Geometría y Trigonometría

Lista de ejercicios de Geometr y Trigonometr a aJonathan Reyes Gonzlez a Cecyt Juan de Dios Btiz a 25 de Julio 2010Resumen Este documento es una recopilacin de problemas y ejercicios de Geometr y Trigonometr o a a, correspondiente al segundo semestre en el Cecyt Juan de Dios Btiz Paredes. Los problemas a han siso extra dos de diversos libros y no tienen un nivel muy elevado a excepcin, tal vez, de o aquellos sealados como adicionales. Espero que sea util para aquellos estudiantes interesados en n tener un problemario de este tipo.

Indice1. Exponentes y Logaritmos. 1.1. Exponentes y Logaritmos. . . . . . . . . . 1.2. Ecuaciones Exponenciales y Logar tmicas. 1.3. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Problemas Adicionales. . . . . . . . . . . . 2. Geometr Elemental. a 2.1. Medida de ngulos. . . . . . . . . . a 2.2. Paralelas cortadas por una secante. 2.3. Resolucin de Tringulos. . . . . . o a 2.3.1. Angulos. . . . . . . . . . . . 2.3.2. Congruencia y Semejanza. . 2.3.3. Teorema de Pitgoras. . . . a 2.4. Pol gonos. . . . . . . . . . . . . . . 2.5. La circunferencia. . . . . . . . . . . 2.6. Problemas Adicionales. . . . . . . . 2.6.1. Tringulos. . . . . . . . . . a 2.6.2. La circunferencia. . . . . . . 2.6.3. Pol gonos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 5 6 6 6 7 8 8 9 10 11 11 13 13 14 14 15 15 18 20

3. Trigonometr a. 3.1. Funciones trigonomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2. Ecuaciones e identidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

1. Exponentes y Logaritmos.

Jonathan Reyes Gonzlez a

1.1.1.

Exponentes y Logaritmos.Exponentes y Logaritmos.

Ejercicio 1.1. Calcular el valor numrico de las siguientes expresiones. e 1) log3 log2 8 2) 2 log27 log10 1000 3) 3 log2 log4 16 + log 1 2 2 4) 103log10 8 1 5) log0. 5 32 6) 1 9 1 71 2

log3 4

1+2 log 1 37

7)

8) log8 12 log8 15 + log8 20 1 log7 36 log7 14 3 log7 3 21 2 1 1 1 11) 2 log 3 6 log 3 400 + 3 log 1 3 45 3 2 log3 8 log3 16 log5 27 log5 9 log5 36 log5 12 log5 9 log7 8 log7 15 log7 30 81 log4 9 8log4 91

9) log9 15 + log9 18 log9 10

10)

12) 13) 14) 15)

27 log2 3 + 5log25 491

1

16)

17) 36log6 5 + 101log 2 3log9 36 3 3 18) log3 log3 3

3 + 5 log16 25 5log5 3

Cecyt Juan de Dios Btiz a

1



1.2.

Ecuaciones Exponenciales y Logar tmicas.

Ejercicio 1.2. Resolver las siguientes ecuaciones. 1) log6 x = log6 5 1 2) log5 x = log5 7 + 2 3) log2 x = log4 5 4) log2 (x 1) = 3 5) logx 9 + 0. 5 logx 16 = 2 6) log2 x3 log2 x2 = 4 7) (log2 x)2 3 log2 x + 2 = 0 8) (log3 x)2 + log3 x log3 27 = 0 9) log4 log3 log2 x = 0 10) loga 1 + logb 1 + logc 1 + logp x 11) loga y + loga (y + 5) + loga 0. 02 = 0 12) logx3 (9 + 6x) = 2 13) logx3 (9 2x) = 2 14) logx1 (2x + 1) = 2 15) 16) 1 logx+2 (2x + 4) = 1 2 1 logx+4 (16 2x) = 1 2 =0

Ejercicio 1.3. Resolver las siguientes ecuaciones. 1) 4 9x 13 6x + 9 4x = 0 2) 16 9x 25 12x + 9 16x = 0 3) 2x 3x = 36x 4) 9 x12

