5° Trigonometría

TRIGONOMETRÍA5to AÑO DE SECUNDARIA

2 5to de Secundaria

Trigonometría

Un eulerino... un triunfador

MARISCAL CÁCERES SCHOOLI. E. P.

Voluntad - Disciplina - Tenacidad

TRIGONOMETRÍA5to AÑO DE SECUNDARIA

Ángulo trigonométrico y sistemas de medición angularRazones trigonométricas de ángulos agudos IRazones trigonométricas de ángulos agudos IIRepasoRazones trigonométricas de ángulos agudos IIIÁngulos verticales y horizontalessistema cartesianoRepaso BimestralR. T. de un ÁnguloReducción al Primer CuadranteReducción al Primer Cuadrante(II)circunferencia trigonométricaCircunferencia trigonométrica IIIdentidades Trigonométricas IIdentidades trigonométricas IIIdentidades Trigonométricas de la suma y diferencia de ángulosIdentidades trigonometricas del ángulo dobleIdentidades trigonometricas de ángulo mitadRepasoidentidades trigonométricasTransformaciones Trigonométricas ITransformaciones Trigonométricas IIMiscelaneaFunciones trigonometricas IFuncione trigonometricas IIRepasoFunciones trigonométricas inversasFunciones Trigonométricas Inversas (II)Ecuaciones TrigonométricasResolución de Triángulos OblicuangulosRepaso

51218253038455358657078869298102109116122125132137144148160166170182188196204

4 5to de Secundaria

Trigonometría




55to de Secundaria

TrigonometríaMARISCAL CÁCERES SCHOOL

I. E. P.


Ángulo Trigonométrico y Sistemas de Medición

Angular

Objetivos

Diferenc iar e l ángu lo trigonométrico del geomé-trico, operándolos de forma correcta.

Reconocer los sistemas de medición angular, así como las equivalencias conve-nientes para las posteriores conversiones de un sistema a otro.

Ángulo Trigonométrico

Es aquel que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial (lado inicial) hasta otra posición final (lado final) en un solo plano. De este modo se reconocen dos tipos de rotación anotadas en el gráfico adjunto, en el cual se tiene:

O : vértice

OP : lado inicial

OQ y OS : lados finales

αβ P

Q

S

OSentido antihorario

Sentido horario

Las f iguras así formadas, se asociarán a una determinada medida que convencionalmente se regirá así:

sentido horario medida negativasentido antihorario medida positivasin rotación medida nula

Debemos mencionar también que la medida de un ángulo trigonométrico no tiene límites, ya que dependerá de la magnitud de la rotación en que se genere; esto es:

1 vuelta

...

...

Además, para poder operar ángulos trigonométricos se sugiere que éstos se encuentren en un mismo sentido, de preferencia el sentido antihorario. Para ello se pueden cambiar los giros con el siguiente criterio:

α -α

A diferencia de la Aritmética, el Álgebra y la Geometría, que alcanzaron un gran desarrollo desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos, la trigonometría sólo logra su madurez en los últimos siglos. Esto obviamente es explicable, por que para desenvolverse plenamente necesita de una Geometría ya razonada, y sobre todo una Aritmética y Álgebra sin titubeos, para darle toda la flexibilidad y todo el vuelo de que la trigonometría es capaz.Desde el punto de vista etimológico, la Trigonometría trata de la medición de los triángulos, es decir, a partir de ciertos elementos convenientes y conocidos de un triángulo hallamoslos restantes. Nadie pudo sospechar antiguamente, que tan modesto origen pudiese surgir, en el devenir, una ciencia de tanta importancia como la trigonometría, que en un comienzo fue sólo un simple capítulo de Astronomía, pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la Matemática y la Física, y, sobre todo, al empleo invalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y pudo llegar tan lejos.

6 5to de Secundaria

Trigonometría




Sistemas de Medición Angular

Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos, destacan los siguientes:

1. SISTEMA SEXAGESIMAL (O INGLÉS)

Unidad: 1° = 1 vuelta

360

1 vuelta = 360°

Además: 1° = 60’ ; 1’ = 60’’ ;1° = 3600’’

Obs.: α = x°y’z’’ α= x° + y’ + z’’

2. SISTEMA CENTESIMAL (O FRANCÉS)

Unidad: 1g = 1 vuelta

400

1 vuelta = 400g

Además: 1g = 100m ; 1m = 100s; 1g = 10000s

Obs.: β = xg ym zs β = xg + ym + zs

3. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (O INTERNACIONAL)

Unidad: 1 radián = 1 rad

Un radián es la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que subtiende mide igual que el radio de la circunferencia. En el gráfico; si: L = R θ = 1 radián

θ

R

R

O L

A

B

Además, por regla de tres simple:

Ángulo central

Longitud del arco

1 rad1 vuelta

R2πR

Luego:

1 vuelta . R = 2πR x 1 rad

1 vuelta = 2π rad

1) 360° = 400g = 2π rad

180° = 200g = π rad

2) 180° = 200g

9° = 10g

3) 9° = 10g ⇒9(60’) = 10(100m)

27’ = 50m

4) 27’ = 50m ⇒27(60’’) = 50(100s)

81’’ = 250s

Para convertir la medida de un ángulo de un sistema a otro, se multiplica a la medida original del ángulo por una fracción donde numerador y denominador deben ser iguales, pero del tipo:

( ) unidad que se quiere( ) unidad a cancelar

Factor de conversión

Por ejemplo, convierte:

1) 45° al sistema circular.

α = 45°.Factor de conversión

α = π4

rad

πrad180°

2) 60g al sistema circular.

β = 60g .Factor de conversión

β = 3π10

rad

πrad200g

3) 120g al sistema sexagesimal.

θ = 120g Factor de conversión

θ = 108°

9°10g

4) rad al sistema sexagesimal.

φ=Factor de conversión

2π5

180°πrad

Conversión entre sistemas

Consideraciones

2π5

rad

75to de Secundaria


I. E. P.


Señala la relación que verifican α y θ en el gráfico mostrado.

Ejemplo 1:

Resolución:

Colocamos los ángulos en un mismo sentido.

α-θ

Note que: α + 90° + (-θ) = 180° α + 90° -θ = 180°

∴α-θ= 90°

αθ

Ejemplo 2:

Señala la relación correcta entre α y β, a partir del gráfico mostrado.

αβ

Resolución:

Homogenizamos el tipo de rotación a antihorario y tenemos.

90° -α+(-β) = 180° 90° -α-β = 180° -α-β= 90°

∴α+β = -90°

α-β90°-α

Ejemplo 3:

Señala el valor de:

C = 70g + 7°radπ

18

*

Para poder operar las medidas tenemos que pasar todas a un solo sistema. Pasando al sistema sexagesimal:

* 70g . = 63°

= 10°rad .

Luego: C =

C = C = 7

Resolución:

π18

180°πrad

9°10g

63° + 7°10°

70°10°

Ejemplo 4:

En un triángulo isósceles los ángulos congruentes miden (10x+2)° y (11x + 3)g. ¿Cuál es la medida circular del ángulo desigual?

En el gráfico:(10x + 2)° = (11x + 3)g

Resolución:

Operando: 100x + 20 = 99x + 27 ⇒ x = 7lo cual significa que los ángulos congruentes miden 72° cada uno, luego:

θ = 36°Convirtiendo a radianes:

∴θ= rad

θ = 36° πrad180°

π5

θ

(10x

+2)°

(11x+3) g

Convirtiendo:(10x + 2)° = (11x + 3)g .

9°10g

Ejemplo 5:

Sabiendo que:

rad = 3a 4b 3c ,° ’ ’’

calcula: L = (a + b). c

Resolución:

Convirtiendo:

θ= rad

θ=

En este caso se procede así:

360° 11 30 32 8°

480’ 11 40 43 7’

420’’ 11 90 38,1 20

x 60 x 60

2π11

2π11

180°πrad

360°11

Tomando los cocientes y redondeando:

θ = 32° 43’ 38’’ = 3a° 4b’ 3c’’

Comparando: a = 2 b = 3 c = 8

luego: L = (a + b)c = 5 . 8

∴ L = 40

8 5to de Secundaria

Trigonometría




Nivel I

1) Señala la relación correcta respecto a los ángulos trigono-métricos mostrados:

a) α> β b) α+ β = 90° c) α- β = 90°d) β- α = 90° e) α+ β = -90°

β

α

3) Señala la relación correcta a partir del gráfico:

a) α+ β = 180°b) β- α = 180° c) β- α = 270°d) α- β = 270° e) β- α = 360°

β α

2) Señala la relación correcta.

a) α+ β = 90°b) α> β c) α- β = 90°d) β- α = 90° e) α- β = 180°

αβ

4) A partir del gráfico, señala lo correcto si OE es bisectriz del ángulo COD.

a) α+ β = 135°b) α- β = 135° c) α+ β = 180°d) β- α = 45° e) β- α = 225°

A O B

C

ED

αβ

5) Calcula:

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

C = 60g

rad+

60°

radπ20

π9

6) Calcula:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

π10

C = 90g + 9°rad

7) Si dos ángulos interiores de un triángulo miden 60g y rad,

¿cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo?

a) 27° b) 36° c) 48°d) 54° e) 60°

2π10

8) Si uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide , ¿cuál es la medida sexagesimal del otro ángulo agudo?

a) 18° b) 24° c) 36°d) 40° e) 48°

3π10

9) Si un ángulo mide rad y también (7x + 5)°, ¿cuál es el valor de x?

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

2π9

10) Si un ángulo mide 70g y también (8x - 1)°, ¿cuál es el valor de x?

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

11) Si la diferencia de medidas de dos ángulos complementarios es rad, ¿cuál es la medida sexagesimal del menor?

a) 18° b) 27° c) 36°d) 40° e) 49°

π10

12) Si la diferencia de medidas de dos ángulos suplementarios es 40g, ¿cuál es el complemento del menor?

a) 10° b) 12° c) 15°d) 18° e) 24°

95to de Secundaria


I. E. P.


Nivel II

14) Determina:

a) 1,2 b) 2,3 c) 2,4d) 3,2 e) 4,6

C = + .1° 3’3’

2° 4’4’

3°1° 5’( ) ( )

15) Sabiendo que: a°b’c’’ = 1°32’43’’ + 4°39’26’’, expresa: en radianes

a) d)

b) e)

c)

θ= a+bc( )

π45 rad

π90 rad

π180 rad

π360 rad

π36 rad

16) De acuerdo al gráfico, señala la relación que verifican “α y θ”.

a) α- θ = 10°b) α+ θ = 10° c) α- θ = 50°d) α+ θ = 50° e) α+ θ = 80°

θ-

20°

30°α- 10°

17) De acuerdo al gráfico, señala lo correcto.

a) α- β = 270°b) α+ β = 270° c) α- β = 450°d) α- β = 450° e) α- β = 180°

α

β

18) Señala verdadero o falso según corresponda en:

I. 72° > 78g

II.

III. -1° > -1g

a) VVF b) VFF c) FVFd) VVV e) FFV

π11

rad > 16g

19) Calcula:

a) 7 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

π36

C= 20g + 17°rad

( ) ( )π6070g - rad

30

20) S e t i e n e n d o s á n g u l o s complementarios, tales que el doble del mayor excede al menor en 80g. ¿Cuál es la medida circular del mayor?

a) d)

b) e)

c) 3π10

rad

π3

rad

3π20

rad 5π12

rad

2π5

rad

21) Se tiene tres ángulos, tales que al sumarlos de a dos se obtiene los resultados : rad, 70g y 16°. ¿Cuál es la semisuma de los tres ángulos?

a) 13° b) 17° c) 22°d) 24° e) 26°

π20

22) Si un ángulo mide (7x +1)° y su complemento 12xg, ¿cuál es el valor de x?

a) 3 b) 5 c) 7d) 6 e) 4

23) En un triángulo isósceles, los ángulos congruentes miden

(7x - 2)° y rad. ¿Cuál es la

medida sexagesimal del ángulo desigual?

a) 36° b) 44° c) 54°d) 64° e) 72°

3πx20

24) Calcula:

a) 13 b) -13 c) 11d) -11 e) 14

C= ---1° 2’2’

2° 3’3’

3° 4’4’

4° 5’5’

13) Calcula:

a) 107 b) 108 c) 109d) 110 e) 111

C = +3° 2’2’

1° 4’4’

25) Calcula:

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

=x° (4x)’(x -1)’

radπ5

g

2

10 5to de Secundaria

Trigonometría




Nivel III26) Si rad = 4a° 3b’ 1c’’, Calcula: L = + a

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3π13

cb

27) Si rad = 8a° 4b’ c’’,

Calcula: L =

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5π11

a + bc

28) Del gráfico, calcula S = x/y.

a) 0,027 b) -0,027 c) 0,009d) -0,009 e) -0,036

x° ymO

A

B

29) Del gráfico, calcula: S = a/b.

a) 53/56 b) -53/56 c) 56/53d) -56/53 e) -57/53

A

B

(a+b)g (2b-a)’ O

30) Expresa 7g 25m en el sistema s e x a g e s i m a l ( a p r o x i m a -damente).

a) 6° 27’ 52’’ d) 6° 41’ 50’’ b) 6° 31’ 30’’ e) 6° 41’ 50’’c) 7° 16’ 17’’

β

α

AL1

L2

Px

B

+90°α - β2

-90°α - β2

+90°α + β2

-90°α + β2

-180°α + β2

31) De acuerdo al gráfico, determina x (L1 // L2) si AP y BP son bisectrices.

a) d)

b) e)

c)

5yg-18° 3x°-30g

32) Del gráfico, calcula:

C =

a) 1/2 b) 2 c) 2/3d) 3/2 e) 3/4

y + 22x

β°

αg

OA D

BE

C

33) Si en el gráfico OE es bisectriz del BOC, calcula:

C =

a) 0,3 b) 0,6 c) 0,9d) 1,2 e) 1,5

α + 250β

34) Del gráfico, calcula: a/b.

a) 6/19 b) 8/19 c) 9/19d) 6/17 e) 8/17

(a+b)° (a-2b)g

35) Siendo a + b + c + d = 63 y además x°y’z’’ = a°b’c’’ + b°c’d’’ + c°d’a’’ + d°a’b’’, calcular:

L =

a) 0 b) 10 c) 20d) 4 e) 12

x - yz

36) Si la suma de medidas de dos ángulos es 10g50m y su diferencia es 3°13’, ¿cuál es la medida circular del mayor?

a) d)

b) e)

c)

17π160

rad

19π160

rad

19π540

rad

17π540

rad

17π180

rad

37) Calcula:

C =

a) 1,234 b) 1,568 c) 1,764d) 1,524 e) 2,134

1g

1° + 1m

1’ + 1g

1’’

38) Sabiendo que a = 20’; b = 10’’ y c = 40m, calcula:

L =

a) 7 b) 9 c) 11d) 13 e) 15

5c3b

3+ 5a

c

33

115to de Secundaria


I. E. P.


39) Expresa 3° 15’ en el sistema centesimal.

a) 3g 61m 11s d) 3g 63m 15s b) 3g 72m 12s e) 3g 62m 21s

c) 3g 57m 74s

40) Halla el menor valor entero de A si se cumple:

Ag = 1° + 2° + 3° + 4° + ...

a) 30 b) 40 c) 50d) 60 e) 70

41) Sabiendo que: ab° = (a+1)(b - 2)g

expresa (a - b)° en el sistema circular.

a) d)

b) e)

c) π24

rad

π30

rad

π15

rad π36

rad

π20

rad

°42) Sabiendo que ab° = c(c-3)g ,

expresa .

a) d)

b) e)

c) π60

rad

π90

rad

π45

rad π20

rad

π30

rad

a+bc

43) Un ángulo se expresa como x°x’ y también como yg; donde x e y son enteros de dos cifras. Calcular

y - x.

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 7

44) ¿Cuántos ángulos verifican que su medida sexagesimal se puede expresar como a0b° y su medida centesimal se expresa como

a(a + 1)0g?

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

yg

x°

z rad

π + 2z10x -9y

150π

600π

900π

180π

300π


C =

a) b) c)

d) e)

46) Se crean dos nuevos sistemas de medición angular A y B, tales que sus unidades (1A y 1B) equivalen a 1° 20’ y 1g 20m, respectivamente. Determina la medida circular del tercer ángulo de un triángulo si dos de ellos miden 60A y 50B.

a) d)

b) e)

c)17π90

rad

29π90

rad

23π90

rad

13π90

rad

18°-160g

140g - 12°

16*

47) Se crea un sistema de medición angular “moshe”, cuya unidad es 1*, verifica lo mostrado en el gráfico adjunto.

En un triángulo, las medidas de sus ángulos están en la relación de 2; 5 y 8. ¿Cuál es la medida del menor en el sistema “moshe”?

a) 3,2* b) 6,4* c) 4,8*d) 5,6* e) 7,2*

2π*3

3π*3

5π*6

2π*5

π*6

48) Se crea un nuevo sistema de medición angular “J”, cuya unidad es 1*, que viene a ser la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que le corresponde resulta ser los 3/5 del radio de la circunferencia. ¿Cuál es la medida de un ángulo interior de un polígono regular de 20 lados en este sistema?

a) b) c)

d) e)

49) La medida sexagesimal de un ángulo es (x2+4x+22)°; x ∈R Si dicha medida es mínima, ¿cuál es su medida circular?

a) d)

b) e)

c) π12

rad

π18

rad

π10

rad π20

rad

π9

rad

50) Sabiendo que a, b ∈R+; señala el valor mínimo de:

S =

a) 0,2 b) 0,6 c) 0,4d) 0,8 e) 1,2

+5bg a’

3bma°

31π90

rad


Trigonometría




Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos I

Objetivos

Reconocer y calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo a partir de un triángulo rectángulo y a partir de alguna razón trigonométrica conocida.

Interpretar enunciados que definen una situación geométrica determinada para su posterior resolución.

Son los resultados que se obtienen al dividir entre sí, los lados de un triángulo rectángulo. Cada uno de estos resultados asumirá un nombre que se definirá de la siguiente manera:

Definición de las Razones

Trigonométricas

A B

C

ab

cα

β

a2 + c2 = b2

α+ β = 90° o radπ2

seno de α =

coseno de α =

tangente de α =

cosecante de α =

secante de α =

cotangente de α =

hipotenusacat. opuesto

hipotenusacat. adyacente

cat. adyacentecat. opuesto

cat. opuestohipotenusa

cat. adyacentehipotenusa

cat. opuestocat. adyacente

Donde, para “α”: Cat. opuesto = a Cat. adyacente = c Hipotenusa = b

Notaciones:

senα = cscα =

cosα = secα =

tgα = ctgα =

Por ejemplo:

21

2920

α A

OH

abcbac

babcca

senα = =

cosα =

tgα = =

=

OH

2029

AH

2129

OA

2021

Los historiadores concuerdan en que fueron los griegos anteriores a Sócrates los iniciadores de la trigonometría. A Tales de Mileto, uno de los siete sabios de Grecia, se le atribuye el descubri-miento de cinco teoremas geométricos y su participación en la determinación de las alturas de las pirámides de Egipto utilizando la relación entre los ángulos y lados de un triángulo.

Hiparco, notable geómetra y astróno-mo griego, sistematizó estos conceptos en una tabla de cuerdas trigonométri-cas que hoy son la base de la trigono-metría moderna. Por su trabajo se le considera el padre o fundador de la trigonometría.Fue el observador más grande de la antigüedad, tanto que su catálogo es-telar, que contenía posiciones y brillos de unas 850 estrellas, fue superado en precisión solamente en el siglo XVI.

Orígenes de la Trigonometría

135to de Secundaria


I. E. P.


θ

8

17

15A

O

H

senθ=

cosθ =

tgθ = =

=

=OH

817

AH

1517

OA

815

Ejemplo 1:

En un triángulo rectángulo los lados menores miden 1 y 3 cm. Calcula el coseno del mayor de los ángulos agudos del triángulo.

Resolución:

10 = x1

α O

AHβ

3

* x2 = 12 + 32

x2 = 10

x = 10

Racionalizando: cosβ = 1010

El mayor ángulo agudo se opone al mayor cateto: β

piden: cosβ = = 1 10

AH

Ejemplo 2:

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el triple de uno de los catetos. Calcula la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo.

Resolución:

31

α

θ

x = 2 2

El mayor ángulo agudo es θ y piden:

* 32 = 12 + x2

9 - 1 = x2

x2 = 8 x = 2 2

∴tgθ = 2 2

tg θ = = OA

2 21

Ejemplo 3:

En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reduce:L = (senA tgA +senC)cosA

Resolución:

A partir del triángulo; reemplazando en:

cA B

C

ab

L = (senA tgA + senC) cosA

L = . + .

L = + .

( (ab

ac

cb

cb

a2

bccb

cb( (

L = ; pero:

a2 + c2 = b2

luego:

L = . ∴L = 1b2

bc2

. a2 + c2

bccb( (

cb

Ejemplo 4:

Resolución:

Siempre que tengamos como dato una R.T. es preferible tenerla como fracción, luego:

En un triángulo rectángulo.

2921

θ20

Por Pitágoras A

HO

Siendo θ un ángulo agudo, tal quetgθ = 1,05; calcula:

C = 3senθ-cosθcb

tgθ=1,05 =

tgθ= = 2120

105100

OA

Luego: C = 3senθ-cosθ

C = 3 - .. 2129

14

2029

14

Operando:

C =

∴C = 2

- =6329

5829

529


Trigonometría




Nivel I

Resolución:

Graficando:

θ

αC

B

M

n

n

m

Sea: BM = MC = n AB = m

Reduciendo: L = 1/2

A

Ejemplo 5

En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se traza la mediana AM (M en BC), tal que MCA = α y MAB = θ. Calcula:

L = tgα . tgθ

m2nABC: tgα =

ABM: tgθ = nm

Luego: L = tgα tgθ L = .m

2nnm

2

θ5A

C

B

1) A partir del gráfico, calcula: senθ.

a) 2/5 d) 2/7 b) 2/ 29 e) 2/29c) 5/ 29

θ

53

2) A partir del gráfico, calcula: cosθ.

a) 3/5 b) 3/8 c) 5/8d) 3/ 34 e) 5/ 34

3) En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 2 y 5 cm. Calcula el seno del menor ángulo agudo del triángulo.

a) 2/ 5 b) 2/3 c) 5/3d) 2/7 e) 2/ 7

4) En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 7 y 3 cm. Calcula el coseno del menor ángulo agudo del triángulo.

a) 7/3 b) 3/ 7 c) 7/4d) 3/4 e) 3/ 10

5) En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcula el coseno del mayor ángulo agudo del triángulo.

a) 1/ 3 b) 2/ 3 c) 1/ 5d) 2/ 5 e) 1/2

6) En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el cuádruple de uno de los catetos. Calcula la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo.

a) 4 b) 15 c) 3d) 1/ 15 e) 15/4

7) En un triángulo rectángulo la hipotenusa y un cateto están en la relación de 3 a 2. Calcula el producto del seno y la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo.

a) 2/3 b) 3/2 c) 1/6d) 5/6 e) 7/6

8) En un triángulo rectángulo los catetos están en la relación de 2 a 5. Calcula el producto del seno y coseno de uno de los ángulos agudos del triángulo.

a) 2/29 b) 5/29 c) 10/29d) 6/29 e) 15/29

9) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), reduce:

L = asenA secC

a) 1 b) a c) cd) b e) a2

155to de Secundaria


I. E. P.


10) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reduce:

L = tgA tgC + 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6


L = sen2A + sen2C

a) 1 b) b2 c) acd) a2c2 e) 2b2


L = 1 + sec2C - ctg2A

a) b2 b) a2c2 c) 1d) 2 e) 2b2


L = (b - asenA) cscC

a) a b) b c) cd) c2 e) 1


L = (a . tgA + c) senC

a) a b) b c) cd) b2 e) ac


L =

a) 1 b) ac c)

d) e) 2

1 - cosC- tgA cosA1 + senA

b2

ac

acb2

Nivel II

16) Siendo β un ángulo agudo, tal que senβ = 1/4, calcula:

C = tgβ . cosβ

a) 15 b) 15 c) 1d) 4 e) 1/4

17) Siendo α un ángulo agudo, tal que cosα = 2/3; calcula el valor de C = tgα . cscα

a) 3 b) 2 c) 1,5d) 0,5 e) 0,25

18) Siendo θ es un ángulo agudo, tal que tgθ = 2; calcula:

C = 3secθ + 3sen2θ

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

19) Si φ es un ángulo agudo tal

que:cosφ = ; calcula:

C = 5csc2φ + tg2φ

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

16

20) Sabiendo que 23+tgθ = 43; donde “θ” es un ángulo agudo, calcula

C = 2sec2θ + 10sen2θ

a) 17 b) 19 c) 21d) 25 e) 29

21) Sabiendo que 3tgφ = 94 donde “φ” es agudo, calcula:

C = 3senφ secφ + 2

a) 7 b) 13 c) 16d) 18 e) 20

22) En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos es igual a 0,6. Si el mayor lado del triángulo mide 20 cm, calcula el perímetro del triángulo.

a) 24 cm d) 54 cm b) 27 cm e) 96 cmc) 48 cm

23) En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de sus ángulos agudos es igual a 0,6. Si el área del triángulo es igual a 27 cm2, ¿cuánto mide el lado menor del triángulo?


24) En un triángulo rectángulo, el coseno de uno de sus ángulos agudos es igual a 5/13. Si el perímetro del triángulo es igual a 90 cm, ¿cuál es su área?

a) 135 cm2 d) 270 cm2 b) 90 cm2 e) 540 cm2

c) 180 cm2

25) En un triángulo isósceles, el coseno de uno de sus ángulos congruentes es igual a 0,8. Si el perímetro del triángulo es igual a 72 cm, ¿cuál es su área?

a) 172 cm2 d) 86 cm2 b) 192 cm2 e) 196 cm2

c) 384 cm2

26) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se sabe que:

senA = 2senC, calcula:L = sec2A + 4sec2C

a) 5 b) 6 c) 8d) 9 e) 10


Trigonometría




28) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se sabe que:

tgA = 9tgC, calcula:L = senA senC

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3d) 0,3 e) 0,2


tgA = 2tgC, calcula:L = sen2A + 7sen2C

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

30) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se cumple que:

calcula: L = 5sen2C + 3csc2A

a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 13

=senA tgA2

cosC tgC3

Nivel III

31) En un triángulo isósceles se verifica que uno de sus lados congruentes y el desigual están en la relación de 7 a 6. Calcula el coseno de uno de los ángulos congruentes.

a) 2/7 b) 3/7 c) 4/7d) 5/7 e) 6/7

cosA2

cosC3


= calcula:

L = 4sec2A + 3tgC

a) 7 b) 9 c) 11d) 13 e) 15

32) En un triángulo isósceles se cumple que la tangente del ángulo desigual es igual a 1,5. Calcula la cotangente de uno de los ángulos congruentes de dicho triángulo.

a) d)

b) e)

c)

13 - 25

5 + 23

13 - 23

5 - 23

13 - 32

33) Siendo “θ” un ángulo agudo, tal que cosθ = 2-3 ,

calcula: C = tgθ ctg

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

θ2

34) Siendo “α” un ángulo agudo, tal que: tgα = 2 2; calcula:

C = tgα tg

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

α2

35) Sabiendo que senα = 0,3 y tgβ = cosα, donde “α” y “β” son ángulos agudos, calcula:

C =

a) 5/13 b) 5/12 c) 7/12d) 5/26 e) 6/13

2ctgα+ 17sen2β8sec2α+ 9sec2β

30) En un triángulo ABC, se sabe que tgA = 1,875; senC = 0,6 y AC = 84 cm. Calcula el perímetro del triángulo.



tg = tgC

Calcula: L = 5 tgA + cscC

a) 2 b) 3 c) 4d) 3/2 e) 5/2

A2

12

38) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se sabe que su perímetro es igual a 7 veces “c”. Calcula el valor de:

L = cscA + ctgA

a) 1,3 b) 1,2 c) 1,6d) 1,5 e) 1,4

39) Siendo “3θ” un ángulo agudo, tal que ctg3θ = 2,4; señala el valor de:

C =

a) 0,6 b) 2,4 c) 1,2d) 1,3 e) 2,6

cosθ2cos2θ+ 1

40) Siendo “α” y “β” ángulos agudos, tales que α+ β = 45°; calcula:

C = tgα + tgβ + tgα tgβ

a) 1 b) 2 c) 3d) 2 e) 2 + 1

A

D

C

H

E

BOα β

41) Del gráfico, calcula: C = ctgα ctgβ

a) 2,5 b) 3,5 c) 4,5d) 5,5 e) 6,5

175to de Secundaria


I. E. P.


A F D

E

Q

CSB

Pθ

α

42) Si ABC es un cuadrado, donde tgα= 0,5 y PQ = 5PS, calcula:

tgθ.

a) 2/3 b) 3/4 c) 4/5d) 5/6 e) 6/7

43) Si el área de un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se expresa como a2tg ; calcula:

L = 5tgA + cscC

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

A2

=senA+senC ctgA2

senC+senA ctgC3

44) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se cumple que:

calcula: J = senA - senC

a) 1/ 13 b) -1/ 13 c) 2/ 5d) 1/ 5 e) -1/ 5

ctgα+ ctgβctgβ

SSα θ

A M N B

C

2Sβ

45) De acuerdo al gráfico, calcula el valor de:

J =

a) 3/4 b) 4/3 c) 3/5d) 5/3 e) 7/3

A

CMBα

θDN

P

46) Si ABCD es un cuadrado, calcula: S= 2tgα + 3tgθ

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

47) En un triángulo rectángulo la media aritmética de sus catetos es "n" veces su media geométrica. Determina la suma de las tangentes de los ángulos agudos del triángulo.

a) 2(n2 - 1) d) 2(2n2 - 1) b) 2(n2 + 1) e) 2(2n2 + 1)c) 2n2 - 1

48) C a lc u la e l mínimo va lor de la suma de las tangentes d e d o s á n g u l o s a g u d o s complementarios.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

A

CB

D

F

G

E

β

φα

49) Si ABCD es un cuadrado; calcula: J = 11tgβ - 7tgφ

si ctgα = 3.

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

A D E Bα β θ

H

P

QC

BH2

BP3

BQ4

50) Si en el gráfico: = = , calcula: J = sec2β(cos2α + cos2θ)

a) 1 b) 2 c) 3d) 2/3 e) 3/2

Los Egipcios pudieron haber tenido conocimiento de

la Trigonometría

Bien sabemos que una de las fuentes más importantes que nos habla de los egipcios la encontramos en su famoso papiro de Ahmes, donde se hallan cinco problemas referentes a las medidas de las pirámides, encon-trándose en cuatro de ellos el término «segt. de un ángulo», es decir del ángulo que las caras laterales de la pirámide forman con la base.Aún cuando el significado del t é r m i n o s e g t e s u n p o c o impreciso, parece que se refiere al coseno o la cotagente de dichos ángulos diedros de la base. Aparte de esto, no existe escrito o grabado algo que nos de más luces sobre el alcance egipcio en la trigonometría, pero es posible que no fuesen mucho más alla de estos primeros esbozos.

PAPIRO DE AHMES


Trigonometría




Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos II

Objetivos

Reconocer los triángulos rectángulos notables y calcular correctamente las razones trigonométricas de sus ángulos agudos.

Reconocer las propiedades de las razones trigonométricas de los ángulos agudos.

Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales, conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede precisar o aproximar la relación existente entre sus lados. Van a destacar los siguientes:

Triángulos Rectángulos Notables

37°

53°53

4

1

1

45°

45°2

30°

60°21

3

37°/21

3

10

53°/21

2

5

16°7

24

25 74°

8°1

7

82°5 2

45°/2

4 + 2 2 1

2 + 1

Según Theón, de Alejandría, entre los astrónomos griegos, es a Hiparco, especialmente, a quien puede considerarse como el verdadero creador de la Trigonometría, pues sobre los fundamentos debidos a éste, Ptolomeo publicó en el primer libro de su Almagesto, una tabla de valores de las razones t r igonométr icas , para ser u s a d o s e n l o s c á l c u l o s astronómicos.

El padre de la Trigonometría

Hiparco

195to de Secundaria


I. E. P.


(Completa)

30° 60° 45° 37° 53° 16° 74° 8° 82°

sen

cos

tg

ctg

sec

csc

Para un mismo ángulo agudo “θ”, se verifica que:

senθ . cscθ = 1 cosθ . secθ = 1 tgθ . ctgθ = 1

1) R.T. RECÍPROCAS

2) R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Notemos en el triángulo mostrado:

Por ejemplo: sen20° csc20° = 1 tg10° ctg10° = 1 cos4x sec20° = 1 4x = 20° x = 5°

senα = a/bcosα = c/btgα = a/cctgα = c/asecα = b/ccscα = b/a

senθ = c/bcosθ = a/btgθ = c/actgθ = a/csecθ = b/acscθ = b/cα

θ

A B

C

a

c

b

Es decir: senα = cosθ tgα = ctgθ secα = cscθ

Luego, podemos afirmar que:

cumpliéndose: α + θ = 90°

Si α + θ = 90°,se cumple: senα = cosθ tgα = ctgθ secα = cscθ

o

Si: senα = cosθ tgα = ctgθ secα = cscθ

α+θ= 90°

αy θ: agudos

Algunas Razones Trigonométricas

Propiedades de las R.T.

Por ejemplo:

sen40° = cos50°tg10° = ctg80°sec20° = csc70°

sen3x = cos2x 3x + 2x = 90°5x = 90° x = 18°

tg4x=ctg(x+10°) 4x+x+10°= 90°5x = 80° x = 16°

3) PROPIEDAD FUNDAMENTAL

Las razones trigonométricas de los ángulos agudos, dependen de la medida de los mismos y no de los lados del triángulo rectángulo en que se ubiquen:

ABC : senθ = BCAC

ADE : senθ = EDAE

AFG : senθ = FGAG

DCAθ

B

EF

G

senθ = FGAG

EDAE

BCAC = = = ...


Trigonometría




Ejemplo 3:

Siendo cosθ = sen230°; donde “θ” es agudo, calcular

C = tgθ tg θ2

Del dato: cosθ = cosθ =

luego:

( (12

2

14

C = tgθ tg θ2

C = . = 155

∴ C = 3

Del gráfico, calcula “tgθ”.

37° θA

B

10

C23

Resolución:

Resolución:

En el gráfico:

37° θA

B

10

CH

6

8 15

23

151

155

Ejemplo 2:

i) Trazamos BH ACii) En AHB: BH = 6 y AH = 8 HC = 15

BHC: tgθ = 6

15

∴ tgθ =25

Sabiendo que sen4x csc(x+42°)=1,calcula:

C = tg(4x+4°)cos(3x - 5°)

Resolución:

Del dato: sen4x csc(x + 42°) = 1 4x = x + 42° 3x = 42° x = 14°

Luego: C = tg(4x+4°)cos(3x - 5°)

C = tg60°

cos37° =

Sabiendo que sen5x = cosx,calcula:

C = tg(x + 5º)tg(4x + 10º)tg2x

Resolución:

De la condición:sen5x = cosx 5x + x = 90º 6x = 90º x = 15º

luego en la expresión:C = tg20º tg70º tg30º

C = tg20º ctg20º tg30º

1

En Ejemplo 1:

θ/2 θ

4 15θ/2

1

345

∴ C = 5 3

4

Ejemplo 4:

C = tg30º ∴ C = 3/3

Calcula “tgθ” a partir del gráfico mostrado.

θ

θ

A D B

C

5 4

Resolución:

A partir del gráfico:

θ

θ

A D B

C

5 4

m

=en(1):tgθ = m

969

∴tgθ = 2/3

i) Sea BC = m

ii) ABC : tgθ = m9

...(1)

ABC : tgθ = 4m

...(2)

igualando: m9

4m m2 = 36

m = 6=

Ejemplo 5:

215to de Secundaria


I. E. P.


Nivel I

1) Calcula:

a) 3 b) 1 c) 6d) 9 e) 12

C = 2sen30° + sec245°tg230°

2) Calcula:

a) 1 b) 2 c) 3d) 1/2 e) 3/2

C = sec37° + tg37°sec16° + tg16°

3) Siendo senθ = 2tg16°; “θ” es agudo, calcula:

C = tgθ cosθ = ctg53°

a) 2 b) 1 c) 1/2d) 1/3 e) 2/3

13

4) Si “α” es un ángulo agudo, tal que:

tgα=(sec37°-tg37°)Sen245° calcula: C = 9sen2α + cos2α

a) 1 d) 18/17b) 2 e) 3c) 16/17

12

5) Del gráfico, calcula: tgθ.

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 1/5 e) 1/6

45° θA

B

C5

2

6) Del gráfico, calcula tgφ.

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 3/2 e) 2/3

37° φA

B

C6

5

7) Del gráfico, calcula “tgβ” si AD = 3DC.

a) 3/2 b) 3/3 c) 3/4d) 3/5 e) 3/6

30°β

A

C

D

B

33

36

2 33

34

3 34

β

A

B

C

D

8) Si el triángulo ABC es equilátero, calcula “tgβ” si BD = 4DC.

a) b) c)

d) e)

9) Siendo sen3x csc(x + 20°)= 1, calcula: C = tg6x sec(4x + 5°)

a) 3 b) 3/2 c) 6d) 6/2 e) 6/3

10) Siendo tg4x ctg(x + 48°) = 1, calcula: C = cscx + ctgx

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

11) Calcula: C = (sen20° + 3cos70°)sec70°

a) 2 b) 4 c) 6d) 3 e) 8

(3tg10° - ctg80°)ctg10°(5cos40° - 2sen50°)sec40°

12) Calcula:

C =

a) 2/3 b) 3/2 c) 2d) 4 e) 4/3

13) Si sen5x = cos4x, determina: C = sen3x cos6x

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8d) 3/2 e) 3/4

14) Si tg2x = ctg(3x - 10°), calcula: C = sen3x sen(2x + 5°)

a) 3/4 b) 3/2 c) 6/6d) 6/2 e) 6/4


Trigonometría




Nivel II

15) De acuerdo al gráfico, calcula “tgα”.

a) 4/9 b) 9/4 c) 2/3d) 3/2 e) 1/3

A H4

B

C9α

16) Señala el valor de:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

(sen30°+3tg37°)(sec260°-tg45°)sen60° tg30°C =

17) Determina el valor de: L = (sec245° + 3 tg60°) (csc37° + ctg37°) cos60°

a) 5 b) 3 c) 3,5d) 7 e) 7,5

18) Siendo cosθ = tg430° y θ es agudo, calcula:

C = tgθ ctg

a) 4 b) 5 c) 7d) 9 e) 10

θ2

19) Siendo: cosθ = cos6 y θ es agudo, calcula:

C = tgθ tg

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

θ2

π4

tgφ= sec260° - tg245°sen37° - ctg230°

π4

π6

π3

20) Si φ es un ángulo agudo, tal que:

calcula: J = sec2(φtg )+ tg2(φtg tg )

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

θ 120°A B3

4

C

21) De acuerdo al gráfico, calcula tgθ.

a) 0,2 3 b) 0,3 3 c) 0,4 3d) 0,5 3 e) 0,6 3

3

α

A

CB 10

127°

22) De acuerdo al gráfico, calcula tgα.

a) 7/9 b) 9/8 c) 8/9d) 16/9 e) 4/9

37°

A

B

D

C

E

Mβ

23) Según lo mostrado en el gráfico, calcula: tgβ.

a) 3/17 d) 13/41b) 12/37 e) 14/39c) 12/41

24) De acuerdo a lo indicado en el gráfico, calcula tgα.

a) 0,15 b) 0,35 c) 0,65d) 0,85 e) 0,95

A

B

D

C

E

M37°

N

Fα

25) Sabiendo que: 2sen(2x+10°) tg40° ctg40°=1, calcula: C = tg26x + sec2(4x + 5°)

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

cosθ=sen50° sec40°

3tg10° tg80° + 2ctg20° ctg70°

θ2

26) Sabiendo que:

calcula: C = tgθ tg

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

27) Siendo α un ángulo agudo, tal que:

3cosα-1= tg1° tg2° tg3° ...tg89°, calcula: C = 4tg2α + 5csc2α

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

x2

28) Si sen(4x - 10°) csc(x + 20°)=1 tg4x = ctg2y, donde “x” e “y”

toman sus menores valores positivos, calcula:

C = sec2(2y - ) + tg26x

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

235to de Secundaria


I. E. P.


Nivel III

29) Sabiendo que:

sen( tgx) = cos( ctgx) señala el valor de:

C = tg5x + ctg5x

a) 2 b) 4 c) 33d) 25 e) 56

π4

π4

30) En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa y la mediana relativa a uno de los catetos se cortan perpendi-cularmente. Calcula la tangente del menor ángulo agudo del triángulo.

a) 2 b) 2/2 c) 2/3d) 2/4 e) 2/6

A D C

B

θ 37°

31) Del gráfico, calcula senθ.

a) 0,24 b) 0,12 c) 0,48d) 0,36 e) 0,96

θ

A M B

N

C

37°

32) Del gráfico, calcula tgθ.

a) 3 b) 5 c) 7d) 10/3 e) 13/3


a) 2/7 b) 3/7 c) 2/11d) 3/11 e) 4/11

θ45°A M N B

C

senθsenα

A C

B

M

N

51

α

θ

1

34) Del gráfico, calcula: J =

si el triángulo ABC es regular.

a) 0,07 b) 0,14 c) 0,21d) 0,36 e) 0,35

37°45°θA B C

T

O


a) 1/3 b) 1/4 c) 1/6d) 1/8 e) 1/16

13

tg 5π12

36) En el cubo mostrado, calcula:C = senθ tgθ

a) 2 3 b) 3 c) 2/ 3d) 3/2 e) 4/ 3

θ

A D

D’

C’B’

B C

37°

A D

B CF Gθ

37) Si ABCD es un cuadrado, calcula:C = 13tgθ + 3ctgθ

a) 16 b) 24 c) 32d) 12 e) 3 6

C = senθ - senα3 senθ

13

tg π12

15

tg π12

15

tg 5π12

16

tg π12

B

A C

37° αθ

DM

38) Si el triángulo ABC es equilátero, determina:

a) d)

b) e)

c)


Trigonometría




39) Calcula tgθ del gráfico.

a) 3/11 b) 6/13 c) 6/11d) 9/13 e) 9/11

37°

8º

A B

C

θ

D

37°

A D

B CE

θ

F

40) Si ABCD es un cuadrado, calcula senθ.

a) 11/17 d) 77/85b) 17/55 e) 37/56c) 77/86

3 + 12

3 + 33

3 + 32

3 + 34

A30°

θ

2 B

D

2

2 2

C41) Del gráfico, calcula ctgθ.

a) 3 + 1 d)

b) e)

c)

N

BA M

φD

C

45°

42) Calcula tgφ del gráfico:

a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3


a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3d) 3/4 e) 4/5

O B

CH M

A

θ

44) Calcula: C = 1sen1° sec89° + 2sen2° sec88° +3sen3° sec87° + ...40 términos

a) 720 b) 710 c) 820d) 810 e) 410

∑sen2k°k=1

89

∑cos2k°k=1

89J =

45) Calcula:

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 4 e) 1/4

46) Si tgx tgy = 1, donde x e y son agudos, calcula:

a) 6 + 2 d) 6 - 2b) 6 + 3 e) 6 - 3c) 3 + 2

C = ctg 2

x+y ctg 3

x+yctg

4x+y

47) Siendo:

donde α + β = 90º se cumple:

a) m = n d) mn = 2b) m + n = 1 e) m + n = 2c) mn = 1

m = 2senα+ cosβ

3

n = 73secβ + 4cscα

37°

θ

OO

A

B

D

C

48) Del gráfico, calcula: E = 25tg2θ + 24tgθ

a) 2 b) 8 c) 9d) 12 e) 16

π4 tgθ

tg π3

60° θA D C

B


S = sec6 - si AB=AD

a) 7 b) 6 c) 2 2d) 11 e) 13

α37°- α

β

CM

O

50) Del gráfico, calcula:S = 9tgα - tgβ

a) -1/3 b) 1/3 c) -7/3d) 7/3 e) 0

255to de Secundaria


I. E. P.


Repaso

Nivel I

1) De acuerdo al gráfico, señala lo correcto.

a) α - β = 90° d) α + β =180°b) α + β = 90° e) α - β =270°c) α - β = 180°

β

α

2) De acuerdo al gráfico, señala lo correcto si OE es bisectriz del COD.

a) θ - α = 90° b) θ - 2α = 90° c) θ - α = 180°d) θ - 2α = 180°e) θ + 2α = 180°

O B

E

CA

α θ

3) Calcula: C =

a) 6 b) 12 c) 14d) 16 e) 20

80g + 8°π36

rad

4) Calcula: L =

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

140g - 6°π3

rad

9) En un triángulo rectángulo los lados menores miden 2 y 3 cm. Si el menor de los ángulos agudos mide “θ”, calcula:

C =

a) 5/12 b) 5/6 c) 7/12d) 7/6 e) 7/24

cos2θ - sen2θsenθ cosθ

π10

π10π20π50

π100π

200

5) Si rad = (7x+4)°; expresa xg en radianes.

a) rad d) rad

b) rad e) rad

c) rad

3π20

11π18011π54013π90

13π18013π540

6) Si rad = (7x + 2)g; expresa

x°(5x)’ en radianes.

a) rad d) rad

b) rad e) rad

c) rad

10) En un triángulo rectángulo los lados menores miden 3 y 7 cm. Si el mayor de los ángulos agudos mide “α”, calcula:

C = 2sen2α + cos2α

a) 1,3125 d) 2,3125b) 2,1225 e) 3,1275c) 1,5625

7) Si θ es un ángulo agudo, tal que senθ = 0,75; calcula:

C = 7 ctgθ + 2cscθ

a) 2 b) 3 c) 5d) 6 e) 7

8) Si φ es un ángulo agudo, tal que tgφ = 6 ; calcula:

L = sen2φ- cos2φ

a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7d) 1/7 e) 3/7


Trigonometría




14) Sabiendo que tg4x = ctgy y senx csc2y = 1, calcula:

C = sen(x + y) + 2sen23x

a) 1 b) 2 c) 3d) 3/2 e) 1/2

13) Siendo: tg3x ctg(y - 10°) = 1 y seny = cosx, calcula:

C = sen2(y - 10°)+sen4(2x+5°)

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 2/3 e) 3/2

12) Del gráfico, calcula “tgα” si ABCD es un cuadrado.

a) 6/19 b) 7/19 c) 8/19d) 9/19 e) 10/19

37° M

A D

B CE

α


a) 6/7 b) 3/4 c) 5/6d) 5/7 e) 7/8

A M D B

C

37° θ 45°

16) Sabiendo que:

rad = 4a° 3b’ 1c’’,

calcula: .

a) 1 b) 2 c) 3d) 1/2 e) 2/3

3π13

cab

17) Si rad = 5a° 2b’ 4c’’,

calcula bc + a.

a) 7 b) 8 c) 13d) 15 e) 16

2π7

18) Del gráfico, se cumple:

a) 3x - 2y = 90°b) 2x - 3y = 90°c) 2x - 3y = 60°d) 3x - 2y = 60°e) 2x - 3y = 30°

5yg

3x°

15) De acuerdo al gráfico, determina "x" en función de los datos indicados.

a) Ltgθ(secθ - 1)b) Lsenθ (secθ - 1)c) L(tgθ secθ - 1)d) L(tgθ - 1)e) Lctgθ(cscθ - 1)

AC O

L

D

B

x

θ

19) Del gráfico, lo correcto es:

a) 3y - 10x = 15b) 3y - 10x = 150c) 3y - 10x = 300d) 3y - 10x = 50e) 3y - 5x = 15

6x° 2yg

21) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que: atgA = 2c Calcula: Q = 5sen2A - sen2C

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

22) En un triángulo isósceles, donde los ángulos congruentes miden θ cada uno; se cumple que su perímetro es igual al cuádruple del lado desigual. Calcula:

C = senθtgθ

a) 8/9 b) 8/3 c) 2/3d) 3/8 e) 9/8

Nivel II

20) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se sabe que:

3c senA = b Calcula: Q = tgA + tgC

a) 3 b) 6 c) 9d) 6 e) 2 3

23) En un triángulo isósceles se sabe que su área es igual a los 3/2 del cuadrado de su lado desigual. Calcula el seno de uno de sus ángulos congruentes.

a) 0,1 10 d) 0,1 5b) 0,2 10 e) 0,2 5c) 0,3 10

275to de Secundaria


I. E. P.


25) Si tgα = 0,5 y tgθ = 0,2; además AC = 14 cm, ¿cuál es el área del triángulo?

a) 14 cm2 d) 56 cm2

b) 28 cm2 e) 35 cm2

c) 49 cm2

A C

B

α θ

26) Si “θ” es un ángulo agudo, tal que:

reduce: C =

a) n b) n+2 c) nd) n- 2 e) n + 1

n+2 ctgθ

cscθ - 1

12

13

14senθ= (1 - ) (1 - ) (1- )... n factores

30) Si tg3x ctg(x + 40º) = 1 y sen(2x + 12º) = cos2y, calcula: P = 4tg(x + y - 2º)+ 2sen23x+ 3tg(3y - 4º)

a) 7,5 b) 8,5 c) 9,5d) 10,5 e) 12,5

28) En un triángulo rectángulo ABC (B=90º) se ubican “D” y “E” sobre AC, tal que:

5AD = 2DE = 10 EC Si ABD = α y EBC = β, calcula: Q = ctgα ctgβ.

a) 9 b) 8 c) 12d) 21 e) 32

29) En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), el ángulo formando por la altura BH y la mediana AH es θ (tgθ = 5). Calcula la tangente de uno de los ángulos congruentes de dicho triángulo.

a) 0,2 b) 0,4 c) 0,5d) 0,6 e) 0,8

32) Señala el valor mínimo de:

K =

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 60

6ag

b’ +bº

10am ; a, b ∈ R+

33) Sabiendo que un ángulo “α” se expresa como xºy’ y también como zg; x, y, z ∈Z+, calcula el menor valor de “α” en radianes, de modo que x, y, z sean números de 2 cifras.

a) d)

b) e)

c)

2π25

rad

4π25

rad

3π25

rad

3π50

rad

7π25

rad

34) En un triángulo, dos de sus ángulos se expresan como (5x2 + 8x + 5)º y 20xg. Si la relación entre ellos es mínima (1.º a 2.º ángulo), ¿cuál es la medida del tercer ángulo?a) d)

b) e)

c)

2π5

rad

3π5

rad

4π5

rad

3π4

rad

2π3

rad

31) Si en el gráfico OD y OE trisecan el BOC; señala el valor de:

a) 2 b) 1,6 c) 1,8d) 2,6 e) 2,8

J = θα + 200

αg θ

A CO

E

D

B

Nivel III24) En un triángulo isósceles, el coseno de uno de los ángulos congruentes es igual a 0,2. Si el perímetro del triángulo es igual a 36 cm, ¿cuál es su área?

a) 9 6 cm2 d) 24 6 cm2

b) 12 6 cm2 e) 36 6 cm2

c) 18 6 cm2

27) Siendo “α” un ángulo agudo, tal que:

halla: C=n2csc2α - 2(n+1)tgα

a) n2 + 1 b) 2n2+1 c) n2 -1d) 2n2- 1 e) 3n2 + 1

13 + 1

6 + + +tgα= ... n sumandos112

120

130


Trigonometría




38) Si en un triángulo ABC tgA = 1,05 y tgC = 2,4; además

AC = 345cm, ¿cuál es su área?

a) 52 720 cm2 d) 34 250 cm2

b) 43 470 cm2 e) 28 235 cm2

c) 16 540 cm2

35) Se tienen tres ángulos cuya suma de medidas es 90º. Si uno de ellos mide (x2 + 6x + 19)º y es mínimo; mientras que otro mide (x2-4x- 1)g, ¿cuál es la medida circular del tercer ángulo?

a) d)

b) e)

c)

17π90

rad

31π90

rad

7π30

rad

π5

rad

π3

rad

36) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), se sabe que su perímetro es igual a 4a. Calcula

tg .

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 1/5 e) 1/6

A2

37) Si θ es un ángulo agudo, tal que

tgθ . tg = ; calcula:

A = 2cosθ - senθ

a) 1/2 b) 1/3 c) 1d) 2 e) 2/3

θ2

14


H =

a) 1 b) 2 c) 1/2d) 3 e) 1/3

ctgα + ctgθcscα

A C

B

α

θ θ

40) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual al quíntuple del inradio. Si el menor ángulo agudo mide “θ”, calcula:

C =

a) 1 b) 1/5 c) 5d) 2/5 e) 5/2

ctg θ2 + ctg(45º - )θ

2

41) Si ABCD es un cuadrado, calcular: J =13tgβ - 16tgα

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

B E C

A D

G F

37º

α β

42) Si en un paralelepípedo, su diagonal forma con las aristas que concurren en uno de sus extremos, ángulos agudos que miden 60º, 53º y θ; calcula el valor de:

C= 71 senθ - sen30º

a) 5 b) 6 c) 7d) 3,5 e) 6,5

15


J =

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

7tgα + 13tgβctgθ+ ctgφ

Q θ

φP

30ºMA NO B

C

α

β

46) Si en el gráfico AB = BC y MNPQ es un cuadrado, calcula “tgφ”.

a) 0,29 b) 0,38 c) 0,19d) 0,58 e) 0,76

φ

A M Q C

N P

32º

S

44) Del gráfico, calcula “tgθ”. (AD = 2DB)

a) 2 b) 2,5 c) 3d) 3,5 e) 4

45ºA D B

Mθ

E

C

45) Siendo x e y ángulos agudos, tales que tgx + tgy = ctgx + ctgy,

calcula:

a) 3 b) 3 + 1 c) 3-1d) 6 - 1 e) 6 + 1

sec( ) sen( ) sec( )x+y2

x+y3

x+y6C =

295to de Secundaria


I. E. P.


49) Si en el gráfico PQ // AC, halla:

J = ; (AB=AE y CB = CD)

a) tgθ d) ctg2θb) ctgθ e) secθcscθc) tg2θ

senxseny

xyP Q

B

A D E Cθ

50) Del gráfico, halla:

J =

a) sen2θ d) csc4θb) sen4θ e) sec2θc) sec4θ

S1 + S3 + S5

S2 + S4 + S6

BP

RT

CSQHA

S1

S2S3

S4

S5

S6θ

Los intelectuales latinos del siglo XII devoraron la trigonometría árabe tal como aparecía en las obras astronómicas. Precisamente fue de la traducción de Roberto de Chester, del árabe, de donde salió nuestra palabra seno; los hindúes habían utilizado el nombre jiva para designar la semi cuerda que aparece en trigonometría, y los árabes habían adoptado este nombre bajo la forma jiba. Ahora bien, en árabe existe también la palabra jaib que significa bahía o ensenada, y cuando Roberto de Chester se encontró con el término técnico jiba, al hacer su traducción debio confundirlo, al parecer, con la palabra usual jaib (quizá debido a la omisión de las vocales en árabe), y lo tradujo por la palabra sinus, que es el nombre latino para bahía o ensenada.

El origen del seno

47) Un árbol es cortado a “h”m del suelo y al caer, forma con el suelo un ángulo agudo “β”; pero si se cortase 1m más abajo, formaría un ángulo agudo “θ” con el suelo. Halla “h”.

a) d)

b) e)

c)

cscθ + 1cscθ- cscβ

cscθ + 1cscθ+ cscβ

cscβ + 1cscθ+ cscβ

cscθ+ cscβcscθ- 1

cscβ + 1cscθ- cscβ

48) En el cuadrado ABCD, calcula:

J =

a) d)

b) e)

c)

senαsenβ

25

1,3

45

1,3

35

1,3

25

2,6

45

2,6

βα

A E F D

B C

El teodolito es un instrumento para medir ángulos. En este ap arato s e combinan una brújula, un telescopio central, un circulo graduado en posición horizontal y vertical. Con estos elementos y su estructura mecánica se pueden obtener rumbos, ángulos horizontales y verticales. Asimismo mediante cálculos y el apoyo de elementos auxiliares pueden determinarse distancias horizontales, verticales e inclinadas.

E l t e o d o l i t o t i e n e t r e s movimientos independientes, dotados cada uno de ellos con su correspondiente tornillo de maniobra, dos alrededor de ejes verticales que son el movimiento general y el particular de la alidada acimutal, y uno al rededor del eje horizontal o movimiento del eclímetro.

El teodolito


Trigonometría




Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos III

Objetivos

Determinar los lados d e s c o n o c i d o s d e u n triángulo rectángulo en función de un lado y ángulo agudo conocido.

Determinar el área de un triángulo cualquiera.

Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en función de un lado y de un ángulo agudo conocidos. Para dicho fin, usaremos el siguiente criterio:

Cálculo de Lados

lado desconocidolado conocido = R.T. ( conocido)

CASOS:

1)

yL = tgα

xL = secα

x= Lsecα

Lα

xy

2)

xL = ctgα

yL = cscα

y= Lcscα

x= Lctgα

3)

α

L

xL = cosα

yL = senα

y= Lsenα

x= Lcosα

y

RESUMIENDO:

Lα

LsecαLtgα

L

x

α

y

x

Viéte encontró en 1593 una oportunidad inesperada de aplicar sus fórmulas de los ángulos múltiples. Un matemático belga, Adriaen Van Roomen o Romanus (1561-1615), había lanzado un desafío público a cualquiera que se sintiera con fuerzas para resolver la ecuación de grado 45:

x45 - 45x43 + 945x41 - ...

- 3795x3+ 45x =k

El embajador de los Países Bajos en la corte de Enrique IV se jactaba de que no había en Francia ningún matemático capaz de resolver el problema propuesto por su compatriota. Viéte, llamado en esta ocasión a defender el honor de sus paisanos, observó que la ecuación propuesta era exactamente la que resulta al expresar k=sen45q en términos de x=2senq, y así pudo calcular rápidamente las raíces positivas. El éxito de Viéte impresionó tanto a Van Roomen que le hizo una visita especial con esta ocasión.

Viéte Francois1540 -1603

315to de Secundaria


I. E. P.


El área de un triángulo es igual al semiproducto de dos de sus lados multiplicados por el seno del ángulo que forman.

Área de un triángulo

L

Lctgα

α

Lcscα

Lcosα

α

L y

αA

h

H Cb

βac

B

* En el gráfico: SABC = ...(1)b . h

2

* En AHB: h = c senα

En (1): SABC = b . c senα2

∴ SABC = b . c 2 senα

Análogamente:

SABC =bc 2

senα = ac 2

senβ

= ab2

senθ

En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos mide “θ” y la hipotenusa mide “L”. Expresa el área del triángulo en función de “L” y “θ”.

Resolución:

Graficando:

Sθ

A B

C

Lcosθ

LLsenθ

tenemos: BC = Lsenθ AB = Lcosθluego:

S = Lcosθ . Lsenθ2

∴ S = L2

2senθ cosθ

En un triángulo isósceles, el lado desigual mide “L” y uno de los ángulos congruentes mide “θ”. Expresa el perímetro del triángulo en función de “L” y “θ”.

Resolución:

Graficando:

L2

secθ

A CHL/2 L/2

L

θ θ

B

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

i) Trazamos BH AC →AH = HC = L

2

ii) AHB:AB = secθ=BC L2

iii) 2PABC = L + secθ + secθ

= L + Lsecθ

L2

L2

∴ 2PABC = L(1+ secθ)

De acuerdo a lo mostrado en el gráfico, calcula: L = ctgα + ctgθ

αh

B

A C

5h

θ

Resolución:

Del gráfico:

αh

B

A C

5h

θ

hctgα hctgθ

i) AHB : AH = hctgα ii) BHC : HC = hctgθ

iii) AH + HC = AC hctgα + hctgθ = 5h reduciendo: ctgα + ctgθ = 5

L

∴ L = 5

H

Ejemplo 3:


Trigonometría




Ejemplo 4:

De acuerdo al gráfico, calcula: tgθ si AB = 27cm y PQ = 1 cm.

A B

C

PHQ

θ

Resolución:

Del gráfico:

A B

C

PH

Q

θ

θ27sen2θ

27senθθ

27

i) AHB : HB = 27senθ ii) BPH: HP = BH HP= 27senθ. senθ HP = 27 sen2θ

iii) HQP : senθ =

senθ =

PQHP

127sen2θ

⇒ sen3θ = 127

⇒ senθ = 13

como piden “tgθ”, entonces:

θ

2 2

3 1

tgθ = 1

2 2. 2

2

∴ tgθ=24

Ejemplo 5:

En un triángulo ABC: AB = 4cm, BC = 5cm y mABC = 74°.Calcula la superficie del triángulo.

Resolución:

74°

S4 5

A C

SABC = 4 . 5

2sen74° = 10 . 24

25 = 485

∴ SABC = 9,6 cm2

A lb er t E ins te in , f í s i co y matemático, publicó en 1916 la Teoría general de la relatividad. En ella demostró que la velocidad de la luz (300000 km/s en el vacío) es la única constante en el universo, es decir, mientras todo cambia, la velocidad de la luz, representada por la letra c, permanece invariable.

De la misma manera que se dio una competencia entre los sistemas de numeración de origen griego e hindú, también en los cálculos astronómicos hubo, en Arabia, al principio dos tipos de trigonometría: una la geometría de la cuerdas griegas, tal como se encuentra en el Almagesto, y la otra basada en la tabla de senos hindúes, tales como aparecen en el Sind hind. Y también en este caso el conflicto se resolvió con el triunfo de la postura hindú, por lo que en última instancia la mayor parte de la trigonometría árabe se construyó basada en la función seno. De hecho, además, fue a través de los árabes y no directamente de los hindúes como paso a Europa la trigonometría del seno. El vehículo de transmisión primario fue la astronomía de Al-Battani (850-929), más conocido en Europa como Albategnius, aunque Thabit Ibn-Qurrá parece haber utilizado el seno quizá algo antes.

La Trigonometría Árabe

335to de Secundaria


I. E. P.


Nivel I

1) En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos mide “β” y el cateto opuesto a él mide L. Halla el mayor lado del triángulo.

a) Lsenβ d) Lsecβ b) Lcscβ e) Lctgβ c) Lcosβ

2) En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos mide “θ” y el cateto adyacente a él mide L. Halla el otro cateto.

a) Lsenθ d) Lctgθ b) Lcosθ e) Lsecθ c) Ltgθ

3) En un triángulo rectángulo uno de sus ángulos agudos mide “α” y el mayor de sus lados mide L. Determina el cateto adyacente a α

a) Lctgα d) Lcosα b) Ltgα e) Lcscα c) Lsecα

4) En un triángulo rectángulo uno de sus ángulos agudos mide β y el mayor de sus lados mide L. Expresa el área del triángulo en función de L y β.

a) L2senβ d) senβcosβ

b) L2cosα e) L2 senβcosβ

c) senβL2

2

L2

2

6) En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos mide “θ” y el cateto opuesto a él mide “L”. Expresa el perímetro del triángulo en función de L y “θ”.

a) L(1 + senθ + cosθ)b) L(1 + secθ+ tgθ)c) L(1 + cscθ + ctgθ)d) L(1 + tgθ + ctgθ)e) L(1 + cscθ + senθ)

5) En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos mide φ y el cateto adyacente a él mide L. Expresa el área del triángulo en función de L y φ.

a) tgφ d) cosφ

b) ctgφ e) secφ

c) senφ

L2

2L2

2L2

2

L2

2L2

2

7) A partir del gráfico, determina “x” en función de “h”, “α” y “θ”.

a) h(cosα- senθ)b) h(ctgα - tgθ)c) h(tgα - ctgθ)d) h(secα - cscθ)e) h(ctgα - ctgθ)

A D Bx

α

θ

C

h

9) A partir del gráfico mostrado, expresa “x” en función de “α”, “β” y “L”.

a) Lsenα tgβb) Lsenβ tgαc) Lsenα senβd) Lsenα cosβe) Ltgα tgβ

α

β

A D B

C

L

x

10) A partir del gráfico mostrado, expresa “x” en función de “L”, “α” y “θ”

a) Lsenα cosθb) Lcosα senθc) Lcosα cosθd) Lsenα senθe) Lsecα cscθ

αθ

A B

C

D

L

x

8) A partir del gráfico, determina “x” en función de “h”, “α” y “β”.

a) h(cosα+ cosβ)b) h(senα + senβ)c) h(tgα + tgβ)d) h(ctgα + ctgβ)e) h(secα + secβ)

A C

B

h

x

α β


Trigonometría




Nivel II11) De acuerdo al gráfico, calcula el valor de C = ctgα + ctgθ.

a) 5 b) 1/5 c) 4d) 1/4 e) 10

A C

B

hθα

5h

12) De acuerdo al gráfico, calcula el valor de C = ctgα - ctgβ.

a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) -2

α βA D B

C

13) En un triángulo ABC, AB = 2, BC = 5 y ABC = 53°. ¿Cuál es el área del triángulo?

a) 2 u2 b) 3 u2 c) 4 u2

d) 5 u2 e) 6 u2

14) En un triángulo ABC, AC = 8, AB=4 y BAC = θ (tgθ = 3/ 7). Calcula el área del triángulo.

a) 6u2 b) 8 u2 c) 10 u2

d) 12u2 e) 18 u2

15) En un triángulo ABC, se sabe que su área es igual a 4u2; además AB = 6 y BC = 4. Calcula sen ABC.

