1l Jediria <J;' .irig;;1.:s I l j : i

Ejercicic'rs 6.1 - N:Iedidas de ángulos

A- Coloque cada ángulo en posición eslánclar v rleterrrine al menos dos ánguloscoterrnin¿t les ¡>osit.ivos -i' dos negativos

, 17¡

3. -50" 4. 346"

7. -E- 8 5¡

B, Det,elmine la nredicla equivalente en radianes cle c¿da uno cle los siruientesángulos

1. 315" 2. 15" 3 900" 4. -72

C- Detcrrrine [a r¡reclid¿r c¿rda unc¡ de los siguierrtesángukts

iT1-

T2

l . 6504

2n it5 _ 6 --

34

D- Deterr¡r irrc el c-uaclranteángulos

t. 335" 2 7gA 3

" - l4;r

rJ- -- l (r '-,

l. ¡150" 2. 765"

i . -360 001" ' $. -EtO"

*7

L. -_ J.

equivzrlertte cn gr';rrl{)s (l{-l

l9zr4. I.?

25¡r. t ' ) -

- - : - a- .Jt l

a

i-* t t t

E -5;ra. i

al tlue ¡iertenc:ce el l,¡rclo tcrln_inal de los siguierrtes

. l la

6

6 -5" 7. -2444', 8. -5,12"

I

E. Defernrinc cu¿iles de los sigtricnbcs ár-rgrrlos sorr cuadr¿rnLales

T.

164 -\ f¡:rlid."¡ , fi- ,

F- Deterrnine Ia- nredida del ángulo de referencia de los siguientes rirrgukrs-

r . 23s" 2- 6s" 3 5"

4.2n67

- 4ir5._ r

tt6- -5t¡ 7- -1100" 8 -2o

G. Determine en cada caso la información solicitada-l- Un ángulo nega.tivo de nredida z en posición estárrdar tiene su lado tenninalen el cuarto cuadrante )/ sn ángulo de referencia es de 45" ¿Cuál es el r.alor det?

2- Un ángulo posit.ivo de medida r en posición estándar tiene su lado terminalen el tercer cuadranta J'sr¡ ángulo de referencia es de 72.5. ¿Cuál es el ralorde r?

3. Un ángulo negativo de medida- r en posición estándar tiene su lado terrnihalen el segundo cuadrante y su ángulo de referenci¿r es de { ¿Cuil es el ralor der?

,J

4- Un ángulo positivo de inedida. Í en posición está¡rdar tiene su lado terminalen el tercer cuadra¡rte y su ángulo de referencia es de I radián ¿Cuál es el r.alorde r?

5 Si ct es utt ángtrlo en ¡rosición cstándar tal r¡uc 270" < cr < 360" -v' determinirun ángulo de refere¡rcia de 20"-¿Cuál es l¿r nredida de ¿r?

6. Si cu es un ángulo en j;osición estándar tal que I E0" < a < 270" j, determinaun ángulo de refelencia de 8".¿Cuál es la meclicla de o?

7. Si o'es Lrn ángulo en posición estánclar Lal que -¡r ( o a -: -v deterrnina

un ángulo de referencia de I iCtrál es Ia rnerJicla cle a?

B. si a es u¡r ángulo "n

po.]. io., estándar tal que -i . a < 0 y determinir, ,un ángulo de referencia de 1 radián ¿Cuál es la medicla de cu?

i

I I tÁ¡)n/) l ) ; l r i . t< ' t , t , tn. :<! th ' : ;

'fif,{¡q

Ejercicios Ra,zones t rigonornétricas

A- Determine en cada ca.so la infor¡nación solicitacl¿.l. Considere un triángulo con ángr-rlos agtrdos a y p v cafetos gon y l2c¡n Elángrrlo a es el menor de los ángulos del tr iángulo Dctermi¡e las seis r¿zolrestrigonométricas de ambos árrgulos agudr_rs.