=

1 27 2 3 4 3x+1

5) 1. 55x7 = 6) 0. 752x3 = 7) 5x 8)2

5x

5x62

=1 = 1 7

1 7

x 2x2

9) 2x + 2x3 = 18 Cecyt Juan de Dios Btiz a

2

1. Exponentes y Logaritmos. 10) 3x + 4 3x+1 = 13 11) 2 3x+1 6 3x1 3x = 9 12) 5x+1 + 3 5x1 6 5x + 10 = 0 13) 52x 5x 600 = 0 14) 9x 3x 6 = 0 15) 3x + 9x1 810 = 0 16) 4x + 2x+1 80 = 0 17) xlog x = 1000x2 18) 7x+1 7x1 = 48 19) 15 3x1 + 3x+1 + 3x = 27 20) 6x+1 + 5x+2 = 6x+2 5x+1 21) 3 52x1 2 5x1 = 0. 2 22) x1+log x = 10x log x1 23) ( x) 5 =5 24) xlog x4


5 log x

= 0. 0001

25) xlog4 x2 = 23(log4 x1) 26) 27xlog27 x = x 3 27) 10log2 10

x

+ xlog x = 2

28) log2 25x+3 1 = 2 + log2 5x+3 + 1 29) log2 x 2 loga x = log a x loga x 3 log 1 a log2 a 2 b

x x 30) logx 2 log 16 2 = log 64 2

Ejercicio 1.4. 2x y 1) x+y 5 xy 2) x2 +y 3 x+y 3) xy 2 x + 2y 4) xy 3

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. = = = = = = = = 1 25 21 9

1 8 3 81 3


1. Exponentes y Logaritmos. 5x 5y 5x1 + 5y1 = = = = = 78 9


100 30

5)

6)

x 2 9 3y 16y 16x 16x+y 2x 3y

24

7)

8)

= 256 x 3 + 2x+y+1 = 7 x+1 y 3 5 x y 3 2 x y 4 2 38x+1 3x1 2x+y = 1 = 75 = = 4 = 9 = 32 3

9)

3x 5y1

10)

3y 2x

11)

= 33y = 81

12)

3x2y 3

13)

= 27 logy x + logx y = x2 y = 101+log(x+y)

36x 3y

2 20 = 50 2 log 5

14)

log(x y) + log(x + y) = xy xlog y = 40

15)

16)

= 4 logy x + logx y xy = yn

= =

5 2

27 x, y, n > 0

17)

x+y x y x+y

= x2n y n


4



1.3.

Problemas.

Problema 1.1. El 1 de enero de 1990 la poblacin de cierta ciudad era de 900,000 habitantes. La o poblacin aumenta con una tasa de 2. 8 % anual. En qu fecha la ciudad tendr 1,500,000 habitantes? o e a Problema 1.2. En 1995 la poblacin de cierta ciudad era de 3 millones de habitantes y estaba o creciendo a una tasa del 4 % anual. Suponiendo que la tasa de crecimiento es constante, Cuando rebasar la poblacin la marca de los 8 millones de habitantes? a o Problema 1.3. Las islas Caimn es uno de los pa a ses americanos con mayor tasa de crecimiento (4. 27 %). Se piensa que esta tasa de crecimiento comenzar a disminuir al llegar a los 50,000 habitantes. a Si en 1996 ten 34,646 habitantes, en qu ao comenzar a disminuir la tasa de crecimiento? a e n a Problema 1.4. La suma de $1,000 se invierte a un inters anual del 8 %. Cunto tiempo tardar la e a a inversin en incrementar su valor a $5,000? o Problema 1.5. Cunto tiempo debe transcurrir para que se duplique una inversin de $1,200, al a o 8 % compuesto trimestralmente? Problema 1.6. Una poblacin de bacterias tiene un tamao dado por la frmula o n o P = 40,000ekt donde P es la poblacin despues de t horas, y k es una constante. Si en 40 horas hay 60,000 bacterias, o Cundo habr 80,000? a a Problema 1.7. El nmero de bacterias de un cultivo crece de acuerdo con la frmula u o P = P0 ekt donde P es el nmero de bacterias despus de t horas. Si el nmero de bacterias fue estimado en u e u 10,000 al medio d y en 40,000 despus de 2 horas, cuntas habr a las 5 p.m.? a e a a Problema 1.8. El carbono 14, uno de los tres istopos del carbn, es radioactivo y se desintegra a o o una razn proporcional a la cantidad actual. Su vida media es de 5,730 aos, es decir, una cantidad o n dada de carbono 14 tarda 5,730 aos en reducirse a la mitad de su cantidad original. Si tenemos 20 n gramos de carbono 14, cunto quedar dentro de 3,000 aos? a a n Problema 1.9. Una sustancia radioactiva tiene una vida media de 920 aos. Si hay 15 gramos al n principio, Cunto quedar al cabo de 300 aos? a a n Problema 1.10. La vida media del radio es de 1590 aos. Si se tienen 10 gramos de radio, cunto n a quedar despus de 1,000 aos? a e n Problema 1.11. Suponga que 5 gramos de una sustancia disminuyen a 4 gramos en 30 segundos. Cul es la vida media de la sustancia? a Problema 1.12. Una momia egipcia contiene el 60 % de su carbono 14 original. Cacule la antigedad u de la momia. Problema 1.13. La magnitud M de una estrella o planeta est denida por a 5 M = log 2 B B0