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 1/5 e) 1/6

16) Una escalera de longitud “L” está apoyada en una pared, formando un ángulo agudo “θ” con la horizontal. Determina la distancia del punto de apoyo de la escalera en el suelo, a la base de la pared.

a) Lsenθ b) Lcosθ c) Ltgθd)Lctgθ e) Lsecθ

17) Una escalera está apoyada en lo alto de un edificio de altura “h”, formando un ángulo agudo “φ” con el suelo. Determina la longitud de la escalera.

a) hsenφ d) hcscφb) hcosφ e) hctgφc) hsecφ

18) Los rayos solares inciden en una torre formando un ángulo agudo “α” con ella. Si la altura de la torre es “h”, ¿cuál es la longitud de la sombra que proyecta?

a) hsenθ d) hctgθb) hcosθ e) hsecθc) htgθ

19) Una torre proyecta una sombra de longitud “L” cuando los rayos solares forman con el suelo un ángulo agudo “θ”. ¿Cuál es la altura de la torre?

a) Lsenθ d) Lctgθb) Lcosθ e) Lsecθc) Ltgθ

20) Una escalera de longitud “L” está apoyada en un edificio formando un ángulo “α” con el suelo. Se hace girar la escalera manteniendo el punto de apoyo en el suelo hasta que toca otro edificio formando ahora un ángulo agudo “β” con el suelo. Si los edificios y la escalera se encuentran en un mismo plano vertical, determina la distancia que separa a los edificios.

a) L(senα + senβ)b) L(cosα + cosβ)c) L(secα + secβ)d) L(cscα + cscβ)e) L(ctgα + ctgβ)

22) De acuerdo al gráfico, determina “x” en función de los datos indicados.

a) (h + Lsenα)ctgθb) (h + Lsenα)tgθc) (h + Lcosα)ctgθd) (h + Ltgα)tgθe) (h + L tgα)ctgθ

α

θL

h

x

//=//=//=//=//=//=// //=//=//=//=

21) Una escalera está apoyada en una pared formando un ángulo agudo “α” con el suelo. Si desciende su punto de apoyo, en el edificio, una longitud “L” formando ahora un ángulo agudo “φ” con el suelo. Determina la longitud de la escalera en función de L, α y φ.

a) L(senα - senβ)

b) L(tgα - tgφ)

c)

d)

e)

Lsenα - senφ

Ltgα - tgφ

Lcosφ - cosα

355to de Secundaria


I. E. P.


Nivel III

24) Un aro de diámetro “D” es visto por un niño bajo un ángulo “2θ”. ¿Cuál es la mínima distancia del ojo del niño al aro?

a) D(cscθ - 1)

b) D(secθ - 1)

c) (cscθ - 1)

d) (secθ - 1)

e) (1 - senθ)

D2D2D2

25) Un astronauta divisa a la Tierra bajo un ángulo “θ”. Si el radio terrestre es “R”, ¿a qué altura se encuentra el astronauta?

a) R(cscθ - 1)

b) R(secθ - 1)

c) R(csc - 1)

d) R(sec - 1)

e) R(1 - cos )

θ2 θ2 θ2

23) De acuerdo al gráfico, determina “x” en función de los datos indicados.

a) Lcosα +d+(Lsenα+h)ctgθb) Lcosα +d+(Lsenα+h)tgθc) Lsecα +d+(Lsenα+h)ctgθd) Lsecα +d+(Lsenα+h)tgθe) Lcscα +d+(Lsenα+h)tgθ

x

α

θ

L

h

d

26) Un terreno triangular está cercado con alambres de longitudes 100m y 80 m, formando un ángulo de 53°. ¿Cuál es la superficie del terreno?

a) 320 m2 d) 1600 m2

b) 160 m2 e) 640 m2

c) 3200 m2

28) Un padre de familia tiene un terreno triangular limitado por dos cercas de 60 y 80 m; las cuales forman un ángulo de 53°. Reparte el terreno entre sus dos hijos tomando dos puntos en las cercas que las dividen en la proporción de 2 a 1 y de 1 a 3, respectivamente; respecto al punto de encuentro de las dos cercas. ¿Cuántos metros más de terreno recibe uno de los hermanos respecto del otro?

a) 1600 m2 d) 640 m2

b) 1280 m2 e) 1140 m2

c) 800 m2

29) Se tiene un terreno triangular, donde dos de sus dimensiones son “a” y “b”, las cuales forman un ángulo “θ”. Si se traza la bisectriz de “θ” se divide el terreno en dos, cuyas áreas están en la razón:

a) d)

b) e)

c)

aba2

b2

a+ba

a+bbab

a2+b2

27) Calcula la superficie de un terreno que tiene las dimensiones mostradas:

(senθ = )

a) 480 m2 d) 420 m2

b) 960 m2 e) 840 m2

c) 240 m2

12 5

A

B C

D

80m

40m

40m

53ºθ

30) En un terreno circular se toma una zona como la mostrada para crear un lugar de recreo para niños. Determina su superficie.

a) (m2 + n2) senθ

b) (m2 + n2) cosθ

c) ( ) senθ

d) ( ) cosθ

e) mn senθ

m2 + n2

2m2 + n2

2

On

m

θ

31) En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), se sabe que su perímetro es “2p” y uno de los ángulos congruentes mide “θ”. Halla:

a) cosθ + 1 d) cscθ + 1b) senθ + 1 e) ctgθ + 1c) secθ + 1

2pb

; (AC = b)

32) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); CAB = α. Halla:

a) tgα d) ctgα

b) tgα e) secα

c) ctgα

SBC2 (S: área del ∆ ABC)

12

12

12


Trigonometría




36) Si ABCD es un cuadrado, calcula el mínimo valor de “tgα” (θ es agudo).

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/2d) 4/3 e) 3/4

B C

A D

θα

P

33) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se sabe que BAC = θ (θ<45°) y además AC = m.

Halla el área del triángulo ABC.

a) sen2θ d) cos2θ

b) sen2θ e) cos2θ

c) m2sen2θ

m2

2m2

4

m2

2m2

4

35) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), se sabe que BCA = θ (θ < 45°). Se traza la mediatriz de AC que corta a AC en “M” y a BC en P. Si PM = n, halla la longitud de AB en función de los datos.

a) ncosθ d) 2nctgθb) nsenθ e) 2ncosθc) 2ntgθ

40) Desde un punto “P” se trazan dos tangentes a una circunferencia de radio “R”. Si estas tangentes forman un ángulo “2θ” y la mínima distancia de “P” a la circunferencia es “D”; halla “R”

a) d) b) e)

c)

Dsecθ - 1

Dcscθ - 1

D1 - senθ

D1 - cosθ

D1+ tgθ

39) En un triángulo ABC(B = θ); su área se expresa como tgθ. ¿Cuál es el valor de “θ”?

a) 30° b) 60° c) 45°d) 75° e) 15°

ac4

38) Del gráfico, halla: J=

a) cos5θ b) cos4θ c)cos3θd) cos2θ e) cosθ

tgα - tgβtgθ

βα

A H Q C

BP

S

θ

41) Una torre está sujeta con dos cables tensos, desde su parte alta hasta dos puntos en tierra A y B, ubicados a un mismo lado de la torre, formando ángulos de 20° y 40° con el suelo. Si AB = 12m y sen50° ≅ 0,766, ¿cuál es la altura de la torre?

a) 9,192 m d) 6,894 mb) 4,596 m e) 13,788 mc) 18,384 m

42) ¿Cuál sería la longitud de un lado de un polígono regular de “n” lados, inscrito en una circunferencia de radio “R”?

a) 2Rtg d) 2Rsen

b) 2Rsen e) 2Rsen

c) 2Rtg

πnπn

π2n

π2n2πn

34) En una semicircunferencia de radio “R” y diámetro AB, se traza la cuerda AC. Expresa el área del triángulo AMC en función de los datos indicados; siendo “M” un punto de AB, tal que:

y CAB = θ

a) 0,3R2sen2θ d) 0,8R2sen2θb) 0,6R2sen2θ e) 1,2R2sen2θc) 0,5R2sen2θ

AM3 =

MB2

37) Del gráfico, halla J =

a) d)

b) e)

c)

sen2θcosθsenθcos2θcos2θsenθ

cos2θcosθcosθ

cos2θ

S1

S2

θθ θ

S1S2

A C

C D

43) Del gráfico, señala el valor mínimo de “ctgφ”.

a) 2 b) 4 c) 2 3d) 4 2 e) 4 3

φA M B

D

C

375to de Secundaria


I. E. P.


44) Del gráfico, halla el área del cuadrilátero ABCD.

a) R2(cosβ+cosα)(senβ-senα)b) R2(cosα-cosβ) (senα+senβ)c) R2(ctgα - ctgβ) (tgα + tgβ)d) R2(secα - secβ) (cscα+cscβ)e) R2(secα+secβ) (cscα-cscβ)

2α 2βO

R

A

B

Q

C

D

45) Del gráfico, determina S2 - S1; en función de “θ”.

a) senθ d) senθ

b) senθ e) senθ

c) senθ

123243

23

S1S2

3 4

B

E2

A C

3D

46) Si en el gráfico BEC = φ y BDA = θ, halla:

J =

a) tg2α ctgθ ctgφb) tg2α tgθ tgφc) ctg2α ctgθ ctgφd) ctg2α tgθ tgφe) sen2α ctgθ ctgφ

S12

S2 S3

S2S3S1

α

AE

B

C

D

48) Del gráfico, halla “x”.

a) ctgθ(tg2θ - ctgθ)b) ctgθ(tg2θ - tg2θ)c) ctgθ(tg22θ - tg2θ)d) ctgθ(ctg2θ - ctg22θ)e) ctgθ(ctgθ - tg2θ)

A H C

B

Qx

Pθθ 1

50) Del gráfico mostrado, halla “ctgφ” en función de los datos indicados (L1 // L2).

a) b)

c)

d)

e)

acscθ - bctgθa

acscθ - bctgθb

bcscθ - actgθa

bcscθ - actgθb

asecθ + btgθa

L1 L2

b

a

φ

θ

¿Por qué triángulos? Porque

son los bloques básicos de

construcción para cualquier

figura rectilínea que se pueda

construir.

El cuadrado, el pentágono u

otro polígono puede dividirse

en triángulos por medio de

líneas rectas radiando desde un

ángulo hacia los otros.

47) Si ABCD es un cuadrado, señala el equivalente de:

J =

a) tgβ d) 2ctgβb) 2tgβ e) ctgβc) 3tgβ

1 - tgα1 - tgβ

A

H

B E C

F

G D

β α

49) En el cubo mostrado, calcula:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 1/2

J = tg2α - tg2θtgβ

θ

α

β

θ


Trigonometría




Ángulos Verticales y Horizontales

Objetivos

Interpretar correctamente los enunciados respecto a ángulos ver t ica les y hor i z ont a l e s ; p ar a su posterior representación gráfica.

Aplicar los apuntes de razones trigonométricas de ángulos agudos a la resolución de los enunciados anteriores.

Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical, que en la práctica son formados por una línea visual y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación; tal como se muestra en el gráfico.

Ángulos Verticales

Una de las aplicaciones de los ángulos verticales son las ANTENAS PARABÓLICAS, porque estas barren ángulos verticales y horizontales.

Las antenas parabólicas t i enen como func ión l a radiación o la recepción de ondas electro-magnéticas, su elemento reflector parabólico concentra la energía en el punto focal, obteniendo así, su característica de transmisión o recepción unidireccional según sea su aplicación. Con la antena parabólica podemos ver imágenes y sonido en directo de otros paises (partidos de fútbol, conferencias, noticias, etc.).

Líneahorizontal

Línea visual

βα

Línea visual

α ∧ β: ángulos verticalesα : de elevaciónβ : de depresión

Ángulos Horizontales

Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal, que son determinados por el uso de un instrumento de navegación denominado Rosa Náutica, que es un sistema de referencia como el mostrado en el gráfico adjunto, donde se muestran los puntos cardinales y al punto “R” se le denomina referencia a partir del cual se ejecutan la localización de otros puntos (personas, ciudades, etc.) mediante el trazado de direcciones, tales como RA, RB y RC.

Este (E)R

Sur (S)

Oeste (O)

B ANorte (N)

20ºO R E

A

N

S

“A” está al E20º N de “R”.“A” está 20º al norte del este de “R”.

C

NOTACIÓN DE UNA DIRECCIÓN

395to de Secundaria


I. E. P.


Resolución:

Graficando:

“B” está al N60º O de “R”.“B” está 60º al oeste del norte de “R”.

O

B

E

N

60º

R

S

“C” está al OθS de “R”.“C” está θ al sur del este de “R”.

O

C

R

N

θ

S

E

“D” está al EαS de “R”.“D” está α al sur del este de “R”.

O R α

N

S

E

D

Se determinan por el trazado de bisectrices de manera consecutiva entre los ejes principales. Por ejemplo:

N

OS

E

N1

4NE

NNENE

1

4N NE

NE1

4E

ENE

E1

4E

α

O Eα

NNNO1

4N NO

1

4NO N

NO1

4NO O

ONO1

4O NO

S

O

S

OSO

αO

1

4SO

SO1

4O

SOSO

1

4S

E

N

SSO S1

4SO

En cada uno de estos casos: α = 11°15’ α = radπ

16

Los problemas de este capítulo son netamente textuales, por lo que la elaboración del gráfico de los mismos va a incidir fuertemente en la resolución de éstos. Se recomienda elaborar un gráfico sencillo pero muy referencial, que permita visualizar todos los datos que se indiquen en el texto y se reconozca también la incógnita del mismo.

i) 3k = 36 → k = 12ii) x = 4k → x = 48m

Resolución:

Graficando:

i) Se nota que: AHP: AH = hctgθ PHB: HB = htgθ

A Hhctgθ htgθ B

3h

θ 90º -θθ

h

θ

P

37º

5k

4k

3k 36

//=//=//=//=//=//=//=//=//=//

x

DIRECCIONES NOTABLES COMENTARIO

Oα

N

ESE

E

SE1

4E

SESE1

4S

SSES1

4SES

E SE1

4

Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre de 36 m de altura con un ángulo de elevación de 37º. ¿A qué distancia de la base de la torre se encuentra el punto de observación?

Ejemplo 1:

Desde lo alto de un edificio se divisan dos objetos en direcciones opuestas con ángulos de depresión complementarios. Si uno de los ángulos mide “θ”, calcula: C = tg2θ + ctg2θ si la distancia entre los objetos es igual a 3 veces la altura del edificio.

Ejemplo 2:


Trigonometría




ii) AH + HB = AB = 3h hctgθ + htgθ = 3h reduciendo: tgθ + ctgθ = 3 elevando al cuadrado: (tgθ + ctgθ)2 = 32

tg2 θ+ 2tgθctgθ + ctg2θ = 9

1

tg2θ + 2 + ctg2θ = 9 tg2θ+ctg2θ = 7

C∴ C = 7

Ejemplo 3:

Señala la medida del menor ángulo formado por las direcciones N20ºE y S40ºE.

Graficando, tenemos:

20º + x + 40º = 180º x + 60º = 180º

∴ x = 120º

Resolución:

Graficando:

Es recomendable, ante el trazado de varias direcciones, prolongar los ejes principales formando un rectángulo para luego trabajar en cada triángulo rectángulo generado:

APB: AB = 100 →PB = 60 y AP = 80

ASC: CS =30 y AS = 110

→ttgα = 30110

∴tgα = 3

11

Desde dos puntos en tierra ubicados al sur y al este de una torre, se divisa su parte más alta con ángulos de elevación de 45º y 37º. Si la torre mide 48m, ¿qué distancia existe entre los puntos de observación?

20º

x

40ºEO

N

J

En este caso se combinan los ángulos verticales y horizontales; lo que va a obligarnos a elaborar una forma particular de gráfico:

Resolución:

Resolución:

i) APQ : AP = PQ →PA = 48

ii) QPB : PQ = 48 →PB = 64

iii) APB : x2 = 482 + 642 x2=[3(16)]2+[4(16)]2

x2=[5(16)]2

PS

4845º

A

64

x

48

Q

B37º

N

O E

Nasir Eddin

Matemático árabe (1201-1274), escribió el primer tratado sistematico de trigonometría plana y esférica, en el que el material se expone ya como si se tratase de una materia independiente en sí misma y no como una simple criada de la astronomía.

∴x = 80 m

Un joven sale de su casa y recorre 100m al N37ºE, luego 50 2 m al SE hasta un punto que es visto desde su casa en la dirección EαN. Calcula “tgα”.

Ejemplo 4:

BQC: BC = 50 2 →BQ = QC = 50

Ejemplo 5:

37º

10050 2

45º

αAO

S

N

P Q

S

50

C80

50N

B60

415to de Secundaria


I. E. P.


Nivel I

8) Señala la medida del mayor á n g u l o f or m a d o p or l a s direcciones N30ºE y O10ºS.

a) 210º b) 220º c) 230ºd) 240º e) 250º

7) Señala la medida del menor á n g u l o f or m a d o p or l a s direcciones N40ºE y S20ºO.

a) 120º b) 130º c) 140ºd) 150º e) 160º

6) Desde un punto en tierra se vé lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 45º. Si la torre mide 18m, ¿qué distancia tendríamos que alejarnos para que el ángulo de elevación sea de 37º?

a) 3 m b) 4 m c) 5 md) 6 m e) 8 m

13) Desde un punto en tierra ubicado a 40 m y al sur de la base de una torre, se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 37º. ¿Cuál es la altura de la torre?

a) 40 m b) 32 m c) 30 md) 28 m e) 24 m

12) Un móvil recorre una distancia “a” en la dirección EθN y luego una cierta distancia al NθO hasta ubicarse al norte de su punto de partida a una distancia “x”. Determina x.

a) asenθ d) actgθb) asecθ e) atgθc) acscθ

11) Un maratonista recorre 5 km al NθE y luego 12 km al EθS, hasta ubicarse al este de su punto de partida. Calcula cscθ.

a) 1,6 b) 2,5 c) 2,4d) 2,6 e) 1,4

14) Desde un punto en tierra ubicado a 48 m y al oeste de una torre, se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 16º. ¿Cuál es la altura de la torre?

a) 7 m b) 12 m c) 14 md) 16 m e) 21 m

5) Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste de 7m de altura, con un ángulo de elevación de 16º. ¿Qué distancia habría que acercarnos para que el ángulo de elevación sea de 45º?

a) 15 m b) 16 m c) 17 md) 18 m e) 19 m

4) Desde lo alto de un edificio se divisa un objeto en el suelo, a una distancia “d” de su base, con un ángulo de depresión “β” . Determina la altura del edificio.

a) dsenβ d) dctgβb) dcosβ e) dsecβc) dtgβ

3) Desde lo alto de un faro de altura “h” se divisa un barco con un ángulo de depresión “θ”. Determina la distancia a la que se encuentra el barco, de la base del faro.

a) hcosθ d) hsenθb) hctgθ e) hsecθc) htgθ

2) Desde un punto en tierra ubicado a 72m de la base de una torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la altura de la torre?

a) 64 m b) 100 m c) 96 md) 54 m e) 112 m

1) Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio de 48 m de altura con un ángulo de elevación de 37º. Calcula la distancia del punto de observación a la base del edificio.

a) 32 m b) 36 m c) 56 md) 64 m e) 80 m

9) Un niño recorre 20m al N37º E y luego 4m al este, ¿A qué distancia se encuentra de su punto de partida?

a) 60 m d) 16 2 m b) 32 m e) 20 2 m c) 12 2 m

10) Un joven recorre 120 m al S30ºE y luego 120 m al oeste. ¿A qué distancia se encuentra de su punto de partida?

a) 120 m d) 240 3 m b) 240 m e) 60 3 mc) 120 3 m


Trigonometría




Nivel II

16) Desde un punto en tierra se ve lo alto de un edificio de altura “h”, con un ángulo de elevación “α”. Si nos acercamos una distancia “d”, el ángulo de elevación es “α”. Halla “d”.

a) h(cosα- cosθ)b) h(cosα- ctgθ)c) h(tgα- tgθ)d) h(ctgα- ctgθ)e) h(ctgθ- ctgα)

17) Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación “φ”. Si nos alejamos una distancia “L”, el ángulo de elevación es “β”. Determina la altura de la torre.

a) Ltgα tgβ

b) Lctgα ctgβ

c)

d)

e)

Ltgβ - tgα

Lctgα - ctgβ

Lctgβ - ctgα

19) Desde un punto en tierra se ve lo alto de un edificio de altura “h” con un ángulo de elevación “α” (tgα = 1/4) y si nos alejamos una distancia “L” el ángulo de elevación es “β” (tgβ = 1/9). Calcula

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

Lh

20) Un niño de estatura “h” ve los ojos y pies de su padre, de estatura “H”, con ángulos de elevación y depresión “α” y “β”, respectivamente. Halla

a) 1 + tgα tgβb) 1 + tgβ ctgαc) 1 + tgα ctgβd) 1 + ctgα ctgβe) tgα ctgβ

Hh

21) Un padre de familia de estatura “H” divisa los ojos y pies de su hijo, de estatura “h”, con ángulos de depresión “α” y “β”, respecti-vamente. Determina

a) 1 - tgα tgβb) 1 - tgα ctgβc) tgα ctgβd) 1 - ctgα ctgβe) 1 + tgα ctgβ

hH

22) ¿Cuál es la dirección bisectriz del menor ángulo formado por las direcciones N20ºE y S80ºO?

a) N10ºO d) N40ºOb) N20ºO e) N50ºOc) N30ºO

25) Nicolás observa a Claudia y Albert en las direcciones O10ºS y E80ºN a 120 m y 50 m, respectivamente. ¿Cuál es la distancia entre Claudia y Albert?

a) 130m d) 195 mb) 260 m e) 65 mc) 390 m

26) Un maratonista recorre una distancia “L” al NαE, luego la misma distancia “L” al este, y finalmente otra distancia “L” al SαE hasta ubicarse al este de su partida. ¿A qué distancia del punto de partida se encuentra?

a) L(1 + tgα) b) L(1 + 2tgα) c) L(1 + senα)d) L(1 + 2senα)e) L(1 + 2cosα)

18) Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación “α” (tgα = 1/7). Si nos acercamos 20m, el ángulo de elevación es “β” (tgβ = 1/3), ¿Cuál es la altura del poste?

a) 3m b) 4m c) 5md) 6m e) 7m

23) ¿Cuál es la dirección bisectriz del mayor ángulo formado por las direcciones N10ºO y S40ºE?

a) O20ºS d) O30ºSb) O25ºS e) O38ºSc) O35ºS

27) Un joven sa le de su casa recorriendo una distancia “a” al EθN y luego una distancia “b” al SφE, hasta un punto desde el cual debería caminar “x” al sur para ubicarse al este de su casa. Determina “x”.

a) acosθ - bcosφ b) asenθ - bsenφ c) asenθ - bcosφ d) acosθ - bsenφ e) acosθ + bcosφ

15) Desde dos puntos en tierra ubicados al sur y al este de una torre de 10m de altura, se ve su parte más alta con ángulos de elevación de 30º y 45º, respectivamente. ¿Cuál es la distancia que separa a los puntos de observación?

a) 10 m d) 5 3 mb) 10 3 m e) 20 m c) 5 m

24) “A” divisa a "B" y “C” en las direcciones N10ºO y N50ºE respectivamente. Desde “C” se divisa a “B” en la dirección O50ºN a 100 3 m. ¿Cuál es la distancia entre “A” y “B”?

a) 100 m d) 300 3 mb) 200 m e) 200 3 mc) 300 m

435to de Secundaria


I. E. P.


Nivel III

32) Desde lo alto de una antena de 4 m de longitud, se ve un objeto en el suelo con un ángulo de depresión “2β”, notándose que la visual trazada mide 40 m. Si desde lo alto del edificio en que se encuentra la antena, se observa el mismo objeto con un ángulo de depresión “β”; calcula tgβ.

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,01d) 0,02 e) 0,4

33) Desde lo alto de un edificio se ven a un mismo lado, dos objetos “A” y “B” en tierra, con ángulos de depresión “α” y “β”, respectiva-mente (α < β). Si también se ve el punto medio “M” entre “A” y “B” con un ángulo depresión de 45º; calcula J = ctgα + ctgβ

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

36) Un niño de estatura “h” ve las partes alta y baja de una torre con ángulos de elevación y depresión “α” y “β”, respectivamente. Se acerca una cierta distancia y los ángulos de elevación y depresión para los mismos puntos son “θ” y “φ”, respectivamente. Calcula:

C =tgα tgφ - tgβ tgθ

a) 1 b) 2 c) 4d) 1/2 e) 0

37) Se tiene un poste inclinado un ángulo agudo “θ” respecto a la horizontal; y dos puntos “A” y “B” ubicados uno a cada lado del poste (“B” ubicado al lado hacia el cual se inclina el poste) a distancias de su base iguales a “d” y “3d”, respecitvamente. Desde “A” se ve lo alto del poste con un ángulo de elevación “α” y desde “β” se ve el punto medio del poste con un ángulo de elevación “β”. Determina el valor de:

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15

ctgβ + ctgθctgα- xtgθJ =

30) Desde dos puntos en tierra A y B ubicados al sur y al este de un poste, se divisa su parte más alta con ángulos de elevación de 45º y 37º. Calcula la tangente del ángulo de elevación con que se ve lo alto del poste desde el punto medio de AB.

a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3d) 1,4 e) 1,5

38) Desde un punto en tierra se ve lo alto de cada piso de un edificio que tienen una cantidad par de pisos; verificándose que la suma de las tangentes de los ángulos de elevación para los pisos impares es igual a 22/23 veces la suma de las tangentes de los ángulos de elevación para los pisos pares. ¿Cuántos pisos tiene el edificio?

a) 22 b) 24 c) 44d) 48 e) 46

31) Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación “α” (tgα = 1/6); y si nos acercamos 30 m el ángulo de elevación es de 45º. ¿Cuál es la altura del poste?

a) 5 m b) 6 m c) 4 m d) 8 m e) 12 m

35) Desde dos puntos en tierra “A” y “B”, ubicados a un mismo lado de una torre, se ve su parte más alta con ángulos de elevación “α” y “90º - α”, respectivamente. Si la distancia AB es cuatro veces la altura de la torre, calcula:

C =ctg2α + tg2α

a) 8 b) 12 c) 16d) 18 e) 20

28) Desde dos puntos en tierra ubicados al sur y oeste de un poste, se divisa su parte más alta con ángulos de elevación “α” y “β”, respectivamente. Si el poste mide “h”, determina la distancia entre los puntos de observación.

a) h tgα + tgβ

b) h tg2α + tg2β

c) h ctgα + ctgβ

d) h ctg2α + ctg2β

e) h cos2α + cos2β

29) Desde dos puntos en tierra A y B ubicados al sur y al este de una torre, se divisa su parte más alta con ángulos de elevación “θ” y “90º - θ”. Si la altura de la torre es “h”, determina la longitud de AB.

a) h 2tgθ

b) h 2ctgθ

c) h tg2θ + ctgθ

d) h tg2θ + ctg2θ

e) h sec2θ + csc2θ

34) Desde un punto en tierra se divisa lo alto del piso # 8 de un edificio con un ángulo de elevación “α”, mientras que la parte baja del piso # 5 es divisada con un ángulo de elevación “90º - α”.

Calcula tgα.

a) 1 b) 2 c) 2d) 3/2 e) 2/3


Trigonometría




41) Un móvil recorre una distancia “L” e n l a d i re c c i ón NαE (α < 45), luego una distancia “L” al EαS y finalmente una distancia al SαO hasta ubicarse al este de su punto de partida. ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida?

a) Lsenα d) Lsecαb) Lcosα e) Lcscαc) Lctgα

hd

dh

hd +1

dh +1 d

h -1

39) Se tiene un camino inclinado con un ángulo agudo “θ” respecto a la horizontal; y subiendo por él se divisa un poste vertical de altura “h” con un ángulo de elevación “2θ” a una distancia “d” de su base.

Halla N = cscθ - 2senθ

a) b) c)

d) e)

40) Andrea sale de su casa y recorre 100 m al N37ºE, 40 m al este y finalmente 155 m al sur. ¿A qué distancia de su casa se encuentra?

a) 120 m d) 100 mb) 125 m e) 150 mc) 130 m

43) Tres móviles salen de un punto “P” al norte, este y sureste con velocidades de 2, 3 y 4 km/h respectivamente. Después de un cierto tiempo, desde el tercero se ve a los dos primeros en las direcciones NαO y OβN respectivamente. Calcula:

C =

a) 1/3 b) 3/2 c) 2/3d) 4/3 e) 2/3

ctgα -1ctgβ -1

50) Desde lo alto de un muro de 3m de altura se ve lo alto de una torre de 5m de altura con un ángulo de elevación “θ” al E10ºN; y lo alto de un árbol de 2m de altura al E50ºS con un ángulo de depresión “β”. Si desde lo alto de la torre se ve lo alto del árbol en la dirección S20ºO y con un ángulo de depresión “α”.

Calcula F = (tgα + tgβ)ctgθ

a) 1 b) 2 c) 6d) 3 e) 4

49) Un avión viaja de este a oeste a una altura constante y a velocidad constante; siendo observado desde el suelo al norte con un ángulo de elevación de 45º, después de un cierto tiempo lo ven al E37ºN con un ángulo de elevación “α” y después de un tiempo igual al anterior, el ángulo de elevación es “β”.

Calcula N = ctg2β- ctg2α

a) 3 b) 15/4 c) 17/6 d) 16/3 e) 19/6

1b

sen2θ + 1a

cos2θ

42) Desde un punto “P” se divisan a otros tres A, B y C en las d i re cc iones NθE, OθN y SθE a distancias a, b y c, respectivamente. Si el área del triángulo ABC es igual a 1,5 ab; halla:

J =

a) c-1 b) 2c-1 c) 3c-1

d) 0,5c-1 e) 1,5c-1

44) Un maratonista recorre 300 m al N37ºE, luego 100 2 m al NE y finalmente 250 m al S16ºO, hasta ubicarse al EθN de su punto de partida. Calcula ctgθ.

a) 2,1 b) 2,2 c) 2,3d) 1,75 e) 1,95

45) Desde un puerto salen tres embarcaciones en direcciones N 1 0 º E , E 4 0 º N y E 5 0 º S con velocidades V1, V2 y V3 respectivamente; verificándose que al cabo de un cierto tiempo los tres están perfectamente alineados. Señala el equivalente de:

J =

a) b) c)

d) e)

3V2

- 1V3

1V1

2V1

3V1

12V1

32V1

46) Un maratonista sale de un punto “P” ubicado al este de un estrado y se desplaza hacia el norte. desde el estrado lo ven al EφN y luego al E(φ+θ)N, notándose que las distancias recorridas para la primera y segunda observación son iguales. Calcula el mínimo valor de “ctgθ”.

a) 2 b) 2 2 c) 2/2d) 3 2 e) 4 2

47) Desde el centro de una pista circular se observan dos torres de alturas “h” y “H” en su borde, en las direcciones NαE y OβN con ángulos de elevación “θ” y “90º - θ”, respectivamente. Halla tgθ.

a) b) c) d) e)

hH

Hh

Hh

H+hh

hH

48) Se tienen dos torres idénticas una al este de la otra, separadas una distancia igual al triple de sus alturas; además de sus partes altas se divisa un objeto en el suelo en las direcciones EθS y SθO con ángulos de depresión “α” y “90º - θ” respecitvamente.

Calcula C = tgα + ctgα

a) 7 b) 3 c) 2 3 d) 6 e) 11

455to de Secundaria


I. E. P.


Sistema Cartesiano

Objetivos

Ubicar correctamente los puntos en el plano cartesiano, una vez conocidos sus componentes.

Aplicar correctamente las fórmulas de distancia entre dos puntos, punto medio de un segemento y cálculo de la superficie de un triángulo

Plano Cartesiano

Es aquel sistema de referencia formado por el corte perpendicular de dos rectas numéricas en un punto denominado origen del sistema. El plano quedará dividido en cuatro regiones, cada una de las cuales se denomina cuadrante y tienen la numeración asignada en el cuadro adjunto. Además:x : eje de abscisasy : eje de ordenadas

Un punto queda ubicado en el plano cartesiano al conocerse los valores que le corresponden a las proyecciones del punto sobre cada uno de los ejes cartesianos. En el gráfico:

a : abscisa de Pb : ordenada de P

Además: OP = r

→ radio vector

René Descartes (1596 - 1650)

El inventor del Sistema Cartesiano

Filósofo y matemático francés nacido en La Haye y fallecido en Estocolmo. Descartes usó su nombre latinizado: Renatus Cartesius. Esta es la causa de que su sistema filosófico se llame cartesiano y que el sistema más corriente sobre el que se trazan curvas que representan ecuaciones (inventado por él ) se llame cartesiano. Descartes contribuyó principalmente a la ciencia con sus matemáticas.

y

x

II C I C

III C IV C

(+)

(+)(-)

(-)

Ubicación de un Punto

r

y

xO

P

a

b

b

a

r2 = a2 + b2

P(a, b)

Por ejemplo, señala las coordenadas de A, B, C, D y E.

y

x532-3-4

2

4

-3

-4

3

A( ; )

E( ; )B( ; )

C( ; )


Trigonometría




1. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Distancia entre Dos Puntos

Ahora ubica:A(2; 5), B(-4; 2), C(-3; -3) y D(4; -5)

y

x2 3 4 5 6-1-2-3-4-5

54321

1-1-2-3-4-5

Dados los puntos P(x1; y1) y Q(x2; y2), ubicados en el plano, la distancia entre ellos es d(P, Q) y se calcula así:

d(P, Q) = (x2 - x1)2+(y2 - y1)2

Por ejemplo, si:

P(-3; 2) x2 - x1 = 1 - (-3) = 4Q(1; 5) y2 - y1 = 5 - 2 = 3

⇒ d(P, Q) = 42 + 32

∴d(P, Q) = 5

y

x

d(P, Q)

P(x1; y1)

Q(x2; y2)

y2- y1

y2

y1

y2-y1

x1 x2

x2 - x1

x2- x1

División de un Segmento en una

Razón Dada

APPB =

mn

A(x1; y1)

m

n

B(x2; y2)

P(x0; y0)

Se cumple:

Por ejemplo; si en el gráfico:

APPB =

13

x0 =mx2 + nx1

m + n

y0 =my2 + ny1

m + n

Dado el segmento AB, donde A(x1; y1) y B(x2; y2), se ubica el punto P(x0; y0) que divide a AB en la razón:

B(5; 7)

3

1

A(1; 1)

P(x0 y0)

x0 = 1(5)+3(1)

1+3 = 2

y0 = 1(7)+3(1)

1+3 = 104 = 5

2

P(x0; y0)= (2; 5/2)

Consecuencias

A(x1; y1)

M(x0; y0)

Si en el gráfico: AM = MB(m = n = 1)

B(x2; y2)

x0 =

y0 = y1 + y2

2

x1 + x2

2

2. BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO

1

2

(x0; y0)G

M(a, b)A(x1, y1)

B(x2, y2)

C(x3, y3)

Sabemos que:

BGGM =

21

Luego: 2a+1x2

2 + 1 =

2a+x2

3 x0 =

2b+1y2

2 + 1 =

2b+y2

3y0 =

...(1)

Pero como AM = MC, entonces:

a = x1 + x3

2⇒ 2a = x1 + x3

b = y1 + y3

2⇒ 2b = y1 + y3

...(2)

475to de Secundaria


I. E. P.


Ejemplo 1:

Operando: 16 + (n-2)2 = 5 16 + (n-2)2 = 25 →(n-2)2 = 9luego: n - 2 = 3 → n = 5 n - 2 = -3 → n = -1

Ejemplo 2:

Si el punto P(1; n) dista 5u de Q(-3; 2), ¿qué valores toma “n”?

Resolución:

Si los vértices de un triángulo son A(1; 1), B(-7; 5) y C(-1, -3); calcula la longitud de la mediana relativa al lado AB.

(2) en (1):

x0 =(x1 + x3) + x2

3

⇒ x0 = x1 + x2 + x3

3

y0 =(y1 + y3) + y2

3

⇒ y0 = y1 + y2 + y3

3

Cálculo de la Superficie de un

Triángulo

Dado el triángulo de vértices A(x1; y1), B(x2; y2) y C(x3; y3); correctamente ubicados en el plano cartesiano, para calcular su superficie se elabora el siguiente arreglo.

x

C(x3; y3)

A(x1; y1)

B(x2; y2)y

(+)

x1 y2

x3 y1

x2 y3

I

x2 y2

x1 y1

x3 y3

x2 y2

x2 y1

x1 y3

x3 y2

D

(+)

La superficie del triángulo será:

S = D - I

2

Por ejemplo, calculemos la superficie del triángulo de vértices A(-3; 5), B(-4; -2) y C(6; -4).

I) Ubicamos correctamente los vértices en el plano cartesiano.

y

x

C(6; -4)B(-4; -2)

A(-3; 5)

S

II) Empezando por “C”, elaboramos el arreglo:

12-20-12-20

6 -4-3 5-4 -26 -4

30 6 16 52

III) Calculamos “S”.

S = 52 - (-20)2

= 722

∴S = 36u2

De los datos: d(P, Q) = 5

Además: P(1, n) y Q(-3; 2)

Luego:d(P, Q) = (1-(-3))2 + (n-2)2 = 5

Resolución:

Graficando tenemos:

y

x

B(-7; 5)

M(x0; y0)

A(1; 1)

C(-1; -3)

I) BM = MA

-7 + 12 = -3⇒x0 =

5 + 12 = 3⇒y0 =

II) Calculamos: d(C, M)

d(C, M)= (-1 - (-3))2+(-3 -3)2

d(C, M)= 40 = 2 10

Ejemplo 3:

Si los vértices de un triángulo son A(-1; 3), B(7; 1) y C(3; -1), señala la suma de coordenadas del baricentro de dicho triángulo.


Trigonometría




Nivel I

1) Señala la proposición correcta;

a) El punto (-2; 3)pertenece al IIIC.

b) El punto (-1; -2) pertenece al IIC.

c) El punto (3; -2) pertenece al IIC.

d) El punto (1; 5) pertenece al IVC.

e) El punto (0; 5) está ubicado en el eje y.

Resolución:

A(-1; 3)

B(7; 1)

C(3; -1)

G(x0; y0)

Del gráfico:

x0 = -1+7+33

= 3

y0 = 3+1+(-1)3 = 1

G(3; 1)

∴Suma de coord. = 4

Ejemplo 4:

Si los vértices de un triángulo son A(-5; 1), B(1; 4) y C(-6; 1); determina la longitud de la altura relativa al lado BC.

Resolución:

Graficando:

h

B(1; 4)

A(-6; 1)

H

C(3; -1)

I) Calculamos BC.

d(B, C) = (1 - 3)2 + (4-(-1))2

d(B, C) = 4 + 25 = 29

BC = 29

II) Calculamos la superficie del triángulo, empezando en “B”.

-24 3 -1-22

1 4-6 13 -11 4

1 61219

S = 19-(-22)2

⇒ S = 412

Resolución:Graficando:

S

θ

B(1; 5)

A(-3; 1)

C(5; 2)

I) Calculamos la superficie del triángulo, empezando en “A”.

5 2 -15 - 8

-3 15 21 5-3 1

- 6 25 120

S = 20 - (-8)2

= 14

II) Calculamos AB.

d(A, B) = (-3 -1)2 + (1-5)2

= 4 2

Ejemplo 5:

Si los vértices de un triángulo son A(-3; 1), B(1;5) y C(5; 2); calcula sen B.

III) Calculamos BC. d(B, C) = (5 - 1)2 + (2 - 5)2 = 5

IV) Sabemos que:

S = AB . BC2

senθ

14 = 4 2 . 52 senθ

7

5 2= senθ

∴senθ = 0,7 2

2) Señala la proposición incorrecta.

a) (3; 5) está ubicado en el IC.b) (4; -1) está ubicado en el

IVC. c) (-1; -2) está ubicado en el IIIC.d) (-1; 4) está ubicado en el

IIC. e) (3; 0) está ubicado en el eje y.

III) Sabemos que: S = BC . AH2

412

= 292

h

∴h = 4129

495to de Secundaria


I. E. P.


Nivel II

10) Se une A(1; 3) con B(2; 5) y se prolonga hasta C(x0; y0), tal que BC = 4AB. Calcula x0 + y0.

a) 17 b) 18 c) 19d) 20 e) 21

3) La distancia entre P(-2; 3) y Q(4; 1) es igual a:

a) 2 5 u d) 4 10 u b) 2 10 u e) 6 10 uc) 3 10 u

4) La distancia entre A(1; 3) y B(-2; 7) es igual a:

a) 13 u d) 5 u b) 5 u e) 10 uc) 2 5 u

5) Si dos vértices consecutivos de un cuadrado son A(1; -1) y B(5; 7); calcula la superficie del cuadrado

a) 16u2 d) 72u2 b) 24u2 e) 36u2

c) 80u2

6) Si dos vértices de un triángulo equilátero son A(3; 1) y B(-1; 5), ¿cuál es su perímetro?

a) 6 2 b) 3 2 c) 9 2d) 12 2 e) 18 2

7) Si los extremos de un segmento son A(1; 5) y B(3; -1); calcula la suma de las coordenadas del punto medio del segmento.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

8) D e t e r m i n a l a s u m a d e coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son P(-7; 1) y Q(5; 5).

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9) Si el punto P(1; 2) se une con Q(3; 3) y se prolonga hasta el punto S(x0; y0), tal que

QS = 3PQ, calcula x0 + y0.

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

11) Halla la suma de coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son A(1; 5), B(7; 1) y C(-2; -7)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

12) Halla la suma de coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son A(-7; 5), B(3; 2) y C(1; -4).

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

13) Calcula la superficie del triángulo del problema 11.

a) 40 u2 b) 41 u2 c) 42 u2

d) 44 u2 e) 45 u2

14) Calcula la superficie del triángulo del problema 12.

a) 33 u2 b) 34 u2 c) 36 u2

d) 38 u2 e) 40 u2

15) C a lcu la l a sup er f ic ie de l cuadrilátero cuyos vértices son A(-5; 1), B(-1; 3), C(5; 2) y D(1; -1).

a) 19 u2 b) 20 u2 c) 21 u2

d) 22 u2 e) 23 u2

16) Si los vértices de un triángulo son A(-3; 5), B(1; 7) y C(5; -1), ¿cuál es la longitud del mayor lado del triángulo?

a) 2 5 u b) 4 5 u c) 10 ud) 8 5 u e) 6 5 u

17) Si dos vértices consecutivos de un pentágono regular son A(1; -1) y B(3; 1), ¿cuál es el perí-metro del pentágono?

a) 5 2 u b) 10 2 u c) 5 ud) 10 u e) 15 2 u

18) Si la distancia entre A(3; n-2) y B(-1; 1) es igual a 5, ¿cuál es el mayor valor de “n”?

a) 0 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

20) Si tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A(-1; 1), B(3; 7) y C(5; 6), ¿cuál es la suma de coordenadas del cuarto vér-tice “D” opuesto a “B”?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

21) Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A(-3; 1), B(1; 7) y C(2; -1). Calcula la suma de las coordenadas del cuarto vértice “D”, opuesto a “B”.

a) -6 b) -7 c) -8d) -9 e) -10

22) En el segmento de extremos A(3; -3) y B(7; 5), se ubica un punto “P” que divide a AB en la razón de 3 a 1, estando “P” más cerca de “B”. Calcula la suma de coordenadas del punto “P”.

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 12

19) Si los tres vért ices de un triángulo son A(-1; 1), B(1; 7) y C(3; 5), ¿cuál es la longitud de la mediana relativa al lado BC?

a) 7,32 u b) 5,83 u c) 6,92 ud) 5,43 u e) 7,61 u


Trigonometría




30) Del gráfico, calcula el área de la región sombreada si AB = 2(OA)

a) 8 u2 b) 16 u2 c) 24 u2

d) 32 u2 e) 64 u2

31) Según lo indicado en el gráfico, señala verdadero (V) o falso (F) en:

I) ac < bd II) ce > df III) cg > dh

a) VVV b) VFV c) VVFd) FVF e) FVV

Nivel III23) De acuerdo al gráfico, calcula la suma de coordenadas del punto “D”.

a) 3 b) 6 c) 9d) 8 e) 5

5S S

A(1; -5)

B(3; 7)

C(7; 1)D

24) Si los vértices de un cuadrilátero son A(-3; 1), B(1; 7), C(7; 3) y D(5; -3), ¿cuál es su área?

a) 36 u2 b) 54 u2 c) 72 u2

d) 40 u2 e) 80 u2

25) Si los vértices de un triángulo son A(1; -1), B(5; 2) y C(7; -5), calcula la longitud de la altura relativa al lado AB.

a) 3,4 u b) 4, 6 u c) 6,8 ud) 7,2 u e) 8, 6 u

26) El segmento de extremos A(-2; 1) y B(3; 5) intersecta al eje de ordenadas en el punto (a; b). Calcula K = 7a + 5b.

a) 7 b) 9 c) 11d) 13 e) 15

27) Del gráfico, calcula “d”.

a) 51 b) 61 c) 71d) 9 e) 5

(-7; 1)

(-3; 9)

M

d

x

y

(0; -1)

28) Del gráfico, calcula la distancia entre el baricentro del triángulo ABC y el punto medio de CD.

a) 9 b) 58 c) 47d) 65 e) 43

G

M

C(11; 4)

B(1; 7)

A(-3; 1)

D(9; -2)

hM

NA(-5; 1)

B(0; 13)

C(7; 3)

x

y

O

A(-4; 4)

B

y

x(g, h)

(e, f)

(c, d) (a, b)

x

y

A

M(-1; 4)

B

32) Desde el punto A(3; 6) se trazan dos segmentos a los puntos B y C ubicados en el eje de abscisas, de modo que éstos tienen la misma longitud y mBAC = 106º. Calcula la suma de coordenadas de B y C.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

29) Del gráfico, calcula “h”.

a) 3,436 b) 2,217 c) 4,126d) 3,134 e) 2,747

33) Del gráfico, calcula el área de la región sombreada si AM=2MB.

a) 6 u2 b) 12 u2 c) 18 u2

d) 9 u2 e) 27 u2

515to de Secundaria


I. E. P.


44) Si el triángulo ABC mostrado es equilátero, calcula

K = PE + PF - PQ

a) 6 b) 2 6 c) 3d) 2 3 e) 3 2

A(-1; 1)

C F

P

Q

EB(3; 5)

34) De acuerdo al gráfico, calcula el área de la región sombreada.

a) 8 u2 b) 12 u2 c) 16 u2

d) 32 u2 e) 64 u2

x

y

(-10; -1)

(2; 5)

35) De acuerdo al gráfico, calcula x0 + y0.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

(3; 5) M(7; 4)

B

C

A(x0; y0)

36) Si los vértices consecutivos de un paralelogramo son A, B(-1; 5), C(9; 9) y D(7; 4), calcula la distancia entre “A” y el baricentro del triángulo BCD.

a) 5 b) 10 c) 5 2d) 10 2 e) 6

37) Se tiene una circunferencia con centro en C(-1; 3), tangente a uno de los ejes cartesianos y de radio máximo. ¿Cuál es la distancia entre los puntos de máxima abscisa y mínima ordenada que pertenecen a dicha circunferencia?

a) 5 b) 2 2 c) 3 2d) 2 e) 10

40) Del gráfico, calcula.

a) 2,22 b) 2,36 c) 3,17 d) 3,26 e) 3,36

B(-5; 12)

A(-8; 6)

C(0; 0)

r

O

OA4 =

AB5

x

y

M

C

B

A(4; 4)

39) De acuerdo a lo indicado en el gráfico, calcular si:

AM = =

a) 2 b) c)

d) e)

MPNQ

MN3

NC2

3 22

5 22

B(5; 7)

A(-3; 1)

C(10; 2)NM

PQ

5 24

3 24

41) Desde el punto P(x, 0) se divisa al segmento de extremos A(-1; 3) y B(7; 1) bajo un ángulo de 90º, ¿cuál es la suma de valores que toma “x”?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

42) En un triángulo ABC, se sabe que A(7; 1) y C(-1; 5). Calcula la longitud de la mediana AM si además mMAB = 47º y

mMAC = 86º.

a) 10 b) 5 c) 2 10

d) 2 5 e) 4 2

43) En un triángulo ABC, se sabe que A(1, 4), B(5, 5) y C(7; 1). Se traza la mediana AM, luego en el triángulo ABM se traza la mediana BQ y se ubica “E” en AC, de modo que ME // BQ. Calcula ME.

a) 1 b) 2 c) 3d) 2 e) 3

38) Si en el gráfico ; calcula el área de la región som-

breada.

a) 19 u2 b) 38 u2 c) 57 u2

d) 46 u2 e) 27 u2


Trigonometría




49) Del gráfico, calcula “tgθ” si “AP + PB” es mínimo.

a) 1/3 b) 2/3 c) 3d) 3/2 e) 3/4

45) De acuerdo a lo indicado en el gráfico, calcula la longitud de BP.

a) 1 b) 2 c) 3d) 2 e) 2 2

α α

A(1; 1)

C(7; -1)

B(3; 3)

P

46) En una circunferencia de centro C(1; 1) y radio 3, halla la suma de coordenadas de un punto de ella cuya distancia al punto P(9; 7) sea mínima.

a) (5,1) b) (5,2) c) (6,2)d) (7,1) e) (6,1)

48) De todos los puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos A(1; 5) y B(7; 5) es igual a 10; señala la suma de coordena-das de aquel punto de ordenada máxima.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

x

y

P3 θ

A(-1; 5)

B(7; 9)

x

y

θA(1; 1)

x

B(3; 3)

El GPS es un sistema espacial de radio navegación compuesto por 24 satélites que circunvalan la Tierra a una altura aproximada de 17 600 km y una red de estaciones terrestres de recepción y transmisión.

El servicio básico de GPS proporciona un error no mayor de 100 metros en la determinación de la posición, y puede reducirse en determinados casos hasta un mínimo de 10-15 metros.

El Sistema de Posicionamiento Global(global positional system, gps),

EL SISTEMA CARTESIANO ESPACIAL

x

yB(8; 12)A(4; 9)

C

47) De acuerdo al gráfico, calcula el área de la región sombreada.

a) 20 u2 b) 22 u2 c) 24 u2

d) 23 u2 e) 25 u2

50) Del gráfico, calcula “x” si “θ” es máximo.

a) 2 b) 2 2 c) 3 d) 3 2 e) 5

535to de Secundaria


I. E. P.


Repaso

Objetivos1.er Test Bimestral

Aspectos conceptuales

Nivel I

π4

36º

48º

9º

radπ3

rad

π5

10g

45º

rad

1) Asocia mediante flechas:

2) Coloca el sentido en que fue generado cada ángulo mostrado.

3) Asocia mediante fechas, según lo mostrado en el triángulo.

n

a m

α

sen αcos αtg α

namnnmmaan

4) Asocia mediante flechas.

A

b a

αB

C bsenα

bsecα

atgα

csecα

actgα

abc

c

x-3

-5 35

-3

-4

4

2

C( ; )

E( ; )

D( ; )

y

B( ; )

A( ; )

5) Señala las coordenadas de A, B, C, D y E.

Habilidad Operativa

Nivel II

6) En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 130g y π/4 rad. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo?

Resolución:

7) En un triángulo rectángulo, los lados menores son uno el triple del otro. Si el menor ángulo agudo del triángulo mide “θ”, calcula cosθ.

Resolución:

Resolución:

8) Si “θ” es un ángulo agudo tal que cosθ = 0,666...

calcula C = cscθ + ctgθ


Trigonometría




Resolución:

9) Calcula:

Resolución:

C = 4sen30º + tg260º + 16tg16º + tg37º

10) Siendo: sen4x csc(x + 30º) = 1 tgy = ctg2x, calcula cos(y - x).

Resolución:

11) En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos es “θ” y el cateto adyacente a él mide “L”. Expresa el área del triángulo en función de “L” y “θ”.

37ºM

N

CO B

A

αθ

B C

A D

θ

Resolución:

12) Desde un punto en t ierra ubicado a 48 m de un edificio se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 37º. Si nos acercamos 24m, el ángulo de elevación sería “θ”, ¿cuál sería el valor de “tgθ”?

Resolución:

13) Si los vértices de un triángulo son A(-1; 1), B(3; 7) y C(5; -1), determina la longitud de la menor mediana del triángulo.

Nivel III

Resolución:

14) Si un ángulo mide (7x + 1)º y su complemento es (11x + 5)g, ¿cuál es el valor de “x”?

Resolución:

15) A partir del gráfico, calcula el valor de C = 9tgθ - 6tgα.

16) Si el cuadrado ABCD tiene lados de longitud “L”; expresa la razón entre el perímetro de la región sombreada y el perímetro del cuadrado.

Resolución: Situaciones problemáticas

555to de Secundaria


I. E. P.


17) Desde dos puntos en tierra ubicados al sur y al oeste de un poste, se divisa su parte más alta con ángulos de elevación “θ” y“90°- θ”, respectivamente. Si la distancia entre los puntos de observación es el triple de la altura del poste, calcula K = tgθ + ctgθ.

Resolución:

x - 40y = 3

2

5yg

3xº-240º

18) Dados los puntos A(-3; 1) y B(7; 5), señala las coordenadas del punto del eje y que equidiste de A y B.

Resolución:

Nivel IV

Demostraciones

19) De acuerdo al gráfico, demuestra que:

20) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), demuestra que:

2.1.) senA + senC = cosA + cosC

2.2.) a.tgA + ctg.C +a +c

b2 =

1a

+ 1c

Demostración:

Demostración:

d2 + 2h2

h2

54º

108º

18º

π10 rad

2π5 rad

π18

rad

3π10

rad

3π5

rad

mα

sen αsec αctg α

namnanmaam

n

a

21) Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre de altura “h” con un ángulo de elevación “θ”. Si nos acercamos una distancia “d”, el ángulo de elevación sería “90º - θ”. Demuestra que:

ctg2θ + tg2θ =

2.º Test Bimentral

Nivel I

1) Completa en los espacios en blanco:

“La unidad en el s istema s e x a g e s i m a l e s e l g r a d o s e x a g e s i m a l , e l q u e s e representa como ........................, verificándose que 180º equivale en radianes, a ..........................”


3) Según el triángulo, asocia mediante flechas.

y xθ

L

xy

Lsecθ

Lcosθ

Ltgθ

Lctgθ


Demostración:

Aspectos conceptuales


Trigonometría




5) Los puntos A(-3; 2), B(5; 4), C(-5; -3), D(4; -3) y E(0; 3) ubicados correctamente en el plano cartesiano serían:

y

x2 3 4 5-1-2-3-4

4321

1-1-2-3-4-5

Nivel II

Habilidad Operativa

6) Siendo (7x + 1)º = 12xg, ¿cuál es el valor de “x”?

Resolución:

Resolución:

C = csc230º + sec245º + 17tg74º - tg260º

8) Si “θ” es un ángulo agudo, tal que senθ = 0,12; calcular:

C = 9tgθ cosθ - 0,1

7) En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el triple de un cateto. Si el menor de los ángulos agudos mide “β”, calcula:

C = cscβ + 2ctgβ

Resolución:

9) Calcula:

Resolución:

Resolución:

10) Siendo: tg4x ctg(x + 18º) = 1 y sec3x = csc2y, calcula csc2(y - x).

Resolución:

11) En un triángulo rectángulo uno de sus ángulos agudos mide “θ” y el cateto opuesto a él mide “L”. Expresa el perímetro del triángulo en función de “L” y “θ”.

Resolución:

12) Desde lo alto de un edificio de 24 m de altura se divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 37º y 14 m más atrás, se ve otro objeto con un ángulo de depresión “φ”. Calcula “ctgφ”.

Resolución:

13) Si los vértices de un triángulo son A(-3; 5), B(1; 3) y C(-1; -7); calcula la longitud de la mayor mediana del triángulo.

575to de Secundaria


I. E. P.


Nivel III

Situaciones problemáticas

Resolución:

14) Sabiendo que:

señala el valor de “x”.

Resolución:

xº(6x)’(x+2)’

- 10g

9= π

18rad

C = tg2θ- tg2α1 - tgα

Resolución:

Resolución:

b - a.senAb - c.senC

Demostración:

Demostración:

1x

≥2

Demuestra según lo anterior, que el valor mínimo de:C =(3tgθ+ctgθ)2+(tgθ+3ctgθ)2

es 36.

º

A M37º

α

θ

B

C

N

α

θ

15) De acuerdo al gráfico, calcula: C = 59tgθ - 3tgα

16) En el cubo mostrado, calcula:

17) Desde dos puntos en tierra se divisa lo alto de un edificio con ángulos de elevación de 45º yθ, estando dichos puntos al sur y este del edificio, respectivamente. Si uno de los puntos está al N37º E respecto del otro, calcula tanθ.

Resolución:

18) Halla las coordenadas del punto ubicado en el eje de abscisas que equidista de (-5; 1) y (3; 5).

19) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), demuestra que:

2.1.) sen2A + sen2C = 1

2.2.)

Nivel IV

Demostraciones

20) Desde un punto en tierra ubicado al sur de una torre, se divisa lo alto de ella con un ángulo de elevación “θ”. Si nos desplazamos hacia el N37º E, hasta ubicarnos al este de la torre, el ángulo de elevación sería “90º - θ”. Demuestra que:

4sen2θ - 3cos2θ = 0

Demostración:

21) Se sabe que ∀x ∈R+: x +

= tg2C


Trigonometría




Razones Trigonométricas de un Ángulo de cualquier Medida

Conceptos Previos

Llamado también ángulo canónico o ángulo en posición canónica o en posición standar; es aquel ángulo trigonométrico, cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial (o inicio de giro) coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado final (o final de giro) se ubica en cualquier región del plano; siendo éste el que indique a que cuadrante pertenece dicho ángulo. Por ejemplo en el gráfico:

Objetivos

R e c o n o c e r l o s á n g u l o s canónicos y calcular sus razones trigonométricas; así como identificar los signos que asumen las razones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.

Id e nt i f i c a r l o s á n g u l o s cuadrantales y sus razones trigonométricas.

1. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

y

xα

θ

βϕ

• α es canónico: α ∈ II C• β no es canónico• θ es canónico: θ ∈ III C• ϕ es canónico: ϕ ∈ IV C

Son aquellos ángulos en posición canónica, cuyo lado final coincide con alguno de los semiejes. La medida de estos ángulos es siempre un múltiplo de 90º o π/2; y no pertenecen a cuadrante alguno, motivo por el cual también se les denomina ángulos frontera.

2. ÁNGULO CUADRANTAL

y

x270º

180º

-90º

90º

Si “θ” es cuadrantal ⇒ θ = 90º . n; n ∈ Z

Llamado también cofinale, son aquellos ángulos trigonométricos no necesariamente canónicos que poseen el mismo lado inicial y el mismo lado final. Ellos verifican que la diferencia de sus medidas es siempre múltiplo de 360º.

3. ÁNGULO COTERMINALE

x

y

β

α

βα

Si α y β son coterminales: α - β = 360º . n; n ∈ Z

Definición de las Razones Trigonométricas de un Ángulo de cualquier medida Dado el ángulo canónico “θ”, para poder determinar sus razones trigonométricas necesitaremos conocer un punto de su lado final; es decir, las coordenadas de dicho punto para luego aplicar:

y

x

r

P(x, y)

θ

senθ = orden.radio

yr=

cosθ = abscis.radio

xr=

tgθ = orden.abscis.

yx=

cscθ = radioorden.

ry=

secθ = radioabscis.

rx=

ctgθ = abscis.orden.

xy=

Aunque para no perder de vista las definiciones vistas en ángulos agudos, se acostumbra hacer el siguiente cambio: x = A (adyacente) y = O (opuesto) r = H (hipotenusa)

Donde: x : abscisa r : radio vector y : ordenada

595to de Secundaria


I. E. P.


Por ejemplo:

y

x

5(-4;3)

β

⇒ x = -4; y = 3

⇒ r = (-4)2+32= 5

senβ = = ⇒senβ > 0

cosβ = = ⇒cosβ < 0

tgβ = = ⇒tgβ < 0

yr

35

xr

-45

yx

3-4

yx

13

(5;-12)

φ

A O

H

⇒A = 5, O = -12

⇒H = 52+(-12)2= 13

senφ = = ⇒senφ < 0

cosφ = = ⇒cosφ > 0

tgφ = = ⇒tgφ < 0

OH

-1213

AH

513

OA

-125

Notarás que cuando se conoce un punto del lado final, el cálculo de sus razones trigonométricas es simple; y también notarás que algunas de ellas son positivas y otras negativas, lo cual dependerá definitivamente del cuadrante al que pertenezca el ángulo. Estableceremos por ello una regla práctica para los signos de la razones trigonométricas.

Signos de las Razones Trigonométricas

y

x

Positivas todasS en (+)csc

tg (+)ctg

Cos (+)sec

Por ejemplo:

sen 140º : (+) sec 220º : ( )

cos 200º : ( - ) tg 190º : ( )

tg 320º : ( - ) csc 350º : ( )

IIC IIIC

IIIC IIIC

IVC IVC

Razones Trigonomé-tricas de Ángulos Cua-drantales

Vamos a calcular las razones trigonométricas de 90º y después enunciaremos las de los otros ángulos cuadrantales, ya que, su cálculo es muy similar. Debemos antes enunciar una propiedad para los ángulos conterminales, la cual dice:

β

α

Si α y β son coterminales ⇒ R.T. (α) = R.T. (β)

y

xβ

α

Ahora bien, dibujamos el ángulo canónico que mide 90º y tenemos un punto cualquiera de su lado final; así: (0, n)

x

y

(0; n)x y

r = n90º

Luego:

sen90º = = = 1

csc90º = = = 1

cos90º = = = 0

sec90º = = : n.D.

tg90º = = : n.D.

ctg90º = = = 0

yr

nn

(x, y) ⇒ r = n

ry

nn

xr

0n

rx

n0

yx

n0

xy

0n

Para los demás ángulos , lo resumimos en el cuadro siguiente; notando que las R.T. de 0º y de 360º son las mismas, ya que son coterminales.

sen

0º; 360º 90º; 180º; 270º;2π π/2 π 3π/2

costgctgseccsc

0 1 0 -11 0 -1 00 N.D. 0 N.D.

N.D. 0 N.D. 01 N.D. -1 N.D.

