Libro 1 Anual Uni Trigonometría

7/23/2019 Libro 1 Anual Uni Trigonometría

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ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

GENERACIÓN Y CARACTERÍSTICAS :

El ángulo trigonométrico es la figura generada sobreun plano por la rotación de un rayo alrededor de su

origen, desde una posición inicial hasta una posiciónfinal y en un sentido determinado.

Si la rotación se realiza en sentido horario, entoncesla medida del ángulo será negativa y si se realiza ensentido antihorario, entonces la medida del ánguloserá positiva, tal como se muestra en la figurasiguiente :

OBSERVACIONES:

1. La medida del ángulo trigonométrico, no se

encuentra sujeto a restricciones pudiendo ser un ángulo de cualquier magnitud

2. Si se cambia el sent ido de la rotación de unángulo, entonces su medida cambiará de

signo

3. Para real izar operaciones con ángulos

trigonométricos, estos deberán estar en elmismo sentido

SISTEMA DE UNIDADES ANGULARES

Para medir ángulos trigonométricos existen unainfinidad de sistemas, debido a que la unidad angular de medida se puede considerar de manera arbitraria;siendo los sistemas convencionales los siguientes :

SISTEMA SEXAGESIMAL O INGLÉS (S)

La unidad de medida en este sistema es el gradosexagesimal (1°)

Unidades ComplementariasMinuto (1’)Segundo (1”)

Equivalencias1° < > 60’1' < > 60”1° < > 3600”

NOTA :a°b’c” = a°+b’+c”

SISTEMA CENTESIMAL O FRANCÉS (C)

La unidad de medida en este sistema es el gradocentesimal (1g)



Unidades ComplementariasMinuto (1m)Segundo (1s)

Equivalencias1g < > 100m

1m < > 100s

1g < > 10 000s

NOTA :agbmcs < > ag+bm+cs

SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R)

La unidad de medida en este sistema es el radián (1rad), el cual se define como el ángulo central quesubtiende en toda circunferencia un arco de iguallongitud que la de su radio.

OBSERVACIONES:

1rad < > 57° 17’ 44”1rad > 1° > 1g

Aproximaciones de “ð”ð = 3,1416

ð =

ð =

RELACIÓN ENTRE SISTEMAS

EQUIVALENCIAS FUNDAMENTALES

m1vta 360° < > 400g < > 2ð rad

2ð rad < > 360°

ð rad < > 180°

2ð rad < > 400g

ð rad < > 200g

360° < > 400g 9° < > 10g

FACTORES DE CONVERSIÓNSon fracciones equivalentes a la unidad y se obtienendividiendo dos cantidades equivalentes, colocando enel numerador una medida en la unidad deseada y enel denominador se coloca su equivalente en la unidada eliminar.

Ejemplo :

Convertir 36° a radianes, como : ð rad < > 180°

Entonces : < > 1

Luego :

36° rad

36° < > rad

Ejemplo :Convertir 80g a radianes, como ð rad < > 200g

Entonces : < > 1

Luego :

80g rad

FÓRMULA DE CONVERSIÓN

Se utiliza sólo cuando las medidas del ángulo esténexpresadas en las unidades principales de medida, es



decir grados y radianes.

Estos tres valores numéricos verifican la siguienterelación:

Simplificando :

de donde se realizan los siguientes despejes :

NOTA: Para todo ángulo trigonométrico se tiene que :

además :si : mè es positiva C > S > Rsi : mè es negativa C < S < R

PARA TODO ÁNGULO EN EL SISTEMASEXAGESIMAL

PARA TODO ÁNGULO EN EL SISTEMACENTESIMAL



COMPLEMENTO Y SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO

PROBLEMAS PROPUESTOS01. Dada la siguiente equivalencia :

11g < > a°b’.calcular “b - a”

A) 45 B) 46 C) 47D) 48 E) 49

02. Halle el valor de “a” para que se verif ique laigualdad:

A) 11/8 B) 55/4 C) 10/9D) 9/4 E) 1/5

03. Del gráfico mostrado calcule :

A) 0,12 B) 0,21 C) 0,23D) 0,32 E) 0,13

04. Si se tiene que : (a - b)2 = 4ab, calcule el

valor de :

A) 120 B) 122 C) 124D) 126 E) 128

05. Calcular :

A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3D) 0,4 E) 0,5

06. Si:calcular (a + b)° en radianes

A) ð/10 B) ð/12 C) ð/15D) ð/18 E) ð/20

07. Determine el valor de “n” en la igualdad :

A) 2 B) 4 C) 6

D) 8 E) 1008. Siendo S y C los números convencionales,

para los cuales se tiene que:

calcule el valor de :

A) 1 B) 3 C) 5D) 7 E) 9

09. Determine la medida radial del ángulo queverifique la igualdad siguiente:

A) ð/5 rad B) ð/10 rad C) ð/15rad

D) ð/20 rad E) ð/25 rad

10. Siendo S y C los números de gradossexagesimales y centesimales de un mismoángulo que cumple con:



S = 3x2 - 2x - 2C = 2x2 + 4xCalcular dicho ángulo en radianes, si x es unnúmero entero y positivo.

A) 17ð/20 B) 13ð/20 C)11ð/20

D) 9ð/20 E) 7ð/20

11. Determinar la medida radial del ángulo talque se cumplan las igualdades:

- 12 = (x+3)(x+6)

+ 11 = (x+4)(x+5)

A) ð/5 rad B) 2ð/5 rad C) 3ð/5rad

D) 4ð/5 rad E) ð rad

12. Hallar la medida radial de un ángulo dondela suma y diferencia de sus números degrados sexagesimales y centesimales sonlas dimensiones de un rectángulo cuya área

es 19 u

2

A) ð/20 B) ð/18 C) ð/12D) ð/10 E) ð/9

13. Determine la medida circular de un ángulo,sabiendo que la diferencia del número desegundos sexagesimales y treinta veces elnúmero de minutos centesimales de dichoángulo es igual a 24 000

A) ð rad B) ð/4 rad C) ð/3rad

D) ð/6 rad E) ð/2 rad

14. Siendo S y C los números de gradossexagesimales y centesimales contenidos en

un ángulo para el cuál se cumple:

Calcule el valor de la expresión : A) 10 B) 19 C) 20D) 11 E) 38

15. Si el recíproco del número de radianes quecontiene un ángulo, viene dado por :

Indique la suma de sus números de gradossexagesimales y centesimales

A) 4 B) 2 C) 1

D) 3 E) 5

16. Los ángulos de un tr iángulo son:

x° = a°b’c”; (x+1)g; (x-1)g. Hallar : A) 1 B) 3 C) 5D) 7 E) 9

17. La suma de los números que representan elsuplemento de un ángulo en grados

centesimales y el complemento del ánguloen grados sexagesimales es igual a 5. Hallela medida radial del ángulo

A) 3ð/4 rad B) 3ð/5 rad C) 3ð/7rad

D) 3ð/10 rad E) 3ð/8 rad

18. Se ha ideado un nuevo sistema para medir ángulos, en el cual el número de unidades deun ángulo en este sistema es igual a laquinta parte de la suma del número degrados centesimales y el doble del númerode grados sexagesimales de dicho ángulo.¿A cuántos radianes equivale 80 unidadesde este nuevo sistema?

A) 3ð/7 rad B) 2ð/7 rad C) 4ð/7rad

D) ð/7 rad E) 5ð/7 rad

19. Se tiene 2 ángulos, tales que el número degrados centesimales de uno de ellos es igualal número de grados sexagesimales del otro,y la diferencia del número de gradoscentesimales de este último y el número degrados sexagesimales del primero es 19.Determinar la suma de los números deradianes de estos ángulos

A) 19ð/20 B) 17ð/20 C)13ð/20

D) 11ð/20 E) 9ð/20

20. Se tiene que: donde S y C son

los números convencionales. Calcule el valor de:

A) 10/9 B) 1/10 C) 9D) 9/10 E) 1/9

TAREA

01. Calcular el valor de

A) 19/13 B) 21/13 C) 29/13



D) 22/13 E) 25/13

02. Si se verifica : rad < > x° y’z”

calcular el complemento de (x + y - z)° A) 80° B) 81° C) 82°D) 84° E) 85°

03. Si se cumple que: (a + b)2 = 4ab

calcular el valor de :

A) 11 B) 21 C) 31D) 41 E) 51

04. Calcular la medida radial de un ángulo, demodo que sus medidas sexagesimal (S) ycentesimal (C), verifiquen:S = xx + x + 4C = xx + x + 5

A) ð/40 B) ð/20 C) ð/10D) ð/5 E) ð/4

05. Se ha medido un ángulo en los tressistemas, notándose que la suma del dobledel número de grados sexagesimales con eltriple del número de grados centesimales y elcuádruple del número de radianes es:

. Calcular dicho ángulo en el

sistema internacional.

A) B) C)

D) E)

06. Sean :

An = rad Bn = (nn)° Cn =

(10n)g

¿cuál(es) de las siguientes proposicioneses(son) cierta(s)?I. A3 > B3 + C3II. A4 + B2 < C6III. A6 - 3B1 = C3

A) Sólo I B) Sólo II C) SóloIII

D) II y III E) Todas

07. Los ángulos internos de un cuadrilátero

convexo miden: 100g, (6x+10)°, y á.

Calcular el mayor valor de x de modo que “á”sea obtuso.

A) 6 B) 8 C) 10D) 12 E) 14

08. Siendo “a” el número de minutossexagesimales y “b” el número de segundoscentesimales contenidos en un ángulo, para

el cual se tiene: .

Determine la medida circular de dichoángulo.

A) (ð/3) rad B) (ð/4) rad C) (ð/2)rad

D) (ð/5) rad E) (ð/6) rad



09. Determine la medida de un ángulo enradianes si se tiene que la suma de losnúmeros que expresan el suplemento deltriple del ángulo en sexagesimales, con eltriple del suplemento de dicho ángulotambién en sexagesimales, resulta ser igualal número que expresa el triple del

suplemento del ángulo en centesimales A) (ð/2) rad B) (ð/3) rad C) (ð/4)rad

D) (ð/5) rad E) (ð/6) rad

10. Siendo S y C los números convencionales tal

que : , calcular : A) 20/9 B) 181/90 C) 9/5D) 90/181 E) 10/9

SECTOR Y TRAPECIO CIRCULAR

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Longitud de la circunferencia:

L = 2ðr

Área del círculo :

A = ðr 2

SECTOR CIRCULAR

para que el sector esté definido se tendrá que :

0 < è 2ð

LONGITUD DEL ARCO (L)-ÁREA DEL SECTOR



Longitud de arco :

L = èr

Área del sector :

(0 < è 2ð)

PROPIEDAD :

TRAPECIO CIRCULAR

- Bases del trapecio :

- Separación de bases : AD = BC = R - r

- Para que el t rapecio exista, se debe cumplir:

0 < è 2ð

ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR -ÁNGULO CENTRAL



(0 < è 2ð)

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. De la figura calcular el perímetro del sector circular AOB.

A) 16 B) 18 C) 20D) 22 E) 24

02. Del esquema mostrado calcule el valor de “L”

A) 3ð m B) 7ð m C) 9ð mD) 5ð m E) 10ð m

03. Determine el valor de “L” en el esquemamostrado:

A) 5 B) 7 C) 9

D) 10 E) 12

04. Determine la longitud de arco de un sector cuyo ángulo central mide (x/3) rad y su radiomide (6x) m; sabiendo además que elperímetro de este sector es de 110 m

A) 20 m B) 30 m C) 40 mD) 50 m E) 60 m

05. Si a un sector circular se le duplica el ángulocentral y a su radio se le disminuye en 3 m,

se obtendrá un nuevo sector de longitud dearco igual a la mitad de la longitud del arcoinicial. Determine el radio del nuevo sector

A) 5 m B) 4 m C) 3 mD) 2 m E) 1 m

06. Si a un sector circular se le triplica el radio ya su ángulo central se le disminuye en 36°,

se obtendrá un nuevo sector de longitud dearco igual al doble de la longitud del arcoinicial. Determine la medida del nuevoángulo central

A) (ð/10) rad B) (ð/5) rad C) (2ð/5)rad

D) (3ð/5) rad E) (3ð/10) rad

07. Si el área del sector circular POQ es 20 m2,hallar è

A) 8/5 B) 4/3 C) 5/3D) 3/5 E) 2/3

08. Del esquema mostrado determine el valor de“è”, si se tiene que la suma de las áreas delos sectores sombreados es ð/2 m2

A) (ð/3) rad B) (ð/4) rad C) (ð/6)rad

D) (ð/8) rad E) (ð/12) rad



09. En la f igura mostrada determine el valor de“L”, sabiendo que el trapecio circular ABCDtiene 72 m2 de área

A) 1 m B) 2 m C) 3 mD) 4 m E) 5 m

10. En el esquema mostrado determine el áreade la región sombreada

A) 24 u2 B) 34 u2 C) 54 u2

D) 44 u2 E) 64 u2

11. Si a un sector circular le cuadruplicamos su ángulo central y aumentamos 5 m a su radio, se obtendrá que el sector resultante tiene un área que es 49 veces elárea del sector inicial. Determine el radio delsector resultante

A) 1 m B) 3 m C) 5 mD) 7 m E) 9 m

12. Si : S1 + S2 = 15ð u2, calcular “x”

A) ð/3 B) ð/4 C) ð/5D) ð/6 E) ð/8

13. Determine el área del sector sombreado, si eltrapecio circular ABCD tiene un área de 48ðm2

A) 2ð m2 B) 4ð m2 C) 6ð m2

D) 8ð m2 E) 10ð m2

14. De la figura calcular el área del trapeciocircular ABCD, si BD = h y DOC = áradianes

A) B) C)

D) E)

15. En la figura mostrada, siendo L1, L2 y L3,números enteros y consecutivos determine elvalor de :

A) 2 B) 4 C) 6

D) 8 E) 10

16. De la figura calcular : , OE=EC=CA



A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 2,5

17. Del esquema mostrado, calcular el valor de:

S: Área

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

18. En la figura siguiente, determine el valor de A/B

A) 54/37 B) 54/35 C) 54/31D) 54/23 E) 54/43

19. Calcular el área del sector circular POQ, si la

longitud del arco MN es igual al perímetro decircunferencia de radio b.(P y Q : Puntos de tangencia)

A) ðb(a-2b) B) ðb(a+2b) C) ða(a-2b)

D) ða(a+2b) E) ðb(b-2a)

20. Calcular el perímetro mínimo de un sector circular de área constante igual a 16 m2

A) 12 m B) 16 m C) 20 mD) 18 m E) 6 m

TAREA



01. Si a un sector circular se le duplica el ángulocentral y a su radio se le reduce en 3 m, seobtendrá un nuevo sector cuya área es iguala la mitad que la del área del sector inicial.Determine el radio del sector inicial.

A) 2 m B) 3 m C) 4 m

D) 5 m E) 6 m

02. En la f igura mostrada determine el valor de“L”, si el trapecio circular ABCD tiene 20 m2

de área

A) 1 m B) 3 m C) 5 mD) 7 m E) 9 m

03. Calcular el área del sector circular sombreado

A) 36 B) 39 C) 42

D) 44 E) 49

04. En la f igura calcular L, si el área de la regiónno sombreada es los 2/3 del área total

A) 2 B) C) 2D) 3 E) 6

05. Determine el área del sector sombreado enla siguiente figura:

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

06. En la figura mostrada, calcular la longitud del

arco , si el área del trapecio circular

ABCD es igual a 30 m2 y AD = 6 m

A) 7 m B) 8 m C) 9 mD) 10 m E) 12 m

07. Calcular el área del trapecio circular ABCD

A) B) 2 C) 3

D) 4 E) 6

08. Calcular la relación entre las longitudes de

los arcos (S : área)



A) B) C)

D) E)

09. Calcular :

A) 3/4 B) 4/3 C) 2/3D) 3/2 E) 3/5

10. En la figura se tiene dos sectores circulares

tales que: á + è = ð y . Calcular la

suma de las áreas de dichos sectores (è > á)

A) 21ð/2 u2 B) 9ð u2 C) 6ð u2

D) 19ð/2 u2 E) 23ð/2 u2

RUEDAS Y NÚMERO DE VUELTAS

() Cuando una rueda (aro, disco, ..........) varodando sobre una superficie plana.

n : Número de vueltas al ir desde A hasta Bèg : Número de radianes del ángulo de giro (A

hasta B)L : Longitud que recorre la rueda

() Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobreuna superficie curva



() Ruedas unidas por una faja tangencial o encontacto

Se cumple :

è1r 1 = è2r 2

n1r 1 = n2r 2

L1 = L2

() Ruedas unidades por su centros

Se cumple : è1 = è2 n1 = n2

PROBLEMAS PROPUESTOS01. Calcular el número de vueltas que da la rueda de

radio “R”, al trasladarse desde “P” hasta chocar con la pared

A) D/2ðR B) D/ðR C) D-R/2ðRD) D-R/ðR E) D-2R/2ðR

02. ¿Cuántas vueltas da la rueda, si el bloquedesciende hasta llegar al piso?, siendo h = 120ðcm

A) 5 B) 10 C) 12D) 18 E) 24

03. De la figura mostrada determinar cuántas vueltasda la rueda de radio “r” sobre la pista circular decentro “O”, al recorrer el tramo AB (R = 9r)



A) 1 B) 1,5 C) 2D) 2,5 E) 3

04. Una rueda de radio “r” gira sin resbalar por uncamino circular de radio “R”, como se muestra enla figura. Calcular cuántas vueltas dará hasta quellegue a su posición inicial (R=5r)

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

05. Calcular el número de vueltas que da la rueda deradio “r” al recorrer el circuito desde A hasta B.

A) 2r/R B) r/2R C) R/2r D) 2R/r E) R/r

06. ¿Cuántas vueltas da la ruedita en ir desde “A”hasta “C”?, sabiendo que AB=13ð m

A) 1,5 B) 2,5 C) 3,5D) 4,5 E) 5,5

07. Se tiene dos ruedas en contacto, cuyos radios seencuentran en la relación de 5 a 2. Determinecuántas vueltas dará la rueda menor, cuando lamayor de 4/5 dé vuelta.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

08. En el sistema adjunto cuando el engranaje demenor radio gira 1,25 vueltas, ¿cuál será ladistancia entre los puntos “A” y “B”, si

inicialmente están diametralmente opuestos.

A) 4 B) 6 C) 2

D) 2 E) 2

09. Del sistema mostrado determinar el número devueltas que da la rueda A, si la rueda B da 30vueltas.

A) 25 B) 32 C) 36D) 40 E) 45

10. En el esquema mostrado, se tiene que al hacer girar la faja, las ruedas A y C giran longitudes quesuman 28ð. Determinar cuántas vueltas dará larueda mayor

A) 1 B) 1,5 C) 2D) 2,5 E) 3

11. Calcular la altura del punto “P”, luego que larueda da 2/3 de vuelta.

A) 8 B) 7 C) 6D) 5 E) 4

12. Los radios de las ruedas de una bicicleta, sonentre sí como 3 es a 4. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando larueda menor gire 8ð radianes.

A) 2 B) 3 C) 4



D) 6 E) 8

13. Calcular el espacio que recorre una bicicleta, si lasuma del número de vueltas que dan sus ruedases 80. Se sabe que los radios de las mismasmiden 3 u y 5 u

A) 100ð B) 200ð C) 250ð

D) 300ð E) 500ð14. La rueda de radio 1 m se desplaza desde A haciaB, dando 12 vueltas. Determinar el valor de “d”

A) 46 B) 47 C) 48D) 49 E) 50

15. Se tiene dos ruedas conectadas por una faja. Sihacemos girar la faja, se observa que las ruedasgiran ángulos que suman 144°. Determine ladiferencia de los números de vueltas que danestas ruedas, si sus radios miden 3 m y 5 m

A) 1/3 B) 1/5 C) 1/7D) 1/6 E) 1/10

16. Dos engranajes están unidos mediante una fajatangencial, tal como se muestra en la figura. Si elengranaje menor da “n” vueltas cuando el mayor da “n-4" vueltas, calcular el valor de “n”

A) 2 B) 3 C) 4D) 6 E) 8

17. De la figura mostrada calcular la distancia AB.

A) 4 + 52ð B) 6 + 52ð C) 8 + 52ðD) 4 + 26ð E) 2 + 26ð

18. De la figura mostrada determinar el valor delángulo è, si estando la rueda A fija, la rueda Bgira de manera que P y Q coinciden.

A) 45° B) 80° C) 60°D) 72° E) 74°

19. Al recorrer un espacio que mide 2ðR una ruedade radio r gira 500°. Calcular el ángulo que girauna rueda de radio R al recorrer un espacio quemide 2ðr

A) 259°12' B) 236°20' C) 225°45'D) 335°16' E) 148°40'

20. Dadas tres ruedas de radios 3 m; 4 m y 5 m lascuales recorren un mismo espacio; determine el

radio de una cuarta rueda, tal que para recorrer un espacio igual a 47 veces el espacio querecorren las tres ruedas iniciales juntas, de unnúmero de vueltas que es la suma de losnúmeros de vueltas dadas por las tres ruedasiniciales.

A) 100 m B) 120 m C) 140 mD) 160 m E) 180 m



TAREA

01. En la figura, se muestran dos ruedas fijas A y B;cuando A gira (2n - 4) vueltas, B gira (3n + 4)vueltas. Calcular “n”

A) 5 B) 7 C) 10D) 12 E) 17

02. Se tiene dos ruedas en contacto cuyos radiosestán en la relación de 2 a 5. Determinar elángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas.

A) 4ð B) 5ð C) 10ðD) 20ð E) 40ð

03. Del sistema determinar cuántas vueltas gira larueda C, cuando la rueda A da 12 vueltas

A) 15 B) 25 C) 30D) 42 E) 45

04. Los radios de la rueda de una bicicleta son (x+1)m y (x-1) m. Si la rueda mayor da (x-2) vueltas y

la menor (x-1) vueltas, ¿cuántas vueltas en totaldarán las dos ruedas?

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

05. Una bicicleta recorre 40ð cm. Si los radios de susruedas miden 2 cm y 5 cm respectivamente,calcular la suma del número de vueltas que dandichas ruedas.

A) 14 B) 15 C) 16D) 18 E) 20

06. Calcular la longitud de arco recorrido por “A”, sila longitud de arco recorrido por “C” es 12ð. (R A= 1; RB = 4; RC = 3)

A) 12ð B) 13ð C) 14ð

D) 15ð E) 16ð

07. Del esquema mostrado si el bloque “A” desciendehasta el suelo y el bloque “B” sube el triple de lo

que recorre “A”, calcule:

A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1

08. En el sistema de poleas calcular el ángulo quegira la rueda D, si a la rueda A le damos unavuelta completa.(RB = 8R A; y RD = 5RC)

A) 9° B) 10° C) 18°D) 20° E) 90°

09. Calcular el número total de vueltas que da larueda al ir desde A hasta C, sin resbalar sobre la

pista, sabiendo que mide 13ð m

A) 2,5 B) 3,5 C) 4,25D) 4,5 E) 5,25

10. Dos ruedas de radios 15 y 3 m recorren espacios



iguales. ¿Cuánto debe medir el radio de unatercera rueda para que recorriendo el doble de lasanteriores dé como número de vueltas, cincoveces la diferencia de las otras dos?

A) 1 m B) 1,5 m C) 2 mD) 2,5 m E) 2,82 m

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS* TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Se denomina así a todo triángulo en el cual unode sus ángulos es recto; los lados quedeterminan el ángulo recto son los catetos deltriángulo, el lado mayor es la hipotenusa y seopone al ángulo recto.

Catetos : CA = b CB = a

Hipotenusa : AB = c

Ángulos agudos : y

TEOREMA DE PITÁGORAS

AB2 = CA2 + CB2 c2 = a2 + b2

ÁNGULOS AGUDOS COMPLEMENTARIOS

á + è = 90°

CÁLCULO DE LAS RAZONESTRIGONOMÉTRICASEl valor de las razones trigonométricas deángulos agudos, se determinan en un triángulorectángulo, estableciendo la división entre laslongitudes de sus lados tomados de dos en dos ycon respecto a uno de sus ángulos agudos.

OBSERVACIÓN : Para todo ángulo agudo “è” secumplirá:

0 < Senè < 1 Tgè > 0

Secè > 1

0 < Cosè < 1 Ctgè > 0

Cscè > 1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS : Sedenomina así a las siguientes razonestrigonométricas :

PROPIEDAD DE LAS RECÍPROCAS : El producto dedos razones recíprocas referidas al mismo ángulo, es



igual a la unidad

NOTA :

Si :

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOSCOMPLEMENTARIOS : Llamadas también Co -Razones Trigonométricas, son las siguientes :

PROPIEDAD DE LAS CO-RAZONES : Las razonestrigonométricas de todo ángulo agudo, sonrespectivamente iguales a las co-razonestrigonométricas de su complemento.

NOTA :Si :

* TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES :

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOSNOTABLES :

30° 60°

Sen 1/2

Cos 1/2

Tg

Ctg

Sec 2

Csc 2



45°

Sen

Cos

Tg 1Ctg 1

Sec

Csc

37° 53°

Sen 3/5 4/5

Cos 4/5 3/5

Tg 3/4 4/3

Ctg 4/3 3/4

Sec 5/4 5/3

Csc 5/3 5/4


01. Sean a, b y c los lados de un triángulo rectángulo ABC (B = 90°), simpli ficar :E = a2Ctg2 A + c2Ctg2C

A) 2a2 B) 2b2 C) 2c2

D) b2 - a2 E) a2 + b2

02. Del gráfico obtener Cosá

A) 2/3 B) 3/4 C) 1/4D) 3/8 E) 1/2

03. Sabiendo que Ö es un ángulo agudo y que

CtgÖ = 20/21, calcular : E = 4CosÖ + SenÖ

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

04. Si Tgâ = y CosÖ = (â y Ö agudos), calcular

:

N = 2 Cosâ + 7 SenÖ A) 14 B) 18 C) 20D) 24 E) 26

05. En un triángulo ABC(AB=BC) se sabe queSenB=0,6. Calcular TgA

A) 1/3 B) 1/2 C) 2D) 3 E) 4

06. Calcular el área de un trapecio rectángulo,sabiendo que su altura mide 6 m, su perímetro es

34 m y el coseno de su ángulo agudo es 0,8. A) 24 m2 B) 36 m2 C) 40 m2

D) 54 m2 E) 60 m2

07. De la figura calcular Tg2á



A) /3 B) 2/3 C) /2D) 3/2 E)

08. Calcular el perímetro de un triángulo ABC,sabiendo que :

35TgB = 5TgA = 12 y AB = 80 m A) 180 m B) 160 m C) 140 mD) 200 m E) 240 m

09. En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, secumple 4TgB = 3TgC. Calcular :

E = 7SenBSenC - 2TgB

A) 2 B) 0 C)

D) 3 E) 2

10. En la figura ABCD y DEFG son cuadrados.Calcular: Ctgá

A) 5 B) 3 C) 4D) 2 E) 6

11. Si se tiene que: Sen(2a+b)°=Cos(3a - b)°calcule el valor de: Tg(2a+9)°+Sec(3a+6)°

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

12. Dadas las relaciones :Sen(a+b)° = Cos(a-b)°Tg(2a-b) Ctg(a+2b)°=1calcule el valor de : Tg2(a+b)°+Csc(a-b)°

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

13. De la igualdad : Sen(2a+b)°=Cos(a+2b)°calcule el valor de : +Csc2(a+b)°

A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1

14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C”, secumple que:

(2+CtgA)(SecB -TgB) = 1

Calcular el valor de : E =2SenA + Tg2B A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1

15. Si : Tg(144°Tg(90° - x)) = Ctg(72°Ctgx)calcular : E = Tg(72°Ctgx)Tg(25°Tgx)

A) B) 2 C) 3

D) 1 E) 2

16. En la figura Tg(x + y) = 2 y M es punto medio de

. Calcular Tgy

A) 1/2 B) 1/3 C) /2

D) /3 E) 1/4

17. En la figura P y Q son puntos medios de

y respectivamente. Si BD = 2 y AC = 8,calcular Ctgè

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

18. Siendo “è” un ángulo agudo, para el cual se tieneque Senè=5/13, calcule el valor de:

Ctgè+3Tg(è/2) A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

19. En un triángulo rectángulo se tiene que uno delos catetos es el doble de la diferencia entre la

hipotenusa y el otro cateto. Calcular la tangentedel mayor de los ángulos agudos A) 8/15 B) 12/5 C) 7/24

D) 21/20 E) 4/3

20. Sabiendo que x, y, z son ángulos agudos y secumple:

Sen = Cosx, Csc = Secy, Ctg = Tgz

calcular :



(13x - 14y + 5z) en el sistema sexagesimal A) 360° B) 540° C) 450°D) 720° E) 630°

TAREA

01. En la figura ABCD es un cuadrado. Calcular Tgè,

sabiendo que Secá = 2,6.

