Estadistica chi cuadrado

38
Distribución de Chi Cuadrado 2007

Transcript of Estadistica chi cuadrado

Page 1: Estadistica chi cuadrado

Distribución de Chi Cuadrado

2007

Page 2: Estadistica chi cuadrado

PRESENTACION

El presente trabajo se lo ha realizado con la finalidad de conocer otra herramienta necesaria y fundamental para determinar si un proyecto es factible o no, como es la prueba del chi – cuadrado, que además de la prueba de hipótesis y la t de student, esta prueba también se debe conocer y aprender para luego de su respectivo cálculo y análisis se pueda tomar decisiones adecuadas al asunto al cual se esta haciendo referencia. Para poder llevar a cabo esta prueba hemos tenido como fuentes primarias y secundarias libros, textos y también el internet y varias páginas web de las cuales hemos obtenido información que nos ha ayudado a conocer y aprender acerca de lo que es el Chi – cuadrado.

Page 3: Estadistica chi cuadrado

MARCO TEORICO“Distribución de Chi Cuadrado ”

Las distribución Chi cuadrado, se derivan de la distribución Normal y están relacionadas con la teoría del muestreo pequeño n< 30.

Son muy importantes pues son la base de metodologías inferenciales, tales como Intervalos de Confianza y Pruebas de Hipótesis.

En otros estudios se les define como la suma de diferencias cuadráticas relativas entre valores experimentales (observados) y valores teóricos (esperados).

2

Page 4: Estadistica chi cuadrado

En una prueba de ajuste la hipótesis nula establece que una variable X tiene una cierta distribución de probabilidad con unos determinados valores de los parámetros. El tipo de distribución se determina, según los casos, en función de: La propia definición de la variable, consideraciones teóricas al margen de esta y/o evidencia aportada por datos anteriores al experimento actual.

A menudo, la propia definición del tipo de variable lleva implícitos los valores de sus parámetros o de parte de ellos; si esto no fuera así dichos parámetros se estimarán a partir de la muestra de valores de la variable que utilizaremos para realizar la prueba de ajuste.

Como en casos anteriores, empezaremos definiendo las hipótesis. Hipótesis nula: X tiene distribución de probabilidad f(x) con parámetros

y1,...,yp

Hipótesis alternativa: X tiene cualquier otra distribución de probabilidad.

Page 5: Estadistica chi cuadrado

Es importante destacar que el rechazo de la hipótesis nula no implica que sean falsos todos sus aspectos sino únicamente el conjunto de ellos; por ejemplo, podría ocurrir que el tipo de distribución fuera correcto pero que nos hubiésemos equivocado en los valores de los parámetros.

Obviamente, necesitaremos una muestra de valores de la variable X. Si la variable es discreta y tiene pocos valores posible estimaremos las probabilidades de dichos valores mediante sus frecuencias muéstrales; si la variable es continua o si es una discreta con muchos o infinitos valores estimaremos probabilidades de grupos de valores (intervalos).

Metodológicamente, la prueba se basa en la comparación entre la serie de frecuencias absolutas observadas empíricamente para los valores de la variable (Oi) y las correspondientes frecuencias absolutas teóricas obtenidas en base a la función de probabilidad supuesta en la hipótesis nula (Ei).

Page 6: Estadistica chi cuadrado

Distribución Chi-cuadrado

Definición: Sea Sea k variables aleatorias normales e independientes, cada una con media 0 y desviación típica 1. entonces, la variable aleatoria

Se llama la variable aleatoria chi cuadrado con k grados de libertad.

2

Page 7: Estadistica chi cuadrado

Definición de los Términos

Fórmula de Chi Cuadrado

α = Nivel de Significancia: En estadística, un resultado se denomina estadísticamente significativo cuando no es probable que haya sido debido al azar.

Son comunes los niveles de significancia del 0,05, 0,01 y 0,1. En algunas situaciones es conveniente expresar la significancia estadística como percentil 1 − α.

