COLEGIO EL SALVADOR SAN VICENTE T.T. Colegio El Salvador-Trigonometra JUAN CRISTBAL DAZ OLEA JUAN PABLO LOBOS MADARIAGA NICOLS ANDRS SILVA ABARCA BYRON ANDR RIQUELME VSQUEZ GUILLERMO REN MORALES YVENES SERGIO IGNACIO SALINAS ROZAS JUAN EDUARDO AMADO HINOJOSA Colegio El Salvador-Trigonometra ndice 1)Introduccin 2)Prlogo 3)Resea Histrica de la trigonometra4)ngulos orientados 5) Sistemas de medicin de ngulos 6)Razones trigonomtricas y sus recprocas en el tringulo rectngulo 7)Razones trigonomtricas de ngulos complementarios 8)La circunferencia goniomtrica 9)Razones trigonomtricas de ngulos notables: 30, 45 y 60 10)Razones trigonomtricas de ngulos cuadrantales 11)Resolucin de tringulos rectngulos 12)ngulos de elevacin y de depresin 13)Resolucin de problemas 14)Signo de la razones trigonomtricas 15)Reduccin al primer cuadrante 16)Grafica de la funciones trigonomtricas 17)Identidades trigonomtricas bsicas y pitagricas 18)Identidades trigonomtricas para la suma y diferencia de ngulos 19)Identidades trigonomtricas para el doble de un ngulo 20)Identidades trigonomtricas para el valor medio de un ngulo 21)Ecuaciones trigonomtricas 22)Teoremas fundamentales para resolucin de tringulos oblicungulos 23)Facsmil de PSU trigonometra N1 24)Facsmil de PSU trigonometra N2 25)Bibliografa Colegio El Salvador-Trigonometra 1.- Introduccin EltextoIntroduccinalCalculo Infinitesimalhasidocreadopara ayudar a los estudiantes a reforzar sus conocimientos en dicho tema; adems,puedeservircomo respaldoatrabajosescolaresy podrresponderadiferentes inquietudesquepudieren presentarse a los alumnos. Esteproyectoayudaa comprenderdevariadasformas losmtodosposiblespara desarrollarlostemassobrela trigonometra.Personalmente,nos permiti reestudiar la materia vista esteao,paranoolvidar fcilmente lo aprendido. Alentenderla trigonometra,fcilmente podemosnotarcmoaplicarlaa la vida real. Aldeterminarelngulo dadoporelextremodeuna pirmide, por ejemplo, vemos que son 4 tringulos rectngulos unidos porunodesuscatetos,de maneraqueusandounafuncin trigonomtricapodemosobtener elvalorbuscado.Ascomoen otroscasos,esnecesario saber los temas que este libro abarca. Serunbuenestudiante implicaserdelosmejores,realizar lasactividadesysobretodotener lasganas.Estodartodoslos instrumentosnecesariospara lograr tal objetivo. Colegio El Salvador-Trigonometra 2.- Prlogo El estudio de la matemtica es,sinduda,unfactor fundamentaleneldesarrollode lashabilidadesbsicasnecesarias para el ser humano post-moderno, talescomolarpida comprensin,anlisis, interpretacineinferencia,entre otras.Ellassonimprescindibles paraenfrentarcualquiersituacin de nuestras vidas. Lacienciadeductivadelos entesabstractosentrega instrumentoscognitivos imprescindiblesalmomentode enfrentarsealasdificultades propiasdeldiariovivir,msaunla trigonometra,quetieneuna aplicacin mucho ms concreta y aparentemente ms cercana a la realidad cotidiana. Esporlosmotivos anteriormentesealados,quees primordialmanejarcontenidos relacionados con la trigonometra, para lo cual se entregarn en este texto de manera metdica y clara losconocimientosconsiderados demayorimportanciaporlos entendidos en el tema. Eltrabajoderecopilaciny adaptacindelainformacin obtenida est hecho de tal forma, que los conocimientos transmitidos porestemediosern probablementeasimiladossin mayoresdificultades,incluso,con msfacilidadqueuntexto cientficodemayorcomplejidad. Estoserespaldaenelhechode quelosautoresdelaobrason justamenteestudiantes,paresde losreceptores,locualgenerarpidamenteunafavorable empata. Finalmente,esnecesario daraconocerqueelobjetivode estetextoeslograrquelos Colegio El Salvador-Trigonometra estudiantesdeenseanzamedia logren,atravsdelcorrectouso deestematerialy complementndoloconlalabor de un gua, internalizar de manera satisfactorialomselementalde latrigonometraparasuposterior correctousoenlassituaciones queseannecesariasbajo cualquier mbito del saber.

