

I N B

g

I N B

r r

r r

·2

···

4ˆ

·2

··

01

0

µ

π =⇒

=

(71)

Luego:




16

)·cos(ˆ)( 11 r B B θ θ θ −= (72) Entonces el flujo es:

)·cos(ˆ···2

)·cos(ˆ····)·(

1

2

2

12

2

1

r

r

B R L

B R L R L B

θ

θ θ θ θ θ

π

π

π

π

=Φ

∂−=∂=Φ ∫∫ −−

(73) Con esto:

Φ=Ψ ··· 1deve f q N (74) De este modo la a tensión es:

][09,307·ˆ····2

1

)·(·ˆ···

1

1

V f q N V

sen f q N t

V

r deverms

r r deve

=Φ=

Φ=∂Ψ∂−=

ω

ω θ

(75)

c) Por ley de Àmpere:

)·50··2(·10·2··2

··· 0 t sen g

f q N B deve

a π µ

= (76) Análogo para B b y Bc, ahora el campo resultante considerando únicamente la fundamental la suma de los campos producidos por cada fase:

)·50··2(·10·2··2

····

2

3·

4)( 0

1 t sen g

f q N B deve

res π µ

π θ = (77)

La velocidad del campo giratorio es ]/[50··2 srad e π ω ±= , dependiendo de la orientació

de las fases. Ahora bien el rotor gira a 1500 [rpm], esto es ]/[25··2 srad n π ω = . De est

modo, y evaluando (46) se tiene que ][98,0ˆ 1 T Bres = . Con esto:

0293.0ˆ···2ˆ1 ==Φ res B R L (78)

Finalmente:




17

relativar rms f N V ·ˆ··2

·2Φ=

π (79)

Donde la frecuencia relativa es 25 o 75 [Hz] de pendiendo si es secuencia negativa positiva respectivamente. Esto arroja los siguientes valores para la tensión:

][977][326

75

25

V V

V V

rms

rms

== (80)

9. Una máquina AC de 2 polos tiene un devanado trifásico de 2 capas en el estato

distribuido en 24 ranuras (α = β). El número total de vueltas por fase es de 80. El roto

está construido con imanes permanentes de forma que la distribución de densidad d

flujo es la mostrada en la figura. El rotor tiene un largo axial de 10 [cm] y un

diámetro de 5 [cm].

a) Calcule los factores de distribución y de cuerda para la fundamental. b) Calcule el flujo polar producida por la fundamental de la distribución de densidad deflujo.c) Calcule el valor de la tensión fundamental inducida en cada fase (rms) cuando lamáquina gira a 3000 [rpm].

Figura 9. Distribución densidad de flujo

Resolución:

a) El número de pares de polos p = 1, luego calculemos:



Sistemas Electromecánicos, Guía V:”Máquinas de Corriente Continua

1

GUÍA V : “MÁQUINAS DE CORRIENTE CONTINUA”

1. La característica de magnetización de un generador de corriente continua operando auna velocidad de 1500 [rpm] es:

If [A] 0 0,5 1 2 3 4 5

Vrot [V] 10 40 80 135 172 199 220

a) ¿Qué valor de resistencia adicional debe colocarse en el circuito de campo del generador, si

se conecta una carga de 50 [kW], 200 [V] considerando una velocidad de 1500 [rpm]?

b) Si la máquina es impulsada a 2000 [rpm], calcular la corriente de campo y la resistencia

adicional necesaria para alimentar la misma carga de a)..

Figura 1. Máquina CC con excitación independiente

Resolución:

a) Se tiene la potencia consumida por la carga y la tensión de armadura, de este modo l

corriente de armadura se determina fácilmente por:

][250200

10·503

AV

P I

a

a === (1)

Luego Vrot es:




2

][75,208035,0·250200·Va V R I V aarot =+=+= (2)

Ahora considerando la razón entre Vrot y la velocidad de giro:

]/·[33,1

60

1500··2

75,208

rad sV

V rot

==π

ω (3)

Entonces de los datos se desprende que If = 4,4 [A], luego en el circuitote campo:

][45,1

)·(

Ω=−=

+=

f

f

f

fad

fad f f f

R I

V R

R R I V

(4)

b) Ahora para una velocidad de 2000 [rpm] se tiene que la potencia y tensión en lo

terminales es la misma:

][75,208 V V rot = (5)

Sin embargo, se debe ajustar dicha tensión respecto a la nueva velocidad para poder así usa

la tabla:

][56,1562000

1500

·75,208' V V rot ==

(6)

Luego, If ’ = 2,55 [A], con lo que:

][4,34'

' Ω=−= f

f

f

fad R I

V R (7)

2. Un motor CC con excitación shunt de 7,5 [kW], 230 [V] posee una resistencia decircuito de armadura de 0,3 [Ω] y una resistencia del campo shunt de 160 [Ω] co

tensión nominal la velocidad de vacío es de 1200 [rpm] y la corriente de armadura e

de 2,7 [A]. A plena carga la corriente de armadura es de 38,4 [A] y causa un

reducción de flujo de 4% en relación con el flujo en vacío. Determine la velocidad

plena carga.

Resolución:




3

a) En vacío:

][2,2293,0·7,2230·00 V R I V V aaarot =−=−= (8)

00rot0

000

··V

·~

η

η

p

prot

k

V

Φ=⇒

Φ

(9)

Despejando y evaluando (9) se tiene que:

][191.0·0

0

0rpm

V V k rot

p ==Φη

(10)

A plena carga, considerando Ia = 38,4[A]:

][5,218· V R I V V aaarot =−=

(11)

][1192191,0·96,0

5,218

···96,0·· 0

rpm

k k V p prot

==

Φ=Φ=

η

η η

(12)

3. Se tiene un motor CC conexión shunt con 2 resistencias de arranque R 1 y R 2

Dimensione dichas resistencias para que durante la partida la corriente de armadurse mantenga en el rango de 0,75·Inom < Ia < Inom. ¿Es posible este requerimient

durante todo el arranque?

Figura 2. Motor shunt de CC

Resolución:

a) Primero debemos calcular la corriente de armadura nominal:




4

][3,37][200

][746]·[10

AV

HP

W HP

V

P I

Nom

Nom

aNom === (13)

En la partida (t = 0) la tensión en el rotor es 0, por lo tanto la corriente de armadura pued

llegar como máximo a un valor igual a la corriente de armadura nominal. Luego en t = 0:

][9,4

][4,5

21

21

Ω=+

Ω==++

R R

I

V R R R

aNom

Noma

(14)

En t = t1 se cortocircuita R 1, de modo que:

aNom

a

rot nom

aNom

a

rot nom

I R R

t V V t t

I

R R R

t V V t t

<+

−→=

>++

−→=

+

+

−

−

2

1

1

21

1

1

)(

·75,0)(

(15)

Dividiendo ambas inecuaciones de (15), en el límite:

75,021

2=

++

+

a

a

R R R

R R (16)

Usando (14):

][35,19,455,3

][55,375,04,5

5,0

11

22

Ω=⇒=+

Ω=⇒=+

R R

R R

(17)

En t = t2 se cortocircuita R 2:

aNom

a

rot nom

aNom

a

rot nom

I R

t V V t t

I R R

t V V t t

<−

→=

>+

−

→=

+

+

−

−

)(

·75,0)(

22

2

22

(18)

Análogo a lo anterior:




5

75,012,0

75,02

≠

=+ a

a

R R

R

(19)

No se puede conseguir la condición, ni aunque se cortocircuiten ambas a la vez

Comprobar.

4. El motor de excitación independiente de la figura tiene la característica d

magnetización mostrada en la figura obtenida a 1200 [rpm]. El motor opera con Va

250 [V]; Ia = 120 [A] y velocidad de 1103 [rpm], moviendo a una carga que desarroll

torque constante. Desprecie la reacción de armadura.

a) Determine la velocidad de vacío del motor.

b) Determine el torque desarrollado por el motor.c) ¿Cuánto valen la corriente de armadura y el torque de arranque?

d) Grafique la característica velocidad – torque del motor, cuantificando los puntos

extremos.

e) ¿Qué sucede con la velocidad del eje si se disminuye la corriente de campo con el

motor en vacío? Justifique.

f) ¿A qué velocidad gira el motor con la misma carga inicial (igual torque), si el voltaje de

armadura disminuye a 200 [V]?.

g) Determine la inductancia de rotación cuando el devanado de campo tiene una corriente

de campo igual a 4,3 [A].

