Derivacion e integracion numéricas

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Programa de Doctorado: Tecnologas Industriales y de Comunicacin MatemÆtica NumØrica Tema 1: Derivacin e integracin numØricas 1 Introduccin Los mØtodos numØricos sirven para obtener una solucin aproximada de un problema matemÆtico mediante la implementacin de un algoritmo. Por tanto, la solucin que obtenemos posee un margen de error que es conveniente controlar. Hay dos fuentes de error en un algoritmo numØrico. Una fuente de error es la propia representacin del nœmero en el ordenador. Nor- malmente los nœmeros se representan en el ordenador en cdigo binario y en notacin cientca. Como el nœmero de bits que podemos utilizar es nito, esta representacin implica necesariamente un redondeo. AdemÆs, al realizar operaciones aritmØticas se in- troducen nuevos errores que se van propagando. A esta parte del error lo llamaremos Error de Redondeo. Notemos pues que a la hora de diseæar un algoritmo numØrico es importante tener en cuenta el nœmero de operaciones necesarias para su implementacin, ya a mayor nœmero, mayor es el error de redondeo y mayor es el tiempo de cÆlculo. Si un algoritmo obtiene la solucin exacta de un problema en un nœmero nito de pasos decimos que el algoritmo es directo. En este caso la œnica fuente de error es el de redondeo. Un algoritmo es un mØtodo iterativo si consiste en una sucesin de pasos dependi- entes de uno o varios parÆmetros y que proporciona aproximaciones de la solucin cada vez mejores a medida que los parÆmeteros tienden a innito. Si las sucesivas soluciones se acercan cada vez mÆs a la solucin real, entonces decimos que el mØtodo es conver- gente. En este caso el mØtodo en s tiene un error proprio, al que llamaremos Error de Truncamiento. Es importante resaltar que en los mØtodos iterativos no es slo importante estudiar la convergencia del mØtodo, sino tambiØn la velocidad a la que converge, ya que a mayor velocidad, menos tiempo de cÆlculo necesitaremos para la resolucin del problema. Por tanto, si x aproxima la solucin x, expresaremos el error x x en la forma: Error = x x = E Red + E T runc : 1

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Los métodos numéricos sirven para obtener una solución aproximada de un problema matemático mediante la implementación de un algoritmo. Por tanto, la solución que obtenemos posee un margen de error que es conveniente controlar. En este tema se estudian varios métodos de derivación e integración empleando métodos numéricos y, además, se estudia como controlar el error de cálculo (de redondeo y truncamiento) que éstos generan. Estos apuntes fueron utilizados en la asignatura de Matemática Numeríca impartida por el Dr. José Valero Cuadra dentro del Máster Universitario de Investigación en Tecnologías Industriales y de Telecomunicación.

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  • 1. Programa de Doctorado: Tecnologas Industriales y de Comunicacin Matemtica Numrica Tema 1: Derivacin e integracin numricas1 IntroduccinLos mtodos numricos sirven para obtener una solucin aproximada de un problemamatemtico mediante la implementacin de un algoritmo. Por tanto, la solucin que obtenemos posee un margen de error que es convenientecontrolar. Hay dos fuentes de error en un algoritmo numrico. Una fuente de error es la propia representacin del nmero en el ordenador. Nor-malmente los nmeros se representan en el ordenador en cdigo binario y en notacincientca. Como el nmero de bits que podemos utilizar es nito, esta representacinimplica necesariamente un redondeo. Adems, al realizar operaciones aritmticas se in-troducen nuevos errores que se van propagando. A esta parte del error lo llamaremosError de Redondeo. Notemos pues que a la hora de disear un algoritmo numrico es importante tener encuenta el nmero de operaciones necesarias para su implementacin, ya a mayor nmero,mayor es el error de redondeo y mayor es el tiempo de clculo. Si un algoritmo obtiene la solucin exacta de un problema en un nmero nito depasos decimos que el algoritmo es directo. En este caso la nica fuente de error es el deredondeo. Un algoritmo es un mtodo iterativo si consiste en una sucesin de pasos dependi-entes de uno o varios parmetros y que proporciona aproximaciones de la solucin cadavez mejores a medida que los parmeteros tienden a innito. Si las sucesivas solucionesse acercan cada vez ms a la solucin real, entonces decimos que el mtodo es conver-gente. En este caso el mtodo en s tiene un error proprio, al que llamaremos Error deTruncamiento. Es importante resaltar que en los mtodos iterativos no es slo importante estudiarla convergencia del mtodo, sino tambin la velocidad a la que converge, ya que a mayorvelocidad, menos tiempo de clculo necesitaremos para la resolucin del problema. Por tanto, si x aproxima la solucin x, expresaremos el error x x en la forma: Error = x x = ERed + ET runc : 1
