Unidad Trigonometría 2: Trigonometría en el triángulo rectángulo ...
Trigonometría 03
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Trigonometría 3 G. Edgar Mata Ortiz
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Trigonometría 3G. Edgar Mata Ortiz
Triángulos oblicuángulos
• ¿Cómo resolvemos un triángulo que no es rectángulo?
• Es decir, ¿Cómo calculamos los valores de los lados y ángulos de un triángulo si ninguno de sus ángulo mide 90°?
• Disponemos de dos herramientas:• Ley de cosenos y ley de senos.
Ley de los senos y ley de los cosenos
• Si se conocen tres magnitudes de un triángulo podemos determinar todas las demás.
• Dependiendo de qué datos se dispone, se aplica la ley de los senos o de los cosenos.
Ley de los senos
• Expresión algebraica para la ley de los senos
senn ense s
b
B
c
C
a
A
A
B
Ca
bc
Ley de los senos
• Se necesita conocer al menos tres datos para aplicar esta fórmula.
senn ense s
b
B
c
C
a
A
Ley de los senos
• Pero no cualquier grupo de tres datos. • Si se conoce por ejemplo el valor de los
lados a, b y el ángulo C no es posible aplicar la fórmula.
• ¿Puedes ver por qué? senn ense s
b
B
c
C
a
A
Ley de los senos
• Digamos que los datos son:• Ángulo C = 56°, lado a = 5 y lado b = 6• Al sustituir en la fórmula obtenemos:
sen5
5
s 6
0
6
s
.829
en5
s
en
sen
6
en
A
A
c
B
B
c
Ley de los senos
• Digamos que los datos son:• Ángulo C = 56°, lado a = 5 y lado b = 6• Al sustituir en la fórmula obtenemos:
sen5
5
s 6
0
6
s
.829
en5
s
en
sen
6
en
A
A
c
B
B
c
No es posible despejar ninguna de las cantidades desconocidas.
Ley de los senos
• Este caso no puede ser resuelto aplicando la ley de los senos.
• Ángulo C = 56°, lado a = 5 y lado b = 6
sen5
5
s 6
0
6
s
.829
en5
s
en
sen
6
en
A
A
c
B
B
c
Posteriormente veremos cómo resolver este problema.
Ley de los senos
• Veamos otro caso.• Conocemos las siguientes medidas:• Ángulo A = 36°, Ángulo B = 59°, lado a = 15 cm.
senn ense s
b
B
c
C
a
A
Ley de los senos
• Conocemos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.
• También se dice que conocemos dos ángulos y el lado no comprendido entre ellos.
• Ángulo A = 36°, Ángulo B = 59°, lado a = 15 cm.
senn ense s
b
B
c
C
a
A
Ley de los senos
• Conocemos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.
• También se dice que conocemos dos ángulos y el lado no comprendido entre ellos.
• Ángulo A = 36°, Ángulo B = 59°, lado a = 15 cm.
A=36°
B=59°
Ca = 15
bc
Ley de los senos
• Sustituyendo en la fórmula de la ley de los senos:
sen
15
s 59 enen3 s6
c
C
b
Ahora conocemos datos suficientes para despejar y determinar los
valores faltantes.
Ley de los senos
• Sustituyendo en la fórmula de la ley de los senos:
sen
15
s 59 enen3 s6
c
C
b
Ahora conocemos datos suficientes para despejar y determinar los
valores faltantes.
Esta parte de la fórmula la veremos
más adelante.
Ley de los senos
• Sustituyendo en la fórmula de la ley de los senos:
15
sen36 sen59
b
Vamos a despejar para calcular el
valor de “b”
Ley de los senos
• Despejar “b” para calcular su valor.
15
sen3615
sen36
sen59
sen59
sen5915
sen36
b
b
b
Ley de los senos
• Con los senos de los ángulos conocidos determinar el valor de b.
sen59
0.8572
0.8572
21.8
15
sen3615
0.587825.5188
747
b
b
b
b
Hemos
determinado la medida de uno de los lados faltantes, el lado b = 21.8747
Ley de los senos
• Para el resto del problema parece que no hay datos suficientes.
A = 36°
B = 59°
Ca = 15
b = 21.8747c
21.8747
sen5
15
sen 936 sen
c
C
?
Ley de los senos
• Sin embargo existe una forma de resolverlo, podemos determinar la medida del ángulo C. ¿Puedes ver cómo?
21.8747
sen5
15
sen 936 sen
c
C
?
Ley de los senos
• La suma de los ángulos interiores de un triángulo…
• En este caso: A + B + C = 180°• Es decir: 36° + 59° + C = 180°• Entonces: C = 180° - 95° Ángulo C = 85°
Ya tenemos un dato más, el
ángulo C.
Ley de los senos
• Ya podemos aplicar la fórmula de la ley de los senos.
A = 36°
B = 59°
C = 85°a = 15
b = 21.8747c
21.8747
sen59 sen8
15
sen36 5
c
Ahora conocemos datos suficientes para despejar y
determinar el valor del lado “c”.
Ley de los senos
• Disponemos de más datos de los necesarios, podemos tomar cualquiera de dos grupos de datos. ¿Cuál grupo de datos es más conveniente utilizar?
21.8747
sen59 sen8
15
sen36 5
c
?
Ley de los senos
• Siempre que sea posible se recomienda utilizar datos que nos hayan dado en la redacción del problema, en lugar de valores que hayamos calculado nosotros.
• En este caso los datos que nos dieron desde el principio fueron:
• Ángulo A = 36°, Ángulo B = 59°, lado a = 15 cm.• Mientras que la medida del lado b lo calculamos.• Vamos a utilizar los valores del lado “a” y el ángulo “A”
sen59
15
sen s 8536 en
cb
Ley de los senos
• Vamos a despejar para determinar el último valor faltante.
15
sen36 sen85
c
Ley de los senos
• Despejando obtenemos:
15
sen3615
sen36
sen85
sen85
sen8515
sen36
c
c
c
Ley de los senos
• Efectuando operaciones:
15
0.587725.
0.9962
0.9962
25.4262
5232
c
c
c
Hemos determinado la
medida del último lado faltante: c = 25.4262
Ley de los senos
• La solución del problema es una figura con las medidas de los tres lados y los tres ángulos:
Una forma de saber si el resultado es razonable es una propiedad que dice: En cualquier triángulo, al lado mayor se opone el ángulo mayor y al lado menor se opone el ángulo menor.
A = 36°
B = 59°
C = 85°a = 15
b = 21.8747c = 25.4262
Ley de los senos
• Ejercicio:• Siguiendo un procedimiento similar determina
las medidas faltantes en el siguiente triángulo.
A
B = 56°
C = 75°a
b
c = 21
Gracias por su atención
http://licmata-math.blogspot.com/