Figura 3. Motor CC con excitación independiente

Resolución:

a) Cuando el motor está en vacío, el torque es cero, luego el voltaje de rotación es igual l

voltaje de armadura, esto es 250 [V]. Cuando se trabaja con carga:

][4,24603,0·120250· V R I V V aaarot =−=−= (20)




6

Del mismo modo, por definición

25060

··2··

4,24660

1103··2··

' ==

==

η π

π

f fqrot

f fqrot

I GV

I GV

(21)

b) Con carga:

][133,2· Hz V

I G rot

f fq ==ω

(22)

Con ello es fácil evaluar el torque usando:

]·[96.255·· m N I I GT a f fqe == (23)

c) En arranque, Vrot = 0, entonces:

][3,833303,0

250 A

R

V I

a

a

arranquea === (24)

Manteniendo If constante:

]·[17775·· m N I I GT arranquea f fqarranque == (25)

d) Grafico:

e) Cuando el motor está en vacío, el torque eléctrico y la corriente de armadura son 0, d

modo que:




7

f fq

a

f fq

rot

I G

V

I G

V

··==ω (26)

En zona lineal, si la corriente de campo aumenta, entonces la velocidad disminuye, y

viceversa. Incluso si se encuentra en zona saturada, pero Gfq·If varía muy poco.

f) Considerando la tensión de armadura de 200 [V], y que el torque eléctrico es igual al torqu

de carga (constantes, de 255,96[N·m]), se tiene::

][120133,2

96,255

· A

I G

T I

f fq

e

a === (27)

Luego:

][4,196'·'' V R I V V aaarot =−= (28)

][5,87860··2

][92·

rpm

s

rad

I G

V

f fq

rot

==

==

π

ω η

ω

(29)

g) Si If = 4.3 [A], entonces, según la curva de magnetización se tiene que V rot = 230 [V

Luego:

3,4·60

1200··2

230

·π

ω ==

f

rot fq

I

V G

(30)

][42.0 H G fq = (31)

5. Un motor de corriente continua shunt tiene una resistencia de armadura de R a0.2[] y R f = 100 []. Vnom = 200 [V], Ia = 50 [A] y gira a 1000 [rpm].

a) Considerando que el motor es alimentado a Vnom. Determine la velocidad cuando el

torquee en la carga disminuye un 40%.

b) Determine la velocidad de vacío cuando el flujo disminuye en un 20% respecto del

nominal. (Tener en cuenta que en un motor shunt el variar If , implica variar la tensión de




8

alimentación.

c) ¿A qué velocidad debe ser impulsado el eje para que la máquina entregue 18 [kW] de

potencia a una fuente de 200 [V]?.


Resolución:

a) Se tiene que:

a f fq I I GT ··= (32)

Dado que la tensión de armadura es constante, la corriente de campo también lo es. Luegouna reducción en un 40% del torque, es equivalente a una reducción en un 40% de l

corriente de armadura.

][3050·6.0 A I a == (33)

Con ello:

][1942.0·30200· V R I V V aaarot =−=−= (34)

Además, con tensión nominal:

][1902.0·50200' V V rot =−= (35)

ω ··' f fqrot I GV = (36)

]·[81.1

60

1000··2

190'· A H

V I G rot

f fq ===

π ω

(37)

Luego:




9

][2.10781.1

194

· s

rad

I G

V

f fq

rot ===ω (38)

b)

fnom f

nom

I I ·8.0'

·8.0

=⇒

= φ φ (39)

Donde:

][6.1'

][2

A I

A R

V I

f

f

a

fnom

=⇒

==

(40)

Con ello se tiene que la tensión de armadura es:

][160'· V R I V f f a == (41)

En vacío, Va = Vrot = 160[V]:

][5.11081.1·8.0

160

·8.0·'· s

rad

I G

V

I G

V

fnom fq

rot

f fq

rot o ====ω (42)

c) Sea:

][90200

18000 A

V

P I

a

a === (43)

Luego:

][218· V I RV V aaarot =+= (44)

Finalmente:

][4.12081.1

218

· s

rad

I G

V

f fq

rot ===ω (45)

En rpm:




10

][115060··2

rpm==π

ω η (46)

6. Un motor serie mueve un ventilador y consume 25 [A] desde una fuente de tensió

continua de 220 [V] cuando gira a 300 [rpm] sin R ad. El torque de carga está dado poTc = K C·η

2. R a = 0.6[], R s = 0.4[]. Desprecie roce y reacción de armadura.

a) Determine: Potencia que entrega a la carga, torque y la inductancia de rotación..

b) Se desea reducir la velocidad a 200 [rpm] insertando una R ad en serie con el resto del

circuito. Calcule: torque, R ad en [Ω] y el rendimiento.


Resolución:

a) Se tiene:

19525220)·( =−=+−= a saarot R R I V V (47)

Junto a ello se tiene que:

][4875195·25· W V I P rot amec === (48)

Luego:




11

]·[2.155

300·60

·2

4875m N

P T T mec

ce ====π ω

(49)

Finalmente, con Ia = If (dado que es conexión serie):

][248.025

2.155

· 2 H

I I

T G

f a

e

sq ==/

= (50)

b) Es necesario determinar K c:

3

22

2

10·72.1300

2.155

·

−===

=

η

η

c

c

cc

T K

K T

(51)

Luego es fácil determinar el torque de carga a 200 [rpm] utilizando la expresión de (52)

]·[98.68200·10·72.1'23

m N T c ==−

(52)

Luego R ad se determina despejando de:

)('' a sad arot a R R R I V V +++= (53)

Donde Ia' se calcula a partir de:

][68.16'

' AG

T I

sq

ca == (54)

Además:

][64.8660

200··2·68.16·248.0''··' V I GV a sqrot ===π

ω (55)

Finalmente:

][7168.16

64.86220

'

'Ω=−

−=−−

−= a s

a

rot a

ad R R I

V V R (56)

Por último la eficiencia se determina según:




12

%38.39100·'·

''·100·100· ====

aa

arot

entrada

mec

entrada

salida

I V

I V

P

P

P

P η (57)

7. Un pequeño motor serie desarrolla un torque de 2 [N·m] con rotor detenido y un

corriente de armadura de 3 [A], DC. La resistencia del circuito de armadura es de 2.5[] y la inductancia es de 0.04 [H]. Suponiendo linealidad magnética y pérdidas po

rotación despreciables, determine, si la máquina se conecta a una red de 115 [V], 6

[Hz]:

a) Torque de arranque.

b) La potencia mecánica para una Ia = 3 [A] efectiva.

c) Factor de Potencia.

Resolución:

a) Primero calculamos Gsq, basados en los datos con rotor detenido:

][222.09

22

H I

T G

a

sq === (58)

Ahora bien, en arranque, Vrot = 0, luego:

rot aaaa V L j R I V ++= )···(**

ω (59)

De aquí se obtiene que::

][5.7)·( 22

A L R

V I

aa

a

a =

+

=

ω (60)

Luego::

]·[5.12·2

m N I GT a sqarranque == (61)

b) Considerando que Vrot está en fase con Ia:




13

][º3*

A I a δ ∠= (62)

)222.0·5.2(1.15·º33.38

º3·222.0·º3)·04.0·60··2·5.2(º0115

··)···(

)···(

giro

giro

a sq giroaared aa

rot aared aa

j

j

I G I L j RV

V I L j RV

ω δ

δ ω δ π

ω ω

ω

++=−∠

∠+∠+=∠

++=

++=

(63)

Por Pitágoras:

][4,147

23.351.1533.38222.0·5.2 22

s

rad giro

giro

=

=−=+

ω

ω

(64)

Luego la potencia mecánica:

][5.294)··(·2

W I GT P giroa sq giroemec === ω ω (65)

c) Utilizando (64.2) y despejando calculando la corriente de armadura:

º2.23318.176.21.15·222.0·4.1475.2

º0115

*

−∠=+=++

∠= j

j I a (66)

Finalmente:

inductivo92.0)2.23cos()cos( =−== φ FP (67)

8. Una máquina DC independiente (If = 1 [A]) mueve una carga con característic

torque velocidad lineal a ηr = 1200 [rpm] cuando es alimentada por una fuente de 42

[V]. La máquina se caracteriza por una resistencia de armadura de 1 [] y un Gfq

10/π. Calcular la nueva velocidad e Ia si la tensión de alimentación baja a 300 [V].

a) Sea:

][40060

1200··2·1·

10·· V I GV r f fqrot ===

π

π ω (68)




14

Luego:

][20 A R

V V I

a

rot a

a =+

= (69)

Con ello podemos calcular el torque eléctrico:

]·[200

1·20·10

·· m N I I GT f a fqeπ π

=== (70)

Dicho torque es igual al torque de carga y este proporcional a la velocidad:

2

5

·40

1

·

200

·200

π π π

ω π

==

===

c

r cce

K

K T T

(71)

Ahora bien, para la nueva tensión de alimentación:

c

a f fq

c

c

r

r f fqrot

rot aaa

K

I I G

K

T

I GV

V R I V

··''

'··'

''·'

==

=

+=

ω

ω (72)

Evaluando (73.3)