Este valor hace referencia al nivel de confianza que deseamos que tengan los cálculos de la prueba; es decir, si queremos tener un nivel de confianza del 95%, el valor de alfa debe ser del 0.05, lo cual corresponde al complemento porcentual de la confianza.

e

eo

fff

2

2 )(

Page 8: Estadistica chi cuadrado

Hipótesis: Si un contraste de hipótesis proporciona un valor P inferior a α, la hipótesis nula es rechazada, siendo tal resultado denominado “estadísticamente significativo”. Cuanto menor sea el nivel de significancia, más fuerte será la evidencia de que un hecho no se debe a una mera coincidencia (al azar).

Grados de Libertad: GL=k-1 En estadística, grados de libertad es un estimador del número de categorías independientes en una prueba particular o experimento estadístico. Se encuentran mediante la fórmula n − r, donde n=número de sujetos en la muestra, también pueden ser representados por k − r,

k=número de grupos, cuando se realizan operaciones con grupos y no con sujetos individuales

r=número de sujetos o grupos estadísticamente dependientes

Page 9: Estadistica chi cuadrado

Distribución Chi-cuadrado2

Page 10: Estadistica chi cuadrado

Distribución Chi-cuadrado2

Page 11: Estadistica chi cuadrado

Chi Cuadrado Crítico2

Page 12: Estadistica chi cuadrado

La Regla de Decisión

Ch² observado < Ch²

critico Rechazar Ho

Aceptar Ho

Si

No

Page 13: Estadistica chi cuadrado

PROPIEDADES DISTRUBUCIÓN CHI-CUADRADO En estadística, la distribución de Pearson, llamada también

ji cuadrada(o) o chi cuadrado(a) (χ²), es una distribución de probabilidad continua con un parámetro que representa los grados de libertad de la variable aleatoria.

Su función de densidad es:  Sí x ≥ 0

Sí x < 0

Page 14: Estadistica chi cuadrado

PROPIEDADES:

FUNCIÓN DE DENSIDAD JI CUADRADO:

La variable no toma valores negativos, su campo de variación (R x2) es igual a 0 £ C2 £ ¥. La función f(x2; V) es0.

Por ser una función de densidad, el área bajo una curva Ji cuadrado y sobre el eje horizontal tiene un valor unitario.

Además, como se muestra gráficamente, la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria Ji cuadrado, C2 , es:

Unimodal

Marcadamente asimétrica con sesgo positivo, es decir con cola a la derecha, cuando el número de grados de libertad es muy pequeño. Conforme aumentan los grados de libertad, se hace menos sesgada y para 20 grados de libertad resulta bastante simétrica. A partir de Para n 30, la distribución se considera aproximadamente normal.

Page 15: Estadistica chi cuadrado

FUNCIÓN DE DENSIDAD FORMULA.

Su función de densidad es:

Donde r, es la función gamma

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA PARA UNA VARIABLE JI CUADRADO:

Los valores las áreas de probabilidad acumulada desde x2 = 0, hasta los percentiles x2 .

Mediante la Tabla de la función de distribución acumulada, F(x2; n ), se pueden resolver problemas del tipo siguiente: ¿cuál es la probabilidad de encontrar valores mayores a cierto x2 i?; ¿Qué proporción del área de probabilidad se encuentra a la izquierda de cierto x2 i?; ¿Qué valor de la variable X 2es superado solamente por el 10% de los datos posibles?.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA FORMULA.

Su función de distribución es:

Donde {\displaystyle \ \gamma (k,z)}es la función gamma incompleta. El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son,

respectivamente, k y 2k.

Page 16: Estadistica chi cuadrado

PARÁMETROS:

r > 0 grados de libertad

Las pruebas chi-cuadrado son un grupo de contrastes de hipótesis que sirven para comprobar afirmaciones acerca de las funciones de probabilidad (o densidad) de una o dos variables aleatorias

Estas pruebas no pertenecen propiamente a la estadística paramétrica pues no establecen suposiciones restrictivas en cuanto al tipo de variables que admiten, ni en lo que refiere a su distribución de probabilidad ni en los valores y/o el conocimiento de sus parámetros.

