Máquinas Eléctricas I UTFSM.

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7/23/2019 Máquinas Eléctricas I UTFSM. http://slidepdf.com/reader/full/maquinas-electricas-i-utfsm 1/191 UNIVERSIDAD  TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA Departamento de Electricidad Apuntes para la asignatura Máquinas Eléctricas I (ELI-326)  J.Müller 2005

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UNIVERSIDAD TÉCNICAFEDERICO

SANTA MARÍADepartamento deElectricidad

Apuntes para la asignatura

Máquinas Eléctricas I

(ELI-326)

J.Müller 2005

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CAPÍTULO 1 ____________________________________________________________

1 FUNDAMENTOS ANALÍTICOS PARA LAS MÁQUINAS DE CAMPO GIRATORIO ..................... 1-2

Introducción................................................................................................................................................1-2 1.1 IDEALIZACIONES PARA LA FORMULACIÓN DEL MODELO ....................................................................... 1-31.2 L A MODELACIÓN DEL CAMPO UNIDIMENSIONAL EN EL ENTREHIERRO.................................................... 1-31.3 ENLACES DE FLUJO E INDUCTANCIAS DE LA ARMADURA ...................................................................... 1-6

1.3.1 Inductancias propias de la armadura ................................................................................... 1-8 1.3.2 Inductancias mutuas entre las fases de la armadura......................................................... 1-10 1.3.3 Inductancia mutua entre el campo y una fase de la armadura .......................................... 1-111.3.4 Inductancia propia del campo............................................................................................. 1-12 1.3.5 Inductancias propias y mutuas de devanados equivalentes en el rotor............................. 1-131.3.6 Enlaces de flujo resultantes................................................................................................ 1-14

1.4 ECUACIONES DE EQUILIBRIO ELÉCTRICAS ........................................................................................ 1-151.4.1 Devanado de armadura...................................................................................................... 1-15 1.7.1 Devanados del rotor ........................................................................................................... 1-16

1.5 DIAGONALIZACIÓN Y COMPONENTES SIMÉTRICAS............................................................................. 1-161.5.1 Diagonalización de matrices............................................................................................... 1-17 1.5.2 Transformación de tensiones y corrientes de fase a componentes simétricas.................. 1-20

1.6 F ASORES ESPACIALES.................................................................................................................... 1-23

1.7 TRANSFORMACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO A COORDENADAS FIJAS AL ROTOR................. 1-271.7.1 Cambio de coordenadas fijas a coordenadas móviles....................................................... 1-27 1.7.2 Las ecuaciones de Park ..................................................................................................... 1-29

1.8 EL MOMENTO ELECTROMAGNÉTICO................................................................................................. 1-301.8.1 Ecuación de equilibrio mecánica........................................................................................ 1-33

1.9 C ASO PARTICULAR: LA MÁQUINA ISOTRÓPICA SIMÉTRICA.................................................................. 1-341.10 EXCITACIÓN ASIMÉTRICA Y COMPONENTES SIMÉTRICAS ............................................................... 1-351.11 APÉNDICE 1 .............................................................................................................................. 1-38

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Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio ___________________________________________________________________________

1-2

1 Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio

Introducción

Máquinas asincrónicas y sincrónicas trifásicas se conocen genéricamente comomáquinas de campo giratorio. Ambos tipos de máquinas poseen un estator provisto deun devanado trifásico simétrico mediante el cual producen una distribución espacialperiódica de fuerza magnetomotriz en el entrehierro. En el caso de la máquina

asincrónica y de la máquina sincrónica de rotor cilíndrico el entrehierro se consideraconstante, mientras que en el caso de la máquina sincrónica de polos salientes elentrehierro es una función periódica de la coordenada tangencial. El comportamientocaracterístico de ambos tipos de máquina está determinado por sus rotores. Mientrasque el rotor de la máquina asincrónica está equipado con un devanado simétricocortocircuitado (jaula) el rotor de la máquina sincrónica está provisto de un devanado decampo alimentado por una fuente de corriente continua.

De las semejanzas señaladas se desprende la conveniencia de un tratamiento analíticocomún para ambos tipos de máquina, caracterizadas mediante las inductancias propiasy mutuas de sus respectivos devanados.

Para las inductancias de la máquina se determinan expresiones analíticas a partir de unmodelo unidimensional para el campo en el entrehierro, aproximando las distribucionesespaciales de la fuerza magnetomotriz y de la permeancia mediante los primerostérminos de sus desarrollos en series de Fourier.

En los párrafos siguientes se formulan las ecuaciones de equilibrio eléctricas ymecánica para las máquinas de campo giratorio a partir de principios básicos. Estasecuaciones tienen la forma de ecuaciones diferenciales nolineales, lo que en el casogeneral obligará a usar métodos numéricos en su resolución. La disponibilidad decomputadoras ha removido esta barrera del pasado y permite analizar todo tipo decomportamiento dinámico de estas máquinas.

En el importante caso particular en que la velocidad de la máquina es constante esposible, si se utilizan variables sustituto elegidas convenientemente, describir lamáquina mediante ecuaciones diferenciales lineales, con la ventaja de poder lograr soluciones analíticas y poder apreciar a través de ellas la influencia de los diferentesparámetros sobre los resultados.

La simetría del devanado de armadura de las máquinas trifásicas, hace conveniente eluso de variables sustituto complejas, las así llamadas componentes simétricas de losvalores instantáneos. Estas producen una notable simplificación matemática y con la

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1-3

ventaja adicional de permitir, a través de su interpretación como fasores espaciales, larepresentación de las magnitudes distribuidas sinusoidalmente en el espacio mediante

fasores en el plano complejo.

1.1 Idealizaciones para la formulación del modelo

Se supone que el campo en el entrehierro es unidimensional, es decir, que eshomogéneo en dirección axial y que la componente radial de la inducción sólo esfunción de la coordenada tangencial.

El fierro, tanto del estator como del rotor, es ideal, es decir, se supone que su

permeabilidad es infinita y que las pérdidas en el fierro son despreciables.

El estator es cilíndrico, provisto de ranuras distribuidas regularmente en las que estáalojado un devanado trifásico simétrico que carece de ramas en paralelo y estáconectado en estrella sin neutro.

El rotor puede ser anisotrópico. Los polos salientes tienen forma tal que el entrehierro alo largo de la zapata polar es constante. La permeancia del espacio interpolar sesupone nula.

Solamente se considera a las componentes fundamentales de las distribuciones

espaciales de densidad lineal de corriente, fuerza magnetomotriz e inducción. Para larepresentación analítica de la permeancia del entrehierro sólo se considera el valor medio y la segunda armónica de su desarrollo en serie de Fourier.

1.2 La modelación del campo unidimensional en el entrehierro

El campo magnético en el entrehierro de la máquina se debe a las corrientes deldevanado de armadura, alojado en ranuras, y a las corrientes en los circuitos del rotor.

Para describir analíticamente el campo producido por el devanado de armadura resultaconveniente partir de un modelo electromagnético para una ranura. La figura 1.2.1muestra esquemáticamente los detalles de una ranura del estator que aloja a N r conductores, por cada uno de los cuales circule la corriente i . El ancho de la ranura seabr y la permeabilidad del fierro sea infinita.

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1-4

La aplicación de la ley de Ampere a lo largo del camino de integración indicado en lafigura 1.2.1 permite determinar directamente la intensidad del campo magnético H r entrelas cabezas de los dientes bajo el supuesto que su valor sea independiente de lacoordenada tangencial x :

r

r r

b

i N H = (1.2.1)

Por otra parte, para satisfacer las condiciones de contorno, la componente tangencial

del campo en el entrehierro frente a la abertura de la ranura tiene que ser igual a H r , esdecir,

t r H H = . (1.2.2)

Esta condición de contorno también essatisfecha por una capa de corrienteaxial de densidad lineal a=H t y anchotangencial br , ubicada en el lugar de laranura en reemplazo de esta.

Como la capa de corriente equivalentede densidad lineal

r

r

b

i N a= (1.2.3)

produce el mismo campo en el entrehierro que la corriente en la ranura, se puedepensar a la superficie ranurada del estator reemplazada por una superficie lisa provistade capas de corriente axial de densidad a y de ancho tangencial br . Este modelo no sólopermite simplificar notablemente la determinación del campo en el entrehierro, sino

Rdx

a(x)

x x+dxR

H(x+dx)H(x)δ(x) δ(x+dx)

∞→µ fe

Figura 1.2.2 Modelo para la determinacióndel campo unidimensional enel entrehierro asociado a unacapa de corriente

Figura 1.2.1 Relativo al modelo electromagnético de una ranura,

visto desde el entrehierro

yugo

diente

ranura

entrehierro

br

coord.radial

coord.tangencial

∞→µ fe

br

Capa de corrienteequivalente a(x)

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1-5

también resultará muy útil a la hora de determinar el momento electromagnéticodesarrollado por la máquina.

Considérese ahora la situación ilustrada en la figura 1.2.2, donde una de las superficieslimítrofes del entrehierro está provista de una capa de corriente de densidad lineal a(x).

La aplicación de la ley de Ampere al camino de integración indicado permite anotar

∫ =⋅ Rdx ) x ( asd H rr

, (1.2.4)

y si se supone que la permeabilidad del fierro es infinita, la integral se reduce a

Rdx ) x ( a ) x ( ) x ( H )dx x ( )dx x ( H =δ−+δ+ . (1.2.5)

Desarrollando el primer miembro de (1.2.5) en serie de Taylor y despreciando lostérminos diferenciales de segundo orden queda

Rdx ) x ( adx x

) x ( H dx x

) x ( H ) x ( =

∂δ∂

+∂

∂δ , (1.2.6)

que equivale a ( ) ) x ( Ra ) x ( ) x ( H x

=δ⋅∂∂

. (1.2.7)

Pero ) x ( f ) x ( ) x ( H =δ⋅ , (1.2.8)

por lo que rige la siguiente relación general entre fuerza magnetomotriz en el entrehierroy densidad lineal de corriente:

∫ += )t ( C dx ) x ( aR ) x ( f . (1.2.9)

De aquí se desprende que toda distribución espacial de fmm puede ser asociada unadistribución espacial de densidad lineal de corriente y esta puede ser considerada comoorigen de aquella.

Si ahora se define la permeancia por unidad de superficie como

) x ( ) x (

δ

µ=Λ 0 , (1.2.10)

se puede reescribir la relación (1.2.8) en términos de la inducción en el entrehierrocomo

) x ( f ) x ( ) x ( B ⋅Λ= , (1.2.11)

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1-6

de donde se desprende que la inducción en el entrehierro, correspondiente a unacoordenada tangencial x cualquiera, se logra como el producto de la fmm por la

permeancia correspondientes a esa coordenada.

La aplicación de estas relaciones permite la determinación sistemática del campo en elentrehierro, a partir de la distribución de la densidad lineal de corriente correspondientea una ranura y la aplicación del principio de superposición1.

1.3 Enlaces de flujo e inductancias de la armadura

La figura 1.3.1a muestra esquemáticamente un corte transversal en desarrollo a través

de la máquina con entrehierro variable, a lo largo de un doble paso polar. Las figuras1.3.1b, 1.3.1c y 1.3.1d muestran las distribuciones idealizadas ( ∞→q ) para ladensidad lineal de corriente y la fmm correspondientes a la fase a y para la permeanciaen el entrehierro, donde para esta última se supuso, para obtener relaciones analíticasmás simples, que la permeancia en el espacio interpolar es nula.

Para las distribuciones espaciales periódicas de la fmm y de la permeancia rigen,respectivamente, los siguientes desarrollos en serie de Fourier:

∑ν

ν ν= x cosF ) x ( f con )g ( p 12 +=ν y ...,,,,g 3210= (1.3.1)

y )

p x ( cos ) x (

γ−λΛ+Λ=Λ ∑

λλ0 con pg 2=λ y ...,,,g 321= (1.3.2)

De acuerdo con lo expuesto en el párrafo anterior, la inducción en el entrehierrocorrespondiente a una coordenada x se calcula como:

) x ( f ) x ( ) x ( b ⋅Λ= . (1.3.3)

Si, de acuerdo con las suposiciones iniciales, se limita el análisis a la fundamental de laonda de fmm y a los primeros dos términos de la distribución de permeancia, elcorrespondiente reemplazo de (1.3.1) y (1.3.2) en (1.3.3) resulta en

( )[ ]γ−±Λ+Λ= 2221

20 x p pcosF px cosF )t , x ( b p p p , (1.3.4)

donde el último término debe considerarse dos veces, una vez con signo (+) y otra vezcon signo (-).

1 Apéndice 1

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1-7

Al considerar el signo (+) resulta un término con triple número de polos. Este término seignorará en adelante, ya que corresponde a un campo de triple número de polos que dalugar a una tercera armónica en la tensión de fase, la que, debido a la conexión enestrella (con neutro aislado) del devanado de armadura, no aparece en la tensión delínea. Queda entonces

) px cos( F px cosF )t , x ( b p p p γ−Λ+Λ= 2221

0 , (1.3.5)

donde el segundo término, que desaparece si el entrehierro es constante, tiene suorigen en la anisotropía magnética del rotor.

Para la amplitud de la componente fundamental de la onda de fmm se había obtenidoen una oportunidad anterior 2 la expresión

2 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía, Capítulo 4

xc xb x

3iaN1/πR

iaN1/2p

µ0/δ"

γ/p

γ/p

π/p

aa

f a

Λ

a a'

π/3p

bc c'b'

Figura 1.3.1 Modelo esquemático en cortede la máquina sincrónica

a

b

c

d

απ/p

x2

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1-8

p

i N f F ad

p 2

4 11

π= (1.3.6)

y los coeficientes de Fourier de la onda de permeancia definida en la figura 1.3.1d secalculan como

( ) αδ ′′µ

=δ ′′µ

π=Λ

π=Λ ∫∫

απ+

γ

γ

π

0p2p

p

0p

2

0

0 dx42

pdxx

2

p(1.3.7)

y

( ) ( ) αππδ ′′µ

=γ−Λπ=Λ ∫

απ+

γ

απ−

γsendx px cos x

pp p

p p

p

2222

02

2

2 (1.3.8)

donde δ ′′ es el entrehierro efectivo3 sobre la zapata polar y απ/p es el ancho de esta.

Al reemplazar estas relaciones en (1.3.5) se obtiene la siguiente expresión para lafundamental de la onda de inducción producida por la corriente en la fase a:

( )

γ−αππ

+αδ ′′µ

π= 2

1

2

4 011 px cossen px cosi p

N f )t , x ( b a

d . (1.3.9)

1.3.1 Inductancias propias de la armadura

Para calcular el flujo enlazado por la fase a del estator debido a esta distribución deinducción se recurre convenientemente al devanado concentrado equivalente de pasocompleto. Así,

( ) ad

p

p

d aa i cossen

Rl p

f N lRdx t , x bf N

γ

παπ

δ ′′µ

π==ψ ∫

π+

π

24

2

112

2

011 (1.3.10)

Según definición, la inductancia propia es el factor de proporcionalidad entre esteenlace de flujo y la corriente i a :

γπ

απ+α

δ ′′µ

π=

ψ= 2

42

110 cossen

p

f N Rl

i L d

a

aaaa . (1.3.11)

3 el entrehierro efectivo considera tanto el efecto de las ranuras mediante el factor de Carter como elefecto de la saturación de dientes y yugos

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1-9

Para un rotor isotrópico desaparece el espacio interpolar, 1=α , la inductancia propia se

hace independiente de la posición angular del rotor (γ ) y toma el valor constante

( )2112

01

4d aam f N

p

Rl LL

δ ′′µ

π==

=α. (1.3.12)

Se aprecia que, como consecuencia de la anisotropía, la inductancia propia de una fasedel devanado de armadura varía periódicamente entre un valor máximo

4 4 34 4 21

d

mad

c

senLL

π

απ+α= (1.3.13)

que se produce cuando el eje de simetría del polo (eje d) está alineado con el ejemagnético de la fase a, ( )π=γ ,0 , y un valor mínimo

4 4 34 4 21

q

maq

c

senLL

π

απ−α= , (1.3.14)

que se produce cuando el eje de simetría del espacio interpolar (eje q) coincide con eleje magnético de la fase a ( )232 ππ=γ , .

Las expresiones específicas para los coeficientes c d y c q dependen de la forma en quese modele el entrehierro.

De las relaciones (1.3.13) y (1.3.14) se desprende que la inductancia propia varíaalrededor de un valor medio

21aqad

m

LLLL

+=α= (1.3.15)

y que la amplitud de la variación es

22aqad

mLLLsenL −=

παπ= , (1.3.16)

de manera que la relación (1.3.11) para la inductancia propia de la fase a puede ser rescrita como

γ+= 221 cosLLLaa . (1.3.17)

Las expresiones para las inductancias propias de las fases b y c son similares, sólo hayque considerar que 32π−γ=γ b y que 32π+γ=γ c . Así se establece que

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1-10

π+γ+=

3

22

21

cosLLLbb

(1.3.18)

y que

π−γ+=

3

2221 cosLLLcc . (1.3.19)

1.3.2 Inductancias mutuas entre las fases de la armadura

La determinación de las inductancias mutuas entre fases del devanado de armadurarequiere la determinación del flujo enlazado por una fase (p.ej. a) debido a la corriente

en otra fase (p.ej. b).

Para la onda de inducción producida por la fase b vale una expresión similar a (1.3.9) sise reemplaza i a por i b, x por x b y γ por γ b, donde x b y γ b se miden desde el eje magnéticode la fase b.

p x x b 3

2π−= y

pb 3

2π−γ=γ .

El flujo enlazado por la fase a se determina integrando la expresión para la inducciónentre los límites correspondientes a la bobina concentrada equivalente de paso

completo de la fase a expresados en términos de la coordenada x b

( ) bm

p

p

bbbd ab i cossen

LlRdx t , x bf N

π−γ

παπ

−==ψ ∫

π

π 3

22

2

6

11

6

511 . (1.3.20)

La inductancia mutua entre las fases a y b se determina como

π−γ+−=

ψ=

3

22

2

21 cosL

L

i

L

b

abab . (1.3.21)

Para determinar la inductancia mutua entre las fases a y c se procede en formaanáloga, considerando las relaciones

p x x c 3

2π+= y

pc 3

2π+γ=γ .

Así se obtiene para el flujo enlazado por la fase a

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1-11

( ) c m

p

p

c c c d ac i cossen

LlRdx t , x bf N

π+γ

π

απ+

α−==ψ

π

π 3

22

2

6

7

6

11 (1.3.22)

y para la inductancia mutua entre las fases a y c

π+γ+−=

ψ=

3

22

2 21 cosL

L

i L

c

ac ac . (1.3.23)

Para la inductancia mutua entre las fases b y c vale

γ+−= 2

22

1 cosLL

Lbc . (1.3.24)

Excepto en el caso de la máquina de reluctancia, el rotor de las máquinas de campogiratorio está provisto de devanados (trifásico o jaula para la máquina asincrónica,campo y jaula de amortiguación para la máquina sincrónica). En lo que a la fundamentalde la onda de fmm producida por cada uno de estos devanados se refiere, estosdevanados pueden pensarse reemplazados por devanados concentrados bifásicosequivalentes centrados en los ejes de simetría d y q, como se ilustra esquemáticamenteen la figura 1.3.2.

1.3.3 Inductancia mutua entre el campo y una fase de la armadura

Desde el punto de vista del campo en el entrehierro, el devanado de campo se puedeconsiderar como un devanado concentrado acortado de paso p / απ cuyo ejemagnético coincide con el eje d. Con las denominaciones y referencias de la figura 1.3.1el flujo enlazado por el campo debido a la distribución de inducción producida por lacorriente en la fase a se calcula como:

( )∫

απ+

γ

απ−

γ

=ψ p p

p p

af fa lRdx t , x bN 2

2

(1.3.25)

am

d

f fa i cos

senLsen

N f

N

ad L

⋅γ

π

απ+α

απ

4 4 34 4 21211

. (1.3.26)

Si se tiene presente que ( ) ( )( )212 / cossenf df πα−=απ= corresponde al factor de

cuerda del devanado de campo y se define la relación de transformación

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1-12

111

d

df f f

f N

f N =ξ (1.3.27)

se tiene que la inductancia mutuaentre campo y fase a vale

γ= cosLL f fa 1 (1.3.28)

donde ad f f LL 11 ξ= (1.3.29)

corresponde al valor máximo de lainductancia mutua entre una fase del

estator y el devanado de campo.

Para las otras dos fases se obtienerespectivamente

π−γ=

3

21 cosLL f fb (1.3.30)

y

π+γ=

3

21 cosLL f fc . (1.3.31)

1.3.4 Inductancia propia del campo

Para determinar la inductancia propia del devanado de campo resulta convenienteintroducir una coordenada x 2 , fija respecto al rotor, cuyo origen coincide con el eje desimetría del polo (d). (figura 1.3.1)

Como p

x x γ

−=2 , (1.3.32)

se tiene que en términos de la nueva coordenada la expresión para la permeancia

(1.3.2) toma la forma

2202 2 x pcos ) x ( pΛ+Λ=Λ (1.3.33)

La distribución de fmm del devanado de campo viene dada por

( ) 222 2

4 px cosF px cosi

p

f N x f fpf

df f f =

π= (1.3.34)

Figura 1.3.2 Corte transversal a través dela máquina y representación

esquemática de los devanadosdel rotor

q

d

γ/p

iQi

iD

ia

x2

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1-13

En consecuencia, la componente fundamental de la distribución de inducción toma laforma similar a (1.3.5)

2fpp221

2fp02f pxFpxFxb coscos )( Λ+Λ= , (1.3.35)

a partir de la cual se calcula el enlace de flujo del devanado de campo asociado a lacomponente fundamental del campo en el entrehierro como

( ) f df f

p

p

f df f ff i sen

Rl p

f N lRdx x bf N

π

απ+α

δ ′′µ

π==ψ ∫

π+

π−

22

2

02

4. (1.3.36)

La inductancia propia del campo, o enlace de flujo por unidad de corriente, vale

π

απ+α

δ ′′µ

π=

ψ=

sen

p

f N Rl

i L df f

f

ff ff

2

04. (1.3.37)

1.3.5 Inductancias propias y mutuas de devanados equivalentes en el rotor

En el caso en que el rotor esté equipado con una jaula, circularán corrientes por lasbarras si varía el flujo enlazado por esta. Supóngase que la jaula de amortiguación sea

ideal: sin resistencias y sin dispersión. Entonces, de acuerdo con la regla de Lenz, lascorrientes en las barras de la jaula tienen una distribución tal que tienden a anular a sucausa, la distribución de fmm del estator. Si esta se descompone en componentescentradas en los ejes d y q respectivamente, la reacción de la jaula también puedeconcebirse producida por dos distribuciones de corriente ortogonales entre sí, como seilustra en la figura 1.3.3.

Estas distribuciones alternativamente pueden pensarse creadas por un devanadoequivalente formado por dos bobinas equivalentes cortocircuitadas cuyos ejesmagnéticos están centrados respectivamente en los ejes de simetría d y q, como seindica en la figura 1.3.2.

Las expresiones para las inductancias propias y mutuas asociadas a estos devanadosequivalentes son similares a las de las inductancias propias y mutuas del campo. Lasinductancias propias son constantes y las inductancias mutuas con la fase a del estator tienen la forma:

γ= cosLL DaD 1 γ−= senLL QaQ 1

( )32

1π−γ= cosLL DbD ( )3

21

π−γ−= senLL QbQ (1.3.38)

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1-14

( )32

1π+γ= cosLL Dc D ( )3

21

π+γ−= senLL Qc Q

La determinación de expresiones analíticas como función de la geometría no interesaen este contexto y debe ser pospuesta a la discusión de la teoría del motor asincrónicode jaula simple.

1.3.6 Enlaces de flujo resultantes

Los enlaces de flujo y las correspondientes inductancias determinadas en los párrafosanteriores corresponden al campo fundamental en el entrehierro producido por lascorrientes del estator y del rotor. Adicionalmente los devanados enlazan flujos dedispersión que deben ser considerados mediante sendas inductancias de dispersión. Elenlace de flujo resultante para cada devanado se obtiene sumando los enlaces de flujoparciales.

En términos de las corrientes e inductancias queda:

f af QaQDaDc ac babaaaaa i Li Li Li Li Li Li L ++++++=ψ σ1 (1.3.39)

iQ

iD

-f 1d

-f 1q

f Q

f D

zapata polar barraanillo

Figura 1.3.3 Relativo al reemplazo de la jaula deamortiguación por dos devanadosortogonales equivalentes.

eje deje q

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1-15

f bf QbQDbDc bc ababbbbb i Li Li Li Li Li Li L ++++++=ψ σ1 (1.3.40)

f cf QcQDcDacabcbc cc c c i Li Li Li Li Li Li L ++++++=ψ σ1 (1.3.41)

QfQDfDc fc bfbafaf ff f f f i Li Li Li Li Li Li L ++++++=ψ σ (1.3.42)

c c DbbDaDaf f DDDDDDD i Li Li Li Li Li L +++++=ψ σ (1.3.43)

c c QbbQaQaQQQQQQ i Li Li Li Li L ++++=ψ σ (1.3.44)

Una vez conocidos los enlaces de flujo de cada devanado se pueden plantear lasecuaciones de equilibrio para estos aplicando la ley de Faraday.

1.4 Ecuaciones de equilibrio eléctricas

1.4.1 Devanado de armadura

Para un observador fijo respecto al devanado la ley de Faraday tiene la forma

dt

d i R v i i i ψ+= 1 con c ,b,ai = (1.4.1)

Los enlaces de flujo se expresan convenientemente en términos de las corrientes y delas inductancias propias y mutuas ((1.3.39) – (1.3.41)). Debido a la dependencia de lasinductancias de la posición angular del rotor (γ ), se trata de un sistema de ecuacionesdiferenciales nolineales, lo que se aprecia más claramente al escribirlas en formadesarrollada. Así,

( )

( )[ ]γ−γ++

γ

−+γ+++= σ

senLi cosLi Li dt

d

seni i

cosi dt

d L

dt

di )LL( i R v

QQf f DD

c ba

aaa

111

2111 23

22

3

2

3

. (1.4.2)

( )( )

( )

( ) ( ) ( )[ ]32

132

11

32

32

2111 23

22

3

2

3

ππ

ππσ

−γ−−γ++

−γ

−+−γ+++=

senLi cosLi Li dt

d

seni i

cosi dt

d L

dt

di )LL( i R v

QQf f DD

ac b

bbb

(1.4.3)

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1-16

( )( )

( ) ( ) ( )[ ]32

132

11

32

2111 23

22

3

2

3

ππ

πσ

+γ−+γ++

−+γ+++=

senLi cosLi Li dt

d

seni i

cosi dt

d L

dt

di )LL( i R v

QQf f DD

bac

c c c

(1.4.4)

1.7.1 Devanados del rotor

La aplicación de (1.4.1) a los devanados del rotor permite obtener:

( ) ( )

γ

−+γ++++=

σ

seni i

cosi dt

d L

dt

di L

dt

di LLi R v c b

af

D

fD

f

ff f f f f 32

3

1

(1.4.5)

( ) ( )

γ

−+γ++++= σ sen

i i cosi

dt

d L

dt

di L

dt

di LLi R v c b

aDf

f DD

DDDDDD32

31 (1.4.6)

( ) ( )

γ

−+γ−++= σ cos

i i seni

dt

d L

dt

di LLi R v c b

aQ

Q

QQQQQQ32

31 (1.4.7)

En términos de las variables reales, medibles en los respectivos terminales, estesistema de seis ecuaciones diferenciales nolineales ((1.4.1) - (1.4.7)) no tiene soluciónanalítica conocida y para su integración es necesario recurrir a métodos numéricos. Sinembargo, a través de la introducción de variables sustituto complejas para las variablesdel estator no sólo es posible simplificar las ecuaciones de equilibrio, sino que tambiénes posible linealizarlas para el importante caso particular en que la velocidad del rotor sea constante. Estas ideas se desarrollan en el párrafo siguiente.

1.5 Diagonalización y componentes simétricas

Los sistemas de potencia trifásicos compuestos por máquinas rotatorias,transformadores y líneas de transmisión en general exhiben acoplamientos eléctricos ymagnéticos entre las tres fases. En la descripción matemática de estos sistemasmediante matrices el acoplamiento entre los devanados de las fases se manifiesta entérminos no nulos fuera de la diagonal principal de la matriz que relaciona los vectoresde tensión y de corriente. Desaparece la posibilidad de un análisis por fase. Medianteuna técnica del álgebra lineal es posible diagonalizar estas matrices y lograr unadescripción alternativa más simple del sistema en términos de variables substituto.

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1-17

1.5.1 Diagonalización de matrices4

Si la matriz de impedancias es cuadrada, regular, con valores propios (λi) todosdistintos, siempre será posible llevarla a la forma diagonal mediante la transformación

=− TZT 1 (1.5.1)

donde [ ]321 λλλ= ,,diag (1.5.2)

y [ ]321 XXXT ,,= (1.5.3)

es la matriz de transformación, formada por los vectores propios (Xi) de la matriz Z.

Considérese ahora el caso particular de las matrices cíclicas

=

AC B

B AC

C B A

Z . (1.5.4)

De la ecuación característica

( )( )

( )0=

λ−

λ−

λ−

AC B

B AC

C B A

det (1.5.5)

se obtiene (mediante la fórmula de Cardano) los valores característicos

C aBa A ++=λ 21 (1.5.6)

C aBa A 22 ++=λ (1.5.7)

C B A ++=λ3 (1.5.8)

con 32 / j ea π= . (1.5.9)

En este contexto el término impedancia se debe entender como sinónimo de resistenciao reactancia, por lo que los coeficientes A, B, C de la matriz Z son números reales. Enconsecuencia, de los tres valores propios uno es real y los otros dos son complejosconjugados.

4 A. Mary Tropper – Matrix theory for electrical engineering students - Queen Mary College U.L. 1962

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1-18

Los vectores propios se determinan sustituyendo sucesivamente los diferentes valorespropios en

( ) 0=λ− i i XIZ (1.5.10)

( )( )

( )

0

3

2

1

=

λ−

λ−

λ−

i

i

i

i

i

i

X

X

X

AC B

B AC

C B A

. (1.5.11)

Así, por ejemplo, al reemplazar λi=λ1=A+a2B+aC se obtiene el siguiente sistema deecuaciones:

( )( )

( ) 0

00

32

21

322

1

3212

=+−+

=++−=+++−

X aC Ba X C X B

X C X aC Ba X C

X C X B X aC Ba

(1.5.12)

Al multiplicar la segunda de estas ecuaciones por B y la tercera por C y restar la tercerade la segunda queda:

( ) ( ) 3222

2222 X aC BC aB X C aBC Ba ++=++ , (1.5.13)

ecuación que es satisfecha por X2=a y X3=1, pero también por X2=a

2

y X3=a y por X2=1y X3=a2.

Si se reemplaza el correspondiente par de valores para X2 y X3 en la primera ecuación,se obtiene los siguientes valores para X1:

X1=a2 para X2=a y X3=1X1=1 para X2=a2 y X3=aX1=a para X2=1 y X3=a2.

Se aprecia que hay tres vectores propios:

=

1

2

11 a

a

,X

=

a

a,

221

1

X

=

231 1

a

a

,X , (1.5.14)

que son linealmente dependientes, ya que están relacionados por el factor a.

En forma similar se logra para λi=λ2=A+aB+a2C los vectores propios:

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1-19

=

1

212 a

a

,X

=

222

1

a

a,X

=

a

a

, 1

2

32X . (1.5.15)

Para el tercer valor propio λi=λ3=A+B+C se logra el vector propio

[ ]1113 =′X . (1.5.16)

Cualquier combinación de vectores propios X1, X2 y X3 sirve para formar la matriz detransformación T. La elección de X1,2 , X2,2 y X3 lleva a la forma usual de la matriz detransformación compleja :

=

1

1

111

2

2

aa

aaT (1.5.17)

y de su inversa

=−

111

1

1

3

1 2

2

1 aa

aa

T . (1.5.18)

Cuando se normalizan los vectores propios, exigiendo que la norma sea igual a launidad,

1=⋅∗i i ' XX (1.5.19)

la correspondiente matriz de transformación y su inversa toman la forma

=

1

1

111

3

1

2

2

aa

aaT y

=−

111

1

1

3

1 2

2

1 aa

aa

T (1.5.20)

y la matriz de transformación se conoce como matriz modal . Nótese que en este caso latranspuesta de la conjugada es igual a la inversa, T*’=T-1, es decir, T es una matrizortogonal. Aunque esta segunda forma es matemáticamente más apropiada y presentaventajas analíticas, el peso de la tradición ha mantenido el uso de la forma nonormalizada.

Se puede comprobar trivialmente que el uso de estas matrices diagonaliza la matriz deimpedancias con las características indicadas inicialmente:

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1-20

=

λ

λ

λ

=

=++

++

++−

3

2

11 2

2

C B A

C aaB A

aC Ba A

TZT . (1.5.21)

1.5.2 Transformación de tensiones y corrientes de fase a componentes simétricas

Un aparato o parte de un sistema trifásico simétrico queda descrito en términos de lasvariables trifásicas de tensión y de corriente en sus terminales por la relación

IZV = , (1.5.22)

donde V e I son los vectores cuyas componentes son respectivamente las tensiones ycorrientes de fase y Z es la matriz (3x3) de impedancia operacional .

Si se reemplaza la matriz Z en términos de la correspondiente matriz diagonalizada (otransformada) =ZT queda

ITZTV 1−= T . (1.5.23)

Premultiplicando esta ecuación por T-1 , toma la forma

ITZVT

11 −−

= T , (1.5.24)

que puede ser reinterpretada en términos de las variables transformadas

VT=T-1V e IT=T-1I (1.5.25)

como

T T T IZV = , (1.5.26)

ecuación equivalente a la original, que relaciona las nuevas variables VT e IT mediante

una matriz diagonal. Las nuevas variables están desacopladas y se conocen como lascomponentes simétricas5 . Nótese que la transformación

=

c

b

a

i

i

i

aa

aa

i

i

i

111

1

1

3

1 2

2

0

2

1

(1.5.27)

5 W.V.Lyon , Transient analysis of alternating current machinery – J.Wiley 1954

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1-21

no impone restricción alguna sobre la dependencia del tiempo de las corrientesoriginales (ia, ib, ic), por lo que vale también para los valores instantáneos.

Los valores instantáneos de las corrientes de fase son números reales, por lo que enese caso la componente de secuencia negativa

( )c ba ai i ai i ++= 22 3

1(1.5.28)

es igual al valor conjugado de la componente de secuencia positiva

( )c ba i aai i i 21 3

1++= , (1.5.29)

es decir, •= 12 i i . (1.5.30)

La componente simétrica de los valores instantáneos de secuencia negativa contiene lamisma información que la componente de secuencia positiva.

Para un devanado conectado en estrella sin neutro la corriente de secuencia cero esnula

( ) 03

10 =++= c ba i i i i , (1.5.31)

por lo que las tres corrientes trifásicas reales pueden ser expresadas por una solacorriente compleja 1i . Sobre este aspecto se volverá más adelante al definir el conceptode fasor espacial.

El uso de la forma ortogonal de lamatriz de transformación, es decir dela matriz modal , tiene comoconsecuencia que la fórmula para lapotencia es invariante bajo latransformación:

( ) ( )

TTTT

TTP

VIVTTI

VTITVI

' ' '

' '

* * *

* * *

==

==(1.5.32)

o

∑∑==

==021 ,, j

j

j

,c ,b,ai

i

i i v i v P . (1.5.33)

La potencia total es igual a la suma delas potencias asociadas a cada par devariables de secuencia. Esta

V a2

V c1 Vb1

V a1

V a

V c0

V b0

V a0

V c2 Vb2

V c

V b

Figura 1.5.1 Formación de un sistemaasimétrico a partir de sistemas simétricosde secuencia positiva, negativa y cero

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1-22

propiedad es especialmente útil en el análisis del funcionamiento de máquinas trifásicascon excitación asimétrica.

Al emplear alternativamente la forma no normalizada de la matriz de transformación, lafórmula para la potencia no es invariante bajo la transformación, apareciendo un factor numérico:

∑∑==

==021

3,, j

j j

,c ,b,ai

i i i v i v P . (1.5.34)

Si bien en principio las componentes simétricas son variables sustituto complejas quefacilitan el análisis de sistemas simétricos, para el caso particular de excitaciónsinusoidal, la interpretación en términos de fasores, permite establecer una relación

entre componentes simétricas y componentes de fase, que es de gran utilidad para ladeterminación experimental de las impedancias de secuencia.

Para el análisis de sistemas con excitación sinusoidal las variables se reemplazanusualmente por los correspondientes valores efectivos complejos. Un sistema detensiones asimétrico queda representado en el plano complejo por una estrella detensiones asimétrica. En virtud de la relación entre componentes simétricas ycomponentes de fase se tiene que:

++

++

++

=

++

++

++

=

=

021

021

021

022

1

0212

021

0

2

1

2

2

1

1

111

c c c

bbb

aaa

c

b

a

aa

aa

aa

aa

VVV

VVV

VVV

VVV

VVV

VVV

V

V

V

V

V

V

T4 4 34 4 21

(1.5.35)

Se aprecia que cada una de las tensiones asimétricas Va, Vb, Vc puede pensarseobtenida a partir de la superposición de las componentes correspondientes a tressistemas simétricos: un sistema de secuencia positiva, un sistema de secuencianegativa y un sistema de secuencia cero. Cada uno de estos sistemas representa en eldominio trifásico a la respectiva componente de secuencia.

Los elementos Z1, Z2 y Z0 de la matriz de impedancia diagonalizada se conocen

respectivamente como las impedancias de secuencia positiva, de secuencia negativa yde secuencia cero y pueden ser obtenidas a partir de mediciones simultáneas detensión, de corriente y de potencia, si se excita el sistema físico con el sistema detensiones simétrico correspondiente a la respectiva variable de secuencia.

La medibilidad de los parámetros y la posibilidad de realizar un análisis por fase hancontribuido al uso generalizado de la transformación de las componentes simétricascomo herramienta analítica.

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1-23

1.6 Fasores espaciales6

Las componentes simétricas son esencialmente magnitudes complejas abstractas quesimplifican la descripción matemática del problema. Con ese objetivo son usadas comovariables sustituto en el análisis de redes estáticas, transformadores y máquinasrotatorias, cuyas matrices de impedancia son simétricas o cíclicas.

En el caso de máquinas rotatorias, la simetría inherente de los devanados y lasinusoidalidad de los campos en el entrehierro permiten interpretar estas magnitudescomplejas formalmente como entes espaciales.

x1

x2

x1

x2

Figura 1.6.1 Relación entre una función sinusoidal y su

representación simbólica en el plano complejo

0

Para concretar esta idea, considérese primeramente una distribución sinusoidalcualquiera y su representación simbólica en el plano complejo mediante un fasor (figura1.6.1). Esta transformación, tan ampliamente utilizada en el análisis de redes decorriente alterna, no está de ninguna manera limitada a magnitudes que varíansinusoidalmente en el tiempo. También puede aplicarse a magnitudes que varíansinusoidalmente en el espacio, como las distribuciones de fuerza magnetomotrizasociadas a los devanados distribuidos. El módulo del fasor corresponde en ese caso ala amplitud de la distribución de fmm y su argumento indica el desplazamiento angular del máximo de la distribución respecto a cierta referencia.

Considérese ahora un corte transversal de la máquina de un par de polos (figura 1.6.2)e imagínese un plano de Gauss superpuesto de manera que el eje real coincida con eleje magnético de la fase a. La distribución de fmm de cada fase puede representarse enel plano complejo mediante un fasor espacial cuyo módulo es proporcional al valor instantáneo de la corriente en la fase y cuyo argumento corresponde a la ubicación deleje magnético de la fase representada.