3.- Historia de la trigonometra LahistoriadelatrigonometracomienzaconlosBabiloniosylos Egipcios.Estosltimosestablecieronlamedidadelosngulosengrados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clsica, en el siglo II a.C. el astrnomo Hiparco de Nicea construy una tabla de cuerdas pararesolvertringulos.Comenzconunngulode71yyendohasta 180conincrementosde71,latabladabalalongituddelacuerda delimitadaporlosladosdelngulocentraldadoquecortaauna circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utiliz para r. 300aosdespus,elastrnomoTolomeoutilizr = 60,pueslos griegos adoptaron el sistema numrico (base 60) de los babilonios. Durantemuchossiglos,latrigonometradeTolomeofuela introduccinbsicaparalosastrnomos.Ellibrodeastronomael Almagesto, escrito por l, tambin tena una tabla de cuerdas junto con la explicacindesumtodoparacompilarla,yalolargodellibrodio ejemplosdecmoutilizarlatablaparacalcularloselementos desconocidosdeuntringuloapartirdelosconocidos.Elteoremade Menelao utilizado para resolver tringulos esfricos fue autora de Tolomeo.Almismotiempo,losastrnomosdelaIndiahabandesarrollado tambinunsistematrigonomtricobasadoenlafuncinsenoenvezde cuerdascomolosgriegos.Estafuncinseno,eralalongituddellado opuestoaunnguloenuntringulorectngulodehipotenusadada.Los matemticos indios utilizaron diversos valores para sta en sus tablas. A finales del siglo VIII los astrnomos rabes trabajaron con la funcin seno y a finales del siglo X ya haban completado la funcin seno y las otras cincofunciones.Tambindescubrieronydemostraronteoremas fundamentalesdelatrigonometratantoparatringulosplanoscomo esfricos. Los matemticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonomtricas Colegio El Salvador-Trigonometra El occidente latino se familiariz con la trigonometra rabea travs detraduccionesdelibrosdeastronomaarbigos,quecomenzarona aparecerenelsigloXII.Elprimertrabajoimportanteenestamateriaen Europafueescritoporel matemticoyastrnomoalemnJohannMller, llamado Regiomontano.AprincipiosdelsigloXVII,elmatemticoJhonNapierinventlos logaritmosygraciasaestolosclculostrigonomtricosrecibieronungran empuje.A mediados del siglo XVII Isaac Newton invent el clculo diferencial eintegral.UnodelosfundamentosdeltrabajodeNewtonfuela representacin de muchas funciones matemticas utilizando series infinitas depotenciasdelavariablex.Newtonencontrlaserieparaelsen xy seriessimilaresparaelcos xylatg x.Conlainvencindelclculolas funcionestrigonomtricasfueronincorporadasalanlisis,dondetodava hoydesempeanunimportantepapeltantoenlasmatemticaspuras como en las aplicadas. Porltimo,enelsigloXVIII,elmatemticoLeonhardEulerdemostr que las propiedades de la trigonometra eran producto de la aritmtica de losnmeroscomplejosyademsdefinilasfuncionestrigonomtricas utilizando expresiones con exponenciales de nmeros complejos.Hiparco de Nicea (c.190-120a.C),HiparcodeNiceafueastrnomogriego,elms importantedesupoca.NacienNicea,Bitinia(hoyIznik,Turqua).Fue extremadamenteprecisoensusinvestigaciones,delasqueconocemos parteporcomentarseeneltratadocientficoAlmagestodelastrnomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejercigran influencia. Comparando sus estudiossobreelcieloconlosdelosprimerosastrnomos,Hiparco descubrilaprecisindelosequinoccios.Susclculosdelaotropical, duracindelaodeterminadaporlasestaciones,tenanunmargende errorde6,5minutosconrespectoalasmedicionesmodernas.Tambin inventunmtodoparalocalizarposicionesgeogrficaspormediode latitudes y longitudes. Catalog, hizo grficos y calcul el brillo de unas mil estrellas.Tambinrecopilunatabladecuerdastrigonomtricasque fueron la base de la trigonometra moderna.Tolomeo Colegio El Salvador-Trigonometra (c.100-c.170),ClaudioTolomeo, astrnomoymatemticoque dominelpensamientocientficohastaelsigloXVIporsusteorasy explicacionesastronmicas.PosiblementenacienGrecia,perosu verdaderonombre,ClaudiusPtolemaeus,diceloquerealmentesesabe del:'Ptolemaeus'indicaquevivaenEgiptoy'Claudius'queera ciudadano romano. Contribuy con susestudiosentrigonometra y aplic sus teoras a la construccin de astrolabios y relojes de sol. Euler (1707-1783),LeonhardEulerfueunmatemticosuizo,sustrabajosse centraron en el campo de las matemticas puras, Euler naci en Basilea y selicencialos16aos.En1727,fuemiembrodelprofesoradodela Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrtico de fsicaen1730ydematemticasen1733.En1741fueprofesorde matemticasenlaAcademiadeCienciasdeBerln.EulerregresaSan Petersburgoen1766,dondepermanecihastasumuerte.Aunquetuvo una prdida parcial de visin antes de cumplir 30 aos y una ceguera casi totalalfinaldesuvida,produjoobrasmatemticasimportantes,como reseas matemticas y cientficas. EnsuIntroduccinalanlisisdelosinfinitos(1748),tratla