N.D. 1 N.D. -1

Por ejemplo, calculemos: C = (sen90º - 2cos180º)(3sen270º + cos90º) Reemplazando: C = [1-2(-1)][3(-1) + 0] C = (3)(-3)

∴ C = -9


Trigonometría




Resolución:

Resolución:1. A partir del gráfico adjunto, calcula: C = 3senθ + 1/6 cosθ

y

x

(-12; 5)

θ

513( (

∴ C = 1

• Del gráfico: senθ = ∧cosθ= Luego:

C = 3 +

C = -

513

-1213

16

-1213( (

1513

213

y

x

(-12; 5)

θ

A O

13H

2. Si los puntos P(-1;2) y Q(3; -2) pertenecen a los lados finales de los ángulos canónicos α y θ, respectivamente, calcula:

L = senαsenθ

Resolución:

x

y(-1; 2)

(3; -2)

α

θ

∴ L =

• Para α: A = -1 O = 2

Graficando:

H = 5 ⇒senα = 25

• Para θ: A = 3 O = -2 H = 13 ⇒senθ = -2

13

• Luego: L = senαsenθ L = .2

5-2 13( (

-4 65

3. Señala el signo de: C = sen200ºcos138ºtg214ºsen317º

Resolución:

• En la expresión:

C = sen 200ºcos138ºtg214ºsen317º

C = ( - )( - )(+)( - )

IIIC IIC IIIC IVC( - ) (+)( - ) ( - )

∴ C = ( - )

4. Señala el signo de: L = (sen120º + tg140ºcos220º) (sen248º - cos324º)

Resolución:

• En la expresión:

L = (sen 120º + tg 140ºcos220º)

(sen248º - cos324º)

L = {(+)+( - )( - )}{( - ) - (+)}

L = (+)( - )

IIC( - )IIC

(+)IIIC( - )

IIIC( - )

IVC(+)

(+) ( - )(+)

∴ L = ( - )

5. Sabiendo que: tgθ = -2/3; θ ∈IIC, calcula: C = senθ + cosθ

• Método formal:

tgθ = = -23

yx

y = 2x = -3

⇒r = 13

y

x

(-3; 2)

θ13

• Luego: C = senθ + cosθ

C = +2 13

-3 13

∴ C = -1 13

• Método práctico:

tgθ = -23

θ

13

3

2

θ∈IIC

• Luego: senθ = y cosθ=

reemplazamos en: C = senθ + cosθ C = +

2 13

-3 13

2 13

-3 13

∴ C = -1

13

IIC

615to de Secundaria


I. E. P.


Nivel I

1) Un ángulo canónico que mide 140º pertenece al:

a) IIC d) Es cuadrantalb) IIIC e) No es canónicoc) IVC

7) De acuerdo al gráfico, calcula: L = senθ + cosθ

a) 1/ 13 d) -2/ 13b) -1/ 13 e) -5/ 13c) 2/ 13

6. Sabiendo que: senα = -1/3; α ∈IIIC, calcula: L = 2 cosα - tgα

Resolución:

1 2

• Aplicamos el método práctico: senα = -1

3

α 1

α∈IIIC

2 2

⇒ L = 2cosα - tgα

L = 2 -

L = - -

1 2

-2 23( ( 1

22

2 2( (43

14

∴ C = - 1912

7. Sabiendo que α, βy θ son ángulos cuadrantales, tales que:

0 < α < β < θ < 2π, calcula C = 3senα - 2cosβ + senθ

Resolución:

• Como α, βy θ son cuadrantales entre 0 y 2π, tenemos como únicas posibilidades: π/2, π , 3π/2 y también α < β < θ entonces:

α = π/2; β = π; θ = 3π/2

Luego: C = 3sen - 2cosπ + sen 3

C = 3 + 2 - 1

π2

π2

1 -1 -1

∴ C = 4


a) IC d) IVCb) IIC e) Es cuadrantalc) IIIC

3) Un ángulo canónico que mide -120º pertenece al:


4) Un ángulo canónico que mide -300º pertenece al:






y

x

(-3; 2)

θ

8) De acuerdo al gráfico, calcula: L = senθ - cosθ

a) 1/ 10 d) -2/ 10b) -1/ 10 e) -4/ 10c) 2/ 10

y

x

(-1; -3)

β

9) De acuerdo al gráfico, calcula: C = 5cscβ - ctgβ

a) -7 b) 7 c) 3d) -3 e) 1

y

x

(2; -1)

β


Trigonometría




Nivel II

11) Señala el signo de: C=sen217ºcos132ºtg260ºsen318º

a) (+) d) 0 b) (-) e) No se puede c) (+) o (-) precisar

16) Señala el ángulo coterminal con 130º.

a) -250º b) 230º c) 850ºd) 1220º e) -580º

10) De acuerdo al gráfico, calcule: C = 3secφ + 4ctgφ

a) 6 b) -6 c) 4d) -4 e) -8

y

x

(-3; 4)

φ

12) Señala el signo de: C=tg117ºcos248ºcos316ºsen136º

a) (+) d) 0 b) (-) e) No se puede c) (+) o (-) precisar

13) Señala los signo de: C = sen140º - cos130º L = tg117º + cos246º

a) (+), (+) d) (-), (+) b) (+), (-) e) No se puede c) (-), (-) precisar

14) Señala los signo de: C = tg127º - cos300º L = cos290º - cos190º

a) (+), (+) d) (-), (+) b) (+), (-) e) No se puede c) (-), (-) precisar

15) Señala el valor de: C = (3sen90º - cos180º)(sen270º

+ 2cos360º)

a) 3 b) -3 c) 4d) -4 e) 8

17) Señala el ángulo coterminal con -310º.

a) 50º d) 1130º b) 410º e) Todas lasc) 770º anteriores

18) Si el punto P(-3; 4) pertenece el lado final del ángulo canónico θ, calcula: C = 2senθ + cosθ

a) 1 d) -2 b) -1 e) -1/2c) 2

19) Si el punto P(2; -1) pertenece el lado final del ángulo canónico β, calcula: L = 3senθ - cosθ

a) 1 d) - 5 b) -1 e) - 5/5c) 5

20) Si el punto P(-2; -3) pertenece el lado final del ángulo canónico α, calcula: C = 5cosα + senα

a) 13 d) -

b) - 13 e) -

c)

2 1313

1313

1313

21) Si el punto (-3; 5) pertenece al lado final del ángulo canónico θ, calcula: L = 34 senθ + 5ctgθ.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

22) Sabiendo que: senθ = 1/3; θ∈IIC calcula:

C = 2ctgθ - (1/ 2)cosθ

a) 5/3 b) -10/3 c) 10/3d) -5/3 e) -2/3

23) Sabiendo que: cosφ = -2/3; φ∈IIIC determina:

L = 5tgφ + secφ

a) 1 b) -1 c) 1/3d) 2/3 e) -2/3

24) Siendo: tgβ = -2; β∈IVC, calcula: C = 5senβ - (1/ 5) cosβ

a) -2, 1 b) -2, 2 c) -2, 3d) 2, 1 e) 2, 2

25) Siendo: ctgα = 3; α ∈IIIC, determina:

L = 10 senα - (1/ 10) cosα

a) 0, 3 b) -0, 3 c) 0, 7d) -0, 7 e) -0, 6

26) Sabiendo que: senθ < 0 y cosθ> 0; entonces θ

pertenece al:


635to de Secundaria


I. E. P.


Nivel III

27) Sabiendo que: tgθ < 0 y senθ> 0; entonces θ

pertenece al:


28) Sabiendo que: senθ = - 0,6; |tgθ|= tgθ; determina

el valor de: C = 5secθ - 2cscθ

a) 1 b) -1 c) 0d) 2 e) -2

29) Sabiendo que: cosφ = -0,28; |senφ|= -senφ, calcula:

L = cscφ+ ctgφ

a) 0,75 b) -0,75 c) 0,5d) -0,5 e) -0,25

30) Sabiendo que: secθ = -4, |senθ|= -senθ, calcula:

C = cosθ+ senθtgθ

a) 2 b) -2 c) 4d) -4 e) -6

31) Si los puntos P(-2, 3) y Q(a -1; a) pertenecen al lado final de un ángulo canónico θ, calcula:

L = a(tgθ -1)

a) 1,5 b) -1,5 c) 2d) 2,5 e) -2,5

32) Si los puntos P(5, -2) y Q(b +1; b) pertenecen al lado final de un ángulo canónico θ, calcula:

L = b(1 + ctgθ)

a) 2/7 b) -2/7 c) 3/7d) -3/7 e) -4/7

33) De acuerdo al gráfico, calcula: tgθ si AM = MB.

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) -4

y

x

A(-5; 1) θ

M

B(1; 7)

34) De acuerdo al gráfico, calcula: L = 3tgθ + 1.

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

A(-3; -5)

M

θ B(9; 1)

x

y

35) De acuerdo al gráfico, calcula: L = 13tgθ - tgα.

a) -2 b) -4 c) -6d) -9 e) -10

A(-7; 1) αx

yB(1; 7)

θ

36) De acuerdo al gráfico, calcula: L = 19tgβ - 11tgα.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

αx

y

A(1; -7)

B(9; -3)β

37) De acuerdo al gráfico, calcula: L = 5tgα - 7tgβ.

a) 1 b) 2 c) 0d) -2 e) -1

x

y

β

α

37º

38) De acuerdo al gráfico, calcula: L = 12ctgα - 24ctgβ.

a) 6 b) -6 c) -12d) 12 e) -14

x

y

αβ

16º

39) Sabiendo que: senθ tgθ < 0; además: |cosθ| = 1/3, calcula: L = 2senθ + (1/ 2)tgθ

a) 1/3 b) 2/3 c) -2/3d) -1/3 e) -4/3

40) Sabiendo que: cosβ senβ < 0; además: |tgβ| = 0,75, calcula: L = 2senβ - cosβ

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 1/2


Trigonometría




41) Sabiendo que: sen2α cosα < 0; cos2αtgα >0, además:

|senα|= 0, 6 calcula: L = 5tgα +(1/ 5cos)α

a) 1/3 b) 2/3 c) 1d) 4/3 e) 5/3

42) Sabiendo que: tgθsen2θ < 0; cosθtg2θ >0, además:

|senθ|= 0, 3 calcula: L = 2cosθ +(1/ 2)tgθ

a) 7/12 b) -7/12 c) 13/12d) -13/12 e) 19/12

43) Sabiendo que: 0 <α<β<2π; cosα < 0; tgβ >0, además αy β pertenecen a diferentes cuadrantes, señala los signos de:

J = senαcosβ - senβcosα C = secαsecβ - tgαtgβ M = tgαsenβ - ctgβcosα

a) (-), (-), (+) b) (-), (+), (-) c) (-), (+), (+)d) (+), (+), (+)e) (-), (-), (-)

44) Sabiendo que: 0 <β<θ<2π; senβ < 0; tgθ <0, además βy θ pertenecen a diferentes cuadrantes, señala los signos de:

J = cosβcosθ - senβcosθ C = tgβtgθ - secβsenθ M = cscβcosθ + tgθctgβ

a) (+), (+), (+) b) (-), (-), (-) c) (+), (-), (-)d) (-), (-), (+)e) (+), (-), (+)

45) Si β y θ son ángulos cuadrantales, positivos y menores que una vuelta tales que: senβ > 0 y cosθ< 0, calcula:

L = (2sen3β + sen θ/2)cos2θ

a) 1 b) -1 c) 0d) 2 e) -2

46) Si α y θ son ángulos cuadrantales, positivos y menores que una vuelta, tales que: cosα= 0 y senβ< 0, además; β>α; calcula:

L = (cos2α + 3sen β/3)cos4α

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

47) Siendo: n = θ -1+ 2 -θ un número real y θ el número de radianes de un ángulo cuadrantal; calcula:

L = 3senθ+cos2θ- sen3θ - cos4θ

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

48) Siendo: n = θ-2+ 4-θ un número real y θ el número de radianes de un ángulo cuadrantal; calcula:

L = 2senθ/2 +3cosθ + 4cos3θ/2 - cos2θ

a) 2 +2 b) 2 - 1 c) -1d) 2 - 2 e) -2

49) De acuerdo al gráfico, calcula: L = tgαtgθ

a) 1 b) 3 c) 3/2d) -3/2 e) -3

x

y

(2; 0)θ

α

50) De acuerdo al gráfico, calcula: tgφ

a) -7/6 b) -4/3 c) -11/6d) -13/6 e) -17/6

x

y

A

D

B

Coφ

Q MP

Los egipcios y los babilonios inventaron métodos para medir ángulos determinados por varias estrellas. En el siglo XVI antes de la era cristiana, la escriba Ahmes escribió su famoso papiro donde se ve que los egipcios conocían, entre otras cosas, que la circunferencia de un círculo era un número fijo de veces su propio diámetro, que era número inconmensurable que desde el siglo XVII se designa con la letra griega π.

655to de Secundaria


I. E. P.


Reducción al Primer Cuadrante Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que si lo sea. Vamos a distinguir los siguientes casos:

Objetivos

Calcula las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier medida, identificando el caso al que pertenece: ya sean positivos menores que 360°, mayores que 360° o ángulos de medida negativa.

I. ÁNGULOS DE MEDIDA ENTRE 90° Y 360°

Reducción al Primer Cuadrante I

Si θ es el ángulo no cuadrantal de medida comprendida entre 90° y 360°, entonces se cumple:

Si θ∈II C ⇒ R.T.(θ)= ± R.T.(180°-θ)

Si θ∈III C ⇒ R.T.(θ)= ± R.T.(θ-180°)

Si θ∈IV C ⇒ R.T.(θ)= ± R.T.(360°-θ)

El signo (±) dependerá de la R.T. pedida y del cuadrante al que pertenece el ángulo original.

Por ejemplo:sen 150° = + sen(180°-150°)= + sen 30° = 1

2

II C

sen 225° = - sen(225°-180°)= - sen 45° = -

III C

cos 300° = + cos(360°-300°)= +cos 60° = 12

ctg 315° = - ctg(360°-315°)= - ctg 45° = -1

IV C

IV C

tg 240° = + tg(240°-180°)= - tg 60° = - 3

III C

22

cos 135° = - cos(180°-135°)= - cos 45° = - 22

II C

Demostraremos para θ∈II C :

Si P(x,y) pertenece al lado final de θ, tomamos Q(-x;y) simétrico de P respecto al eje Y, luego Qpertenece al lado final de α, con el detalle de que: QÔT=PÔS=α y θ+α=180°. Tenemos entonces:

sen θ = ; sen α =yr

yr

cos θ = ; cos α =-xr

xr

tg θ = ; tg α= - =- y

xyx

yx

Apreciamos entonces:

senθ=senα=sen(180°-θ)cscθ=cscα=csc(180°-θ)cosθ=-cosα=-cos(180°-θ)secθ=-secα=-sec(180°-θ)tgθ=-tgα=-tg(180°-θ)ctgθ=-ctgα=-ctg(180°-θ)

R.T.(θ) = ±R.T.(180°-θ)

S

P(x;y)

y

O T x

r

θ αα

Q(-x;y)


Trigonometría




1. Determina el valor de: C=sen120° cos240°

Resolución:

En la expresión: C=sen120° cos240° ... (1)

Ahora, si θ∈III C :

Si P(x,y) pertenece al lado final de θ, tomamos Q(-x;-y) simétrico de P respecto al origen del sistema cartesiano; luego Q pertenece al lado final de α, con el detalle de que:θ-α=180° ⇒ θ-180°=α

Tenemos entonces:

Apreciamos entonces:

senθ=-senα=-sen(θ-180°)cscθ=-cscα=-csc(θ-180°)cosθ=-cosα=-cos(θ-180°)secθ=-secα=-sec(θ-180°)tgθ=tgα=tg(θ-180°)ctgθ=ctgα=ctg(θ-180°)

R.T.(θ) = ±R.T.(θ-180°)

sen θ = ; sen α = -yr

yr

cos θ = ; cos α = -xr

xr

tg θ = ; tg α= - =yx

yx

yx

-

II. ÁNGULOS DE MEDIDA MAYOR QUE 360°

Si θ es el ángulo de medida mayor que 360°; entonces el ángulo se divide entre 360°, se elimina el cociente y tomamos el residuo en lugar del ángulo original. Esto es:

P(x;y)

y

x

θ α

Q(-x;-y)

r

r

R.T.(θ)=... θ 360° ... = R.T(r) q r

La demostración es muy simple, ya que, al dividir:

θ 360° qr

Se cumple: θ=360°.q+r ; por el algoritmo de la división.

Luego: θ- r =360°.q ; q ∈Z

Esto significa que θy r son coterminales

R.T.(θ) = R.T.(r)Ahora veamos algunos ejemplos:

sen 1140°= ... 1140° 360° ... =sen 60° 31080°

60°

⇒sen 1140°= 32

cos 2565°= ... 2565° 360° ... =cos 45° 72520°

45°

⇒cos 2565°= 22

tg 1200°= ... 1200° 360° 31080°

120°

... =tg 120°=- tg 60°⇒tg 1200°= - 3

III C

III. ÁNGULOS DE MEDIDA NEGATIVA

En este caso se deberá tener en cuenta el siguiente criterio de cálculo:

Por ejemplo:

sen(-45°)=-sen45°= -

cos(-60°)=cos60°=

tg(-30°)=-tg30°= -

12

22

32

sen(-θ)=-senθ csc(-θ)=-cscθ

cos(-θ)=cosθ sec(-θ)=secθ

tg(-θ)=-tgθ ctg(-θ)=-ctgθ

La demostración es simple; tomemos el ángulo canónico “θ” de medida positiva y el punto P(x;y) de su lado final. Tomamos Q(x; -y)simétrico de “P” respecto del eje x; luego “Q” pertenece al lado final del ángulo “-θ”.

Tenemos:

sen θ = ; sen(-θ)= -yr

yr

cos θ = ; cos(-θ) =xr

xr

tg θ = ; tg(-θ)= -yx

yx

P(x;y)y

x

Q(x;-y)

r

Oθ-θ

r

s

Apreciamos que:

sen(-θ)=-senθ ⇒csc(-θ)=-cscθ

cos(-θ)=cosθ⇒sec(-θ)=secθ

tg(-θ)=-tgθ⇒ctg(-θ)=-ctgθ

sen120°= +(sen180°-120°)=sen60°= 32

II C

cos240°= - cos(240°-180°)=-cos60°= -12

III C

Luego, en (1): C= -

∴C=-

32

12

34

( )

675to de Secundaria


I. E. P.


2. Determina el valor de: L=sen135° cos210° tg300°

Resolución:

Analizamos cada término de la expresión:

sen135°=+sen45°= 22

II C

cos210°=-cos30°= -

III C

32

tg300°= -tg60°= - 3

IV C

L= - (- 3)

∴L=

22 ( ) 3

2

3 24

3. Calcula:

Resolución:

En la expesión:

C=cos40°+cos80°+cos100°+cos120°+cos140°

C=cos40°+cos80°+cos100°+cos120° -cos80° -cos60° +cos140° -cos40°

C=cos40°+cos80°-cos80°-cos60°-cos40°C= -cos60° ∴C= - 1

24. Calcula: C=tg2400° tg1200°

Resolución:

Analizamos cada término de la expresión:

tg2400°= tg240°=+tg60°= 3

2400° 360° 240° 6

tg1200°= tg120°=-tg60°= - 3

1200° 360° 120° 3

Luego: C= ( 3)(- 3) ∴C= -3

6. Calcula: C=sen(-240°) cos(-120°)

Resolución:Analizamos cada término:

sen(-240°)= -sen240°=(-sen60°)=

5. Señala el valor de: L=sen 2580° cos3360° tg4200°

Resolución:

Analizamos cada término:

2580° 360° 60° 7

sen2580°= sen60°= 32

3360° 360° 120° 9

cos3360°= cos120°= - cos60°= - 12

4200° 360° 240° 11

tg4200°= tg240°=+tg60°= 3

L= - 3

∴L= - 3 2 ( )1

2

34

II C

32

cos(-120°)= cos120°= -cos60°= -

II C

12

Luego: C= - ∴C= -1

2 32 ( ) 3

4

7. Si θ es el ángulo interior de un polígono regular de 20 lados; determina el valor de:

Resolución:

C=sen(θ-27°) cos(θ+78°)tg(42°- θ)

Sabemos que: i=

⇒ interior de un polígono regular de n lados.

180°(n -2)n

180°(20-2)20

θ= ⇒θ=162°

Piden calcular: C=sen135° cos240° tg(-120°)C=-sen135° cos240° tg120°

Transformando:C=-(sen45°) (-cos60°) (-tg60°)C=-sen45°cos60°tg60°

Reemplazando:

C=- . . 3

∴C= -

22

12

64

Nivel I

2) Señala el valor de: L = sen143° cos120°

a) 0,3 b) -0,3 c) 0,6d) -0,6 e) -0,8

1) Señala el valor de: C=sen120° cos135° a) b) - c)

d) - e) -

62

62

64

64

34


Trigonometría




Nivel II

10) Calcula: L=tg3360° sen3120°

a) 1 b) 2 c) 1,5d) -2 e) -1,5

3) Calcula: C=tg120° cos240° tg225° a) b) - c)

d) - e)

32

32

34

34

62

4) Calcula: L=sec135° tg210° sen240° a) 2 b) - 2 c)

d) - e) -

22

22

62

5) Señala el valor de: C=sen150°cos210°tg300°sec330°

a) 3 b) - 3 c)

d) - e)

32

32

66

6) Señala el valor de: L=cos120°tg225°sec300°sen307°

a) 0,2 b) -0,2 c) 0,4d) -0,4 e) 0,8

7) Calcula: C=cos1200° sen765° a) b) c) -

d) - e) -

22

24

22

24

28

8) Calcula: L=tg2400° cos1110°

a) -1,5 b) 1,5 c) 1d) -1 e) -3

9) Calcula: C=cos1920° cos2670° a) 3 b) - 3 c) -

d) - e)

12

34

34

11) Calcula: C=sen(-45°)cos(-60°)

a) b) - c)

d) - e) -

22

22

24

24

62

12) Calcula: L=tg(-60°) sec(-30°)

a) 6 b) -6 c) 2d) -2 e) - 2 3

3

13) Calcula: C=sen(-120°)ctg(-210°)

a) 1,5 b) -1,5 c) 3d) -3 e) 2

14) Calcula: C=cos(-240°)sen(-225°)

a) b) - c)

d) - e) -

24

24

36

34

64

15) Calcula: sen(-2400°)

a) b) - c)

d) - e) -

12

12

32

32

22

16) Calcula: C = + 1

a) 1 b) -1 c) 0d) 2 e) 3

cos110°cos70°

L = cos50°+cos70°+cos110°+cos130°

17) Calcula: a) 1 b) 2 c) -1

d) -2 e) 0

sen200° sen240°sen160°

18) Calcula: C =

a) 1 b) -1/2 c) 3/2d) - 3/2 e) -1/3

sen320° tg160° sen225°sen140° tg340°

19) Calcula: L =

a) 1 b) 2 c) 2d) 2/2 e) - 2/2

20) Calcula: C=sen1310°+sen130°

a) 2sen50° d) 2cos50° b) -2sen50° e) -2cos50° c) 0

21) Calcula: L=tg1720°+tg260°

a) 0 d) 2tg10° b) 2tg80° e) -2tg10° c) -2tg80°

22) Calcula: C=sen1910°+sen2770°

a) 2 b) 1 c) 3d) -1 e) 0

23) Calcula: L=cos3000°+cos4260°

a) 1 b) -1 c) 0d) 3 e) - 3

695to de Secundaria


I. E. P.


24) Siendo: tgθ=

¿Cuál es el valor agudo de θ?

a) 30° b) 45° c) 37°d) 53° e) 60°

2sen(-40°)+3sen140°-2sen220°

26) Siendo θ un ángulo agudo tal que: tgθ=

Calcula: C=sen2θ-cos2θ

a) 1/3 b) 2/13 c) 3/13d) 4/13 e) 5/13

sen140°+2cos310°2sen40°

27) Siendo θ un ángulo agudo, tal que: tgθ=

Calcula: C=senθ cosθ

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3d) 0,4 e) 0,5

tg(-20°)+5tg200°-2tg160°

28) Si el ángulo interior de un polígono regular de 18 lados mide θ, determina el valor de:

a) 3 b) - 3 c) -

d) - e) -

32

62

64

C = cos(θ-40°) sen(θ-25°)tg(θ+80°)

29) Si el ángulo interior de un polígono regular de 20 lados mide ϕ, determina:

C=sen(ϕ-42°) cos(ϕ+48°)

a) b) - c)

d) - e) -

34

34

32

32

32

30) Si el ángulo interior de un polígono regular de 36 lados mide β; determina el valor de:

a) 1 b) 3 c) 9

d) -3 e) -9

L = tg(β-20°)tg(β+70°)tg(β-35°)

Nivel III

31) Si θ es un ángulo positivo, menor que una vuelta, perteneciente al IIIC, tal que: senθ= -cos20°.

Calculaθ. a) 210° b) 200° c) 250°

d) 240° e) 230°

32) Halla “θ”, tal que: 3 <θ<2π; y tgθ=-ctg

a) 13π/14 b) 23π/14 c) 17π/14

d) 31π/14 e) 33π/14

π2π

7

33) Calcula θ, tal que: π<θ<3 ; cosθ=-cos

a) 11 b) 6 c) 13

d) 7 e) 9

π2π

10

π10

π5

π10

π5

π10

34) Calcula θ, si: 90° <θ<180°; secθ=-sec40°

a) 110° b) 130° c) 140° d) 150° e) 160°

35) Si θ∈II C, es positivo y menor que una vuelta; tal que:

senθ=-cos1240° ¿Cuál es su valor?

a) 160° b) 120° c) 110° d) 130° e) 140°

36) Si θ∈II C, es positivo y menor que una vuelta; tal que:

tgθ=-tg3140° ¿Cuál es su valor?

a) 100° b) 110° c) 120° d) 130° e) 140°

37) Señala que expresión no es equivalente a sen140°.

a) sen40° d) sen460° b) -sen220° e) sen860° c) -sen320°

38) Señala la expresión que no es equivalente a cos200°.

a) -cos20° d) cos560° b) cos160° e) cos900° c) -cos340°

39) Señala la expresión que no es equivalente a tg310°.

a) -tg50° d) tg1390° b) tg130° e) -tg670° c) -tg230°

40) Señala la expresión que no es equivalente a cos340°.

a) cos20° d) cos1420° b) cos700° e) cos200° c) -cos160°

41) Calcula: a) 1 b) 0 c) -1

d) 2 e) -2

L=cos10°+cos20°+cos30°+...18 términos

42) Calcula: a) 1 b) 0 c) -1

d) 2 e) -2

L=cos1°+cos2°+cos3°+...+cos180°

25) Siendo: tgθ=

¿Cuál es el valor agudo de θ?

a) 37° b) 45° c) 53°d) 30° e) 60°

sen(-20°)+3sen20°2sen160°


Trigonometría




43) Reduce: L=∑ {sen[(-1)nθ]} a) 5senθ d) -senθ b) -5senθ e) 0 c) senθ

5

n=1

44) Reduce: L=∑ {nsen[(-1)nθ]} a) 2senθ d) -2senθ b) -3senθ e) 3senθ c) 15senθ

5

n=1

45) Si: ∑ {ntg[(-1)nθ]}=2 ; θ∈IC

Calcula: J= ∑{nsen[(-1)nθ]} a) b) c) -

d) e) -

6

n=1

8

n=1

2 13

3 13

3 13

8 13

8 13

46) Si: ∑ {n2sen[(-1)nθ]}=-2 ; θ∈IIC

Calcula: J= ∑{nctg[(-1)nθ]} a) 2 b) - 2 c) -2 2

d) 2 2 e) 4 2

3

n=1

4

n=1

47) Si en el gráfico ABCDE, BCF y CGHD son polígonos regulares; calcula:

J =

a) 1 b) 4 c) -4

d) 1/4 e) -1/4

B

α

F

C

G

HDE

Aβ

θ

cos(α+12°)cos(β+42°)tg(θ+42°)

senα sen(θ+12°)senβsen(ϕ+12°)

α

A

β

B C

K

O

E

I

H

G

F

ϕ

θ

48) Si en el gráfico ABCDEF, EFGHI y CDJK son polígonos regulares; calcula:

J=

a) 1 b) -1 c) - 3 d) 3 e) 3/3

49) Calcula el valor de:

a) 1 b) 2 c) 0d) 1/2 e) -1

1+cos(sen10°+sen20°+sen30°+...+sen360°)1+sen(cos10°+cos20°+cos30°+...+cos170°)

C=

50) Reduce:

a) 1 b) -1 c) 2

d) -2 e) 4

M=

17

n=1∑ {ncos(10°.n)}

∑ {nsen(10°.n)}8

n=1

La medida de los ángulos que hoy no es común, se remonta al tiempo de la escuela de Alejandría en los principios de la era cristiana. Los matemáticos griegos dividieron la circunferencia en 360 partes iguales, posiblemente copiando a los babilonios, llamando a cada una de dichas partes una moira. Esta palabra griega se tradujo en latín medieval como de-gradus, "un grado o paso partir de". Así pues nuestra palabra "grado" significa el primer paso para determinar la medida de un giro o revolución completa, es decir, 1/360 de tal revolución. Luego divieron cada grado en sesenta partes iguales, a cada una de las partes se le dio el nombre de "pars" nimuta prima, "primera parte menor". De aquí se deduce la palabra "minuto" (abreviada;') con un siginificado doble de "primera parte menor de un grado" o "primer parte menor de una hora".

L

715to de Secundaria


I. E. P.


Reducción al Primer CuadranteContinuamos ahora con lo dos últimos casos de reducción al primer cuadrante:

Objetivos

Reducir expresiones que contengan términos del tipo: R.T.(90°.n ±θ), n ∈ Z.

Reconocer las propiedades para ángulos suplementarios y utilizarlas correctamente en la simplificación de expresiones.

Adaptar los casos anteriores a la resolución de situaciones geométricas.

I. ÁNGULOS DE LA FORMA: (90°.n ±θ), n ∈ Z

Reducción al Primer Cuadrante II

Vamos a tener que analizar los siguientes casos: R.T.(90°.n ±θ)

Por ejemplo:

90°+θ → IIC90°- θ → IC270°+θ → IVC270°- θ → IIIC180°+θ → IIIC180°- θ → IIC360°+θ → IC360°- θ → IVC

{ n=1 : R.T. (90° ±θ)n=3 : R.T. (270° ±θ)

{ n=2 : R.T. (180° ±θ)n=4 : R.T. (360° ±θ)

Para los cuales se cumplirá:

R.T.(270° ±θ) = ±CO-R.T.(θ)90°

Dependerá de la R.T y del ángulo original.

sen(90°+θ)= + cosθ

II C

tg(270°-θ)= + ctgθ

cos(270°-θ)= - senθ

sec(90°+θ)= - cscθ

II C

III C

III C

R.T.(360° ±θ) = ±R.T.(θ)180°

Dependerá de la R.T y del ángulo original.

Por ejemplo:

sen(180°+θ)= - senθ

III C

tg(360°-θ)= - tgθ

IV C

cos(360°-θ)= + cosθ

sec(180°-θ)= - secθ

II C

IV C

En todos los casos se asume que “θ” es un ángulo; por lo que podemos afirmar que:

Una demostración simple para: 90°+θ

T

(-y;x)Q

y

O S

x r

θ

P(x;y)

r y

xxy

90°+θ

Notamos ahora que:

sen(90°+θ)= ; sen θ =xr

yr

cos (90°+θ)= - ; cos θ =yr

xr

ctg (90°+θ)= - ; ctg θ=yx

xy

tg (90°+θ)= - = - ; tg θ=xy

yx

xy

Tomamos el punto P(x,y) del lado final del ángulo canónico θy trazo OQ de modo que QÔP=90° OQ=OP=r luego los triángulos OSP y OTQ sean congruentes: OT=PS y TQ=OS entonces Q sería: (-y,x)


Trigonometría




Tomamos el punto P(x;y) del lado final del ángulo canónico “θ” y trazamos OQ de modo que PÔQ=180° y OQ=OP=r, “Q” sería el simétrico de “P” respecto a “O”, así que sus coordenadas serían Q(-x; -y).

Notamos ahora que:

De donde:

sen(90°+θ)= cosθ⇒ csc(90°+θ)= secθ

cos(90°+θ)= -senθ⇒sec(90°+θ)= -cscθ

tg(90°+θ)= -ctgθ⇒ ctg(90°+θ)= -tgθR.T.(90° ±θ)=±CO-R.T.(θ)

Ahora, demostraremos para: 180°+θ

P(x;y)

y

xθ

Q(-x;-y)

r

r180°+θ

O

sen(180°+θ)= - ; sen θ =yr

yr

cos (180°+θ)= - ; cos θ =xr

xr

tg (180°+θ)= - = ; tg θ=yx

yx

yx

-

De donde:

sen(180°+θ)= -senθ⇒ csc(180°+θ)= -cscθ

cos(180°+θ)= -cosθ⇒sec(180°+θ)= -secθ

tg(180°+θ)= tgθ⇒ ctg(180°+θ)= ctgθ

R.T.(180° ±θ)=±CO-R.T.(θ)

Vamos a analizar el caso: R.T. (a )πb

Se procede así: a 2b q r

⇒ R.T.(a) =R.T.(r )πb

πb

Por ejemplo:sen 1233 = ... ... = sen 1 =11233 4

308 1

π2

π2

co 1343 π = ... ... = cos 1 π =-11343 2 671 1

tg 3271 = ... ... = tg 1 = 3271 6 545 1

π3

π6

33

Propiedad:

si: x+y=180° { senx = senycosx = -cosytgx = -tgy

Para demostrar:

x=180°-y ⇒ senx= sen(180°-y)=+seny

cosx=cos (180°-y)= - cosy

tgx=tg (180°-y)= - tgy

II C

II C

II C

Por ejemplo:

sen120° = sen60°cos140° = -cos40°tg130° = -tg50°

En el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler definió las funciones tr igonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en solo una de las muchas aplicaciones de los números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.

II. ÁNGULOS DEL TIPO:

a ; a>2b>0πb

735to de Secundaria


I. E. P.


1. Reduce: C=sen(90°+θ) csc (270°-θ)


II C }sen (90°+θ)= +cosθ

csc (270°-θ)=-secθIII C

C=(cosθ)(-secθ)= - cosθ secθ1

∴ C=-1

2. Reduce: L=tg(90°+θ) tg(180°-θ) tg (270°-θ)


}II C

tg(180°-θ)= -tgθII C

tg(270°-θ)=+ctgθIII C

tg(90°+θ)= -ctgθ

L=(-ctgθ)(-tgθ)(+ctgθ)= ctgθ tgθctgθ1

∴ L=ctgθ

3. Señala el equivalente de: C=cos(θ-270°)

Resolución:En la expresión: C= cos(θ-270°) C= cos[-(270°-θ)]= cos(270°-θ)

III C

Resolución:

Luego : L= 1(1) ∴ L=1

4. Calcula: L=sen 173 cos220ππ

2

Analizamos cada término:

• sen 173 = sen =1π2

π2

173 4 43 1

•cos 220π= cos 0=1

220 2 110 0

Johann Müller Regiomontano

Nació en Königsberg, Alemania el 6 de junio de 1436.Murió en Roma, Italia el 8 de julio de 1476.A Johann Müller todo el mundo lo conocía como “Regiomontano” pues había nacido en la ciudad alemana de Königsberg que significa “Rey de la Montaña” y que en latín, lengua en la que la mayoría de los científicos europeos de esa época escribían, se decía “regiomontanus”.Desde pequeñito le gustaban las matemáticas y la astronomía, por eso siempre supo que él entraría a la universidad a estudiar justamente eso. Regiomontano resultó tan buen estudiante que los mejores profesores se peleaban para tenerlo como alumno, entre ellos un gran matemático llamado Feverbach de quien fue el alumno preferido.En 1461 fue nombrado profesor de astronomía en la Universidad de Viena en Austria, para ocupar el puesto que justamente Feverbach había dejado libre por motivos de salud. El gusto de dar clase en una universidad tan famosa le duró sólo siete años, pues en 1468. Regiomontano fue nombrado el astrónomo real de la corte del rey Matthias Corvinus de Hungría.Para 1471 era un matemático y astrónomo tan famoso que lo llamaban de distintas ciudades para que los asesorara en problemas de navegación, de ubicación de barcos en alta mar o de construcción.

∴ C= -senθ


Trigonometría




Nivel I

2) Señala el equivalente de: ctg(270°-θ)

a) ctgθ b) -ctgθ c) tgθd) -tgθ e) tg2θ

1) Señala el equivalente de: sen(90°+θ). a) senθ b) -senθ c) cosθ

d) -cosθ e) -cscθ

Resolución:

Queda : C= cos0 + sen0

5. Siendo que: x - y=π ; reduce: C=cos(senx+seny)+sen(cosx+cosy)

Como: x - y = π ⇒ x = π+y

Luego : C= cos(senx+seny)+sen(cosx+cosy) C= cos [sen(π+y)+seny]+sen[cos(π+y)+cosy]

-seny -cosy

∴ C=11 0

Resolución:

6. Sabiendo que: x+y=3 ; reduce: L=senx secy+tgxtgy

π2

Como: x+y=3 ⇒ x=3 -yπ2

π2

Luego : L= senx secy + tgxtgy L= sen(3-y)secy + tg(3 -y)tgy

L= -cosy secy + ctgy tgy L= -1+1 ∴ L=0

-cosy

π2

π2

ctgy

1 1

Resolución:

7. Sabiendo que: x+y= ; calcula: C=tg(5x+2y)tg(2x - y)

π2

En la expresión:

C= tg(5x+2y) tg(2x - y) C= tg αtg β C= tg(3 +β) tg β

L= -ctgβ tgβ ∴ C= -1

π2

-ctgβ

; α=5x+2y β=2x - y α- β=3x+3y= 3 π

2

1

3) Reduce: C=tg(90°+θ)tg(270°+θ)

a) tg2θ b) -tg2θ c) ctg2θd) -ctg2θ e) 1

4) Reduce: C=sen(270°-θ)sec(90°-θ)

a) 1 b) -1 c) tgθd) -tgθ e) -ctgθ

5) Señala el equivalente de: sen(180°+β).

a) senβ b) -senβ c) cosβd) -cosβ e) -cscβ

6) Señala el equivalente de: tg(360°-β)

a) -tgβ b) tgβ c) ctgβd) -ctgβ e) -1

7) Reduce: C=

a) cos2β b) -cos2θ c) cos3θd) -cos3θ e) cosθ

sen(270°+θ)cos(180°-θ)sec(360°-θ)

α βα=3 + βπ

2

755to de Secundaria


I. E. P.


Nivel II 8) Reduce: L=

a) tgθ b) -tgθ c) ctgθd) -ctgθ e) -ctg3θ

tg(180°-θ)tg(270°-θ)tg(360°-θ)

9) Calcula: C=sen157 sen321

a) 0 b) 1 c) 2d) -2 e) -1

π2

π2

10) Calcula: L=cos217π sen233 a) 0 b) 1 c) -1

d) 1/2 e) -1/2

π2

11) Señala el equivalente de: sen 117 +x a) senx b) -senx c) cosx

d) -cosx e) -cscx

π2

12) Señala el equivalente de: tg 237 +x a) ctgx b) -ctgx c) tgx

d) -ctgx e) -1

π2

13) Reduce: C=sen(223π+x) sec 217 +x a) tgx b) -tgx c) ctgx

d) -ctgx e) 1

π2

14) Reduce: C=tg(120π-x) tg 137 -x a) tgx b) tg2x c) -tg2x

d) -ctg2x e) -1

π2

15) Reduce:

C=

a) sen3x b) -sen3x c) cos3xd) -cos3x e) -csc3x

16) Simplifica:

C=

a) tgx b) -tgx c) ctgxd) -ctgx e) -1

π2sen(π+x)tg +x

cos 3 +xπ2

17) Simplifica:

C=

a) tgθ b) -tgθ c) ctgθd) -ctgθ e) 1

π2tg(π+θ)cos +θ

sen(2π-θ)

18) Simplifica:

C=

a) tgx b) -tgx c) ctgxd) -ctgx e) -1

π2tg +x tg 3 +x

ctg(π-x)

π2

19) Simplifica:

L=

a) senθ b) cosθ c) -senθd) -cosθ e) -tgθ

sen 3 +θ sen(π-θ)

cos(2π-θ)

π2

20) A qué es igual: sen(θ- π) a) senθ b) cosθ c) -cosθ

d) -senθ e) ±senθ

21) A qué es igual: ctg θ- 3 a) ctgθ b) -ctgθ c) tgθ

d) -tgθ e) ±tgθ

π2

22) Señala el equivalente de:

C=

a) tgθ b) -tgθ c) senθd) -senθ e) -cosθ

π2sen(θ-π)tg 3 -θ

ctg(θ-2π)

23) Reducir:

L=

a) cscθ b) -cscθ c) ctgθd) -ctgθ e) -1

π2sec θ- ctg(θ-π)

csc(θ-2π)

24) Siendo: tgθ= 6 ; θ∈IC calcula:

C=

a) 3/7 b) -3/7 c) 6/7d) -6/7 e) -1/7

25) Siendo β un ángulo agudo; tal que: cosβ=1/3; calcula:

L=

a) 3 b) 9 c) 1/9d) 27 e) 1/27

26) Si: x - y=π Reduce:

C=

a) 3 b) -3 c) 1d) -1 e) 0

senxseny

cosxcosy

tgxtgy+ +

27) Si: x - y=π/2 Reduce:

L=

a) 1 b) 2 c) -2d) -1 e) 0

senxcosy

secycscx+

28) Si: x - y=3π/2 Reduce:

C=

a) 1 b) 1/2 c) -1/2d) -2 e) -1

senx+cosy+1tgx+ctgy+1

( (

( (

( (

( (

π2sen(132π-x)cos 137 +x

sec 223 +x π2

( (( (

( (( (

( (

( ( ( (

( (

( (

( (

( (

3π2sen θ- tg(π-θ)

sec θ-π2

( (( (

3π2sen β- cos(π-β)

cscβ-π2

( (( (


Trigonometría




Nivel III

29) Si: x+y=2π Reduce:

L=

a) 1 b) -1 c) 1/2d) -1/2 e) 0

senx+seny+1tgx+tgy+1

30) Si: x+y=π Calcula:

C=

a) 1 b) -1 c) 1/2d) -1/2 e) 2

sen(cosx+cosy)+1cos(tgx+tgy)+1

31) Reduce:

a) senx d) senxcosx b) -senx e) -senxcosx c) 1

π2sen(π+x)cos +x sec 3 +x

sec(2π-x)C=

π2

32) Reduce:

a) senx b) -senx c) 1d) tgx e) -tgx

L=

33) Reduce:

a) 1 b) tgx c) -tgxd) ctgx e) -ctgx

π2sen 173+x tg(153π-x)

cos(225π-x)L=

34) Reduce:

a) sen2x cosx d) senx cos2x b) cos3x e) -sen2x cos2x c) -cos3x

π2sen 175+x cos(157π-x)

sec(244π-x)L=

35) Señala el equivalente de: sen θ- 153

a) senθ b) -senθ c) cosθ

d) -cosθ e) -secθ

π2

36) Señala el equivalente de: tg(θ- 325π)

a) tgθ b) -tgθ c) ctgθ

d) -ctgθ e) -1

37) De acuerdo al gráfico, calcula: tgθ.

a) 2 b) -2 c) 1/2d) -1/2 e) -1

Bθ

45°A

C

M

38) De acuerdo al gráfico, calcula: tgϕ.

a) 2/3 b) -2/3 c) 3/2d) -3/2 e) -4/3

Bϕ37°

A

C

M

39) De acuerdo al gráfico, calcula: L=tgαtgβ si: AP=2PE.

a) 3/8 b) -3/8 c) 9/8d) -9/8 e) -3/16

A

37°

D

P

B Cα

β

E

40) De acuerdo al gráfico, calcula: L=tgαctgβ si: tgA=4/3.

a) -16/9 b) 16/9 c) 4d) -4 e) -9/16

C

α

A

B

β

(a;b)y

xθ

41) De acuerdo al gráfico, calcula: tgθ.

a) b) - c)

d) - e) -

ab

ba

a2b

ab

ba

( ( ( (

π2 tg(π+x)tg +x sen(π-x)sec(π+x)

cos 3 +x csc +xπ2

π2

( (( ( ( (

( (

( (

( (

775to de Secundaria


I. E. P.


(m;n)

y

x

ϕ

42) De acuerdo al gráfico, calcula: tgϕ.

a) b) - c)

d) - e) -

mn

nm

m2n

mn

nm

π243) Siendo: 3x+2y= 3

Reduce:

L=

a) 1 b) -1 c) 1/2d) -1/2 e) 3

tg(2x+y)tg(x+y)tg(3x+4y)tg3x

π4

44) Siendo: 2x+y= Calcula:

J=

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 4

sen(6x+6y)tg(4x+4y)cos6x tg4x

45) Sabiendo que:

∑ {sen n+x }=1/3; x∈IVC, calcula:

C=∑{cos(nπ+x)} a) 1/3 b) -1/3 c) 2 2/3

d) -2 2/3 e) -2/3

5

n=1

π2

5

n=1

46) Si:

∑{nsen(90°n+θ)}=asenθ+bcosθ calcula: a2+b2. a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) 12

4

n=1

4

n=1

47) Simplifica:

C= ∑ nsen (-1)nn+θ a) 2senθ+2cosθ b) 2senθ-2cosθ c) -2senθ-2cosθ d) -2senθ+2cosθ

e) 0

π2

48) Simplifica:

a) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) -2

π2∑ tg n + θ }

tgθ- ctgθL=

6

n=1

49) De acuerdo al gráfico, calcula “tgα” si: BC=2AB

a) 2/7 b) 2/9 c) 9/2d) -9/2 e) -2/9

A(-1;4)y

x

C

B

α

50) De acuerdo al gráfico, calcula: si: BC=3OA

a) 6/19 b) -6/19 c) 3/19d) -3/19 e) 8/19

tgϕtgβ

A(1;5)

y

x

M

B

βo

N

ϕ

E n c i e r t a s r a m a s d e l a matemát ica avanzada , en particular aquéllas que incluyen funciones trigonométricas, los ángulos se miden habitualmente en radianes (rad). En 360º hay 2π rad, es decir, unos 6,28rad.En el ejército, los ángulos se m i d e n g e n e r a l m e n t e e n milésimas, especialmente para la localización de objetivos de artillería. Una milésima es la medida del ángulo central formado por un arco que es 1/6 400 del círculo. Una milésima artillera equivale a 0,05625º y aproximadamente, a 0,001 radianes.

( (

{ {[ [

{ {( (


Trigonometría




Circunferencia Trigonométrica I

Circunferencia Trigonométrica:

Objetivos

Representar los valores numéricos del seno o coseno de un área cua lquiera , sobre la c ircunferencia trigonométrica mediante líneas trigonométricas, para comparar dichos valores y establecer relaciones de orden entre ellos.

Determina correctamente longitudes de segmentos o áreas de determinadas regiones usando las líneas trigonométricas.

θ⇒ antihorario : AM (+)

Sobre esta circunferencia, todo arco deberá ser dibujado a partir de "A", ya sea en sentido horario o antihorario: α⇒ horario : AN (-)

Los puntos "M" y "N" se denomian exteriores de arco y son de vital importancia para representar las razones trigonométricas. Notamos también la correspondencia existente entre un arco y su ángulo central correspondiente: AM=θ⇒AÔM = θrad Debido a esta correspondencia, se cumple: R.T. (θrad) =R.T.(θ)

Líneas trigonométricas. Son segmentos dirigidos que representan los valores númericos de las razones trigonométricas de un ángulo, arco o número cualquiera; siempre que se encuentre definido.

1. L.T. SENO.- El seno de un ángulo, arco o número queda representado sobre la C.T. mediante

la ordenada de su extremo de arco asociado en ella. Es decir, la vertical trazada del extremo del arco asociado al eje de abscisas.

Es aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen del sistema cartesiano y cuyo radio es igual a la unidad del sistema. En el gráfico adjunto anotaremos que:A(1;0): origen de arcos.B(0;1): origen de complementos de arcos.A'(-1;0): origen de suplemento de arcos.B'(0:-1): anónimo.

A' A

M

yB

R=1 1

10

B'N

α

θ

θ radx

A' A

M4-1

1

B'

θ1

senθ4 x

θ4

M1

M3

M2

θ2B

y

θ3

senθ1 senθ2

senθ3

En el grafico se ubicaron los arcos θ1,θ2,θ3y θ4 ; y se trazaron sus respectivos L.T. seno, tal como se muestran en el dibujo. Notamos además que:senθ1y senθ2: (+)senθ3y senθ4: (-)Además:

(senθ)máx =1 y (senθ)mín =-1

Vamos a demostrarlo, tomando un arco θdel II C; en el cual anotaremos que:M (x;y) es su extremo y OM =1,quien es el radio vector de "M". Además que AÔM = θrad, quien es un ángulo canónico, luego: senθrad = =

senθ= y = PM

yOM

y1

senθ = PM

A' A

C.T.

1

B'

x

θ By

P 0

(x;y)M θrad.

795to de Secundaria


I. E. P.


2. L.T. SENO.- El coseno de un ángulo, arco o número cualquiera, queda representado sobre

la C.T. mediante la abscisa de su extremo de arco asociado en ella. Es decir, es la horizontal trazada desde el extremo del arco asociado al eje de ordenadas.

En el grafico se ubicaron los arcos θ1,θ2,θ3y θ4; y se trazaron sus respectivas L.T. coseno, tal como se muestra en el dibujo. Notamos además que:cosθ1y cosθ4: (+)cosθ2y cosθ3: (-)Además:

(cosθ)máx =1 y (cosθ)mín =-1

A' A

M4

-1

B'

x

By

cosθ1 1

cosθ2

cosθ3 cosθ4 M3

M2 M1

θ3

θ2

θ1

θ4

Para demostrarlo, tomamos un arco θ del IIIC; en el cual anotaremos que M(x; y) es su extremo y OM=1, quien es el radio vector de "M"

A' A

C.T.

1

B'

x

By

P 0

θrad.

Q(x;y)M

Notamos además que AÔM = θrad, quien es un ángulo canónico, luego:

cosθrad.= =

cosθ = x = QM

xOM

x1

cosθ = QM

En este capítulo vamos a resolver problemas tipo comparación de líneas, determinación de longitudes de segmentos y áreas de regiones triangulares.

1. Señala verdadero (V) o falso (F), según corresponda en: I) sen 70° > sen 140° II) sen 200° > sen 230°

Resolución: Graficamos en la C.T.:

C.T.

(+)

x

y

(+)

70°140°

sen 70° > sen 140°

C.T.

(-) X

y

200°(-)

230°

sen 200° > sen 230° Rpta.: VV

2. Señala verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:

I) cos 70° > cos 340° II) cos 130° > cos 190°

Resolución:Graficamos en la C.T.:

x

y

(+)

C.T.(+)

70°

340°

cos 70° < cos 340°

X

y

C.T.

(-)130°

cos 130° > cos 190°

(-)190°

Rpta.: FV

3. Sabiendo que: π/2< α<β<π , señala verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:

I. senα> senβII. cosα> cosβ

Resolución:

Ubicandonos en la C.T. tenemos:

C.T.

x

y

π

β

α π/2 senα>senβcosα>cosβ

Notamos que:

Rpta.: VV


Trigonometría




6. En la C.T. mostrada, halla el área de la región sombreada en función de θ.

Resolución:

4. En la C.T. mostrada determina la longitud de AP, en función de θ.

Resolución:

En el cálculo de longitudes de segmentos se debe tener en cuenta el signo de la L.T. a utilizar, si esta es positiva se utilizará, tal como es; pero si es negativa se le cambia el signo. Por ejemplo, en el problema:

C.T.

x

θ

A'

B'

A

yB

P

5. En la C.T. mostrada determina la longitud de PQ en función de αy β.

Ax

y

1

-cosθ M

θ

-cosθ P 0

Q

C.T.Rpta.: AP = 1- cosθ

• MQ = cosθ (-) ⇒ MQ = - cosθ

• OP = MQ ⇒ OP = - cosθ

• AP = OA + OP = 1+ (- cosθ)

Ax

y

MP

Q

C.T.B

A'

α

B'N

β

Rpta.: PQ = senα-senβ

AX

y

MP

QC.T.

B

A'

α

B'N

β

senα

-senβS

0senα

-senα

T

En la C.T. mostrada, tenemos:MS = senα(+) ⇒MS = senαNT = senβ(-) ⇒NT = -senβLuego: OP = MS = senα OQ = NT = senβEntonces: PQ = OP + OQ

Resolución:

En la C.T. mostrada notamos que:

C.T.

x

θ

A'

B'

A

yB

N

M

C.T.

x

θ

A'

S

A

yB

N

M

senθ

senθQ

-cosθ

10

-cosθ

• MQ = senθ (+) ⇒ MQ = senθ

MQ = QN ⇒ senθ ⇒ MN = 2 senθ

• MS = cosθ(-) ⇒ MS =- cosθ

OQ = MS = - cosθ

Sabc = MN.AQ2

2senθ(1- cosθ)2=

Rpta.: SABC = Senθ(1- Cosθ)

B'

815to de Secundaria


I. E. P.


Nivel I

5) Señala verdadero(V) o falso(F), según corresponda en:

I . sen 40° > sen 70° ....( )II. sen 124° > sen 160°....( )III. sen 190° > sen 236°....( )


I . sen 10° < sen 50° ....( )II. sen 170° > sen 140°....( )III. sen 280° > sen 310°....( )


I . cos 10° > cos 70° ....( )II. cos 100° > cos 140°....( )III. cos 300° > cos 340°....( )


I . cos 50° > cos 20° ....( )II. cos 200° > cos 260°....( )III. cos 290° > cos 310°....( )


I . |sen217°|>|sen240°| ....( )II. |cos 130°|>|cos 160°| ....( )


I . |sen 304°|>|sen 334°| ....( )II. |cos 200°|>|cos 250°| ....( )

7. En la C.T. mostrada, halla el área de la región sombreada en función de θ.

C.T.

x

θN

Q

My

P

C.T.

X

θN

Q

M

y

P-2cosθ

A

SB

-cosθ -cosθ

senθ senθ

• MQ = senθ (+) ⇒ MQ = senθ

• MS = cosθ(-) ⇒ MS =- cosθ MS =SN =-cosθ⇒MN=-2 cosθ

• Smnpq= PQ.MQ=(-2cosθ)senθ

Rpta.: SMNPQ = -2senθ cosθ

1) En una C.T. ubica un arco que mida 140° y traza sen140° y cos 140°

Rpta.:

2) En una C.T. ubica un arco que mida 230° y traza sen 230° y cos 230°.

Rpta.:

3) Es una C.T. ubica un arco θ que pertenece al IVC y traza senθ y cosθ.

Rpta.:

4) En una C.T. ubica un arco ϕ que pertenezca al IIIC y traza senϕy cosϕ.

Rpta.:

C.T.

xθ

A

By

PA'

B'

11) En la C.T. mostrada demuestra que la longitud de AP es:

1 - cosθ.

Resolución:

En la C.T. mostrada:


Trigonometría




Nivel II

C.T.

x

θ

A

By

P

A'

B'

M

C.T.

xA

By

A'

B'M

θ

12) En la C.T. mostrada, demuestra que la longitud de B'P es: 1+senθ.

13) En la C.T. mostrada, demuestra que la longitud de A'P es:

1+ cosθ.

14) En la C.T. mostrada, demuestra que la longitud de PB es:

1-senθ.

C.T.

xA

By

A'

Mθ

P

15) En la C.T. mostrada, demuestra que: AP2+B'Q2 = 3

(Sug: sen2θ+ cos2θ= 1 )

x

θ

A

y

P

Q

B'

M

16) Sabiendo que: 90˚<α<β< 180°. Señala verdadero (V) o falso (F),

según corresponda en:I . senα<senβ II. cosα <cosβIII. |cosα| <|cosβ|

a) VVV b) VFV c) FVVd) FFV e) FFF

17) Sabiendo que: 180˚<α<β< 270°. Señala verdadero (V) o falso (F),

según corresponda en:I . senα>senβ II. cosα >cosβIII. |senα| >|senβ|

a) VVF b) VFV c) VFFd) FFF e) FFV

18) Señala verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:I .- o<α<45°⇒senα>cosα II.- 45°<α<90°⇒senα>cosαIII.- 90°<α<135°| ⇒senα >|cosα|

a) VVF b) VFV c) FFVd) FVV e) FVF

19) Señala verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:I . 135°<α<180°⇒senα>|cosα| II. 180°<α<225°⇒senα>cosαIII. 225°<α<270°⇒|senα| >|cosα|

a) FVF b) FVV c) FFVd) VVF e) VVV

20) Señala verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:I . sen70°>cos290°II. sen160°=cos290°III. sen50°=|sen230°|

a) VVF b) FVF c) VVVd) VFV e) VFF

21) Señala verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:I . sen20°=cos290°II. sen40°=|cos130°|III. |sen190°|=cos280°

a) VVV b) VVF c) VFVd) FVV e) FFV

C.T.

xA

By

A'

θ

B'

M

12

22) En la C.I. mostrada, halla el área de la región sombreada.

a) Senθ d) senθb)-senθ e) -2senθc) 2senθ

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

835to de Secundaria


I. E. P.


23) En la C.T. mostrada, halla el área de la región sombreada.

a) cosθ d) -2cosθb) 2cosθ e) cosθc) -cosθ

12

C.T.

xA

By

A'

B'

θ

M


a) cosθ d) -2cosθb) 2cosθ e) - cosθc) -cosθ

12

C.T.

xA

By

A'

B'

θM


a) senθ d) -2 senθb) 2senθ e) - senθc) -senθ

12

C.T.

xA

By

A'

B'

θ

M


a) (1- cosθ)senθ

b) (1- cosθ)senθ

c) (1+ senθ)cosθ

d) -(1+ senθ)cosθ

e) (1- senθ)cosθ2

2

2

2

xA

By

A'

B'

θM P


a) cosθ d) - cosθb) - cosθ e) - 2 cosθc) cosθ1

2

12

xA

By

A'

B'M

C.T.


a) (1+ senθ)cosθ b) (1- senθ)cosθ c) (senθ-1)cosθd) (1- cosθ)senθe) (cosθ-1)senθ

xA

By

A'

B'θM N

C.T.


a) senθ(1+cosθ) b) senθ(1- cosθ) c) cosθ(senθ-1)d) cosθ(1- senθ)e) senθ(cosθ-1)

xA

By

A'

B'

θM

NC.T.


Trigonometría





a) θ-senθ

b) (θ- senθ)

c) (θ- 2senθ)

d) (2θ- senθ)

e) 2θ- senθ

121212

xA

By

A'

θM

B0

Nivel III

31) Señala verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:I . sen1 > sen2II. sen2 > sen3III. sen4 > sen5

a) FVV b) FVF c) VVFd) FFF e) VVF

32) Señala verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:I . sen1 > sen3 II. sen4 > sen6III. |sen5| >|sen6|

a) VFV b) VFF c) VVVd) FFF e) FVF

33) Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:I . cos2 > cos3 II. |cos2| >|cos3|III. cos1 > cos6

a) VVV b) VFV c) VFFd) FVV e) FFF

34) Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:I . cos1 > |cos2| II. cos2 >cos4III. cos5 < cos6

a) FVF b) VVV c) VVFd) FVV e) VFV

35) Señala el signo de desigualdad que debe ir en el círculo:I . sen(sen1) sen(sen2) II. cos(sen1) cos(sen2)

a) >;> b) >;< c) <;<d) <;> e) >;=

36) Señala verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:I . sen(cos2) > sen(cos3) II. cos(cos2) > cos(cos3)

a) VV b) VF c) FFd) FV e) V; no se puede precisar

37) Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:I . sen(sen4) > sen(sen5) II. cos(cos4) > cos(cos5)

a) VV b) VF c) FFd) FV e) V; no se puede precisar

38) Señala el signo de desigualdad que debe ir en el círculo:I . cos(sen3) cos(sen4) II. sen(sen3) sen(cos4)

a) >;> b) >;< c) <;<d) <;> e) >;=

C.T.

XA

By

A'

B'θM

39) En la C.T. mostrada, demuestra que: BM= 2(1-senθ)

40) En la C.T. mostrada, demuestra que: AM= 2(1-cosθ)

C.T.

xA

By

A'

B'

θM

41) En la C.T. mostrada, demuestra que: A'M= 2(1+ cosθ)

C.T.

xA

By

A'

B'M

θ

C.T.

xA

By

A'

B'

M

42) En la C.T. mostrada, demuestra que:

A'M2 - BM2 = 2(senθ+cosθ)

855to de Secundaria


I. E. P.


43) En la C.T. mostrada, demuestra que el área de la región sombreada es igual a: -senθcosθ

2

C.T.

xA

By

A'

B'

Mθ

44) En la C.T. mostrada, demuesta que el área de la región sombreada es igual a: -senθcosθ

2

C.T.

xA

By

A'

B'

Mθ

45) En la C.T. mostrada, demuestra que: OP= -senθ

1+cosθ

C.T.

xA

By

A'

B'M

θP

0

C.T.

xA

By

A'

B'

M θ

46) En la C.T. mostrada, demuestra que: OP= -cosθ

1+senθ

P 0

47) En la C.T. mostrada, demuestra que el área de la región sombreada es igual a: senθ

2(1- cosθ)

C.T.

xA

By

A'

B'

M θ

48) En la C.T. mostrada, demuestra que el área de la región sombreada es igual a: -cosθ

2(1- senθ)

C.T.

xA

By

A'

B'M

θ

49) En la C.T. mostrada, demuestra que el área de la región sombreada es igual a: sen 1- cosθ1

2

C.T.

xA

By

A'

B'

θ

12

y

50) En la C.T. mostrada, demuestra que el área de la región sombreada es igual a: 1+senθ 3/2

C.T.

xA

B

A'

B '

θ

001

M P

( (

( (


Trigonometría




Circunferencia Trigonométrica II

V a r i a c i o n e s d e l a s R a z o n e s Trigonométricas

Analizamos por cuadrantes:

Objetivo

Determinar la var iación del seno y el coseno en cada cuadrante, para luego establecer las variaciones de expresiones más complicadas que dependan del seno o coseno de un cierto arco.

1. VARIACIÓN DEL SENO

2. VARIACIÓN DEL COSENO

-1 ≤senθ ≤1; ∀θ∈R

3. ALGUNAS PROPIEDADES DE DESIGUALDADES

0

-1

1

x

π/2y

2ππ

3π2

θ 0 →

senθ

π2π2 →π π→3π2 3 →2π

π2

0 →1 1 →0 0 →-1 -1 →0

Es decir:

y

0 ≤sen2θ ≤1; ∀θ∈R

Analizamos por cuadrantes:

θ 0 →

cosθ

π2π2 →π π→3π2 3 →2π

π2

1 →0 0 →-1 -1 →0 0 →1

0-11 x

π/2y

2ππ

3π2

-1 ≤cosθ ≤1; ∀θ∈R

Es decir:

y

0 ≤cos2θ ≤1; ∀θ∈R

a< x < b ⇒a ±c<x ±c<b ±c;∀c∈R

Ejemplo: -2 <x<3 ⇒-1< x + 1< 4

a< x < b ⇒ac<xc<bc; ∀c∈R+

⇒ac>xc>bc; ∀c∈R-

Ejemplo: -3 <x ≤2 ⇒-12< 4x ≤ 8 -1 ≤x< 3 ⇒2 ≥ -2x > -6

a< x < b ⇒> > ; ∀ab>0

Ejemplo: 3 <x ≤5 ⇒> ≥

1a

1x

1b

13

1x

15

∀x∈R; x2 ≥ 0 ⇒ x2mín= 0

Ejemplo: E = 3 + x2 ⇒Emín = 3 A = 7 - x2 ⇒Amáx = 7

a<x< b ⇒a2< x2< b2; ∀a, b ∈ R+

⇒a2 >x2 >b2; ∀a, b ∈ R-

⇒0 ≤x2 < máx{a2, b2}; ∀a ∈ R- y ∀b ∈ R+

Ejemplo: 2 < x ≤ 4 ⇒ 4 < x2 ≤ 16 -3< x < -1 ⇒ 9 > x2 > 1 -2 ≤ x ≤ 3 ⇒ 0 ≤ x2 ≤ 9

His tor ic amente s e pue de considerar que los árabes fueron quienes dieron el paso decisivo para el tratamiento sistemático de la trigonometría.