  • 2. El error absoluto jx x j lo estimaremos mediante la desigualdad jx xj jERed j + jET runc j :2 Derivacin numricaEl problema de la derivacin numrica consiste en aproximar la funcin derivada f 0 (x)de una funcin f dado que conocemos las imgenes de la funcin en ciertos puntos.Las frmulas de derivacin numricas son importantes en el desarrollo de algoritmos deresolucin de ecuaciones diferenciales, como veremos en el siguiente tema. Dado que, por denicin, f (x + h) f (x) f (x) f (x h) f (x + h) f (x h) f 0 (x) = lim = lim = lim ; h!0 h h!0 h h!0 2hel mtodo ms sencillo para estimar numricamente derivadas parece evidente: tmeseh lo sucientemente pequeo para que la diferencia entre el cociente incremental y sulmite cuando h ! 0 sea menor que la precisin deseada. Este mtodo de derivacinnumrica se llama aproximacin por diferencias nitas. Ms especcamente, tenemos laaproximacin por diferencias hacia adelante f (x + h) f (x) f1 f0 f 0 (x) = ; h hla aproximacin por diferencias hacia atrs f (x) f (x h) f0 f 1 f 0 (x) = : h hy, nalmente, la aproximacin por diferencias centrales. f (x + h) f (x h) f1 f 1 f 0 (x) = : (1) 2h 2h d x Ejemplo. Vamos a aproximar dx e en x = 1 con h = 0:1 (e = 2:7182818): e1:1 e 1. Diferencias hacia delante: f 0 (1) 0:1 = 2:8588, Error = 0:1405: e1 e0:9 2. Diferencias hacia atrs: f 0 (1) 0:1 = 2:868, Error = 0:1315: e1:1 e0:9 3. Diferencias centrales: f 0 (1) 0:2 = 2: 722 8, Error = 0:0045: Vemos que el error es menor en el ltimo caso. Ms tarde veremos que esto no escasualidad. Como estas frmulas de aproximacin utilizan los valores de f en dos puntos distintos,se llaman frmulas de dos puntos. En general, se llaman frmulas de k puntos a aquellasque aproximan el valor de f (n) (x); k n + 1; mediante los valores de f en k puntos 2
  • 3. distintos. Nosotros nos restringiremos siempre al caso en el que todos estos puntos distande x un mltiplo de una distancia mnima h. La primera pregunta que nos aparece es obvia: qu valor de h hemos de elegir paraque que la aproximacin de la derivada sea buena? Veamos un ejemplo que ilustra quela solucin de este problema no es simple debido a los errores de redondeo que tiene elordenador. Consideremos la funcin f (x) = ex . La derivada de ex en el punto x = 1 es e e1+hk e2:718281828. Veamos varias aproximaciones del tipo Dk = para distintos valores hkde hk (clculos realizados en Excel): hk e1+hk e1+hk e Dk Error 0:1 3:004166024 0:285884195 2:85884195 0:140 56 0:001 2: 721 001 47 0:02719 641 2:719 64142 0:001 359 5 5 0:00001 2:718309011 2:71829542 10 2:71829542 1:3592 10 10 13 2:718281828 2; 71783 10 13 2:717825964 0:00046 10 15 2:718 281828 0 0 2: 718 282 Al contrario de lo que pudiera uno pensar, el mejor resultado se ha obtenido en h =0:00001, mientras que para valores ms pequeos el error aumenta. El problema resideen que para valores de h muy pequeos los valores e1+h y e son casi idnticos, y seproduce una prdida importante de cifras signicaticas debido al redondeo, mientras queel denominador no sufre ningn redondeo. Llega un momento (h = 10 15 ) en el cual elnumerador es un cero mquina (under ow) y el resultado resulta por completo errneo. Por tanto, el problema no es sencillo; no basta con ir disminuyendo h hasta obtenerla precisin deseada, sino que hemos de buscar el valor ptimo. Una solucin es ir dismi-nuyendo hk hasta que se cumpla el siguiente criterio de parada: o bien jDk Dk 1 j < "; o bien jDk+1 Dk j jDk Dk 1 j :Es decir, que en cuenta aumenta la diferencia entre dos iteradas consecutivas paramos elclculo. Una vez visto este importante aspecto, pasaremos a examinar ms detenidamente elerror de las aproximaciones (sin tener ahora en cuenta el error de redondeo). Denicin. Sea D (x; h) una aproximacin de la derivada ensima en el punto x.Llamaremos error de truncamiento Etrunc (x; h) a la diferencia Etrunc (x; h) = f (n) (x) D (x; h) Vamos a ver los errores de truncamiento de las aproximaciones de la primera derivadaque hemos visto: (Frmulas de dos puntos para f 0 (x)) 3
