Sistema de Ecuaciones Lineales

Sistema de ecuaciones linealesSaltar a: navegacin, bsqueda En matemticas y lgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, tambin conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuacin es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sera el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los ms antiguos de la matemtica y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de seales, anlisis estructural, estimacin, prediccin y ms generalmente en programacin lineal as como en la aproximacin de problemas no lineales de anlisis numrico.IntroduccinEn general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incgnitas puede ser escrito en forma normal como:

Donde son las incgnitas y los nmeros son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notacin matricial:(1)

Si representamos cada matriz con una nica letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminacin de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes. La matriz A se llama matriz de coeficientes de este sistema lineal. A b se le llama vector de trminos independientes del sistema y a x se le llama vector de incgnitas.Sistemas lineales realesEn esta seccin se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo , es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las ecuaciones son nmeros reales.Representacin grfica

La interseccin de dos planos que no son paralelos coincidentes es una recta.Un sistema con incgnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.En los sistemas con 2 incgnitas, el universo de nuestro sistema ser el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones ser representada por una recta. La solucin ser el punto (o lnea) donde se intersequen todas las rectas representan a las ecuaciones. Si no existe ningn punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las lneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solucin.En el caso de un sistema con 3 incgnitas, el universo ser el espacio tridimensional, siendo cada ecuacin un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un nico punto, las coordenadas de este sern la solucin al sistema. Si, por el contrario, la interseccin de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendr infinitas soluciones, que sern las coordenadas de los puntos que forman dicha lnea o superficie.Para sistemas de 4 ms incgnitas, la representacin grfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta ptica.Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar segn el nmero de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos: Sistema compatible si tiene solucin, en este caso adems puede distinguirse entre: Sistema compatible determinado cuando tiene una nica solucin. Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones. Sistema incompatible si no tiene solucin.Quedando as la clasificacin:Los sistemas incompatibles geomtricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un nico punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o ms generalmente un hiperplano de dimensin menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Algoritmo para determinar si un sistema es compatiblePodemos averiguar si un sistema es o no compatible mediante el Teorema de Rouch-Frobenius que establece que un sistema de ecuaciones lineales es compatible slo si el rango de su matriz ampliada coincide con el de su matriz de coeficientes. Supongamos que el sistema es compatible. Si el valor comn de los rangos de las matrices coincide con el nmero de variables, el sistema es compatible determinado; en caso contrario, es compatible indeterminado.Sistemas compatibles indeterminadosUn sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un nmero infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuacin se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solucin o interseccin entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos. En este tipo de sistemas, la solucin genrica consiste en expresar una o ms variables como funcin matemtica del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinacin lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente. La condicin necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero al igual que el rango de la matriz ampliada y menor al numero de incognitas(y por tanto uno de sus autovalores ser 0):

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensin de ese espacio vectorial coincidir con la multiplicidad geomtrica del autovalor cero.Sistemas incompatiblesDe un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solucin. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden grficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningn punto, es decir, no existe ningn valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.Matemticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condicin necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

Mtodos de solucin a sistemas de ecuaciones linealesSustitucinEl mtodo de sustitucin consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incgnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuacin, sustituirla en otra ecuacin por su valor.En caso de sistemas con ms de dos incgnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuacin y una incgnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este mtodo reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitucin este sistema:

En la primera ecuacin, seleccionamos la incgnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite ms las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuacin.

El siguiente paso ser sustituir cada ocurrencia de la incgnita en la otra ecuacin, para as obtener una ecuacin donde la nica incgnita sea la .

Al resolver la ecuacin obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incgnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.IgualacinEl mtodo de igualacin se puede entender como un caso particular del mtodo de sustitucin en el que se despeja la misma incgnita en dos ecuaciones y a continuacin se igualan entre s la parte derecha de ambas ecuaciones.Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el mtodo de sustitucin, si despejamos la incgnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas tambin son iguales entre s.

Una vez obtenido el valor de la incgnita , se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .La forma ms fcil de tener el mtodo de sustitucin es realizando un cambio para despejar x despus de averiguar el valor de la y.ReduccinEste mtodo suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseado para sistemas con dos ecuaciones e incgnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incgnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuacin, se suman ambas ecuaciones producindose as la reduccin o cancelacin de dicha incgnita, obteniendo as una ecuacin con una sola incgnita, donde el mtodo de resolucin es simple.Por ejemplo, en el sistema:

No tenemos ms que multiplicar la primera ecuacin por para poder cancelar la incgnita . Al multiplicar, dicha ecuacin nos queda as:

Si sumamos esta ecuacin a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuacin donde la incgnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incgnita :

El siguiente paso consiste nicamente en sustituir el valor de la incgnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecan ambas incgnitas, y obtener as que el valor de es igual a:

Mtodo grfico

Rectas que pasan por el punto: (2,4)Consiste en construir la grfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El mtodo (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensin 2.El proceso de resolucin de un sistema de ecuaciones mediante el mtodo grfico se resuelve en los siguientes pasos:1. Se despeja la incgnita (y) en ambas ecuaciones.2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.3. Se representan grficamente ambas rectas en los ejes coordenados.4. En este ltimo paso hay tres posibilidades: 1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los nicos valores de las incgnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solucin en los reales pero si en los complejos.Mtodo de GaussEl mtodo de eliminacin de Gauss o simplemente mtodo de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incgnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuacin tiene n incgnitas, la segunda ecuacin tiene n - 1 incgnitas, ..., hasta la ltima ecuacin, que tiene 1 incgnita. De esta forma, ser fcil partir de la ltima ecuacin e ir subiendo para calcular el valor de las dems incgnitas.[Mostrar]Ejemplo de eliminacin de Gauss

Eliminacin de Gauss-JordanUna variante de este mtodo, denominada eliminacin de Gauss-Jordan, es un mtodo aplicable nicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incgnita, cuyo valor ser igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reduccin, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algortmico.[Mostrar]Ejemplo de eliminacin de Gauss-Jordan

Regla de CramerArtculo principal: Regla de Cramer.La regla de Cramer da una solucin para sistemas compatibles determinados en trminos de determinantes y adjuntos dada por:

Donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-sima columna de A por el vector columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incgnitas:

La regla de Cramer da la siguiente solucin:

Nota: Cuando en la determinante original det(A) el resultado es 0, el sistema indica mltiples o sin coincidencia. 5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Cuando nos planteamos la resolucin de varias ecuaciones a la vez con varias incgnitas, estamos ante un sistema y en el caso ms sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clsicas de reduccin, sustitucin e igualacin que son las primeras que nos ensean, puesto que son muy fciles de asimilar. Ahora bien, dado un sistema no siempre es necesario resolverlo sino que, a veces, slo hace falta saber si tiene o no solucin: discutir el sistema; en este caso utilizaremos el conocido teorema de Rouch-Frobenius, y las consecuencias de dicho teorema. En cuando a la resolucin daremos algunos sencillos mtodos y comentaremos el mtodo de Gauss como otra alternativa de resolucin. Definicin. Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones de la forma: donde x1, ..., xn son las incgnitas, b1, ..., bm se denominan trminos independientes y los nmeros aij se llaman coeficientes de las incgnitas, formando una matriz que denominaremos A, matriz de coeficientes. Cuando el trmino independiente sea cero, estamos ante un caso particular de sistemas que denominamos homogneos. Un conjunto de n nmeros que verifiquen todas las ecuaciones se llama solucin del sistema. Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verifican todas las ecuaciones. Atendiendo al nmero de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clasificarlos en tres tipos: Sistema incompatible: son aquellos que no poseen solucin. Sistema compatible: son aquellos que poseen solucin. Dentro de ellos, podemos hablar de: Sistema compatible determinado: sistemas con una nica solucin. Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones. En un sistema de ecuaciones lineales slo se pueden dar estas tres situaciones, es decir, o no tiene solucin, o tiene una, o tiene infinitas, por lo tanto, nunca podemos encontrar un sistema lineal, con, por ejemplo, tres soluciones. Tericamente, es muy cmodo utilizar la notacin matricial para un sistema. As, todo sistema de ecuaciones lineales puede ser escrito matricialmente de la forma: Si notamos por A a la matriz de coeficientes, x al vector de incgnitas y b al vector de trminos independientes el sistema quedara: A x = b Hay ocasiones en las cuales slo interesa saber si el sistema posee o no solucin, y en caso de poseer, si es nica o no. Teorema (Rouch-Frobenius) Consideremos un sistema de ecuaciones lineales A x = b, y llamemos matriz ampliada del sistema a A* = (A|b). Entonces: Si Rango(A) < Rango(A*), el sistema resulta incompatible. Si Rango(A) = Rango(A*) = n (n incgnitas), el sistema resulta compatible determinado. Si Rango(A) = Rango(A*) < n (n incgnitas), el sistema resulta compatible indeterminado. Para la resolucin de los sistemas lineales existen varios mtodos, si bien resaltaremos dos. Cuando el sistema sea compatible determinado, esto es, el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero, siempre podemos despejar del sistema de la forma: x = A-1 b Hacemos hincapi que este mtodo slo es posible aplicarlo en el caso que exista la inversa de A, es decir, para sistemas compatibles determinados. En segundo lugar, podemos utilizar la regla de Cramer, vlida para cualquier sistema compatible, la cual mostramos en el siguiente ejemplo. Ejemplo Discutir y resolver el sistema: Solucin: Para discutir un sistema de ecuaciones lineales, determinamos los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada y aplicamos el teorema de Rouch. Puesto que det(A) = -64, podemos afirmar que el rango de A es 3 y la matriz ampliada, al no poder superar este rango, tambin resulta de rango 3. Como coincide con el nmero de incgnitas, el sistema es compatible determinado. Para resolverlo, como es compatible determinado, podemos aplicar los dos mtodos indicados anteriormente: Si calculamos la inversa de A, obtenemos: Luego la solucin del sistema es: Es decir, x=-3, y=1, z=2. 2) Si aplicamos la regla de Cramer, cada incgnita se obtiene como el cociente de dos determinantes: en el denominador siempre va el determinante de A y en el numerador el mismo determinante donde hemos sustituido la columna de la incgnita correspondiente por la columna del trmino independiente. As, en nuestro caso obtenemos: que coincide, como es obvio, con el resultado obtenido por el otro mtodo.