875to de Secundaria


I. E. P.


4. CONSIDERACIÓN FINAL

AA'x

yB

P

senθ

cosθMθ

C.T.B'

Nφ

Sabemos que para un arco θ: MP = senθ MQ = cosθ } M(cosθ; senθ)

Es decir, el extremo de un arco cualquiera tendrá siempre como componentes al coseno y al seno del arco correspondiente. Por ejemplo "N" es el extremo del arco φ, luego las coordenadas de N serían: N(cosφ; senφ)

Con esta indicación podemos calcular superficies de triángulos, usando el criterio visto en sistema cartesiano. Por ejemplo, vamos a determinar la superficie de la región sombreada en la C.T. mostrada.

AA'x

yB

Mθ

C.T.B'

S

Not amos pr imero que l as coordenadas de: M son (cosθ, senθ) A son ((1; 0) B' son (0; -1)

A(1; 0)S

B'(0; -1)

M(cosθ; senθ)

Empezando en M:

cosθ senθ 0 -1 1 0cosθ senθ

-cosθ0senθ

(+)

senθ-cosθ

0-10

(+)

-1

S = (senθ - cosθ)-(-1)2

∴ S = 1 +senθ - cosθ2

1) Sabiendo que θ ∈ R, señala la variación de: C = 5senθ + 1.

Resolución:

• Sabemos que: θ ∈R ⇒-1 ≤senθ ≤1 x5: -5 ≤5senθ ≤5 +1: -4 ≤5senθ +1 ≤6

C-4 ≤C ≤6

∴ C ∈[-4; 6]

2) Sabiendo que φ ∈ R, señala la extensión de: L = 7 - 3cosφ.

Resolución:

• Sabemos que: φ ∈R ⇒-1 ≤cosφ ≤1 x(-3): 3 ≥-3cosφ ≥-3 +7: 10 ≥7-3cosφ ≥4

L10 ≥L ≥4

∴ L ∈[4; 10]

3) Sabiendo que θ ∈IIC, señala la variación de: C = 5 + 2cosθ.

Resolución:

• Sabemos que: θ ∈IIC ⇒-1 <cosθ <0 x2: -2 <2cosθ <0 +5: 3 <5 + 2cosθ <5

C3 <C <5

∴ C ∈< 3; 5>

4) Sabiendo que φ ∈IIIC, señala la variación de:

L = 3 -

Resolución:

• Sabemos que: φ ∈IIIC ⇒-1 <senφ <0 x2: 1 <senφ+2 <2 ÷2: < <1 invirtamos: 2 > > 1 x - 1: -2 < - < -1

+ 3: 1 < 3 - < 2

1 <L <2

∴ L ∈< 1; 2>

2senφ +2

senφ + 22

12

2senφ +2

2senφ +2

2senφ +2

L

Q


Trigonometría




x

5) Sabiendo que θ ∈R, señala el valor mínimo de: C = senθ(senθ + 3)

Resolución:

• En la expresión: C = sen2θ + 3senθ completando cuadrados, tenemos: C=sen2θ + 2( )senθ+( )2-( )2

C=(senθ + )2 - Sabemos ahora:

θ ∈R ⇒-1 ≤senθ≤1 + : ≤senθ+ ≤

elevamos al cuadrado: ≤(senθ+ )2 ≤

- : -2 ≤(senθ + )2 - ≤4

32

32

32

32

94

32

12

32

52

14

32

254

94

32

94

-2 ≤C ≤4

∴ Cmín = -2

C

6) Sabiendo que θ ∈ < ; >; señala la extensión de:

L = 4sen(2θ - ) -1

Resolución:

7π12

π3

• En la expresión: L = 4sen(2θ - ) -1 L = 4senβ - 1 tenemos que: < θ <

x2: < 2θ < - : < 2θ- <

π3β

π4

7π12

π2

7π6

π3

π6

π3

5π6

β

⇒< β < π6

5π6

Analizamos en la C.T; como:

< β <π6

5π6

y

1

12

12

π6

π65

⇒ < senβ ≤1 x4 : 2 < 4senβ ≤4 -1 : 1 < 4senβ-1 ≤3

∴ L ∈<1; 3]

12

L1 <L ≤3

7) En la C.T. mostrada, determina el área de la región sombreada en función de θ.

Resolución:

• En la C.T. mostrada, vamos identificar las coordenadas de los vértices del triángulo:

AA'x

yB

Mθ

C.T.

B'

S

(0; 1)

(-1; 0)

(cosθ; senθ)

cosθ senθ 0 1 -1 0cosθ senθ

cosθ0-senθ

(+)

cosθ-senθ

0-10

(+)

-1

S = cosθ - senθ-(-1)2

∴ S = 1 - senθ + cosθ2

Nivel I

1) Señala la variación de: C = 3senθ + 1; θ ∈R

a) [-2; 4] d) [2; 4]b) [-1; 3] e) [-1; 4]c) [1; 3]

2) Señala la variación de: L = 2 + 7senφ; φ ∈R

a) [2; 7] d) [-5; 7]b) [-2; 7] e) [-5; 9]c) [-2; 9]

3) Señala la variación de: C = 5 - 3senα; α ∈R

a) [1; 7] d) [2; 6]b) [2; 8] e) [3; 8]c) [3; 6]

4) Señala la variación de: L = 7 - 6senβ; β∈R

a) [-1; 7] d) [1; 6]b) [-1; 13] e) [2; 11]c) [1; 13]

π4

AA'x

yB

Mθ

C.T.

B'

luego, en el arreglo: (empezando por “M”)

895to de Secundaria


I. E. P.


5) Suma el máximo y mínimo valor de: C = 5 + 7cosθ; θ∈R

a) 12 d) 4b) 10 e) 16c) 14

6) Señala la suma del máximo y mínimo valor de:

L = 2 + 5cosβ; β∈R

a) 7 d) 1b) 10 e) 16c) 4

7) Suma el máximo y mínimo valor de: L = 3 - 7cosφ; φ∈R

a) -2 d) 4b) -1 e) 6c) 1

8) Suma el máximo y mínimo valor de: L = 5 - 7cosα; α∈R

a) 5 d) 14b) -4 e) 10c) -2

9) Señala la variación de: C = 3 +4senθ; θ∈IIC

a) [-1; 7] d) <4; 7>b) <-1; 7> e) <1; 7>c) <3; 7>

10) Señala la extensión de: L = 5 + 3senφ; φ∈IIIC

a) <1; 3> d) <2; 5>b) <3; 5> e) <-1; 5>c) <2; 3>

11) Señala la extensión de: C = 7 - 4 cosβ; β∈IIC

a) <3; 7> d) <7; 11>b) <4; 7> e) <4; 11>c) <-4; 7>

12) Señala la extensión de: L = 5 - 2 cosφ; φ∈IVC

a) <-2; 5> d) <2; 5>b) <-3; 5> e) <1; 5>c) <3; 5>

13) Señala el máximo valor entero que puede tomar:

C = 3 + 4 senθ; θ∈IIIC

a) -1 d) 2b) 0 e) 3c) 1

14) Señala el mínimo valor entero que puede tomar:

L = 7 - 3senφ; φ∈IIC

a) 4 d) 7b) 5 e) 2c) 6

15) Señala la suma del máximo y mínimo valor entero que toma: C = 9 - 5cosφ; φ∈IVC

a) 13 d) 18b) 7 e) 10c) 10

Nivel II

16) Sabiendo que: 30º < θ< 90º señala la variación de senθ.

a) <0; 1> d) <0; 1]b) <1; 2> e) <1/2; 1]c) <1/2; 1>

17) Sabiendo que: 37º < θ< 90º señala la variación de senθ.

a) <3/4; 1> d) <3/5; 1]b) <3/5; 1> e) <4/5; 1>c) [3/5; 1]

18) Sabiendo que: 30º ≤ θ< 100º señala la variación de:

C = 4senθ + 1

a) [1; 3] d) [3; 5>b) [2; 4] e) [1; 5>c) [3; 5]

19) Sabiendo que: 60º < θ< 100º señala la variación de:

L = 2senθ +1

a) < 3; 2> d) < 3+1; 3]b) < 3; 2] e) < 3-1; 2]c) < 3+1; 3>

20) Sabiendo que: 0º < θ≤ 60º señala la variación de:

C = 2cosθ +1

a) <2; 3> d) <1; 3]b) [2; 3> e) [1; 3>c) <2; 3]

21) Sabiendo que: 30º < θ≤ 60º señala la variación de:

L = 2cosθ +1

a) [1; 3+1> d) [2; 3+1>b) [1; 3+2> e) <2; 3+1]c) <1; 3+1]

22) Si: θ ∈<45º; 60º] señala la variación de: C = 4cos2θ + 3

a) <1; 5] d) <4; 5>b) [1; 5> e) [4; 5>c) <4; 5]

23) Si: θ ∈<30º; 90º], señala la extensión de: L = 4cos2θ + 1

a) [1; 4> d) [3; 4>b) <1; 4> e) <3; 4]c) <1; 4]


Trigonometría




Nivel III

24) Señala el conjunto de valores de "n" que permiten que sea posible la siguiente relación:

3senθ = 2n -1; θ ∈R

a) [0; 1] d) [-1; 2]b) [0; 2] e) [-1; 1]c) [1; 2]

25) Señala el conjunto de valores de "n" que permiten que sea posible la siguiente relación:

4senθ = 3n -5; θ ∈R

a) [1; 3] d) [2/3; 3]b) [2; 3] e) [1/3; 2]c) [1/3; 3]

26) Señala la variación de “n” que hace imposible la siguiente relación:

5cosθ = 2n -3; θ ∈IIC

a) R-<-1; 2> d) R-<-1; 3/2>b) R - [-1; 2] e) R-<-1; 1/2>c) R-<-1/2; 3>

27) Señala la variación de "n" que hace imposible la siguiente relación:

3cosθ = 3n -5; θ ∈IVC

a) R-<1/3; 5/3> d) R-<2/3; 8/3>b) R-<5/3; 8/3> e) R-<1/3; 4/3>c) R-<2/3; 5/3>

28) En la C.T. mostrada, determina las coordenadas de "N".

a) (cosθ; -senθ) d) (-senθ; cosθ)b) (-cosθ; senθ) e) (-cosθ; -senθ)c) (-senθ; -cosθ)

Ax

A'

yB

B'

M

N

θ

C.T.

29) En la C.T. mostrada, determina las coordenadas de "N".

a) (cosθ; -senθ) d) (-senθ; -cosθ)b) (-cosθ; -senθ) e) (-senθ; cosθ)c) (-cosθ; senθ)

C.T.

Ax

A'

yB

B'

M

N

θ

30) En la C.T. mostrada, determina las coordenadas de "P".

a) (-cosθ; senθ) d) (-1; -senθ)b) (cosθ; -senθ) e) (cosθ; -1)c) (-1; senθ)

x

yB

B'

Mθ

C.T.

P

31) Señala el valor máximo de: C = 3senθ - cos2β + 2

a) 3 d) 6b) 4 e) 7c) 5

32) Señala el valor máximo de: C = 2senα - 3cosβ - 5sen2φ

a) -1 d) 1b) 0 e) 5c) 2

33) Señala el valor máximo de: C =

a) 2 d) 5b) 3 e) 6c) 4

3+senθ2 +cosβ

34) Señala el valor máximo de: L =

a) 1 d) 3/2b) 2 e) 4/3c) 3

5 - senα3 - cosα

35) Señala la extensión de: C = senα -cos2β + sen2θ - cosφ

a) [-2; 1] d) [-1; 3]b) [-3; 2] e) [-3; 1]c) [-3; 3]

36) Señala la extensión de: L = 2senα - 3cos2β + 4sen2θ

- 3cosφ

a) [-6; 6] d) [-8; 9]b) [-6; 8] e) [-9; 8]c) [-4; 9]

37) Señala la variación de: L = sen2θ + senθ; θ ∈R

a) [-1/2; 2] d) [-1; 9/4]b) [-1/4; 2] e) [-1/4; 1]c) [-1; 2]

38) Señala la variación de: L = cosθ - 4cos2θ; θ ∈R

a) [-3; 1/16] d) [-3; 3/16]b) [-4; 1/16] e) [-5; 3/16]c) [-5; 1/16]

915to de Secundaria


I. E. P.


39) Señala la variación de: C = ; θ ∈R

a) [1/2; 1] d) [3/2; 2]b) [1/2; 2] e) [1/2; 3/2]c) [1; 3/2]

3 + senθ2 + senθ

40) Señala la variación de: C = ; θ ∈R

a) [4/3; 2] d) [2/3; 2]b) [4/3; 3] e) [1; 5/3]c) [5/3; 2]

4 + cos2θ2 + cos2θ

41) Señala la variación de: C =3sen2(2senθ + 1); θ ∈R

a) [1; 2] d) [2; 3]b) [1; 3] e) [2; 4]c) [1; 4]

42) Señala la variación de: L = 4cos2(3cosβ - 1) + 1; β ∈R

a) [1; 3] d) [1; 6]b) [1; 4] e) [2; 4]c) [1; 5]

43) Señala el valor máximo de: L = 2sen(cosθ +1)+1; θ ∈R

a) 1 d) 2sen2 +1b) 2 e) 2sen1 + 1c) 3

44) Señala el valor mínimo de: L = 2sen(cosθ -2)+1; θ ∈R

a) -2 d) 1 - 2sen3b) -1 e) 1 - 2sen1c) 0

45) En la C.T. mostrada, determina la variación del área de la región sombreada si: 2π/3 < θ <5π/6.

a) <1/2; 3/2> d) <1; 3>b) <1/4; 3/4> e) < 3/2; 1>c) < 3; 2>

Ax

A'

yB

B'

Mθ

C.T.

46) En la C.T. mostrada, determina la variación del área de la región sombreada si: θ ∈<-π/3; -π/6>

a) <1; 3> d) <2; 2 3>b) <1/2; 1> e) <1/ 2; 3/2>c) < 3/2; 1>

C.T.

Ax

A'

yB

B'Mθ

N

47) Determina el área de la región sombreada, en la C.T. mostrada.

a) 1 - senθ - cosθ b) 1/2(1 - senθ - cosθ) c) 1/2(1 + senθ - cosθ)d) 1/2(1 - senθ + cosθ)e) 1 - senθ + cosθ

C.T.

Ax

A'

yB

Mθ

48) En la C.T. mostrada, determina el área de la región sombreada.

a) senθ d) 2b) -cosθ e) 2(senθ- cosθ)c) 1

C.T.

Ax

A'

yB

B'

Mθ

49) En la C.T. mostrada, determina el área de la región sombreada.

a) 1 d) 2cosθb) 2 e) 2(cosθ- senθ)c) -2senθ

Ax

A'

yB

B'Mθ

C.T.

50) En la C.T. mostrada, determina el área S1 + S2.

a) 1/ 5 d) 4/ 5b) 2/ 5 e) 5c) 3/ 5

Ax

A'

yB

B'

Mθ

S

S1

S2

N

2S


Trigonometría




sen θ csc θ = 1 ⇒ csc θ = ; ∀θ ≠ n π; n ∈ Z1

sen θ

cos θ sec θ = 1 ⇒ sec θ = ; ∀θ ≠ (2n+1) ; n ∈Z1

cos θ

tg θ ctg θ = 1 ⇒ ctg θ = ; ∀θ ≠ n ; n ∈ Zπ2

1tan θ

π2

sen2 θ +cos2θ=1;∀θ ∈R

sec2 θ =1 + tg2θ

csc2 θ =1 + ctg2θ

ctg2θ= csc2θ - 1 csc2 θ - ctg2θ=1;∀θ≠nπ; n∈Z

sec2 θ - tg2θ=1;∀θ≠(2n+1) n∈Zπ2 tg2θ= sec2θ - 1

sen2 θ =1 - cos2aθ

cos2θ=1 - sen2θ

Identidades Trigonométricas I

Objetivos

Reconocer las principales relaciones entre las razones trigonométricas de una misma variable, para su efectiva operación.

Demostrar igualdades que operen diferentes razones trigonométricas de una misma variable angular.

Simplificar expresiones que operen diferentes razones trigonométricas de una misma variable angular.

Son las diferentes relaciones de igualdad que se establecen entre las razones trigonométricas de una cierta variable; las cuales se verifican para todo valor admisible de dicha variable. Entendemos como valor admisible, aquel valor que toma la variable y que permite que sus razones trigonométricas tomen valores definidos. Estas identidades trigonométricas se clasifican de la siguiente manera:

I) I.T. DE RECÍPROCAS

* Identidades Trigonométricas

II) I.T. POR DIVISIÓN

III) I.T. PITAGÓRICAS.

tg θ = , ∀θ ≠(2n+1) ; n ∈ Z π2

sen θcos θ

ctg θ = ; ∀θ ≠ nπ; n ∈ Zcos θsen θ

935to de Secundaria


I. E. P.


Para demostrar la igualdad, tomamos el miembro de la igualdad más complicado y lo reducimos hasta que sea idéntico al otro miembro. Además, uno de los primeros criterios a aprender y aplicar para reducir expresiones será el de colocar la expresión en términos de senos y cosenos; para después con mayor práctica utilizaremos métodos alternativos.

• Algunas demostraciones:

Trabajamos en la circunferencia trigonométrica:i) Ubicamos un arco "θ"; luego su extremo "M" tendría por coordenadas

(cosθ; senθ) y OM = 1 Para el ángulo canónico AÔM = θrad, tenemos:

cosθ

cosθ

θradsenθ

A'

B'

A

Bθ

P 0

r=1M

x

C.T.

y

(cosθ; senθ) x y

csc θrad ry=

csc θ1

senθ= ⇒ senθ cscθ= 1

también, decimos:

sec θrad rx=

sec θ1

cosθ= ⇒ cosθ secθ= 1

Además:

tg θrad

tg θsenθcosθ

= ctgθ= cosθsenθ

ii) MPO: OP2 + PM2 = OM2 ⇒

sen2θcos2θ

sen2θcos2θ

cos2θsen2θ

1sen2θ+ = 1+ctg2θ= csc2θ ⇒

cos2θcos2θ

1cos2θ+ = tg2θ+1= sec2θ ⇒

tgθ= senθcosθ

yx=

⇒ y

sen2θ+cos2θ= 1

sen2θcos2θ 1

De la última identidad: sen2θ + cos2θ= 1

dividido entre "cos2θ" :

dividido entre "sen2θ" :

1. Demuestra que: senθtgθ(1 - sen2θ) secθ= sen2θ

Resolución:

En la igualdad senθtgθ(1 - sen2θ) secθ= sen2θ

Vea: P = senθtgθ(1 - sen2θ) secθ

Ojo: 1 - sen2θ= cos2θ secθ=;tgθ=

P = senθcos2θ

1cosθ

senθcosθ

Reduciendo P = senθ.senθ⇒P = sen2θ Lqqd

2. Demuestra que: (1 + tgθ) cosθ+(1-ctgθ) senθ= 2senθ

Resolución:

En la igualdad, sea:

P = (1 +tgθ)cosθ + (1-cotθ)senθ

senθcosθ

cosθsenθ

Ojo: tgθ= ; ctgθ =

P = (1 + )cosθ + (1- ) senθ

senθcosθ

senθcosθ

P = cosθ+

senθ

(cosθ+ senθ)cosθ

(senθ- cosθ)senθ

senθcosθ

1cosθ

P

Quedaría:P=Cosθ +senθ+ senθ- cosθ ∴P = 2senθ Lqqd


Trigonometría




3. Demuestra que: (senθ+2cosθ)2 +(2senθ+cosθ)2=5 + 8 senθcosθ

Resolución:


P = (senθ+2cosθ)2 + (2senθ+cosθ)2

Ojo: (a+b)2 = a2+2ab+b2

Desarrollando los binomios al cuadrado:

P = sen2θ+4senθ cosθ+4cos2θ+4sen2θ+4senθcosθ+cos2θ

Reduciendo términos semejantes:

P = 5sen2θ+5cos2θ +8senθcosθ

P = 5 (sen2θ+cos2θ) +8senθcosθ

1

∴ P = 5 + 8senθcosθLqqd

4. Demuestra que: (secθ - tgθ)(1+ senθ) (1+ tg2θ)=secθ

Resolución:


P = (secθ- tgθ)(1+ senθ)(1+ tg2θ)

sec2θ

P = ( ) (1+senθ)sec2θ 1cosθ

senθcosθ

-

P = ( ) (1+senθ) 1 - senθcosθ

1cos2θ

pero: (1 - senθ )(1+ senθ)=1 - sen2θ

P = . = cos2θcosθ

1cos2θ

1cosθ

∴ P = secθLqqd

5. Simplifica: C = senx + secxcosx + cscx

Resolución:

Pasando a senos y cosenos:

senx+ 1cosx

cosx+ 1senx

C =

senx cosx+1cosx

senx cosx+1senx

Reduciendo:

C =senx cosx ∴C =tgx

6. Simplifica: L=secx + tgx+2

cscx + 2ctg x+1

Resolución:

Pasando a senos y cosenos la expresión:

L =

1cosx

senxcosx + 2 +

1senx

2cosxsenx + 1 +

1 + senx + 2cosxcosx

1 + 2cosx + senxsenx

Reduciendo:

∴L =tgx L =senx cosx

7. Reduce: C =secx - senx tgxcscx - cosx ctgx

Resolución:

Pasando a senos y cosenos la expresión:

C =

1cosx

senxcosx senx -

1senx

cosxsenx cosx -

1cosx

sen2xcosx -

1cosx

cos2xsenx

-

C =

1 - sen2xcosx

1 - cos2xsenx

cos2xcosx sen2xsenx

= cosxsenx

∴C =ctgx

Nivel I

1) Demuestra que:senθtgθcosθ= sen2θ

2) Demuestra que:senθcosθctgθ= cos2θ

3) Demuestra que:senθ(1 - cos2θ)cot3θsecθ=cos2θ

C =

L =

C =

C =

955to de Secundaria


I. E. P.


4) Demuestra que:cosθ(1 - sen2θ)tg3θcscθ= sen2θ

5) Demuestra que:sec2θ ctgθ senθ(1+tg2θ)= sec3θ

6) Demuestra que:csc2θ tgθ cosθ(1+ctg2θ)= csc3θ

7) Demuestra que:(1+tg2x)(1+ctg2x)sen2x=sec2x

8) Demuestra que:(1+tg2x)(1+ctg2x)cos2x=csc2x

9) Demuestra que:senx secx tgx = tg2x

10) Demuestra que: cosx cscx ctgx = ctg2x

11) Demuestra que: (1 - sen2x) (1 + tg2x) = csc2x 1 - cos2x

12) Demuestra que: (1 - cos2x) (1 + ctg2x) = sec2x 1 - sen2x

13) Demuestra que: (secx+tgx) (1 - senx) = cosx

14) Demuestra que: (cscx + ctgx) (1 - cosx) = senx

15) Demuestra que:

1 + senxcosx

cosx1 - senx=

Nivel II

16) Reduce: C =tgx cosx csc2x

a) senx d) cosx b) 1 e) secxc) cscx

17) Reduce: L =ctgθ senθ sec2θ

a) senθ d) secθ b) cosθ e) 1c) cscθ

18) Reduce: C =senx cos2x tg2x

a) senx d) sen4x b) sen2x e) 1c) sen3x


Trigonometría




Nivel III

19) Reduce: L =cosθ sen2θ ctg2θ

a) cosθ d) cos4θ b) cos2θ e) 1c) cos3θ

20) Reduce: C =secx cscx tgx

a) cos2x d) csc2x b) sec2x e) 1c) sen2x

21) Reduce: L =secx cscx ctgx

a) cos2x d) csc2x b) sec2x e) 1c) sen2x

22) Reduce: C = (1 - sen2x)secx tg x

a) senx d) cscx b) cosx e) secxc) ctgx

23) Reduce: L = (1 - cos2θ)cscθctgθ

a) senθ d) cscθ b) cosθ e) secθc) ctgθ

24) Reduce: C = (1 - sen2x)(sec2x - 1)cscx

a) 1 d) secx b) senx e) cscxc) cosx

25) Reduce: L=(1 - cos2θ)(csc2θ - 1)secθ

a) 1 d) secθ b) senθ e) cscθc) cosθ

26) Reduce: C=(1 + tg2θ)(1 + sen2θ)- sec2θ

a) 1 d) sen2θ b) tg2θ e) cos2θc) ctg2θ

27) Reduce: L=(1 + ctg2θ)(1 + cos2θ)- csc2θ

a) 1 d) sen2θ b) tg2θ e) cos2θc) ctg2θ

28) Reduce: C=tgx(1+ctgx)+ctgx(1- tgx)-tgx

a) 1 d) ctgx b) cosx e) tgxc) cos2x

29) Reduce: L= tgx(1+ctg2x)+ctgx(1-tg2x)

a) 0 d) 2ctgx b) tgx e) 2c) 2tgx

30) Reduce: C=(1+tgθ)÷(senθ + cosθ)

a) 1 d) secθ b) senθ e) cscθc) cosθ

31) Demuestra que: secx - senx tgx = cosx

32) Demuestra que: cscθ - cosθ ctgθ = senθ

33) Demuestra que: (senx - sen3x) ctgx = cos3x

34) Demuestra que: (cosθ - cos3θ) tgθ = sen3θ

35) Demuestra que:

senx - sen3xcosx - cos3x = ctgx

36) Demuestra que:

sen4θ - sen6θcos4θ - cos6θ = tg2θ

37) Demuestra que: (2senx+cosx)2+(senx+2cosx)2= 5 + 8 senx cosx

975to de Secundaria


I. E. P.


38) Demuestra que: (3senx+cosx)2+(senx+3cosx)2= 10 + 12 senx cosx

39) Demuestra que:

(1+senx)2+(1+cosx)2 -11+senx + cosx = 2

40) Demuestra que:

(2+senx)2+(2+cosx)2 -51+senx + cosx = 4

41) Simplifica: C = + senx - cosx

a) 2senx d) -2cosxb) 2cosx e) 0c) -2senx

tgx - ctgxsecx - cscx

42) Simplifica: L = sen4x - cos4x + cos2x

a) 1 d) 2cos2xb) sen2x e) 2cos2x-sen2xc) 2sen2x

43) Simplifica: C = (msenx + ncosx)2+ (nsenx - mcosx)2

a) m2+n2 d) 2m2

b) 2(m2+n2) e) 2n2

c) m2n2

44) Simplifica: L = ( 2 senx + 3 cosx)2 + ( 3 senx - 2 cosx)2

a) 3 d) 6b) 4 e) 7c) 5

45) Simplifica:

C =

a) 1 d) secxb) tgx e) cscxc) ctgx

(secx +tgx)(1 - senx)(cscx +ctgx)(1 - cosx)

46) Simplifica:

L =

a) 2tgx d) -2tgxb) 2secx e) -2secxc) 2

1secx +tgx

1secx - tgx+

1cscx +ctgx

47) Simplifica:

C =

a) 2 ctgx d) -2ctgxb) 2 cscx e) -2cscxc) 2

1cscx - ctgx+

48) Simplifica:

L = + tgx

a) secx d) 2tgxb) 1 e) secx+2tgxc) -secx

1secx +tgx

49) Simplifica: C = {(secx + tgx)2 - (secx - tgx)2} cosx

a) 4 d) 4tg2xb) 4tgx e) tgxc) 4secx

50) Simplifica: L = (cscθ+ctgθ)2+(cscθ-ctgθ)2 +2

a) ctgθ d) 2cscθb) 2ctgθ e) 2cscθc) cscθ

Para topograf iar la t ierra los topógrafos la dividen en triángulos y marcan cada ángulo con un "punto de referencia" que hoy en día es, a menudo, una placa de latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente).


Trigonometría




Identidades Trigonométricas AuxiliaresSon relaciones adicionales a las ya conocidas, que permitirán resolver un determinado problema sin recurrir necesariamente al pasar a senos y cosenos la expresión. Van a destacar las siguientes relaciones:

Objetivos

Resolver problemas condicionales usando las I.T. fundamentales.Utilizar eficientemente las I.T. auxiliares tanto en los problemas tipo

demostración, como simplificación y condicionales.

Identidades Trigonométricas II

senθcosθ

(senθ+cosθ)2=1+2senθcosθ

tgθ+ctgθ=secθcscθ

sen4θ+cos4θ=1-2sen2θcos2θ

(senθ-cosθ)2=1 - 2senθcosθ

sen6θ+cos6θ=1-3sen2θcos2θ

sec2θ+csc2θ=sec2θ.csc2θ

Cada una de las cuales se verifica en su respectivo campo de valores admisibles.

Demostraciones:i) Tenemos que: (senθ+cosθ)2=sen2θ+ 2senθcosθ+ cos2θ

1 (senθ+cosθ)2 = 1+2senθcosθ

También: (senθ-cosθ)2= sen2θ-2senθcosθ+ cos2θ

(senθ-cosθ)2 = 1-2senθcosθ

ii) Tenemos que: tgθ+ctgθ= + =

tgθ+ctgθ=secθcscθ

cosθsenθ

sen2θ+cos2θcosθsenθ

tgθ+ctgθ= ⇒1cosθsenθ

Además: sec2θ+csc2θ= + =1cos2θ

1sen2θ

sen2θ+cos2θcos2θsen2θ

sec2θ+csc2θ= ⇒ sec2θ+csc2θ=sec2θcsc2θ1cos2θsen2θ

ii) Tenemos que: sen2θ+cos2θ=1 ⇒ (sen2θ+cos2θ)2=12

Desarrollando: sen4θ+2sen2θcos2θ+cos4θ=1 ∴ sen4θ+cos4θ=1-2sen2θcos2θ

Arquímedes y Pi

Arquímedes de Siracusa (287 a.C.) marca un antes y un después tanto en la búsqueda de una aproximación del valor de F como en la comprensión del significado de esta constante. Hacia el 216 a.C. escribió sobre la medida del círculo, en la que utilizando la reducción al absurdo y el método de exhaución de Eudoxo llega a calcular ¡sin calculadora! una aproximación de un círculo por un polígono de nada menos que 96 lados y concluye que PI está entre 6,336/2.017 y 29.376/9.347, es decir, entre 3,1412989 y 3,1428265 la mejor aproximación de su tiempo y una de las mejores de toda la historia.1

⇒

⇒

995to de Secundaria


I. E. P.


También: sen2θ+cos2θ=1 ⇒(sen2θ+cos2θ)3=13

Desarrollando: sen6θ+ 3sen4θcos2θ+3sen2θcos4θ+cos6θ=1

Quedaría: sen6θ+3sen2θcos2θ+cos6θ=1 ∴ sen6θ+cos6θ=1-3sen2θcos2θ

3sen2θcos2θ(sen2θ+cos2θ)

1

1. Demuestra que: (senθ+cosθ+1)(senθ+cosθ-1)tgθ=2sen2θ

Resolución:

En la igualdad, sea:P=(senθ+cosθ+1)(senθ+cosθ-1)tgθ

Nota la diferencia de cuadrados:P={(senθ+cosθ)2-12}tgθP=(1+2senθcosθ-1) ⇒P = 2senθcosθ.

∴P=2sen2θLqqd.

senθcosθ

senθcosθ

2. Demuestra que: 3secxcscx+2tgx+ctgx=5tgx+4ctgx

Resolución:

3. Demuestra que: (sen4θ+cos4θ-1)(sec2θ+csc2θ)=-2

Resolución:

En la igualdad, sea:P= (sen4θ+cos4θ-1) (sec2θ+csc2θ)

P=(1-2sen2θcos2θ-1)sec2θcsc2θP=- 2sen2θcos2θ.sec2θcsc2θ

∴P=-2Lqqd.11

sen4θ+cos4θ=1-2sen2θcos2θsec2θ+csc2θ=sec2θcsc2θ

En la igualdad, sea:P=3secx cscx+2tgx+ctgx

P=3tgx+3ctgx+2tgx+ctgx

∴P=5tgx+4ctgx Lqqd.

(tgx+ctgx)

4. Siendo: senφ+cosφ= 4/3 ; calcula: C=tgφ+ctgφ

Nos piden determinar:C=tgφ+ctgφ=secφcscφ=.

C= ...(1)

De la condición:senφ+cosφ= 4/3 ⇒ (senφ+cosφ)2=

1+2senφcosφ= ⇒ senφcosφ=

∴C=6

1cosφ

1senφ

1senφcosφ

43

43

16

Resolución:

5. Siendo: sen6θ+cos6θ=n ; halla: L=sen4θ+cos4θ

De la condición:sen6θ+cos6θ=n ⇒ 1-3sen2θcos2θ=n = sen2θcos2θ

Luego, piden:L=sen4θ+cos4θ=1-2sen2θcos2θ

L=1-2 ( )=

∴L=

1-n3

1-n3

3-2+2n3

2n+13

Resolución:

6. En la igualdad: sec2ϕcsc2ϕ-sec2ϕ=nctg2ϕ, determina “n”.

En la igualdad: sec2ϕcsc2ϕ-sec2ϕ=nctg2ϕsec2ϕ+csc2ϕ-sec2ϕ=nctg2ϕ⇒ csc2ϕ=nctg2ϕ

=

Reduciendo: 1=ncos2ϕ⇒=n

∴n=sec2ϕ

1sen2ϕ

ncos2ϕsen2ϕ

Resolución:

1cos2ϕ


Trigonometría




7. Siendo: tgβ+ctgβ=4, calcula: C=sen4β+cos4β

Nos piden:C=sen4β+cos4β=1-2sen2βcos2β...(1)

En la condición tgβ+ctgβ=4 ⇒secβcscβ=4 ⇒ senβcosβ=

En (1): C=1-2 ( )2

=1-2.

∴C =

Resolución:

14

14

116

78

Nivel I

1) Demuestra que: tgθ[(senθ+cosθ)2-1]=2sen2θ

Nivel II

10) Demuestra que: sec2θcsc2θ-ctg2θ=sec2θ+1

2) Demuestra que: ctgθ[(senθ+cosθ)2-1]=2cos2θ

3) Demuestra que si: senθ+cosθ=n

⇒senθcosθ= n2-12

4) Demuestra que si: senθ-cosθ=n

⇒senθcosθ= 1-n2

2

5) Demuestra que: (tgθ+ctgθ)sen2θ=tgθ

6) Demuestra que: (tgθ+ctgθ)cos2θ=ctgθ

7) Demuestra que: tgθ+ctgθ=n ⇒senθcosθ=1/n

8) Demuestra que: tgθ+ctgθ=n ⇒ sec2θcsc2θ=n2

9) Demuestra que: sec2θcsc2θ-sec2θ=csc2θ

11) Demuestra que: sec2θcsc2θ-tg2θ=csc2θ+1

12) Demuestra que: sec2θcsc2θ-2=tg2θ+ctg2θ

13) Demuestra que: (sen4θ+cos4θ-1)tg2θ=-2sen4θ

14) Demuestra que: (sen6θ+cos6θ-1)ctg2θ=-3cos4θ

15) Demuestra que:

=sen4θ+cos4θ+1sen6θ+cos6θ+2

23

18) Siendo: tgθ+ctgθ= 2 2; calcula: C=tg2θ+ctg2θ

a) 4 b) 8 c) 6d) 10 e) 12

17) Siendo: senθ-cosθ= 2/3; calcula: L=senθcosθ

a) 1/3 b) 1/6 c) 1/12d) 2/3 e) 1/2

16) Siendo: senθ+cosθ= 7/6; calcula: C=senθcosθ

a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3d) 1/6 e) 1/12

19) Siendo: tgθ-ctgθ= 6; calcula: L=tg2θ+ctg2θ

a) 6 b) 4 c) 8d) 10 e) 12

20) Siendo: tgx+ctgx=3; calcula: C=senxcosx

a) 1 b) 1/3 c) 1/6d) 1/9 e) 1/12

21) Siendo: tgx+ctgx= 6; calcula: L=sen2x-sen4x

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/6d) 1/12 e) 1/18

22) Siendo: tgx+ctgx=4; calcula: C=cos2x-cos4x

a) 1/4 b) 1/2 c) 1/8d) 1/16 e) 1/32

23) Siendo: tgx+ctgx=3; calcula: L=senxcos3x+sen3xcosx

a) 1/3 b) 1/6 c) 1/9d) 1/12 e) 1/18

24) Reduce: C=

a) tgx b) tg2x c) ctg2xd) ctgx e) secxcscx

sec2xcsc2x-csc2xsec2xcsc2x-sec2x

25) Reduce: L=

a) 1 b) cosx c) cos2xd) secx e) sec2x

sec2xcsc2x-ctg2x1+cos2x

26) Siendo: tgx+ctgx= 2 7; calcula: C=sec2x+ctg2x

a) 26 b) 27 c) 28d) 29 e) 30

1015to de Secundaria


I. E. P.


27) Siendo: tgx+ctgx= 3 2; calcula: L=csc2x+tg2x

a) 17 b) 18 c) 19d) 20 e) 21

28) Reduce: C=

a) cos2x b) 2cos2x c) -2cos2xd) -cos2x e) -2

sen4x+cos4x-1sen2x

29) Reduce: L=

a) sen2x b) 3sen2x c) -sen2xd) -3sen2x e) -3

sen6x+cos6x-1cos2x

30) Siendo: tgx+ctgx= 2 2; calcula: C=sen4x+cos4x

a) 1/2 b) 1/4 c) 3/4d) 3/8 e) 1/8

Nivel III

31) Sabiendo que: senθ+cosθ = 3/2; calcula: C=tgθ+ctgθ

a) 2 b) 3 c) 4d) 2 2 e) 4 2

32) Sabiendo que: senθ-cosθ =1/2; calcula: L=tgθ+ctgθ

a) 4 b) 4/3 c) 7/3d) 8/3 e) 3

33) Sabiendo que: tgx+ctgx = 6; calcula: C=sen6x+cos6x

a) 1 b) 1/2 c) 1/3d) 1/6 e) 1/12

34) Sabiendo que: tg2x+ctg2x =4; calcula: L=sen4x+cos4x

a) 1/3 b) 2/3 c) 1/6d) 5/6 e) 1/2

35) Sabiendo que: sen2x=n+sen4x; determina: C=tgx+ctgx

a) n b) n-1 c) n-2d) n-1 e) 1-n

36) Sabiendo que: cos2θ=1/6+cos4θ; determina: L=sec2θ+ctg2θ

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

37) Sabiendo que: sen4x+cos4x-1=mtg2x; determina “m”.

a) cos4x b) -cos4x c) 2cos4xd) -2cos4x e) -2

38) Sabiendo que: sen6θ+cos6θ+2=m(1-sen2θcos2θ) halla "m".

a) 1 b) 3 c) -3d) 6 e) -6

39) Siendo: tgx+ctgx=3; calcula: C=sen2xtgx+cos2xctgx a) 4/3 b) 5/3 c) 2

d) 7/3 e) 8/3

40) Siendo: tgθ+ctgθ=4; determina el valor de:

L=sen4θtgθ+cos4θctgθ a) 7/4 b) 9/4 c) 11/4

d) 13/4 e) 15/4

41) Halla “n” en la igualdad: -1= n(secθ+tgθ)

a) secθ b) 2secθ c) tgθ

d) 2tgθ e) 2ctgθ

secθ+tgθsecθ-tgθ

42) Halla “m” en la igualdad: -1=m(cscϕ-ctgϕ)

a) ctgϕ b) -ctgϕ c) 2ctgϕ

d) -2ctgϕ e) -2cscϕ

cscϕ-ctgϕcscϕ+ctgϕ

43) Halla “m” en la igualdad: (senθ+cosθ)4+(senθ-cosθ)4+ 6=m(1+sen2θcos2θ) a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

44) Halla “n” en la igualdad: (sen2x-cos2x)2+3= n(1-sen2xcos2x) a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

45) Sabiendo que: senθ+cosθ=n demuestra que: secθ+cscθ= 2n

n2-1

46) Sabiendo que: senθ+cosθ=m demuestra que: secθ+cscθ+tgθ+ctgθ= 2

m-1

47) Sabiendo que: sen4θ+cos4θ=n demuestra que: sen6θ+cos6θ=

3n-12

48) Sabiendo que: sen6ϕ+cos6ϕ=m demuestra que: sen4ϕ+cos4ϕ=

2m+13


Trigonometría




Identidades Trigonométricas de la Suma y Diferencia de

Ángulos

I.T. de la Suma y Dife-rencia de Ángulos

Fórmulas básicas.

Objetivos

Utilizar correctamente las fórmulas para la suma y diferencia de ángulos, tanto en la simplificación de expresiones como en el cálculo de razones trigonométricas de ángulos desconocidos.

Adaptar las fórmulas anteriores a la resolución de determinadas situaciones geométricas.

Reconocer las propiedades de este capítulo, así como su uso correcto y preciso.

sen(α+β) = senαcosβ + senβcosα

I. PARA LA SUMA:

cos(α+β) = cosαcosβ - senαsenβ

tg(α+β) = tgα + tgβ1 - tgαtgβ

II. PARA LA DIFERENCIA:

sen(α-β) = senαcosβ - senβcosα

cos(α-β) = cosαcosβ + senαsenβ

tg(α-β) = tgα - tgβ1 + tgαtgβ

Algunas demostraciones

Partimos de:

i) Sea AD = n ACD: AC = ncosβ CD = nsenβ ABC: BC = ncosβsenα AB = ncosβcosα DPC: DP = nsenβsenα CP = nsenβcosα

ii) Como AC = ncosβ AHD: HD = nsen(α+β) AH = ncos(α+β)

iii) DH = PC + CB ⇒nsen(α+β)= nsenβcosα + ncosβsenα

∴sen(α+β) = senαcosβ+senβcosα...(1)

AH = AB - HB ⇒ncos(α+β)= ncosβcosα - nsenβsenα

∴cos(α+β) = cosαcosβ-senαsenβ...(2)

{DP

βA α B

H

C

α

nsenβ

nsen(α+β)

D P

ncosβ

ncos(α+β)

ncosβcosα

n

nsenβsenα

nsenβc

osα

ncosβsenα

Dividimos (1) ÷(2):

sen(α + β)cos(α + β) = senαcosβ +senβcosα

cosαcosβ- senαsenβ

tg(α+β)=senαcosβ + senβcosαcosαcosβ- senαsenβ

=

senαcosβcosαcosβ+ senβcosα

cosαcosβcosαcosβcosαcosβ - senαsenβ

cosαcosβ

...(nota el artificio)

Reduciendo:

tg(α+β) = tgα + tgβ1- tgα tgβ

Para la diferencia, hacemos β = - θPor ejemplo: sen(α+β) = senαcosβ + senβcosαsen(α+(-θ)) = senαcos(-θ) +sen(-θ)cosαsen(α- θ) = senαcosθ + (-senθ)cosα

∴sen(α-θ) = senαcosθ- senθcosα

A

D

C

Bαβ

P

obteniendo de:



I. E. P.


tgx + tgy1 - tgxtgy

sen(x+y)sen(x-y)= sen2x - sen2y

ALGUNAS PROPIEDADES

I)

Por ejemplo: sen(x + 30º)sen(x - 30º) = sen2x - sen230º = sen2x - ( ) = sen2x -

12

2

14

sen(x + )sen(x - ) = sen2x - sen2 = sen2x - = sen2x -

π4

π4

π4

1 2

( (2

12

Si k = Asenx ±Bcosx; A,B: cte.;

kmáx = A2 + B2

kmín = - A2 + B2

II)

x ∈R

Por ejemplo: C = 3senx + 4cosx⇒Cmáx = 32 + 42 = 25 ⇒Cmáx = 5 ⇒Cmín = - 5

-5 ≤C ≤5

L = 2 senx - 3cosx⇒ Lmáx = 22 + 32 = 11 ⇒ Lmáx = 11 ⇒ Lmín = - 11

- 11 ≤L ≤11

Si α + β + θ = 180º.n , n ∈Z : tgα + tgβ + tgθ = tgαtgβtgθctgαctgβ+ctgβctgθ+ctgθctgα = 1

III)

Por ejemplo: tg40º+tg80º +tg60º = tg40ºtg80ºtg60º;ya que: 40º + 80º + 60º = 180º

ctg20ºctg78º + ctg78ºctg82º + ctg82ºctg20º = 1

ya que: 20º + 78º + 82º = 180º

tgx + tgy+tgxtgytg(x + y) = tg(x+y)

IV)

Por ejemplo: C = tg10º + tg12º + tg10ºtg12ºtg22º ⇒C = tg22º

(10º + 12º)

L = tg2x + tg3x + tg2xtg3xtg5x ⇒L = tg5x

(2x + 3x)

ALGUNAS DEMOSTRACIONES

1) Tenemos: sen(x+y)sen(x-y) = (senxcosy + senycosx)(senxcosy -senycosx)

sen(x+y)sen(x-y) = sen2xcos2y - sen2ycos2x; pero como cos2θ = 1- sen2θ sen(x+y)sen(x-y) = sen2x(1 - sen2y) - sen2y (1-sen2x) sen(x+y)sen(x-y) = sen2x - sen2xsen2y - sen2y + sen2y sen2x

∴sen(x + y)sen(x - y) = sen2x - sen2y

2) Como α + β + θ = 180º.n ⇒α + β = 180º.n - θ; n ∈Z Luego tg(α + β) = tg(180º.n - θ)

- tgθ

tgα + tgβ1 - tgαtgβ = - tgθ ⇒ tgα + tgβ = - tgθ + tgαtgβtgθ

∴tgα + tgβ + tgθ = tgαtgβtgθ

3) Sabemos que: tg(x + y) =

tg(x + y)[1 - tgxtgy] = tgx +tgy operamos: tg(x + y) - tg(x + y)tgxtgy = tgx + tgy

∴tg(x + y) = tgx + tgy + tgxtgytg(x + y)


Trigonometría




64

22

Bueno la II también, pero partamos del supuesto que A y B son R+; y que además existe "θ" agudo tal que: tgθ= B/A.

A

B

θ

A2 + B

2

k = A senx ±B cosx = A2 + B2 A senx ±B cosx

A2+B2 A2+B2

cosθ cosθ

k = A2 + B2 (senxcosθ ±senθcosx)

sen(x ±θ)

= A2 + B2 sen(x ±θ)

Como:k = A2 + B2 . sen(x ±θ)⇒k máx si sen(x ±θ) = 1

∴kmáx = A2 + B2

⇒k mín si sen(x ±θ) = -1

∴kmín =- A2 + B2

1. Determina el valor de sen 75º.

Resolución:

En este caso descomponemos 75º como la suma de dos ángulos conocidos; por ejemplo:

75º = 45º + 30º Luego: sen75º = sen(45º + 30º) = sen 45ºcos30º + sen30ºcos45º = . + . = + 3

212

22

24

475º

15º

6 + 2

6 - 2

∴sen 75º = 6 + 24

Observación:

2. Determina el valor de cos 52º.

Resolución:

Notamos que: cos52º = cos(37º+15º) = cos37ºcos15º - sen37ºsen15º

= . - .

= -

45

6 + 2 4

( ( 35

6 - 2 4

( (

4 6 + 4 220

3 6 - 3 220

∴cos 52º = 6 + 7 220

3. Sabiendo que senα = , α ∈IIC y senβ= - , β ∈IIIC

Determina el valor de tg(α + β).

1 17

2 13

Resolución:

Piden tg(α+β) = ...(1)

Pero senα =

tgα +tgβ1 - tgαtgβ

1 17

4α

117

⇒tgα = - (α ∈IIC)24

senβ = - 2 13

3β

213

⇒tgβ = (β ∈IIIC)23

En (1):

tg(α+β) =

14

- + 23

1-( (14

- ( (23

=

3 + 812

-

1+ 212

=

5121412

∴tg (α + β) = 5

14

Luego en la expresión:



I. E. P.


sen(α- β) - senαcosβsenαsenβ

Nivel I

1) Reduce: C =

a) 1 d) ctgα b) tgα e) ctgβ c) tgβ

4. Señala el valor de C = (senx + cosx)(cosy - seny); si x + y = 53º;

x - y = 30º.

Resolución:

Desarrollando la expresión: C = senxcosy - senxseny + cosxcosy

- cosxseny Ordenando los términos: C = senxcosy - senycosx +

cosxcosy - senxseny

C = sen30º + cos53º = + =

sen(x - y)

cos(x+ y)12

35

1110

∴C = 1,1

5. Determina el valor de: C =

sen240º - sen220ºsen218º - sen22º

Resolución:

No olvides sen2x - sen2y = sen(x + y)sen(x- y) Luego:

C =

=

sen(40º + 20º)sen(40º - 20º)sen(18º + 2º)sen(18º - 2º)

sen60ºsen20ºsen20ºsen16º

reduciendo y reemplazando:

C = =

sen60ºsen16º

3 27

25

∴C = 25 314

6. Señala el valor máximo que puede tomar

C = 2sen(60º + x) + 3senx; x ∈ R

Resolución:

Desarrollando la expresión: C = 2(sen60ºcosx + senxcos60º)

+ 3senx

C = 2( cosx + senx ) + 3senx

C = 3cosx + senx + 3senx ⇒C = 4senx + 3cosx Luego el máximo valor será: Cmáx = 42 + ( 3)2

3 2

12

∴Cmáx = 19

7. En un triángulo ABC: tgA = 3; tgB = 5. Calcula tgC.

Resolución:

Como A + B + C = 180º⇒tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC 3 + 5 + tgC = 3 . 5 . tgC 8 + tgC = 15tgC 8 = 14tgC

∴tgC = 47

La primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa.

sen(α+β) - senβcosαcosαcosβ

2) Reduce: L =

a) -1 d) - ctgα b) tgα e) - ctgβ c) ctgα

sen40ºcos5º + sen5ºcos40ºsen40ºcos10º - sen10ºcos40º

3) Reduce: C =

a) 1 d) 2/2 b) 2 e) 2 c) 1/2

sen38ºcos1º - sen1ºcos38ºsen20ºcos10º+ sen10ºcos20º

4) Reduce: C =

a) 0,6 d) 1,2 b) 0,7 e) 1,4 c) 1,1

5) Siendo "α" y "β" ángulos agudos, tales que: tgα = 1/4 y tgβ = 1/2 Determina sen(β- α)

a) d)

b) e)

c)

1 85

2 85

3 85

4 85

5 85


Trigonometría




Nivel II 6) Siendo "α" y "θ" ángulos agudos, tales que tgα = 5 y tgβ = 2

Determina sen(α + β)

a) d)

b) e)

c)

1 130

3 130

5 130

7 130

9 130

cos(x + θ) + senx senθsenx cosθ

7) Simplifica: C =

a) 1 d) tgθ b) tgx e) ctgθ c) ctgx

cos(x - θ) - cosx cosθcosx senθ

8) Simplifica: L =

a) 1 d) tgθ b) tgx e) ctgθ c) ctgx

9) Reduce: C = cos(x+θ) cos(2x- θ) +

sen(x +θ)sen (2x - θ)

a) cos2x d) cos(2x +θ) b) cos2θ e) cos(x - θ) c) cos(2θ - x)

10) Reduce: L = cos(θ + 10º)cos(θ - 20º) -

sen(θ + 10º)sen(θ -20º)

a) 1 d) cos(2θ +10º) b) cos2θ e) cos(2θ -10º) c) 3/2

11) Siendo "θ" un ángulo agudo, tal que tgθ = 4; determina el valor de cos(45º - θ)

a) d)

b) e)

c)

1 34

2 34

3 34

4 34

5 34

12) Siendo "α" un ángulo agudo, tal que ctgα = 1,5; determina:

cos(45º + α)

a) d)

b) e)

c)

1 13

1 26

2 13

2 26

3 26

13) Reduce: C = (1- tgxtgy)tg(x+y) - tgx

a) 1 d) tgy b) 0 e) 2tgy c) - tgy

15) Simplifica: C = - 1

a) 0 d) 2 - tgxtgy b)tgxtgy e) - tgxtgy c) - 2

tg(x - y)tgx - tgy{

- 1

}

14) Simplifica: L = (1+ tgxtgy)tg(x - y) - tgx

a) 1 d) tgy b) 0 e) - 2tgy c) - tgy

16) Reduce: C =

a) senx d) sen4x b)sen2x e) 1 c) sen3x

sen23x - sen22xsen5x

17) Reduce: C =

a) sen2x d) sen5x b)sen3x e) 1 c) sen4x

sen24x - sen2xsen5x

19) Reduce: L = ; x = 6º

a) -1/2 d) 1 b) 1/2 e) - 3/2 c) -1

cos27x - cos22xsen9x

18) Reduce: C =

a) sen2x d) cos4x b)cos2x e) cosx c) sen4x

cos2x - sen25xcos6x

20) Señala el valor máximo que puede tomar:

C = senx + cosx; x ∈R a) 1 d) 2 2 b) 2 e) 1/4 c) 2


L = 7senx - 3cosx; x ∈R a) 2 d) 2 7 b) 3 e) 3 7 c) 4



I. E. P.


31) Si ABCD es un cuadrado, determina tgθ.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6


C = 5sen(37º + x) - senx a) 3 d) 3 2 b) 4 e) 4 2 c) 6


C = 2sen(30º - x)+ cosx a) 3 d) 7 b) 4 e) 6 c) 7

24) En un triángulo ABC; se sabe: tgA = 2; tgB = 4. Determina tgC. a) 2/7 d) 3/4 b) 4/7 e) 1/2 c) 6/7

25) En un triángulo ABC; se sabe: tgA = 3; tgB = 6. Determina tgC. a) 9/16 d) 1/2 b) 9/17 e) 7/17 c) 3/8

26) En un triángulo ABC:

= 5

Determina L = tgAtgB a) 5 d) 8 b) 6 e) 10 c) 7

tgA+ tgBtgC

27) En un triángulo ABC:

= 2

Determina L = tgBtgC a) 1 d) 2,5 b) 2 e) 3,5 c) 3

3tgA - 2tgCtgB

28) Señala el valor de: C = tg10º+tg50º+ 3tg10ºtg50º a) 1 d) 3 3 b) 2 e) 3 c) 3

29) Determina el valor de: L = tg20º + tg25º+ tg20ºtg25º a) 1 d) 2 + 1 b) 2 e) 2 + 2 c) 2

30) Sabiendo que: tg2x+tg3x + tg2xtg3xtg5x =1 Determina el valor de: C = tg(2x+4º)+tg(2x +5º) +

tg(2x + 4º)tg(2x + 5º)

a) 1 d) 3 b) 2 e) 3/3 c) 3

Nivel III

B C

A DE

5

2θ

32) Si ABCD es un cuadrado, determina tgθ.

a) 7/3 b) 14/3 c) 7 d) 5/2 e) 17/2

B C

A DE

F

1

θ

4

33) De acuerdo al gráfico, determina tgα.

a) 18 d) 21 b) 19 e) 22 c) 20

D

CB

A

2

3

5

α

34) De acuerdo al gráfico, determina tgβ.

a) 11/24 d) 3/8 b) 7/24 e) 5/8 c) 13/24

BNA3 5

2

2

M

C

β

35) Reduce: C =

a) senx d) tgx b)ctgx e) secx c) cosx

cos4x + sen3xsenxcos5xcos2x + sen5xsen2x

36) Siendo α + β = 60º, calcula: L =

a) 2 - 3 d) 2(2 + 3) b)2(2 - 3) e) 3(2 - 3) c) 2 + 3

(cosα+cosβ)+(senα- senβ)2

(senα+cosβ)2+(senβ - cosα)2


Trigonometría




37) Siendo x+y = 60º; tgy = 3/4 Calcula: C = (1+tgxtgy)tg(x - y)

a) d)

b) e)

c)

328

5 328

3 328

3 314

5 314

38) Siendo: senα + senβ = 1/2 cosα + cosβ = 3/2 Calcula cos(α - β) a) 1/2 d) -1/4 b) -1/2 e) -3/4 c) 1/4

39) Determina: L = a) 1 d) -2 b) -1 e) 1/2 c) 2

tg18ºtg54º - tg36º

40) Determina: C = a) 1 d) 1/2 b) 2 e) 1/4 c) 4

tg55º - tg30ºtg20º

41) En un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 6cm, ¿cuál es el máximo valor de su perímetro?

a) 12,36 cm d) 16,84 cm b) 14,46 cm e) 12,64 cm c) 16,96 cm

42) Señala el valor máximo de: C = versxcovx ( 2 = 1,41) a) 3,16 d) 1,91 b) 2,17 e) 2,91 c) 2,41

43) En un triángulo ABC; determina: C = + +

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

cos(A - B)senAsenB

cos(B - C)senBsenC

cos(C - A)senCsenA


a) 43/24 d) 33/16 b) 33/8 e) 11/8 c) 43/16

B C

A D

E

53º θ

N

M

45) Del gráfico mostrado señala el valor máximo de tgθ.

a) 3/4 d) 3/18 b) 3/6 e) 3/24 c) 3/12

C

BA

D

3

1

θ

46) Del gráfico, determina el valor mínimo de ctgθ si AE/2 = ED/3 = DC.

a) 10/6 d) 2 10/9 b) 3 10/5 e) 3 10/10 c) 2 10/3

C

BA

D

θE

47) Siendo x + y + z = 180º, calcula: C = cos2x+cos2y + cos2z +

2cosxcosycosz a) 1/2 d) -1/2 b) 1 e) 2 c) -1

48) Calcula: L = sen238º+ sen232º +sen220º

+ 2sen38ºsen32ºsen20º a) 3/4 d) 1/2 b) 1/4 e) 2 c) 1

49) Señala el valor máximo de: C = sen(cosx) + cos(cosx) a) 2sen(π/4 +1) b) 2sen(π/4 +2) c) 2cos(π/4 +1) d) 2cos(π/4 - 2) e) 2

50) Si las raíces de la ecuación: ax4+bx3 +cx2 + dx + e = 0; son

tgα, tgβ, tgθ y tgφ, ¿cuál sería la condición entre los coeficientes de la ecuación? si α + β + θ+ φ = 45º.

a) a + b + e = c + d b) a + b + c = d + e c) a + b + d = c + e d) a + c + e = b + d e) a + e = b + c +d



I. E. P.


L2

4

Identidades Trigonométricas del Ángulo Doble

I.T. del Ángulo Doble

Fórmulas básicas (θ →2θ)

Objetivos

Ut i l i z a r c o r r e c t a m e n t e las fórmulas para el doble de un ángulo, tanto en la simplificación de expresiones como en el cálculo de razones trigonométricas del doble de un ángulo conocido.

R e s o l v e r s i t u a c i o n e s geométricas aplicando o adaptando correctamente las fórmulas del ángulo doble.

Reconocer las propiedades de este capítulo, así como su uso preciso y correcto.

sen2θ = 2senθcosθ

cos2θ = cos2θ - sen2θ

tg2θ = 2tgθ1 - tg2θ

Partiremos de que: sen(α + β) = senαcosβ + senβcosαSi hacemos α = β = θsen(θ+θ) = senθcosθ+ senθcosθ = 2senθcosθ

∴sen2θ = 2senθcosθ

También sabemos: cos(α + β) = cosαcosβ - senαsenβsi hacemos α = β = θcos(θ+θ) = cosθcosθ - senθsenθ = cos2θ - sen2θ

∴cos2θ = cos2θ - sen2θ

Además sabemos:

tg(α+β)=

si hacemos α = β = θ

tg(θ+θ) = =

∴tg2θ =

tgα + tgβ1- tgαtgβ

tgθ + tgθ1- tgθtgθ

2tgθ1- tg2θ

2tgθ1- tg2θ

Pero en el afán de contribuir a tu formación, vamos a incluir una demostración geométrica. Para ello partiremos del siguiente gráfico:

B

A Cθ

i) Sea AC = L ABC: AB = Lsenθ BC = Lcosθ Luego: SABC =

SABC = senθcosθ...(1)

Lsenθ.Lcosθ2

L2

2

ii) Trazamos la mediana BM ⇒AM = MC = BM = L/2 ⇒MBC = BCM = θ ⇒BMA = 2θ BHM: BH = L/2 sen2θ HM = L/2 cos2θ Luego: SABC = =

SABC = sen2θ...(2)

(1) = (2): senθcosθ = sen2θ

∴2senθcosθ = sen2θ

AC.BH2

L2

L . sen2θ

2

L2

4

L2

2

iii) BHC: HC = Lcosθcosθ HC = Lcos2θ Pero: HC = HM + MC Lcos2θ =L/2cos2θ + L/2 ⇒ 2cos2θ = cos2θ+ 1

Después del cambio: 2cos2θ - sen2θ - cos2θ = cos2θ ∴cos2θ - sen2θ = cos2θ

sen2θ + cos2θ

Objetivos

Algunas demostraciones

C

B

A

θ LcosθLsenθ L2

L2

sen2θ

2θH ML

2cos2θ

L

θL2


Trigonometría




V)ALGUNAS PROPIEDADES

I) Tenemos: cos2θ = cos2θ - sen2θ; pero: sen2θ = 1 - cos2θ cos2θ = cos2θ - (1 - cos2θ) = cos2θ - 1 + cos2θ ∴cos2θ = 2cos2θ - 1 ; también: 2cos2θ = 1 + cos2θ

Pero: cos2θ = 1 - sen2θ cos2θ = 2(1 - sen2θ) -1 = 2 - 2sen2θ - 1

∴cos2θ = 1 - 2sen2θ ; también: 2sen2θ = 1 - cos2θ

II) Tenemos: (senθ ±cosθ)2 = sen2θ ± 2senθcosθ + cos2θ

(senθ ±cosθ)2 = 1 ± 2senθcosθ

1

cosθsenθ

∴(senθ ±cosθ)2 = 1 ± sen2θ

III) En la expresión: ctgθ - tgθ = - =

ctgθ - tgθ = =

ctgθ - tgθ =

∴ctgθ - tgθ = 2ctg2θ

DEMOSTRACIONES

cos2θ = 2cos2θ - 1I)

Por ejemplo: cos40º = 2cos220º - 1 cos6β = 2cos23β - 1

cos2θ = 1 - 2sen2θ

Por ejemplo: cos40º = 1 - 2sen220º cos6β = 1 - 2sen23β

II)(senθ ±cosθ)2 = 1 ±sen2θ

Por ejemplo: (sen10º +cos10º)2 = 1+ sen20º (sen2x - cos2x)2 = 1 - sen4x

III)ctgθ - tgθ = 2ctg2θ

Por ejemplo: ctg12º - tg12º = 2ctg24º ctg3x - tg3x = 2ctg6x

ctgθ+ tgθ = 2csc2θ

Por ejemplo: ctg12º + tg12º = 2csc24º ctg3x + tg3x = 2csc6x

IV) tg2θtgθ = sec2θ - 1

Por ejemplo: tg40ºtg20º = sec40º - 1 tg6xtg3x = sec6x - 1

tg2θctgθ = sec2θ + 1

Por ejemplo: tg40ºctg20º = sec40º + 1 tg6xctg3x = sec6x + 1

sen2θ = 2tgθ1 + tg2θ

Por ejemplo: sen20º =

sen4φ =

2tg10º1 + tg210º

2tg2φ1 + tg22φ

cos2θ = 1 - tg2θ1 + tg2θ

Por ejemplo: cos20º =

cos4φ =

1 - tg210º1 + tg210º

1 - tg22φ1 + tg22φ

fórmulas dedegradación

sen2θ

senθcosθ

cos2θ - sen2θsenθcosθ

cos2θ

cos2θsenθcosθ

2cos2θ2senθcosθ

sen2θ2cos2θsen2θ



I. E. P.


3θ

213

2 13

∴sen2θ = 12/13

Tambien: ctgθ + tgθ = secθcscθ =

ctgθ + tgθ = =

1senθcosθ

1 . 22. senθcosθ

2 . 1sen2θ

csc2θ

∴ctgθ + tgθ = 2csc2θ

IV) En la expresión: tg2θtgθ= . = .

tg2θtgθ= ; pero: cos2θ = 1 - 2sen2θ ⇒ 2sen2θ = 1 - cos2θ

tg2θtgθ= = -

sen2θcos2θ

senθcosθ

2senθcosθcos2θ

senθcosθ

2sen2θcos2θ

1 - cos2θcos2θ

1cos2θ

cos2θcos2θ

∴tg2θtgθ = sec2θ - 1

También: tg2θctgθ = . = .

tg2θctgθ= ; pero: cos2θ = 2cos2θ- 1 ⇒ 2cos2θ = 1 + cos2θ

tg2θctgθ= = +

sen2θcos2θ

cosθsenθ

2senθcosθcos2θ

cosθsenθ

2cos2θcos2θ

1+cos2θcos2θ

1cos2θ

cos2θcos2θ

∴tg2θctgθ = sec2θ + 1

V) Sabemos que: tg2θ =

del triángulo:

2tgθ1 - tg2θ

1 - tg2θ2θ

2tgθ1 + tg2 θ

"Triángulo del ángulo doble"

sen2θ = 2tgθ1 + tg2θ cos2θ =

1 - tg2θ1 + tg2θ

1. Sabiendo que "θ" es un ángulo agudo, tal que tgθ = 2/3, calcula "sen2θ" y

"cos2θ"

Resolución:

Tenemos tgθ= 2/3

i) sen2θ =2senθcosθ = 2. . 3 13

ii) cos2θ= cos2θ - sen2θ= -3

13( (

2

2 13

( (2

∴cos2θ = 5/13

2. Simplifica: C = (sen2θ + 2senθ) versθ

Resolución:

En la expresión, recuerda que: versθ = 1 - cosθ C = (2senθcosθ +2senθ)(1- cosθ) factorizando:

C = 2sen (cosθ +1)(1 - cosθ)

C = 2senθ(1 - cos2θ); pero 1- cos2θ = sen2θ Luego: C = 2senθ.sen2θ

1 - cos2θ

∴C = 2sen3θ


Trigonometría




3. Siendo tgφ + ctgφ = 6; determina el valor de cos4φ.

De la condición: tgφ+ ctgφ = 6

⇒ csc2φ = 3 ⇒ sen2φ = 1/3 Piden cos4φ =1-2sen22φ=1-2 ( )2

Resolución:

2csc2φ

13

∴cos4φ= 7/9

4. Señala el equivalente de: C = senxcos5x - sen5xcosx

Resolución:

C = senxcosx (cos4x - sen4x)

C=senxcosx (cos2x-sen2x) (cos2x+sen2x)

C = senxcosxcos2x Multiplicamos por 2:

2C = 2senxcosxcos2x

⇒ 2C = sen2x cos2x ⇒ 4C = 2sen2xcos2x

4C = sen4x

∴C = sen4x4

5. A partir del gráfico determina "cosθ"

Resolución:

En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 70º y yendo hasta 180º con incrementos de 70º, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios. Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos º, con un error menor que 1/3.600 de unidad angular. También aplicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastante ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos.