2- Considere un triángtrlo rectángulo isósceles con hipofenusa I Scrn y un án-gulo agudo de 25"- DeLerrnine las medidas de los clos catetos y del otro ángulo-Detennine sen 25"- cos(90" - 25"), t ,an 25" r. cot(90" - 25")

3 considere Lrn triá'gulo rectángulo co' ánguros agudos a "v 0,3coscr :

7; determine las otras cinco razones brigonornétricas para el ángulo a-

Posteriormente. determine las seis razones trigonométricas para el ápgulo B

4 De{'ermine el valor exac[o de las seis razones trigonornétricas clel menorángulo agudo de un f l iár 'rgLrlo recti lngulr-r 'ctr¡,¡,5 l¿rdos ¡niclerr 3k.41"-.5A; k e R.

5. Corrsidere rrn Lriárrgulo rectárrgr.r lo (tr)n catetos 6rr ¡, Zrr. Det.ermiue losvaltlres correspondierrtes a las seis rirzorles frigorr1rrrrétric¿rs el rnayor cle losrírrgulos agudos de este tr iángulo

6 Si csc cr

7. Si set:d :

J

J

J

det,er*ri*e cl 'alor

e-x¿cto de t:oscr'. {.¿Lrl .,- v sc.2a- + cos2 o.

Calcr-rle el r.alor nurnér'ico oa t:os2 d - I

2t .an0

8- ¿Se puede aceptar el ralor

algún ángulo?

cor]lo rrn ¡rosible valor cle l¿r r¿zón seno l)ara.

I Considere un triángulo r-cctángrrlo e isósceles cle hi¡ro[enusa 8 ,v ánguloagudo a, Determine sec a, col. a v I - r,os2 o.

l0 si á es un á.g' lo agr-rdo.1. seng : '#. deter.r ine cosg, r.a*g-

4;

I

170 R.azo nes t. ri gonornet.r'ic¿s cle áng ulos ap ¿l¡los

B- Determine el ntimero real eqtrivalente a cad¿r rrna de las siguiente-s exl)r-e-

7r 7rcsc

, * eo[.7

it 7tseca-sec5

5.

6.

IIIIIIIIItIIiIIIltNII{t .

íI

\

IIfi

ll!lIII

lilliilil¡

iI

III

litfr:a

slones.'il Tl

l . cos-*2t ,an46

7t 7T2 3sec; * cos -

JJ

^ / Tr z\23. (sen , +."r 5J

/ -

7( Zr\24 (r /2sen ,

- /3cos U/

sec-; *cos;r-J

C- DeLermine eldada

l . cos g : !2

2- cscl :2

2rt3- sec?:

J

4- sen g: J j

5- cot.0 : l

z (se,, f *.o.1 - t) '

(".,.,' I +.or' i)' * ¿¿

1/isec[ - t^"!

mto

1/(sen2¡+cos'A) * t

11. cos2 ! *ztan2 1

,T l ,Tfsen"--cos--r )33

.77sen'-- . f- ' . )

9.

cot -J

valor del ángulo aguclo 0 en ca.da. caso, seglrn l¿r infonuaciót-l

t. l

b. t ,anU - -la

VJ

7- sec 0 :2

8- cos 0 :2- l

9- t¿rná:1

l0 csc 0: *

L' í rt' t t I t'¡ t t j Bt t tt, t tnél r i to l ,_\j

Ftp.FT

t(

|rFts{|

?=! .nt't 'I))5ib;r];ri"Dt

rQ}

hl"kf+fl:*i 'Ji+|+.G{

ñü

fr*

YFtétstpÉfitedD#atc#ail?

ffi

Ejercicios 6-4. Círculo trigonométrico

A Considere los pun[os daclos ]' establezca el cuadrante o el sernieje al c¡uepertenecen. Posterionnente. detelltrine si los puntos pertenecen ¿ una circun-ferencia trigonornétrica o no Justilique-

1 P(0, l ) 4 P(_1, -1) ? P ( - { . - ' .4)\ 3 ' , 3 l

/ - - \ / - \I /a /o \

2P(Y,+l sP(to) Bp(03,-Y-g). \3 '3) \ " ' r0 )

/ t \ /^ - l \ ^ ^(_2., t5 t \3P(-ob,:) 6P{+,;} opt- ." . : l

\ 2/ \ 5 , / \ 3 '3)

