DERIVACION
11
DERIVACION 1. Algoritmo Se tiene el polinomio de la interpolación de Newton p ( k ) =y 0 + k∆y 0 + k ( k −1) 2 ! ∆ 2 y 0 + k ( k−1 ) ( k−2 ) 3 ! ∆ 3 y 0 +… (1) Al observar la ec. 1 el polinomio está en función de k y esta a su vez está en función de x, si se va a derivar dicho polinomio se aplica la regla de la cadena, esto es: d dx p ( x) = dp ( k) dk dk dx (2) Con base en la ec. 2 se deriva la ec. 1 d dx p ( x) = d dk (y 0 +k∆y 0 + k ( k−1 ) 2 ! ∆ 2 y 0 + k ( k−1 )( k−2 ) 3 ! ∆ 3 y 0 +…) dk dx (3) Al desarrollar los valores de k d dx p ( x) = d dk (y 0 +k∆y 0 + k 2 −k 2 ! ∆ 2 y 0 + k 3 −3 k 2 +2 k 3 ! ∆ 3 y 0 + …) dk dx (4) Al estudiar el polinomio de Newton se indico que existe una ecuación que relaciona los valores de x y los valores de k y es: x=x 0 + kh (5) x = un valor dado de x x 0 = valor inicial de x de los puntos dados h = incremento de las x k = valor natural de numeración de los puntos se despeja el valor de k de la ec. 5 k= x 0 h + x h (6) Al derivar la ec. 6 con respecto a x se tiene dk dx = 1 h (7)
description
metodo de derivación
Transcript of DERIVACION
DERIVACION1. AlgoritmoSe tiene el polinomio de la interpolacin de Newton (1)Al observar la ec. 1 el polinomio est en funcin de k y esta a su vez est en funcin de x, si se va a derivar dicho polinomio se aplica la regla de la cadena, esto es: (2)Con base en la ec. 2 se deriva la ec. 1 (3)Al desarrollar los valores de k (4)Al estudiar el polinomio de Newton se indico que existe una ecuacin que relaciona los valores de x y los valores de k y es: (5)x = un valor dado de xx0 = valor inicial de x de los puntos dadosh = incremento de las xk = valor natural de numeracin de los puntosse despeja el valor de k de la ec. 5 (6)Al derivar la ec. 6 con respecto a x se tiene (7)De la ec. 4 se calcula la derivada con respecto a k y se sustituye la ec. 5, se tiene (8)La ec. 8 es la ecuacin general para obtener la derivada cuando se dan como datos un serie de puntos (llamados datos discretos), a partir de esta ecuacin general se obtienen ecuaciones particulares para calcular en forma aproximada la derivada.Se van desarrollar dos aproximaciones para obtener la primera derivada de datos discretos discretos.PRIMERA APROXIMACINkxy
01X0X1Y0Y1
De la ecuacin general (8) se va a tomar el primer trmino (9)En el tema de interpolacin de Newton se sabe que la primera diferencia finita en y0 es (10)Al sustituir la ec. 10 en la ec. 9 se tiene (11)La ecuacin 11 es la primera aproximacin para calcular en forma aproximada la derivada de puntos discretos y se requieren dos puntos para poder aplicar la ecuacin.
SEGUNDA APROXIMACINSe van a tomar dos trminos de la ecuacin general (8) esto es (12)De acuerdo a la tabla de diferencias finitas visto en el tema de interpolacin de Newton (13) (14)Al sustituir la ecs. (13) y (14) en la ec. (12) se tiene (15)
En esta aproximacin se requieren tres puntos para calcular la deriva, esto eskxy
012X0X1X2Y0Y1Y2
Dado tres puntos se va a obtener la ecuacin para derivar cada uno de esos puntos
Derivada para x0Para obtener la derivada de x0, se sustituye el valor de k=0 en la ec. 15 (16) (17) (18) (19) (20)Derivada para x1Para obtener la derivada de x1 , se sustituye el valor de k=1 en la ec. 15 (21) (22) (23) (24) (25)Derivada para x2Para obtener la derivada de x2 , se sustituye el valor de k=2 en la ec. 15 (26) (27) (28) (29) (30)
En resumen las ecuaciones de la primera y segunda aproximacin son:Primera aproximacinkxy
01X0X1Y0Y1
(31)Segunda aproximacinkxy
012X0X1X2Y0Y1Y2
(32) (33) (34)
2. Ejemplos2.1 Ejemplo Dados dos puntos (tabla 1) obtener la derivada del primer punto con la ec. 31