(cos2x-sen2x)(cos2x+sen2x)

cos2x 1

sen2x

sen4x

A C

B

θ2θ

3 5

i) AHB: BH = 3sen2θ BHC: BH = 5senθ

ii) 3sen2θ = 5senθ 3.2senθcosθ = 5senθ 6cosθ = 5

∴cosθ = 5/6

A C

B

θ2θ

3 5

H

6. Si 8sen4x = a+bcos2x +ccos4x; determina ab + c.

Resolución:

Ordenando la expresión:8sen4x = 2.4sen4x = 2(2sen2x)2;pero 2sen2θ = 1 - cos2θ

8sen4x = 2(1 - cos2x)2 = 2(1 - 2cos2x + cos22x)

8sen4x = 2 - 4cos2x + 2cos22x;

pero 2cos2θ = 1 + cos2θ8sen4x = 2 - 4cos2x +1+cos4xluego:

8sen4x =3 -4cos2x+cos4x

1+cos4x

a =3b =-4c =1

∴ab + c = -11

7. Determina el valor de: A=tg2αtgα + tg2βtgβ+ tg2θtgθ Si: tg2αctgα+ tg2βctgβ + tg2θctgθ=7

Resolución:

De la condición:

tg2αctgα + tg2βctgβ + tg2θctgθ=7

sec2α +1+sec2β+1 +sec2θ+1 =7 sec2α +sec2β +sec2θ = 4

En la expresión:

A = tg2αtgα+ tg2βtgβ + tg2θtgθ

A = sec2α - 1+sec2β -1+sec2θ-1 A = sec2α +sec2β +sec2θ -3

∴A = 1

En la expresión:

De acuerdo al gráfico:

4



I. E. P.


Nivel II

2) Reduce: L = sen2θctgθ

a) sen2θ d) 2cos2θ b) 2sen2θ e) 2 c) cos2θ

Nivel I

1) Reduce: C =

a) senθ d) cos2θ b) sen2θ e) 2cos2θ c) 2sen2θ

sen2θtgθ2

3) Reduce: C =

a) senθ d) - 2senθ b) 2senθ e) - 2 c) -senθ

sen2θ - 2senθversθ

4) Reduce: L =

a) senθ d) - cosθ b) cosθ e) 2cosθ c) -senθ

2cosθ - sen2θ2covθ

5) Señala el equivalente de: C = senθcosθcos2θcos4θ

a) sen2θ d) sen4θ/8 b) sen2θ/4 e) sen8θ/8 c) sen4θ

6) Señala el equivalente de: L = senθcosθcos2θ

a) sen2θ d) sen4θ/4 b) sen4θ e) 4sen4θ c) sen2θ/4

7) Señala el valor de x si: sen2xsecx = 3

a) 15º d) 60º b) 30º e) 75º c) 45º

8) Señala el valor de x si: sen4x sec2xcscx = 2

a) 15º d) 60º b) 30º e) 75º c) 45º

9) Reduce: C = cos2θ + 2sen2θ

a) cos2θ d) 2 b) 2cos2θ e) 1/2 c) 1

10) Reduce: L = cos2θ - cos2θ

a) 1 d) -sen2θ b) -2cos2θ e) -1 c) sen2θ

11) Reduce: C =

a) sen2θ d) ctg2θ b) 2 e) 2ctg2θ c) 1

1 - cos2θsen2θ

12) Reduce: L =

a) 1 d) tg2θ b) 2 e) 2tg2θ c) cos2θ

1+cos2θ1 - sen2θ

13) Señala un valor de x que cumple: cos4x - sen4x = 1/2 a) 15º d) 60º b) 30º e) 75º c) 45º

14) Señala un valor de x que verifica: =

a) 15º d) 7º30' b) 30º e) 22º30' c) 45º

cos8x - sen8x 1 - 2sen2xcos2x

1 2

15) Señala un valor de x que cumple: csc2x - sec2x = 2csc22x

a) 15º d) 75º b) 30º e) 60º c) 45º

16) Se comprueba que: sen x/2 cos x/2 cosx= asenbx Determina ab.

a) 1 d) 1/4 b) 2 e) 1/2 c) 4

17) Si se verifica que: cosxcos2xcos4xcos8x = Determina ab.

a) 1 d) 1/4 b) 2 e) 1/2 c) 4

asenbxsenx

18) Sabiendo que: senθ +cosθ = 7/6 Determina sen2θ.

a) 1/2 d) 1/12 b) 1/3 e) 1/18 c) 1/6

19) Si senφ - cosφ = 1/2; determina: sen2φ.

a) 0,25 d) 0,85 b) 0,5 e) 0,65 c) 0,75


Trigonometría




Nivel III

31) Simplifica C =

a) tgθ d) - ctgθ b)ctgθ e) - 1/2 c) -tgθ

cosθ - sen2θsenθsenθ - sen2θcosθ

20) Si senx +cosx = 4/3; determina el valor de cos4x.

a) 1/6 d) 2/3 b) 1/9 e) 7/9 c) 5/9

21) Si senθ - cosθ = 3/4; determina el valor de cos4θ.

a) 1/8 d) 7/8 b) 3/8 e) 1 c) 5/8

22) Si "θ" es agudo, tal que tgθ=4; determina C = 17sen2θ - 1

a) 15 d) 18 b) 16 e) 19 c) 17

23) Si "φ" es agudo, tal que: ctgφ= 6, determina: L = 7cos2φ + 3

a) 2 d) 8 b) 4 e) 10 c) 6

24) Si "α" es agudo, tal que senα = 1/3; determina C =7tg2α - sec π/4

a) 2 d) 4 2 b) 2 2 e) 5 2 c) 3 2

25) Si "β" es agudo, tal que: cosβ = 1/ 6; determina: L = 2tg2β + sec2 π/3 + 1 a) 1 d) 2 b) 0 e) - 2 c) -1

26) De acuerdo al gráfico, determina el valor de sec2θ.

a) 5 d) 2 6 b) 4 e) 3 2 c) 3

E

5

C

B

D

A1

2θθ

27) De acuerdo al gráfico, determina el valor de cos2θ.

a) 1/6 d) 5/6 b) 1/3 e) 2/5 c) 2/3

CθAH1 5

B

2θ

28) Si = ; determina

C = nsen2x - mcos2x

a) n d) - m b) - n e) m - n c) m

msenx

ncosx

29) Siendo tgθ = 2/3; calcula el valor de L = 2sen2θ + 3cos2θ

a) 1 d) - 1 b) 2 e) - 1/2 c) 3

30) Reduce:

C = . cos4θ

a) sen8θ/8 d) sen4θ/8 b) sen8θ/4 e) sen4θ/4 c) sen8θ/2

tgθ(1 - tg2θ)(1 + tg2θ)2

32) Si θ = 37º30', calcula L = senθ cos5θ - sen5θcosθ

a) d)

b) e)

c)

6 - 24

6 - 28

18

3 8 3 16

33) Halla el valor mínimo de C = sen4x + cos4x

a) 1 d) 1/4 b) 2 e) 1/8 c) 1/2

34) Halla el valor mínimo de C = sen6x + cos6x

a) 1 d) 1/3 b) 1/2 e) 1/16 c) 1/4

35) Siendo:

= a + b sen2x + ccos 4x

Calcula C =

a) 1/3 d) 3/4 b) 2/3 e) 4/3 c) 3/2

sen5x - cos5xsenx - cosx

ca - b



I. E. P.


36) Siendo:

= a + b sen2x + csen22x + dsen32x

Calcula L = a + b - c + 2d

a) 1/4 d) 7/4 b) 3/4 e) 9/4 c) 5/4


37) Señala el valor máximo de C = senx(senx + cosx)

a) 1 d)

b) 2 e)

c)

2 + 22

2 2

1 + 22

38) Determina el valor máximo de: L = senx(senx + 2cosx)

a) 1 d)

b) 1 + 5 e)

c) 5

1 + 52

2 + 52

39) Si cosα + cosβ = m senα + senβ = n Halla C = cos2xα + cos2β +

2cos(α + β) + 2cos(α - β) a) m2 - 1 d) 2m2 - 1 b) m2 - 2 e) 2m2 - 2 c) m2+ 2

40) Si: cosx + cosy + cosz = 0 senx + seny + senz = 0 Determina:

C =

a) 1 d) - 2 b) -1 e) 1/2 c) 2

cos2x + cos2y + cos2zcos(x+y)+cos(y+z)+cos(z+x)

41) Si tgx = cosx, determina: C = 4cos2x + cos4x

a) 1 d) 3/2 b) 1/2 e) 3/4 c) 2

42) Si sen2x = cos2x, calcula L = 4sen4x + 3cos4x

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

43) Reduce: C = 2 - 2 - 2+2cos8x ;

< x < 3

a) 2cosx d) -2senx b) 2senx e) senx - cosx c) -2cosx

π4

π8

44) Reduce: C = 1+ sen2x - 1 - sen2x ;

π < x < 5

a) 2senx d) -2cosx b) 2cosx e) senx - cosx c) -2senx

π4

45) Si: 3 < θ < 7 ; además 2 1+sen2θ + 3 1- sen2θ = msenθ + ncosθ Determina m2 + n2.

a) 15 d) 25 b) 16 e) 26 c) 17

π2

π4

46) Si 3 < φ < 2π ; además - = msenφ/2 + ncosφ/2 Determina m/n.

a) 5 d) -1/5 b) - 5 e) 1/3 c) 1/5

π2

1 + senφ2

1 - senφ3

47) Simplifica: C = sec2θ + csc2θ + 4sec22θ +

16sec24θ

a) 16sec28θ d) 16csc24θ b) 16sec216θ e) 64csc28θ c) 16csc28θ

48) Si sec2 π/16 + 4sec2 π/8 = k - csc2 π/16, ¿cuál es le valor de "k"?

a) 8 d) 64 b) 16 e) 128 c) 32

49) De acuerdo al gráfico, calcula

C =

a) 1 d) 2 b) 1/2 e) 4 c) 1/4

(sec2θ+1)-2 + (sec4θ+1)-2

sec2θA D

BO

C

θ2θ


Trigonometría




Identidades Trigonométricas del Ángulo Mitad

I.T. del Ángulo Mitad

Fórmulas básicas (θ →θ/2)

Utilizar correctamente las fórmulas para la mitad de u n áng u l o, t anto e n l a simplificación de expresiones como en el cálculo de razones trigonométricas de la mitad de un ángulo conocido.

R e s o l v e r s i t u a c i o n e s geométricas aplicando o adaptando correctamente las fórmulas del ángulo mitad.

Reconocer las propiedades de este capítulo, así como su uso preciso y correcto.

sen

B

Demostración

El signo (±) dependerá del cuadrante en que se ubique "θ/2" y de la R.T. pedida.

Partiremos de la igualdad:

i) 2sen2x = 1 - cos2x sea x =

2sen2 = 1 - cosθ

sen2 = 1- cosθ2

i) ABC: AB = cosθ BC = 1 - cos2θ

ii) Prolongamos BA hasta P, tal que AP = AC = 1

⇒CPA = PCA =

PBC: PC2 = AB2 +BC2

⇒ PC2 = (1 + cosθ)2 + 1 - cos2θ PC2 = 1+2cosθ + cos2θ + 1- cos2θ⇒ PC2 = 2 + 2 cosθ⇒ PC = 2(1 + cosθ)

θ2

1 - cosθ2= ±

cos θ2

1 + cosθ2= ±

tg 1 - cosθ1 + cosθ

θ2 = ±

θ2

θ2 θ2

∴sen = ± 1 - cosθ2

θ2

ii) 2cos2x = 1 + cos2x sea x =

2cos2 = 1 + cosθ

cos2 =

θ2

θ2

θ2

1+ cosθ2

∴cos = ± 1 + cosθ2

θ2

Dividiendo:

θ2

sen

θ2

cos=

1 - cosθ2 ±

1 + cosθ2 ±

∴tg = ±θ2

1 - cosθ1 + cosθ

Ahora bien, ampliando nuestra visión, vamos a hacer una demostración geométrica; para ello vamos a partir de un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 y uno de los ángulos agudos iguales a "θ".

C

θ

1

A

Ahora bien:

θ2

B

C

θ/21

θ

1

θ/2A

P

1- co

s2 θ

2(1+cosθ)

cosθ

Objetivos



I. E. P.



ALGUNAS PROPIEDADES

cscθ - ctgθ = tg

Por ejemplo: csc20º - ctg20º = tg10º csc4β - ctg4β = tg2β

Luego en el mismo triángulo:

θ2

sen = 1 - cos2θ

2(1+cosθ)

∴sen = 1 - cosθ2

θ2

θ2

cos =1+ cosθ

2(1+cosθ)

=(1- cosθ)(1+cosθ)

2(1+cosθ)

= (1+cosθ)2

2(1+cosθ)

∴cos = 1 + cosθ2

θ2

θ2

tg =1 - cos2θ

1 + cosθ

= (1- cosθ)(1+cosθ)(1 + cosθ)2

∴tg =θ2

1 - cosθ1 + cosθ

θ2

cscθ + ctgθ = ctg θ2

Por ejemplo: csc20º + ctg20º = ctg10º csc4β + ctg4β = ctg2β

i) cscθ - ctgθ = - = cscθ - ctgθ =

1senθ

cosθsenθ

1-cosθsenθ

2sen2 θ2

2sen θ2

cos θ2

∴cscθ - ctgθ = tg θ2

ii) cscθ+ ctgθ = +

= cscθ + ctgθ =

1senθ

cosθsenθ

1+cosθsenθ

2cos2 θ2

2sen θ2

cos θ2

∴cscθ+ ctgθ = ctg θ2

1. Sabiendo que cosθ= ; 270º < θ < 360º, determina cos

Resolución:

i) Averiguamos el cuadrante al que pertenece

270º < θ< 360º ⇒ 135º < < 180º

16 θ

2

θ2

θ2

IIC ⇒cos : (-)θ2

ii) En la fórmula: cos = -

= -

θ2

1+ cosθ2

16

1 +

2

∴cos = - θ2

712

2. Sabiendo que cosα= - 1/4; 180º < α < 270º, determina sen

Resolución:

α2

i) Averiguamos el cuadrante al que pertenece

180º<α < 270º ⇒ 90º < < 135º

α2

α2

IIC ⇒sen : (+)α2

ii) En la fórmula: sen = +

=

α2

1 - cosα2

1 -

2

∴sen = α2

58

( (14

-

3. Sabiendo que tgβ= 5/2; 360º < β < 450º, determina cos

Resolución:

β2

i) Calculamos "cosβ":

⇒cosβ = (360º < β < 450º)

5

2

3

β

tgβ = 52

23

IC

ii) Averiguamos el cuadrante al que pertenece β/2

360º <β< 450º ⇒180º < < 225ºβ2

IIIC ⇒cos : (-)β2


Trigonometría




∴C = cos35º

ctg4x

iii) En la fórmula: cos = -β

2 1 + cosβ

2

∴cos = - β2

56

1 +

2

23 = -

4. Simplifica: C = csc2x + csc4x + csc8x + ctg8x

Resolución:

En la expresión: C = csc2x + csc4x + csc8x + ctg8x

C = csc2x + csc4x + ctg4x

C = csc2x + ctg2x

ctg2x

ctgx

∴C = ctgx

5. Reduce: C = cscx + csc2x + csc4x + csc8x + csc16x

Resolución:

En la expresión: C = cscx + csc2x + csc4x + csc8x + csc16x + ctg16x - ctg16x

¡ojo!

ctg8x

ctg4xctg2x

ctgx

ctg x2

∴C = ctg - ctg16xx2

6. Señala el equivalente de C = (sec20 º+ tg20º)sen35º

Resolución:

En la expresión: C = ( sec20º + tg20º)sen35º = (csc70º + ctg70º)sen35º

C = ctg35ºsen35º = . sen35º

ctg35º

cos35ºsen35º

7. A que es igual C = secx - tgx

Resolución:

En la expresión: C = secx - tgx = csc(90º - x) - ctg(90º - x)

tg 90º - x2

( (

∴tg(45º - )x2

Nivel I

1) Siendo "α" un ángulo agudo, tal que cosα = 1/5; determina

cosα/2

a) 0,2 d) 0,5 b) 0,3 e) 0,6 c) 0,4

2) Siendo "θ" un ángulo agudo, tal que cosθ = 1/3; determina

cosθ/2

a) d) b) e) c)

13

23

16

18

38

3) Siendo cosθ = 1/3; 270º < θ < 360º, determina sen θ/2

a) d) b) e) c)

13

23

13

23

16



I. E. P.


Nivel II

13) Reduce:

C =

a) 1 d) sen10º b) sen50º e) cos10º c) cos50º

4) Siendo cosφ = 1/6; 270º < φ < 360º, determina sen φ/2

a) d) b) e) c)

112

512

112

512

712

5) Siendo cosβ = -2/3; 180º < β < 270º, determina cos β/2

a) - d) b) e) - c) -

13

13

16

16

23

6) Siendo cosβ = 1/7; 270º < β < 360º, determina cos β/2

a) d) - b) - e) - c)

1 7

1 7

2 7

2 7 73

7) Siendo tgα = - 15; 90º < α < 180º, determina sen α/2

a) d) - b) e) - c)

18

38

58

18

38

8) Siendo tgβ = 2 2; 180º < β < 270º, determina sen β/2

a) d) - b) - e) - c)

23

63

33 33

63

9) Siendo senθ = 21/5; 360º < θ < 450º, determina cos θ/2

a) 0,3 d) - 0,7 b) - 0,3 e) - 0,6 c) 0,7

10) Siendo senφ = ; 450º < φ < 540º, determina tg φ/2

a) 1,5 d) - 2,5 b) - 1,5 e) - 3,5 c) 2,5

2 107

11) Siendo cosθ = 17/81; 360º < θ < 450º, determina: cos θ/4

a) d) - b) - e) - c)

13

13

16

1623

12) Siendo cosφ = - 7/9; 450º < φ < 540º, determina: cos φ/4

a) d) - b) - e) - c)

13

131 3

1 31 6

1 + cos100º2[ ]+ 1 - cos100º

2- 1

2

14) Reduce:

C =

a) sen20º d) - cos20º b) - sen20º e) - sen40º c) cos20º

1 +cos200º2{ }+ 1 - cos200º

2- 1

2

15) Reduce:

C =

a) sen40º d) - cos40º b) - sen40º e) - sen20º c) cos40º

1 - cos320º2{ }- 1 + cos320º

2- 1

2

16) Reduce: C = csc40º + ctg40º

a) tg10º d) ctg20º b) ctg10º e) ctg80º c) tg20º

17) Reduce: L = csc6θ + ctg6θ

a) tg12θ d) ctg3θ b) ctg12θ e) tg3θ c) tg6θ

18) Reduce: C = csc10º - ctg10º

a) tg20º d) ctg5º b) ctg20º e) tg10º c) tg5º


Trigonometría




Nivel III

31) Reduce: C =

a) 1 d) 2cos80º b) 0 e) - 2cos80º c) -1

19) Reduce: L = csc4x - ctg4x

a) tg4x d) tg8x b) tg2x e) ctg8x c) ctg2x

csc2x - ctg2xcsc2x + ctg2x

20) Señala el equivalente de: C =

a) tgx d) ctg2x b) tg2x e) tg2x c) ctgx

cscx + ctgx cscx - ctgx

21) Señala el equivalente de: L =

a) tg x/2 d) ctg2 x/2 b) tg2x/2 e) tgx c) ctg x/2

22) Reduce: C = csc2x + csc4x + csc8x + ctg8x

a) 1 d) ctg2x b) tg2x e) ctgx c) tgx

23) Reduce: L = csc2 + csc4 + csc8 + csc16 +

ctg16

a) tg2 d) ctg1 b) ctg2 e) 2ctg1 c) tg1

24) Simplifica: C = cscx + csc2x + csc4x + csc8x

a) ctg x/2 b) ctgx c) tg x/2 d) ctg x/2 + ctg8x e) ctg x/2- ctg8x

25) Simplifica: L = csc20º + csc40º + csc80º

a) ctg10º b) ctg10º- ctg80º c) tg10º d) tg10º - ctg80º e) ctg10º + ctg80º

26) Señala el equivalente de: C = (sec40º - tg40º)cos25º

a) sen25º d) 1/2 sen50º b) 2sen25º e) 1/2 sen25º c) sen50º

27) Señala el equivalente de: L = (sec10º + tg10º)sen40º

a) cos10º d) cos80º b) cos20º e) 1 c) cos40º

28) A qué es igual: C = secx + tgx

a) tg x/2 b) ctg x/2 c) tg(45º + x/2) d) ctg(45º + x/2) e) tg x/2 + 1

29) A qué es igual: L = sec2x - tg2x

a) tgx b) ctgx c) 1 - tgx d) tg(45º - x) e) ctg (45º - x)

30) Determina "x", que cumple: sec4x - tg4x = 3 /3

a) π/3 d) π/12 b) π/6 e) π/24 c) π/4

1+ cos200º2 + 1+ cos160º

2

32) Reduce: L =

a) 1 d) 2sen20º b) 0 e) - 2sen20º c) -1

1 - cos320º2 - 1 - cos760º

2

33) Sabiendo que senθ = halla tg(45º - )

a) d) b) e) c)

θ2

m - nm + n

mnnm

mn

nm

m - nm+n

34) Sabiendo que senφ = 1/7, halla tg ( )

a) 1/2 d) 1/ 2 b) 1/4 e) 3/2 c) 3/2

π - 2φ4

35) Si cosθ = ; cosβ = ; cosφ =

calcula L = tg2 + tg2 + tg2

a) 1 d) b) 2 e) c) 1/2

ab+c

bc+a

ca+b

θ2

β2

φ2

a+b+ca - b+cab+bc+aca2+b2+c2



I. E. P.


36) Si cosθ = ,

halla L = tg2 tg2

a) 1 + tg2 d) 2tg b) tg2 e) ctg2

c) 1 - tg2

cosα + cosβ1 + cosαcosβα2

β2

θ2

θ2θ2

θ2θ2


C = a) tg(45º + ) b) tg(45º - ) c) tg

d) ±tg(45º + )

e) ±tg(45º - )

1 - senx1 + senx

x2x2

x2

x2

x2


L = a) sen(45º - θ) d) ±sen(45º - θ) b) cos(45º - θ) e) ±cos(45º - θ) c) cosθ

1+ sen2θ2

39) Si < θ < 3

señala el equivalente de:

C = a) sen( - θ) d) - sen( -2θ) b) -sen( - θ) e) cos( -2θ) c) sen( -2θ)

1- sen4θ2

π8

π8

π4π4π4

π4

π4

40) Si - < θ < -

señala el equivalente de:

L = a) tg( - 2θ) d) - tg( -4θ) b) tg( - 4θ) e) - tg4θ c) -tg( -2θ)

1- sen8θ1 +sen8θ

3π16

π16

π4π4π4

π4

41) Reduce:

C = a) tgx d) ctg2x b) ctgx e) 1 c) tg2x

csc2x + csc4x + ctg4xcsc2x - csc4x - ctg4x

42) Reduce: L =(csc4β - ctg4β)(csc2β +

ctg2β) a) sec2β d) sec2β +1 b) sec4β e) sec2β -1 c) secβ

43) Sabiendo que: 3tg + ctg = mcscx + nctgx

halla m + n. a) 1 d) 4 b) 2 e) 6 c) 3

x2

x2

44) Sabiendo que: 5tg + 2ctg = mcscθ + nctgθ

halla m + n. a) 1 d) 4 b) 2 e) 6 c) 3

θ2

θ2

45) Siendo: cscα + cscβ + cscθ = ctgα + ctgβ + ctgθ, calcula: C = a) 1 d) 6 b) 2 e) 9 c) 3

tg3α2

+ tg3 β2

+ tg3 θ2

tg α2

tg β2

tg θ2

46) Sabiendo que: csc2α +2csc2β + 3csc2θ = ctg2α + 2ctg2β + 3ctg2θ calcula: L = + + a) 3 d) 12 b) 6 e) 18 c) 9

tg2αtgβtgθ

8tg2βtgθtgα

27tg2βtgαtgβ

47) Siendo:

calcula:

C = a) 2 d) 6 b) 3 e) 8 c) 4

ctg α2

+ ctg β2

+ ctg θ2

tg α2

tg β2

tg θ2

cscα + cscβ +cscθctgα + ctgβ + ctgθ

= 53

+ +

48) Si secx +secy = tgx + tgy, calcula: L = tg tg

a) 1 d) -2 b) -1 e) 1/2 c) 2

x2

y2


Trigonometría




Repaso

Revisar todas las fórmulas vistas hasta la clase anterior, desde el inicio del bimestre; resolviendo diversos tipos de problemas.

Nivel I

1) Reduce:

C =

a) tg20º b) 1 c) ctg20ºd) tgx e) ctgx

sen(20º+x) - sen20ºcosxcos(20º+x) + sen20ºsenx

2) Reduce:

L =

a) tg40º tgθ d) ctg40º ctgθb) tgθ e) 1c) ctgθ

sen(40º-θ) + senθcos40ºcos(40º-θ) - cos40ºcosθ

3) Si senx + cosx = 2 /4, calcula: C = 4 sen(x + π/4) + 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4) Si cosx - senx = 1/2; determina: L = 6 2 cos(x + π/4) - 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5) Reduce:

C =

a) 1 b) 1/2 c) senθd) cosθ e) 2cosθ

sen2θ2 senθ

6) Reduce: L = sen2θ ctgθ

a) cos2θ b) sen2θ c) 2d) 2cos2θ e) 2sen2θ

7) Reduce:

C =

a) 1 b) 2senθ c) senθd) cosθ e) 2cosθ

vers2θsenθ

8) Reduce: L = (1 + cos2θ) tgθ

a) senθ b) 2senθ c) 2sen2θd) sen2θ e) cos2θ

9) Reduce:

C = (1 + cos2θ + 2cosθ)(1 - cosθ) tgθ

a) sen2θ b) 2sen2θ c) sen3θd) 2sen3θ e) 2cos3θ

10) Reduce: C = (1 - cos2β + 2senβ)covβ ctgβ

a) sen2β b) cos2β c) sen3βd) cos3β e) 2cos3β

11) Si cosθ = -1/3; 450º < θ < 540º, determina: senθ/2.

a) 2 /3 b) - 2 /3 c) 6 /3d) - 6 /3 e) -2 2 /3

12) Si cosϕ = -2/3; 180º < ϕ < 270º, determina: tgϕ/2.

a) 5 b) - 5 c) 5 /5d) - 5 /5 e) - 5 /3

13) Si tgα = 2/3; calcula

C =

a) 17/13 b) 19/13 c) 23/13d) 25/13 e) 27/13

sen3αsenα

14) Si tgβ = 5; determina: L = cos3β secβ

a) -2/3 b) -1/3 c) -7/3d) 7/3 e) 2/3

15) Si tg3θ ctgθ =

determina: C = (m + p + 1)(n + q + 2)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

m + n sen2θp + q cos2θ

Objetivo



I. E. P.


Nivel IIINivel II

16) En un triángulo ABC: tgA + tgB = 7 tgC, determina:

L =

a) 7/8 b) 8/7 c) 9d) 10 e) 9/8

cos(A - B)senA senB

17) En un triángulo ABC se sabe que: 3tgA - tgB = tgC, calcula:

L =

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

cos(B - C)cosB cosC

18) Determina la suma del máximo y mínimo valor que puede tomar: C = 2 sen(x + 30º) + cosx + 1

a) 2 7 d) 2b) 2 7 + 1 e) 2 7 + 2c) 1

19) Determina la suma del máximo y mínimo valor que puede tomar: L = 3(senx + 1) + 4(cosx + 1)

a) 7 b) 9 c) 0d) 12 e) 14

20) Señala el valor máximo que toma C = senx cosx cos2x

a) 1 b) 1/2 c) 1/4d) 1/8 e) 1/16

21) Señala el valor máximo que toma: L = senx cosx cos2x cos4x

a) 2-1 b) 2-2 c) 2-3

d) 2-4 e) 2-5

22) Reduce: C = ctgθ - tgθ - 2tg2θ - 4tg4θ

a) 4 tg8θ d) ctg8θb) 4 ctg8θ e) 2 ctg8θc) 8 ctg8θ

23) Si ctgθ - tgθ - 2tg2θ = 4, halla “θ”.

a) π/4 b) π/8 c) π/16d) π/32 e) π/64

24) Siendo senθ + cosθ = n, halla

C =

a) n - 1 d) n2 - 1b) (n - 1)2 e) (n2 - 1)2

c) (n + 1)2

1 - cos4θ2

25) Siendo sen2θ = n, determina: L = (senθ + cosθ)(secθ + cscθ)

a) 2n(1 + n) d) (1 + n)/2nb) 2n/(1 + n) e) 2(n + 1)/nc) n/(1 + n)

26) Reduce: C = 3 tgx/2 + ctgx/2 + 2 ctgx

a) cscx b) 2 cscx c) 3 cscxd) 4 cscx e) 6 cscx

27) Reduce: L = 5 tgx/2 - 4 ctgx/2 - cscx

a) 7 ctgx b) -7 ctgx c) 9 ctgxd) -9 ctgx e) ctgx

28) Reduce:

C =

a) sen2β d) 2 cos2β b) 2 sen2β e) 4 cos2βc) cos2β

sen3βsenβ

cos3βcosβ+

29) Si cos2θ = 1/3; calcula: L = tg3θ ctgθ

a) 3 b) -3 c) 5d) -5 e) -2

30) Determina el valor de: C = ctg210º ctg250º ctg270º

a) 3 b) 9 c) 3 3d) 3 e) 6

31) Reduce:

C=

a) 3 /2 b) 3 /4 c) 3/4d) 3 3 /4 e) 3 3 /8

(sen250º-sen210º)2-(sen240º-sen220º)2 sen20º

32) Reduce:

L= cos2x

a) sen6x d) 2 sen6xb) cos6x e) 2 cos3xc) 2 cos6x

cos25x - sen2xcos23x - sen2x( (

33) Simplifica:

C =

a) 2 b) -2 c) 2/2d) - 2 /2 e) - 2

3 sen14º + cos14º sen44º - cos44º

34) Reducir:

L =

a) 1 b) 2 c) 4d) 2 2 e) 4 2

sen20º + cos20º + 6 cos65º cos35º

35) Del gráfico, calcula “tgφ”

a) 32/57 b) 64/57 c) 16/57d) 128/57 e) 64/19

A BO T

O1ϕ

7 1

36) Halla el valor máximo de “tgθ”.

a) 2/3 b) 3/2 c) 3/4d) 4/3 e) 1/4

A C

B

M Nθ


Trigonometría




37) Si tgα = 3 tgθ; se comprueba:

tg(α - θ) =

calcula ab + c.

a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) 3

a sen2θb + ccos2θ

38) Siendo: 8 sen4θ = a + bcos2θ + ccos4θ

calcula ab + c.

a) 11 b) 12 c) 13d) -13 e) -11

39) Si:

∑ {tg2θi tgθi} = K, halla:

C = ∑ {tg2θi ctgθi}

a) K + n d) K - 2nb) K + 2n e) 2K + nc) K - n

n

i=1n

i=1

40) Calcula: C = (sec20º + 1)(sec40º + 1)

(sec80º + 1)

a) tg210º b) ctg210º c) tg220ºd) ctg220º e) ctg240º

41) Siendo sen10º + cos10º = n, halla: cos40º.

a) 2n4 - 4n2 - 1b) -2n4 - 4n2 - 1c) -2n4 + 4n2 - 1d) n4 - 4n2 + 1e) -n4 + 4n2 + 1

42) Siendo tg10º + ctg10º = n, halla:

C =

a) (16 + n2)/4nb) (4 + n2)/2nc) (2 + n2)/2nd) (16 - n2)/4ne) (4 - n2)/2n

sen40ºcos20º

cos20ºsen40º+

43) Siendo:cscπ/2 + cscπ/4 + cscπ/8 + cscπ/16 =

n - ctgπ/32, halla “n”.

a) ctgπ/32 d) 4 ctgπ/32b) 2 ctgπ/32 e) 8 ctgπ/32c) 3 ctgπ/32

44) Reduce:

C = ∑ {cscπ/2K}

a) ctgπ/2n-1 d) ctgπ/2n+2

b) ctgπ/2n e) tgπ/2n+1

c) ctgπ/2n+1

n

K=1

45) Siendo senθ = n; π < θ < 3π/2 halla C = 2 senθ/2 + 3 cosθ/2

a) [(5 1 + n) + 1 - n]/2b) [(5 1 - n) + 1 + n]/2c) [(5 1 + n) - 1 - n]/2d) [(5 1 - n) - 1 + n]/2e) [( 1 + n) - 1 - n ]/2

46) Siendo cosβ =

halla: L = tg2(45º - θ/2) tg2(45º - ϕ/2)

a) tg2β b) tgβ/2 c) tg2β/2d) ctg2β e) ctg2β/2

senθ + senϕ1 + senθ senϕ

47) En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º) se traza AD (“D” en BC), tal que AB = 2 BD, mDAB = mCAD/2; calcula la medida de CD si AD = 5.

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

^^

^

48) Se tiene un triángulo equilátero de lado “L”. Se hace pasar una recta por “A” que no corta a los lados de triángulo y forma con AC un ángulo “θ”. Halla la suma de los cubos de las proyecciones de los lados sobre dicha recta.

a) L3/2 (6 cosθ - cos3θ)b) L3/4 (6 cosθ - cos3θ)c) 3L3/2 cosθd) 3L3/2 cos3θe) L3/4 (6 cosθ + cos3θ)

49) Si senα + senβ + senθ = 0, halla: C = (sen3α + sen3β + sen3θ)

cscα cscβ cscθ

a) 6 b) -6 c) 12d) -12 e) 18

50) Reduce: C = [tg2θ + tg(60º - θ) + tg(120º -

θ)] ctg3θ

a) sec2θ + 1b) sec2θ - 1c) 1 - sec2θd) -sec2θ - 1e) -sec2θ

El Occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia, en Europa, fue De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán George Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.



I. E. P.


Identidades Trigonométricas del

Ángulo Triple

1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE

Utilizar correctamente las fórmulas para el triple de un ángulo, tanto en la simplificación de expresiones como en el calculo de razones trigonométricas del triple de un ángulo conocido.

Resolver situaciones geométricas aplicando o adaptando correctamente las formulas del ángulo triple.

Reconocer las propiedades de este capitulo, asi como su uso preciso y correcto.

Fórmulas básicas (θ3θ)

Demostración:

sen3θ = 3senθ - 4sen3θ cos3θ = 4cos3θ - 3cosθ tg3θ = 3tgθ - tg3θ1- 3tg2θ

i) Partimos de: sen3θ = sen(2θ +θ) sen3θ = sen2θcosθ+senθcos2θ sen3θ = (2senθ cosθ)cosθ+senθ(1 -2sen2θ) sen3θ = 2senθ cos2θ+senθ -2sen3θ (1 -sen2θ) operando: sen3θ = 2senθ -2sen3θ+senθ-2sen3θ

∴sen3θ=3senθ -4sen3θ

ii) Tambien: cos3θ = cos(2θ +θ) cos3θ = cos2θ cosθ-sen2θsenθ cos3θ = (2cos2θ -1)cosθ-(2senθcosθ)senθ cos3θ = 2cos3θ -cosθ-2sen2θ cosθ (1 -cos2θ) operando: cos3θ = 2cos3θ -cosθ-2cosθ+2cos3θ

∴cos3θ=4cos3θ -3cosθ

Ahora bien, esta segunda fórmula se pudo demostrar también a partir de la primera. Tenemos:

sen3β= 3senβ – 4sen3β;

hacemos: β= – θ

⇒sen3( - θ)=3sen( - θ)-4sen3( - θ)

π2

π2

π2

π2

π2

sen(3 - 3θ)= 3cosθ - 4cos3θ

- cos3θ= 3cosθ - 4cos3θ

∴cos3θ= 4cos3θ-3cosθ

iii) También: tg3θ = tg(2θ +θ) =

tg3θ =

tg3θ =

∴tg3θ =

tg2θ+ tgθ1 -tg2θtgθ

2tgθ1 -tg2θ

+ tgθ

2tgθ1 -tg2θ

. tgθ1 -

2tgθ+tgθ-tg3θ1 -tg2θ

1 -tg2θ-2tg2θ1 -tg2θ

3tgθ-tg3θ1 -3tg2θ

Objetivos


Trigonometría




5 +1 4

5 – 1 4

2. PROPIEDADES

I) sen3θ = senθ(2cos2θ+1)

Por ejemplo: sen27°= sen9°(2cos18°+1) sen9β= sen3β(2cos6β+1)

cos3θ = cosθ(2cos2θ– 1)

Por ejemplo: cos27°= cos9°(2cos18° – 1) cos9β= cos3β(2cos6β– 1)

II) 4sen3θ = 3senθ– sen3θ

Por ejemplo: 4sen310°= 3sen10°– sen30° 4sen32θ= 3sen2θ– sen6θ

4cos3θ = 3cosθ+cos3θ

Por ejemplo: 4cos310° = 3cos10°+cos30° 4cos32θ = 3cos2θ+cos6θ

III) senθsen(60°– θ)sen(60°+θ)=

Por ejemplo: sen10°sen50°sen70° =

(60°–10°)(60°+10°)

=

sen3θ4

sen3(10°)4

sen30°4

cosθcos(60°– θ)cos(60°+θ)=

Por ejemplo: cos12°cos48°cos72°=

(60°–12°)(60°+12°)

=

cos3θ4

cos3(12°)4

cos36°4

IV) tgθtg(60°– θ)tg(60°+θ)= tg3θ

Por ejemplo: tg6°tg54°tg66°= tg3(6°)

(60°– 6°)(60°+ 6°) = tg18°

4

18°

72°

10+2 5

5 – 14

36°

54°10–2 5

5 + 1

I) Sabemos que: sen3θ=3senθ– 4sen3θ=senθ(3 – 4sen2θ) sen3θ=senθ[3 – 2(2sen2θ)] Pero: 2sen2θ=1– cos2θ

Luego, se tiene: sen3θ=senθ[3 – 2(1– cos2θ)] sen3θ=senθ(3 – 2+2cos2θ)

∴ sen3θ=senθ(2cos2θ+1)

Además, como: sen3β= senβ(2cos2β+ 1), sea: β=– θ sen(3– 3θ)= sen( – θ)[2cos(π– 2θ)+1]

– cos3θ= cosθ(– 2cos2θ+1)

∴ cos3θ=cosθ(2cos2θ-1)

π2

π2

π2

II) Como: sen3θ=3senθ– 4sen3θ⇒4sen3θ= 3senθ– sen3θ cos3θ= 4cos3θ– 3cosθ⇒4cos3θ= 3cosθ+ cos3θ

Fórmulas de degradación

V) sen18°= cos36°=




I. E. P.


1) Si tgϕ= ;"ϕ" es agudo, calcula: sen3ϕ

Resolución:

III) Sea: P= senθsen(60°– θ) sen(60°+ θ) (sen260°– sen2θ) P= senθ( – sen2θ) = senθ( )

P= =

∴senθsen(60°– θ) sen(60°+ θ) = . . . (1)

Ahora: Q= cosθcos(60°– θ) cos(60°+ θ) Q= cosθsen(30°+θ) sen(30°– θ) sen230°– sen2θ Q= cosθ( – sen2θ) = cosθ( – 1+cos2θ)

Q= cosθ( )

Q= =

∴cosθcos(60°– θ) cos(60°+ θ) = . . . (2)

34

3 – 4sen2θ4

3senθ – 4sen3θ4

sen3θ 4

sen3θ 4

1 4

1 4–3+4cos2θ

44cos3θ– 3cosθ

4cos3θ

4

cos3θ 4

IV) Dividiendo (1)÷(2):

tgθtg(60°– θ)tg(60°+θ)==

∴tgθtg(60°– θ)tg(60°+θ)=tg3θ

V) Sabemos que: sen36°=cos54° ⇒ sen2(18°)= cos3(18°) 2sen18°cos18°= 4cos318°– 3cos18° Reduciendo: 2sen18°= 4cos218° – 3 (1 – sen218°) 2sen18°= 4 – 4sen218° – 3 Ordenando: 4sen218°+2sen18° – 1= 0

Por ser ecuación de 2.° grado:

sen18°= =

sen18°= =

tenemos: sen18°= ó sen18°=

sen3θ4

cos3θ4

sen3θcos3θ

– (+2)± (+ 2)2– 4(4)(– 1)2(4)

– 2± 4+168

– 2±2 58

– 1± 54

– 1+ 54

– 1– 54

no es respuesta

5 + 14

∴sen18° =

También:cos36° =cos2(18°)= 1 – 2sen218°

cos36°=1– 2( ) =1– 2 ( ) Reduciendo: cos36°= 1 –

∴cos36° =

5 – 14

5 – 14

6 –2 516

3 – 54

12 2

Como: tgϕ=

ϕ

3

2 2

113⇒senϕ=

Piden: sen3ϕ=3senϕ -4sen3ϕ sen3ϕ=3 ( ) -4( )3= 1-

∴sen3ϕ=

13

13

427

2327

2) Sabiendo que cosθ= ; calcula:

Resolución:

23

3senθ– 4sen3θ senθ

sen3θsenθ C =

En la expresión:

Reduciendo:

1– cos2θ

sen3θsenθ C= =

C= 3– 4sen2θ

2

12 2


Trigonometría




C= 3– 4+4cos2θ= 4cos2θ– 1 C= 4 – 1

C= – 1 ∴ C= –

23

89

19

3) Reducir: C = cosθ– cos3θ sen2θ

Resolución:

En la expresión:

C= cosθ–(4cos3θ–3cosθ) sen2θ

= 4cosθ– 4cos3θ sen2θ

C= 4cosθ(1– cos2θ) sen2θ

∴ C = 4cosθ

⇒=2cos2θ– 1

Resolución:

Sabemos: sen3θ= senθ(2cos2θ+1)

∴ L = n – 4

4) Siendo: + = n; halla sen3x senx

sen3y seny

L= + cos3x cosx

cos3y cosy

sen3θ senθ

⇒=2cos2θ+1

cos3θ= cosθ(2cos2θ– 1)cos3θ cosθ

En la condición:

+ = n sen3x senx

sen3y seny

2cos2x+1+2cos2y+ 1= n ⇒ 2cos2x+2cos2y= n – 2

Luego piden:

L= + cos3x cosx

cos3y cosy

L = 2cos2x – 1+2cos2y– 1= 2cos2x+2cos2y – 2

n – 2

5) Calcula: C= (8sen310°+1)csc10°

Resolución:

En la expresión, recuerda que: 4sen3β = 3senβ– sen3β C= [2(4sen310°)+1]csc10° C= [2(3sen10° – sen30°)+1]csc10° C= (6sen10° – 2sen30°+1)csc10°

Reduciendo: C= 6 sen10°csc10°

∴ C = 6

1

1

6) Senala el valor de: C= sec20°sec40°sec80°

Resolución:

En la expresión:

(60°–20°)(60°+20°)

Por propiedad:

C= = = ∴ C = 8

1cos20°cos40°cos80°

1cos20°

1cos40°

1cos80°C= =. .

1cos3(20°) 4

4cos60°

412

7) De acuerdo al gráfico, calcula "x".

B

A C

D

18°12°

48°x

Resolución: B

A C

D

12°48°x

72°

P

ntg48º

ntg48º tg72ºn

ntg48º tg72º tg12º

i) Sea AP = n APB: PB = n tg48º BPC: PC = PB . tg72º PC = n tg48º tg72º DPC: DP = PC . tg12º DP = n tg48º tg72º tg12º

ii) APD :

tgx = =

tgx = tg12º tg48º tg72º = tg3(12º) ↓↓ (60º-12º) (60º+12º)

Por propiedad: tgx = tg36º ∴ x = 36º

PDAP

n tg48º tg72º tg12ºn

( )2

P



I. E. P.


Nivel I

1) Si: = a + bsen2α,

calcula a + b

a) 1 b) 0 c) -1d) 2 e) -2

sen3αsenα

5) Reduce:

C =

a) senθ d) 4 sen2θb) sen2θ e) 3 sen2θc) 4 senθ

sen3θ + senθcos2θ

2) Si: = a + bcos2β,

calcula a + b

a) 1 b) 0 c) -1d) 2 e) -2

cos3βcosβ

3) Si: = m + nsen2ϕ,

calcula m - n

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

cos3ϕcosϕ

4) Si: = m + ncos2θ,

determina m + n

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

sen3θsenθ

6) Reduce:

C =

a) senθ d) 3 sen2θb) sen2θ e) 4 sen2θc) 3 senθ

sen3θ + sen3θcos2θ

7) Reduce:

L =

a) senθ b) cosθ c) 2 cosθd) 2 senθ e) 2 sen2θ

cosθ - cos3θsen2θ

8) Reduce:

L =

a) cosθ b) -cosθ c) 3 cosθd) -3 cosθ e) -2 cosθ

cos3θ - cos3θsen2θ

9) Si tgα = 3,5; “α” es agudo,

calcula: C =

a) 19/9 b) -19/9 c) 17/9d) -17/9 e) -2/3

cos3αcosα

10) Si tgβ = 5, “β” es agudo,

calcula: L =

a) 1/6 b) -1/6 c) 1/3d) -1/3 e) -2/3

sen3βsenβ

11) Si cosθ = 2 /3, calcula:

C =

a) 1/3 b) 1/6 c) 1/9d) -1/6 e) -1/9

sen3θsenθ

12) Si senβ = 3 /4, calcula:

L =

a) 1/2 b) -1/2 c) 1/4d) -1/4 e) 1/8

cos3βcosβ

13) Si senθ = 2/ 5, “θ” es agudo,

determina el valor de tg3θ.

a) 2/7 b) 2/11 c) -2/7d) -2/11 e) -3/11

14) Si cosϕ = 0,1; “ϕ” es agudo,

determina el valor de tg3ϕ.

a) 6/13 b) -6/13 c) 9/13d) -9/13 e) 12/13

15) Si secθ = 7; calcula el valor de: C = tg3θ ctgθ

a) 1/17 b) 2/17 c) 3/17d) 6/17 e) 12/17

Nivel II

16) Sabiendo que:

halla cos2θ

a) (a - b)/b d) (a - b)/2ab) (a + b)/2b e) (a - b)/2bc) (a - b)/a

sen3θa

senθb

=

17) Si senθ = 3sen3θ, halla cos2θ

a) 1/2 b) -1/2 c) 1/3d) -1/3 e) -2/3

18) Sabiendo que:

halla cos2ϕ

a) (m + n)/n d) (m - n)/2mb) (m - n)/n e) (m - n)/2nc) (m + n)/2n

cos3ϕm

cosϕn

=

19) Si cosβ = 4cos3β, halla cos2β

a) 0,125 b) 0,275 c) 0,315d) 0,425 e) 0,625


Trigonometría




20) Si sen3α = n senα, halla: C = cos3α secα

a) n b) 2 - n c) 1 - nd) n - 1 e) n - 2

21) Si cos3θ = m cosθ, halla: C = sen3θ cscθ

a) m b) m + 1 c) m + 2d) 2 - m e) 1 - m

22) Reduce:

C =

a) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) 6

8sen310º + 1sen10º

23) Simplifica:

L =

a) 2 b) -2 c) 3d) -3 e) 6

8cos320º - 1cos20º

24) Reduce:

C =

a) 2/3 b) 1/4 c) 3/2d) 3/4 e) 4/3

sen320º + cos310ºsen20º + cos10º

25) Calcula el valor de:

L =

a) 2/3 b) 3/2 c) 1/4d) 4 e) 3/4

sen321º + cos39ºsen21º + cos9º

26) Determina el valor de: C = sen10º sen50º sen70º

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8d) 1/16 e) 1/32

27) Determina el valor de: L = cos10º cos50º cos70º

a) 1/2 b) 3 /2 c) 1/8d) 3 /8 e) 3 /16

28) Calcula: C = sec220º sec240º sec280º

a) 22 b) 23 c) 24

d) 25 e) 26

29) Calcula: C = csc410º csc450º csc470º

a) 24 b) 28 c) 212

d) 26 e) 224

30) Calcula:

L =

a) 2-2 b) 2-3 c) 2-4

d) 2-5 e) 2-6

sen6º sen54º sen66ºsec12º sec48º sec78º

Nivel III

31) Reduce:

C =

a) tgθ b) -tgθ c) ctgθd) -ctgθ e) -1

sen3θ - 2senθ + 3sen3θ cos3θ + 2cosθ - 3cos3θ

32) Reduce: L = (sen3x - 2senx) ctgx

a) 1 b) cos3x c) -cos3xd) 2cos3x e) -2cos3x

33) Reduce: C = (cos3x + 2cosx) tgx

a) 1 b) cos3x c) -cos3xd) sen3x e) -sen3x

34) Reduce:

L =

a) tgα b) -tgα c) ctgαd) -ctgα e) -1

sen3α - senα + 2sen3α cos3α + cosα - 2cos3α

35) Siendo: sen3θ = 1/2 senθ , determina el valor de cos6θ sec2θ

a) 11/4 b) -11/4 c) 7/4d) -7/4 e) -13/4

36) Si: cos3ϕ = n cosϕ, halla: L = sen6ϕ csc2ϕ

a) n(n + 1) d) n(n - 2)b) n(n - 1) e) n2 - 1c) n(n + 2)

37) Reduce: C = (sen3θ - 2senθ)(cos3θ + 2cosθ)

a) sen6θ d) 1/2 sen6θb) 2sen6θ e) -1/2 sen6θc) -sen6θ

38) Reduce:

L =

a) 1 d) 1 - sen2θb) sen2θ e) 1/2 sen2θc) 1 + sen2θ

sen3θctgθ+cos3θtgθ+senθ-cosθ2 2 cos(45º + θ)

39) Sabiendo que:

= acos4x + bcos2x + c,

calcula L = (a + b)c

a) 6 b) 12 c) 15d) 18 e) 24

1 - cos6x1 - cos2x

40) Sabiendo que:

= a3 - 3a + 1

determina “a”

a) cosx b) 2cosx c) 3cosxd) senx e) 2senx

1 + cos9x1 + cos3x



I. E. P.


41) Calcula: C = sen310º + sen350º + sen370º

a) 3sen70º - 1/2b) (3/2) sen70º - 1/4c) (3/4) sen70º - 1/2d) (3/4) sen70º - 1/8e) (3/2) sen70º - 1/8

42) Calcula: L = cos320º - cos340º - cos380º

a) 1/4 b) 1/8 c) 3/4d) 3/8 e) 3/16

43) Si: x + y = π/6; reduce:

C =

a) 1/3 b) 1/4 c) 3/2d) 3/4 e) 2/3

sen3x + cos3ysenx + cosy

44) Calcula:

L =

a) 1 b) 2 c) -1d) 1/3 e) 1/2

8cos220º - sec20º8sen210º + csc10º

45) Del gráfico, calcula “θ”.

a) 28º b) 42º c) 48ºd) 24º e) 56º

A

B

C

D

14º

46º16º

θ

46) Del gráfico, calcula “ϕ”.

a) 36º b) 54º c) 27ºd) 63º e) 48º

A C

B

D

18º

78º

42º ϕ

47) Reduce:C = sen3θ + (1/3) sen33θ + (1/9) sen39θ

+ (1/27) sen327θ si 82θ = π

a) (10/27) senπ/82b) (5/8) senπ/82c) (20/27) senπ/82d) (5/27) senπ/82e) (40/27) senπ/82

49) Simplifica: L = cos3θ + cos3(120º - θ) +

cos3(120º + θ)

a) 3 cos3θ d) (3/4) cos3θb) cos3θ e) (3/2) cos3θc) (1/4) cos3θ

48) En la C. T. mostrada, halla el área de la región sombreada en función de “θ”.

a) sen22θ d) 2 sen22θb) sen32θ e) (1/2) sen32θc) 2 sen32θ

50) Del gráfico, calcula: L = 6 ctgϕ + 5 ctg2θ

a) 12/ 7 d) 18/ 7b) 24/ 7 e) 21/ 7c) 6/ 7

A B

T

O1

O2θ

ϕ3θ5 1

La trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía, estudia triángulos esféricos, figuras formadas por arcos de circunferencia máximas contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo esférico, al igual que el triángulo plano, tiene seis elementos: los tres lados (a, b y c) y los tres ángulos (A, B y C). Sin embargo, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares en vez de l ineales, y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada por el ángulo central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana, hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo, que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos.

A' A

B

B'

x

y

C.T.

θ

3θ


Trigonometría




En (6):

senx-seny = 2sen cos

En (7):

cosx+cosy = 2cos cos

En (8):cosx - cosy = -2sen sen

cosx - cosy = 2sen sen

ordenando:

cosx - cosy = 2sen sen

Transformaciones Trigonométricas

de Suma o Diferencia a Producto

Utilizar correctamente las fórmulas para transformar sumas o restas (de senos o cosenos) en producto de los mismos, básicamente para la simplificación de expresiones.

Adaptar las fórmulas anteriores a la resolución de situaciones geométricas determinadas.