donde B es la brillantez y B0 es una constante. El planeta Venus tiene una magnitud promedio de -3.9 y la estrella polar de 2.1. En promedio, cuntas veces es ms brillante Venus que la estrella polar? a a Problema 1.14. La eciencia de un operador en cierta fbrica est dada por la expresin a a o y = 120 80e0. 3t donde el operador puede completar y unidades de trabajo cada d despus de desarrollar dicho trabajo a e durante t meses. Cuntos meses de experiencia requerir dicho operador para completar 88 unidades a a diarias? Cecyt Juan de Dios Btiz a 5

2. Geometr Elemental. a


1.4.

Problemas Adicionales.

Ejercicio 1.5. Si 3 = k 2r y 15 = k 4r . Encuentre el valor de r. Ejercicio 1.6. Si log xy 3 = 1 y log x2 y = 1. Encuentre el valor de log xy. Ejercicio 1.7. Para todo entero n > 1, dena an = a10 + a11 + a12 + a13 + a14 . Calcule el valor de b c. 1 . Sea b = a2 + a3 + a4 + a5 y c = logn 2002

Ejercicio 1.8. Si log2 (log3 (log5 (log7 N )))) = 11. Cuntos primos distintos dividen a N ? a Ejercicio 1.9. Encuentre todos los enteros positivos b de manera que logb 729 es un entero. Ejercicio 1.10. La ecuacin 8x3 + 4ax2 + 2bx + a = 0 tiene tres ra positivas distintas y la suma o ces de los logaritmos base 2 de las ra es 5. Encuentre el valor de a. ces Ejercicio 1.11. Calcule el valor de la expresin o N= 1 1 1 1 + + + ...+ log2 100! log3 100! log4 100! log100 100!

a Ejercicio 1.12. Sean a b > 1. Encuentre el valor mximo que puede tomar la expresin loga + a o b b logb . a

2.2.1.

Geometr Elemental. aMedida de ngulos. a

Ejercicio 2.1. Expresar en forma decimal los siguientes ngulos. a 1) 50 30 2) 80 40 36 3) 45 45 4) 36 46 30 5) 136 12 6) 352 22 36 Ejercicio 2.2. Expresar en grados, minutos y segundos. 1) 67. 316 2) 80. 4036 3) 38. 39 4) 4. 25 5) 13. 75 6) 35. 2 7) 45. 3 Ejercicio 2.3. Expresar en grados. Cecyt Juan de Dios Btiz a 6

2. Geometr Elemental. a 1) 2) r 2 3 r 2


3) 45r 4) 3. 8r 5) r 90

6) 2r 7) 2. 8r Ejercicio 2.4. Expresar en radianes. 1) 45 30 2) 80. 4 3) 45 45 4) 90 5) 136 Ejercicio 2.5. Expresar en trminos de radianes. e 1) 18 2) 90 3) 45 4) 30 5) 135 6) 315 7) 180 8) 15 9) 20 10) 72

2.2.

Paralelas cortadas por una secante.

Ejercicio 2.6. En cada una de las siguientes guras, encontrar el valor de x y de y. (5x + 3)

(8x 5) 1) Cecyt Juan de Dios Btiz a 7



(3x + 5) (2x 3) 2) (3x + 6) (5x 8) 3) (2x + y) (4x) 92 4) (7x 24) (3x + 40)

5) (3x) (y + 5) (4x 10) 6)

2.3.2.3.1.

Resolucin de Tringulos. o a Angulos.