Tabla 1 Datos el ejemplo 2.1kxy
01X0 = 2X1 = 4Y0 = 2.5Y1 = 5
Con la ec. 31 es El valor de h es el incremento de las x, al observar la tabla 1 el valor de h=2 y al sustituir los valores de y se tiene = 1.25Es importante aclarar que con esta ecuacin nicamente se puede obtener la derivada del punto x0 y no es posible obtener la derivada del punto x1 .2.2 Ejemplo 2Dados tres puntos (tabla 2) obtener la derivada los tres puntos las ecs. 32, 33, 34Tabla 2 Datos del ejemplo 2.2kxy
012X0 = 3X1 = 6X2 = 9Y0 = 8Y1 = 2Y2 = 10
Las ecuaciones 32, 33, 34 son
El incremento de h = 3 y al sustituir los datos de la tabla 2
El valor de h es el incremento de las x, al observar la tabla 2 el valor de h=3 y al sustituir los valores de y se tiene 2.3 Ejemplo 3Se dan un conjunto de puntos (tabla 3) y hay que obtener la derivada del primer punto, del punto intermedio y del ltimo punto (X0 , X3 , X6 ) todas las ecuaciones vistas de derivacin. Tabla 3 Datos del ejemplo 3xY
X0 = 1X1 = 2X2 = 3X3 = 4X4 = 5X5 = 6X6 = 7Y0 = 15.8Y1 = 12.3Y2 = 17.6Y3 = 11.9Y4 = 10.4Y5 = 11.2Y6 = 19.8
Las ecuaciones de derivacin son:Primera aproximacin (35)Segunda aproximacin (36) (37) (38)Derivada del primer punto X0Se va a calcular la derivada del primer puntoPrimera aproximacinAl observar la tabla 3, h=1 y los valores correspondientes de y Y0 = 15.8 , Y1 = 12.3 al sustituir los datos en la ec. 35 se tiene Segunda aproximacinAl observar la tabla 3, h = 1 y los valores correspondientes de YY0 = 15.8 , Y1 = 12.3, Y2 = 17.6 Al sustituir los datos en la ec. 36 Las ecs. 37 y 38 no se pueden aplicar para el primer punto porque los datos que se requieren no existen. En el caso de la ec. 37 se requiere un punto arriba del punto x0 y este no existe, en el caso de la ec, 38 se requieren dos puntos arriba del punto x0 y esos puntos tampoco existen.
Derivada del punto intermedio X3Primera aproximacinAl observar la tabla 3, h=1 y los valores correspondientes de yY0 = 11.9 , Y1 = 10.4al sustituir los datos en la ec. 35 se tiene
Segunda aproximacin k=0Al observar la tabla 3, h=1 y los valores correspondientes de yY0 = 11.9 , Y1 = 10.4, Y2 = 11.2al sustituir los datos en la ec. 36 se tiene k=1Al observar la tabla 3, h=1 y los valores correspondientes de yY0 = 17.6 , Y2 = 10.4al sustituir los datos en la ec. 37 se tiene k=2Al observar la tabla 3, h=1 y los valores correspondientes de yY0 = 12.3 , Y1 = 17.6, Y2 = 11.9al sustituir los datos en la ec. 38 se tiene
Derivada del punto ltimo punto X6Primera aproximacinSi se observa la ec. 35 no se puede aplicar ya que se requiere un punto abajo del ltimo punto y este punto no existe.Segunda aproximacin k=0Si se observa la ecuacin 36 no se puede aplicar ya que se requieren dos puntos abajo del ltimo punto y estos puntos no existen. k=1Si se observa la ecuacin 37 no se puede aplicar ya que se requiere un punto abajo del ltimo punto y este punto no existe k=2Al observar la tabla 3, h=1 y los valores correspondientes de yY0 =10.4 , Y1 = 17.6, Y2 = 11.9al sustituir los datos en la ec. 38 se tiene
Todos los valores calculados se presentan en la tabla 4Tabla 4 Resultados del Ejemplo 3XYPrimera aproximacinSegunda aproximacin
k=0k=1k=2
X0 = 1X1 = 2X2 = 3X3 = 4X4 = 5X5 = 6X6 = 7Y0 = 15.8Y1 = 12.3Y2 = 17.6Y3 = 11.9Y4 = 10.4Y5 = 11.2Y6 = 19.8-3.5
-1.5
X-7.9
-3.4
XXX
-3.6
XXX
-11.2
13.45
Nota: En la tabla 4, donde aparece una X es para indicar que no se puede aplicar la ecuacin.Al analizar los resultados de la tabla 4, se observa que al aplicar diferentes ecuaciones aproximadas de derivacin para un mismo punto, los resultados no tienen que ser los mismos y esta variacin es debido al grado de aproximacin de la frmula.