  • 4. 1. (Diferencias hacia adelante) Sea f 2 C 2 [a; b] y supongamos que x, x + h 2 [a; b]. Entonces, existe 2]a; b[ tal que f (x + h) f (x) f (2) ( ) f 0 (x) = h: h 2 2. (Diferencias hacia atrs) Sea f 2 C 2 [a; b] y supongamos que x h; x 2 [a; b]: Entonces, existe 2]a; b[ tal que f (x) f (x h) f (2) ( ) f 0 (x) = + h: h 2 3. (Diferencias centrales) Sea f 2 C 3 [a; b] y supongamos que x h; x; x + h 2 [a; b]: Entonces, existe 2]a; b[ tal que f (x + h) f (x h) f (3) ( ) 2 f 0 (x) = h: 2h 6 Estos resultados son consecuencia inmediata del desarrollo en serie de Taylor. Efecti-vamente, en el primer caso tenemos: 2 f (x + h) f (x) f (x) + f 0 (x) h + f (2) ( ) h f (x) h = 2 = f 0 (x) + f (2) ( ) ; h h 2luego f (x + h) f (x) f (2) ( ) 0 f (x) = h: h 2El segundo caso se demuestra de forma similar. En cuanto al ltimo tenemos: 2 3 f (x + h) f (x h) f (x) + f 0 (x) h + f (2) (x) h + f (3) ( 1 ) h 2 6 = 2h 2h 2 3 f (x) f 0 (x) h + f (2) (x) h 2 f (3) ( 1 ) h6 2h h2 (3) h2 = f 0 (x) + f ( 1 ) + f (3) ( 2 ) = f 0 (x) + f (3) ( ) : 12 6 (3)En el ltimo paso hemos utilizado que, como f es continua, por el teorema del valormedio existe 2 (a; b) tal que f (3) ( + f (3) ( 2 ) 1) = f (3) ( ) : 2 La precisin de las diferencias centrales es mejor, y, por tanto, converger ms rpi-damente. Si Etrunc (f (n) (x); h) Mh M; 2 R;para 8x 2 [a; b], diremos entonces que la frmula Dn (x; h) es de orden (de precisin)O(h ): Por tanto, las diferencias hacia atrs y hacia delante tienen orden O (h) y lasdiferencias centrales tienen orden O (h2 ). Como hemos visto, no es aconsejable en los clculos por ordenador usar valores de hmuy pequeos, por lo que conviene elegir un esquema con un valor alto de . 4
  • 5. 2.1 El mtodo de extrapolacin de RichardsonVamos a ver un mtodo que nos permitir obtener esquemas de mejor orden. Supondremosque la funcin f posees derivadas continuas de cualquier orden. Usando la serie de Taylorobtenemos que f (x + h) f (x h) D0 (h) = = f 0 (x) + Ch2 + O h4 ; 2h f (x + 2h) f (x 2h) D0 (2h) = = f 0 (x) + 4Ch2 + O h4 : 4hEntonces 3f 0 (x) + O h4 = 4D0 (h) D0 (2h) 4 (f (x + h) f (x h)) f (x + 2h) f (x 2h) = 2h 4h f (x + 2h) + 8f (x + h) 8f (x h) + f (x 2h) = ; 4hde donde obtenemos la aproximacin de orden cuatro: f (x + 2h) + 8f (x + h) 8f (x h) + f (x 2h) f2 + 8f1 8f 1 +f 2f 0 (x) = : 12h 12h (2) Pongamos ahora que f (x + 2h) + 8f (x + h) 8f (x h) + f (x 2h) D1 (h) = = f 0 (x) + Ch4 + O h6 ; 12h f (x + 4h) + 8f (x + 2h) 8f (x 2h) + f (x 4h)D1 (2h) = = f 0 (x) + 16Ch4 + O h6 ; 24hpor lo que una aproximacin de orden seis es 16D1 (h) D1 (2h) D2 (h) = : 15 Para estos clculos es importante resaltar que no hay trminos impares. A partir de estos resultados podemos extrapolar el mtodo general: si Dk 1 (h) = f 0 (x) + Ch2k + O h2k+2 ;con lo cual Dk 1 (2h) = f 0 (x) + 4k Ch2k + O h2k+2 ;entonces 4k Dk 1 (h) Dk 1 (2h) Dk (h) = 4k 1es de orden h2k+2 . 5
  • 6. Podemos pues calcular las aproximaciones de forma recursiva hasta obtener la precisindeseada. Estos clculos se pueden ordenar en una matriz triangular. Por ejemplo, si k = 3tenemos que D0 (x; 8h) D0 (x; 4h) D1 (x; 4h) D0 (x; 2h) D1 (x; 2h) D2 (x; 2h) D0 (x; h) D1 (x; h) D2 (x; h) D3 (x; h)Este procedimiento es equivalente a D0 (x; h) D0 (x; h ) D1 (x; h ) 2 2 D0 (x; h ) D1 (x; h ) D2 (x; h ) 4 4 4 D0 (x; h ) D1 (x; h ) D2 (x; h ) D3 (x; h ) 8 8 8 8 Ejemplo. f (x) = ex , x = 1; h = 0:1 y k = 2 e = 2: 718 281 829 i=0 i=1 i=2 2: 791 351 5 2: 736 44 2: 718 136 2 2: 722 814 6 2: 718 272 8 2: 718 281 9 1:1 0:9 D0 (1; h) = e 0:2e = 2: 722 814 6 1:2 0:8 D0 (1; 2h) = e 0:4e = 2: 736 44 1:4 0:6 D0 (1; 4h) = e 0:8e = 2: 791 351 5 D1 (1; h) = 4 2: 722 81436 2: 736 44 = 2: 718 272 8 D1 (1; 2h) = 4 2: 736 44 3 2: 791 351 5 = 2: 718 136 2 D2 (1; h) = 16 2: 718 27215 2: 718 136 2 = 2: 718 281 907 8 8 Error=j2: 718 281 9 2: 718 281 829j = 0:000 000 071 = 7:1 10 Este mismo procedimiento se puede aplicar a las diferencias hacia delante y haciaatrs. Por ejemplo, para las diferencias hacia delante tenemos f (x + h) f (x) D0 (h) = = f 0 (x) + Ch + O h2 ; h f (x + 2h) f (x) D0 (2h) = = f 0 (x) + 2Ch + O h2 : 2hPor tanto 4f (x + h) 4f (x) f (x + 2h) + f (x) f2 + 4f1 3f0 2D0 (h) D0 (2h) = = ; 2h 2h f2 + 4f1 3f0 D1 (h) = ; 2h 6
  • 7. que es una aproximacin de orden O (h2 ). Efectivamente, f 00 (x) 2 f 000 ( 1 ) 3 f (x + 2h) + 4f (x + h) 3f (x) = f (x) + f 0 (x) 2h + 4h + 8h 2 6 f 00 (x) 2 f 000 ( 2 ) 3 +4 f (x) + f 0 (x) h + h + h 3f (x) 2 6 2f 000 ( 2) 3 4f 000 ( 1) 3 = f 0 (x) 2h + h h; 3 3es decir, jEtrunc (x; h)j M h2 ;si jf 000 (y)j M , 8y 2 [x; x + 2h]: A partir de estos resultados podemos extrapolar el mtodo general: si Dk 1 (h) = f 0 (x) + Chk + O hk+1 ;con lo cual Dk 1 (2h) = f 0 (x) + 2k Chk + O hk+1 ;entonces 2k Dk 1 (h) Dk 1 (2h) Dk (h) = 2k 1es un esquema de orden O hk+1 : Ejemplo. Obtener una aproximacin de orden h3 de la derivada de ex en x = 1 conh = 0:1: i=0 i=1 i=2 3:3422953 3:0091755 2: 6760557 2:858842 2:7085085 2: 7193261 1:1 1 D0 (1; h) = e 0:1 e = 2:858842 1:2 1 D0 (1; 2h) = e 0:2 e = 3:0091755 1:4 1 D0 (1; 4h) = e 0:4 e = 3:3422953 D1 (1; h) = 2 2:8588421 3:0091755 = 2: 708 508 5 D1 (1; 2h) = 2 3:0091755 3:3422953 = 2: 676 055 7 1 D2 (1; h) = 4 2:70850853 2: 6760557 = 2: 719 326 1 7