6 Karl P. Kovacs Transient Performance of Electrical Machines – Elsevier 1984.

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1-24

En la figura 1.6.2 se muestran los fasores espaciales de las tres fases para el instanteen el que las corrientes en las fases a y b son positivas y la corriente en la fase c esnegativa. La suma de los tres fasores define el fasor espacial resultante

( )c bas i aai i k i 2++=r

con º a 1201∠= (1.6.1)

cuyo argumento indica la posición angular de la amplitud de la onda de fmm resultante y

cuyo módulo es proporcional a la amplitud de esa onda de fmm. El factor k es arbitrarioy su valor se suele fijar convenientemente exigiendo que la proyección del fasor resultante sobre el eje de la fase a corresponda al valor instantáneo de la corriente enesa fase

( ) ac bas i i i i k i ≡−−=ℜ 21

21

r

, (1.6.2)

pero 0=++ c ba i i i , por lo que

aa i i k =23 y 3

2=k (1.6.3)

a a

ia

ic=a2ic

ib=aib

γ/p

ic

ib

ic

ib

3/2is

ic<0

Figura 1.6.2 Plano complejo superpuesto a un corte transversal de

la máquina. Representación de distribucionessinusoidales en el espacio como fasores espaciales

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1-25

Por lo tanto el fasor espacial de la corriente (fmm) queda definido en el sistema dereferencia fijo respecto al estator como

( )c bas i aai i i 2

3

2++=

r

. (1.6.4)

La similitud de esta expresión con (1.5.29) permite asociar formalmente el fasor espacial con la componente de secuencia positiva de las componentes simétricas de losvalores instantáneos a través de la relación:

12 i i s =r

(1.6.5)

y traspasar a esta última la interpretación física del primero.

Considérese ahora la introducción de un nuevo sistema de referencia, fijo respecto alrotor, tal que su eje real coincida con el eje de simetría de los polos (eje d) y su ejeimaginario con el eje de simetría del espacio interpolar (eje q).

En relación con este nuevo sistema de referencia, la distribución espacial sinusoidal defmm, representada por el fasor espacial r ,si

r

= id+jiq en la figura 1.6.3, puede ser

considerada creada por dos corrientes ficticias id e iq que circulan por un devanadobifásico simétrico ficticio ubicado en los ejes d y q.

En relación con el sistema fijo al estator si

r

está descrito por la expresión

1 jpx

ss ei i rr

= , (1.6.6)

mientras que respecto al sistema fijo al rotor (d,q) el mismo fasor está descrito por

( ) γ−γ− == j s

px j

sr ,s ei ei i rrr

1 . (1.6.7)

Al expresar en (1.6.7) los fasores espaciales en términos de sus respectivas

componentes se tiene que:

( ) γ−++=+ j

c baqd ei aai i ji i 2

3

2(1.6.8)

y al igualar respectivamente las partes reales y las partes imaginarias de ambosmiembros de esta ecuación compleja se logra:

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1-26

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

π+γ−π−γ−γ−

π+γπ−γγ=

c

b

a

q

d

i

i

i

/ sen / sensen

/ cos / coscos

i

i

3232

3232

3

2. (1.6.9)

Se aprecia que se trata de una transformación singular. La distribución espacial de fmmestá definida unívocamente por las corrientes bifásicas, pero no por las corrientestrifásicas. Para apreciar esta situación considérese que

0i i i aa +′= , 0i i i bb +′= , 0i i i c c +′= con 0=′+′+′c ba i i i (1.6.10)

con lo que ( ) ( ) ( ) 0222

0

13

2

3

2

3

2i aai ai ai i aai i i c bac bas

43421

r

+++′+′+′=++= . (1.6.11)

Una eventual corriente por el neutro (3i 0 ) no contribuye al campo fundamental en elentrehierro, por lo que no puede ser obtenida a partir de éste y debe ser especificadaadicionalmente a través de

( )c ba i i i i ++=3

10 , (1.6.12)

q

d

iq

γ/p

iq

i sr

Figura 1.6.3 Plano complejo superpuesto a un corte transversal de la máquina. Representación del fasor espacial en un sistema de referencia (d,q) fijo al rotor

id

id

ℑr

ℜr

x1

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1-27

que corresponde a la componente de secuencia cero de las componentes simétricas.

Con esta consideración adicional la transformación de un sistema trifásico a unobifásico resulta biunívoca y toma la siguiente forma matricial en términos de lascomponentes reales:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

π+γ−π−γ−γ−

π+γπ−γγ

=

c

b

a

q

d

i

i

i

/ / /

/ sen / sensen

/ cos / coscos

i

i

i

212121

3232

3232

3

2

0

(1.6.13)

Al comparar las relaciones (1.6.13) y (1.6.7), que describen el mismo cambio decoordenadas se aprecia algunas de las ventajas del uso de variables complejas como:

relaciones más compactas, visualización simple de la transformación y su interpretacióncomo un giro en el plano complejo, uso de funciones exponenciales en lugar defunciones armónicas. A estas razones más bien formales se agrega otra másconceptual: la componente simétrica de los valores instantáneos y su interpretacióncomo fasor espacial representa una expresión analítica muy conveniente del campogiratorio.

La interpretación formal de la variable compleja abstracta como fasor espacial ha dadoimportantes impulsos a la técnica del control de máquinas trifásicas medianteconvertidores estáticos. El uso de variables de estado complejas permite visualizar ventajosamente el comportamiento dinámico de máquinas trifásicas mediante

diagramas de flujo de señales complejas7

y, a través de ellos, permite apreciar el efectode los controles externos sobre los procesos internos de la máquina.

1.7 Transformación de las ecuaciones de equilibrio a coordenadas fijas al rotor

1.7.1 Cambio de coordenadas fijas a coordenadas móviles

En términos del fasor espacial las tres ecuaciones reales (1.4.2), (1.4.3) y (1.4.4) se

reducen a sólo una ecuación compleja:

( )dt

d i R v aav v v ssc bas

ψ+=++=

rrr

12

3

2. (1.7.1)

Con

( ) ( ) ( ) γγγ∗σ +++++=ψ+ψ+ψ=ψ j

QQ

j

f f DD

j

sGsGc bas eLi j eLi Li ei Li LLaa 1112

2112

3

2 rvr (1.7.2)

7 J. Holtz: The Representation of AC Machine Dynamics by Complex Signal Flow Graphs,IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 42, No. 3, 1995, pp. 263-271.

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Fundamentos analíticos para las máquinas de campo giratorio ___________________________________________________________________________

1-28

se logra la expresión compleja

( ) ( ) ( )[ ]γγγ∗σ ++++++= j

QQ

j

f f DD

j

sGs

Gss eLi j eLi Li dt d ei

dt d L

dt i d LLi R v 111

22111

r

r

rr

, (1.7.3)

de la cual se pueden obtener los valores instantáneos

( )∗+=ℜ= sssa v v v v rrr

21 (1.7.4)

( )∗+=ℜ= sssb v av av av rvr 2

212 (1.7.5)

( )∗+=ℜ= sssc v av av av rrv 2

21 . (1.7.6)

Para simplificar, se han introducido convenientemente en (1.7.2) las inductancias decampo giratorio

11 2

3LLG = y 22 2

3LLG = . (1.7.7)

La introducción de un sistema de referencia fijo al rotor implica, de acuerdo con (1.6.7),reemplazar en (1.7.3)

γ

=

j

r ,ss ei i

rr

. y

γ

=

j

r ,ss ev v

rr

. (1.7.8)

En consecuencia, en el sistema de referencia fijo al rotor la ecuación de equilibrio delestator toma la forma

( )[ ]QQDDf f r ,sGr ,sGr ,sr ,s i L j i Li Li Li LLdt

d

dt

d j i R v 1112111 +++++

+= ∗σ

rrrr

(1.7.9)

r ,sr ,sr ,sdt

d

dt

d j i R v ψ

+=r

rr

1 (1.7.10)

con ( ) QQDDf f r ,sGr ,sGr ,s i L j i Li Li Li LL 111211 +++++=ψ ∗σ

rrr . (1.7.11)

Se puede apreciar que el cambio del sistema de referencia por otro, fijo al rotor, no sólosimplifica la apariencia de la ecuación, sino que también la hace lineal para el caso enque la velocidad angular del rotor es constante, lo que permite su eventual integraciónmediante procedimientos analíticos (p. ej. mediante la transformación de Laplace).

La estructura de la relación (1.7.10) es similar a la de la relación (1.7.1). Sólo que enlugar de la variables referidas al estator aparecen las variables referidas al rotor y queen lugar del operador diferencial d/dt aparece el operador (jdγ/dt+d/dt), donde dγ/dt es lavelocidad relativa entre el nuevo sistema de coordenadas y las bobinas del estator (fijasal antiguo sistema de coordenadas).

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1-29

1.7.2 Las ecuaciones de Park

La integración de la ecuación de equilibrio (1.7.9) hace necesario expresar las variablescomplejas en términos de sus partes real e imaginaria, es decir, proyectar el fasor espacial sobre los ejes real e imaginario, centrados respectivamente con el eje desimetría del polo (eje d) y el eje de simetría del espacio interpolar (eje q), según seindica en la figura 1.6.3.

Para ello se substituye:

qd r ,s jv v v 11 +=r

e qd r ,s ji i i 11 +=r

(1.7.12)

en (1.7.9) donde, al separar partes real e imaginaria, queda:

( )QQqqf

f D

Dd

d d d i Li Ldt

d

dt

di L

dt

di L

dt

di Li R v 11111

11111 +

γ−+++= (1.7.13)

( )f f DDd d

Q

Q

q

qqq I Li Li Ldt

d

dt

di L

dt

di Li R v 11111

11111 ++

γ+++= (1.7.14)

donde 2111 GGd LLLL ++= σ (1.7.15)

2111 GGq LLLL −+= σ (1.7.16)

son respectivamente las inductancias propias de un devanado ficticio centrado en el ejed y de un devanado ficticio centrado en el eje q.

El sistema formado por las ecuaciones (1.7.13) y (1.7.14) y las ecuacionescorrespondientes a los circuitos del rotor:

dt

di L

dt

di L

dt

di Li R v D

fDd

f f

f f f f +++= 11 (1.7.17)

dt

di L

dt

di L

dt

di Li R v f

Df d

DD

DDDD +++= 11 (1.7.18)

dt

di Ldt

di Li R v

q

Q

Q

QQQQ

11++= , (1.7.19)

donde f f LL 11 2

3= , DD LL 11 2

3= y QQ LL 11 2

3= , (1.7.20)

son las inductancias de campo giratorio.

Las ecuaciones (1.7.13), (1.7.14), (1.7.17), (1.7.18) y (1.7.18) se conocen en la literaturacomo ecuaciones de Park 8 . Ellas constituyen la base de la teoría clásica de los dosejes.

8 R.H.Park – Two-reaction theory of synchronous machines – Transactions AIEE 1929 pg.716-727

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1-30

En el caso particular en que la velocidad del rotor es constante, dt d γ es constante y lasecuaciones de Park se hacen lineales y pueden ser integradas analíticamente. Sobre

este punto se volverá más adelante.

1.8 El momento electromagnético

Para la determinación del momento electromagnético desarrollado por la máquina serecurre convenientemente a las fuerzas de Lorentz, punto de vista cuya validez formalya se demostró en otra oportunidad9.

Supóngase el devanado de armadura reemplazado por una capa de corriente de

densidad lineal a(x) A/m. La inducción resultante en el entrehierro sea b(x). Entonces,con las referencias de la figura 1.8.1, la fuerza tangencial sobre un elemento diferencialde longitud axial l de la superficie interior del estator vale

dx R l ) x ( a ) x ( bdf −= (1.8.1)

y el momento diferencialcorrespondiente está dado por

dx ) x ( a ) x ( bl R dT s2−= . (1.8.2)

El momento electromagnéticoresultante sobre el estator se lograintegrando (1.8.2) a lo largo de laperiferia interior del estator

∫π

−=2

0

2 dx ) x ( a ) x ( bl R T s . (1.8.3)

En virtud de la tercera ley de Newton (actio equal reactio), el momento que actúa sobreel rotor es igual y opuesto al que actúa sobre el estator, de manera que

∫π

=2

0

2 dx ) x ( a ) x ( bl R T . (1.8.4)

La distribución de inducción resultante se obtiene superponiendo las distribuciones delos devanados individuales

) x ( b ) x ( b ) x ( b ) x ( b ) x ( b ) x ( b ) x ( b QDf c ba +++++= , (1.8.5)

9 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía, Capítulo 5

x, f

b(x)

R

a(x)

Figura 1.8.1 Referencias positivas para lasvariables electromagnéticas y mecánicas

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1-31

expresadas en términos de las corrientes y la geometría, como se obtuvo en (1.3.9) y

(1.3.35).

( )[ ) px cos( i ) px cos( i px cosi p

f N ) x ( b c ba

d

32

32011

2

4 ππ ++−+αδ ′′µ

π=

( ) ) px sen( i ) px cos( i ) px cos( i QQDDf f γ−ξ+γ−ξ+γ−ξα+ 111

( )( ) px cos( i ) px cos( i px cosi sen

c ba 32

32 222 ππ −γ−++γ−+γ−

παπ

+

)] ) px sen( i ) px cos( i ) px cos( i QQDDf f γ−ξ+γ−ξ+γ−ξ+ 111 (1.8.6)

Los coeficientes QDf y , 111 ξξξ son relaciones de transformación definidas

análogamente a (1.3.27).

Si se expresa las corrientes en términos del fasor espacial mediante las relacionesequivalentes a (1.7.4) a (1.7.6) y las funciones trigonométricas en términos de funcionesexponenciales (Euler), se obtiene

( ) ( ) ( )( )

++

αξ++α

δ ′′µ

π= γ−−γ−−∗ px j

f

px j

f f jpx

s

jpx

sd ei ei ei ei

p

f N ) x ( b

24

3

2

4 1011rr

( ) ( )( ) ( ) ( )( )γ−−γ−γ−−γ− −αξ

++αξ px j

Q

px j

Q

Q px j

D

px j

DD ei ei

j ei ei

2211

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

+

ξ++

παπ

+ γ−−γ−γ−−∗γ− px j

f

px j

f f px j px j

s ei ei ei ei sen

24

3 121

2r

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

ξ++

ξ+ γ−−γ−γ−−γ− px j

Q

px j

Q

Q px j

D

px j

DD ei ei

j ei ei

2211 (1.8.7)

La distribución de densidad lineal de corriente resultante se obtiene superponiendo lasdistribuciones de las tres fases del estator

) x ( a ) x ( a ) x ( a ) x ( a c ba ++= (1.8.8)

De la distribución rectangular de densidad lineal de corriente de la figura 1.3.1b sólo seconsidera la fundamental, ya que la distribución de inducción también fue limitada a esacomponente. Para la fase a vale entonces

px sen A ) x ( a apa −= (1.8.9)

con

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1-33

puede rescribirse en forma compacta como

ss i pT rr ∗ψℑ=

23 (1.8.16)

ó

∗ψℑ−= ss i pT r

r

2

3. (1.8.17)

Para la teoría de los dos ejes se prefiere una expresión para el momento en términos delas componentes real e imaginaria de las variables. Considerando que

( ) γψ+ψ=ψ j

qd s e j 11

r

e ( ) γ+= l

qd s e ji i i 11

r

(1.8.18)

se obtiene finalmente

[ ]d qqd i i pT 11112

3ψ−ψ= , (1.8.19)

donde DDf f d d d i Li Li L 11111 ++=ψ y QQqqq i Li L 1111 +=ψ

son los enlaces de flujo de los devanados de armadura ficticios que giran con el rotor ycuyos ejes magnéticos coinciden respectivamente con los ejes de simetría d y q delrotor.

Con las referencias de la figura 1.8.1, el momento desarrollado como motor es positivo.

1.8.1 Ecuación de equilibrio mecánica

El movimiento del rotor de la máquina está condicionado por la ecuación de D'Alambertdel equilibrio de los momentos, que establece que la suma de los momentos sobre eleje es igual a la inercia por la aceleración angular:

mT T dt

d

p

J

−=γ2

2

(1.8.20)

donde T es el momento electromagnético, Tm el momento mecánico aplicado al eje y Jel momento de inercia.

Esta ecuación, conjuntamente con las ecuaciones de Park forma un sistema deecuaciones diferenciales que describe completamente el comportamiento dinámico dela máquina de campo giratorio.

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1-34

1.9 Caso particular: la máquina isotrópica simétrica

La máquina asincrónica10

se caracteriza constructivamente por un entrehierro constantea lo largo de la periferia (α=1, LG2=0) y un devanado del rotor simétrico (LD1=LQ1≡Lrs,L1d=L1q≡Ls, L1D=L1Q≡Lsr , LD=LQ≡Lr , if=0).

Para esas condiciones las ecuaciones de Park se reducen en una (desaparece eldevanado de campo) y toman una forma más simétrica:

( )QDqd D

Dd

d d d i Li Ldt

d

dt

di L

dt

di Li R v 1111

11111 +

γ−++= (1.9.1)

( )DDd d QDqd qq i Li Ldt

d

dt

di Ldt

di Li R v 111111111 +γ+++= (1.9.2)

dt

di L

dt

di Li R v d

DD

DDDD1

1++= (1.9.3)

dt

di L

dt

di Li R v

q

D

Q

DQDQ

11++= (1.9.4)

Al pasar a la notación compleja en términos de los fasores espaciales

qd r ,s jv v v 11 +=r

e qd r ,s ji i i 11 +=r

(1.9.5)

QDr jv v v +=r

e QDr ji i i +=r

(1.9.6)

las ecuaciones (1.9.1) y (1.9.2) se reducen a una sola ecuación compleja

( )r Dr ,sd r

D

r ,s

d r ,sr ,s i Li Ldt

d j

dt

i d L

dt

i d Li R v

rr

rr

rr

11111 +γ

+++= , (1.9.7)

la que, referida a coordenadas fijas al estator, toma la forma:

( )dt

ei d

Ldt

i d

Li R v

j

r

sr

s

ssss

γ

++=

rr

rr

(1.9.8)

Por otra parte, las ecuaciones para el rotor (1.9.3) y 1.9.4) se reducen a:

( )dt

ei d L

dt

i d Li R v

j

srs

r r r r r

γ−

++=

rr

rr

, (1.9.9)

10 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía, Cap. 8.

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1-35

donde se han modificado convenientemente los índices de las resistencias einductancias.

En términos de los fasores espaciales la descripción de la máquina isotrópica simétricase reduce a un par de circuitos acoplados inductivamente y la expresión para elmomento electromagnético (1.8.16) toma correspondientemente la forma:

γ∗ℑ−= j

r srs ei i L pT rr

2

3. (1.9.10)

1.10 Excitación asimétrica y componentes simétricas

Si se hace abstracción de los campos de origen paramétrico, la alimentación simétricaimpone en el entrehierro de la máquina un campo giratorio de amplitud constante quese desplaza con velocidad angular constante ω1/p. Este campo puede ser representadoen el plano complejo por un fasor espacial que gira con velocidad sincrónica y cuyoextremo recorre una circunferencia. De aquí que suele hablarse de un campo giratoriocircular.

Considérese ahora la alimentación de la máquina con un sistema de tensionesasimétrico con las siguientes tensiones de fase:

( )aaa t cosV v ϕ+ω= 12 (1.10.1)( )bbb t cosV v ϕ+ω= 12 (1.10.2)

( )c c c t cosV v ϕ+ω= 12 (1.10.3)

Si se reemplazan estas expresiones en la correspondiente al fasor espacial:

( )c bas v aav v v 2

3

2++=

r

(1.10.4)

se logra:

( ) ( )[ ]t j *

c

*

b

*

a

t j

c bas eaaeaav 11 22

3

2 ω−ω +++++= VVVVVVr

(1.10.5)

t j t j

s eev 111211 22 ω−∗ω += VV

r

(1.10.6)

donde11 ( )c ba aa VVVV 211 3

1++= (1.10.7)

11 Notación: en V11 y V12 el primer índice se refiere al devanado (1,2) y el segundo a la secuencia (1,2,0)

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1-36

y ( )c ba aa VVVV ++= 212 3

1(1.10.8)

corresponden, respectivamente, a las componentes de secuencia positiva y desecuencia negativa de los valores efectivos complejos. Estas son distintas entre sí y nodeben ser confundidas con las componentes simétricas de los valores instantáneos.

De (1.10.6) se desprende que un sistema asimétrico puede ser considerado como unasuperposición de dos sistemas simétricos de secuencia invertida, cuyos respectivosfasores espaciales, que en general tendrán amplitudes distintas, giran en direccionesopuestas. El fasor suma es de amplitud variable y su extremo describe una elipse en elplano complejo, según ilustra la figura 1.10.1. De aquí nace la costumbre de hablar decampos giratorios elípticos al referirse a campos creados por sistemas asimétricos.

Para los fasores espaciales de la corriente y del enlace de flujo del estator valenexpresiones similares a (1.10.6).

t j t j eei 1112111 22 ω−∗ω += II

r

(1.10.9)

t j t j ee 1112111 22 ω−∗ω Ψ+Ψ=ψ

r

(1.10.10)

Al reemplazar los fasores espaciales para la corriente (1.10.9) y para el enlace de flujo(1.10.10) en la expresión general para el momento (1.8.16)

112

3ψ⋅ℑ−=r

r* i pT (1.8.16a)

se logra la siguiente expresión para el momento entérminos de las componentes simétricas de losvalores efectivos complejos

( ) t j e p p pT 121211111212121111 333 ω∗∗ Ψ−Ψℑ−Ψℑ+Ψℑ−= IIII

. (1.10.11)Se aprecia que como consecuencia de la asimetría

en la excitación aparece un torque medio frenante, eltorque de secuencia negativa, y un torque oscilatoriocuya frecuencia es igual al doble de la frecuencia dela red. La componente oscilatoria se debe a lainteracción de los campos de secuencia positiva y desecuencia negativa, es característica delfuncionamiento asimétrico y se traduce envibraciones mecánicas que se transmiten a través delanclaje de la máquina a la fundación.

Figura 1.10.1 Campo giratorio elípticocomo superposición dedos campos circulares

11,v r

21,v r

1v r

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1-37

Si se consideran solamente las componentes del momento cuyo valor medio no escero, se puede concebir al momento resultante como el momento producido por dos

máquinas idénticas, acopladas mecánicamente y alimentadas respectivamente con unsistema de tensiones simétrico de secuencia positiva y un sistema de tensionessimétrico de secuencia negativa. Esta idea se usará al analizar el funcionamientoasimétrico de la máquina asincrónica y de la máquina sincrónica, oportunidad en que seincluirán las características constructivas de estas máquinas.

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1-38

1.11 Apéndice 1

Para la descripción analítica de la capa de corriente correspondiente a una ranura de anchotangencial br , ubicada en el radio R, definida por la función discontinua de período 2π

( )

−π≤≤+π

+π≤≤−π=

R

b x

R

b para

R

b x

R

b para

b

iN

x ar r

r r

r r

22

220

22

22

cuyo origen (x=0) está en el centro de la ranura, se recurre convenientemente al desarrollo enseries de Fourier en notación compleja:

( ) ∑+∞

−∞=ν

νν= x j

r eC x a

con ( )

R

b

R

bsen

b

iN dx e

b

iN dx e x aC

r

r

r

R

b

R

b

x j

r

x j r

r

r

2

2

2

1

2

1

2

1 2

2

ν

ν

π=

π=

π= ∫∫

+

νπ+

π−

νν

Al sustituir la relación de Euler queda:

( ) ( ) ( )( ) x sen j x cos

R

b

R bsen

b

iN x a

r

r

r

r ν−νν

ν

π= ∑

∞+

−∞=ν

2

2

2

1,

expresión que se reduce a

( ) ( ) x cos

R

b

R

bsen

b

iN

b

iN x a

r

r

r r

r νν

ν

π+

π= ∑

∞+

=ν 1

2

21

2

1,

ya que en la sumatoria, para el mismo valor absoluto de ν, los términos con seno se anulan,

mientras que los términos con coseno se duplican para 1≥ν . Para ν=0 resulta el término

constante.

En el caso de ranuras infinitamente estrechas

r b b

iN C lím

r π=ν

→ 2

10

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1-39

y la expresión para la densidad lineal de corriente toma la forma de un impulso de Dirac con eldesarrollo

( ) ( )∑∞

νπ

=1

1

2

1 x cos

b

iN

b

iN x a

r r

r .

En este punto conviene recordar que un devanado siempre está formado por bobinas y que unabobina consta de dos lados, alojados en ranuras desplazadas relativamente en (π-α) y que lacorriente en esas ranuras tiene sentido opuesto. En consecuencia, para un devanado lostérminos constantes se anulan siempre y es conveniente ignorarlos y definir

( ) ( )∑∞

νπ

=1

1 x cos

b

iN x a

r

y usar esta expresión para calcular la distribución de fmm correspondiente a una ranura

( ) ( ) ( )∫ += x

f dx x aR x f 0

0

( )( )

( )01

f x seniN

x f +ν

νπ

= ∑∞

.

Con entrehierro constante esta fmm no puede producir flujo unipolar, por lo que

( )∫π

µ 2

0

0 0dx x f , lo que implica que f(0)=0 y que

( )( )

∑∞

=ν νν

π=

1

x seniN x f ,

lo que corresponde a una distribución de “diente de sierra”12. A esta última expresión se le daconvenientemente la forma compleja

( ) ∑±∞

±=ν

ν−

νπ=12

x j

eiN j x f

que resulta más apropiada para una posterior aplicación del principio de superposición.

12 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía, Cap. 4.2

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CAPÍTULO 2

2 LA MÁQUINA ASINCRÓNICA EN ESTADO ESTACIONARIO 2-2 2.1 Funcionamiento estacionario simétrico 2-2

2.1.1 Circuitos equivalentes por fase 2-3 2.1.2 Diagrama fasorial 2-6 2.1.3 Lugar geométrico de la corriente (Diagrama circular simplificado) 2-8 2.1.4 Torque y potencia 2-9

2.2 Funcionamiento estacionario asimétrico 2-11 2.2.1 Funcionamiento monofásico 2-13

2.3 El motor con rotor de doble jaula 2-16 2.3.1 Ecuaciones de equilibrio 2-17 2.3.2 El circuito equivalente 2-19 2.3.3 Torque y potencia 2-22

2.4 Calentamiento durante el arranque y maniobras 2-23 2.5 Apéndice 1: Relativo al Diagrama Circular Simplificado ( =0) 2-27

2.5.1 Potencia mecánica y Pérdidas del rotor en el diagrama circular 2-28 2.6 Apéndice 2: Lugar geométrico de la corriente del motor de doble jaula 2-29

2.6.1 Deslizamiento nulo 2-29 2.6.2 Deslizamiento distinto de cero 2-30 2.6.3 Momento y pérdidas 2-33

2.7 Apéndice 3: Relación entre torque y tamaño del motor 2-34

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-2

2 La máquina asincrónica en estado estacionario

2.1 Funcionamiento estacionario simétrico

En condiciones normales de funcionamiento el devanado del estator de la máquinaestá conectada a una red trifásica simétrica de tensión con valor efectivo V1 yfrecuencia angular ω1 y el devanado del rotor está cortocircuitado.

Sea

( )

( )

( )32cos2

32cos2

cos2

11

11

11

π+ω=

π−ω=

ω=

t V v

t V v

t V v

c

b

a

(2.1.1)

El rotor gire con velocidad angular constante

( ) p

sdt

d

pm

111 ω

−=ω=γ

, (2.1.2)

por lo que ( ) t s 11 ω−=γ , (2.1.3)donde s es el deslizamiento del rotor respecto al campo giratorio.

Como la máquina es simétrica tanto en el estator como en el rotor, las excitacionessimétricas determinan que las corrientes en el devanado del estator también sean

simétricas de frecuencia angular ω1 y que las en el devanado del rotor sean simétricasde frecuencia angular sω1.

En consecuencia, los fasores espaciales para las tensiones y corrientes tienen laforma:

t j eV v s

112

ω=

r

(2.1.4)t j

ei s1

12ω

= Ir

(2.1.5)t s j

ei r 1

22

ω

= I

v

. (2.1.6)

Reemplazando ahora (2.1.3) a (2.1.6) en las ecuaciones de equilibrio (1.9.8) y (1.9.9)de la máquina:

)ei ( dt

d L

dt

i d Li R v

j r sr

sssss

γ++=r

r

rr

(2.1.7)

)ei ( dt

d L

dt

i d Li R

j srs

r r r r

γ−++=r

r

r

0 , (2.1.8)

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-3

estas se reducen a las siguientes ecuaciones algebraicas complejas, con los índicess=1 y r=2:

2121111111 IIIV L j L j R ω+ω+= (2.1.9)

1211221220 III L jsL jsR ω+ω+= (2.1.10)

Estas ecuaciones describen completamente el funcionamiento estacionario de lamáquina asincrónica.

2.1.1 Circuitos equivalentes por fase

El significado de las relaciones analíticas se hace más transparente si estas se

interpretan en términos de un circuito equivalente galvánico, análogo al deltransformador. Para ello es necesario transformar las ecuaciones, ya que en (2.1.9) y(2.1.10) las frecuencias del estator y del rotor son diferentes y ambos circuitos tambiénsuelen diferir en el número de fases.

En este sentido considérese la ampliación de las ecuaciones (2.1.9) y (2.1.10):

121112112121111111 IIIIIV L j L j L j L j R λω−λω+ω+ω+= (2.1.11)

21212121121122122

110 IIIII Ls j Ls j L jsL jsR ω

λ−ω

λ+ω+ω+= , (2.1.12)

donde λ1 es un coeficiente arbitrario distinto de cero.

Al agrupar convenientemente los términos quedan dos sumandos, el segundo de loscuales representa el efecto de una corriente ficticia, análoga a la corrientemagnetizante del transformador:

( )[ ]

λ+λ+λ−+= 2

21

12121121111 IIIV

X

X X j X X j R (2.1.13)

λ

++

λ

−+= 2

21

121212122

2 10 III

X

X jX X X j

s

R . (2.1.14)

Definiendo ahora 21

22

21

122

1III

m

m

X

X

λ=

λ=′ , (2.1.15)

una corriente m1-fásica equivalente, se logran:

( )[ ] ( )V I I I1 1 1 21 1 21 1 2= + − + + ′R j X X j X λ λ (2.1.16)

1 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía – Capítulo 3

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-4

( )012

2 122 21

122 21 1 2= + −

′ + + ′

R

s j X X

X

X j X

λλ λI I I . (2.1.17)

Estas dos ecuaciones son satisfechas por el circuito equivalente de dos mallas de lafigura 2.1.1.

Según se disponga del coeficiente arbitrario λ, se logran diferentes circuitosequivalentes, caracterizados por tener todos la misma impedancia de entrada.

Si se opta por λ = N N 1 2 , donde N 1 y N 2 representan los números de vueltas efectivospor fase del estator y del rotor respectivamente, se logra el circuito equivalente clásico,

representado en la figura 2.1.2.

Aquí cada elemento representa un efecto físico en la máquina, ya que

X X N

N X X X mσ1 1

1

221 1 1= − = − (2.1.18)

corresponde a la reactancia de dispersión del estator,

Figura 2.1.2 Circuito equivalente paraλ =N 1 /N 2

1I

1V

2I′

mI1R

1σ X

2σ′ X

s

R 2′1m X

Figura 2.1.1 Circuito equivalente correspondientea las ecuaciones 2.1.16 y 2.1.17

12

212122

X

X X X λ

λ

12

2122

X

X

s

R λ

211 X X λ−

21 X λ

1R

1V

1I

2I′

mI

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-5

( )′ = −

= −

X X

N

N X

X

X

N

N X X

m

m

N

N mσ2 2

1

212

21

12

1

2

2

2 21

2

1

2

2

(2.1.19)

a la reactancia de dispersión del rotor referida al estator,

′ =

=

R R

X

X

N

N R

m

m

N

N 2 2

21

12

1

2

2

21

2

1

2

2

(2.1.20)

a la resistencia del rotor referida al estator y

X N

N X X m m= =1

221 1 (2.1.21)

a la reactancia principal, asociada al flujo común, con lo que

[ ] ( )2111111 IIIV ′+++= σ m jX jX R (2.1.22)

( )2112220 III ′++′

′+′

= σ m jX X j s

R . (2.1.23)

La corriente ′I2 debe interpretarse como valor efectivo complejo de una corrientetrifásica equivalente que, circulando en el devanado del estator (m1=3), produce elmismo efecto magnético que la corriente I2 en el devanado m2-fásico del rotor. La

suma I I Im = + ′1 2 corresponde a la corriente magnetizante, una corriente ficticia que, al

circular en el devanado del estator, produce el mismo campo en el entrehierro que lascorrientes I1 e I2 en conjunto.

Si en cambio se elige λ = X X 1 21 se logra el circuito equivalente de la figura 2.1.3 y si

se elige λ = X X 12 2 , el de la figura 2.1.4, donde

σ = −1 12 21

1 2

X X

X X (2.1.24)

Figura 2.1.3 Circuito equivalente para λ =X 1 /X 21

1V

1I

mI

2I′1 X

σ−σ

11 X

σ−1

1

2

12

X

X

s

R

R1

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-6

es el coeficiente de dispersión total, parámetro de gran influencia sobre lascaracterísticas de funcionamiento de la máquina, cuyo valor numérico varía típicamente

entre 0,03 y 0,11.

Si bien en estos circuitos equivalentes se pierde la relación con el circuito magnético(circuito electromagnético2), desapareciendo las nociones flujo de dispersión del estator , flujo común y flujo de dispersión del rotor , tienen la ventaja relativa que susparámetros son determinables mediante mediciones en la máquina.

2.1.2 Diagrama fasorial

Los fasores espaciales, representan entes geométricos invariantes bajotransformaciones de coordenadas. Así, en un sistema de referencia (coordenadas)sincrónico, común para las variables del estator y del rotor, los fasores espaciales(1.6.4) a (1.6.6) toman las formas

11 2 V=g v r

(2.1.25)

11 2 I=g i r

(2.1.26)

22 2 I=g i v

, (2.1.27)

que destacan el isomorfismo entre los fasores espaciales y los fasores temporales.

El desfasamiento en el tiempo entre dos corrientes se expresa como undesplazamiento espacial entre las correspondientes ondas de fmm, representadas por los respectivos fasores espaciales.

2 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía – Capítulo 2

Figura 2.1.4 Circuito equivalente para λ =X 12 /X 2

1V

1I

2I′

mI1R

1 X σ

( )σ−11 X ( )σ−1

2

12

X

X

s

R

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-7

Esta relación isomórfica implica que, salvo un factor de escala, el diagrama fasorial delas tensiones y corrientes, cuyas referencias positivas están indicadas en el circuito

equivalente de la figura 2.1.2, representa también la relación entre los correspondientesfasores espaciales. Este punto de vista se ilustra en la figura 2.1.5, donde el diagramafasorial está superpuesto a un corte transversal de la máquina en el cual también estánindicadas esquemáticamente las distribuciones espaciales de fmm, cuyo eje magnéticocoincide con el respectivo fasor.

Obviamente, el diagrama de los fasores temporales sólo vale para el estado sinusoidalestacionario simétrico. En cambio el diagrama de los fasores espaciales no está

limitado a una función de excitación determinada, ya que su validez sólo estácondicionada por la variación sinusoidal en el espacio de las fmms y de los flujos. Larelación entre ambos tipos de magnitudes complejas enriquece el contenido informativodel diagrama fasorial y abre interesantes posibilidades para el control de la máquinaasincrónica.

R1

Xm1

I1

V1 I2 ’ R’ 2 s

Vm

Xσ 1 X’σ2

I’2FMM2

Φ m

I1 FMM1

V1

Vm

V’2

Figura 2.1.5 Relativo al isomorfismo entre fasorestemporales y fasores espaciales (C.S.)

II’2

Onda de densidad lineal de

corriente del estator

Onda de densidad lineal de

corriente del rotor

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-8

2.1.3 Lugar geométrico de la corriente (Diagrama circular simplificado)

Para visualizar adecuadamente la influencia del deslizamiento sobre el comportamientoestacionario de la máquina asincrónica se recurre convenientemente al lugar geométrico de la corriente del estator (equivalente al lugar geométrico de la admitanciade entrada).

A partir del circuito equivalente de la figura 2.1.3 se establece que:

( ) 211111 IIV ′++= jX jX R (2.1.28)

212

1211 1

1

1

10 II ′

σ−+

σ−+= jX

X

X

s

R jX (2.1.29)

Para facilitar la evaluación de estas ecuaciones se introduce convenientemente losparámetros adimensionales α y β:

1

1

X

R =α

2

2

X

R =β (2.1.30)

De esa manera queda:

( ) 211

1 IIV

′++α= j j X

(2.1.31)

( ) ( ) 2110 II ′+β+σ−= js js (2.1.32)

Para frecuencias industriales (50Hz) y máquinas no demasiado pequeñas (>10kW) sepuede considerar en buena primera aproximación que α≈0 con lo que de (2.1.31) y(2.1.32) se obtiene la siguiente expresión para la corriente de fase del estator:

M

M

s

s j

s

s j

jX +

σ+

=1

11

1

11

VI , (2.1.33)

donde σ

β

=M s corresponde al deslizamiento para el cual el momento es máximo

3

.

Esta expresión puede rescribirse como:

σσ−

−σσ+

=

+

σσ−

−σσ+

=

M s

sarctg j

M

M e

s

s j

s

s j

jX

2

101

11 2

1

2

1

1

1

2

1

2

1I

VI (2.1.34)

3 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía – Capítulo 8

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-9

y su representación en el plano complejo corresponde a una circunferencia con centroen el eje imaginario negativo, como lo muestra la figura 2.1.6.

Se aprecia que el coeficiente de dispersión total σ determina el diámetro de lacircunferencia y a través de éste las características de funcionamiento como el factor de potencia nominal, el torque de arranque y el torque máximo.

2.1.4 Torque y potencia

En estado estacionario la expresión general para el torque

γℑ−= j * ei i pLT 21122

3 rr

(2.1.35)

toma la forma

T pL= − ℑ3 12 1 2I I* . (2.1.36)

ℑI10

I10(1+σ)/2σ

-I10(1-σ)/2σ e- arctg s sM

I1

s/sM

1

-1

1/sM

= 0

I1∞ = I10/σ

V1

Figura 2.1.6 Lugar geométrico de la corriente comofunción del deslizamiento (diagrama circular)

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-10

Para la determinación de las corrientes se recurre convenientemente al circuitoequivalente de la figura 2.1.3, obtenido con λ = X X 1 21 , por lo que, de acuerdo con la

relación (2.1.15), I I2 1 12 2= ′ X X , se logra

T p

X = − ℑ ′3

11 1 2ω

I I* (2.1.37)

o, introduciendo la corriente magnetizante I I Im = + ′1 2 ,

T p

X m= − ℑ ′3

11 2ω

I I* . (2.1.38)

Normalmente será admisible despreciar la resistencia del devanado del estator, por loque Im jV X = − 1 1 y

T p

V p P

s

cu= − ℜ ′ =3

11 2

1

2

ω ωI , (2.1.39)

importante relación, que destaca la relación entre el torque electromagnético y laspérdidas en el rotor. Sin pérdidas en el rotor no hay momento electromagnético medio.

Reemplazando finalmente( )

( )

′ = −−

+

I21

1

1V

X s j

σ

β σ

, con β = R X 2 2 , (2.1.40)

obtenida del circuito equivalente de la figura 2.1.3, en (2.1.39), se logra la expresiónclásica para el torque en función del deslizamiento:

T T

s

s

s

s

M

M

M

=+

2, (2.1.41)

donde sM =βσ

(2.1.42)

es el deslizamiento para el cual el torque es máximo y

1

21

1

1

2

3

X

V pT M σ

σ−ω

= (2.1.43)

es el torque máximo.

De la relación (2.1.39) se desprende que en el caso en que α = 0 el torque esproporcional a la parte real de –I’2, es decir, que queda representado en el diagramacircular simplificado por trazos paralelos al eje real acotados por el eje imaginario

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-11

negativo (línea de momentos) y la circunferencia. Así en la figura 2.1.7 se puedenidentificar los trazos correspondientes al torque de arranque (s=1), al torque máximo

(s=sM) y al torque correspondiente a un deslizamiento en el rango de funcionamientocomo motor. Para las referencias elegidas, la potencia y el torque son positivos en elsemiplano superior. La secante que une los puntos sobre la circunferenciacorrespondientes a s=0 y s=1 se conoce como línea de potencia mecánica.4

2.2 Funcionamiento estacionario asimétrico

El empleo de máquinas asincrónicas en accionamientos también considera sucapacidad de actuar como freno cuando las circunstancias lo exigen, lo que se logra

alimentándolas en forma asimétrica.