Ejemplo Discutir y resolver el sistema: Solucin: Calculemos el rango de A. Puesto que: podemos afirmar que el rango, al menos, es dos. Si realizamos el determinante de la matriz resulta cero, por lo que el rango de A es dos. Para calcular el rango de la matriz ampliada, hemos de construir un determinante de tamao tres a partir del menor de orden dos que hemos encontrado distinto de cero, en nuestro caso, la nica posibilidad es: por lo que podemos afirmar que el rango de la matriz ampliada es dos. Como coinciden los rangos, el sistema es compatible, pero al ser menor que el nmero de incgnitas es indeterminado, esto es, admite infinitas soluciones. Para obtenerlas, hemos de decidir cules son las incgnitas principales y cules las secundarias. Un buen mtodo es escoger como variables principales las que han participado en el rango, en nuestro caso x e y, y pasamos la(s) otra(s) a la derecha del sistema, despejando en funcin de ellas; podemos observar, por tanto, que depender del menor que hayamos elegido para el clculo del rango la eleccin de las variables principales que realicemos. As, eliminando las ecuaciones que son dependientes, el sistema queda: el cual se puede resolver de diversas formas, aplicando Cramer por ejemplo, si bien, en ste, resulta ms fcil sustituir y despejar. Sustituyendo la expresin de y en la primera ecuacin: de donde x = 7 - 9z. As, la solucin del sistema resulta (7 - 9z, 3/2 + 5z, z), para cualquier valor de z.

Ejemplo Discutir y resolver el sistema: Solucin: Calculemos los rangos de la matriz A y su ampliada. El determinante de A es cero, por lo que el rango no es tres. Si calculamos, por ejemplo: podemos afirmar que el rango es dos. Para calcular el rango de la ampliada, vemos si el determinante siguiente es distinto de cero: por lo que el rango de la ampliada es tres. Como no coinciden los rangos, podemos afirmar que el sistema es incompatible, es decir, no existe ningn valor de x, y, z que satisfagan las tres ecuaciones a la vez.

Ejemplo Discutir y resolver el sistema: Solucin En este caso el nmero de ecuaciones es mayor que el nmero de incgnitas, por lo que sobra alguna ecuacin y por lo tanto hemos de eliminarla del sistema. Pero cuntas y cules eliminamos? La respuesta viene dado por el rango de las matrices de coeficientes y ampliada: Si el sistema tiene solucin nos quedaremos con un nmero de ecuaciones igual al rango de la matriz de coeficientes: cuantas. Las que nos quedaremos sern aquellas que han dado lugar al rango, es decir, las que sean independientes: cuales. En nuestro caso, de las cuatro ecuaciones slo dos son independientes (luego hemos de eliminar otras dos). Como el rango de la matriz formada por los coeficientes de las dos primeras ecuaciones es 2 entonces nos quedamos con las dos primeras ecuaciones. El sistema queda entonces: Sistema compatible e indeterminado cuyas infinitas soluciones vienen dadas:

Caso particular: Sistemas homogneos. Como ya mencionamos antes, un sistema de ecuaciones lineales Ax = b se dice que es homogneo si b es el vector nulo, es decir, todas las ecuaciones estn igualadas a cero: Hemos de destacar que en un sistema homogneo, la matriz ampliada es A* = (A | 0), es decir, hemos aadido una columna de ceros. Como consecuencia, el rango de A coincide con el de A* por lo que el sistema siempre va a ser compatible, es decir, siempre tendr solucin. As, los sistemas homogneos pueden ser: - Determinado, es decir, con una nica solucin, si slo admite al cero como solucin. - Indeterminado cuando posea infinitas soluciones. Tambin se podra haber llegado al mismo resultado mediante el razonamiento que en un sistema homogneo, el cero siempre es solucin, ya que al sustituir en las ecuaciones todo sale cero, con lo cual siempre es compatible. Por tanto, cuando queramos discutir estos sistemas, slo tendremos que comprobar si el rango de A coincide con el nmero de incgnitas o es estrictamente menor.

Ejemplo Resolver el sistema homogneo: Solucin: La matriz de los coeficientes es: cuyo de determinante vale 3; al ser distinto de cero, el rango de A es dos, por lo que coincide con el nmero de incgnitas, con lo que concluimos que el sistema es compatible determinado, es decir, posee una nica solucin que es la trivial, todas las variables valen cero. Ejemplo Resolver el sistema homogneo: Solucin: Veamos cunto vale el rango de la matriz de los coeficientes. Si calculamos el determinante de A resulta cero, por lo que el rango no es tres; si calculamos: de forma que el rango de A es dos, menor que el nmero de incgnitas (tres), por lo que el sistema es compatible indeterminado. Para calcular sus infinitas soluciones eliminamos la tercera ecuacin que no ha intervenido en el rango y pasamos a la derecha la variable z, de forma que resulta el sistema equivalente: cuya solucin es: Nota: Obsrvese que entre las infinitas soluciones siempre est la trivial: x = y = z = 0, ya que si hacemos z=0, tenemos que x=0, y=0.

Mtodo de Gauss. Una alternativa para la resolucin o discusin de un sistema es el mtodo de Gauss. Este mtodo se basa en transformar el sistema dado en otro equivalente (es decir, con las mismas soluciones) ms sencillo de resolver; existen algunas variantes de dicho mtodo, si bien nosotros nos centraremos en el caso donde el sistema equivalente posee una matriz asociada diagonal. La resolucin manual de dicho mtodo la explicamos en el siguiente ejemplo. Ejemplo Resolver, aplicando el mtodo de Gauss, el siguiente sistema: Solucin: Hemos de transformar la matriz ampliada en una matriz equivalente diagonal. Para ello, procedemos como sigue. Primero, convertimos el elemento a11 en un 1 (dividiendo toda la fila por ste): Segundo, hacemos ceros en toda la primera columna, multiplicando por el nmero adecuado a la primera fila y sumndola con la que queremos modificar: Ahora repetimos el proceso para el elemento a22 de la diagonal. As, primero lo convertimos en 1 y despus hacemos cero en toda su columna, obteniendo: Ya hemos conseguido pasar a un sistema equivalente cuya matriz asociada es una matriz diagonal. El sistema nos queda: 1.x + 0.y = 1 0.x + 1.y = 2 cuya solucin es inmediata, x = 1, y =2.

Ahora bien, cmo vamos a detectar mediante el mtodo de Gauss que el sistema tiene infinitas soluciones o no posee solucin? La respuesta es muy sencilla: al llegar al sistema equivalente se deduce obviamente, como mostramos en los siguientes ejemplos. Ejemplo Solucin: Aplicando Gauss obtenemos: Al ser el ltimo elemento de la diagonal cero no podemos seguir aplicando el mtodo, de forma que el sistema equivalente resultante es: por lo que observamos que la ltima ecuacin no da informacin y el sistema tiene, por tanto, infinitas soluciones, que podemos calcular pasando z al otro miembro:

Ejemplo. Resolver: Solucin: Al aplicar el mtodo de Gauss obtenemos la siguiente matriz: en el cual no podemos seguir aplicando el mtodo por la misma razn que en el ejercicio anterior. As, en este caso, las ecuaciones del sistema equivalente son: por lo que el sistema es incompatible (no posee solucin) al no poderse nunca verificar la tercera ecuacin del sistema equivalente Resolucin de Sistemas de Ecuaciones por el Mtodo Grafico

RESOLUCIN GRFICA

Consiste en construir la grfica de cada una de las ecuaciones del sistema

El proceso de resolucin de un sistema de ecuaciones mediante el mtodo grfico se resuelve en los siguientes pasos:

1.- Se despeja la incgnita (y )en ambas ecuaciones.

2.- Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.

3.- Se representan grficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

4.- En este ltimo paso hay tres posibilidades: a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los nicos valores de las incgnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".

b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. "Sistema compatible indeterminado".

c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solucin. "Sistema incompatible".

Ejemplos:

Entre Adriana y Carlos tienen 600 lempiras, pero Carlos tiene el doble de lempiras que Adriana. Cunto dinero tiene cada uno?.