Se aplican en dos situaciones básicas: a) Cuando queremos comprobar si una variable, cuya descripción parece

adecuada, tiene una determinada función de probabilidad. La prueba correspondiente se llama chi-cuadrado de ajuste.

b) Cuando queremos averiguar si dos variables (o dos vías de clasificación) son independientes estadísticamente. En este caso la prueba que aplicaremos ser la chi-cuadrado de independencia o chi-cuadrado de contingencia.

Page 17: Estadistica chi cuadrado

¿Para que utilizamos una Prueba de Chi Cuadrado? Para determinar si la muestra se ajusta o no se ajusta a una

distribución teórica.

Para saber si la(s) poblacione(s) son homogénea(s) o no.

Para determinar la dependencia e independencia la(s) variable(s) a analizar.

2

Page 18: Estadistica chi cuadrado
Page 19: Estadistica chi cuadrado

Ejemplo 1:

Un gerente de ventas que tiene su mercado dividido en cuatro zonas le indica a sus vendedores que las zonas tienen el mismo potencial de ventas.

Ante la duda de los vendedores sobre el potencial de sus zonas el gerente hace el siguiente procedimiento :Se extrae una muestra de los archivos de la empresa de 40 ventas realizadas el año pasado y encuentra que el numero de ventas por zona son: zona 1 = 6, Zona 2 = 12, Zona 3 = 14 y zona 4 = 8 . En vista de esos resultados se realiza una prueba de bondad de ajuste.

Page 20: Estadistica chi cuadrado

Solución:Planteamiento de Hipótesis H0 : las ventas están igualmente distribuidas.

H1: las ventas no están igualmente distribuidas

Nivel de Significancia α = 5% = 0.05

Cálculos GL= k-1 = 4-1 = 3 El critico = 7.81 (Según Tabla)

2

Page 21: Estadistica chi cuadrado

Chi Cuadrado Crítico2

Page 22: Estadistica chi cuadrado

Solución:

Elaborar la tabla de y y calcular el .

ZONASA B C D

Frecuencia observada (fo) 6 12 14 8 40

Frecuencia esperada (fe) 10 10 10 10 40

Ch² 1.6 0.4 1.6 0.4 4

Los individuales se calculan con la formula; y luego se suman:

Este valor es el observado = 4e

eo

fff 2

2 )(

of ef

2

2

2

Page 23: Estadistica chi cuadrado

La decisión:

Como: observado < Critico

observado (4) < critico (7.81) Si se Cumple

entonces, no rechazamos Ho.

Es decir que la Ho de que las ventas se encuentran igualmente distribuidas en las cuatro zonas no se puede rechazar para un nivel de significancia de 5%.

2 2

2 2

Page 24: Estadistica chi cuadrado

Prueba de Independencia

Se usa para analizar la frecuencia de dos variables con categorías múltiples para determinar si las dos variables son independientes o no.

Hipótesis nula (H0) : Las variables X e Y son independientes, ( X e Y no están relacionadas)

Hipótesis alternativa (H1): Las variables X e Y no son independientes, (X e Y están relacionadas)

F

i

C

j ij

ijijCF

EEO

1 1

2

)1)(1(2 )(

Page 25: Estadistica chi cuadrado

Tablas de contingencias Grados de libertad GL= (m-1)(n-1) Calculo de frecuencia esperado.

Una Tabla de contingencia con r filas y c columnas tiene la siguiente forma:

)()()(

totalcolumnasumafilasumafe

Los datos de variables cualitativa o categóricas representan atributos o categorías y se organizan en tablas llamadas tablas de contingencia o tablas de clasificación cruzada.

Page 26: Estadistica chi cuadrado

Donde:

Oi j : es el número de sujetos que tienen las características Ai y Bj a la vez.

Ri : (i = 1,…,r) es la suma de la i-ésima fila de la tabla. Es decir, es el total de sujetos que poseen la característica Ai.

Cj :(j = 1,…,c) es la suma de la j-ésima columna de la tabla. Es decir, es el total de sujetos que poseen la característica Bj.

n : representa el total de observaciones tomadas.

F

i

C

j ij

ijijCF

EEO

1 1

2

)1)(1(2 )(

Page 27: Estadistica chi cuadrado

El uso de bebida ordenado con alimentos en El Salón de té HUAPRI ¿es independiente de la edad del consumidor? Se toma una muestra aleatoria de 289 clientes del restaurante de donde resulta el siguiente cuadro de valores observados. Utilice α = 1% para determinar si las dos variedades son independientes.