trigonometraylageometraanaltica.Entresusobrasseencuentran Instituciones del clculo diferencial (1755),Instituciones del clculo integral (1768-1770) e Introduccin al lgebra (1770). John Napier (1550-1617),Napierfueunmatemticoescocsnacidoen Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudi en la Universidad de San Andrs y allfueseguidordelmovimientodelaReformaenEscocia,despusde unos aos tom parte en los asuntos polticos de los protestantes y es autor de la primera interpretacin importante en Escocia de la Biblia. Principalmenteesconocidoporintroducirelprimersistemade logaritmos,(1614).Adems,fueunodelosprimeros,sinoelprimero,en utilizarlamodernanotacindecimalparaexpresarfraccionesdecimales de una forma sistemtica.Pitgoras de Samos Colegio El Salvador-Trigonometra (siglo VI A.C.).Sedice que fuediscpulo de Tales, pero apartndose de la escuela jnica fundo en trotona, italia, la escuela pitagrica. Los egipcios conocieron la propiedad del triangulo rectngulo cuyos lados miden 3,4 y 5 unidades, en los que se verifica la relacin 5 = 3 + 4, peroeldescubrimientodelarelacina=b+cparacualquiertriangulo rectngulo y su demostracin de deben indiscutiblemente a Pitgoras. Seatribuyetambinalaescuelapitagricalademostracindela propiedaddelasumadelosngulosinternosdeuntrianguloyla construccin geomtrica del polgono estrellado de cinco lados. Euclides(sigloIVA.C.)escribiunadelasobrasmsfamosasdetodoslos tiemposllamadaElementos,queconstandetrececaptulostitulados libros.Deestaobrasehanhechotantasedicionesque solo laaventaja La Biblia Euclidesconstruylageometrapartiendodesdedefiniciones, postulados y otros teoremas. El edificio geomtrico construido por Euclides ha sobrevivido hasta nuestros das. El contenido de los 13 libros es el siguiente: a)LibroI:Relacindeigualdaddetringulos.Teoremassobreparalelas. Sumadelosngulosdeunpolgono.Igualdaddelasreaso paralelogramos de igual base y altura. Teorema de Pitgoras. b) Libro II: Conjuntos de relaciones de igualdad entre rea de rectngulos queconducenalaresolucingeomtricadelaecuacindesegundo grado. c) Libro III: Circunferencia, ngulo inscritod)LibroIV:Construccindepolgonosregularesinscritosocircunscritosa una circunferencia e)LibroV:Teoremageneraldelamedidademagnitudesbajoformas geometra, hasta los nmeros irracionalesf) Libro VI: Proporciones. tringulos semejantes.pr g)LibroVII,VIIIyIX:Aritmtica:proporciones,mximocomndivisory nmeros primosh)LibroX:Nmerosinconmensurablesbajoformageomtricaapartirde los radicales cuadrticos Colegio El Salvador-Trigonometra i)LibroXIyXII:Geometradelespacioy,enparticular,relacinentre volmenes de prismas y pirmides; cilindro y cono; proporcionalidad de un volumen de una esfera al cubo del dimetro. j) Libro XIII: Construccin de los cinco poliedros regulares Platn(Siglo IVA.C.).Enla primeramitaddeestesiglo,seinicienAtenasun movimientocientficoatravsdelaacademiadeplatn.Paral,la matemtica no tiene finalidad prctica sino simplemente se cultiva con el nicofindeconocer.Porestarazn,seopusoalasaplicacionesdela geometra.Dividilageometraenelementalysuperior.Lageometra elemental comprenda todos lo problemas que se poda resolver con regla y compas. La geomtrica superior estudiaba los 3 problemas ms famosos de la geometra antigua no resolubles con regla y compas1.lacuadraturadelcrculo.Setrata,comoindicasunombrede construirelladodeuncuadradoquetengalamismareaqueun circulo dado , utilizando solamente la regla y el compas 2.latriseccindelngulo.Elproblemadedividirunnguloentres partesigualesutilizando solamente la regla y el compasno es, mas que en casos particulares, resolubles 3.la duplicacin del cubo. Este problema consiste en hallar , mediante unaconstruccingeomtrica,enlaqueseutilicesololareglayel compas,uncuboquetengaunvolumendobledeeldeuncubo dado Estostresproblemassepuederesolverconlareglayelcompascon toda la aproximacin que se desee. Y se resuelven exactamente utilizando curvasespeciales.Nosetrataporconsiguientedeproblemasquenose hayanresueltoenlaprctica,sinodeproblemasdeimportancia puramente terica. As pues, se pretenda clarificar la historia de la trigonometra para tener una visin mucho ms amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor entendimiento acerca del tema. Colegio El Salvador-Trigonometra Fueas,comolatrigonometraavanz,hastaconvertirseenunarama independientequehacepartedelamatemtica.Peroestonoquiere decirquelosavances,descubrimientoseinvestigacionesnohayan continuado.Elestudiodelatrigonometraactualmentenoselimitaalas relaciones entre los elementos de un tringulo y a sus aplicaciones. Hoy en da,latrigonometraespartedelamatemticayseempleaenmuchos camposdelconocimientotantotericoscomoprcticos,eintervieneen todaclasedeinvestigacionesgeomtricasyalgebraicasenlascuales aparecenlasllamadasfuncionestrigonomtricas,degranaplicacin