CASO I: DE SUMA O DIFERENCIA DE SENOS O COSENOS A PRODUCTO

Sabemos que: sen(α + β) = senα cosβ + senβ cosα ... (1) sen(α - β) = senα cosβ - senβ cosα ... (2) cos(α + β) = cosα cosβ - senα senβ ... (3) cos(α - β) = cosα cosβ + senα senβ ... (4)

i) (1) + (2): sen(α + β) + sen(α - β) = 2 senα cosβ ... (5)

(1) - (2): sen(α + β) - sen(α - β) = 2 senβ cosα ... (6)

(3) + (4): cos(α + β) + cos(α - β) = 2 cosα cosβ ... (7)

(3) - (4): cos(α + β) - cos(α - β) = -2 senα senβ ... (8)

Si hacemos: α = α + β = x α -β = y β =

En (5): senx + seny = 2 sen cos

senx+seny=2sen cosx+y2( ( x - y

2( (senx-seny=2sen cosx - y

2( ( x+y2( (

cosx+cosy=2cos cosx+y2( ( x - y

2( (cosx-cosy=2sen seny - x

2( ( y+x2( (

Demostración

x + y2

x - y2

x+y2( ( x - y

2( (

x - y2( ( x + y

2( (

x+y2( ( x - y

2( (x+y

2( ( x - y2( (

x+y2( ( y - x

2( (

Continuando con nuestro aporte, vamos a buscar una demostración geométrica a estas fórmulas partiendo del siguiente gráfico: (AC = CE = 1)

y - x2( ( y+x

2( (

A B

C D

E

1

1

x

y

Objetivos



I. E. P.


También:cosx + cosθ = 2cos cos

hacemos: θ = π - y

cosx + cos(π - y) = 2cos cos

cosx + (-cosy) = 2cos cos

cosx - cosy = -2sen sen

∴ cosx - cosy = 2sen sen

A

P

E

D

HB

C x

ycosy

seny

cosx

seny

senx

1

1

cosx

θ

θ

90º-x

cosθ

cosθ

i) CDE: DE = senx CD = cosx = BH ABC: BC = seny = HD AB = cosy

ii) ACE: EAC = AEC = θ APC: AP = cosθ = PE

iii) AHE: y + θ + θ + 90º - x = 90º

⇒θ =

HE = AE sen(θ+y) = 2cosθ sen(θ+y) ↓senx + seny = 2 sen(θ+ y) cosθ

= 2 sen( + y) cos ( )

∴ senx+seny = 2sen cos

También:AH = AE cos(θ+y) = 2cosθ cos(θ+y) ↓cosx + cosy = 2 cos(θ+ y) cosθ

= 2 cos ( + y) cos( )

∴ cosx+cosy = 2cos cos

^ ^

x - y2

x-y2

x-y2

x+y2( ( x-y

2( (

x-y2

x-y2

x+y2( ( x-y

2( (

x+θ2( ( x-θ

2( (x+(-y)

2( ( x-(-y)2( (

Ahora bien, como:senx + senθ = 2sen cos

hacemos: θ = -ysenx+sen(-y)=2sen cos

∴ senx-seny = 2sen cosx-y2( ( x+y

2( (

x+θ2( ( x-θ

2( (

x+π-y2( ( x-π+y

2( (

x-y2( ( x+y

2( (

π2( (x - y

2+ π2( (x+y

2-

y - x2( ( y+x

2( (

1. Simplifica:

C =

Resolución:

sen80º + sen40ºcos80º + cos40º

Transformando:

C =

C =

C = = tg60º

sen80º + sen40ºcos80º + cos40º

2sen cos

2cos cos

80º+40º2( ( 80º-40º

2( (80º+40º

2( ( 80º-40º2( (

2 sen60º cos20º2 cos60º cos20º

∴C = 3

2. Simplifica:

L =

Resolución:

senx + sen3x + sen5xcosx + cos3x + cos5x

Agrupando convenientemente en la expresión:

L =

L =

factorizando:

sen5x + senx + sen3xcos5x + cosx + cos3x

2 sen3x cos2x + sen3x2 cos3x cos2x + cos3x

∴L = tg3x

L = =sen3x (2 cos2x + 1)cos3x (2 cos2x + 1)

sen3xcos3x

4. Transforma a producto: L = cos2x + cos6x + cos10x + cos14x

Resolución:

Agrupando convenientemente: L = cos14x + cos2x + cos10x + cos6x

Transformando cada pareja: L = 2cos8x cos6x + 2cos8x cos2x

Factorizando: L = 2 cos8x(cos6x + cos2x) = 2 cos8x(2 cos4x cos2x)

∴L = 4 cos8x cos4x cos2x

3. Transforma a producto: C = sen2x + sen4x + sen6x + sen8x

Resolución:

Agrupando convenientemente: C = sen8x + sen2x + sen6x + sen4x

Transformando cada pareja: C = 2sen5x cos3x + 2sen5x cosx

Factorizando: C = 2 sen5x(cos3x + cosx) = 2 sen5x(2 cos2x cosx)

∴C = 4 sen5x cos2x cosx


Trigonometría




Nivel I

Resolución:

5. En un triángulo ABC; reduce:

L = sen2A - sen2Bsen(A - B)

En el D ABC: A + B + C = 180º Transformando el numerador:

L =

L =

L = 2 cos(A + B)

pero: A + B = 180º - C L = 2 cos(180º - C) -cosC

∴L = -2 cosC

sen2A - sen2Bsen(A - B)

2 sen(A - B) cos (A + B)sen(A - B)

Resolución:

6. En un triángulo ABC, transforma a producto:

L = sen2A + sen2B + 2 senC

En el D ABC: A + B + C = 180º Transformando la expresión: L = sen2A + sen2B + 2 senC L = 2sen(A+B)cos(A-B) + 2 senC L = 2 sen (A+B) cos(A-B) + 2 senC

180º-C L = 2 sen(180º-C)cos(A-B) + 2 senC L = 2 senC cos(A - B) + 2 senC

Factorizando: L = 2 senC{ cos(A - B) + 1 }

pero: 1 + cos2θ = 2 cos2θ

L = 2 senC . 2 cos2

2 cos2 A - B2( (

A - B2( (

∴L = 4 senC . cos2 A - B2( (

7. Señala el valor máximo de: C = sen(40º + x) + sen(34º - x)

Transformando la expresión: C = sen(40º + x) + sen(34º - x)

C = 2 sen

cos

C = 2 sen37º cos(3º + x) = 2 . cos(3º + x)

C = cos(3º + x) ↓ máx

∴Cmáx = 6/5

Resolución:

40º + x + 34º - x2( (

40º + x - 34º + x2( (

máx=1

1) Reduce:

C =

a) cosx d) 2 cos2xb) 2 cosx e) 2 cos4xc) cos2x

sen7x + sen3xsen5x

2) Reduce:

L =

a) senx d) cos2xb) cosx e) cos3xc) sen2x

sen5x + senx2 sen3x

3) Calcula:

C =

a) 1 b) 1/2 c) 3d) 3 /2 e) 3 /4

sen40º - sen20ºsen10º

4) Calcula:

L =

a) 0,6 b) 0,8 c) 1,2d) 1,4 e) 1,6

sen47º - sen27ºsen10º

5) Reduce: C = cos70º + cos10º

a) cos40º d) 2 cos20ºb) 2 cos40º e) 3 cos20ºc) 3 cos40º

6) Reduce: L = cos74º + cos46º

a) cos12º b) cos14º c) cos18ºd) cos24º e) cos26º

7) Reduce: C = cos10º - cos70º

a) sen10º b) sen20º c) 1/2d) sen40º e) sen50º

8) Reduce:

L =

a) senx b) 2senx c) 2sen3xd) sen3x e) sen6x

cosx - cos5xsen2x

9) Reduce:

C =

a) tgx b) tg2x c) tg3xd) tg4x e) tg8x

sen6x + sen2xcos6x + cos2x

10) Reduce:

L =

a) tg2β b) tg4β c) tg5βd) tg10β e) tgβ

sen8β + sen2βcos8β + cos2β

11) Reduce:

C =

a) tg2θ b) tg4θ c) tg6θd) tg3θ e) tg5θ

sen2θ + sen4θ + sen6θcos2θ + cos4θ + cos6θ

12) Reduce:

L =

a) 1 b) 1/3 c) 3d) 3 e) 3 /3

sen10º + sen30º + sen50ºcos10º + cos30º + cos50º

35

65



I. E. P.


Nivel II

16) Transforma a producto:C = sen2x + sen6x + sen10x + sen14x

a) sen8x cos4x cos2x b) 2 sen8x cos4x cos2xc) 4 sen8x cos4x cos2xd) 8 sen8x cos4x cos2xe) 16 sen8x cos4x cos2x

13) Reduce:

C =

a) tgx b) tg3x c) tg5xd) tg2x e) tg4x

sen2x + sen4x + sen6x + sen8xcos2x + cos4x + cos6x + cos8x

14) Reduce:

L =

a) tg2x b) tg4x c) tg6xd) tg7x e) tg9x

senx + sen5x + sen9x + sen13xcosx + cos5x + cos9x + cos13x

15) Determina un valor de “x” que cumple:

a) 3º b) 4º c) 5ºd) 6º e) 9º

senx + sen5x + sen9xcosx + cos5x + cos9x

33=

17) Transforma a producto:L = senx + sen5x + sen9x + sen13x

a) 2 sen7x cos4x cos2x b) 4 sen7x cos4x cos2xc) 8 sen7x cos4x cos2xd) 16 sen7x cos4x cos2xe) sen7x cos4x cos2x

18) Transforma a producto:C = cos20º + cos24º + cos28º + cos32º

a) cos26º cos15º cos3ºb) 2 cos26º cos15º cos3ºc) 4 cos26º cos15º cos3ºd) 8 cos26º cos15º cos3ºe) 16 cos26º cos15º cos3º

19) Transforma a producto:L = cos10º + cos26º + cos42º + cos58º

a) cos34º cos16º cos8ºb) 2 cos34º cos16º cos8ºc) 4 cos34º cos16º cos8ºd) 8 cos34º cos16º cos8ºe) 16 cos34º cos16º cos8º

20) En un D ABC, reduce:

L =

a) senC d) -2 senCb) 2 senC e) -2 cosCc) -senC

sen2A + sen2Bcos(A - B)


L =

a) cosC d) -2 cosCb) 2 cosC e) (-1/2) cosCc) -cosC

sen2A - sen2Bsen(A - B)


L =

a) tgB d) -ctgBb) -tgB e) -tgA tgCc) ctgB

sen2A + sen2Ccos2A + cos2C


L =

a) ctgC b) -ctgC c) -tgCd) tgC e) -1

sen2A - sen2Bcos2B - cos2A

24) En un D ABC, pasa a producto: L = sen2A - sen2B + 2 sen(A - B)

a) 4 sen(A - B) sen2 (C/2)b) 4 sen(A - B) cos2 (C/2)c) 2 sen(A - B) sen2 (C/2)d) 2 sen(A - B) cos2 (C/2)e) 4 sen(A - B) sen2 C

25) En un D ABC, pasa a producto:L = cos2A + cos2C - 2 cosB

a) 4 cosB cos2 (A - C)/2b) -4 cosB cos2 (A - C)/2c) 2 cosB cos2 (A - C)/2d) -2 cosB cos2 (A - C)/2e) 4 cosB cos2 B/2

26) En un D ABC, pasa a producto:L = sen2A + sen2B + sen2C

a) 2 senA senB senCb) 4 senA senB senCc) -4 senA senB senCd) -2 senA senB senCe) 4 cosA cosB cosC

27) En un D ABC, pasa a producto:L = sen2A - sen2B + sen2C

a) 2 cosA senB cosCb) -2 cosA senB cosCc) 4 cosA senB cosCd) -4 cosA senB cosCe) -cosA senB cosC

28) Señala el valor máximo de: C = sen(40º + x) + sen(20º - x)

a) 1 b) 2 c) 3d) 3 /2 e) 1/2

29) Señala el valor máximo de: L = sen(50º + x) + sen(x - 10º)

a) 1 b) 2 c) 3d) 3 /2 e) 1/2

30) Señala el valor máximo de: C = cos(70º + x) + cos(x - 50º)

a) 1 b) 1/2 c) 3d) 3 /2 e) 2

Nivel III

31) Reduce:

C =

a) tgx d) ctg(x - y)b) ctgx e) tg(x - y)c) tgx tg(x - y)

sen(2x - y) + senycos(2x - y) + cosy

32) Reduce:

L = + ctg2x

a) 2 ctg4x d) csc4xb) ctg4x e) 4 csc4xc) 2 csc4x

sen5x - senxcos5x + cosx


Trigonometría




33) Reduce:

C =

a) tg(x/2 - y/2)b) tg(x/2 + y/2)c) tg(45º + x/2 + y/2)d) tg(45º - x/2 + y/2) e) ctg(45º - x/2 + y/2)

senx + cosycosx + seny

34) Reduce:

L =

a) tgx b) ctgxc) tg(45º + x)d) ctg(45º + x)e) tg(45º + 3x)

sen2x + 3cos(45º + x) + cos4xcos2x + 3 sen(45º + x) + sen4x

35) En un triángulo ABC, reduce:

L =

a) sen2A d) -2 sen2Ab) 2 sen2A e) -2 cos2Ac) -sen2A

{ } sen2B-sen2Csen(B-C) { }cos2B-cos2C

sen(B-C)


L =

a) sen2C d) -2 sen2Cb) 2 sen2C e) -1/2 sen2Cc) 1/2 sen2C

{ }sen2A + sen2B + 2senCcos2 (A - B)/2

{ }sen2A - sen2B - 2cosC1 + sen(A - B)

37) En un triángulo ABC, transforma a producto:

L = senA + senB + senC

a) 4 senA senB senCb) 4 senA/2 cosB/2 cosC/2c) 4 cosA cosB cosCd) 4 cosA/2 cosB/2 cosC/2e) 2 senA/2 senB/2 senC/2

38) En un triángulo ABC, transforma a producto:

L = 1 - cosA + cosB + cosC

a) senA/2 cosB/2 cosC/2b) 2 senA/2 cosB/2 cosC/2c) 4 senA/2 cosB/2 cosC/2d) 4 cosA/2 senB/2 senC/2e) 2 senA/2 senB/2 senC/2

39) En qué tipo de triángulo ABC se cumple:

sen2A + sen2B = 2 senC

a) Acutángulob) Rectánguloc) Isóscelesd) Obtusánguloe) Rectángulo isósceles

40) En un triángulo ABC se cumple: sen2A - sen2B = sen2A - sen2B

luego:

I. El tr iángulo puede ser isósceles.

II. El tr iángulo puede ser obtusángulo.

III. El tr iángulo puede ser equilátero.

Entonces son correctas:

a) Sólo I d) Sólo IIb) I y II e) Todasc) Solo III

41) Si se cumple: sen78º + sen20º - sen40º + sen18º

= k sen19º cos29º halla "k".

a) 2 3 b) 3 c) 4 3d) 4 e) 2

42) En la igualdad:(sen9x-sen7x)(cos5x+cos3x)(cos18x+cos14x)

= senax/b calcula: (a - b)/2

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

43) Si: senx + sen3x + sen5x = a cosx + cos3x + cos15x = b determina cos6x

a) 2ab/(a2 + b2)b) 2ab/(a2 - b2)c) 2ab/(b2 - a2)d) (b2 - a2)/(b2 + a2)e) ab/(a2 + b2)

44) En un triángulo rectángulo los catetos miden:

a = sen10º+sen12º+sen14º+sen16ºb = cos10º+cos12º+cos14º+cos16º calcula la medida del menor

ángulo agudo de dicho triángulo.

a) 10º b) 12º c) 24ºd) 26º e) 13º

45) Si los catetos de un triángulo rectángulo miden:

a = senx + 2 sen3x + sen5x b = cosx + 2 cos3x + cos5x halla la hipotenusa.

a) 2 cos2x d) 4 cos22xb) 4 cos2x e) 4 cos2 x/2c) 2 cos22x

46) Si los catetos de un triángulo rectángulo miden:

a = sen2x + sen4x + sen6x + sen8xb = cos2x + cos4x + cos6x + cos8x halla la hipotenusa. (0 < x < π/4)

a) 2 cos2x cosxb) 4 cos2x cosxc) 4 cos3x cos xd) 2 cos3x cosxe) 2 sen2x cosx

47) Si x + y = θ ; π < θ < 2π, señala el valor máximo de: C = cosx + cosy

a) 2 senθ/2 d) -2 cosθ/2b) 4 senθ/2 e) -4 cosθ/2c) 2 cosθ/2

48) Si x + y = ϕ ; 2π < ϕ < 5π/2 señala el valor máximo de:

L = senx + seny + cosx + cosy

a) 2 senϕ/2 b) -2 senϕ/2 c) -2 2 senϕ/2d) 2 2 sen(ϕ/2 + π/4)e) -2 2 sen(ϕ/2 + π/4)



I. E. P.


Utilizar correctamente las fórmulas para transformar productos de senos y/o cosenos, en sumas o diferencias de los mismos, básicamente para la simplificación de expresiones.

R e d u c i r c o r r e c t a m e n t e sumatorias de senos o cosenos de ángulos que se encuentran en progresión aritmética.

2senx cosy = sen(x+y) + sen(x-y)

CASO II:DE PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS A SUMA O DIFERENCIA

Demostración

Partiremos de:

2cosx cosy = cos(x+y) + cos(x-y)

2senx seny = cos(x-y) - cos(x+y)

senx cosy + seny cosx = sen(x+y)senx cosy - seny cosx = sen(x-y)

Sumando: 2senx cosy = sen(x+y) + sen(x-y)

También: cosx cosy - senx seny = cos(x+y)cosx cosy + senx seny = cos(x-y)

Sumando: 2cosx cosy = cos(x+y) + cos(x-y)

Restando: -2senx seny = cos(x+y) - cos(x-y)

2senx seny = cos(x-y) - cos(x+y)

SUMATORIAS DE SENOS Y COSENOS DE ÁNGULOS EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Tenemos dos sumatorias, una de senos y otra de cosenos de ángulos en progresión aritmética de razón "r" y teniendo "n" términos cada una. Se reducirán así:

senP+sen(P+r)+sen(P+2r)+sen(P+3r)+ ... +senU=sen

sen

nr2r2

(P+U)2

sen.

cosP+cos(P+r)+cos(P+2r)+cos(P+3r)+ ... +cosU=sen

sen

nr2r2

cos.

Donde: P : Primer ángulo U : Último ángulo

r : Razón de la P.A. n : Número de términos

1. Sea A = senP+sen(P+r)+sen(P+2r)+ ... + sen(P+(n-1)r)

multiplicamos por "2 sen ".

U

r2

Transformaciones Trigonométricas

de Producto a Suma o Diferencia

Objetivos

P+U2( (

Demostración


Trigonometría




P+(n-1)r+r/2-P+r/22[ ]

2A sen r/2 = 2senP sen r/2 + 2sen (P + r) sen r/2 + 2sen (P + 2r) sen r/2 + ... + 2sen (P + (n-1)r) sen r/2

Transformando a resta de cosenos:

2A sen r/2 = cos (P - r/2) - cos (P + r/2) +

cos (P + r/2) - cos (P + 3r/2) +

cos (P + 3r/2) - cos (P + 5r/2) +

cos(P+(n-1)r - r/2) - cos(P+(n-1)r + r/2)

Reduciendo quedaría:

2A sen r/2 = cos (P - r/2) - cos ( P + (n - 1)r + r/2)

2A sen r/2 = 2 sen sen

2A sen r/2 = 2 sen nr/2sen (U+P)/2

Despejando: A =

U

sen

sen r/2

nr2

(P+U)2

sen.

[ ]P+(n-1)r+r/2+P-r/22

U

∴senP+sen(P+r)+sen(P+2r)+...+senU =

2. Análogamente, sea: B = cosP+cos(P+r)+cos(P+2r)+...+cos(P+(n-1)r)

Multiplicamos por "2 sen r/2".

U

2B senr/2=2sen r/2 cosP+2sen r/2 cos(P+r)+2sen r/2 cos(P+2r)+...+2sen r/2 cos(P+ (n-1)r)

Transformando: (2senx cosy = sen(y+x) - sen(y-x))

2B sen r/2 = sen (P + r/2) - sen (P - r/2) +

sen (P + 3r/2) - sen (P + r/2) +

sen (P + 5r/2) - sen (P + 3r/2) + sen(P+(n-1)r + r/2) - sen (P+(n-1)r - r/2)

Reduciendo, quedaría:

2B sen r/2 = sen (P+ (n - 1)r + r/2) - sen (P - r/2)

2B sen r/2 = 2 sen cos

U

P+(n-1)r+r/2-P+r/22[ ] [ ]P+(n-1)r+r/2+P-r/2

2

2B sen r/2 = 2 sen nr/2. cos

Despejando:

B= sen

sen r/2

nr2 (P+U)

2cos.

sen

sen r/2

nr2

(P+U)2

sen.

∴cosP+cos(P+r)+cos(P+2r)+

...+cosU =sen

sen r/2

nr2

(P+U)2

cos.

1. Reduce:

Resolución:

Transformando los productos:

∴C = 1

C = 2sen4x cos3x - sen7x2sen5x cos4x - sen9x

sen(4x+3x) + sen(4x-3x)- sen(5x+4x) + sen(5x-4x)-

= senxsenx

sen7xsen9x

P+U2( (

= 1



I. E. P.


2. Simplifica: C = sen4x cosx + senx cos6x + sen2x cos5x

Resolución:

Multiplicando por 2 a la expresión y luego transformamos: 2C = 2sen4x cosx + 2senx cos6x + 2sen2x cos5x 2C = sen5x + sen3x + sen7x + sen(-5x) + sen7x + sen(-3x) 2C = sen5x + sen3x + sen7x - sen5x + sen7x - sen3x

∴C = sen7x Reduciendo: 2C = 2 sen7x

3. Reduce: L = cos5x cos3x + sen7x senx - cos4x cos2x

Resolución:

Multiplicando por 2 y transformamos la expresión: 2L = 2 cos5x cos3x + 2 sen7x senx - 2 cos4x cos2x 2L = cos8x + cos2x + cos6x - cos8x - (cos6x + cos2x) 2L = cos8x + cos2x + cos6x - cos8x - cos6x - cos2x

∴L = 0 Reduciendo: 2L = 0

4. Transforma a suma o diferencia: C = 4cos7x cos3x cosx

Resolución:

Ordenando: C = 2 (2 cos7x cos3x) cosx = 2 (cos10x + cos4x) cosx

C = 2 cos10x cosx + 2 cos4x cosx

∴C = cos11x + cos9x + cos5x + cos3x

Transformando:

5. Indica en qué tipo de triángulo ABC, se cumple: senA senB = cosC

Resolución:

Multiplicando por 2 en la condición y transformando: 2 senA senB = 2 cosC ⇒cos(A-B) - cos(A+B) = 2 cosC Pero: A + B + C = 180º ⇒A + B = 180º - C cos(A-B) - cos(180º-C) = 2 cosC cos(A-B) - (-cosC) = 2 cosC cos(A-B) + cosC = 2 cosC ⇒ cos(A-B) = cosC

∴Es un triángulo rectángulo.

Igualando los ángulos: A - B = C ⇒A = B + C ⇒A = 90º

6. Reduce: L=sen2º+sen4º+sen6º +...+sen178º

Resolución: Notamos que los ángulos se hallan

en progresión aritmética, así que podemos usar la fórmula de sumatorias de senos, para ello debemos reconocer primero:

∴L = ctg1º

L= sen2º+sen4º+sen6º+...+sen178º

P = 2º r = 2ºU = 178º n = 178-2

2 +1=89

Luego:

L = sen

sen r/2

nr2 (P+U)

2sen.

= sen89ºsen1º

sen 90º.

1º

(ángulos complementarios)

L = sen89ºsen1º

, pero : sen89º=cos1º

L = cos1ºsen1º

7. Calcula: C=cosπ/13 + cos3π/13 + cos5π/13 + cos7π/13 + cos9π/13 + cos11π/13

Resolución:

En la expresión, se nota una sumatoria de cosenos de ángulos en progresión aritmética:

P = π/13 r = 2π/13U = 11π/13 n = 6

Luego:

C = sen

sen r/2

nr2 cos.

C=cosπ/13 + cos3π/13 + cos5π/13 + ... + cos11π/13

= sen

sen π/13

6π13

cos.

6π13

P+U2( (


Trigonometría




Nivel I

1) Reduce: C = 2 sen20º cos17º - sen3º

a) 0,2 d) 0,5 b) 0,4 e) 0,3 c) 0,6

2C =

π13

2 sen6 π13

cos6

π13

sen =

12π13

sen

π13

sen

2C =

π13

sen(π- )

π13

sen=

π13

sen

π13

sen⇒2C = 1

∴C = 12

Este último problema nos lleva a formular la siguiente propiedad:

• ∀n ∈Z , n : impar > 1

cos πn

+ cos +3πn

cos +5πn

cos +7πn

... + cos(n-2) πn

= 12

cos + cos +4πn

cos +6πn

cos +8πn

... + cos(n-1) πn

= - 12

2πn

2) Reduce: L = 2 sen40º cos 13º - sen27º

a) 0,2 d) 0,8 b) 0,4 e) 0,96 c) 0,6

2sen2x cos3x - sen5xcosx

3) Reduce: C =

a) 1 d) -tgx b) tgx e) -senx c) -1

2 senx cos5x + sen4x2 sen7x cosx - sen8x

4) Reduce: L =

a) 1 d) -tg6x b) tg6x e) -ctg6x c) -1

2 cos4θ cos3θ - cos7θsen2θ

5) Reduce: C =

a) 2cscθ d) cscθ b) (1/2)cscθ e) 2senθ c) secθ

2 sen4θ cos2θ - sen6θ2 cos5θ cos4θ - cos9θ

6) Reduce: L =

a) 1 d) 2 cosθ b) tgθ e) 2 senθ c) tg2θ

7) Reduce: C = +1

a) cos2x d) -2 cos2x b) 2cos2x e) (1/2)cos2x c) -cos2x

2 sen7x sen4x + cos11xctgx senx

8) Reduce: L =

a) 1 d) 3 b) 3 e) 3/3 c) 1/3

2 sen40º sen20º - cos20º2 sen17º sen13º - cos4º

9) Reduce: C = sen3x cos2x + sen3x cos4x +

senx cos6x

a) sen5x d) -sen7x b) -sen5x e) -sen9x c) sen7x

10) Reducir:

L = sen16º cos4º + sen5º cos25º + sen9º cos21º

a) 1 d) 2 b) 1/2 e) 2/2 c) 3

11) Reduce:

C = cos3x cosx - sen5x senx + sen4x sen2x

a) cos2x d) -cos6x b) cos4x e) -cos4x c) cos6x

12) Reduce:

L = cos3x cos2x + sen2x senx + sen4x senx

a) 0 d) cosx b) cos3x e) -cosx c) -cos3x



I. E. P.


13) Reduce: C =

a) tg2x d) ctg4x b)ctg2x e) ctg3x c) tg4x

cos3x cos2x - sen2x senxsen6x cosx - sen2x cos5x

14) Reduce: L =

a) 1 d) 3 b) 3 e) 1/3 c) 3/3

sen24ºcos11º+sen6ºcos19ºcos26º cos9º - sen21º sen4º

15) Reduce: C =

a) tgx d) tg4x b)tg2x e) tg5x c) tg3x

sen6x cosx - senx cos4xcos9x cos2x+sen7x sen4x

Nivel II

16) Transforma: C = 4 cos5θ cos3θ cosθ

a) cos9θ+cos7θ+cos3θ+cosθ b) cos9θ+cos7θ+cos5θ+cos3θ c) cos9θ+cos7θ-cos3θ-cosθ d) cos9θ+cos7θ-cos5θ-cos3θ e) cos7θ+cos5θ+cos3θ+cosθ

17) Transforma: L = 4 cos7θ cos3θ cosθ

a) cos11θ+cos9θ+cos5θ+cos3θ b) cos11θ+cos9θ+cos7θ+cos5θ c) cos11θ+cos9θ-cos5θ-cos3θ d) cos11θ+cos9θ-cos7θ-cos5θ e) cos11θ+cos5θ+cos3θ+cosθ

18) Transforma: C = 4 sen4θ cos2θ senθ

a) cos7θ-cos5θ+cos3θ-cosθ b) cos7θ+cos5θ+cos3θ+cosθ c) cosθ-cos3θ+cos5θ-cos7θ d) cosθ+cos3θ-cos5θ-cos7θ e) cos7θ+cos5θ-cos3θ-cosθ

19) Transforma: L = 4 cos5θ sen2θ senθ

a) cos2θ+cos4θ+cos6θ+cos8θ b) cos2θ+cos4θ-cos6θ-cos8θ c) cos2θ-cos4θ+cos6θ-cos8θ d) -cos2θ+cos4θ+cos6θ-cos8θ e) cos2θ-cos4θ-cos6θ+cos8θ

20) Determina el máximo valor de: C = sen(x+10º) sen (x-20º)

a) 3 d)

b) e)

c)

343+1

2

3+14

3+24

21) Determina el máximo valor de: L = sen(30º+x) cos(7º - x)

a) 0,2 d) 0,6 b) 0,3 e) 0,8 c) 0,4

22) En un ∆ABC, transforma: L = 4 senA cosB cosC

a) sen2A - sen2B - sen2C b) -sen2A + sen2B + sen2C c) sen2A - sen2B + sen2C d) cos2A - cos2B - cos2C e) cos2B + cos2C - cos2A

23) En un ∆ABC, transforma: L = 4 cosA cosB senC

a) sen2A + sen2B - sen2C b) cos2A + cos2B - cos2C c) sen2C - sen2A - sen2B d) cos2C - cos2A - cos2B e) 1+cos2C - cos2A - cos2B

24) En un ∆ ABC se cumple: senA senC = cosB ¿Qué tipo de

triángulo es?

a) Isósceles d) Rectángulo b) Acutángulo e) Obtusángulo c) Equilátero

25) En un ∆ABC se cumple: senA cosB = senC. ¿Qué tipo de

triángulo es?

a) Isósceles d) Rectángulo b) Acutángulo e) Obtusángulo c) Equilátero

sen28ºsen2º

26) Reduce: C=sen4º+sen8º+sen12º+...+sen56º a) d)

b) e)

c)

3 sen28ºsen2º

2 sen28ºsen2º

sen28º2 sen2º3 sen28º2 sen2º

sen28º30'sen1º30'

27) Reduce: L = cos3º+cos6º+cos9º+...+cos57º

a) d)

b) e)

c)

sen57ºsen3º

3

3

sen28º30'2 sen1º30'3

sen57º2 sen3º3

sen28º30'2 sen1º30'

sen36ºcos35ºsen3º

28) Reduce: C=cos2º+cos8º+cos14º+...+cos68º

a) d)

b) e)

c)






Trigonometría




30) Calcular:

C=cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7 a) 1 d) -1/2 b) -1 e) -2 c) 1/2

Nivel III

29) Reduce: L=sen5º+sen9º+sen13º+...+sen81º a) d)

b) e)

c)

sen40ºsen43ºsen4º





1+cos3xsenx

31) Reduce: C = + 2 sen2x

a) sen x/2 d) ctg x/2 b) cos x/2 e) 2ctg x/2 c) tg x/2

1+sen5xsen2x

32) Reduce: L = -2 cos3x-1/2secx

a) senx d) ctg2x b) sen2x e) csc2x c) ctgx

33) Reduce: C=sen4xcos3x+sen4xcos5x+ sen2x cos7x-senx cos6x

a) sen5x d) senx b) sen7x e) 0 c) sen9x

34) Reduce: L=cos5x cos2x+cos2x cosx - sen3x sen2x - cos6x cosx

a) secx d) 2cos3x b) cosx e) cos3x c) 2cosx

1 - sen9x2senx

35) Simplifica: C = +cos2x + cos4x

+ cos6x + cos8x

a) 1 d) 1/2 b) secx e) 1/2 cscx c) cscx

cos7xcosx

36) Simplifica: L = - 2cos2x + 2cos4x

- 2 cos6x

a) 1 d) 2 b) 1/2 e) -1 c) -1/2

-1+cos8θcos2θ

37) Reduce: C = + 2 cos2θ+

2 cos4θ - 2 cos6θ - 2 cos8θ

a) 4 sen2θ sen6θ b) 2 sen2θ sen6θ c) 1 d) 2 cos2θ sen6θ e) 4 cos2θ sen6θ

sen(2n+1)θ2cosθ

38) Reduce: (n : impar) L = - sen2θ+sen4θ-

sen6θ +..."n" términos

a) d) 1/2 tgθ

b) e) -1/2 tgθ

c)

2 sen2nθcosθ

sen2nθ2 cosθ

sen2nθcosθ

39) Si: x + y = θ; señala el valor máximo de C = senx seny

a) sen2θ d) 2 sen2

b) sen2 e) 2 cos2

c) 2 sen2θ

θ2

θ2

θ2

40) Si: x + y = θ;θ∈IC; señala el valor mínimo de:

L = tgx + tgy

a) tg2 d) 2 tgθ

b) 2 tg2 e) tgθ

c) 2 tg

θ2

θ2

θ2

41) Reduce: C = {cos(2k-1)x}

a) sen14x cscx

b) sen14x cscx

c) cos14x cscx

d) cos14x cscx

e) sen14x secx

∑7

k=1

12

1212



I. E. P.


Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral, uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de variables x. Newton encontró la serie para el senx y series similares para el cosx y la tgx. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

42) Reduce: L = {sen2k}

a) 2 sen29º csc1º

b) sen29º csc1º

c) sen29º sec1º

d) sen29º csc1º

e) 2 sen29º sec1º

1212

∑29

k=1

43) Calcula: C = {cos(2k-1)π/11}

a) 1/2 d) 2 b) -1/2 e) -2 c) 1

∑5

k=1

44) Calcula: L = {cos2k π/23}

a) 1 d) -1/2 b) -1 e) -2 c) 1/2

∑11

k=1

45) Calcula: C = {sen2 k π/7}

a) 7 d) 5/2 b) 7/2 e) 5/4 c) 7/4

∑3

k=1

46) Calcula: L = {cos2 k π/13}

a) 11 d) 13/2 b) 11/2 e) 13/4 c) 11/4

∑6

k=1

47) Determina: C = {sec 2k π/7}

a) 4 d) -4 b) 8 e) -2 c) -8

∑3

k=1

48) Determina: L = sen sen2 sen3

a) 7 d)

b) e) c)

π7

π7

π7

7274

787

16

49) Determina el valor de: C=cos52 +cos54 +cos5 6

a) 1 d) -1/2

b) -1 e) -2 c) 1/2

π7

π7

π7

50) Si en un triángulo ABC se verifica que:

L = sen3A sen3A + sen3B sen3B

+ sen3C, equivale a:

"m cos cos cos +ncos3A

cos3B cos3C+p"

Calcula: 2m - 3n - p

a) 3 d) 2 b) 6 e) 0 c) 4

A2

B2

C2


Trigonometría




Miscelánea

1.er Simulacro de Examen Bimestral

Parte I : Aspectos Conceptuales


sen(x - y)cos(x - y)cos(x + y)sen(x + y)

senx cosy + seny cosxsenx cosy - seny cosxcosx cosy - senx senycosx cosy + senx seny


cos2θsen2θ

cos2θ - sen2θ2 senθ cosθ1 - 2 sen2θ

3) Asocie mediante flechas:

senθ/2cosθ/2tgθ/2

± 1 - cosθ2

± 1 + cosθ2

cscθ - ctgθ


sen3θcos3θ

4 cos3θ - 3cosθ3 senθ - 4 sen3θ

5) Completa los espacios en blanco:

* senx+seny=2sen ...........

* cosx+cosy=2cos ...........

x + y2( (

x - y2( (

6) Completa los espacios en blanco:

* 2 senx cosy = sen(x + y) + ................

* 2 cosx cosy = cos(x + y) + ................

* 2 senx seny = cos(x - y) - ................

Parte II : Habilidad Operativa

7) Siendo “α” y “ϕ” ángulos agudos, tales que tgα = 3 y tgϕ = 6. De-termina cos(α + ϕ).

Resolución:

Resolución:

8) Simplifica:

C = sen2θ + 2 senθ1 + cos2θ + 2cosθ

Resolución:

9) Siendo cosϕ = 1/5 ; 270º < ϕ < 360º, determina senϕ/2.

Resolución:

10) Siendo cosθ = 2/3, determina el valor de:

C = sen3θsenθ

Resolución:

11) Simplifica:

C = sen2x + sen4x + sen6xsenx + sen3x + sen5x



I. E. P.


Parte III : Situaciones problemáticas

15) Si las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0, son “tgα” y “tgβ”,

determine tg(α + β) en función de a, b y c.

Resolución:

Resolución:

12) Reduce:

L = 2 sen5θ cosθ - sen6θ + sen2θ2 cos4θ cos3θ - cos7θ

Resolución:

13) Simplifica: C = sen4º + sen8º + sen12º + ...

44 términos.

Resolución:

14) Reduce: C = csc2x+csc4x + csc8x + ctg8x

16) Si en el gráfico se comprueba que S2/S1 = coskθ - m, determina k.m

Resolución:

A B

D

C

S1

S22θ

θ

Resolución:


L = sen2A + sen2B - sen2Csen2A - sen2B + sen2C

18) Determina el valor de: C = cos2π/11 + cos22π/11 +

cos23π/11 + cos24π/11 + cos25π/11

Resolución:

Parte IV : Demostraciones

Resolución:

19) Si tgα + tgβ + tgθ = n, demuestra que:

+ + =2nsen(α+β)cosα cosβ

sen(β+θ)cosβ cosθ

sen(θ+α)cosθ cosα

Resolución:

20) Dada la expresión:C = asen2x + bsenx cosx + ccos2x demuestra que:Cmáx = a + c + a2 + b2 + c2 - 2ac

Resolución:

21) Si en el gráfico OP = L; demuestra que el máximo valor de:

C = PQ + PS es 2L senθ/2

O

Q

S

P

θ

Resolución:

22) Demuestra que:

Σ {sen2kθ} = n/2; ∀ θ = π/(2n+2) n ∈ Z+

n

K=1


Trigonometría




2.o Simulacro de Examen Bimestral

Parte I : Aspectos Conceptuales


* sen(x + β) = senx cosβ + ....................

* cos(x + β) = .................... - senx senβ

* sen(x + θ) sen(x - θ) = sen2x - ....................


* sen2θ = 2 senθ ....................

* cos2θ = cos2θ - ...................

* cos2θ = ................... - 1

3) Complete según corresponda:

* senθ/2 =

* cosθ/2 =

* tgθ/2 = cscθ - .............................

±2

±2

4) Completa según corresponda:

* sen3θ = 3 senθ - .................

* cos3θ = ................. - 3 cosθ

* sen3θ = senθ(................ + 1)


* senx+seny=2sen ...........

* senx-seny=2 .............. cos

* cosx+cosy=2cos ...........

x + y2( (

x + y2( (

x + y2( (

6) Complete según corresponda:

* 2senx cosy= ... + sen(x - y)

* 2cosx cosy = ... + cos(x - y)

* 2senx seny = ... - cos(x + y)

Parte II : Habilidad Operativa

Resolución:

7) A partir de:

calcula sen(β - α).3

2α

5

2β

Resolución:

8) Siendo “ϕ” un ángulo agudo, tal que ctgϕ = 4, calcula “sen2ϕ” y “cos2ϕ”.

Resolución:

9) Si cosα = -2/3; 180º < α < 270º, determina cosα/2

Resolución:

10) Reduce: C = csc40º + csc80º + csc160º +

ctg160º

Resolución:

11) Halla un valor de “x”, tal que:

= sen5x + senxcos5x + cosx

33

Resolución:

12) Calcula:

C = 2 sen27º cos10º - sen17º2 cos32º cos 13º - cos19º

Resolución:

13) Simplifica:

L = sen3θ + sen3θsen2θ

Resolución:

14) Reduce: C = cos2º + cos4º + cos6º + ... +cos88º



I. E. P.


Parte III : Situaciones problemáticas

15) De acuerdo al gráfico, determina “tgϕ” si ABCD es un cuadrado.

Resolución:

A

B

D

C

E

M

7

2

ϕ

F1

Resolución:

16) Sabiendo que:

= 8

determina tg3θ.

(sen2θ + 2senθ) vers θ(sen2θ + 2cosθ) cov θ

Resolución:

17) En un triángulo ABC: sen2A + sen2B = 2 senC ¿Qué tipo de triángulo es?

Resolución:

18) Calcula:C = sen2π/7 + sen22π/7 + sen23π/7

Parte IV : Demostraciones

Resolución:

19) Demuestra que en un triángulo oblicuángulo ABC se cumple:

cos(A-B)senA senB

cos(B-C)senB senC

cos(C-A)senC senA+ + =4

Resolución:

20) Demuestra que: tg(45º-x) - tg(45º+x) = -2tg2x

21) Si en el gráfico, OP = L; demuestra que el máximo valor de C = PQ . PS es L2 sen2θ/2.

Resolución:

O

Q

S

P

θ

Resolución:

22) Demuestra que:

Σ {cos2kϕ} = n

K=1

n2

sennϕ cos(n+1)ϕ2 senϕ+


Trigonometría




Funciones Trigonométricas Reales I

Objetivos

Estudiar el dominio, rango y gráfica de las funciones trigonométricas básicas para a partir de ellas analizar a otras más complejas.

Reconocer gráficamente a las funciones trigonométricas b á s i c a s y s o b r e e l l a s resolver cualquier situación problemática.

DEFINICIONES PREVIAS

1. Función Creciente

Una función "f " es creciente en un intervalo I, si para todo x1, x2 ∈ I se cumple que:

Si x1 < x2 ⇒f(x1) < f(x2)

f(x2)

f(x1)

x1 x2 x

y

I

y = f(x)

2. Función Decreciente

Una función "f " es decreciente en un intervalo I, si para todo x1, x2 ∈ I se cumple que:

Si x1 < x2 ⇒f(x1) > f(x2)

f(x2)

f(x1)

x1 x2 x

y

I

y = f(x)

3. Función Continua

Sean "f " y "g" dos funciones reales definidas en un mismo intervalo, pero cuyas gráficas se representan del siguiente modo.

g(a)

a x

y

y=g(x)

Notará que en las cercanías de x=a, el comportamiento de "f " es ininterrumpido y "continuo"; mientras que el de "g" presenta una ruptura, un "salto",... una "discontinuidad" en el punto x=a.

Una función se llama continua en un punto x=a de su dominio si en las proximidades de "a", f(x) está próximo de f(a). Gráficamente, en el punto x=a no deben existir "rupturas" ni "saltos" en la curva que lo representa.

↓f(a)↑

→a ← x

y

y=f(x)

"f " continua en x=a

f(a)

a x

y

y = f(x)



I. E. P.


"f " discontinua en x=a

Matemáticamente, se usa el concepto del límite de una función así: "f " es continua en x=a si:

i) f(a) existeii) Lim f(x) existe x→aiii) Lim f(x) = f(a) x→a

Entendiéndose el Lim f(x); x→a como el valor hacia el cual tiende f(x) cuando x tiende a "a", cuando x se aproxima a "a".

Esta aproximación a "a" puede hacerse con valores mayores que "a" a lo cual se dice aproximación para la derecha de "a" (x→a+); o puede hacerse con valores menores que "a", a lo cual se dice aproximación por la izquierda de "a" (x→a¯), verificándose que:

Lim f(x) existe, si y solo si: x→a

Lim f(x) = Lim f(x) x→a+ x→a¯

Además que: Lim {f(x)± g(x)} = Lim f(x)± Lim g(x) x→a x→a x→a

Lim {kf(x)} = k . Lim f(x) x→a x→a

Lim {f(x)g(x)} = Lim f(x). Lim g(x) x→a x→a x→a

Lim x→a

Lim {k} = k; k: cte. x→a

{ f(x)g(x)} =

Lim f(x)x→aLim g(x)x→a

2) Lim g(x); si g(x) = x→3

Tendremos, al evaluar x=3: g(3) = =

Pero: Lim g(x) = Lim = Lim x→3 x→3 x→3

= Lim = = ⇒ Lim g(x) = x→3 x→3

x2 - 9x2 - 2x - 3

32 - 932 - 2(3) - 3

00

{ }( )x2 - 9x2 - 2x - 3 { }(x+3)(x - 3)

(x - 3)(x+1)

( )x+3x + 1

64

32

32

↓

f(a)↑

→a ← x

y

y=f(x)

Debiendo tener en cuenta que en el cálculo de algunos límites llegaremos a formar indeterminadas del tipo 0/0; ∞/∞; etc.; que tendremos que ir levantando. Por ejemplo, calculemos:

1) Lim f(x); si f(x) = x→2

Tendremos, al evaluar x=2 : f(2) = =

Pero: Lim f(x) = Lim = Lim x→2 x→2 x→2

= Lim (x+2) ⇒ Lim f(x) = 4 x→2 x→2

22- 4 2 - 2

00

{ x2-4x - 2 }( ) { (x+2)(x - 2)

(x - 2) }

x2- 4 x - 2

3) Lim h(x); si h(x) = x→

Tendremos, al evaluar x = : h( ) = = =

Pero: Lim h(x) = Lim = Lim x→ x→ x→

= Lim x→

= Lim (1 + senx) = 1 + sen ∴ Lim h(x) = 2 x→ x→

π2

cos2x1 - senx

π2

π2

cos2 π/21 - sen π/2

01-1

00

π2

π2

{ }( )cos2x1 - senx { }( )1 - sen2x

1 - senx

{ }(1+ senx)(1 - senx)(1 - senx)π

2

π2

π2

π2

π2


Trigonometría




A h o r a b i e n , l o s p u n t o s d e discontinuidad son aquellos valores de x que indeterminan la función. Por ejemplo en la función:

y = f(x) =

los puntos de discontinuidad se presentan cuando:

x2 - 3x - 4 = 0(x - 4)(x+1) = 0 ⇒ x=4 x=-1

También, una función es continua en un intervalo I cuando lo es para cada a ∈I.

{

{

x2- 4 x2+x- 6

4 5

; x ∈<0;2>

; x ≥ 2

4 5

4 5 } 4

5

{ x2- 4 x2+x- 6 } { (x+2)(x - 2)

(x - 2)(x+3) }

( )x+2x + 3

4 5

4 5

4 5

x - 1x2 - 3x - 4

4. Función Par

Una función "f " se llama par si:

“x” y “-x” ∈Df; además :f(-x) = f(x); ∀x ∈Df

Su gráfica es simétrica respecto al eje "y".

x

y

5. Función Impar

Una función "f " se llama impar si:

“x” y “-x” ∈Df; además :f(-x) = -f(x)

Su gráfica es simétrica respecto al origen del sistema cartesiano.

• Ahora comprobemos si la función: f(x) =

es continua en x = 2

i) Notamos que f(2) existe y es f(2) =

ii) Calculamos: Lim f(x) x→2

• Lim f(x) = Lim = x →2+ x →2+

• Lim f(x) = Lim = Lim x →2¯ x →2¯ x →2¯

= Lim = x →2¯

Notamos que: Lim f(x) = Lim f(x) = ⇒ Lim f(x) = x →2+ x →2¯ x →2

iii) Verificamos: f(2) = Lim f(x) = ∴"f " es continua en x=2 x →2

4 5

}

• Comprobemos ahora si la función: h(x) =

es continua en x =

i) Notamos que h( ) existe y es h( ) = 2

ii) Calculamos: Lim h(x) x→

• Lim h(x) = Lim { 2 } = 2 x → + x → +

• Lim h(x) = Lim = Lim x → ¯ x → ¯ x → ¯

= Lim x → ¯

= Lim (cosx +senx) = cos + sen x → ¯ = + = 2

Notamos que: Lim h(x) = Lim h(x) = 2 ⇒ Lim h(x) = 2 x → + x → ¯ x →

iii) Verificamos que: h( ) = Lim h(x) ∴"h" es continua en x = x →

{ cos2xcosx - senx

π 4

; 0 ≤ x <

2 ; ≤ x ≤

{ cos2xcosx - senx}

π 4

π 2π

4π 4

π 4

π 4

π 4

π 4

π 4

π 4

π 4

{ cos2x - sen2xcosx - senx

π 4{ (cosx + senx)(cosx - senx)

(cosx - senx) }

π 4

π 4

π 4

π 4

π 4

π 4

π 4 π

4

π 4

2 2

2 2



I. E. P.


x

y

Por ejemplo la función: y = f(x) = x4 con x ∈R , cumple que:f(-x)=(-x)4

f(-x)= x4 = f(x) ⇒f(-x)=f(x) ∴"f " es par.

Mientras que la función: y = f(x)= x|x| con x ∈R , cumple que:f(-x)= -x|-x|f(-x)= -x|x|= -f(x) ⇒f(-x)= -f(x) f(x)∴"f " es impar.

Ahora la función: y = g(x) = (ex+e¯x)1n |x|, con x ∈R - {0}, cumple que: g (-x)= (e¯x+e¯(¯x))1n|-x| g (-x)= (e¯x+ex)1n|x|=g(x)

⇒g(-x)= g(x)∴"g" es par.

g(x)

6. Función Periódica

Una función "f " se llama periódica cuando existe un número real "T" (T≠0), tal que ∀x ∈Df; se cumple:

(x+T) ∈Df y f(x+T) = f(x)

El número "T" se denomina un período de "f ". El menor valor positivo de "T" se llamará período principal o período mínimo o período de "f ". Cumpliéndose que todo múltiplo kT, k ∈Z -{0} es también período de "f ", pero no es período principal o mínimo.

Las gráficas de estas funciones, muestran la repetición de un tramo a lo largo de todo su dominio, por ejemplo en los siguientes esquemas:

x

y

40-4

2

T=4

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Esta definición requerirá de algunos conceptos vistos en circunferencia trigonométrica, para su real análisis. Por ejemplo las representaciones de las líneas trigonométricas y sus variaciones son:

F.T.={(x; y) / y =R.T.(x); x DF.T.}

T=2

2

1 2 543-1-2-3-4-5

-2

y

x

A' A

θ B

B'

x

y

senθ

C.T.

M

senθ: Existe∀θ∈R-1≤ senθ ≤ 1

1) L.T. seno

2) L.T. coseno

-1≤ cosθ ≤ 1

B

B'

y

A' Ax

C.T.

cosθMθ

cosθ: Existe∀θ∈R

B

B'

y

A' Ax

M

θ

C.T.

cscθ

C

cscθ: ∀θ∈R -{n π; n∈Z }

-∞<cscθ ≤-1 ∪1≤ cscθ<+∞

6) L.T. cosecante

B

B'

y

A' Ax

M

θ

C.T.

ctgθC

ctgθ: ∀θ∈R -{n π; n∈Z}

-∞< ctgθ < +∞

4) L.T. cotangente

3) L.T. tangente

B

B'

y

A' Ax

M

θ

C.T.

tgθ

-∞< tgθ < +∞

tgθ: ∀θ∈R - (2n+1) ; n∈Z π 2 }{

5) L.T. secante

B

B'

y

S Ax

Mθ

C.T.

secθ

-∞<secθ ≤-1 ∪1≤ secθ<+∞

secθ: ∀θ∈R - (2n+1) ; n ∈Zπ 2 }{


Trigonometría




B

B'

y

A' Ax

C.T.

R=1

Ya que esto será de una vital importancia para la determinación de dominios, como se verá más adelante. No olvide tampoco el comportamiento de cada razón trigonométrica en cada cuadrante.

senθ cosθ tgθ ctgθ secθ cscθR.T.θ

0 →1 1 →0 0 →+∞ +∞ →0 1 →+∞ +∞ →1(crece) (decrece) (crece) (decrece) (crece) (decrece)

1 →0 0→-1 -∞ →0 0→-∞ -∞→-1 1→+∞(decrece) (decrece) (crece) (decrece) (crece) (crece)

0→-1 -1→0 0 →+∞ +∞→0 -1→-∞ -∞→-1(decrece) (crece) (crece) (decrece) (decrece) (crece)

-1→0 0 →1 -∞ →0 0→-∞ +∞→1 -1→-∞(crece) (crece) (crece) (decrece) (decrece) (decrece)

IC 0 →π/2

IICπ/2 →π

IIICπ→3π/2 IVC3π/2→2π

ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. F.T. Seno

y = f(x) = senx

Su representación gráfica es:

{ Df : R

Rf : [-1;1]

y

-1

0-π π 2π 3π x-π2

π2

3π2

5π2

sinusoide

De donde podemos establecer:i. Es una función creciente y decreciente.ii. Es una función continua en R.iii. Es una función impar: sen(-x) =-senxiv. Es una función periódica: T=2π ⇒sen(x+2π)= senx

La trigonometría desarrollada por árabes

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al - Buzadjami (940 - 997) por las divisiones en cuarto grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno. Tratado del cuadrilátero de Nasir al - Din al - Tusi (1201 - 1274).

T

No olvidemos además; que todo arco con extremo en:

A : es de la forma ⇒2nπA' : es de la forma ⇒(2n+1)πA o A' : es de la forma ⇒nπB : es de la forma ⇒(4n+1)π/2B' : es de la forma ⇒(4n+3)π/2B o B' : es de la forma ⇒(2n+1)π/2A, B, A' oB': es de la forma ⇒nπ/2

} n∈Z

1



I. E. P.


2. F.T. Coseno

y = f(x) = cosx


{ Df : R

Rf: [-1;1]

y

-1

0-π π 2π 3π x-π2

π2

3π2

5π2

cosinusoide

De donde podemos establecer:i. Es una función creciente y decreciente.ii. Es una función continua en R.iii. Es una función par: cos(-x) = cosxiv. Es una función periódica: T=2π ⇒cos(x+2π)= cosx

3. F.T. Tangente

y = f(x) = tgx


{ Df : R - {(2n+1) ; n ∈Z}

Rf: R

T

π2

tangentoide

0 π2

3π2

π 2π 3π5π2

7π2

y

x-π2

T

asíntotas

De donde podemos afirmar que:i. Es una función creciente en cada cuadrante.ii. Es una función discontinua en R.iii. Es una función impar: tg(-x) = -tgxiv. Es una función periódica: T=π ⇒tg(x+π)= tgx

Leonhard Euler Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Probablemente fue uno de los más grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes.Fue discípulo de Jean Bernoulli, pero superó rápidamente el notable talento matemático de su maestro. Su carrera profesional se circunscribió a las Academias de Ciencias de Berlín y San Petersburgo, y la mayor parte de su trabajo se publicó en los anuales de ciencias de estas instituciones. Fue protegido de Federico el Grande, en cuya corte protagonizó discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la Retórica y la Metafísica.Perdió la vista de un ojo durante un experimento en óptica, y en 1766 la vista del otro, ya de mayor pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos trabajos se los dictó a su hijo mayor. Posiblemente es el matemático más prolífico de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), la mayor parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos comenzó en 1911 y no hay indicios de que se complete. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes, pero en la actualidad se supone que alcanzará los 200 con facilidad. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss.

1

7π2


Trigonometría




4. F.T. Cotangente

y = f(x) = ctgx


{ Df : R - {n π; n ∈Z }

Rf: R

cotangentoide

0 π2

3π2

-π 2π 5π2

7π2

y

-π2

TasíntotasDe donde podemos afirmar que:

i. Es una función decreciente en cada cuadrante.ii. Es una función discontinua en R.iii. Es una función impar : ctg(-x) = -ctgxiv. Es una función periódica: T=π ⇒ctg(x+π)= ctgx

π 3π x

5. F.T. Secante

y = f(x) = secx


{ Rf: <-∞; -1]∪[1; +∞>

Df : R - {(2n+1) ; n ∈Z }π2

secantoide

0 π2

3π2

π 2π 3π5π2

7π2

y

x-π2

T

asíntotas

1

De donde podemos establecer que:i. Es una función creciente y decreciente.ii. Es una función discontinua en R.iii. Es una función par: sec(-x) = secxiv. Es una función periódica: T=2π ⇒sec(x+2π)= secx

-π

-1

Hiparco de Nicea

• Fundador de la trigonometría, autor del primer catálogo de estrellas, que incluía la posición de 1026 aparte de proponer una clasificación de dichos objetos en diversas clases de acuerdo con su brillo. Sus teorías sobre la Luna y el Sol fueron reasumidas, tal cual, por Tolomeo. Determinó la distancia y tamaño tanto del Sol como de la Luna. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes.

L a pa labra t r igonometr ía proviene de tres palabras griegas que significa "tres-ángulo-medida" e indica que, cuando se adoptó el nombre, el tema que principalmente trataba estaba relacionado con las medidas de un triángulo.

Se dice que los elementos y fuentes de donde surgen la Trigonometría son las sombras y las cuerdas de arco. La observación de sombra proyectadas por postes y árboles condujo al estudio de los triángulos semejantes.



I. E. P.


6. F.T. Cosecante

y = f(x) = cscx


{ Rf: <-∞; -1]∪[1; +∞>

De donde podemos afirmar que:i. Es una función creciente y decreciente.ii. Es una función discontinua en R.iii. Es una función impar: csc(-x) = -cscxiv. Es una función periódica: T=2π ⇒csc(x+2π)= cscx

Df : R - {n π; n ∈Z }

cosecantoide

0 π2

3π2

π 2π 3π5π2

7π2

y

x-π2

T asíntotas

1

-π

-1

Cuando desarrollábamos la teoría de función continua, nos adelantamos un poco y comenzamos a trabajar con funciones que contenían razones trigonométricas, con la intención de notar que los procedimientos son muy similares al aplicado en funciones racionales fraccionarias o polinomiales. Vamos a enriquecer ese punto con algunas propiedades adicionales de límites trigonométricos.

Lim x →0 { senx

x } = 1 Lim x →0 { tgx

x } = 1 Lim x →0

(cosx)= 1

De donde:

1. Señala el dominio de la función: y= f(x) =

Resolución:

En la función: y= f(x) =

Tenemos que: senx-1 ≠ 0 ⇒senx ≠ 1

⇒x ≠ (4n+1) ; n ∈Z

∴ Df: R - {(4n + 1) ; n ∈Z }

2cosx-1senx-1

2cosx-1senx-1

en la C.T., no puede estar su extremo en B.π

2

π2

2. Señala el dominio de la función: y= f(x) = 3senx+1

cosx-1

Resolución:

En la función: y= f(x)=

Tenemos que: cosx-1 ≠ 0 ⇒cosx ≠ 1

⇒x ≠ 2nπ; n ∈Z

∴ Df: R - {2nπ; n ∈Z }

en la C.T., no puede estar su extremo en A.

3senx+1cosx-1

3. Señala el dominio de la función: y= f(x) =5secx + 3cscx

Resolución:

En la función: y= f(x) =5secx + 3cscx y= f(x) =5. + 3.

Tenemos que: cosx ≠ 0

senx ≠ 0

x ≠ n ; n ∈Z

∴ Df: R - {n ; n ∈Z }

Su extremo no puede estar en B ni en B'.

1cosx

1senx

Su extremo no puede estar en A ni en A'.

π2

π2

4. Señala el rango de la función: y= f(x) =2sen2x + 5cos2x; Df: R

Resolución:

En la función: y= f(x) =2sen2x + 5cos2x y=2(1 - cos2x)+5cos2x y=2 - 2cos2x+5cos2x ⇒y=2+3cos2x

Pero: 0 ≤ cos2x ≤ 1 0 ≤ 3cos2x ≤ 3 2 ≤ 2+3cos2x ≤ 5

2≤y ≤ 5 ∴ Df: [2; 5]y

Lim x →0

Lim x →0 { tgax

bx } = ab

Lim x →0{ senax

bx } = ab

(cosax)= 1


Trigonometría




5. Señala el rango de la función: y=f(x)=5sen(x+37°)+cosx; x ∈R

Resolución:

6. Dada la función

y=f(x)=

¿es continua en x = ?

{ sen2xcosx

; 0≤ x <

2; ≤ x ≤ π

π2

π2 π

2

Resolución:

Recuerda que para que sea continua en x = π/2 debe cumplirse que f(π/2) existe;

Lim f(x) existe y f ( ) = Lim f(x) x → x →

π2 π

2

i) f( ) =2

ii) Lim f(x) = Lim 2 = 2 x →+x →+

Lim f(x) = Lim = x →-x →-

Lim = x →-

Lim {2senx} = 2sen = 2 x →-

π2

π2

π2

π2

π2

{ sen2xcosx }

π2{ 2senxcosx

cosx }

π2

π2

Notamos que: Lim f(x) = Lim f(x) = 2 x →+x →-

⇒Lim f(x) = 2 x →

iii) Verificamos también que: f ( ) = Lim f(x) = 2 x →

∴ "f " es continua es x =

π2

π2

π2

π2 π

2π2

7. Calcula "a" para que la función:

f(x)=

sea continua es x=0

{senax +tg3xx

; - < x <0

5 ; 0 ≤ x <

π6

π6

Resolución:

Como debe de ser continua en x=0, entonces:

f(0) = Lim f(x) x →0

i) f(0) =5

ii) Lim f(x) = Lim (5) = 5 x →0+x →0+

Lim f(x) = Lim x →0 -x →0-

Lim + = x →0-

Lim + Lim x →0- x →0- Lim f(x) = a + 3 x →0-

Se debe cumplir que: Lim f(x) = Lim f(x) = f (0) x →0-x →0 +

a + 3 = 5

∴ a = 2

{ senax +tg3xx }

{ senax x }tg3x

x

{senax x } { tg3x

x }

Nivel I

1) Señala el dominio de la función: f(x)=

a) R - {nπ; n ∈Z} b) R - {nπ/2; n ∈Z} c) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} d) R - {2nπ; n ∈Z} e) R - {(2n+1)π; n ∈Z}

2senx + 1cosx - 1


a) R - {nπ; n ∈Z} b) R - {nπ/2; n ∈Z} c) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} d) R - {2nπ; n ∈Z} e) R - {(2n+1)π; n ∈Z}

senx + 2cosx + 1


a) R - {nπ/2; n ∈Z} b) R - {nπ; n ∈Z} c) R - {2nπ; n ∈Z} d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} e) R - {(4n+3)π/2; n ∈Z}

2cosx + 1senx + 1



4cosx - 1senx - 1

π2

45

35

En la función: y=5sen(x+37°)+cosx y=5(senx.cos37°+sen37°.cosx)+cosx y=5( senx+ cosx) + cosx

y=4senx+3cosx+cosx y=4(senx+cosx)

Sabemos que:

- 2 ≤ senx+cosx ≤ 2 - 4 2 ≤ 4(senx+cosx) ≤ 4 2

- 4 2 ≤ y ≤ 4 2

∴ Rf: [- 4 2; 4 2]

y



I. E. P.


Nivel II

5) Señala el dominio de la función: f(x)= 2tgx + 1

a) R - {nπ/2; n ∈Z} b) R - {nπ; n ∈Z} c) R - {(4n+3)π/2; n ∈Z} d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} e) R - {(4n+1)π/2; n ∈Z}

6) Señala el dominio de la función: f(x)= 3 + 4tg2x


7) Señala el dominio de la función: y = f(x)= 4ctg2x+1

a) R - {nπ/2; n ∈Z} b) R - {2nπ; n ∈Z} c) R - {nπ; n ∈Z} d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} e) R - {(2n+1)π; n ∈Z}

8) Señala el dominio de la función: y = f(x)= 3+2ctgx

a) R - {nπ; n ∈Z} b) R - {2nπ; n ∈Z} c) R - {nπ/2; n ∈Z} d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} e) R - {(4n+1)π/2; n ∈Z}

9) Señala el rango de la función: y = f(x)= 3+4cosx; Df: R

a) [3; 4] d) [-1; 7] b) [1; 4] e) [-1; 3] c) [-1; 4]

10) Señala el rango de la función: y = f(x)= 5 - 4senx; Df: R

a) [-4; 5] d) [-4; 9] b) [4; 5] e) [1; 9] c) [1; 5]

11) Señala el rango de la función: y=f(x)=2sen2x+7cos2x; Df: R

a) [2; 5] d) [5; 7] b) [3; 7] e) [0; 2] c) [2; 7]

12) Señala el rango de la función: y=f(x)=3sen2x - 2cos2x.

a) [2; 3] d) [0; 5] b) [-2; 3] e) [-2; 5] c) [0; 2]

13) Señala el rango de la función: y=f(x)=2(sen2x+1)+3(cos2x+1)

a) [2; 3] d) [6; 7] b) [3; 4] e) [7; 8] c) [5; 6]

14) Señala el rango de la función: y=f(x)=3(sen2x+2)+4(cos2x+1)

a) [8; 9] d) [13; 14] b) [10; 11] e) [14; 15] c) [11; 12]

15) Señala el rango de la función: y=f(x)=(senx+2cosx)2 +

(3senx - cosx)2 + (senx+cosx)2

a) [6; 11] d) [7; 12] b) [5; 10] e) [6; 13] c) [5; 9]

16) Señala el dominio de la función: y=f(x)=3secx+2cscx

a) R - {nπ; n ∈Z} b) R - {nπ/2; n ∈Z} c) R - {2nπ; n ∈Z} d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} e) R - {(4n+1)π/2; n ∈Z}

17) Señala el dominio de la función: y=f(x)=2tgx+3ctgx

a) R - {nπ; n ∈Z} b) R - {nπ/2; n ∈Z} c) R - {2nπ; n ∈Z} d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} e) R - {(4n+3)π/2; n ∈Z}

18) Señala el rango de la función: y=f(x)=tgx+ctgx; Df: <0; >

a) R+ d) [1; +∞> b) <2; +∞> e) <0; +∞> c) [2; +∞>

π2

19) Señala el rango de la función: y=f(x)=tgx+ctgx; Df: < ; π>

a) R- d) <-∞; -1] b) <-∞; -2> e) <-∞; 0> c) <-∞; -2]

π 2

20) Señala el rango de la función: y=f(x)=tgx+4ctgx; Df: <0; >

a) R+ d) <4; +∞> b) <2; +∞> e) [4; +∞> c) [2; +∞>

π 2

21) Señala el rango de la función: y=f(x)=4tgx+9ctgx; Df:<0; >

a) R+ d) [6; +∞> b) [2; +∞> e) [12; +∞> c) [4; +∞>

π 2

24) Señala si la función:

y=f(x)=

es continua en x =

{ tgxcosx; 0 ≤ x <

1 ; ≤ x ≤ π

π2π

2π2

22) Señala el rango de la función: y=f(x)= (tgx -2ctgx)2 + (3tgx

+ctgx)2 ; Df: R - {n ; n ∈Z}

a) [5 2; +∞> b) [5 2 + 2; +∞> c) [10 2; +∞> d) [10 2 + 2; +∞> e) [12; +∞>

π 2

23) Señala el rango de la función: y=f(x)=(3tgx - 2ctgx)2+ (tgx +ctgx)2

a) [5 2 - 2; +∞> b) [5 2 + 2; +∞> c) [10 2 - 2; +∞> d) [10 2 + 2; +∞> e) [10 2 - 10; +∞>


Trigonometría





y=f(x)=

es continua en x =π

{ctgxsenx; ≤ x <π

1 ; π≤ x ≤5

π4 π

4


y=f(x)=

es continua en x =0

{sen2xcscx; 0< x ≤

-2 ; - ≤ x ≤0

π2π

2


y=f(x)=

es continua en x =

{sen2xsecx; 0≤x<

2 ; ≤ x ≤π

π2π

2

π2


y=f(x)=


{sen3xcscx; 0 <x ≤

3 ;- ≤ x ≤0

π2π

2


y=f(x)=

es continua en x =

{cos3xsecx; 0 ≤ x <

-3 ; ≤ x ≤π

π2π

2

π2


y=f(x)=


{ 4 ; - ≤ x ≤0

π16

sen2x+tg4xx

; 0 < x ≤

π16

Nivel III

31) Dada la función: y=f(x)=4sec2x+9csc2x, ¿cuál es su

mínimo valor?

a) 15 d) 30 b) 20 e) 35 c) 25

33) Señala el valor mínimo de la función: y=f(x)=senx(senx+1).

a) 0 d) -1/2 b)1/4 e) -1/4 c) 1/2

34) Señala el valor máximo de la función: y=h(x)=cosx(1- cosx)

a) 0 d) 1/4 b)1/2 e) -1/4 c) 2

37) Señala el rango de la función:

y=f(x)=

a) [ ; 2] d) [ ; ]

b) [ ; 1] e) [ 2; 3]

c) [ 1; 2]

sen2x+2cos2x+3

1212

12

3 2


y=g(x) =

a) [ ; ] d) [ ; 3]

b) [ ; ] e) [ ; ]

c) [ ; ]

3+sen2x3+cos2x

2334

13

3243

45

54

23

43

39) Suma el máximo valor de: y=f(x) = sen4x+cos4x; con el

mínimo valor de: y=h(x)= sen6x + cos6x.

a) 0,75 d) 1,75 b) 1,15 e) 2 c) 1,25


y=f(x)=

a) [ 1; 2 ] d) [ ; ]

b) [ ; 2] e) [ ; ]

c) [ ; ]

sen4x+cos4xsen6x+cos6x

12

12

23

32

34

43

32

32) Señala el valor mínimo de la función: y=f(x)=sec2x+2csc2x.

a) 2+1 d) 2 2+3 b) 2 2+1 e) 2 2+4 c) 2 2+2

35) Señala el valor máximo de la función:

y=g(x)=(1+senx) (1+cosx)

a) d)

b) e)

c)

2 + 22

3 + 22

3 +2 22

3 +2 24

1 +2 22

36) Señala el valor mínimo de la función: y=f(x)=covxversx

a) d)

b) e) 0

c)

1 - 22

3 + 22

1 - 2 22

3 - 2 22



I. E. P.


43) Dadas las funciones: y=f(x)=2cosx +1; y = g(x)=|senx|+1; con el dominio [0; 2π]; sus

gráficas se intersectan en ........ puntos. (completa).

a) 1 d) 4 b) 2 e) 0 c) 3

44) Las gráficas de las funciones: y = f(x)=2senx+1; y =g(x)=|cosx|+1 en [0; 2π], tienen ......... puntos de

intersección. (completa)

a) 1 d) 4 b) 2 e) 0 c) 3

45) Señala el dominio de la función: y= f(x) = senx - cosx, definida

sobre [0; 2π]. a) [ 0; π]

b) [ ;3 ]

c) [ ;5 ]

d) [ ; ]∪[π; 5 ]

e) [ ;3 ]∪[5 ; 2π]

π4

π4

π4

π4

π4

π2

π4

π4

π4

π4

46) Señala el dominio de la función:

y= f(x) =

definida sobre [0; 2π]. a) [ 0; >

b) < ; 3 >

c) < 5 ;2π]

d) [ 0; ]∪[5 ; 2π]

e) [ 0; >∪< 5 ; 2π]

π4

π4

π4π4

π4

π4

π4

senx + cosxcosx - senx

π4

48) De acuerdo al gráfico, calcula: C= sec2θ + cos2θ

a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

y=senx

y=ctgx

θ x

y

y1

49) En la definición, calcula "k" para que la función:

y=f(x)=

sea continua en x = 0.

a) 1 d) 4 b) 2 e) 8 c) 3

{ ; - ≤ x <0

k ; 0≤ x ≤

π2

π2

sen23x-sen2xx2

50) Determina "k"; para que la función

y=f(x)=

sea continua en x = 0.

a) 1 d) 6 b) 2 e) 8 c) 4

{ ; - ≤ x <0

k ; 0≤ x ≤

π8

π8

tg2x+sen2xx3

Si bien se considera a Hiparco el "Padre de la Trigonometría" y fue Ptolomeo quien dio un paso gigante para su desarrollo con su obra el Almagesto, sin los Elementos de Euclides estos avances seguramente habrían tenido que esperar mucho tiempo.