De acuerdo con los resultados obtenidos en el párrafo 1.10, un sistema trifásicoasimétrico siempre puede ser descompuesto en dos sistemas simétricos de secuenciainversa y un sistema de secuencia cero. Esto llevó a reemplazar la máquina conalimentación asimétrica por dos máquinas idénticas, acopladas mecánicamente yalimentadas respectivamente con un sistema de tensiones simétrico de secuenciapositiva y un sistema de tensiones simétrico de secuencia negativa, tal como se

4 Ver Apéndice

ℑI10

I1

s/sM

1

-1

1/sM

= 0

I1/σ

V1

Figura 2.1.7 Diagrama circular simplificado,representación del torque

Línea de momentos

Torque de arranque

Torque máximo

Torque

Línea de Potencia mecánica

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-12

muestra en la figura 2.2.1. Este modelo hace abstracción de los efectos causados por la interacción de los campos de secuencia positiva y de secuencia negativa.

En la máquina de secuencia positiva el rotor gira con deslizamiento s respecto alcampo giratorio. En cambio, en la máquina de secuencia negativa el campo impuesto

por la alimentación de esa secuencia gira en sentido opuesto al sentido de giro delrotor, por lo que esa máquina se comporta como una máquina asincrónica funcionandocomo freno, con deslizamiento 2-s. Este punto de vista permite adaptar la expresión(2.1.41) al funcionamiento con alimentación asimétrica y anotar para el momentomedio:

( ) ( ) ( )

M

M

M

n

M

M

M

n

s

s

s

s

T

V

V

s

s

s

s

T

V

V sT sT sT

−+

+

=+=

2

2

222

1

12

2

1

1121 (2.2.18)

donde TM corresponde al momento máximo (2.1.43) con tensión nominal.

La relación entre los valores de fase de la corriente y de la tensión en los terminales decada máquina de secuencia se conoce como su admitancia de secuencia ycorresponde a la admitancia de entrada de los respectivos circuitos equivalentes. Laelección del circuito equivalente de la figura 2.2.3 es especialmente conveniente si sepuede despreciar el efecto de las pérdidas en el estator.

A partir de las componentes simétricas de la tensión y de las admitancias de secuenciase determina las componentes simétricas de la corriente:

Va1=V 11 Vb1=a2 V 11 Vc1=a V 11

Va2=V 12 Vb2=a V 12 Vc2=a2 V 12

V b1 V c1

V a1

Vb2

Va2

Vc2

a b c a bc

Figura 2.2.1 Las máquinas de secuencia. Aplicación del principio de superposición a la máquina asincrónica con carga asimétrica.

s 2-s

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-13

( )s11111 YVI = (2.2.19)

( ) ( )ss −== 211221212 YV YVI , (2.2.20)

con las que se calcula las corrientes de fase aplicando el principio de superposición.

121121 IIIII +=+= aaa (2.2.21)

12112

21 IIIII aabbb +=+= (2.2.22)

122

1121 IIIII aac c c +=+= (2.2.23)

La corriente en el rotor requiere de una consideración adicional, ya que la corriente desecuencia positiva I21 es de frecuencia sf 1, mientras que la corriente de secuencianegativa I22 es de frecuencia (2-s)f 1. En máquinas cuyo rotor está provisto de un

devanado o de una jaula sin efectos notorios de desplazamiento de corriente laresistencia del rotor puede considerarse independiente de la frecuencia, lo que permitedefinir una corriente térmicamente equivalente, que produce las mismas pérdidas quela corriente compleja:

222

2212 I I I += (2.2.24)

Como la admitancia de secuencia negativa es del orden de la admitancia decortocircuito Y1(1), asimetrías relativamente pequeñas en la tensión de alimentaciónprovocan corrientes de secuencia negativa de consideración, que cargan el devanadotérmicamente y obligan a reducir la corriente de secuencia positiva y con ella a lapotencia útil del motor.

2.2.1 Funcionamiento monofásico

Con el objeto de aplicar los conceptos desarrollados en los párrafos anteriores relativosal funcionamiento con alimentación asimétrica, considérese ahora el funcionamientode una máquina asincrónica trifásica, una de cuyas fases ha sido desconectada de lared.

R1

X1

I11

V11I’21

sR

12′

Figura 2.2.3 Circuitos equivalentes para las máquinas desecuencia positiva y de secuencia negativa

σ−σ

11 X

R1

X1

I12

V12I’22

sR

−′

2

12

σ−σ

11 X

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-14

Según se puede apreciar en el esquema de la figura 2.2.4, la desconexión de la fase a impone las siguientes restricciones sobre las variables de terminales:

0=aI (2.2.25)

0=+ c b II (2.2.26)

VVV =− c b (2.2.27)

Las restricciones sobre las corrientes de faseimplican restricciones sobre las corrientes desecuencia:

( ) 031

0 =++= c ba IIII (2.2.28)

( ) bc ba

aaaa IIIII

3

22

31

1

−=++= (2.2.29)

( ) 1

22

31

2 3IIIIII −=

−=++= bc ba

aaaa , (2.2.30)

es decir, la componente de secuenciacero de la corriente es nula y la

componente de secuencia negativa esigual al valor negativo de la componentepositiva.

La restricción sobre las tensiones de fase(2.2.27) implica la siguiente restricciónsobre las tensiones de secuencia:

) )

VVV

VVVVV

321

22

1212

j

aaaa

=−

=+−+(2.2.31)

Las restricciones sobre las componentesde secuencia (2.2.30) y (2.2.31) equivalena la interconexión serie de las dos mallasde secuencia, como se ilustra en la figura2.2.5.

Esta representación recoge la

R1

X1

I11

V11I’21

sR

12′

σ−σ11 X

R1

X1

I12

V12I’22

s

R

2

12

σ−σ

11 X

V3

j

Figura 2.2.5 Interpretación de la conexiónmonofásica en términos de lasvariables de secuencia

Ia Ib Ic

Vb

Vc

V

Figura 2.2.4 Conexiónmonofásica

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-15

interpretación de la fmm alterna del estator como superposición de dos fmms giratoriasiguales que giran en sentidos opuestos y la de la tensión alterna como tensión inducida

por dos campos giratorios.

Estos campos sólo tienen la misma amplitud si el rotor está detenido (s=1), ya quesolamente en esa condición la corriente de secuencia positiva y la de secuencianegativa en el rotor son iguales.

Del circuito equivalente de la figura 2.2.5 se obtienen las corrientes de secuencia

( ) ( ) 221

1 ss

1

3

jI

ZZ

VI −=

+= (2.2.32)

y a partir de ellas la corriente de fase

( ) ( ) ( ) ( )ssssaab −+

=+

=+=21121

212

ZZ

V

ZZ

VIII . (2.2.33)

Las tensiones de secuencia se determinan como

( )( )

( ) ( )ss

s j s

21

11

3 ZZ

ZVV

+= y ( )

( )( ) ( )ss

s j s

21

22

3 ZZ

ZVV

+−= . (2.2.34)

La tensión en la fase abierta 21 VVV +=a varía entre ( ) 01 ≈aV , cuando el rotor está

detenido, y ( )3

0V

V j a ≈ , en la cercanía del sincronismo, donde el campo de

secuencia negativa resulta muy atenuado por las corrientes de secuencia negativa delrotor, por lo que el campo resultante es aproximadamente igual al campo de secuenciapositiva con alimentación simétrica. La atenuación se manifiesta en el circuitoequivalente a través de la disminución de la impedancia de secuencia negativa.

El torque medio se calcula a partir de (2.2.18) con las tensiones de secuenciadeterminadas en (2.2.34)

( ) ( ) ( )

M

M

M

n

M

M

M

n

s

s

s

s

T

V

V

s

s

s

s

T

V

V sT sT sT

−+

+

=+=

2

2

222

1

12

2

1

1121

( )

M

M

M

M

M

M

s

s

s

s

T

s

s

s

s

T sT

−+

−+

−++

=2

2

222

21

2

2

21

1

ZZ

Z

ZZ

Z. (2.2.35)

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-16

Los factores de ponderación del momento de secuencia positiva y del momento desecuencia negativa no son constantes, sino que, a través de las impedancias de

secuencia, son funciones del deslizamiento.

Para s=1, Z1=Z2 y el momento resultante es nulo. La máquina monofásica no desarrollamomento de arranque.

Para s≈0, Z1>>Z2, por lo que rige aproximadamente

( )

M

M

M

s

s

s

s

T sT

++≈

22

21

1

ZZ

Z(2.2.36)

Al abrirse una fase del motor en funcionamiento, éste se mantiene girando con undeslizamiento mayor.

2.3 El motor con rotor de doble jaula

En motores pequeños las pérdidas en el rotor de jaula simple son suficientementeelevadas para garantizar un momento de arranque adecuado. Pero si se intentase usar el mismo diseño para motores de potencia mayor, se encontraría que el momento dearranque relativo disminuye substancialmente y que podría ser menor que el momento

nominal.Para explicar la incapacidad intrínseca del motor con rotor de jaula simple dedesarrollar un momento adecuado en el rango de las potencias mayores, considéreseuna serie de máquinas geométricamente semejantes – todas sus dimensiones varíanproporcionalmente – caracterizada por mantener la inducción B y la densidad decorriente j constantes.

Un motor de esta serie, cuyas dimensiones lineales sean x veces la de un motor dereferencia, tiene secciones (áreas) que son x2 veces las del motor de referencia. Por lotanto, con B y j constantes, el flujo Φ y la corriente I también crecen x2 veces. El

momento, proporcional al producto Φ⋅Ι , crece x4

veces y con él la potencia del campogiratorio, ya que la velocidad sincrónica permanece constante. En cambio, el peso delmaterial activo, y por lo tanto las pérdidas, crece sólo con x3, lo que implica que paramáquinas mayores el rendimiento a plena carga mejora relativamente.

Para el deslizamiento nominal vale

x x

x

P

P s

CG

ncun

14

32 ∝∝= , (2.3.1)

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-17

apreciándose que varía inversamente con x. Máquinas grandes tienden a tener naturalmente deslizamientos nominales pequeños.

El momento de arranque relativo vale

n

n

aa

n

n

aa

n

a sI

I

R

R

s

I R m

I R m

T

T 2

2

2

2

222

22

2222

== (2.3.2)

y, postulando la constancia de la corriente de arranque relativa, es proporcional a sn ypor lo tanto es inversamente proporcional a x.

El bajo momento de arranque relativo de motores grandes puede ser corregido conpérdidas adicionales durante el arranque. Ese es el sentido de las resistencias externasen el caso del motor de anillos rozantes. Para el motor con rotor de jaula la soluciónestá en pérdidas adicionales que varíen con la frecuencia de las corrientes inducidasen el rotor. Así, un momento de arranque elevado no implica la disminución delrendimiento en condición de funcionamiento nominal.

Este efecto se logra mediante una segunda jaula (interior), desplazada radialmenterespecto a la primera (exterior). Mientras que la jaula exterior posee una resistenciarelativamente elevada, la jaula interior, de resistencia mucho menor, posee unainductancia de dispersión más elevada que la jaula exterior.

La jaula superior, próxima al entrehierro,y la jaula inferior suelen estar provistasde anillos de cortocircuitoindependientes para evitar esfuerzosmecánicos debidos a sus diferentesdeformaciones térmicas. Sólo los rotorescon jaulas fundidas en aluminio tienenanillos de cortocircuito comunes.

2.3.1 Ecuaciones de equilibrio

La figura 2.3.1 ilustra mediante un corteesquemático la disposición de las barrasde un rotor de doble jaula, junto con unesquema de acoplamiento inductivo quedestaca los flujos que enlazan losdiferentes circuitos del estator y delrotor.

Para estos circuitos: el estator (1), la

Φσ1

Φ1

Φa

Φb

Φ12

Φσab

Φσb

1

a

b

Figura 2.3.1 Esquema de acoplamientoinductivo del motor de doble

jaula

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-18

jaula superior o exterior (a) y la jaula inferior o interior (b) se pueden plantear directamente las ecuaciones de equilibrio estacionario por fase en términos de las

reactancias propias y mutuas de campo giratorio asociadas a estos devanados. Las jaulas se consideran como devanados equivalentes de m2 fases.5

( ) ba jX jX jX R IIIV 12121111 +++= (estator) (2.3.3)

( ) babaaa jsX jsX jsX R III +++= 1210 (jaula a) (2.3.4)

( ) aabbbb jsX jsX jsX R III +++= 1210 (jaula b) (2.3.5)

donde X 1, X a y X b son las reactancias propias de campo giratorio que incluyen lascorrespondientes reactancias de dispersión y X 12 , X 21 y X ab son las inductancias

mutuas de campo giratorio. Las resistencias R a y R b incluyen los correspondientessegmentos de anillo.

Si se explicita los flujos de dispersión se tiene que

aaba X X X σ+= y babb X X X σ+= (2.3.6)

y reemplazando estas relaciones en (2.3.4) y (2.3.5) se establece que

( ) ( )bbbaaa jsX R jsX R σσ +=+ II (2.3.7)

de donde se desprende que

aa

bb

b

a

jsX R

jsX R

σ

σ

++

=I

I(2.3.8)

es decir, que las corrientes se distribuyen entre las dos jaulas como si estas estuviesenconectadas galvánicamente en paralelo.

Por otra parte, las pérdidas en dos resistencias conectadas en paralelo están dadas por

bbaa R I R I P

22

+= (2.3.9)

con la restricción I I I ba =+ .

Para determinar la condición para la cual esas pérdidas son mínimas se iguala a cerola derivada según I a de (2.3.9):

5 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía – Capítulo 8

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-19

( )[ ] ( ) 02222 =−−=−+= b

I

aaabaaa

aa

R I I R I R I I R I dI

d

dI

dP

b

321

(2.3.10)

y se establece que para bbaa R I R I = las pérdidas son mínimas. En consecuencia,

cualquier distribución de las corrientes diferente a la inversamente proporcional a lasrespectivas resistencias tiene como consecuencia un aumento de las pérdidas.

De la relación (2.3.8) se desprende que en vacío (s=0) la distribución de las corrientesentre las dos jaulas es tal que las pérdidas en el rotor son mínimas. También se apreciaen esa relación que la distribución de corrientes correspondiente a pérdidas mínimas esalterada durante la partida ( 0≠s ) por los flujos (reactancias) de dispersión.

Considerando que ba X X σσ << , las pérdidas en el rotor aumentan básicamente por laexistencia del flujo de dispersión de la jaula inferior, cuyo asiento es la ranura quesepara las jaulas inferior y superior. Este flujo de dispersión y las resistencias de lasbarras de las dos jaulas le dan al motor de doble jaula sus características de arranqueespecíficas.

2.3.2 El circuito equivalente

Con el objetivo de obtener el circuito equivalente por fase del motor de doble jaula esnecesario rescribir las ecuaciones (2.3.3) a (2.3.5) introduciendo explícitamente los

flujos de dispersión definidos en el esquema de acoplamiento inductivo de la figura2.3.1 y la corriente magnetizante. Así la ecuación (2.3.3) toma sucesivamente lassiguientes formas:

( ) ( )bam jX X X j R IIIIV ++++= σ 12111111

( ) ( ) mmb

m

a

m

m jX jX R X

X

X

X jX jX R

ba

IIIIIIV

II

11111

12

1

12111111 ++=

++++= σ

′′

σ

321321

. (2.3.11)

Análogamente las ecuaciones (2.3.4) y (2.3.5) se transforman en

( )( )bamab

m

maaa X X j

X

X jX jX

s

R IIII ++++

+= σσ 211

2110

( ) ( )bam

abbamam

aa

X X

X jX jX

X X

X jX

s

R IIIIII ′+′+′+′++′

+= σσ2112

21

112112

210

( ) ( )ba

m

mabbama

m

ma

a

X

X jX jX

X

X jX

s

R IIIIII ′+′+′+′++′

+= σσ

2

111

2

10

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-20

( ) ( )baabbamaaa X j jX X j

s

R IIIIII ′+′′+′+′++′

′+′

= σσ 110 (2.3.12)

y

( ) ( )baabbambbb X j jX X j

s

R IIIIII ′+′′+′+′++′

′+′

= σσ 110 , (2.3.13)

donde se consideró que 122121 X X X X mm = (2.3.14)y se introdujeron las corrientes trifásicas equivalentes I’ a e I’ b.

Las ecuaciones (2.3.11), (2.3.12) y (2.3.13) satisfacen el circuito equivalente de lafigura 2.3.2, el que permite la determinación convencional de las corrientes y delmomento.

Al considerar que ba X X σσ << también

se visualiza la distribución decorrientes entre las dos jaulas en lapartida (s=1) anticipada en (2.3.8) ycomentada más arriba.

Para facilitar la comparación con elmotor de jaula simple es convenientereducir las dos ramas del rotor delcircuito equivalente a una sola rama.Despreciando Xσa en relación con Ra se logra

( )( )

( )s X j s

sR

X j s

R R

X j s

R

s

R

s ad

bba

bba

σ

σ

σ

′+′

=′+

′+′

′+′′

=′ 22Z (2.3.15)

con

( )2

2

2

2

2

1

′+′

′+

′+′

′′+

′+′′′

=′σ

σ

ba

b

ba

ba

ba

ba

R R

X s

R R

X R s

R R

R R

sR y ( )2

2

2

1

′+′

′+

′+′

′′

=′σ

σσ

σ

ba

b

ba

bb

ad

R R

X s

R R

X X

s X (2.3.16)

En contraste con el motor de jaula simple, en el circuito del rotor aparece ahora unaresistencia dependiente del deslizamiento y una reactancia de dispersión tambiéndependiente del deslizamiento.

Cuando el deslizamiento varía entre cero e infinito, la resistencia y la reactanciadependiente del deslizamiento varían respectivamente entre

Figura 2.3.2 Circuito equivalente por fasede la máquina de doble jaula

R1Xσ1

Xm1

X’σab

R’a/s

X’σa

X’σb

R’b/s

I’bI1

V1

I’a

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-21

( ) ( )ba

ba

s R R

R R sR limR

′+′′′

=′=′→ 2

02 0 y ( ) ( ) a

sR sR limR ′=′=∞′

∞→ 22 (2.3.17)

( ) ( )2

00

′+′

′′=′=′ σσ→σ

ba

abad

sad

R R

R X s X lím X y ( ) ( ) 0=′=∞′ σ∞→σ s X lím X ad

sad . (2.3.18)

Se aprecia que el aumento de laresistencia (pérdidas) durante lapartida tiene como contrapartida unaumento de la reactancia dedispersión del rotor parafuncionamiento nominal. Este hechose refleja en una disminución del

momento máximo y del factor depotencia nominal.

Durante la partida las pérdidas y elconsiguiente calor de arranque seproducen principalmente en la jaulasuperior, según se aprecia alconsiderar (3.2.8),

ba

b

bb

aa

cub

cua

R R

X s

R I

R I

P

P 22

2

2σ≈= , (2.3.19)

lo que resulta en un mayor aumentode la temperatura y de laconsiguiente dilatación térmica paralas barras de la jaula superior. Estasituación es menos problemática enel caso de la jaula de aluminiofundido, donde la unión metálicaentre las jaulas permite la difusióndel calor hacia la jaula inferior.

Del circuito equivalente de la figura2.3.3 se obtiene una expresiónanalítica para la corriente delestator. En la figura 2.3.4 estárepresentada la evaluaciónnumérica de esa expresión enforma gráfica.

Se aprecia que para deslizamientospequeños el lugar geométrico de la

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

I1(1)

Lugar geométrico de la corriente del estator (pu)con s como parámetro.

( 0<s<1)

V1

Figura 2.3.4 Lugar geométrico de la corrientedel estator de un motor de doble

jaula

s=0,23

Figura 2.3.3 Circuito equivalente reducido

1I

1V

2I′

mI1R

1σ X

( ) abad X s X σσ ′+′

( )

s

sR 2′1m X

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-22

corriente (admitancia) tiende al de un motor de jaula simple (jaula interior), unacircunferencia cuyo diámetro es menor que el que tendría la circunferencia

correspondiente al motor de jaula simple (jaula exterior), ya que está limitado por Xσad.

Como en ausencia de pérdidas en el estator la potencia del campo giratorio, y por lotanto el torque, es proporcional a la componente activa de la corriente, también seaprecia del diagrama de corrientes que con una adecuada elección de los parámetroses posible obtener torques de partida incluso superiores al torque máximo de unamáquina de jaula simple .

2.3.3 Torque y potencia

La doble jaula se utiliza en motores cuyo rango de potencias va de pocas decenas amuchas centenas de kW. Para motores de ese tamaño las pérdidas en el estator noinfluyen significativamente en las características de funcionamiento, por lo que esadmisible suponer R1=0.

En condiciones estacionarias se tiene que6

6 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía – Capítulo 8

Figura 2.3.5 Característica Torque / Velocidad de un motor de doble jaula

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

(1-s)

0.5

1

1.5

2

2.5

Torque [pu]

Ta

Tmín Tmáx

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-23

T p

P CG1

111 3ω

=ℜ= ∗IV (2.3.20)

y que

∗ℜω

= 1113 IV

pT . (2.3.21)

La evaluación numérica de esta relación para un motor de tamaño intermedio,representada en la figura 2.3.5, permite apreciar los aspectos más significativos de lacaracterística del torque como función de la velocidad de un motor de doble jaula.

Se puede apreciar que el mecanismo utilizado para aumentar las pérdidas en el rotor durante el arranque es muy eficaz y permite obtener cualquier momento de arranqueT

a, incluso momentos superiores a T

máx. Este último disminuye en comparación con

los valores habituales para motores de jaula simple, debido al alto valor de lareactancia de dispersión de la jaula interior. Por exigencia de la norma, T máx no debeser inferior a 1,6pu. Una característica peculiar del motor de doble jaula es ladisminución inicial del momento a medida que aumenta la velocidad. En motores muygrandes Tmín puede bajar a valores menores de 1pu, con lo que estos no podríanalcanzar la velocidad nominal con el momento nominal aplicado al eje.

2.4 Calentamiento durante el arranque y maniobras

Durante el funcionamiento asincrónico rige la ley de la división de la potencia delcampo giratorio en potencia mecánica y potencia transferida inductivamente al rotor:

21 cumec CG P P P += (2.4.1)

donde ( ) 11 CGmec P sP −= (2.4.2)

y 12 CGcu P sP = (2.4.3)

El torque acelerante es igual a la diferencia entre el torque desarrollado por el motor yel torque requerido por la carga

c em

T T dt

d J −=

ω(2.4.4)

Al considerar que ( ) p

sm11

ω−=ω (2.4.5)

se tiene que c e T T dt

ds

pJ −=

ω− 1 , (2.4.6)

relación que permite calcular el tiempo de maniobra, es decir, el tiempo que demora elmotor conectado a una red de frecuencia angular ω1 para alcanzar un deslizamientofinal sf a partir de un deslizamiento inicial si, como

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-24

( )∫ −ω

=i

f

s

s c e

mT T

ds

p

J t 1 (2.4.7)

y , en particular, el tiempo de arranque( )∫ −

=1

0

2 dsT T

T H t

c e

na (2.4.8)

con1

nn

pST

ω= torque nominal (2.4.9)

yn

2

21

Sp2

JH

ω= constante de inercia (2.4.10)

La constante de inercia es igual a la mitad del tiempo, en segundos, necesario para queel motor arranque hasta la velocidad sincrónica bajo el efecto de un momentoacelerante constante e igual al momento nominal.

La cantidad de energía transferida al rotor durante una maniobra se calcula como

∫∫ ==f

i

f

i

t

t

CG

t

t

cu dt P sdt P Q 122 . (2.4.11)

Al considerar la relación entre potencia del campo giratorio y el torque electromagnéticoy la expresión (2.4.6) se tiene que

ω−ω=f

i

t

t

c dt dt

ds

p

J T s

pQ 11

2 (2.4.12)

∫∫

ω+

ω=

i

f

f

i

s

s

t

t

c dss p

J dt sT p

Q

2

112 (2.4.13)

de donde, al reemplazar de (2.4.6)( )

dsTTp

Jdt

ce

1

ω−= (2.4.14)

se logra finalmente( ) ∫∫

ω+

−=

i

f

i

f

s

s

s

s c e

c c dss

pJ ds

T T T sW Q

2

12 2 , (2.4.15)

Se aprecia que durante un arranque en vacío (Tc=0, si=1, sf =0) se transfiere al rotor una cantidad de calor igual a la energía cinética de la masa rotante a velocidadsincrónica.

2

120 2

1

ω==

pJ W Q c (2.4.16)

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-25

En cambio una inversión de marcha en vacío (Tc=0, si=2, sf =0) implica uncalentamiento Q2inv=4Q20 y un frenado de contracorriente (Tc=0, si=2, sf =1) produce un

calentamiento Q2fcc=3Q20.

El calentamiento es directamente proporcional al momento de inercia de la masaacelerada. Por lo corto del tiempo de arranque, se puede considerar que se trata de unproceso esencialmente adiabático, es decir, se puede considerar que no haytransferencia de calor desde las barras de la jaula al fierro que las rodea.

De (2.4.15) se desprende que en presencia de torque de carga (Tc ≠ 0) elcalentamiento del motor aumenta y se hace dependiente del torque acelerante. Así,con Te = 2Tc, es decir, con el torque de la carga igual a la mitad del torque (medio) delmotor, el calentamiento del rotor aumenta al doble en relación con el que se produce

durante un arranque en vacío.

Este aspecto debe ser considerado cuando se opta por un arranque con tensiónreducida, ya que el torque del motor disminuye cuadráticamente con la tensión aplicadaa sus terminales.Más que en la energía suministrada al rotor, el riesgo térmico se refleja en el aumentode la temperatura en las barras de la jaula.

Suponiendo el peor caso, en el que no se produce una difusión significativa del calor alfierro (calentamiento adiabático), el aumento de temperatura al final del proceso dearranque está dado por

22

2

c m

QT =∆ (2.4.17)

donde m2 es la masa de la jaula y c2 el calor específico del material (habitualmentebronce).

Aluminio Acerofundido

Cobreelectrolítico

Bronce

c 0,884 0,460 0,385 0,375Kkg

kWs

α 23,9 11-13 16,9 18,7 10-6 K-1

Como el aumento de temperatura, en consideración a la dilatación térmica lineal∆l=αl∆T y a los esfuerzos mecánicos asociados, no debe superar un límite dado, elnúmero de arranques por hora también está limitado y para motores grandes esusualmente indicado por el fabricante del motor.

Se puede hacer una estimación razonable del número de partidas por hora (Nph)admisibles si se considera que el calor desarrollado durante los arranques no debe

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-26

superar el calor nominal, que es el que la máquina disipa en régimen estacionario sinsobrepasar las temperaturas admisibles.

Si [ ]h / J P Q ncun 360022 = es el calor que la máquina disipa en condiciones nominales

durante una hora y 2Q es el calor que se disipa durante cada partida, se tiene que elnúmero de partidas por hora no debería superar

2

cu2n 3600PNph

Q= . (2.4.18)

Además del calentamiento del rotor, debe considerarse el calentamiento del devanadodel estator por sus efectos sobre las características dieléctricas de los materiales

aislantes.Durante la partida de motores asincrónicos de jaula simple (sin efecto dedesplazamiento de corriente), conectados a una red de tensión y frecuencia nominal,se disipa en el devanado del estator una cantidad de calor aproximadamente igual a laque se disipa en el rotor, ya que durante el arranque I1 ≅ I2’ y R1 es del orden de R2’.

Para condiciones de arranque particularmente difíciles (elevado momento, gran inercia)se emplean motores con rotor devanado, para los cuales el calor de arranque se disipaprincipalmente en la resistencia externa, con lo que, de paso, también disminuye elcalentamiento del devanado del estator, o, alternativamente, se alimenta el motor a

través de un convertidor de frecuencia, aumentando esta paulatinamente desde cero asu valor nominal, con lo que desaparece el calor de arranque y sus consecuencias.

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-27

2.5 Apéndice 1: Relativo al Diagrama Circular Simplificado ( =0)

Para facilitar la parametrización de la circunferencia considérese las relaciones de lafigura 1, donde se puede apreciar que los triángulos P∞ AB y P∞B1 A1 son semejantes.En consecuencia rige la relación:

11 AP

BP

BP

AP

∞ =

de la cual se desprende que

=

∞∞

11

1

BP

BP

AP

AP .

El término entre paréntesis es una constante, por lo que la circunferencia es el lugar geométrico delos valores recíprocos de los rayos de P∞ a la rectanormal al diámetro principal. Si la recta estáparametrizada linealmente con el parámetro p,entonces al punto A sobre la circunferencia estáasociado el mismo valor del parámetro que alpunto A1 sobre la recta. El punto P∞ sobre lacircunferencia corresponde a p=±∞.

En consecuencia, si se conoce el punto P∞ y los valores del parámetro pcorrespondientes a dos puntos sobre la circunferencia, estos se pueden proyectar sobre una recta auxiliar (paramétrica), la que se divide linealmente de acuerdo con elparámetro p, puntos que luego se proyectan sobre la circunferencia mediante rayosdesde P∞.

En el caso de la máquinaasincrónica normalmente seconoce I1(0) e I1(1) con las que separametriza la recta dedeslizamiento.

El deslizamiento s quecorresponde a un punto cualquierasobre la circunferencia lo determinala intersección de la recta dedeslizamiento con un rayo desde±∞ a ese punto (líneassegmentadas).

P∞

A1

B B1

A

p=0

p=0

figura 1

-sM

I10

I1

s

sM

1

00

1

0,5

-0,5

s

sM

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-28

2.5.1 Potencia mecánica y Pérdidas del rotor en el diagrama circular

Con α=0 se tiene el diagrama circular de lafigura adjunta.

Sea ci [A/cm] el factor de escala para lascorrientes. Entonces la potencia absorbida

P1=3V1I1cosϕ1= 3V1ci PC =cpPC

es proporcional al trazo PC .

Por otra parte las pérdidas de cobre en elrotor están dadas por la relación

2222 3 I R P Cu′′=

Del diagrama se tiene que2

222

0

i c

I P P

′= y

2

222

10

i

cc

c

I P P

′=

En virtud del Teorema de Euclides rige:

∞⋅= P P C P P P 002

0 y ∞⋅= P P C P P P 0102

10 ,

pero1110

0

C P

BC

C P

C P = , por lo que

1110

0

10

02

2

22

2

2

C P

BC

C P

C P

P P

P P

I

I

P

P

cc cc cu

cu ===′

′=

y como 112 C P c P pcc cu = , se concluye que BC c P pcu =2 .

La potencia mecánica está dada por

( ) PBc BC PC c P P P P P p pcucuCGmec =−=−=−= 2121

y está representada por el trazo entre la circunferencia y la recta 10P P , denominada

línea de potencia mecánica

I10

I1

s

P ∞ 0

1

0,5

-0,5

s

I'2

P

B

C

P1

C1

I'2cc

P0

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-29

2.6 Apéndice 2: Lugar geométrico de la corriente del motor de doble jaula

Para destacar las características propias del motor de doble jaula se supondrá queR 1=0 y que R b<<R a. Además se analizarán separadamente dos situaciones extremas,correspondientes respectivamente a deslizamiento nulo, donde la caída de tensión enla resistencia R b no es despreciable frente a las caídas inductivas, y a deslizamientosignificativamente distinto de cero, situación en que la caída de tensión en R b sí esdespreciable frente a las caídas inductivas.

2.6.1 Deslizamiento nulo

En el caso de deslizamientos muy pequeños la corriente se distribuye entre las dos jaulas en razón inversa a las respectivas resistencias. Considerando que R a>>R b, sepuede suponer que la corriente sólo circula por la jaula inferior, es decir, I a=0 , con loque el problema se reduce al de una máquina con jaula simple con dispersión deranura elevada.

Para poder interpretar los resultados en forma de lugares geométricos de las corrientes(diagramas circulares) se parte convenientemente de las ecuaciones (2.3.3) y (2.3.5),que debidamente adaptadas toman las formas:

b jX jX IIV 12111 += (2.6.1)

( ) 1210 II jsX jsX R bbb ++= , (2.6.2)

de las que se despeja

bb

bb

X X X X s

R jX

jX s

R

112211

1

1

−+

+

=V

I (2.6.3)

e

2

112211

211

I

V

I ≈−+

=b

bb

X X X X s

R jX

X j

. (2.6.4)

Si por un momento se hace abstracción de la restricción inicial 0→s , se tiene que ellugar geométrico de I 1(s) e I ’ b=X 12 /X 1I b(s) es una circunferencia con centro en el ejeimaginario negativo, la circunferencia sincrónica.

De (2.6.3) y (2.6.4) se logra respectivamente

( )1

11 0

X j

VI −= , ( )

21121

11

X X X X

X j

b

b

−−=∞

VI (2.6.5)

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-30

( ) 00 =′bI , ( )

( ) 121121

21121

X X X X X

X X j

b

b −=∞′

VI (2.6.6)

con lo que puede dibujarse la circunferencia de la figura 2.6.1

Para parametrizar la circunferencia se requiere ubicar sobre ella el puntocorrespondiente a s=1.

( )( )

( )∞=−

−=−+

+=

→→ 121121

1

121121

1

001 1 IVV

I X X X X

X j

X X X X R jX

jX R lim

b

b

bb

bb

R R

bb

(2.6.7)

Se puede apreciar que para 0→bR el

punto correspondiente a s=1 se confundecon el punto correspondiente a ∞=s ,con lo que la recta de deslizamientodegenera en un punto, recorriendo losfasores I 1 e I ’ b toda la circunferencia,salvo un punto, con deslizamiento cero.

Con 0→bR se está frente a una jaula

supraconductiva para la cual rige elprincipio del enlace de flujo constante.Para que el flujo enlazado por la jaulapueda permanecer constante, lacorriente I b debe variar en magnitud yfase a medida que el eje magnético delrotor es desplazado respecto al ejemagnético del campo giratorio del estator por el torque aplicado al eje de lamáquina.

2.6.2 Deslizamiento distinto de cero

Considérese ahora la situación en que 0≠s . Ahora la distribución de las corrientesestá determinada principalmente por las reactancias y no se comete un error muysignificativo si en primera aproximación se desprecia la caída de tensión en laresistencia R b de la jaula inferior frente a las tensiones inducidas en ella por los camposgiratorios. De manera que las ecuaciones (2.3.3) a (2.3.5) pueden rescribirse como:

( )ba jX jX IIIV ++= 12111 (2.6.8)

( )baabaa jsX jsX R IIII +++= 1210 (2.6.9)

( )baabbb jsX jsX jsX IIII +++= σ 1210 (2.6.10)

V1

0≠s

I1(0)

I’b

I1

Figura 2.6.1 Lugar geométrico de lacorriente para s=0

I1(∞)

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-31

Si se multiplica (2.6.9) por jsX σ b y (2.6.10) por R a y se efectúa la suma resulta

( ) ( )( )bababbaba X jsX X R jsX R X III ++++= σσ 1210 (2.6.11)

De (2.6.8) se tiene que

( ) 101

1

21

121 I

V

I

III =−=++ X

j X

X

'

ba43421

(2.6.12)

De esta ecuación y de (2.5.11) se despeja

( )

( ) ( )2112121121

11

X X X X jsX X X X X R

X jsX X R j

abbba

abbba

−+−

+−=

σ

σ VI (2.6.13)

e

( )( ) ( )

−+−

+=′

σ

σ

2112121121

121

1

122

X X X X jsX X X X X R

jsX R jX

X

X

abbba

ba VI (2.6.14)

Nuevamente el lugar geométrico de I 1 e I ’ 2 es una circunferencia con centro en el ejeimaginario, la circunferencia de arranque. En particular se tiene para los puntosextremos del diámetro están determinados por:

( ) ( )21121

11 0 X X X X jX b

b

−−= VI , ( ) ( )21121

11 X X X X

jX ab

ab

−−=∞ VI (2.6.15)

e

( )( )

−=′

21121

121

1

122 0

X X X X

jX

X

X

ab

VI , ( )

( )

−=∞′

21121

121

1

122

X X X X

jX

X

X

ab

VI (2.6.16)

Se aprecia de (2.6.15) y (2.5.5) que el punto correspondiente a s=0 sobre lacircunferencia de arranque coincide con el punto correspondiente a ∞=s sobre lacircunferencia sincrónica, lo que implica que ambas circunferencias son tangentes enese punto. La figura 2.6.2 ilustra la situación.

Si en (2.3.8) se considera las aproximaciones R b=0 y X σ a=0 y se introduce la relaciónresultante y (2.6.13) en (2.6.11) se logra para la corriente en la jaula de arranque,referida al estator:

( ) ( )

−+−−=′

σ

σ

2112121121

121

1

12

X X X X jsX X X X X R

X sX

X

X

abbba

ba

VI (2.6.17)

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-32

con ( ) 00 =′aI e ( ) ( )∞=

−=∞′ 2

21121

121

1

12 ' X X X X

X

X

X j

ab

a IV

I (2.6.18)

y para la corriente en la jaula inferior:

( ) ( )

−+−−=′

σ 2112121121

121

1

12

X X X X jsX X X X X R

R jX

X

X

abbba

ab

VI (2.6.19)

con ( )( ) 121121

122110 X X X X X

X X j

b

b −=′

VI e ( ) 0=∞′

bI (2.6.20)

De la forma de las ecuaciones (2.6.17) y (2.6.19) se desprende que loscorrespondientes lugares geométricos también son circunferencias con centro en el ejeimaginario. Los puntos caracterizados por (2.6.20) determinan los extremos deldiámetro horizontal. Al comparar (2.6.20) con (2.6.6) se aprecia que

( ) ( )sincrónicabarranqueb ∞′=′ II 0 (2.6.21)

circunferenciasincrónica circunferencia I b(s)

circunferencia I a (s)

circunferenciaarranque

V 1

I 1n Ta

I’a(s)I’ b (s)

I1(s)

I’ 2 (s) R 1 =0

X a =0

Figura 2.6.2 Diagrama circular de un motor de doble jaula grande

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-33

( ) ( )sincrónicabarranqueb 0II ′=∞′ , (2.6.22)

es decir, que las circunferencias para I ’ b durante el arranque y durante elfuncionamiento sincrónico son coincidentes. Durante el arranque I ’ b recorre lasemicircunferencia inferior y durante el funcionamiento sincrónico recorre lasemicircunferencia superior. Los lugares geométricos de I ’ a e I ’ b también estánrepresentados en la figura 2.6.2. Debido a la aproximación X σ a=0 , R b=0 las corrientesI ’ a e I ’ b aparecen desfasadas en 90º.

2.6.3 Momento y pérdidas

La potencia del campo giratorio y el momento se pueden obtener directamente dellugar geométrico de la corriente I 1. Corresponden a la componente activa de I 1, ya queR 1=0. Se aprecia que la característica momento-velocidad correspondecualitativamente a la representada en la figura 2.6.3 con línea azul continua.

La idealización R b=0 destaca unadebilidad de la doble jaula cuandose la usa en motores de granpotencia. Si bien esta permiteaumentar eficazmente el momentode arranque, la forma de lacaracterística es tal que elmomento se reduce a valoresinferiores al momento nominalantes de que el motor alcance lavelocidad sincrónica, con lo queresulta imposible alcanzar esavelocidad. Se aprecia que parauna partida satisfactoria no bastaun momento de arranque T a elevado ni un momento T M elevado. En realidad R b no es nulay el momento no se reduce hastacero y la característica real seasemeja a la representada con

línea roja segmentada en la figura 2.6.3. En motores pequeños y medianos ladeformación de la característica momento-velocidad no es crítica y es ese el rango depotencias en el que se emplea preferentemente el motor de doble jaula.

Tn

TM

Ta

T

n

Figura 2.6.3 Característica torque-velocidad de un motor de doble jaula grande

con R b=0.

10

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-34

2.7 Apéndice 3: Relación entre torque y tamaño del motor

La discusión formal de las características de funcionamiento en términos de lasvariables de terminales, abordada en los párrafos precedentes, es imprescindible, peroa primera vista deja la sensación de no proporcionar las indicaciones necesarias parael dimensionamiento práctico de estas máquinas.