adems en la electricidad, termodinmica, investigacin atmica etc. Noestdemsaclararquelapalabratrigonometraderivadedos races griegas: trigon, que significa tringulo, y metra, que significa medida, entonces, se tiende a creer su aplicacin solo se limita o refiere a las varias relaciones entre los ngulos de un tringulo y sus lados. Sinembargo,elhombrelahaempleadoparacalcularreas, distancias, trayectorias y en el estudio de la mecnica etc., con base en la resolucin de tringulos. La trigonometra, que al principio aparece como parte de la geometra, ocupadadeformularrelacionesentrelasmedidasangularesylas longitudesdelosladosdeuntringulo,yquesurgipararesolver inicialmente problemas de exactitud en la navegacin y en el clculo del tiempoyloscalendariosporpartedelosgriegos,posteriormenteseha convertidotambinelfundamentodelosclculosastronmicos.Por ejemplo,lasolucindelllamadotringuloastronmicoseutilizapara encontrar la latitudy longitud de unpunto, la hora del da, la posicin de una estrella y otras magnitudes. Aspues,estamismatrigonometrasedividiendosramas fundamentales,quesonlatrigonometraplana,queseocupadefiguras contenidas en un plano, y la trigonometra esfrica, que se usa sobre todo ennavegacinyastronomayestudiatringulosesfricos,esdecir, tringulos que forman parte de la superficie de una esfera. Colegio El Salvador-Trigonometra 4.-ngulos orientados Un ngulo es la porcin de plano comprendida entre dos semirrectas quesecortanenunpuntodenominadovrtice;alassemirrectassele llamalados.Paradesignaralosngulosseutilizantresletras:dosparalos ladosyunoparaelvrtice,obienconunasolaletracolocadaenel vrtice, normalmente del alfabeto griego. Diremosqueunnguloestorientado ensentidopositivo,sidichonguloesten sentido contrario a las agujas del reloj. En caso contrario se dice de sentido negativo. ngulo BOC es positivo Colegio El Salvador-Trigonometra ngulo BOA es negativo 5.- Sistemas de Medicin de ngulos Para medir ngulos pueden adoptarse distintas unidades. Los sistemas ms usados son: sistema centesimal, la circunferencia se divide en 400 partes iguales, cada una de ellas llamada grado centesimal(g). cada grado tiene 100 minutoscentesimales(m)ycadaminutotiene100segundos centesimales (s). Sistemasexagesimal,cuyaunidaddemedidaangulareselgrado sexagesimal,queeslanoventa-avapartedelngulorectoyse simboliza1.Lasesenta-avapartedeungradoesunminuto(1)yla sesenta-ava parte de un minuto es un segundo (1). "'' 1601160 1 190recto ngulo= = = Un ngulo llano mide 180 y un giro completo mide 360. Sistemacircularoradial,cuyaunidaddemedidaeselradin.La proporcionalidadqueexisteentrelalongitudsdelosarcosdedos circunferenciasconcntricascualesquieradeterminadosporunngulo centralylosradiosrcorrespondientes,permitetomarcomomedida delnguloelcociente rs=radioarco.Unngulocentralde1radines aquel que determina un arco que tiene una longitud igual al radio. s = r,por lo tanto1 =rs. Unradineslamedidadelngulocon vrtice en el centro de la circunferencia y s3 s1 s2 o r2 r3 r1 Colegio El Salvador-Trigonometra Ejemplo: Si|determina un arco de 6 cm en una circunferencia de 2 cm de radio, entonces la medida en radianes dees: 3cm 2cm 6= =rs. En el sistema circular,mide 3 radianes, o decimos que mide 3, sin indicar la unidad de medida. La medida en radianes de un ngulo de un giro est =t22rr . .. La medida en radianesde unngulo llano, que es la mitad de ungiro, est =t22 . . La medida en radianes de un ngulo recto es 2t. Pararelacionarunsistemade medicin conotro,observamoslasiguiente tabla: nguloSistema sexagesimal Sistema circular 1 giro3602 t llano180t recto90t/2 A cuntos grados sexagesimales equivale un radin? Haciendousodelasproporcionesyteniendoencuentalamedidadel ngulo llano, tenemos Colegio El Salvador-Trigonometra 180 1" ' 45 17 57180 1~t Nota:tesaproximadamenteiguala3,14.Unngulodetradianes equivale a un ngulo de180.Pero t = 180. Actividad: 1) Expresar en radianes las medidasde losngulos, siesposible, utilizando fracciones de t: a) 30 b) 45 c) 60 d) 120 2)Expresarengradossexagesimaleslossiguientesngulosmedidosen radianes: 2 1/2 t/2 2t 3) Efectuar las siguientes operaciones. a) Hallar el ngulo complementario de 56 41 27 b)Hallar el ngulo suplementario de102 25 c)Cunto mide el ngulo que supera en12 33a la quinta parte de39 40 ? d)Elminuterodeunrelojesde12cmdelargo.Qurecorrido realiza la punta de la manecilla en 20 minutos? 4) Expresa en grados sexagesimales: i) 3/5ii)5/3iii) 4/5iv) 5/6v) 9/10vi) /12 5) Expresa en radianes: i) 310ii) 75iii) 600iv) 12v)35vi) 220 Colegio El Salvador-Trigonometra 6.- Razones Trigonomtricas y sus recprocas en el tringulo rectngulo De un tringulo rectngulo ABC como se muestra en la figura: Seno Seno del ngulo B: es la razn entre el cateto opuesto al ngulo y la hipotenusa.Se denota por sen B. Coseno Colegio El Salvador-Trigonometra Coseno del ngulo B: es la razn entre el cateto contiguo al ngulo y la hipotenusa.Se denota por cos B. Tangente Tangente del ngulo B: es la razn entre el cateto opuesto al ngulo y el cateto contiguo al ngulo. Se denota por tan B. Cosecante Cosecante del ngulo B: es la razn inversa del seno de B. Se denota por cosec B. Secante Secante del ngulo B: es la razn inversa del coseno de B.Se denota por sec B. Colegio El Salvador-Trigonometra Cotangente Cotangente del ngulo B: es la razn inversa de la tangente de B.Se denota por cotg B. Gua de ejercicios: 1) Calcular las dems razones trigonomtricas sabiendo que: i) cosA= 4/5 ii) senA= 1/5 iii) tanA= 2/4 iv) cotgA= 2 v) cscA= 2 vi) sen= 0,3 vii) cotg= 1,2 viii) sen= 5/12 ix) tanB= 1/3 x) cosC= 7/25 2) Encuentre el valor de: i) sen cos, si tan= 1/b ii) cos2 -1, si sec= (1+a)/(1-a) Colegio El Salvador-Trigonometra 7.- Razones trigonomtricas de ngulos complementarios Podemosdesarrollaslasfuncionestrigonomtricasdengulos complementarios mediante tringulos rectngulos, ya que los ngulos que no son rectos son complementarios entre si: a + b = 90entonces b = 90-a tg (90 - a) = cotg a cotg(90 - a) = tg a sec(90 - a) = cosec a cosec(90 - a) = sec a Ejemplo: Colegio El Salvador-Trigonometra 8.- Circunferencia goniomtrica Circunferenciagoniomtrica,circunferenciaderadiounidadsobre lacualserepresentanlosngulosparaquesepuedanvisualizarsus razones trigonomtricas. Sobre un sistema de ejes coordenados con centro en el origen, O, se traza una circunferencia de radio unidad: El vrtice del ngulo se sita en O, el primero de sus lados, a, sobre la partepositivadelejedelasX,yelsegundolado,b,seabregirandoen sentidocontrarioalasagujasdelreloj.Estesegundoladocortaala circunferenciagoniomtricaenunpuntoPcuyascoordenadasson c = cos ays = sen a.Latangentetsesitasobrelarectartangenteala circunferencia en U y queda determinada por el punto T, en el que el lado b, o su prolongacin, corta a r.La circunferencia goniomtrica ngulos orientados Cuandotrabajamosenradianes,lasmedidasdelosngulosson nmeros reales. Si definimos ngulos orientados esta medida puede tomar valoresnegativos.Altrabajarconunnguloenunsistemade coordenadascartesianas,steestgeneradoporlarotacindeuna semirrecta o rayo que parte del semieje positivo de las x. Colegio El Salvador-Trigonometra I cuadrante II cuadrante

P1 III cuadranteIV cuadrante P0 P2 P3 o | P1 Si el lado gira en sentido contrario a las agujas del reloj, se dice que elnguloespositivo.Yesnegativocuandoestgeneradoensentido horario. Puede, adems, realizar ms de un giro completo. Parareferirnosasuubicacin,consideramoselplanocartesiano dividoencuatrosectores,llamadoscuadrantesyunacircunferenciacon centro en el origen y radio 1 que llamaremos circunferencia goniomtrica. Parahallarelsegmentoasociadoalsen|,seconstruyeenel segundo cuadrante el tringulo rectngulo con las componentes deP1y elsegmentodeordenadascorrespondeasenode|.Anlogamente sucede con los ngulos del tercer y cuarto cuadrante, donde el segmento de ordenada seasocia con el seno del ngulo y el segmento de abscisa, con el coseno del ngulo. Lossignosdelosvaloresdelasrelacionestrigonomtricasdelos distintos cuadrantes dependen de los signos de las coordenadas del punto sobre el lado terminal del ngulo.Esta informacin se resume en la siguiente tabla, que se debe completar: Actividad: sen ocos otg ocosec osec ocotg o I+++ II III En la figura, como r = 1 tenemos que: 00 01yyrysen = = = o el segmento de ordenadas est relacionado con el sen o . 00 01xxrxcos = = = oEl segmento de abscisas est relacionado con el o Colegio El Salvador-Trigonometra IV 9.- Razones trigonomtricas de ngulos notables(30, 45 y 60) SidibujamosuntringuloequilteroABC,cadaunodesustres ngulosmide60y,sitrazamosunaalturadelmismo,h,elngulodel vrtice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30 cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitgoras, tenemos que la altura es: Seno, coseno y tangente de 45 Colegio El Salvador-Trigonometra 10.- Razones trigonomtricas de ngulos cuadrantales III IIIIV 270 090180270360 Seno010-10 Coseno10-101 Tangente0 0 0 Cosecante 1 -1 Secante1-11 Cotangente 0 0 : No existe Ejercicios: 180 0 360 90 Colegio El Salvador-Trigonometra i) sen30 + tan 45 ii) 3Tan260 - 3/4sen270 iii) (Csc270 - sen30)2 iv) Cos60 - 1/4tn30 + 1v) cos30cos60 - sen30sen60 vi) sen30cos60 + cos30 sen60 vii) Sen90 cos45 - 3cos45 - 3cos90 sen60 viii) (tan60 - tan30) : (1 + tan30tan60) ix) (tan60 - sen45) : -(1 + sen45 + cos45) x) (csc30 + csc 60 + csc90) : (sec0 + sec30 + sec60) xi) 2sec45 - 3 sec230 xii) 3tan2 30 + 4/3(cos230)- (sec245)/2 1/3 (sen260) xiii) ( 1 + sec230) : (tan60 + sec30) tan245 xiv) sen180 + 2 cos180 + 3csc270 + 5 cos270 - 5sec180 - 6 csc270 xv) (sen30 - cos20 + tan260) : (3sec30 + cos245) xvi) [sen60 - cos30 + tan245] : 3cosec30 xvii) (tan30sen30cos30) : (tan45cos45) xviii) (sen45 + tan45) : (cos45 - cotg45) xix) sen30 + cos245 - 2tan230 xx) 5cos245 - 2cos20 + cotg 30 - 2 cotg90 + 2/3(sen180) sen30cos260 11.