La obra de Euclides contiene algunas proposiciones que han sido fundamentales para la construcción de las tablas de cuerdas, que marcaron los inicios de la trigonometría sistemática. También contiene el Teorema de coseno que hoy utilizamos en clase para la resolución de triángulos, aunque en los Elementos el enunciado es geométrico y distingue entre triángulos obtusángulos (Euclides II, 12) y acutángulos (Euclides II, 13).

41) Dada la función: y = f(x) =2sen2x+senx, ¿cuál es su

valor mínimo?

a) 2 d)

b) e) 1

c) 4 2

1 2

14 2

42) Dada la función: y=f(x)=2cos2x-senx, ¿cuál es su valor

máximo?

a) 4 2 d) 2 2 b) 2 e) 2 c) 2 4 2

y=tgx

y=cosx

α x

y

y1

47) De acuerdo al gráfico, calcula: C= senα + sen2α

a) 1 d) 5 b) 1/2 e) 2/3 c) 5/2


Trigonometría




Funciones Trigonométricas Reales II

Objetivos

Analizar funciones trigonométricas más complicadas.Determinar el período de funciones trigonométricas más complejas.

TEORÍA DE PERÍODOS

Podemos notar que las funciones trigonométricas son todas ellas periódicas, algunas de período mínimo o período principal 2π (como es el caso de y = senx; y =cosx; y=cscx; y=secx) y otras de período principal o mínimo igual a π (como y=tgx; y=ctgx). Sin embargo, este período puede ser cambiado o alterado cuando sobre la función o la variable se ejecutan ciertas operaciones. Por ejemplo, grafiquemos: y=f(x)= sen2x.

y =f(x)=A.F.T.n [B(x+θ)] +C

y = sen2x

Entonces, a la vista de los dos ejemplos anteriores; el período puede ser alterado o no, según las operaciones que se efectúan sobre la función o sobre la variable.

Se define de esta manera una función trigonométrica general con algunas de sus posibles modificaciones de la siguiente manera:

0 π 2π xπ4

1

-1

y

T = π

T =2π

y=senx

Notamos como el período se altera: T=π

Ahora practiquemos con la función: y = g(x) = 2senx + 1

-1

1

3

π2

- π 2

0 π π2

3 2π π2

5 x

y

π4

3 π2

3π4

5 π4

7

y=senx

y=2senx+1

-π

T =2πNotamos como el período no se alteró: T=2π

Donde:

A∈R - {0} →coeficiente de la F.T.B∈R - {0} →coeficiente de la variableθ∈R →desfazamiento de la curva.C∈R →coeficiente cualquiera.n∈Z+ →exponente de la F.T.

El período de esta F.T. se calculará según el siguiente esquema:

par imparF.T.

sen; cossec; csc

tgctg

n

π|B|

2π|B|

π|B|



I. E. P.


Por ejemplo: y=f(x) = 2sen34x - 1 : n es impar ⇒T = = y=f(x) = -4cos66x +1 : n es par ⇒T =

y=f(x) = 3tg5(7x - )+1 : n es impar ⇒T =

no influye

Además, los valores de:

A: indicará un estiramiento o una contracción vertical de la curva.B: indicará un estiramiento o una contracción horizontal de la curva ya que influye directamente en el período.θ: indicará un desplazamiento horizontal de la curva.C: indicará un desplazamiento vertical de la curva.

2π4

π2

- 2

π2

- 1

0 π2

3π 2π π2

5 3π -π π2

-

1

2

3

y=g(x)

y=f(x)

y=h(x)

T =2π

A continuación resolveremos ejercicios que tienen que ver con el análisis de la función, pero con funciones más complicadas. El análisis implicará también la observación del período de dichas funciones.

2. Dada la función: y=g(x)= 4csc26x+1; señala su

dominio, rango y período principal.

Resolución:

En la función : y= g(x) = 4csc26x+1 y= g(x) = 4. +1

Notamos que: sen6x ≠ 0 6x ≠nπ ⇒x ≠ ; n ∈Z

También sabemos: csc6x ≤ -1 o csc6x ≥ 1 csc26x ≥ 1 o csc26x ≥ 1

csc26x≥1

x4: 4csc26x ≥ 4 +1: 4csc26x+1 ≥ 5 ⇒y ≥ 5 Además, su período: Tg =

∴ Dg: R - {n ; n ∈Z }

Rg: [5; +∞> Tg :

1sen26x

nπ6

y

π6

3. Señala el dominio, rango y período de la función: y=h(x)=senxcosx.

Resolución:

π6

π6

π6

π4

π7

1. Dada la función: y =f(x)= 2tg4x+1; señala su dominio y período.

Resolución:

En la función: y= f(x) =2tg4x+1 y= f(x) = 2 + 1

Notamos que: cos4x ≠ 0 4x ≠(2n+1) ⇒x ≠ (2n+1) ; n ∈Z

También, su período: Tf =

∴ Df: R - {(2n + 1) ; n ∈Z }

Tf :

sen4xcos4x

π2

π8

π4

π4

π8

En la función : y= h(x) = senxcosx; x ∈R 2y = 2senxcosx Además: 2senxcosx=sen2x y = sen2x Sabemos también: -1≤sen2x≤1; ∀x∈R - ≤ sen2x ≤

Su período: y =h(x) = sen2x Th = ⇒ Th= π ∴ Dh: R Rh: [- ; ]

Th: π

12

y

2π2

12

12

12

12

12

12

Por ejemplo; grafiquemos: y = f(x)=cosx; y=f(x)2cosx; y=n(x)=cosx+2.


Trigonometría




4. Señala si la función: y = f(x)= senxcosxcos2x; es par o

impar, e indica también su período principal.

Resolución:

En la función : f(x) = senxcosxcos2x f(-x) = sen(-x)cos(-x) cos(-2x)

f(-x) = -senxcosxcos2x

⇒ f(-x) = -f(x) ⇒ "f " es impar

También: y=f(x) = senxcosxcos2x 2y=2senxcosxcos2x

2y = sen2xcos2x ⇒4y=2sen2xcos2x

⇒4y=sen4x ⇒y=f(x)= sen4x

Tf = ⇒Tf= ∴ "f " es impar Tf =

2π4

-senx cosx cos2x

f(x)

sen2x

sen4x

14π2

π2

5. Si el período de la función : y=f(x) = 2sen4x/a +1 es 5π; señala

el período de: y=g(x)= aseca+1{(ax+π/4)}-2; si a>0.

Resolución:

En la primera función : y=f(x) = 2sen4 +1

Tf = = aπ = 5π ⇒a=5

Luego, en la segunda función: y = g(x)=5sec6(5x+π/4)-2 ∴ Tg =

xa

1a

π

π5

6. Señala el período mínimo de la función:

y=h(x)=sen + sen

Resolución:

x2

x3

En este caso, determinaremos el período de cada función:

y=h(x)= sen + sen

Como son diferentes, se buscan múltiplos de estos períodos hasta que coincidan. Esto es:

y=h(x)= sen + sen

∴ Th = 12π

x2

x3

2π13

2π12

4π 6π

x2

x3

4π 6π

8π 12π12π 18π

24π16π

7. Determina la ecuación del sinusoide mostrado:

Resolución:

y

x 0

-1

π3

2

3

Sea la ecuación: y=f(x)=asenbx+c Notamos en el gráfico: Tf= = ⇒b=3

Luego: fmáx=3=a(1)+c ⇒a+c=3 fmín=-1=a(-1)+c ⇒c-a=-1 c=1 a=2 ∴ y = f(x)=2sen3x+1

π3

2 2πb

Nivel I

1) Señala el dominio de la función: y = f(x)=2tg6x+1

a) R - {n π/2; n ∈Z} b) R - {n π/6; n ∈Z} c) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} d) R - {(2n+1)π/6; n ∈Z} e) R - {(2n+1)π/12; n ∈Z}

2) Señala el dominio de la función: y = f(x)=3tg2x +sen2x

a) R - {n π/2; n ∈Z} b) R - {n π/4; n ∈Z} c) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} d) R - {(2n+1)π/4; n ∈Z} e) R - {(2n+1)π/8; n ∈Z}

3) Señala el dominio de la función: y = f(x)=4ctg4x + cos4x

a) R - {nπ; n ∈Z} b) R - {n π/2; n ∈Z} c) R - {nπ/4; n ∈Z} d) R - {(2n+1)π/8; n ∈Z} e) R - {n π/8; n ∈Z}

4) Señala el dominio de la función: y = f(x)=3csc + 1

a) R - {nπ; n ∈Z} b) R - {n π/2; n ∈Z} c) R - {2nπ; n ∈Z} d) R - {n π/4; n ∈Z} e) R - {4nπ; n ∈Z}

x2



I. E. P.


Nivel II

7) Señala el rango de la función: y = f(x) = (senx+2cosx)2+

(2senx+cosx)2

a) [1; 5] d) [1; 9] b) [2; 7] e) [3; 6] c) [2; 9]

9) Señala el período mínimo de: y = f(x)= 2sen36x + 1

a) 2 π/3 d) π/2 b) π/3 e) π c) π/6

10) Señala el período mínimo de: y = f(x)= 3cos78x - 1

a) π b) π/2 c) π/4d) 2π e) π/8

16) Señala verdadero (V) o falso(F) sobre la función:

y=f(x)=sen3xcscx

I. Df: R - {n π; n ∈Z} II. Rf: [0; 1] III. Tf = 2π

a) VVF d) FFF b) VFF e) FFV c) VVV

5) Señala el rango de la función: y = f(x)= senxcosx; Df: R.

a) [-1; 1] d) [- ; 1]

b) [- ; ] e) [- ; ]

c) [- ; ]

1 2

1 2

1 2

1 4

1 4

1 4

1 2

6) Señala el rango de la función: y=f(x)=senxcosxcos2x; Df: R.

a) [-1; 1] d) [- 2; 2]

b) [- ; ] e) [- 4; 4]

c) [- ; ]

1 2

1 2

1 4

1 4

8) Señala el rango de la función: y = f(x) = (3senx+2cosx)2+

(2senx+3cosx)2

a) [1; 13] d) [1; 21] b) [1; 17] e) [1; 25] c) [1; 19]

11) Señala el período mínimo de: y = f(x)= 4sec64x - 1

a) π b) π/2 c) π/4d) π/8 e) π/16

12) Señala el período mínimo de: y = f(x)= 3csc86x +1

a) 2π d) π/4 b) π e) π/6 c) π/2

13) Señala el período mínimo de: y = f(x)= 2tg5 +1

a) π d) 3π b) π/3 e) 6π c) π/6

x 3

14) Señala el período mínimo de: y = f(x)= 4ctg4 +3

a) π d) 2π b) π/2 e) 4π c) π/4

x 2

15) Señala el período mínimo de: y = f(x)= senxcosxcos2x

a) 2π d) π/4 b) π e) π/8 c) π/2


y=f(x)=cos3xsecx

I. Df: R-{(2n+1) π/2; n ∈Z} II. Rf: <0; 1] III. Tf = π

a) VVV d) FVV b) VVF e) FFV c) VFV


y=f(x)=sen2x tgx

I. Df: R-{n π/2; n ∈Z} II. Es una función par. III. Tf = π

a) FVF d) VVF b) VVV e) FFV c) FVV


y=f(x)=sen2x ctgx

I. Df: R-{nπ; n ∈Z} II. Es una función impar. III. Tf = π

a) VFF d) VFV b) VVF e) FVV c) FFF


y=f(x)=(1 - cos2x)cos2x

I. Es una función par. II. Rf: [0; 1/2 ] III. Tf = π/2

a) VFF d) VVF b) FVV e) VVV c) VFV


y=f(x)=(1+cos2x)sen2x

I. Es una función par. II. Rf: [0; 1 ] III. Tf = π

a) VVV d) FVV b) VVF e) FFF c) VFF


Trigonometría




Nivel III


y=f(x)=

I. Df: R-{nπ; n ∈Z} II. Es una función impar. III. Tf = π/2

a) VVF b) VVV c) FVV d) FVF e) VFV

cosx - cos3xsenx


y=f(x)=

I. Df: R-{(2n+1)π/2; n ∈Z} II. Es una función impar. III. Tf = π/4

a) VVV d) FVV b) VVF e) FFF c) VFV

sen5x+sen3xcosx


y=f(x)=4tg24x+1

I. Df: R-{(2n+1)π/4; n ∈Z} II. Rf: [1; +∞> III. Tf = π/4

a) VFV b) VVV c) FVV d) FFV e) FFF


y=f(x)=3ctg26x+2

I. Df: R-{n π/6; n ∈Z} II. Rf: [5; +∞> III. Tf = π/6

a) VVV b) FVF c) FVV d) VFF e) VFV


y=f(x)=4sec23x + 1

I. Df: R-{(2n+1) π/6; n ∈Z} II. Rf: [5; +∞> III. Tf = π/3

a) VVV b) VVF c) VFV d) FVV e) FFV


y=f(x)=5csc24x - 2


a) FFV d) VVF b) FVV e) VFV c) VVV

28) D e t e r m i n a l a r e g l a d e correpondencia del sinusoide mostrado:

a) y = 3sen2x b) y =2sen2x+1 c) y = 3sen4x d) y = 2sen4x + 1 e) y = 2senx + 1

x

y

-1

0

3

π

29) Determine la ecuación del cosinusoide mostrado:

a) y = 2cos2x + 2 b) y =2cos4x + 2 c) y = 3cos2x + 1 d) y = 3cos4x + 1 e) y = 5cos4x - 1

x

y

-2

0

4

π2

30) Determina la ecuación del cosinusoide mostrado:

a) y = 3cos2x - 1 b) y =4cos2x - 2 c) y = 2cos2x - 2 d) y = 3cos2x+1 e) y = 3cos4x - 1

x

y

-4

0

2

π

31) Señala el período mínimo de la función:

y=f(x)= sen + sen

a) 4π d) 12π b) 8π e) 24π c) 6π

x2

x3


y=f(x)= cos + cos

a) 6π d) 18π b) 12π e) 24π c) 16π

x3

x4


y=f(x)=sen + sen + sen

a) 12π d) 30π b) 18π e) 36π c) 24π

x3

x6

x4


y=f(x)=cos + cos + cos

a) 12π d) 36π b) 24π e) 48π c) 30π

x4

x6

x12



I. E. P.



y=f(x)=sen4xcos3x - senx

a) π b) 2π c) π/7 d) 2 π/7 e) 4 π/7

12


y=f(x)=cos5xcos3x - cosx

a) 2π b) π c) π/2 d) π/4 e) π/8

12


y=f(x)=sen3xcos2x+senxcos6x+sen3xcos4x.

a) π/7 d) 4 π/7 b) 2 π/7 e) 3 π/7 c) 3 π/7


y=h(x)=sec2x+csc2x+4sec22x

a) π/8 b) π/4 c) π/2 d) π e) 2π


y=f(x)=sen(cos4x)

a) 2π b) π c) π/2 d) π/4 e) π/8


y=f(x)=cos(sen4x)

a) π/8 b) π/4 c) π/2 d) π e) 2π

41) Dada la función: y=f(x)=sen2x |cscx|, señala

verdadero (V) o falso(F) en:

I. Df: R-{nπ; n ∈Z} II. Rf: <-2; 2> III. Tf = π


42) Dada la función: y=f(x)=tgx |cosx| , señala

verdadero (V) o falso(F) en:

I. Df: R-{(2n+1)π/2; n ∈Z} II. Rf: <-2; 2> III. Tf = π


43) Señala verdadero (V) o falso(F) según corresponda; si f(x)=e|senx|

I. Rf: [1; e] II. Tf = π III. En <0;π> es creciente.

a) VVV d) VFF b) VVF e) FVV c) VFV

44) Dada la función: y=f(x)=e|cos2x|, señala verdadero (V) o falso(F) según corresponda en:

I. Rf: [1; e] II. Tf = π III. En <0; π/4> es decreciente.

a) VVF d) FFV b) VFF e) FFF c) VFV

45) Dada la función:

y=f(x)=

señala verdadero (V) o falso(F) según corresponda en:

I. Df: R-{nπ+ π/4; n ∈Z} II. Tf = π III. En <0; π> es continua.

a) FVV d) VVF b) FVF e) VFV c) VVV


46) Dada la función: y=f(x)=


I. Df: R-{2nπ; n ∈Z} II. Rf: [3/4; 3> III. Tf= 2π

a) VVV d) FVV b) VFV e) VFF c) VVF

1 - cos3x1 - cosx

47) Dada la función: y = f(x) = senx |senx| + cosx|cosx|, señala

verdadero (V) o falso(F) según corresponda en:

I. Rf: [-1; 1] II. Tf= 2π III. f(1)< f(2)

a) VFV d) FVV b) VVV e) FVF c) VVF

48) Dada la función: y=f(x)=|senx|senx|- cosx|cosx||,


I. Rf: [0; 1] II. Tf= π III. f(1)< f(2)

a) VFV d) FVV b) VVV e) VFF c) VVF

49) Dada la función: y=f(x)=sen2x|cosx|+cos2x|senx|,


I. Rf: [-1; 1] II. Tf= 2π III. f(1)> f(2)

a) VFF d) VFV b) FVF e) VVV c) FFV


Trigonometría




Repaso

Objetivo

R e v i s a r e j e rc i c i o s d e distintas características, para aplicar correctamente las definiciones vistas en las dos anteriores clases.

Nivel I

1) Señala el dominio de la función: y = f(x)=

a) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} b) R - {(2n+1) π/4; n ∈Z} c) R - {(4n+1)π/2; n ∈Z} d) R - {(4n+1)π/4; n ∈Z} e) R - {(4n+3)π/4; n ∈Z}

cosx - 1sen2x - 1

2) Señala el dominio de la función: y = f(x)=

a) R - {2nπ; n ∈Z} b) R - {nπ; n ∈Z} c) R - {n π/2; n ∈Z} d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} e) R - {(2n+1)π/4; n ∈Z}

senx +1cos4x - 1

3) Señala el dominio de la función: y = f(x)= 2tg6x + 1

a) R - {(2n+1)π/6; n ∈Z} b) R - {(2n+1)π/12; n ∈Z} c) R - {n π/6; n ∈Z} d) R - {n π/12; n ∈Z} e) R - {n π/3; n ∈Z}

4) Señala el dominio de la función: y = f(x)= 3ctg4x + 2

a) R - {(2n+1)π/4; n ∈Z} b) R - {(2n+1)π/8; n ∈Z} c) R - {n π/2; n ∈Z} d) R - {nπ; n ∈Z} e) R - {n π/4; n ∈Z}

5) Señala el rango de la función: y=f(x)=4sen22x+1; Df:<0; ]

a) <0; 3] d) <1; 4] b) <0; 4] e) <1; 5] c) <0; 5]

π4

6) Señala el rango de la función: y=f(x)=2cos24x+1; Df: <- ; >

a) < ; 3] d) [ ; 2]

b) < ; 2] e) [1; 3]

c) [ ; 3>

π12

π12

3 23 2

3 2

3 2

7) Señala el rango de la función: y=f(x)= ; Df: R

a) [1; 2] d) [ 1; 3]

b) [1; ] e) [ ; 3]

c) [ ; 2]

2sen2x +1sen2x+1

3 2

3 2

3 2

8) Señala el rango de la función: y=f(x)= ; Df: R

a) [ ; 2] d) [ 1; 3]

b) [1; 2] e) [ ; 2]

c) [2; 3]

3cos2x +1cos2x+1

3 2

1 2

9) Señala el período mínimo de: y=f(x)=2sen3 +3

a) 2π d) 3π b) 4π e) 2 π/3 c) 6π

x 3

10) Señala el período mínimo de: y = f(x)= 4cos2 +1

a) 2π d) π/3 b) π e) 6π c) π/6

x 6

11) Señala el período mínimo de: y = f(x)= senxcosx

a) π d) π/4 b) 2π e) 4π c) π/2

12) Señala el período mínimo de: y = f(x)= sen2xcos2x

a) π d) π/4 b) 2π e) 4π c) π/2

13) Señala el período mínimo de: y=f(x)=sen4xcosx + senxcos4x

a) π d) 2 π/5 b) 2π e) 5π c) π/5



I. E. P.


Nivel II


y=f(x)=2sen2x +1

I. Df: R II. Rf: [-1; 3] III. Tf = π

a) VVV d) FVV b) VVF e) VFV c) VFF

14) Señala el período mínimo de: y=f(x)=cos7xcosx - sen7x senx

a) 2π d) π/4 b) π e) π/8 c) π/2

15) Señala el período mínimo de: y=f(x)=sen4x cosx - sen3x

a) 2π d) π/5 b) π e) π/10 c) 2 π/5

1 2


y=f(x)=4cos4x - 1

I. Df: R II. Rf: [-5; 3] III. Tf = π

a) VVV d) VFF b) VVF e) FVF c) VFV


y=f(x)=2sec26x +1


a) VFV d) FFF b) FVV e) VVF c) FFV


y=f(x)=3csc64x +1

I. Df: R-{n π/4; n ∈Z} II. Rf: [4; +∞> III. Tf = π/4

a) VVF d) VVV b) VFV e) FVV c) VFF


y=f(x)=sen2x

I. En < 0 ; > es creciente

II. En < ; π> es decreciente

III. En < ;3 > es decreciente

a) VFV d) FFF b) VVF e) FFV c) FVV

π 2

π 2π 4

π 4


y=f(x)= cos4x

I. En < 0; > es decreciente

II. En < ; > es creciente

III. En < ;3 > es creciente

a) VVV d) VVF b) FVV e) FFF c) FVF

π 4

π 4

π 2

π 8

π 8


y=f(x)=2sen3x +1

I. Rf: [-1; 3 ] II. Tf = 2π/3 III. En < 0 ; > posee un máximo

a) VVV d) FFV b) VVF e) VFF c) FVV

π 3


y=f(x)=3cos4x +1

I. Rf: [-2; 4 ] II. Tf = π/2 III. En < - ; > posee un máximo

a) VVF d) FVV b) VVV e) FVF c) VFV

π 8

π 8

24) Señala la función que es par:

a) y=f(x)= sen4x cosx b) y= g(x)=tg2x cos3x c) y=h(x)= esenx

d) y= j(x) = sen4x sen7x e) y= ϕ(x)= etg2x+tg2x

25) Señala la función que es impar:

a) y=f(x)= sen3x tg2x b) y= g(x)=sen5x tgx c) y=h(x)= 2senx

d) y= j(x) =

e) y= ϕ(x)=

sen34x |tg6x|sen7xsen2x

|tg x/2|

26) Sobre la función: y=f(x)=

Se afirma:

I. Df: R - {(2n+1)π/2; n ∈Z } II. Rf: [-2; 2]- {0} III. Es una función impar IV. Tf = π Luego, ¿cuántas son correctas?

a) Ninguna d) 3 b) 1 e) Todas c) 2

sen3x+senx cosx


Trigonometría




Nivel III

27) Sobre la función: y=f(x)=

Se afirma:

I. Df: R - {n π/2; n ∈Z } II. Rf: [-2; 2] III. Es una función par IV. Tf = 2 π/3 Luego, ¿cuántas son correctas?

a) Ninguna d) 3 b) 1 e) Todas c) 2

sen5x-senx sen2x

28) Dadas las funciones: y=f(x)=3senx+1; y=g(x)=cosx en

[0; 2π] sus gráficas se cortan en:

a) 1 punto d) 4 puntos b) 2 puntos e) 3 puntos c) Más de 4 puntos

29) Si graficas: y=f(x)=2cosx+3; y=g(x)= senx+2; en [0; 2π] se intersectan en........ puntos.

a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2

30) Si graficas las funciones: y=f(x)=|senx|+2; y = g(x)=

3|cosx|+2 en [0; 2π] , se notarán ...... puntos de intersección.

a) 1 d) 4 b) 2 e) 6 c) 3

31) Señala el dominio de la función: y=f(x)= (2sen2x-1)(tg2x+1)

a) R - {n π/2; n ∈Z} b) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} c) R - {(2n+1)π/4; n ∈Z} d) R - {n π/4; n ∈Z} e) R - {(2n+1)π; n ∈Z}

32) Señala el dominio de la función: y=f(x)= tgx+ctg2x

a) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} b) R - {n π/4; n ∈Z} c) R - {(2n+1)π/4; n ∈Z} d) R - {n π/2; n ∈Z} e) R - {(2n+1)π/4; n ∈Z} ∪ {n π/2; n ∈Z}}

33) Señala el rango de la función: y=f(x)= ;

x ∈<π/6; π/4>

a) <0; 1> d) <0; 3>

b) <0; > e) <0 ; >

c) < ; 1>

sen3x - sen2x cosxsenx

1 2

1 2

3 2

34) Señala el rango de la función: y=f(x)=2s en( |cosx |+1)+1 ;

indicando su valor máximo.

a) 2sen1+1 d) 1 b) 2sen2+1 e) 2 c) 3

35) Señala el dominio de la función: y=f(x)=tg(πsenx), definida en <0;

2π>.

a) <0; 2π> - { ;5 }

b) <0; > ∪ { 5 ; π}

c) <0; 2π> - { ;5 ;7 ; 11 }

d) <0;π> - { ;5 }

e) <π ; 2π > - {7 ;5 }

π 6

π 6

π 6

π 6

π 6

π 6

π 6

π 6

π 6

π 6π 6

π 6

36) Señala el dominio de la función: y=f(x)= 2ctg(senx) +1

a) R b) R - {n π/2; n ∈Z} c) R - {nπ; n ∈Z} d) R - {(2n+1)π/2; n ∈Z} e) R - {(2n+1)π; n ∈Z}

37) Señala el dominio de la función: y=f(x)=tg(3senx); en<0; 2π>.

a) <0; 2π>

b) <0; 2π>- {arcsen }

c) <0; 2π>- {arcsen }

d) <0; 2π>- {arcsen ; π - arcsen }

e) <0; 2π> - {arcsen ;

π± arcsen ; 2π - arcsen }

π 6π 3

π 6π

6π 6

π 6

π 6

38) Señala el dominio de la función: y=f(x)=

a) R - {n π/2; n ∈Z} b) R - {(2n+1) π/2; n ∈Z} c) R - {n π+ π/4; n ∈Z} d) R - {nπ/4; n ∈Z} e) R - {{nπ + π/4; n ∈Z} ∪ {(2n+1) π/2; n ∈Z}}

senx+1tgx - 1

39) Señala el rango de la función: y=f(x)= cos3xcosx

a) [- ; 1] d) [- ; 1 ] b) [- ; 1 ] e) [- ; 1 ]

c) [- ; 1 ]

7 163 89

16

5 163

16

40) Señala el rango de la función: y=f(x)=tg|x|+|tgx|+|tg|x|| si x

∈<- ; >

a) <- 2; 3> d) [0; 3> b) <- 1; 3> e) <0; 3> c) <1; 3>

π 4

π 4



I. E. P.


41) Dada la función: y=g(x)= se afirma:

I. Dg: R-{(2n+1)π/8; n ∈Z} II. Rg = [-2; 2] - {± , ± } III. En <0;π> existen 4 puntos de

discontinuidad. Luego, son correctas:

a) Sólo I d) II y III b) I y III e) Todas c) I y II

sen5x-sen3xcos4x

42) Dada la función: y=f(x)= se afirma:

I. Df: R-{(2n+1)π/6; n ∈Z} II. Rf: <- ; > es decreciente

III. En <0; 2π> existen 6 puntos de discontinuidad.

Luego, son correctas:

a) Sólo I d) Sólo III b) Sólo II e) Todas c) I y III

14+2 2

2 + 14+2 2

cos4x+cos2xcos3x

π2

π2

43) Señala el período mínimo de: y=f(x)=cos[sen(coskx)]; k ∈Z+.

a) d) b) 2 e) kπ c)

π k

π k

π 2k

π 4k

44) Si el período principal de la función: y=f(x)= 2cos(tg4x) es la mitad del período principal de: y=g(x) = sen(|sen(nx)|) ¿cuál es el valor de n?

a) 1/2 d) 1/4 b) 4 e) 8 c) 2

45) Señala el período principal de la función: y=f(x) = |sen2x| + |cos2x|

a) π d) π/8 b) π/2 e) π/16 c) π/4

46) Señale el período principal de la función: y=f(x) = e|senx|+e|cosx|

a) 2π d) π/4 b) π e) π/8 c) π/2

47) De acuerdo al gráfico, calcula: J=2L2 - cosL; si "L" es el lado del cuadrado MNPQ.

a) 1 d) 1/2 b) -1 e) -1/2 c) 2

48) De acuerdo al gráfico, calcula: K=

a) 1/4 d) -1/8 b) -1/4 e) -4 c) 1/8

cos(α+β)+cos(α-β)αβ

x

y

α

y=4cosx

β

49) Señala el dominio de la función: y=f(x)=

a) R -{{n π/2; n ∈Z}∪ {(2n+1) π/6; n ∈Z}} b) R - {{nπ; n ∈Z} ∪ {(2n+1) π/6; n ∈Z}} c) R - {{n π/2; n ∈Z} ∪ {(4n+1) π/6; n ∈Z}} d) R - {{n π; n ∈Z} ∪ {(4n+1) π/6; n ∈Z}} e) R - {(2n+1)π/6; n ∈Z}

csc2x+tg3x1+|sen4x|

50) Sobre la función: y=f(x)=cosx . (2senx)! se afirma:

I. Df: {nπ; n ∈Z} ∪{(4n+1) π/2; n ∈Z} ∪{nπ+(-1)nπ/6; n ∈Z}

II. Rf: {0; ±1; ± }

III. Tf = 2π Luego, son correctas:

a) Todas d) I y II b) Ninguna e) II y III c) Sólo I

32

El astrónomo Hiparco, quien vivió por los años 140 a.C. elaboró tablas de las longitudes de las cuerdas de una circunferencia. Hiparco se le considera el matemático que estableció las bases de lo que hoy conocemos como trigonometría esférica. Dichos estudios lo continuó y amplió Menelao (100 d.C.) el cual investigó lo que hoy conocemos con el nombre de triángulos esféricos. Un triángulo esférico es la porción de superficie de una esfera limitada por tres arcos de círculos máximos. Un círculo máximo es la intersección de una esfera y un plano cualquiera que pase por su centro.

x

y

M

N P

Q

y=senx


Trigonometría




Funciones Trigonométricas Inversas I

Objetivos

Aprender a determinar la inversa de una función ya dada; así como determinar el dominio y el rango de dichas inversas.

Reconocer las gráficas de las funciones trigonométricas inversas y elaborar la de otras más complicadas.

INTRODUCCIÓN

1/3 ⇒¿?1/5 ⇒¿?

a q u í s e p o d r í a u t i l i z a r l a calculadora; pero sin usar este aparato, ¿cómo podríamos despejar el ángulo?

Bueno, si tenemos:

senθ = ⇒ "θ es un ángulo cuyo seno vale 1/3"

senθ = ⇒ "θ es un ángulo cuyo seno vale 1/5"

13

15

INVERSA DE UNA FUNCIÓN

Dada una función "f " su inversa "f-1" o "f*", es aquella que se obtiene al invertir el orden las componentes de los pares ordenados que la conforman. Pero no toda función verifica que al invertir el orden de sus componentes genera otra función, muchas veces es una relación.Esto implica que una función para que posea inversa debe verificar algún tipo de propiedad o característica; por ejemplo:

R1 = {(3; 2), (4; 5), (1; 0), (-1; 7)}

⇒R ={(2; 3), (5; 4), (0; 1), (7, -1)}

R2 = {(3; 1), (5; 4), (6; 1), (2; 2}

⇒R ={(1; 3), (4; 5), (1; 6), (2, 2)}

Luego, la condición para que una función tenga inversa, es que debe ser inyectiva; es decir, debe ser una función donde cada elemento del rango es imagen de sólo un elemento del dominio. Por ejemplo:

F1 = {(3; 0), (2; 3), (4; 5), (-1;3)}

→no es inyectiva

función-1

1

función

función

-1

2

no es función

Cuando partimos de la igualdad: m = sen θ, al darle valores a "θ" se determinan correspondientemente valores para "m"; por ejemplo:

sen θ= m

π/6 ⇒1/2 π/3 ⇒3/2 π/4 ⇒2/2 π/2 ⇒1 0 ⇒0

Y podríamos continuar, pero que pasaría si ahora le damos valores a "m" y determinamos el correspondiente valor de "θ", por ejemplo:

m = sen θ

1/2 ⇒π/6 2/2 ⇒π/4 3/2 ⇒π/3 1 ⇒π/2

Pero este despeje en forma textual es muy extenso, motivo por el cual los matemáticos sugirieron una notación especial, así:

senθ = ⇒ θ = arc sen

senθ = ⇒ θ = arc sen

Análogamente:

cosθ = ⇒ θ = arc cos

tgφ = 7 ⇒ φ = arc tg 7

También, decimos:

θ = arc cos ⇒ cos θ =

α = arc cos ⇒ cos α =

φ = arc tg 4 ⇒ tg φ = 4

β = arc sec 8 ⇒ sec β = 8

1315

1315

16

16

17

17

14

14



I. E. P.


x+23

F2 = {(-1; 0), (2; 4), (3; 5), (1; 1)}

→si es inyectiva

Recuerda que gráficamente, una función es inyectiva cuando toda recta horizontal corta a su gráfica en un solo punto. Por ejemplo:

si es inyectiva

fy

x

Cuando una función se define mediante una regla de correspondencia; y ésta es inyectiva, la determinación de su inversa es como se muestra en el ejemplo:

Tenemos: y = f(x) = 3x - 2 (inyectiva)Hacemos: y →x x →yEs decir: x = 3y - 2 x + 2 = 3y

= y

no es inyectiva

yf

x

∴y = f-1(x) = x+23

y f

x-2

2/3

yf

x

Ahora bien, cuando se determina la inversa de una función, ¿qué ocurre con el dominio y el rango de la inversa?Veamos el siguiente ejemplo:

F={(1; 2), (3; 3), (4; 5), (7; 6), (2; 1)}Df ={1; 3; 4; 7; 2}Rf ={2; 3; 5; 6; 1}

F-1={(2; 1), (3; 3), (5; 4), (6; 7), (1; 2)}Df -1 ={2; 3; 5; 6; 1}Rf -1 ={1; 3; 4; 7; 2}

Propiedad: Dada la función inyectiva y = f(x) con su inversa y= f -1(x); se cumple que:

Df = Rf -1

Rf = Df -1

Ahora bien, de acuerdo con la definición de función inversa, se tiene que si (a; b) pertenece a "f ", entonces (b; a) pertenece a "f -1"; y viceversa. Gráficamente se puede observar que la ubicación en el plano de los puntos P(a, b) y Q(b, a) son simétricos respecto a la recta: y = x.Además debemos notar que PTQS es un cuadrado, luego sus diagonales se cortan perpendicularmente en su punto medio, por ello: PM = QM.Luego, si tomamos una función inyectiva y = f(x) con su inversa y = f-1(x); notaremos que sus gráficas son simétricas respecto a la recta: y = x.

yP

x

T y=x

Q

b

a S 45º

45ºa b

M

Esto es, por ejemplo:

yf

x

y=xf-1

yf

x

f-1

no es inyectiva

y f

x Si tuviéramos la función:y = f(x) = xHacemos: y →x x →yEs decir: x = y x2 = y

∴y = f-1(x) = x2


Trigonometría




Después de esta breve introducción se nos presenta un problema por resolver; ya que una función "f " para que tenga inversa debe ser inyectiva, es decir, toda recta horizontal debe cortar a su gráfica en un solo punto.Las funciones periódicas no son inyectivas, en consecuencia no poseen inversa. Las funciones trigonométricas no serían inyectivas, ya que todas son periódicas; en consecuencia no poseen inversa. Esto nos lleva a una contradicción: ¿Cómo halla sus inversas; si no poseen la misma?

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Para determinar las inversas de las funciones trigonométricas, tenemos que restringir su dominio, sin alterar su rango, a un intervalo donde sea inyectiva y en consecuencia posea inversa; como veremos en el siguiente análisis.

1. F.T. seno inverso θ arco seno:

Tenemos la función: y = f(x) = sen x; tomamos como dominio restringido a [- ; ], ya que la función es netamente creciente en ese intervalo, en consecuencia inyectiva y posee inversa. Nota que no alteramos su rango.

π2

π2

y

x

1

0

-1

-π/2π/2 π π

2-π

Luego, tenemos: y = f(x) = senx; Df : [- ; ] Rf : [-1; 1]Hallamos su inversa:

y = senx ⇒x = seny

y = arc senx ∴y = f-1(x) = arc senx; Df -1 : [-1; 1] Rf -1 : [- ; ]

π2

π2

π2

π2

Su gráfica sería la mostrada a continuación:

y

x1-1

π2

π2-

Función Inversa

y = senx y = arc senx

Df : [- ; ]π2

π2

Rf : [- 1; 1]

Df -1 : [-1; 1]

Rf -1 : [- ; ]π2

π2

arc sen(-x) = - arc sen x

3

Es importante entender lo del dominio y rango de la inversa; por ejemplo:

i) ¿Cuál es el dominio de: y = f(x) = arc sen(2x - 1)?

Tenemos: y = arc sen(2x - 1)

⇒seny = 2x - 1 ↓ [-1; 1]

-1 ≤2x-1 ≤ 1 ⇒0 ≤2x ≤2

⇒0 ≤ x ≤1

∴Df : [0; 1]

ii) Calcula: k = arc sen +arc sen + arc sen (- )

En este caso, entienda que como el

rango de y = arc sen x es [- ; ],

entonces cada arc senk debe estar

en [- ; ], por ejemplo:

arc sen = y no 5 , ya que

5 ∉ [- ; ]

arc sen = y no 3 , ya que

3 ∉ [- ; ]

arc sen (- )= - arc sen =-

Luego: k = + -

∴k =

π2

π2

12

22

32

π2

π2

π6

π6

12π2

π2

π6

22

π4

π4

π4

π2

π2

32

32

π3

π6

π4

π3

π12



I. E. P.


2. F.T. coseno inverso θ arco coseno

Tenemos la función: y = f(x) = cosx; tomamos como dominio restringido a [0; π], ya que la función es netamente decreciente en ese intervalo, en consecuencia es inyectiva y posee inversa. Nota que no alteramos su rango.

y

x

1

0

-1

π

Luego, tenemos: y = f(x) = cosx; Df : [0 ; π] Rf : [-1; 1]Hallamos su inversa:

y = cosx ⇒x = cosy

y = arc cosx ∴y = f -1(x) = arc cosx; Df -1 : [-1; 1] Rf -1 : [0 ; π]


y

x1-1

π2

Función Inversa

y = cosx y = arc cosx

Df : [0 ; π]

Rf : [- 1; 1]

Df -1 : [-1; 1]

Rf -1 : [0 ; π]

arc cos(-x) = - arc cosx + π

π2

π2--π π

23 2π

0

π

ii) Señala el dominio de la función: y = f(x) = arc cos ( )

Tenemos:

y = arc cos( )

⇒cos y = ↓ [-1; 1]

-1 ≤≤ 1

⇒-3 ≤2x - 1 ≤3 -2 ≤2x ≤ 4

⇒-1 ≤x ≤2

∴ Df : [-1; 2]

2x - 13

2x - 13

2x - 13

2x - 13

En el siglo XVIII, Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos, demostrando que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de estos últimos.

Por ejemplo:

i) Calcula: C = arc cos + arc cos (- )

Tenemos: C = arc cos - arc cos + π

C = - + π

∴ C = 13

12

22

12

22

π3

π4

π3

π4π12


Trigonometría




3. F.T. tangente inverso o arco tangente

Tenemos la función: y = f(x) = tgx, ∀x ∈R - {(2n+1) ; n ∈ Z},

tomamos el dominio restringido <- ; > donde la función es netamente creciente en consecuencia inyectiva y posee inversa. Su rango no se alteró.Luego tenemos: y = f(x) = tgx; Df : <- ; > Rf : RHallamos su inversa:y = tgx

x = tgy ⇒y = arc tgx

∴y = f -1(x)= arc tgx; Df -1 : R Rf -1 : <- ; >

π2

π2

π2

π2

π2

π2

π2

y

xπ2

0π2- π

23π


y

x

π2

Función Inversa

y = tgx y = arc tgx

Df : <- ; >

Rf : R

Df -1 : R

Rf -1 : <- ; >

arc tg(-x) = - arc tgx

0

π2-

π2

π2

π2

π2

La trigonometría en Occidente

El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim,

conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 - 1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de

minuto en minuto para el radio 100000. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra de los polinomios se prestan mucho apoyo.Por ejemplo:

i) arc tg 3 =

ii) arc tg(-1) = -arc tg1 = -

π3

π4



I. E. P.


4. F.T. cotangente inverso o arco cotangente

Tenemos la función: y = f(x) = ctgx, ∀x ∈R - {nπ; n ∈ Z},tomamos el dominio restringido <0;π> donde la función es netamente creciente en consecuencia inyectiva y posee inversa. Su rango no fue alterado.Luego, tenemos: y = f(x) = ctgx; Df : <0;π> Rf : RHallamos su inversa:y = ctgx

x = ctgy ⇒y = arc ctgx

∴y = f -1(x) = arc ctgx; Df -1 : R Rf -1 : <0; π>

y

x0 π2

π23π


y

x

Función Inversa

y = ctgx y = arc ctgx

Df : <0; π>

Rf : R

Df -1 : R

Rf -1 : <0; π>

arc ctg(-x) = - arc ctgx + π 0

π2

Por ejemplo:

i) arc ctg1 =

ii) arc ctg(- 3) = -arc ctg 3 + π = - + π = 5

π4

π6

2π

π

π6

La trigonometría en los tiempos modernos

En el siglo XVII, Isaac Newton (1642 - 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de

muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el senx y series similares para el cosx y la tgx. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas uti lizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.También se le debe a éste matemát ico e l uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.


Trigonometría




5. F.T. secante inversa o arco secante

arc sec(-x) = - arc secx + π

Función Inversa

y = secx y = arc secx

Df : [0; π]- { }π2 Df -1 :<-∞; -1]∪[1; +∞>

Rf :<-∞; -1]∪[1; +∞> Rf -1 : [0; π]- { }π2

y

10

π

-1 x

π2

6. F.T. cosecante inversa o arco cosecante

arc csc(-x) = - arc cscx

Función Inversa

y = cscx y = arc cscx

Df : [- ; ]- {0}π2 Df -1 :<-∞; -1]∪[1; +∞>

Rf :<-∞; -1]∪[1; +∞> Rf -1: [- ; ]- {0}

π2

π2

π2

y

0-1 x

π2-

1

π2

1. Señala el dominio de la función: y = f(x) = 2 arc sen ( ) +

Resolución:

3x-25

π3

En la función:

y = 2 arc sen( ) + 3x-25

π3

θ

θ = arc sen ( )3x-25

[- ; ]π2

π2

↓[-1; 1]

↓

⇒ -1 ≤≤ 1

-5 ≤3x - 2 ≤5 -3 ≤3x ≤ 7 -1 ≤x ≤

∴ Df : [-1; ]

3x-25

73

73

2. Señala el dominio de la función: y = f(x) = 4 arc cos( ) +2x-5

7π4

Resolución:

En la función:

y = 4 arc cos( ) + 2x-57

π4

α

α = arc cos ( )2x-57↓

[-1; 1]

⇒ -1 ≤≤ 1

-7 ≤2x - 5 ≤7 -2 ≤2x ≤ 12 -1 ≤x ≤6

∴ Df : [-1; 6]

2x-57

↓[0; π]



I. E. P.


Nivel I

1) Señala verdadero (V) o falso (F) sobre la función:

y = f(x) = sen 2x

I. En <0 ; > es inyectiva

II. En < ; π> es inyectiva

III. En < ; 3 > es inyectiva

a) VVF d) FVF b) FFV e) VVV c) VFV

3. Señala el dominio de la función: y=f(x)=2 arc sen2x+3 arc cos(3x+1)

12

Resolución:

En la función: y=f(x)=2 arc sen2x+3 arc cos (3x+1)

i) -1 ≤ 2x ≤ 1 ⇒- ≤x ≤

ii) -1 ≤ 3x+1 ≤ 1

-2 ≤ 3x ≤ 0 ⇒- ≤x ≤0

12

23

23-

12-

0 12

-∞ +∞

x ∈[- ; 0]

∴ Df : [ - ; 0]

12

12

4. Señala el rango de la función: y=f(x)=4 arc senx + π

4

Resolución:

En la función: y = 4 arc senx + ; x ∈ [-1; 1]

sabemos que: - ≤arc senx ≤

x 4 : -2π ≤4arc sen x ≤2π + : -2π+ ≤4arc senx+ ≤2π+

-7 ≤y ≤9

∴ Rf : [-7 ; 9 ]

π4

π2

π2

π4

π4

π4

π4

π4

π4

π4

π4

5. Señala el rango de la función: y=f(x)=2 arc cosx+ π

2

Resolución:

En la función: y = 2 arc cosx +

sabemos que: 0 ≤arc cosx ≤π

x 2 : 0 ≤2arc cosx ≤2π+ : 0 + ≤2arc cosx + ≤2π+

≤y ≤5

∴ Rf : [ ; 5 ]

y

π2

π2

π2

π2

π2

y

π2

π2

π2

π2

6. Señala el rango de la función: y=f(x)=4arc tgx+ π

3

Resolución:

En la función: y =f(x) = 4arc tgx+

sabemos que:

- < arc tgx <

0 ≤arc tgx<

x 4 : 0 ≤4arc tgx <2π+ : ≤4arc tgx+ <2π+

≤y <7

∴ Rf : [ ; 7 >

π2

y

π3

π2

π2

π3

π3

π3

π3

π3

π3

π3

π3

7. Señala el rango de la función: y=f(x)=2arc senx + π

4

Resolución:

En la función: y =f(x) = 2arc senx+

sabemos que:

- 1 ≤ x ≤1 y x≥0

0 ≤ x ≤1

Luego:0 ≤arc sen x≤

x 2 : 0 ≤2 arc senx ≤π+ : ≤2arc senx+ ≤π+

≤y ≤5

∴ Rf : [ ; 5 ]

π4

π2

π4

π4

π4

π4

π4

π4

π4

π4

π2

π2π4

π4

y


Trigonometría





y = f(x) = cos 2x


II. En < ; π> es inyectiva

III. En <- ; > es inyectiva

a) VVF d) VFF b) VVV e) FVV c) FVF

π2

π2π4

π4


y = f(x) = cos 3x


II. En < ; 2 > es inyectiva

III. En <0 ; > es inyectiva

a) VVV d) FVV b) VFV e) FVF c) VVF

π3

π3

π2

π3


y = f(x) = sen 4x

I. En < 0 ; > es inyectiva

II. En < ; 3 > es inyectiva

III. En < ; > es inyectiva

a) VFV d) FVF b) FFF e) FVV c) VVV

π4

π8

π2

π8

π4

5) Asumiendo que la función: y = f(x) = 2sen 2x+1; está definida

sobre un intervalo donde es inyectiva, ¿cuál es su inversa?

a) y = f -1 = arc sen( )

b) y = f -1 = arc sen( )

c) y = f -1 = arc sen

d) y = f -1 = 2 arc sen( )

e) y = f -1 = 2 arc sen( )

121212

x - 12

x+12

x2x - 1

2x+1

2

6) Asumiendo que la función: y = f(x) = 3cos4x - 1; está definida

sobre un intervalo donde es inyectiva, ¿cuál es su inversa?

a) y = f -1 = 4 arc cos( )

b) y = f -1 = 4 arc cos( )

c) y = f -1 = arc cos( )

d) y = f -1 = arc cos( )

e) y = f -1 = arc cos( )

14

x+13

x - 13

x+13

1414

x - 13x+2

3

7) Determina la inversa de la función:

y = f(x) = 2tg(2x+ )-1; si está definida sobre un intervalo donde es inyectiva.

a) y = f -1 = arc tg( )-

b) y = f -1 = arc tg( )+

c) y = f -1 = arc tg( )-

d) y = f -1 = arc tg( )+

e) y = f -1 = arc tg( )-

12

x+12

x+12

x-12

1212

x-12x+1

2

π3

12

π3π3

12

π6π6π6

8) Determina la inversa de la función:

y = f(x) = 3ctg(4x- )+2; si está definida sobre un intervalo donde es inyectiva.

a) y= f -1 = arc ctg( )-

b) y= f -1 = arc ctg( )+

c) y= f -1 = arc ctg( )-

d) y= f -1 = arc ctg( )+

e) y= f -1 = 4 arc ctg( )+ π

14

x-23

x-23

x+23

14

x+23x-23

π4

1414 π

16

π16

π16

π16

9) Señala el dominio de la función: y = f(x) = arc sen( )

a) [- ; ] d) [ ; ]

b) [- ; ] e) [- ; 3]

c) [ ; ]

3x-23

13

53

13

23

13

53

13

23

13


y=f(x)= arc sen( )

a) [-1; 3] d) [1; 3] b) [-2; 3] e) [-1; 4] c) [2; 3]

2x-15


y=f(x)= 2 arc cos( )+

a) [1; 2] d) [1; 3] b) [0; 2] e) [-1; 3] c) [-1; 2]

2x-13

π4



I. E. P.


Nivel II


y=f(x)= 3 arc cos( )+

a) [-1; 2] d) [-2; 5] b) [-1; 5] e) [-3; 5] c) [-2; 3]

2x-37

π6


y=f(x)= 3 arc tg +

a) R d) R - {0} b) R+ e) <0; +∞> c) [0; +∞>

1x

π3

π4


y=f(x)= 2 arc senx + a) [- ; 3 ] d) [- ; 3 ]

b) [- ; ] e) [- ; 3 ]

c) [0; ]

π4

π4

π4

π2

π2

π2

π4

π2

π2


y=f(x)= 4 arc senx + π

a) [-2π; π] d) [0; 3π] b) [-π; 3π] e) [-π; 2π] c) [π; 2π]

18) Señala el rango de la función: y=f(x)= 2 arc cosx +

a) [ ; 3 ] d) [0 ; 5]

b) [ ; 5] e) [0 ; 3]

c) [π; 5]

π2

π2

π2

π2

π2π2

π2π2

19) Señala el rango de la función: y= f(x)= arc cosx +2

a) [0 ; ] d) [2 ; π]

b) [0; 2 ] e) [ ; 2]

c) [ ; π]

π3

π3π3

π3

π3π3

13

π3

20) Señala el rango de la función: y=f(x)= 2 arc tgx +π

a) <0; π> d) <0; 3π> b) <0; 2π> e) <-π; 2π> c) <π; 2π>

21) Señala el rango de la función: y=f(x)= 3 arc tgx +

a) <-π; π> d) <-π; 2π> b) <0; π> e) <-π; 3π> c) <0; 2π>

π2

22) Dada la función: y=f(x)= arc senx calcula: C = f( )+ f(1)

a) d)

b) 2 e) π

c) 5

12

π3π3π6

π2

23) Dada la función: y=f(x)= arc cosx calcula: C = f( )+ f(1)

a) d)

b) π e) 5

c) 2

12

π3

π3

π3

π2

24) Dadas las funciones: y=f(x)= arc senx; y =g(x)= arc cos x; calcula: C = f(- ) + g(- )

a) d)

b) 5 e) 3

c) 7

12

π12

1 2

π12π12

π4π4


y=f(x)= 2 arc tg ( x-2+1)+

a) R d) [2; +∞> b) R+ e) [0; +∞> c) <2; +∞>

π4


y=f(x)= 3 arc sen( )+ arc tg x

a) [-2; 4] d) [1; 3] b) [0; +∞] e) [0; 3] c) [0; 4]

x-13

25) Dadas las funciones: y=f(x)= arc senx; y =g(x)= arc cos x; calcula:

f(- ) C = g(- )

a) -1 d) -1/2 b) 1 e) -2/3 c) 1/2

12

32


Trigonometría




Nivel III

27) Dadas las funciones: y = f(x)= 2 arc senx; y = g(x)= 3 arc cosx

calcula: C =

a) 1 d) 1/2 b) 2 e) 1/3 c) 3

f(1/2)g(1/2)

29) Dadas las funciones: y = f(x)= 3 arc tgx; y = g(x)= 2 cosx + 1

calcula: C = f[g( )]

a) π d) 3

b) e)

c) 3

π2

π2π2

π4

π4

30) Dadas las funciones: y = f(x)= esenx

y = g(x)= earc cosx

calcula: C = g[f(π)]

a) e d) eπ/2

b) e2 e) 1 c) eπ

31) Señala el dominio de la función: y = f(x)= 2 arc sen( )+

a) [-1; 1] d) [-4; 4] b) [-2; 2] e) [-6; 6] c) [-3; 3]

x-13

π4

32) Señala el dominio de la función: y = f(x)= 3 arc cos( )+

a) [-6; -2] b) [2; 6] c) [2; 4] d) [-6; -2]∪[2; 6] e) [-4; -2]∪[2; 4]

x-42

π6

33) Señala el dominio de la función: y = f(x)= arc sen ( ) +

arc cos ( )

a) [-2; 1] d) [-1; 3] b) [-3; 1] e) [-1; 1] c) [-1; 2]

2x-15

x+23

34) Señala el dominio de la función: y = f(x)= arc sen ( ) +

arc cos ( )

a) [-2; 1] d) [-3; 1] b) [-2; 5] e) [-3; 5] c) [-1; 5]

2x+13

x-14

39) Señala el rango de la función: y = f(x)= 2 arc sen x+

a) [π; 3 ] d) [ ; 3 ]

b) [ ; 5 ] e) [ ; 3 ]

c) [ ; 5 ]

π4

π2

π4

π4

π2

π2

π4

π4

π2

π2

26) Dadas las funciones: y = f(x)= 2 arc tgx; y = g(x)= arc cos+ π/3; calcule:

C = f(1)+ g( )

a) π d) 2π

b) e) 2

c) 3

32

π2π2

π3

12

28) Dadas las funciones: y = f(x)= 2 arc cosx; y = g(x)= 3 tgx + 1

calcula: C = g[f( )]

a) 1 d) -1 b) 2 e) -2 c) 3

35) Señala el dominio de la función: y = f(x)= 2 arc tg x2- 4 +

a) [-2; 2] b) <-∞; -2] c) [2; +∞> d) <-∞; -2] ∪[2; +∞> e) <-∞; -4] ∪[4; +∞>

π4

36) Señala el dominio de la función: y = f(x)= 3 arc tg 9-x2 + arc tg x - 1

a) <-∞; 1] d) <1; 3> b) [1; +∞> e) [1; 3] c) [-3; 3]

37) Señala el dominio de la función: y = f(x)= 2 arc sec x-3 + arc sen(x - 3)

a) [2; 4] d) [2; +∞> b) [3; 4] e) {3} c) [3; +∞>

38) Señala el dominio de la función: y = f(x)= arc csc 4 - x + arc sen(x - 4)

a) [3; 5] d) [2; 4] b) [3; 4] e) [1; 4] c) <-∞; 4]



I. E. P.


40) Señala el rango de la función: y = f(x)= 4 arc senx2 +

a) [; 5 ] d) [ ; 5 ]

b) [ ; 5 ] e) [π ; 3 ]

c) [π; 5 ]

π2

π2π4

π4π2

π2

π4π2

π2

41) Señala el rango de la función: y=f(x)= 2 arc cos(x2+ )+

a) [0; ] d) [ ; π]

b) [ ; ] e) [ ; 2 ]

c) [ ; π]

π3

π3

π2

π3

π6

π3

π3

12

π3

42) Señala el rango de la función: y=f(x)= 3 arc cos(x+ ) +

a) [π; 3 ] d) [ ; π]

b) [ ; 3 ] e) [π ; 5 ]

c) [ ; 5 ]

π2

π2

π2

π2

π2

π2

π2

12

π2

43) Señala el rango de la función: y=f(x)= 4 arc tg(x+ 1)+

a) [; 5 > d) [ ; 7>

b) [5 ; 9 > e) [5 ; 9 >

c) [ ; >

π4

π4

π4π4

π4

π2

π4π4

π4

π4π4

45) Señala el rango de la función: y=h(x)= arc sen( )

a) [0; π] d) [0 ; ]

b) [0 ; ] e) [0 ; 2 ]

c) [0 ; ]

π3π3

sen x+12

π2π4

46) Señala el rango de la función: y=f(x)= arc cos ( )

a) [0; arc cos ]

b) [0 ; ]

c) [0 ; arc cos ] d) [arc cos ; ]

e) [arc cos ; ]

cosx+23

π2

13

23

1323

π2π2

47) Señala el rango de la función: y=f(x)= arc sen (x2 + x)

a) [arc sen ; ]

b) [-arc sen ; ]

c) [-arc sen ; > d) [arc sen ; >

e) [0 ; ]

14

π2

14

π2

14

π2

14

π2

π2

48) Señala el rango de la función: y=f(x)= 2 arc cos(x2+1) +

a) [0 ; ] d) { }

b) [0 ; ] e) {5 }

c) [ ; 5 ]

π2π4

π4

π4

π4

π4π4

49) Señala el rango de la función: y=f(x)=2 arc sen( ) +

a) [0; 5 ] d) [-3 ; 5 ]

b) [- ; 3 ] e) [-3 ; 7 ]

c) [- ; 5 ]

π4

3 senx+cosx2

π4

π4

π4

π4

π4

π4

π4

π4

π4

50) Señala el rango de la función: y=f(x)=2 arc tg( ) +

a) <- ;5 > d) [- ; 5 ]

b) <- ; 3 > e) [- ; 3 ]

c) { }

π4

senx+ 15cosx4

π4π4

π4

π4

π4

π4

π4

π4

π4

Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el c o n c e p t o m o d e r n o d e funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.

44) Señale el rango de la función: y=f(x)= 3 arc tg(x+ 3) +

a) [2; 7 > d) [4 ; 11>

b) [4 ; 3 > e) [4 ; 13 >

c) [2 ; 3 >

π3

π3

π3π3

π6

π2

π3π3

π2

π6π6


Trigonometría




* PROPIEDADES DIVERSAS:

1)

Objetivo

Aplicar correctamente las propiedades de las F.T. inversas, a la resolución de ejercicios no teóricos y también al análisis de funciones más complicadas.

Funciones Trigonométricas Inversas II

sen(arcsenx)= x;∀x∈[-1; 1]

ctg(arcctgx)= x;∀x∈R

sec(arcsecx)= x;∀x∈R-<-1; 1>

csc(arccscx)= x;∀x∈R-<-1; 1>

tg(arctgx)= x;∀x∈R

cos(arccosx)= x;∀x∈[-1; 1]

Por ejemplo: sen(arcsen )= ; ya que ∈[-1;1]

tg(arctgθ)=θ ; ya que θ∈R

cos(arccos3)≠ 3; ya que 3 ∉[-1;1]

13

13

13

Demostraciones:

Sea : t=sen (arcsenx); ∀x∈[-1;1] t=senα;α=arcsenx senα=x ⇒ t=x ∴sen(arcsenx)=x

α

Sea : q=cos (arccosx); ∀x∈[-1;1] q=cosθ;θ=arccosx cosθ=x ⇒ q=x ∴cos(arccosx)=x

θ

Sea : n=tg (arctgx); ∀x∈R n=tgϕ;ϕ=arctgx tgϕ=x ⇒ n=x ∴tg(arctgx)=x

ϕ

2)

arcctg(ctgθ)=θ;∀θ∈<0; π>

arcsec(secθ)=θ;∀θ∈[0; π]-{0}

arccos(cosθ)=θ;∀θ∈[0; π]

arcsen(senθ)=θ;∀θ∈[- ; ]π2π2

arctg(tgθ)=θ;∀θ∈<- ; >π2π2

arccsc(cscθ)=θ;∀θ∈[- ; ]-{0}π2π2

Por ejemplo: arcsen(sen ) = ; ya que: ∈[- ; ]

arccos(cos2)=2; ya que: 2∈[0; π]

arctg(arctg2)≠ 2; ya que 2 ∉<- ; >

π7

π7

π7

π2π2

π2π2

Sea : t=arcsen (senθ); ∀θ∈[- ; ] t=arcsen x;senθ=x θ=arcsenx ⇒ t=θ ∴arcsen(senθ)=θ

xπ2π2

Sea : q=arccos (cosθ); ∀θ∈[0; π] q=arccos x;cosθ=x θ=arccosx ⇒ q=θ ∴arccos(cosθ)=θ

x

Sea : n=arctg(tgθ); ∀θ∈<- ; > n=arctg x;tgθ=x θ=arctgx ⇒ n=θ ∴arctg(tgθ)=θ

xπ2π2

3) arcsenx+arccosx=;∀x∈[-1; 1]π2

arctgx+arcctgx= ;∀x∈Rπ2

arcsecx+arccscx= ;∀x∈R-<-1; 1>π2

Demostraciones:



I. E. P.


Por ejemplo: arcsen +arccos =

arctg5+arcctg5 =

arsec4+arccsc4 =

15

15

π2

π2π2

Demostración:

Sea : ϕ= arcsenx+ arccosx ϕ=α+β;α=arcsenx⇒ senα=xβ=arccosx⇒ cosβ=x

senα=cosβ α+β= ϕ=

∴arcsenx+arccosx =

α β

π2

π2

π2

4) arctgx+arctgy=arctg +kπx+y1-xy( )

Si: xy<1 ⇒k=0 xy>1; x>0⇒k=1 xy>1; x<0⇒k=-1

arctgx-arctgy=arctg +kπx-y1+xy( )

Si: xy>-1 ⇒k=0 xy<-1; ⇒k= ⇒k=

Por ejemplo:

• arctg +arctg

=arctg +kπ

0;.<1

=arctg =arctg1=

14

35

14

35+( )1

435

.1- 14

35

1720( )320

1-π4

• arctg3+arctg2

=arctg +kπ

1; 3.2>1; 3>0=arctg +π

=arctg(-1)+π=-arctg1+π=- +π=3

3+21-3.2( )

51-6( )

π4

π4

5) arcsenx=arccsc ; ∀x∈[-1; 1]-{0}1x

ejemplo: arcsen =arccsc313

ejemplo: arccos =arcsec414

arccosx=arcsec ; ∀x∈[-1; 1]-{0}1x

arctgx=arcctg ; ∀x∈<0; +∞>1x

ejemplo: arctg4=arcctg + 14

arctgx=arcctg -π;∀x∈<-∞;0>1x

ejemplo: arctg(-2)=arcctg+(- )-π12

Demostración:

Resolución:En la expresión, recuerda que: sen2θ=1-cos2θ⇒cos2θ=1-sen2θ

C=sen2(arccos )+cos2(arcsen )

C=1-cos2(arccos )+1-sen2(arcsen )

C=1- +1- = 2- -

∴C=

1. Calcula: C=sen2(arccos )+ cos2 (arcsen )1

31 3

1 3

13

13

1 3

13( )

2

( )2

1 3

19

13

19

13

149

Otra forma de resolver estos ejercicios es con cambios de variable, por ejemplo:

C=sen2(arccos )+cos2(arcsen )

C=sen2α+cos2β ; α=arccos ⇒cosα=

β=arcsen ⇒senβ=

13

1 3

α β

13

13

1 3

1 3

Luego, con los triángulos:

C=( )2+( )2= +

∴C=14/9

2 2 3

2 3

8 9

2 3

α1

3 2 2

β

2

31

Sea: ϕ=arcsenx, con ϕ∈[- ; ]

⇒senϕ=x; x∈ [-1; 1] ⇒cscϕ= ; x∈ [-1; 1]-{0}

ϕ=arccsc

∴arcsenx=arccsc ; ∀x∈ [-1; 1]-{0}

π2

1x

π2

1x

1x


Trigonometría




Resolución:En la expresión, aplicamos cambio de variable: C=sen2 ( arctg )+cos2( arctg2 2)

α=arctg ⇒ tgα=

θ=arctg 2 2 ⇒ tgθ= 2 2

2. Calcula: C=sen2( arctg )+cos2 ( arctg2 2)1

2 52

12

12

52

12

α θ

52

52

α

53

2

θ

2 2

13

2C=1-cosα+1+cosθ2C=2-cosα+1+cosθ⇒2C=2- +

2C =

∴C=5/6

13

23

53

3. Calcula: ϕ=arcsen(sen1)+arcsen(sen2)

Resolución:

Analizando cada término:• arcsen(sen1)=1; ya que 1∈[- ; ]

• arcsen(sen2)≠2; ya que 2∉[- ; ]

π2π2

π2π2

En la C.T. buscamos un equivalente de sen2, cuando un arco que pertenezca al intervalo [- ; ].