B Considere qite P(.r,y) es Lul ¡>r.tnto de la circunferencia tr igt inonrólr ica. De-ternrine los valores r o 3r segúrr sc¿r el caso,

) Pe; t ) , t '19,0) 7 p (- , , - l )\ ) / \ i /

/ t \ r ?\ / ' ) \

2P( ' -1) sP(, , ! \ 8P(- i , , )\ 2/ \ ' ,6 l \ i ' , l

/ ,ñ \ / .n \3P{l ,u} r iP(r-or) ePlY,r l

\ - / \ r t " )

C. Del.ermilre l¿rs coorclen¿d¿rs dcl ¡>r-rnto de irrtersección del l¿rrlo'tcrnrin¿rl dectrda ángulo en posicitirr estárldar con la. circunferencia, trigorrorrrótrica

iT 7n -79nI . - t t . - - 7.-

464

n 5n _ L5¡t ^ 22n5.- _

463

^ 5, .. l9;r ^ l5;r

3. 0. . 9. _+2^3,1 +

**#"W'

r84

D- Par¿r cad¿trigonométricagulo

Ci r c t ú. t t 1 ilt-rr ltt¡¡ ¡¡1¡ ¡ ¡ t,

ángulo del ejercicro ¿rnterior, determine el 'alor

de la razd¡¡rseno, coseno. tangente. cotirngerrte- secante \r cosecante del án-

E- Considere la circunferencia.que se ubica el punto asociado

r - r l3 4. 2

2. -7n/8 5. 6

3. 5n/1 6. -3

F- Deter:mine elcada uno de los

L- n/4

trigonométrica y determine el cuadrante en ela cada uno de los siguientes ángulos

7. -3 L4

B. -6.3

9. r1n 19

par ordenado de la circunferencia. trigononrétrica asociaclo asiguientes ángulos.

2. -2rr 14

3. a1r/4

G- Calcule el valorángulos.

15rl - ¿ - _

4

^ - l7nL- L -

6

-l lr? ¡-

4. -r3r /2

5. -29r /3

6, *57n

de las seis funciones

23¡4-t-- ,

J

- t t l

5-¿:-l2

l5¡r6- ú:-

t2

7- 25n/6

B. -8r /3 + 4n

9. -5r;n 16

trigonométricas¡>ara los sigulentes

I{- Deterlnine el ra.lor numérico de las siguientes ex¡:resiorresr cos (T)"* (i) + cos (f ) - tan (ff)

, sen'? (f ) * sen (á) - t,an (f )

sen (T) cos (?) sec (Í)csc (*)tan (f) cot (f)

J.

I t 1t ' ¡ t 1r l ,1, l ¡ . ; .

191

ESercicios 6.5 Ideni,idades

1I.

:)

)

, .

) '

J

¡ i7

r !,

}F

l?

r :-}

Í

)tI

i]

trigonométricas

Demtrestre las siguientes iclentidacles

SCN Z

t -cosT:csc¿*cotz

trigonorrréLricas

2- ¿an t * 2cosúcscú : S€cf rsc I _F coLl

r I -cos2¿r _l

r - cos.lt

_ coso + Llseno

I -scn; - l *o- = 2sec0

co.sa(2r) + sen2(2:;) : cos2l2r) * se¡<(2r)

cof,¿ _ cscf - |

cscl I J - ; tJ_-

l glugfscn rf : f sen rf

l.alta :¡r -. se6,l :,r : I _ 2.set,2.u

-sen ¡ co.s y + cos :r sen V t¿n:r * t.irn yt:()-s -L* COS y - Sen Í Sen.lJ I - t.¿tn:¿, t,¿rn y

csc 2 csc z

t2.

r '?I tJ

a+ csq .: -

a- csc; : 2.sec2 e

tan ¿' -- sen.? sec¿-=---- __ScnJ:?.: I +c.oSr

tan (r - +) : l;a¡rz - Iz tal ru * I

( .osr I senr)2 : I *se'(2e)

scn(2ó)