  • 8. 2.2 Anlisis del errorHemos visto al principio que el error de redondeo juega un papel importante en laderivacin numrica. Hagamos un anlsis del error en el que tenemos en cuenta tantoel error del mtodo como el error de redondeo. Supongamos que f (x h) = y 1 + e 1 ; f (x + h) = y1 + e1 ;donde e 1 ; e1 son los errores de redondeo. Si aproximamos f 0 (x) con diferencias centrales y1 y 1 f 0 (x) = + E (x; h) ; 2hel error E (x; h) viene determinado por la suma E (x; h) = Ered (x; h) + Etrunc (x; h) e1 e 1 f 000 ( ) 2 = h: 2h 6Por tanto, si je1 j ; je 1 j " y jf 000 j M tenemos que " M 2 jE (x; h)j + h: h 6Notemos en primer lugar que si h ! 0 el error de redondeo aumenta y converge a 1.Al contrario, para h grandes aumenta el error del mtodo. Hallemos el valor de h queminimiza la parte derecha: " M 2 + h = 0; h 3 1 3" 3 h= : MEste valor de h nos dar un error prximo al ptimo. Por ejemplo, si f (x) = sen (x) (M = 1) y " = 0:5 10 9 , entonces 1 9 3 0:5 10 3 h= = 0:001145: 1El error sera menor que 0:5 10 9 0:0011452 + = 6: 55 10 7 : 0:001145 6 Para la frmula (2) el anlisis es similar. Sabemos (ver el Apndice) que 1 8 (5) 8 32 (5) 32 (5) Etrunc (x; h) = f ( 1 ) h4 + f (5) ( 2 ) h4 f ( 3 ) h4 f ( 4 ) h4 : 12 5! 5! 5! 5! 8
  • 9. Usando la notacin f (x + kh) = yk + ek y f (5) (y) M tenemos y2 + 8y1 8y 1 +y 2 f 0 (x) = + E (x; h) ; 12h e2 + 8e1 8e 1 +e 2 M 4 E (x; h) + h: 12h 18De aqu para jek j ", tenemos 18" M 4 3" M 4 jE (x; h)j + h = + h: 12h 18 2h 18El valor que minimiza la parte derecha viene dado por: 3" 4M 3 + h = 0; 2h2 18 1 27" 5 h= : 4M En el ejemplo anterior, para f (x) = sen (x), f (5) (x) 1, tenemos 1 9 27 0:5 10 5 h= = 0:020214 4 1y 3 0:5 10 9 1 jE (x; h)j + 0:0202384 = 4: 64 10 8 : 2 0:020214 18 Vemos que el mtodo de extrapolacin de Richardson mejora la precisin, pero el errorde redondeo marca un lmite que no podemos mejorar.2.3 Derivadas de orden superiorLas derivadas aproximadas de orden superior se pueden obtener de manera recursiva. Porejemplo, si utilizamos las diferencias centrales tenemos h h f (x+h) f (x) f (x) f (x h) 00 f0 x + 2 f0 x 2 h h f (x) = h h f (x + h) 2f (x) + f (x h) f1 2f0 + f 1 = 2 = ; h h2que es de orden O (h2 ). Efectivamente, 2 3 4 f1 2f0 + f 1 f (x) + f 0 (x) h + f 00 (x) h + f 000 (x) h + f (4) ( 1 ) h 2 6 24 2f (x) = h2 h 2 2 3 4 f (x) f 0 (x) h + f 00 (x) h 2 f 000 (x) h + f (4) ( 2 ) h 6 24 + h2 2 h = f 00 (x) + f (4) ( ) : 12 9
  • 10. Aplicando el procedimiento de extrapolacin de Richardson obtenemos la aproxi-macin de orden O (h4 ) : f (x + h) 2f (x) + f (x h) f (x + 2h) 2f (x) + f (x 2h) 4 f 00 (x) h2 4h2 3 f (x + 2h) + 16f (x + h) 30f (x) + 16f (x h) f (x 2h) = 12h2 f2 + 16f1 30f0 + 16f 1 f 2 = : 12h2El procedimiento de Richardson se utiliza aqu exactamente igual que para la primeraderivada. Si utilizramos el esquema hacia delante, es decir, f1 f0 f 0 (x) ; hentonces tendramos f 2 f1 f1 f0 f 0 (x + h) f 0 (x) f2 2f1 + f0 f 00 (x) h h = : h h h2El esquema sigue siendo de orden O (h). Efectivamente:f2 2f1 + f0 h2 2 8h3 2 h3 f (x) + f 0 (x) 2h + f 00 (x) 4h + f 000 ( 2 1) 6 2 f (x) + f 0 (x) h + f 00 (x) h + f 000 ( 2 2) 6 + f0= h2 4h h= f 00 (x) + f 000 ( f 000 ( 2 ) : 1) 3 3 De manera anloga, para la tercera derivada tenemos 000 f 00 (x + h) f 00 (x h) f (x) 2h f (x + 2h) 2f (x + h) + f (x) f (x) 2f (x h) + f (x 2h) h2 h2 2h f (x + 2h) 2f (x + h) + 2f (x h) f (x 2h) = 2h3 f2 2f1 + 2f 1 f 2 = ; 2h3y para la cuarta f 00 (x + h) 2f 00 (x) + f 00 (x h) f (4) (x) h2 f2 2f1 + f0 2f1 + 4f0 2f 1 + f0 2f 1 +f 2 h4 f2 4f1 + 6f0 4f 1 + f 2 = : h4 10
  • 11. Se puede obtener un esquema distinto operando de la siguiente manera: f 000 (x + h) f 000 (x h) f (4) (x) 2h f3 2f2 + 2f0 f 1 f1 2f0 + 2f 2 f 3 4h4 4h4 f3 2f2 f1 + 4f0 f 1 2f 2 + f 3 = : 4h4 Podemos obtener tambin esquemas de aproximacin usando el esquema hacia delante: f 00 (x + h) f 00 (x) f 000 (x) h f (x + 3h) 2f (x + 2h) + f (x + h) f (x + 2h) 2f (x + h) + f (x) h2 h2 h f3 3f2 + 3f1 f0 = ; h3 f 00 (x + 2h) 2f 00 (x + h) + f 00 (x) f (4) (x) h2 f4 2f3 + f2 2 (f3 2f2 + f1 ) + f2 2f1 + f0 h4 f4 4f3 + 6f2 4f1 + f0 = : h4 Vamos a aplicar el mtodo de Richardson para calcular una aproximacin de la segundaderivada de orden O (h6 ) Ejemplo. f (x) = ln (x), x = 2; h = 0:1 Calculemos f 00 (x) con una aproximacin de orden O (h6 ) i=0 i=1 i=2 0:255 137 47 0:251 258 4 0:249 965 38 0:250 313 02 0:249 997 89 0:250 000 06 D0 (h) = ln(2:1) 20:01 ln(2)+ln(1:9) = 0:250 313 02 ln(2:2) 2 ln(2)+ln(1:8) D0 (2h) = 0:04 = 0:251 258 4 ln(2:4) 2 ln(2)+ln(1:6) D0 (4h) = 0:01 16 = 0:255 137 47 4 ( 0:250 313 02)+0:251 258 4 D1 (h) = 3 = 0:249 997 89 4 ( 0:251 258 4)+0:255 137 47 D1 (2h) = 3 = 0:249 965 38 16 ( 0:249 997 89)+0:249 965 38 D2 (h) = 15 = 0:250 000 06 Error = 6 10 8 Para las derivadas de orden superior se puede realizar un anlisis del error similar. 11
