SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES- METODO DE JACOBI

DETERMINACIÓN DE GASTO EN MATERIALES PARA EL DISEÑO DE ARMADURAS ESTÁTICAS

En la ingenería es común el uso de armaduras estáticas para manipular pesos que superan a la estructura, por ello determinar sus fuerzas internas, reacciones de apoyo o provocadas por cargas externas son de gran importancia, sin embargo; para obtener estas fuerzas en la mayoría de casos es necesario resolver un sistema de ecuaciones. Las fuerzas se representan ya sea de tracción o comprensión sobre los componentes de la armadura. Las reacciones externas son fuerzas que pueden interectuar con la estructura de dicho soporte.

Armadura: Una armadura es un montaje de elementos delgados y rectos que soportan cargas principalmente axiales ( de tensión y compresión ) en esos elementos.

Los elementos que conforman la armadura, se unen en sus puntos extremos por medio de pasadores lisos sin fricción localizados en una placa llama "Placa de Unión”, o por medio de soldadura, remaches, tornillos, clavos o pernos en el caso de armaduras de madera, para formar un armazón rígido.

La mayoría de las estructuras reales están hechas a partir de varias armaduras unidas entre sí para formar una armadura espacial.

CARACTERISTICAS

• Uniones de miembros de una armadura (nodo) son libres de rotar.

• Los miembros que componen una armadura están sometidos sólo a fuerzas de tensión y compresión.

• Las cargas externas se aplican en los nodos de la armadura.

La líneas de acción de las cargas externas y reacciones de los miembros de la armadura, pasan a través del nodo para cada unión de la armadura.

USOS

Armaduras de techo en bodegas, gimnasios y fábricas.

Armaduras como estructuras de apoyo en edificios para transferir carga de gravedad.

Armaduras de puentes de carretera, ferrocarril y peatonales.

Armaduras como estructuras de contraventeo vertical en edificios.

Armaduras como estructuras rigidizantes en edificios altos.

ARMADURA SIMPLE

Son aquellas armaduras que se obtienen a partir de una armadura triangular rígida, agregándole dos nuevos elementos y conectándolos en un nuevo nodo. Si a una armadura triangular rígida le agregamos dos nuevos elementos y los conectamos en un nuevo nodo, también se obtiene una estructura rígida.

Las armaduras que se obtienen repitiendo este procedimiento reciben el nombre de armaduras simples. Se puede comprobar que en una armadura simple el número total de elementos es m = 2 n -3, donde n es el número total de nodos.

CONDICIONES PARA ARMADURAS ESTATICAS

A una armadura sólo se le pueden aplicar cargas concentradas, y estas se aplican en los nodos.

Para una armadura plana ( bidimensional), todos los elementos y caras se encuentran en el mismo plano.

Se asume que sobre un elemento individual de una armadura, pueden actuar fuerzas(tracción o comprensión)

ARMADURAS DE ACERO

Al escoger un tipo de armadura a utilizar depende de los requerimientos arquitectónicos del cliente y en segunda instancia de las dimensiones y de factores económicos.

La armadura Pratt se caracteriza porque los montantes están sometidos a compresión y las diagonales a tensión.

La armadura Warre no tiene montantes y las diagonales estan sometidas a tensión y compresión alternadamente.

Las armaduras tipo Pratt y Warren se usan en una gran variedad de aplicaciones, en las cubiertas de edificios o naves industriales y como vigas en los marcos rígidos que forman la estructura básica de

un edificio convencional.

Selección de elementos

Para armaduras que soportan cargas livianas como las cubiertas más comunes en los edificios generalmente se escogen secciones de molino por economía, tal como las mostradas en la parte a de la figura. Las secciones tubulares o cajones son muy populares debido a su gran eficiencia y a su apariencia agradable cuando son

expuestos.

Para armaduras que soportan cargas más pesadas o luces grandes, se utilizan secciones más pesadas como las mostradas en la parte b. de la figura.

MODELO DE ANALISIS

Las cargas se asumen que actúan en los nodos de la armadura, así que los elementos trabajan bajo un estado de esfuerzos directo (tensión o compresión). Los nudos se consideran articulados aunque usualmente este no es el caso. Generalmente la cuerda superior e inferior son elementos continuos y las uniones son soldadas o contienen múltiples tornillos, lo que provoca

que existe cierta restricción al giro del nudo con lo que se desarrollan momentos en los extremos de los elementos.

Es común en armaduras livianas o pequeñas despreciar estos efectos secundarios.

Factores que dictan la economía de la armadura.

• Disponibilidad de materiales en la zona.

• Conexiones: soldadas o con tornillos.

• Máxima tamaño que puede ser transportado a la obra.

• Métodos de montaje.

• Redundancia de la estructura.

• Experiencia del constructor.

• Diseño simple con gran repetición.

ARMADURA PRATT

Las armaduras de tipo Pratt suelen ser mas comunes para su producción ya que cumplen los requisitos mencionados anteriormente, por ello se procedera a analizar este tipo de armadura.