La recuperación de las dimensiones geométricas implica expresar las variables determinales (o de circuito) en términos de las variables internas (de campo). Para elloresulta conveniente partir de la expresión para la potencia mecánica:

ηϕ= 111m IV3P cos (2.7.1)

donde η es el rendimiento de la máquina.

Considerando que p1d111 f Nf 444V Φ= , , (2.7.2)

el flujo por polo lB pmp τ=Φ , (2.7.3)

el paso polar p2

Dp

π=τ , (2.7.4)

la densidad lineal de corriente (térmica)D

IN6

D

Iz3 A 1111

1 π=

π= , (2.7.5)

y la velocidad sincrónica p

f 21s

π=ω , (2.7.6)

con f 1 frecuencia de la red, N1 número de vueltas por fase, z1 número de conductorespor fase del estator, f d1 factor de devanado del estator, Bm inducción media en elentrehierro, D diámetro interior del estator, l largo axial efectivo del estator, p númerode pares de polos, la expresión (2.6.1) toma la forma:

s2

1m11d

2

m lD ABf 24

P ωηϕπ

= cos , (2.7.7)

por lo que para el torque desarrollado por la máquina vale:

lDCP

T 2

s

m =ω

= , (2.7.8)

donde 1m11d

2

ABf 24

C ηϕπ

= cos (2.7.9)

representa energía por unidad de volumen y se conoce como la cifra deaprovechamiento, cuyo valor como función de la potencia se puede suponer conocido apartir de la evaluación de máquinas construidas previamente.

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La máquina asincrónica en estado estacionario 2-35

El parámetro que varía más fuertemente con la potencia es la densidad lineal decorriente A1, cuyos valores típicos están entre 20000A/m para máquinas pequeñas y

60000A/m para máquinas grandes (de ranuras más profundas y refrigeración másintensiva). De (2.7.8) se aprecia que el tamaño (volumen) de la máquina estádeterminado por el torque.

La obtención del diámetro interior del estator D y de la longitud axial del paquete dechapas l a partir del producto dado por la relación (2.7.8) ya pertenece al ámbito delarte del diseño y no puede ser tratada aquí. Sólo se mencionará que, entre otrosaspectos, debe tenerse en cuenta que en el caso de máquinas pequeñas y medianas(motores de norma) las dimensiones exteriores, como la altura del eje, estánnormalizadas. También influyen los procesos de fabricación, que pueden considerar eluso de las mismas chapas para dos o tres potencias, utilizando diferentes largos

axiales.Para comparar el diámetro interior D de dos motores del mismo número de polos sepuede recurrir al hecho que la potencia es prácticamente proporcional a D4, ya quetanto la densidad lineal de corriente, el factor de potencia y el rendimiento como lalongitud axial aumentan con el tamaño de la máquina. Así, si se conoce el diámetro Dde una máquina de 200kW, el de una máquina de 400kW será 4 2 =1,19 veces mayor yuna máquina cuya potencia es 10 veces mayor tendrá un diámetro interior incrementado 1,8 veces.

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CAPÍTULO 3

3 LA MÁQUINA SINCRÓNICA ANISOTRÓPICA 3—2 3.1 Ecuaciones de equilibrio eléctricas estacionarias 3—2 3.2 Diagrama fasorial 3—5 3.3 El efecto de la saturación del circuito magnético 3—7

3.3.1 Determinación de la corriente de campo y de la regulación 3—10 3.4 Lugar geométrico de la corriente de armadura 3—12 3.5 Potencia y momento 3—14 3.6 Funcionamiento con carga asimétrica 3—16

3.6.1 La reactancia de secuencia negativa 3—18 3.6.2 Reactancia de secuencia cero 3—21 3.6.3 Modelo para la máquina con carga asimétrica 3—21 3.6.4 Uso del modelo 3—22

3.7 Cortocircuito dinámico de la máquina sincrónica anisotrópica 3—24 3.7.1 Introducción 3—24 3.7.2 Análisis del cortocircuito trifásico dinámico basado en el principio del enlace de flujo constante

3—25 3.7.3 Tratamiento analítico mediante ecuaciones diferenciales 3—29 3.7.4 Inclusión de las constantes de tiempo 3—32 3.7.5 Representación en el dominio de frecuencia: La inductancia operacional 3—36 3.7.6 Evaluación de los oscilogramas 3—39

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—2 ______________________________________________________________________

3 La máquina sincrónica anisotrópica

3.1 Ecuaciones de equilibrio eléctricas estacionarias

En régimen sinusoidal estacionario la máquina está conectada a una red trifásicasimétrica y su rotor gira con velocidad sincrónica p / 1ω . El devanado de campo estáalimentada con corriente continua I f y la corriente en la jaula es nula.

La conexión estrella sin neutro del devanado de armadura hace que la red sólo impongalas tensiones de línea. Sin embargo, la simetría del devanado de armadura y laausencia de corriente de secuencia cero hacen que la tensión de secuencia cero sea

nula, por lo que las tensiones de fase también forman un sistema simétrico.

Para la tensiones de fase del devanado de armadura se puede anotar entonces:

t cosV v a 112 ω= (3.1.1)

) / t cos( V v b 322 11 π−ω= (3.1.2)

) / t cos( V v c 322 11 π+ω= . (3.1.3)

El fasor espacial correspondiente se calcula como

( ) t j

c ba eV v aav v v 11

21 2

3

2 ω=++=r

(3.1.4)

y se refiere convenientemente al sistema de coordenadas fijo al rotor - en el cual lamáquina está descrita por ecuaciones diferenciales lineales - mediante latransformación:

0

111 2 γγ− == j j r eV ev v

rr

(3.1.5)

donde se consideró que 01 γ−ω=γ t . (3.1.6)

En estado estacionario sólo interesa la solución particular y esta tiene una forma similar a la función de excitación, salvo un ángulo de fase.

En consecuencia se puede postular directamente para la corriente:

( ) 00111 22 γϕ+γ == j j

r eeI i Ir

(3.1.7)

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—3 ______________________________________________________________________

Se observa que las variables referidas al rotor se tornan independientes del tiempo, por lo que sus derivadas según el tiempo se hacen nulas. En consecuencia, al reemplazar

(3.1.5) y (3.1.7) en la ecuación diferencial (1.7.9), en la que se suprimen los términosque se refieren a la jaula,

( )[ ]f f r Gr Gr r i Li Li LLdt

d

dt

d j i R v 112111111 +++

+= ∗σ

rrrr

(1.7.9a)

esta se reduce a una ecuación algebraica:

( )

+++ω+= γ−∗γ

σγγ

21121111111

0000 f f

j

G

j

G

j j I LeLeLL j eR e IIIV . (3.1.8)

Si se multiplica esta ecuación por 0γ− j e , se introduce formalmente un nuevo sistema decoordenadas fijo al rotor, cuyo eje real coincide con r v 1

r

, según se puede apreciar de(3.1.5). En este nuevo sistema de referencia (3.1.8) toma la forma más simple

( )

+++ω+= γ−γ−∗

σ00

21

2121111111

j f f

j

GG eI

LeLLL j R IIIV . (3.1.9)

Considérese ahora la introducción del ángulo de carga δ, definido como

0

2γ−

π=δ , (3.1.10)

y la descomposición de la corriente compleja en dos componentes respectivamenteparalelas a los ejes d y q, como se indica en la figura 3.1.1

δδγ− +−=+== j q

j d qd

j

r rv eI eI j i i ei i 111111 220rrrr

. (3.1.11)

Esta descomposición del fasor espacial en dos componentes ortogonales representa enel plano complejo a la descomposición de la correspondiente distribución espacialsinusoidal de fmm en dos ondas, centradas respectivamente en el eje de simetría delpolo (eje d) y el eje de simetría del espacio interpolar (eje q). Esta descomposición es laidea en que se basa la teoría de los dos ejes de Blondel.

Considerando (3.1.7) la relación (3.1.11) se puede rescribir como

qd

j

q

j

d eI e jI 11111 III +=+−= δδ (3.1.12)

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—5 ______________________________________________________________________

Para expresar (3.1.14) en términos de los fasores espaciales, referidos al sistema decoordenadas fijo respecto al estator, se realiza la transformación inversa de (3.1.5), es

decir, cada término de (3.1.14) se multiplica por )e( t j

12ω

. Así se obtiene

( ) pqmqd md v i jX i jX i jX R v rrrrr

++++= σ 111111 , (3.1.18)

que expresa la ecuación de equilibrio para las fases del estator. Esta expresión esisomórfica con (3.1.14), la ecuación de equilibrio en términos de los fasores temporales. Con velocidad constante, los campos distribuidos sinusoidalmente en el espacioinducen tensiones que varían sinusoidalmente en el tiempo.

3.2 Diagrama fasorial

La información contenida en la ecuación (3.1.18) se aprecia mejor si se invoca laidentidad entre componentes simétricas y fasores espaciales y se la representagráficamente en el plano complejo superpuesto a un corte transversal de la máquina enla forma indicada en la figura 3.2.1.

La elección arbitraria de un ángulo fase nulo para la tensión de la fase a en (3.1.1)implica fijar como t=0 al instante en que la tensión en la fase a es máxima, lo que deacuerdo con (3.1.4) significa que en el plano complejo ( )01v

r

coincide con el eje real.

Como la tensión es máxima cuando el flujo enlazado es cero, el fasor ( )01φr

tiene queestar desplazado en -π/2 respecto al eje real, o eje de la fase a, ya que la proyección deese fasor sobre el eje de la fase a representa el valor instantáneo del flujo enlazado por esa fase. El fasor pv

r

está desplazado respecto a 1v r

en el ángulo de carga δ (3.1.15). El

fasor pv r

está desplazado en π/2 respecto a pφr

, que está centrado en el eje d, y por lo

tanto su dirección coincide con la del eje q. El ángulo entre los flujos es el mismo que elentre las tensiones correspondientes.

Con estos antecedentes y el conocimiento de los parámetros X σ 1, X md y X mq se puederealizar la construcción del diagrama fasorial de la máquina sincrónica para una

condición de carga dada, caracterizada por la tensión en los terminales de la máquinaV 1, la corriente de armadura I 1 y el ángulo de fase ϕ 1.

Supóngase que la máquina funcione como un generador sobreexcitado, entregando

potencia reactiva inductiva a la red. Entonces π/2<ϕ1<π, lo que permite ubicar 1i r

en

relación con 1v r

, centrado en el eje de la fase a, como se muestra en la figura 3.2.1.

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—6 ______________________________________________________________________

Para poder descomponer 1i r

en d i 1r

e qi 1r

se requiere conocer la ubicación de los ejes d y

q, determinada por el ángulo δ. Por consideraciones geométricas elementales - loslados correspondientes son perpendiculares - se puede apreciar que los triángulosrectángulos achurados de la figura 3.2.1 son semejantes, es decir, los ladoscorrespondientes son proporcionales, con factor de escala X mq. En consecuencia, lahipotenusa (segmentada) es de longitud X mqi 1. Entonces, para ubicar la posiciónangular del eje q sólo es necesario prolongar 11i jX

r

σ en 1i X mq , o, lo que es lo mismo,

restarle a 1v r

el fasor ( ) 1111 i jX i X X j qmq

rr

=+σ .

γ0δ

t = 0R1 =0

Xmdi1d

Xmqi1q

Xmqi1

vp

v1

Xσ1i1

d

q

i1

i1q

i1d

ϕ1

Φ1

vi

Figura 3.2.1 Diagrama fasorial de las componentes simétricasy la interpretación de estas como fasores espaciales.

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—7 ______________________________________________________________________

3.3 El efecto de la saturación del circuito magnético

Hasta aquí el modelo usado para la máquina sincrónica supone un circuito magnéticolineal. Como normalmente las máquinas reales funcionan con niveles de inducción talesque para tensión nominal el fierro de su circuito magnético está saturado, es necesarioconsiderar este fenómeno, que se manifiesta en la curvatura de la característica devacío V p(I f ), representada esquemáticamente en la figura 3.3.1.

En vacío la tensión V p es proporcional alflujo en el entrehierro Φ δ y es habitualtomar la característica de vacío comoequivalente a la característica demagnetización Φ δ (F) resultante, lo que

implica considerar a la máquinasincrónica como un circuito magnéticoserie, donde el flujo es el mismo en todoslos tramos. Este punto de vista ignora elefecto del flujo de dispersión del rotor sobre la saturación del tramo del circuitomagnético correspondiente al inductor, loque en el caso de máquinas modernas,altamente aprovechadas, produceinexactitudes (p.ej., al determinar eltriángulo de Potier 1).

En la figura 3.3.2 se ilustra la situación planteada y se muestra como obtener lacaracterística de magnetización resultante sumando las fmms en cada tramo del circuitomagnético correspondientes a un determinado valor del flujo en el entrehierro. Así, paradeterminar la fmm para el inductor ∆F hay que considerar el flujo efectivo en el inductor,sumando al flujo en el entrehierro el flujo de dispersión del rotor. Con este valor se entraa la característica Φ (F) del inductor y se obtiene la fmm correspondiente. Se apreciaque la fmm necesaria para establecer un cierto flujo en el entrehierro es mayor mientrasmayor sea el flujo de dispersión del inductor y como éste no es el mismo en vacío quecon carga inductiva pura, situación en que se requiere una elevada corriente de campo -con el consiguiente aumento del flujo de dispersión - para contrarrestar el efecto

desmagnetizante de la reacción de armadura, la característica de magnetización y lacaracterística de vacío en rigor no son homologables.

A pesar de la conclusión anterior, en lo que sigue se mantiene el modelo del circuitomagnético serie.

Para poder utilizar la característica de vacío como característica de magnetización esnecesario expresar el efecto magnético de la corriente de armadura I 1d en términos deuna corriente de campo equivalente, es decir, es necesario determinar el valor de la

1 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía - Capítulo 7

V p, Φ δ

I f , F

Figura 3.3.1 Característica de vacío

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—8 ______________________________________________________________________

corriente de campo I 1df que produce la misma distribución fundamental de inducción en

el entrehierro que una corriente de armadura I 1d .

El devanado de campo produce una distribución de fmm rectangular. Con entrehierroconstante la distribución de inducción también será rectangular (figura 3.3.3a) conamplitud

p

I N B f f

f 20

δ′′µ

= (3.3.1)

El coeficiente de Fourier correspondiente a la fundamental se calcula como

f f

p

p

f fp I sen p

N dx px cosB

pB

απδ ′′µ

π=

π= ∫

απ+

απ−

22

42 0

2

2

22 . (3.3.2)

El devanado trifásico del estator produce una distribución de fmm sinusoidal, cuyacomponente centrada en el eje directo tiene la amplitud

d d

p I p

N f F 1

111 2

2

4

2

3

π= . (3.3.3)

Φσf Φδ

d

∆F

∆F

F

Φ

Φσf

Φδ

entrehierro

inductor

dientes+yugo

entrehierro+dientes+yugo

0

Figura 3.3.2 Influencia del flujo de dispersión del rotor (inductor)

sobre la característica de magnetización Φ δ (F).

Fres

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—9 ______________________________________________________________________

Como el modelo considera que la permeancia en el espacio interpolar es nula, la onda

de inducción correspondiente es una sinusoide recortada (figura 3.3.3b) y la amplitud desu fundamental es

( )d

d c

d dp I

sen

p

N f B 1

011 22

4

2

3

4 4 34 4 21

παπ

+αδ ′′µ

π= . (3.3.4)

Si ahora se iguala las expresiones para las amplitudes de las ondas fundamentales deinducción se obtiene la relación buscada entre la componente de la corriente dearmadura y la corriente de campo equivalente a esta.

d d d d

df f

d df I g I c

f N

f N I 11

111

2

3== (3.3.5)

x

x2

x2

B dp

B fp

τ p

α τ p

0

a

b

Figura 3.3.3 Relativo al reemplazo de la reacción de armadura en el eje directo por una corriente de campo equivalente

bf

bad

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—10 ______________________________________________________________________

Se aprecia que el factor de proporcionalidad, conocido como factor de reacción dearmadura en el eje directo,

d

df f

d d c

f N

f N g 11

2

3= (3.3.6)

tiene el carácter de una relación de transformación.

3.3.1 Determinación de la corriente de campo y de la regulación2

Con los resultados del párrafo anterior se puede determinar la corriente de campo I f necesaria para un estado de carga determinado, caracterizado por la tensión en losterminales V 1, la corriente de armadura I 1 y el ángulo de fase ϕ 1.Para ilustrar el procedimiento, considérese el caso de un motor sobreexcitado, demanera que entregue potencia reactiva inductiva a la red. Con este antecedente sepuede comenzar la construcción del diagrama fasorial de la figura 3.3.4, adelantando I 1

2 Ver IEEE Std 115-1995 Test Procedures for Synchronous Machines, Part I Section 5

1 δ

V 1

I 1

I 1d

I 1q

V i V iq

d

q

X 1q I 1

Figura 3.3.4 Obtención de I 1d y V iq para ladeterminación de la corriente de campo

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—11 ______________________________________________________________________

en un ángulo ϕ 1<90º respecto a V 1. En seguida se determina la tensión inducida por elflujo resultante en el entrehierro V i , restando a V 1 la tensión inducida por el flujo de

dispersión jX σ 1 I 1. El eje q se ubica en la forma explicada anteriormente restando jX 1q I 1 de V 1.

El grado de saturación está determinado por el flujo resultante en el eje directo, que esproporcional a V iq. Con esta tensión se entra a la característica de vacío (figura 3.3.5) yse obtiene la corriente magnetizante correspondiente, es decir, una corriente ficticiaque, si circulara en el devanado de campo, produciría el mismo flujo en el eje directoque las corrientes de campo y de armadura en conjunto.

Dado que la máquina suministrapotencia reactiva inductiva a la red,

la reacción de armadura, cuyo valor expresado en términos de lacorriente de campo es g d I 1d, esdesmagnetizante. En consecuenciael valor de la corriente de campocorrespondiente al estado de cargaanalizado vale

d d mf I g I I 1+= , (3.3.7)

donde I 1d también se obtiene del

diagrama fasorial.

Al entrar con I f a la característica devacío linealizada para ese grado desaturación se obtiene V p, la tensiónficticia inducida por la componentedel flujo - también ficticia - debida aldevanado de campo. Esta tensiónno es medible, en cambio sí lo esV p' , la tensión inducida en vacío y ,por lo tanto, correspondiente a otro

grado de saturación.

V p' es la tensión que aparece en los terminales de la máquina cuando esta sedesconecta de la red. La correspondiente variación de tensión se suele referir a latensión nominal y se conoce como regulación

1

1

V

V V p′−

=ε (3.3.8)

V p'

V iq

I m

g d I 1d

I f I f

V p

V p

Figura 3.3.5 Consideración de la saturaciónal determinar la corriente decampo y la regulación

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—12 ______________________________________________________________________

y, de acuerdo con la norma, no debería ser superior a 0,5 para un factor de potencia 0,8inductivo.

Para una máquina dada, el valor de la regulación depende de su razón decortocircuito (SCR), definida anteriormente como la razón entre la corriente de campopara tensión nominal en vacío I f0 y la corriente de campo para corriente de armaduranominal en cortocircuito I fcc

nd

f

fcc

f

I g

I

I

I SCR

1

00 ≈= . (3.3.9)

Considerando (3.3.7) se aprecia que valores elevados para la razón de cortocircuitodeterminan valores relativamente bajos para la regulación y viceversa.

3.4 Lugar geométrico de la corriente de armadura

Un lugar geométrico describe la trayectoria de un fasor en el plano complejo cuandocambia la condición de operación de la máquina, sujeta a cierta condición. Su ventajareside en que permite visualizar en una sola imagen las diferentes posibilidades deoperación de la máquina.

Para obtener una expresión analíticapara la corriente I 1 se recurreconvenientemente al diagrama fasorialde la figura 3.4.1, del cual sedesprenden las siguientes relaciones:

d d p X I cosV V 111 =δ− (3.4.1)

qq X I senV 111 =δ (3.4.2)

δ= j

d d e jI 11I (3.4.3)

δ−= j qq eI 11I , (3.4.4)

por lo que

δδ δ−

δ−=+= j

q

j

d

p

qd e X

senV e

X

cosV V j

1

1

1

1111 III

expresión que con las relaciones de Euler toma la forma

Figura 3.4.1El diagrama fasorial como modelo geométrico de la máquina sincrónica

d

q

V p

V 1

δ

ϕ1

I 1

I 1d

I 1q

I 1q X 1q

I 1d X 1d

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—13 ______________________________________________________________________

δδ

+

−+

+−=

j

d

p j

d qd q e X

V

j e X X

V

j X X

V

j 1

2

11

1

11

1

1

11

2

11

2I (3.4.5)

Esta expresión puede rescribirse convenientemente como:

434214 4 4 4 34 4 4 4 214 4 4 34 4 4 21

111210

1

2

1

1

1

1

1

1

1

11 1

21

2III

I δδ +

−+

+−= j

d

p j

q

d

d q

d

d

e X

V j e

X

X

X

V j

X

X

X

V j (3.4.6)

donde -jV 1 /X 1d es la corriente magnetizante absorbida de la red en vacío (δ =0 ) y sin

excitación (V p=0 ).El lugar geométrico de la corriente dearmadura de la máquina anisotrópica conexcitación constante corresponde a unaLimaçon de Pascal, cuya generación a partir de los tres sumandos de (3.4.6) se ilustra enla figura 3.3.7.

La figura 3.4.3 muestra los lugaresgeométricos de la corriente de armadura

para diferentes grados de excitación de lamáquina de polos salientes. También estárepresentado (con color rojo) el lugar geométrico de la máquina de rotor cilíndrico(V p=2, X 1q=X 1d ) , que corresponde a unacircunferencia. Se aprecia que paramáquinas sobreexcitadas y ángulos de

carga pequeños el arco de Limaçon y el arco de circunferencia no difierensubstancialmente, hecho que legitima la práctica de modelar la máquina anisotrópicacomo si fuera isotrópica.

Las ordenadas máximas de los lugares geométricos correspondientes a los diferentesgrados de excitación representan los valores máximos de la componente activa de lacorriente y por lo tanto son proporcionales a la potencia máxima. Ellas determinan otrolugar geométrico, el límite de estabilidad estacionaria. Al aumentar la potencia mecánicasuministrada al eje I 1 se desplaza sobre la Limaçon hasta el punto correspondiente allímite de estabilidad. Un incremento adicional del momento aplicado al eje no podría ser equilibrado por el momento electromagnético y se produciría la aceleración del rotor y lapérdida del sincronismo.

Por otra parte, un cambio de la excitación con la potencia suministrada al eje constante,es decir, con la componente de la corriente de armadura en fase con V 1 constante,

V 1

ϕ1

δ2δ

I 1

I 10

I 12

I 11

Figura 3.4.2 Generación del lugar geométricode la corriente de armadura

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—14 ______________________________________________________________________

determina un lugar geométrico para I 1 que es una recta paralela al eje de abscisas. Seaprecia que mediante la variación de la corriente de campo se puede ajustar la

componente reactiva de la corriente de armadura.

3.5 Potencia y momento

En estado estacionario la potencia media suministrada al campo magnético es nula. Enconsecuencia, se tiene que en ausencia de pérdidas la potencia absorbida es igual a lapotencia entregada:

mec P P =1 (3.5.1)

Para la potencia eléctrica se tiene en términos de los valores efectivos complejos:

Figura 3.4.3 Lugar geométrico de la corriente I 1( azul corresponde a X 1d =2pu, X 1q=1,1pu)( rojo corresponde a X 1d =X 1q=2pu)

-0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1V1

I1

X1d=X1q

Vp=2pu

Vp=1pu

Vp=0,5pu

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—15 ______________________________________________________________________

∗ℜ= 111 3 IVP (3.5.2)

y al reemplazar (3.4.5) queda

δ

−−δ−= 2

11

233

11

21

1

11 sen

X X

V sen

X

V V P

d qd

p (3.5.3)

Por otra parte, para la potencia mecánica vale

pT T P mmec

1ω=ω= . (3.5.4)

Al reemplazar (3.5.3) y (3.5.4) en (3.5.1) se obtiene la siguiente expresión para elmomento:

δ

ω−δ

ω−= 2sen

X

1

X

1

2

Vp3sen

X

VVp3T

d1q1

21

1d1

1p

1

. (3.5.5)

El primer término de la suma se conoce como momento de excitación y es similar aldesarrollado por la máquina isotrópica3. El segundo término se conoce como momentode reluctancia y tiene su origen en la anisotropía, expresada en la diferencia entre lasreluctancias en el eje directo y en el eje en cuadratura.

En máquinas sincrónicas normales la reactancia en el eje en cuadratura es típicamentedel orden de un 70% de la reactancia en el eje directo y por lo tanto la amplitud delmomento de reluctancia para V 1=V p es sólo un 20% de la amplitud del momento deexcitación. Para máquinas sobreexcitadas la amplitud relativa del momento dereluctancia es aún menor. La figura 3.5.1 muestra la característica del momento comofunción del ángulo de carga de una máquina anisotrópica conjuntamente con el primer término de (3.5.5), pudiendo apreciarse que la diferencia no es sustantiva.

También existe el motor de reluctancia, que prescinde del devanado de campo y cuyodiseño moderno considera un rotor de construcción especial (chapas de acero

magnético y nomagnético alternadas, de orientación axial) con la que se logra que lareactancia en el eje en cuadratura se reduzca a un valor del orden de un 10% de lareactancia en el eje directo. La ausencia de un devanado de campo en el rotor permitea estos motores alcanzar altas velocidades como parte de un accionamiento conconvertidores de frecuencia. Como por naturaleza poseen un factor de potencia bajo, suaplicación está restringida al rango de potencias inferior a 10kW.

3 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía – Capítulo 7

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—16 ______________________________________________________________________

El arranque del motor de reluctancia se logra mediante una jaula incompleta (devanadoasimétrico) y su sincronización es un proceso dinámico cuyo éxito depende, entre otros

aspectos, del momento de inercia de la carga4

.

3.6 Funcionamiento con carga asimétrica

El funcionamiento simétrico es una idealización. En condiciones de funcionamientonormales las corrientes de fase no suelen ser iguales, aspecto que la norma (por ejemplo VDE 0530 / 3.59 §40c) considera al exigir que turbogeneradores de hasta100MVA deben ser capaces de soportar en forma permanente una asimetría relativa de12,5%, es decir, una corriente de secuencia negativa de 12,5%.

Esta asimetría influye sobre las características de funcionamiento de la máquina,especialmente en lo que al calentamiento y el nivel de vibraciones mecánicas se refiere.

4 P.J.Lawrenson et al. Transient performance of reluctance machines, PROC. IEE, Vol 118, Nº6, June1971

T

Figura 3.5.1 Momento resultante y momento de excitacióncomo función del ángulo de carga

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—17 ______________________________________________________________________

Además de estas asimetrías “normales” suelen presentarse asimetrías anómalas, como

consecuencia de fallas en el sistema de potencia al que está conectado el generador.Estas fallas, si bien de corta duración, deben poder ser predichas en susconsecuencias, lo que implica la necesidad de modelos adecuados para la máquina enesas condiciones de operación. En los párrafos siguientes se desarrollan las ideas quepermiten formular esos modelos para la máquina sincrónica.

De acuerdo con los resultados obtenidos en el párrafo 1.10, un sistema trifásicoasimétrico siempre puede ser descompuesto en dos sistemas simétricos de secuenciainvertida y un sistema de secuencia cero. Esto llevó a reemplazar la máquina conalimentación asimétrica por dos máquinas idénticas, acopladas mecánicamente yalimentadas respectivamente con un sistema de tensiones simétrico de secuencia

positiva y un sistema de tensiones simétrico de secuencia negativa, tal como semuestra en la figura 3.6.1. Este modelo hace abstracción de los efectos causados por lainteracción de los campos de secuencia positiva y de secuencia negativa.

El devanado de campo de la máquina de secuencia positiva (MSP) está alimentadocon la corriente continua I f y el devanado de campo de la máquina de secuencianegativa (MSN) está cortocircuitado. En la máquina de secuencia positiva el rotor girasincrónicamente con el campo giratorio, comportándose esta máquina como unamáquina sincrónica. En cambio en la máquina de secuencia negativa el campoimpuesto por la alimentación de esa secuencia gira en sentido opuesto al sentido de

V b1

V c1

V a1

Vb2

Va2

Vc2

If

a b c a bc

V a1 =V 1 V b1 =a2

V 1 V c1 =aV 1

V a2 =V 2 V b2 =aV 2 V c2 =a

2V 2

Figura 3.6.1 Las máquinas de secuencia. Aplicación del principio de superposición a la máquina sincrónica con carga asimétrica.

MSP MSN

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—18 ______________________________________________________________________

giro del rotor, por lo que esa máquina se comporta en forma semejante a una máquinaasincrónica con deslizamiento s=2.

La relación entre las componentes fundamentales de la tensión y de la corriente en lamáquina de secuencia negativa se conoce como impedancia de secuencia negativa,cuya determinación es el objetivo del párrafo siguiente.

3.6.1 La reactancia de secuencia negativa

Debido a la anisotropía del rotor, los parámetros de secuencia negativa no son únicos ydependen de circunstancias como el tipo de excitación. Así debe distinguirse entre la

excitación con tensiones de secuencia negativa y la excitación con corrientes desecuencia negativa. Como las fallas (p.ej. un cortocircuito monofásico) imponenrestricciones sobre las corrientes de secuencia, se abordará aquí esa situación enforma explícita.

El punto de partida para el análisis son las ecuaciones de Park, derivadas en el capítulo1 y reproducidas aquí por conveniencia:

( )QQqqD

Df

f d

d d d i Li Ldt

d

dt

di L

dt

di L

dt

di Li R v 11111

11111 +

γ−+++= (3.6.1)

( )DDf f d d

Q

Q

q

qqq i Li Li Ldt

d

dt

di

Ldt

di

Li R v 11111

1

1111 ++

γ

+++= (3.6.2)

dt

di L

dt

di L

dt

di Li R v D

fDd

f f

f f f f +++= 11 (3.6.3)

dt

di L

dt

di L

dt

di Li R f

Df d

DD

DDD +++= 110 (3.6.4)

dt

di L

dt

di Li R

q

Q

Q

QQQ

110 ++= . (3.6.5)

Con el objeto de destacar lo esencial, en una primera aproximación se ignorará elefecto de las resistencias y se reducirá el problema a la determinación de la reactanciade secuencia negativa. Las operaciones algebraicas necesarias se facilitan si serescribe las ecuaciones en forma matricial:

ωωω

ω−ω−

=

Q

D

f

q1

d1

Q1Q

DDf 1D

fDf 1f

Q1D11f 11q1d11

Q11D1f 1q11d1

q1

d1

i

i

i

i

i

pL00pL0

0pLpL0pL

0pLpL0pL

pLLLpLL

LpLpLLpL

0

0

0

v

v

(3.6.6)

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—19 ______________________________________________________________________

con el operador diferencialdt

d p = .

Como las corrientes en los circuitos del rotor no interesan en este contexto, se eliminalas correspondientes filas y columnas, recurriendo a la técnica de la partición de lasmatrices. Con este objeto se rescribe (3.6.6) en términos de matrices compuestas comosigue:

=

I

I

DC

BAV 11

0. (3.6.7)

Desarrollando este producto queda:

BIAIV += 11 (3.6.8)DICI += 10 (3.6.9)

y reemplazando la expresión para I despejada en (3.6.9) en (3.6.8) se logra

( ) 11

1 ICBDAV ⋅−= − (3.6.10)

que, rescrita en forma explícita, toma la forma:

ω

ω−=

q

d

"

q

"

d

" q

" d

q

d

i

i

pLL

L pL

v

v

1

1

111

111

1

1 (3.6.11)

donde L” 1d y L” 1q son respectivamente las inductancias subtransitorias en el eje directo yen el eje en cuadratura, cuya interpretación física corresponde a las inductancias decortocircuito de sendos transformadores de tres y dos devanados formadosrespectivamente por los devanados en el eje directo y los devanados en el eje encuadratura.

Supóngase ahora que la máquina sea alimentada con corrientes de secuencia negativa:

( )t cosI i a 122 ω= (3.6.12)

( )322 12 π+ω= t cosI i b (3.6.13)

( )322 12 π−ω= t cosI i c (3.6.14)

Esto implica que

( ) t j

c ba eI i aai i i 12

21 2

3

2 ω−=++=r

e ( )t j j

r eI ei i 10 2211 2 ω−γγ− ==

rr

. (3.6.15)

En términos de las componentes se tiene que

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—20 ______________________________________________________________________

( ) ( )01201211 2222 γ−ω−γ−ω=+ t senI j t cosI ji i qd (3.6.16)

Se aprecia que las componentes referidas al sistema de referencia del rotor

( )012d1 t2cosI2i γ−ω= (3.6.17)

( )012q1 t2senI2i γ−ω−= (3.6.18)

son de frecuencia igual al doble de la frecuencia de la red.

Estas componentes se reemplazan en (3.6.11) y desarrollando esta expresión se logra:

( ) ( )011121 222 γ−ω−−= t sen X X I v " q

" d d (3.6.19)

( ) ( )011121 222 γ−ω−= t cos X X I v "

q

"

d q . (3.6.20)

Para transformar estas componentes al sistema de referencia fijo respecto al estator seforma

( ) γγ +== j qd

j r e jv v ev v 1111

rr

(3.6.21)

La tensión de fase se obtiene de la relación 1v v a ℜ=

( ) ( ) ( )01112111

2 232

32

22 γ−ω−+ω

+−= t sen X X I t sen

X X I v "

d

"

q

"

q

"

d

a . (3.6.22)

Al limitar el análisis a las componentes fundamentales de la corriente (3.6.12) y de latensión (3.6.22), se aprecia que el valor efectivo de la tensión de secuencia negativaestá dado por

211

2

2

I X X

V

"

q

"

d += (3.6.23)

Para excitación con corrientes de secuencia negativa la reactancia de secuencianegativa está dada por el valor medio aritmético de las reactancias subtransitorias en eleje directo y en el eje en cuadratura:

211

2

"

q

"

d X X X

+= (3.6.24)

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—21 ______________________________________________________________________

El orden de magnitud de la reactancia de secuencia negativa corresponde al de lareactancia de dispersión del devanado del estator.

Se puede comprobar a partir de (3.6.11) que para excitación con un sistema detensiones de secuencia negativa la reactancia de secuencia negativa está dada por elmedio armónico de las reactancias subtransitorias:

"

q

"

d

"

q

"

d

X X

X X X

11

112

2

+= . (3.6.25)

Esta relación debe tenerse en cuenta al determinar experimentalmente la reactancia desecuencia negativa5, ya que la norma define como reactancia de secuencia negativa deuna máquina sincrónica al valor medio aritmético de las reactancias subtransitorias enlos ejes directo y en cuadratura.

3.6.2 Reactancia de secuencia cero

Normalmente las máquinas sincrónicas se conectan en estrella sin neutro (o este seconecta a tierra a través de una impedancia elevada) por lo que no podrán circular corrientes (significativas) de secuencia cero. En el caso que pudiesen circular, el campofundamental en el entrehierro debido a esas corrientes se anularía, lo que se expresa através de

( ) 03

10

20010 =++= i aai i i

r

. (3.6.26)

En consecuencia, la tensión de secuencia cero es la inducida por los campos dedispersión (armónicas, ranuras, frontal). Estos campos dependen fuertemente de uneventual acortamiento del devanado, por lo que la reactancia de secuencia ceroexhibirá esa misma dependencia.

3.6.3 Modelo para la máquina con carga asimétrica

De acuerdo con los resultados de los párrafos precedentes, el sistema de corrientes decarga asimétrico puede ser descompuesto en tres sistemas simétricos, cada uno de loscuales determina una condición de funcionamiento de la máquina que se refleja en unarelación entre tensión y corriente (impedancia) diferente.

5 IEEE Std 115-1995 Test Procedures for Synchronous Machines Part II 10.5.3.1

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—22 ______________________________________________________________________

A cada máquina de secuencia, es decir, a la máquina simétrica excitada por elrespectivo sistema de componentes simétricas, le corresponde un circuito equivalente

por fase diferente.

Es habitual que para la máquina de secuencia positiva se utilice , en primeraaproximación, el circuito equivalente de la máquina de rotor cilíndrico, consistente enuna fuente de tensión en serie con la reactancia sincrónica. Los circuitos equivalentesde las máquinas de secuencia negativa y de secuencia cero se reducen a lasrespectivas reactancias de secuencia. Así, el modelo de la máquina con cargaasimétrica se reduce a los circuitos de la figura 3.6.2.

Debe recordarse sí que este modelo, cuyo uso está en la determinación de las variablesde terminales de la máquina, sólo considera las componentes de frecuenciafundamental de las tensiones y de las corrientes. Además, por hacer uso del principiode superposición supone que la máquina es magnéticamente lineal.

3.6.4 Uso del modelo

Considérese una máquina sincrónica a cuyos terminales está conectada a una cargapasiva formada por impedancias asimétricas conectadas en estrella sin neutro, segúnmuestra la figura 3.6.3. Se suponen conocidas las reactancias de secuencia de la

máquina y la tensión de vacío de esta y sedesea determinar las tensiones y corrientesen los terminales.

La conexión impone las siguientesrestricciones sobre las variables de fase(Kirchhoff):

bbaabaab ZIZIVVV −=−= (3.6.27)

c c aac aac ZIZIVVV −=−= (3.6.28)

Vab

Vbc

Ia

Ib

Ic

If Za

Zb

Zc

Figura 3.6.3 Máquina sincrónica concarga trifásica asimétrica

Vp

I1 I2 I0

V1 V2 0

X1 X2 X0

Figura 3.6.2 Circuitos equivalentes por fase

de las máquinas de secuencia

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—23 ______________________________________________________________________

c ba III ++=0 , (3.6.29)

que se traducen a otras tantas restricciones sobre las componentes simétricas alreemplazar las variables de fase en términos de las componentes simétricas.

La conexión estrella implica ausencia de corrientes de secuencia cero, por lo que lasecuaciones (3.6.27) a (3.6.29) toman la siguiente forma en términos de lascomponentes simétricas:

( ) ( ) ( ) ( ) ba aaaa ZIIZIIVVVV 212

21212

21 +−+=+−+ (3.6.30)

( ) ( ) ( ) ( ) c a aaaa ZIIZIIVVVV 22

12122

121 +−+=+−+ (3.6.31)

00 I= . (3.6.32)

Las máquinas de secuencia imponen una relación entre la tensión y la corriente en susterminales, como se desprende de la figura 3.6.2.

Para la máquina de secuencia positiva rige

111 IVV jX p −= (3.6.33)

y para la máquina de secuencia negativa rige:

222

IV jX −= . (3.6.34)

Al reemplazar estas relaciones en (3.6.30) y (3.6.31) se logra

( ) ( ) ( )[ ]baba p aa jX aa jX a ZZIZZIV −+−+−+−=− 111 2222

112 (3.6.35)

( ) ( )[ ] ( ) c ac a p aa jX aa jX a ZZIZZIV 222211 111 −+−+−+−=− . (3.6.36)

A partir de estas dos ecuaciones se determinan las corrientes de secuencia I1 e I2, lasque reemplazadas en (3.6.33) y (3.6.34) permiten determinar las tensiones desecuencia V1 y V2.

Finalmente se determinan las variables de fase buscadas mediante la relación entreestas y las correspondientes componentes simétricas:

=

0

2

1

2

2

1

1

111

I

I

I

I

I

I

aa

aa

c

b

a

. (3.6.37)

Del desarrollo precedente se desprende que la restricción externa “carga asimétrica”impone la magnitud de la corriente de secuencia negativa. En cambio, la magnitud de la

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—24 ______________________________________________________________________

tensión de secuencia negativa, y por lo tanto el desequilibrio de la tensión en losterminales, depende de la reactancia de secuencia negativa X 2 , sobre cuyo valor se

tiene influencia a través de un adecuado diseño de la jaula de amortiguación.

En lo que se refiere a la componente de secuencia negativa la máquina se comportacomo un transformador de corriente.

Por esta razón, el dimensionamiento de la jaula de una máquina destinada a funcionar con carga asimétrica debe ser generoso (gran sección de los conductores), para asídisminuir las pérdidas asociadas a las corrientes inducidas en ella por el campo desecuencia negativa.