Ejercicio 2.7. En un tringulo rectngulo, un ngulo agudo mide 37 . Cunto mide el otro angulo a a a a agudo? Ejercicio 2.8. En el tringulo ABC, se tiene A = 53 y B = 45 37 . Encontrar x. a


8



C

x

A B Ejercicio 2.9. Cunto miden los ngulos internos y externos de un tringulo equiltero? a a a a Ejercicio 2.10. Cunto miden los ngulos internos y externos de un tringulo rectngulo issceles? a a a a o Ejercicio 2.11. En un tringulo rectngulo, un ngulo agudo mide 35 12 27 . Encontrar la medida a a a del otro ngulo agudo y de los ngulos externos. a a Ejercicio 2.12. En un tringulo dos angulos externos miden 137 15 y 68 15 respectivamente. a Encontrar la medida del tercer ngulo externo y de los ngulos internos. a a Ejercicio 2.13. En el ABC, se tiene M N M C 107 15 2.3.2. Congruencia y Semejanza. CB. C H 1. 5 A Ejercicio 2.15. Encontrar el valor de x. A 6 L 3 B A 4x 1 B E 3 5 C x+1 D Cecyt Juan de Dios Btiz a 9 x LL L 4 C BC 4 D 7 B A AB. Calcular A, B y C. 37 08 17 N

B

Ejercicio 2.14. Encontrar la medida del lado CB si HD

2. Geometr Elemental. a A 2 M 7 5 B x M MM


AB

A 10 B

C

E 5 2x + 6

C 3x 5 D

2.3.3.

Teorema de Pitgoras. a

Ejercicio 2.16. En cada caso los catetos son a y b, la hipotenusa es c. Calcular el lado que falta. 1) a = 6m, b = 3m 2) a = 9x, c = 12x 3) a = 4, b = 5 4) b = 15 102 , c = 20 102 5) a = 7 105 , b = 3 105 Ejercicio 2.17. Se cuenta con una escalera de 25m y se desea subir al extremo de una torre de 10m de altura. A qu distancia de la base de la torre se debe apoyar la base de la escalera para que el e otro extremo coincida con la punta de la torre? Ejercicio 2.18. Se tiene un terreno en forma de tringulo rectngulo. Sus catetos miden 300m y 80m. a a Cunto mide el per a metro del terreno? Ejercicio 2.19. Encontrar los valores de x. 5 1 x x+2 3x 7 x 2x 5x 2 3x 4x + 3 6x + 7 3x + 2 Cecyt Juan de Dios Btiz a 10



2.4.

Pol gonos.

Ejercicio 2.20. Responde las siguientes preguntas. 1) Cuntas diagonales tiene un heptgono? a a 2) En qu pol e gono el nmero de diagonales es 12 ms que el n mero de lados? u a u 3) Cul es el pol a gono regular cuyos angulos interiores miden 120 cada uno? 4) Cuntos lados tiene un pol a gono si la suma de sus ngulos interiores es de 1440? a 5) Cul es el pol a gono regular cuyos angulos exteriores miden 120 cada uno? 6) Cul es el pol a gono en el que se pueden trazar 44 diagonales en total? 7) Qu pol e gono tiene doble nmero de diagonales que de lados? u 8) Cuntas diagonales tiene un pentadecgono? a a 9) Cul es el pol a gono cuyos ngulos interiores suman 720? a 10) Cul es el pol a gono cuya suma de ngulos interiores es 1800? a 11) Cul es el pol a gono en el que se pueden trazar tres diagonales desde cada uno de sus vrtices? e 12) Cul es el pol a gono cuya suma de ngulos interiores es 1260? a 13) Cul es el pol a gono en el que se pueden trazar 14 diagonales en total? 14) Qu pol e gono tiene 25 diagonales ms que lados? a 15) Cul es el pol a gono en el que se pueden trazar 54 diagonales en total? Ejercicio 2.21. Resuelve los siguientes ejercicios. 1) Calcular el valor de un ngulo interior de un decgono regular. a a 2) Determinar el pol gono cuyos ngulos interiores miden 135 cada uno. a 3) Calcular el nmero de diagonales que se pueden trazar desde un vrtice de un n-gono. u e a 4) Hallar la suma de los ngulos interiores de un hexgono. a a 5) Hallar el valor de un ngulo exterior de un icosgono. a a 6) Determinar el pol gono regular cuyos ngulos exteriores miden 60 cada uno. a

2.5.