A) 4/3 B) 6 C) 8D) 3/4 E) 5/13

02. De la figura calcular :

M = 10Cscá + 13Cosá

A) 29 B) 31 C) 26D) 36 E) 38

03. Si á y â son ángulos agudos y complementarios,calcular :

P = Sen2á + Sen2

â + TgáTgâ A) 0 B) 1 C) 2

D) 1,5 E) 2,5

04. ABCD es un cuadrado y 2DE = 3AD. Calcular Tgá

A) 1/4 B) 1/2 C) 2/3D) 3/4 E) 3/2

05. Simplificar :

P =

A) 0 B) -1 C) 1D) 1/2 E) -1/2

06. Si AB = BC, calcular : P = Ctgá - CscÖ

A) - /2 B) - C) /2

D) E) 2

07. Si se cumple Sen(2a + b) = Cos(a + 2b), calcular :

P =

A) 1 B) 2 C) 1,5D) 2,5 E) 3

08. Calcular : x + y, sabiendo que :

Cos(3x + 10°)Csc(y - 40°) = 1Ctg(2y - 65°) = Tg(55° - x) A) 60° B) 66° C) 74°D) 80° E) 86°

09. Sea á un ángulo agudo, tal que:(3Secá)Secá=327

calcular : K=SenáTgá A) 41/40 B) 45/47 C) 51/40D) 80/9 E) 32/33

10. Marcar lo incorrecto:

A) Tg36°Tg54° = 1 B) Sen Sec = 1

C) Cos - Sen = 0 D) Sec = Csc

E) Cos42°Csc48° = 1

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOSÁREA DE REGIONES TRIANGULARES



ÁNGULOS VERTICALES

RELACIÓN DE ELEMENTOS EN EL TRIÁNGULORECTÁNGULOSi en un triángulo rectángulo, se conoce un lado yuno de los ángulos agudos, se podrá calcular los

lados restantes, del modo siguiente :

Se divide el lado que se quiere calcular (incógnita)entre el lado que se conoce (dato), determinando asíuna razón trigonométrica del ángulo dado,despejando de esta igualdad el lado que se quierecalcular.

1er CASO : (Conocido un ángulo agudo y lahipotenusa)

2do CASO : (Conocido un ángulo agudo y su catetoadyacente)

3er CASO : (Conocido un ángulo agudo y su catetoopuesto)

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES

- PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS :

PARA TODO TRIÁNGULO

NOTA :

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ADICIONALES(aproximados)

* ÁNGULO VERTICAL .- Se llama así a aquellosángulos que están contenidos en planosverticales. Los ángulos verticales determinadosen el instante en el cual se realiza unaobservación será materia de nuestro estudio,estos ángulos se determinan en el punto desde elcual se realiza la observación y sus lados son doslíneas imaginarias trazadas desde dicho punto,



las cuales permitirán la observación.Según su ubicación estos ángulos serán ángulosde elevación, ángulos de depresión o ángulos deobservación.

CONSIDERACIONES PARA RESOLVERPROBLEMAS:

1. La estatura de las personas se deberá considerar hasta sus ojos.

2. Toda persona u objeto que posea una altura, seráconsiderada perpendicular al nivel del suelo, a noser que se indique otra situación.

3. De no indicarse desde qué altura se realiza laobservación y no siendo esta altura la incógnitadel problema, se deberá considerar que se estáobservando desde un punto del suelo.


01. Del gráfico mostrado calcule Tgè A) -1 B) -1 C)

D) +1 E) +1

02. Del gráfico calcular el valor de :S = Ctgá - 2Ctgè



A) 1 B) 2 C) 1/2

D) E) 0

03. Hallar CD en términos de m y è

A) mSenè B) mCosè C) mTgèD) mCtgè E) mSecèCscè

04. De la figura calcular

A) 1 B) 2 C) 1/2D) 2/5 E) 3/2

05. Si ABCD es un trapecio isósceles, hallar “R” entérminos de “b” y “è”

A) b/(1+Senè) B) bCosè/(1+Senè)C) bSenè/(1+Secè) D) bSenè/(1+Cosè)E) bCosè/(1+Cosè)

06. De la figura calcular Senè

A) 1,2 B) 1,4 C) 1,6D) 1,8 E) 2

07. En la figura: AB = BD. Calcular M = Tgá + Tgâ entérminos de á

A) Sená B) Cosá C) TgáD) Secá E) Cscá

08. Expresar Tgx en función de “è”

A) 2Tgè+Ctgè B) 2Ctgè-Tgè C) Tgè+CtgèD) 2Tgè-Ctgè E) Tgè-Ctgè

09. De la figura, calcular :

A) CosèSec2è B) Cos2èSecè C) CosèSec3èD) Cos3èSecè E) Cos2èSec3è

10. Calcule el valor de Senè, si ABCD es uncuadrado



A) 8 /65 B) 8 /75 C) 8 /85

D) 8 /55 E) 8 /95

11. En un paralelogramo las distancias del punto deintersección de las diagonales a los lados noparalelos son a y b. Sabiendo que uno de losángulos del paralelogramo es “è”, determine elperímetro del paralelogramo.

A) 4(a+b)Cscè B) 4(a+b)Secè C) 4(a+b)TgèD) 4(a+b)Senè E) 4(a+b)Cosè

12. De la figura mostrada determine el valor de “d”,en términos de a y b

A) (a-b)(Senè+Cosè) B) (a-b)(Secè-Tgè)C) (a-b)(Senè+Ctgè) D) (a-b)(Cscè-Ctgè)E) (a-b)(Cscè+Tgè)

13. Desde la base y la parte superior de una torre seobserva la parte superior de un edificio conángulos de elevación de 60° y 30°respectivamente. Si la torre mide 36 m, calcular la altura del edificio

A) 12 m B) 24 m C) 6 mD) 12 m E) 24 m

14. Una persona de 2 m de estatura observa la basede un poste de luz con un ángulo de depresión de30° y la parte superior con un ángulo de elevaciónde 60°. Calcular la altura del poste.

A) 4 m B) 6 m C) 4 m

D) 8 m E) 6 m

15. Una antena de radio está sobre la azotea de unedificio. Desde un punto a 12 m de distancia de labase del edificio, los ángulos de elevación de lapunta de la antena y de la parte superior deledificio son 53° y 37° respectivamente. Calcular la altura de la antena.

A) 6 m B) 7 m C) 8 mD) 9 m E) 10 m

16. Un avión se encuentra a una altura de 150 msobre un objetivo y se encuentra descendiendocon un ángulo de depresión “á” . Luego de recorrer 150 m es observado desde el objetivocon un ángulo de elevación 26°30'. Calcular aqué altura se encuentra el avión en dichaobservación

A) 50 m B) 60 m C) 75 mD) 80 m E) 90 m

17. Un niño trepado en un árbol observa a su perromirando a un gato en el mismo árbol, con unángulo de elevación de 37°. Determine a quédistancia se encuentra el perro del árbol, si fuevisto por el niño con un ángulo de depresión de45° y además el niño y el gato están separados2,5 m

A) 3 m B) 5 m C) 8 mD) 10 m E) 12 m

18. Desde el centro de un terreno circular, seobservan las partes más altas de dos postes conángulos de elevación á y â. Sabiendo que lospostes están en el borde del terreno ydiametralmente opuestos; además miden 3 m y 2m y Ctgá + Ctgâ = 5, calcular el área del terreno.

A) 12ð m2 B) 24ð m2 C) 36ð m2

D) 48ð m2 E) 72ð m2

19. Una persona de 1,80 m de estatura al ser iluminado por un poste de luz, observa que susombra proyectada en el suelo es de 5,40 m. Sila persona se acerca hacia el poste una distanciade 3 m, observa que su sombra se ha reducidoen 4 m. Calcular la altura del poste.

A) 3,15 m B) 2,45 m C) 2,65 m

D) 3,25 m E) 4,2 m

20. Una colina está inclinada un ángulo “á” conrespecto a la horizontal (Tgá=0,4). Si desde sucumbre se divisa un punto del suelo con unadepresión angular “è” (Tgè=2/9), calcular la alturade la colina si el punto observado se encuentra a300 m de la base y fuera de la colina.

A) 100 m B) 120 mC) 150 mD) 180 m E) 240 m



TAREA

01. Del gráfico calcular : P=Ctgá-Tgá

A) B) 2 C) 2D) 4 E) 5

02. De la figura calcular Cosè

A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4D) 4/5 E) 5/6

03. Calcular el lado de un cuadrado inscrito en untriángulo isósceles de lado desigual “a” y uno delos ángulos iguales mide è

A) a(2Ctgè+1) B C)

D) E) a(3Ctgè - 1)

04. De la figura calcular la superficie del cuadrilátero

A) 20Sená B) 24Sená C) 25SenáD) 30Sená E) 28Sená

05. De la figura determinar BT en términos de “R” y“á”

A) 2RCos4á B) RCos4áSen2áC) 2RSen2á D) RSen4áE) 2RCosáSená

06. En la figura: Tgá=0,75. Calcular la medida delángulo “x” :

A) 37°/2 B) 53°/2 C) 30°D) 37° E) 45°

07. De la figura qué proposiciones son verdaderas:I. Desde A se observa a C con un ángulo de

depresión de 20°II. Desde B se observa a A con un ángulo de

depresión de 40°III. Desde A se observa a B con un ángulo de

elevación de 50°



A) Sólo I B) Sólo IIC) Sólo IIID) I y II E) I y III

08. Un avión vuela en línea recta y horizontalmente auna altura de 2 400 m, desde un punto en tierraes observado con un ángulo de elevación de 53°.Calcular la distancia entre dicho punto y el avión

A) 2 600 m B) 3 000 m C) 4 500 mD) 5 400 m E) 6 000 m

09. Una persona de 1,80 m de estatura observa labase de un poste de luz con un ángulo de

depresión de 37° y la parte superior de éste con unángulo de elevación, cuya tangente es 4. Calcular la altura del poste

A) 9,6 m B) 10,2 m C) 11,4 mD) 12,5 m E) 15,8 m

10. Una torre se encuentra en una colina de 15° deinclinación respecto al plano horizontal. Si unapersona observa la parte más alta de la torre conun ángulo de elevación de 45°, calcular la alturade la torre, sabiendo que la persona se ubica a 12m de la base de la torre

A) 6 m B) 3 m C) 3 m

D) 6 m E) 4 m

ÁNGULOS HORIZONTALES

* ÁNGULO HORIZONTAL : Se llama así aaquellos ángulos contenidos en un planohorizontal.

ROSA NÁUTICA



Es un diagrama ubicado en planos horizontales ydiseñado en base a la ubicación de los puntoscardinales que son : norte (N), sur (S), este (E) y oeste(O - W)La Rosa Náutica se emplea para localizar la posición deobjetos o personas ubicados en el plano horizontalmediante los rumbos y direcciones establecidas en ella.

La Rosa Náutica contiene a las treinta y dos (32)direcciones notables de la brújula, las cuales sonobtenidas trazando bisectrices a partir de las direccionesprincipales, siendo el ángulo que forman dosdirecciones notables consecutivas de 11°15', tal comose observa en el gráfico.

DIRECCIONES DIRECCIONESPRINCIPALES SECUNDARIAS

OBSERVACIONES

RUMBOS Y DIRECCIONES

Para ubicar la posición de una persona u objeto conrespecto a un punto determinado en el planohorizontal, se emplean con frecuencia los rumbos odirecciones; entendiéndose por :

RUMBO : El ángulo agudo horizontal que forma ladirección de la persona u objeto con respecto al ejenorte - sur, cuando ésta se desvía hacia el este (E) uoeste (O)

DIRECCIÓN : La línea recta sobre la cual seencuentra la persona u objeto con respecto a unaRosa Náutica, quedando determinada dicha direcciónpor su rumbo.

DIRECCIONES OPUESTAS

El opuesto de una dirección dada, se obtienecambiando las direcciones que aparezcan por susrespectivos opuestos, sin cambiar el ángulo

NOTA : En todo problema donde se incluyan ángulosverticales y horizontales a la vez, se deberá bosquejar diagramas tridimensionales para tener una mejor visión y ubicación del problema.

Ejemplo : Una persona de altura “h” observa en un determinadoinstante un helicóptero en la dirección Ná°E, con unángulo de elevación è° y a una altura “H”



POSICIONES DE LA ROSA NÁUTICA


01. Calcular el mayor ángulo formado por lasdirecciones:

SE S y N NE

A) 250° B) 210° C) 225°D) 270° E) 185°

02. Dos torres están en la misma dirección NE deuna persona. Esta persona camina 200 m y unade las torres está en la dirección norte y la otra alNO de dicha persona. Hallar la distancia entre lastorres, si la persona camina en la dirección este

A) 100 m B) 50 m C) 100 m

D) 150 m E) 50 m

03. Un auto parte en la dirección NE y recorre 40km, luego se dirige hacia el este, recorriendo unadistancia “d” y finalmente se dirige hacia elE53°S, llegando a un punto ubicado al este delpunto de partida; calcule el valor de “d”, si el autose desplazó en total 90 km

A) 10 km B) 20 km C) 30 kmD) 40 km E) 50 km



04. Carlos y Sofía se encontraban conversando muy juntos y luego de despedirse Sofía se dirige en ladirección oeste y Carlos en la dirección E53°/2 N.

Luego de caminar 2 y m respectivamente,Carlos va al encuentro de Sofía en la direcciónOèS. Hallar el valor Tgè

A) 1/8 B) 1/4 C) 1/2

D) 1 E) 2

05. Dos embarcaciones parten de un puerto almediodía y siguen las direcciones SE y S60°E.Determinar la relación que guardan susvelocidades, si en todo instante uno se halla alnorte del otro

A) /2 B) /2 C) /3D) 3/2 E) 2/3

06. Dos barcos salen de un punto en direcciones queforman un ángulo recto, siendo el primero deellos en la dirección EèN (è<45°). Si después denavegar ambos barcos cierto tiempo a la misma

velocidad desde el primero se ve al segundo en ladirección S27°O, ¿en qué dirección salió elsegundo barco?

A) E18°S B) O17°N C) O27°ND) E72°S E) E27°S

07. Un bote sobre un puerto parte en la direcciónN(90°-á)E avanzando 120 m. Si otro al este del

puerto lo alcanza recorriendo 20 m en ladirección O(45°-á)N, hallar : Ctg(45°+á)

A) 4/3 B) 3/4 C) 1/2D) 1/3 E) 1/4

08. Desde los extremos de un diámetro de una

pista semicircular parten dos atletas que vanhacia el encuentro, el cual se realiza en un puntoP que está al NèE de A y al NxO de un punto C

que se localiza en la prolongación de y aleste de A si B equidista de A y C. Hallar Tgx

A) Tgè+Ctgè B) Tgè + 2CtgèC) 2Tgè + Ctgè D) Tgè + 3CtgèE) 3Tgè + Ctgè

09. Pepe desea ir a su academia que se encuentra alEèS de él, pero primero va a la casa de Maríasituado a “d” m de él en la dirección SèO. Luegoambos deciden ir al cine, situado a “D” m al sur

de ellos para finalmente ir a la academia situadoa “x” m al este del cine. Hallar x

A) DTgè + dSecèB) DCtgè + dCscèC) DSecè + dTgèD) dCtgè + DCscèE) DCscè + dSecè

10. Una persona que se dirige hacia el oeste observaa dos objetos en la dirección NèO camina una

cierta distancia y observa que uno de losobjetos se encuentra al norte y el otro al NE.

Avanza una distancia “x” metros y observa que elobjeto más alejado de su primera posición seencuentra en la dirección EèN. Hallar “x”, si losobjetos se encuentran separados una distancia“d”

A) dCtgè(Secè + Cscè)B) dTgè(Secè+Cscè)C) dCtgè(Senè+Cosè)D) d(Senè+Cosè)E) N.A.

11. Dos barcos “A” y “B” se encuentran separadosuna distancia de 6 km. B se encuentra conrespecto de “A” en la dirección S70°E. Unsubmarino se encuentra con respecto de “B” en ladirección S20°O y con respecto de “A” en ladirección S10°E. ¿A qué distancia se encuentra elsubmarino del barco A?

A) 6 km B) 6 km C) 12 km

D) 12 km E) N.A.

12. Desde un faro se observa a dos barcos A y B enla dirección N35°O y S55°O respectivamente enese mismo instante B es observado desde A en ladirección S25°O. Si la velocidad de A es de 24

km/h, la velocidad de B es de 24 km/h y ladistancia inicial de A al faro es de 5 km, hallar ladistancia entre A y B al cabo de una hora y 15minutos

A) 60 km B) 60 km C) 70 km

D) 80 km E) 90 km

13. Una persona sale de su casa y se dirige al sur,recorriendo 18 km en esa dirección, luego se vahacia el oeste y recorre una distancia igual aldoble de la anterior, finalmente avanza 60 km enla dirección N37°O; determine qué distancia lasepara de su casa.

A) 60 km B) 64 km C) 72 kmD) 78 km E) 80 km

14. Dos autos A y B parten simultáneamente de unaestación de gasolina, con velocidades constantesy en las direcciones S15°E y E15°Srespectivamente, al cabo de cierto tiempo el auto“B” es observado desde “A” en la dirección E15°Ny a 30 km de distancia; calcule la diferencia delos espacios recorridos por los autos hasta elmomento de la observación

A) 5 km B)10 km C) 15 km

D) 20 km E) 30 km

15. Desde un helicóptero que está a 50 m sobre elnivel del mar, se observa una lancha hacia el este



con un ángulo de depresión de 45° y hacia el sur se observa un barco con un ángulo de depresiónde 30°; calcule la distancia que separa al barcode la lancha.

A) 50 m B) 60 m C) 80 mD) 75 m E) 100 m

16. Una persona al dirigirse hacia el sur de su casarecorre una distancia “x” y desde allí ve lachimenea con ángulo de elevación “è”. Luego sedirige al oeste recorriendo “x” observa lachimenea con un ángulo de elevación que escomplemento de “è”. Hallar “Tgè”

A) B) C)

D) E)

17. Un alumno de la academia propone el siguienteproblema : “Si estuviese al sur de la academiavería su parte más alta con un ángulo deelevación de 37° y si me desplazo al oeste unadistancia igual al doble de la que me encontrabainicialmente, la observaría con un ángulo deelevación “è”. ¿A qué es igual Ctgè?

A) /3 B) 2 /3 C)

D) 4 /3 E) 5 /3

18. Desde la parte más alta de un poste, un pajaritoobserva a dos palomas en direcciones NèE yS(90°-è)E, con ángulos de depresióncomplementarias á y â respectivamente. A quées igual :

si además el segmento que une a las palomas esparalela a la dirección norte - sur

A) 1/8 B) 1/4 C) 1/2D) 1 E) 2

19. Un avión que con una inclinación è en ladirección este - oeste. ¿Cuál es el valor de laSecè, para que un observador vea al aviónprimero hacia el NE y hacia el norte con ángulosiguales al complemento de è?

A) B) C)

D) E)

20. Desde dos puntos en tierra A y B se observa la

parte superior de una torre con ángulos deelevación de 37° y 53° respectivamente,determine la altura de la torre si los puntos A y Bse encuentran al sur y al este de la torre y la

distancia que los separa es 2 m A) 12 m B) 16 m C) 20 mD) 24 m E) 30 m

TAREA

01. Miriam recorre 80 km en la dirección N53°O,

luego 80 km en la dirección SO y finalmente120 km hacia el este. ¿A qué distancia se

encuentra Miriam de su posición inicial? A) 24 km B) 30 km C) 36 kmD) 40 km E) 42 km

02. Dos móviles A y B parten del mismo punto, el

primero con dirección NE N y el segundo con

dirección NO O. Si ambos avanzan la misma

distancia, indique usted en qué dirección seencuentra A respecto a B

A) E NE B) NE E C) O SO

D) SO S E) NE

03. Un móvil se desplaza 40 km según la direcciónS60°O con respecto a un punto inicial. Luego sedesplaza 20 km según la dirección N60°O.Hallar el desplazamiento total con respecto a sunueva ubicación

A) 10 km B) 15 km C) 20 km

D) 20 km E) 25 km

04. Un barco sale en dirección NE a una velocidad

de 10 m/s. Luego de transcurrir segundos sedirige hacia el norte con la misma rapidez durante

3 segundos. ¿En qué dirección está el barco alfinal del recorrido respecto al punto de partida?

A) N37°E B) N58°E C) N E

D) N E E) NArcTg E

05. Adrián y Jaime, salen de sus casas siguiendo dosrumbos E37°N y EèN(è>45°) respectivamente.Para encontrarse en una tienda, caminandespués hacia el este una distancia de

44(8 +7) metros retornando luego cada uno asu casa, pero ahora con rumbos de O16°S yO30°S. ¿Qué distancia los separaba inicialmente

si la casa de Adrián se encuentra al norte de la deJaime? A) 220 m B) 329 m C) 429 mD) 529 m E) 829 m

06. Desde lo alto de un acantilado se observa en ladirección O(90°-á)S a una boya bajo un ángulode depresión de 45° y en la dirección EáS a unbote bajo un ángulo de depresión de 30°. Si ladistancia que separa a la boya y el bote a 80 m,calcular la altura del acantilado



A) 10 m B) 10 m C) 20 m

D) 40 m E) 40 m

07. Dos estaciones de radar A y B tienen que calcular la altura de un avión por ubicación simultánea.

De A se ve en la dirección N NE con un ángulo

de elevación è, de B se ve en la dirección O NO

con un ángulo de elevación Ö. Si la distanciaentre A y B es d, ¿a qué es igual la altura?

A) B)

C) D)

E)

08. Un muchacho ubicado en la azotea de un edificioobserva los ojos de una chica con un ángulo de

depresión “è”, al oeste del edificio de 2 m dealtura, luego el muchacho observa a la mismachica al sur del edificio con una depresiónangular de 60°. Calcular “Ctgè”, si la chica mide

m y se ha desplazado una distancia de 2m

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

09. Un hombre que está al sur de un faro observaque su sombra proyectada por la luz del farotiene 4 m de longitud, caminando 60 m hacia el

oeste, observa que su sombra es de 5 m delongitud. Si la persona mide 1 m, hallar la alturadel faro

A) 18 m B) 19 m C) 20 mD) 21 m E) 22 m

10. Desde un puerto “P” se observa a un bote en la

dirección S15°E a km de distancia. Estebote está navegando a una velocidad uniformede 2 km/h con rumbo N30°O. ¿Qué tiempo debetranscurrir, después de la primera observaciónpara que el bote esté lo más cerca al puerto?

A) 01 h 33 min B) 01 h 15 min

C) 01 h 52 minD) 02 h 52 min E) 02 h 33 min

GEOMETRÍA ANALÍTICA : PLANO COORDENADO

1. SISTEMA DE COORDENADASRECTANGULARESEstá formado por dos rectas numéricas que seintersectan en el número cero formando unángulo recto.

: Eje de abscisas : Eje de ordenadas

O : Origen de coordenadas

Al plano que contiene a dicho sistema se le llamaPlano Cartesiano y está dividido en 4 regionesdenominadas cuadrantes y numerados como seindica en la figura. A todo punto del plano lecorresponde un par ordenado (x; y) que se ledenomina coordenadas.

Por ejemplo en la figura las coordenadas de Pson (4; 1) y de Q son (-2; -3).



2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Sea “d” distancia entre los puntos A y B, entonces :

3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN

3.1 APLICACIONES

3.1.1 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO ( )

3.1.2 BARICENTRO DEL TRIÁNGULO (ABC)

3.1.3 PROPIEDAD DEL PARALELOGRAMO(ABCD)



4. ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR


01. Hallar las coordenadas del punto que pertenece

al eje de abscisas y equidista de (-3; 1) y (6; 4) A) ( ) B) ( ) C) ( )

D) ( ) E) (15; 0)

02. La mediatriz del segmento , donde A=(3;2) y B=(5; 10), intersecta al eje de ordenadas en(0; m). Calcular m.

A) 29/3 B) 13/3 C) 7/2D) 15/2 E) 7

03. Hallar las coordenadas del vértice C de un

triángulo equilátero ABC, si A=(-3; 4) y B=(-3; -2),además la abscisa de A es menor que la abscisade C.

A) (-3 + 3 ; 1) B) (-3 + 3; 1)

C) (-3 ; 1) D) (3; 1 + 3 )

E) (3 ; -1)

04. Dos vértices consecutivos de un cuadradoson A(-2; 4) y B(4; 12). Hallar las coordenadasdel vértice C, sabiendo que este pertenece al IC yes consecutivo con B.

A) (8; 6) B) (11; 8) C) (14; 10)D) (10; 8) E) (12; 6)

05. El segmento que une A(-1; 2) con B(2; -5) seprolonga hasta un punto C, tal que

AC=3AB. Calcular C (C IVC) A) (3; -6) B) (8; -19) C) (10; -15)D) (9; -12) E) (10; -10)

06. Dados los puntos A(2; 5) y B(14; 17), determinelas coordenadas de los puntos que trisecan alsegmento .

A) (5; 9) y (10; 13) B) (6; 9) y (12; 15)

C) (8; 10) y (10; 13) D) (6; 9) y (10; 13)

E) (6; 9) y (12; 14)

07. En la figura adjunta Tgè = 0,4. Hallar lascoordenadas de F

A) (13; 0) B) (12; 0) C) (16; 0)D) (15; 0) E) (18; 0)

08. En la figura ABCD es un paralelogramo. Hallar las coordenadas del punto E, si

A) B) C)

D) E)

09. Los vértices de un triángulo son (0; 0), (n;



n+1), (n-1; n). Calcular el área del triángulo quese obtiene al unir los puntos medios de sus lados.

A) 1/2 u2B) 1/4 u2 C) 1/8 u2

D) 1/16 u2 E) 1/32 u2

10. Hallar la altura del triángulo ABC, relativa al lado

, si: A(-2; 5), B(-2; -8), C(3; 17)

A) 8 B) 6 C) 4D) 5 E) 7

11. Se tiene el paralelogramo ABCD donde: A(-4;-2), B(3;-2) y C(5;b). Hallar las coordenadas delpunto D, sabiendo que tiene como área 56 u2 y b> 0

A) (-2; 0) B) (-2; 6) C) (6; -2)D) (-6; 2) E) (2; 6)

12. Dados los puntos P(1; 1) y Q(10; 2) hallar sobreel eje de las abscisas el punto M de tal maneraque la suma de las distancias, hacia los puntos Py Q sea mínima

A) (2; 0) B) (3; 0) C) (4; 0)D) (5; 0) E) (3,5; 0)

13. En un triángulo ABC, las coordenadas delbaricentro son (5; 5) y las coordenadas de dos delos puntos medios de sus lados son (5; 3) y (6;8), determine las coordenadas de los vértices deltriángulo

A) (3; -1), (5; 9), (7; 7) B) (3; -1), (5; 9), (4;13)

C) (2; -3), (7; 5), (6; 13) D) (4; 2), (5; 9), (6; 4)E) (4; 5), (3; 6), (8; 4)

14. Del gráfico calcular las coordenadas de A, si la

abscisa de T es 8 y RITA es un cuadrado

A) (5; 6) B) (10; 8) C) (12; 6)D) (14; 6) E) (8; 2)

15. Calcular la distancia de “A” hacia , si AC = BC

A) 12 B) 13/2 C) 5D) 15 E) 17

16. Del gráfico PITA es un trapecio. Si I(1; 3), A(6; -5)E(4; 7) y PI = IE, calcular PT

A) B) C)

D) E)

17. En el esquema mostrado determine lascoordenadas de “P” si se tiene que el trayecto

es el menor posible

A) (4; 0) B) (6; 0) C) (8; 0)D) (7; 0) E) (9; 0)

18. Determine las coordenadas de “P” sabiendo queel área del triángulo AOB es 9 u2 y además

Tgè=0,25



A) (8; 2) B) (12; 3) C) (4; 1)D) (2; 1/2) E) (16; 4)

19. En la figura adjunta : AB = 2BC

determine las coordenadas de C

A) (-10; -12) B) (-17; -5) C) (-12; -17)D) (-11; -12) E) (-8; -15)

20. Los vértices de un trapecio isósceles ABCDson A(2; 4), B(2; 9) y C(8; 17). Hallar las

coordenadas del vértice D sabiendo que

A) B) (8; 12)

C) D)

E)

TAREA

01. Si la distancia de A(2; 2) a B(5; b) es 5 y la

distancia de este último a C(c; 3) es , calcular la distancia de A a C (b < 0 y c 3)

A) B) C)

D) E)

02. Hallar la suma de las diagonales de unparalelogramo ABCD, si A = (3; -7), B=(5; -7),C=(-2; 5), D IIC.

A) 20 u B) 25 u C) 28 uD) 30 u E) 32 u

03. Calcular la longitud de la mediana relativa allado mayor del triángulo ABC. A(3; 1), B(-3; -1),

C(1; 6)

A) u B) u C) u

D) u E) u

04. Con centro en (5; 3) se dibuja una circunferenciaque es tangente al eje de ordenadas en A, eintersecta al eje de abscisas en B y C. Calcular el

área del triángulo ABC.