π

π

π ω '··25

1·10

'·

'

2

a

a

r I

I

== (73)

Luego (74) en (73.2):

'·20'··2·1·10

aarot I I V == π π

(74)

Y (75) en (73.1):

][3.14201

300' A I a =

+= (75)




15

Con lo que se tiene:

][·6.28'··2' s

rad I ar π π ω == (76)

Que equivale a 858 [rpm]:

9. En el sistema de 2 máquinas DC acopladas de la figura.

a) Explique cómo se trasfiere la energía desde un extremo al otro, especificando cuálmáquina actúa como motor y cuál como generador..

b) Explique como se genera el torque Tc y qué relación tiene con Te1.

c) Determine los valores de las corrientes de la Ia1, Ia2 y la velocidad de giro del conjunto

si: c1) If2 = 0; c2) If1 = 0. Justifique

M

Ra1=0.5Ω

Fusible

130A

Va1

500 [V] M

Ra=0.3Ω

Rc

Ia1=100A Ia2=5

0A

ωr=200rp

m

Tc1 Tc2

Figura 6. Máquinas DC Acopladas

Resolución:

a) La fuente Va1 entrega energía a la máquina 1 (motor) a través de Ia1. Luego la máquin

1 desarrolla un torque Te1 e impulsa el eje con velocidad de 200 [rpm.] Finalmente l

máquina 2 (generador) impulsada por la máquina 1, entrega energía a la carga a travé

de Ia2.

b) Tc corresponde al torque de reacción que desarrolla la máquina 2. A velocida

constante, estado estacionario, Tc = Te1.

c) Si If2 = 0, entonces Vrot2 = 0. Luego la máquina 2 no entrega potencia, e Ia2 = 0.

Luego la máquina 2 se encuentra en vacío. Te1 = Tc = 0.




16

][222200·

][4505.0·100500·'

0

111

rpmV

V

V R I V V

rot

ar

aaarot

==

=−=−=

η (77)

Si If1 = 0, Vrot1 = 0. Luego Ia1 aumenta tendiendo a:

][10005.0

500

1

1

1 A R

V I

a

a

a === (78)

Por lo tanto se quema el fusible, Ia1 = 0 por lo tanto Te1 = 0. Se detiene el sistema.

10. Una máquina DC de excitación independiente tiene sus terminales de armadur

conectados a una fuente de tensión continua de 240[V]. La máquina gira a 1200 [rpm

y está generando una tensión de rotor 230 [V]. La corriente de armadura es de 40 [A]

a) ¿La máquina funciona como motor o como generador? Explique.

b) Determine el rendimiento, despreciando las pérdidas de campo..

c) Determine el torque en [N·m].

Resolución:

a) Dado que la tensión de armadura es mayor que la tensión de rotor, la corriente d

armadura circula hacia la máquina, saliendo de la fuente DC, por lo tanto funcion

como motor.

b) Se tiene:

aaentrada

arot mec salida

I V P

I V P P

·

·

=

== (79)

Luego el rendimiento:

%8.95100·100· ===

a

rot

entrada

salida

V

V

P

P η (80)

c) El torque se puede describir según:




17

[ ]m N I V P

T arot mec

e ·2,73

60

1200··2

40·230·====

π ω ω

(81)



Sistemas Electromecánicos, Guía VI:”Máquinas Sincrónicas”

1

GUÍA VI: “MÁQUINAS SINCRÓNICAS”

1. Un generador sincrónico de 440 [VLL], 50 [kVA], trifásico, dos polos, gira a velocidad

nominal. Se necesita una corriente de campo de 7 [A] para producir una tensión nomi-

nal de vacío. Se necesita una corriente de 5,5 [A] para producir una corriente nominal

en el estator cortocircuitado. La máquina puede considerarse magnéticamente lineal.

Determine la reactancia Xs.

Resolución:

a) Consideremos primeramente los circuitos equivalentes por fase en vacío y en cortocircuito:

Figura 1. Circuitos Equivalentes.

En vacío se tiene que:

][3

440V V

af = (1)

Y en cortocircuito:

s

P

aLL

anom X

V A

V

S I

'][6.65

440·3

10·50

·3

3

==== (2)

EN zona lineal VP es proporcional a If :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=→=

=→==

][5.5'·'

][73

440

A I X I V

A I V V

f sanom p

f af P (3)




2

][36.65

6.199'

][6.199'

·'

Ω===⇒

==

anom

p

s

f

f

p p

I

V X

V I

I V V

(4)

.

2. Una Máquina sincrónica de 4 polos, 60 [Hz], tiene una reactancia sincrónica de 8 [Ω].

La máquina trabaja en zona lineal, de acuerdo a la característica Vp = K·If , con K =

30 [V/A] e If : 0 → 6 [A]. El circuito de campo está ajustado para que I f no salga de

este rango. La máquina trabaja como motor sincrónico conectado a una red trifásica e

208 [V], 60 [Hz]. La corriente de campo se ajusta para que el motor consuma una

potencia de 3 [kW] desde la red, con FP = 1.

a) Dibuje el diagrama fasorial para esta condición.

b) Calcule la corriente de campo.

c) ¿Cuánto vale la corriente por el estator Ia si se desconecta la carga mecánica?

d) Considerando If = 6 [A], ¿con qué ángulo de carga se alcanza un torque de 42,9 [Nm]?

Resolución:

a) Se tiene que::

][º03.8º0208·3

º010·3

·3

3

AV

S I

aLL

a ∠=∠

∠==

•

•

•

(5)

Luego por LVK:

Xs

Vp

j·Xs·Ia





3

º29

][º292.137º03.8º·908º03

208

··

−=⇒

−∠=∠∠−∠=

−=

•

•••

δ

V V

I X jV V

P

aS af P

(6)

Luego el diagrama fasorial (no a escala):


b) La corriente de campo es:

][6.4

·30·][2.137||

A I

I I K V V

f

f f P

=⇒

===• (7)

c) Al desconectar la carga, el torque eléctrico se hace cero:

][º02.137

)(00)(··

··3

V V

cte I sen X

V V T

P

f

s s

P af

el

∠=

==⇒=−=

•

δ δ ω (8)

Por LVK:

][º901.2º908

º02.137º03

208

· A

X j

V V

I s

P af

a ∠=∠

∠−∠

=

−

=••

•

(9)




4

d) Si la corriente de campo es de 6[A]:

][1806·30 V V PMax == (10)

Luego el torque eléctrico es:

][9.42)(·8·60··2

180·3

208·2·3

Nm senT el =−= δ π

(11)

Despejando se tiene que el ángulo de carga es de -86º, (considere º90|| <δ es el límite de

estabilidad estacionaria)

3. Un generador sincrónico de 6 polos, 50 [Hz] tiene una reactancia sincrónica de Xs = 4

[Ω] y es conectado a una red de 2300 [V] y trabaja con una corriente de campo If = 5[A]. La característica de vacío del generador es:

If [A] 2.5 5.0 7.5 10

V p LL [V] 1125 2250 3375 4200

a) El generador opera con δ = 25º. Determine el torque para mover el generador y la

corriente de estator

b) Si la corriente de campo de un generador sincrónico conectado a una red infinita

aumenta y ello provoca una disminución de la corriente por el estator. Considerando la

potencia activa constante, ¿la máquina estaba operando con FP inductivo, capacitivo ó 1

antes del cambio? Justifique.

Resolución:

a) Con VaLL = 2300 [V], se fija la característica del entrehierro equivalente, luego con If =

5[A], se tiene de la característica de vacío que V pLL = 2250[V], luego el torque eléctrico:




5

Característica de Vacío del Generador

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0 2 4 6 8 10

If[A]

V p l l [ A ]

Característica Vacío

Característica Entrehierro

Equivalente

][5221)º25(4·50··2

3

2250·

3

2300·3·3

)(·

···3

1

Nm senT

sen X w

V V pT

el

s

Pf af

el

−=−=

−=

π

δ

(12)

Donde el signo menos indica que es torque requerido por el generador.

Luego por LVK:

º15142º904

º03

2300º25

3

2250

·

··

∠=∠

∠−∠

=

−

=⇒

+=

••

•

•••

s

af Pf

a

af a s Pf

X j

V V

I

V I X jV

(13)




6

b)

Vaf

Potencia Constante


Si If aumenta, la magnitud de VP también lo hace. De la figura se observa que la magnitud

de Ia disminuye (aumentando |V p|) sólo en el caso de VP'. Donde al aumentar un poco la

magnitud de VP' disminuye |Ia'|.

Además VP' se obtiene con cos(δ) inductivo.

En conclusión la máquina se encontraba operando con FP inductivo.