Esto es especialmente válido para máquinas destinadas al funcionamiento monofásico,

pues la conexión de una carga entre dos líneas (I b = - I c ), dejando la tercera líneaabierta (I a=0), implica que la magnitud de la corriente de secuencia negativa es igual ala de la corriente de secuencia positiva.

3.7 Cortocircuito dinámico de la máquina sincrónica anisotrópica

3.7.1 Introducción

El cortocircuito dinámico es una de las fallas más temidas, pues, cuando ocurre atensión nominal, da origen a corrientes transitorias elevadas que determinan grandesesfuerzos mecánicos sobre las cabezas de las bobinas, que pueden dañar la aislaciónde estas. Por esta razón, la norma limita el valor máximo admisible de la corriente decortocircuito transitoria a 15x 2 =21 veces la corriente nominal de la máquina.

Cuando se provoca deliberadamente un cortocircuito trifásico para determinar losparámetros de la máquina a partir de la evaluación del registro de las corrientes dearmadura y de campo transitorias6, suele reducirse el valor de la tensión de vacío a unafracción de la tensión nominal (40%).

El procedimiento para determinar los parámetros se basa en el hecho que es posibleobtener una solución analítica para las corrientes de cortocircuito, ya que, con velocidadconstante, las ecuaciones de Park se hacen lineales. Esta última condiciónnormalmente se puede considerar satisfecha, ya que la constante de tiempo mecánica,determinada por la inercia del rotor, suele ser mucho mayor que las constantes detiempo eléctricas.

La obtención de la solución analítica completa no es trivial, pues requiereaproximaciones criteriosas, por lo que se considerará en primer lugar una máquina sin

6 IEEE Std 115-1995 11. Tests for evaluating transient and subtransient characteristic values

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—25 ______________________________________________________________________

devanado de amortiguación, lo que permite apreciar los principales efectos físicos sinmayores complejidades matemáticas.

La situación se hace físicamente más transparente si en una primera aproximaciónademás se ignoran las resistencias de los devanados y se invoca el así llamado

principio del enlace de flujo constante.

3.7.2 Análisis del cortocircuito trifásico dinámico basado en el principio del enlace deflujo constante

3.7.2.1 El principio del enlace de flujo constante

El cortocircuito de un devanado fuerza que la tensión entre sus terminales sea cero. Enun sistema de referencia fijo respecto al devanado rige entonces:

0dt

dRiv =

ψ+= . (3.7.1)

S i se desprecia la resistencia R, la relación se reduce a

0dt

d

=

ψ

, (3.7.2)

que implica que el enlace de flujo debe permanecer constante en el valor que teníaprevio al cortocircuito.

3.7.2.2 Aplicación del principio del enlace de flujo constante

Cuando no se requiere la solución completa para las corrientes y sólo interesa conocer los valores correspondientes a un instante dado, es conveniente invocar el principio delenlace de flujo constante e igualar el enlace de flujo inicial con el enlace de flujo para elinstante en cuestión.

Así, para determinar el valor máximo de la corriente transitoria de la fase a se consideracomo instante en el que se produce el cortocircuito a aquel en que el flujo enlazado por esa fase es máximo (figura 3.7.1a). El instante en que la corriente es máxima seproduce cuando el rotor haya girado en 180º eléctricos, porque, para poder permanecer constante, el flujo enlazado por cada devanado debe cerrarse por vías de dispersión debaja permeancia (figura 3.7.1b).

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—26 ______________________________________________________________________

De acuerdo con las referencias de la figura 3.7.1a el flujo enlazado por la fase a esmáximo en el instante en que 0=γ .

Suponiendo que el cortocircuito se produce a partir del funcionamiento en vacío, esdecir, sin que circule previamente corriente por la armadura, se tiene que para elinstante inmediatamente anterior al cortocircuito los enlaces de flujo de los devanadosde armadura y de campo valen

( ) ( ) 0f f 1a I0cosL0 =ψ (3.7.3)

0f f f IL=ψ (3.7.4)

donde I f0 es la corriente de campo estacionaria antes del cortocircuito.

Cuando el rotor se ha desplazado en 180º eléctricos, es decir, para π=γ , rige larelación

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cacbabaaf f 1a iLiLiLiL π+π+π+π=πψ , (3.7.5)

que al considerar las expresiones para las inductancias (1.3.17), (1.3.21), (1.3.23) y(1.3.28) toma la forma

( ) ( ) c21

b21

a211f f 1a i2

L

2

Li

2

L

2

LiLLLiL

−−+

−−++++−=πψ σ , (3.7.6)

la que - debido a que ia+ib+ic=0 - se reduce a

( ) ( ) ad1f f 1a211f f 1a iLiLiLL2

3LiL +−=

+++−=πψ σ . (3.7.7)

Por otra parte se tiene para el enlace de flujo del campo

γ=π a a’

b

c

b

γ =0

a

a a’

b

c

Figura 3.7.1 Principio del enlace de flujo constante

a)instante del cortocircuitob)media vuelta (ciclo) después

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—27 ______________________________________________________________________

( ) ( ) ( ) ( ) cfcbfbafaf f f iLiLiLiL π+π+π+=πψ (3.7.8)

que con las expresiones para las inductancias (1.3.28), (1.3.30) y (1.3.31) se reduce a

( ) a1f f f af 1f f f iLiLiL2

3iL −=−=πψ . (3.7.9)

Como en virtud del principio del enlace de flujo constante cada devanadocortocircuitado retiene el flujo enlazado por él en el instante inmediatamente anterior alcortocircuito, debe cumplirse que

( ) ( )πψ=ψ aa 0 (3.7.10)

( ) ( )πψ=ψ f f 0 . (3.7.11)

Al reemplazar en estas igualdades las relaciones para los enlaces de flujo en función delas corrientes queda

ad1f f 10f f 1 iLiLIL +−= (3.7.12)

af f f f f i Li LI L 10 −= . (3.7.13)

De estas relaciones se despeja

( ) af d1

f 11f

f 1

d1af 11f f d1

f f 10f i

LL

LL1

L

LiLLLL

LL

1I2

−=−= (3.7.14)

y al multiplicar esta última ecuación por f 11Lω resulta

a'

d11af 1d11p iLiLV22 ω=σω= . (3.7.15)

La reactancia transitoria 'd11

'd1 LX ω= corresponde a la reactancia de cortocircuito del

transformador de dos devanados en el eje directo, formado por los devanados 1d y f

(figura 3.7.1b).

De (3.7.15) se desprende que el valor máximo de la corriente de cortocircuito transitoriaes igual a

( )'d1

pa X

V22i =π . (3.7.16)

Por otra parte, si se reemplaza (3.7.16) en (3.7.13) se obtiene la siguiente expresiónpara el valor máximo de la corriente de campo

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—28 ______________________________________________________________________

( ) ( )

( )

σ

σ−

+=π+=π f 1

f 1

0f af

1f

0f f

1

21IiL

L

Ii . (3.7.17)

Del desarrollo precedente se desprende que para π=γ 2 se repite la situación de 0=γ y que para π=γ 3 se repite la situación de π=γ , de lo que se concluye que tanto i a

como i f son funciones periódicas del ángulo γ y por lo tanto, si la velocidad angular delrotor es constante, del tiempo (figura 3.7.2).

3.7.2.3 Interpretación en términos del campo giratorio

Considérese que el rotor gira con velocidad angular constante igual a la sincrónica yque, en el instante cuando está alineado con el eje magnético de la fase a, se produceel cortocircuito trifásico del devanado del estator. Las resistencias del devanado dearmadura y del devanado de campo sean despreciables.

El flujo enlazado en ese instante por las tres fases del devanado debe permanecer constante. Se dice que flujo queda atrapado o congelado. Para que esto pueda ocurrir,en las tres fases del estator deben circular corrientes continuas de valor tal que en elentrehierro se mantenga la distribución espacial de inducción del instante delcortocircuito.

Sin embargo, esto no es suficiente para mantener constante el flujo enlazado por elestator, ya que el campo giratorio asociado al rotor en movimiento tiende a alterar elenlace de flujo del estator. Para anular este efecto, en el devanado del estator debecircular además un sistema de corrientes simétricas de frecuencia fundamental de valor tal que produzcan un campo giratorio que anule el efecto del campo giratorio del rotor.

Pero este campo también alteraría el enlace de flujo del devanado de campo que a suvez debe permanecer constante. Para evitarlo, debe aumentar la corriente continua enel campo en un valor apropiado. Aún así, el enlace de flujo del devanado de campo nopermanecería constante, ya que este devanado se mueve respecto al campo en el

entrehierro mantenido por las corrientes continuas del estator.

La anulación de este último efecto requiere la creación de un campo estacionariorespecto al estator y para ello debe circular una corriente alterna de frecuenciafundamental en el devanado de campo. Esta corriente alterna crea un campo alterno,que puede considerarse descompuesto en dos campos giratorios cuya amplitud es iguala la mitad de la amplitud del campo alterno. El campo giratorio que gira en sentidoopuesto al sentido de giro del rotor es el campo estacionario respecto al estator necesario para mantener constante el enlace de flujo del devanado del rotor. El otrocampo gira con velocidad sincrónica en el sentido de giro del rotor y por lo tanto semueve respecto al estator con el doble de la velocidad sincrónica y tiende a alterar el

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—29 ______________________________________________________________________

enlace de flujo del estator. Paraque esto no ocurra, en el devanado

del estator debe circular adicionalmente un sistema decorrientes trifásicas cuyafrecuencia es igual al doble de lafrecuencia fundamental que anuleel campo de doble velocidadsincrónica creado por la corrientealterna en el rotor.

Se aprecia que para que los flujosenlazados inicialmente por los

devanados cortocircuitados delestator y del rotor puedanpermanecer constantes, loscampos giratorios que tienden aalterar esa situación deben ser anulados por corrientes apropiadasen el miembro opuesto.

La invocación conjunta de la ideadel campo giratorio y del principiodel enlace de flujo constante

permite identificar cualitativamentea las componentes con surespectiva frecuencia que debenaparecer en la corriente dearmadura y en la corriente decampo, sin necesidad de tener queresolver las ecuaciones de Park:

( ) ( )212a111aaua t2cosItcosIIi ϕ−ω+ϕ−ω+= (3.7.18)

( )f 11f fuf tcosIIi ϕ−ω+= (3.7.19)

3.7.3 Tratamiento analítico mediante ecuaciones diferenciales

Cuando no basta conocer los valores máximos de las corrientes transitorias y serequiere saber como varían estas corrientes y el momento en función del tiempo tras elcortocircuito, es necesario resolver las ecuaciones de Park derivadas en el párrafo1.7.2, linealizadas por el hecho que la velocidad es considerada constante.

'd

p

X

V2

componenteunidireccional

0 π2π

γ,ω1t

ia

0 π 2π

if

If0

0f f 1

f 1 I1

σ

σ−

componenteunidireccional

γ,ω1t

Figura 3.7.2 Valores extremos de la corrientede armadura y de la corriente decampo durante un cortocircuito

trifásico dinámico con γ 0 =0.

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—30 ______________________________________________________________________

Con el objeto de evitar complicaciones matemáticas innecesarias, supóngase que lasresistencias óhmicas de los devanados sean despreciables y que la máquina carezca

de devanados de amortiguación (D,Q). Esto implica suponer un devanado de camposupraconductivo en el que circula la corriente continua estacionaria I f0 sin necesidad deuna fuente.

De esa manera las ecuaciones de Park de la máquina cortocircuitada se reducen a:

q11d1

dt

d0 ψω−

ψ= (3.7.20)

d11q1

dt

d0 ψω+

ψ= (3.7.21)

dt

d0 f ψ

= (3.7.22)

con las condiciones iniciales ( ) 00q1 =ψ , ( ) 0f f f IL0 =ψ y ( ) 0f f 1d1 IL0 =ψ . (3.7.23)

La transformación de las ecuaciones (3.7.20) y (3.7.21) al dominio de frecuencias(Laplace) permite anotar en forma matricial, al considerar (3.7.23),

( )

ψ

ψ

ω

ω−

=

ψ

q1

d1

1

1d1

~

~

s

s

0

0

, (3.7.24)

donde las variables transformadas según Laplace llevan tilde.

De (3.7.24) se logra

( )

ψ⋅

ω−

ω

ω+=

ψ

ψ

0

0

s

s

s

1~

~d1

1

1

21

2q1

d1 (3.7.25)

y aplicando la transformación inversa,

( ) ( )tcos0 1d1d1 ω⋅ψ=ψ (3.7.26)

( ) ( )tsen0 1d1q1 ω⋅ψ−=ψ . (3.7.27)

Al reemplazar los en laces de flujo por sus expresiones en términos de corrientes einductancias se tiene que

( )tcosLILiLi 1f 10f f 1f d1d1 ω=+ (3.7.28)

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—31 ______________________________________________________________________

( )tsenLILi 1f 10f q1q1 ω−= (3.7.28)

f 0f f f 1f d1 LILiLi =+ , (3.7.29)

donde la última ecuación se desprende de (3.7.22) y (3.7.23).

De estas tres ecuaciones se despeja

( ) ( )tcos1X

2Vtcos1

L

LIi 1'

d1

p1'

d1

f 10f d1 ω−−=ω−−= (3.7.30)

tsenX

2Vtsen

L

LIi 1

q1

p1

q1

f 10f q1 ω−=ω−= (3.7.31)

( )( )

ω−

σσ−

+= tcos11

1Ii 1f 1

f 10f f , (3.7.32)

donde2

ILV 0f f 11

p

ω= es el valor efectivo de la tensión inducida en vacío y

f d1

1f f 1f 1 LL

LL1−=σ

es el coeficiente de dispersión entre los devanados de campo y armadura. Lareactancia d1f 1

'd1 XX σ= es la reactancia transitoria en el eje directo.

Para transformar las corrientes al sistema de coordenadas fijo al estator se recurre a larelación (1.6.7) y se forma

( ) γ+= j

qd ei j i i 11

r

, (3.7.33)

de donde se logra con 01t γ−ω=γ

1i i a

r

ℜ= (3.7.34)

( ) ( )01q1

'd1

p0

q1'd1

p01'

d1

pa t2cos

X

1

X

1

2

V2cos

X

1

X

1

2

V2tcos

X

V2i γ−ω

−+γ

++γ−ω−=

(3.7.35)Se aprecia que tanto la corriente de armadura como la corriente de campo (3.7.32),contienen las componentes predichas en el análisis cualitativo del párrafo anterior.

Mientras la corriente de campo es independiente del instante (posición) en que seproduce el cortocircuito, la corriente de armadura sí depende fuertemente de ese

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—32 ______________________________________________________________________

instante. Así, para 00 =γ , es decir, un cortocircuito cuando el flujo enlazado por la fase

a es máximo, la corriente unidireccional en esa fase es máxima y la corriente ia alcanza

su valor máximo para π=ω t1 . En cambio, para un cortocircuito cuando el flujo inicialenlazado por la fase a es cero, lo que sucede si 20 π=γ , la componente unidireccional

en esa fase es nula e ia alcanza su valor máximo (igual a la mitad del valor anterior)para 2t1 π=ω . La suma de las corrientes unidireccionales de las tres fases de laarmadura es siempre igual a cero.

Los campos estacionarios creados por las componentes unidireccionales del estator ydel rotor son responsables de la aparición de fuertes momentos oscilatorios defrecuencia fundamental. Al reemplazar las expresiones para las corrientes en (1.8.19)

( )d1q1q1d1 ii2p3T ψ−ψ= (3.7.36)

se logra

ω

−−ω

ω−= t sen

X X t sen

X

V pT

q'

d

'

d

p

111

111

2

211

2

113. (3.7.37)

La componente de doble frecuencia fundamental, de amplitud menor, se debe a lainteracción del campo estacionario del estator y la componente del campo alterno delrotor que gira en el mismo sentido que el rotor.

Si bien el valor medio del momento de cortocircuito es nulo (el campo giratorio delestator está alineado con el eje magnético del rotor), la amplitud del momentooscilatorio, inversamente proporcional a la reactancia (sub)transitoria, es varias veces ladel momento estacionario y debe ser considerada al dimensionar el acoplamiento y lasfundaciones para la máquina.

3.7.4 Inclusión de las constantes de tiempo

La omisión de las resistencias de los devanados en el desarrollo del párrafo anterior simplificó notablemente el tratamiento analítico, pero también significó una modificación

del problema, privándolo del fenómeno físico (la disipación de energía) que determina elpaso del estado inicial al estado final o estacionario. Así, por ejemplo, la componenteunidireccional y la amplitud de la componente alterna de la corriente de campoaparecen como independientes del tiempo.

Sin embargo, no resulta difícil reponer la información perdida, gracias al conocimientode la relación causal entre las diferentes componentes de las corrientes de armadura yde campo, proporcionado por el análisis cualitativo mediante el concepto de campogiratorio.

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—33 ______________________________________________________________________

Para entender el procedimiento, considérese nuevamente la relación (3.7.35), rescritaconvenientemente para explicitar el término correspondiente a la corriente de

cortocircuito estacionaria:

( ) ( )

( )01q1

'd1

p0

q1'd1

p

01d1

'd1

p01d1

pa

t2cosX

1

X

1

2

V2cos

X

1

X

1

2

V2

tcosX

1

X

1V2tcos

X

V2i

γ−ω

−+γ

++

γ−ω

−−γ−ω−=

(3.7.38)

El primer término de (3.7.38) corresponde a la corriente de cortocircuito estacionaria,cuya amplitud sólo depende de la corriente de campo estacionaria, mantenida por la

excitatriz. Este término corresponde a la solución particular de la ecuación diferencial yes el único que permanece en el tiempo.

El segundo término corresponde a la componente de frecuencia fundamental de lacorriente de cortocircuito transitoria, causada por la componente unidireccionaltransitoria de la corriente de campo. Como esta última no es sostenida por fuentealguna, tiene que decaer con el tiempo. Debido a esta relación causal, la corriente decortocircuito transitoria de frecuencia fundamental decae con la misma constante detiempo Td’ que la componente unidireccional transitoria de la corriente de campo.

El tercer término corresponde a la componente unidireccional de la corriente de

armadura, que tampoco es sostenida por fuente alguna y que, por lo tanto, debe decaer con el tiempo.

El cuarto término, la componente de doble frecuencia fundamental, tiene su origen en lacomponente alterna de frecuencia fundamental de la corriente de campo, que, a su vez,se debe a la componente unidireccional de la corriente de armadura. Esta dependenciadetermina que las corrientes unidireccional y de doble frecuencia fundamental de lacorriente de armadura y la componente de frecuencia fundamental de la corriente decampo decaen todas con la misma constante de tiempo Ta.

La solución completa para las corrientes de armadura y de campo tiene entonces laforma:

( ) ( )

( )01T

t

q1'd1

p0

T

t

q1'd1

p

01T

t

d1'd1

p01d1

pa

t2coseX

1

X

1

2

V2cose

X

1

X

1

2

V2

tcoseX

1

X

1V2tcos

X

V2i

aa

'd

γ−ω

−+γ

++

γ−ω

−−γ−ω−=

−−

(3.7.39)

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—34 ______________________________________________________________________

( ) ( )tcoseI

1eI

1Ii 1

T

t

0f

f 1

f 1T

t

0f

f 1

f 10f f

a'd ω

σ

σ−−

σ

σ−+=

−−

(3.7.40)

y el problema se reduce a determinar las constantes de tiempo Ta y Td’ con las quedecaen, respectivamente, las componentes unidireccionales transitorias de lascorrientes de armadura y de la corriente de campo.

3.7.4.1 Constante de tiempo transitoria en el eje directo T d ’

Visto desde el rotor, el devanado trifásico del estator puede considerarse reemplazado

por un devanado bifásico ficticio equivalente, cuyos ejes de simetría coincidenrespectivamente con el eje d y el eje q (figura 3.7.3). Se aprecia que en el eje directo losdevanados d y f forman un transformador de dos devanados.

Considérese que el devanado trifásico del estator esté cortocircuitado. De las relaciones3.7.20 y 3.7.21 se desprende que si con R1=0 se desprecian las tensionestransformatóricas7 las tensiones rotacionales también desaparecen, por lo que eldevanado ficticio d de este transformador aparece como cortocircuitado. Supóngaseahora que el devanado f sea excitado con un impulso de tensión. Rigen entonces lassiguientes relaciones en el dominio de frecuencias:

f f d d i ~

Li ~

L 1110 += (3.7.41)

( ) d11f f f f f i~

sLi~

sLRv~ ++= . (3.7.42)

Al eliminar d1i~

queda

( ) f df

f f 1f f

f

d1f

f 11f f f

f vsT1R

1v

sLR

1v

LL

LL1sLR

1i ~~~~

′+=

σ+=

−+

= . (3.7.43)

Se aprecia que, con las aproximaciones hechas, la constante de tiempo transitoria en eleje directo está dada por

f

f f d

R

LT 1σ≈′ . (3.7.44)

7 son responsables de las componentes unidireccional y de doble frecuencia de la corriente de armaduraia, que no interesan en este contexto.

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—35 ______________________________________________________________________

Su valor depende del grado de acoplamiento entre el devanado del estator y eldevanado de campo y de la resistencia del campo, la que es inversamente proporcional

al peso del cobre de ese devanado. El peso relativo de cobre es un indicador del valor relativo de las constantes de tiempo.

La constante de tiempo

f

f d

R

LT =0 (3.7.45)

se conoce como constante detiempo de vacío en el eje directo.

Valores típicos para estasconstantes de tiempo están en

los rangos

s,T

sT

'

d

do

280

73

→=

→=

Del desarrollo se desprende que,según el grado de aproximación,pueden aparecer expresionesalternativas para las constantesde tiempo transitorias. Sobre

esto se volverá más adelante.

3.7.4.2 Constante de tiempo de la armadura T a

Las corrientes unidireccionales en el devanado del estator

π+γ=

π

−γ=

γ=

3

2coseI2i

3

2coseI2i

coseI2i

0T

t

uuc

0T

t

uub

0T

t

uua

a

a

a

(3.7.46)

pueden interpretarse como un sistema trifásico simétrico de frecuencia cero, cuyaamplitud decae con la constante de tiempo Ta.

a

bc

f

d

q

γ

Figura 3.7.3 Representación esquemática del reemplazo del devanado trifásico(a,b,c) por un devanado bifásico(d,q) ficticio equivalente

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—36 ______________________________________________________________________

La inductancia vista por este sistema de corrientes, cuando el rotor gira a velocidadsincrónica, es igual a la inductancia de secuencia negativa de la máquina, que, con la

aproximación habitual de despreciar Rf <<ω1Lf , toma la forma

1

q1'd1

1

22 2

XXXL

ω

+=

ω= . (3.7.47)

Con la aproximación señalada, el único elemento disipativo es R1, por lo que laconstante de tiempo de armadura está dada por

1

q1'

d1

1

2a R2

LL

R

LT

+== (3.7.48)

En el caso más frecuente en el que la máquina está equipada con una jaula deamortiguación, la reactancia de secuencia negativa está determinada por lasreactancias subtransitorias X1d” y X1q”.

Los valores típicos para esta constante de tiempo están en el rango

s6,02,0Ta →= .

3.7.5 Representación en el dominio de frecuencia: La inductancia operacional

En el análisis precedente se consideró algunas simplificaciones para facilitar lainterpretación física, lo que condujo a expresiones simplificadas para las constantes detiempo. Para completar el análisis, considérese ahora un desarrollo más formal en eldominio de frecuencias que, además, incluya el efecto de la jaula, modelada en la formaexpuesta en el párrafo 1.7.2. La visualización del problema en el plano complejo permiteincorporar el lenguaje y los conceptos de la teoría del control lineal, como función detransferencia o respuesta de frecuencia. Esta última técnica, unida a la evaluación deldiagrama de Bode, suele ser utilizada como una alternativa para determinar experimentalmente las constantes de tiempo y a partir de ellas los parámetros de lamáquina.

La relación entre los enlaces de flujo y las corrientes del transformador de tresdevanados en el eje directo está resumida en forma matricial como:

=

ψ

ψ

ψ

D

f

d

DDf Dd

fDf fd

dDdf d

D

f

d

i

i

i

LLL

LLL

LLL 111

. (3.7.49)

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—37 ______________________________________________________________________

Los devanados D y f estén cortocircuitados, es decir,

dt d i R D

DD ψ+=0 (3.7.50)

dt

d i R f f f

ψ+=0 . (3.7.51)

La transformación de estas relaciones al dominio de frecuencias, considerandocondiciones iniciales nulas, permite escribir para las variables transformadas segúnLaplace:

+

+=

ψ

D

f

d

DDDf Dd

fDf

f fd

dDdf d d

i ~i ~i

~

s

R LLL

Ls

R LL

LLL~111

0

0 (3.7.52)

Las variables transformadas están provistas de tilde ( i ~,~ψ ).

Eliminando la submatriz correspondiente a las variables del rotor se obtiene:

[ ] d

Dd

fd

DDDf

fDf

f

dDdf d d i ~

L

L

s

R LL

Ls

R LLLL~

1

1

11 ⋅

+

+⋅−=ψ

. (3.7.53)

( ) d d d i ~

sL~111 ⋅=ψ . (3.7.54)

La función de transferencia ( )sL d 1 se conoce como inductancia operacional en el eje

directo.

La forma explícita para la función de transferencia se obtiene desarrollando el producto

de matrices:

( )

( )

( )

+++σ

+σ+σ+

+−σ+σ+σ

=1

122

2

2

1

11sT T sT T

sT T sT T LLL

LLL

LsLDf Df fD

f fd DDd f D

d f D

df fDdDfd Dd fD

d d (3.7.55)

donde, para abreviar, se ha introducido los coeficientes de dispersión

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—38 ______________________________________________________________________

Df

Df fDfD

LL

LL−=σ 1 (3.7.56)

Dd

Dd dDDd

LL

LL

1

1−=σ (3.7.57)

f d

fd df fd

LL

LL

1

1−=σ (3.7.58)

y las constantes de tiempo

D

DD

R

LT = (3.7.59)

f

f f

R LT = . (3.7.60)

La relación entre s )s( L d 1 y la correspondiente función en el dominio del tiempo ( )t L d 1

permite invocar el teorema del valor inicial como

( ) ( ) "d1d1

0td1

sLtLlimsLlim ==

→∞→(3.7.61)

y el teorema del valor final como

( ) ( ) d1d1t

d10s

LtLlimsLlim ==∞→→

. (3.7.62)

En consecuencia, la relación (3.7.55) se puede rescribir en términos de la inductanciasubtransitoria como:

( )( )

( )

+++σ

+σ+σ+σ

=1sTTsTT

1sTTsTTL

L

LsLDf

2Df fD

f fdDDd2

f Dd1

"d1

fD

d1d1 (3.7.63)

que, al factorizar el numerador y el denominador, toma la forma:

( )( )( )

( )( )

++

++=

sT1sT1

sT1sT1LsL

"0d

'0d

"d

'd

d1d1 (3.7.64)

donde , en virtud de la relación entre coeficientes y raíces,

( )f fd DDd

"

d

'

d T T T T σ+σ=+ (3.7.65)

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—39 ______________________________________________________________________

yf D

d

" d

fD

"

d

'

d

T T L

LT T

1

1σ=⋅ . (3.7.66)

Estas relaciones permiten determinar las constantes de tiempo transitoria ysubtransitoria en el eje directo en términos de las resistencias e inductancias de lamáquina.

La invocación del teorema de los valores extremos en (4.5.13) y (4.5.14) permiteapreciar que la inductancia en el eje directo, tras una perturbación, varía entre un valor inicial, igual al de la inductancia subtransitoria, y un valor final, igual al de la inductancia(sincrónica) en el eje directo.

De este hecho nace la práctica de modelar la máquina como elemento de un sistema depotencia (para la determinación del valor máximo de la componente alterna de lacorriente transitoria) mediante una reactancia, cuyo valor es igual a la reactanciasubtransitoria, y una fuente de tensión, cuyo valor, la “tensión tras la reactanciasubtransitoria”, representa el enlace de flujo inicial, que se supone constante durante elintervalo del análisis.

3.7.6 Evaluación de los oscilogramas

Para la determinación experimental de las constantes de tiempo y de las reactanciastransitoria y subtransitoria en el eje directo suele recurrirse a los oscilogramas de lascorrientes de armadura registradas durante un cortocircuito trifásico simétrico. Lascondiciones de realización de este ensayo están especificadas en las normas.8

La evaluación de los parámetros a partir del oscilograma se realiza suponiendo que elvalor efectivo de las componentes de frecuencia fundamental de la corriente decortocircuito está dado por la relación:

( )

"d

'd T

t

' d1

p

"d1

pT

t

d1

p

' d1

p

d1

p eX

V

X

Ve

X

V

X

V

X

VtI

−−

−+

−+= (3.7.67)

donde V p es el valor efectivo en pu de la tensión en terminales antes del cortocircuito y t es el tiempo en segundos medido a partir del instante del cortocircuito.

El primer término del segundo miembro corresponde a la corriente de cortocircuitoestacionaria Icc. Si se resta este término de la corriente total,

8 IEEE Std 115 – 1995 11.7.1 Determination of direct-axis reactance parameters by sudden short circuit

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—40 ______________________________________________________________________

( )"d

'd T

t

'

d1

p

"

d1

pT

t

d1

p

'

d1

p

d1

p eX

V

X

Ve

X

V

X

V

X

VtI

−−

−+

−=− , (3.7.68)

y se representa la diferencia en escala semilogarítmica para las ordenadas, se tieneque la representación, una vez decaída la componente subtransitoria (segundo términodel segundo miembro de (3.7.68)), corresponde a una recta (figura 3.7.4). Laextrapolación de esta recta intersecta al eje de ordenadas en el valor inicial de lacomponente transitoria ∆I’ y la constante de tiempo transitoria Td’ corresponde al tiempotranscurrido entre el instante del cortocircuito y el instante en que la componentetransitoria se reduce a la e-ava parte de su valor inicial.

A partir de

−=

d

p

'

d

p

X

V

X

V ' I

11

(3.7.69)

se determina la reactancia transitoria en el eje directo como

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510

-2

10-1

100

101

t seg

I p u

separacion de las componentes subtransitoria y transitoria

I(t)-IestItrans-IestI(t)-Itrans

Figura 3.7.4 Representación en escala semilogarítmica del valor efectivo de las componentes transitoria y subtransitoria de la corriente de cortocircuito

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La máquina sincrónica anisotrópica 3—41 ______________________________________________________________________

' I I

V X

cc

p' d +=1 (3.7.70)

La diferencia entre la evolvente correspondiente a la corriente total menos lacomponente estacionaria y la recta correspondiente a la componente transitoria:

( )"d

'd T

t

'd1

p

"d1

pT

t

d1

p

'd1

p

d1

p eX

V

X

Ve

X

V

X

V

X

VtI

−−

−=

−−− , (3.7.71)

corresponde a la componente subtransitoria de la corriente de cortocircuito y surepresentación semilogarítmica también resulta en una recta (figura 3.7.4), que permitedeterminar el valor efectivo de la componente subtransitoria inicial ( para t=0) ∆I”, comoel intercepto de esa recta con el eje de ordenadas, y la constante de tiempocorrespondiente. A partir del valor inicial de la componente subtransitoria de la corrientede cortocircuito

−=′′∆

'd1

"d1

p X

1

X

1VI (3.7.72)

se determina el valor de la reactancia subtransitoria en el eje directo, previadeterminación de la reactancia transitoria, como

" I ' I I

V X cc

p"

d ++=1 (3.7.73)

En la actualidad la forma de onda de la corriente de cortocircuito transitoria se registrageneralmente en forma digital y la evaluación computacional de este registro deberegirse por las recomendaciones de la norma9.

La tabla10 siguiente permite formarse una idea de los órdenes de magnitud de losparámetros y constantes de tiempo transitorias típicas para las máquinas trifásicas másusuales:

Tipo xd x’d x”d T’d0 T’d T”d xq /xd x”q /x”d HTurbogenerador 2...2,3 0,25 0,15...0,2 4...7s 0,6...1s 0,03s 0,8...0,9 1 5...7s

Hidrogenerador Jaula completa 0,9...1,6 0,3...0,4 0,2...0,25 3...7s 0,8...2s 0,03...0,08s 0,55...0,7 0,9...1,3 2...4s

Polos macizos 0,9...1,6 0,3...0,4 0,2...0,25 3...7s 0,8...2s 0,04s 0,55...0,7 1,2...1,5 2...4s

Motor Sincrónico 1...1,5 0,25...0,5 0,15...0,35 2...3s 0,5..1,5s 0,01...0,02s 0,6...0,8 1 0,5...1,5s

Asincrónico 3...5 -- 0,2...0,4 -- -- 0,01...0,05s 1 1 0,05..1,5s

9 ibidem 11.12 Computerized implementation of the general procedures noted in 11.7 to 11.1010 Th.Laible, “Die Theorie der Synchronmaschine im nichtstationären Betrieb” Ed. Springer 1952

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CAPÍTULO 4

4 TRANSFORMADOR TRIFÁSICO 4-2

4.1 Modelo circuital 4-2 4.1.1 Ecuaciones de equilibrio y circuito equivalente 4-4 4.1.2 Determinación de la impedancia de cortocircuito 4-7 4.1.3 Grupos de conexión 4-8

4.1.4 Transformadores en paralelo 4-9

4.2 Fenómenos de magnetización 4-11 4.2.1 Formas de onda en vacío 4-13

4.3 Corriente transitoria de conexión (“inrush” magnético) 4-18

4.4 Funcionamiento asimétrico 4-22 4.4.1 Cargabilidad monofásica 4-23 4.4.2 Modelo circuital 4-26 4.4.3 Aplicación del método de las componentes simétricas 4-28

4.5 Transformador de n devanados 4-29 4.5.1 Las ideas básicas del método aplicadas al transformador de dos devanados.

4-31 4.5.2 Generalización para transformadores de n devanados 4-36 4.5.3 Circuito equivalente 4-39 4.5.4 Transformador de tres devanados 4-40 4.5.5 Apéndice: Transformación de redes 4-43

4.6 El autotransformador 4-44 4.6.1 Peso, potencia y pérdidas 4-44 4.6.2 Circuito equivalente 4-45

4.7 Esfuerzos mecánicos 4-47 4.7.1 Fuerzas radiales 4-48 4.7.2 Fuerzas axiales de contracción 4-49 4.7.3 Fuerzas axiales debidas a asimetrías. 4-50

4.8 Dimensionamiento 4-52 4.8.1 Leyes de crecimiento 4-53 4.8.2 Dimensiones principales 4-55 4.8.3 Ejemplo numérico 4-58 4.8.4 Apéndice: Diagrama de flujo para el diseño de un transformador 4-61

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Transformador trifásico 4-2

4 Transformador trifásico

Introducción

La transmisión de la energía eléctrica desde su lugar de generación hasta loslugares de consumo por regla general requiere de más de dos niveles de tensión yel consiguiente empleo de transformadores. En lugares densamente poblados lacapacidad de transformación instalada puede fácilmente quintuplicar la capacidadde generación. Es entonces comprensible que se imponga una elevada exigenciasobre el rendimiento de los transformadores en general y especialmente en los depotencia elevada. La incorporación de la técnica criogénica ofrece interesantesperspectivas de desarrollo.

La concentración de la generación en unidades cada vez mayores ha tenido comoconsecuencia un aumento de la capacidad de los transformadores que conectanesas unidades a las redes de transmisión, cuya tensión nominal también se haelevado, por lo que en el rango superior ya se construyen transformadores de1000MVA y 800kV. Esos niveles de tensión y potencia implican un cúmulo deproblemas técnicos, muy especialmente para el sistema dieléctrico formado por las bobinas del transformador.

Por su capital importancia, el comportamiento de las bobinas desde el punto devista del campo eléctrico será tratado en forma separada en la Asignatura de AltaTensión1, limitándose el tratamiento que sigue a los efectos del campo magnético.

En ese contexto se enfatizarán los aspectos relacionados con la operación deltransformador trifásico, tanto en condiciones estacionarias como de falla.

4.1 Modelo circuital

Para el análisis de sistemas trifásicos simétricos se recurre al análisis por fase,metodología que, mediante la transformación de las componentes simétricas,puede extenderse a sistemas simétricos con cargas o fallas asimétricas. Con esteobjetivo se requiere de un modelo “por fase” del transformador trifásico.

Un punto de partida apropiado es el circuito equivalente para el transformador monofásico de dos devanados, desarrollado en otra oportunidad2, que representalos efectos físicos más relevantes del transformador asociados al campomagnético. Su versión más simplificada se reduce a un cuadripolo con una solaimpedancia serie, cuyo valor numérico, expresado en “por unidad”, es igual alvalor en “por unidad” de la tensión de cortocircuito.

1 ver también Karsai,K.; Kerényi, D.; Kiss, L. “Large Power Transformers” Elsevier 1987 2 Apuntes de Conversión Electromecánica de Energía, capítulo 4

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Transformador trifásico 4-3

Se comprobará que ese modelo también es aplicable a la representación por fasedel transformador trifásico, independientemente de la interconexión en estrella oen triángulo de los devanados primario y secundario, si se utiliza como valoresbase para las tensiones y corrientes los valores nominales de los respectivosdevanados.

b

A

c

n

a

Φσ1

ACB

C B

Φσ2

Φm

Figura 4.1.1 Esquema de conexión de un banco detransformadores monofásicos

VBVb

Ib

Ic

Ia

IB

I A

IC

IBA

I AC

c b

a C

A

B

n

Figura 4.1.2 Representación simbólica del esquema deconexión de la figura 4.1.1

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Transformador trifásico 4-4

Con este objetivo, considérese un banco de transformadores monofásicos cuyosdevanados están interconectados en la forma indicada en la figura 4.1.1. La figura

4.1.2 muestra la misma conexión en forma simbólica, considerando que lasbobinas dibujadas paralelas están ubicadas sobre un mismo núcleo. El banco estáconectado a una red trifásica simétrica.

4.1.1 Ecuaciones de equilibrio y circuito equivalente

La aplicación de la Ley de Faraday a los devanados del transformador c de lafigura 4.1.1 permite anotar directamente en notación fasorial:

c c cn j R ω+= IV 1 (4.1.01)

BABABA j R ω+= IV 2 (4.1.02)

Al introducir las nociones “flujo común” y “flujo de dispersión”, las expresiones(4.1.01) y (4.1.02) toman la forma:

mc c cn N j jX R 111 ω++= σ IIV (4.1.03)

mBABABA N j jX R 222 ω++= σ IIV (4.1.04)

Amplificando (4.1.04) por la relación de vueltas N1/N2 y restando el resultado de(4.1.03) queda:

−+−=− σσ BAc BAc BAcn

N

N X X j

N

N R R

N

N IIIIVV

2

121

2

121

2

1 (4.1.05)

Si en esta ecuación se reemplaza los parámetros y las variables por loscorrespondientes productos “valor en pu por valor base”, considerando que

2

2

11 basebase V

N

N V = y que

base

basebase

I

V Z = , se logra

( )BAc BAc BAcn X X j R R IIIIVV 2121 σσ −+−=− en pu (4.1.06)

donde cada variable y parámetro está expresado en por unidad de la respectivacantidad base, prescindiéndose de una notación especial para las cantidades envalores relativos o en “por unidad (pu)”.

Si se desprecia la corriente magnetizante, es decir, se idealiza el núcleo (µfe→ ∞ ,Hfe→ 0), la aplicación de la Ley de Ampere a ese circuito magnético implica que:

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Transformador trifásico 4-5

021 =+ N N BAc II en A (4.1.07)

0=+ BAc II en pu (4.1.08)con lo que (4.1.06) se reduce a

( ) c eBA

e

BAcn

X

X X j

R

R R IZIVV =

+++−=−

σ

σσ4342143421

2121 pu (4.1.09)

Análogamente se tiene para el otro transformador (b)

( ) be AC e AC bn jX R IZIVV =+−=− σ pu (4.1.10)

La conexión delta del secundario impone la restricción (Kirchhoff)

ABA AC III =− pu, (4.1.11)

por lo que, al restar (4.1.10) de (4.1.09), resulta

( )bc e AeC A ABbncn IIZIZVVVVVV −==−++−− pu, (4.1.12)

relación que se reduce a

ea Ae Aan j j ZIIZVV 333 ==+ pu, (4.1.13)

si se considera las relaciones indicadas en el diagrama fasorial de la figura 4.1.3.