  • 12. 3 Integracin numricaAhora ocuparemos del siguiente problema: dada una funcin f integrable en un intervalonito [a; b]; evaluar la integral denida Z b f (x)dx: (3) aPor supuesto, si conocemos una primitiva de f; es decir, una funcin diferenciable F talque F 0 (x) = f (x) para 8x 2 [a; b]; entonces, aplicando la regla de Barrow, obtenemos Z b f (x)dx = F (b) F (a): aPero, incluso en este caso, si F tiene una expresin muy complicada puede ser ms conve-niente evaluar la integral (3) numricamente que calcular la diferencia F (b) F (a): Porsupuesto, si no podemos encontrar ninguna primitiva de f o slo conocemos f para ciertosvalores de x (cosa que ocurre cuando f viene dada por una tabla de valores), entonceshay que recurrir necesariamente a la integracin numrica. El objetivo de la integracin numrica es aproximar la integral de la funcin f (x) enel intervalo [a; b] mediante los valores de f (x) en un nmero nito de puntos de dichointervalo.3.1 El polinomio interpolador de LagrangeDados los puntos (xi ; yi ), i = 0; :::; n, buscaremos un polinomio de grado n p (x) tal que p (xi ) = yi ; 8i:A este polinomio se le llama polinomio de interpolacin y los puntos xi los centros delpolinomio. Por ejemplo, por dos puntos pasa una recta, por tres puntos pasa una parbola,por cuatro puntos una funcin cbica, etc. Teorema. Si x0 ; x1 ; :::; xn son nmeros reales distintos, entonces para valores y0 ; :::; ynarbitrarios existe un nico polinomio de grado n que pasa por estos puntos. Si a = x0 < x1 < ::: < xn = b entonces al aproximar f (x) para a < x < b decimos queel valor de f (x) est interpolado. Si calculamos p (x) en x < a o x > b, entonces decimosque el valor de f (x) est extrapolado. El polinomio y su derivada se puede evaluar encualquier punto de forma eciente utilizando el algoritmo de Ru ni. Supondremos de ahora en adelante que los valores de xi son distintos y estn ordenadosen orden creciente. Vamos a denir los siguientes polinomios de grado n : Y i=n (x xi ) (x x0 ) (x x1 ) (x xk 1 ) (x xk+1 ) (x xn ) i=0;i6=kLk (x) = = i=n : (xk x0 ) (xk x1 ) (xk xk 1 ) (xk xk+1 ) (xk xn ) Y (xk xi ) i=0;i6=k 12
  • 13. Resulta fcil ver que Lk (xk ) = 1; Lk (xi ) = 0, 8i 6= k:Por tanto, si denimos el polinomio X n p (x) = yk Lk (x) ; k=0entonces tenemos que p (xk ) = yk , 8k, y adems el grado de p no puede ser mayor que n. Ejemplo. Dada la funcin f (x) = cos (x) y los puntos: xk f (xk ) 0 1p 2 4 2 2 0construir el polinomio interpolador de Lagrange. Tenemos: x 4 x 2 8 L0 (x) = = 2 x x ; 4 2 4 2 x x 2 16 L1 (x) = = 2 x x ; 4 4 2 x x 4 8 L2 (x) = = 2 x x ; 2 4 4 p 8 28 p (x) = 2 x x : 2 x x 4 2 2 Desde el punto de vista numrico este mtodo no es muy efectivo, ya que para evaluarahora el polinomio en cualquier punto necesitamos realizar muchas multiplicaciones. Loideal es contar con un mtodo similar al de Ru ni para evaluar el polinomio. Veamos ahora el anlisis del error que cometemos en la aproximacin de la funcin.El trmino de error es muy similar al trmino que se emplea en la serie de Taylor. Teorema. Sea f 2 C n+1 ([a; b]) ; x0 ; :::; xn 2 [a; b]. Entonces f (n+1) (c (x)) En = f (x) p (x) = (x x0 ) (x x2 ) (x xn ) (4) (n + 1)!para cierto c (x) 2 [a; b] si x 2 [a; b]. Adems, c (x) es una funcin continua. En el ejemplo anterior jf 000 (x)j = jsen (x)j 1; por lo que 1 jE2 (x)j x jxj x ; 6 4 2 13
  • 14. si x 2 [a; b] (es decir, interpolamos). Si x = 6 tendramos 1 E2 = 0:01794: 6 6 6 4 6 6 2 Efectivamente, p 8 28 p = 2 2 = 0:850 76; 6 p 6 4 6 2 6 6 2 3 cos = = 0:866 03; 6 2y Error Absoluto = j0:866 03 0:850 76j = 0:015 27:3.2 El polinomio interpolador de NewtonComo hemos dicho anteriormente, uno de los inconvenientes del mtodo de Lagrangereside en que no es muy eciente desde el punto de vista computacional. Otro problemaaparece porque no existe relacin entre el polinomio pn 1 y pn , por lo que si aadimos unpunto hemos de empezar todo de nuevo. Los polinomios de Newton se calculan de forma recursiva: P0 (x) = a0 P1 (x) = a0 + a1 (x x0 ) P2 (x) = a0 + a1 (x x0 ) + a2 (x x0 ) (x x1 ) P3 (x) = a0 + a1 (x x0 ) + a2 (x x0 ) (x x1 ) + a3 (x x0 ) (x x1 ) (x x2 ) . . . Pn (x) = a0 + a1 (x x0 ) + a2 (x x0 ) (x x1 ) + :::+ + an (x x0 ) (x x1 ) (x xn 1 ) X Y n i 1 = ai (x xj ) : i=0 j=0Tenemos que pk (x) = pk 1 (x) + ak (x x0 ) (x x1 ) (x xk 1 ) : En cada paso vamos calculando los valores de ai a partir de (xi ; yi ): a0 = y 0 y1 a0 a1 = x1 x0 y2 p1 (x2 ) a2 = (x2 x0 ) (x2 x1 ) . . . yi pi 1 (xi ) ai = : (xi x0 ) (xi x1 ) (xi xi 1 ) 14