Llamemos "x" al nmero de lempiras de Adriana y "y" al de Carlos. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 lempiras, esto nos proporciona la ecuacin x + y = 600. Si Carlos tiene el doble de lempiras que Adriana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600 2x - y = 0

Para resolver el sistema por el mtodo grfico despejamos la incgnita y en ambas ecuaciones y tendremos:

y = -x + 600 y = 2x

Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

y=-x+600 y=2x x y x y 200 400 100 200 600 0 200 400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes "X" y "Y", podemos ya representar grficamente:

Descripcin de la grafica

Si observamos la grfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solucin del sistema es x = 200 e y = 400 La respuesta del problema planteado es que: x=200 (Adriana) y=400 (Carlos)

A continuacin ejemplos para practicar:

x=5 x=y

x+y=5 x+y=1

-x+2x+y=3 y+3z=2

Bibliografia: http://thales.cica.es/r

Resolviendo Sistemas de Ecuaciones Lineales por Eliminacin Objetivos de Aprendizaje Definir el mtodo de eliminacin para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Combinar las ecuaciones de un sistema lineal para eliminar variables. Introduccin La equivalencia es una fuerza poderosa en el lgebra. Por ejemplo, el mtodo de sustitucin de reemplazar una cantidad con una expresin equivalente nos puede ayudar a resolver sistemas de ecuaciones. El mtodo de eliminacin provee otra forma de aplicar el concepto de equivalencia para resolver sistemas de ecuaciones. En este mtodo, una variable es eliminada combinando las ecuaciones individuales de un sistema. Confundido? Muy bien empecemos. Combinando Ecuaciones Un viaje imaginario a la pizzera local nos puede ayudar a sentar las bases para entender el mtodo de eliminacin. Imagina que es hora de comer, y que entramos a un restaurante que tiene los especiales siguientes: Especial 1: 2 rebanadas y 1 bebida por $3.50 Especial 2: 5 rebanadas y 2 bebidas por $8.25 Estamos hambrientos, pero tambin queremos saber cunto cuesta cada rebanada de pizza y cunto cuesta cada bebida. Pero, cmo? Bueno, ambos especiales combinan los mismos elementos bebidas y rebanadas en cantidades diferentes. Podemos restar el especial pequeo del grande hasta que nos deshagamos de uno de los elementos. Entonces conoceremos el costo del otro. Si empezamos por el Especial 1, 5 rebanadas y 2 bebidas por $8.25, y le restamos el Especial 2, 2 rebanadas y 1 bebida por $3.50, obtenemos 3 rebanadas y una bebida por $4.75. Esta nueva combinacin sigue teniendo dos elementos, por lo que restamos una vez ms: 3 rebanadas y 1 bebida son $4.75, menos 2 rebanadas y 1 bebida por $3.50. Eso nos deja slo 1 rebanada por $1.25. Ahora sabemos que una rebanada de pizza cuesta $1.25, entonces podemos sustituir ese valor en cualquiera de los dos especiales para encontrar el precio de una bebida. Sustituyendo en el Especial 1, encontramos que dos rebanadas cuestan $2.50, por lo que una bebida debe costar $1. Qu te pareci? Hemos aplicado el razonamiento usado por el mtodo de eliminacin. Hemos eliminado una cantidad (en este caso, el costo de las bebidas) de una ecuacin para dejar slo una de las variables (el costo de las rebanadas) en el problema. Revisemos lo que acabamos de hacer, pero esta vez algebraicamente: Especial 1:2s+d=$3.50

Especial 2:5s+2d=$8.25

Eliminemos el Especial 1 del Especial 2 (nota cmo hemos volteado el orden de los especiales para que el Especial 2 est arriba del Especial 1): Especial 2:5s+2d=$8.25

Especial 1:(2s+d=$3.50)

Nuevo total:3s+d=$4.75

Restando, somos capaces de encontrar nuestro nuevo total: 3s + d = $4.75. Nota que estamos restando los trminos semejantes uno del otro, y que estamos restando todos los trminos del Especial 1 de los del Especial 2. Ahora repetimos el proceso de eliminacin, quitndole otro Especial 1 a nuestro nuevo total: Nuevo total:3s+d=$4.75

Especial 1:(2s+d= $3.50)

Total final:s=$1.25

Una vez ms, hemos restado trminos semejantes uno del otro, resultando en un valor para la variable s: $1.25. Lo hicimos de nuevo hemos usado el mtodo de eliminacin para encontrar el precio de una rebanada. Sumando y Restando Ecuaciones El mtodo de eliminacin es una forma til de usar ecuaciones completas para eliminar una variable de un sistema para encontrar el valor de otra variable en el mismo sistema. Una vez que conoces el valor de una variable, puedes sustituirla en el sistema para encontrar el valor de otra variable. Algunas veces tiene sentido sumar una ecuacin con otra, otras veces tendr sentido restar las ecuaciones una de la otra. Tu decisin sobre sumar o restar depender de la variable que quieres eliminar, as como de los nmeros en la ecuacin. Ejemplo

ProblemaResolver g y h.g = 3h + 16.53g = -3h 10.5

Este sistema nos muestra un buen ejemplo de cundo usar el mtodo de eliminacin. En las dos ecuaciones puedes ver que el trmino 3h aparece en una, y el trmino -3h aparece en la otra. Si sumamos estas dos ecuaciones podremos eliminar el trmino h, permitindonos resolver g fcilmente. Ejemplo


g=3h+ 16.5

+(3g=-3h 10.5)

4g=6

=

Respuestag=1.5

Ahora que conocemos g = 1.5, podemos sustituir ese valor en una de las ecuaciones para encontrar el valor de h. Ejemplo


3g=-3h10.5

3(1.5)=-3h10.5

4.5=-3h10.5

4.5 + 10.5=-3h

15=-3h

=

Respuesta-5=h

Una vez resuelto el sistema, es buena idea sustituir ambos valores en el sistema original para asegurarnos que son correctos. Si ambas ecuaciones resultan en declaraciones vlidas, entonces puedes estar seguro de haber identificado la solucin correcta. Por otro lado, si las declaraciones resultantes son invlidas, entonces sabemos que hubo errores en los clculos que hemos hecho. Multiplicando y Dividiendo Ecuaciones Sumar y restar ecuaciones es a menudo una forma efectiva de eliminar una variable de un sistema. Hay sin embargo otras ocasiones donde sumar o restar no nos lleva a un resultado til. Ejemplo

ProblemaResolver x y yEcuacin A: 4y + 3 = -3xEcuacin B: -2y 26 = 5x

Las ecuaciones en este sistema no tienen trminos que se puedan eliminar fcilmente cuando las ecuaciones son sumadas o restadas. Si sumamos ambas ecuaciones, nos resultar una tercera ecuacin donde todava quedan dos variables. Es aqu donde la multiplicacin nos puede ayudar. Nota que la primera ecuacin contiene el trmino 4y, y la segunda ecuacin contiene el trmino -2y. Si duplicamos -2y, cuando sumemos ambas ecuaciones los trminos y se cancelarn. Ejemplo

ProblemaResolver x y yEcuacin A: 4y + 3 = -3xEcuacin B: -2y 26 = 5x

Ecuacin B-2y 26=5x

2 (-2y 26)=2 (5x)

Nueva Ecuacin B-4y 52=10x

Al multiplicar la ecuacin por dos, tenemos ahora el trmino -4y. Multiplicar (o dividir) toda la ecuacin por el mismo nmero mantiene la ecuacin y la relacin entre las variables. Slo tenemos que tener cuidado de multiplicar ambos lados de la ecuacin cuando usemos este mtodo. Como la Ecuacin B y la Nueva Ecuacin B tienen las mismas variables en la misma relacin, ambas son equivalentes. Podemos sustituir la Nueva Ecuacin B en el sistema reemplazando la Ecuacin B. Entonces podemos sumarla a la Ecuacin A. Ejemplo

ProblemaResolver x y yEcuacin A: 4y + 3 = -3xNueva Ecuacin B: + (-4y 52) = +(10x)

Nueva Ecuacin B+ (-4y 52)=+ (10x)

4y + 3=-3x

-49=7x

=

-7=x

Sabemos que x = -7, slo tenemos que usar -7 en lugar de x en cualquiera de las ecuaciones A o B para encontrar el valor correspondiente de y. Existen otras formas de resolver el sistema. En lugar de multiplicar una ecuacin para eliminar una variable cuando las ecuaciones se sumen, pudimos haber multiplicado ambas ecuaciones por nmeros distintos. As. Ahora deshagmonos de la variable x. Multiplicamos la Ecuacin A por 5 y la Ecuacin B por 3: Ejemplo

Ecuacin A5 (4y + 3) =5 (-3x)20y + 15 =-15x

Ecuacin B3 (-2y 26) =5 (5x)+ (-6y 78)=+ (15x)