En la ecuación (4.1.13) la tensión V A está referida a la tensión de línea y lacorriente I A a la corriente de fase.

Rescribiendo ahora (4.1.13) como

ea A

e Aan j j ZII

ZVV =−=−3

3 pu (4.1.14)

y amplificando los términos que se refieren al lado en delta (índice mayúscula) conlas correspondientes cantidades base,

ea

L

L Ae

LN

LN Aan

I

I j

V

V j ZI

IZVV =−=−

33 pu, (4.1.15)

se puede reinterpretar estos términos como expresados en “por unidad” de nuevasbases, correspondientes a los valores “estrella” o “línea - neutro” de ese lado deltransformador, quedando

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Transformador trifásico 4-6

ea Ae Aan j j ZIIZVV =−=− en pu nueva base, (4.1.16)

donde la impedancia de cortocircuito Ze sigue expresada en “por unidad” de laimpedancia base definida en términos de las tensiones y corrientes nominales delos devanados.

La relación (4.16) es satisfechapor el circuito equivalente de lafigura 4.1.4.

Se aprecia que con lasdenominaciones para losterminales de la figura 4.1.2

(arbitraria pero conveniente), lastensiones línea - neutro en el ladoconectado en triángulo estánatrasadas en 90º en relación consus homónimas del lado estrella.

Si se hace abstracción del ángulode desfasamiento, eltransformador trifásico simétrico,independientemente de suconexión, queda descrito por una

conexión estrella - estrella equivalente, para la cual rige un circuito equivalente por fase con impedancia de cortocircuito cuyo valor en pu es igual a la tensión decortocircuito expresada en pu de la tensión nominal del devanado en el cual fuemedida.

Ia

Ic Ib

Ic-Ib = j√3 Ia

Figura 4.1.3 Relaciones fasoriales en casode alimentación simétrica

e-jπ/2

(Ze)(Ia) (I A)(I A)

(V A)(V A)(Va)

Figura 4.1.4 Circuito equivalente por fase correspondientea la conexión estrella – delta de la figura 4.1.1

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Transformador trifásico 4-7

4.1.2 Determinación de la impedancia de cortocircuito

Para la determinación experimental de la impedancia de cortocircuito se alimentael transformador, cuyos terminales no excitados están sólidamentecortocircuitados, a una red de tensión reducida, según indica la figura 4.1.5. Seajusta la corriente absorbida a su valor nominal y se mide la tensión de línea, lacorriente de línea y la potencia activa.

A partir de los valores medidos se calcula

LLI V

P cosar

3(4.1.17)

L

Le

I V Z 3

= (4.1.18)

ϕ= cosZ R ee y ϕ=σ senZ X e (4.1.19)

asumiendo, independientemente de la conexión real, que la conexión sea estrella -estrella.

Como la impedancia base valenom

Lnom

Lnom

Lnombase

S

V

I

V Z

2

3== , (4.1.20)

se tiene que con Lnomcoci I I = que [ ][ ] coci

Lnom

L

base

ee V

V

V

Z

Z Z === en pu . (4.1.21)

Se aprecia que el procedimiento permite obtener los parámetros del circuitoequivalente del transformador (estrella - estrella equivalente) sin que sea

Transformador de conexióncualquiera

W1

W2

V

A

L1

L2

L3

Figura 4.1.5 Conexión para el ensayo encortocircuito

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Transformador trifásico 4-8

necesario conocer la conexión real del transformador ensayado. Esta sólo interesapara determinar el desfasamiento entre las tensiones homónimas del primario y

del secundario.

4.1.3 Grupos de conexión

En transformadores trifásicos de potencia por regla general las partes activas,núcleo y bobinas, están sumergidas en aceite mineral dentro de un estanquecerrado. Las bobinas de estos transformadores están interconectadasinternamente y sólo son accesibles desde el exterior, a través de sendosaisladores, tres terminales por cada devanado (nivel de tensión) y eventualmentelos neutros.

De acuerdo con la norma IEC, las bobinas ubicadas sobre el mismo núcleo seidentifican con una misma letra (U,V o W), a la que se le antepone un número(1U,2U) para distinguir entre si las bobinas de un determinado núcleo y a la que sele puede agregar otro número (1U1, 1U2) para identificar los dos extremos de unabobina (polaridad).

Según sea la interconexión de las bobinas, la estrella de tensiones secundaria sedesfasa respecto a la estrella de tensiones primaria en ángulos que son múltiplosde 30º. Aquellas combinaciones de conexiones que determinan igualdesfasamiento constituyen un grupo de conexión.

1U1 1V1 1W1

1V2 1U2 1W2

2U2 2V2

2U1 2V1 2W1

2W2

L1 L2 L3

L3L2 L1

Figura 4.1.6 Conexión externa e interna deun transformador Yd5 (nomenclatura IEC)

1W

1V

1U

2U12V1

2V2

2U2

2W2

2W1

Figura 1.1.7 Diagrama fasorial correspondiente ala conexión Yd5

(L2)

(L2)

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Transformador trifásico 4-9

El grupo de conexión se expresa mediante un número característico que indicacuantas veces 30º la tensión 2V está atrasada respecto a la tensión 1V.

Si bien las normas NEMA e IEC usan nomenclaturas diferentes para designar losterminales de las bobinas, ambas normas definen el número característicoasociado a un grupo de conexión en forma similar, por lo que esa cifracaracterística es independiente de la nomenclatura usada.

Una conexión específica de un transformador de dos devanados se caracterizamediante dos letras y el número característico, por ejemplo, Dy5. La D(mayúscula) indica que el devanado de alta tensión está conectado en delta, la y(minúscula) indica que el devanado de baja tensión está conectado en estrella y el5 indica que la tensión en el lado de baja tensión está atrasada en 150º respecto a

la homónima del lado de alta tensión.

Para ilustrar la determinación del número característico de un grupo de conexión,considérese la conexión de la figura 4.1.6 y el correspondiente diagrama fasorialde las tensiones de la figura 4.1.7.

La construcción del diagrama fasorial se realiza en este caso a partir de lastensiones primarias (dadas) y, considerando que las tensiones inducidas por unmismo flujo en bobinas de igual polaridad están en fase, se determina lastensiones secundarias, que se suman en la forma prescrita por la conexión. Aldeterminar la estrella equivalente correspondiente al triángulo de las tensiones

secundarias, se comprueba que las tensiones de la estrella del secundario estánatrasadas en 150º respecto a las homónimas de la estrella del primario y que por lo tanto la conexión es Yd5, si las líneas de salida (L1, L2, L3) están conectadas a2U2, 2V2, 2W2. En cambio, si las líneas de salida se conectaran a 2U1, 2V1, 2W1el desfase entre tensiones homónimas sería de 30º y la conexión sería Yd1(norma Chilectra).

4.1.4 Transformadores en paralelo

Para aumentar la capacidad de subestaciones (o para mejorar la seguridad de

servicio) se suele recurrir al expediente de instalar un segundo transformador enparalelo con el existente. El esquema de la figura 4.1.8 ilustra la situaciónplanteada en términos de circuitos equivalentes monofásicos.

La operación en paralelo implica que ambos transformadores están conectadostanto en el primario como en el secundario a las mismas barras, lo que haceimperativo que ambos transformadores tengan la misma relación detransformación y que pertenezcan al mismo grupo de conexión.

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Transformador trifásico 4-10

Con el objeto de determinar las condiciones para la adecuada distribución de lacarga entre los transformadores en paralelo se plantea las ecuaciones de

equilibrio para el circuito de la figura 4.1.8:

A A

Ak ZIV

V+= 2

1 (4.1.22)

BB

Bk ZIV

V+= 2

1 (4.1.23)

B A III +=2 (4.1.24)

donde k A y k B corresponden a lasrelaciones de transformación delos respectivos transformadores yZ A y ZB a las impedancias decortocircuito en Ω.

De estas ecuaciones se despeja:

2

1 11

IZZ

Z

ZZ

V

I B A

B

B AB A

A k k ++

−+= (4.1.25)

21 11

IZZ

Z

ZZ

VI

B A

A

ABB A

Bk k +

+

+= (4.1.26)

Se aprecia que en vacío, es decir, con I 2=0, las corrientes en cada transformador sólo son nulas si las dos relaciones de transformación k A y k B son iguales. Si estacondición no se cumple habrá una corriente circulante interna no deseada entrelos dos transformadores.

Para relaciones de transformaciones iguales, se aprecia que la corriente de cargase distribuye entre los dos transformadores en razón inversa a las respectivasimpedancias de cortocircuito:

A

B

B

A

Z

Z

I

I= (4.1.27)

Reemplazando las corrientes e impedancias, expresadas en unidades físicas en(4.1.27), por los valores en pu multiplicados por la correspondiente base propia, setiene:

I A

IB

I2

V1 V2

V1/k A

V1/kB

Z A

ZB

Figura 1.1.8 Transformadores en paralelo,interconexión de los circuitosequivalentes

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Transformador trifásico 4-11

( )( ) Abasebase

Bbasebase

A

B

BbaseB

Abase A

I V

I V

I

I

Z

Z

I

I= (4.1.28)

que toma la forma A

B

B

A

ZZ

II = (4.1.29)

donde ahora las corrientes y las impedancias están expresadas en por unidad delas bases propias de cada transformador.

Se aprecia que la corriente de la carga se distribuirá entre los dos transformadoresen proporción a las respectivas potencias nominales si las impedancias decortocircuito, expresadas en por unidad de la base propia del respectivotransformador, son iguales.

En resumen, para una operación en paralelo satisfactoria de dos transformadoresdebe cumplirse

• que pertenezcan al mismo grupo de conexión• que tengan la misma relación de transformación• que las tensiones de cortocircuito en por unidad de la base propia sean iguales• que la relación de potencias nominales no supere 1:3.

Esta última condición es necesaria, ya que transformadores de diferente potencianominal tienen necesariamente (leyes de crecimiento) diferentes argumentos para

sus impedancias de cortocircuito, lo que condiciona un desfasamiento entre lascorrientes. Así, la corriente máxima en la carga es inferior a la suma aritmética delas corrientes nominales de los transformadores.

4.2 Fenómenos de magnetización

El modelo desarrollado en el párrafoanterior prescinde de la corrientemagnetizante, es decir, hace abstracción

del tipo de núcleo. En consecuencia esaplicable independientemente del circuitomagnético del transformador.

Si bien el valor efectivo de la corrientemagnetizante, que en núcleos formadospor chapas silicosas de grano orientadoes inferior a un 1% de la corrientenominal, es despreciable frente a lacorriente nominal, su forma de ondasuele estar deformada por un alto

Va

Vc

Vb

Φc

ΦbΦa

V=0

Figura 4.2.1 Excitación simétrica de 3núcleos monofásicos

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Transformador trifásico 4-12

contenido de componentes armónicas, debidas a la nolinealidad de lacaracterística de magnetización del núcleo, las que pueden dar origen a

problemas técnicos. En consecuencia es necesario analizar la influencia del tipode núcleo y de la interconexión de los devanados sobre las componentesarmónicas de las corrientes y de los flujos.

En el banco de transformadores monofásicos los tres núcleos y suscorrespondientes circuitos magnéticos son totalmente independientes entre sí.

Suele resultar conveniente renunciar a esta independencia de los circuitosmagnéticos y reunir los tres núcleos en una sola unidad constructiva paraaprovechar el notable ahorro de material activo (chapa silicosa) y la consiguientereducción de peso que se logra con esta medida.

Básicamente existen dos posibilidades para integrar los núcleos en una solaunidad trifásica, que dan lugar a otros tantos tipos de núcleo.

En la figura 4.2.1 están agrupadosesquemáticamente tres núcleosmonofásicos del tipo columna,representándose sólo los devanadosprimarios. La alimentación de estosdevanados con un sistema de tensionestrifásico simétrico impone en los núcleos

flujos alternos de igual amplitud, perodesfasados relativamente en 120º. Enconsecuencia, el flujo enlazado por unabobina hipotética que abraza a las trescolumnas centrales es cero en todo instante,lo que sugiere la modificación del circuitomagnético en la forma indicada en la figura4.2.2, donde se ha eliminado el volumen defierro correspondiente a las tres columnas

centrales, sin que esto haya alterado la distribución de flujo en las columnas quellevan los enrollados.

La realización del circuito magnéticosimétrico de la figura 4.2.2 presentadificultades prácticas, por lo que se prefiereubicar a las tres columnas en un mismoplano, como se muestra esquemáticamenteen la figura 4.2.3. Esta medida tiene comoconsecuencia una asimetría del circuitomagnético, lo que se refleja en que lascorrientes magnetizantes resultanasimétricas. Sin embargo, dada la pequeña

Figura 4.2.2 Núcleo simétrico de 3columnas

Φa

Φb

Φc

Figura 4.2.3 Núcleo asimétrico

de 3 columnas

Φa

Φb

Φc

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Transformador trifásico 4-13

magnitud relativa de estas, el comportamiento del transformador bajo condicionesde carga simétrica no se ve afectado. Mientras los flujos en las columnas sean

simétricos, la restricción sobre los flujos, impuesta por la introducción de uncircuito magnético interconectado, no invalida la posibilidad de formular un circuitoequivalente por fase.

La segunda forma de integrar los circuitos magnéticos de tres transformadoresmonofásicos en una unidad trifásica se conoce como núcleo acorazado,representado esquemáticamente en la figura 4.2.4. Nótese que el sentido deenrollado de la bobina central es contrario al de las dos bobinas extremas.

4.2.1 Formas de onda en vacío

Sea un transformador monofásico en vacío excitado por una fuente de tensiónsinusoidal. La característica de magnetización idealizada del núcleo tenga la formaindicada en la figura 4.2.5.

Φa

ΦbΦc

Φd

Φe

Φa Φb Φc

Φd/2 Φe/2

Va Vb Vc

Figura 4.2.4 Transformador trifásico con núcleo acorazado

Figura 4.2.5 Característica demagnetización

Figura 4.2.6 Tensión y corrientemagnetizante

0 0.005 0.01

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6 8

0

0.5

1

1.5

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Transformador trifásico 4-14

Supóngase que todo el flujo se cierra por el núcleo. Entonces, en virtud de la Leyde Faraday, la tensión sinusoidal fuerza un flujo sinusoidal en el núcleo. La

corriente magnetizante, relacionada con el flujo a través de la característica demagnetización nolineal, exhibe necesariamente la forma de onda complejamostrada en la figura 4.2.6.

La forma de la onda de corriente permite afirmar que esta sólo puede contener armónicas impares, por lo que su desarrollo en serie de Fourier se expresa como:

( ) ( ) ( ) ( ) .....t senI t senI t senI t i +ω+ω−ω= 53 531 (4.2.1)

Para los niveles de inducción normales(1,6T) en el núcleo, las figuras 4.2.5 a

4.2.7 dan una idea aproximada de lasamplitudes relativas de las armónicas dela corriente magnetizante.

A pesar de su relativa pequeñez, lasarmónicas pueden producir distorsionesimportantes de la tensión (resonancia)en alguna barra del sistema, ya que lasreactancias inductivas y capacitivas deéste son, respectivamente,proporcionales e inversamente

proporcionales a la frecuencia de lascorrientes armónicas.

Las armónicas de la corrientemagnetizante y las debidas a los convertidores basados en semiconductoresdeben considerarse como los principales “ensuciadores” de las redes de potencia.

En el caso del transformador trifásico la relación entre latensión aplicada y la corriente enlas líneas de alimentación es

más compleja, debido a lasrestricciones que puedenimponer el tipo de núcleo y eltipo de conexión.

Para analizar este asunto,considérese un transformador detres columnas, cuyas columnasexternas (a , c) tenganreluctancias γ veces superiores ala de la columna central (b).

γIm1 Im1

γIm1

Ic1Ib1Ia1

Figura 4.2.8 Corrientes magnetizantes en

conexión delta y núcleo de 3

columnas

Figura 4.2.7 Espectro armónico

correspondiente a la corrientemagnetizante de la figura 4.2.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.2

0.4

0.6

0.8

1

# de orden

amplitud

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Transformador trifásico 4-15

Supóngase además que el devanado primario esté conectado en delta y que seaalimentado por una red trifásica simétrica ( figura 4.2.8).

Las tensiones sinusoidales simétricas, aplicadas directamente a los devanados,fuerzan flujos sinusoidales simétricos y las corrientes requeridas para lamagnetización de cada columna pueden desarrollarse libremente, como en el casomonofásico. Sus magnitudes son directamente proporcionales a la reluctancia delcorrespondiente circuito magnético. Las corrientes en las líneas de alimentaciónson iguales a la diferencia de dos corrientes de fase. El diagrama fasorial de lafigura 4.2.9 ilustra estas relaciones para las componentes fundamentales.

La distribución de las armónicas no múltiplos de la tercera es similar a la de lafundamental, salvo un eventual cambio de secuencia (p.ej. para la 5ª).

Distinta es la situación para la3ª armónica y sus múltiplos.Estas componentes están enfase en los tres devanados ycon las denominaciones de lafigura 4.2.10 se tiene que

( ) 33 1 ma II −γ= (4.2.2)

( ) 33 1 mb II −γ−= (4.2.3)

0333 =γ−γ= mmc III (4.2.4)

Se aprecia que en este casosólo en las líneas b y c circulauna 3ª armónica residual, que

desaparecería si el núcleo fuese simétrico(γ = 1).

La conexión en delta del devanado excitado

no impone restricción alguna a la circulaciónde las componentes de la corrientemagnetizante y se dice que en esos casosexiste magnetización natural.

Considérese ahora que se excita el devanadoconectado en estrella (sin neutro) y que elsecundario esté conectado en delta (figura4.2.11).

Im1

aγIm1

a2γIm1

Ia1

Ic1

Ib1

Figura 4.2.9 Diagrama fasorial de las componentesfundamentales de las corrientes de

fase y de línea dela figura 4.2.8

Im3

γIm3

γIm3

Ic3Ib3Ia3

Figura 4.2.10 3eras armónicas en

conexión delta y núcleode 3 columnas

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Transformador trifásico 4-16

Supóngase primeramente que la interconexión en delta esté abierta, de maneraque no pueda circular corriente por el devanado secundario.

La conexión en estrella sin neutro impone una restricción sobre las corrientes (lasuma de las corrientes debe ser cero) y relaja la restricción sobre las tensiones defase, ya que ahora sólo se fuerzan las tensiones de línea.

Por otra parte, el tipo de núcleoexige por razones de simetríaque las corrientescorrespondientes a lascolumnas exteriores deben ser

iguales en módulo y mayores que lacorrespondiente a la columna central.

Estas dos condiciones sólo pueden ser satisfechas simultáneamente por elsistema de corrientes trifásicas bisimétricode la figura 4.2.12

Las fmms (corrientes) y los flujos de unamisma columna están en fase. Enconsecuencia los fasores de los flujostampoco forman una estrella simétricasegún se aprecia en la figura 4.2.13.

La estrella de fasores de flujo bisimétricase puede interpretar como resultante de lasuperposición de una estrella simétrica yde tres flujos Φ∆ que están en fase. El flujo3Φ∆ debe cerrarse necesariamente por elaire. Las tensiones inducidas por los flujosΦ∆ en los tres devanados también están enfase entre sí y determinan el corrimientodel neutro, como puede apreciarse en eldiagrama fasorial de la figura 4.2.14.

I∆1

I∆1 I∆1

Ib1

Ic1Ia1

I’ a1 I’ c1120º

I b1/2

I’ b1

Figura 4.2.12 Diagrama fasorial de lascorrientes fundamentales

120º

120º

’ b1

’ a1 ’ c1

b1

a1c1

∆ ∆

Figura 4.2.13 Diagrama fasorial de los flujos fundamentales

I∆1

Ic1Ib1Ia1

Figura 4.2.11 Corrientes magnetizantes enconexión estrella sin neutro y

núcleo de 3 columnas

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Transformador trifásico 4-17

Pero los flujos Φ∆ también inducen tensiones en las bobinas del devanadosecundario. Si ahora se considera que la conexión delta está cerrada, las

componentes en fase de las tensiones inducidas dan lugar a la corriente I ∆ queproduce fmms adicionales en las tres columnas, que idealmente, es decir, enausencia de dispersión, anulan los flujos Φ∆ (regla de Lenz), permaneciendo

solamente las componentes simétricasde los flujos de columna (Φ′a1, Φ′b1 yΦ′c1).

Se aprecia que en el caso de laconexión estrella – delta las corrientesen ambos devanados, primario ysecundario, producen conjuntamente

las fmms resultantes en las columnas(I′a1, I′b1 e I′c1) que dan lugar a flujossimétricos como los que existirían si seforzasen las tensiones de fasemediante la conexión del neutro deldevanado primario al neutro de la red.En este último caso circularía unacorriente por el neutro igual a 3I ∆.

Si, como consecuencia de la conexión en delta del devanado secundario, serestablece el flujo simétrico en las tres columnas, las fmms. de tercera armónica

correspondientes a las dos columnas exteriores deben ser iguales entre sí y suvalor debe ser γ veces el correspondiente a la columna central.

La corriente de tercera armónica en el delta es forzosamente la misma para lastres columnas. Además la conexión estrella del primario exige que la suma de lascorrientes de tercera armónica en el primario debe ser cero

En consecuencia se tiene que cumplir (pu):

333 ma III γ=+ (4.2.5)

333 mc III γ=+ (4.2.6)

333 mb III =+ (4.2.7)

0333 =++ c ba III (4.2.8)

De estas relaciones se logra:

n’

nVa

Vb

Vc

Vba Vcb

Vac

Figura 4.2.14 Diagrama fasorial de lastensiones de línea y de fase

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Transformador trifásico 4-18

( )13

333 −γ== m

c a

III (4.2.9)

( )13

2 33 −γ−= m

b

II (4.2.10)

( )123

33 +γ= mII (4.2.11)

Se aprecia que con núcleo simétrico (γ = 1) la corriente de tercera armónica sólocircula en el interior de la conexión delta del secundario.

Debido a la existencia del devanado conectado en delta se recupera la condición

de magnetización natural.Cuando no pueden circular las corrientes I ∆1 e I ∆3, como sucede en el caso de laconexión estrella sin neutro – estrella o de la conexión estrella sin neutro – zigzag,aparece el flujo en el aire que debe cerrarse de un yugo al otro. Este flujo contieneuna componente de frecuencia fundamental y una tercera armónica dominante. Enesos casos se dice que existe magnetización forzada.

Este flujo por el aire es siempre pequeño (<2%Φm), por lo que su influencia sobreel valor de la corriente magnetizante es despreciable. Sin embargo, las pérdidasque el flujo de triple frecuencia causa en las paredes del estanque pueden ser relativamente importantes. Según sea el valor de la inducción en el núcleo,

pueden alcanzar valores del orden de 5 a 20% de las pérdidas medidas sinestanque.

4.3 Corriente transitoria de conexión (“inrush” magnético)

Al energizar a un transformador en vacío, conectándolo a una red de tensión yfrecuencia dada, se pueden desarrollar corrientes transitorias, que, debido a larelación nolineal entre flujo y corriente, alcanzan valores máximos que puedensuperar en más de 10 veces el valor máximo de la corriente nominal del

transformador. Corrientes tan elevadas, del orden de la corriente de cortocircuito,implican esfuerzos mecánicos importantes sobre las bobinas y crean dificultadespara la coordinación de la protección de sobrecorriente.

En lo que sigue se analiza el fenómeno para el caso del transformador monofásico.

Considérese que el transformador se conecta a la red en el instante t=0. Entoncespara t>0 rige la siguiente ecuación de equilibrio para el primario del transformador:

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Transformador trifásico 4-19

dt

d i R v 1111

ψ+= (4.3.1)

Con el objeto de destacar lo esencial se simplifica la situación, suponiendo que laresistencia y el flujo de dispersión son despreciables. Así (4.3.1) se reduce a

dt

d N v m

11 = , (4.3.2)

enfatizando la relación entre tensión y flujo en el núcleo.

Supóngase ahora que la tensión de la red sea sinusoidal de frecuencia angular ω yque el valor instantáneo en el momento de conexión (t=0) sea fijado por el ángulode fase α, es decir,

( ).t cosV v α+ω= 11 2 (4.3.3)

Al reemplazar (4.3.3) en (4.3.2) se logra alintegrar

( ) ( ) C t senN

V t m +α+ω

ω=

1

12, (4.3.4)

donde la constante de integración C seevalúa a partir de la condición inicial

( ) r m =0 (flujo residual) (4.3.5)

como ( )αω

−= senN

V C r

1

12. (4.3.6)

En consecuencia rige para el flujo

( ) ( ) ( )[ ]α−α+ωω+= sent senN

V t r

1

12

(4.3.7)

Se aprecia que con Φr >0 el flujo alcanza su valor máximo posible si α= -π/2, esdecir, si el transformador se conecta a la red en el instante en que la tensión de lared pasa por cero. Este máximo se produce medio ciclo después del instante deconexión, cuando ωt=π, y vale

cr r máx 2+= (4.3.8)

Figura 4.3.1 Evaluación de laecuación 1.3.6

para α = -π /2

0 0.01 0.02 0.030

0.5

1

1.5

2

2.5

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Transformador trifásico 4-20

donde1

12

N

V cr ω

= (4.3.9)

es el valor de cresta del flujo sinusoidal estacionario. La figura 4.3.1 ilustra lasituación descrita.

Los transformadores de potencia se diseñan para el funcionamiento normal coninducciones cuyo valor máximo es del orden de 1,6T, por lo que el flujo máximodefinido por la relación (4.3.8) superaría largamente la inducción de saturación delfierro, que es del orden de 2,1T. Esta circunstancia permite estimar en formasimple el valor máximo de la corriente transitoria de conexión.

En la figura 4.3.2 se representa lacaracterística de magnetización de la chapade grano orientado M-6X junto con lastangentes que la aproximan,respectivamente, para inducciones muy altasy muy bajas. La intersección de estas rectasdetermina el punto (Hsat,Bsat).

Para representar la relación entre B y H parainducciones muy elevadas se puedeconsiderar, en primera aproximación, queHsat=0. Esto implica considerar que el núcleo

se satura totalmente con corrientenula y que para corrientes finitasse comporta magnéticamentecomo si fuese aire.

Así, el flujo total abrazado por labobina excitada de la figura 4.3.3se puede suponer formado enparte por un flujo constante (Φsat)

y en parte por un flujo creado por la corriente en la bobina (Φaire):

airesat máx += (4.3.10)

con aaaire SB= (4.3.11)

yl

N i B cr

a1

0µ= , (4.3.12)

x

xxx

Φaire

Φaire

Φsat

Φsat

Φ

iN1

Φmáx

Figura 4.3.3 Modelo del núcleo saturado.Superposición del flujo desaturación y del flujo en el aire

l Sa

0

0 100 200 300 4000

0.5

1

1.5 (Hsat,Bsat)

Figura 4.3.2 Característica B(H)y su aproximación

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Transformador trifásico 4-21

la inducción en el interior de la bobina, que se calcula aplicando la Ley de Ampere

alrededor de la bobina de longitud axial l, considerando que en bobinas cilíndricascon núcleo de aire no demasiado cortas el campo magnético se concentra en suinterior, por lo que la contribución al valor de la integral del camino de integraciónexterior a la bobina puede ser despreciado, ya que allí el valor de H es muypequeño.

De las relaciones (4.3.8) a (4.3.12) se logra la siguiente expresión para el valor decresta de la corriente transitoria de conexión, referida al valor de cresta de lacorriente nominal:

−−

µω

=cr

r sat

ann

cr

l

SN I

V

I

i 2

1

2 210

1 (4.3.13)

La expresión entre paréntesis

µ=

l

SN L a

a210 (4.3.14)

corresponde a la inductancia de la bobina excitada antes de su montaje sobre elnúcleo. Para calcular la sección Sa=π/4dm

2 basta considerar el diámetro medio dm de esa bobina. La reactancia Xa=ωLa tiene un valor que, típicamente, es dos vecesel valor de la reactancia de cortocircuito del transformador.

Si se rescribe la relación (4.3.14) en pu queda

−−=

cr

r sat

a

cr x

i 21

(pu), (4.3.15)

se puede apreciar que el valor de cresta de la corriente transitoria de conexióndepende básicamente de dos parámetros: la reactancia x a y el flujo residual Φr ,siendo este último aleatorio.

La expresión (4.3.15) está basada en el supuesto de un núcleo totalmentesaturado, por lo que es necesario verificar si con el valor calculado para i cr esto se

cumple. Para ello debe estar satisfecha la desigualdad

l H N i satt cr >1 A, (4.3.16)

donde l es la longitud axial de la bobina y H satt ≈ 20kA/m corresponde al valor de Hpara la saturación total en el caso de chapas de grano orientado.

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Transformador trifásico 4-22

icr /√2InkVA AT BT

500 11 161000 8,4 145000 6 10

10000 5 1050000 4,5 9

Tabla 4.3.1 Amplitudes de referencia según IEEE

(tolerancia ± 50%)

En transformadores de columnas las bobinas están dispuestas normalmente en laforma de cilindros concéntricos, correspondiendo el cilindro interior al devanado de

baja tensión. Como SaBT es menor que SaAT, la corriente transitoria esrelativamente mayor si el transformador es excitado por el lado de baja tensión.

Por otra parte, las así llamadas “leyes de crecimiento” indican que, con induccióny densidad de corriente constantes, la potencia aparente crece con la cuartapotencia de las dimensiones lineales (P∼x4), mientras que la inductancia esdirectamente proporcional a las dimensiones lineales (L∼x), por lo que lasinductancias crecen con la raíz cuarta de la potencia (L∼P1/4) y la amplitud relativade la corriente transitoria de conexión disminuye a medida que aumenta lapotencia del transformador.

Ambas tendencias se ven reflejadas en los valores de la tabla 4.3.1, la quereproduce los valores de referencia para el “inrush” según el IEEE.

4.4 Funcionamiento asimétrico

Hasta aquí se había asumido tácitamente que el transformador estaba operandoen condiciones simétricas, es decir, que tanto la alimentación como la eventualcarga eran simétricas. Como esa condición puede verse alterada, ya sea por cargas monofásicas, ya sea por fallas, como cortocircuitos o fases abiertas, sehace necesario comprender el comportamiento del transformador en esascondiciones y desarrollar modelos apropiados para su análisis.

Para visualizar el efecto del tipo de circuito magnético y de la interconexión de losdevanados sobre las características de funcionamiento del transformador concarga asimétrica, se recurre convenientemente a las leyes de Ampere y deKirchhoff. Este punto de vista también permite la interpretación física de un modeloanalítico basado en “mallas de secuencia”, obtenidas a través de la aplicación dela transformación de las componentes simétricas.

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Transformador trifásico 4-23

Ia

VC

ICIBI A

IcIb

VBV A

VcVbVa

Z

Figura 4.4.1 Conexión estrella-estrellacon carga monofásica

4.4.1 Cargabilidad monofásica

Para determinar las condiciones bajo las cuales transformadores trifásicospueden ser cargados asimétricamente, se analiza el caso extremo de una cargamonofásica. De esa manera aparecen más claramente los conceptos físicosinvolucrados en el problema.

Considérese primeramente un transformador con núcleo de tres columnas,conectado en el primario en estrella sin neutro y en el secundario en estrella conneutro. El primario esté conectado a una red trifásica simétrica y en el secundarioexista una carga monofásica, conectada entre una línea y el neutro, como seilustra en la figura 4.4.1.

La conexión estrella del primario imponela siguiente restricción sobre lascorrientes:

0=++ c ba III (4.4.1)

Si se considera núcleos ideales (µfe→∞),es decir, si se desprecia la corrientemagnetizante, la aplicación de la Ley de

Ampere a lo largo de sendos caminos deintegración que encierren las respectivas

ventanas permite anotar:

0112 =−+ N N N ba A III (4.4.2)

y

011 =− N N c b II . (4.4.3)

De (4.4.1) a (4.4.3) se despeja:

AaN N II

1

2

32−= (4.4.4)

AbN

N II

1

2

3

1= (4.4.5)

Ac N

N II

1

2

3

1= (4.4.6)

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Transformador trifásico 4-24

Se observa que si bien la excitación magnética resultante en cada ventana escero, no sucede lo mismo con las excitaciones magnéticas en cada columna, que

tienen todas el mismo valor y valen:

Aa A N N N III 212 3

1=+ (4.4.7)

Estas fmms. están en fase en las trescolumnas, por lo que el flujo Φ0 producido por ellas debe cerrarsenecesariamente por fuera del núcleo,como se indica esquemáticamente enla figura 4.4.2.

En las columnas estos flujos sesuperponen al flujo trifásico simétricoe inducen en los devanadossecundarios las tensiones:

10 A A VVV += (4.4.8)

10 BB VVV += (4.4.9)

10 C C VVV += , (4.4.10)

donde V A1, VB1, VC1 son las tensiones inducidas por el flujo simétrico o flujo envacío y

00002

2020 333I

IIV jX X j N j N j A A ==ω=ω= . (4.4.11)

es la tensión inducida por el flujo adicional debido a la corriente de cargamonofásica. Para destacar sólo lo esencial en (4.4.8) a (4.4.10) se ha ignorado elflujo de dispersión.

Por su parte, la carga impone la restricción A A IZV −= . (4.4.12)

Con (4.4.8), (4.4.11) y (4.4.12) se establece que0

1 A A jX3

3

+−=

Z

VI · , (4.4.13)

relación que reemplazada en (4.4.11) permite determinar las tensiones de fase(4.4.8) a (4.4.10).

La figura 4.4.3 muestra el diagrama fasorial de las tensiones para el caso de unacarga inductiva pura (Z=jX). Se puede apreciar que se produce una estrella de

xxx IAN2/3 IAN2/3IAN2/3

aire=3 0

0 0

0

fe→∞

0

Figura 4.4.2 Circuito magnético para Φ 0 en el núcleo de 3 columnas

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Transformador trifásico 4-25

tensiones de fase desequilibrada y que el neutro del transformador se desplazarespecto al neutro del sistema en V0.

Para transformadores de tres columnas lapermeancia Λ0 es relativamente baja, por loque para corriente nominal la tensión V0 esdel orden de 0,15 a 0,25pu, paratransformadores pequeños y grandesrespectivamente.

En el caso de bancos de transformadoresmonofásicos, transformadores con núcleoacorazado o transformadores con núcleo de

cinco columnas el flujo Φ0 puede cerrarse por el fierro, por lo que en esos casos lapermeancia Λ0 es mucho más alta, aunque dependiente de la saturación, lo queredunda en un desplazamiento del neutro más pronunciado que en el caso delnúcleo de tres columnas. En esos transformadores la carga monofásica esinadmisible.

Considérese ahora que el devanado primario esté conectado en delta (figura4.4.4). En comparación con la situación anterior, desaparece la restricción sobrelas corrientes de fase primarias y en cambio se impone los flujos en las columnas.

En consecuencia, si se hace abstracción del flujo de dispersión, las fmms.adicionales en cada columna deben ser nulas, lo que implica que

AaN

N II

1

2−= , 0=bI , 0=c I (4.4.14)

La ausencia de flujo adicional permite queel transformador pueda ser cargadomonofásicamente sin que se produzca undesequilibrio inadmisible en las tensionesde fase.

Generalizando este resultado, escondición para la cargabilidad asimétricade un transformador que la suma de lasfmms en cada columna sea cero.

Para garantizar el cumplimiento de esacondición en el caso en que la conexiónprimaria deba ser en estrella sin neutro,se puede recurrir a un tercer devanado

V A1

VBV A

VC1 VB1

I A

V0

VC

Figura 4.4.3 Diagrama fasorial

para el caso Z =jX

Ia

I A

IcIb

Z

Vab Vbc

V A VCVB

Figura 4.4.4 Conexión delta- estrellacon carga monofásica

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Transformador trifásico 4-26

conectado en delta, conocido como devanado terciario, o a la conexión estrella –zigzag . En la conexión estrella – zigzag el devanado secundario consta de seis

bobinas iguales y las fases, que se conectan en estrella con neutro accesible, seforman conectando respectivamente en serie dos bobinas ubicadas en columnasdiferentes.

4.4.2 Modelo circuital

El transformador suele ser parte de sistemas de potencia, cuyo análisis bajocondiciones de falla requiere de un modelo circuital apropiado para eltransformador.

Si se hace abstracción de la corriente magnetizante, el transformador de trescolumnas puede ser considerado como una estructura electromagnética simétricadescrita en términos de las variables de terminales mediante la relación matricial:

=

c

b

a

pmm

m pm

mm p

C c

Bb

Aa

I

I

I

ZZZ

ZZZ

ZZZ

VV

VV

VV

pu (4.4.15)

Dado el carácter simétrico de la matriz de impedancias, esta es diagonalizadamediante la transformación de la componentes simétricas.

En términos de estas variables substituto, conocidas como variables de secuencia y definidas por

=

0

2

1

2

2

1

1

111

I

I

I

I

I

I

aa

aa

c

b

a

, (4.4.16)

la relación (4.4.15) toma la forma más simple

=

−−

0

2

1

0

2

1

00

22

11

00

0000

I

II

Z

ZZ

VV

VVVV

Aa

Aa

Aa

(4.4.17)

con m p ZZZZ −== 21 (4.4.18)

y m p ZZZ 20 += (4.4.19)

donde cada tensión de secuencia sólo depende de la correspondiente corriente desecuencia a través de una impedancia de secuencia.

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Transformador trifásico 4-27

La determinación de los valores de las impedancias Zp y Zm es problemática.Como además son numéricamente muy parecidos, su diferencia sólo se conocería

con un error relativo muy grande, por lo que existe interés en la medición directade las impedancias de secuencia.

Para ello supóngase que I2 e I0 sean nulas. En virtud de (4.4.16) se tiene que enesas condiciones a la corriente abstracta I1 le corresponde un sistema decorrientes de fase simétrico con

1II =a , 12 II ab = e 1II ac = (4.4.20)

La impedancia de secuencia positiva, numéricamente igual a la de secuencianegativa, se determina excitando el transformador cortocircuitado trifásicamente

con un sistema de tensiones simétrico y midiendo tensión, corriente y potencia. Elcuociente

11

1 ZI

V

I

V==

a

a (4.4.21)

corresponde a la impedancia de secuencia buscada. El valor numérico de lasimpedancias de secuencia positiva y de secuencia negativa es igual al de laimpedancia de cortocircuito del transformador.

Supóngase ahora que I1 e I2 sean nulas. De (4.4.16) se desprende que esacondición se realiza cuando en las tres fases circulan corrientes iguales

0II =a , 0II =b e 0II =b (4.4.22)

En consecuencia, para la determinación de la impedancia de secuencia cero lastres fases se conectan aditivamente en serie a una fuente monofásica y se mide latensión aplicada (V), la corriente (I0) y la potencia.

0

00 3 I

V

I

VZ == (4.4.23)

El valor numérico de la impedancia de secuencia cero depende de la condición delos devanados no excitados (abiertos o cortocircuitados) y del tipo de núcleo. Paraun transformador de tres columnas y conexión estrella – delta (es decir, conmagnetización natural) el valor es del orden del de la impedancia de cortocircuito,en cambio, para la conexión estrella – estrella sin neutro (es decir, conmagnetización forzada) el flujo de secuencia cero debe cerrarse por el aire,siendo el valor de la impedancia típicamente del orden de 0,5pu en base propia.Para un núcleo acorazado o un núcleo de 5 columnas y conexión estrella –estrella, el flujo de secuencia cero puede cerrarse por el fierro y el valor de la

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Transformador trifásico 4-28

impedancia depende fuertemente del grado de saturación. Varía típicamente entrevalores del orden de 90pu para V0=0,25pu y del orden de 1pu para V0=1pu,

confirmándose que transformadores con estos tipos de núcleo no son aptos parael funcionamiento asimétrico con conexión estrella - estrella.