  • 15. Ejemplo. Dados los puntos xk f (xk ) 1 3:6 2 1:8 3 1:2calcular el poliniomio interpolador de Newton. Calculamos ai : a0 = y0 = 3:6; y1 a0 1:8 3:6 a1 = = = 1: 8; x1 x0 2 1 p1 (2) = 3:6 1:8 (3 1) = 0; y2 p1 (2) 1:2 0 a2 = = = 0:6: (x2 x1 ) (x2 x0 ) (3 2) (3 1) As, p2 (x) = 3:6 1:8 (x 1) + 0:6 (x 1) (x 2) :3.3 Las frmulas de Newton-CotesNotemos que la integral denida de una funcin continua se dene mediante el lmite Z b f (x) dx = lim (f (x0 ) (x1 x0 ) + f (x1 ) (x2 x1 ) + ::: + f (xn 1 ) (xn xn 1 )) ; a n!1donde a = x0 < x1 < x2 < ::: < xn 1 < xn = b. Por tanto, vamos a intentar aproximar el valor de la integral por una suma nita delsiguiente tipo: Z b f (x) dx Q (f ) = f (x0 ) w0 + f (x1 ) w1 + ::: + f (xM ) wM ; apara ciertos pesos wi . A este tipo de frmulas se les llama frmulas de cuadratura. Pondremos Z b f (x) dx = Q (f ) + Etrunc (f ) ; adonde Etrunc (f ) es el error de truncamiento. Los puntos xi se denominan nodos deintegracin y los valores wi pesos de la frmula. 15
  • 16. Denicin. El grado de precisin de una frmula de cuadratura es el nmeronatural n que verica lo siguiente: E (Pi ) = 0 para todos los polinomios de grado i n,y existe un polinomio de grado n + 1 tal que E (Pn+1 ) 6= 0: Regla del trapecio Esta es la frmula ms sencilla, y se deriva de la denicin de integral y su inter-pretacin geomtrica. Si elegimos nodos equiespaciaciados xi = x0 + ih b a h= ny calculamos el rea del trapecio formado al unir los puntos (x0 ; f (x0 )) y (x1 ; f (x1 )) conuna recta, tenemos que Z x0 +h f (x0 ) + f (x1 ) f0 + f1 f (x) dx h= h; (5) x0 2 2que se conoce como frmula simple del trapecio. Si sumamos los valores de todos lossubintervalos obtenemos la frmula compuesta del trapecio: Z b ! X fi + fi+1 n 1 h f (x) dx h = (f0 + 2f1 + 2f2 + ::: + 2fn 1 + fn ) : a i=0 2 2 R1 Ejemplo. Calculemos 0 x2 dx; h = 0:2 : Z 1 x2 dx 0:1 0 + 2 0:22 + 2 0:42 + 2 0:62 + 2 0:82 + 12 = 0:34 0 R1 Como 0 x2 dx = 0:333 333 333 3 tenemos que Error = j0:333 333 333 3 0:34j = 0:006 666 666 7: La frmula (5) se puede obtener fcilmente del polinomio interpolador de Lagrangecon dos puntos por intervalo: x x1 x x0 P1 (x) = f0 + f1 : x0 x1 x1 x0Integrando este polinomio tenemos Z ! x1 2 2 f0 (x x1 ) f1 (x x0 ) f0 + f1 P1 (x) dx = + jx1 = x0 h: x0 2 x0 x1 2 x1 x0 2El mismo clculo se realiza para cada intervalo [xi ; xi+1 ]. 16
  • 17. Supondremos que f 2 C 2 ([a; b]). Para valorar el trmino del error utilizamos que f 00 (c (x)) f (x) = P1 (x) + (x x0 ) (x x1 ) ; 2por lo que, usando el segundo teorema del valor medio, ya que f 00 (c (x)) es una funcincontinua y (x x0 ) (x x1 ) no cambia de signo en [x0 ; x1 ], tenemos Z x1 Z f0 + f1 1 x1 00 f (x) dx = h+ f (c (x)) (x x0 ) (x x1 ) dx x0 2 2 x0 Z f0 + f1 f 00 (c) x1 = h+ (x x0 )2 h (x x0 ) dx 2 2 x0 f0 + f1 f 00 (c) h3 h3 = h+ ; 2 2 3 2 Z x1 f0 + f1 f 00 (c) 3 f (x) dx = h h: x0 2 12 Este resultado es cierto en cada subintervalo [xi ; xi+1 ], por lo que Z b P h 1 3 n f 00 (ck ) k=1 f (x) dx = (f0 + 2f1 + 2f2 + ::: + 2fn 1 + fn ) n h a 2 12 n 00 h f (c) = (f0 + 2f1 + 2f2 + ::: + 2fn 1 + fn ) (b a) h2 : 2 12 El orden de aproximacin es O (h2 ). Ejemplo. En el ejemplo anterior, jf 00 (x)j = 2 : 2 jEtrunc (f )j = 0:22 = 0:006666666: 12 Si, por ejemplo, hubiramos elegido elegido f (x) = x, entonces el error sera cero.Esto es cierto para cualquier recta. Esto se deduce de la frmula f 00 (c) Etrunc = (b a) h2 ; 12ya que f 00 (c) = 0 si f (x) = m + nx: Notemos por otro lado que, si los valores de fr se calculan con una precisin ", entoncesel error de redondeo en la regla del trapecio est acotada por h h jEred j (" + 2" + ::: + 2" + ") = (2 + 2n 2) " = hn" = (b a) ": 2 2En este caso, al contrario que en la diferenciacin numrica, el redondeo no afecta seri-amente a los resultados, y podemos elegir h tan pequeo como queramos. Esto ser ciertoen general para todos los mtodos de integracin numrica. 17