14y 63=0

14y=63

=

y=4.5

Escogimos multiplicar estas ecuaciones por 5 y por 3 respectivamente, porque nos resultan nmeros que se cancelarn, -15x y 15x. Multiplicar ambas ecuaciones es una buena estrategia a seguir, pero una vez ms, debemos ser diligentes y multiplicar todos los trminos de la ecuacin. Tambin pudimos haber dejado en paz la primera ecuacin, y multiplicado la segunda ecuacin por para obtener 3x. A estas alturas seguramente ya te diste cuenta que el mtodo de eliminacin es muy flexible. Podemos multiplicar o dividir ecuaciones en un sistema por cualquier nmero que sea conveniente (excepto el 0). El objetivo de usar esta estrategia es manipular las ecuaciones de tal forma que eliminemos variables al sumarlas o restarlas. Felix debe encontrar x y y en el siguiente sistema: Ecuacin A: 7y 4x = 5 Ecuacin B: 3y + 4x = 25 Si l quiere usar el mtodo de eliminacin para deshacerse de una de las variables. Cul es la forma ms eficiente de hacerlo? A) Sumar la Ecuacin A con la Ecuacin B. B) Restar la Ecuacin B de la Ecuacin A. C) Multiplicar la Ecuacin A por 5. D) Dividir la Ecuacin B entre -1. Mostrar/Ocultar la Respuesta Sumario La combinacin de ecuaciones es una herramienta poderosa para resolver sistemas de ecuaciones. Al sumar y restar dos ecuaciones para eliminar una variable comn se le conoce como mtodo de eliminacin. Una vez que una variable ha sido eliminada, se vuelve ms fcil resolver la otra variable. La multiplicacin y la divisin pueden ser usadas para igualar trminos en las ecuaciones antes de ser combinadas. Cuando se usan la multiplicacin o la divisin, es importante multiplicar o dividir todos los trminos a ambos lados de la ecuacin no slo el que ests tratando de eliminar. 6.7. Mtodo de solucin (eliminacin y por determinantes) e interpretacin geomtrica PROCEDIMIENTO Solucin de un sistema de ecuaciones mediante el mtodo de sustitucin: 1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y. 2. Sustituye la expresin resultante de la otra ecuacin. (Ahora se tiene una ecuacin con una variable). 3. Resuelve la nueva ecuacin para la variable. 4. El valor de esa variable se sustituye en una de las ecuaciones originales y se resuelve esta ecuacin para obtener el valor de la segunda variable. 5. La solucin se comprueba sustituyendo los valores numricos de las variables en ambas ecuaciones Ejemplo 1 Resuelve: Solucin Utilicemos el procedimiento de los cinco pasos: 1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y. Resolveremos aqu la primera ecuacin para y). y = 8 - x 2. En la ecuacin 2x 3y = -9; escribe 8 x en lugar de la y. 2x 3(8 x) = -9 3. Resuelve la nueva ecuacin para la variable: 2x 3(8 x) = -9 2x 24 +3x= -9Simplificando 5x 24 = -9Combinando trminos semejantes 5x = 15Suma 24 a ambos lados x= 3Divide entre 5 4. Sustituye el valor de la variable x=3 en una de las ecuaciones originales. (aqu lo hacemos en la ecuacin x + y = 8. Luego resuelve para la segunda variable 3+y=8 Nuestra solucin es el par ordenado (3, 5) ya que y = 5. 5. Comprobamos; cuando x= 3 y y=5; x + y = 8 se convierte en 3 + 5 = 8 y 8=8. Lo cual es verdadero. Luego para la segunda ecuacin, 2x 3y = -9 se convierte en 2(3) 3(5)= -9 6 15 = -9 -9 = -9 Lo que tambin es cierto. De este modo nuestra solucin (3,5) es correcta. Ejemplo 2 Solucin de un sistema inconsistente. Resuelve el sistema Solucin Utiliza el procedimiento de los cinco pasos 1. Resuelve la ecuacin para una de las variables (resolveremos aqu la primera ecuacin para x) x = 4 -2y 2. Sustituimos x = 4 -2y en la segunda ecuacin 2(4 2y) = -4y +6 8 4y = -4y +6Simplificamos 8 4y +4y = -4y +4y +6Suma 4y 8= 6 3. No hay ecuacin que resolver. El resultado 8 = 6, nunca es verdadero. Es una contradiccin. Puesto que nuestro procedimiento es incorrecto, concluimos que el sistema dado no tiene solucin; es inconsistente. 4. No necesitamos el paso 4 5. Comprueba; nota que si se divide la segunda ecuacin entre 2, obtienes x = -2y+3 o x +2y=3, lo que contradice a la primera ecuacin, x +2y = 4. Ejemplo 3 Solucin de un sistema dependiente Resuelve el sistema Solucin. Como antes, utilizaremos el procedimiento de los cinco pasos. 1. Resuelve la primera ecuacin para x obteniendo: x=4 2y 2. Sustituye x=4 2y en 4y +2x= 8 4y +2(4 2y)= 8 4y +8 4y= 8Simplifica 8= 8 3. No hay ecuacin que resolver. Observa que en este caso obtuvimos la proposicin verdadera 8 = 8, sin importar cual valor se le asigne a x o a y. 4. No necesitamos el paso 4 debido a que las ecuaciones son dependientes; es decir tienen un nmero infinito de soluciones. 5. Comprueba; si hacemos x=0 en la ecuacin x +2y= 4, obtenemos 2y = 4, o y = 2. De manera semejante, si hacemos x=0 en la ecuacin 4y +2x = 8, obtenemos 4y=8, o y = 2, de modo que (0, 2) es una solucin para ambas ecuaciones. Tambin puede demostrarse que x=2, y y = 1 satisface ambas ecuaciones. Por lo tanto (2, 1)es otra solucin, y as sucesivamente. Ntese que si se divide la segunda ecuacin entre dos y se vuelve a acomodar, se obtiene x +2y= 4, la que resulta idntica para la primera ecuacin. De este modo cualquier solucin de la primera ecuacin tambin es la solucin de la segunda ecuacin; es decir la solucin consiste en todos los puntos de la ecuacin x +2y= 4. Ejemplo 4 Simplificacin y solucin de un sistema por sustitucin. Resuelve la ecuacin Solucin. La segunda ecuacin tiene x y constantes en ambos lados, de modo que primero se simplifica sumando 4x y restando 6 de ambos lados para obtener 6 3x +y +4x 6 = -4x +5 +4x 6 x + y = -1 Ahora tenemos el sistema equivalente: -2x= -y +2 x + y = -1 Al resolver la segunda ecuacin para x obtenemos x= -y 1. Al escribir y 1 en lugar de x en -2x = -y +2 -2x= -y +2 -2y 1= -y +2Suma y, resta 2 2y +2= -y +2Divide entre 3 3y= 0 y= 0 Puesto que x= -y 1 y y = 0, tenemos que x = 0 1= -1 De este modo el sistema es consistente y su solucin es (-1, 0). Esto se comprueba escribiendo 1 en lugar de x y 0 en vez de y en las dos ecuaciones originales. Ejemplo 5 Solucin de un sistema que incluye fracciones. Si un sistema tiene ecuaciones con fracciones, eliminamos las fracciones multiplicando cada lado por el MCD (mnimo comn denominador), para luego resolver el sistema resultante, como se muestra a continuacin. Resuelve la ecuacin: Solucin. Multiplicamos ambos lados de la primera ecuacin por 4 y ambos lados de la segunda ecuacin por 8 (el MCD de 4 y 8) para obtener o de manera equivalente 8x +y = -4 o de manera equivalente2x +3y= 10 Al resolver la primera ecuacin para y, obtenemos y=-8x-4. Ahora escribimos 8x-4 en lugar de y en 2x +3y = 10 2x +3(8x-4) =10 2x 24x 12 = 10Simplificamos -22x = 22Dividimos entre 22 x= -1 Al escribir 1 en lugar de x en 8x + y = -4, obtenemos 8(-1) +y = -4 o y = 4. De esta manera el sistema es consistente y su solucin es (-1, 4) Uso del Mtodo de Determinantes para Resolver un Sistema de Ecuaciones. La disposicin de cuatro nmeros reales en un cuadrado, como Recibe el nombre de determinantes de segundo orden. (Es importante advertir que los nmeros se ordenan entre rectas paralelas y no entre corchetes. Los corchetes tienen otro significado). El determinante anterior tiene dos renglones y dos columnas (los renglones son horizontales y las columnas, verticales). A cada nmero del determinante se le llama elemento del propio determinante. En general, podemos simbolizar un determinante de segundo orden de la manera siguiente: donde se usa una sola letra, con doble subndice, para facilitar la generalizacin de los determinantes de orden superior. El primer nmero del subndice indica el rengln en que est el elemento; y el segundo nmero, la columna. As, a21 es el elemento situado en el segundo rengln y primera columna. Cada determinante de segundo orden representa un nmero real, dado por la siguiente formula: Valor de un determinante 2 x 2 Si a, b,.c y d son nmeros, el determinante de la matriz es El determinante de una matriz 2 x 2 es el nmero que se obtiene con el producto de los nmeros de la diagonal principal. menos el producto de los nmeros de la otra diagonal PROCEDIMIENTO Solucin de un sistema de ecuaciones mediante el mtodo de determinantes de segundo orden: Para resolver el sistema donde x y y son las incgnitas y a, b, c, d, r, s, son nmeros reales. 1. Consideramos el arreglo que consta de los coeficientes de las variables. 2. Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los nmeros que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y restando el producto de los nmeros que estn en las esquinas inferior izquierda y superior derecha. El nmero obtenido se llama determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fcil de recordar si usamos smbolos Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos sealados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la flecha hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y sumando los resultados obtenidos. 3. Con la notacin observamos que la solucin del sistema es Conviene observar, para recordar la solucin, que el denominador de ambos se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los trminos independientes. Ejemplo 1 Resuelve el sistema utilizando los determinantes. Solucin Calculamos primero el determinante del sistema. Ahora calculamos el valor de x sustituyendo los valores de la primera columna del determinante del sistema por los valores de los trminos independientes y divididos entre el determinante del sistema Para calcular el valor de y sustituimos los valores de la segunda columna del determinante del sistema por los valores de los trminos independientes y dividimos entre el determinante del sistema. Comprobacin Sustituimos los valores x=-8 y y=5 en las ecuaciones Primera ecuacin:5x +6y = 5(-8) +6(5) = -10 Segunda ecuacin2x +3y = 2(-8) +3(5) = -1 Ejemplo 2 Resuelve el sistema utilizando determinantes. Solucin Calculamos el determinante del sistema. Ahora calculemos el valor de w sustituyendo los valores de la primera columna del determinante del sistema por los valores de los trminos independientes y dividiendo entre el determinante del sistema: para calcular el valor de z sustituimos los valores de la segunda columna del determinante del sistema por los valores de los trminos independientes y dividiendo entre el determinante del sistema: Comprobacin Sustituimos los valores w= 6 y z= en las ecuaciones Primera ecuacin: Segunda ecuacin: Valor de un determinante 3 x 3Menor de a1Menorde b1Menor de c1