Para la simulación de transformadores mediante programas como el EMTP o el ATP se utiliza la representación de éstos mediante la relación (4.4.15), cuyosparámetros Zp y Zm se obtienen convenientemente de las impedancias desecuencia, determinadas mediante (4.4.21) y (4.4.22), como

3

2 01 ZZZ

+= p y

310 ZZ

Z−

=m (4.4.24)

4.4.3 Aplicación del método de las componentes simétricas

Con el objeto de ilustrar la aplicación del método de las componentes simétricas alanálisis del comportamiento del transformador con carga asimétrica, considéresenuevamente el caso de la carga monofásica entre línea y neutro, representadoesquemáticamente en la figura 4.4.1.De las restricciones sobre las corrientes en el secundario: IB=0 , IC=0 sedesprende, considerando la relación inversa de (4.4.16), que

=

=

A

A

A

C

B

A

A

A

A

aa

aa

II

I

II

I

II

I

3

1

1111

1

3

1 2

2

0

2

1

. (4.4.25)

Por otro lado, al expresar la relación entre tensión y corriente en la carga: V A= -Z I A en términos de las componentes simétricas, se logra:

( ) 1021021 3 A A A A A A A IZIIIZVVV −=++−=++ . (4.4.26)

Para el sistema simétrico formado por el transformador y la fuente (de secuenciapositiva), visto desde los terminales secundarios del transformador, se tiene conlas referencias de la figura 4.4.1:

=

+

0

2

1

0

2

1

0

1

11

0

0

A

A

A

A

A

AG

V

V

V

I

I

I

Z

Z

ZV

, (4.4.27)

de donde se aprecia que

1111 AG A IZVV += , 212 A A IZV = y 000 A A IZV = . (4.4.28)

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Transformador trifásico 4-29

El reemplazo de estas relaciones en (4.4.26) permite obtener

323 01

11

AG A I

ZZZVI =

++−= . (4.4.29)

La tensión en la fase secundaria cargada vale

G A A A A 101

021 23

3V

ZZZ

ZVVVV

++=++= . (4.4.30)

La influencia de la conexión de los devanados (y del tipo de núcleo) sobre elcorrimiento del neutro queda expresada a través de Z0.

Los resultados expresados por (4.4.29) y (4.4.30) son esencialmente coincidentescon (4.4.13) y (4.4.12), si se tiene en cuenta que entonces se despreció el efectodel flujo de dispersión, incorporado ahora a través de Z1.

Debido a la conexión estrella sin neutro del primario, en las líneas de alimentacióndel transformador no pueden circular las componentes de secuencia cero.

Con las referencias del esquema de conexión de la figura 4.4.1 se tiene que lascomponentes de secuencia de la corriente en el primario están dadas por:

11 Aa II −= , 22 Aa II −= e 00 =aI pu (4.4.31)

Con ellas se calcula las corrientes primarias en cada fase:

A Aaaa IIIII3

22 121 −=−=+= (4.4.32)

A Aaab aa IIIII3

1121

2 ==+= (4.4.33)

A Aaac aa IIIII3

112

21 ==+= . (4.4.34)

Estos resultados concuerdan plenamente con los obtenidos en (4.4.4) a (4.4.6)mediante la aplicación directa de las leyes de Ampere y de Kirchhoff. En ambosanálisis se despreció la corriente magnetizante y con ella la eventual asimetría delcircuito magnético.

4.5 Transformador de n devanados

La teoría clásica del transformador de dos devanados define un esquema deacoplamiento inductivo sobre la base de un flujo común, que enlaza

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Transformador trifásico 4-30

completamente a ambos devanados y sendos flujos de dispersión, que sóloenlazan a sus respectivos devanados. Este esquema lleva al circuito equivalente

T, el que, al despreciar la corriente magnetizante, se reduce a un solo elemento: laimpedancia de cortocircuito.

La extensión de este esquema a transformadores con más de dos devanadosconduciría a los circuitos equivalentes de la figura 4.5.1, donde un transformador de n devanados quedaría descrito por n inductancias de dispersión. Pero, por otraparte, un transformador de n devanados está caracterizado por n(n-1)/2impedancias de cortocircuito entre dos devanados, determinables en formaexperimental, lo que requiere un circuito equivalente de n nodos y n(n-1)/2elementos. Este circuito equivalente tiene la forma de un polígono completo,formado por n nodos, conectados por elementos ubicados en los lados y en las

diagonales. Salvo para n=3, los polígonos no pueden ser convertidos en estrellasequivalentes3. De las figuras 4.5.1 y 4.5.2 se aprecia que para n>3 los circuitosequivalentes basados en el esquema de acoplamiento inductivo con un flujocomún y flujos de dispersión no disponen de los elementos suficientes para poder representar los ensayos de cortocircuito, por lo que deben ser descartados.

Un circuito equivalenteen la forma de unpolígono completo, sibien satisface elnúmero de grados de

libertad necesario parala representacióncircuital deltransformador de ndevanados, tiene elinconveniente que susparámetros sólopueden ser determinados a partir

de mediciones en el transformador terminado. No pueden ser obtenidos a

partir de las dimensiones geométricasdel transformador y por lo tanto nopermiten determinar las característicasde funcionamiento del transformador durante su fase de diseño.

Este inconveniente es superado por uncircuito equivalente obtenido a partir del campo resultante en la ventana

3 ver 4.5.6 Apéndice: “Transformación de redes”

1

33

22 211

4

Figura 4.5.2 Circuitos equivalentes del tipo “polígono completo”

n=2 n=3 n=4

1 1

2

2 3

2

1 3

4

Figura 4.5.1 Circuitos equivalentes resultantes dela extensión del esquema deacoplamiento inductivo usado para el transformador de dos devanados

n=2 n=4n=3

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Transformador trifásico 4-31

producido por la totalidad de las corrientes, a desarrollarse en los párrafossiguientes.4

4.5.1 Las ideas básicas del método aplicadas al transformador de dosdevanados.

Sea la ventana de un transformador con dos devanados cilíndricos concéntricosde ancho despreciable. Las referencias positivas para flujos y corrientes sean lasindicadas en la figura 4.5.3.

Considérese ahora unatensión sinusoidal V10

aplicada al devanadointerior (1), ubicado junto ala columna. El flujo devacío 0 es idéntico con elflujo en la columna c yestá atrasado respecto aV10 en 90º. El flujo en lacolumna esté dirigidoespacialmente hacia arribacuando temporalmentealcanza su valor máximo

positivo. La corrientemagnetizante seadespreciable.

Al conectar una carga a losterminales del devanado 2,circularán corrientes por ambos devanados. Lascorrespondientes fmms,iguales y opuestas,producirán el flujo de

dispersión σ en el espaciocilíndrico entre los dosdevanados. Su fasecoincide con la de una delas dos corrientes.

Para determinar la fase del flujo de dispersión, supóngase al devanado exterior (2)cortocircuitado. Como, con las simplificaciones supuestas, el flujo 0, forzado por la tensión aplicada, permanece inalterado, el flujo σ (figura 4.5.4) debe tener

4 K.Schlosser, BBC Nachrichten März 1963, pgs. 107-132

Φσ

Φc

0= c

V10=V20

1 2

x x

Figura 4.5.3 Esquema de un transformador de dosdevanados, indicando las referencias

positivas para flujos y corrientes

Φσ

Φc

0= c

V10=V20

1 2

x x

Figura 4.5.4 Esquema de los flujos y el diagramafasorial correspondiente a cortocircuito

( Ψ 2 =0)

σ

I1ccI’2cc

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Transformador trifásico 4-32

necesariamente sentido opuesto a 0, yaque el cortocircuito (V2=0) fuerza que el

flujo total enlazado por el devanado 2 seanulo. Ahora, si los flujos 0 y σ tienenespacialmente sentidos opuestos, loscorrespondientes fasores deben estar enoposición de fase. En consecuencia, el flujo

σ debe asociarse a la corriente I2.

Para una condición de carga cualquiera, latensión V’2 se obtiene sumandofasorialmente la tensión inducida por el flujode dispersión σ en el devanado 2,

adelantada en 90º a la corriente I2, con latensión V10, inducida por el flujo 0 en esedevanado, como se ilustra en la figura4.5.5.

Parece natural y lógico extender la suma(superposición) de las tensiones también a

las causas de estas, los flujos, y considerar que la tensión V2 es inducida por elflujo resultante formado por 0 y σ. Paraello debe imponerse que los flujos secierren hacia el exterior de la bobina 2,

como se indica en la figura 4.5.6. Estaexigencia es perfectamente admisible, yaque ambos flujos son respectivamente,en la columna y en la ventana,componentes idénticas con el flujoresultante.

Las reflexiones anteriores mantienen enlo esencial su validez si se relaja larestricción inicial relativa al anchodespreciable de las bobinas.

Cuando las bobinas tienen un ancho radial finito el flujo de dispersión tambiénenlaza parcialmente a la bobina 1 e induce en ella la tensión Vσ1, la que fuerza unavariación del flujo en la columna c, determinado por la diferencia entre V10 y Vσ1.

Para el desarrollo sistemático de un modelo para el transformador resultaconveniente descomponer el flujo de dispersión en componentes parcialesasociadas a volúmenes específicos de la región formada por las bobinas y elespacio entre ellas, como lo muestra el esquema de la figura 4.5.7. Así el flujocomponente que ocupa el volumen correspondiente a la bobina interior (1) enlazaparcialmente las espiras de esa bobina y totalmente a la bobina exterior (2). El

Φσ

Φc

1 2

x x

Figura 4.5.6 Flujos en la ventana y enla columna como partesdel flujo resultante

Φy

0= c

σ

y

V10=V’20

I1

V

I’2

Figura 4.5.5 Diagrama fasorial para tensiones y flujos

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Transformador trifásico 4-33

flujo parcial en el espacio entre lasdos bobinas enlaza todas las vueltas

del devanado exterior y ninguna deldevanado interior. El flujo parcial enel volumen ocupado por la bobinaexterior enlaza parcialmente lasespiras de ese devanado y no enlazaal devanado interior.

Para el cálculo de los enlaces de flujoparciales se supone que el fierro esde permeabilidad infinita, que laslíneas de flujo son paralelas al eje de

la columna y que la corriente sedistribuye homogéneamente sobre lasección de la bobina. La aplicaciónde la Ley de Ampere a lo largo de uncamino de integración cerrado comoel indicado en la figura 4.5.7 permiteconcluir que la distribución de fmm alo ancho de la ventana estrapezoidal.

Con las denominaciones y

referencias de la figura 4.5.7 sedetermina que la intensidad delcampo magnético en el volumenocupado por la bobina 1 está dadapor:

1

1111

a

x

b

i N H −= . (4.5.1)

El elemento diferencial de flujo

11101 dx l H d mµ= , (4.5.2)

donde, para simplificar, para el elemento de área se ha considerado un largopromedio de las espiras de la bobina 1, abraza a

1

1111

a

x aN N x

−= vueltas, (4.5.3)

por lo que el flujo enlazado por la bobina interior vale:

1 2

Φc

a2a1

b

x1

x2

fmm H

Figura 4.5.7 Esquema de los devanadosy referencias para el cálculo de losenlaces de flujo parciales

H

∼dΦ1

dx1

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Transformador trifásico 4-34

( )∫ −µ−=ψ1

0

11111212

1

1011

a

m dx x a x i N ab

l (4.5.4)

11

1112

11

011 66i

aK i

aN

b

l m −=µ−=ψ . (4.5.5)

En forma análoga se logra para la bobina 2

2

2222

a

x

b

i N H = , (4.5.6)

22202 dx l H d mµ= , (4.5.7)

2

222

a x N N x = , (4.5.8)

con lo que se calcula el enlace de flujo parcial correspondiente a esa bobina como:

∫µ=ψ2a

0

2222

222

2

2m022 dxxiN

ab

l(4.5.9)

22

2222

22m

022 i3

aKi

3

aN

b

l′=µ=ψ . (4.5.10)

En el volumen entre las dos bobinas la intensidad del campo magnético esconstante y vale:

b

i N H 22=δ . (4.5.11)

El flujo que entra al yugo desde el espacio entre las bobinas

120 δµ= δδ ml H (4.5.12)

abraza a todas las vueltas del devanado exterior, por lo que el correspondienteenlace de flujo parcial es

212212220 i K i N

b

l m δ′=δµ=ψ δ . (4.5.13)

El flujo que penetra al yugo desde el espacio ocupado por la bobina interior 1

( )11

110 2

al aH

mµ= (4.5.14)

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Transformador trifásico 4-35

también enlaza todas las vueltas del devanado exterior 2 y el correspondienteenlace de flujo parcial es

11

1

211

121

1021 22

i a

N

N K i

aN N

b

l m −=µ−=ψ . (4.5.15)

Al sumar estos enlaces de flujo parciales para los respectivos devanados seobtiene el correspondiente enlace de flujo total.

Así, el flujo enlazado por el devanado interior 1 vale

11

111

6

i a

K N c −=ψ , (4.5.16)

mientras que la bobina exterior 2 enlaza el flujo

22

221211

1

2122 32

i a

K i K i a

N

N K N c

′+δ′+−=ψ , (4.5.17)

que referido bobina interior de N1 vueltas toma la forma

12

211211

11c2 i3

aKiKi

2

aKN −δ−−Φ=ψ′ , (4.5.18)

si se considera que 02211

=+ N i N i .

La diferencia 12

2121

11

121 326i

aK K

aK

aK

+δ++−=ψ′−ψ (4.5.19)

se anota como

112211

1221 3i Li

aK aK K σ=

++δ=ψ′−ψ (4.5.20)

y representa la pérdida de enlace de flujo. La inductancia Lσ corresponde a lainductancia de dispersión total.

Si, como es usual, se introduce el perímetro medio “promedio” de los tres cilindrosen las expresiones para K, K1 y K2 , la expresión para la inductancia de dispersión,o de cortocircuito, toma la forma de la fórmula clásica de Kapp:

++δµ=σ 3

2112

210

aa

b

l N L m . (4.5.21)

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Transformador trifásico 4-36

4.5.2 Generalización para transformadores de n devanados

Las ideas desarrolladas en el párrafo anterior para el transformador de dosdevanados pueden ser generalizadas para incluir cualquier número de devanados.Para ello se procede convenientemente en la forma que se indica a continuación.

1. Todos los devanados se consideran reemplazados por devanadosequivalentes de N1 vueltas por los que circulan las corrientes equivalentes

i i

i i N

N i

1

=′ (i= 2,3,4,…,n). (4.5.22)

2. Se desprecia la corriente magnetizante, con lo que se cumple que

01

=′∑=

n

i

i i (4.5.23)

3. Estas idealizaciones permiten concebir la distribución de fmm resultante enuna ventana como la superposición de las fmms de n(n-1)/2 combinacionesde a dos devanados, como se ilustra en la figura 4.5.8. Para ello se suponeque la corriente equivalente en cada devanado es la suma de (n-1)componentes ficticias, una para cada combinación de a dos que involucre aese devanado. Así, para n=4 se tiene que

1413121 i i i i ++=

2423122 i i i i ++−=′ (4.5.24)

3423133 i i i i +−−=′

3424144 i i i i −−−=′

Los signos de las componentes ficticias se fijan en relación con lascomponentes de la bobina interior 1, consideradas positivas, teniendo encuenta que i jk= -ikj.

4. Ahora se procede a determinar los enlaces de flujo de cada devanado,considerando que cada par de corrientes ficticias i jk= -ikj aporta enlaces deflujo parciales similares a los determinados en el párrafo anterior para eltransformador de dos devanados. Es importante destacar que la bobina de

referencia 1 es la más próxima a la columna y que el flujo que penetra alyugo desde la ventana se cierra “hacia afuera”, alejándose de la columna.

Para los enlaces de flujo parciales debidos a la corriente en el propiodevanado, cuando esta produce fmms crecientes al avanzar desde la bobinainterior 1 hacia las exteriores, se había obtenido (4.5.5)

ij i

i i a

K 6

−=ψ + (4.5.25)

con 210 N

b

l K mi

i µ= . (4.5.26)

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Transformador trifásico 4-37

Para los enlaces de flujo parciales debidos a la corriente en el propiodevanado, cuando esta produce fmms decrecientes al avanzar desde la

bobina interior 1 hacia las exteriores, se había obtenido (4.5.10)ij

i i i a

K 3

−=ψ − (4.5.27)

Para el flujo neto que entra al yugo desde la bobina i se había obtenido(4.5.15)

ij i i

i i a

N

K

21

−= (4.5.28)

y para el flujo que entra al yugo desde el espacio entre dos bobinas se habíaobtenido (4.5.13)

ij i i i

N

K δ−=δ

1

. (4.5.29)

Con estos elementos se calcula el enlace de flujo ψ’i de cada devanadoequivalente de N1 vueltas.

Para ilustrar la aplicación del procedimiento considérese el transformador decuatro devanados y las denominaciones correspondientes de la figura 4.5.8.

El devanado interior 1 enlaza al flujo de la columna y además posee tres enlacesde flujo parciales del tipo ψ+, por lo que el enlace de flujo resultante es

( )1413121

11 6i i i

aK c ++−ψ=ψ (4.5.30)

el enlace de flujo resultante de la bobina 2 es

Φc

12

13

14

34

24

23

Φy

H

a1

1 32 4

Figura 4.5.8 Esquema de las fmms parciales para un

transformador de cuatro devanados (n=4)

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Transformador trifásico 4-38

El devanado 2 enlaza al flujo de la columna, tres flujos del tipo Φi y tres flujos deltipo Φδ producidos por las corrientes en el devanado 1, además posee cuatro

enlaces de flujo parciales del tipo ψ+ y tres enlaces de flujo parciales del tipo ψ-,según se desprende de las superposiciones de fmm de la figura 4.5.8, por lo que

( ) ( )242314132

21413122

2111

12 632i i i i

aK i i i

aK K

aK c +++−++

+δ+−ψ=ψ′ (4.5.31)

El devanado 3 enlaza al flujo de la columna, tres flujos del tipo Φi y tres flujos deltipo Φδ producidos por las corrientes en el devanado 1, siete flujos del tipo Φi producidos por las corrientes del devanado 2, cuatro flujos del tipo Φδ producidospor las corrientes en el devanado 2 en el espacio de ancho δ2, además posee tres

enlaces de flujo parciales del tipo ψ+ y cuatro enlaces de flujo parciales del tipo ψ-,según se desprende de las superposiciones de fmm de la figura 4.5.8, por lo queel enlace de flujo resultante de la bobina 3 es

( )

( )

( )3424143

3

242314133

3222

2

1413122

2111

13

6

32

22

i i i a

K

i i i i a

K K a

K

i i i a

K K a

K c

++−

+++

+δ+−

++

+δ+−ψ=ψ′

(4.5.32)

En forma análoga se obtiene el enlace de flujo resultante para la bobina 4

( )

( )

( )3424144

4333

3

242314133

3222

2

1413122

2111

14

32

22

22

i i i a

K K a

K

i i i i a

K K a

K

i i i a

K K a

K c

++

+δ+−

+++

+δ+−

++

+δ+−ψ=ψ′

(4.5.33)

Resulta conveniente definir las siguientes inductancias

6i

i i ,vi

aK L = y

221

11+

++ +

δ+= i

i i i

i i ,vi

aK

aK L (4.5.34)

y reescribir las relaciones para los enlaces de flujo en términos de las corrientesequivalentes de las bobinas utilizando las relaciones (4.5.24).

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Transformador trifásico 4-39

Se logra

1111 i Lv c −ψ=ψ

2221122 i Li L v v c ′−−ψ=ψ′ (4.5.35)

( ) 33321231123 i Li i Li L v v v c ′−′+−−ψ=ψ′

( ) ( ) 4443213421231124 i Li i i Li i Li L v v v v c ′−′+′+−′+−−ψ=ψ′ .

Con estos enlaces de flujo y las resistencias referidas al devanado de N 1 vueltas:

i

2

i

1i RN

NR

=′ (4.5.36)

se plantea las ecuaciones de equilibrio para los devanados

dt

d i R v i i i i

ψ′+′′= (i= 1,2,3,4) (4.5.37)

4.5.3 Circuito equivalente

De la estructura de las relaciones

(4.5.35) para los enlaces de flujo sedesprende el circuito equivalenterepresentado en la figura 4.5.9, cuyageneralización para n devanados esinmediata.

La utilidad práctica de un circuitoequivalente depende en gran medidade la posibilidad de determinar losparámetros involucrados en él.

El circuito equivalente de la figura4.5.9 tiene la ventaja que susparámetros pueden ser calculados apartir de la geometría de las bobinas,por lo que las características defuncionamiento del transformador pueden ser determinados conanterioridad a su construcción.Sin embargo, también existe el deseo de verificar el valor de los parámetros apartir de las n(n-1)/2 mediciones de cortocircuito posibles. Esto no puedecumplirse en el presente caso, ya que de las (2n-1) inductancias incógnitas sólo es

dψc/dt

dΦy/dt

v1

v’4

v’3

v’2

i’4

i1

i’2

i’3

-Lv44

Lv34

-Lv11

-Lv22

-Lv33

Lv12

Lv23

R1

R’2

R’4

R’3

Figura 4.5.9 Circuito equivalente para un transformador decuatro devanados (n=4)

A

B

D

C

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Transformador trifásico 4-40

posible determinar (2n-3). La separación delas combinaciones (-Lv11+Lv12) y (-Lv44+Lv34)

sólo es posible si se recurre además abobinas exploratorias ubicadasconvenientemente para determinar lastensiones dΦc/dt y dΦy/dt.

El hecho que las tensiones en los nodosinteriores (A, B, C ,D) sean proporcionales alflujo en el yugo en las coordenadas radialescorrespondientes le da a este circuitoequivalente una interesante potencialidad a lahora de analizar el comportamiento interior

del transformador bajo diferentes condicionesde carga y de falla.Las transformaciones estella-polígonoilustradas en la figura 4.5.10 reflejan laequivalencia con el polígono completo y, por lo tanto, la capacidad del circuito equivalentede representar correctamente las relacionesentre las variables de terminales deltransformador.

4.5.4 Transformador de tres devanados

Para obtener un modelo circuital del transformador de tres devanados podríarecurrirse en principio a diferentes procedimientos, ya que normalmente latransformación estrella – triángulo es reversible.

Desde el punto de vista de la teoría del transformador de n devanados el circuitoequivalente se reduce al circuito estrella de la figura 4.5.11.

Considérese ahora las inductancias de cortocircuito entre dos devanados, con el

tercero abierto. Así, para la inductancia de cortocircuito entre los devanados 1 y 2se obtiene

22111212 v v v LLLL −−=σ (4.5.38)

++δ≈+

δ+=σ 333

21112

221

1112

aaK

aK

aK L

++δµ≈σ 3

211

1221012

aa

b

l N L m , (4.5.39)

1

1

1

1

2

2

2

2 3

3

3

3

4

4

4

4

x y

y

y

x

Figura 4.5.10 Transformaciónestrella-polígono completodel circuito equivalente

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Transformador trifásico 4-41

para la inductancia de cortocircuito entre los devanados 1 y 3,

3311231213 v v v v LLLLL −−+=σ (4.5.40)

+++δ+δµ≈σ 3

21221

1321013

aaa

b

l N L m (4.5.41)

y para la inductancia de cortocircuito entre los devanados 2 y 3,

33222323 v v v LLLL −−=σ (4.5.42)

++δµ≈σ 3

322

2321023

aa

b

l N L m . (4.5.43)

Se aprecia que al introducir el largo medio de las respectivas estructurascilíndricas concéntricas las expresiones (4.5.39), (4.5.41) y (4.5.43) toman la formade la fórmula de Kapp para los correspondientes transformadores de dosdevanados.

La teoría clásica y la teoría sistémica del transformador de tres devanadostambién conducen a un circuito equivalente estrella, cuyos elementos Lσ1, Lσ2 yLσ3, sin embargo, deben ser obtenidos a partir de las tres inductancias decortocircuito:

( )2313121 21 σσσσ −+= LLLL (4.5.44)

( )1323122 2

1σσσσ −+= LLLL (4.5.45)

( )1223133 2

1σσσσ −+= LLLL . (4.5.46)

Se puede comprobar que la inductancia Lσ2=-Lv22, asociada al terminal del devanado ubicadoentre el cilindro interior y el cilindro exterior, esrelativamente pequeña, por lo que sueleelegirse el devanado intermedio comodevanado de excitación. De esa manera lastensiones en los otros dos devanados, a losque se conecta las cargas, resultanrelativamente independientes de la corriente enla otra carga.

Las inductancias del circuito equivalente de la figura 4.5.11 están referidos alnúmero de vueltas del devanado interior (1). Generalmente se prefiere trabajar

v1

v’2

v’3

i’2

i’3

i1

-Lv33

Lv23

-Lv11

-Lv22

Lv12

Figura 4.5.11 Circuito equivalente paraun transformador de tres

devanados

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Transformador trifásico 4-42

con valores adimensionales (pu), lo que implica adoptar valores base comunes(bc):

nbc V V 1= nbc P P 1= n

nbc

P

V Z

1

21= (4.5.47)

A diferencia del transformador de dos devanados, en el transformador de tresdevanados las potencias nominales de los tres devanados no son iguales y por regla general estos transformadores son dimensionados de manera que lapotencia nominal del devanado excitado (2) sea igual a la suma algebraica de laspotencias nominales de los otros dos devanados:

312 nnn P P P += . (4.5.48)

En cambio se mantiene la relación entre impedancia de cortocircuito y tensión decortocircuito establecida para el transformador de dos devanados. Las tensionesde cortocircuito y las impedancias de cortocircuito expresadas en por unidad de labase propia del devanado son numéricamente iguales:

[ ][ ][ ]

[ ] [ ][ ]

[ ][ ]

[ ] [ ] puz Z V

P

V V

V V

V V

Z AI

V V

V V puv

n

n

n

n

n

n

n

cc 121221

1

1

1

1

121

1

1212 =′=⋅

′=

′= . (4.5.49)

donde Z’12 es la impedancia de cortocircuito referida al devanado 1.

Al introducir ahora una potencia base común para los tres devanados, cambianlas impedancias base de los devanados en la proporción :

bp

bc

bc

bp

P

P

Z

Z = . (4.5.50)

Para el cambio de base rige:

[ ] [ ][ ]

[ ][ ] [ ]

[ ]VAP

VAP puz

Z

Z puz puz

bp

bc

bpbc

bp

bpbc

== . (4.5.51)

Los datos de placa de un transformador incluyen las tensiones de cortocircuito en%, medidas con la corriente nominal del devanado de menor potencia involucradoen ese cortocircuito. Así, si el devanado 1 es de menor potencia y se realiza elensayo de cortocircuito excitando el devanado 2, se tiene que

[ ][ ][ ]

[ ] [ ]( )[ ][ ]

[ ][ ] [ ] puz Z

V

I

V V

V V

V V Z AI

V V

V V puv

n

n

n

n

nn

n

cc 12121

1

2

1

2121

2

1212 =′=⋅

=′′

= . (4.5.52)

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Transformador trifásico 4-43

4.5.5 Apéndice: Transformación de redes

Con el objeto de simplificar el análisis de ciertas redes puede resultar convenientereemplazar un conjunto de sus componentes por otro, sin que este reemplazo impliqueuna modificación de las distribuciones de tensión y corriente en el resto de la red.En este contexto tiene especial interés la transformación de un conjunto de n elementosque forman una estrella. Esta estrella, interconectada con el resto de la red en n nodos,siempre puede ser reemplazado por un polígono completo de n lados, formado por latotalidad de las líneas que pueden trazarse desde cada vértice a los otros vértices y tieneun total de n(n-1)/2 lados. Los elementos correspondientes a estos lados pueden ser determinados unívocamente en términos de los elementos de la estrella.

Para ello considérese la estrella de n-1 ramas de la figura A1, separada del resto delcircuito, representado por las n-1 corrientes ik. Sean yk las admitancias de las ramas y vk

las tensiones de los nodos respecto a un nodo de referencia no especificado.

De acuerdo con Kirchhoff se tiene que

=

−−−−

0

i

i

i

i

v

v

v

v

v

yyyyy

yy

yy

yy

yy

4

3

2

1

n

4

3

2

1

n4321

44

33

22

11

Para eliminar el nodo n se particiona las matrices

=

0vy nn

t

IV

Y

YDdonde ∑

=1n

1kn yy

y se desarrolla el producto con lo que se logran dosecuaciones

I YDV =+ nv y 0vy nnt =+V Y

de las que se elimina vn , obteniendo finalmente

IV YYD =

− t

ny

1

la matriz de admitancias

−= t

np y

1 YYD Y es completa

y corresponde al polígono equivalente a la estrella de la figura A2.

i1

in-1

i4

i3

i21 2

3

4

n-1

Figura A2

i1

in-1

i4

i3

i2

1 2

3

4

n-1n

Figura A1

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Transformador trifásico 4-44

4.6 El autotransformador

4.6.1 Peso, potencia y pérdidas

La interconexión galvánica de los devanados de un transformador de acuerdo conel esquema de la figura 4.6.1 permite aumentar significativamente la potenciatransferida desde un nivel de tensión a otro nivel de tensión, en comparación conla que sería posible transferir con un transformador común con igual peso de suspartes activas (devanado y núcleo). Esta característica ha convertido alautotransformador en un elemento importante, tanto en los sistemas de potenciacomo en el rango de las potencias pequeñas.

Para apreciar esta característica fundamental del autotransformador, considéreseel esquema de conexión y las denominaciones y referencias de la figura 4.6.1. Laspérdidas sean despreciables y el circuito magnético sea ideal.

Entonces se tiene que de la potenciatransferida total

∗∗ −== AT AT BT BT t IVIVS (4.6.1)

sólo la fracción

∗∗ −== AT s pBT i IVIVS (4.6.2)

es transferida inductivamente.

Con las restricciones:

p AT BT III =+ (Kirchhoff) (4.6.3)

y0=+ p ps AT N N II (Ampere) (4.6.4)

se tiene queBT

p

t

BT

BT pBT i I

IS

I

IIVS ==

∗∗

s p

st i

N N

N SS

+== . (4.6.5)

Por otro lado, las leyes de crecimiento determinan que el peso G es proporcionalal cubo de las dimensiones lineales, mientras que la potencia aparente S de untransformador es proporcional a la cuarta potencia de las dimensiones lineales,por lo que 4

3

SG ∼ . En consecuencia , para transferir la misma potencia St, los

VBT

IBTVs

Vp

V AT

Ip

I AT

Figura 4.6.1 Esquema de conexióndel autotransformador

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Transformador trifásico 4-46

Como 122 N N AT II ′= (4.6.9)

se tiene que2

211

N N N

BT += II (4.6.10)

y como

( )( ) ccT v v v X X X j R R ZIIVV 112221121112 −=+−−+′+−=−′ (4.6.11)

se tiene de (4.6.7) y (4.6.10) que

ccT BT AT N N

N

N

N

N

N N

N

N ZIVVVV

21

2

1

21

1

21

1

221 +

−+

=′+= , (4.6.12)

donde ZccT representa la impedancia de cortocircuito del transformador, referida aldevanado de N1 vueltas.

Multiplicando esta última relación por 21

1

N N

N

+se obtiene finalmente

ccAT BT ccT BT BT AT N N

N ZIZIVV −=

+−=−′

2

21

2 . (4.6.13)

Se aprecia que al cortocircuitar el devanado de alta tensión (V AT=0) la impedanciade cortocircuito como autotransformador, vista desde los terminales de baja

tensión, se reduce a

ccT ccAT N N

N ZZ

2

21

2

+= . (4.6.14)

En cambio, si se cortocircuita el devanado de baja tensión (VBT=0) la impedanciade cortocircuito visto desde el devanado de alta tensión vale

ccT ccAT N

N ZZ

2

1

2

= (4.6.15)

La reducción de la impedancia de cortocircuito y el consiguiente aumento de lacorriente de cortocircuito y de los esfuerzos mecánicos sobre las bobinasasociadas a esta es una desventaja del autotransformador.

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Transformador trifásico 4-47

4.7 Esfuerzos mecánicos

La figura 4.7.1 muestra un modelo bidimensional para el flujo en el aire de untransformador de dos devanados que refleja cualitativamente la influencia delnúcleo, soportes de las bobinas y paredes del estanque sobre la distribuciónespacial del campo magnético.

Se aprecia que las espiras queforman las bobinas, y por las cualescirculan corrientes, deben estar expuestas a fuerzas de origenelectromagnético (Lorentz), cuyadirección es tal, que tienden a

producir desplazamientos queimpliquen un aumento de la energíaacumulada en el campo magnético.

Para visualizar en primeraaproximación el efecto de las fuerzas,se las puede considerar comoelectrodinámicas, con corrientesequivalentes (iguales y opuestas)concentradas en los centros degravedad de las bobinas, de donde se

aprecia que la magnitud de lasfuerzas es proporcional al cuadradode la corriente equivalente y que sudirección es radial. Su valor esmáximo en cortocircuito y puede ser de magnitud tal que produce elcolapso de la estructura mecánica dela bobina.

Un estudio algo más detallado, quepermite obtener expresiones

analíticas para los esfuerzosmecánicos como función de lageometría de las bobinas, modela el

campo en el aire de la figura 4.7.1 mediante componentes axiales y radiales quepermiten formular expresiones para la energía magnética. A partir de estas selogra mediante la aplicación del principio de los trabajos virtuales las expresionespara las fuerzas radial y axial respectivamente.

Para soluciones numéricas más exactas se puede recurrir a programascomputacionales basados en el método de los elementos finitos, que no

Figura 4.7.1 Distribución del campo encortocircuito

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Transformador trifásico 4-49

donde Bδ es la inducción del campo axial en el espacio entre las dos bobinas.

Del diagrama del cuerpo libre de la figura 4.7.2 se concluye que la fuerza detracción Ft que debe resistir la sección de cobre Acu de la bobina exterior vale

r 0

r

2

0

r t p2

ApRbdRbpF

π==ϑϑ= ∫

π

sen , (4.7.6)

de donde se desprende que el esfuerzo de tracción σt al que está sometido elcobre está dado por la relación:

r cu

0t p

A A

21π

=σ . (4.7.7)

Para evitar la deformación permanente de la bobina, este esfuerzo debe ser menor que el límite de fluencia (rango de validez de la Ley de Hooke), que para elcobre recocido es de 70N/mm2.

La bobina interior está solicitada a compresión, lo que implica que los conductoresapoyados en espaciadores sufren esfuerzos de flexión.

4.7.2 Fuerzas axiales de contracción

De la distribución de las líneas de fuerza del modelo de la figura 4.7.1 sedesprende que el campo posee tanto una componente axial, orientadaparalelamente al eje de las bobinas, como también una componente radial, cuyamagnitud aumenta en las zonas extremas de las bobinas. Esta última componentedel campo da lugar a fuerzas axiales que tienden a comprimir las bobinas, fuerzasconsiderablemente menores que la fuerza radial, que sin embargo pueden dar lugar a presiones específicas elevadas.

Para incluir el efecto de la componente radial del campo en las expresionesanalíticas para la energía del campo y la correspondiente inductancia se recurre alfactor de Rogowski K, que expresa la razón entre la altura de la bobina y lalongitud (ficticia) de las líneas de fuerza en el aire.Sea a=δ+a1+a2 la distancia radial entre el manto interior del cilindro interior y elmanto exterior del cilindro exterior. Si δ<a/2 y a/b<2 se tiene que

π−=

π−

a

b

e1b

a1K , (4.7.8)

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Transformador trifásico 4-50

expresión que para a/πb<0,3 se reduce a

b

a1K

π−≈ . (4.7.9)

La inductancia de cortocircuito corregida para incluir el efecto de la componenteradial del campo toma la forma

21

21m0 N

3

aa

b

lKL

++δµ=σ . (4.7.10)

Al reemplazar esta expresión en (4.7.1) y aplicar el principio de los trabajosvirtuales para un desplazamiento virtual axial se logra para la fuerza decontracción axial:

( )( )2

1121

2m

0c iN3

aa

b

l

2

1K2

db

dWF

++δµ

−−== σ . (4.7.11)

Para formarse una idea de la magnitud relativa de la fuerza de contracción,considérese el cuociente

( )1K2b3

a2

F

F

r

c −+δ

−= . (4.7.12)

Como la expresión entre paréntesis cuadrados es del orden de 0,05 y K≈1, setiene que la fuerza de contracción axial es del orden de un 5% de la fuerza radial.

Sin embargo, las presiones, o fuerzas por unidad de superficie, resultan ser delmismo orden, ya que las áreas de las bases anulares de los cilindros huecos sonmucho menores que las áreas de los mantos de estos cilindros.

As fuerzas de contracción se reparten en forma desigual entre los dos cilindros,

correspondiéndole al cilindro interior aproximadamente el 70% de la fuerza decontracción total y al cilindro exterior el 30%.

4.7.3 Fuerzas axiales debidas a asimetrías.

Considérese ahora el caso en que la longitud axial de los dos cilindros no es igual.Esta situación puede producirse cuando uno de los devanados es provisto dederivaciones (“taps”), que permiten que una parte del devanado sea desconectado

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Transformador trifásico 4-51

con el objeto de variar la relación de transformación. La figura 4.7.3 muestraesquemáticamente esta situación y su descomposición en dos grupos ficticios que

producen respectivamente flujo axial y flujo radial.

Dada la ortogonalidad de las componentes del campo, se tiene que 2r

2a

2 HHH += ,

por lo que la densidad de energía del campo resultante

2r 0

2a0

20 H

2

1H

2

1H

2

1w µ+µ=µ=σ (4.7.13)

es igual a la suma de las densidades de energía de los campos componentes.Integrando (4.7.13) sobre el volumen ocupado por el conjunto de bobinas se logra

21r

21a iL

2

1iL

2

1W σσσ += , (4.7.14)

apreciándose que como consecuencia de la asimetría aparece una inductancia dedispersión adicional. Así mismo, el campo radial causa una fuerza axial, quepuede calcularse a partir de la variación de la energía asociada al campo radialdebida a un desplazamiento virtual en dirección axial.

Con las denominaciones y referencias de la figura 4.7.3 la energía asociada alcampo radial se calcula como

∫ ′′µ=σ

b

0

m2r 0r dxlaH

2

1W (4.7.15)

di

b

a

r

N1 i1b

1- b

1- N1i1

g

x x

Ba

xηN1i1

x

Br

a’ = b/πn + a/2 + g

a’

Figura 4.7.3 Descomposición de la excitaciónmagnética en el caso de diferenteslongitudes axiales de las bobinas

= +

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Transformador trifásico 4-52

con g2

a

n

ba ++

π=′ (4.7.16)

y ( )π′+=′ adl im , (4.7.17)

donde n indica el número de grupos de dispersión radial. Cuando las derivacionesestán ubicadas en un extremo del cilindro n=1. Cuando las derivaciones estánubicadas en ambos extremos del cilindro o en su centro n=2.

De la evaluación de (4.7.15) para la distribución de Hr indicada en la figura 4.7.3se logra

212122m0r iNna

bl

6

1W η′

′µ=σ (4.7.18)

de donde se desprende que la inductancia Lσr vale

21

22

m02

1

r r N

na

bl

3

1

i

W2L η

′µ== σ

σ (4.7.19)

y que la fuerza axial está dada por la expresión

21212m0r a iNna bl31ddWF η′

′µ=η= σ . (4.7.20)

El sentido de la fuerza es tal que tiende a aumentar la asimetría y su magnitud esdirectamente proporcional a la asimetría. Si en el caso de un cortocircuito sellegase a producir un desplazamiento de los devanados, el cortocircuito siguientepodría producir su colapso. De ahí la importancia de precomprimir el devanadodurante el proceso de fabricación y mantener posteriormente esa presión.

4.8 Dimensionamiento

El problema de determinar la potencia, las pérdidas, el rendimiento, la tensión decortocircuito o el calentamiento de un transformador caracterizado por susdimensiones, material y cargas específicas se conoce como análisis y tiene unasolución única.En cambio, el problema inverso de determinar la geometría de un transformador que satisfaga requerimientos específicos de potencia, rendimiento y tensión decortocircuito admite muchas soluciones, caracterizadas, entre otros aspectos, por su costo.

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Transformador trifásico 4-53

Desde el punto de vista ingenieril, el diseño óptimo es aquel que, satisfaciendotodas las especificaciones, tiene un costo mínimo. El costo debe considerar tanto

el costo de construcción (materiales, mano de obra, gastos generales) como elcosto de las pérdidas (valorizadas durante el período de amortización).La optimización de un diseño no puede ser enfocada como un mero problemamatemático ya que muchas variables son discretas (número de vueltas, seccionesnormalizadas de conductores, dimensiones de chapas – para mantener unaexistencia reducida -, etc.) y porque hay constantes, como el factor de relleno de laventana, que realmente no lo son.