Este tipo de estructuras se puede describir como un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales acopladas, por ello para su solución se usara el método de Jacobi. (Para obtener una simetría en los datos se asumirá que todas son de tracción).

1Datos obtenidos de la Universidad Autónoma de Chapingo: Diseño de armaduras para techo

Sea la siguiente armadura que soportara las siguientes cargas en sus nudos.

PASOS

Determinar las cargas internas con el metodo de secciones(Jacobi para resolver los sistema de ecuaciones)

Calcular el área transversal de cada varilla con el esfuerzo que se pide.

Calcular el peso de la armadura y su el gasto que se necesita en los materiales para construirlo.

Script de matlab para calcular las fuerzas internas de la armadura a construir

%SECCION 1clcA1=[1 0 0;0 1 1;0 0 1];b1=[951.6;6506;3472.2];x0=[1;0;0];x=[1;1];%Metodo de Jacobidisp('METODO DE JACOBI')z=jacobi(A1,b1,x0,1e-5); disp('SECCION 2')A2=[cos(pi/3) 0;sin(pi/3) 1];b2=[z(3,2)-6067.6;;-250.2-z(3,1)];Z1=jacobi(A2,b2,x,1e-5); disp('SECCION 3')A3=[cos(pi/6) 0 0;sin(pi/6) sin(0.857) 0; cos(pi/6) 0 1];b3=[258.83-z(3,3)*1.73;1305.2+z(3,3);-1702.3];Z2=jacobi(A3,b3,x0,1e-5); disp('SECCION 4')A4=[2*cos(pi/6) 0 0;sin(pi/6) sin(pi/3) 0;cos(pi/6) cos(pi/3) 1];b4=[1518.5+z(3,3)*3.46;2172-z(3,3);-2202.8];Z3=jacobi(A4,b4,x0,1e-5); disp('SECCION 5')A5=[1 cos(pi/3) cos(pi/6);0 sin(pi/3) sin(pi/6);0 0 3*cos(pi/6)];b5=[-2202.8;3905.6-z(3,3);2277.518-z(3,3)*5.19];Z4=jacobi(A5,b5,x0,1e-5); disp('SECCION 6')A6=[cos(pi/3) 0;sin(pi/3) 1];b6=[z(3,3)-6506;-1201.8];Z5=jacobi(A6,b6,x,1e-5); disp('SECCION 7')A7=[1 cos(0.857) cos(pi/6);0 sin(0.857) sin(pi/6);0 0 cos(pi/6)];b7=[-z(1,3)-750.7;866.8-z(3,2);-500.5-1.73*z(3,2)];Z6=jacobi(A7,b7,x0,1e-5); disp('SECCION 8')A8=[1 cos(pi/6) cos(pi/3);0 2*cos(pi/6) 0;0 sin(pi/6) sin(pi/3)];b8=[-750.7-z(3,1);1000.8-3.46*z(3,2);866.8-z(3,2)];Z7=jacobi(A8,b8,x0,1e-5); disp('SECCION 9')A9=[cos(pi/6) 0;sin(pi/6) sin(1.162)];b9=[-1751.7-z(3,1);z(3,2)-2600.4];Z8=jacobi(A9,b9,x,1e-5); %NUDOS AA10=[1 sin(0.857);0 cos(0.857)];b10=[0;Z1(3,2)-Z2(3,3)];Z9=jacobi(A10,b10,x,1e-5); %NUDO BA11=[1 sin(pi/3);0 cos(pi/3)];b11=[0;Z2(3,3)-Z3(3,3)];Z10=jacobi(A11,b11,x,1e-5); %NUDO CA12=[1 sin(1.162);0 cos(1.162)];b12=[0;Z3(3,3)-Z4(3,1)];Z11=jacobi(A12,b12,x,1e-5); %NUDO D

A13=[1 sin(1.162);0 cos(1.162)];b13=[0;Z7(3,1)-Z4(3,1)];Z12=jacobi(A13,b13,x,1e-5); %NUDO EA14=[1 sin(pi/3);0 cos(pi/3)];b14=[0;Z6(3,1)-Z7(3,1)];Z13=jacobi(A14,b14,x,1e-5); %NUDO FA15=[1 sin(0.857);0 cos(0.857)];b15=[0;Z5(3,2)-Z6(3,1)];Z14=jacobi(A15,b15,x,1e-5);

format longY=[z(3,1);z(3,2);z(3,3);Z1(3,1);Z1(3,2);Z2(3,1);Z2(3,2);Z2(3,3)];Y=[Y;Z3(3,1);Z3(3,2);Z3(3,3);Z4(3,1);Z4(3,2);Z4(3,3);Z5(3,1);Z5(3,2)];Y=[Y;Z6(3,1);Z6(3,2);Z6(3,3);Z7(3,1);Z7(3,2);Z7(3,3);Z8(3,1);Z8(3,2)];Y=[Y;Z9(3,1);Z10(3,1);Z11(3,1);Z12(3,1);Z13(3,1);Z14(3,1)]