4. Una máquina sincrónica está acoplada por el eje a una máquina de corriente continua

de excitación independiente, tal como se muestra en la figura. La Característica de

vacío de la máquina sincrónica a 1500 [rpm] se muestra en la tabla.

a) Se desea transmitir energía desde la red de corriente continua hacia la red trifásica. ¿A qué

valor debe ajustarse la corriente de campo de la MS para entregar a la red trifásica la potencia

nominal del conjunto con factor de potencia unitario?

b) Se ajusta la corriente de campo de la máquina de corriente continua hasta que la potencia

activa transferida sea igual a cero.

b.1) ¿Cuánto valen Ia maq cc e Ia maq sinc?.

b.2) La máquina sincrónica se desconecta desde la red trifásica. ¿Cuánto vale la tensión en

los terminales de la máquina sincrónica?, ¿a qué velocidad gira el conjunto?, ¿cuánto vale la

tensión en los terminales de la máquina sincrónica, si la corriente de campo de la máquina CCdisminuye en un 20%.?




7

Figura 5. Sistema Magnético.

Resolución:

a) La potencia nominal del sistema está dada por:

)·cos(··3 φ aaf n I V P = (14)

De aquí es posible despejar Ia:

º01)cos(

][38

3

380·3

10·25 3

=∠⇒=

==

a

a

I

A I

φ

(15)

Por LVK:

º45311º908.0·383

380

··

∠=∠+=

+=

Pf

a saf Pf

V

I X jV V

(16)

Con Vaf = 220[V], se fija la característica del entrehierro:




8


020406080

100120140160180200220240260280300320340360380400

420440460480500520

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

If[A]

V p f [ A ]



Equivalente

Luego al entrar con |VPf | = 311[V], e interceptar con la recta, se tiene que If = 2.5[A]

b) Si la transferencia de potencia activa es 0, entonces los torques en ambas máquinas es 0:

00

00··

=⇒=

=⇒==

δ elSinc

aCC aCC fCC fqelCC

T

I I I GT (17)

Con igual |VPf |:

º0311∠=• Pf V (18)

Por LVK:

][º908.15·

A X j

V V

I s

af Pf

a −∠=

−

= ••

•

(19)

Al desconectar la máquina sincrónica de la red alterna , se debe trabajar con lacaracterística de saturación original If = 2.5[A], con lo que se tiene que:

][295min AV V alester P == (20)

Dado que la transferencia de potencia activa es cero, no hay cambios, la velocidad es

constante, 1500 [rpm]




9

Se tiene que:

fCC sq

mecmec fCC sqrot I G

V I GV ·

230][230·· =⇒== ω ω (21)

Si la corriente disminuye en un 20%:

mec

fCC sq

mecmec fCC sqrot I G

V I GV ω ω ω ·25.18.0··

230'][230')·8.0··( ==⇒== (22)

Luego:

][18751500·25.1·25.1' rpmmecmec === η η (23)

Finalmente:

][369295·25.1'·'min V V

V V mec

mec

Pf

Pf alester ==== η η

(24)

5. Un generador sincrónico trifásico conexión estrella, pérdidas despreciables, 4 polos,

tensión nominal 13.2 [kVLL], 50 [MVA], Xs = 3 [Ω], está conectado a una red de 13.2

[kVLL], 50 [Hz]. LA turbina entrega una potencia de 45 [MW] al eje. La corriente de

campo ha sido ajustada para que el generador opere con factor de potencia unitario.

a) Determine la corriente por el estator Ia.

b) ¿Cuánto valen la tensión de rotación y el ángulo de carga δ?

c) ¿Cuánto vale el torque desarrollado por la turbina?.

d) La admisión en la turbina es variada hasta obtener torque cero. ¿Cuánto valen las

potencias activa y reactiva del generador en esta condición?

e) En la condición de los puntos a) y b), ¿en qué porcentaje puede disminuir la corriente

de campos antes de que la máquina pierda sincronismo?..

Resolución:

a) La corriente por el estator está dada por:

][20001·13200·3

10·45

)·cos(·3

63

AV

P I

aLL

a ===φ

φ (25)




10

b) Consideremos el diagrama fasorial:

j·Xs·Ia’


Por LVK:

][º3810·7.9º010·2º·903º03

13200·· 33 V I X jV V

a saf P ∠=∠∠+∠=+=•••

(26)

c) El torque desarrollado por la turbina es:

][10·86.2

)2

4(

50··2

10·45

··2

56

33 Nm

p

f

P P T

mec

turbina ====

π π ω

φ φ

(27)

d) Si el torque es cero:

º00· =⇒== δ mecact T P (28)

El diagrama fasorial es:

Iaf





11

º90693º903

º03

13200º010·7.9

·

3

−∠=∠

∠−∠

=

−

= ••

• s

af P

a X j

V V

I (29)

Luego:

][8.15)90(·693·13200·3)(···3 MVAR sen sen I V Qaaf −=−==

•

φ (30)

e) Inicialmente:

)(··3

10·45 0

06 δ sen X

V V P

s

P af == (31)

Con VP0 = 9.7·106[V], se tiene que º380 =δ . El límite de estabilidad estacionaria es 90º, y

la potencia activa no debe cambiar al variar la corriente de campo.

Luego:

616,0)('

)(·'

)(·

·3)º90('·

·3

0

0

00

0

0

==

=⇒

==

δ

δ

δ

senV

V

senV V

sen X

V V sen

X

V V P

P

P

P P

s

P af

s

P af

(32)

Debido a que se puede considerar que:

f P I k V ·= (33)

Luego If puede disminuir en un 100% - 61.6% = 38.4%

6. Un generador trifásico de 5 [kVA], 208 3 [VLL], 4 polos, 60 [Hz], conexión estrella,

tiene una Xs = 8 [Ω]. El generador opera conectado a una red trifásica de 208 3

[VLL], 60 [Hz]. La tabla muestra la característica de vacío del generador a 60 [Hz].




12

a) ¿A qué velocidad [rpm] debe ser impulsado el eje del generador para poder conectarse a

la red de 60 [Hz]?.

b) Calcule la corriente de campo If necesaria para que el generador entregue potencia ala

red con corriente nominal y factor de potencia 0,8 inductivo. Determine el ángulo de carga.

c) Partiendo de b) se reduce la corriente de campo hasta llegar al valor mínimo aceptable.

Calcule la condición inicial b) y la final c). Determinar la potencia reactiva entregada por elgenerador en ambas condiciones (b y c).

Resolución:

a) La velocidad del eje es:

][18002

60·6060·

sinrpm

p

f cmec ====η η (34)

b) La corriente de estator está dada por:

][8)3·208·(3

10·5

·3

3

AV

S I I

aLL

aNoma ==== (35)


Según el circuito equivalente por fase (referencia carga), y dado que el generador es

"inductivo":

º143)8.0cos(

8.0)cos(

−=−=

−=

ar φ

φ

(36)

Luego por LVK:

][º17177º1438º·908º0208·· V I X jV V a saf P ∠=−∠∠−∠=−=•••

(37)




13

Con la magnitud de Va fijamos la característica del entrehierro equivalente:


020

40

6080

100

120

140

160

180

200

220240

260

280

300

320

340

360380400

420

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

If[A]

V p f [ A ]



Equivalente

Al interceptar entonces |VP| = 177 [V] con la recta se obtiene que If = 1.8[A]

c) Considerando que el torque de la máquina motriz:

][4.21)º17(8·60··2

177·208·2·3)(

·

···3

1

Nm sen sen X

V V pcteT

s

P af

el −=−=−==π

δ ω

(38)

Que la corriente de campo sea mínima indica que V p también lo es, con ello º90max =δ ,

corresponde al límite de estabilidad estacionaria.

][52

)º90(·

···34.21

min

1

min

V V

sen X

V V pT

P

s

P af

el

=⇒

−=−=ω (39)

Al entrar a la característica con V p = 52[V], tenemos que If = 0.5[A]

Luego el diagrama fasorial nos queda:




14

Vp

Condición b) Condición c)

Figura 9. Diagrama fasorial

En b):

][10·3)º143(·8·208·3··3Im 3*VAR sen I V Q aaf b === (40)

En c):

][º1048.26·

A X j

V V

I s

P af

a −∠=

−

=••

•

(41)

][10·2.16)º104(·8.26·208·3··3Im 3*VAR sen I V Q aaf b === (42)

Es de observar que en ambas situaciones el generador absorbe potencia reactiva desde la

red, lo cual indica factor de potencia inductivo.

7. Un generador sincrónico, trifásico, conexión estrella, pérdidas despreciables, 4 polos,

tensión nominal 13.2 [kVLL], 50 [MVA], y Xs = 3 [Ω] está conectado a una red de 13.2

[kVLL], 50 [Hz]. La admisión de caudal se ha ajustado para que la turbina entregue

una potencia de 25 [MW] en el eje y la corriente de campo se ha reducido al valor

mínimo posible.

a) Determine el valor de la tensión de rotación VP.

b) Calcular la corriente por el estator Ia.