En la práctica se han optimizado problemas parciales sobre la base de modelossimplificados, obteniendo reglas como: “las pérdidas de cobre serán mínimas sise reparten igualitariamente entre primario y secundario” o “el costo será mínimo si

el peso del fierro de las columnas es igual al peso del fierro de los yugos” o “en eldiseño más favorable el costo del núcleo es igual al costo de las bobinas”. Estasreglas tienen un carácter orientador al tomar decisiones en un primer diseño, yaque se parte de la base que varias desviaciones menores del respectivo valor óptimo inciden en menor medida en el resultado final que una desviación grande.

En los párrafos siguientes se presenta una forma posible de enfrentar el diseño delnúcleo de un transformador a partir de relaciones fundamentales y algunas“reglas”, sin entrar en los detalles de un proceso necesariamente iterativo, el quepodría desarrollarse de acuerdo con el diagrama de flujo indicado en el Apéndice.Sólo se pretende mostrar la naturaleza del problema y la relación entre la potencia

de un transformador y su geometría.

4.8.1 Leyes de crecimiento

En el proceso de diseño es de gran utilidad saber como varían los parámetros ycaracterísticas de un transformador semejante a uno conocido, que tiene lasmismas cargas específicas B y j, pero cuyas dimensiones lineales sean x veceslas del transformador de referencia.

Se establece que, con inducción B y frecuencia f constantes, la “tensión por

vuelta”

feSBf ,f ,N

V 444444 =Φ= ∼ x2 (4.8.1)

varía con el cuadrado de las dimensiones lineales.

En términos de la sección neta de cobre en una columna Scu y de la densidad decorriente j la fmm de las bobinas sobre las columnas está dada por

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Transformador trifásico 4-54

2cuS

j IN F == ∼ x2 (4.8.2)

y varía con el cuadrado de las dimensiones lineales.

La potencia aparente por columna

2444444 cu

fe

SS j Bf ,F f ,I V S =Φ== ∼ x4 (4.8.3)

varía con la cuarta potencia de las dimensiones lineales.

El peso del material activo (chapas, cobre)V G γ= ∼x3 (4.8.4)

varía con el cubo de las dimensiones lineales, lo que implica que

G ∼ 4

3

S , (4.8.5)

es decir, que el peso crece más lentamente que la potencia aparente, por lo quetransformadores grandes son relativamente más baratos.

Con pérdidas específicas (pfe, pcu) constantes, las pérdidas totales

cucufefecufe p V pV pP P P +=+= ∼ x3 (4.8.6)

varían con el cubo de las dimensiones lineales. En consecuencia,transformadores grandes exhibirán rendimientos más elevados

x

k kx x

x

P P

P

p +=

+=

+=η

1

134

4

(4.8.7)

El mecanismo de transferencia de calor principal es la convección a través de lasuperficie S, cuya eficacia se caracteriza mediante la “resistencia térmica”definida como

SR T α

=1

∼ x-2 (4.8.8)

Como las pérdidas varían con x3 y el salto de temperatura entre la superficie y elmedio refrigerante está dado por

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Transformador trifásico 4-55

pT P R T =∆ , (4.8.9)

se aprecia que es necesario aumentar la superficie de transferencia de calor conmedidas especiales (estanques corrugados, radiadores) para evitar que con elaumento de la potencia también aumente el salto de temperatura.

Las inductancias de dispersión de las bobinas en forma de cilindros concéntricos

++δµ=σ 3

21210

aa

b

l N L m ∼ x (4.8.10)

crecen linealmente con las dimensiones lineales, por lo que en transformadores

grandes debe cambiarse la disposición de los devanados (doblementeconcéntricos) para evitar valores excesivos para la tensión de cortocircuito.

Las resistencias óhmicas varían en relación inversa con las dimensiones lineales,por lo que la razón X/R y la constante de tiempo de cortocircuito varían con elcuadrado de las dimensiones lineales.

4.8.2 Dimensiones principales

Supóngase que se desea determinar las dimensiones principales de un

transformador cuya capacidad, frecuencia, tensiones, pérdidas y tensión decortocircuito están especificadas.

Las cargas específicas B y j sólo pueden variar en un rango estrecho, limitadospor el sistema de refrigeración previsto y por las pérdidas.

La potencia por columna

cufecu

fe SS j Bf ,S

S j Bf ,N I N

V S 222

244411

1

1 === (4.8.11)

fija el producto

j Bf ,

SSS cufe 222

= (4.8.12)

Por otro lado, las restricciones representadas por las pérdidas en el fierro y en elcobre

fefefefefefefe Sl pG pP γ== (4.8.13)

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Transformador trifásico 4-56

cucucucucucucu Sl pG pP γ== (4.8.14)

determinan los volúmenes y pueden ser expresadas como

cufecufe

cufecufe

l l

GGSS

γγ= , (4.8.15)

con lo que se determina que un diseño que satisface los requerimientos de lapotencia y de las pérdidas debe cumplir con

cufe

cufecufe

S

GG j Bf ,l l

γγ=

222(4.8.16)

La descomposición correcta del producto se logra en primera aproximaciónmediante la fórmula empírica.5

cufefe l l l = (4.8.17)

con lo que la sección delnúcleo se calcula como

fefe

fefe

l

GS

γ

= (4.8.18)

y habitualmente toma la formade una sección cruciformeinscrita en una circunferencia(fig. 1.81 ).

El área del círculo y el áreacorrespondiente al fierro estánrelacionados por el factor de

relleno del núcleo, quedepende de la forma de la sección de éste.

rn

fe

f

SS =0 (4.8.19)

5 Alternativamente se usa la fórmula[ ][ ]

[ ]23

3cm

Hz f

VASC Sfe

φ= con 3,5<C<6 [cm2J-1/2], una

constante empírica que se elige tanto más baja, cuanto mayor sea la tensión de cortocircuitorelativa.

hv

ly d0

bv

yugo

columna

ventana

Figura 4.8.1 Vista y planta de un núcleotrifásico

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Transformador trifásico 4-58

de donde se logra

( )( )1

001

cufe

cufe

l l

l l SS = (4.8.26)

Recurriendo a las leyes de crecimiento se ajusta el núcleo a la potenciaespecificada:

4

1

001

S

Shh = , etc... (4.8.27)

4.8.3 Ejemplo numérico

Se desea determinar las dimensiones principales del núcleo de un transformador de norma de 500 kVA, 13.200/400 v, 50 Hz, vcc=5%, conexión delta-estrella.Las pérdidas en el fierro nominales son de 1120W y las pérdidas de cobrenominales son de 5816 W.

Las pérdidas específicas de las chapas medidas en el aparato de Epstein a 1,6Tascienden a 1,25 (W/kg). Las chapas tienen un ancho de 150 mm.

Para determinar las pérdidas específicas es necesario conocer las cargas

específicas. Basado en experiencias anteriores se elige B = 1,7T y j = 2,8A/mm2.

Las pérdidas específicas en el fierro se calculan como

kg / W ,,,

,, pfe 69121

61

71251

2

=

= ,

donde se han corregido las pérdidas medidas en 20%, de acuerdo con laexperiencia.

Las pérdidas específicas en el cobre se determinan como

( )( ) ( )[ ]( ) kg / W ,,,

,, j T pcu

cu 620108210938

20105003920110761201 263

8220 =⋅

⋅−+⋅=

γ−α+ρ= −

El peso del material activo vale en consecuencia

kg , p

P G

cu

cucu 282

620

5816=== y kg

, p

P G

fe

fefe 663

691

1120===

Ahora se puede calcular el producto

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Transformador trifásico 4-59

28401710979387166

827150663282222cm

,,,

,,,l l cufe =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

y determinar la longitud del volumen de fierro como cml l l cufefe 290== .

La sección del núcleo rectangular se calcula como 23

29029097

10663cm

,Sfe =

⋅⋅

= .6

y el ancho del núcleo como cm,,

Sd fe 320

15950=

⋅=

La longitud del yugo sea en primera aproximación cml

l fey 80

4=≥

con lo que la altura de la ventana es ( ) cml l h y fev 43231 =−=

El ancho de la ventana es cm,l

by

v 5172

153=

⋅−=

La superficie de la ventana es cm,bhS v v v 5752==

En la figura 4.8.3 se hasuperpuesto el núcleocalculado y el núcleooptimizado para el mismotransformador. Se aprecia

que la principal diferenciaradica en las columnas, quepara el modelo optimizado sonmás cortas y de mayor sección (Sfe=337,5cm2,C=5,85).

Como la inducción es lamisma en ambos casos, seconcluye que el flujo delmodelo optimizado es mayor,

lo que se refleja en una mayor tensión por espira: 12,15V contra 9,93V.

El aumento del flujo es un poderoso medio para reducir la tensión de cortocircuito:

1I X V x σ= ,

6 Esta sección equivale a la elección de una constante 212

3

53 /

fe J cmP

f SC −

φ

== , valor que

corresponde a una tensión de cortocircuito relativamente baja.

730

665

780

800

430

365

Figura 4.8.3 Comparación del núcleo calculado en primera aproximación con el núcleooptimizado (------)

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Transformador trifásico 4-60

la que referida a la tensión inducida por el flujo mutuo:

mi N f V Φπ= 12

se anota como

mi

x x

N

I L

V

V v

Φ== σ

1

12(pu)

Si se introduce la potencia aparente por columna 1I V S i =

y la expresión 21KN L =σ para la inductancia de dispersión, se logra

2m

x f

SK v

Φπ= (pu),

donde se aprecia que la tensión de cortocircuito relativa disminuyecuadráticamente con el flujo.

Una vez ajustada la tensión de cortocircuito al valor especificado debe controlarsela sobretemperatura en el devanado de baja tensión (interior), la que de acuerdocon la norma IEC no debe exceder de 65ºC.

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Transformador trifásico 4-61

4.8.4 Apéndice: Posible diagrama de flujo para el diseño de un transformador

Selección inicial de la bobina de BT

Determinación de la altura axial de labobina de BT

Determinación del espesor radial de lasbobinas

Control del nivel de aislación a impulso

Control de las pérdidas en el fierro

Control de las pérdidas en el cobrePcu1, Pcu2

Control de la tensión de cortocircuitoXσ

Datos, Especificaciones, Tablas, Limitaciones

Cálculo del núcleo

Selección inicial de la bobina de ATNúmero de vueltas, sección conductores

Diseño de la bobina de AT

Cálculo del número de vueltas en AT, BTy V/N

Determinación de la altura axial de labobina de AT

Determinación de la altura de la ventana

FIN

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ELI-326 Máquinas eléctricas I Ejercicios 1

1 Máquinas Sincrónicas

1.1 Un motor sincrónico de polos salientes posee una reactancia sincrónica en eleje directo xd=1,1pu y una reactancia sincrónica en el eje en cuadraturaxq=0,6pu. La reactancia transitoria en el eje directo es xd’=0,35pu. La máquinaestá conectada a una red de frecuencia y tensión nominales y su excitaciónestá ajustada de manera que la corriente de armadura sea mínima en vacío.

a) Determine el momento sincronizante en vacío. ¿Qué fracción corresponde almomento de reluctancia?

b) ¿Cuál es el momento máximo que el motor puede suministrar en condicionesestacionarias?

c) ¿Cuál es el momento máximo transitorio con que puede ser cargado el motor sin perder el sincronismo? Explique la diferencia con a).

1.2 Una máquina isotrópica está equipada con devanados trifásicos simétricosconectados en estrella tanto en el estator como en el rotor, descritos por lasresistencias por fase R1 y R2 y las inductancias de campo giratorio L1, L2 y L12.

El devanado del rotor está conectado a través de anillos rozantes a una redtrifásica simétrica con tensiones de valor efectivo V2.El devanado del estator está alimentado por una fuente de tensión continua de

valor Vf conectada entre dos de sus terminales. El tercer terminal estáconectado al polo positivo de la fuente.

Plantee las ecuaciones de equilibrio eléctricas en términos de lascomponentes simétricas de los valores instantáneos, referidas a un sistema decoordenadas fijo al estator.Especialice las ecuaciones para el estado sinusoidal estacionario en términosde V2 y Vf .

1.3 Un generador sincrónico de 4,16kV, 50Hz, está caracterizado por los siguientesparámetros:

x1d=0,9pu x1d’=0,3pu x1d”=0,25pux1q=0,5pu x1q”=0,35puTd0=3s Td’=0,8s Td”=0,035s Ta=0,2s.

La máquina funciona en vacío con tensión y frecuencia nominales.En el instante en que el flujo enlazado por la fase a es nulo la máquina escargada bruscamente con un reactor trifásico simétrico de reactancia por fasede 1pu.

Determine la tensión en los terminales de la fase a del reactor:a) inmediatamente después de la conexión de la carga,b) 1s después de la conexión de la carga.

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ELI-326 Máquinas eléctricas I Ejercicios 2

1.4 Para determinar la reactancia de secuencia cero de una máquina sincrónicacuyo devanado del estator está conectado en estrella la norma IEEE Std.115

propone cortocircuitar dos de sus terminales y unir estos con el neutro,impulsarla a velocidad sincrónica, excitarla y medir la corriente en el neutro y latensión entre los terminales cortocircuitados y el tercer terminal abierto.

Demuestre que suponiendo tensiones y corrientes sinusoidales y despreciandoel efecto de las resistencias, la reactancia de secuencia cero corresponde alcuociente entre la tensión y la corriente medidas.¿Qué armónicas espera encontrar en las ondas de tensión y corriente medidas

1.5 Dos generadores sincrónicos iguales de 12MVA, 5kV, 50Hz, Xd=1,1pu,Xq=0,7pu funcionan en paralelo alimentando a una carga pasiva de factor de

potencia 0,8 inductivo. Inicialmente la carga de 10MVA está distribuidaigualitariamente entre los dos generadores, cuya tensión de terminales en esascondiciones es de 5kV.

Actuando solamente sobre los reguladores de velocidad de las máquinasmotrices se transfiere toda la potencia activa a uno de los generadores,manteniendo la frecuencia constante. Determine

a) La tensión en los bornes de la carga.

b) La corriente de armadura compleja de cada generador.

1.6 Un generador sincrónico de 5000kVA, 2000V, 50Hz, 40 polos, conectado enestrella posee las siguientes características de vacío y de cortocircuitorespectivamente:

If /A 25 50 75 100 125 150 175 200 255

V/V 575 1110 1580 1930 2170 2310 2420 2520 2630

If /A 0 50 100 150

I1/A 0 720 1450 2160

Con carga capacitiva pura se midió una corriente de campo de 136 A para una

tensión de línea de 3080V y una corriente de línea de 1440 A. La reactanciaen el eje en cuadratura es igual al 70% de la reactancia sincrónica no saturadaSi la máquina funciona conectada a una red infinita de tensión nominal confactor de potencia 0,8 en adelanto, determine la corriente de campo necesaria.

1.7 Sea un motor sincrónico de polos salientes caracterizado por una reactancia enel eje directo de 0,8pu y una reactancia en el eje en cuadratura de 0,5pu. Laspérdidas sean despreciables.

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ELI-326 Máquinas eléctricas I Ejercicios 3

a) Si el motor está conectado a una red de tensión y frecuencia nominales y lacarga aplica a su eje un momento igual al nominal, ¿cuál es la excitación

mínima para que el motor no pierda el sincronismo? Considere excitación100% a la que hace que la corriente de armadura del motor en vacío seacero.

b) Si la excitación del motor se reduce a cero, determine la corriente dearmadura en pu para la potencia máxima que el motor puede desarrollar enesa condición.

1.8 Plantee las ecuaciones de equilibrio eléctricas para una máquina sincrónicacon jaula de amortiguación en términos de sendas componentes simétricas delos valores instantáneos para la armadura, la jaula y el campo, referidas todas

a un sistema de referencia común, que gira con velocidad angular constanteωs.

1.9 Una máquina sincrónica está equipada con un devanado de camposupraconductor, es decir, mediante el enfriamiento con helio líquido atemperaturas inferiores a 4K, el campo ha perdido su resistencia óhmica. Lasresistencias de la armadura y de la jaula son normales.

En el instante t=0 se produce un cortocircuito trifásico simétrico, que sedespeja 10s después. Explique sobre la base del principio del enlace de flujoconstante la variación de la tensión en los terminales después del despeje del

cortocircuito.

1.10 Sean dos generadores sincrónicos de 10MVA, 5000V, 50Hz, que, conectadosen paralelo, alimentan una barra de 5000V a la que está conectada una cargaóhmico-inductiva, conectada en triángulo, cuya impedancia por fase es

inicialmente de 4,3Ω con factor de potencia 0,8. Las reactancias de losgeneradores sean respectivamente X1dA=1pu, X1qA=0,6pu y X1dB=1,3pu,X1qB=0,81pu. Los reguladores de velocidad de ambas máquinas impulsorastienen el mismo estatismo.

Inicialmente la carga se reparte igualitariamente entre los dos generadores.

a) Si, con frecuencia y excitación constantes, la corriente en la carga aumenta en20% en relación con su valor inicial, determine la tensión en la barra y lapotencia activa y reactiva suministrada por cada generador.

b) Explique el funcionamiento de una eventual “compensación de la corriente encuadratura” en este caso.

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ELI-326 Máquinas eléctricas I Ejercicios 4

1.11 Un motor sincrónico de 3730kW, 187,5rpm, 4160V, 50Hz desarrolla unmomento de arranque asincrónico de 0,42pu. El momento máximo asincrónico

se produce para un 70% de la velocidad sincrónica y alcanza a 0,85pu. Elmomento de inercia de motor y carga es de 15000kgm2.

a) Determine el calor de arranque en vacío para una partida desde una red detensión y frecuencia nominales.

b) Determine el aumento de la temperatura en la jaula de arranque formada en

cada polo por cinco barras de latón (c=385J/kgºC, ρ=8,5kg/dm3) de 14mm dediámetro y 112cm de longitud y por dos segmentos de anillo de secciónrectangular 18x30mm y 28cm de longitud, si el motor arranca contra unmomento de carga constante de 0,3pu. Haga aproximaciones razonables.

c) Determine el tiempo que demora el motor para alcanzar la velocidad desincronización.

1.12 Sea un generador sincrónico caracterizado por las siguientes constantes:

L1d=0,058H L1q=0,038H R1=0,12Ω

L1f =0,25H Lf =3,08H Rf =0,77Ω

ω=314Si la corriente de campo es de 212A, determine:

a) la tensión inducida en vacío en cada fase,b) la tensión en los terminales para una corriente de armadura de 525A, factor de

potencia 0,6,c) las constantes de tiempo de vacío y de cortocircuito,

d) el valor máximo de la corriente de campo transitoria tras un cortocircuitotrifásico simétrico.

1.13 Un motor de reluctancia trifásico de 1500rpm posee una reactancia en el eje

directo de 8Ω y una reactancia en el eje de cuadratura de 3Ω. Las pérdidassean despreciables.

Si el motor funciona conectado a una red simétrica de 400V, 50Hz, determinela potencia entregada por el motor cuando su factor de potencia es máximo.¿Cuánto vale el ángulo de carga en esa condición? Dibuje el diagrama fasoriala escala.

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ELI-326 Máquinas eléctricas I Ejercicios 5

2 Máquina asincrónica

2.1 Una máquina asincrónica trifásica de 2 polos con rotor devanado trifásico estácaracterizada por las inductancias de campo giratorio L1=0,037H, L12=0,033H yL2=0,032H. Se desea operar esta máquina como “máquina asincrónicasincronizada”, cortocircuitando dos anillos del rotor y conectando una fuente detensión continua entre estos y el tercer anillo.

Determine el valor de la corriente continua en el rotor para que la máquinaasincrónica sincronizada no absorba corriente en vacío (T=0) cuando funcionaconectada a una red trifásica de 380V,50Hz.Dibuje la distribución de fmm del rotor suponiendo que q→∞ y el ancho de

zona ocupado por cada fase sea de 60°.

2.2 Considere un estator cilíndrico provisto de un devanado bifásico simétrico dedos polos. El rotor esté provisto de un devanado de corriente continua sobrecuyo colector rozan cuatro escobillas equiespaciadas, alineadas con los ejesmagnéticos de las fases del estator. Además el devanado del rotor estáconectado en cuatro puntos equiespaciados a anillos rozantes. Todos losdevanados tienen el mismo número de vueltas efectivo.

A través de uno de los pares de escobillas diametralmente opuestas se hacecircular una corriente continua de 10A. La correspondiente componentefundamental del campo en el entrehierro es anulada haciendo circular corrientes bifásicas de 7,07A, 50Hz por los anillos rozantes.

a) Determine la velocidad y sentido de giro del rotor.b) ¿Cuál debería ser el valor de la corriente continua a través de cada par de

escobillas para mantener anulado el campo fundamental resultante en elentrehierro?, si estas se desplazan respecto a su posición inicial en 30º ensentido opuesto al sentido de giro del campo giratorio de las corrientesbifásicas

2.3 Plantee las ecuaciones de equilibrio de la máquina asincrónica con rotor de jaula simple utilizando los enlaces de flujo como variables de estado y refiéralasa un sistema de referencia sincrónico.

2.4 Sea un motor asincrónico trifásico 400V∆, 50Hz, de 8 polos con rotor de jaula

simple, con α=0,017, β=0,018, σ=0,125, L1=0,112H.

a) Construya un diagrama circular a escala y utilícelo para estimar fundadamente la potencia, la velocidad y el factor de potencia nominal delmotor y la correspondiente admitancia de secuencia negativa.

b) Ubique en el diagrama circular el punto de funcionamiento nominal ydetermine el deslizamiento correspondiente. ¿Cuál sería la velocidad nominaldel motor?

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ELI-326 Máquinas eléctricas I Ejercicios 6

2.5 A un motor asincrónico trifásico de 1450rpm, 380V, 50Hz, conexión triángulo,

corriente nominal 7,5A se le midió una resistencia del estator por fase de 4,3Ω.

En vacío con tensión y frecuencia nominal el motor absorbió una corriente de3,2A y una potencia de 295W. Con rotor trancado el motor absorbió 7A y 520Wy desarrolló un momento de 1,65Nm para una tensión aplicada de 81V.

Determine los parámetros del circuito equivalente aproximado.

2.6 Sea un motor asincrónico trifásico de rotor devanado de 4 polos, 3000kW,5000V, 50Hz, caracterizado por los siguientes parámetros: L1=0,1045H,

β=0,0016, σ=0,048. El rotor está provisto de un devanado trifásico conectadoen estrella. Con el rotor detenido y tensión nominal en el estator la tensiónentre los anillos rozantes es de 2300V.

El devanado del rotor está conectado a una resistencia de arranque simétricaconectada en delta a los anillos rozantes, cuya resistencia por fase es igual a4 veces la resistencia por fase del rotor.

Para tensión nominal y rotor detenido determine la corriente en las líneas dealimentación del motor y en las resistencias de arranque. Construya eldiagrama circular a escala y ubique los puntos correspondientes alfuncionamiento nominal, al arranque sin resistencias adicionales y al arranquecon resistencias adicionales.

2.7 De un motor asincrónico trifásico con rotor de doble jaula se poseen lossiguientes antecedentes:

Pn = 110kW V1n = 380V ∆ f 1 = 50Hz nn = 1470rpm

In= 211A cosϕ = 0,86 η = 92% ∆ϑ = 80ºC

Devanado del estator : 48 ranuras, 56 vueltas por fase, paso 10 (1-11)Devanado del rotor : 40 barras, inclinadas en un paso de ranura del

estator.Diámetro interior del estator Di = 300mmLongitud axial del estator l = 195mm

Entrehierro δ = 0,85mm Apertura ranura del estator br =3,2mm

a) Determine la inductancia mutua correspondiente al campo fundamental enel entrehierro entre una malla del rotor y una fase del estator.

b) Determine el valor de la reactancia de la rama de magnetización delcircuito equivalente clásico.

c) Determine la inductancia propia de campo giratorio fundamental para unafase del estator. ¿Cuánto vale la corriente de vacío absorbida por elmotor?

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ELI-326 Máquinas eléctricas I Ejercicios 7

2.8 Sea un motor asincrónico trifásico con rotor de jaula simple, con α=0,018,

β=0,021, σ=0,095, L1=0,037H.

a) Para el motor alimentado por una red simétrica, determine una expresiónpara el momento electromagnético en términos de los parámetrosindicados y de las componentes simétricas de los valores instantáneos delas corrientes.

b) Si el motor está conectado a una red trifásica simétrica a través de unaresistencia asimétrica, en la forma indicada en la figura, plantee lasecuaciones de equilibrio dinámicas en términos de las componentessimétricas de los valores instantáneos, referidas a un sistema dereferencia sincrónico.

c) Si la resistencia R de la figura es reemplazada por un condensador C,analice las consecuencias sobre el momento de arranque estacionario.

2.9 Un motor asincrónico trifásico con rotor de doble jaula posee en el estator undevanado de 6 polos, distribuido en 54 ranuras, formado por bobinas acortadasde paso 8/9 de 6 vueltas por bobina.

El diámetro interior del estator es de 28cm y su longitud axial (l) es de 35cm.El entrehierro efectivo es de 0,6mm.El rotor, de 50 ranuras, está provisto de una jaula doble , donde la jaula inferior está separada de la jaula superior por una ranura de dispersión de anchotangencial (b) de 2mm y longitud radial (h) de 16mm.La inductancia de dispersión de la barra inferior, referida a la corriente de

barra, está dada por la expresión

+µ=σ b

h

,l L b 600 .

Determine el valor en Ω de la reactancia de dispersión de la barra inferior en elcircuito equivalente por fase del estator.

Rmotor asincrónicode jaula

simple

redsimétrica

c

a

b

t

s

r

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ELI-326 Máquinas eléctricas I Ejercicios 8

2.10 Un motor asincrónico trifásico de 6 polos, 400V, 50Hz, conexión delta, corriente

nominal 11A posee una resistencia por fase del estator de 2,16Ω. En vacío con

tensión y frecuencia nominal el motor absorbió una corriente de 4,2A. Conrotor trancado el motor absorbió 18A y 1350W para una tensión aplicada iguala 100V.

a) Se considera arrancar el motor mediante un autotransformador de relación400/180V, ¿cuál es la velocidad más baja a la que se puede cambiar aplena tensión, si, durante el arranque, el valor efectivo de la corriente nodebe superar los 32A.

b) Si el motor arranca utilizando la conexión estrella / triángulo, ¿cuál sería elvalor del momento de arranque referido al momento nominal?

c) Al desconectar una fase de la red el motor absorbe 12A. Determine lastensiones en los terminales del motor. Explique.

2.11 Un motor asincrónico trifásico con rotor devanado desarrolla un momentomáximo de 196Nm, una velocidad nominal de 1480rpm y posee un momento

de inercia de 3,5kgm2. La resistencia por fase del rotor es de 0,125Ω y la

resistencia adicional es de 1,2Ω.

a) Si la resistencia adicional es tal que el momento máximo se desarrollapara s = 1,2 y el motor impulsa una carga puramente inercial de 15kgm2,¿cuánto tiempo demora el rotor en alcanzar una velocidad igual al 99% dela velocidad sincrónica? ¿En cuánto aumenta el tiempo de arranque paraalcanzar el 99% de la velocidad sincrónica, si el motor parte en conexiónestrella?

b) ¿Cuánta energía absorbe el motor de la red durante un arranque? y ¿cuáles la fracción que se disipa en los devanados del estator y del rotor respectivamente?

c) ¿Cuál sería el número máximo de partidas por hora sin sobrepasar lastemperaturas admisibles para los devanados?

2.12 Un motor asincrónico trifásico, conexión estrella, ha sido conectadoaccidentalmente a los terminales N, L1, L2 de una línea trifásica con neutro, enlugar de la conexión correcta a L1, L2, L3.

a) Determine razonadamente si en esa circunstancia el motor desarrollamomento de arranque, su eventual magnitud y sentido.

b) Determine la corriente por el neutro, si para s=1 la corriente en las líneas L1y L2 es de 50A.

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ELI-326 Máquinas eléctricas I Ejercicios 9

3 Transformador trifásico

3.1 Para limitar la corriente de línea durante el arranque de un motor asincrónicode 4,16kV de 2400A a 1067A se propone el uso de un autotransformador trifásico conectado en delta.

a) Determine la magnitud y fase de la tensión secundaria en vacío delautotransformador.

b) Determine las corrientes en las secciones serie y paralelo del devanado delautotransformador.

3.2 Sea un transformador trifásico Yy0 con núcleo de tres columnas. Las columnasestán provista con tres devanados cilíndricos concéntricos de 1180, 4720 y

1180 vueltas respectivamente. Los cilindros interior y exterior tienen un espesor de 1,2cm y el correspondiente a la bobina central tiene un espesor de 2,8cm.La separación radial entre los cilindros sea 1cm, la longitud axial de loscilindros sea 60cm. El diámetro de las columnas sea 16cm.

a) Si los devanados interior y exterior se conectan internamente en serie,determine una expresión analítica para la reactancia de cortocircuito deltransformador de dos devanados resultante a partir de la teoría deltransformador de n devanados.

b) Haga una estimación razonada de la potencia nominal del transformador.c) Determine la relación numérica entre la reactancia de cortocircuito y la

reactancia de la bobina de baja tensión cuando el núcleo del transformador

está completamente saturado.

3.3 Se desea operar en paralelo dos transformadores trifásicos de tres columnasdesde una barra de 66kV, 50Hz, cuya potencia de cortocircuito trifásica es de200MVA. Las respectivas características son:

Transformador A: 12MVA, 66/12kV, vcc=8%, 50Hz, Dyn11.

Transformador B: 18MVA, 66/12kV, vcc=8%, 50Hz, Yd11, con 2”taps” de ±5%en el lado de alta tensión.La resistencia de los devanados puede considerarse despreciable.

a) Si el neutro del transformador A está conectado directamente a tierra,

determine la corriente (en A) en los devanados primario y secundario de lostransformadores A y B, cuando en la barra de baja tensión sólo está

conectado un reactor monofásico de 8Ω, 7kV entre una línea y tierra.b) Determine el valor máximo de la corriente transitoria de conexión que debería

esperarse (en el peor caso) al conectar el transformador A a la barra de66kV. Explique.

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ELI-326 Máquinas eléctricas I Ejercicios 10

3.4 Sea un transformador trifásicos de 3 devanados de 2500/1250/1250kVA,7,6/23/23kV conectado en Yz5. La tensión de cortocircuito v12 =v13 es de 6%,

mientras que la impedancia de cortocircuito entre los dos devanados 2 y 3, queforman el zigzag, es 0,09pu referida a la base propia de esos devanados.

a) Dibuje el esquema de conexión del transformador y el correspondientediagrama fasorial de las tensiones.

b) Determine la impedancia de secuencia positiva en pu (potencia base común =potencia nominal del primario), considerando al transformador conectado enzig-zag como un transformador trifásico de dos devanados.

3.5 Sea un transformador trifásico de tres columnas de 500kVA,20/0,4kV, 50Hz,Yd1. Cada columna está provista con tres devanados cilíndricos concéntricos

de N1, N2 y N1 vueltas respectivamente. Los cilindros pueden considerarse deespesor despreciable y están separados radialmente en 1[cm], la longitud axial

de los cilindros sea 59[cm] y su radio medio 25[cm]. El cilindro interior y elcilindro exterior tienen el mismo número de vueltas, N1=17. El cilindro centraltiene N2=982 vueltas.

Si los devanados interior y exterior se conectan internamente en serie,determine, a partir de la teoría del transformador de n devanados, la corrientede cortocircuito porcentual del transformador de dos devanados resultante.

3.6 Se desea operar en paralelo dos transformadores trifásicos de tres columnas

desde una barra de 66kV, 50Hz, cuya potencia de cortocircuito trifásica es de500MVA. Las respectivas características son:

Transformador A: 12MVA, 66/13,2kV, vcc=8%, 50Hz, Dyn1.Transformador B: 18MVA, 66/13,2kV, vcc=10%, 50Hz, Yd1.

a) Suponga que la resistencia de los devanados sea despreciable. Determine lacarga simétrica resistiva (MW) que se puede conectar a las barrassecundarias sin sobrecargar a ninguno de los transformadores

b) Determine la corriente en los devanados primarios de los transformadores y latensión línea – neutro de la barra secundaria no cargada., si en la barra debaja tensión se conecta un reactor monofásico de 70mH entre dos líneas.

c) Describa y compruebe el efecto de la conexión de los transformadores sobre

la magnitud de la quinta armónica de la corriente magnetizante en la línea dealimentación de la barra de 13,2kV.

3.7 Sea un transformador monofásico de 10MVA, 13,2/66,4kV, 50Hz, tensión decortocircuito 10%. El transformador es alimentado desde una red infinita de13,2kV.

a) Si las columnas del transformador tienen una sección de 2131cm2 y unalongitud de 210cm y el largo medio de una espira del devanado de bajatensión es de 216cm, determine el valor cresta inicial de la corriente transitoria

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ELI-326 Máquinas eléctricas I Ejercicios 11

de conexión para el peor caso, un flujo residual de 0,8 pu, cuando eltransformador es conectado a la barra de 13,2kV.

b) Determine la relación numérica entre la reactancia de cortocircuito y lareactancia de la bobina de baja tensión cuando el núcleo del transformador está completamente saturado.

3.8 Sea un banco de transformadores monofásicos formado por 3 unidades igualesde las siguientes características:

devanado potencia MVA tensión kV

1 10 63,5

2 6,7 11

3 5 7,58

De los ensayos en cortocircuito con corriente nominal en el devanado excitadose obtuvo:

devanadocortocircuitado

devanadoexcitado

tensiónkV

potenciakW

2 1 4,49 46,1

3 2 0,59 35,0

3 1 5,81 35,8

a) Determine los parámetros de un circuito equivalente por fase referidos a unapotencia base de 100MVA.

b) Si el devanado 2 está conectado en delta y alimenta una carga de 18MVA,factor de potencia 0,8 inductivo, y el devanado 3 está conectado en estrella yalimenta a una carga de 10MVA, factor de potencia 0,9 inductivo, determine elvalor de la tensión que habría que aplicar al devanado 1 para que la tensiónen los terminales del devanado 2 se mantenga en su valor nominal. ¿Cuál esel valor de la corriente en el devanado en delta?

3.9 Un transformador trifásico de 30MVA, 13,2/115kV, 50Hz, tensión de

cortocircuito 10%, conexión dY11, tiene su neutro unido a tierra a través de unareactancia de 15Ω. El transformador está conectado a una barra de 13,2kV,cuya potencia de cortocircuito es de 140MVA.

a) Indique el esquema de conexión y el diagrama de tensiones correspondienteal grupo indicado.

b) Si las columnas del transformador tienen una sección de 2131cm2 y unalongitud de 210cm y el largo medio de una espira del devanado de bajatensión es de 216cm, determine el valor cresta inicial de la corriente transitoriade conexión para el peor caso, considerando el efecto de la potencia de

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cortocircuito y un flujo residual de 0,8 pu, cuando el transformador esconectado a la barra de 13,2kV.

c) Determine la relación numérica entre la reactancia de cortocircuito y lareactancia de la bobina de baja tensión cuando el núcleo del transformador está completamente saturado.

3.10 Determine en primera aproximación las dimensiones principales (longitud ysección del núcleo, longitud del entrehierro ubicado en la columna central) deun reactor monofásico, con núcleo acorazado cuya columna central es desección cuadrada y cuyas ventanas son rectangulares, de 10kVA, 4,16kV,50Hz, si la inducción en el núcleo es de 1,4T, la densidad de corriente en eldevanado de 2,5A/mm2 y las pérdidas totales de 1% de la capacidad nominal.

La cifra de pérdidas de las chapas es de 0,4W/Kg a 1T y 50Hz. El pesoespecífico de las chapas es de 7,6g/cm

3 y el del cobre 8,9g/cm3. La resistencia

específica del cobre caliente es de 0,02Ωmm2/m. El factor de relleno de laventana es 0,3. El costo unitario del cobre sea igual que el costo unitario delas chapas.

3.11 Se desea operar en paralelo dos transformadores trifásicos de 10MVA. Lasrespectivas características son:

Transformador A:13,8/0,4kV, vcc=10%, 50Hz, Dy1Transformador B: 13,2/0,380kV, vcc=7%, 50Hz, Yd1.

a) Suponga que la carga común sea de 20MVA y que la resistencia de losdevanados sea despreciable. Determine la distribución de la carga entre lostransformadores.

b) Suponga que la resistencia de los devanados de los transformadores sea de0,01pu. Determine la carga máxima admisible sin sobrecargar a ninguno delos transformadores.

c) Los núcleos de los transformadores son iguales y magnéticamenteindependientes. Determine el efecto de la conexión sobre la magnitud de laquinta armónica de la corriente magnetizante en la línea de alimentacióncomún de los transformadores.

3.12 Sea un banco de transformadores monofásicos de 3 devanados conectado enYz5. Cada transformador del banco es de 2500/1250/1250kVA, 7,6/23/23kV ylas impedancias de cortocircuito entre el devanado en estrella y los devanadoszigzag son 6% en cada caso y la impedancia de cortocircuito entre los dosdevanados que posteriormente forman el zigzag es 9%.

a) Dibuje el esquema de conexión del transformador y el correspondientediagrama fasorial de las tensiones.

b) Determine las impedancias de secuencia positiva y cero en pu de la potencianominal y de las tensiones línea - neutro considerando al banco como untransformador trifásico de dos devanados.

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3.13 Determine las dimensiones principales (longitud y sección del núcleo, longituddel entrehierro) de un reactor monofásico, con núcleo de sección cuadrada y

ventana rectangular, de 50KVA, 13,2KV, 50Hz, si la inducción en el núcleo esde 1,5T, la densidad de corriente en el devanado de 2,5A/mm2 y las pérdidastotales de 2% de la capacidad nominal. La cifra de pérdidas de las chapas esde 0,5W/Kg a 1T y 50Hz. La resistencia específica del cobre es de 0,02

Ωmm2/m. Justifique cada una de sus decisiones.

3.14 Un transformador trifásico de tres devanados (1/2/3) de 15/25/5MVA,66/110/13,2KV, conexión estrella con neutro/ estrella/ delta , 50Hz, posee lassiguientes tensiones de cortocircuito en (pu), medidas con corriente nominal enel devanado de menor potencia:

vcc12=0,16 vcc23=0,11 vcc13=0,17 Al alimentar al devanado 1 con corriente nominal de secuencia cero sedeterminó una impedancia de secuencia cero de 16,2%, referida a la basepropia del devanado.El devanado de 110KV se conecta a una red infinita de tensión nominal y eldevanado de 66KV se carga monofásicamente entre línea y neutro con 5MVA,

cosϕ=1, mientras el terciario en delta no tiene cargas conectadas.Determine la corriente (en A) que circula en esas condiciones en el devanadoterciario de 13,2KV.

3.15 Sea un transformador provisto con tres devanados cilíndricos concéntricos deN1, N2 y N3 vueltas respectivamente. Los cilindros sean de espesor

despreciable y estén separados radialmente en a[m], la longitud axial de los

cilindros sea b[m] y su radio medio r [m]. El cilindro interior y el cilindro exterior tengan el mismo número de vueltas, N1=N3.

Si los devanados 1 y 3 se conectan internamente en serie, determine lareactancia de cortocircuito del transformador de dos devanados resultante apartir de la teoría del transformador de n devanados.

3.16 Un transformador trifásico de tres devanados (1/2/3) de 15/25/5MVA,66/220/13,2kV, conexión estrella con neutro/ estrella/ delta, 50Hz, posee las

siguientes tensiones de cortocircuito en (pu), medidas con corriente nominal enel devanado de menor potencia:

vcc12=0,18 vcc23=0,13 vcc13=0,20

Al unir los tres terminales de línea del devanado de 66kV y hacer circular por cada fase corriente nominal se determinó una tensión de 6170V entre líneas yneutro.Si el devanado de 220kV se conecta a una red infinita de tensión nominal y eldevanado de 66KV se carga monofásicamente entre línea y neutro con 5MVA,

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cosϕ=1, mientras el terciario en delta no tiene cargas conectadas, determine lacorriente (en A) que circula en esas condiciones en el devanado terciario de

13,2KV.