A) 6 u2 B) 12 u2 C) 24 u2

D) 8 u2 E) 16 u2

05. Los extremos del diámetro de una circunferenciason A(-6; -2) y B(0; 6). Calcular la longitud de lacircunferencia.

A) 5ð u B) 10ð u C) 15ð uD) 20ð u E) 25ð u

06. Hallar el área del triángulo, sabiendo que dos desus vértices son A(0; 0) y B(2; 2), además la

intersección de las medianas es

A) 2 u2 B) 4 u2 C) 4/3 u2

D) 6 u2 E) 3,5 u2



07. En la figura mostrada, determine las coordenadasdel punto “E”

A) (1; 2) B) (3; -2) C) (6; -3)D) (6; -1) E) (-3; 5)

08. Dado un punto AB donde A(4; -3) y B(1; 4), hallar

las coordenadas del punto P, tal que

A) B) (2; 5) C) (2; 3)

D) E)

09. El área del polígono cuyos vértices son (1; 5), (-2;4), (-3; -1), (3; -3), (5; 1) es :

A) 35 u2 B) 40 u2 C) 45 u2

D) 38 u2 E) 41 u2

10. Del gráfico siguiente determine las coordenadasdel punto P

A) (-7; 3) B) (-3; 2) C) (-5; 2)D) (-4; 5) E) (-8; 3)

ECUACIÓN DE LA RECTA1. ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE



Se denomina ángulo de inclinación al ángulo(positivo) formado por la dirección positiva del ejeX y la recta, en la figura adjunta.á : es el ángulo de inclinación de L2è : es el ángulo de inclinación de L1Se denomina pendiente (m) a la tangente delángulo de inclinación, en la figura adjunta :

La pendiente de L1 es : m1 = TgèLa pendiente de L2 es : m2 = Tgá

OBSERVACIONES :

El ángulo de inclinación es mayor o igual que 0° ymenor que 180°

Las rectas horizontales tienen pendiente igual acero

Las rectas verticales no tienen pendiente

La pendiente de una recta no vertical también sepuede calcular conociendo dos puntos de dicharecta.

2. ECUACIÓN DE LA RECTA

2.1 Conociendo un punto de la recta y supendiente (m)

2.2 Conociendo dos puntos de la recta

2.3 Conociendo los interceptos de la recta conlos ejes coordenados

2.4 Conociendo el intercepto de la recta con eleje Y(b) y su pendiente (m)

2.5 Ecuación general de la recta

Ax + By + C = 0

Si la recta es no vertical la pendiente :

Si la recta es horizontal su ecuación es :y = k (k )

Si la recta es vertical su ecuación es : x = k (k )

La ecuación del eje X es : y = 0 La ecuación del eje Y es : x = 0

3. PROPIEDADES

Sean L1 y L2 rectas no verticales entonces :

L1 // L2 m1 = m2 L1 L2 m1m2 = -1

(Rectas paralelas) (Rectas perpendiculares)

4. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA



5. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS


01. Determine la ecuación de la recta que pasa por el

punto medio del segmento y el punto (1; 2)sabiendo que : A(3; 5) y B(7; 1)

A) 4x + y = 3 B) 4x - y = 5 C) 4y - x = 7D) 4y + x = 3 E) 2x + y = 5

02. Hallar la ecuación de una recta L que es paralelaa 3x-4y+5=0 y pasa por (-1; 3)

A) 4x-3y+12=0 B) 3x-4y+15=0 C) 4x+3y-12=0

D) 3x+4y+12=0 E) 3x-4y-6=0 03. Hallar la ecuación de la recta que pase por el

punto medio de (1; 1) y (8; 4) y sea perpendicular a:

y = -2x + 3 A) 4y=2x+5 B) 4y=2x-1 C) y=4x+1D) 4y=x+1 E) y=x+1

04. Hallar la ecuación de la recta que es mediatriz delsegmento que une a los puntos A (7; 4) y B(-1; -2)

A) 4x + 3y + 15 = 0 B) 4x + 3y - 13 =0

C) 4x + 3y - 12 = 0 D) 4x + 3y - 15 =

0E) 4x + 3y - 16 = 0

05. Dadas las rectas :L1 : y + (3 - 2b)x + c = 0L2 : y + (1 - a)x + d = 0L3 : (b + 1)y - x - e = 0donde L1 y L2 son paralelas L1 es perpendicular aL3, hallar la ecuación de la recta que pasa por elpunto (a; b) y cuya inclinación es 135°

A) y - x = 0 B) y + x = 0 C) y - x + 1= 0D) y + x + 1 = 0 E) y + x - 2= 0

06. Qué valor debe de tomar “k” para que la recta :L1 : kx + 4y + 8 = 0

pase por el punto de intersección de las rectas :L2 : 6x - y +7 = 0L3 : -3x + 2y - 8 = 0

A) 30 B) 20 C) 25D) -30 E) -20

07. Una recta L1 pasa por (1; 5) y su ángulo deinclinación mide 45°; otra recta L2 pasa por (12;0) y su pendiente es -1. Calcular la distancia delpunto de intersección de L1 y L2 al origen decoordenadas

A) 3 B) 2 C) 5

D) 4 E) 6

08. Hallar el radio de la circunferencia del centro (2;1) si es tangente a la recta de ecuación :

3x + 4y + 5 = 0 A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

09. En la figura L1//L2, las coordenadas de C son (2;15). Calcular el área del triángulo AOB



A) 27 u2 B) 36 u2 C) 42 u2

D) 81 u2 E) 54 u2

10. Calcular el área del cuadrilátero formado por lospuntos de intersección de las rectas:L1:8x-6y+15=0; L2:3x+4y+10=0;L3:3y-4x-35=0: L4:8y+6x-25=0

A) 54,75 u2 B) 42,5 u2 C) 33,25 u2

D) 21,25 u2 E) 24,75 u2

11. La recta L: 3x + 4y - 12 = 0; corta a los ejes en Ay B. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el

origen y por el punto medio

A) x=2y B) x=3y C) 2x=3yD) 3x=4y E) 2x=y

12. Hallar la ecuación de la recta “L3"

A) 4x - 3y - 20 = 0 B) 4x - 3y + 10 =0

C) 4x - 3y + 15 = 0 D) 4x - 3y + 20 =0

E) 4x - 3y - 10 = 0

13. Determinar la ecuación de la recta L :

A) 6x + 7y = 75 B) 6x + 7y = 25C) 6x + 17y = 25 D) 6x + 17y = 75E) 6x + 13 = 50

14. Del esquema mostrado determine la ecuación de

“L”

A) 2x + y = 3 B) 2x - y = 3 C) 2x + y = 5D) 2x + y = 8 E) 2x - y = 5

15. Los vértices de un triángulo son A(-3; 4), B(2; 4) yC(2; -8). Calcular la ecuación de la recta quepasa por el incentro y circuncentro del triángulo

A) y=8x+2 B) y=4x+2 C) y=-4x+2D) y=-8x+2 E) y=-2x+1

16. En la figura ABCD es un paralelogramo y11S Ä ABE=3SEDCB. Calcular la ecuación de la

recta L

A) x + y + 2 = 0 B) 2x - y + 3 = 0C) 2x - 3y + 5 = 0 D) 3x - 4y + 15 = 0

E) x - 2y + 2 = 0



17. Calcular las coordenadas de H, si H es el

ortocentro del Ä ABC y : 12x + 16y - 192 = 0

A) (3; 15) B) (12; 16) C) (9; 12)D) (5; 14) E) (7; 13)

18. Un rayo de luz va dirigido por la recta : L: 3y = 2x

- 12, al tocar el eje “X” se ha reflejado de .Calcular la ecuación de la recta por donde va el

rayo reflejado A) 2x + 3y - 12 = 0 B) 2x - 3y - 6 = 0C) 2x + 3y - 6 = 0 D) 2x = 3y + 12E) 2x + y - 10 = 0

19. La recta L1 pasa por los puntos A(10; 9) y B(2; 3),la recta L2 pasa por los puntos A y C (3; -15).Calcular la ecuación de la bisectriz del ánguloagudo formado por L1 y L2

A) 9x+13y+207=0 B) 39x+37y+147=0C) 13x-9y-49=0 D) 18x-26y-207=0E) 26x+18y-7=0

20. Según la figura, ¿cuánto dista el punto A de la ,si: AD = 3(AE)?

A) 2 B) C) 4 /5

D) 3 /5 E) 2 /5

TAREA

01. Se tiene un rombo ABCD donde : A = (2; 2) y C(4;6), calcular la ecuación de la recta que contiene ala diagonal BD

A) x - y + 10 B) x + y + 12 = 0

C) x + 2y - 11 = 0 D) x + 3y + 13 = 0E) x - 3y + 5 = 0

02. Un triángulo tiene por vértices A(-1; 3), B(5; 5) y



C(3; -3). Calcular la ecuación de la recta quepasa por los puntos medios de los lados

A) 3x + 2y + 2 = 0 B) 2x + 3y + y = 0C) 4x - 4y - 4 = 0 D) 4x - y + 2 = 0E) 4x - y - 4 = 0

03. Una recta L1 pasa por los puntos A(1; -3) y B(2;n) otra recta L2 pasa por los puntos C(-2; 1) yD(n; 3), Si L1 es perpendicular a L2, calcular: “m1+ m2”

A) -1/3 B) -8/3 C) 8/3D) 1/3 E) -2

04. Si la recta L1: ax+2y+b+6=0 pasa por el puntoP(2; -3) y es paralela a la recta, L2:(b-2)x-3y+a=0, calcular “a+b”

A) -48 B) -8 C) 4

D) 8 E) 48

05. Determine la ecuación de la recta L :

A) 2x + 3y = 26 B) 2x + 3y = 24

C) 3x + 2y = 22 D) 2y + 3x = 26E) 2x + 3y = 22

06. Uno de los vértices de un cuadrado es elpunto P(7; 4) y una de las diagonales estácontenida en la recta L : x + y = 6; determine elárea del cuadrado

A) 4 B) 16 C) 25D) 9 E) 36

07. Determine las coordenadas de la proyección delpunto P(5; 5) sobre la recta “L”

2x + 3y = 12 A) (2; 3) B) (4; 3) C) (3; 2)D) (4; 1) E) (1; 2)

08. Determine la ecuación de la mediatriz delsegmento de la recta “L”: 5x + 3y = 15,comprendido entre los ejes coordenados

A) 3x + 5y = 8 B) 3y + 5x = 9C) 2x + 3y = 7 D) 5y - 3x = 8E) 5x - 3y =9

09. Los vértices de un triángulo rectángulo son A(-1;0), B(0; 3) y C pertenece al semieje positivo deabscisas. Si el ángulo ABC mide 90°, calcular lapendiente de la recta que pasa por el baricentro ycircuncentro del triángulo

A) 4/3 B) 3/4 C) -3/4D) -4/3 E) -2/3

10. Los vértices de un triángulo son: A(0; 4), B(-2; 6) y C(-3; -1), calcular las coordenadas de suortocentro

A) (1; 4) B) (7/2; 15/4) C) (3/2; 7/2)D) (7/4; 15/4) E) (1; 15/4)

CÓNICAS : CIRCUNFERENCIA - PARÁBOLA

CIRCUNFERENCIA

DEFINICIÓNUna circunferencia es el lugar geométrico de todoslos puntos del plano que equidistan de un punto fijo.

Al punto fijo se le denomina centro y a la distancia

constante se le llama radio.

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

Ecuación Ordinaria



Centro : (h; k) Radio : r

(x - h)2 + (y - k)2 = r 2

Ecuación Canónica

Centro : (0; 0) Radio : r

x2 + y2 = r 2

Ecuación General

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

PARÁBOLA

DEFINICIÓNEs el lugar geométrico de todos los puntos del planoque equidistan de una recta fija del plano llamada

directriz y un punto fijo llamado foco.

: Directriz

F : Foco

Elementos de la parábola

() Vértice : (V)() Foco : (F)

() Directriz :

() Eje de simetría (Eje focal) :

() Lado recto :() Cuerda :

() Cuerda focal :

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA

Vértice en el origen (0; 0) y eje focal el eje X

(Ecuación canónica)

Vértice en el origen (0; 0) y eje focal el eje Y

(Ecuación canónica)

Vértice (h; k) y eje focal paralelo al eje X



(Ecuación ordinaria)

Vértice (h; k) y eje focal paralelo al eje Y

(Ecuación ordinaria)

Forma general

x2 + Dx + Ey + F = 0 .....Eje focal // al eje Y (o coincidente con el eje Y)

y2 + Dx + Ey + F = 0 .....Eje focal // al eje X (o coincidente con el eje X)


01. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasapor (2; 3) y cuyo centro es (-1; 7)

A) x2 + y2 - 2x + 14y - 50 = 0B) x2 + y2 - 2x + 14y - 25 = 0C) x2 + y2 + 2x + 14y - 50 = 0D) x2 + y2 - 4x + 7y - 65 = 0E) x2 + y2 + 2x - 14y + 25 = 0

02. Hallar la ecuación de la circunferencia que estangente a los ejes coordenados, su radio mide 3u y el centro pertenece al IVC.

A) x2 + y2 - 6x + 6y + 9 = 0B) x2 + y2 + 6x + 6y + 9 = 0

C) x2 + y2 + 3x + 3y = 9D) x2 + y2 - 3x - 3y = 9E) x2 + y2 + x + y + 3 = 0

03. La ecuación de una recta es :

.

Hallar la ecuación de la circunferencia que estangente a dicha recta, si su centro es el origende coordenadas.

A) x2 + y2 = 144 B) x2 + y2 = 225C) x2 + y2 = 100 D) x2 + y2 = 169E) x2 + y2 = 196



04. Determinar la ecuación de una circunferenciacon centro en el origen, si la longitud de la

tangente trazada desde el punto (-1; 6) es A) x2+y2=4 B) x2+y2=8 C) x2+y2=16D) x2+y2=32 E) x2+y2=64

05. La ecuación de una circunferencia es:

x2 + y2 - 4x - 8y + 11 = 0Hallar las coordenadas del punto que pertenecea la circunferencia y está más cerca del eje X.

A) (2; 1) B) (6; 4) C) (3; 2)D) (2; 4) E) (-1; 4)

06. Determine la ecuación de una circunferenciaubicada entre los semiejes positivos, si está a 2u del eje X y a 5 u del eje Y, sabiendo ademásque la recta L:2y+5x=50, pasa por su centro

A) x2+y2-18x-12y+108=0B) x2+y2-14x-8y+56=0C) x2+y2-12x-6y+36=0D) x2+y2-16x-10y+80=0

E) x2

+y2

-6x-6y+9=0

07. Hallar la ecuación de una circunferencia concentro en (7; 6), sabiendo que es ortogonal a lacircunferencia cuya ecuación es :x2 - 6x + y2 - 4y = 0

A) (x - 6)2+(y - 7)2 =

B) (x - 7)2+(y+6)2 =C) (x - 7)2+(y - 6)2 = 16D) (x - 7)2+(y - 6)2 = 19E) (x - 7)2+(y+6)2 = 19

08. Una circunferencia de radio es tangente a lacircunferencia x2+y2-4x+2y-47=0 en el punto (6;5). Determinar las coordenadas de su centro

A) (4; 2) ó (8; 8) B) (3; 2) ó (6; 7)C) (4; 2) ó (8 ; 6) D) (2; 4) ó (8; 8)E) (4; 2) ó (6; 8)

09. Desde el punto P(2; -3) se han trazado tangentesa la circunferencia:

C: x2+y2-2x+10y+22=0hallar la ecuación de la cuerda que une lospuntos de contacto

A) 2y+x+5=0 B) y+2x+5=0 C) 5y+2x+1=0D) 2y+5x+10=0 E) y+x+5=0

10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el

punto (0; 9) y es tangente a la circunferencia :x2 + y2 - 2x - 4y = 20

A) 4x-3y+32=0 3x+4y-36=0B) 4x-3y+27=0 3x+4y-36=0C) 3x-4y+22=0 4x+3y-36=0D) 3x+4y+27=0 4x+3y+36=0E) 4x+3y+27=0 3x+4y+36=0

11. Hallar a ecuación de la parábola cuyo vérticees (2; 5) y foco (2; 9)

A) x2 - 4x + 16y - 20 = 0B) (x - 2)2 = 16(y - 5)C) x2 - 4x + y + 30 = 0D) (x - 2)2 = 8(y - 5)E) (x + 2)2 = 16(y + 5)

12. El vértice de una parábola es (3; 2) y su directriz

es y= -1. Hallar la ecuación de la parábola. A) (x - 3)2 = 12(y - 2) B) (x + 3)2 = 12(y + 2)C) (x - 3)2 = 6(y - 2) D) (x + 3)2 = 6(y + 2)E) (x - 2)2 = 12(y - 3)

13. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje focales horizontal, con vértice en el origen y pasa por el punto (1; -3)

A) 9x2 - y = 0 B) y2 + 9x = 0C) 3x2 + y = 0 D) y2 - 9x = 0E) 9x2 + y = 0

14. Hallar la longitud del lado recto, de la parábola :y2 + 2x - 10y + 27 = 0

A) 5 B) 1/2 C) 1/4D) 3/4 E) 2

15. La ecuación de una parábola es:(y - 4)2 = -3x. Hallar la distancia del punto (-11; yo) (perteneciente a la parábola) al foco.

A) 11,75 B) 12,25 C)D) 12,75 E) 10,25

16. Hallar la ecuación de la parábola con foco enF(2; 1), vértice sobre L:3x+7y+1=0 y cuyadirectriz es horizontal

A) (x+2)2=16(y+1) B) (x-2)2=8(y+1)C) (x-2)2=16(y+1) D) (x+2)2=8(y-1)E) (x+2)2=16(y-1)

17. Se desea construir un portón en forma deparábola con eje vertical y un ancho en la basede 30 m. Determine la altura que debe tener elportón, sabiendo que el foco debe encontrarse a8 m de la base

A) 4,5 m B) 9,5 m C) 12,5 mD) 14 m E) 15 m

18. Determinar las ecuaciones de las rectas dependiente -1, sabiendo que interceptan a lacircunferencia x2+y2=4, en dos puntos quedeterminan una cuerda de longitud 2

A) x+y±1=0 B) x+y± C) x+y±

D) x+y±2=0 E) x+y± =0

19. Según la figura la ecuación de lacircunferencia C: x2+y2 - 24x - 256=0, hallar laecuación de la parábola que contiene a E y L,además “N” es su vértice



A) y2=-64(x - 14) B) y2=-22(x - 12)

C) y2=- (x - 12) D) y2=-22(x- 14)

E) y2=- (x - 12)

20. Según la figura, el área de la región sombreadaes 32ð u2, hallar la ecuación de la parábolaP, si F : foco y V : vértice y el eje X su directriz

A) (x - 3)2=8(y - 4)B) (x - 3)2=16(y - 4)C) (x - 3)2=4(y - 4)D) (x - 6)2=32(y - 8)E) (x - 4)2=12(y - 3)

TAREA

01. Hallar las coordenadas del centro de lacircunferencia:

x2 - x + y2 + 3y - 1 = 0.Dar como respuesta la suma de su abscisa yordenada.

A) 1 B) 3/4 C) 5/4D) -1 E) -3/4

02. Hallar la ecuación de la circunferencia quepasando por el punto (-1; 5), sea concéntricacon:

C:x2+y2+6x-4y+9=0

A) x2+y2+6x-4y=0 B) x2+y2+6x-4y=4C) x2+y2+6x-4y=9 D) x2+y2+6x-4y=13E) x2+y2+6x-4y=26

03. Determine el valor “m”, si el punto (5; -4)pertenece a la circunferencia:

C: x2+y2-mx+6y+33=0 A) 0 B) 6 C) -6

D) 10 E) -10

04. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasapor los puntos A=(3; 2) y B=(7; 8) sabiendo quela recta x-y=5 pasa por el centro de lacircunferencia

A) (x-8)2+(y-3)2=25B) (x-8)2+(y-3)2=26C) (x-3)2+(y-8)2=25D) (x-3)2+(y-8)2=26E) (x-8)2+(y+3)2=26

05. Hallar la distancia mínima del punto (3; 9) a lacircunferencia:

x2+y2-26x+30y+313=0 A) 17 B) 26 C) 15

D) E) 18



06. Hallar la ecuación de la directriz de la parábolacuya ecuación es : 3x2 - 16y=0

A) 3y+1=0 B) 3y+2=0 C) 3y+4=0D) 3y+5=0 E) 3y+7=0

07. Hallar la longitud del radio vector del punto de laparábola x2+9y=0, cuya abscisa es igual a -3/2

A) 3/2 B) 2 C) 5/2D) 3 E) 4

08. Hallar la ecuación de la parábola que tiene elvértice V(-3; 5) y cuyos extremos del lado rectoson : L(-5; 9) y R(-5; 1)

A) (y+5)2=4(x-3) B) (y-5)2=8(x-3)C) (y+5)2=4(x+3) D) (y-5)2=8(x+3)E) (y+5)2=16(x+3)

09. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje focales paralelo al eje de las abscisas y que pasa por los puntos: (0; 0); (8; 4) y (3; -1)

A) y2 - 2y + x = 0 B) y2 + 2y - 3x = 0C) y2 + 2y - x = 0 D) y2 - 2y - x = 0E) y2 - 2y + 3x =0

10. La entrada de una iglesia tiene la forma de unaparábola con una altura de 9 m y un ancho de 12m en la base; el techo de la iglesia es de vidrio ytiene un ancho de 6 m; determine la alturamáxima del casquete de vidrio

A) 2,25 m B) 2,5 m C) 2,75 mD) 3 m E) 3,5 m

LA ELIPSEDEFINICIÓN

Es el lugar geométrico de un punto “P” que se mueveen un plano de tal manera que la suma de susdistancias a dos puntos fijos F1 y F2 llamados focoses siempre igual a una constante positiva “2a”

GRÁFICAMENTE:

PF1 + PF2 = 2a

ELEMENTOS:

y : Directriz

LF : Eje focalLN : Eje normalC : CentroV1 y V2 : Vért

icesF1 y F2 : FocosLR : Lado recto



EE’ : Cuerda focalDD’ : DiámetroPF1 PF2 : Radio vector V1V2 : Eje mayor B1B2 : Eje menor F1F2 : Segmento focalRELACIONES FUNDAMENTALES

De la siguiente elipse:

Se cumplen las siguientes relaciones:

V1V2 = 2a B1B2 = 2b F1F2 = 2c

La relación entre: a, b y c es:

a2 = b2 + c2

EXCENTRICIDAD:Se representa por “e” y se define así:

como: c < a < 1

Luego:e < 1

LONGITUD DEL LADO RECTO

LR = L’R’ =

DISTANCIA ENTRE LAS RECTAS DIRECTRICES

DD’ =

ECUACIONES DE LA ELIPSE

Se clasifican en:

I. EJE FOCAL PARALELO EJE X

A la vez tiene tres formas:

A. Forma Canónica:

Es una elipse de centro en el origen y cuyo ejefocal coincide con el eje X.

Gráficamente:

su ecuación es:

B. Forma Ordinaria:

Es una elipse con centro en (h; k) y cuyo ejefocal es paralelo al eje “X”.

Gráficamente:



sus ecuaciones:

C. Forma General:Si desarrollamos la ecuación ordinaria:

Eliminando los denominadores, ordenandotérminos y haciendo cambio de variablesobtenemos:

AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0

siendo: A > 0 y C > 0además: D, E y F

NOTA:

Para obtener la ecuación de una elipse en suforma ordinaria, simplemente se completacuadrados a la forma general.

II. EJE FOCAL PARALELO EJE Y

A la vez tiene tres formas:

A. Forma Canónica:Es una elipse de centro en el origen y cuyoeje focal coincide con el eje Y.

Gráficamente:

su ecuación es:

B. Forma Ordinaria:Es una elipse con centro en (h; k) y cuyo eje

focal es paralelo al eje “Y”.



Gráficamente:

su ecuación es:

C. Forma General:Si desarrollamos la ecuación ordinaria:

Eliminando los denominadores ordenandotérminos y haciendo cambio de variablesobtenemos:

AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0

siendo: A > 0 y C > 0además: D, E y F

OBSERVACIÓN:Se observa que la ecuación de una elipse en su formageneral con eje focal paralelo al eje “X” y eje focalparalelo al eje “Y” son coincidentes en su escritura.

Si nos dan como dato la ecuación de una elipse en suforma general, tenemos que completar cuadradospara afirmar si su eje focal es paralelo al eje “X” o aleje “Y”.


01. Calcular la ecuación del lugar geométrico de los

puntos P(x; y) cuya suma de distancias a lospuntos (4; 2) y (-2; 2) sea igual a 8

A) B)

C) D)

E)

02. Calcular la ecuación de la elipse de centro (1; 2),

uno de los focos (6; 2) y que pase por el punto(4; 6)

A) B)

C) D)

E)



03. La ecuación de una elipse es 4x2+y2+8x-4y-4=0.Calcular las ecuaciones de sus directrices

A) x + 5 = 0 x - 3 = 0B) x + 1 = 0 x - 5 = 0C) x + 3 = 0 x - 5 = 0D) x + 4 = 0 x - 4 = 0E) y - 6 = 0 y + 2 = 0

04. Determinar la ecuación de una elipse con centroen el origen y eje mayor sobre el eje de abscisas,si se sabe que pasa por los puntos (4; 3) y (6; 2)

A) x2+y2=52 B) 4x2+y2=52 C) x2+4y2=52D) x2+13y2=52 E) 13x2+y2=52

05. Una elipse tiene sus vértices sobre los puntos (2;6) y (2; -2) si su lado recto mide 2, determine suexcentricidad

A) B) C)D) 1/2 E) 3/4

06. Determinar la ecuación de una elipse cuyosfocos y vértices coinciden con los focos yvértices de las parábolas:

P: y2+4x-12=0P: y2- 4x-12=0

A) 5x2+9y2=45 B) 8x2+5y2=40C) 5x2+8y2=40 D) 9x2+8y2=72E) 9x2+5y2=45

07. Si los focos de una elipse son los puntos (1; 2)y (1; 8) y uno de los extremos del eje menor estáen la recta y=3x-7, determinar la longitud de suslados rectos

A) B) C) 2

D) 3 E) 6

08. Hallar la ecuación de la recta tangente a la

elipse ã: x2 + 2y2 = 8, en el punto ( ; -1)

A) x-2y=8 B) x+2y=4

C) y-2x=8 D) y+2x=6

E) x-2y=4

09. El centro de una elipse es (1; -3), un foco es (1;9) y un extremo del eje menor es (-4; -3), hallar la ecuación de la elipse:

A) B)

C) D)

E)

10. Una represa de sección vertical semielípticatiene una profundidad máxima de 40 m y unancho de 100 m en la parte superior. ¿Qué

profundidad tiene la represa a una distancia de30 m de su centro?

A) 16 m B) 18 m C) 20 mD) 24 m E) 32 m

11. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focosestán situados en el eje de las abscisas y son

simétricos con respecto al origen decoordenadas, sabiendo además que:2c = 10 y 2b = 8

A) B)

C) D)

E)

12. Los extremos del eje conjugado de una hipérbolason los puntos (0; 3) y (0; -3) y la longitud decada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la

hipérbola A) y2 - 3x2 = 9 B) y2 - x2 = 9 C) x2 - y2 = 9 D) x2 - 3y2 = 9 E) 2y2 - 3x2 = 6

13. Los focos de una hipérbola coinciden con los

focos de la elipse:

Hallar la ecuación de la hipérbola, si suexcentricidad es e=2

A) B)

C) D)

E)

14. Se tiene una hipérbola con centro en (4; 2) y focoen (4; 6). Si se sabe que la longitud de su ladorecto es 6,4, determinar la longitud del ejeconjugado

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

15. Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices(0;24) y (0;-24) y la ecuación de sus asíntotas

son:

A) y2/496-x2/169=1 B) y2/496-x2/100=1

C) y2/496-x2/64=1 D) y2/496-x2/196=1E) y2/496-x2/186=1

16. Si la longitud del eje transverso y la excentricidadde una hipérbola, están en la relación de 18 a 3,calcular la distancia entre sus directrices

A) 5 B) 6 C) 8D) 9 E) 12



17. La ecuación de una hipérbola es4x2-9y2+16x-54y-101=0.

Calcular la longitud de su lado recto A) 2/3 B) 4/3 C) 32/3D) 8/3 E) 31/3

18. Una hipérbola con centro en (1; 4) tiene un foco

en (7; 4) y un vértice es (3; 4). Hallar suecuación A) 2x2-y2-4x-8y-16=0B) 2x2-y2-8x+6y-19=0C) 4x2-2y2-4x+y-20=0D) 6x2-4y2-48y-14x+21=0E) 8x2-y2-16x+8y-40=0

19. Hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que

su excentricidad es , un vértice (-5; -5) y

centro (-5; 1)

A) B)

C) D)

E)

20. Las asíntotas de una hipérbola son lasrectas x -3y+2=0 y x+3y+2=0, un vértice es (-5;0). Hallar la ecuación de la hipérbola

A) 9x2+y2+6y-4x+1=0B) 9y2-x2-8y-6x-11=0C) x2-9y2+4x-5=0D) 25x2-16y2-8x-10=0

E) 9x2

-y2

-2x+4y=0

TAREA

01. En una elipse de ecuación :5x2 + 9y2 - 30x + 18y + 9 = 0

hallar las coordenadas de su centro A) (1; -4) B) (3; -7) C) (3; -1)D) (4; -3) E) (1; -1)

02. Calcular el área del cuadrilátero que tiene dosvértices en los focos de la elipse:9x2 + 5y2 = 1, y los otros dos coinciden con losextremos de su eje menor

A) u2 B) u2 C) u2

D) u2 E) u2

03. Determinar n para que la recta y = 2x + n seatangente a la elipse

= 1

A) ± 1 B) ± 2 C) ± 3D) ± 4 E) ± 5

04. Determinar la excentricidad de la elipse; si su ejemenor se ve desde uno de los focos formandoun ángulo de 60°

A) B) C)

D) E)

05. El área de una región cuadrada, inscrita en unaelipse con ecuación :



; es :

A) B) C)

D) E)

06. En la figura mostrada determinar :

M =

donde : (bx)2 + (ay)2 = a2b2; a > bF1; F2 : focos de la elipse.

