Trigonometra bsicaObjetivos:Terminada la leccin: Definirs las funciones trigonomtricas a partir del tringulo rectngulo. Utilizars las funciones trigonomtricas para hallar las medidas desconocidas de un tringulo rectngulo. Seleccionars correctamente la funcin trigonomtrica apropiada para resolver los problemas.IntroduccinImagina que deseas saber la altura de un faro y lo nico que conoces es que la sombra del mismo mide unos 60 pies de longitud desde la base del faro. Tambin conoces que el Sol se encuentra en un ngulo ascendente de 30. Cmo determinar la altura del faro? Esta y otras preguntas las podemos contestar con un conocimiento bsico de trigonometra.En esta leccin estudiaremos las funciones trigonomtricas en trminos de los ngulos y su aplicacin en el estudio de los tringulos rectngulos.Los ngulos

Un ngulo se define como el resultado de la interseccin de dos rayos. Los rayos que componen el ngulo se denominan lados, mientras que el unto de interseccin se denomina vrtice.En la trigonometra suele distinguirse entre los lados del ngulo, llamndolos lado inicial y lado final. Es muy comn en pensar en los ngulos como el resultado de la rotacin de uno de los rayos desde el lado inicial hasta el lado final con el vrtice fijo. Si la rotacin ocurre en contra de las manecillas del reloj, se dice que el ngulo es positivo; si por el contrario el rayo rota en direccin de las manecillas del reloj, decimos que el ngulo es negativo.

Existen varias unidades para medir los ngulos, las ms comunes son los grados y los radianes. En esta leccin utilizaremos los grados como la unidad para expresar la medida de los ngulos. Se define un grado como 1/360 de la rotacin completa del rayo. La medida del ngulo puede ser positiva o negativa. Depende de la direccin en que rotara el rayo que forma el ngulo. Por ejemplo, el ngulo formado por una rotacin completa en contra de las manecillas del reloj, tiene una medida de 360.

Un cuarto de rotacin a favor de las manecillas del reloj, forma un ngulo cuya medida es de -90.

Un ngulo de 0 resulta cuando no ocurre la rotacin y ngulos mayores de 360 son posibles si pensamos en una rotacin ms all de una revolucin completa. Por ejemplo, dos rotaciones completas a favor de las manecillas del reloj producen un ngulo de -720, mientras que tres rotaciones produciran un ngulo de 1080.Ahora que ya sabes medir ngulos podemos hablar de los tringulos rectngulos.Los tringulos rectngulos

Los tringulos son figuras geomtricas con tres lados y tres ngulos. Existen varios tipos de tringulos, entre ellos el tringulo rectngulo. Este tipo de tringulo se caracteriza por tener uno de sus ngulos con medida igual a 90. A este ngulo tambin se le conoce como ngulo recto. La suma de todos los ngulos en un tringulo es de 180. En el caso de los tringulos rectngulos, como el ngulo recto mide 90, entonces los otros dos ngulos sumados son igual a 90.

El lado que queda opuesto o de frente al ngulo recto, siempre es el lado ms largo. A este lado lo denominamos hipotenusa. Los otros dos lados del tringulo lo denominamos catetos. As que los lados de un tringulo rectngulo estn compuestos por la hipotenusa y los catetos. Al igual que con los ngulos de los tringulos, existe una relacin entre los catetos y la hipotenusa. Segn postulara el matemticoPitgoras en su teorema, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.Funciones trigonomtricas

La trigonometra es el estudio de la relacin entre los lados y los ngulos del tringulo rectngulo. Muchas aplicaciones de la trigonometra dependen de esta relacin. A estas relaciones las denominamos funciones trigonomtricas.

Sea el tringulo ABC un tringulo rectngulo con el ngulo recto en el vrtice C. Sus lados a y b son sus catetos y el lado c la hipotenusa. Cada ngulo, en el tringulo tiene un lado opuesto, lado de frente al ngulo, y un lado adyacente, lado que forma parte del ngulo en cuestin.De la forma en que ha sido configurado el tringulo en este ejemplo, el vrtice A tiene al cateto a como lado opuesto y al cateto b como lado adyacente. De igual forma el vrtice B tiene al cateto b como lado opuesto y al cateto a como lado adyacente. Los lados opuestos y adyacentes se intercambian entre s para los dos ngulos que no son el ngulo recto en el tringulo rectngulo.En el caso del ngulo recto, hay que notar que tiene como lado opuesto a la hipotenusa y no tiene lado adyacente. El identificar los lados opuestos y adyacentes respecto a un ngulo es sumamente importante a la hora de definir las funciones trigonomtricas. En esta unidad solamente definiremos las tres funciones trigonomtricas bsicas: seno, coseno y tangente. Estas son las convenientes y utilizadas en Fsica para resolver problemas. Estas son:EjemplosSenoSe define la funcin seno (sen) de un ngulo como la proporcin que existe entre el lado opuesto y la hipotenusa. Matemticamente esta proporcin se expresa como:

Donde el smbolose utiliza para denotar el ngulo que estaremos considarando.Observa la figura de la izquierda. En ella hay un tringulo con unas cantidades medidas. Sea el ngulo igual a 30 y su lado opuesto igual a 5 cm y la hipotenusa igual a 10 cm, entonces el seno de 30 es:

El procedimiento para calcular el seno sera:

Los valores de las funciones trigonomtricas no tienen unidades ya que se cancelan. Tambin son independientes del tamao del tringulo. El seno de 30 siempre es igual a 0.5. El tringulo que mejor nos muestra esta relacin es:

CosenoLa funcin coseno (cos) se define como la proporcin entre el lado adyacente y la hipotenusa. Esta funcin se expresa como:

Sea el ngulo igual a 45 y su lado opuesto igual a 7 cm y la hipotenusa igual a 10 cm, entonces el coseno de 45 es:

Puedes notar que se utiliz la funcin de

esta se lee "coseno inverso" pero su significado es el el recproco de la funcin lo cual representa un nmero que nos da el ngulo correspondiente. Puedes usar lacalculadorapara obtener el resultado. El tringulo bsico que mejor nos muestra esta relacin es:

TangenteLa funcin tangente se define como la proporcin entre el lado opuesto y el adyacente. Esta funcin se expresa como:

Sea el ngulo igual a 60 y su lado opuesto igual a 8 cm y el adyacente igual a 4.62 cm, entonces la tangente de 60 es:

Puedes usar la calculadora para revisar los clculos aqu demostrados y sustituir otras cantidades en los ejemplos demostrados. El mejor tringulo que representa la situacin del ejemplo es: