Sistema de ecuaciones lineales

Introducción Métodos directos de solución

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESMÉTODOS DE SOLUCIÓN

Mg. Ana Laksmy Gamarra Carrasco

Universidad Privada Antenor Orrego

Abril del 2013


Sistema de ecuaciones lineales

Forma generalUn sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas tiene laforma general siguiente:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + ...+ a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + am3x3 + ...+ amnxn = bm



Forma matriciala11 a12 a13 ... a1na21 a22 a23 ... a2n... ... ... ... ...

am1 am2 am3 ... amn

x1x2...xn

=

b1b2...bm

Ax = b

Donde:A: Matriz coeficiente del sistemax: Vector incógnitab: Vector de términos independientes



Existencia y unicidad de la soluciónSea:

Ax = b

Si b = 0, el sistema es homogéneo.Si b 6= 0, el sistema es no homogéneo.



Existencia y unicidad de la soluciónDefinimos la matriz aumentada B, de la sigiente manera:

B =

a11 a12 a13 ... a1n b1a21 a22 a23 ... a2n b2... ... ... ... ... ...

am1 am2 am3 ... amn bm

La matriz aumentada podemos escribirla en la forma:

B = [aij : bj ]



Existencia y unicidad de la soluciónSea Ax = b,

INCONSISTENTEr(A) 6= r(B)

El sistema no tiene solución.CONSISTENTE

r(A) = r(B)

1 Solución única.r(A) = n

2 Número infinito de soluciones.

r(A) < n



Rango de una matrizEs el número de filas o columnas linealmente independientes,utilizando esta definición se puede calcular usando el métodode Gauss.

Ejemplo

Calcular el rango de la siguiente matriz: A =

1 2 22 1 22 2 1

Ejemplo

Calcular el rango de la siguiente matriz: B =

5 −1 −11 2 34 3 2



EjemplosVerificar si los siguientes sistemas de ecuaciones tienensolución:

2x + 4y = 0

3x + 6y = 0

5x − y − z = 0

x + 2y + 3z = 14

4x + 3y + 2z = 16



Eliminación de GaussConsidermos el siguiente sistema (1):

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 ...f2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 ...f3



Eliminación de GaussPrimer paso:

(−a21/a11)f1 + f2

(−a31/a11)f1 + f3

Esto dá lugar al nuevo sistema (2):

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1

a′22x2 + a′23x3 = b′2 ...f ′2

a′32x2 + a′33x3 = b′3 ...f ′3



Eliminación de GaussSegundo paso:

(−a′32/a′22)f′2 + f ′3

Luego obtenemos el sistema (3):

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1

a′22x2 + a′23x3 = b′2 ...f ′2

a′′33x3 = b′′3 ...f ′′3

El proceso de llevar el sistema de ecuaciones (1) a la forma dela ecuación (3) se conoce como triangularización.



Eliminación de GaussEl sistema en la forma (3) se resuelve despejando de su últimaecuación x3, sustituyendo x3 en la segunda ecuación ydespejando x2 de ella. Por último, con x3 y x2 sustituidos en laprimera ecuación de (3) se obtiene x1. Esta parte del procesose llama sustitución regresiva.En la ilustración de los ejemplos se empleará la matrizaumentada B.



EjemploResuelva por eliminación de gauss el sistema:

4x1 − 9x2 + 2x3 = 5

2x1 − 4x2 + 6x3 = 3

x1 − x2 + 3x3 = 4

Solución:La matriz aumentada del sistema es:

B =

4 −9 2 52 −4 6 31 −1 3 4



EjemploPor triangularización:

−24 f1 + f2, −1

4 f1 + f3 ∼

4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75

−1.250.5 f2 + f3 ∼

4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5

En términos de sistemas de ecuaciones quedaría:

4x1 − 9x2 + 2x3 = 5

0.5x2 + 5x3 = 0.5

−10x3 = 1.5



EjemploPor triangularización:

−24 f1 + f2, −1

4 f1 + f3 ∼

4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75

−1.25

0.5 f2 + f3 ∼

4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5

En términos de sistemas de ecuaciones quedaría:

4x1 − 9x2 + 2x3 = 5

0.5x2 + 5x3 = 0.5

−10x3 = 1.5



EjemploPor sustitución regresiva:

x1 = −0.15

x2 = 2.5

x3 = 6.95



Método de Factorización LUConsideremos el sistema de ecuaciones lineales:

Ax = b

LUx = b

U una matriz triangular superior.L una matriz triangular inferior.