A) a B) 2a C) bD) 2b E) (a2 + b2)/c2

07. En una hipérbola cuya ecuación es :16x2 - 9y2 - 64x - 54y - 161 = 0

hallar las coordenadas de su centro A) (2; -1) B) (1; -3) C) (2; -3)D) (3; -4) E) (3; -6)

08. La ecuación de la hipérbola es :9x2 - 4y2 - 54x + 8y + 113 = 0

marcar lo incorrecto : A) Vértices : (3; 4); (3; -2)

B) Focos : (3; 1 + ); (3; 1 - )C) Longitud del eje transverso = 6D) Longitud del lado recto = 8/3

E) Excentricidad : /2

09. Determinar la ecuación de una hipérbola concentro en el origen, si su eje transverso está

sobre el eje X. Además su excentricidad esy contiene al punto (2; 1)

A) 2x2-y2=2 B) x2-2y2=2 C) 2x2-y2=1D) x2-y2=2 E) x2-2y2=1

10. Una hipérbola tiene su centro en el origen y pasapor el punto (-1; 2). Calcular su ecuación si lalongitud de cada lado recto es 2/3 y su ejeconjugado está sobre el eje x

A) y2-3x2=3 B) y2-3x2=1 C) 3y2-x2=1D) 3y2-x2=3 E) y2-x2=1

CÓNICAS : HIPÉRBOLA

I. DEFINICIÓN:

Es el lugar geométrico de todos los puntos delplano cuya diferencia de distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos del plano (llamados:focos) es constante



F1 y F2 son focos

II. ELEMENTOS:

() Centro: O() Focos: F1 y F2() Vértices: V1 y V2

() Asíntotas: L1 y L2() Directrices: D1 y D2

() Lado recto:

() Eje transverso:

() Eje conjungado:

III. RELACIONES FUNDAMENTALES:

() Eje transverso: V1 V2 = 2a() Eje conjugado: B1 B2 = 2b() Distancia focal: F1 F2 = 2c

() Excentricidad:

() Lado recto:

() Distancia entre directrices =

IV. ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLAIV.1. Con Centro (0; 0) y eje focal el eje X

Ecuación Canónica:

Con Centro (h; k) , eje focal paralelo aleje X

Ecuación Ordinaria:

IV.2 Con Centro (0; 0) y eje focal el eje Y

Ecuación Canónica:

Con Centro (h; k) y eje focal paralelo al eje Y

Ecuación Ordinaria:

IV.3. Ecuación General:



A y C son de signos opuestos y di ferentes decero

IV.4. Hipérbolas Conjugadas

Dos hipérbolas H1 y H2 son conjugadas cuando el ejetransverso de cada una es igual al eje conjugado de

la otra.En la ecuación de H1 es:

La ecuación de H2 es:

IV.5. Asíntotas de la HipérbolaSi la ecuación de la hipérbola es:

Las ecuaciones de las asíntotas se obtienenigualando a cero el primer miembro


01. Hallar la longitud del lado recto de la hipérbola:

A) 36 B) 36 C) 36 /5

D) 20/3 E) 40/3

02. Escribir la ecuación de la hipérbola cuyo centrosea el origen del sistema de coordenadasrectangulares, un vértice en (2;0) y su ejeconjugado de longitud igual a 6

A) B) C)

D) E)

03. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focosson (0;-2) y (0;2) además cada uno de los ladosrectos mide 6

A) x2-y2=1 B) x2-3y2=3 C) 2y2-x2=2

D) 3y2

-x2

=3 E) 3x2

-4y2

=12

04. Dada la hipérbola: 2x2-y2=3, ¿cuánto mide su ejetransverso?

A) B) 2 C)

D) 2 E) /2

05. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola equiláteracentrada en el origen, con vértice en (0;4)?

A) x2-y2=4 B) x2-y2=32 C) y2-x2=4



D) x2-y2=16 E) y2-x2=16

06. Escríbase la ecuación canónica de la hipérbolasi la distancia focal es igual a 10 y la hipérbolapasa por el punto (3;0)

A) 16x2-9y2=144 B) 9x2-16y2=144C) 3x2-4y2=30 D) 4x2-5y2=100

E) 16y2

-4x2

=35

07. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola si su centroes C:(1;1) y un foco con su vérticecorrespondiente son (7;1) y (5;1)?

A) 20(x-1)2-16(y-1)2=640B) 16(y-1)2-20(x+1)2=320C) 5(x-1)2-4(y-1)2=80D) 16(y-1)2-20(x-1)2=640E) 20(x-1)2-16(y-1)2=80

08. Determine la ecuación de la hipérbola de centro(2;1) cuyo eje transverso mide 10 y paralelo aleje X, además su excentricidad es 7/5

A) B)

C) D)

E)

09. Hallar el centro de la hipérbola:4y2-16x2-48x-4y+1=0

A) (-3/2; 1) B) (-3/2; 1/2) C) (-1/2; 3/2)D) (3/2; 1/2) E) (-3/2; 3/2)

10. Determine la longitud del lado recto de unahipérbola de excentricidad 2, si la distancia entresus directrices es 2.

A) 8 B) 9 C) 10D) 12 E) 15

11. Hallar la distancia de un foco de la hipérbola16x2 - 9y2 = 144 a una cualquiera de susasíntotas.

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 8

12. Las coordenadas de los focos de una hipérbola

son y y su

excentricidad es igual a . Determinar laecuación de la hipérbola

A) 4y2-4x2+8y+8x-1=0B) 2x2-2y2+4y+4x-1=0C) 4x2-4y2+8y-8x+1=0D) x2-y2-2x-y+1=0E) y2-x2-2x+y-1=0

13. Hallar las ecuaciones de las directrices de lahipérbola cuya ecuación es:

4x2 - 9y2 + 16x - 54y - 101 = 0

A) B)

C) D)

E)

14. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos

están en los vértices de la elipse: 11x

2

+7y

2

=77, ycuyos vértices son los focos de esta elipse

A) B) C)

D) E)

15. Hallar la ecuación de la hipérbola, si se conoce

su excentricidad ; el foco (0;13) y la

ecuación de la directriz correspondiente:13y - 144=0

A) B) C)

D) E)

16. Determinar la excentricidad de la hipérbola, si elsegmento comprendido entre sus vértices se vedesde los focos de la hipérbola conjugada bajoun ángulo de 60°

A) B) C)

D) E) 3

17. Calcular la pendiente de la recta tangente a lahipérbola:

9x2

-4y2

=36en el punto (2 ; 3)

A) B) 2 C) 3

D) E)

18. Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices(0;24) y (0;-24) y la ecuación de sus asíntotas



son:

A) B)

C) D)

E)

19. Calcular el área del triángulo formado por lasasíntotas de la hipérbola:

y la recta 9x + 2y - 24 = 0

A) 6 u2 B) 8 u2 C) 10 u2

D) 12 u2 E) 24 u2

20. Las asíntonas de una hipérbola son 2x-y-6 = 0 y2x+y-2 = 0. Si dicha curva pasa por (-11; 8),hallar su ecuación

A) 4(x-2)2 - (y+2)2 = 576B) 4(y+2)2 - (x-2)2 = 216C) 4(x+2)2 - (y-2)2 = 676D) 2(y-1)2 - (x-2)2 = 276E) 2(x-2)2 - (y+1)2 = 216

TAREA

01. Una hipérbola con centro en el origen tiene unvértice en el punto (-4; 0) y un foco en el punto(6; 0). Según esto, determine la longitud de sulado recto

A) 8 B) 9 C) 10D) 12 E) 16

02. La longitud del lado recto de una hipérbola es“m” y de su eje transverso es “n”. Hallar lalongitud del eje conjugado.

A) B) C)

D) E)

03. Hallar la ecuación de la hipérbola convértices en (2; 3), (2; 9) y pasa por (0; 0)

A) 4(x + 2)2 - 9(y + 6)2 = 36B) 4(y - 6)2 - 27(x - 2)2 = 36C) 9(x - 2)2 - 4(y + 6)2 = 36D) 4(y + 2)2 - 9(x + 6)2 = 36E) 4(x - 2)2 - 27(y - 6)2 = 36

04. Hallar la ecuación del lugar geométrico de unpunto que se mueve de manera que la diferencianumérica de sus distancias a (-3; 0) y (3; 0) essiempre 4

A) 5x2 - 4y2 = 20B) 5y2 - 4x2 = 20

C) 4y2 - 5x2 = 20D) 4x2 - 5y2 = 20E) 4x2 - y2 = 4

05. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focosson:(4; -2) y (4; 10), excentricidad = Tg260

A) 8y2 + x2 - 64y - 8x + 96 = 0B) y2 - x2 + 64y - 6x + 16 = 0

C) 8y2 - x2 + 8x - 64y + 80 = 0D) x2 - y2 - 64y + 6x + 16 = 0E) 32x2 - 4y2 - 16x + 8y - 19 = 0



06. La ecuación de una hipérbola es 4x2-y2+2y+3 = 0marcar lo incorrecto

A) Centro: (0; 1)B) Vértices: (0; 3) y (0; -1)

C) Focos: (0; 1+ ) y (0; 1- )

D) Excentricidad: /2

E) Lado recto: 207. Una hipérbola equilátera centrada en el origen

pasa por el punto (4; -1). Hallar la ecuación(posición canónica)

A) x2 - 2y2=14 B) x2 - y2=15 C) 2y2 - x2=14D) x2 - y2=14 E) x2 - 2y2=15

08. En cuántos puntos se intersectan la hipérbola

y la elipse

A) 0 B) 1 C) 2D) 4 E) 3

09. Las ecuaciones de las directrices de unahipérbola son 5x+1=0 y 5x+19=0. Si la

excentricidad es igual a , calcular la longitud

de sus lados rectos A) 32/3 B) 16/3 C) 8/3D) 16/5 E) 32/5

10. Hallar el área de un triángulo formado por lasasíntotas de la hipérbola

y la recta : 9x + 2y - 10 = 0

A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOSEN POSICIÓN NORMAL

01. Un ángulo trigonométrico está en posiciónnormal cuando su lado inicial pertenece alsemieje positivo de abscisas, su vértice coincide

con el origen de coordenadas y su lado finalpertenece a cualquier parte del plano.



En las figuras, á ; â y è están en posiciónnormal; observa además que á IIIC y â IIC.¿A qué cuadrante pertenece è?

02. Ángulos cuadrantalesSon aquellos ángulos que ubicados en posiciónnormal su lado final pertenece a alguno de los

semiejes coordenados.

Al conjunto de todos los ángulos cuadrantales seles representa así: {90° k; k Z} o

03. Ubicación de un ángulo

Si è es un ángulo positivos y menor de unavuelta se cumple:

è IC 0° < è < 90°è IIC 90° < è < 180°è IIIC 180° < è < 270°è IVC 270° < è < 360°

è IC 0 rad < è < rad

è IIC rad < è < ð rad

è IIIC ð rad < è < rad

è IVC rad < è < 2ð rad

() Sea á un ángulo en posición normal y P unpunto de su lado final; x es la abscisa de P e y esla ordenada de P.

() Radio vector (r) es la distancia de P al origen decoordenadas

() Seno: Sená =

Coseno: Cosá =

Tangente: Tgá = (x 0)

Cotangente: Ctgá = (y 0)

Secante: Secá = (x 0)

Cosecante: Cscá = (y 0)

05. Signos de las razones trigonométricas:



Sen 100° es +Cos 200° .........Tg300° .........Sená > 0 y Cosá < 0 á IICTgá < 0 y Secá > 0 .........

Cosá = y Sená > 0 .........

06. Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales.

0° 90° 180° 270° 360° Sen0° = Cos 180° =

Sen 0 1 0 -1 0 Sen90° = Cos270° =

Cos 1 0 -1 0 1 Senð = Cos =

Tg 0 N 0 N 0 Sen = Cos0 =

Ctg N 0 N 0 N Sen(kð) = ............; k Z

Sec 1 N -1 N 1 Cos(kð) = ............; k Z

Csc N 1 N -1 N Tg(kð) = ............; k Z

() N: significa: no existe

07. Ángulos coterminalesSon aquellos ángulos trigonométricos queubicados en posición normal tienen los mismoselementos (lado inicial, lado final y vértice)

En la figura adjunta á y è son ánguloscoterminales.

7.1 Propiedades7.1.1 Si á y è son ángulos coterminales su

diferencia es un número entero de vueltas.

á - è = n(360°), n Z

á - è = n(2ð rad); n Z

7.1.2 Si á y è son ángulos coterminales las R.T. (á)son respectivamente iguales a las R.T. (è)


01. Si: (-2; ) es un punto que pertenece al ladofinal de un ángulo en posición normal “è”, calcular

“k”

A) - B) C) -

D) E)

02. Hallar el signo de: E=Tgè+Ctgè - Cosè

si: A) + B) - C) + ó -

D) + y - E) No se puede determinar

03. Si P(a; ) es un punto de lado final de unángulo en posición normal “è”, calcular (a0);

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

04. Según el gráfico mostrado, calcular: Secè+Cscè



A) B) 2 C) -

D) -2 E) 1

05. Siendo el área del triángulo AOB es igual a 7 u2,calcular : Ctgè+CtgÖ

A) 1/3 B) 1/6 C) 5/6D) 2/3 E) 13/6

06. Calcular: Ctgá (P: Centro)

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

07. De la figura calcular:E=7Tgè+15Secè

si: c(7; 24) es el centro de la circunferencia deradio 15

A) 7 B) 15 C) 20

D) 24 E) 25

08. Siendo “è” positivo y menor que una vuelta;determine el signo de:

A) (-) B) (+) C) (±)D) 0 E) N.A.

09. Del gráfico calcular : Secá Cscâ

A) -2/5 B) 5/2 C) -5D) -5/2 E) 2/5

10. Si |Tgè|+Tgè=0

y :

calcular la medida del ángulo “è” A) ð/6 B) 5ð/6 C) 7ð/6

D) ð/2 E) 11ð/611. Siendo Cosè<0 y además :

hallar el valor de : Cscè+CtgèNota : Considere ð=22/7

A) 1/3 B) 1/7 C) 2D) 1/4 E) 1/2

12. Hallar el valor de : Sen nð+Cos nð+Tg nð(n Z)

A) 1 B) -1 C) -1n

D) (-1)n E) 0

13. Dos ángulos coterminales en posición normalestán en la relación de 13 a 1, la diferenciade ellos es mayor que 1 200°, pero menor que1 500°. Hallar el mayor ángulo

A) 1 560° B) 120° C) 1 440°D) 1 000° E) 500°

14. Si: Sená=



calcular : E=Tgá+Tgè+Tg(á-è)

A) 3,5 B) 3,75 C) -3,5D) -3,75 E) 4,5

15. Determinar si es verdadero (V) o falso (F) :( ) Todo ángulo en posición estándar

perteneciente al IC es positivo.( ) La mitad de todo ángulo perteneciente al IC

también pertenece al IC.

( ) Un ángulo que mide rad pertenece al IIC.

( ) 180° + á, pertenece al IIIC. A) FFFF B) VVFF C) VFVFD) FVFV E) FVVV

16. Si :2530°< á < 2610° y -1530° < è < -1440°determinar a qué cuadrante pertenecen á y è

A) I y IV B) I y III C) II y IIID) II y IV E) III y IV

17. Sabiendo que:

|Senè| = y Tgè < 0

calcular : 7Senè + 3Cosè

A) -2 B) -3 C) -5D) 4 E) 6

18. Marcar lo incorrecto (n Z)

A) Sen(4n + 1)

B) Cos(2nð) = 1C) Tg(nð) = 0

D) Ctg(2n + 1)

E) Sec(2n + 1) ð = 1

19. Si ak = Sen , calcular:

A) -2 B) 2 C) 1D) -1 E) 0

20. Calcule el valor de Tgè + TgÖ

A) -3/4 B) -5/4 C) -3/2

D) -7/4 E) -9/4

TAREA

01. Si : Cosá = 0,25; 270° < á < 360°, calcular:

P =

A) -4 B) -2 C) 3

D) 4 E)



02. Determinar el valor de verdad:( ) Todo ángulo del IC es positivo.

( ) Si Cosè = - 1 è IC è IVC( ) Si á es negativo Sená es negativo

A) VVV B) FVF C) VFVD) VVF E) FFV

03. En la figura AO = OB. G es el baricentro deltriángulo ABC. Calcular :

A) -3/2 B) -1/3 C) - /3

D) -2/3 E) /4

04. Si á es un ángulo positivo y menor que una vueltadel IIC, determinar el signo de :

M = Sen Sen y

N = Sen2áCos

A) +; + B) +; - C) -; -D) -; + E) ±; -

05. Del gráfico adjunto hallar :E = Ctgè - Tgè

A) /3 B) /4 C) /6

D) 2 /3 E) /2

06. Marcar lo incorrecto (k Z):

A) Sen(4k-1) = -1 B) Cos(2k+1)ð = -1

C) Sec(kð) = 1 D) Csc(4k +3) = -1

E) Tg(2kð) = 0

07. Sea á = 1° + 2° + 3° + .... + n°, n Z. Si á es unángulo en posición normal menor de una vuelta,calcular el mayor valor entero de á pertenecienteal IIC.

A) 156° B) 162° C) 171°D) 136° E) 144°

08. Calcular la media aritmética de todos los ángulospositivos coterminales con 230° y menores de 10 000°

A) 5270° B) 5630° C) 4910°D) 5990° E) 4550°

09. Dada la igualdad = Sená donde “è” no

pertenece al II o IV cuadrante. Calcule el valor de:E = Sen2

á + Cos2è

A) 1/3 B) 1 C) 5/6D) 2/5 E) 2



10. En la figura mostrada Tgá = 2/3. Determinar :

E = Sec2è - Tgè

A) 3/2 B) 7/4 C) 9/4D) 11/4 E) 13/4

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Consiste en relacionar las razones trigonométricas deángulos en posición estándar con las razonestrigonométricas de ángulos agudos (ángulos quepertenecen al primer cuadrante).Veremos los siguientes casos:

I. REDUCCIÓN PARA ÁNGULOS POSITIVOSMENORES QUE UNA VUELTA

A)

R.T.(90°±á) = ±CO - RT(á)

R.T.(270°±á) = ±CO - RT(á)

NOTA: El signo ± depende enque cuadrante se encuentra el

ángulo que queremos reducir

Reducir al primer cuadrante

- Sen110° = Sen(90° + ........) = ..........- Cos260° = Cos(270° - .......) = ..........- Tg320° = Tg(270° + .........) = ...........

- Sen

- Sec

- Tg(270° + á) = .............

B)

R.T.(180°±á) = ±RT(á)

R.T.(360°±á) = ±RT(á)

NOTA: El signo ± depende en que cuadrante seencuentra el ángulo que queremos reducir.

Reducir al primer cuadrante- Sen110° = Sen(180° - ........) = ........- Cos260° = Cos(180° + ........) = .......- Tg320° = Tg(360° - .........) = ..........

- Sen(2ð - á) = ................- Tg(ð + á) = ................- Sec(ð - á) = ..............

II. REDUCCIÓN PARA ÁNGULOS POSITIVOSMAYORES DE UNA VUELTAEn estos casos se divide la variable angular entre360° para finalmente tomar en cuenta el residuo.Ejemplo explicativo:



- Reducir al primer cuadrante Tg1240°

Tg1240° = Tg160°Tg1240° = Tg(180° - 20°)Tg1240° = ....................

- Reducir al primer cuadrante Sen4442°

Tg4442° = Tg122°Tg4442° = Tg(90° + .........)Tg4442° = ..................

; k ZR.T. (k vueltas + è) = R.T (è)

III. REDUCCIÓN PARA ÁNGULOS NEGATIVOS

Sen(-è) = -Senè

Cos(-è) = Cosè

Tg(-è) = -Tgè

Ctg(-è) = -Ctgè

Sec(-è) = Secè

Csc(-è) = Cscè

Ejemplo:- Sen(-40°) = .................- Tg(-80°) = ................- Sec(-10°) = ...............- Sen(-200°) = ...............


01. Si:

hallar “m” A) 11 B) 13 C) 1/7D) -7 E) -13

02. Según la figura:

calcular el valor de:

A) -1 B) -2 C) 1D) 2 E) 1/2

03. Sabiendo que: Ctg260°=khallar Cos350°

A) B) C)

D) E) -

04. Reducir la expresión:



A) B) C) -

D) - E)

05. Sabiendo que:Sen2x+1 2|Senx|

además: 180° < x < 360°el valor de Sen(x+30°)+Sen(x - 30°) es:

A) B) - C)

D) - E) Hay 2 respuestas

06. Siendo “x” y “z” medidas de ánguloscomplementarios.Reducir la expresión :

A) 2 B) 0 C) -2D) Tgx E) Tgz

07. Del gráfico calcular

E= Cscè - Ctgè

A) 1 B) -1 C) 7D) -7 E) 5

08. Reducir al tercer cuadrante Tg2 480° A) Tg210° B) -Tg190° C) Tg220°D) -Tg240° E) -Tg220°

09. Hallar:

para á=ð/3

A) -2 B) -4 C) 6

D) -8 E) 2

10. Hallar Tgè

A) 3a/b B) b/3a C) -b/3aD) -3a/b E) a/b

11. De la figura mostrada calcule :2Tgá - 21Ctgá

A) -1 B) 1 C) 11D) 0 E) -11

12. Del gráfico mostrado :

calcular : Tgè+Ctgè A) 5/2 B) -5/2 C) 3/2D) -3/2 E) -1/2

13. Decir verdadero (V) o falso (F) :( ) Tg190°=Tg10°( ) Sen2753°=Sen53°( ) Cos5349°=Cos51°

( ) Cos57 =Cos

A) FFVV B) VFVF C) VVVVD) FVVV E) VFVV

14. Calcular el valor de :

n Z A) -1 B) 1 C) 1/2D) -2 E) 0



15. Si : Tg11°= m, hallar : Csc(-1339°)

A) B) - C)

D) - E) 2

16. Calcular el valor de la siguiente expresión:

A) /2 B) /3 C) /4

D) /5 E) /6

17. Reducir :

A) 0 B) 2 C) 4D) -2 E) -4

18. Hallar á, sabiendo que está en el tercer cuadrante, es positivo mayor que una vuelta peromenor que dos vueltas y que :

Cosá = -Senð/13 A) 40 ð/13 B) 89 ð/26 C) 91 ð/26D) 41 ð/13 E) 14 ð/13

19. Del gráfico calcular 3Sec2è - Tgè

A) 15 B) 13 C) 11D) 9 E) 7

20. Calcule la suma de los valores de “n” en lassiguientes igualdades :

Tg = n2 + 9n + 4

Ctg = 2n2 + 3n + 9

A) 1 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

TAREA

01. Simplificar:

A) Ctgx B) -Tgx C) TgxD) -Ctgx E) -1

02. Si: Tg = , calcular el valor de:

R =

A) B) - C)

D) - E) -



03. A partir del gráfico simplificar:

A =

A) -1 B) 3 C) 2D) 1 E) -2

04. Del gráfico calcular: Tgè

A) B) - C)

D) - E) -

05. Simplificar:

A =

A) -1 B) 1 C) 2D) 0 E) -2

06. Simplificar:

E =

A) 1 B) -1 C) Tg10°D) Ctg10° E) -Tg10°

07. Si x + y = ð, calcular:

A =

A) 5 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

08. De la figura calcular el valor de:Tgá + Tgâ

A) B) C)

D) E) -

09. Si n Z y:

E =entonces:

A) E = 1 B) E = -1 C) E = (-1)n

D) E = (-1)n+1 E) E = 0

10. Siendo: a + b + c = 270°, reducir:

E =

A) Cosa B) -Cosa C) Cos(b+c)D) -Cos(b+c) E) Cosc

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA:



LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS

OBJETIVODefinir y representar las razones trigonométricas, nosólo de ángulos agudos sino también se podrá hablar de las razones trigonométricas de cualquier número

real mediante las llamadas líneas trigonométricas.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICAEs aquella circunferencia cuyo centro coincide con elorigen de coordenadas rectangulares y cuyo radio esigual a la unidad, razón por la cual se le denominatambién circunferencia unitaria

La ecuación de la circunferencia trigonométrica es:

Para un mejor entendimiento de las definicionesposteriores se enuncian las siguientesdenominaciones a los puntos

A(1; 0) Como origen de arcosB(0; 1) Como origen de complementos

A'(-1; 0) Como origen de suplementosB'(0; -1) Sin nombre especialP1 P2 Extremo de arco

ARCO EN POSICIÓN ESTÁNDAREs aquel arco cuyo extremo inicial es el origen dearcos de la C.T. y su extremo final cualquier puntosobre la C.T. (es aquel que indica el cuadrante al cualpertenece dicho arco).

El ángulo central correspondiente a un arco enposición estándar tiene una medida en radianes quees igual a la medida del arco en unidades lineales.

“è” y “á” son arcos en posición estándar talesque:è es (+) è ICá es (-) á IIIC

OBSERVACIÓN:

Del gráfico estos extremos de arcos servirán comoreferencia para ubicar aproximadamente otros arcosen la C.T.

EjemploUbique gráficamente en la circunferenciatrigonométrica los extremos de arcos (en posiciónestándar)

; 4; -1

Para que los arcos se encuentren en posición

estándar en la C.T, éstos tendrán su posición inicialen el punto A(1; 0)



RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS ENPOSICIÓN ESTÁNDAR

Son numéricamente iguales a las razonestrigonométricas de su respectivo ángulo central en laC.T.

IMPORTANTE:De la definición se tiene que:

Cálculo de las R.T.

Ejemplo:

OBSERVACIÓN:

Las coordenadas de “P” son (x0; y0), luego se tendrá:

COORDENADAS DEL EXTREMO DE ARCO



COORDENADAS OPUESTAS

COORDENADAS ORTOGONALES

LÍNEAS TRIGONOMÉTRICASSon segmentos de rectas dirigidas, los cuales nosrepresentan en la circunferencia trigonométrica, el valor numérico de una razón trigonométrica de un ángulo onúmero.

REPRESENTACIÓN DE SENO, COSENO,TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE YCOSECANTE DE UN ARCO EN LA C.T.

REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA SENO.- El seno de

un arco viene a ser la ordenada trazada de su extremode arco.

RANGO DE VALORES

è

REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA COSENO: Elcoseno de un arco es la abscisa trazada, de su extremodel arco.

è

REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA TANGENTE: Latangente de un arco, es la ordenada del punto deintersección entre la recta tangente que pasa por elorigen de arcos y la prolongación del radio o diámetro

que pasa por el extremo del arco.



RANGO DE VALORES

è - / n Z

REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA COTANGENTE.-La cotangente de un arco es la abscisa del punto deintersección entre la recta tangente que pasa por elorigen de complementos y la prolongación del radio odiámetro que pasa por el extremo del arco.

RANGO DE VALORES

è - {nð}/ n Z

REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA SECANTE.- Lasecante de un arco es la abscisa del punto deintersección entre la línea tangente que pasa por elextremo del arco y el eje “X”



è - / n Z

REPRESENTACIÓN DE LA LÍNEA COSECANTE.- Lacosecante de un arco es la ordenada del punto deintersección entre la línea tangente que pasa por elextremo del arco y el eje “Y”.

P; Q y R: puntos de tangencia

è - (nð) / n Z


01. Hallar el signo de las expresiones:Sen2; Cos3; Tg5

A) (+); (-); (-) B) (+); (+); (+)

C) (+); (-); (+) D) (+); (+); (-) E) (-); (-); (-)

02. Si las coordenadas de P y Q son (5/13; m)y (-24/25; n) respectivamente, calcular :

Ctgè + 2Tgá

A) 1 B) 7/12 C) 13/25D) 3/2 E) 3/5

03. Del gráfico mostrado, la expresión :



aTgè+bCscè+1equivale a :

A) 1 B) Senè C) CosèD) -Senè E) -Cosè

04. Calcular la suma de los valores enteros de “n” enla igualdad, si è II cuadrante y además:

4Cosè = n - 3 A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

05. En la C.T. mostrada calcular las coordenadas delpunto “P”

A) (Cosá; -Sená) B) (-Sená; Cosá)C) (-Cosá; -Sená) D) (-Sená; -Cosá)E) (Sená; Cosá)

06. En la C.T. mostrada calcular :Tgè + Tgá + Secá

A) 0 B) -1 C) 1D) 1/2 E) -1/2

07. Si :calcular : Sená + Cosè + TgÖ

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

08. En un triángulo rectángulo ABC (m A=90) “C”menor ángulo. Dar la extensión de “m”, si 3m -

SenC = 4

A) ]4/3; 1[ B) ]2/3; 2[ C) ]4/3; 5/3[D) ]1/3; 4/3[ E) ]2/3; 4/3[

09. Dar la extensión de è en el intervalo [0; 2ð] si:

A) ]ð/3; ð/2[ ]3 ð/4; 5 ð/6[B) ]ð/6; ð/4[ ]3 ð/4; 5 ð/6[C) ]ð/2; 3 ð/2[D) ]0; ð/4[E) ]ð/2; 2ð[

10. Hallar el área de la región sombreada

A) 0,5(1 - Cosá) B) -0,5(1 - Cosá)C) 0,5(1 - Sená) D) -0,5(1 - Sená)E) 0,5SenáCosá

11. ¿Cuál es el área de la región sombreada ?