  • 18. Regla de Simpson Hemos visto en el mtodo anterior que el poliniomio interpolador de Lagrange es tilpara obtener frmulas de cuadratura. Elijamos ahora el polinomio P2 : (x x1 ) (x x2 ) (x x0 ) (x x2 ) (x x0 ) (x x1 ) P2 (x) = f0 + f1 + f2 : (x0 x1 ) (x0 x2 ) (x1 x0 ) (x1 x2 ) (x2 x0 ) (x2 x1 )Tenemos Z x2 Z x2 (x x1 ) (x x2 ) 1 dx = 2 (x x2 )2 + h (x x2 ) dx x0 (x0 x1 ) (x0 x2 ) 2h x0 1 8h3 4h3 4h h = 2 = = ; 2h 3 2 12 3 Z x2 Z x2 (x x0 ) (x x2 ) 1 dx = (x x2 )2 + 2h (x x2 ) dx x0 (x1 x0 ) (x1 x2 ) h2 x0 1 8h3 4h = 4h3 = ; h2 3 3 Z x2 Z x2 (x x0 ) (x x1 ) 1 dx = 2 (x x0 )2 h (x x0 ) dx x0 (x2 x0 ) (x2 x1 ) 2h x0 1 8h3 4h3 h = 2 = : 2h 3 2 3Por tanto, Z x2 f0 + 4f1 + f2 f (x) dx h: x0 3Se puede demostrar que h5 f (4) ( ) E (f ) = : 90 Considerando la integral en todo el intervalo completo tenemos que Z b h f (x) dx (f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + 2f5 + ::: + 4fn 1 + fn ) : a 3Notemos que para poder aplicar esta frmula el nmero de intervalos ha de ser par (n =2N ). El error de la ltima frmula vendra dado por n h5 f (4) ( ) (b a) h4 f (4) ( ) E (f ) = = : 2 90 180 x2 Ejemplo. f (x) = e ; [a; b] = [0; 1] ; h = 0:1: 18
  • 19. La integral aproximada por Simposon es la siguiente: Z 1 2 e x dx 0 0:1 0 2 2 2 0:42 0:52 (e + 4e (0:1) + 2e (0:2) + 4e 0:3 + 2e + 4e + 3 0:62 2 2 2 2e + 4e 0:7 + 2e 0:8 + 4e 0:9 + e 1 ) = 0:746 82496: Vamos a estimar el error de truncamiento. El valor de la cuarta y quinta derivadasson las siguientes: 2 d4 e x 2 2 2 dx 4 = 12e x 48x2 e x + 16x4 e x d5 2 2 dx5 e x = 8xe x (4x4 20x2 + 15) Las races de la quinta derivada son: 4x4 20x2 + 15 = 0 ) x = 2: 020 18; x = 0:958 57:Por tanto, los extremos absolutos de la cuarta derivada se encuentran en uno de lossiguientes puntos: 0; 1; 0:958 57 o 0:958 57. Como 2 2 d4 e x d4 e x (0) = 12; (1) = 7: 357 588 82; dx4 dx4 2 d4 e x (0:958 57) = 7: 507 042 18; dx4tenemos que 2 d4 e x M ax = 12: dx4As 12 jEtrunc (f )j 0:14 = 6: 666 6 667 10 6 : 180 R1 x2 Dado que 0 e dx = 0:746 824 133, el error global es el siguiente: Error = j0:746 824 133 0:746 82496j = 0:000 000 827 = 8:27 10 7 : Por otro lado, la frmula de cuadratura es exacta para todas las funciones cbicas, esdecir, los polinomios de grado 3: Para ver esto sea p (x) un polinomio de grado 3, P2es el polinomio de interpolacin que pasa a travs de los puntos (x0 ; p (x0 )), (x1 ; p (x1 )),(x2 ; p (x2 )), xi = x0 + ih; y P3 el polinomio de interpolacin que pasa a travs de lospuntos (x0 ; p (x0 )), (x1 ; p (x1 )), (x2 ; p (x2 )), (x3 ; p (x3 )). Entonces p = P3 y gracias a loestudiado en el polinomio interpolador de Newton sabemos que p (x) = P2 (x) + a3 (x x0 ) (x x1 ) (x x2 ) 19
  • 20. y Z Z Z x2 x2 x2 p (x) dx = P2 (x) dx + (x x0 ) (x x1 ) (x x2 ) dx = S (p; h) : x0 x0 x0 | {z } k 0Es evidente desde el principio que la frmula de Simpson es exacta para las parbo-las, pero vemos que se obtiene un grado ms de precisin gracias a que la integralR x2 x0 (x x0 ) (x x1 ) (x x2 ) dx es igual a 0. Finalmente, podemos estimar el error de redondeo del mtodo de Simpson de la sigu-iente manera: h h n n jEred j (" + 4" + 2" + ::: + 2" + 4" + ") = 4" + 2" = hn" = (b a) ": 3 3 2 2Por tanto, al igual que en el mtodo del trapecio, el error de redondeo no depende de h.3.4 Mtodo de RombergVamos a ver que el mtodo de Richardson que vimos en la derivacin numrica es tambinaplicable en la integracin. Supongamos que f 2 C 1 [a; b], es decir, que f posee derivadas continuas de cualquierorden en el intervalo [a; b]: Entonces puede probarse usando la serie de Taylor que Z b f (x)dx = T (f; h) + a1 h2 + a2 h4 + ::: + O h2n ; adonde n 2y h T (f; h) := (f0 + 2f1 + 2f2 + ::: + 2fn 1 + fn ) 2es la frmula de cuadratura trapezoidal con n nodos separados una distancia h = (b a)=ny a1 ; a2 ; ::: 2 R: Por tanto, el error de truncamiento de la frmula trapezoidal es deO(h2 ) y puede expresarse como una serie de potencias pares de h. Esto permite utilizarel procedimiento de Richardson para mejorar el grado de precisin de las frmulas decuadratura. n=2 Apliquemos la anterior frmula trapezoidal con nodos fx2k gk=0 : Z b f (x)dx = T (f; 2h) + 4a1 h2 + 16a2 h4 + :: + O h2n : aRestando esta igualdad de Z b 4 f (x)dx = 4T (f; h) + 4a1 h2 + 4a2 h4 + ::: + O h2n aobtenemos Z b 4T (f; h) T (f; 2h) f (x)dx = + b1 h4 + b2 h6 + ::: + O h2n ; a 3 20
  • 21. donde b1 := 12a2 ; b2 := 60a3 ; ::: Ahora bien, 4T (f; h) T (f; 2h) 4 h (f0 + 2f1 + ::: + 2fn 2 1 + fn ) h (f0 + 2f2 + :::2fn 2 + fn ) = 3 3 h = (f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + ::: + 2f2n 2 + 4f2n 1 + f2n ) 3 =: S(f; h)es la frmula de cuadratura de Simpson con nodos fxk gn : Por tanto, k=0 Z b f (x)dx = S(f; h) + b1 h4 + b2 h6 + ::: + O h2n ; alo cual prueba no slo que la regla de Simpson es de O(h4 ) sino que, adems, su error detruncamiento puede expresarse como una serie de potencias pares de h. Prosiguiendo de este modo obtendramos ahora Z b 16S(f; h) S(f; 2h) 48b2 6 240b3 8 f (x)dx = h h + ::: a 15 15 15 = B(f; h) + c1 h6 + c2 h8 + ::: + O h2n ;donde B(f; h) es la regla de Boole, etc. El esquema resultante se llama integracinRomberg. La frmula simple de Boole quedara de la siguiente manera: 16 h (f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + f4 ) 3 2h 3 (f0 + 4f2 + f4 ) 2hB (f; h) = = (7 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4 ) : 15 45 En el caso general tendramos que para la cuadratura Rk en el paso k: Z b f (x)dx = Rk 1 (h) + a1 h2k + a2 h2k+2 + ::: + O h2n ; a Z b f (x)dx = Rk 1 (2h) + a1 4k h2k + a2 4k+1 h2k+2 + :::: + O h2n ; a Z b k 4 1 f (x)dx = 4k Rk 1 (h) Rk 1 (2h) + b1 h2k+2 + b2 h2k+4 + ::: + O h2n ; a (h) Rk 1 (2h) 4k Rk 1 Rk (h) = : 4k 1Esta regla es la frmula de cuadratura de Romberg. Los clculos se pueden resumir en lasiguiente tabla: R0 (x; 8h) R0 (x; 4h) R1 (x; 4h) R0 (x; 2h) R1 (x; 2h) R2 (x; 2h) R0 (x; h) R1 (x; h) R2 (x; h) R3 (x; h) 21