La circunferencia.

Ejercicio 2.22. Calcule los radios de las circunferencias que cumplen lo siguiente. 1) El dimetro es 34 a 2) La circunferencia mide 14 3) El rea es igual a 25 a 4) El rea es igual a 169 a 5) La circunferencia mide 90 Ejercicio 2.23. En las siguientes guras encuentre la medida del radio de la circunferencia. Cecyt Juan de Dios Btiz a 11

2. Geometr Elemental. a 7 74


10 2

10

1

24

5 2

75 4

Ejercicio 2.24. En cada uno de los siguientes ejercicios se da la medida del radio y la longitud de arco, determine la medida del ngulo central, que comprende dicho arco. a 1) r = 5, s = 5 2) r = 6, s = 3) r = 20, s = 4) r = 15, s = 30 Cecyt Juan de Dios Btiz a 12

2. Geometr Elemental. a 5) r = 2, s = 2


Ejercicio 2.25. Considere la siguiente gura. Si el arco CD es de 60 y BAO = 25 , encuentre los valores que se piden a continuacin. o B O

A

C

D 1) CAD 2) BC 3) BOC 4) AB 5) ACB 6) ABC Ejercicio 2.26. El radio de una circunferencia con centro O mide 8, P es un punto exterior a la circunferencia, A es el punto de tangencia de la tangente que pasa por P , AP mide 6, B es el punto de interseccin de P O con la circunferencia. Calcule la medida de P B. o Ejercicio 2.27. Dos circunferencias, una de radio 5 y otra de radio 8 son tangentes externamente. Una l nea es tangente exteriormente a ambas circunferencias. Encuentre la distancia entre los puntos de tangencia.

2.6.2.6.1.

Problemas Adicionales.Tringulos. a

Ejercicio 2.28. En un rectngulo ABCD se tiene AD = 1. P es un punto de AB. Los segmentos a DB y DP trisectan al ngulo ADC. Calcule el per a metro del tringulo BDP . a Ejercicio 2.29. En un rectangulo ABCD se tiene AB = 5 y BC = 3. Se eligen puntos F y G en CD de manera que DF = 1 y GC = 2, las l neas AF y BG se intersectan en E. Calcule el rea del a tringulo AEB. a Ejercicio 2.30. Las medianas BD y CE del tringulo ABC son perpendiculares, BD = 8 y a CE = 12. Calcule el rea del tringulo ABC. a a Ejercicio 2.31. Cinco tringulos equilteros iguales son acomodados del mismo lado de una recta y a a con un lado sobre la misma, de manera que el punto medio de la base de un tringulo es el vrtice del a e siguiente. Calcule el rea de la regin del plano cubierta por los tringulos si sus lados miden 2 3. a o a Ejercicio 2.32. En el tringulo ABC se tiene AB = 5, BC = 7 y AC = 9. D es un punto en AC a de manera que BD = 5. Calcule la razn AD/DC. o Cecyt Juan de Dios Btiz a 13



Ejercicio 2.33. En el tringulo rectngulo ABC se tiene AC = 15. Se construye la altura CD y a a se tiene DB = 16. Calcule el rea del tringulo ABC. a a Ejercicio 2.34. En el rectngulo ABCD se tiene AB = 8, BC = 9, H es un punto en BC con a BH = 6 y E es un punto en AD tal que DE = 4. La l nea EC se intersecta con la l nea AH en G, y F es un punto sobre la l nea AD de manera que GF AF . Calcule la longitud GF . Ejercicio 2.35. El tringulo rectngulo ABC tiene su ngulo recto en C. Sean M y N los puntos a a a medios de AC y BC respectivamente, con AN = 19 y BM = 22. Calcule la longitud AB. Ejercicio 2.36. En un tringulo ABC con AB = 3 y AC = 6, se elige un punto D en BC de a manera que CAD = DAB = /3. Calcule la longitud AD. 2.6.2. La circunferencia.