A) B) C)

D) E)

12. En la C.T. calcular el área de la región triangular

BPT



A) B) C)

D) - E)

13. Ordenar en forma creciente:

Tg1; Sec2; Csc3; Ctg4; Sen5 A) Sen5; Sec2; Ctg4; Tg1; Csc3B) Tg1; Sec2; Csc3; Ctg4; Sen5C) Sec2; Sen5; Tg1; Ctg4; Csc3D) Sec2; Sen5; Ctg4; Tg1; Csc3E) Sen5; Sec2; Ctg4; Csc3; Tg1

14. En una circunferencia trigonométrica si :3ð/2 < á < â < 2ð, determinar la veracidad (V) ofalsedad (F) de :( ) |Secá| < |Secâ|( ) Sená > Senâ( ) |Ctgá| < |Ctgâ|

A) FVF B) VFV C) FFF

D) VVV E) FFV

15. Si: 1+Tgâ=Sen2á, indicar entre que valores se

encuentra “â” para que la igualdad anterior secumpla:

A) B)

C) D)

E) [3ð/4; ð]

16. Si : è < á < â < 2ð y Sená - |Secâ| = 0, calcularel valor de la expresión :

K=Cos2á+Cos

A) 2 B) 1 C) 0D) -2 E) -1

17. Si: Tgè ]0; [, è ]0; 2ð[, determinar lavariación de :

E =

A) ]-1; 0[ ]3; 6[ B) ]-1; 1[ ]5; 7[C) ]-4; 2[ ]5; 7[ D) ]3; 4[ ]6; 7[E) ]-2; 1[ ]4; 6[

18. Hallar el mínimo valor que: puede tomar tomar “a” para que se cumpla la igualdad:

; si: 3 ð/2 á 2ð

A) B) 2 C) 2 -

D) 2+ E) 1+

19. Si: Tg2è=3Cosâ. Hallar la extensión de:

f(è)=2|Cosè|+1

A) [1; 3] B) [1; 2] C) [2; 3]

D) [2 +1; 3] E) [ ; 2]



20. Del gráfico calcular “x1x2" y en qué intervalo seencuentra “á”

A) ; á ]ð/6; ð/3[ B) ; á ]ð/2; 2ð/3[

C) ; á ]ð/6; ð/3[ D) ; á ]ð/2; 2ð/3[

E) ; á ]5ð/6; 4ð/3[

TAREA

01. Señale V o F en :( ) Sen2 > Sen3( ) Sen3 > Sen4( ) Sen4 > Sen5

A) VFV B) VFF C) VVVD) FVV E) FVF

02. Dar la extensión de Cosâ, si â [135°; 210°]

A) ]-1; /2] B) [-1; 0[ C) ]-1;- /2[

D) [-1; - /2[ E) [-1; - /2]

03. Si : y è IIIC, ¿entre qué límites

está “a”?

A) ]-1; 0[ B) ]-1/2; 1[ C) ]-1; 1[D) ]-1; 1/2[ E) ]-1/2; 1/3[

04. Calcular PR, si Senè =

A) 5/7 B) 13/7 C) 1D) 11/7 E) 9/7

05. Si se cumple la igualdad :

2 + =donde è IIIC, calcular: 3Ctgè + 2Cscx

A) -2 B) 6 C) 4D) -4 E) 3

06. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, “A”es el menor ángulo

si : 2TgA+x = 3indique el intervalo de x

A) ]1; 2[ B) ]1; 3[ C) ]1; 4[D) ]2; 3[ E) ]2; 4[

07. Ordenar en forma decreciente :a=Sen1; b=|Cos3|; c=Sec2; d=Tg1

A) a; b; c; d B) c; b; a; d C) c; a; b; dD) d; a; b; c E) d; b; a; c

08. Si : 0 < á < è < 2ð, además : Cosè+Cscá=0

hallar :

A) -1 B) 2 C) 1

D) 1,5 E) 2,5

09. Hallar el área de la región sombreada en la C.T.mostrada



A) (Senè + Cosè)(Cosè + Senè - 1)

B) (Cosè - Senè)(Cosè + Senè - 1)

C) (Cosè - Senè)(Cosè - Senè + 1)

D) (Cosè - Senè)(Cosè - Senè - 1)

E) (Cosè + Senè)(Cosè - Senè + 1)

10. Si ð < á1 < á2 < á3 < 3 ð/2señale lo incorrecto:

A) Tgá1 < Tgá2< Tgá3B) Sená1 > Sená2 > Sená3C) |Cosá1| > |Cosá2| > |Cosá3|D) Ctgá1 > Ctgá2 > Ctgá3E) Hay una incorrecta

LÍNEAS AUXILIARES

LÍNEA VERSOSegmento horizontal (dirigido) cuyo extremo inicialcoincide con el extremo inicial de la línea seno y suextremo final es el origen de arcos.

QA = Versá PA = VersÖNA = Versè MA = Versâ

Observa de la figura:

Conclusión:

ANÁLISIS DE LA LÍNEA VERSO

0 ð 2ð

Vers 0 1 2 1 0



LÍNEA COVERSOSegmento vertical (dirigido) cuyo extremo inicialcoincide con el extremo inicial de la línea coseno y suextremo final es el origen de complementos.

FB=Cová GB=CovâHB=CovÖ IB=Covè


Conclusión:

ANÁLISIS DE LA LÍNEA COVERSO

0 ð 2ð

Cov 1 0 1 2 1

LÍNEA EXSECANTESegmento horizontal (dirigido) cuyo extremo inicial es

el origen de arcos y su extremo final coincide con elextremo final de la línea secante.

AM=Exsecá AN=Exsecè AG=ExsecÖ AF=Exsecâ


Conclusión:

ANÁLISIS DE LA LÍNEA EXSECANTE

0 ð 2ð

Exsec 0 0 -2 2 0

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

CONCEPTO:Son aquellas igualdades donde intervienen funcionestrigonométricas de una cierta variable, las mismas quese verifican para todo valor admisible de dicha variable.

I D E N T I D A D E S T R I G O N O M É T R I C A SFUNDAMENTALES(n Z)

1. IDENTIDADES RECÍPROCAS (n Z)

2. IDENTIDADES POR COCIENTE



3. IDENTIDADES PITAGÓRICAS

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES

Sen4x + Cos4x = 1- 2Sen2x.Cos2x

Sen6x + Cos6x = 1-3Sen2x.Cos2x

Tgx+ Ctgx = Secx.Cscx

Sec2x + Csc2x = Sec2x.Csc2x

(1±Senx ± Cosx)2 = 2(1 ± Senx) (1 ± Cosx)

;

PROBLEMAS RESUELTOS

01. Simplificar:

Resolución:

A seno y coseno:

02. Simplificar:K = Tg3

á (1-Ctg6á) + Ctg3

á (1-Tg6á)

Resolución:Efectuando:

03. Si: Tgè+Ctgè = 3calcular: M = Tg3

è + Ctg3è

Resolución:M = (Tgè+Ctgè) (Tg2

è +Ctg2è - 1)

M = (Tgè+Ctgè) ((Tgè+Ctgè)2 - 3)M = (3) ((3)2 - 3) = 18

04. Si: Sen2è + Sen2

á =

calcular:Cos2è.Cos2

á - Sen2è.Sen2

á

Resolución:

M = (1-Sen2è)(1-Sen2

á) - Sen2è.Sen2

á

M = 1 -(Sen2è+Sen2

á) M = 1 -(1/8) = 7/8

05. Sabiendo que: 3SenÖ+4CosÖ=5calcular: E = 3CscÖ + 4SecÖ

Resolución :

Del dato: 3SenÖ+4CosÖ=5 se deduce:

entonces: SenÖ= y CosÖ=

luego: E =

06. Sabiendo que:

, calcular: Sec2è+Csc2

è

Resolución: Aplicando identidades auxiliares se deduce:

se pide:

Sec2è + Csc2

è = Sec2è.Csc2

è =



07. Eliminar “è”: Senè+Cosè = mSenè-Cosè = n

Resolución:Elevando al cuadrado y sumando miembro amiembro(Senè+Cosè)2 + (Senè-Cosè)2 = m2+n2

2(Sen2è+Cos

2è) = m

2

+n2

m2+n2 = 2

08. Eliminar â de: Sec2â+Csc2

â=aTgâ-Ctgâ = b

Resolución:Elevando al cuadrado:(Tgâ-Ctgâ)2 = b2

Tg2â + Ctg2

â - 2 = b2

Sec2â - 1 + Csc2

â - 1 - 2 = b2

a = b

2

+4 a-4=b

2


01. Calcular:

A) 3 B) 2 C) 1

D) -1 E) -2

02. Si Cová = 0,4, calcular el mayor valor de: Versá

A) 0,2 B) 0,6 C) 1,6D) 1,8 E) 1,4

03. Para qué valores de “á” la relación:

ExSecè = 0,25(2á - 5)no existe

A) [-15;2> B) [-1,5;2,5> C) <-1,5;2,5]D) <-1,5;2,5> E) [-1,5;2,5]

04. De los intervalos dados, en cuál de ellos se cumple:Cová > Versá

A) ]ð/4;3ð/4[ B) ]ð/4;5ð/4[ C) ]3ð/4;5ð/4[D) ]-3ð/4;ð/4[ E) ]-ð/4;3ð/4[

05. Calcular: OQ.PA

A) OA B) AQ C) OPD) TQ E) PT

06. Calcular AT en términos de è

A) Senè-Versè B) Cosè+Covè C) Senè+VersèD) Covè-Cosè E) Versè+Covè

07. De la figura hallar “r”



A) B) C)

D) E)

08. Si se cumple: 2 < á < â < 3analizar la verdad (V) o falsedad (F) de lassigientes proposiciones:( ) Versá > Versâ( ) Cová < Covâ( ) ExSec(á/2) < ExSec(â/2)

A) VVV B) FVF C) VFFD) FVF E) FVV

09. Si: |x| 4, calcular la suma del máximo y mínimovalor de:

A) 0,5 B) 1,0 C) 1,5D) 2,0 E) 2,5

10. Calcular el área de la región sombreada en funciónde è

A) B) C)

D) E)

11. Simplificar :R = CtgxCosx - Cscx(1 - 2Sen2x)

A) Senx B) Cosx C) TgxD) Ctgx E) Secx

12. Simplificar :

A) Tgx B) Ctgx C) SecxD) Cscx E) Cosx

13. Simplificar :

A) 2Sen2x B) -2Sen2x C) 2Cos2x

D) -2Cos2x E) -2Sec2x

14. Simplificar la expresión :

A) Sen2x B) Sen4x C) Cos4xD) Tg6x E) Sen6x




A) Cscx B) Secx C) TgxD) Cosx E) Senx

16. Reducir :

A) 0 B) -1 C) -2D) 1 E) 2

17. Simplificar la expresión:

se obtiene: A) 1/4 B) 1/2 C) 1D) 2 E) 4

18. Simplificar

P = 4(Sen

6

x + Cos

6

x) - 3(Cos

4

x - Sen

4

x)

2

A) Sen x B) Cosx C) 1D) 2 E) 4


A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) SenèCosè

20. Simplificar:

A) Sec2x B) Csc2x C) Ctg2xD) Tg2x E) 1

TAREA

01. ¿Para qué valores de L no es posible la igualdad?

A) [-8;8> B) <-8;8> C) <-8;4> - {0}D) <-8;8> - {0} E) [-8;8] - {0}

02. Hallar los valores de “x” que pertenecen a:<ð; 3ð/2> ; si:2Ctgx = 2 - Versè

A) <ð/4;3ð/2] - {ð} B) <5ð/4;3ð/2]

C) [5ð/4;3ð/2> D) <ð;3ð/2]

E) [ð;3ð/2]

03. De la C.T., hallar:



A) Cová B) C) Versá

D) E)

04. Calcular:E = Sen(á + 2â) + Sen(2á + â)

si:|Cová| + |1+ExSecâ| = 1

A) 2 B) -1 C) 0D) 1 E) -2

05. Hallar QP (Q: Punto de tangencia)

A) B) Covè(2 - Covè)

C) D)

E)

06. Marcar lo incorrecto: A) Sen220° + Cos2200° = 1B) 1 + Tg240° = Sec2400°C) 1 + Ctg230° = Csc2300°D) Cos50°Csc500° = 1E) Tg60°Ctg600° = 1

07. Simplificar la siguiente expresión:

A) 1 -Cosá B) 1-Cscá C) Secá.CscáD) Cosá+1 E) Cscá+1

08. Reducir la expresión:Secx+Tg3xCscx(2+Ctg2x)

A) 2Sen3x B) 2Cos3x C) 2Tg3xD) 2Ctg3x E) 2Sec3x

09. Simplificar :

A) 2Tgè B) 2Ctgè C) 2SenèD) 2Cosè E) 2Cscè

10. Simplificar:

A) B)

C) D)

E)

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

01. Simplificar:

A) Sen2x B) Cos2x C) Tg2xD) Ctg2x E) Sec2x

02. Simplificar:

A) 2Tgè B) 2Ctgè C) 2SenèD) 2Cosè E) 2Cscè

03. Reducir la expresión:Secx + Tg3xCscx(2 + Ctg2x)

A) 2Sen3x B) 2Cos3x C) 2Tg3xD) 2Ctg3x E) 2Sec3x

04. Hallar la extensión de la función:F(x) = (Ctgx + 1)Tgx + 2Cosx - Tgx

A) ]-1;3[ - {1} B) [-1;3] C) [-1;3[ - {1}D) ]-1;3[ E) ]-1;3[ - {0}

05. Si:Tgá + Secâ = 2Tgâ + Secá = 3



hallar:2Tgá + 3Tgâ

A) 5 B) 11/2 C) 6D) 13/2 E) 7

06. Si: Senx + Sen2x - 1 = 0calcular:

N = Cos4x + Cos2x + Senx

A) 1 B) C) 2

D) 2 E) 407. Si:

Tgá + Ctgá = 4calcular:

N = Tg3á - Ctg3

á

siendo:

A) -15 B) -30 C) -25

D) -24 E) -12

08. Si: è , simplificar:

A) B) 1/2 C) /2

D) - /2 E) -

09. Si: Cosx - Ctgx = 1, calcular:P = Cosx + Tgx

A) B) -1 C) 2

D) 2+ E) -

10. Si:

calcular:

A) 1/4 B) 0 C) 3D) 2 E) -5/4

11. Sabiendo que è ]-ð/4;ð/4[ simplificar:

A) -2Senè B) 2Senè C) -2Cosè

D) 2Cosè E) 012. Si:

calcular:

A) 1 + b2 B) 1 - b2 C)

D) 1 + b E)

13. Si: Secx - Senx = 1

calcular:

A) 0,5 B) 0 C) 1

D) -1 E) 214. Si:

calcular:(Sen2x-SenèCosè)(Cos2x+SenèCosè)(Sec2

è+Csc2è)

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6

15. Eliminar è de:(x - 2)Senè = Cosè(y + 2)Cosè = Senè

A) (x+2)(y-2) = 1 B) (x+2)(y+2) = 1C) (x-2)(y+2) = 1 D) (x+y)(x+2) = 1E) xy = 2



16. Eliminar á de:

A) x + y = 2a + b B) x + y = a + 2bC) x + y = 2a - b D) x - y = 2b - aE) x + y = a - b

17. Eliminar á a partir de:Tgá + Ctgá = x

Secá + Cscá = y A) x2 + y2 = 2xy B) x2 - y2 = 2xyC) y2 + 2y = x2 D) x2 + y2 = x + yE) x2 + 2x = y2

18. Eliminar è de las ecuaciones:a - bTgè = bCtgèaTgè + b = aCtgè

A) a4 + b2 = 4a2 - b4 B) a2 + b2 = 4abC) a4 - b4 = 4a2 + b2 D) a4 - b4 = 4a2b2

E) a4 - b4 = 4ab

19. Eliminar “è” de las ecuaciones dadas:aSenè + bCosè = + 1

aCosè - bSenè = - 1 A) a + b = 2 B) a - b = 2 C) (a + b)2 = 2D) (a - b)2 = 2 E) a2 + b2 = 2

20. Eliminar “á” en las ecuaciones dadas:

Senè - Cosè =Secè + Cscè = b

A) b2(1 + a)2 = 4(2 - a) B) b2(1 + a)2 = 4(2 + a)C) b2(1 - a)2 = 4(2 + a) D) b2(1 - a)2 = 4(2 - a)E) b2(1 + a2)2 = 4(2 - a2)

TAREA

01. Dado: ; encontrar el equivalente de

la expresión:

K = (1 + Senx - Cosx)

A) B) C)

D) E)

02. Si:

calcular:

A) (a + b) B) (a + b)-1 C) (a + b)2

D) (a + b)-2 E) (a + b)-3

03. Sabiendo que: 3Cosá + Sená = 1calcular:

A) 2 B) 2/3 C) 3D) 1/3 E) 4/3

04. Si: Cscè + Ctgè =

calcular:Cscè(1 + Sen2

è) - Tgè(Cosè + Ctg2è)

A) -8 B) -6 C) -9D) 0 E) 4

05. Si: è , simplificar:

A) Tgè B) Senè.Cosè C) Secè.CscèD) Ctgè E) -Senè.Cosè

06. Dar la extensión de la expresión “p”, si:



A) 1/2 < p < 2 B) 3/2 p 3 C) 1/2 p < 2D) 3/2 < p < 3 E) 1/2 p 2

07. Dada la expresión:2Sec2

è - Sec2á = 1

calcular el valor de:E = (2 - Sen2

á)(1 + Sen2è)

A) 1 B) -2 C) 0D) -1 E) 2

08. Eliminar è a partir de:a = Ctgè + Cosèb = Ctgè - Cosè

A) 4ab = (a2 - b2)2 B) 8ab = (a2 - b2)2

C) 2ab = (a2 - b2)2 D) 16ab = (a2 - b2)2

E) 8ab = (a2 + b2)2

09. Eliminar è:Senè + Cosè = m

Tgè + Ctgè = n A) n + 2 = m2n B) m + 2 = mn2

C) m2 + n2 = 2 D) m2 - n2 = 2E) mn - 2n = m2

10. Eliminar “è” de las ecuaciones:Tgè + Ctgè = a3

Secè - Cosè = b3 A) a2b2(a2 + b2) = 1 B) ab(a2 + b2) = 1C) a2b2(a2 - b2) = 1 D) ab(a2 - b2) = 1E) ab = a2 - b2

IDENTIDADES DE ÁNGULOS COMPUESTOS -PROPIEDADES

PARA TRES ÁNGULOS1. SENO DE UNA SUMA O DIFERENCIA

Sen(x ± y) = SenxCosy ± CosxSeny

2. COSENO DE UNA SUMA O DIFERENCIA

Cos(x ± y) = CosxCosy SenxSeny

3. TANGENTE DE UNA SUMA O DIFERENCIA

Ejercicios ilustrativos

A. Calcular Sen75°Sen75° = Sen(45° + 30°) desarrollandoSen75° = Sen45°Cos30° + Cos45°Sen30°

Sen75°= Sen75°=

B. Calcular Cos16°

Cos16° = Cos(53° - 37°)Cos16° = Cos53°Cos37° + Sen53°Sen37°

Cos16° = Cos16° =

C. Calcular Tg8°Tg8° = Tg(45° - 37°)

Tg8°= Tg8°=

En general :



IDENTIDADES ADICIONALES

Cos(x + y) . Cos(x - y) = Cos2x - Sen2y

Tgx ± Tgy ± Tg(x ±y)TgxTgy = Tg(x ±y)

CASO PARTICULAR

x ± y =

Tgx ± Tgy ± TgxTgy = 1

PROPIEDAD

a ; b , x es una variable real

aSenx ± bCosx = Sen(x ± è)Donde :

Senè = Cosè =

Ejercicios de aplicación :

Senx + Cosx = 2Sen(x + 60°)

Senx + Cosx = Sen(x + 45°)

PROPIEDAD

F(x) = aSenx ± bCosx x

Tal que :

- F(x)

Siendo :

F(x)max =

F(x)min = -

Ejemplo :

-5 3Senx ± 4Cosx 5

- Senx + Cosx

-2 2Senx ± Cosx

Senx ± Cosx

IDENTIDAD PARA TRES VARIABLESSen(x+y+z)=Cosx.Cosy.Cosz(Tgx+Tgy+Tgz-Tgx.Tgy.Tgz)



Cos(x+y+z)=Cosx.Cosy.Cosz(1-Tgx.Tgy-Tgy.Tgz-Tgx.Tgy)

Tg(x+y+z)=

PROPIEDAD

1. Si : x + y + z = (2k + 1) ; k Z

se cumple : Tgx . Tgy + Tgy . Tgz + Tgx . Tgz = 1 Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx . Ctgy . Ctgz

2. Si : x + y + z = kð; k Z

se cumple : Tgx + Tgy + Tgz = Tgx . Tgy . Tgz Ctgx . Ctgy + Ctgy . Ctgz + Ctgx . Ctgz = 1


01. Calcule el valor de:

A) 1 B) 2 C) -1D) -2 E) 1

02. Calcular:

A) 1 B) C) 3/4

D) 2 E) /3

03. La expresión:

E = 2Sen50° - Cos70°equivale a:

A) Sen20° B) Cos20° C) Tg20°D) 2Sen20° E) 2Cos20°

04. Si:

calcular: Tg(a + c) A) 1/4 B) 1/2 C) 1D) 0 E) 1/3

05. Calcule “Tg(x-y)”, si se tiene que Tg(x+y) = 2 yademás se cumple:

Tg

2

x - Tg

2

y + 3Tg

2

xTg

2

y = 3 A) 1 B) 2/3 C) 3/2D) 5/3 E) 3/5

06. Del gráfico mostrado calcule Tgè

A) 1 B) 2/3 C) 3/2D) 3/4 E) 4/3

07. Simplificar:

A) 2 - 2 B) 2 + 2 C) 2

D) 2 E) 2 /3

08. En la figura mostrada calcule Tgè

A) 3/10 B) 5/11 C) 7/10D) 9/7 E) 11/10



09. Determine la extensión de “A + B” si se tiene que:

A =

B =

A) [-1/2;1/2] B) [-1;1] C) [- ; ]D) [- /2; /2] E) [-2;2]


A) Tg2x B) Tg3x C) Tg5xD) Tg7x E) Tg8x

11. Calcule el valor de: “Cos(x-y)”sabiendo que:

Senx + Seny + Senz = 0

Cosx + Cosy + Cosz = 0 A) -1 B) 1/2 C) 0D) -1/2 E) 1

12. En la figura mostrada calcular “x”

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

13. Si se cumple que:

calcular: K = Ctga + Ctgc - 2Ctgb A) 1 B) 2 C) -1D) 0 E) 1/2

14. Determine el máximo valor para Tgè en la figura:

A) 5/6 B) 5/13 C) 5/12D) 5/7 E) 5/9

15. En un triángulo ABC:

hallar: Tg2 A . TgB . TgC A) 25/8 B) 13/4 C) 27/4D) 14/4 E) 29/4



16. Siendo A, B y C, los ángulos de un triángulo, en elcual se cumple que sus tangentes son tres númerosconsecutivos y además A > B > C, calcular:

A) 1/3 B) 1/4 C) 3/4D) 4/3 E) 2/5

17. Calcular:

donde A, B y C son los ángulos internos de untriángulo ABC

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

18. Siendo A + B + C = ð y además:

calcule el valor de: S = 3TgC + 4TgB

A) 1 B) 3 C) 5D) 7 E) 9

19. Si: á + è + Ö = 180° y además 2Tgá = Tgè + TgÖcalcular:

A) -1/2 B) 1/2 C) 1/4D) -1/4 E) 1/3

20. De la figura encontrar el valor máximo de Tgè

A) /3 B) /6 C) /6

D) /12 E) 3/4

TAREA

01. Dada la igualdad:2Sen(á + è) = 3Sen(á - è)calcule el valor de:

S = Ctgè(2Tgá + 3Tgè) A) 7 B) 9 C) 11D) 13 E) 15

02. Calcule el valor de:S = 4Tg40°(Tg70° - Tg50° - Tg20°)

A) 5 B) 4 C) 3

D) 2 E) 103. Hallar el máximo valor de Tgx



A) 1/2 B) 3/4 C) 4/3

D) /2 E) /3

04. Calcular el valor de Tg2è si:

A) 1/8 B) 1/4 C) 1/2D) 1 E) -1/4

05. Hallar la suma de los “n” primeros términos de:Tgx.Tg2x + Tg2xTg3x + Tg3x.Tg4x + .......

A) Tg(n + 1)xTgx + 1 + nB) Tg(n + 1)xCtgx + 1 + nC) Tg(n + 1)xTgx - 1 - nD) Tg(n + 1)xCtgx - 1 - nE) Tg(n + 1)xCtgx - 1 + n

06. Calcular F(7) si:F(x) = xSenx° + Cosx°

A) ( - 1) B) ( + 1) C) ( - 1)

D) ( + 1) E) 7

07. Si:Sen(á + â) = mCosèCos(á + â) = nSenè

hallar: Sen(á + â + è)

A) B) C)

D) E)

08. En un triángulo ABC, se tiene que:2SenA = 3SenBCosC

calcule el valor de:S = (TgB + TgC)(2CtgB + CtgC)

A) 1 B) 2 C) 4D) 5 E) 6

09. En un triángulo ABC, calcular el valor de:

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

10. Si se cumple que:Tg3á + Tg3â + Tg3Ö = Tg3áTg3âTg3Ö

y á + â + Ö <ð; 3ð/2>calcular: Tg(2á + 2â + 2Ö)

A) - B) C) - /3

D) /3 E) 0

IDENTIDADES DEL ÁNGULO DOBLE

IDENTIDADES DEL ÁNGULO DOBLE

Sabemos:

Sen(A + B) = SenACosB + SenBCosACos(A + B) = CosACosB - SenASenB

Tg(A + B) =

Haciendo que: A = B = x

Sen(x + x) = SenxCosx + SenxCosx

Sen2x = 2SenxCosx

Cos(x + x) = CosxCosx - SenxSenx

Cos2x = Cos2x - Sen2x

Tg(x + x) =

Tg2x =

Resumiendo:

* Sen2x = 2SenxCosx



* Cos2x =

* Tg2x =

PROPIEDADES

1. SenxCosx

Min Max

2. Fórmulas de degradación

2Sen2x = 1 - Cos2x

2Cos2x = 1 + Cos2x

3. Sen4x + Cos4x = + Cos4x

Sen6x + Cos6x = + Cos4x

4. Triángulo del ángulo doble

Sen2x =

Cos2x =

5. Sec2x + 1 =

Sec2x - 1 = Tg2xTgx

6. Tgx + Ctgx = 2Csc2xCtgx - Tgx = 2Ctg2x



A) 2Tg10° B) 2 C) 2Tg35°D) 2Tg20° E) 2Tg70°

02. Si: (Sen11° + Cos11°)2 - 2Sen211° = nhallar: Cos46°

A) n2 B) n2 - 1 C) 2n

D) 1 - n2

E) 1 + n2

03. Si se cumple que:

Tg2x - Tgx + 1 = 0 0 < x <

calcular Csc4x

A) 3/2 B) 13/12 C) /2

D) /3 E) 5/4



04. Calcular “m” en la igualdad:

A) 1/4 B) 1/3 C) 3/4D) 4/3 E) 2/3

05. Simplificar:

A) 2 B) 2Ctg2á C) 2Csc2áD) 2Tg2á E) 2Sec2á

06. Si:Sen(è + 45°) = 1/3

calcular: Cos2è

A) B) C) ±

D) E)

07. Sabiendo que:Tgá + Ctgá = 8

calcular:Sen2á + Cos4á

A) 9/8 B) 7/8 C) 3/4D) 1/4 E) 5/4

08. Determinar la diferencia entre los valores máximoy mínimo de la expresión:

S = 16Sen2x + Cos4x A) 12 B) 14 C) 16D) 18 E) 20

09. En la figura calcule Tg2è

A) 1/3 B) 2/3 C) 3/2D) 1/2 E) 1

10. Simplificar:

si: ð/4 < è < ð/2 A) 2Senè B) -2Senè C) ±2SenèD) 2Cosè E) -2Cosè

11. Resolver la ecuación:x2Sen2a - 2(Sena + Cosa)x + 2 = 0

A) Seca; Csca B) Sena; Cosa C) Tga; CtgaD) Cosa; Seca E) Sena; Csca

12. Si ABCD es un rombo, calcule Cos2á

A) 7/16 B) 1/2 C) 14/15D) 7/8 E) 2/7

13. La gráfica de la función:F(x) = Sen6x + Cos6x intercepta a la recta: y = 1/4en los puntos, cuyas abscisas son de la forma: (n Z)

A) B) (4n+1) C) (2n+1)

D) 2nð E) (4n+1)

14. Calcular el rango de la función:F(x) = 3Sen2x + 5SenxCosx - 9Cos2x - 1

A) [-25/2;1/2] B) [-8/5;13/2] C) [-21/2;5/2]D) [-10;2] E) [-2;5/2]

15. Calcular Cos2x de:

Cosè = Cosx + Cos3x

Senè = Senx - Sen3x A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4D) 1/6 E) 1/8

