DERIVACION PARCIAL

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  • 7/25/2019 DERIVACION PARCIAL

    1/10

    Calculo 3: 2016-1

    DERIVACIN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

    En aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta Cmo afectara

    al valor de una funcin un cambio en una de sus variables independientes?Se puede contestar esta pregunta considerando cada una de las variables independientes

    por separado. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento,

    un qumico podra repetir el experimento varias veces usando cantidades distintas de

    catalizador, mientras mantiene constante las otras variables como temperatura ypresin. Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una funcin frespecto auna de sus variables independientes se puede utilizar un procedimiento similar. A este

    proceso se le llama derivacin parcialy el resultado se llama derivada parcialde fconrespecto a la variable elegida.

    Definicin de las derivadas parciales de una funcin de dosvariables

    Derivadas parciales de primer orden.Se llama derivada parcialde una funcin z f ( x , y ) con respecto a la variable independiente x al siguiente lmite, si existe y es finito:

    (1)

    el cual se calcula suponiendo yconstante.

    Se llama derivada parcialde una funcin z f ( x , y ) con respecto a la variable independiente y

    al siguiente lmite, si existe y es finito:

    (2)

    el cual se calcula suponiendoxconstante.

    Notacin de las derivadas parciales

    Si z f ( x , y ) , entonces sus derivadas parciales respecto a xy yse expresan, se

    respectivamente, en las formas siguientes:

    1

    x x

    z ff ( x , y ) f ( x , y ) D [ f ( x , y )] D f ( x , y )

    x x x

    2

    y y

    z ff ( x , y ) f ( x , y ) D [ f ( x , y )] D f ( x , y )

    y y y

    ( , ) ( , )limx

    f f x x y f x y

    x x

    0

    ( , ) ( , )limy

    f f x y y f x y

    y y

    0

  • 7/25/2019 DERIVACION PARCIAL

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    Departamento de Ciencias 2

    Ejemplo 1.-Aplique la definicin de derivada parcial para calcular1

    D f ( x, y ) y2

    D f ( x, y ) si

    2 23 2f ( x, y ) x xy y .

    Solucin

    10

    2 2 2 2

    0

    2 2 2 2 2

    0

    2

    0 0

    3 2 3 2

    3 6 3 2 2 3 2

    6 3 26 3 2

    6 2

    x

    x

    x

    x x

    f ( x x, y ) f ( x , y )D f ( x , y ) limx

    ( x x ) ( x x )y y ( x xy y )lim

    x

    x x x ( x ) xy y x y x xy ylim

    x

    x x ( x ) y xlim lim x x y

    x

    x y

    20

    2 2 2 2

    0

    2 2 2 2 2

    0

    2

    0

    0

    3 2 3 2

    3 2 2 2 3 2

    2 2

    2 2 2 2

    y

    y

    y

    y

    y

    f ( x, y y ) f ( x , y )D f ( x , y ) lim

    y

    x x( y y ) ( y y ) ( x xy y )lim

    y

    x xy x y y y y ( y ) x xy ylim

    y

    x y y y ( y )lim

    y

    lim ( x y y ) x y

    Ejemplo 2.-Calcular1

    D f ( x, y ) y2

    D f ( x, y ) si 2 22 5f ( x, y ) x y xy x y

    Solucin

    10

    2 2 2 2

    0

    2 2

    2

    0 0

    2

    2 5 2 5

    4 24 2 1

    4 1

    x

    x

    x x

    f ( x x, y ) f ( x, y )D f ( x, y ) lim

    x

    ( ( x x ) y ( x x )y ( x x ) y ) ( x y xy x y )lim x

    xy x ( x ) y x xlim lim xy x y

    x

    xy y

    En forma similar que2

    2 2 2 5D f ( x, y ) x xy .

    Nota Para calcular las derivadas parciales, todo lo que debe hacer es recordar que segn laecuacin (1) la derivada parcial con respecto a x es justamente la derivada ordinaria de f con

    respecto ax manteniendo fija la variabley. Por lo tanto, se encuentra la regla siguiente.

  • 7/25/2019 DERIVACION PARCIAL

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    Departamento de Ciencias 3

    REGLA PARA DETERMINAR LAS DERIVADAS PARCIALES DE ( , )z f x y

    1. Para determinarx

    f , conservar a yconstante y derivar ( , )f x y con respecto a x .

    2. Para determinary

    f , conservar a xconstante y derivar ( , )f x y con respecto a y .

    Ejemplo 1Dada la funcin zdefinida por ( ) x yz x y e

    2 2

    . Hallar zy

    y zx

    .

    Solucin

    ( )( ) ( )x y 2 2 x y 2 3 x y z

    2 xe x y ye 2 x x y y e x

    ( )( ) ( )x y 2 2 x y 3 2 x y z

    2 ye x y xe 2 y x xy e y

    Ejemplo 2 Hallar y evaluar las derivadas parciales de ( , )2

    x yf x y xe . Hallar ,

    x yf f y evaluar a

    cada en el punto (1,ln2) .

    Solucin

    Como ( , ) ( )2 2

    2 x y x y

    xf x y xe xy e . La derivada parcial de fcon respecto a x en (1,ln2) es

    ln 2 ln 2(1,ln 2) (2ln 2) 4ln 2 2

    xf e e .

    Como ( , ) ( )2 2

    2 3

    x y x y

    yf x y xe x x e . La derivada parcial de fcon respecto a y en (1,ln2) es

    ln2(1,ln 2) 2

    yf e .

    INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES

    Para dar una interpretacin geomtrica de las derivadas parciales, recuerde que la ecuacin

    ( , )z f x y representa una superficie S(que es la grfica de f). Si ( , )f a b c , entonces el

    punto ( , , )P a b c est definido sobre S. Si hace y b entonces ( , )z f x b representa la curva

    interseccin C1(en otras palabras la curva C

    1es la traza de Sen el plano y b ). Por

    consiguiente

    0

    ( , ) ( , )( , ) lim

    x x

    f a x b f a bf a b

    x

  • 7/25/2019 DERIVACION PARCIAL

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    Departamento de Ciencias 4

    representa la pendiente de esta curva en el punto ( , , ( , ))a b f a b . Ntese que tanto la curva

    como la recta estn en el plano y b . Anlogamente

    0

    ( , ) ( , )( , ) lim

    y y

    f a y b f a bf a b

    y

    representa la pendiente de la curva interseccin C2

    (en otras palabras la curva C2es la

    traza de Sen el plano x a ). Ver figura 1

    Ejemplo 1 Si2 2

    ( , ) 4 2f x y x y , determine (1,1) y (1,1)x yf f , e interprete estos valores.

    Solucin

    Las derivadas parciales de f con respecto a ex y son

    ( , ) 2 ( , ) 4

    (1,1) 2 (1,1) 4

    x y

    x y

    f x y x f x y y

    f f

  • 7/25/2019 DERIVACION PARCIAL

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    Departamento de Ciencias 5

    La grfica de fes el paraboloide2 2

    ( , ) 4 2f x y x y y el plano vertical 1y lo corta en

    la parbola2

    2 , 1z x y .(Al igual que en el anlisis anterior, es1

    C en la figura 2 ). La

    pendiente de la tangente de esta parbola en el punto (1,1,1) es (1,1) 2x

    f . De la misma

    manera, la curva2

    C que se forma cuando el plano 1x corta al paraboloide es la parbola

    2

    3 2 , 1z y x y la pendiente de la tangente de esta parbola en el punto (1,1,1) es(1,1) 4

    yf

    (ver figura 3).

    Derivadas parciales de una funcin de tres o ms variables

    Tambin se puede definir las derivadas parciales mediante funciones de tres o msvariables. Por ejemplo, si fes una funcin de tres variables yx y z, , entonces su derivada

    parcial con respecto a x se define como

    0

    ( , , ) ( , , )( , , ) lim

    xh

    f x h y z f x y zf x y z

    h

    y se determina considerando a y ay zcomo constantes y derivando ( , , )f x y z con respecto

    a x . Si ( , , )w f x y z , entonces ( , , )xf x y z w x se puede interpretar como la razn de

    cambio de w con respecto a x cuando yy z se mantiene constantes.

    En general, si u es una funcin de n variables, 1 2( , , , )nu f x x x , su derivada parcial con

    respecto a la i -sima variablei

    x es

    1 2 1 1 1

    0

    ( , , , , , , , ) ( , , , , )lim i i i n i nh

    i

    f x x x x h x x f x x xu

    x h

    y tambin

    ix ii i

    u f

    f fx x

    Figura 4 Figura 3

  • 7/25/2019 DERIVACION PARCIAL

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    Departamento de Ciencias 6

    Ejemplo 2 Dada la funcin f definida por ( , , ) x y z

    f x y z e3 4 5

    . Hallar sus derivadas

    parciales en el punto 1,1,1 .P

    Solucin

    3 4 5x y z 2 4 5

    ( 1,1,1 ) ( 1,1,1 )

    fe ( 3 x y z ) 3e

    x

    3 4 5x y z 3 3 5

    ( 1,1,1 )( 1,1,1 )

    fe ( 4 x y z ) 4e

    y

    ( , , )( , , )

    ( )x y zf

    e x y z ez

    3 4 53 4 4

    1 1 11 1 1

    5 5

    PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE

    Se llama plano tangentea una superficie en un punto ( , , )0 0 0

    P x y z de la misma, al plano

    que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto

    ( , , )0 0 0

    P x y z .

    Si la superficie est definida de manera implcita por la ecuacin z f x , y ,entonces la

    ecuacin del plano tangenteen un punto ( , , )0 0 0

    P x y z de la superficie viene definido por la

    ecuacin:

    0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( ) ( ) 0

    f fx y x x x y y y z z

    x y

    Ejemplo 1 Hallar la ecuacin del plano tangente a la superficie de ecuacin2 2

    z 5 2 x y en el

    punto 1 1 2P , , .

    Solucin

    Hallamos las derivadas parciales:(1,1,2) (1,1,2)

    (1,1,2) (1,1,2)

    4 4; 2 2z z

    x yx y

    Luego la ecuacin del plano tangente en el puntoP(1,1,2)es: z 8 4 x 2 y

    .

  • 7/25/2019 DERIVACION PARCIAL

    7/10

    Departamento de Ciencias 7

    Ejemplo 2Hallar la ecuacin del plano tangente a la superficie de ecuacin2 2

    z 3x y 2 en el

    punto 1 2 9P , , .

    Solucin

    Hallamos las derivadas parciales:( 1,2,9) ( 1,2,9)

    ( 1,2,9) ( 1,2,9)

    6 6; 2 4z z

    x yx y

    Luego la ecuacin del plano