Ejercicio 2.37. La gura mostrada est formada por un c a rculo y semic rculos de diametros a y b y sus centros son colineales. Calcule la razn entre el rea de la regin sombreada y la que no lo est. o a o a

a

b

Ejercicio 2.38. Un tringulo agudo issceles BAC est inscrito en un c a o a rculo. Se trazan las tangentes en B y en C y stas se intersectan en un punto D con ABC = ACB = 2CDB. Calcule la e medida de BAC. Ejercicio 2.39. En un c rculo, dos cuerdas paralelas miden 10 y 14 respectivamente y la distancia entre ellas es 6. Calcule la longitud de la cuerda paralela que se encuentra a la misma distancia de ambas. Ejercicio 2.40. En una circunferencia con centro O, AB y CD son dos dimetros perpendiculares. a La cuerda DF intersecta a AB en el punto E y adems DE = 6 y EF = 2. Calcule el rea del c a a rculo. Ejercicio 2.41. Dos c rculos son tangentes exteriormente. Las tangentes comunes AB y A B se intersectan en el punto P con A y A en el c rculo ms pequeo. Si adems P A = AB = 4, calcule el a n a a rea del c rculo ms pequeo. a n Ejercicio 2.42. Sea ABC un tringulo issceles, sea R el radio de la circunferencia circunscrita y r a o el radio de la circunferencia inscrita. Demuestre que la distancia d entre el incentro y el circuncentro est dada por a d = R(R 2r) 2.6.3. Pol gonos.

Ejercicio 2.43. En un trapecio ABCD con bases AB y CD, se tiene AB = 52, BC = 12, CD = 39 y DA = 5. Calcule el area del trapecio ABCD. Ejercicio 2.44. Dado un pentgono regular ABCDE, se dibuja un c a rculo de manera que es tangente a CD en D y a AB en A. Calcule la medida del arco AD. Ejercicio 2.45. La perrera de Spike tiene una base hexagonal regular que mide 1m por lado. Spike est atado a un vrtice con una cuerda que mide 2m. Calcule el rea de la regin fuera de la perrera a e a o a la que Spike tiene acceso. Cecyt Juan de Dios Btiz a 14

3. Trigonometr a.


Ejercicio 2.46. Un cuadriltero ABCD tiene ngulos rectos en A y C. Los puntos E y F estn en a a a AC de manera que DE y BF son perpendiculares a AC. Adems AE = 3, DE = 5 y CE = 7. Calcule a BF . Ejercicio 2.47. Un pol gono regular de m lados est delimitado exactamente por m pol a gonos regulares de n lados cada uno. Calcule n si m = 10. Ejercicio 2.48. En el tringulo ABC, la altura, la bisectriz y la mediana desde el vrtice C dividen a e al ngulo C en cuatro partes iguales. Encuentre la medida de los ngulos del tringulo. a a a Ejercicio 2.49. En el exterior de un tringulo ABC, se construyen sobre sus lados, 3 tringulos a a equilteros ABC , BCA y CAB . Demuestre que los baricentros de estos tringulos son los a a vrtices de un tringulo equiltero. e a a Ejercicio 2.50. Demuestre que en un cuadriltero c a clico, la suma de los productos de lados opuestos es igual al producto de las diagonales. Ejercicio 2.51. Sean E y F dos puntos en los lados BC y CD del cuadrado ABCD tales que EAF = 45 . Sean M y N las intersecciones de la diagonal BD con AE y AF respectivamente y sea P la interseccin de M F y N E. Pruebe que AP EF . o

3.3.1.

Trigonometr a.Funciones trigonomtricas. e

Ejercicio 3.1. Halle los valores de las seis funciones trigonomtricas para el ngulo si... e a 1) El cateto opuesto mide 3, el cateto adyacente 4 2) El cateto opuesto mide 7, la hipotenusa 25 3) El cateto adyacente mide 3, la hipotenusa 12 4) El cateto opuesto mide 2, la hipotenusa 6 5) El cateto opuesto mide 3, el cateto adyacente 2 Ejercicio 3.2. En las siguientes guras encuentre los valores de x y de y. 2 30

y

x x 45 2 x 60

y

3

y


15

3. Trigonometr a. y 45


x

2 3 30

x

y Ejercicio 3.3. Halle los valores de las funciones trigonomtricas del ngulo agudo si e a 1) sen = 2) cos = 3) tan = 5 8 7 9 3 4 5 2