Para encontrar el menor de a1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo rengln y en la misma columna que a1: Para encontrar el menor de b1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo rengln y en la misma columna que b1: Para encontrar el menor de c1, formamos un determinante tachando los elementos de la matriz que se encuentran en el mismo rengln y en la misma columna que c1: Ejemplo 2 Resuelve el determinante Solucin Desarrollaremos el determinante a lo largo del primer rengln:Menor de 1Menorde 3Menor de -2

Podemos evaluar un determinante 3 x 3 desarrollndolo a lo largo de cualquier rengln o columna. Para definir los signos entre los trminos del desarrollo de un determinante 3 x 3, usamos el siguiente arreglo de signos: Arreglo de signos para un determinante 3 x 3+-+

-+-

+-+

Ejemplo 3 Resuelve el determinante desarrollndolo a lo largo de la columna intermedia Solucin Se trata del determinante del ejemplo 2. Para desarrollarlo a lo largo de la columna intermedia:Menor de 3Menorde 1Menor de 2

Como ya esperbamos, obtenemos el mismo valor que en el ejemplo 2. Mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales Tabla de contenidos[ocultar] 1 Introduccin 2 Mtodo de reduccin 2.1 Ejemplo 3 Mtodo de igualacin 3.1 Ejemplo 4 Mtodo de sustitucin 4.1 Ejemplo 5 Mtodo de Gauss 5.1 Ejemplo 6 Mtodo de la matriz inversa 7 Regla de Cramer 7.1 Ejemplo

[editar] Introduccin

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.

Los mtodos de igualacin, sustitucin y reduccin consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incognitas, una ecuacin con esa incognita y con ninguna otra ( convirtiendo as un problema dificil en uno mas facil, no?).

A estas ecuaciones, con solo una incognita, se llega a traves de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incognitas que las ecuaciones previas.

As, es posible que en uno de estos pasos de eliminacin de incognitas se utilize un mtodo ( el de reduccin, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se utilize otro mtodo ( el de igualacin, por ejemplo ).

Cada vez que se encuentra la solucin para una incognita, se sustituye esta incognita por su solucin para obtener asi ecuaciones con menos incognitas.

Los mtodos de igualacin, sustitucin, reduccin y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados e indeterminados.

Estos mismos mtodos tambien pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilizacion de cualquiera de ellos conduciria, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo:

El mtodo de la matriz inversa y la regla de Cramer solo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.

[editar] Mtodo de reduccin

Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el nmero de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.

Multiplicar una ecuacin por un nmero consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuacin por dicho nmero que no existe esto lo hizo molotov.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuacin cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.

[editar] EjemploMultiplicando la primera ecuacin por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones 15x - 9y = 6 -15x + 20y = 5

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuacin 11y = 11 La eleccin de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sutituyendo por uno en la primera ecuacin del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

que es otra ecuacin con una sola incognita y cuya solucin es .

Texto en negrita'Texto en cursiva [editar] Mtodo de igualacin

El mtodo de igualacin consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuacin

no contendra dicha incognita.

Este proceso de eliminacin de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuacin con solo una incognita, digamos .

Una vez que se obtiene la solucin de esta ecuacin se sustituye por su solucin en otras ecuaciones dode aparezca para reducir el nmero de incognitas en dichas ecuaciones.

[editar] Ejemplo

El sistema de ecuaciones

es equivalente a este otro

El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

que es una ecuacin con una sola incognita cuya solucin es .

Sustituyendo por 1 en la primera ecuacin del sistema de partida se tiene que

que es una ecuacin con una sola incognita y cuya solucin es .

[editar] Mtodo de sustitucin

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] Entonces podemos despejar en la segunda ecuacin y sustituirla en la primera, para obtener la ecuacin:

Lo que se busca es que esta ecuacin dependa de menos incognitas que las de partida.

Aqui y son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.

[editar] Ejemplo

Intentemos resolver

La primera ecuacin se puede reescribir de la forma

Por otra parte, de la segunda ecuacin del sistema se deduce que

Sustituyendo por en

se tiene que

que es una ecuacin con solo una incognita y cuya solucin es .

Sustituyendo por uno en la primera ecuacin del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuacin de una sola incognita

cuya solucin es .

[editar] Mtodo de Gauss

Gauss es uno de los matematicos mas importantes de todos los tiempos. Fue un GENIO!

El mtodo de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver.

Es esencialmente el mtodo de reduccin. En el mtodo de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el mtodo de reduccin, pero uno se ahorra el escribir las incognitas porque al ir los coeficientes de una misma incognita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incognita a la que multiplican.

[editar] Ejemplo

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

es:

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuacin la primera.

Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:

que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ocuacion para obtener :

En la primera y segunda ecuacin, sustituimos por la solucion de la tercera ecuacin ( ), para obtener:

La segunda ecuacin es ahora una ecuacin con una sola incognita, , que resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuacin, por 1 ( ). Esto nos da una ecuacin en :

que al resolverla termina de darnos la solucin del sistema de ecuaciones inicial:

[editar] Mtodo de la matriz inversaUn sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial:

Si existe, es decir, si es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda la igualdad anterior por la izquierda por , para obtener:

que es la solucin del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes y matriz de terminos independientes .

[editar] Regla de Cramer

Gabriel Cramer nacio Ginebra ( Suiza ) 1704 y murio en 1752. A l le debemos la regla que lleva su nombre. Gracias Gabriel por tu contribucin a las Matemticas!

Esta regla es un mtodo de resolucin de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones coincide.

Cuando el sistema de ecuaciones

satisface las condiciones arriba mencionadas, su solucin viene dada por:

En general

donde es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de por la matriz de los terminos independientes, .

[editar] Ejemplo

Consideremos el sistema de ecuaciones:

En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz de los coeficientes es una matriz cuadrada y . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:

ombre:Erika CerezoCurso;10moCFecha: 29 de Junio 2010Colegio:17 deSeptiembreCasos de FactorizacinCaso 1. Factorizacin por factor comn (caso monomio):Se escribe el factor comn (F.C.) como un coeficiente de un parntesis y dentro delmismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada trmino delpolinomio por el F.C.Ejemplo:Descomponer (o factorizar) en factoresa2+ 2. El factor comn (FC) en los dostrminos esapor lo tanto se ubica por delante del parntesisa( ). Dentro delparntesis se ubica el resultado de:22222+=+=+ aaaaaFCaFCa, por lo tanto:a (a+2). As:a2+ 2a=a(a+ 2)Caso 2. Factorizacin por factor comn (caso polinomio)Primero hay que determinar el factor comn de los coeficientes junto con el de lasvariables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aqu que el factor comnno solo cuenta con un trmino, sino con dos.Ejemplo:Descomponerx(a+b) +m(a+b)Estos dos trminos tienen como factor comn el binomio (a+b), por lo que se pone (a+b) como coeficiente de un parntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividirlos dos trminos de la expresin dada entre el factor comn (a+b), o sea:( )( )( )( )yxabmabxmabab+ += =+ +y se tiene:x(a+b) +m(a+b) = (a+b)(x+m)Caso 3. Factorizacin por factor comn (caso agrupacin de trminos)Para trabajar un polinomio por agrupacin de trminos, se debe tener en cuenta que sondos caractersticas las que se repiten. Se identifica porque es un nmero par de trminos.Para resolverlo, se agrupan cada una de las caractersticas, y se le aplica el primer caso,es decir:ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)\,= a(b+c)+d(b+c)\,= (a+d) (b+c)\,Ejemplo:Descomponerax+bx+ay+byLos dos primeros trminos tienen el factor comnxy los dos ltimos el factor comny.Agrupamos los dos primeros en un parntesis y los dos ltimos en otro precedido delsigno + porque el tercer trmino tiene el signo (+):ax+bx+ay+by= (ax+bx) + (ay+byEjercicio de los Casos de Factorizacion Inicio 5 primeros casos de factorizacion 5 ultimos casos de factorizacion descarga de programas VideosPrincipio del formulario

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Bsqueda personalizada lunes, 1 de julio de 2013Los 5 primeros casos de factorizacin con ejemplos Caso IEste es el primer caso y se emplea para factorizar una expresin en la cual todos los trminos tienen algo en comn (puede ser un nmero, una letra, o la combinacin de los dos).Sacar el factor comn es extraer la literal comn de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor comn de sus coeficientes. Ejemplo:

x^8 + x^2 y^2 - 2xy = xy(x + xy - 2)

a) Factor comn monomioEjemplos descritos de factorizacion:

1. Descomponer en factores a^2 + 2a.

a^2 / a = a y 2a / a= 2, y tendremos a^2 + 2a = a(a+2)

2. Descomponer en factores 10b 30 a b^2 .Los coeficientes 10 y 30 tienen factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor comn. De las letras, el nico factor comn es b porque esta en los 2 trminos de la expresin dada y la tomamos con su menor exponente b.

El factor comn es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un parntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 10b / 10b = 1 y -30ab^2 /10b = -3ab

y tendremos:

10b 30a b^2 = 10b(1 3ab).

Ejercicios:

Factorar o descomponer en dos factores:1) 3a^3 a^2 = a^2 (3a-1)

2) 15c^3 d^2 + 60 c^2 d^3 = 15c^2 d^2 (c + 4d)

3) 34ax^2 + 51a^2 y 68 a y^2 = 17a(2x^2 + 3ay - 4y^2 ).

En este ejemplo vemos que el factor comn del coeficiente numrico es el 17, como sabemos que es el 17 dividiendo:34 / 17 = 2 ; 51 / 17= 3 ; 68 / 17= 4, es decir tenemos que buscar un numero que sea divisible para todos los coeficientes numricos.