I l- ..*€1, = ta¡r ó

I d e n t i d ad x Trigrrn<xnct r i:er

l5t _-*t,- -

l + a"rt, :2t 'anr'^ sec'

sec2 o r-;srr2 ¿t : Sec2 cr. + cscZ a

cosr cotz cosr * cot rcot . r - cmz cosz cots

r6

17.

t R sen(62) cos(6r) ,'"- sen(22) cos(Zz)

- '

19. secz sec(90 - r ) - tan(g0 - z) : [an¡

20. cos2(90" * o) cor,(90" - q(t+ r.ar12(90" - *))\ ' /

B- Para cada 1:aso detennine el valor exacto_

I t l : : , : ' :

! t corr { 0. Derermine: sen?. r,anr,sen (r. ;) ,cos(22),

I * cot(r * i i ) .secz * 2cosr-

, l l ::": : -; ,,

*ut r > 0. Determine: cos r, S ran r, ."r, (2, - ;),

ran (2r),- csc( I * zr), tan(22) * 3 cos z.

3. Si t :os, : ] y cscr < o Determir (5n \

' I -5t\ /so1

-re: sen lr

* r ) 'ran(Zx) + 3' cos(2r)'

cot , ( : : . ; ) , "0, , (?,) +2(x + n)

4. Si sen '- : -f , ,o.z ) 0. o",":1,:". "or(, - T)

cos(22) J- 3 serr x,5 -cos(2u ), "."

ly \

\ t l -3cos(z - t )

c- l)aclos senr-r: f donde o es un ánguro del cuarto eua.drante y cosl3: #do¡rde d es un ángulo del tercer cuadrante- calcule sen(c + gi, tan(a + l)-¿.A' gué ctradrante pertenece a + l?

D. Si o y ¡?son dmángulos agudm tales quel tana: I ycot g:3_ N, luestreque tales ángulos curnplen a * 0: 45"- " . .i

l'.,1¡

Ejercicios 6-6- Ecuaciones trigonoméfricas

II)

IIf.

A- Determine el conjurrto solución de cada ectración en [0,2r[l ,2cosz*l-0

1l

2. cost : -5

3 cotr* l :0

4- 2sen " :

J3

5- sen t tan ú : sentz¿) t.an ¿

/ 7t \ -

¡ r \

6 2serrr tan (r , , ) : l /3 tan

t t +

,J

7.

8

9.

t0

11.

t2

1' l

14.

+ <:os{(2t) : (:s(:?(2t) - cot.2(

- ' l :os ' (?) - rsc ' (?)

/ 7t \2r:os{32*: l : - , rosn

\ 5/

3 scrr :-, : 2 cos2 x

lan:u : - t ,an2:r

* 6 : - l

sen ?: : serr(2r)

l : -++setr2rsec- a-

4cosa (z ' * ; ) : . "" ( ; )

2cor(2r)sen(2r) + J\cot(2r:) : g

3sen2r-5settr*2:0

'"" (;) + r,6cos (á) : t

t / )

l5

16

t7

l:-15

B. Detennirre en IR el c;onjunto solución

I

de cada ecr-ración

1

2.

.1,

n4-

r_ l_

6.

7.

8.

I

10

i i .

12.

l3

14.

lEIJ-

lD-

t7

18 cos(2r) cos(4r) - -3

19. sen(2r) : r/3s"r,r

2A. 2se,r2r - 2cos2r - I :0

2L.2<:os2r-3sen:: :0

22 2: v6sen%'+2

SCC T

sec2z-4:0

t .anzcsctr + cscr :0

2 t,an(r + 2) - sec2(r * 2) : g

3senr : 2cos2 r

4sen.tcosf :3cosr

sen(2c)csc(2o.) * 2sen(2a) :0

2sen3,6+sen2 p *2se¡ ' r ,6 - I - 0

( tanz - 1)(2sen x - \n) :0

16cosaa - 9:0

2senz*cosz,-72

L2 c:os(20) - 5cos(29) - 2 : 0

cot2r+2csc2r-5:0

- cos2z :Ssenr - 13

-5cos(2e) *4cosz:8

sen2 z sec s -l sec , _-- 2 t¿rn e

3 ta.n r - l.arr3 rI -3tan2¡

- t .ar t r :0

G ¡ á lic,r.s <J e ftt n c: i o n e s t r i go rt o nt é t: r i c a-s

t)_ '