RESULTADOS

CUADRO DE FUERZAS INTERNAS

Esfuerzo =13696.51435 N/cm2=1397.6 kg/cm2

FUERZA CANTIDAD(kg) CALIDAD AREA DE LA SECCION (AREA= FUERZA /ESFUERZO)

RADIO(cm) Longitud de varilla(cm)

F1 6067.6 Compresión 4.341442 1.175851 150F2 4052.9 Tracción 2.8999 0.961007 75F3 8220 Compresión 5.881511 1.36861 43F4 6637 Compresión 4.748855 1.229786 150F5 10711 Tracción 7.663852 1.56228 114F6 4046 Tracción 2.894963 0.960189 75F7 7812.9 Tracción 5.590226 1.334289 150F8 6012.1 Compresión 4.301732 1.170461 149F9 8218.0 Compresión 5.88008 1.368443 75

F10 2794.7 Tracción 1.999642 0.798016 150F11 3998.9 Tracción 2.861262 0.954584 187.6F12 6059.6 Compresión 4.335718 1.175075 150F13 6067.6 Compresión 4.341442 1.175851 150F14 4052.9 Tracción 2.8999 0.961007 75F15 6875.2 Tracción 4.91929 1.25166 75F16 1524.3 Tracción 1.090655 0.589358 114F17 6638.3 Compresión 4.749785 1.229907 150F18 4296.9 Tracción 3.074485 0.989513 75F19 5482.6 Compresión 3.922868 1.11773 150F20 663.1 Tracción 0.474456 0.388717 149F21 3121.5 Compresión 2.233472 0.843384 150F22 2173.2 Tracción 1.554951 0.70371 187.6F23 21241 Compresión 15.1982 2.200043 86F24 25422 Tracción 18.18975 2.406848 129F25 3467.6 Compresión 2.48111 0.888911 129F26 4465.8 Compresión 3.195335 1.008773 86F27 3258.5 Tracción 2.331497 0.861693 43

Luego las longitudes de cada varilla se expresan en la grafica siguiente, con ayuda de esta se procedera a calcular el volumen y peso.

LONGITUD DE LA BASE DE LA ESTRUCTURA =6m

DENSIDAD DEL ACERO DE CONSTRUCCION= 7.85 g/cm3

VARILLA Diametro(pulg.) VOLUMEN(área*longitud)cm3 MASA(g)F1 0.463 651.2164 5079.488F2 0.378 217.4925 1696.441F3 0.539 252.905 1972.659F4 0.484 712.3283 5556.161F5 0.615 873.6792 6814.697F6 0.378 217.1222 1693.553F7 0.525 838.5339 6540.565F8 0.461 640.958 4999.472F9 0.539 441.006 3439.847

F10 0.314 299.9463 2339.581F11 0.376 536.7728 4186.828F12 0.463 650.3578 5072.79F13 0.463 651.2164 5079.488F14 0.378 217.4925 1696.441F15 0.493 368.9468 2877.785F16 0.232 124.3347 969.8108F17 0.484 712.4678 5557.249F18 0.390 230.5864 1798.574F19 0.440 588.4302 4589.755F20 0.153 70.69398 551.413F21 0.332 335.0207 2613.162F22 0.277 291.7089 2275.329F23 0.566 1307.045 10194.95F24 0.548 2346.478 18302.53F25 0.350 320.0633 2496.493F26 0.397 274.7988 2143.431F27 0.339 100.2544 781.984

PESO TOTAL= 111320.5g = 111.32 kg

El precio se calcula en base al diámetro.

Fuente Sodimac:

MEDIDA DIAMETRO (pulg)

PRECIO(9m)

3/8 s/.13½ s/.24.18

3/4 s/.55.205/8 s/.37.58

Cantidad a necesitar

MEDIDA Largo(m) PRECIO3/8 13.08 s/.18.891/2 13.92 s/.37.395/8 3.29 s/.12.56

Nota: el precio total es de s/.68.84, sin embargo este precio es solo para una estructura, sin contar los nudos que se tienen que hacer y la mano de obras que se requerirá para soldarla.

CONCLUSION

Para el diseño de armaduras, se tuvo que calcular las fuerzas internas con la ayuda del metodo de jacobi, con él se obtuvieron buenas aproximaciones. Todo ello sirve para conocer el peso y cuanto se gastará en material(acero) para su construcción. Estos datos son indispensables para su producción ya que con el peso se puede preveer cuales deben ser sus apoyos(columnas) y con el precio cuanto se espera gastar por el material.

BIBLIOGRAFIA

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TABLAS_DE_PROPIEDADES_DE_VARILLAS_CORRUGADAS_Y_ALAMBRES_DE_ACERO_TABLAS_DE_DOSIFICACIONES_DE_CONCRETO

3. http://www.ahmsa.com/Acero/Complem/Manual_Construccion_2013/Capitulo_6.pdf 4. http://tecdigital.tec.ac.cr/file/2871924/Armaduras_de_acero.pdf 5. http://es.slideshare.net/rafaelbermudez21/armadura-para-techos?related=1 6. http://www.monografias.com/trabajos-pdf2/diseno-armaduras-techo/diseno-

armaduras-techo.pdf