Y en cuanto al coeficiente Literal el factor comun es a debido a que es el menor exponente de dicho coeficiente Literal.

4) x x^2 + x^3 x^4 = x(1 x + x^2 x^3 )

5) 3a^2 b + 6ab 5a^3 b^2 + 8a^2 bx +4ab^2 m = a( ab + 6b 5a^2 b^2 + 8abx + 4b^2m)

Caso II

Factor comun por agrupacin de terminosPara trabajar un polinomio por agrupacin de trminos, se debe tener en cuenta que son dos caractersticas las que se repiten. Se identifica porque es un nmero par de trminos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las caractersticas, y se le aplica el primer caso, es decir:

ab + ac + bd + dc = (ab + ac) (bd + dc)

= a(b + c) + d(b + c)

= (a + d) (b + c)

Pasos para realizar el caso II (Factor comun por agrupacin de terminos)Los pasos para realizar este caso que es el factor comun por agrupacion de terminos es:

1) Observar detenidamente el ejercicio en este caso vamos a poner como ejemplo el ejercicio anterior es decir: ab + ac + bd + dc.

2) Agrupar los terminos de una manera que al realizar el ejercicio nos de cmo resultado un factor comun le voy a demostrar con ejemplos:

ab + ac + bd + dc

agrupando los trminos: (ab + ac) + (bd + dc)

aplicando lo del caso I a(b + c) + d(b + c) observemos en la parte sombreada con azul que se repite el mismo factor comun (b + c)

es decir el ejercicio si se lo puede realizar es el caso II, si al agrupar los trminos no se repiten los factores comunes no es el caso II y por ende no se puede realizar el ejercicio.

3) Una vez identificado que se trata de un factor comun por agrupacin de trminos procedemos a colocar primero el coeficiente literal es decir las letras que estn fuera de los factores comunes.

son las que estn sombreada con rojo. a (b + c) + d (b+c)

por ultimo colocamos los factores comunesdndonos como resultado (a+d) (b+c)

Agrupacin de trminos: Aqu se intenta agrupar los diferentes trminos de una expresin para factorizar utilizando los diferentes mtodos vistos. Para utilizar este mtodo se debe tener en cuenta que la expresin debe tener un nmero de trminos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de trminos. Ejemplo:

Resolviendo nos queda:

2ab + 2a - b - 2ac + c - 1

(2ab - 2ac + 2a) - (b - c + 1)

2a(b - c + 1) - (b - c + 1)

(b - c + 1) (2a - 1)

Ejemplos Descritos de factorizacion:Descomponer : ax + bx + ay + by:Los dos primeros trminos tienen el factor comun x y los dos ltimos el factor comun y. Agrupamos los dos primeros trminos en un parntesis y los dos ltimos en otro precedido del signo + porque el tercer trmino tiene el signo + y tendremos:

ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)

= x(a + b) + y(a + b)

La agrupacin puede hacerse generalmente de ms de un modo con tal que los dos trminos que se agrupan tengan algn factor comun, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los parntesis despus de sacar el factor comun en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresin dada no se puede descomponer por este mtodo.As en el ejemplo anterior podemos agrupar el 1er y 3er. trminos que tienen el factor comun a y el 2do y 4to que tienen el factor comun b y tendremos:

ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by)

= a(x + y) + b (x + y)

= (a + b) (x + y)

Ejercicios:

1) a^2 x^2 3bx^2 + a^2 y^2 3by^2

(a^2 x^2 3bx^2 ) + (a^2 y^2 3by^2 )

x^2 (a^2 3b) + y^2 (x^2 + y^2 )

(a^2 3b) (x^2 + y^2 )

2) x^2 a^2 + x a^2 x

(x^2 + x) (a^2 + a^2 x)

x(x + 1) a^2 (1 + x)

(x + 1) (x a^2 )

3) 4a^3 x 4a^2 b + 3bm 3amx

(4a^3 x 3amx) (4a^2 b 3bm)

ax(4a^2 3m) b (4a^2 3m)

(4a^2 3m ) (ax b)

4) 2am 2an + 2a m + n 1

(2am 2an + 2a) (m n + 1)

2a(m n + 1) (m n + 1)

(m n + 1) (2a 1)

5) 3x^3 + 2axy + 2ay^2 3xy^2 2ax^2 3x^2 y

(3x^3 3x^2 y 3xy^2 ) (2ax^2 2axy 2ay^2 )

3x(x^2 xy y^2 ) 2a(x^2 xy y ^2)

(x^2 xy y^2 ) (3x 2a)

En este ejercicio vemos la forma en que podamos agrupar los trminos, ya que una vez al agrupar los dos trminos deben dar el

mismo factor comun es decir en este ejercicio el factor comun es (x^2 xy y^2 ).

En este caso como vemos, agrupamos los trminos correspondiente y nos da como respuesta

(x^2 xy y^2 ) (3x 2a).

La clave para resolver este caso es observar el ejercicio darse cuenta la manera en que podamos agrupar los trminos para que nos pueda dar el mismo factor comun y as se pueda realizar el ejercicio.

Caso IIITrinomio cuadrado perfectoRegla para factorar un trinomio cuadrado perfecto.Se extrae la raz cuadrada al primero y tercer termino del trinomio y se separan estas races por el signo del segundo trmino. El binomio as formado, que es la raz cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado

Ejemplos descritos:Factoraizar: m^2 + 2m + 1

m^2 + 2m + 1 = (m + 1) (m + 1) = (m + 1)^2

Factorar: 4x^2 + 25y^2 20xy

Ordenando el trinomio, tenemos:4x^2 20xy +25y^2 = (2x 5y) (2x 5y) = (2x 5y)^2

Importante:Cualquiera de las dos races puede ponerse de minuendo. As en el ejemplo anterior se tendr tambin:

4x^2 20xy + 25y^2 = (5y 2x) (5y 2x) = (5y 2x)^2

Porque desarrollando este binomio se tiene:

(5y 2x)^2 = 25y^2 20xy + 4x^2

Expresin idntica a 4x^2 20xy + 25y^2 ya que tiene las mismas cantidades con los mismos signos.

Caso IV

Diferencia de cuadrados perfectos

Regla para factorar una diferencia de cuadrados.Se extrae la raz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas races cuadradas por la diferencia entre la raz del minuendo y la del sustraendo.

Los pasos para saber si es un cuadrado perfectos es seguir los siguientes pasos .

1) observar que los dos trminos tengan raz o se le pueda sacar raz cuadrada y que el segundo trmino este precedido del signo - ejemplo:

m^2 4 = es una diferencia de cuadrados porque tiene raz cuadrada tanto el primer

termino; raiz cuadrada de m^2 es m y en el segundo termino; raiz cuadrada de 4 es 2 y por ultimo el segundo termino va precedido del signo en este caso 4.

Ejemplos descriptivos de factorizacion:Factorizar: 1 a^2

La raz cuadrada de 1 es 1; la raz cuadrada de a^2 es a. multiplica la suma de estas races (1 + a) por la diferencia (1 a) y tendremos:

1 a^2 = (1 + a) (1 a)

Factorizar: 49 x^2 y^6 z^10 a^12

49 x^2 y^6 z^10 a^12 = (7x y^3 z^5 + a^6 ) (7 x y^3 z^5 a^6 )

Factorizar o descomponer en dos factores.

1) a^2 25 = (a + 5) (a 5)

2) 36a^2 64b^2 = (6a + 8 b) (6a 8b)

3) 16m^2 100 = (4m + 10) (4m 10)

4) m^4 x n^2 x= (m^2 x + nx) (m^2 x nx)

Caso Especial de la diferencia de cuadrados perfectos.

Factorizar: (a + b) ^2 c^2

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.

As, en este caso tenemos:

La raz cuadrada de (a + b) ^2 es (a + b).

La raz cuadrada de c^2 es c.

Multiplico la suma de estas races (a + b) + c por la diferencia (a + b) c y tengo:

(a + b) ^2 c^2 = [(a + b) + c] [(a + b) c]

= (a + b + c) (a + b c)

Factorizar: (p + q)^2 (q + 2)^2

La raz cuadrada de (p + q)^2 es (p + q).

La raz cuadrada de (q + 2)^2 es (q + 2).

Se multiplica la suma de estas races (p + q) + (q + 2) por la diferencia (p + q) (q + 2) y tengo:

(p + q) ^2 (q + 2) ^2 = [(p + q) + (q + 2)] [(p + q) (q + 2)]

= (p + q + q + 2) (p + q q 2) se reduce a trminos semejantes yqueda.

= (p + 2q + 2) (p 2).

Ejercicios del caso especial.

a^2 (b + c) ^2 = [a + (b + c)] [a (b + c)]

= (a + b + c) (a b + c)

(x y) ^2 (c + d) ^2 = [(x y) + (c + d)] [(x y) (c + d)]

= (x y + c + d) (x y c d)

4(a + b) ^2 9(c + d) ^2 = [2(a + b) + 3(c + d)] [2(a + b) 3(c + d)]

= (2a + 2b + 3c + 3d) (2a + 2b 3c 3d)

Casos Especiales

Combinacin de los casos III y IV.Regla para resolver una combinacin de los casos III y IV.

1) Observar detenidamente el ejercicio y fijarse si en ella hay un trinomio cuadrado perfecto, ejemplo:

a^2 + m^2 4b^2 2am

ordenando para observar de mejor manera el trinomio cuadrado perfecto nos queda

a^2 2am + m^2 4b^2

Como vemos en la parte sombreada de azul identificamos un trinomio cuadrado perfecto que ya lo estudiamos anteriormente.