I t; )í)

Ejercicios Gráfi cas de funciones trigonorrlétricas

itud y el ámbito de las siguientes funciones-5 f , IR--- lR

J'@):-cosr*2

6. f ,lR ---' lR

.f (,) :,"" (i) _,

7. f . IR - lR

f ( r ) : -4senr

6 ./ ,lR --' lR

f {,) - e- "o, (r" ,_ T)

T)l ' : R -- ¡g. / ( : r , ) : *4sen¿*3

/:R-- 'R, ll 5

J lx) : sen (_¿c +

)

/ ' : R *- IR

f (.r) : -r*" (í)

/ : IR -" lQ. / ' - r -

J@):-2cosl t

A. Dctermine la arnpl1. / :R-f t

" f ( ' r ) : - l *cosr

2. .f . R - IR.2

J \r) : ;* sen : i :t t

3 J. , lR--- IR/ -c

[ ( r \ : .u, t f , " t' lo\ -

. i )4./ : iR- ' lQ

ta.JJ

/ ( r ) - - - ;* ;senJJi l

B- Pat'¡r c¡}cl¿l ¡-lIl¿1de las sigtricntcs furtciones, clet,erlnine el pelioclo la a¡rplii;trclde la orlt-l¿r v ulr interr,alo qr-re cottteugir r-rn ¡rerioclo completo de selo o c:osr3¡osegli rr c,orresponcla _

I l : [ t * lR 5.J,¡ [3--- IR

/(¿) : _ cos (; _ T)

.'_,

6.f , [ t -*P

7t f ( r ) :9J-Zsen ( : -\2\-

f ( ' ) :o.o, ( r r -+)

*2tr

+ |) +2"/ : lR-*I f rf (.¡) :6,* cos r

-n\

3)

2t).\ G r á fi c ;ts d e lit n c i o n e.i f rrgr )i ¡{rr i rer r,j.,-¿..:

C Deterrnine la arn¡: l i tud- el per iodo, el t lesplazanriento cle fase y las intersecciones con los ejes de cada funciótr- -h'¿ir,e tles onda.s conr¡rletas cle la gr-áfica

I J ' , [R-IR 7 ' { tF.- lR

l?) :2 | cus(r an) f ( t ) : -cos ( : - *) o t\ '1 ¿ ,/

2. f , lR -- IRf { ' ) : -3cosz

3 f ,lR. ---' IRf( t ) : -cosz*2

4. f , lR --- IRf ( t ) :2cos(2nr - t n)

5. I , lR --, IRf(r) :2 +2cosr

6. f , iR -- IR

f (r\ : - sen (!l '' \ t l

8 " f ' [R- lRf (2) : - l + cos(2r * r )

9. " f , lR - ' lRf ( t ) :4cos2r

10, /: IR ---, IR

f ( t ) : - cos(22 + 7i +T

II f : lR '* IR a--

l@\ :2sc, , l3r - 1)' \ 4/

12. f : iR - IR

.f( ' ) : -3cos (r , - I \t 2/

Frrl l , ior le.s t r ig,,¡¡ tn1¡'¡ t rr¿s rnr crs¿s f t - i

Iijercicios 6.8. Funciones trigonor-néfricas irlversas

( - ; ) )

Calcule el

l . sen- l

2- sen-t

3- l .an- l

. _ l4. Sen

- _7

¡_ selr '

6 cos t( l )

7, cos

10. csc-t( .o.

I l . tan-t( t )

l2 sen(sen-t 0)

valor exacto de

(;)

(-1)

(,""(+))( ' " " ( - ; ) )

('"" (T)),u. ( rcos-, ( j ) )

ra,r (cos-'(t) " ?)

, ,or(r , , , r - ' ( t ) - 6)

/ / ( - - \ \tarr-r ( r ' , r , r ( , ; '

) )

scr,-r(*,(? 1i))

m'' (""-' ( tf) r T)

r3

I4

15.

I t )

17.

18

)

( ; ) )

(?))

' ( - j

( 'o ' ' - '

(,."

6. cos

9. co{,- I