15

c) ¿Qué sucede con la corriente Ia (aumenta o disminuye) su aumenta la corriente de

campo en un 100%? Justifique.

Resolución:

a) La potencia activa entregada por el generador es:

)(···3

δ sen X

V V P

s

P a

act = (43)

Si If es mínima, la tensión de rotación es mínima y el ángulo de carga es máximo.

1)(2destabilidadelimite =⇒=⇒= δ π δ δ δ sen

máx (44)

Luego:

][28.3

3

13200·3

3·10·25

·3

· 6

minkV

V

X P V V

a

sact

P P ==== (45)

b) Sea:

Xs

Vp

Ia

Va

Va

Figura 10. Circuito Eléctrico y Diagrama Fasorial

Con esto se concluye que:

][2766

22

A X

V V Ia s

a P =+= (46)

c) Al aumentar la corriente de campo, también aumenta la tensión de rotación, y

disminuye el ángulo de carga, luego si observamos el diagrama fasorial y nos

desplazamos por la línea de potencia constante:




16

Figura 11. Formas de Onda V(t) e I(t)

Como se observa:

12

12 ··

aa

a sa s

I I

I X I X

<⇒

< (47)

Al mantener la potencia activa constante, la magnitud de la corriente de estator disminuye

cuando se aumenta la corriente de campo.

8. Una máquina sincrónica trifásica de rotor cilíndrico y una máquina CC shunt están a-

copladas por el eje mecánico para transferir potencia de una fuente DC a una fuente

AC y viceversa. Los valores nominales de las máquinas son:

Máquina sincrónica: 12 [kVA], 208 [V], Xs = 3 [Ω], 6 polos.

Máquina CC: 12 [kW], 220 [V], R a = 0.18 [Ω].

Desprecie las pérdidas en el estator y la saturación en ambas máquinas.

La máquina CC shunt es conectada a una fuente de 220 [VDC] y la máquina sincrónica

es conectada a una fuente trifásica de 208 [V], 60 [Hz]. La corriente de campo de la

máquina sincrónica se ajusta a un valor de 1.25 pu (Nota: Una corriente de campo de

1 pu produce una tensión de rotación VP de 208 [VLL]). Usted puede variar ambas co-rrientes de campo mediante resistencias adicionales.

a) El conjunto transfiere cero potencia activa a través del eje. Determine:

a.1) La corriente de armadura de la máquina shunt.

a.2) La corriente por el estator de la máquina sincrónica.

a.3) El FP de la máquina sincrónica.

a.4) La tensión de terminales de la máquina sincrónica si ésta se desconecta de la red.




17

b) Una potencia de 8 [kW] es entregada por la fuente continua.

b.1) Especifique qué ajuste es necesario para llevar el conjunto a este punto de trabajo

partiendo de la condición del punto a).

b.2) Determine la corriente de armadura de la máquina shunt.

b.3) ¿Cuánta potencia activa llega a la red alterna?

b.4) Determine la corriente de estator de la máquina sincrónica. b.5) Calcule el torque en el eje.

c) Especifique el ajuste necesario, partiendo de a) y el valor de la corriente de armadura

shunt si ahora se desea entregar los 8 [kW] a la red continua.

Resolución:


a) La potencia activa es cero, y corresponde a la potencia transferida a través del eje, luego la

potencia mecánica es 0. Con ello:

][0 AV

P I

rot

mec

aCC == (48)

La corriente de campo de 1.25 pu produce una tensión de rotación V p igual a:

][1503

208·25.1 V V

P == (49)

Dado que la potencia activa es cero, el ángulo de carga es cero también, entonces :

•••

+=aa s P

V I X jV sinc

·· (50)

La corriente por el estator es entonces:

][1030

120150||||sinc

A X

V V I

s

a P

a =−

=−

= (51)




18

Dado que la corriente está desfasada en 90º con respecto a la tensión:

0)º90cos()cos( === φ FP (52)

Si se desconecta la red trifásica, la corriente de estator se hace 0, de está forma no hay

caída de tensión en la reactancia sincrónica, la tensión de rotación aparece en los terminales

][150terminales V V V P == (53)

b) La fuente de tensión continua entrega una potencia de 8 [kW].

Esta nueva condición de funcionamiento se logra disminuyendo la corriente de campo I f CC

de la máquina corriente continua en relación al valor que tenía en el punto a). Para ello, se

aumenta la resistencia de campo R f ad. De este modo disminuye la tensión de rotación,

porque la velocidad debe permanecer fija, dado que ésta es impuesta por la máquina

sincrónica. Como Vrot < Va CC, entonces la corriente Ia CC fluye, la cual transmite la potencia. Su valor es:

][4.36220

8000][8000 A

V

W I

aCC

aCC === (54)

La tensión de rotación de la máquina continua es:

][45.213· V R I V V aaCC aCC rot =−= (55)

La potencia mecánica es:

][7770· W I V P aCC rot mec == (56)

Dicha potencia, corresponde a la potencia que llega ala red alterna, ya que en el estator de

la máquina sincrónica no hay pérdidas.

][77.7alternaredact

kW P P mec == (57)

El ángulo de carga se obtiene al despejar de:

º6.25)··3

·(

)(···3

sinca

sinca

==⇒

=

V V

X P arcsen

sen X

V V P

P

sact

s

P

act

δ

δ

(58)

De este modo y aplicando el teorema del coseno:




19

][3.22

679.0·150·120·2150120·

)cos(3··2)·(

sinca

22

sinca

sinca

22

sinca

2

sinca

A I

I X

V V V V I X

s

P P s

=⇒

=−+=⇒

−+= δ

(59)

Finalmente el torque es:

][8.61

26

60··2

][77.7 Nm

kW P T

r

mec ===π ω

(60)

c) Para entregar los 8 [kW] a la red de tensión continua, es necesario aumentar la corriente de

campo de la máquina CC. De este modo, la tensión de rotación es mayor que Va CC y circulala corriente Ia CC entrando por el terminal positivo de la fuente DC.

][55.22618.04.36220

·

][4.36

V V

R I V V

A I

rot

aaCC aCC rot

aCC

=++=⇒

+=

=

(61)



Sistemas Electromecánicos, Guía VI:”Máquinas Asincrónicas”

1

GUÍA VII: “MÁQUINAS ASINCRÓNICAS”

1. El estator de una máquina asincrónica trifásica de 6 polos está conectado a una red de

50 [Hz]. Determine la frecuencia de las corrientes en el rotor para cada una de las si-

guientes condiciones:

a.1) Rotor detenido.

a.2) Rotor girando a un tercio de la velocidad sincrónica.

a.3) Rotor girando con un deslizamiento de 3%.

a.4) Rotor girando con un deslizamiento de -3%.

a.5) Rotor girando a 1000 [rpm].

a.6) Rotor girando a 500 [rpm] en sentido contrario al campo giratorio del estator.

Para cada una de las condiciones anteriores indique las siguientes velocidades relativas:

b.1) Campo giratorio del estator con respecto al estator.

b.2) Campo giratorio del estator con respecto al rotor.

b.3) Campo giratorio del rotor con respecto al estator.

b.4) Campo giratorio del rotor con respecto al rotor.

b.5) Campo giratorio del rotor con respecto al campo giratorio del estator.

Resolución:

a) Definamos:

[ ][ ]

[ ]rpmenrotor delgirodevelocidad:s

radrotor delgirodevelocidad:

s

radestator delgiratoriocampodelvelocidad:

Hzrotor decorrientesdefrecuencia:

Hzestator decorrientesdefrecuencia:

1

r

m

r

p

f

f

η

ω

ω

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

(1)

Luego el 'slip' ('s') está dado por:




2

p

p s

m

1

1

ω

ω ω

−

= (2)

Y:

f s f r ·= (3)

. De este modo, a.1) con rotor detenido:

[ ] Hz f

p

p s

r 5050·1

1

0

1

1

==⇒

=

−

=ω (4)

a.2) Con la velocidad a 1/3 de la velocidad sincrónica:

[ ] Hz f

p

p p s

r 33.3350·32

3

2·

3

1

1

11

==⇒

=

−

=ω

ω ω

(5)

a.3) Con s = 3%:

[ ] Hz f r 5.150·03.0 ==⇒ (6)

a.4) Con s = -3%:

[ ] Hz f r 5.150·03.0 ==⇒ (7)

a.5) Con una velocidad de 1000 [rpm]:




3

[ ]

[ ] Hz f

f

f

s

srad

r

r

m

0

0

3··2

7.1043

··2

/7.104·2·60

1000·2·

60

=⇒

=−

=⇒

===

π

π

π π η

ω

(8)

a.6) Con una velocidad de -500 [rpm]:

[ ]

[ ] Hz f

f

f

s

srad

r

r

m

7550·5.1

5.1

3

··2

36.523

··2

/36.52·2·60

500·2·

60

==⇒

=+

=⇒

−=−

==

π

π

π π η

ω

(9)

b) b.1) Campo giratorio del estator con respecto al estator, para todos los casos (a.1; …;a.6):

[ ] srad f

pecge /72.107

3

··21 ===π

ω (10)

b.2) Campo giratorio del estator con respecto al rotor:

cgemcger

cge sω ω ω ω ·=−= (11)

Luego en cada caso:

[ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]

[ ] srad sa

srad sa

srad sa

srad sa

srad sa

srad sa

cger

cge

cger

cge

cger

cge

cger

cge

cger

cge

cger

cge

/08.157·5.15.1)6.