2) Luego resolvemos encerrando en parntesis todo el trinomio cuadrado perfecto:

Quedndonos de esta manera (a^2 2am + m^2 ) 4b^2 .

3) Una vez que lo agrupamos comenzamos resolviendo el trinomio cuadrado perfecto

(a^2 2am + m^2 ) 4b^2 = (a m) ^2 4b^2

Luego observamos detenidamente que se trata de una diferencia de cuadrados perfectos del caso especial que ya lo estudiamos.

4) Resolvemos la diferencia de cuadrados perfecto y nos queda:

(a^2 2am + m^2 ) 4b^2 = (a m) 4b

= (a m + 2b) (a m 2b)

Siendo la respuesta (a m + 2b) (a m 2b)

Factorizar: 1 9x^2 + 24 xy 16y^2

Resolviendo: 1 (9x^2 + 24xy 16y^2 )

En este ejemplo vemos que al agrupar no nos da un trinomio.

(9x^2 + 24xy 16y^2 )

No es un trinomio cuadrado perfecto porque al multiplicarlo (9x + 4y) ^2 es decir(9x + 4y) (9x + 4y) no nos va a dar el trinomio inicial.

Entonces hacemos lo siguiente:

1 (9x^2 + 24xy 16y^2 ) = 1 (9x^2 - 24xy + 16y^2 )donde esta el signo que esta de azul cambiamos los signo de los trminos que estn adentro del parntesis es decir 9x ^2 cambia a 9x^2 ; de 24xy cambia a 24xy; de -16y^2 cambia a 16y ^2.sombrear este grupoPero agrupndolo nos queda 1 (9x^2 - 24xy + 16y^2) para no afectar el trinomio el

cuadrado perfecto, el - 9x^2 el signo se queda afuera como estamos observando en el ejemplo anterior para no afectar el trinomio.

De ah si podemos resolver el ejercicio:

[1 (9x^2 24xy + 16y^2 )]

[1 (3x 4y) ^2 ]

[(1 + (3x 4y)] [(1 (3x 4y)] ojo en la segunda agrupacin vemos el en el

siguiente paso se cambia el signo.

(1 + 3x 4y) (1 3x + 4y).

quedndonos como resultado (1 + 3x 4y) (1 3x + 4y).

Ejercicios de la combinacin de los casos III y IV

1) c^2 a^2 + 2a - 1 = c (a 2a + 1)

= c^2 (a 1) ^2

= (c + a 1) [c (a 1)]

= (c + a 1) (c a + 1)

2) m^2 x^2 + 9n^2 + 6mn 4ax 4a^2 = (m^2 + 6mn + 9n^2 ) (4a^2 4ax x^2)

= (m^2 + 6mn + 9n^2 ) (4a^2 + 4ax + x^2 )

= (m^2 + 3n) (2a^2 + x)

= (m + 3n + 2a + x) (m + 3n 2a x)

3) x^2 a^2 + 2xy + y^2 + 2ab b^2 = (x^2 + 2xy + y^2 ) (a^2 + 2ab b^2)

= (x^2 + 2xy + y^2) (a^2 2ab + b^2)

= (x^2 + y) (a^2 b)

= (x + y + a b) (x + y a + b)

Nota: En este blog los exponentes se expresan de la siguiente manera:

a^2 = se lee a elevada a la segunda potencia

ab^2 = se lee b es elevado a la segunda potencia l el smbolo ^ no influye en la letra a

(a + b)^2 = se lee que el polinomio (a + b) es elevado a la segunda potencia

Publicado por Andres Aguilar en 15:37 Etiquetas: binomio, ejercicios, factor, factorizacion, factorizar, numero, polinomio, terminos DIVISIN ALGEBRAICAEs la operacin que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y uno de los factores divisor encontrar otro factor llamado cociente:D = d CDonde: D es el Dividendo (producto de los factores d y C) d es el divisor (factor conocido) C es el cociente (factor desconocido)Los factores D, d y C pueden ser nmeros, monomios o polinomios.Leyes que sigue la divisin:Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario es positivo.(+) (+) = +(-) (-) = +(+) (-) = -(-) (+) = -Ley de los cocientes de los coeficientes: el coeficiente del cociente es el cociente de dividir el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. mx nxy = (m n)(x xy)Donde m y n son nmeros y n es distinto de ceroLey de exponentes: la divisin de dos o ms potencias de la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de las potencias.

Nota: resulta til y cmodo colocar la divisin como una expresin fraccionaria as:

Divisin de monomios Es la divisin de un monomio entre otro, en fraccin se trabaja como reduccin de mltiplos iguales.Pasos a seguir: Se aplica ley de signos Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (n = 1), y se escriben en orden alfabtico.Ejemplos:

Ejercicios Propuestos Respuestas:

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Reduccin de trminos semejantes

En una expresin algebraica se llaman trminos semejantes a todos aquellos trminos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos trminos que tienen iguales letras (smbolos literales) e iguales exponentes.Por ejemplo:6 a2b3 es trmino semejante con 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a2b3)1/3 x5yz es trmino semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz)0,3 a2c no es trmino semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, estn al revs.Reducirtrminos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numricos en una expresin algebraica, que tengan el mismo factor literal. Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numricos y se conserva el factor literal.Recordando cmo se suman los nmeros enteros: Las reglas de suma se aplican nicamente a dos casos: nmeros de igual signo y nmeros con signo distinto.Las reglas a memorizar son las siguientes:a) Nmeros de igual signo: Cuando dos nmeros tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo. Ej : 3 + 8 = 11 ( sumo y conservo el signo) 12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo) Ej : 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los nmeros son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5 b) Nmeros con distinto signo: Cuando dos nmeros tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del nmero que tiene mayor valor absoluto 5 + 51 = 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto) 14 + 34 = 20Recordando cmo se resta:Para restar dos nmeros o ms, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios de signo que deben hacerse:a) Cambiar el signo de la resta en sumab) Cambiar el signo del nmero que est a la derecha del signo de operacin por su signo contrarioEj: 3 10 = 3 + 10 = 13 ( signos iguales se suma y conserva el signo) 19 16 = 19+ 16 = 19 16 = 3Ejemplo 1:xy3 3 x2y + 5 xy3 12 x2y + 6 Hay dos tipos de factores literales: xy3 y x2yHay tambin una constante numrica: 6Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numricos de xy3 con 5xy3 y 3 x2y con 12 x2y.Hay que tener presente que cuando una expresin no tiene un coeficiente, es decir, un nmero significa que es 1 (x3y = 1 xy3).xy3 3 x2y + 5 xy3 12 x2y + 6 = 6 xy3 + 15 x2y + 6 1 + 5 = 6 3 12 = 15Ejemplo 2:3ab 5abc + 8ab + 6abc 10 + 14ab 20 = 25ab + 1abc 30Operaciones: 3 + 8 +14 = 25 ab 5 + 6 = + 1 abc 10 20 = 30Ejercicios Propuestos Respuestas:sumas sumas

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Ejercicios Propuestos Respuestas:restas restas

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES: MULTIPLICACIN / EJERCICIOS RESUELTOS

multiplicacionEJEMPLO 1:

1

Primero hay que factorizar totalmente a todos los polinomios que se puedan en ambas fracciones. Luego, se simplifican los polinomios que "aparezcan repetidos", siempre tachando "uno de arriba con uno de abajo", como en este caso el binomio (x + 3), que est en el denominador de la primera fraccin y en el numerador de la segunda. Finalmente hay que multiplicar las fracciones que quedaron, del mismo modo que se multiplican las fracciones numricas: numerador con numerador, y denominador con denominador. Y si lo piden, aclarar que la simplificacin vale solamente para x 3.

EXPLICACIN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2:

1 1

2.(x + 1)

En este ejemplo se simplific todo lo que haba en los denominadores.


EJEMPLO 3:

1 1

En este ejemplo se simplific todo lo que haba en los numeradores.


EJEMPLO 4:

1


EJEMPLO 5:

1


EJEMPLO 6:

1 1

1


EJEMPLO 7:

3

1


EJEMPLO 8:

2


EJEMPLO 9:

1 1 1 3 1 4


CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE MULTIPLICACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Cmo se multiplican las fracciones "con polinomios arriba y/o abajo"?

Hay que multiplicar "lo de arriba por lo de arriba" y "lo de abajo por lo de abajo", igual que como lo hacamos con las fracciones numricas. Recordemos con un ejemplo:

En general sera:

Pero tambin, si podamos, nos convena simplificar antes de multiplicar. Y se poda simplificar "alguno de arriba con alguno de abajo". Por ejemplo:

3

1All pude simplificar el 6 que estaba "arriba" con el 2 que estaba "abajo". Y luego multipliqu.

Con las fracciones con polinomios hay que hacer lo mismo. Pero en este tema casi siempre encontraremos polinomios que se pueden factorizar, entonces conviene hacerlo para encontrar ms "cosas" (factores) para simplificar, como ya vimos en la parte de SIMPLIFICACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Los pasos seran entonces, en la mayora de los ejercicios, los siguientes:

1) Factorizar totalmente todos los polinomios que se puedan

2) Simplificar todo lo que se pueda, siempre "uno de arriba con uno de abajo" de cualquier fraccin. (ms sobre simplificar en SIMPLIFICACIN)

3) Multiplicar los polinomios que quedaron "arriba". Y multiplicar los que quedaron "abajo". El resultado es una fraccin cuyo numerador es igual a la multiplicacin de "los de arriba", y cuyo denominador es igual a la multiplicacin de "los de abajo". Tal como en se hace con la multiplicacin de las fracciones numricas.