16. Simplificar:(2Cosá-1)(2Cosá+1)(2Cos2á-1)(2Cos4á-1)(2Cos8á-

1) A) 8Cos32á + 1 B) 4Cos4á - 1 C) 4Cos16á - 1D) 4Cos2á - 1 E) 2Cos16á + 1

17. Hallar “x” en la figura mostrada:

A) 14 B) 13 C) 12D) 11 E) 10

18. Hallar el valor de K para que R seaindependiente de è

R = Sen6è + Cos6

è - KCos4è

A) 1/4 B) 3/8 C) -3/8D) -1/4 E) -1/8



19. Simplificar:Cosx.Cos2x.Cos4x......... “n” factores

A) Sen2nx/2nSenxB) Sen2nx/4nSenxC) Sen4nx/4nSenxD) Sen2nx/SenxE) Sen6nx/6nSenx

20. Expresar:7Sen4

è + Cos4è

en forma lineal A) 3 - 3Cos2è + Cos4èB) 3 + 3Cos2è + Cos4èC) 3 - 3Cos2è - Cos4èD) 3 + 3Cos2è - Cos4èE) -3 - 3Cos2è - Cos4è

TAREA

01. Si se tiene que: Sec2á - Sec2

â = 4calcule el valor de:

A) 1 B) 2 C) 4D) -2 E) -4

02. Dada la igualdad:

Cos4x + 4Cos2x = Cos Sen4x - 3

calcule el valor de:

A) -3 B) -5 C) -7D) -1/5 E) -1/7

03. Calcular el valor de la expresión:

M = Sec20° - Csc20° A) -4 B) -3 C) 0D) 3 E) 4

04. Hallar “n” si:

A) n = 1 B) n = 2 C) n = 3D) n = 4 E) n = 5

05. Si se verifica:

hallar Cos4è A) 1/2 B) -1/2 C) 1D) -1/5 E) 1/3

06. Siendo Sená y Senâ raíces de la ecuación4x2 + 3x - 1 = 0,

calcular el valor de:Cos2á + Cos2â A) 0 B) 1/8 C) -1/8D) 11/8 E) -11/8

07. Si se tiene que:

Senx + Cosx = 3/2calcular el valor de:

M = Sen2x - Cos2x A) -1 B) -1/2 C) 1/4D) 1/2 E) 1

08. Simplificar:

A) -Tgè B) -3Tgè C) -2CtgèD) 3Tgè E) -2Tgè

09. Hallar el rango de la función:

A) [ -1; +1] B) [ -1; +1]

C) [- +1; -1] D) [- +1; -1]

E) [- -1; -1]

10. Calcular:

si se cumple: = a

A) a - 2n B) a + n C) a + 2nD) a - n E) n - a

IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD - TRIPLE

IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD Por degradación:



2Sen2 = 1 - Cosx

2Cos2 = 1 + Cosx

Despejando:

Sen =

Cos =

Tg =

NOTA:El signo + o - va a depender del cuadrante del ángulo

FÓRMULAS RACIONALIZADAS

Tg = Cscx - Ctgx =

Ctg = Cscx - Ctgx =

Ejemplo:Calcular Sen22°30'

Resolución:

Sen22°30' = Sen

Sen22°30'=

Sen22°30' = =

Sen22°30' =

PROPIEDAD

*

*

IDENTIDADES DEL ÁNGULO TRIPLE

Sabemos : Sen(A + B) = SenACosB + SenBCosA

Sea : A = 2x; B = x reemplazando :

Sen(2x + x) = Sen2xCosx + SenxCos2x

Sen3x = 2SenxCosx.Cosx + Senx(1 - 2Sen2x)

Sen3x = 2Senx(1 -Sen2x) + Senx(1 -2Sen2x)

Reduciendo :

Sen3x = 3Senx - 4Sen3x

En forma análoga :

Cos3x = 4Cos3x - 3Cosx

Tg3x =

FÓRMULAS ESPECIALES

Sen3x = Sen(2Cos2x + 1)

Cos3x = Cosx(2Cos2x - 1)

Tg3x =

Ejemplo : Si Sen2x = Cos3x



donde : 0° < x < 90°, calcular : Senx

Resolución :

2SenxCosx = Cosx(2Cos2x - 1) 2Senx = 2(1 - 2Sen2x) - 1 4Sen2x - 2Senx - 1 = 0

Resolviendo : Senx =

por s complementarios

2x + 3x = 90° x = 18° Sen18° =

PROPIEDADES

1. SenxSen(60° - x)Sen(60° + x) =

CosxCos(60° -x) Cos(60° + x) =

TgxTg(60° - x)Tg(60° + x) = Tg3x

2. Tgx + Tg(x - 120°) + Tg(x + 120°) = 3Tg3x

PROBLEMAS PROPUESTOS01. Si: 90° < x < 180°

y Cos2x = 49/81, calcular el valor de Cos

A) -4/7 B) -3/7 C) 1/3D) 3/7 E) 4/7

02. Si se tiene que è III cuadrante y además:

Tgè = , calcule el valor de:

E = 1 +

A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1

03. Si se tiene que: Cscx = 3 + Ctgx, calcule un valor de:

Tg

A) -2 B) +4 C) -1

D) +2 E) 2 +3

04. Reducir la expresión:S = Tgx + Csc(1 - Secx)

A) Tgx B) Ctg(x/2) C) CtgxD) Tg(x/2) E) Sen2x

05. Reducir la expresión:E = 2Csc20° + Csc40° + Csc80° - Ctg20°

A) Tg20° B) Tg10° C) Ctg20°D) Ctg10° E) Csc10°


A) Sen2x B) Cos2x C) Tg2xD) Sec2x E) Csc2x

07. Simplificar:



A) 1 B) -1 C) CscxD) Secx E) Cosx

08. Simplificar la expresión:E = Cosx(Tgx/2 + 2Csc2x.[1-Cosx])

A) Senx B) Cosx C) TgxD) Sen2x E) Cos2x


A) Senx B) Cosx C) TgxD) Secx E) Cscx


M = Secx - Tg

A) -Senx B) -Cosx C) -TgxD) -Ctgx E) -Secx

11. Determine la sumatoria de los “n” primerostérminos de la serie:

M = Cscx + Csc2x + Csc4x + ........

A) Ctg - Ctg2nx B) Ctg - Ctg2n+1x

C) Ctg - Ctg2n-1x D) Ctg + Ctg2nx

E) Ctg + Ctg2n+1x

12. Encontrar las raíces de la ecuación:x2 - 2xCscè + 1 = 0

A) Tg ; Ctg B) Csc ; Ctg

C) 2Csc ; 2Ctg D) Csc ; 2Csc

E) Sec ; Csc

13. Calcular el valor de:

A) B)

C) D)

E)

14. Si:F(x) = (4Cos24x - 3)Sen7xCos7x

hallar: F(5) A) 1 B) 1/2 C) 1/4D) 1/8 E) 1/16

15. Hallar el mayor valor de x si:

A) n B) 2n C) 3nD) n/3 E) n/2

16. Si: Cosx - Senx = 2/3calcular: Sen3x

A) 21/27 B) 20/27 C) 3/8D) 23/27 E) 7/17

17. Calcule el valor de:E = Sen35°Sen55°(1 - 4Sen220°)

A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4

D) /2 E) 3/4



18. Del gráfico mostrado calcule “x”

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

19. Calcule Cos2x de la igualdad:

A) 1/3 B) 1/2 C) 2/3D) 3/4 E) 3/7

20. Del gráfico mostrado calcule “27h”

A) 184 B) 164 C) 124D) 154 E) 144

TAREA

01. Simplificar:

A) B) C) 2Ctg

D) Ctg E)

02. Si se cumple que: Csc2x = Cosx + Ctg2xcalcular: E = (1 + Cos2x)(3 + Cos2x)

A) +1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

03. Si:CscA + CscB + CscC = CtgA + CtgB + CtgC

hallar:

A) 1 B) 2 C) 3D) 1/2 E) 1/3

04. Si se tiene que: 2ð < x < 3ð, reducir la expresión:

A) - Senx B) - Cosx C) - /2Senx

D) - /2Cosx E) Senx/2

05. Determine “TgèTgÖ” si se t iene que:2SenèSen2èTg(Ö - è) = Sen3è

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

06. Dada la igualdad:

calcule el valor de: E = 2 + a Tg20° A) +1 B) +3 C) +5D) +7 E) +9

07. Calcule el mínimo valor positivo de:

A) 2 /3 B) /3 C) 4 /3

D) 5 /3 E) 2

08. Calcular “m”: Ctg18° = mCtg36°

A) B) C)

D) E) 1



09. Hallar el valor de m, para que la siguiente igualdad:

sea una identidad

A) /8 B) /4 C) 3 /2

D) 3 /4 E) 2 /3

10. Calcular el valor de “á”

A) 10° B) 15° C) 20°D) 25° E) 30°

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO Para transformar a producto una expresión se deberátener la suma o diferencia de senos o cosenos, conángulos ordenados de mayor a menor.Los ángulos resultantes en el producto serán lasemisuma y la semidiferencia de los ángulos iniciales.No necesariamente A > B, sólo interesa su orden.

Fórmula :

Aplicaciones :

DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA

Este caso consiste en el desdoblamiento del producto.Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán ladiferencia y la suma de los ángulos iniciales.No necesariamente x > y, sólo interesa su orden.

Fórmula :

2Senx.Cosy = Sen(x + y) + Sen(x - y)

2Cosx.Cosy = Cos(x + y) + Cos(x - y)

2Senx.Seny = Cos(x - y) + Cos(x + y)

Aplicaciones :




01. Transformar a producto:S = Cos22è - Sen23è

A) CosèCos2è B) Cos2èCos3èC) Cos3èCos4è D) CosèCos5èE) Cos2èCos5è

02. Simplificar:

A) Tg10° B) Tg20° C) Tg35°D) Ctg35° E) Tg30°

03. Si:Sen38° + Sen12° = m - nCos38° + Cos12° = m + n

calcular: Ctg65°

A) B) C)

D) E)

04. Hallar “K”:KSen40° = Sec40° + Sec100°

A) 2 B) -2 C) 1

D) 4 E) -4

05. Transformar a producto:E = 1 + Cos2x + Cos4x + Cos6x

A) 4CosxCos2xCos3xB) 4CosxSen2xCos3xC) 4SenxSen2xSen3xD) 4CosxCos2xCos4x

E) 4CosxCos2xSen3x


A) Tgx B) Tg2x C) Tg3xD) Tg4x E) Tg5x

07. Eliminar “x” de la relación:

A) a(a - b) = b(a + b)B) a(a + b) = b(a - b)C) a(a + c) = b(b - a)D) a(a - c) = b(b - a)E) a(a + c) = b(b + a)

08. Transformar a producto: A = 2Cos40° + 2Cos20° + 1

A) Sen50°Sec10° B) Sen50°Sec20°C) Sen40°Sec10° D) Sen50°Csc10°

E) Sen50°Csc20°

09. Transformar a producto:M = 4CosxCos3x + 1

A) Sen5xSecx B) Sen5xCscx C) Cos5xSecxD) Cos5xCscx E) SecxCos7x

10. Si se tiene que:

Cosx = Cos5x + 2Sen4xcalcule el valor de:

M = Sen5x + Senx - 2Cos4x A) 1 B) -2 C) 0D) -1 E) 2

11. Determine el valor agudo de “è” para que severifique la igualdad:

1 + Tg20°Tg2è = 4Cos40° A) 20° B) 40° C) 60°D) 80° E) 50°


A) 2 B) 4 C)

D) /2 E) /4

13. En un Ä ABC, reducir:

A) B) C)

D) E)

14. Calcule la suma de los “n” primeros términos de:S = SenxCosx + Sen2xCos4x + Sen3xCos9x + ....

A) Senn(n+1)x B) Cosn(n+1)x

C) Senn(n-1)x D) Cosn(n-1)x

E) Senn(n-1)



15. Si se tiene que a + b + c = ð y además:

calcule el valor de Cos2a A) -1/2 B) -1/8 C) 3/4D) 1/8 E) 1/2

16. Calcular:Sen2x + Sen22x + Sen23x + ..... + Sen2nx

para:

A) n+2 B) C)

D) n E) (n+1)2

17. Simplificar:

A) Tg B) Ctg C) Tg

D) Ctg E) Tg

18. Hallar:

A) n B) n/4 C) n/2D) 2n E) 4n


A) Ctgn B) Tgn C) Ctg

D) Tg E) Tg

20. Si: A = Sen1° + Sen2° + Sen3° + ... + Sen180°B = Cos1° + Cos2° + Cos3° + ... + Cos180°

calcular: A.B A) Tg(1/2)° B) -1/2 C) -Ctg(1/2)°D) 1 E) -1

TAREA

01. Hallar el valor de:

A) -3/2 B) 15/4 C) 7D) 15/2 E) -15

02. Si: Tg(á + è) + Tg(á - è) = 2

calcular:

A) 1 B) -1 C) 1/2

D) -1/2 E) 2

03. Transformar en otra equivalente:

A) 0,25(Sec3è - Secè) B) 0,25(Secè - Sec3è)C) 0,25(Sec2è + Secè) D) 0,25(Secè - Secè)E) 0,25(Sec4è - Sec2è)

04. Hallar x en:



siendo x agudo

A) 45° B) 15° C) 30°D) 60° E) 40°

05. En un triángulo ABC se cumple:

2SenBSenC = SenACtg

se trata de un triángulo:

A) Equilátero B) Rectángulo C) IsóscelesD) Acutángulo E) Obtusángulo

06. Si se tiene que: , calcular el valor de:

E = (Cosè - Cos5è)(Cos2è - Cos3è)(Cos4è - Cos6è)

A) /4 B) /8 C) /16

D) /2 E)


E = Ctg20° - 4Cos20° A) 1 B) 2 C) 3

D) E) 1/2

08. Eliminar x e y de las igualdadesSenx + Seny = aCosx + Cosy = bSen(x+y) = c - 1

A) a2 + b2 = 2abc B) a2 + c2 = 2abcC) b2 + c2 = 2abc D) a2 + b2 + c2 = 2abc

E) abc = a + b + c

09. Si se cumple que:CosáCos2áCos3á = 1/4

calcule el valor de:

A) 1/2 B) -1/4 C) 1D) 1/4 E) -1/2

10. En un triángulo ABC transforman a producto laexpresión:

Sen2A + Sen2B - Sen2C A) 4SenASenBSenCB) 4CosACosBSenCC) 4SenASenBSenCD) 4CosACosBCosCE) 4SenACosBSenC

S E R I E S T R I G O N O M É T R I C A S Y F U N C I O N E STRIGONOMÉTRICAS

SERIES TRIGONOMÉTRICASSe llama serie a toda sumatoria de senos o cosenos conángulos en progresión aritmética; siendo las principalesseries las siguientes :

1. Serie de Senos :S = Senx1 + Senx2 + .......... + Senxn

2. Serie de CosenosS = Cosx1 + Cosx2 + .......... + Cosxn

donde :n : Número de términosr : Razónx1 : 1er ánguloxn : Último ángulo

3. Serie especial de Cosenos



PRODUCTOS ESPECIALES

Aplicaciones

1. Simplificar la serie :S = Senx + Sen3x + Sen5x + Sen7x + Sen9x

S =

S = Sen25xCscx

2. Simplificar la serie :

S = Cosx + Cos3x + Cos5x + Cos7x + Cos9x

S =

S = Sen10x.Cscx

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE VARIABLEREAL

Una función trigonométrica es aquella función donde suspares ordenados son de la forma (x; y) tal que y = F.T(x)(regla de correspondencia)

Es decir :

F = {(x; y) / x ; y ; y = F.T(x)}

Ejemplo : Si : y = Senx

DOMINIO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Es el conjunto que tiene como elementos a los valores dela variable “x” (en radianes), de tal manera que la funciónexista.

Ejemplos : Hallar el dominio de las siguientes funciones:

i. y = Senxii. y = Ctgxiii. y = Secx - Cscx

Resolución :i. y = Senx

Ubicamos los “x” en C.T.Se observa que existe losSenx x DomF = o también - < x < +

ii. y = Ctgx

Sabemos que y = es fracción existe si el

denominador :

es decir x nð / n Z DomF = - nð / n Z

iii. y = Secx - Cscx

Sabemos que y = esta función existe si

Cosx 0 Senx 0

es decir : x ; ...........; x 0;ð; 2ð; ...........



Ordenando : x 0; ; .............. ....

x 0 ; ; ............. x / n Z

DomF = - / n Z

A continuación se indica el dominio de las funcionestrigonométricas elementales:

1) y = Senx Dominio : o - < x < +2) y = Cosx Dominio : o - < x < +

3) y = Tgx Dominio : - (2n + 1) / n Z

4) y = Ctgx Dominio : - nð / n Z

5) y = Secx Dominio : - (2n + 1) / n Z

6) y = Cscx Dominio : - nð / n Z

RANGO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICAEs el conjunto que tiene como elementos a los valores dela variable “y” tal que y = F.T(x)

NOTA : Los criterios que se tiene para calcular el rangode una función trigonométrica es dependiendode la forma y tomando en cuenta los criterios delas funciones reales.

Ejemplos : Hallar el rango de las siguientes funciones :

i. y = Senxii. y = 2Senx + 3

iii. y = 3Senx + 4Cosx + 1

Resolución :i) y = Senx

Sabemos que la extensión de : -1 Senx 1 ; x -1 y 1 RanF = [-1; 1]

ii) y = 2Senx + 3Se sabe que : -1 Senx 1 x Formando la función : -2 2Senx 2

1 2Senx + 3 5 1 y 5 RanF = [1; 5]

iii) y = 3Senx + 4Cosx

Se sabe que :

- ; x

Propiedad de ángulos compuestos

-5 3Senx + 4Cosx 5 -4 3Senx + 4Cosx + 1 6 -4 y 6 RanF = [-4; 6]

En el cuadro adjunto se muestra el rango de algunasfunciones elementales:

Si n es par positivo

0

Sennx

10 Cosnx 10 Tgnx < +0 Ctgnx < +1 Secnx < +1 Cscnx < +

Si n es impar positivo

-1

Sennx

1-1 Cosnx 1- < Tgnx < +- < Ctgnx < +

Secnx -1 Secnx 1Cscnx -1 Cscnx 1





= Sen2x + Sen4x + Sen6x + ...+ Sen20x A) Sen11xSen10xCscx B) Sen11xSen10xSecxC) Sen12xSen9xCscx D) Sen12xSen9xSecx

E) Sen13xSen11xCscx

02. Calcular :

4 ;

A) -Sec B) -Csc C) -Tg

D) -Ctg E)

03. Calcular :

S =

A) B) C)

D) D)

04. Calcular la suma de los “n” primeros términossabiendo que “n” es impar

A) B)

C) D)

E)

05. Calcular :

A) 3/4 B) 3/8 C) 3/16D) 6/7 E) 8/7

06. Calcular el dominio de

F(x) =

A) B) C)

D) E)

07. Calcular el dominio de :

G(x) = ; n Æ

A) B) C)

D) E)

08. Calcular el dominio :

H(x) = ; k Æ

A) B)

C) D)

E)

09. Determinar el dominio :

F(x) = ; n Æ

A) B)

C) D)

E)

10. Determinar el dominio:

F(x) = ; k Æ

A) B)



C) D)

E)

11. Si H(x) =

determinar el valor de verdad:

( ) DomH :( ) RanH : [ -2 ; 2 ]

( ) a

A) VVV B) VFV C) VVFD) FVF E) FFV

12. Dada la función :

G(x) =determinar su dominio.( k Æ )

A) B) C)

D) E)

13. Determinar el dominio de G :

G(x) = ; n Æ

A)

B)

C)

D)

E)

14. Si H =

F(x) =

¿cuáles son los elementos de la función H que nopertenecen al dominio de F?.

A) B)

C) D)

E)



15. Sabiendo que el dominio de la función F es [-2;2],hallar su rango : F(x) =

A) [ -1; 1 ] B) [ -2; 1 ] C) [ -1; 2 ]D) [ -2; 2 ] E) [ -4; 4 ]

16. Hallar el rango de :

F(x) =

A) B) C)

D) E)

17. Determinar el rango de :

F(x) =

A) B) C)

D) E)

18. Hallar el rango de la función :

G(x) =

A) B) C)D) E)

19. Si , determinar el rango de la función F

definida por la regla :F(x) =

A) B) C)D) E)

20. Determinar el rango de F:

F(x) =

A) B) C)D) E)

TAREA

01. Calcular la suma de los “n” primeros términos de lasiguiente serie:

S =

A) B) C)

D) E)



02. Sabiendo que , calcular :

A) B) C)

D) E)

03. Calcular :

R =

A) B) C)

D) E)

04. Determinar si es verdadero (V) o falso (F):

( ) Si F(x) = RanF =[-1; 1]( ) Si G(x) = SenxCosx RanG =

( ) Si H(x) = Senx - Cosx RanH =

A) VVV B) VVF C) FFVD) FVF E) VFV

05. Si H(x) = ,determinar su dominio. ( k Æ )

A) B)

C) D)

E)

06. Determinar el dominio de :

G(x) = ; k Æ

A) B)

C) D)

E)

07. Si G(x) = ,determinar el rango de G.

A) [ -1; + B) [ -2; + C) [ 2; + D) [1; + E) [ -1; 2

08. Hallar el rango de G :

G(x) =

A) [ 0; 2 B) 0 ;2 C) [ 0 ;2 ]D) [ -1; 2 ] E) 0 ;2 ]

09. Determinar el rango :

G(x) =

A) -; 0 B) 0 ; + C) [ 0 ; + D) -1; 0 E) - ; 0 ]

10. Si x , determinar el rango de la

función : F(x) =

A) [ -1; + B) - ; 1 ] C) [ 1; + D) - ; -1 E) [ -1; 1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE VARIABLE REAL

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA



Es el conjunto de todos los puntos (x; y) ubicados en el plano cartesiano tal que : y = F.T(x)

Ejemplo : Graficar : y = Senx

Realizamos una tabulación :

X 0 1 ð .......

Y 0 Sen1 1 0 .......

Ubicamos en el plano cartesiano los pares ordenados y se obtiene :

En general :1) y = Senx

De la gráfica se obtiene : Dominio : DomF = Rango : RanF = [-1; 1] Curva : Senoide ; si P(xo; yo) y = Sen x yo = Sen xo Función impar : Sen(-x) = -Sen x Periodo : T = 2ð

2) y = Cosx

De la gráfica se obtiene : Dominio : DomF = Rango : RanF = [-1; 1] Curva : Cosenoide ; si P(xo; yo) y = Cosx yo = Cosxo Función par : Cos(-x) = Cosx Periodo : T = 2ð



3) y = Tgx

De la gráfica se obtiene :

Dominio : DomF = - (2n + 1) / n Z

Rango : RanF = Curva : Tangentoide ; si P(xo; yo) y = Tgx yo = Tgxo Función impar : Tg(-x) = -Tgx Periodo : T = ð

Asíntotas : x = (2n + 1) / n Z

4) y = Ctgx

De la gráfica se obtiene : Dominio : DomF = - nð / n Z Rango : RanF = Curva : Cotangentoide; si P(xo; yo) y = Ctgx yo = Ctgxo Función impar : Ctg(-x) = -Ctgx Periodo : T = ð Asíntotas : x = nð / n Z

5) y = Secx

De la gráfica se obtiene :



Dominio : DomF = - (2n + 1) / n Z

Rango : RanF = ] -; -1 ] [ 1; + [ Curva : Secantoide ; si P(xo; yo) y = Secx yo = Secxo Función par : Sec(-x) = Secx Periodo: T = 2ð

Asíntotas : x = (2n + 1) / n Z

6) y = Cscx

De la gráfica se obtiene : Dominio : DomF = - nð / n Z Rango : RanF = ]-; -1] [1; +[ Curva : Cosecantoide ; si P(xo; yo) y = Cscx yo = Cscxo Función impar : Csc(-x) = -Cscx Periodo: T = 2ð Asíntotas : x = nð / n Z


01. En la figura adjunta calcular

A) 6ð B) 4ð C) 5,5ðD) 8,5ð E) 7ð

02. El punto pertenece a la gráfica de la

función y = Cosx. Calcular n

A) 1/2 B) 3/2 C) 5/2D) 3/4 E) 4/3

03. Calcular el área de la región limitada por la rectay + 1 = 0 y la curva cuya ecuación es y = Cos x, six [0 ; 2ð].

A) 2ð B) ð C) 3ðD) 4ð E) 1,5ð

04. Si H(x) = Senx - Cosx , hallar las coordenadas de lospuntos de intersección de H con el eje X ,sabiendoque x 0 ; 2ð .

A) B)

C) D)

E)

05. Graficar :

F(x) =

A)



B)

C)

D)

E)

06.Graficar :

F(x) =

A)

B)

C)

D)

E)

07. De la figura calcular el área del triángulo MNP

A) 2ð B) ð C) ð/2D) ð/4 E) 2,5ð

08. Con centro en el origen de coordenadas se dibuja una

circunferencia de radio / 4 que interseca a lagráfica de la función y = Tgx en A y B. Calcular laraíz cuadrada del producto de abscisas y ordenadasde dichos puntos.

A) B) C)

D) E)

09. Si es el punto de intersección de las gráficas

de las funciones F(x) = Senx y G(x) = Ctgx en

0 ; ð ,calcular A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

10. En cuál de los siguientes intervalos la funcióny = Senx decrece.

A) B) C)



D) E)

11. Sea F la función definida por F(x) = Ctgx + Cosx,

hallar el rango de F en .

A) B)

C) D)

E)

12. En la figura adjunta la ordenada del baricentro del

triángulo FGH es . Calcular su abscisa.

A) B) C)

D) E)

13. De las funciones que se indican cuál no es par: A) B)C) D)E)

14. En la figura adjunta las coordenadas de P y F son

respectivamente. Hallar las

coordenadas de Q y G.

A)

B)

C)

D)

E)

15. Si la longitud de la curva cuya ecuación esy = Senx en [ 0 ; 2ð ] es L ,calcular el perímetro de laregión limitada por las curvas y = Senx e y = Cosx

en .

A) L B) 2L C) 3L

D) E)

16. Respecto a la función y = Tgx podemos afirmar que :

A) Es creciente en todo su dominioB) Es decreciente en

C) Es continua sólo en

D) Tiene asíntotas para todo x =

E) Su periodo mínimo es 2ð

17. Al intersecar las gráficas de y = Cscx e y = Secxen se obtienen dos puntos A y B. Hallar lasuma de abscisas y ordenadas de dichos puntos.

A) B) C)

D) E)

18. Sean los periodos de las funciones

y= Senx, y = Tgx, y = Secx ,respectivamente. Calcular:

A) 1 B) -1 C) 2D) -2 E) 0

19. Graficar : F(x) =

A) B)



C) D)

E)

20. Calcular la suma del mínimo valor de F y el máximovalor de G.

F(x) =

G(x) =

A) 0 B) 1 C) -1D) 2 E) -2

TAREA

01. De los puntos que se indican cuál no pertenece a lasinusoide : y = Senx

A) B) C)

D) E)

02. En cuántos puntos intersecta la curva y=Senx

al eje X , x

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

03. Graficar G(x) =

A) B)

C) D)

E)

04. Los puntos:

pertenecen a la tangentoide y = Tgx . Calcular

:

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

05. En cuál de los siguientes intervalos la funcióny = Tgx decrece.



A) B) C)

D) E) Ninguno

06. Hallar el número de puntos de intersección de las

gráficas de las funciones y = e y = Senx. A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

07. Hallar las abscisas de los puntos de intersección delas funciones y = Senx e y = Cscx.

A) B)

C) D)

E)

08. Determinar el número de asíntotas que presenta la

gráfica de la función y = Ctgx , si

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

09. Si determinar el valor de verdad de

cada una de las siguientes proposiciones :( ) La función y = Tgx es creciente

( ) La función y = Ctgx es continua( ) La función y = Senx es decreciente

A) VVV B) FFF C) FFVD) FVV E) VFV

10. Si el punto se obtiene de la intersección de lasfunciones y = Tgx e y = Ctgx en ,calcular :

A) B) C) 0

D) 2 E)

FUNCIÓN PERIÓDICA - CÁLCULO DE PERIODOSGRÁFICAS GENERALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. FUNCIÓN PERIÓDICA

Si F(x) es una función periódica existe T 0 que cumplacon:

F(x+T)=F(x)/x + T DF

Al menor valor positivo de T se le denomina periodo



mínimo o simplemente periodoEjemplos: Hallar el periodo de las siguientes funciones :

i) F(x) = Sen2x ii) F(x)=Cos(Cosx)

Resolución:i) F(x+T) = F(x) Sen(2x+2T) = Sen2x

Sen(2x + 2T) - Sen2x = 0 2CosxSenT = 0 SenT = 0 T = ð, 2ð, 3ð, .........

Periodo mínimo : T = ð

i i) F(x + T) = F(x) Cos(Cos(x+T)) = Cos(Cosx) Aplicando el criterio de reducción al primer cuadrante;se reemplaza T por los ángulos cuadrantales :

T = , ð , , 2ð, .......

si T = Cos Cos(Cosx)

si T = ð Cos(Cos(ð + x) = Cos(Cosx)

si T = Cos Cos(Cosx)

Si T = 2ð Cos(Cos(2ð+x)=Cos(Cosx)

T = ð, 2ð, 3ð, .... Periodo mínimo T = ð

2. CÁLCULO DE PERIODOS DE FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS Sea la función : F(x) = AF.T.n(Bx+C) + D paracalcular su periodo intervienen las constantes n y Bi) Si F.T. : Sen, Cos, Sec, Csc

para n impar:

para n par :

Ejem:

* F(x) = 2Sen34x T =

* F(x) = 3Cos4 = 5ð

* F(x) = 4Sec5 = 3ð

* F(x) = 2Csc6

i i) Si F.T. : Tg, Ctg

para n par o impar :

Ejem :

* F(x) = 2Tg34x

* F(x) = 3Tg4 =

* F(x) = Ctg5 = 3ð

Si : F(x) = A| F.T.(Bx)| para todo F.T.