- Resolucin de tringulos rectngulos Resolveruntringuloesconocerelvalordesustresladosysustres ngulos. Una de las aplicaciones ms inmediatas de la trigonometra es la Colegio El Salvador-Trigonometra resolucindetringulos.Tambinveremoscomoresolvertringulosno rectngulos por descomposicin en tringulos rectngulos. Elusodelasrazonestrigonomtricasjuntoconelteoremade Pitgoras, nos permiten resolver cualquier tringulo rectngulo conociendo dos datos, uno de ellos ha de ser un lado. i) Se conocen la hipotenusa y un cateto *Resolver el tringulo conociendo: 1)a = 415 m y b = 280 m.2)sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42 253)C = 90 - 42 25 = 47 354)c = a cos B c = 415 0.7381 = 306. 31 m ii) Se conocen los dos catetos Colegio El Salvador-Trigonometra *Resolver el tringulo conociendo: 1)b = 33 m y c = 21 m.2)tg B = 33/21 = 1.5714B = 57 32 3)C = 90 - 57 32 = 32 284)a = b/sen B a = 33/0.5437 = 39.12 m iii) Se conocen la hipotenusa y un ngulo agudo *Resolver el tringulo conociendo: 1)a = 45 m y B = 22. 2)C = 90 - 22 = 68 3)b = a sen 22b = 45 0.3746 = 16.85 m 4)c = a cos 22 c = 45 0.9272 = 41.72 m iv) Se conocen un cateto y un ngulo agudo Colegio El Salvador-Trigonometra *Resolver el tringulo conociendo: 1)b = 5.2 m y B = 37 2)C = 90 - 37 = 53 3)- a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m4)- c = b cotg B c = 5.2 1.3270 = 6. 9 m 12.- ngulos de elevacin y depresin Losngulosdeelevacinydedepresin,son losque seformanpor la lnea visual y la lnea horizontal.Se llama lnea visual (o de visin) a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Colegio El Salvador-Trigonometra En la imagen, A observa a Bngulo de elevacinLlamamosngulodeelevacinalqueformanlahorizontaldel observadoryellugarobservado,cuandosteestsituadoarribadel observador. En la imagen, A observa a B.o : ngulo de elevacinH :horizontal del observador ngulo de depresinCuando el observador est ms alto lo llamaremos ngulo de depresin.En la imagen, el observador ahora est en la torre, hablaremos entonces de un ngulo de depresin. Colegio El Salvador-Trigonometra En la imagen B observa a A.o :ngulo de depresinH :horizontal del observadorEjemplo: Una piedra que est en el suelo se encuentra a 20 metros de un rbol con un ngulo de elevacin de 60. Cul es la altura del rbol?Solucin: El rbol es perpendicular al suelo, entonces su dibujo es: Los datos corresponden a los catetos del tringulo rectngulo y la funcin trigonomtrica que los relaciona es la tangente, entonces:

Colegio El Salvador-Trigonometra Ejemplo 2: Una persona se encuentra en la parte superior de un faro de 30 metros de altura y observa un gato que se encuentra en el techo de una casa de 5 metros de altura, con un ngulo de depresin de 30. Cul es la distancia entre el gato y la persona? Los datos que se tienen corresponden al cateto opuesto y a la hipotenusa, del tringulo rectngulo formado. La funcin trigonomtrica que los relaciona es el seno, entonces: Colegio El Salvador-Trigonometra Ejercicios 1) Desde un punto al nivel del suelo y a 135 metros de la base de una torre, elngulodeelevacinalapartemsaltadelatorrees57.Calcularla altura de la torre. [R=207,88] 2). Un cable est sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el suelohorizontalqueesta40mdelabasedelaantena.Sielalambre haceunngulode58conelsuelo,encuentrelalongituddelalambre. [R=75,48] 3)Paramedirlaalturadeunacapadenubes,unestudiantede meteorologadirigelaluzdeunfaroverticalmentehaciaarribadesdeel suelo.DesdeunpuntoPsituadoa1000mdelfaro,semideelngulode elevacin de la imagen de la luz en las nubes, siendo esta de 59. Hallar la altura de la capa de nubes. [R=1 664,28] 4)Calcularelngulodeelevacinalsol,siunapersonaque mide165cm deestaturaproyectaunasombrade132cmdelargoaniveldelsuelo. [R=51] 5)Unconstructordeseaconstruirunarampade8mdelargoquese levanta a una altura de 1.65m sobre el nivel del suelo. Encuentre el ngulo de la rampa con la horizontal. [R=12] 13.- Resolucin de Problemas A continuacin, una serie de ejemplos para resolver distintos tipos de problemas sobre lo aprendido. Colegio El Salvador-Trigonometra Nota: Todas las operaciones estn aproximadas con dos o tres decimales. Ejemplo 1:Calcula las razones trigonomtricas del ngulo : Los tres lados del tringulo son conocidos, as que paracalcularlasrazonestrigonomtricasslo tenemos que aplicar las frmulas y sustituir. Para el nguloelcateoopuestoes9,elcontiguo12yla hipotenusa 15.