EJEMPLOS:

En este ejemplo no hay nada para factorizar 1 Se puede simpliflicar el (x + 3) de arriba con el de abajo 1 Luego se multiplican los numeradores entre s, y lo mismo con los denominadores

Se puede factorizar el polinomio x2 - 4

Luego de factorizar vemos que el polinomio (x - 2) se repite 1 Simplifico los (x - 2), ya uno est "arriba" y el otro "abajo"

Luego de multiplicar numeradores entre s, y denominadores entre s.

3.7. Divisin de polinomiosLa divisin algebraica es la operacin que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.De la definicin anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. As por ejemplo, si dividimos , se cumplir que Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una divisin algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.(+)(+)=+()()=+(+)()=()(+)=Divisin de un monomio por otroPara dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuacin se escriben las letras ordenadas alfabticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente ser el que corresponda al aplicar la regla de los signos.Ejemplo:Dividir Solucin: Ejemplo:Dividir Solucin: Ejemplo:Dividir Solucin: En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la divisin propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:a) Cuando una letra est elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor.b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.Ejemplo:Dividir Divisin de un polinomio por un monomioPara dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los trminos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales as obtenidos.Ejemplo:Dividir Solucin: Ejemplo:DividirSolucin: Ejemplo:DividirSolucin: Divisin de un polinomio por un polinomio.Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.2) Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor, obtenindose as el primer trmino del cociente3) Se multiplica el primer trmino del cociente por todo el divisor y el producto as obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada trmino de su semejante. En el caso de que algn trmino de este producto no tenga ningn trmino semejante en el dividendo, es escribe dicho trmino en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenacin del dividendo y del divisor.4) Se divide el primer trmino del resto entre el primer trmino del divisor, obtenindose de este modo el segundo trmino del cociente.5) El segundo trmino del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto as obtenido se resta del dividendo, cambindole todos los signos.6) Se divide el primer trmino del segundo resto entre el primer trmino del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.Ejemplo:Dividir:

Para resolver la operacin anterior se procedi del modo siguiente:En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con respecto a la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x.A continuacin se ha dividido el primer trmino del dividendo, , entre el primer trmino del divisor, , obtenindose , por cada uno de los trminos del divisor, obtenindose como resultado , que se escribe debajo de los trminos semejantes del dividendo cambiando los signos de todos los trminos semejantes, obtenindose como primer resto .Despus se ha dividido entre obtenindose como cociente , que es el segundo trmino del cociente. Multiplicando por todos los trminos del divisor que se obtiene como resultado , que se escribe debajo de los trminos semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus trminos para efectuar la resta. A continuacin se ha procedido a efectuar la reduccin de trminos semejantes, obtenindose como segundo resto Finalmente se ha dividido entre , obtenindose como cociente . Multiplicando por todos los trminos del divisor se obtiene como producto , que se escribe debajo de los trminos semejantes del segundo resto cambiando los signos de todos lo trminos para efectuar la resta. A continuacin se ha procedido a efectuar la reduccin de trminos semejantes, obtenindose como tercer resto 0, con lo cual queda acabada la divisin.Ejemplo:Dividir: Solucin:Ejemplo:Dividir: Solucin:Ejemplo:Dividir: Solucin: Se dice que una divisin de un polinomio por otro es inexacta cuando:a) Si despus de ordenar los dos polinomios, el primer trmino del dividendo no es divisible entre el primer trmino del divisor.b) Si el ltimo trmino del dividendo no es divisible entre el ltimo trmino del divisor.c) Si en el primer trmino de algn dividendo parcial la letra ordenatriz tiene menor exponente que en el primer trmino del divisor.

ema: 8.10. Binomios conjugados.Objetivos: Definir a qu se le llama binomio conjugado. Explicar y ejemplificar cmo se soluciona una operacin con binomios conjugados. Se les llama binomios conjugados al producto de la suma de dos nmeros por su diferencia; es decir que tienen los mismos trminos, pero uno con signo contrario, por ejemplo:(a+b)(ab) Para resolver este producto, se puede hacer uso de la multiplicacin.

o se puede usar la siguiente regla: El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer trmino, menos el cuadrado del segundo trmino. En nuestro caso (a + b)(a b) a) el cuadrado del primer trmino ( a )2= ( a ) ( a ) = a2 b) menos el cuadrado del segundo-(b)2 = - (b) (b)= -b2(a + b) (a b) = a2 b2 Ejemplos: 1. (5x 3y) (5x + 3y)= (5x)2(3y)2 =25x2 9 y22. ( 7 a2-3b2) (7 a2 +3b2) = ( 7 a2)2- (3b2)2 =49 a4 9b23. ( 10 x y2 +4x2z) (10 x y2 4x2z) =100x2 y4 16x4 z2 Ejercicios: Resuelve conforme a la regla de binomios conjugados.1. ( x y2z 3xy) ( xy2z + 3xy)2. (- x + y) (x +y)3. (4 ab 2 cd) (4 ab + 2 cd)4. (a +3) (a 3)5. ( 3 a3 + 4 b2) (3 a3 4b2)Solucin:1. x2 y4 z2 9x2 y22. y2 x23. 16 a2 b2 4 c2 d24. a2 95. 9 a6 16 b4

Productos notables

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicacin. Tambin sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (tambin productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. A continuacin veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable). Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadradoa2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, ms el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad.Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2 Nota:Se recomienda volver al tema factorizacin para reforzar su comprensin. Ver: PSU; MatemticaPregunta 12_2005 Cuadrado de la diferencia de dos cantidadesa2 2ab + b2 = (a b)2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, ms el cuadrado de la segunda cantidad. Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a2 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a b)2 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados) (a + b) (a b) = a2 b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segundaDemostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma (a + b) (a b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 b2 Ver: PSU: Matematica, Pregunta 15_2010 Pregunta 19_2010 Pregunta 09_2006 Otros casos de productos notable (o especiales):Producto de dos binomios con un trmino comn, de la formax2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Demostracin:

Veamos un ejemplo explicativo:Tenemos la expresin algebraicax2 + 9 x + 14 obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )Cmo llegamos a la expresin?a) El cuadrado del trmino comn es (x)(x) = x2b) La suma de trminos no comunes multiplicada por el trmino comn es (2 + 7)x = 9xc) El producto de los trminos no comunes es (2)(7) = 14

As, tenemos:x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)Producto de dos binomios con un trmino comn, de la formax2 + (a b)x ab = (x + a) (x b)

Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma x2 + (a b)x ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x b).Producto de dos binomios con un trmino comn, de la formax2 (a + b)x + ab = (x a) (x b)

Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma x2 (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x a) (x b).Producto de dos binomios con un trmino comn, de la formamnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)

En este caso, vemos que el trmino comn (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).Demostracin:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma mnx2 + ab + (mb + na)x debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).Cubo de una sumaa3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3. Cubo de una diferenciaa3 3a2b + 3ab2 b3 = (a b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresin de la forma a3 3a2b + 3ab2 b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a b)3. A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresin algebraica que lo representa:Producto notable Expresin algebraica Nombre

(a + b)2=a2 + 2ab + b2Binomio al cuadrado

(a + b)3=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Binomio al cubo

a2 b2=(a + b) (a b)Diferencia de cuadrados

a3 b3=(a b) (a2 + b2 + ab)Diferencia de cubos

a3 + b3=(a + b) (a2 + b2 ab)Suma de cubos

a4 b4=(a + b) (a b) (a2 + b2)Diferencia cuarta

(a + b + c)2=a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bcTrinomio al cuadrado

Cocientes notablesSaltar a: navegacin, bsqueda No debe confundirse con Productos notables.Los cocientes notables son aquellos que resultan de divisiones exactas entre polinomios, es decir que el resto es igual a cero.

Forma general de un cociente notablendice 1 Casos de un cociente notable 1.1 Caso 1 1.2 Caso 2 1.3 Caso 3 2 Propiedades 2.1 Nmero de trminos de desarrollo 2.2 Clculo del trmino k-simo 3 Enlaces externos 4 Vase tambinCasos de un cociente notableExisten 3 casos de cocientes notables:Caso 1Este caso se produce cuando n es un nmero par o impar.

Caso 2Este caso se produce cuando n es un nmero par.

Caso 3Este caso se produce cuando n es un nmero impar.

Nota: Cuando arriba es ms (+) y abajo es menos (-), no se genera un cociente notable ya que la definicin de cocientes notables es que son cocientes exactos.PropiedadesSlo si es un cociente notable, se cumple las siguientes propiedadesNmero de trminos de desarrolloPara hallar el nmero de trminos que va a tener la solucin de la divisin, por ejemplo de:

Se calcula como la divisin de los exponentes de la misma variable:

Clculo del trmino k-simoSi te piden el trmino lugar o posicin k, del siguiente cociente notable:

Entonces "tk" se calcula de la siguiente manera:

Notas: En esta propiedad si k ocupa un nmero de trmino par (como segundo o cuarto), se coloca el signo -; y si k ocupa un nmero de trmino impar, el signo es + En esta propiedad n simboliza el nmero de trminos del desarrollo PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES Introduccin

Los productos y cocientes notables tienen importante aplicacin al tratar de desarrollar de una manera ms rpida ejercicios algebraicos.

3.1 PRODUCTOS NOTABLES

Son multiplicaciones que cumplen reglas especficas

Suma o resta de dos cantidades al cuadrado

Producto por la diferencia de dos cantidades (a + b) (a - b)

Resolviendo el producto:

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades, es igual a la diferencia de los cuadrados de las dos cantidades.

Resolver:

Cubo de un binomio

El cub

Sistema de Ecuaciones Lineales

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