  • 22. Como el paso utilizado ha de dividir la longitud del intervalo b a, es convenienteelegir primero 8h y despus ir dividiendo. 2 Ejemplo. f (x) = e x ; h = 0:05: Obtenemos la siguiente tabla: Trapecio Simpson Boole 0:744 368 34 0:746 210 8 0:746 824 96 0:746 670 84 0:746 824 19 0:746 824 14 Trapecio R 1 x2 e dx = 0:744 368 34 (h = 0:2) R01 x2 e dx = 0:746 210 8 (h = 0:1) R01 x2 0 e dx = 0:746 670 84 (h = 0:05) Simpson R1 (0:05) = 4 0:746 670 84 0:746 210 8 = 0:746 824 19 3 R1 (0:1) = 4 0:746 210 83 0:744 368 34 = 0:746 824 96 Boole 16 0:746 824 19 0:746 824 96 R2 (0:05) = 15 = 0:746 824 14 Podemos comparar este resultado con el obtenido con la frmula de Simpson con 1000intervalos: Z 1 x2 e dx = 0:746 824 132 8: 0 Notemos que la frmula de Boole es exacta para todos los polinomios de grado 5.4 Apndice:Error de truncamiento del esquema en diferencias centrales de orden O(h4)Veamos el esquema de aproximacin de la primera derivada: f (x + 2h) + 8f (x + h) 8f (x h) + f (x 2h) f 0 (x) : 12h Teorema. Si f 2 C 5 ([a; b]), entonces el error de truncamiento es de orden O (h4 ). Demostracin. Tenemos que 1 1 00 2 f (x + h) f (x h) = 2f 0 (x) h + f 00 (x) h2 f (x) h2 + f 000 (x) h3 2 2 3! 1 (4) 1 (4) 1 (5) 1 + f (x) h4 f (x) h4 + f ( 1 ) h5 + f (5) ( 2 ) h5 4! 4! 5! 5! 1 000 1 (5) 1 (5) = 2f 0 (x) h + f (x) h3 + f ( 1 ) h5 f ( 2 ) h5 : 3 5! 5! 22
  • 23. Es necesario eliminar el trmino que contiene la tercera derivada. Vemos que 16 000 32 32 f (x + 2h) f (x 2h) = 4f 0 (x) h + f (x) h3 + f (5) ( 3 ) h5 + f (5) ( 4 ) h5 : 3! 5! 5!As, f (x + 2h) + 8f (x + h) 8f (x h) + f (x 2h) 8 8 8 = 16f 0 (x) h + f 000 (x) h3 + f (5) ( 1 ) h5 + f (5) ( 2 ) h5 3 5! 5! 8 000 32 (5) 32 4f 0 (x) h + f (x) h3 + f ( 3 ) h5 + f (5) ( 4 ) h5 3 5! 5! 8 8 32 (5) 32 (5) = 12f 0 (x) + f (5) ( 1 ) h5 + f (5) ( 2 ) h5 f ( 3 ) h5 f ( 4 ) h5 5! 5! 5! 5! = 12f 0 (x) h + O h5 :De aqu, si elegimos M tal que f (5) (x) M , 8x 2 [x 2h; x + 2h], obtenemos f (x + 2h) + 8f (x + h) 8f (x h) + f (x 2h) f 0 (x) = + Etrunc (x; h) ; 12h M 4 jEtrunc (x; h)j h; 18 f (x + 2h) + 8f (x + h) 8f (x h) + f (x 2h) f 0 (x) = + O h4 : 12h5 Ejercicios 1. Demostrar que 4f1 3f0 f2 f (3) ( 1) 2 2f (3) ( 2) 2 f 0 (x) = h + h: 2h 3 3 Obtener la frmula del error que tiene en cuenta el redondeo. Dado que f (3) (x) M , x 2 [x; x + 2h], hallar el valor de h ptimo. Aplicar estos resultados a la funcin f (x) = cos (x) con un error mximo de redondeo de 5 10 9 . Hallar en ese caso el valor de h y una cota del error global. 1 2" (Sol: h = M 3 ; h = 0:0021544; jE (x; h)j 1: 392 5 10 5 ) f2 2f1 +2f f 2. Mostrar que la aproximacin f 000 (x) 2h3 1 2 es de orden O (h2 ) : 3. Obtener, a partir del esquema del ejercicio anterior un esquema de orden O (h4 ) usando el mtodo de Richardson. 4. Dado el esquema en diferencias hacia delante de tres puntos f2 2f1 + f0 f 00 (x) ; h2 23
  • 24. que tiene orden O (h) ; y sea f (x) = ln (x), calcular una aproximacin de orden O (h3 ) de la segunda derivada de ln (x) en x = 2, con h = 0:05; usando el mtodo de Richardson. (Sol: f 00 (2) 0:24986)5. Aplicar la regla del trapecio y la regla de Simpson para aproximar Z 1 Z 1 p 1 xdx; sen dx; 0 0:4 x con h = 0:1. Calcular el error absoluto y comparar los resultados en el primer caso. Dar estimaciones del error de truncamiento en el segundo caso. (Sol: 1) Trapecio: 0:66050934; Error = 0:00616; Simpson: 0:6640996; Error = 0:002567; 2) Trapecio: 0:54598, jE (f )j 0:03516; Simpson: 0:55033; jE (f )j 0:0066661)6. Aplicar la regla de Boole (mediante el mtodo de Romberg) para calcular Z 1 Z 1 p 1 xdx; sen dx 0 0:4 x con h = 0:05. (Sol: 1) 0:6658696; 2) 0:5505508)7. Usando el mtodo de Romberg obtener la frmula de Boole Z x4 2h f (x) dx B (h) = (7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4 ) : x0 458. Utilizar integracin de Romberg para aproximar Z 1:8 y(x)dx 1 utilizando la siguiente tabla de valores: x 1:0 1:2 1:4 1:6 1:8 y(x) 1:0000 0:8333 0:7143 0:6250 0:5556 Qu orden del error se ha obtenido? (Sol: B (0:2) = 0:587794) 24