EDAD CAFÉ (TÉ) REFRESCO LECHE21 – 34 26 95 18

35 – 55 41 40 20

>55 24 13 32

Ejemplo

Page 28: Estadistica chi cuadrado

Solución:Planteamiento de Hipótesis H0 : El tipo de bebida preferida es independiente de la edad

H1 : El tipo de bebida preferida no es independiente ,esta relacionada con la edad

Nivel de significancia α = 0.01

Cálculos Grados de Libertad GL = (m-1)(n-1)

Tenemos 3 filas y tres columnas, es decir

GL = (3-1)(3-1) = 4 El critico = 13.27 (Según Tabla)

2

Page 29: Estadistica chi cuadrado
Page 30: Estadistica chi cuadrado

Chi Cuadrado Crítico2

Page 31: Estadistica chi cuadrado

Solución:Calculo de frecuencia esperado. )(

)()(total

columnasumafilasumafe

EDAD CAFÉ (TÉ) REFRESCO LECHE TOTAL

21 – 34 26 95 18 139

Frecuencia Esperada

35 – 55 41 40 20 101

Frecuencia Esperada

≥55 24 13 32 49

Frecuencia Esperada

Total fo 91 148 50 289

Total fe

43,8 71,2

EDAD CAFÉ (TÉ) REFRESCO LECHE TOTAL

21 – 34 26 95 18 139

Frecuencia Esperada 43.8 71.2 24.0 139,0

35 – 55 41 40 20 101

Frecuencia Esperada 31.8 51.7 17.5 101,1

≥55 24 13 32 49

Frecuencia Esperada 15.4 25.1 8.5 49,0

Total fo 91 148 50 289

Total fe 91.0 148.0 50,0 289,0

Page 32: Estadistica chi cuadrado

La Decisión

Como: observado < Critico

observado (97,93) < critico (13,27)

No se Cumple

entonces, rechazamos H0, es decir se acepta la hipótesis alternativa H1

Las dos variables, bebida preferida y edad, no son independientes. El tipo de bebida que un cliente ordena con alimentos está relacionada con la edad y depende de está.

2 22 2

Page 33: Estadistica chi cuadrado

Prueba de Homogeneidad

Se extraen Muestras Independientes de varias poblaciones y se prueban para ver si son homogéneas con respecto a algún criterio de clasificación.

H0 = Las Poblaciones son Homogéneas

H1 = Las Poblaciones no son Homogéneas

F

i

C

j ij

ijijCF

EEO

1 1

2

)1)(1(2 )(

Page 34: Estadistica chi cuadrado

Ejemplo 3:

La siguiente tabla indica las familias de cuatro distritos y el número de personas que vieron un programa especial de política económica nacional. Use α=1%

A B C D TOTAL

Número de personas que si vio 10 15 5 18 48

Número de personas que no vio 40 35 45 32 152

50 50 50 50 200

Page 35: Estadistica chi cuadrado

Solución:Planteamiento de Hipótesis H0: todos vieron el programa

H1: No todos vieron el programa

Nivel de Significancia α = 0.011

Cálculos

GL = (m-1)(n-1) = (2-1)(4-1) = 3 = 11.35 Calcular las frecuencias esperadas y el Ch2 observado.

2

Page 36: Estadistica chi cuadrado

Solución:A B C D TOTAL

VEN EL PROGRAMA 0.33 0.75 4.08 3.00NO VEN EL PROGRAMA 0.11 0.24 1.29 0.95TOTAL 10.75

Como el valor observado (10.75) es menor que el valor critico (11.35). No podemos rechazar H0 para un nivel del 1%. La diferencia de las proporciones no es suficientemente grande para rechazar H0.

Page 37: Estadistica chi cuadrado

ELABORADO:

Arauco Ingunza, SuaylSanta María Ramírez, Priscilla

De la Cruz Luciano, Marycarmen Pablo Acosta, Giner

Page 38: Estadistica chi cuadrado

MUCHAS GRACIAS…