Mates Tema 3: Trigonometria

1) Raons trigonomètriquesa. Radiants

2) Resolució de triangles rectangles3) Teorema dels inus i teorema del cosinus4) Resolució de triangles no rectangles

a. Raons trigonomètriques d’angles no aguts5) Fórmules trigonomètriques

a. Relacions fonamentalsb. Canvi de quadrantc. Fórmules d’angle suma i restad. Fórmules d’angle doble i meitate. Altres fórmules

1)Raons trigonomètriques

1.1) Radiants

Un radiant és el que mesura l’angle comprès entre radis que es troben a una distancia d’arc que mesura tant com el radi.

α

R

R = radi180º = Π radα = 1 rad

C

A Bc

ab

sinBb=cat. op.ahip.cosBc=Cat. adj.ahip.

tgBb=cat. op.ccat. adj.

2) Resolució de triangles rectangles

3) Teorema del sinus i teorema del cosinus

1r tipus

C

A Bc

ab

30º

A = 90ºB = 30ºC = 60º

a = 14b = 7c = 12,42

sinB =ba0,5 =7aa

= 14

b2 + c2 = a2

72 + c2 = 142

c2 = 147c = = 12,42

2n tipus

40º 30º

250

y 250 – y

tg40º =x= 0,83ytg30º =x= 0,58250 – y

x= 0,83y

x= 0,83250 – y

x = 85,3

y = 102,8

sin40º =85,3b0,64 =85,3b

b =85,3= 133,30,64

sin30º =85,3aa =85,3= 170,60,5

4)Resolució de triangles no rectangles

4.1) Raons trigonomètriques d’angles no aguts

sin cos tg1r quadrant + + +2n quadrant + – –3r quadrant – – +4t quadrant – + –

5) Fórmules trigonomètriques5.1) Relacions fonamentals

C

A B

hab

x c – x

cosA =xb

Teorema del cosinus

x = b·cosA

b2 = h2 + x2

a2 = h2 + (c – x)2

a2 = h2 + c2 + x2 – 2·c·x

a2 = b2 + c2 – 2·c·b·cosA

Teorema del sinus

sinA =hbh = b·sinA

sinB =hah = a·sinB

b·sinA = a·sinB

sinA=sinBab

C

A B

ab

c

A = 29ºB = 75ºC = 76º

a = 4b = 7,96c = 8

sinA=sinBab

sinA =a·sinB= 0,48b

A = arc sin 0,48 = 29º

b2 = a2 + c2 – 2·c·b·cosBb2 = 80 – 16,56b = = 7,96C = 180 – (29 + 75) = 76º

sin2A + cos2A = 1

sinA= tgAcosA

1 +1= cosesc2Atg2A

1= cotgAtgA

1= cosecAsinA

1= secAcosA

5.2) Canvi de quadrant

5.3) Formules d’angle suma i angle resta

cos (α – β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ

cos (α + β) = cosα·cosβ – sinα·sinβ

sin (α – β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ

sin (α + β) = sinα·cosβ – cosα·sinβ

sinα

α 180 – α

cosα

α 360 – α

tgα

α 180 + α

tg (α – β) =tgα – tgβ1 + tgα·tgβ

tg (α + β) =tgα + tgβ1 – tgα·tgβ

5.4) Fórmules d’angle doble i angle meitat

sin(2α) = 2·sinα·cosα

cos(2α) = cos2α – sin2α

5.5) Altres fórmules

sinA + sinB = 2·sin( )·cos( )sinA – sinB = 2·cos( )·sin( )cosA + cosB = 2·cos( )·cos( )cosA – cosB = – 2·sin( )·sin( )

tg (2α) =2·tgα1 – tg2α

sin () = ±

cos () = ±

tg () = ±