Ejemplo 2:Calcula las razones trigonomtricas del ngulo C del siguiente tringulo Ahoraenesteejercicioyanotenemoslostres lados, falta uno de loscatetosypara calcularlo vamos a utilizar el Teorema de Pitgoras. Loprimeroponerlenombrealoslados.Vamosallamarleconletras minsculasalosladosqueestnenfrentedelnguloconla correspondiente letra mayscula;es decir a = 14 m, b = 8 m y c es el lado que queremos calcular. Aplicando el Teorema de Pitgoras tenemos: Colegio El Salvador-Trigonometra a2 = b2 + c 2 142= 82 + c2 196 = 64 + c2

196 - 64 = c2

132 = c2y aplicando las frmulas 11,49 = ctenemos: Luego c = 11, 49 m. Ejemplo 3:Determina los ngulos del ejercicio anterior ObviamenteyasabemosqueelnguloAeselngulorectoypor tanto A = 90. Paracalcular losotrosdosvamosa hacerlo con lasrazones trigonomtricas y con la ayuda de la calculadora. Si queremos calcular el ngulo C con los datos que parto, lo primero esidentificarlosladosqueconozcorespectoalnguloC,queeneste casosoncatetocontiguoehipotenusaypiensoenqurazn trigonomtricaintervienenesoslados.Larespuestaeselcoseno,asque calculo cos C. CosC=8/14=0,57.Ahoracon lacalculadorasacamoscules el ngulo, utilizando la funcin inversa de la tecla "cos", y elresultado es C = 55,25. Para calcular B puedo hacer lo mismo, pensar qu razn puedo calcular, o como ya tengo dos ngulos, sacarlo de que la suma de los ngulos de cualquier tringulo es 180 ( A + B + C = 180). Por cualquier camino el resultado es B = 34,75.

Ejemplo 4:Deuntringulorectngulosesabequeunodesusngulosagudos es40yqueelcatetoopuestoastemide10m.Calculaelnguloylos lados que faltan. Colegio El Salvador-Trigonometra

Loprimeroeshacerundibujoque nos aclare la situacin y ponerle nombre alosladosyngulos.Estaseranuestra situacin.Para empezar los ms fcil es sacar elnguloquefalta,yaplicandoquela sumadelostreses180,elnguloBvale 50. Vamosacalcularahoraporejemploellado"b".Simefijoenel ngulo C, el lado que s es el cateto opuesto y el que pretendo calcular es el contiguo. Como la razn trigonomtrica en la que intervienen estos es la tangente, voy a calcularla con la calculadora y despejar a partir de ah:

Por tanto ya tenemos el lado "b". Para calcular el lado "a" podramos aplicarPitgorasosacarloporalgunarazn.Vamosaseguirestecamino que ser ms corto. Porejemplo,fijmonosenellado"c"yelngulo"C",aunqueyase podra utilizar cualquiera de losdatos.Parael ngulo "C",tenemoscateto opuesto y necesitamos la hipotenusa; as que habr que utilizar el seno:

Ejemplo 5:Calculalaalturadelatorresi nuestropersonajeesta7mdelabase Colegio El Salvador-Trigonometra delatorre,elnguloconelqueestobservandolacspideesde60y sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m.