Esto es: sen2=sen(π-2)

π2π2

Luego:arcsen(sen2)=arcsen[sen(π-2)]=π-2

Entonces: ϕ= arcsen(sen1)+ arcsen(sen2)

ϕ=1+π-2 ∴ϕ= π-1

1 π-2

4. Calcula: ϕ=arccos(cos4)

Resolución:

Analizando:arccos(cos4)≠4; ya que 4∉[0; π]

En la C.T. buscamos un equivalente de cos4, usando un arco que pertenezca al intervalo [0; π]

Esto es: cos4=cos(2π-4)

Luego:arccos(cos4)=arccos[cos(2π-4)]=2π-4∴ϕ=2π-4

5. Calcula: ϕ=arctg +arctg

Resolución:

18

79

En la expresión:ϕ=arctg +arctg

=arctg +kπ

como: . = <1 ⇒ k=0

Luego:ϕ=arctg +0(π)=arctg

ϕ=arctg1

∴ϕ=

18

79

18

79

+

18

79

1- .{ }18

79

712

9 5672+

772

1-{ } 65726572

{ }π4

6. Calcula “x” si: 4arcsenx=arccosx

Resolución:En la expresión:4arcsenx=arccosx

Pero, se sabe:arcsenx+ arccosx=

⇒ 5arcsenx=

arcsenx=

Luego: x=sen ⇒x=sen18°

∴x=

π2

π2

4arcsenx

π10

π10

5-14

α2

θ2

α2

θ2

C=sen2 +cos2

2C=2sen2 +2cos2

2 π-2

π2

π x

π2

-

y

sen2

C.T.

π2

πx

y

cos4

2πO

2π-4

4

π2

3 C.T.



I. E. P.


Nivel I

7. Sabiendo que: arctgx+arctgy+arctgz=π;

calcula: C= x+y+zxyz

Resolución:De la condición:arctgx+ arctgy+ arctgz=π

⇒α+β+θ=π

tgα=x ; tgβ=y ; tgθ=z

Pero, cuando: α+β+θ=π⇒tgα+tgβ+tgθ=tgα. tgβ. tgθ x + y + z = x . y . z

∴C=1

α β θ

1) Calcula: C=2sen(arccos )+3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

32

2) Calcula: C=4tg(arccos )+1

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

22

3) Calcula: C= 6sen(arctg 2)+1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4) Calcula: C= 5cos(arctg2)+3

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5) Calcula: C=12cos(arctg 35)+1

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 2

6) Calcula: C=2sec(arctg 15)-1

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

7) Calcula: C=6sen( +arccos )- 10

a) 2 b) 2 c) 4d) 2 2 e) 4 2

π4

23

8) Calcula: C= 26cos( +arctg )+1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

π4

23

9) Calcula: C=tg(arctg +arctg )

a) 3/8 b) 3/5 c) 2/15d) 15/8 e) 15/16

16

23

10) Calcula: C=tg(arctg4-arctg3) a) 6-1 b) 7-1 c) 9-1

d) 12-1 e) 13-1

11) Calcula: C=17sen(2arctg4)+1 a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

12) Calcula: C= 37cos(2arctg )+1 a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

16

13) Calcula: C=sen2(arccosn)+sec2(arctgn) a) 1 b) 2 c) 1+n2

d) 2n2 e) 2(1+n2)

14) Calcula:

C=

si x∈ <0;1> a) x b) 2x c) 2

d) x2 e) 2x2

tg2(arctgx)+cos2(arccosx)sen(arcsenx2)

15) Calcula:

C= ; x∈<0;1>

a) 1 b) x c) 2

d) 2x e) 2x2

1-cos(2arcsenx)tg2(arctgx)

Nivel II

16) Calcula: ϕ=arccos(cos2 )-arcsen(sen ) a) π/12 b) π/4 c) 2π/3

d) 5π/12 e) 3π/4

π3

π4

17) Calcula:

ϕ=

a) 1/3 b) 2/3 c) 1/6

d) 1/5 e) 3

arctg(tg π/5)arccos(cos3π/10)

18) Calcula: ϕ=arcsen(sen3) a) 3 b) 1 c) π+3

d) π-3 e) 3


Trigonometría




Nivel III19) Calcula: ϕ=arcsen(sen1)+arcsen(sen2) a) π b) π-1 c) π+1

d) π-3 e) π+3

20) Calcula: ϕ=arccos(cos5) a) 5 b) π-5 c) π+5

d) 2π-5 e) 5-2π

21) Calcula: ϕ=arccos(cos2)+arccos(cos4) a) π-1 b) π-2 c) 2π-1

d) 2π+2 e) 2π-2

22) Calcula:

C=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

arcsen1/3+arccos1/3arctg1/ 3

23) Calcula:

C=

a) 1 b) 1/2 c) 2/3

d) 3/2 e) 3/4

arctg 6+arcctg 6arccos 1

2

24) Sabiendo que: arcsenx+arcseny+arcsenz=π/4;

calcula: C=arccosx+arccosy+arccosz a) π b) 5π/4 c) 7π/4

d) 3π/2 e) 2π

25) Sabiendo que: arctgx+arctgy+arctgz=2π/3; calcula: C=arcctgx+arcctgy+arcctgz a) π/6 b) 2π/3 c) π

d) 5π/6 e) π/2

26) Calcula “x” en la igualdad: arctg +arctg =arctg a) 1 b) 2 c) 3

d) 1/3 e) 2/3

14

13 ( (2x+1

3x+2

27) Calcula “x” en la igualdad: arctg +arctg =arctg a) 1 b) 2 c) 3

d) 2/3 e) 3/2

1 2

23 ( (2x+1

x+1

28) Calcula “x” en la igualdad: arctg +arctg +arctg

=arctg a) 1 b) 2 c) 1/2

d) 1/3 e) 1/4

16

14

( (x+13x-3

617

29) Calcula “x” en la igualdad: arctg - arctg +arctg

=arctg(2x-1) a) 1 b) 2 c) 3

d) 1/2 e) 1/3

13

14

67

30) Calcula: ϕ=arctg( )+arctg ( )

+arctg si: 1>a>b>c>0

a) π b) π/2 c) π/4d) -π/2 e) 0

a-b 1+ab

b-c1+bc

( (c-a1+ca

31) Calcula “x” si: arcsen = arctg a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 4 2

13

2x

33) Calcula “x” si: arcsenx=2arccosx a) 2 b) 2/2 c) 1/2

d) 3/2 e) 3/5

32) Calcula “x” si: arccos(2/3)=arctg(x/2) a) 1 b) 3 c) 5

d) 2 e) 2 5

34) Calcula “x” si: 4arcsenx=arccosx a) b) c)

d) e)

6- 24

6+ 24

5-14

5+14

3-12

35) Señala el rango de la función: y=f(x)=3arcsenx+arccosx a) d) b) e) c)

[ ]π2

- ; π2

[ ]π2

- ; 3π2

[ ]π2 ; 3 π

2

[ ]π2

- ; 5π2

[ ]π2 ; 5 π

2

36) Señala el rango de la función: y=f(x)=4arcsenx+5arccosx a) [π; 2π] d) [π; 3π] b) [2π; 3π] e) [2π; 4π] c) [3π; 4π]

37) Señala el valor máximo de:

y=f(x)=

a) 1/4 b) 1 c) 3/4

d) 1/2 e) 3/2

arcsenx+πarccosx+π



I. E. P.


38) Señala el valor máximo de:

y=f(x)=

a) 1 b) 1/2 c) 1/4

d) 2 e) 4

arcsenxπ+arccosx

40) Señala el rango de la función: y=f(x)=arcsenx+arccos|x| a) d) b) e) c)

[ ]π2

- ; π2

[ ]π4

- ; 3π4

[ ]-π;π2 [ ]0; π

2

[ ]π2

- ; 3π2

39) Señala el rango de la función: y=f(x)=|arcsenx|+arccosx a) d) b) e) c)

[ ] ;ππ2

[ ]0; π2 [ ]π

2 ; 3 π

2

[ ]π; 3π2

[ ]π;3 ∪{ }π2

π2

41) Reduce: C= ∑{arcsen(senk)}

a) π-3 b) π-4 c) 2π-2

d) 2π-3 e) 2π-4

3

k=1

42) Reduce: C= ∑{arccos(cosk)}

a) π+2 b) π+1 c) 2π+1

d) 2π+2 e) 2π+4

4

k=1

43) Reduce: C= ∑{arctg(tgk)}

a) 3-π b) 6-2π c) 10-3π

d) 9-2π e) 7-3π

4

k=1

45) Siendo: arctgx+arctgy+arctgz=π/2; calcula k=xy+yz+zx a) 1 b) 2 c) -1

d) -2 e) 1/2

44) Siendo: arcsen(sen7)+1=k.arcsen(sen4)

calcula “k”. a) 1 b) -1 c) 2

d) -2 e) -4

46) Sabiendo que: arcsenx+arcseny+arcsenz=π calcula:

C= a) 1 b) 2 c) 4

d) 1/4 e) 1/2

x 1-x2+y 1-y2+z 1-z2

xyz

47) Sabiendo que: arctgx+arctgy+arctgz=π calcula: C=(y-1-y)(z-1-z)+(z-1-z)(x-1-x)+ (x-1-x)(y-1-y)

si x; y; z>0 a) 1 b) 2 c) 4

d) 8 e) 1/4

48) Calcula “x” en la igualdad:

arcsen = arccos

a) 1/2 b) 1 c) 1/3d) 2/3 e) 1/4

( (xx+2

xx+2

12

( (11+12+1

( (11+22+2

( (11+32+3

49) Reduce:

C= arctg +arctg

+arctg

+.... +n términos

a) arctg d) arctg b) arctg e) arctg(n+1) c) arctg

( (nn+1

( (nn+2

( (nn-1

( (n+1n+2

50) Reduce

C=arctg +arctg

+arctg +arctg

+.... +9 términos

a) arctg d) arctg b) arctg e) arctg c) arctg

( (20

1+21

( (255257

( (127129

( (6365

( (3133

( (21

1+23

( (22

1+25 ( (23

1+27

( (1517

Los egipcios y los babilonios inventaron métodos para medir ángulos determinados por varias estrellas. En el siglo XVI antes de la era cristiana, el escriba Ahmes escribió su famoso papiro donde se ve que los egipcios conocían, entre otras muchas cosas, que la circunferencia de un círculo era un número fijo de veces su propio diámetro. Este número fijo que era un número inconmensurable y que desde el siglo XVII se le designa con la letra griega π.


Trigonometría




Objetivo

Reconocer una ecuación trigonométrica; así como resolverla de manera rápida y correcta; identificando sus primeras soluciones positivas y determinando su solución general.

Ecuaciones Trigonométricas

Una ecuación trigonométrica (E.T.) es una igualdad condicional, donde la variable (o incógnita) está afectada de operadores trigonométricos.

DEFINICIÓN

Ejemplo:

sen2x+cosx=1 → es una E.T.tg4x+senx=ctgx → es una E.T.sec2x+x=2senx → no es una E.T.

Ahora bien, sea o no una ecuación trigonométrica, una vez planteada sólo queda resolverla. Los valores de la variable que verifican la igualdad se denominan soluciones de la ecuación y por lo general, en el caso de ecuaciones trigonométricas, existen en cantidades ilimitadas; debido al carácter periódico de las funciones trigonométricas, como veremos más adelante en los ejemplos. Las ecuaciones trigonométricas pueden clasificarse en elementales y no elementales.

* E.T. Elementales:

R.T.(x)=n (forma básica)

Estas son las ecuaciones trigonométricas más simples y las que primeramente debemos aprender a resolver.

1.- E.T. E. : R.T.(x)= n; n>0En este caso siempre existirá un valor de x=θ que pertenece al IC y debe existir otro que en el recorrido <π/2; 2π> pertenecerá a algún cuadrante, ¿cómo lo encontramos?; bueno, ese otro valor se determina así: (“θ” no es cuadrantal).

R.T.(x)=n; n>0 ⇒x=θ

x=θen el IIC: 180°-θen el IIIC: 180°+θ........ (α)en el IVC: 360°-θ

Ejemplos:

1) senx=1/2 ⇒ x=30°; pero como: senx>0 ⇒ x∈IC o x∈IIC.

⇒ x=30°; 180°-30° ⇒ x=30°; 150°

2) tgx= 3 ⇒ x=60°; pero como: tgx>0 ⇒ x∈IC o x∈IIIC.

⇒ x=60°; 180°+60° ⇒ x=60°; 240°

3) cosx= 2/2 ⇒ x=45°; pero como: cosx>0 ⇒ x∈IC o x∈IVC.

⇒ x=45°; 360°-45° ⇒ x=45°; 315°

Gráficamente, también se puede observar:

x

y

30°

C.T.

150°

90°

180° 1/2 0°

x

y

60°C.T.

270°

90°

180° 0°

240°

3

x

y

45°

C.T.

90°

180°

360°0°

270°

315°

3/2

3/2



I. E. P.


Pero no termina aquí el análisis; ya que todos los ángulos que sean coterminales con los que encontramos, también serían solución de la misma ecuación trigonométrica. Entonces, bastará sumarle o restarle múltiplos de 360° a los que ya encontramos; y se obtendrá una mayor cantidad de soluciones (ilimitada por cierto).

Ejemplos:

1) senx=1/2

⇒x= 30°; 150°;390°;510°;750°; 870°;...

x=...; -570°;-330°;-210°;30°;150°;...

∴x=...,-570°;-330°;-210°;30°;150°; 390°;510°;750°;870°;...

+360° +360°

+360° +360°

-360°

-360° -360°

2) tgx= 3

⇒x=60°; 240°,420°,600°;780°,960°;...

x=...; -480°;-300°;-120°;60°;240°;...

∴x=...,-480°;-300°;-120°;60°;240°; 420°;600°;780°;960°;...

+360° +360°

+360° +360°

-360°

-360° -360°

3) cosx= 2/2

⇒x=45°; 315°,405°,675°;765°,1035°;...

x=...; -405°;-315°;-45°;45°;315°;...

∴x=...,-405°;-315°;-45°;45°;315°; 405°;675°;765°;1035°;...

+360° +360°

+360° +360°

-360°

-360° -360°

2.- E.T. E. : R.T.(x)= n; n<0En este caso, resuelve: R.T.(x)=|n|; y encontrarás un valor θ∈IC, que no es solución del problema, pero que permitirá encontrar las verdaderas soluciones identificando los cuadrantes donde deberían estar las soluciones y reemplazando en (α).

1) senx=-1/2 (senx=1/2... x=30° →no es solución: θ=30°)

como senx<0 ⇒x∈IIIC o x∈IVC ⇒x=180°+θ;360°-θ x=180°+30°; 360°-30° ⇒x=210°; 330°

2) tgx= - 3 (tgx= 3... x=60° →no es solución: θ=60°)

como tgx<0 ⇒x∈IIC o x∈IVC ⇒x=180°-θ;360°-θ x=180°-60°;360°-60° ⇒x=120°; 300°

3) cosx= - 2/2 (cosx= 2/2... x=45° →no es solución: θ=45°)

como cosx<0 ⇒x∈IIC o x∈IIIC ⇒x=180°-θ;180°+θ x=180°-45°;180°+45° ⇒x=135°; 225°

3.- E.T. E. : Formas no básicas

Son aquellas en las cuales la variable está afectada de coeficientes o sumandos diferentes, pero el criterio sigue siendo el mismo.

1) sen(2x+10°)= 3/2

X=60°;120°X=...;-300°;-240°;60°;120°;420°;480°;...2x+10°=...;-300°;-240°;60°;120°;420°; 480°; ...2x=...;-310°;-250°;50°;110°;410°;470°;...

∴x=...;-155°;-125°;25°;55°;205°;235°;...

X

2) cos (3x+24°)=1/2

X=60°;300°X=...;-60°;60°;300°;420°;...3x+24°=...;-60°;60°;300°;420°;...3x=...;-84°;36°;276°;396°;...

∴x=...;-28°;12°;92°;132°;...

X

3) tg 5x = - 3/3

X=180°-30°;360°-30°X=150°; 300°X=...;-30°;150°;330°;510°;...5x=...;-30°;150°;330°;510°;...

∴x=...;-6°;30°;66°;102°;...

X

4.- E.T. no Elementales:Estas son las ecuaciones trigonométricas con las que vamos a lidiar con mayor frecuencia. Se caracterizan por contener diferentes razones trigonométricas de la variable o múltiplos de ella. Para resolverlas, debemos reducirlas a la forma elemental. Luego utilizar el criterio ya visto en (α). Se debe recordar para ello todo lo visto en identidades trigonométricas para una variable, para la suma y diferencia de variables, para los múltiplos de una variable, para transformaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas (no, no se asuste, es sólo cuestión de practicar).

Ejemplos:

Ejemplos:


Trigonometría




1) senxctgx+7cosx=4

Pasando a senos y cosenos:senx +7cosx=4

⇒8cosx=4 cosx=1/2 ⇒ x=60°; 300°

cosxsenx

2) sen4xcosx+senxcos4x=

Recuerda: senαcosβ+senβcosα=sen(α+β)

sen4xcosx+senxcos4x =

sen(4x+x)

sen5x=

5x=30°; 150°⇒ x=6°; 30°

12

12

12

3) senxcosxcos2x =

Recuerda que: sen2θ=2senθcosθEn la ecuación:2senxcosxcos2x= .2

sen2xcos2x=

2sen2xcos2x=2.

⇒ sen4x =

4x=arcsen

⇒ x= arcsen

116

sen2x18

18

14

116

14

14

14

El factor que se cancela en numeradores de miembros diferentes, debe igualarse a 0 (cero), para no perder soluciones.

Importante

5) sen7x=senx

En este caso, hacemos:sen7x-senx=0 ⇒2senx3cos4x=0 sen3xcos4x=0

Igualamos a cero cada factor:sen3x=0 ⇒3x=0; 180°; 360° x=0; 60°; 120°

cos4x=0 ⇒4x=90°; 270° x=22°30'; 67°30'

∴x=0; 22°30'; 60°; 67°30'; 120°

En este caso: cos2x=0 ⇒2x=90°; 270° ⇒x=45°; 135°

∴x=10°; 45°; 50°; 135°

Hasta ahora hemos encontrado algunas soluciones de las ecuaciones trigonométricas y verificado el método para enumerar muchas de ellas, pero no para determinar todas. El conjunto de todas las soluciones de una ecuación trigonométrica se denomina: “solución general de la ecuación”, y su obtención es en base al siguiente esquema:Dada una ecuación trigonométrica, se reduce a su forma elemental y si:

OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Obtenemos Hacemos Donde

senxg=n

cosxg=n

tgxg=n

xg=nπ+(-1)nxp

xg=2nπ±xp

xg=nπ+xp

n∈Zxp=arcsenn

n∈Zxp=arccosn

n∈Zxp=arctgn

xp: valor principal- ≤xp ≤π2

π2

xp: valor principal 0 ≤xp ≤π

xp: valor principal- ≤xp ≤π2

π2

Por ejemplo, resolvamos:

1) tgx+ctgx=4

Tenemos: tgx+ctgx=4 ⇒2csc2x=4 csc2x=2

⇒sen2x=

2csc2x12

xg=2x

xp=arcsen = π6

12

4) sen5x+senx=cos2xRecuerda que: senα+senβ=2sen ( ) cos( )En la ecuación:sen5x+senx=cos2x

⇒ 2sen3xcos2x=cos2xsen3x=1/2

3x=30°; 150° ⇒ x=10°; 50°

α+β2

α-β2

2sen3xcos2x

Ejemplos:



I. E. P.


Luego: xg=nπ+(-1)nxp 2x=nπ+(-1)n

∴x=n +(-1)n ;∀n∈Z

π6

π2

π12

Si quisieras algunas soluciones, le damos valores a n:

n=0 ⇒x=

n=6 ⇒x=3π+ =37

n=-4 ⇒x=-2π+ =-23

π12

π12

π12

π12

π12

2) sen2x+sen22x=cos2x+cos22x

Tenemos: cos22x+cos2x-sen2x-sen22x=0cos22x-sen22x+ cos2x-sen2x=0

Luego: cos4x+cos2x=0 ⇒2cos3xcosx=0 cos3xcosx=0

Igualamos a cero cada factor:

cos3x=0

xg=2nπ± xp ⇒ 3x=2nπ±

∴x=2n ±; ∀n∈Z

cosx=0

xg=2nπ±xp ⇒ x=2nπ± ; ∀n∈Z

∴x={{2n ± ;n∈Z}∪{2nπ±;n∈Z}

cos4x cos2x

xg=3x

xp=arccos0= π2

π2

π3

π6

xg=x

xp=arccos0= π2

π2

π3

π6

π2

Resolución:

1. Resuelve: sen3x=1/2; señalando la suma de sus

tres primeras soluciones positivas.

En la ecuación:sen3x= ⇒3x=30°; 150°; 390° x=10°; 50°; 130°

∴∑x=190°

12

+360°

2. Resuelve: cos5x= 2/2; señalando la suma

de sus tres primeras soluciones positivas.

Resolución:En la ecuación:cos5x= ⇒5x=45°; 315°; 405° x=9°; 63°; 81°

∴∑x=153°

22

+360°

3. Señala la suma de las tres primeras soluciones positivas de la ecuación: tg2x= - 3

Resolución:En la ecuación:tg2x= - 3 ⇒2x=120°; 300°; 480° x=60°; 150°; 240°

∴∑x=450°

+360°

4. Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación:

senx-2senxcosx=0

Resolución:Factorizando en la ecuación:senx-2senxcosx=0 ⇒senx(1-2cosx)=0

Igualando a cero cada factor:• senx=0 ⇒ x=180°; 360°• 1-2cosx=0 ⇒ cosx=1/2 ⇒ x=60°; 300° Luego las dos primeras son: x=60°; 180° ∴∑x=240°

Resolución:

5. Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación:

2sen2x+3cos2x=2,5

En la ecuación:sen2x=1-cos2x 2(1-cos2x)+3cos2x =

2-2cos2x+3cos2x= ⇒cos2x=

• cosx= ⇒ x=45°; 315°

• cosx= - ⇒ x=135°; 225°

Luego, las dos primeras son: x=45°; 135°

∴∑x=180°

52

52

12

22

22

Resolución:

6. Resuelve: sen5x+senx=cos5x+cosx

En la ecuación, transformando a producto: 2sen3xcos2x=2cos3xcos2x...(cos2x=0)

Reduciendo:sen3x=cos3x

⇒tg3x=1

xg=nπ+xp3x=nπ+

∴x=n + ; ∀n∈Z

xg=3x

xp=arctg1= π4

π4

π3

π12

Pero: cos2x=0

xg=2nπ± xp2x=2nπ±

∴x=nπ± ; ∀n∈Z

π2

xg=2x

xp=arccos0= π2

π4


Trigonometría




Nivel I

Resolución:

7. Resuelve: sen9x=senx

En la ecuación:sen9x-senx=0 ⇒ 2sen4xcos5x=0 sen4xcos5x=0

Igualando a cero cada factor:

sen4x=0

xg=nπ+(-1)nxp ⇒ 4x=nπ+(-1)n0

∴x=n ; ∀n∈Z

cos5x=0

xg=2nπ± xp ⇒ 5x=2nπ±

∴x=2n ± ; ∀n∈Z

xg=4x

xp=arcsen0=0

π4

π2

xg=5x

xp=arccos0 = π2

π5

π10

1) Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación:

senx= .

a) 90° b) 120° c) 150° d) 180° e) 240°

12


senx= .

a) 90° b) 120° c) 150° d) 180° e) 240°

32

3) Suma las dos primeras soluciones positivas de las ecuación:

cosx= .

a) 120° b) 240° c) 180° d) 270° e) 360°

12


cosx= .

a) 90° b) 120° c) 180° d) 270° e) 360°

22

5) Si las dos primeras soluciones positivas de la ecuación:

tgx= 3, son x1 y x2 (x2>x1); calcula: x2-x1.

a) 180° b) 90° c) 120° d) 240° e) 60°

6) Suma las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: tgx=1.

a) 225° b) 180° c) 315° d) 270° e) 360°

7) Suma las tres primeras soluciones positivas de la ecuación:

senx= -1/2.

a) 1100° b) 1110° c) 1200° d) 1250° e) 1240°


senx= -

a) 1125° b) 1250° c) 1145° d) 1135° e) 1245°

22


cosx= -

a) 720° b) 630° c) 810° d) 870° e) 740°

32


cosx= - . a) 720° b) 520° c) 840°

d) 640° e) 910°

12


sen3x= . a) 20° b) 30° c) 60°

d) 90° e) 180°

32


cos5x= . a) 36° b) 72° c) 30°

d) 108° e) 216°

12


tg3x= - 3. a) 100° b) 110° c) 120°

d) 130° e) 140°


sen3x= - . a) 90° b) 120° c) 150°

d) 180° e) 210°

12


sen3xcos2x=0. a) 135° b) 150° c) 180°

d) 215° e) 225°



I. E. P.


Nivel III

Nivel II

16) Resuelve: 5sen2x+2cos2x=4,25; si “x” es

agudo. a) 15° b) 30° c) 45°

d) 75° e) 60°

17) Resuelve: 7sen2x-3cos2x=0,6; si “x” es

agudo. a) 16° b) 37° c) 45°

d) 53° e) 74°

18) Resuelve la ecuación: 3senxctgx+cosx=2; x∈<π; 2π>. a) 7 b) 5 c) 4

d) 5 e) 11

π6

π4

π3

π3

π6

19) Resuelve la ecuación: 5cosxtgx-2senx=1,5 si x∈<2π; 3π>. a) 13 b) 17 c) 7

d) a y b e) b y c

π6

π6

π3

20) Resuelve sen3xcosx+senxcos3x=1/2 indicando la suma de las tres

primeras soluciones positivas. a) 5 b) 13 c) 13

d) 17 e) 19

π8

π6

π12

π24

π24

21) Resuelve cos5xcosx-sen5xsenx= 2/2 indicando la suma de las tres


d) 23 e) 25

π24

π24

π24

π24

π24

23) Resuelve =1-tg2x

a) 15° b) 20° c) 18°

d) 24° e) 45°

senxcos3xcos2x

22) Resuelve =tg2x + 3

a) 10° b) 15° c) 20°

d) 25° e) 30°

sen5xcos3xcos2x

24) Resuelve sen2x=senx; indicando la suma de las tres primeras soluciones positivas.

a) 3 b) 3π c) 5

d) 7 e) 11

π2

π3

π3

π6

25) Resuelve: sen2x=cosx; indicando la suma de las tres primeras soluciones positivas.

a) π b) 2π c) 3

d) 5 e) 9

π2

π2

π2

26) Resuelve sen3x=( 3+1)senx; indicando la suma de las tres primeras soluciones positivas.

a) π b) 2π c) 3π

d) 3 e) 5π2

π3

27) Resuelve: cos3x= ( 2-1)cosx a) 7 b) π c)

d) 7 e) 3

π8

π4

π4

π4

28) Resuelve: sen3x+senx=cos3x+cosx indicando la suma de las dos

primeras soluciones positivas. a) b) π c) 5

d) 3 e) 7

π2

π8

π8

π8

29) Resuelve: sen2x+sen4x+sen6x=cos2x+cos

4x+cos6x indicando la suma de las tres


d) 17 e) 19

π8

π24

π24

π24

π8

30) Resuelve: sen22x+sen24x=cos22x+cos24x

a) b) c) 3

d) 5 e) T.A.

π12

π4

π12

π4

31) Suma los dos primeros valores positivos de “x” que cumplen: senx=n; n∈<0; 1>.

a) π b) c) 2π

d) 3 e) 5π2

π2

π2

32) Suma los dos primeros valores positivos de “x” que cumplen: cos3x=m; m∈<-1; 0>.

a) 90° b) 180° c) 270°

d) 120° e) 240°


Trigonometría




33) Resuelve: (senx+cosx)2=1+senx a) nπ; n∈Z b) 2nπ±π/3; n∈Z c) 2nπ±π/6; n∈Z d) A∪B e) A∪C

34) Resuelve: (sen5x+cos5x) (sen2x+cos2x)=sen7x a) 2nπ±π/4; n∈Z b) (2n+1)π/3; n∈Z c) (2n+1) π/6; n∈Z d) (2n+1) π/12; n∈Z e) nπ± π/6; n∈Z

35) Resuelve: secxsec2x=8senx a) nπ+(-1)n π/12; n∈Z b) n π/2+(-1)n π/12; n∈Z c) n π/2+(-1)n π/24; n∈Z d) n π/4+(-1)n π/12; n∈Z e) n π/4+(-1)n π/24; n∈Z

36) Resuelve: sen5x-senx= 3cos3x a) (2n+1)π/6; n∈Z b) n π/2+(-1)n π/6; n∈Z c) nπ+(-1)n π/3; n∈Z d) A∪B e) A∪C

37) Resuelve: senx+ 3 cosx= 2 a) 2nπ+5π/12; n∈Z b) 2nπ-π/12; n∈Z c) 2nπ+π/12; n∈Z d) A∪B e) A∪C

38) Resuelve: sen4x+cos4x=0,625 a) nπ/2 ±π/3; n∈Z b) nπ/2 ±π/6; n∈Z c) nπ±π/6; n∈Z d) nπ±π/3; n∈Z e) nπ/4±π/6; n∈Z

39) Resuelve: (sen7x+cos7x)(senx+cosx)= 2cos23x a) (2n+1)π/8; n∈Z b) (4n+1)π/8; n∈Z c) (4n+1)π/16; n∈Z d) (4n+1)π/32; n∈Z e) (2n+1)π/16; n∈Z

40) Resuelve: sen2x+cos22x+sen23x=cos2x+cos

22x+cos23x a) (2n+1)π/8; n∈Z b) (2n+1)π/4; n∈Z c) nπ±π/3; n∈Z d) A∪B e) A∪C

41) Resuelve: 2vers2x=senx+sen22x a) nπ; n∈Z b) nπ+(-1)n arcsen 1/ 3 2; n∈Z c) nπ+(-1)n arcsen 1/ 3 4; n∈Z d) A∪B e) A∪C

42) Resuelve: x+y=π/3 cos2x+cos2y = 2/2 a) x=nπ±π/4+π/6; n∈Z

y=π/6-nπ±π/4; n∈Z b) x=nπ±π/8+π/6; n∈Z

y=π/6-nπ±π/8; n∈Z c) x=nπ±π/4+π/3; n∈Z

y=π/3-nπ±π/4; n∈Z

d) x=2nπ±π/8+π/6; n∈Z y=π/6-2nπ±π/8; n∈Z

e) x=2nπ±π/8-π/3; n∈Z

y=2nπ±π/8+π/3; n∈Z

43) Resuelve: x-y=θ sen2x-sen2y=2senθ a) x=nπ+θ/2; n∈Z

y=nπ-θ/2; n∈Z b) x=nπ+3θ/2; n∈Z

y=nπ-θ/2; n∈Z c) x=nπ+2θ/3; n∈Z

y=nπ-θ/3; n∈Z

d) x=2nπ+θ/2; n∈Z y=2nπ-θ/2; n∈Z

e) x=nπ/2+θ/2; n∈Z

y=nπ/2-θ/2; n∈Z



I. E. P.


44) Resuelve: tgπx+ctgπx=

a) x=n+1/4; n∈Z y=log3n; n∈Z+

b) x=n-1/4; n∈Z

y=log3n; n∈Z+ c) x=n+1/4; n∈Z

y=log3(2n)1; n∈Z+

d) x=2n+1/4; n∈Z y=log3n; n∈Z+

e) x=n+1/8; n∈Z

y=log3n; n∈Z+

21+sen2(π3y)

45) Resuelve: sen =

a) R-{0} d) {±2} b) [-1;1]-{0} e) {±1/2} c) {±1}

x2+12x

πx2

46) ¿Cuántas soluciones presenta la ecuación: |x|- |senx|=1?

a) Ninguna d) 3 b) 1 e) Más de 3 c) 2

47) ¿Cuántas raíces tiene la ecuación: x+|x-1|=2senx? en <-2π;2π>

a) Ninguna d) 3 b) 1 e) 4 c) 2

48) Resuelve en <0; 2π>: + 4cosx ≤0 a) <0; π> b) <π/2; 3π/2> c) <π; 2π> d) [π/2; 3π/2] e) [π; 2π]

sen2x2

49) Resuelve: cos(senx+cosx)tg(senx)<0 a) <0; π> b) <π/2; 3π/2> c) [π; 2π] d) [π/2; 3π/2] e) <π; 2π>

50) Resuelve: cosx> a) [-π/6; π/6> b) <-π/6; π/6> c) [-π/3; π/3] d) <-π/3; π/3> e) <-1/2; 1/2>

3x2π| |

Menelao de Alejandría

Matemático griego. Cultivó la astronomía y la geometría en Alejandría y en Roma. Autor del tratado Sphaerica, en el que realizó un sistemático estudio de las propiedades de los triángulos esféricos (Teoremas de Menelao), que constituyen las bases de la trigonometría esférica.También fue un defensor entusiasta de la geometría clásica. Los comentaristas griegos y árabes antiguos mencionan obras matemáticas y astronómicas de Menelao como Cuerdas en un círculo o Elementos de geometría, pero la única que ha sobrevivido, y sólo en su versión árabe, es su Esférica. 1. En el Libro I de ese tratado establece Menelao las bases para un estudio de los triángulo esféricos análogo al que hace Euclides en su Libro I para los triángulos planos. Se incluye ahí un teorema que no tiene analogía en Euclides, el que dice que dos triángulos esféricos son congruentes si tienen sus ángulos iguales dos a dos.2. El Libro II trata de las aplicaciones de la geometría esférica a los fenómenos astronómicos y tiene poco interés matemático.3. El Libro III cuenta el famoso “Teorema de Menelao”, que para el caso plano afirma que si cortamos los lados AB, BC y CA de un triángulo ABC por una recta transversal en los puntos D, E y F, respectivamente, entonces se verifica que AD•BE•CF=BD•CE•AF.


Trigonometría




Objetivos

Determinar los elementos desconocidos de un triángulo c u a l q u i e r a , u t i l i z a n d o eficazmente el teorema de los senos, de los cosenos y proyecciones.

Simplificar expresiones que contengan a los elementos de un triángulo (lados y ángulos), ut i l i zando los teoremas anteriores.

Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Resolver un triángulo significa determinar las medidas de sus elementos básicos (lados y ángulos); a partir de algunos de ellos conocidos, utilizando propiedades geométricas y otras propias del curso como el teorema de los senos, teorema de los cosenos y teorema de las proyecciones.

¿QUÉ ES RESOLVER UN TRIÁNGULO?

“En todo triángulo se cumple que las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos a los cuales se oponen, siendo la constante de proporcionalidad la longitud del diámetro de la c ircunferencia circunscrita al triángulo”.

Esto significa que:

TEOREMA DE LOS SENOS

asenA = = =2R b

senBc

senC

B

A

Cc

b

a

lados: a,b y cángulos: Â, B y C

B

a

A

Cb

c

R

asenB=bsenA

bsenC=csenB

csenA=asenC

a=2RsenA

b=2RsenB

c=2RsenC

Demostraciones:

B

C

A

Hb

Pa

c

i) En el ∆ABC; tenemos:

AHB: BH=csenA BHC: BH=asenC

⇒ = ...(1)

csenA=asenC

csenC

asenA

BPC: CP=asenB APC: CP=bsenA

⇒ = ...(2)

asenB=bsenA

asenA

bsenB

(1)=(2):

asenA = = b

senBc

senC

ii) B

a

A

Cb

c

DC

• Trazamos el diámetro AD, tal que: AD=2R.

• Trazamos BD ⇒ ABD=90° nota que: BDA= BCA=C

ABD: =senC ⇒ =senC ⇒=2R

∴

cAD

csenC

c2R

asenA = = =2R b

senBc

senC



I. E. P.


1) Cálculo de Medianas

Otra forma sería esta: BDA= 2c

B

R

C

AR

Rsenc

Rsenc

c

cc

B

A

C

Rc

O

R

2C

nota que: c=2RsenC ⇒ =2R

∴

csenC

asenA = = =2R b

senBc

senC

“En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la medida de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos, menos el doble de su producto multiplicados por el coseno del ángulo que forman dichos lados”.

TEOREMA DE LOS COSENOS

CA

B

b

ac

a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC

Demostración:

En el triángulo ABC; trazamos BH:

AHB: BH=csenAAH=ccosA BHC: Por Pitágoras:a2=(csenA)2+(b-ccosA)2

A C

B

H

ac

b-ccosAccosA

b

csenA

a2=c2sen2A+b2-2bccosA+c2cos2A

Ordenando:a2=b2 + c2sen2A+c2cos2A -2bccosA

c2(sen2A+cos2A) 1

∴

Análogamente:

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC

“En todo triángulo se cumple que la medida de uno de sus lados es igual a la suma de los productos de las medidas de cada uno de los otro dos con el coseno del ángulo que forman con el primer lado”.

T E O R E M A D E L A S PROYECCIONES

a=bcosC+ccosBb=acosC+ccosAc=acosB+bcosA

CA

B

b

ac

Demostración:

c=acosB+bcosA

• En el triángulo ABC, se traza BM (mediana relativa al lado “b”: mb)

• Prolongamos BM hasta “N”, tal que: BM=MN y formamos el paralelogramo ABCN:

BÂN=180°- ABC B BÂN=180°-B

∆NAB: (2mb)

2=a2+c2-2accos(180°-B)4m =a2+c2-2ac(-cosB)

∴

Análogamente:

ALGUNAS APLICACIONES

2b

4m =a2+c2+2accosB2b

4m =b2+c2+2bccosA2a

4m =a2+b2+2abcosC2c

CA

B

b

ac

HccosA acosC

Trazamos BH AC AHB: AH=ccosA BHC: HC=acosC HC+AH =acosC+ccosA

b

∴

Análogamente:

b=acosC+ccosA

a=bcosC+ccosB

Ca

N

A

B

ac

M

mb

mb

180°-B


Trigonometría




Luego: SABD - SCBD = SABC

sen(90°+ ) senB

sen(90°- )

c.V2

B2

c.a2

'B

a.V2

'B B2

Operando:

sen (90°+ )- sen(90°- )

= senB

cV cos - aV cos = acsenB

V cos (c-a)=ac.2 sen cos

⇒V (c-a)=2acsen

∴

c.V2

'B B2

a.V2

'B B2

ac2

B2

'B B2

'B

'B B2

B2

B2

'B B2

2acc-aV = sen B

2'B

Para garantizar la medida de las bisectrices, las diferencias deben ser tomadas en valor absoluto; esto es:

2ac|a-c|V = . sen B

2'B

2bc|b-c|V = . sen A

2'A

2ab|a-b|V = . sen C

2'C

3) Cálculo de Semiángulos

Del teorema de los cosenos tenemos:a2=b2+c2-2bccosA

⇒cosA= b2+c2-a2

2bc

i) 1-cosA= 1-

= =

b2+c2-a2

2bc

2bc-b2-c2+a2

2bca2-(b2+c2-2bc)

2bc

(b-c)2

1-cosA=

⇒ 2sen2 = ;

pero: a+b+c=2p a+b=2p-c a+c=2p-b

2sen2 =

⇒sen2 =

Reduciendo:

Análogamente:

(a+b-c)(a-b+c)2bc

A2

2sen2A2

A2

(2p-c-c)(2p-b-b)2bc

A2

(2p-2c)(2p-2b)4bc

(p-b)(p-c)bc

sen = A2

sen = B2

(p-a)(p-c)ac

sen = C2

(p-a)(p-b)ab

ii) 1+cosA= 1+

= =

b2+c2-a2

2bc

2bc+b2+c2-a2

2bc(b2+c2+2bc)-a2

2bc

(b+c)2

1+cosA =

⇒ 2cos2 = ;

pero: b+c+a=2p b+c=2p-a

2cos2 =

⇒cos2 =

(b+c+a)(b+c-a)2bc

A2

2cos2A2

A2

2p(2p-a-a)2bc

A2

2p(2p-2a)4bc

2) Cálculo de Bisectrices

Luego:SABD + SDBC = SABC

sen sen senB

Operando:

sen + sen = senB

VBsen (c+a)=ac.senB

VB.sen (c+a)= ac.2sen cos

⇒ VB(c+a)=2ac cos

∴

Análogamente:

c.VB

2B2

c.a2

VB.a2

B2

VB.c2

B2

VB.a2

B2

a.c2

B2B2

B2

B2

B2

2aca+cVB= . cos B

2

2bcb+cVA= . cos A

2

2aba+bVC = . cos C

2

Trazamos la bisectriz interior BD (bisectriz interior relativa al B: VB)

B

c

A D C

aB2

B2

VB

Trazamos ahora la bisectriz exterior relativa al ángulo “B” BD, la cual denotaremos como V .'B

B

c

A C Db

VBa

90°-B2

90°-B2

'B

a2-(b-c)2

2bc

(b+c)2-a2

2bc



I. E. P.


1. En un triángulo ABC: a=4b; calcula: L=

Resolución:

Reduciendo:

Análogamente:

cos = A2

p(p-a)bc

cos = B2

p(p-b)ac

cos = C2

p(p-c)ab

4) Determinación del Perímetro

En el triángulo ABC, tenemos:2p=a+b+c; pero del T. de senos:a=2RsenA, b=2RsenB; c=2RsenC

2p=2RsenA+2RsenB+2RsenC2p=2R (senA+senB+senC)

∴

4cos cos cosA2

B2

C2

2p=8Rcos cos cosA2

B2

C2

senA+senBsenA-3senB

Sabemos que: a=4b ⇒2RsenA=4.2RsenB senA=4senB

Luego en la expresión:

L= =

⇒L=

∴L=5

senA+senBsenA-3senB

4senB+senB4senB-3senB

5senBsenB

2. En un triángulo ABC se cumple: asecA=bsecB=csecC

¿Qué tipo de triángulo es?

Resolución:

En la condición: asecA=bsecB=csecC

a =b =c

= =

Reemplazando:

= =

⇒tgA=tgB=tgC⇒A=B=C

∴El triángulo es equilátero

1cosA

1cosB

1cosC

acosA

bcosB

ccosC

a=2RsenAb=2RsenBc=2RsenC

2RsenAcosA

2RsenBcosB

2RsenCcosC

3. En un triángulo ABC se cumple: a2=b2+c2 - bc

Calcula: tg

13A2

Resolución:

Tenemos que: a2=b2+c2-2bccosA⇒b2+c2-a2=2bccosA

En el dato: a2=b2+c2 - bc

⇒b2+c2-a2 = bc

Igualando: 2bccosA= bc

⇒cosA=

Piden: tg = =

∴tg =

13

13

13

16

A2

1-cosA1+cosA

1-1/61+1/6

57

Resolución:

Del dato: a=3k; b=5k; c=7kC

B 7k A

5k3k

Luego, aplicamos el T. de los cosenos: (3k)2=(7k)2+(5k)2-2(7k)(5k)cosA9k2=49k2+25k2-70k2cosA⇒70cosA=65 ⇒cosA=

∴A=arccos 1314

1314

5. En un triángulo sus lados están dados por tres números enteros consecutivos y su ángulo mayor es el doble del menor. Calcula el perímetro del triángulo.

Resolución:

Interpretando los datos:

n+1sen2θ

n-1senθ =

n+12senθcosθ

n-1senθ =

⇒cosθ= n+12(n-1)

i) Por el T. de los senos:

B

A n+1 C

nn-12θ

θ

B

A Cb

ac

A2

4. En un triángulo ABC, se cumple: = = ; calcula: Â.a

3b5

c7


Trigonometría




Nivel I

1) En un triángulo ABC: a=5 y b=4. Calcula:

L=

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15

senA+senBsenA-senB

ii) Por el T. de los cosenos:

(n-1)2=(n+1)2+n2-2(n+1)ncosθ

⇒2(n+1)ncosθ= (n+1)2-(n-1)2+n2

2(n+1)n =n(4+n)

Operando: (n+1)2=(n-1)(n+4) n2+2n+1=n2+3n-4 ⇒n=5

Luego: 2p=n+1+n-1+n ⇒2p=3n

∴2p=15

4n

6. En un triángulo ABC de perímetro 40cm; calcula:

L=(a+b)cosC+(b+c)cosA+(c+a) cosB

Resolución:

Desarrollando la expresión:L=(a+b)cosC+(b+c)cosA+(c+a)cosBL=acosC+bcosC+bcosA+ccosA+ ccosB+acosB

Ordenando:L= acosC+ccosA + bcosC+ccosB+

bcosA+acosB

L=a+b+c ⇒L=2p

∴L=40cm

b

c

a

7. De acuerdo a lo mostrado en el gráfico, calcula “θ”; si: BC=3AB.

B

A

60°

C

M

θ

Resolución:

Sea: AB=2 ⇒ BC=6 ⇒ BM=MC=3

B

A

60°

C

θ M

2 3

2 7

7

2) En un triángulo ABC: a=4 y b=1. Calcula:

L=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

senA+senBsenA-3senB

3) En un triángulo ABC: senA=3senB calcula:

L=

a) 2 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

2a+ba-2b

4) En un triángulo ABC: senB=5senC. Calcula:

L=

a) 1 b) 2 c) 3d) 2/3 e) 3/2

b+cb-2c

5) En un triángulo ABC, reduce: L=( )c

a) a b) 2a c) a2

d) 1 e) 2

asenB+bsenAbsenC+csenB

6) En un triángulo ABC, reduce: L=( )senC

a) 1 b) senA c) ad) c e) senB

asenB+bsenC-csenBasenC+bsenA-asenB

7) De acuerdo al gráfico, calcula θ.

a) 37° b) 53° c) 16°d) 74° e) 48°

A

θ2θB C

65

8) De acuerdo al gráfico, calcula θ.

a) 16° b) 37° c) 53°d) 74° e) 76°

B

θ2θA C

85

(n+1)2(n-1)

i) ∆ABM: (T. de cosenos) AM2=22+32-2.2.3.cos60° AM2=4+9-6=7 ⇒AM= 7

ii) ∆ABC: (T. de cosenos) AC2=22+62-2.6.2.cos60° AC2=4+36-12=28 ⇒AC=2 7

iii) ∆AMC: (T. de cosenos) 32= 72+ (2 7)2-2. 7.2 7 cosθ 9=7+28-28cosθ ⇒28cosθ=26 cosθ=13/14

∴θ= arccos 13/14



I. E. P.


Nivel II 9) En un triángulo ABC, se sabe que: a=4; b=6 y C=60°. Calcula “c”:

a) 7 b) 2 7 c) 13d) 2 13 e) 76

10) En un triángulo ABC, se sabe que: a=8; b=5 y C=53. Calcula “c”.

a) 26 b) 37 c) 41

d) 51 e) 61

11) En un triángulo ABC: a=4; b=5 y c=6. Calcula “B”.

a) arccos 3/4 d) arccos 9/16 b) arccos 5/6 e) arccos 7/16 c) arccos 8/9

12) En un triángulo ABC: a=2; b=3 y c=4. Calcula “Â”.


13) En un triángulo ABC: a2=b2+c2-2/3 bc. Calcula “Â”. a) arccos 1/3 d) arccos (-1/3) b) arccos 2/3 e) arccos (-2/3) c) arccos 1/6

14) En un triángulo ABC: b2=a2+c2-1/5 ac. Calcula B. a) arccos 0,1 d) arccos 0,4 b) arccos 0,2 e) arccos 0,6 c) arccos 0,3


L= a) tgA/tgB d) tgB b) tgA/tgC e) ctgB c) tgC/tgA

a2+b2-c2

b2+c2-a2

16) En un triángulo ABC se cumple: actgA=bctgB. ¿Qué tipo de triángulo es?

a) Acutángulo b) Isósceles c) Equilátero

d) Escaleno e) Rectángulo

17) En qué tipo de triángulo ABC, se cumple: asecA=bsecB=csecC.

a) Isósceles b) Equilátero c) Escaleno

d) Rectánguloe) Obtusángulo

18) E n u n t r i á n g u l o A B C : asenA+bsenB=nR; donde “R” es su circunradio.

Calcula: L=cos2A+cos2B a) n+2 b) n-2 c) 2-n

d) 1-n e) n-1

19) En un triángulo ABC, se cumple: a s enA+bs enB+cs enC=nR; donde “R” es su circunradio.

Calcula: L=cos2A+cos2B+cos2C a) n-3 b) 3-n c) n+3

d) 6-n e) n-6

20) En un triángulo ABC, se cumple que: (a+b)2=3ab+c2.

Calcula “C”. a) 30° b) 150° c) 60°

d) 120° e) 45°

21) En un triángulo ABC, se cumple que: (b+c)2=3/2 bc+a2. Calcula “cos A/2”.

a) 3/2 b) 3/4 c) 6/2

d) 6/4 e) 6/8

22) En un triángulo ABC, se cumple que: (a+b+c)(a+c-b)=5/2 ac. Calcula: sen B/2

a) 6/3 b) 6/4 c) 3/4

d) 3/6 e) 2/6

23) En un triángulo ABC se cumple que: (a+b+c)(a+b-c)=ab/2. Calcula: tg C/2

a) 5 b) 7 c) 7/7

d) 5/5 e) 6

24) En un t r iángulo AB C de perímetro 20cm; calcula:

L=(a+b)cosC+(b+c)cosA+ (c+a)cosB a) 10 cmb) 20 cm c) 40 cm

d) 80 cm e) 5 cm

25) En un t r iángulo AB C de perímetro 40cm; calcula:

L=a(cosB+cosC)+b(cosC+cosA)+c(cosA+cosB)

a) 10 cmb) 20 cm c) 40 cm

d) 80 cm e) 5 cm

26) En un triángulo ABC: cosB=2cosA calcula:

L= a) 1 b) 2 c) 1/2

d) 4 e) 1/4

a-bcosCb-acosC

27) E n u n t r i á n g u l o A B C : cos(A+C)=3senA

calcula:

L= a) 1/3 tgC d) -3 ctgC b) -1/3 ctgC e) -3 tgC c) 3 tgC

b-ccosAa-bcosC


Trigonometría




Nivel III

29) De acuerdo al gráfico, halla: L=adcosA+abcosB-bccosC-

cdcosD

a) 0 b) a2+b2+c2+d2

c) a2-b2+c2-d2

d) a2+c2

e) a2-c2

A

D

B

Cb

d

a

c

30) En un triángulo ABC: acosA+bcosB+ccosC=nR; donde

“R” es su circunradio. Halla: L=senA senB senC

a) n b) n/2 c) n/4d) n/6 e) n/8

31) En un triángulo ABC, donde “p” es su semiperímetro; reduce:

L= +bsenC+csenB

+

a) p b) 2p c) 3pd) 4p e) 8p

asenB+bsenAsenA

csenA+asenCsenC

32) En un triángulo ABC, reduce: Q=(asecA+bsecB+csecC)ctgA

ctgBctgC

Sabiendo que R: circunradio.

a) R2 b) 2R2 c) 2Rd) R e) 4R

33) Dos móviles parten de un punto en direcciones N10°E y E20°N con velocidades de 8 y 7 km/h, de forma simultánea. Al cabo de 1 hora, ¿qué distancia separa a los móviles?

a) 7,5498 km d) 7,8740 km b) 5,9161 km e) 8,4261 km c) 4,7958 km

34) En un triángulo ABC: = =

calcula “B”.


senA3

senC4

senB 5

35) En un triángulo ABC; reduce: Q=

a) 1 b) 2 c) 1/2

d) 4 e) 1/4

abcosC+bccosA+cacosBa2+b2+c2

36) En qué tipo de triángulo ABC se cumple:

(a-c)cosB=b(cosC-cosA)

a) Acutángulo b) Rectángulo c) Equilátero

d) Obtusángulo e) Isósceles

37) En un triángulo ABC, reduce: L=

a) sen(A-B) b) 2sen(A-B) c) cos(A-B)

d) 2cos(A-B)e) 1/2 sen(A-B)

(a2-b2)senCc2

38) En un triángulo ABC, reduce: L= +

+

a) senAsenBsenC b) cosAcosBcosC c) sen(A+B+C)

d) cos(A+B+C)e) 2cos(A+B+C)

a2sen(B-C)senB+senC

b2sen(C-A)senC+senA

c2sen(A-B)senA+senB

39) En un triángulo los lados se encuentran expresados por números en progresión aritmética de razón 2. Si el ángulo mayor mide 120°, ¿cuál es el perímetro del triángulo?

a) 12u b) 15u c) 18ud) 21u e) 24u

B

A C

4

M

6

28) En el siguiente gráfico, calcula BM. Si ABC=60°

a) 15 b) 17 c) 4

d) 19 e) 5



I. E. P.


V

A

C

M

B

θD

3

1

40) En el tetraedro regular mostrado, calcula el valor de “secθ”.

a) 7/3 b) 28/3 c) 4/3d) 21/4 e) 27/4

41) En el cubo mostrado, calcula: secϕ

a) 247/7 d) 173/7 b) 247/6 e) 173/14 c) 147/2

B'

ϕ

B C

A D

D'A'

E2 1

C'

42) En un triángulo de lados enteros y consecutivos, el coseno del mayor ángulo es igual a 0,25. Calcula el perímetro del triángulo.

a) 15u b) 20u c) 36ud) 21u e) 24u

43) ¿Cuánto mide el mayor ángulo de un triángulo cuyos lados miden 2n+3; n2+3n+3 y n2+2n?

a) 120° b) 60° c) 135°d) 45° e) 150°

44) En un triángulo ABC, se conocen b, c y B (b<c). Si los valores de “a” son “x” e “y”; reduce:

S=(x-y)2+(x+y)2tg2B

a) b2 b) 2b2 c) 4b2

d) 8b2 e) 16b2

45) En el paralelogramo ABCD, calcula “ϕ”.

a) arctg 9 3/20 b) arctg 9 3/40 c) arctg 3 3/5

d) arctg 9 3/16 e) arctg 3 3/10

B C

DA 8

6 N

ϕ

60°

46) Según lo mostrado en la figura, halla “x” (QSR: obtuso).

a) arcctg(cscα-ctgβ)-α b) π-arcctg(cscα-ctgβ)+α c) arcctg(cscβ-ctgα)-α

d) π-arcctg(cscβ-ctgα)+α e) arcctg(ctgβ-ctgα)-α

47) Si la superficie de un triángulo ABC, es igual a 6cm2, calcula:

P=a2(sen2B+sen2C)+ b2(sen2C+sen2A)+ c2(sen2A+sen2B) a) 24cm2 b) 48cm2 c) 72cm2

d) 96cm2 e) 120cm2

Q

A RS

x

α β

48) En un triángulo ABC, simplifica:

J= a) cosθ b) cos2θ c) senθ

d) sen2θ e) 2cosθ

acos(B+θ)+bcos(A-θ)c

49) En un triángulo ABC: asecA/2+bsecB/2+csecC/2=nR,

donde “R” es su circunradio. Halla:

J=(senA/4+cosA/4)2+ (senB/4+cosB/4)2+ (senC/4+cosC/4)2

a) (3+n)/4 d) (3+n)/2 b) (12+n)/4 e) (12+n)/2 c) (6+n)/2

Q

A C

S

αα

P

α

B

50) Si los circunradios de los triángulos APB, BQC y ASC son R1, R2 y R3, respectivamente; y el circunradio del triángulo ABC es “R”, expresa:

L=R1 R2 R3 , en función de “R”.

a) 8Rb) 8R3 c) R3

d) 2R3 e) 2R

M


Trigonometría




Primer Simulacro de Examen Bimestral

1) Señala tres (03) características de la función: y=f(x)=senx

1.1.- .............................................. 1.2.- .............................................. 1.3.- ..............................................

PARTE I: ASPECTOS CONCEPTUALES

1) Halla el dominio de la función: y=f(x)=2tg2x+1

Resolución:

2) Señala el rango de la función: y=f(x)=sen2x+4cos2x; Df: R.

Resolución:

Repaso

PARTE II: HABILIDAD OPERATIVA

2) Acerca de la función: y=f(x)=arccosx completa correctamente:

Df : ........................................ Rf : .........................................

3) Señala verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:

(Tf: período mínimo)

3.1.- y=f(x)=sen4x ⇒Tf=π/2....( ) 3.2.- y=f(x)=sen26x ⇒Tf=π/3....( ) 3.3.- y=f(x)=sen ⇒Tf=8π.... ( )x

4

4) La suma de los dos primeros valores positivos de “x” que cumplen: sen3x=1/2. Es igual a.........; y los que cumplen cos4x=1/2 es igual a ...........

5) En un ∆ABC: (completa) 5.1.- = = =

5.2.- a2=b2+c2- .................. 5.3.- a=bcosC+ .................

asenA

bsenC

Resolución:

Resolución:

Resolución:

4) Señala el rango de la función: y=f(x)=3arcsenx + π

4

3) Señala el dominio de la función: y=f(x)= 4arcsen( ) + 3x-1

7π3

5) Halla “x” que cumple:

= 3 sen3x-sen5xcos3x-cos5x



I. E. P.


Resolución:

3) Determina la suma de las tres primeras soluciones positivas de la ecuación:

senx+sen3x+sen5x= cosx+cos3x+cos5x

Resolución:

Resolución:

Resolución:

PARTE III: SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

PARTE IV: DEMOSTRACIONES

Segundo Simulacro de Examen Bimestral

PARTE I: ASPECTOS CONCEPTUALES

6) En un triángulo ABC: a=3; b=5 y c=7; calcula “B”.

1) Dada la función: y=f(x)=sen2xtgx verifica la verdad (V) o falsedad (F) de:

1.1.- Df: R-{(2n+1) ;n∈Z}

1.2.- Rf: [0; 2] 1.3.- Su período mínimo es Tf=π 1.4.- La función es par.

π2

2) Dada la función: y=f(x)=2arcsen ( )+4. Determina: Df y Rf.

x-23

Resolución:

4) En un triángulo ABC, se cumple que: p(p-a)=3/4 bc, donde “p” es el semiperímetro del triángulo. Calcula la medida del “Â”.

1) Sabiendo que: a r c t g x + a r c t g y + a r c t g z =π ;

demuestra que: + +

=

x1-x2

y1-y2

z1-z2

4xyz(1-x2)(1-y2)(1-z2)

2) En el triángulo ABC mostrado, demuestra que:

A C

B

c

b

M

4AM2=b2+c2+2bc cosA

Resolución:

1) Señala tres (03) características de la función: y=f(x)=cosx

1.1.- .............................................. 1.2.- .............................................. 1.3.- ..............................................

2) Acerca de la función: y=f(x)=arcsenx completa correctamente:

Df : ........................................ Rf : .........................................

3) Señala verdadero (V) o falso (F), según corresponda en:

(Tf: período mínimo)

3.1.- y=f(x)=cos6x ⇒Tf=π/3....( ) 3.2.- y=f(x)=cos24x ⇒Tf=π/4....( ) 3.3.- y=f(x)=cos ⇒Tf=2π/3....( )x

3

4) La suma de los dos primeros valores positivos de “x” que cumplen: sen2x= 3/2 es igual a.........; y los que cumplen cos6x= 2/2 es igual a ........

Resolución:


Trigonometría




5) En un ∆ABC, se cumple: (completa) 5.1.- = = =

5.2.- b2=a2+c2- .................. 5.3.- b=acosC+ .................

a bsenB senC

1) Halla el dominio de la función: y=f(x)=3csc4x+1

PARTE II: HABILIDAD OPERATIVA

Resolución:

2) Señala el rango de la función: y=f(x)=2sen2x+9cos2x; Df:R

Resolución:

Resolución:

Resolución:

4) Señala el rango de la función: y=f(x)=3arccosx - π

2

3) Señala el dominio de la función: y=f(x)= 2arccos( ) + 2x-5

3π3

Resolución:

5) Halla el valor de “x” que verifica la siguiente ecuación:

(secx-1)(1+cosx)cscx = 3

Resolución:

6) En un triángulo ABC: a=4; b=5 y c=6, calcula “Â”.

Resolución:

Resolución:

PARTE III: SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

1) Dada la función: y=f(x)= ; verifica la verdad (V) o falsedad (F)

de las siguientes proposiciones: 1.1.- Df: R-{nπ;n∈Z} 1.2.- Rf: <0; 2> 1.3.- Su período mínimo es Tf=π 1.4.- La función es impar.

sen2xctgx

2) Dada la función: y=f(x)=3arccos ( ) + , determina: Df y Rf.

2x-15

π2



I. E. P.


Resolución:

4) En un triángulo ABC, se cumple que: asecA+bsecB+csecC=kR R: circunradio

Halla L=tgAtgBtgC

PARTE IV: DEMOSTRACIONES

2) De acuerdo al gráfico; demuestra que:

Resolución:

Resolución:

3) Determina la suma de las tres primeras soluciones positivas de la ecuación:

sen2x+sen22x+sen23x=cos2x+cos22x+cos23x

1) Sabiendo que: arcsenx+arcseny+arcsenz=π ;

demuestra que:

+ + =2 1-x2

yz 1-y2

zx 1-z2

xy

Resolución:

AM2-AN2=c2-b2-2 (ccosB-bcos C)a3

B

A

c

C

b

M N

Nasir al-Din al-Tusi

Nasir al-Din al-Tusi cuyo nombre completo Abu Jafar Muhammad Ibn Muhammad Ibn al-Hasan Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274 cerca de Baghdad) fue un científico Persa, fue un creyente del Islam, nació en Tus, Khorasan (entonces Persia y en la actualidad Irán). Es conocido como filósofo, matemático, astrónomo, teólogo, médico y se considera un escritor muy prolífico. Es quizás el primer matemático de la antigüedad en tratar la Trigonometría como una disciplina o rama separada del tronco de las matemáticas y así se desprende en su Tratado sobre los Cuadriláteros; fue el primero en enumerar la lista de los seis casos distintos de ángulo recto en un Triángulo esférico (Trigonometría esférica). Sus trabajos en trigonometría le llevaron a ser el primer astrónomo oriental en tener una visión clara de la trigonometría plana y esférica.Inventó una técnica geométrica denominada Acople-Tusi que ayuda a la solución cinemática del movimiento linear como suma de dos movimientos circulares. Al-Tusi calculó el valor de 51’ para la precesión de los equinocios e hizo enormes aportaciones a la construcción y uso de algunos intrumentos astronómicos incluyendo los astrolabios y los cuadrantes solares.Tusi elaboró tablas muy precisas sobre los movimientos planetarios y los plasmó en su libro Zij-i ilkhani (Las tablas Ilkhanicas). Estos libros contenían posiciones en formato tabular con las posiciones de los planetas y el nombre de las estrellas. El sistema planetario propuesto por él fue el más avanzado de la época y fue usado extensivamente hasta el advenimiento del modelo heliocéntrico en tiempos de Copérnico. Entre los períodos de Ptolomeo y Copérnico se consideró a al-Tusi como el científico más eminente en el campo de la observación astronómica.

5° Trigonometría

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