GRÁFICAS ESPECIALES :

1. i) F(x) = ASenBx (A > 0)

ii) F(x) = ACosBx (A > 0)

2. i) F(x)=A|SenBx| (A > 0)



ii) F(x)=A|CosBx| (A > 0)

NOTA:i) y = -Senx

ii) y = -Cosx

3. Desplazamiento Horizontal (D.H.)

F(x) = Asen(Bx + C) D.H. = -

NOTA:* F(x)=AF.T.(Bx+C)

La constante C no altera el periodo

* F(x) = AF.T(Bx) + DLa constante D no altera el periodo

Ejem : Graficar F(x) = 3Sen(2x - )

D.H : = (Desplaz. a la derecha)

i) Graficamos : F(x) = 3Sen2x

ii) Con desplazamiento

NOTA:

* Si F(x) = Sen|x|No tiene periodo

* Si F(x) =Cos|x| = CosxPeriodo : 2ð

* Si F(x) = Tg|x|No tiene periodo

4. Desplazamiento Vertical

F(x) = ASenBx + D D.V. = D

Ejemplo: Graficar

i. F(x) = -Cosx + 1 = Versx



NOTA:

Grafica de F(x) = Covx

5. Gráficas Generalizadas

i. F(x) = ASen(Bx + C) + D, (A > 0)

ii) F(x) = ACos(Bx + C) + D

Donde :

i) Amplitud : A =

siendo : Fmax = A + D Fmin = A - D

ii) Periodo :

iii) Desplazamiento horizontal :iv) Desplazamiento vertical : D = Fmáx-A


01. Calcular la suma de los periodos de las siguientesfunciones :F(x) = Sen5x ; G(x) = y H(x) = .

A) B) C)

D) E)

02. Calcular el periodo de :F(x) =

A) B) C)

D) E)



03. Si F(x) = y G(x) = ,n y k ,calcular el periodo de F , si el periodo de G es alperiodo de F como 3 es a 4 y el periodo de la suma

es .

A) B) C)

D) E)

04. Si el periodo mínimo de F(x) = Senkx + Coskx, k>0

es , calcular el periodo de G(x) = SenkxCoskx

A) B) C)

D) E)

05. En la figura adjunta se muestra la gráfica de unafunción senoidal . Determinar su periodo.

A) B) C)

D) E)

06. Calcular el periodo de :

G(x) =

A) B) C)

D) E)

07. Dada la función: F(x) = , determinar si esverdadero (V) o falso (F)

( ) El periodo mínimo de F es 8ð

( ) es un elemento de F

( ) La amplitud de F es -4 A) VVV B) VVF C) VFFD) VFV E) FFF

08. Hallar la ecuación de la sinusoide mostrada

A) F(x) =

B) F(x) =

C) F(x) =

D) F(x) =

E) F(x) =

09. En la figura adjunta se muestra la gráfica de lafunción F cuya regla de correspondencia es :

F(x) =

Determinar las coordenadas de cada uno de lospuntos que se indican, marcar lo incorrecto.

A) F B) G

C) J D) H

E) E

10. En la figura adjunta las coordenadas de A y B son

respectivamente .Hallar la

ecuación de la sinusoide mostrada.



A) F(x) =

B) F(x) =

C) F(x) =

D) F(x) =

E) F(x) =

11. Graficar F(x)=

A)

B)

C)

D)

E)

12. Hallar el periodo de :G(x) =

A) 2ð B) ð C) 4ð

D) E)

13. Graficar :

A)

B)

C)

D)



E)

14. Dada la función , sabiendoque su amplitud es 10, su periodo es 4ð y F(0)= -6,calcular el menor valor que puede tomar A.

A) -8 B) -6 C) -4D) 6 E) 8


A) 12ð B) 15ð C) 25ðD) 60ð E) 120ð

16. Si F es la función definida por ,

determinar si es verdadero ( V ) o falso ( F )

( ) El periodo de F es

( ) La función F es decreciente en

( ) La función F es creciente en

A) VVF B) VVV C) VFFD) FVV E) FVF

17. En cuántos puntos intercepta al eje X la gráfica de lafunción f definida por :

A) 2 B) 3 C) 4D) 1 E) 6

18. Calcular E = Sen3x + Cos4x , si x y

es un punto que pertenece a la función

F(x) = Cosx

A) 0,5 B) 1 C) 1,5D) 2 E) 2,5

19. Si el periodo de F es 3, calcular su máximo valor.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

20. Dada la función y = ATgkx, k > 0 , calcular A+k, si

un punto de la curva es y su periodo

es

A) 5,5 B) 6 C) 6,5D) 7 E) 7,5

TAREA

01. De las funciones que se indican determinar cuál tieneel mayor periodo.

A) B)

C) D)

E)




A) B) C)

D) E)

03. Determinar el periodo de la función senoidal cuyagráfica es :

A) B) C)

D) E)


A) 0,5 B) 1 C) 1,5D) 2 E) 2,5

05. Calcular el periodo mínimo de G

A) ð B) 2ð C) 3ðD) E)


A) 2ð B) 4ð C) 6ðD) 12ð E) 24ð

07. Si F es una función definida en

calcular :

A) B) C)

D) E)

08. En el gráfico adjunto .Calcular : ab

A) 1 B) 0,75 C) 0,5D) 0,25 E) 0,125

09. La ecuación de la curva adjunta es

Calcular : (A -k - 3B)h

A) 2ð B) 4ð C) 3ðD) -4ð E) -2ð

10. El punto es un elemento de la función :

y = ACtgBx , B > 0, las rectas definidas por la

ecuación 4x-ð = 0 son las asíntotas más cercanasal eje Y. Calcular : AB

A) 8 B) 6 C) 4D) 2 E) 1



FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS I

1. NOCIONES PRELIMINARES

1.1. Función Inyectiva

Una función F es inyectiva o univalente si y solosi para todo x1, x2 DF se cumple que:F(x1) = F(x2) x1 = x2

Interpretación Geométrica: Una función F esinyectiva si cualquier recta horizontal corta a lagráfica de F a lo más en un punto.

De las figuras mostradas se deduce que F esinyectiva. G no es inyectiva en todo su dominio; paraque G sea inyectiva se debe redefinir la función, esdecir, se restringe el dominio, por ejemplo si seescoge el dominio de G : <-;h] entonces G esinyectiva, también se puede elegir como dominio[h;+

>

1.2. Función Inversa

Dada la función F = {(x; y) / y = F(x); x DF}Si F es inyectiva entonces F tiene inversa y serepresenta por F* o F-1 y se define por:

F-1 = {(y; x) / y = F(x), x DF}

También se puede escribir así:F-1 = {(y; x) / x = F -1 (y), y RF}

La gráfica de F-1 se obtiene reflejando la gráfica de F através de la recta y = x

Se deduce que:

= RF = DF

2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Como las funciones trigonométricas son periódicas,entonces no son inyectivas por lo tanto no tienen inversaen todo su dominio.

Para que existan las inversas de dichas funciones, sedebe restringir el dominio de modo que sean inyectivas.

Las restricciones para las Funciones Trigonométricasson:

Función(F)

Dominio (F) Rango (F)

y = Senx

y = Cosx

y = Tgx

y = Ctgx

y = Secx

y = Cscx

[0; ð]

< 0; ð >

[-1; 1]

[-1; 1]

<-; >

<-; >

<-; -1] [1; >

<-; -1] [1; >

2.1. FUNCIÓN SENO INVERSO O ARCO SENO

y = ArcSenx Dominio: [-1;1]



2.2. FUNCIÓN COSENO INVERSO O ARCOCOSENO

y = ArcCosx Dominio: [-1;1]

2.3. FUNCIÓN TANGENTE INVERSO O ARCOTANGENTE

y = ArcTgx Dominio:

2.4. FUNCIÓN COTANGENTE INVERSO O ARCOCOTANGENTE

y = ArcCtgx Dominio:

2.5. FUNCIÓN SECANTE INVERSA O ARCOSECANTE

y = ArcSecx Dominio: <-;-1] [1; >

2.6. FUNCIÓN COSECANTE INVERSA O ARCOCOSECANTE

y = ArcCscx Dominio: <-;-1] [1; >

3. PROPIEDADES3.1

Sen (ArcSenx) = x , si : x [-1; 1]Cos (ArcCosx) = x , si : x [-1; 1]Tg (ArcTgx) = x , si : x Ctg (ArcCtgx) = x , si : x Sec (ArcSecx) = x , si : x - <-1; 1>Csc (ArcCscx) = x , si : x - <-1; 1>

Ejemplos:

a) Sen , [-1; 1]

b) Cos , - [-1; 1]

c) Tg(ArcTg4) = 4 , 4

d) Sec(ArcSec2 ) = 2 , 2 - <-1; 1>e) Csc , ¡tenga cuidado de hacer

esto!

pues: - <-1; 1> Csc

f) Sen (ArcSenb) = b , siempre que: b [-1; 1]



3.2

ArcSen(Senx) = x , si : x

ArcCos(Cosx) = x , si : x [0; ð]

ArcTg(Tgx) = x , si : x

ArcCtg(Ctgx) = x , si : x < 0; ð >

ArcSec(Secx) = x , si : x [0; ð] -

ArcCsc(Cscx) = x , si : x - {0}

Ejemplos:

a) ArcSen = ,

b) ArcCos , [0; ð]

c) ArcTg ,

d) ArcSec ,

e) ArcSec , pues:

Para aplicar la propiedad es necesario hacer unprevio cambio:

Sabemos que :

Luego: ArcSec

f) Arc Sen

hacemos un cambio:

ArcSen

g) ArcCos (Cosp) = p , siempre que : p [0; ð]

3.3

ArcSen(-x) = -ArcSenx , si : x [-1; 1] ArcCos(-x) = ð - ArcCosx , si : x [-1; 1] ArcTg(-x) = -ArcTgx ,

si : x

ArcCtg(-x) = ð - ArcCtgx ,

si : x ArcSec(-x) = ð - ArcSecx ,

si : x - <-1; 1> ArcCsc(-x) = -ArcCscx , si : x - <-1; 1>

Ejemplos:

a)

b)

c)

d)

e)

3.4

ArcSen(x) = ArcCsc , si : x [-1; 1] - {0}

ArcCos(x) = ArcSec , si : x [-1; 1] - {0}

ArcTg(x) = ArcCtg , si : x < 0; >

ArcTg(x) = - ð + ArcCtg , si : x < -; 0 >

ArcCtg(x) = ArcTg , si : x < 0; >

ArcCtg(x) = ð + ArcTg , si : x < -; 0 >

ArcSec(x) = ArcCos , si : x - < -1; 1

>

ArcCsc(x) = ArcCsc , si : x - < -1; 1

>

Ejemplos:

a)



b)

c)

3.5

ArcSenx + ArcCosx = , x [-1; 1]

ArcTgx + ArcCtgx = , x

ArcSecx + ArcCscx = , x - <-1; 1>

Ejemplos:

a)

b)

3.6

Donde:Si : ab < 1 k = 0Si : ab > 1 y a > 0 b > 0 k = 1Si : ab > 1 y a < 0 b < 0 k = -1

Ejemplos:

a) è =

a b

Como : ab =

b) á = ArcTg2 + ArcTg4 a b

Como:




01. Marcar lo correcto :

A)

B)

C)

D)

E)

02. Si y , calcular

la diferencia del máximo valor de F y el mínimovalor de G .

A) B) C)

D) E)

03. Si ,

determinar el signo en cada caso :U =N =I =

A) + , - , - B) - , - , + C) - , - , -D) + , + , + E) + , + , -

04. Calcular

A) B) C)

D) E)

05. Si Sen è = 0,1 , Cos è < 0 y 0 < è < 2ð, entonces

podemos afirmar que :I. è = ArcSen(0,1)II. è = ð - ArcSen(0,1)

III. è = + ArcCos(0,1)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo IIID) II y III E) I y III

06. Calcular la suma de todos los valores enteros e

impares que puede tomar k,si :

A) 8 B) 9 C) 10

D) 12 E) 14

07. Si ,

calcular : Cos( á + è )

A) B) C)

D) E)

08. Hallar el valor de k.

A) B) C)

D) E)

09. Sabiendo que k Z, calcular la suma de todos losvalores que puede tomar k.

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

10. Calcular : n

A) B) C)

D) E)

11. Calcular :

A) B) C)

D) E)

12. Determinar si es verdadero (V) o falso (F) :



( )

( )

( )

A) VVV B) VVF C) FFFD) FFV E) VFV

13. Calcular :

A) B) C)

D) E)

14. Determinar el dominio de F.

A) [ 0 ; 4 ] B) [ 0 ; 6 ] C) [ -2 ; 5 ]D) [ -1 ; 1 ] E) [ -1 ; 3 ]

15. Si

determinar el conjunto de valores que puede tomar x.

A) B) C)

D) E)

16. Simplificar :

A) B) C)

D) E)

17. Calcular:

A) B) C)

D) E)



18. Calcular el valor de k :

A) 0 B) 1 C) -1D) 0.5 E) -0,5

19. Sabiendo que :

, ¿cuál de las siguientes

igualdades es correcta ?

A) á + â = è B) á - â = è C) á = â = èD) á = â + è E) á = â - è

20. Marcar lo correcto :

A)

B)

C)

D)

E)

TAREA

01. Calcular : á + â + è

A) B) C)

D) E)

02. Calcular :

A) 16 B) 12 C) -8D) -26 E) 10

03. Determinar el conjunto de valores enteros que puede

tomar n si . Dar como respuesta

la suma de dichos valores.

A) 14 B) 13 C) 12D) 10 E) 9

04. Calcular :



+

A) -3 B) -2 C) -1

D) 0 E) 1

05. Calcular el valor de k : ArcCtg3 + ArcTg2 = ArcCtgk

A) B) C)

D) E)

06. Calcular Csc(á + â), sabiendo que :á = ArcTg(-1/4)â = ArcCtg(-1/3)

A) B) C)

D) E)

07. Si , ¿cuál de los siguientes valores

no puede tomar á?

A) B) C)

D) E)

08. Si Cos è = 0,25 y , calcular è

A)

B)

C)

D)

E)

09. Sabiendo que ,

calcular : è (7) + è (13)

A) B) C)

D) E)

10. Determinar el conjunto de valores que puede tomarx.

A) B) C)

D) E)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSASGRÁFICAS GENERALES



Análisis de las gráficas de funciones de la forma : y = A ArcSenB(x - h) + k ; y = A ArcCosB(x - h) + k

dominio : (B > 0)

y = ArcSen2x

y = ArcCos

y = A ArcSenx ........... Rango : ; A 0

y = A ArcCosx ........... Rango : [0; Að]; A > 0 o [Að; 0], A < 0

Si : A < 0 la gráfica se obtiene haciendo una reflexión respecto al eje X de la función básica

y = 2ArcSenx y = -2ArcSenx

y = 2ArcCosx y = -2ArcCosx

Traslación Verticaly = ArcSenx + k ; y = ArcCosx + kLa gráfica de la función básica se desplaza k unidades hacia arriba si k > 0 y k unidades hacia abajo si k < 0



y = ArcSenx + y = ArcCosx -

Traslación Horizontal

y = ArcSen(x - h) ; y = ArcCos(x - h)

La gráfica de la función básica se traslada h unidades a la derecha si h > 0 y h unidades a la izquierda si h < 0

y = ArcSen(x + 2) y = ArcCos(x - 3)

Forma General: y = A ArcSenB(x - h) + k

()

()

()

A > 0 si la función es creciente A < 0 si la función es decreciente

Ejemplo : Determinar la ecuación de F



Partimos de : y=A ArcSenB(x-h)+k

() ;

()

()

Como F es decreciente : A = -2() Finalmente la ecuación es :

y = -2ArcSen (x - 1) +


En los siguientes dos problemas se obtienen dos

cantidades una en la columna R y otra en la columna S.Tiene que determinar la relación entre ambas

01. El dominio de la función F definida por :F(x) = ArcSen(2x + 3) es [a; b]

R S

|b - a| ab

A) La cantidad en R es mayor que la cantidad en SB) La cantidad en S es mayor que la cantidad en RC) Ambas cantidades son igualesD) Falta informaciónE) Las cantidades no se pueden comparar

02. Hallar Fmáx en la función definida por F :

R S

F(x) = ArcSenx F(x) = ArcCosx

A) La cantidad en R es mayor que la cantidad en SB) La cantidad en S es mayor que la cantidad en RC) Ambas cantidades son igualesD) Falta informaciónE) Las cantidades no se pueden comparar


( ) Si á = ArcSen(-1/2) y â = ArcCos(- /2)entonces: á + â = 2ð/3

( ) Si F es una función definida por F(x) = ArcSen|x|entonces F es una función par

( ) Si x [-1; 1] entonces : ArcSenx + ArcCosx = ð/2 A) VVV B) VVF C) VFVD) FVV E) FFV

04. Los puntos (1; m) y (-3; n) pertenecen a la función F

cuya regla de correspondencia es: y = 2ArcCos

Calcular :

A) 2ð/3 B) ð/3 C) ð/6D) 5ð/6 E) 5ð/12

05. Si H(x) = 3ArcSen(4x - 3) + , determinar el

dominio de G, si G(x) = H

A) [-2; 1] B) [-1/2; 3/2] C) [-1; 0]

D) [-2; 0] E) [-3/2; 1/2]

06. Calcular el rango de :

G(x)=ArcSen +ArcCos +ArcTg

A) B) <0; ð> -

C) <0; ð> D) ; - {0}

E) <ð; 2ð>07. Determinar el rango de la función F :

F(x) = 4ArcSen - 3ArcCos

A) [-4ð; 0] B) [-2ð; 0] C) [-ð; ð]D) [-2ð; 2ð] E) [-2ð; ð]

08. Determinar el rango de F si :

F= (x; y)/y = ArcTg ; x <-2; 3>

A) B) C)



D) E)

09. Si : G(x- ) = 3ArcCtg( x - 1) +

calcular el rango de G(x)

A) B) C)

D) E)


( ) La función y = ArcSen es inyectiva x

( ) x [-1; 1 ] la función y = ArcCos es

decreciente( ) ! x / ArcCosx = |x|

A) FVV B) VFF C) VVV

D) FVF E) FFF11. En la figura adjunta se muestran 3 funciones, F(x);

G(x); H(x). ¿Qué relación hay entre ellas?

A) F(x) + G(x) = H(x) B) F(x) + H(x) = G(x)

C) G(x) + H(x)= F(x) D) G(x)H(x) = F(x)E) H(x)F(x) = G(x)

12. Hallar las coordenadas de P, si F(x) = mArcSen(nx)

A) B)

C) D)

E)

13. Hallar la ecuación de F(x)

A) y = -

B) y = -

C) y = -

D) y =

E) y = -

14. En la figura adjunta F(x)=ArcSen(x - 1) + , el

perímetro de la región sombreada es L. Calcular elperímetro de la región determinada por los puntos A,B y C

A) L - 2ð B) L - ð - 2 C) L + ð - 2

D) L - ð - 1 E) L + ð - 1

15. Si G(x) = ð + ArcCos(x), graficar G(-x)



16. Calcular la suma de las ordenadas de P y Q, si: F(x) = ArcTgx

A) ð/7 B) 2ð/7 C) ð/4D) ð/12 E) ð/3

17. Si F es una función cuya regla de correspondenciaes: F(x) = 2ArcTgx, determinar si es verdadero (V) ofalso (F):( ) La gráfica de la función F intersepta al eje X en un

punto( ) La gráfica de la función F intersepta al eje Y en un

punto( ) F(-1) < F(1)

A) FFV B) FVV C) VFVD) VVF E) VVV

18. En el siguiente problema se ofrecen 2 datos pararesolverlo. Identifique qué datos son necesarios pararesolver el problema.Hallar el rango de la función F definida por F(x)=kArcSen(nx)I. n = 5

II. k =

A) El dato I es suficiente y el dato II no lo esB) El dato II es suficiente y el dato I no lo esC) Es necesario utilizar I y II conjuntamenteD) Cada uno de los datos por separado es suficienteE) Se necesitan más datos

19. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos

donde la función G tiene su máximo y mínimo valor G(x) = 3ArcCos(x - 2) +

A) 3ðx + 2y - 5ð = 0B) 4ðx + 6y - 17ð = 0C) 2ðx - 3y - 9ð = 0D) 6ðx + 4y - 19ð = 0E) 4ðx - 6y - 21ð = 0

20. Calcular el área del triángulo formado por los puntosF, O, G

A) B) C)

D) E)

TAREA

01. Si F y G son funciones definidas por :

F(x) = y G(x) =

calcular : F + G

es igual a : A) 4 B) 6 C) 8D) 9 E) 10

02. Si x <-1; 1> entonces el rango de la función F

definida por F(x) = ArcCos(|x| - 1) es :

A) [0; 1] B) C)

D) E) [-1; 1]

03. Si G(x) = mArcSen(nx+p) + q



qué datos se necesitan para hallar el dominio de lafunción

A) m y q B) m y n C) n y pD) n y q E) m y p

04. Sabiendo que H(x) = ArcSen(x), graficar H(x + 2)

05. Determinar la ecuación de la curva :

A) y = - ArcSen

B) y = 2ð - 4ArcSen

C) y = ð - 2ArcSen

D) y = 2ð - 4ArcCos3xE) y = 2ð - 4ArcCos6x

06. Sabiendo que :

calcular :

A) 2-1 B) 2-2 C) 2D) 22 E) 1

07. Determinar el rango de :G(x) = 3ArcTgx - kArcCtgx

sabiendo que G(1) =

A) 1 B) 2 C) -1D) -2 E) 1/4

08. Calcular el área de la región sombreada

A) 2ð B) 3ð C) 4ðD) 6ð E) 10ð



09. Hallar la ecuación de la curva :

A) y = 3ArcSen + 2ð

B) y = 3ArcSen(2x - 1) + 2ð

C) y = 3ArcSen + ð

D) y = 3ArcSen(x - 2) + 2ðE) y = 3ArcSen(x - 2) + ð

10. La ecuación de la curva la adjunta es: y = mArcSen(nx+p)+q

calcular :

A) 2 B) 4 C) 1/2ðD) 1/2 E) -1/ð

LÍMITES Y DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. CONCEPTO DE LÍMITE



Dada una función y = F(x), el límite de F(x) cuando x se aproxima o tiende a un valor h, es el valor hacia donde seaproxima la función.

Por ejemplo sea F(x) = x2 + 3 cuando x tiende a 2 (observa el cuadro adjunto) F(x) tiende a 7

x tiende a 2 por la izquierda x tiende a 2 por la derecha

x 196 197 198 199 2 201 202 203 204

F(x) 68416 68809 69204 69601 7 70401 70804 71209 71616

F(x) tiende a 7 F(x) tiende a 7

1.1 Notación

F(x) = L ................ “El límite de F(x) cuando x tiende a h, es igual a L”

F(x) = L1 .............. “El límite de F(x) cuando x tiende a h, por la derecha es igual a L 1”

F(x) = L2 ................ “El límite de F(x) cuando x tiende a h, por la izquierda es igual a L2”

1.2 Teorema

El límite de una función F(x) cuando x h, existe si y solo si los límites laterales son iguales, es decir, si :

F(x) = F(x) = L

Entonces : F(x) = L

Ejemplo : Calcular : a) Senx b)

Solución:

A. Senx =

B.

1.3 Teorema de Intercalación (Teorema de emparedado)



Sean F(x), G(x), H(x) funciones que satisfacen :F(x) G(h) H(x) para toda x muy próxima a h (conla posible excepción de h).

Si F(x) = H(x) = L

entonces : G(x) = L

Ejemplo : Calcular x2Sen

Solución :

() Sabemos que : -1 Sen 1 ............... (x 0)

() Entonces :

Observa :Explicando el teorema anterior se deduce :

x2Sen = 0

1.4 Límites de Funciones Trigonométricas

Demostración de :



() Observa que : MP = Senx ; AQ = Tgxademás el arco AP = x

() Se deduce del gráfico que :MP AP AQSenx x Tgx

() Se divide a toda la expresión por Senx, obteniendo:1 invirtiendo

() Calculando el límite : 1 = 1, (Cosx) = Cos0 = 1

entonces :

1.5 Límites de Funciones Trigonométricas Inversas

Ejemplos :

A. = = 6 = 6(1) = 6

B. = = .

C. = = 1

D. = =

E. Observa que cuando x 2+ +



2. DEFINICIÓN DE DERIVADA

La derivada de una función y = F(x) que se denota : F'(x); es :

F'(x) = , si este límite existe

2.1 Observaciones

() La derivada de una función y = F(x) también se representa así :

y' ; F'(x) ; ; Dxy ;

() Si una función se deriva más de una vez, se les denomina derivada de orden superior

Segunda derivada : y" ; F"(x) ; ; ;

Tercera derivada : y"' ; F"'(x) ; ; ;

y así sucesivamente

() Otra manera de expresar la definición de derivada es :

F'(x) =

Ejemplo : Calcular la derivada de : F(x) = Senx

Solución : F'(x) =

F'(x) = =

= +

Conclusión : Si F(x) = Senx F'(x) = Cosx

() La derivada de una función y = F(x) en x = a; se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a lacurva en dicho punto.

Observa en la figura adjunta que lapendiente de L es:

m = Tgè =

Cuando h es muy pequeño (tiende a cero)el punto Q esta muy próximo a P, por lotanto la recta L es tangente a la curva en P.

Conclusión : Dada una función y = F(x) la derivada de F(x) en x = a es la pendiente de la recta tangente a la curvade F(x) en x = a



Ejemplo : Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F(x) = 2x3 + 4x2 - 5x - 3, en un punto de la curvacuya abscisa es 1.

Solución :

() Calculamos el punto de tangencia para x = 1F(1) = 2(1)3 + 4(1)2 - 5(1) - 3 F(1) = -2 ; el punto de tangencia es (1; -2)

() Calculamos la pendiente de la recta tangenteF(x) = 2x3 + 4x2 - 5x - 3 F'(x) = 6x2 + 8x - 5Para x = 1 F'(1) = 6(1)2 + 8(1) - 5 = 9 ......... (pendiente)

() Ecuación de la recta tangente :y - yo = m(x - xo) y - (-2) = 9(x - 1) 9x - y - 11 = 0

2.2 Derivadas de Funciones Trigonométricas

En el cuadro adjunto se muestran las derivadas de las funciones trigonométricas, se considera que u = G(x) dondeG es una función derivable y se restringe de tal manera que la función trigonométrica está definida.