4) sec = 3 5) csc =

Ejercicio 3.4. Utilice el siguiente tringulo para determinar el valor de las siguientes expresiones. a 7 1) sen cos 2) sen cos 3) tan cot 4) sen2 x + cos2 x 5) sec 1 cos y

x

Ejercicio 3.5. Utilice el siguiente tringulo para determinar el valor de las siguientes expresiones. a 2 1) sen tan 2) tan2 3) sec2 4) cos2 1 + tan2 16

x


3. Trigonometr a. Ejercicio 3.6. Utilice la siguiente gura para mostrar que h =

Jonathan Reyes Gonzlez a x . cot cot

h x Ejercicio 3.7. Encuentre el valor numrico de las siguientes expresiones. e 1) 2) sen2 120 cos(180 ) tan(135 ) cot 405 9 sen 150 4 cos 240 + 12 sen 600 3 sen(45 ) 2 cos(420)

3) tan 10 tan 20 tan 30 tan 40 tan 50 tan 60 tan 70 tan 80 4) sen 1200 + cos(1080) 5) 4 sen 120 tan 300 6) 2 sen 120 tan 240 7) 3 cos(300 ) sen 45 tan 135 8) 2 sen2 225 cot 330 tan 405 9) 10 cot 315 sen(150 ) cos 225 10) sen2 62 + sen2 28 11) tan 44 tan 45 tan 46 12) (sen 35 + cos 35 )(sen 35 cos 35 ) + 2 sen2 55 13) cos2 15 sen2 75 14) cot 75 15) sen 7 30 16) log10 (tan 1 ) + log10 (tan 2 ) + . . . + log10 (tan 88 ) + log10 (tan 89 ) Ejercicio 3.8. Simplique las siguientes expresiones. 1) sen 53 + sen(53 ) + cos 62 cos(62 ) 2) sen 21 + sen(57 ) + cos(21 ) + cos(33 ) 3) sen( 1) cos 1 2

4) tan 18 tan 288 + sen 32 sen 148 sen 302 sen 122 5) tan( t) cos(2 t) cos( + t) sen( t)

6) cos

+ x + cos x + sen( + x) 2 2

7) cot(2 x) + cot(2 + x) tan x Cecyt Juan de Dios Btiz a 17

3. Trigonometr a. 8) (1 + cos )(1 cos ) 9) cot + 10) sen 1 + cos


11) sen2 + cos2 + tan2 12) tan x tan +x 4 4 1 , calcule: 2

1 cos2 1 sen2

Ejercicio 3.9. Si se sabe que sen x + cos x = 1) sen x cos x 2) sen x cos x 3) sen3 x + cos3 x 4) sen4 x + cos4 x 5) (sen x cos x)2

3.2.

Ecuaciones e identidades.sen x 1 + cos x = 1 cos x sen x

Ejercicio 3.10. Verique las siguientes identidades. 1) 2) 3)

1 = sen x cos x tan x + cot x

1 cos x = sen x tan x cos x sen x + cos x 4) 1 + cot x = sen x 5) cos4 + sen4 = 1 2 sen2 cos2 6) (tan + cot )2 = 1 sen2 cos2

7) tan cot = (tan 1)(cot + 1) 8) cot + 9) 10) 11) 12) sen 1 = 1 + cos sen

sen x 1 + cos x 2 + = 1 + cos x sen x sen x tan + tan = tan tan cot + cot 1 1 + sen a cos a 1 1 sen x cos x (sen a + cos a) = 2 + 1 sen a cos a

(sen x + cos x) = cot x tan x 18


3. Trigonometr a. 13) 1 2 sen2 x = 1 tan2 x 1 + tan2 x x cos 5x2 cos 4x 2


14) cos4 x sen4 x = cos2 x sen2 x 15) cos x + cos 2x + cos 6x + cos 7x = 4 cos 16) 17) 1 + tan x = tan +x 1 tan x 4

1 2 sen2 x 1 tan x = 1 + sen 2x 1 + tan x 1 sen2 2x + cos 2x = cos2 x 4

18) 1

19) 1 (sen6 x + cos6 x) = 3 sen2 x cos2 x 20) sen 3x = 3 sen x 4 sen3 x 21) cos 4x = 8 cos4 x 8 cos2 x + 1 Ejercicio 3.11. Resuelva las siguientes ecuaciones. 3 1) sen x = 2 1 2) sen x = 2 3 3) cos x = 2 4) cos2 x = 1 5) 4 sen2 x = 3 6) sen2 x + 2 sen x 3 = 0 7) 2 cos2 x + 3 cos x + 1 = 0 8) tan2 x = 3 9) cot2 x = 1 10) tan x + cot x = 2 11) 4 sen x cos 2x sen 3x = sen 4x 12) tan x + =1 4 13) tan x = 3 3 14) cot x = 3 4 15) sen 5 + x sen 4 3 x 4 =0