Paracomenzar,vamosahacerundibujoqueaclareunpocola situacin poniendo los datos que conocemos. Sinosfijamoseneltringulo,elladocmide7myunavezque tengamoscalculadoelladob,paracalcularlaalturadelatorreslo tendremos que sumarle los 1,5 m. As pues, vamos a calcular el lado b. Paraelngulo60,elladoqueconozcoeselcatetocontiguoyel que quiero calcular es el cateto opuesto, as pues planteo la tangente de 60. Por tanto la altura de la torre es 12,11 m + 1,5 m = 13, 61 m. Ejemplo 6:Elsenodeciertongulodel segundocuadrantevale0,45.Calculael coseno y la tangente. Pararesolveresteejerciciotenemosquerecurriralasrelaciones trigonomtricas.Delaprimerasacaremoselvalordelcosenoyunavez quelotengamossacaremoslatangente:Sacamoselvalordelcoseno despejndolo de la frmula:sen2+ cos2= 1. Comonuestro ngulo est en el segundo cuadranteyenese cuadranteelcosenoes negativo, tenemos que quedarnos con el signo -, por tanto cos = - 0,893. Colegio El Salvador-Trigonometra Para calcular el valor de la tangente, aplicamos la segunda frmula: Ejemplo 7:Sabiendo que cos 42 = 0,74. Calcula: sen 222,tg 138,cos 48 ysen 318sen 222 El ngulo 222 pertenece al tercer cuadrante. Vamos a ver con que ngulodelprimeroserelaciona:=222-180=42.Portantoyteniendo en cuenta que el seno en el tercer cuadrante es negativo, sen222 = - sen 42 = - 0,669 (Para calcular el sen 42 seguimos el mismo procedimiento que en el ejercicio 6). tg 138 138 est en el segundo cuadrante y se relaciona del primero con = 180-138=42,quevuelveaserelnguloqueconocemos.Comola tangenteesnegativaenelsegundocuadrante,tg138=-tg42=-0,9(tg 42 lo calculamos igual que en el ejercicio 6) cos 48 48 es del primer cuadrante, pero cumple que es el complementario del ngulo que conozco 42. Entonces cos 48 = sen 42 = 0,669. sen 318 318estenelcuartocuadranteyserelacionacon360-318=42. Entonces sen 318 = - sen 42 = - 0,669 Ejercicios: 1)Enuntringulorectnguloissceleslahipotenusaesiguala7cm. Cunto miden los catetos? 2)UntringulorectngulotieneunnguloB=374528.Calculaelngulo C. Colegio El Salvador-Trigonometra 3) En untringulo rectngulo ABC se conocen la hipotenusa a=15 cm y el ngulo B=20. Halla los restantes elementos. 4)EnuntringulorectnguloABCseconocenelladob=102,4myel ngulo B=55, Resuelve el tringulo. 5) La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide a=25 m y el cateto B=20 m. resuelve el tringulo. 6) Los catetos de un tringulo miden b= 8 cm y c=24 cm. Halla los restantes elementos del tringulo. 7) Calcula el radio y el apotema de un octgono de lado 10 cm. 8)Loscatetosdeuntringulorectnguloson3y4m.Hallalaaltura correspondiente a la hipotenusa 9) Halla el radio de la circunferencia sabiendo que una cuerda de 24,6 m tiene como arco correspondiente uno de 70. 10) La basede untringulo issceles miden 10 m y el ngulo opuesto50. Halla el rea. 11)Una moneda de 25pesetasmide 2,5 cm de dimetro. Halla el ngulo que forman las tangentes a dicha moneda desde un punto situado a 6 cm del centro. 12)Unngulodeelevacindelaveletadelatorreesde4515,auna distancia de 172 m de la torre. Si el observador se encuentra a 1,10 metros sobre el suelo, calcula la altura de la torre. 13)Sedeseacalcularlaalturadeunatorredelanzamientodecohetes; para ello sehacen dosobservacionesdesde lospuntosA y B, obteniendo como ngulos de elevacin 30 y 45, respectivamente. La distancia AB=30 m. Halla la altura de la torre. 14) Pedro y Ana ven desde las puertas de sus casas una torre de televisin, bajo losngulos de 45 y 60. la distancia entre las casases de 126 my la antena est situada entre sus casas. Halla la altura de la torre. 15)DosamigoshancredoverunOVNI,desdedospuntossituadosa800 m, con ngulos de elevacin 30 y 75, respectivamente. Sabras hallar la altura a la que se encuentra el OVNI? 16) halla el rea de u pentgono regular de lado 10 m. Colegio El Salvador-Trigonometra 17) Halla el rea de un octgono regular de lado 1o m. 18)EnunABCseconoceelladoa=BC=10m.,elABC=105yelACB = 30. Halla los lados y el rea del tringulo. 19) Los catetos de un tringulo rectngulo son iguales y miden 10 m. Halla la altura sobre la hipotenusa. 20)Calculaelladodelpentgonoregularinscritoenunacircunferencia de radio 10m. 14.- Signo de las razones trigonomtricas Deacuerdoconelcuadranteenquesehalleelladoterminaldel nguloyteniendoencuentaqueladistanciadeunpuntocualquieraal origendecoordenadasessiemprepositiva,yaplicandola"leydelos signos", las razones trigonomtricas pueden ser positivas o negativas. Colegio El Salvador-Trigonometra SeaP=(a,b)puntosobreelcrculounitarioquecorrespondeal ngulou .SisabemosenquecuadranteestelpuntoP,entonces podemosdeterminarlossignosdelasfuncionestrigonomtricasdeu .Por ejemplo, si P = (a,b) esta en el cuarto cuadrante, entonces sabemos que a >0 y que b 0, cos u< 02) sen u< 0, cos u> 0 3) sen u< 0, tan u< 0 4) cosu> 0, tan u> 0 5) cos u> 0,tan u< 0 6) cos u< 0, tan u> 0 7) sec u< 0, sen u> 0 8) csc u< 0,cos u