/0·00)5.

/·03.003.0)4.

/·03.003.0)3.

/81.69·3

2

3

2)2.

/72.104·11)1.

===

===

−=−=−=

===

===

===

ω ω

ω ω

π ω ω

π ω ω

ω ω

(12)




4

b.3) Campo giratorio del rotor con respecto al estator:

rotor alrespectoconrotor delgiratoriocampodelvelocidad:

rotor delvelocidad:

rotor delgiratoriocampodelvelocidad:

:

cgr

m

cgr

mcgr e

cgr

donde

ω

ω

ω

ω ω ω +==

(13)

Entonces para el caso de a.1):

]/[72.104

]/[72.1043

·2··

10

srad

srad f s

s

ecgr

m

==⇒

==⇒

=⇒=

ω ω

π ω (14)

Para los casos restantes:

]/[72.1043

··2··

3

·2··

)·1(

111

1

1

srad f

s s

f s

s

me

cgr

m

==+−=+=⇒

=⇒

−=

ω π

ω ω ω ω ω

π ω

ω ω

ω 321

(15)

b.4) Campo giratorio del rotor con respecto al rotor:

1

·

···2

···2

1

ω π π

ω

ω

s p

f s

p

f

f s

r

r cgr ===

876

(16)

Luego en cada caso:




5

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] srad sa

srad sa

srad sa

srad sa

srad sa

srad sa

r cgr

r cgr

r cgr

r

cgr

r cgr

r cgr

/08.157·5.15.1)6.

/0·00)5.

/3

)50·03.0(··203.0)4.

/·03.003.0)3.

/81.69·3

2

3

2)2.

/72.104·11)1.

1

1

1

1

1

===

===

=−

=−=

===

===

===

ω ω

ω ω

π π

ω

π ω ω

ω ω

ω ω

(17)

Ojo que 'f' y 'f r ' no pueden ser frecuencias negativas.

b.2) Campo giratorio del rotor con respecto al campo giratorio del estator:

mmr

ecgr

ecge

p

f s

p

f

p

f

ω π

ω π

ω

π ω

+=+=

=

··2·

··2

··2

(18)

Además se sabe:

p

f p

f

sm

··2

··2

π

ω π

−

= (19)

Con ello:

p

f

p

f

p

f

p

f m

m

ecgr

··2

··2

··2

···2 π

ω π

ω π

π ω =+

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧−

= (20)

Finalmente:

0=−=e

cgee

cgr cge

cgr ω

(21)

Para todos los casos.




6

2. Un motor de inducción trifásico de 6 polos, 400 [Hz], 150 [V], entrega una potencia

nominal de 10 [HP] a la carga con un deslizamiento de 3%. Las pérdidas por venti-

lación y roce a velocidad nominal son de 200 [W]. Determine:

a) La velocidad del rotor.

b) La frecuencia de las corrientes del rotor.c) Las pérdidas en el cobre del rotor.

d) El torque.

e) La relación entre frecuencia del estator (f), la frecuencia de las corrientes del rotor (f r ) y

la velocidad del rotor (ωr ) [rad/s], en un motor de 2 polos.

Resolución:

Definamos:

[ ][ ][ ]Hzestator elencorrienteslasdefrecuencia:

Hzrotor elencorrienteslasdefrecuencia:

rpmenrotor delgirodevelocidad:

s

radrotor delgirodevelocidad:

s

radestator delgiratoriocampodelvelocidad:

1

f

f

p

r

m

m

η

ω

ω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

(22)

a) Se tiene que:

][76.7759··2

60

]/[6.812)·1(

]/[3.2513··2

1

1

rpm

srad p

s

srad f

mm

m

==⇒

=−=⇒

==

ω π

η

ω ω

π ω

(23)

b) La frecuencia de las corrientes en el rotor es:

][12400·03.0· Hz f s f r === (24)

c) Definamos:




7

rotor delcobreelen pérdidas:

ónventilacimásrocede pérdidas:

giratoriocampode potencia:

mecánica potencia:

2

1

Cu

vr

CG

mec

P

P

P

P

+

(25)

Primero llevemos la potencia mecánica a [W]

][7457][10 W HP P mec == (26)

Luego la potencia mecánica total:

][7657 W P P P vr mecmecTOTAL =+= + (27)

Finalmente:

][2377657·03.01

03.0

1·2 W

s

P s P mecTOTAL

Cu =−

=−

= (28)

d) El torque es:

]·[176.96.812

7457m N

P T

m

mec ===ω

(29)

e) El torque es:

π

ω

π

ω π

·2·

··2

··2

·

m

r

m

r

r

f f f f

f f

f s f

−=⇒−

=

=

(30)

3. Un motor de inducción trifásico de 440[V], 50 [Hz], 8 polos, rotor devanado, estator y

rotor en conexión estrella, pérdidas en el estator despreciables, tiene los siguientes

parámetros:

R 2' = 0.63 [Ω], Xσ1 = 1.15 [Ω], Xσ2 = 1.15 [Ω], Xm = 40 [Ω]

a) Determina la característica T(s).

b) Si el motor debe accionar una carga cuyo torque es de 500 [Nm], ¿qué resistencia

equivalente debe conectarse en el rotor para lograr que el motor arranque?




8

Resolución:

Previamente, el circuito equivalente por fase es: j·Xσ2'

V1∟0

√3

j·Xσ1

j·XmR2'/s

Figura 1. Circuito Equivalente por fase

a) Se tiene el equivalente Thevenin, donde:

Figura 2. Circuito Equivalente Thevenin

0

·12.1)·(

····

][º0247)·(

··

1

1

1

1

=

=+

==

∠=+

=

•

•

•

Th

m

m

ThTh

m

m

Th

R

j X X j

X j X j X j Z

V X X j

X jV

V

σ

σ

σ

(31)

Luego el torque máximo, y 'sm' correspondiente al deslizamiento para torque máximo:




9

277.0'

'

]·[6.513)15.112.1·(314·2

270·4·3

)'·(·2

··3

2

2

2

21

2

=+

=

=+

=+

=

σ

σ ω

X X

R s

m N X X

V pT

Th

m

Th

Th

m

(32)

En forma general, y la característica es:

]·[3.264)1(1

]·[6.513)(277.0

]·[0)0(0

·2)(

m N T s

m N sT s

m N T s

s

s

s

s

T sT

m

m

m

m

=→=⇒

=→=⇒

=→=⇒

+

=

(33)

0

100

200

300

400

500

600

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Deslizamiento

T o r q u e

b) Sea la ecuación general de torque:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +++

=2

2

22

1

22

)'()'

(·

'···3

σ

ω

X X s

R R s

RV p

T

ThTh

Th

m (34)

Despejando R 2' para s = 1:




10

][23.2

][17.1

][86.2'

][8.1'

0'·663.4153.5'

2

1

22

12

2

2

2

Ω=

Ω=⇒

⎭⎬⎫

Ω=⇒

Ω=⇒

=−+

ad

ad

R

R

R

R

R R

(35)

Para los 2 valores de R 2', se tiene:

¿?26.1

793.0

'

'

2

1

2

2

→=→

=→

+=

m

m

Th

m

s

s

X X

R s

σ

(36)

Luego la resistencia adicional equivalente debe ser 1.17 [Ω].

4. Un motor de inducción trifásica, 6 polos, 440[V], 60 [Hz], tiene los siguientes

parámetros referidos al estator.

Resistencia del estator R 1 = 0 [Ω];

Resistencia del rotor R 2' = 0.3[Ω];

Inductancia de magnetización Lm = 0.1[H];

Inductancia de dispersión del estator Lσ1 = 3 [mH];

Inductancia de dispersión del rotor Lσ2' = 3 [mH]

Determine:

a) El torque máximo.

b) El torque de arranque.

c) La velocidad a la cual se produce el torque máximo.

d) La velocidad a la cual el motor impulsará una carga que tenga la característica Tc =

K·ωr , donde ωr velocidad de giro del rotor y K = 2[Nm/rad/s]. (Hint: haga una solución

gráfica).

e) La frecuencia en [Hz] de las corrientes por el rotor, cuando éste gira a ηr =1141 [rpm].

f) La eficiencia del motor cuando el rotor gira a la velocidad de e).

