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La trigonometría Resolución de triángulos rectángulos. Resolución de triángulos oblicuángulos. Identidades trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas.
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La trigonometría
Resolución de triángulos rectángulos.
Resolución de triángulos oblicuángulos.
Identidades trigonométricas.
Ecuaciones trigonométricas.
La trigonometría.
La palabra trigonometría, se forma con:
tri = tres, gono = ángulo y metría = medida.
La palabra trigonometría:
Es la rama de las matemáticas que se encarga de estudiar los
triángulos.
La trigonometría:
Le pidió a la vieja geometría, que le dijera todo lo que supiera
sobre triángulos y ángulos.
Ella le dio la siguiente información:
La clasificación básica de ángulos.
La clasificación de los triángulos.
Clasificación de los triángulos.
Los triángulos se clasifican de acuerdo a sus
lados y ángulos.
LADOS
ÁNGULOS
EQUILÁTEROS
ISÓCELES
ESCALENOS
RECTÁNGULOS
ACUTÁNGULOS
OBTUSÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Por lo tanto,
Para la
trigonometría
solo existen dos
tipos de
triángulos
Información relevante
¿Qué es resolver un triángulo?
Que dadas algunas partes (ángulos o lados) como
datos conocidos, encontremos los restantes.
¿Qué partes tiene un triángulo?
Sin contar sus 3 vértices, tiene 3 lados y 3
ángulos. Seis partes en total.
¿Cuántas partes se tienen que conocer como
mínimo para encontrar las restantes? Tres.
3 lados.
2 lados y 1 ángulo.
1 lado y 2 ángulos.(con 3 ángulos no se puede)
Información relevante
En trigonometría, hay el acuerdo de que las letras
mayúsculas sirven para representar a los ángulos
y las minúsculas a los lados.
Además las letras correspondientes A y a, B y b,
C y c deben ser opuestas.
Ejemplos:
A A A
a
a a
B
B
B
b
b
b
C
C
C
c
c
c
Información relevante
En los triángulos rectángulos los lados reciben un
nombre especial:
HIPOTENUSA
o lado mayor
CATETO
o lado
Sistema sexagesimal o inglés.
Primer
Cuadrante
(+,+)
Segundo
Cuadrante
(−,+)
Tercer
Cuadrante
(−,−)
Cuarto
Cuadrante
(+,−)
0°
90°
180°
270°
360°
30°
45° 60° 120°
135°
150°
210°
225°
240° 300° 315°
330°
Un grado = 60 minutos Un minuto = 60 segundos
Sistema cíclico o radiante. Primer
Cuadrante
(+,+)
Segundo
Cuadrante
(−,+)
Tercer
Cuadrante
(−,−)
Cuarto
Cuadrante
(+,−)
0
π/2
π
3π/2
2π
π/6
π/4 π/3 2π/3
3π/4
5π/6
7π/6
5π/4
4π/3 5π/3 7π/4
11π/6
π = 180 grados
¿Qué se requiere para resolver triángulos?
Rectángulos.
1) A + B = 90° (la suma de los dos agudos es 90°)
2) Teorema de Pitágoras.
3) Las funciones trigonométricas.
Oblicuángulos.
1) A + B + C = 180°
2) Ley de los senos.
3) Ley de los cosenos.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
La primera cosa que debemos saber…
En los triángulos rectángulos.
1) A + B = 90° (la suma de los dos agudos es 90°)
Ejemplos:
20°
70°
50°
40°
10°
80° 75°
15°
63°
27° 45°
45°
La segunda cosa que debemos saber…
En los triángulos rectángulos.
2) El teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras.
Dice: “En todo triángulo rectángulo la hipotenusa al
cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos”
c a
b
El teorema es:
c2 = a2 + b2
Así se usa:
c = √a2 + b2
b = √c2 − a2
a = √c2 − b2
Sirve para que, conociendo dos
lados de un triángulo rectángulo,
localicemos el tercero.
La segunda cosa que debemos saber…
Ejemplos del teorema de Pitágoras.
5 a
4
a = √c2 − b2 = √52 − 42 =
a = √25 − 16 = √9 = 3
c 7
9
c = √a2 + b2 = √72 + 92 =
c = √49 + 81 = √130 = 11.4
La tercera cosa que debemos saber…
Rectángulos.
3) Las funciones trigonométricas.
Las funciones trigonométricas, son seis y para
definirlas debemos entender ¿Qué es un
cateto opuesto y un cateto adyacente?
A
Cateto
Opuesto
Cateto
Adyacente
Hipotenusa Cateto
Adyacente
Hipotenusa
Cateto
Opuesto
B
Visto desde el ángulo A Visto desde el ángulo B
La tercera cosa que debemos saber…
La definición de las funciones trigonométricas es:
Sen A = Cateto Opuesto
Hipotenusa =
CO
H
Cos A = Cateto adyacente
Hipotenusa =
CA
H
Tan A = Cateto Opuesto
Cateto Adyacente =
CO
CA
Cot A = Cateto Adyacente
Cateto Opuesto =
CA
CO
Sec A = Hipotenusa
Cateto Adyacente =
H
CA
Csc A = Hipotenusa
Cateto Opuesto =
H
CO
SENO
COSENO
TANGENTE
COTANGENTE
SECANTE
COSECANTE
Información adicional.
La gráfica de la función seno es:
Información adicional.
La gráfica de la función seno es:
Información adicional.
La gráfica de la función coseno es:
Información adicional.
La gráfica de la función coseno es:
Información adicional.
La gráfica de la función tangente es:
Información adicional.
La gráfica de la función tangente es:
Información adicional.
La gráfica de la función cotangente es:
Información adicional.
La gráfica de la función secante es:
Información adicional.
La gráfica de la función cosecante es:
Resolución de triángulos rectángulos.
Para efectos de resolver triángulos rectángulos
sólo requerimos 3 de las 6 funciones
trigonométricas.
5 a
4
c 7
9
17 8
b
Si conoces…
usa el Seno
Si conoces…
usa el Coseno
Si conoces…
usa la Tangente
Resolución de triángulos rectángulos.
Al resolver triángulos rectángulos existen dos
casos, según los tres datos que te dan:
Caso LAL, te dan un lado, un ángulo y un lado.
Caso ALA, te dan un ángulo, un lado y un
ángulo.
5
4
7
9
17 8
90° 90° 90°
4
7 17
30°
90° 90° 90°
35°
40°
Resolución de triángulos rectángulos.
Para resolver problemas del caso ALA:
1) Se obtiene el ángulo desconocido por la
simple resta de 90° menos el ángulo agudo
conocido.
2) Usando la función trigonométrica
conveniente encontramos uno de los lados que
nos faltan.
3) Usando el teorema de Pitágoras
encontramos el tercer lado o podemos usar otra
función trigonométrica.