Dx(Senu) = CosuDxu Dx(Ctgu) = -Csc2uDxu

Dx(Cosu) = -SenuDxu Dx(Secu) = SecuTguDxu

Dx(Tgu) = Sec2uDxu Dx(Cscu) = -CscuCtguDxu

Ejemplos : Calcular F'(x) en cada caso

A. F(x) = Sen6x .......... F'(x) = Cos6x F'(x) = 6Cos6x

B. F(x) = Cos(x2 + 4) .......... F'(x) = -Sen(x2 + 4) F'(x) = -2xSen(x2 + 4)

C. F(x) = Tg3(5x) .......... F'(x) = 3Tg25x Dx(Tg5x) = 3Tg25x

F’(x) = 15Tg25xSec25x

2.3 Cálculo de Límites Utilizando la Regla de L’ Hospital

Regla de L’ Hospital

Sea <a; b> un intervalo que contiene a “c” y sean F y G funciones definidas y derivables en<a; b> (excepto posiblemente en c). Si G'(x) 0 para x c y F(x) / G(x) tiene la formaindeterminada 0/0 o bien / entonces :

=

NOTA : La regla de L’Hospital también es válida para límites unilaterales y para límites al infinito :(x c+; x c-; x +; x -)

Ejemplos :



A. Calcular :

Solución :

() Observa que cuando x Tgx - y 1 + Secx -

entonces tenemos la forma indeterminada /

() Aplicando la regla de L’Hospital

= =

=

B. Calcular :

() Observa que cuando x 0 : Tgx - x 0 y x3 0entonces tenemos la forma indeterminada 0/0

() Aplicando la regla de L’Hospital

=

() Observa que cuando x 0 : Sec2x - 1 0 y x2 0nuevamente tenemos la forma indeterminada 0/0

() Volvemos a aplicar la regla de L’Hospital

= =

= =


01. Calcular :

A) -1 B) -2 C) 0

D) 1 E) 2

02. Calcular : A) B) C)

D) -1 E) 0



03. Calcular :

A) B) C)

D) E) 1

04. Calcular :

A) Cosa B) Tga C) CtgaD) Seca E) Sena

05. Calcular :

A) B) C)

D) E)

06. Calcular :

A) B) C)

D) E)

07. Calcular :

A) 0 B) 1 C) -1D) 2 E) -2

08. Calcular :

A) 0 B) 1 C) 1/2D) -1/2 E) -1/4

09. Calcular:

A) 4/3 B) 8/3 C) 16/3D) 1/3 E) 2/3

10. El área de la región comprendida por la curvay = Sen x y el eje X en [0 ; 2ð] se calcula de lasiguiente manera :

Calcular : S

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6

11. Marcar lo incorrecto:

A)

B)

C)

D)

E)

12. Si F(x) = 1 + Senx + Cosxcalcular : F(x) + F‘(x) + F‘’(x) + F‘’‘(x)

A) 1 B) 2Senx C) 2CosxD) -2Senx E) -2Cosx

13. Si F(x) = Senx + 2Sen2x + 3Sen3x +...+nSennxcalcular : F’(0)

A) B)

C) D)

E)

14. Si ,calcular el valor de A;sabiendo que H‘(x) = ASen4x.

A) -8 B) -12 C) 10D) 16 E) -16

15. Si ,calcular M sabiendo que:

A) B) C)

D) E)

16. Si F(x) = SenxSen2xSen3xcalcular : F‘(ð/2)

A) 1 B) -1 C) 2D) -2 E) 0



17. Si , calcular : G‘’(x)

A) B) C)

D) E)

18. Si ,calcular : A + Bsabiendo que : F‘(x) = ACosx + BCos5x

A) 0 B) 10 C) -10D) 12 E) -12

19. Si G(x) = Senx(ASenx + BCosx)calcular la suma del mínimo valor de G(x) y la mitaddel máximo valor de G‘(x).

A) A/2 B) -A/2 C) B/2D) - B/2 E) 0

20. Si , calcular : F‘(x)

A)

B)

C)

D)

E)

TAREA

01. Calcular :

A) 8 B) 6 C) 4,25D) 4,5 E) 4,8

02. Calcular ::;

A) 1 B) -1 C) 0

D) E)

03. Calcular :

A) B) C)

D) E)

04. Calcular :

A) -Tga B) -Ctga C) TgaD) Ctga E) 1

05. Calcular:

A) -1/2 B) 1/2 C) 1/4D) -1/4 E) 1



06. Calcular:

A) 1 B) -1 C) 0D) 2 E) -2

07. Si

calcular : H‘(x)

A) B) C)

D) E)

08. Si , calcular : G‘(x)

A) Sen4x B) -Sen4x C) Cos4xD) -Cos4x E) -Sen2x

09. Si F(x) = ASen2x + BCos3x , calcular : A + Bsabiendo que .

A) -10 B) -12 C) 8D) 10 E) 0

10. Sicalcular : H‘(x)

A ) B) C)

D) E)

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

DEFINICIÓNSon igualdades establecidas entre razonestrigonométricas, las cuales se verifican para ciertonúmero de valores de la variable o incógnita.En una ecuación trigonométrica la variable deberá estar en el ángulo o arco y resolver la ecuación consiste endeterminar los valores de dicha variable que verifican laigualdad, siendo estos valores las soluciones de laecuación.

Al conjunto de todas las soluciones de una ecuación se lellama conjunto solución o solución general de dicha

ecuación.

Si son ecuaciones trigonométricas

No son ecuaciones trigonométricas

ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL

Se llama así a aquella igualdad en la cual se conoce elvalor de una razón trigonométrica de una determinadavariable, es decir son igualdades de la forma :

R.T = (wx + è) = n

Ejemplo : Resolver la ecuación :

Resolución : Ubicamos en la C.T la igualdad



2x = 2kð + 2x = 2kð +

x = kð + x = kð +

C.S = {x/x kð + kð + ; k Z

Ejemplo : Resolver la ecuación :

Resolución : Ubicamos en la C.T la igualdad

2x + = 2kð + 2x + = 2kð -

x = kð + x = kð -

C.S = {x/x = kð + x = kð - , k Z}

EXPRESIONES GENERALES PARA EL ARCO

1. Para el seno o cosecante :

Si k ZSenè = a

Cscè = bè = kð +(-1)k (è)

2. Para el coseno o secante :

Si ZCosè = a

Secè = bè = 2kð ± (è)

3. Para la tangente o cotangente :

Si ZTgè = a

Ctgè = bè = kð + (è)

è es un arco que verifica la ecuación.



Ejemplos:

Determinar el conjunto solución o solución general encada caso.

A) Sen x =

C.S =

B) Cos 3x =

3x = 2kð ±

C.S =

C) Tg (4x - ) = 1

4x - = mð +

4x = mð +

C.S =

CASOS ESPECIALES

Ecuación Conjunto Solución(k Z)

Sen x = 1x = (4k + 1)

Sen x = 0 x = kð

Sen x = -1x = (4k - 1)

Cos x = 1 x = 2kð

Cos x = 0x = (2k + 1)

Cos x = -1 x = (2k + 1)ð

Tg x = 0 x = kð

Ctg x = 0x = (2k + 1)




01. En las ecuaciones que se proponen, se indica unasolución, marcar lo incorrecto:

A) | Senx | = ; x =

B) Cos2x = ; x = -

C) Senx + Cosx = 1 ; x = 2ð

D) 2Sen = 1 ; x =

E) SenxTgxCtgx = 1 ;

02. Si G(x) = x + Sen2x , hallar el conjunto de valores dex < 0 ; 2ð > tal que: G (x) = 0. Dar como respuestala suma de dichos valores

A) 2ð B) ð C)3ð/2D) 4ð E) 5ð

03. Si una solución de la ecuación ACos2x - Senx = 1/2

es x = , hallar la mayor solución negativa de dicha

ecuación A) - ð/10 B) -3ð/10 C) -ð/5D) -2ð/5 E) -ð/8

04. Si el determinante de la matriz A es igual a 2, calcular è. (n Z)

A =

A) (2n + 1) B) C) (2n + 1)

D) E) (4n + 1)

05. Determinar las dos primeras soluciones positivas dela ecuación:

(1 + Senx)(1 + Cosx) =

A) B)

C) D)

E)

06. Calcular la suma de soluciones positivas y menoresde una vuelta de la ecuación:

2(1 + Senx + Cosx)(1 - Senx - Cosx) = 1 A) 900 ° B) 850 ° C) 725 °D) 675 ° E) 565 °

07. Resolver, n Z

A) B)

C) D)

E)

08. Determinar el número de elementos del conjunto:F = {x [0 ; 2ð]/ Cos2xSecx + Secx + 1 = 0}

A)1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

09. Hallar todos los valores de k para que la ecuación:Senx(Senx + Cos(-x)) + k = 0 tenga solución

A)

B)

C)

D)

E)

10. Resolver: |Ctgx|Senx = ; n Z

A) nð + (-1)n B) 2nð ±

C) nð ± D) nð + (-1)n

E) 2nð ±

11. Si F(x) = , calcular la suma de todos los

valores de x < 0 ; 2ð > / F(x) = 3 + 2 A) ð B) 3ð/2 C) 2ð/3D) 5ð/6 E) 2ð

12. Si : 2Senx + 3Cosx = Cos(x - á)determinar el conjunto de valores que puede tomar á(n Z)



A) nð + ArcTg B) nð + ArcTg

C) 2nð + ArcTg D) 2nð + ArcTg

E) nð ± ArcTg

13. Resolver:

3 Cos + = -2, n Z

A) B)

C) D)

E)

14. Determinar el conjunto de valores de x para los queF(x) alcanza su máximo valor .

F(x) = Cos2x + 3Sen2x + 2 ; n Z

A)

B)

C)

D)

E)

15. Si: x , determinar el número de soluciones

de la ecuación : 1 + |Senx| - |Ctgx| = 0 A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

16. Sabiendo que x e y

resolver el sistema :

A) x = ; y =

B) x = ; y =

C) x = ; y =

D) x = ; y =

E) x = ; y =

17. Resolver el sistema : 90 ° < x < 180 °

dar como respuesta : + 2y

A) -40° B) -60 ° C) -80 °D) 10 ° E) 20°

18. Resolver el sistema : x , y



A) x = ; y =

B) x = ; y =

C) x = ; y =

D) x = ; y =

E) x = ; y =

19. Resolver el sistema : (k Z) ; (n Z)

A) x = k(180°) ± 30° + 10°y = k(180°) ± 30° - 10°

B) x = k(180°) ± 60° + 10°y = k(180°) ± 60° - 10°

C) x = k(180°) ± 30°y = k(180°) ± 60°

D) x = k(180°) ± 60°y = k(180°) ± 30°

E) x = k(180°) ± 40°y = k(180°) ± 20°

20. Resolver el sistema ; (k Z) ; (n Z)

A) x = kð + (-1)k

y = 2nð ±

B) x = kð + (-1)k

y = 2nð ±

C) x = kð + (-1)k

y = 2nð ±

D) x = kð ±

y = kð + (-1)k

E) x = kð ±

y = kð + (-1)k



TAREA01. Determinar el número de elementos del conjunto:

G = {x [-ð ; ð] / 1 + Senx - 2Cos2x = 0} A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

02. Resolver:

Ctg = Senx + CosxCscx , k Z

A) B)

C) D)

E)

03. Si : è [0 ; 2ð], calcular la suma de valores quesatisfacen la ecuación:

Sen4è+ Cos4

è + Sec4è(1-2Sen2

è) = 1+ Cosè -Tg2è(Tg2

è+2Cos4è)

A) 2ð B) ð C) 3ðD) 4ð E) 5ð

04. Resolver:

|Tgx|Cosx = , n Z

A) 2nð ± B) nð ± C) nð + (-1)n

D) 2nð ± E) nð ±

05. Hallar la menor solución positiva de la ecuación:

SexSen Sen =

A) ð/18 B) ð/20 C) ð/5D) 2ð/5 E) 3ð/10

06. Si :Tgè =

calcular la suma de valores de è comprendidosen < 0 ; 2ð >

A) B) C)

D) E)

07. Resolver: Sená + Cosè = 2 , n y k Z

A) á = 2nð + ; è = 2kð

B) á = 2nð ; è = 2kð + ð/2

C) á = nð + ; è = kð - ð/2

D) á = ; è = 2kð

E) á = 2nð + ; è = 2kð - ð

08. Resolver : 540 ° < x < 630 ° , 180 ° < y < 270 °



A) x = 600 ° ; y = 210 °B) x = 570 ° ; y = 240 °C) x = 540 ° ; y = 270 °D) x = 620 ° ; y = 260 °E) A y B

09. Resolver el sistema x ; y

A) x = ; y =

B) x = ; y =

C) x = ; y =

D) x = ; y =

E) x = ; y =

10. Resolver el sistema : (k Z) ; (y Z)

A) x = kð +

y = nð +

B) x = kð +

y = nð +

C) x = kð +

y = nð +

D) x = kð -

y = nð -

E) x = kð +

y = nð -



INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Se denomina inecuaciones trigonométricas a todadesigualdad entre funciones trigonométricas que se va ono a verificar para un conjunto de valores de la variable.Si la inecuación se verifica se llamará compatible en caso

contrario incompatible

Ejm : Senx > Cos2x Senx + Cosx 1 2 + 3Senx < Cos2x

INECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL (I.T.E)

Es toda inecuación trigonométrica que tiene la forma :

Ejemplo :

Sen2x >

Tg 1

Sec 2

Cos <

CASO ITeniendo la I.T.E deberá asumirse la igualdad :

F.T (kx + è) = N

En este caso se deberá resolver en los cuadrantescorrespondientes para (kx + è). Deberá ubicarse en laC.T. los arcos hallados anteriormente, para luegorepresentar la F.T. en un intervalo adecuado, donde sesatisfacen las desigualdades iniciales.Para la solución general se agregará 2nð (n Z) esto enel caso que la inecuación involucre : Sen, Cos, Sec, Csc.Si la inecuación involucra Tg y Ctg, agregaremos nð

RESOLUCIÓN DE UNA I.T.E

Ejm 1Resolver :

Resolución Analizando en la C.T.

Senx =

En la C.T. observamos que :

Senx > se resuelve para :

C.S < x <

La solución general :

, k Z

CASO IIEn el caso de una inecuación trigonométrica no elemental

Ejm :Resolver : Senx > Cos2x

Para x ]0; 2ð[

Resolución :I. Graficamos :

F(x) = Senx T = 2ðG(x) = Cos2x T = ð

II. Sombreamos donde F(x) > G(x)

III. Para hallar los puntos de intersección se iguala a :



F(x) = G(x)Senx = Cos2x

x + 2x = x =

x + 2x = x =

< x <

En General :


01. En cada una de las siguientes inecuaciones se indicauna solución, marcar lo incorrecto:

A) Senx > 1/2 ; x = 3ð/4B) Tgx < 1 ; x = 7ð/6C) |Cosx| < 1/2 ; x = 11ð/6D) |Ctgx| 1 ; x = 3ð/20E) Sec2x 2 ; x = 4ð/9

02. Si x < 0 ; 2ð >

resolver : Senx

A) B)

C) D)

E)

03. Resolver:

> 0 , n Z

A) - B) - {nð}

C) - D) -

E) -

04. Resolver :

2Sen2x + 3Senx + 1 0 ; x < 0 ; 2ð >

A) x

B) x

C) x

D) < ð ; 2ð >E) < 0 ; ð >

05. Resolver : Cos2xCosx < Cos3x

A) (4n+1) < x < (4n+3)

B) (4n+1) < x < (2n+1)ð (2n+1)ð < x <

(4n+3)

C) (2n-1) < x < 2nð 2nð < x < (2n+1)ð

D) (4n-1) < x < 2nð 2nð < x < (4n+1)

E) (4n+1) < x < 2nð 2nð < x < (4n+3)

06. Resolver:

Senx - Cosx > ; n Z

A) 2nð + < x < (2n+1)ð

B) nð + < x < nð +

C) 2nð + < x < 2nð +

D) nð + < x < nð +

E) 2nð + < x < 2nð +

07. Resolver en < ð ; 2ð >

Sen2x + Cosx 0



A) x x < 2ð

B) x

C) x

D) x

E) < ð ; 2ð > -

08. Resolver : |2Senx| - 1 > 0 ; 0 x 2ð

A)

B)

C)

D)

E)

09. Resolver: Tg2x - Tgx > 0 ; 0 ° < x < 180 ° A) 60 ° < x < 90 ° 90 ° < x < 180 °B) 30 ° < x < 60 ° 120 ° < x < 180 °C) 30 ° < x < 90 ° 150 ° < x < 180 °D) 60 ° x 90 ° 120 ° x < 180 °E) 45 ° < x < 90 ° 135 ° < x < 180 °

10. Resolver: Cosx < Secx ; k Z

A) 2kð - < x < 2kð + x 2kð

B) 2kð + < x < 2kð + x kð

C) kð - < x < kð + x kð

D) kð + < x < kð + x

E) kð - < x < kð + x

11. Resolver :

3Sen2x - Sen2x > 3Cos2x ; 0 ° < x < 360 °

A) 60 ° < x < 150 ° 240 ° < x < 330 °B) 60 ° < x < 180 ° 240 ° < x < 360 °C) 30 ° < x < 150 ° 210 ° < x < 330 °D) 30 ° < x < 120 ° 210 ° < x < 300 °E) 45 ° < x < 135 ° 225 ° < x < 315 °

12. Resolver:(Senx + Cosx)2 - 4Cos2 x < 0 ; k Z

A) kð - ArcTg3 < x < kð +

B) kð - ArcTg2 < x < kð +

C) 2kð - ArcTg2 < x < 2kð +

D) 2kð - ArcTg < x < kð +

E) kð - ArcTg < x < kð +

13. Hallar los valores de x en <0 ; ð> para los que existeF(x) si:

F(x) =

A) B) C)

D) E)

14. Resolver: ; -ð < x < ð

A) B) C)

D) E)

15. Si G(x) = Sen4x + Cos4x / G(x) , de los

intervalos que se indican, cuál no es una solución

A) B) C)

D) E)

16. Resolver:

< 0 , si x

A) B) C) ;

D) E)



17. Para qué valores de x <0 ; ð> se cumple :

Ctg >

A) <0 ; ð> - B) C)

D) E)

18. Resolver:Sen4x + Sen3x - Sen2x + Senx - 2 < 0 ; x <0 ; 2ð>

A) <0 ; 2ð> -

B) <0 ; ð> -

C) -

D) - {ð}

E) - {ð}

19. Resolver:

A) ; kð +

B) ; kð +

C) ; kð +

D) ; kð +

E) ; kð +

20. Si F(x) = Senx + Cosx ; resolver en <0 ; 2ð>F(x) > F(x)

A)

B)

C)

D)

E)



TAREA

01. De la figura adjunta se deduce:

(I) x [x1 ; x2] ; a Senx 1(II) x [x2 ; x3] ; a Senx -1(III) x [x3 ; x4] ; 0 Senx a

A) Sólo I B) Sólo II C) I y IID) I y III E) II y III

02. Resolver en

2Senx < Tgx

A) ð < x < < x < 2ð

B) < x < ð < x <

C) < x < < x <

D) ð < x < < x <

E) < x < < x <

03. Resolver :

< 1 ; n Z

A) nð < x < (4n + 1)

B) (4n + 1) < x < (2n + 1)

C) nð < x < (2n + 1)

D) < x <

E) 2nð < x < (2n + 1)

04. De los intervalos que se indican, cuál no es solución

de:

< 0 ; 0 ° x 360 °

A) 0 ° x < 45 °B) 90 ° < x < 135 °C) 225 ° < x < 270 °D) 315 ° < x 360 °E) 135 ° < x < 225 °

05. Resolver: ArcSenx - ArcCosx

A) [-1 ; 1] B) <-2 ; 2> C) [-1 ; 1] - {0}D) <-2 ; 2> - {0} E) [-2 ; 2]



06. Si : F(x) = |Senx| y G(x) = 1 + Cosxresolver : F(x) > G(x) ; si : x <0 ; 2ð>

A)

B)

C)

D)

E)

07. Resolver : Tg2 + ( + 1)Tgx ; x <0 ; ð>

A) B) C)

D) E)

08. Resolver :

A)

B)

C)

D)

E)

09. Resolver : -1 Tg(ðx) ; si x <0 ; 2>

A)

B)

C)

D)

E)

10. Resolver:|Senx| - |Cosx| > 0 ; x <-3ð ; -2ð>

A)

B) <-3ð ; -2ð>

C)

D)

E)



RESOLUCIÓN DE FIGURASÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES

1. LEY DE SENOSEn todo triángulo cada lado es directamenteproporcional a los senos de los ángulos opuestos eigual a una constante que viene a ser el diámetro dela circunferencia circunscrita.

a = 2RSenA b = 2RSenB c = 2RSenC

2. LEY DE COSENOSEn todo triángulo ABC se cumple :

a2 = b2 + c2 - 2bcCosA

b2 = a2 + c2 - 2acCosB

c2 = a2 + b2 - 2abCosC

2a. CÁLCULO DEL COSENO EN FUNCIÓN DE LOSLADOS DEL TRIÁNGULO

Sabemos por Ley de Cosenos :a2 = b2 + c2 -2bcCosA

2bcCosA = b2 +c2 - a2 CosA =

EN GENERAL

En todo triángulo ABC :

CosA =

CosB =

CosC =

3. LEY DE TANGENTES

Dado un triángulo ABC: , s e cumple

4. LEY DE PROYECCIONESDado un triángulo ABC se cumple :

a = bCosC + cCosB

b = aCosC + cCosA

c = aCosB + bCosA

5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOSSEMIÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO

Dado un triángulo ABC se cumple :



Donde :

(semiperímetro)

Completa

ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR

S : Área de la región triangular 2p : Perímetro R : Radio de la circunferencia circunscrita r : Radio de la circunferencia inscrita r a, r b, r c : Radio de la circunferencia exinscritas

relativas a los lados a, b y c respectivamente

S =

Fórmula de Herón :

S =

S =

S = p . r

S = (p -a)r a

S = (p - b)r b S = (p - c)r c


01. En un triángulo ABC , A = 37° , C = 30° , BC = x + 1y AB = x - 1 . Calcular x.

A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12

02. En un triángulo ABC ,simpli ficar :

A) 0 B) 1 C) aD) b E) c




A) B) C)

D) E)


A) B) C)

D) E)


A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 0

06. En un triángulo ABC se cumple :

Calcular : Cos A + Cos B + Cos C

A) B) C)

D) E)


A) Sen A B) Sen B C) Sen CD) Sec A E) Sec B

08. Si en un triángulo ABC se cumple :

donde R es el circunradio, calcular : TgATgBTgC A) 2 B) 1,5 C) 1D) 0,5 E) 2,5


Calcular : TgC

A) B) C)

D) E)

10. Las diagonales de un paralelogramo miden 4 y 6,unode sus ángulos mide 45°.Calcular el producto de laslongitudes de sus lados.

A) B) C)

D) E)

11. En un cuadrado ABCD se inscribe una circunferenciaque interseca a la diagonal AC en un punto F.Calcular el seno del ángulo BFD.

A) B) C)

D) E)

12. En un triángulo ABC de área S. Calcular :

A) 1 B) 2 C) 1/2D) 4 E) 1/4

13. Hallar el área del triángulo ABC, si el circunradio mide

8 m , .

A) B) C)

D) E)

14. En un triangulo ABC de área S se cumple :

Calcular : A) 3 B) 5 C) 7D) 9 E) 11

15. En un triangulo ABC, R es el circunradio, S es el área

y : .Calcular R.

A) B) C)

D) E)

16. En un triangulo ABC de área S se cumple :

Calcular :

A) B) C)

D) E)

17. En un triángulo ABC ,C = 2A y 6a = 5c. Calcular :

A) -1/4 B) -1/2 C) 1D) 1/2 E) 1/4



18. En un triángulo acutángulo ABC se cumple :

Donde R es el circunradio. Calcular : Tg2C

A) B) C)

D) E)

19. En un triángulo ABC, BC = 5, AB = 11, A = 3C.Calcular la longitud del lado AC.

A) B) C)

D) E)

20. En un triángulo ABC, r es el inradio, R es el circun-radio y p es el semiperimetro.

Calcular :

A) B) C)

D) E)

TAREA

01. En un triángulo ABC, simplificar :

A) CosA B) - CosA C) 2CosAD) -2CosA E) 1

02. En un triángulo ABC, se cumple :

¿Qué relación cumplen los lados ?

A) Progresión aritméticaB) Progresión geométricaC) Progresión armónicaD) Son iguales

E) No hay relación03. En un triángulo ABC (AB = BC) se traza la bisectriz

interior AD, D pertenece a BC. Si AC = 10 y AD = 12,calcular la medida del ángulo ADC.

A) B) C)

D) E)


y B - C = 15°

Calcular : 2Cos2B + Tg3C

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

05. El diámetro de la circunferencia circunscrita al

triángulo ABC mide cm y la media geométrica

de sus lados es .Calcular el área del triángulo.

A) B) C)

D) E)

06. S es el área de un triángulo ABC. Expresar entérminos de S :

A) B) C)D) E)

07. En un triángulo ABC expresar :



en términos del área S.

A) B) C)

D) E)

08. En un triángulo ABC, cuya área es S, simplificar :

A) S/2 B) S C) 2SD) 4S E) 8S

09. En un triángulo ABC se cumple : b+c = 2a. Calcular el área del triángulo.

A) B) C)

D) E)

10. En un triángulo ABC,la expresión : en términos del área S

es igual a :

A) B) C)

D) E)

RESOLUCIÓN DE FIGURAS - LÍNEAS NOTABLESCUADRILÁTEROS

I. BISECTRICESa) Cálculo de la bisectriz interior (V)

Va : bisectriz interior relativa al lado “a”

Demostración:

Del gráfico deducimos que : S Ä ABC = S Ä ABM + S Ä AMC

Análogamente

* Vb =

* Vc =

b) Cálculo de la bisectriz exterior (V’)* V’a : bisectriz exterior relativa al lado a

Demostración : Sea : c > b, del gráfico deducimos que :S Ä ABC = S Ä ABM - S Ä ACM



b.c.2Sen Cos =V’aCos [c - b]

V’a =

Análogamente:

* V’b =

* V’c =

II. MEDIANA

* ma : Mediana relativa al lado “a”

Demostración:

Trazando : L1 // AC L2 //AB BACA’ : paralelogramo

* Ley de cosenos en el triángulo ABA’(2ma)

2 = b2 + c2 - 2bcCos(B + C)

Análogamente:

III. ALTURAS

* ha : altura relativa al lado “a”

Demostración :

Del gráfico :

Multiplicando (1) y (2)

= bcSenB.SenC ....... (*)

Pero por ley de senos : SenB = ; SenC = en (*)

= b.c.

Análogamente

*

*

IV. INRADIO

r = (p - a)Tg

r = (p - b)Tg

r = (p -c)Tg

p : Semiperímetro :



Demostración:

Del gráfico :* 2m + 2n + 2t = 2p m = p - (n + t)

m = p - a

Luego :

IV. RADIOS DE LAS CIRCUNFERENCIASEX-INSCRITAS (EX-RADIO)

r a : Ex - radio relativo al lado “a”

r a = pTg

Demostración :

Del gráfico :* b + m = c + n (por ser tangentes a la circunferencia)* 2p = b + m + c + n

2p = (b + m) + (b + m) p = b + m

Del gráfico :

Tg = r a = (b + m)Tg

Análogamente:

* r b = pTg

* r c = pTg

Expresiones del inradio y ex-radios en términos delcircuncentro y los tres ángulos del triángulo ABC

r = 4RSen Sen Sen

r a = 4RSen Cos Cos

r b = 4RCos Sen Cos

r c = 4RCos Cos Sen

* queda para el lector verificar dichas relaciones

ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES

1. En términos de sus diagonales y el ángulocomprendido entre estas

Se cumple :

Donde :d1 y d2 : Diagonales del cuadrilátero ABCDá : Medida del ángulo formado por las diagonales(S : Área del cuadrilátero ABCD)



2. En términos de sus lados y sus ángulos opuestos

Se cumple :

Donde :

p : Semiperímetro

* p =

* è : Es la semisuma de dos ángulos opuestos

è = ó è =

Casos particulares

a) Para un cuadrilátero inscriptible (è = 90°)

S =

b) Para un cuadrilátero circunscriptiblea + c = b + d (teorema de Pitot)

S = .Senè

c) Para un cuadrilátero bicéntrico(inscriptible y circunscriptible a la vez)

S =


01. La media armónica de dos de los lados de untriangulo es “ k “ y el ángulo que dichos lados formanes 2è.Calcular la longitud de la bisectriz interior dedicho ángulo.

A) kCosè B) 2kCosè C) 3kCosèE) 0,5kCosè E) 0,25kCosè

02. En un triángulo ABC, es la bisctriz interior del

ángulo A.

Calcular :

A) B) C)

D) E)

03. En un triangulo ABC ,la bisectriz interior del ángulo



B se puede expresar como dondeR es el circunradio .Calcular k.

A) B) C)

D) E)

04. son las bisectrices exterior e interior,

respectivamente del ángulo A de un triángulo ABC.Simplificar:

A) B) C)

D) E)

05. son las medianas de un triángulo ABC.

Simplificar :

A) 12 B) 8 C) 6D) 3/4 E) 4/3

06. En un triángulo ABC la mediana relativa al lado a esigual a :

Si R es el circunradio ,hallar k. A) 2 B) -2 C) 4

D) -4 E) 1

07. En un triángulo ABC, a = 6 u, b = 8 u y .Calcular la longitud de la mediana relativa al lado c.

A) B) C)

D) E)

08. En un triángulo ABC la longitud de la mediana relativaal lado BC es media proporcional de las longitudes

de los otros dos lados. Calcular :

A) B) C)

D) E)

09. En un triángulo ABC cuyas medianas son se cumple :

.Hallar k.

A) B) C)

D) E)

10. son las bisectrices interiores de los ángulos

C y A respectivamente. A qué es igual :

A) B) C)

D) E)

11. En un triangulo ABC simplificar :

A) p B) 2p C) 3pD) 4p E) 6p

12. Expresar en términos de r (inradio ), B y C

A) B)

C) D)

E)

13. En un triángulo ABC, r = inradio , p = semiperímetro

Simplificar :

A) B) C)

D) E)

14. En un triángulo ABC simplificar :

A) B) C)

D) E)


Calcular la medida del ángulo A.

A) B) C)



D) E)


Hallar k. A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8D) 2 E) 4


A) 4 B) 2 C) 3D) 6 E) 8

18. Si ABCD es un cuadrilátero circunscriptible,simplificar la expresión:

A)

B)

C)

D)

E)

19. Un cuadrilátero ABCD es tal que puede inscribirse en

él una circunferencia y circunscribirsele otra.Calcular CosA en términos de sus lados .

A) B) C)

D) E)

20. ABCD es un cuadrilátero bicentrico. Calcular

en términos de sus lados.

A) B) C)

D) E)

TAREA

01. El inradio de un triángulo ABC es igual a :

(I) (II)(III)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III



D) I y II E) I y III

02. En un triángulo ABC simplificar :

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6

03. En un triángulo ABC, es la mediana relativa al

lado b, simplificar : ; S es el área

del triángulo.

A) B) C)

D) E)

04. En un triángulo ABC, r es inradio y p es el

semiperímetro .Si , hallar k.

A)

E)

07. En un triángulo ABC cuyo semiperímetro es p,

calcular :

A) B) C)

D) E)

08. El área de un cuadrilátero cíclico ABCD es S,simplificar :

A) 2SenA B) 2CosA C) 2TgAD) 2CtgA E) 2CscA

09. El áreas de un cuadrilátero inscriptible ABCD es S yla media geométrica de sus lados es “m”.

Calcular :

A) B) C)

D) E)

Libro 1 Anual Uni Trigonometría

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