Resolución:




11

Xσ2'

440

√3

Xσ1

XmR2'/s

Figura 3. Circuito Equivalente por fase

a) El equivalente thevenin tiene los siguientes valores:

][1.164.4213.1

64.42·13.1·

][48.247

64.4213.1

64.42

3

440·

1

1

1

1

Ω=+

=+

=

=+

=+

=

m

m

Th

m

m

Th

X X

X X X

V

X X

X V V

σ

σ

σ (37)

Luego el torque máximo y deslizamiento para dicho torque:

]·[8.327

)'·(·2

··3

135.0'

21

2

1

2

m N

X X

V pT

X X

R s

Th

Th

m

m

m

=

+

=

=+

=

σ

σ

ω

(38)

b) El torque está dado por:

s

s

s

s

T sT

m

m

m

+

=·2

)( (39)

Para obtener el torque de arranque evaluamos en s = 1:

]·[92.86

1

135.0

135.0

1

8.327·2

m N T arr =

+= (40)

c) La velocidad a la que se produce el torque máximo:




12

][1038·2

60·

]/[7.108)135.01(3

30··2)1·(1

rpm

srad s p

mm

mm

==

=−=−=

π ω η

π ω ω

(41)

d) En rigor se debe utilizar la condición de equilibrio entre el torque eléctrico y el torque de

carga:

c

m

m

m T s p

s

s

s

s

T sT =−=

+

= )1(·2·2

)( 1ω

(42)

Pero esto nos conduce a una ecuación cúbica. Sin embargo, supongamos un deslizamiento

pequeño, el torque eléctrico es:

2022

··2···2

m

m

el s

m

mm

el s

sT T

s s

s sT T = ⎯ ⎯ → ⎯

+=

→ (43)

Luego el torque de carga:

pk T s

pk k sT c smc

1

0

1 ·)1·(··)( ω = ⎯ ⎯ → ⎯ −==→

(44)

En equilibrio:

0518.08.327·3

135.0·60··2

·

·

·2··2

1

1

===⇒

=

π ω

m

m

m

m

T p

s s

p s

sT

(45)

Entonces la velocidad del rotor:

][1138

]/[15.119)0518.01(3

60··2)1·(1

rpm

srad s p

r

r

=⇒

=−=−=

η

π ω

(46)

Si se realiza una solución gráfica se tiene que el punto de equilibrio ocurre a 117 [rad/s].

Luego suponer una condición de pequeños deslizamientos es una buena aproximación

e) Sea:




13

]/[5.11960

·2·][1141 srad rpm mmm ==⇒=π

η ω η (47)

Luego s:

05.01

1

=

−

=

p

p s

m

ω

ω ω

(48)

Entonces:

][360·05.0· Hz f s f r === (49)

f) Sea η el rendimiento del motor:

%9595.005.011 =⇒=−=−= η η s (50)

Las pérdidas del estator son despreciables

5. Un motor de inducción trifásico de 460 [V], 60 [Hz], 6 polos, mueve a una carga

constante de 100 [Nm] a una velocidad de 1140 [rpm], cuando los terminales del rotor

están cortocircuitados. Se desea reducir la velocidad del motor a 1000 [rpm]agregando resistencias externas en el rotor. Diseñe la resistencia adicional por fase

especificando su potencia y su valor en [Ω], considerando que la resistencia del rotor

es de 0,2 [Ω] por fase. Cuando el eje mecánico está detenido, la tensión entre 2

terminales del rotor es de 460 [V]. Desprecie las pérdidas en el estator.

Resolución:

a) Calculemos los deslizamientos en cada condición

167.0

05.0

])[1000(2]),[1140(1

][360060· donde;

2

1

=⇒

=⇒

=

==−=

s

s

rpmrpmi

rpm f

p

p s

e

e

i

e

i

η

η

η

η

(51)




14

Supongamos condición de pequeños deslizamientos, entonces:

2

2

2

1

1

1

··2··2

m

m

m

m

s

sT T

s

sT T == (52)

La condición de equilibrio está dada cuando el torque es 100 [N·m] en ambos casos:

1

2

1

2

2

2

1

1

21

··2··2

]·[100

s

s

s

s

s

sT

s

sT

m N T T

m

m

m

m

m

m

=⇒

=

==

(53)

Por otro lado, se sabe:

'

'

'

'

2

12

1

2

22

2

σ σ X X

R s

X X

R s

Th

m

Th

m+

=∧+

= (54)

Entonces

][467.02.0667.0'

][667.03.3·2.0'''][2.0'

3.3'

'

05.0

167.0

22212

12

22

1

2

Ω=−=⇒

Ω==+=⇒Ω=⇒

===

ad

ad

m

m

R

R R R R

R

R

s

s

(55)

Debido a la resistencia adicional, tenemos 2 curvas de característica diferentes para la

misma máquina.

Ahora bien la potencia:

][1047172.104·100·

R sin;][11938119·100·

22

ad11

W T P

W T P

mcmec

mcmec

===

===

ω

ω (56)

Las pérdidas son:

][20991

·

][3.6281

·

2

22

2

1

11

1

W s

P s P

W s

P s P

mec

cu

mec

Cu

=−

=

=−

=

(57)




15

Con ello:

][7.1470:12 W P P P cucuCuRad −= (58)

O bien:

][1470·'

'2

22

W P R

R P cu

ad

CuRad == (59)

6. La máquina asincrónica de la figura impulsa al generador sincrónico conectado a la

red 1 de 380 [V], 50 [Hz]. La máquina sincrónica tiene saturación despreciable y al-

canza la condición de flotación con una corriente de campo If = 2 [A]. La máquina a-

sincrónica tiene pérdidas despreciables en el estator (R 1 = 0)

a) ¿A qué velocidad gira el conjunto? Justifique.

b) Determine la potencia activa que entrega la red 2.

c) ¿Qué valor debe tener la corriente de campo para que el generador transmita su

potencia nominal a la red 1 con FP unitario?

Resolución:

a) La máquina sincrónica impone la velocidad, ya que debe girar a la velocidad sincrónica de

la red 1. De esta manera la máquina de inducción se acomodará a la velocidad a través del

deslizamiento. La velocidad del conjunto es:

][1572

50··2··2 11 srad p

f

pm ====

π π ω ω (60)




16

b) Suponiendo que no hay pérdidas en la transmisión, la potencia en el eje de la máquina

sincrónica es:

][30 kW P mec = (61)

Luego la potencia activa de la red 2 es (con pérdidas despreciables en el estator):

s

P P mec

CG−

=1

1 (62)

Donde:

167.060··2

50··2·21

·1

2

=−=−=π

π

ω

m p s (63)

Luego:

][361 kW P CG = (64)

c) La máquina sincrónica se encuentra en condición de flotación, la corriente de armadura es

cero, luego la tensión es los terminales es la misma que la tensión de alimentación:

][220 V V V a P == por fase con ][2 A I f = (65)

Luego cuando la potencia nominal es 30 [kVA]:

][6.45

·380·330000

··3

A I

I

I V P

a

a

aanom

=⇒

=

=

(66)

Dado que el factor de potencia es 1, Va e Ia están en fase:





17

Por LVK:

][º2315.238

··

V V

X j I V V

P

saa P

∠=⇒

+=

•

••• (67)

Si consideramos el estar trabajando en zona lineal de la característica de magnetización de

la máquina sincrónica:

][165.2220

15.238·2'·' A

V

V I I

P

P f

f === (68)

Siendo esta la corriente de campo para la nueva condición.

7. Un motor asincrónico de 225 [kW], 50 [Hz], 16 polos, rotor devanado, estator y rotor

en conexión estrella tiene una resistencia del rotor (por fase) referida al estator de

0.035 [Ω]. El deslizamiento nominal del motor es sn = 2.5%.

El motor impulsa a un ventilador cuyo momento de carga es proporcional al cuadrado

de la velocidad ( 2· r c k T ω = ). El ventilador demanda una potencia de 225 [kW] a la ve-

locidad nominal del rotor.

a) Determine el torque que desarrolla el motor:

a.1) A velocidad nominal.

a.2) A 250 [rpm].

b) Se agregan resistencias adicionales en el rotor devanado, para reducir la velocidad a300 [rpm].

b.1) Muestre gráficamente cómo se altera el punto de trabajo y la característica

Tel(ωr ) al agregar la resistencia adicional.

b.2) Determine el valor de la resistencia adicional (vista desde el estator). (Ayuda:

considere que T(s) es lineal en la zona de trabajo)

b.3) Calcule el rendimiento del motor en el nuevo punto de trabajo.

b.4) Determine la potencia disipada en cada resistencia adicional.

b.5) Calcule la frecuencia de las corrientes en el rotor (f r ).

b.6) Determine la velocidad del campo giratorio del rotor con respecto al del estator.

