Sesion 03 - Distribuciones Chi Cuadrado

Ing. Marco Luis Pérez SilvaEmail: [email protected]

Facultad de Ciencias EmpresarialesUCV - Tarapoto

• Para saber si las diferencias que se observan entre varias proporciones de la muestra son significativas o solo se deben al azar.

• Para determinar la dependencia e independencia de la(s) variable(s) a analizar.

(Ver ejemplo de introducción)

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Problema: “El director de una compañía está evaluando tres métodos de capacitación para empleados nuevos. El primero consiste en asignar un empleado nuevo a un trabajador experimentado para que éste ayude en la fábrica; el segundo, en ubicar a todos los empleados nuevos en un salón de capacitación separado de la fábrica; el tercero método utiliza películas y materiales de aprendizaje programados. El director de capacitación escoge al azar 16 empleados nuevos asignados al azar a los tres métodos, registra su producción diaria después de terminar los programas de capacitación

Modo1 15 18 19 22 11

Modo 2 22 27 18 21 17

Modo 3 18 24 19 16 22 15

El director se pregunta ¿existe diferencias en la efectividad de los tres métodos?


En el caso de las variables continuas, se plantea el problema de determinar, ¿a qué distribución de probabilidad “estándar” es la que mejor se ajusta?La técnica usada para resolver este problema es la “Prueba de Bondad de Ajuste”, que hace uso de la Prueba Chi-cuadrado.

Prueba Chi-cuadrado

• Se usa cuando se trabaja con variables nominales (categorías o grupos).

• Responder la pregunta: si las frecuencias observadas, difiere de la frecuencia esperada.

Para efectuar la prueba de Chi-cuadrado se requiere trabajar con variables categóricas, por lo que es necesario decidir ¿en cuantos grupos dividir el intervalo de valores de la variable?Facultad de Ciencias Empresariales - UCV

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TABLA NRO. 1 Noreste Sureste Central Costa Oeste

Nro. Empleados q prefieren el método actual

68 75 57 79

Nro. Empleados q prefieren el nuevo método

32 45 33 31

Suponga que en 4 regiones, la compañía XYZ, muestrea las actitudes de sus empleados respecto a la evaluación del desempeño en el trabajo. Los trabajadores eligen entre el método actual (2 evaluaciones al año) y un nuevo método propuesto (evaluaciones trimestrales)


TABLA NRO. 1I Noreste Sureste Central Costa Oeste Total

Nro. Empleados q prefieren el método actual

68 75 57 79 279

Nro. Empleados q prefieren el nuevo método

32 45 33 31 141

Total empleados muestreados en cada región

100 120 90 110 420

A continuación se construye la tabla de contingencias a partir de la tabla Nro. I y calculamos los totales por fila y totales por columna, de tal manera que queda establecido de la siguiente manera:


• Supongamos que ahora simbolizamos las proporciones verdaderas de la población total de empleados que prefieren el plan actual como:

pN: Proporción de empleados en el Noreste que prefieren el plan actualpS: Proporción de empleados en el Sureste que prefieren el plan actualpC: Proporción de empleados en la región Central que prefieren el plan actualpW: Proporción de empleados en la Costa Oeste que prefieren el plan actual• Utilizando estos símbolos podemos establecer las hipótesis

nula y alternativa de la siguiente manera:H0: pN=pS=pC=pW (Hipótesis Nula)

H1: pN, pS, pC, pW no son iguales (Hipótesis Alternativa)• Si la Hipótesis nula es verdadera, podemos combinar los datos

de las 4 muestras y luego estimar la proporción de la fuerza total de trabajo (población total) que prefiere el método de evaluación actual:

Proporción combinada que prefiere el método actual, suponiendo que la hipótesis nula de que no hay diferencia es verdadera


Proporción de empleados muestreados en cada región que se espera prefieran los dos métodos de evaluación

TABLA NRO. III Noreste Sureste Central Costa Oeste

Nro. Total muestreado 100 120 90 110proporción estimada que prefiere el método actual

0.66430.6643 0.6643 0.6643

Nro. que espera prefiere el método actual

66.43 79.72 59.79 73.07

Nro. Total muestreado 100 120 90 110proporción estimada que prefiere el nuevo método

0.33570.3357 0.3357 0.3357

Nro. que espera prefiere el nuevo método

33.57 40.28 30.21 36.93


Comparación de las frecuencias observadas y esperadas de trabajadores muestreados

TABLA NRO. IV Noreste Sureste Central Costa Oeste

FRECUENCIA CON QUE PREFIEREN EL MÉTODO ACTUAL

Frecuencia observada (real) 68

75 57 79

Frecuencia esperada (teórica) 66.43 79.72 59.79 73.07

FRECUENCIA CON QUE PREFIEREN EL NUEVO MÉTODO

Frecuencia observada (real) 32

45 33 31

Frecuencia esperada (teórica) 33.57 40.28 30.21 36.93


• Para ir mas allá de nuestra intuición acerca de las frecuencias observadas y esperadas, podemos usar el estadístico chi - cuadrado, que se calcula de la siguiente manera:

Frecuencia esperadaFrecuencia

observada

Chi - cuadrado

Símbolo de SumatoriaEsta fórmula establece que chi – cuadrado, o X2 es la

suma que obtendremos si:• Restamos fe de fo para cada uno de los ocho valores

de la tabla 3.• Elevamos al cuadrado cada diferencia.• Dividimos cada diferencia al cuadrado entre fe, y• Y sumamos los ocho resultadosFacultad de Ciencias Empresariales - UCV

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DE LA TABLA NRO. IV

Paso 1 Paso 2 Paso 3

fo fe

68 66.43 1.57 2.46 0.0370

75 79.72 -4.72 22.28 0.2795

57 59.79 -2.79 7.78 0.1301

79 73.07 5.93 35.16 0.4812

32 33.57 -1.57 2.46 0.0733

45 40.28 4.72 22.28 0.5531

3 30.21 2.79 7.78 0.2575

31 36.93 -5.93 35.16 0.9521

2.7638

Paso 4: El valor obtenido de 2.764 indica el valor chi cuadrado a las preferencias de los métodos de evaluación.Si el valor fuese muy grande indicaría una diferencia sustancial en los valores observados y valores esperados.El valor chi cuadrado nunca puede ser negativoFacultad de Ciencias Empresariales - UCV

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Para utilizar la prueba chi cuadrado, debemos calcular los grados de libertad en la tabla de contingencia aplicando la siguiente ecuación:


Se debe conocer el nivel de insignificancia (α) del problema así como los grados de libertad que tenga el problema, es decir:

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