16) 2 sen2 x sen x = 0 Cecyt Juan de Dios Btiz a 19

3. Trigonometr a. 17) tan2 x tan x = 0 18) cos2 3x sen2 3x = 1 19) cos 2x sen 2x + sen x = 5 cos 2x + 5 20) 2 cos2 x 7 cos x + 3 = 0 21) 2 cos2 x 5 cos x + 2 = 0 22) cos 2x + 3 sen x = 2 Ejercicio 3.12. Demuestre que csc 180 360 540 = csc + csc 7 7 7


3.3.

Problemas.

Problema 3.1. Encuentre la altura de un edicio si a 8.66 metros de su base, el ngulo entre el suelo a y la azotea del edicio es de 60 . Problema 3.2. Una torre de 40 metros de altura est situada a la orilla de un lago. Desde la punta a de la torre el ngulo de depresin de un objeto en la orilla opuesta del lago es de 30 . Cul es el a o a ancho del lago? Problema 3.3. El ngulo de elevacin de una rampa de 9.5 metros que lleva a un puente sobre una a o avenida es de 22,5 . Determine la altura que puede tener un camin para pasar por debajo del puente. o Problema 3.4. Calcule la sombra proyectada sobre el suelo de una persona que mide 1.67 metros si el ngulo de elevacin del Sol es de 15 . a o Problema 3.5. Cul es la altura de un edicio cuya sombra horizontal es de 60 metros cuando el a a ngulo de elevacin del Sol es de 45 ? o Problema 3.6. Un nio sostiene en sus manos un papalote a un metro del piso. Si el papalote est a n a 12 metros del piso y la cuerda del papalote forma un ngulo de 30 con la horizontal, cuntos metros a a de cuerda est utilizando? a Problema 3.7. Un avin est alejndose de un observador en tierra movindose con una velocidad o a a e constante y mantiene una altura de 5850 metros. En cierto momento el ngulo de elevacin es de 45 a o y 20 segundos despus es de 30 , qu tan rpido est volando el avin? e e a a o Problema 3.8. Un puesto de observaciones, que est en la costa, se encuentra a una altura de 225 a metros sobre el nivel del mar. Si el ngulo de depresin desde el punto hasta un barco en el mar es de a o e 6 , a qu distancia se encuentra el barco de la orilla del mar? Problema 3.9. Un puente sobre un r tiene 200 metros de largo. Las dos secciones del puente rotan o hacia arriba formando un ngulo de 30 para dar paso a los barcos. Un motociclista quiere saltar de a una seccin a otra, l sabe que puede dar saltos hasta de 20 metros, puede el motociclista saltar de o e un lado al otro, sin peligro? Problema 3.10. Desde lo alto de un hotel con vista al mar, un turista observa una lancha que navega directamente hacia su hotel. Si el turista est a 32 metros sobre el nivel del mar y el ngulo de a a depresin de la lancha cambia de 30 a 45 durante la observacin, qu distancia recorri la lancha? o o e o Problema 3.11. Una escalera se apoya en una pared vertical, formando un ngulo con la horizontal a y su punto ms alto est a 4 3 metros de altura respecto al suelo. Cundo el ngulo disminuye 15 a a a a el punto ms alto de la escalera queda a 2 6 metros de altura. Cul es la longitud de la escalera? a a Cecyt Juan de Dios Btiz a 20

3. Trigonometr a.


Problema 3.12. Se desea cercar una nca triangular cuyos vrtices son los puntos A, B y C, pero e al empezar el trabajo se descubre que la marca B ha desaparecido. El t tulo de propiedad indica que la distancia de B a C es de 480 metros, la distancia de A a C es de 250 metros, y el ngulo A es de a 120 . Determine la posicin de B obteniendo la distancia de A a B. o Problema 3.13. Un poste emite una sombra de 10 metros de largo cuando el ngulo de elevacin a o del Sol es de 30 . El poste est inclinado con un ngulo de 15 de la vertical en la direccin de su a a o sombra. Encuentre la longitud del poste.


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Geometría y Trigonometría

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