Resolución:

a) a.1) La velocidad nominal del rotor es:

]/[3.38)025.01·(8

50··2)1·(

··2 srad s

p

f nomrnom =−=−=

π π ω (69)




18

Luego el torque nominal es:

]·[58753.38

2250002

m N P

T rnom

nom

nom ===ω

(70)

a.2) Se sabe que:

]/··[43.38

5875

·

22

22

2

rad sm N T

k

k T

rnom

nom

r c

===⇒

=

ω

ω

(71)

A η = 250[rpm]:

]/[2.2660

·2· srad

r

==π η

ω (72)

El torque del ventilador es:

]·[27462.26·4· 22m N k T r === ω (73)

b) b.1) Se tiene la curva de la figura siguiente.

Desde el punto de operación A con snom = 0.025 (365[rpm]) se traslada al punto de

operación B con:

2.0

8

3000

3008

3000

2 =−

= s (74)




19

Figura 5. Curva Torque versus Velocidad

b.2) Considerando que se está trabajando en la zona estable (con s < sm1), podemos usar

una aproximación lineal:

s s

T sT

m

m ··2)( = (75)

En el caso sin resistencias adicionales:

nom

m

m

nomnomnom s s

T T sT s s ··2)(

1

==⇒= (76)

Con las resistencias adicionales en el rotor:

2

2

22 ··2)( s s

T T sT

m

m== (77)




20

1

2

22

·m

mnomnom

s

s

s

s

T

T =⇒ (78)

Considerando que sm ~ R 2':

T m

m

R

R

s

s

'

'

2

2

2

1 =⇒ (79)

Además:

2

22

2·

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =⇒

=

r

rnomnom

r c

T

T

k T

ω

ω

ω

(80)

De este modo:

][38.0'·9.10'

''9.11'·'

9.11025.0

2.0·

300

6.365·

'

'

·

22

2222

2

2

2

22

2

2

21

2

Ω==⇒

+==⇒

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =⇒

=

R R

R R R R

s

s

R

R

s

s

T

T

s

s

ad

ad T

nomr

rnomT

nom

nom

m

m

ω

ω (81)

b.3) Con η = 300 [rpm]:

%808.01

2.0375

300375

1

1

=⇒=−=⇒

=−

=

−

=

η η

ω

ω ω

s

p

p s

r

(82)

b.4) Se tiene:

][12402560

·2·300·4··)300(

3

3

300300300 W k T P r r mec =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ===

π ω ω (83)

Luego:




21

][310062.01

2.0·124025

)1

(

)(

32

2

32

W

s

s

P P

s

P P P P P

mec

T Cu

Cu

CGCumecCG

=−

=−

=⇒

=+=

φ

φ

(84)

Pero:

][946438.0035.0

38.0·

3

31006

''

'··

3

1)'(

)'()'(

22

2

32212

222232

W R R

R P R P

R P R P P

ad

ad

T Cuad Cu

ad CuCuT Cu

=+

=+

=→

+=

φ φ

φ

(85)

b.5)

][1050·2.0· 12 Hz f s f r === (86)

b.6) Se tiene:

][375·50 1 rpm

p

f cger cgr ecgr ===+== ω ω ω ω ω (87)

O bien:

][375]/[25.3985.74.31

][75]/[85.750·2.0·8

·2···2

]/[4.31

60

·2·300][300

1

rpm srad

rpm srad p

f s

srad rpm

r ecgr

r

==+=+=

====

===

ω ω ω

π π ω

π ω

(88)

8. Una máquina de inducción de 10 [kW], 4 polos conectada en Y ala red trifásica de 380

[VLL], 50 [Hz]. La máquina tiene los siguientes parámetros de circuito equivalente:

R 1 = 0 , R fe → ∞ (pérdidas despreciables en el estator).R 2' = 0.4 [Ω], Xσ1 = Xσ2' = 1 [Ω], Xm = 10 [Ω].

a) Encuentre la característica torque versus deslizamiento.

b) Calcule la velocidad de giro (en RPM) del rotor cuando la máquina es usada para

levantar una carga gravitacional (torque constante) de 30 [N·m].

c) ¿Cuánto valen las pérdidas (en kW) de la máquina para la condición de operación

calculada en b).




22

Resolución:

a) Sabemos que:

m

m

m

s

s

s

s

T

sT +

=·2

)( (89)

Donde:

'

'

)'·(·2

··3

2

2

2

2

σ

σ ω

X X

R s

X X

V pT

Th

m

The

Th

m

+=

+=

(90)

Aplicando teorema de Thevenin:

][11

10

'

'·

][20011

10·220·

3

380

2

2

1

Ω=+

=

==+

=

m

mTh

m

mTh

X R

X R X

V X X

X V

σ (91)

Reemplazando:

21.0

111

10

4.0

]·[200

)111

10·(50··2·2

)200·(2·3 2

=

+

=

=

+

=

m

m

s

m N T

π

(92)

Finalmente:

]·[0441.0

·84

21.0

21.0400)(

2m N

s

s s

s

sT +

=

+

= (93)

b) Debemos encontrar s para 30 [N·m].




23

Existen 2 métodos, uno exacto despejando s de la característica torque versus

deslizamiento, y otra aproximada encontrando la aproximación lineal de T'(s) y despejando

directamente. Dicho método debe ser validado comprobando s << sm:

Método exacto:

inestableop.de punto78.2

solución016.0

60

323.1·1208484

300441.0

·8430)(

2

12

2

←=

←=⇒

−±=⇒

=+

⇒=

s

s s

s

s sT

(94)

La velocidad de operación:

][1476984.0·1500)1·(60·1 rpm s

p

f r ==−=ω (95)

c) Sabemos que:

s P s P

P P

P

P

P s

out loss

lossout

out

in

out

·)1·(

1

=−⇒

+==−=η

(96)

Por otra parte:

][64.460

·2·1476·30· kW T P r out === π ω (97)

Entonces:

][4.75984.0

016.0·10·64.4 3 W P loss == (98)

9. Un motor de inducción trifásico de 4 polos, 550 [VLL], 60 [Hz] tiene una característicacon torque máximo Tm = 100 [N·m] que ocurre a un deslizamiento de 0.25 (considere

las pérdidas en el estator despreciables). Esta máquina es operada desde una red de

400 [V], 50 [Hz]. Determine:

a) Torque máximo desarrollado (cuando se conecta la nueva fuente).

b) La velocidad a la cual ocurre este torque máximo.

c) Si la máquina originalmente (con alimentación 550 [V], 60 [Hz]) movía una carga a




24

1710 [rpm] encuentre la nueva velocidad (con alimentación 400 [V], 50 [Hz]) si el torque

de carga es el mismo.

Resolución:

a) Sabemos que el torque máximo está dado por:

)'·(·2

··3

'·'·

)'·(·2

··3

2

2

2

22

2

2

σ

σ σ

σ

ω

ω ω

ω

L L

V pT

L X L X

X X

V pT

The

Th

m

eTheTh

The

Th

m

+==⇒

=∧=→

+=

(99)

Sabemos que la cambiar la alimentación, cambia VTh y ωe, entonces expresando dichas

variaciones:

]·[2.76100·50

60·

550

400·

50

60·

550

400'

)'·(·2

··3·

50

60·

550

400

)'·(·60

50·2

·550

400··3

'

2222

2

2

222

2

2

2

2

2

m N T T

L L

V p

L L

V p

T

mm

The

Th

The

Th

m

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

=σ

σ

ω ω (100)

b) Debemos encontrar el deslizamiento para el cual ocurre torque máximo.

( ) eThTh

m L L

R

X X

R s

ω σ σ ·'

'

'

'

2

2

2

2

+=

+= (101)

Tanto las resistencias como las inductancias permanecen constantes con la frecuencia de

excitación (modelo ideal):

( ) ( )3.025.0·

50

60'

·

50

60

·'

'·

50

60

'·'

''

2

2

2

2

==

=

+

=

+

=

m

m

eTheTh

m

s

s

L L

R

L L

R s

ω ω σ σ (102)

Luego:




][1050·2

'·60'

]/[·357.0·2

50··2)1·(

··2'

rpm

srad s p

f

rm

rm

m

e

rm

==

==−=

π

ω η

π π π

ω

(103)

c) Sabemos que:

]·[5.38

05.0

25.0

25.0

05.0

200

25.0

25.0

200

05.01800

17101

)1·(2

60·60)1·(

60·][1710

1

1

1

1

11

m N

s

sT

s

s s p

f rpm i

e

r

=

+

=

+

=⇒

=−=⇒

−=−==η

(104)

Por otra parte, al alimentar con la nueva fuente la característica cambia pero el torque de

carga permanece igual:

5.383.0'

4.152)'( === cT

s sT

(105)

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