Trigonometría

1 Medida de ángulos

2 Razones trígonométricas

3 Razones trigonométricas de cualquier ángulo

4 Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º

5 Relaciones tr ígonométricas fundamentales

6 Ángulos complementarios

7 Ángulos suplementarios

8 Ángulos que se diferencian en 180°

9 Ángulos opuestos

10 Ángulos negativos y mayores de 360º

11 Razones trigonométricas de otros ángulos

12 Resolución de triángulos rectángulos

Medida de ángulos

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dossemirrectas con or igen común. A las semirrecta s se las l lamalados y al or igen común vért ice.

El ángulo es posit ivo s i se desp laza en sentido contrario almovimiento de las agujas del reloj y negativo en casocontrario

Para medir ángulos se ut i l i zan las s igu ientes unidades:

1Grado sexagesimal (°)

Si se d iv ide la c i rcunferenc ia en 360 partes igua les , e l ángulocent ra l correspond iente a cada una de sus partes es un ángulo de ungrado (1°) sexages imal .

Un grado t iene 60 minutos ( ') y un minuto t iene 60segundos ( ' ') .

2 Radián (rad)

Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio .

2 rad = 360°

rad = 180°

30º rad

/3 rad º

REPASO DE TRIGONOMETRIA PLANA

Razones trigonométricas

Seno

Seno de l ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al

ángulo y la hipotenusa .

Se denota por sen B .

Coseno

Coseno de l ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo

al ángulo y la hipotenusa .

Se denota por cos B .

Tangente

Tangente de l ángulo B: es la razón entre el cateto

opuesto al ángulo y e l cateto contiguo al ángulo .

Se denota por tg B .

Cosecante

Cosecante de l ángulo B: es la razón inversa del seno de

B .

Se denota por cosec B .

Secante

Secante de l ángulo B: es la razón inversa del coseno de

B .

Se denota por sec B .

Cotangente

Cotangente de l ángulo B: es la razón inversa de la

tangente de B .

Se denota por cotg B .

Razones trigonométricas de cualquier ángulo

Se l lama circunferencia goniométrica a aqué l la que t iene su

centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad . En

la c i rcunferenc ia goniométr i ca los ejes de coordenadas del imitan

cuatro cuadrantes que se numeran en sent ido cont rar io a las

agujas de l re lo j .

QOP y TOS son tr iángulos semejantes.

QOP y T'OS′ son tr iángulos semejantes.

El seno es la ordenada.

El coseno es la abscisa.

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

Signo de las razones trigonométricas

Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º

Seno, coseno y tangente de 30º y 60º

Si d ibujamos un t r iángulo equi lá tero ABC, cada uno de sus

t res ángulos mide 60º y, s i t razamos una a l tura de l mismo, h, e l

ángulo de l vér t i ce A por e l que la hemos t razado queda d ivid ido

en dos igua les de 30º cada uno. Recurr iendo a l Teorema de

P i tágoras, tenemos que la a l tura es:

Seno, coseno y tangente de 45º

Razones trigonométricas de ángulos notables

Identidades trigonométricas fundamentales

cos² α + sen² α = 1

sec² α = 1 + tg² α

cosec² α = 1 + cotg² α

b iendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Ca lcu lar las

restantes razones t r igonométr i cas de l ángulo α.

Sab iendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Ca lcu lar las

restantes razones t r igonométr i cas de l ángulo α.

Ángulos complementarios

Son aquél los cuya suma es 90º ó /2 radianes.

Ángulos suplementarios

Son aquél los cuya suma es 180° ó radianes.

Ángulos que se diferencian en 180°

Son aquél los cuya resta es 180° ó radianes.

Ángulos opuestos

Son aquél los cuya suma es 360º ó 2 radianes.

Ángulos negativos

El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del

movimiento de las agujas del reloj .

-α = 360° - α

Mayores de 360º

Ángulos que se di ferencian en un número entero de

vueltas.

Razones trigonométricas de otros ángulos

Ángulos que difieren en 90º ó π/2 rad

Ángulos que suman en 270º ó 3/2 π rad

Ángulos que difieren en 270º ó 3/2 π rad

Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un tr iángulo es hal lar sus lados, ángu los y

área. Es necesario conocer dos lados del tr iángulo, o bien un

lado y un ángulo dist into del recto.

1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

Resolver e l tr iángulo conoc iendo:

a = 415 m y b = 280 m.

sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42°

25′

C = 90° - 42° 25 ′ = 47° 35 ′

c = a cos B c = 415 · 0 .7381 = 306. 31 m

2. Se conocen los dos catetos

Resolver e l tr iángulo conoc iendo:

b = 33 m y c = 21 m .

tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32 ′

C = 90° - 57° 32 ′ = 32° 28′

a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m

3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

Resolver e l tr iángulo conoc iendo:

a = 45 m y B = 22°.

C = 90° - 22° = 68°

b = a sen 22° b = 45 · 0 .3746 = 16.85 m

c = a cos 22° c = 45 · 0 .9272 = 41.72 m

4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo

Resolver e l tr iángulo conoc iendo:

b = 5.2 m y B = 37º

C = 90° - 37° = 53º

a = b/sen B a = 5 .2/0.6018 = 8.64 m

c = b · co tg B c = 5 .2 · 1 .3270 = 6. 9 m