Hacemos Ux = c, c es el vector desconocido.Resolvemos Lc = b, una vez calculado c, se resuelve:

Ux = c

donde: x es el vector solución.



EjemploResuelva por factorización LU el sistema:

4x1 − 9x2 + 2x3 = 5

2x1 − 4x2 + 6x3 = 3

x1 − x2 + 3x3 = 4

Solución:La matriz aumentada del sistema es:

B =

4 −9 2 52 −4 6 31 −1 3 4



Ejemplo - soluciónPor triangularización:

−24 f1 + f2, −1

4 f1 + f3 ∼

4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75

−1.250.5 f2 + f3 ∼

4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5



Ejemplo - soluciónPor triangularización:

−24 f1 + f2, −1

4 f1 + f3 ∼

4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75

−1.25

0.5 f2 + f3 ∼

4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5



Ejemplo - soluciónU:Matriz triangular superior

U =

4 −9 20 0.5 50 0 −10

L:Matriz triangular inferior

L =

1 0 02/4 1 01/4 1.25/0.5 1



Ejemplo - soluciónResolvemos:

Lc = b 1 0 02/4 1 01/4 1.25/0.5 1

c1c2c3

=

534

donde:

c1 = 5

c2 = 0.5

c3 = 1.5



Ejemplo - soluciónLuego resolvemos:

Ux = c 4 −9 20 0.5 50 0 −10

x1x2x3

=

50.51.5

donde:

x1 = −0.15

x2 = 2.5

x3 = 6.95



EjemploResuelva por factorización LU el sistema:

x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 21

2x1 + 8x2 + 6x3 + 4x4 = 52

3x1 + 10x2 + 8x3 + 8x4 = 79

4x1 + 12x2 + 10x3 + 6x4 = 82

Solución:

x1 = 2 x2 = 2

x3 = 3 x4 = 4



Método de CholeskyConsideremos el sistema de ecuaciones lineales:

Ax = b

LLtx = b

A una matriz simétrica y definida positiva.L una matriz triangular inferior.

Hacemos Ltx = c, c es el vector desconocido.Resolvemos Lc = b, una vez calculado c, se resuelve:

Ltx = c

donde: x es el vector solución.



Método de CholeskyLa matriz triangular inferior L tiene la forma:

l11 0 0 ... 0l21 l22 0 ... 0... ... ... ... ...ln1 ln2 ln3 ... lnn



EjemploResuelva usando el método de Cholesky el siguiente sistema:

4x1 + x2 + 2x3 = 1

x1 + 2x2 + 0x3 = 2

2x1 + 0x2 + 5x3 = 4

A es simétrica y definida positiva.



Ejemplo - solución

A = L.Lt

De donde obtenemos:

l211 = a11 ⇒ l11 = 2

l11.l21 = a12 ⇒ l21 = 0.5

l11.l31 = a13 ⇒ l31 = 1

l221 + l222 = a22 ⇒ l22 = 1.32287

l21.l31 + l22.l32 = a23 ⇒ l32 = −0.37796

l231 + l232 + l233 = a33 ⇒ l33 = 1.96396



Ejemplo - soluciónResolviendo el sistema:

Lc = b 2 0 00.5 1.32287 01 −0.37796 1.96396

c1c2c3

=

124

obtenemos:

c1 = 0.5

c2 = 1.32287

c3 = 2.0367



Ejemplo - soluciónLuego resolviendo el sistema:

Ltx = c 2 0.5 10 1.32287 −0.377960 0 1.96396

x1x2x3

=

0.51.322872.0367

obtenemos:

x1 = −0.59259

x2 = 1.29629

x3 = 1.037

Sistema de ecuaciones lineales

Documents

Transcript of Sistema de ecuaciones lineales