11. DERIVACIN

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especifi-cadas:

b) f(x) = x2(x 1)2 en el intervalo [2, 2] y en su dominio.

DOMINIO. D = R.

CORTES CON LOS EJES. Cortes con el eje OX. Si x2(x1)2 =0, entonces x = 0 x = 1.Cortes con el eje OY . Si x = 0, entonces y = 0.

SIGNOS. Claramente f(x) > 0 para todo x salvo f(0) = f(1) =0.

PUNTOS CRTICOS. f (x) = 2x(x 1)(2x 1). Tendremosf (x) = 0 si y slo si x = 0, x = 1 x = 1/2, siendo f(0) = 0,f(1) = 0 y f(1/2) = 1/16.Los puntos crticos son x = 0, x = 1 y x = 1/2. Veamos de qutipo es cada uno. f (x) = 12x2 12x + 2 siendo f (0) = 2 > 0,f (1) = 2 > 0 y f (1/2) = 1 < 0 con lo que f tiene en x = 0 yen x = 1 dos mnimos relativos y en x = 1/2 un mximo relativo.Los dos mnimos relativos tambin lo son absolutos, tanto en elintervalo [2, 2] como en D = R, ya que f(x) > 0 para todox 6= 0, 1. Como f(2) = 36 y f(2) = 4, el mximo absoluto fen [2, 2] se alcanza en x = 2 y toma el valor f(2) = 36.Por otro lado, f no alcanza un mximo global en D = R ya quelmx f(x) = +.ASNTOTAS. Al ser f(x) un polinomio de grado 2, no habrasntotas de ningn tipo.

PUNTOS DE INFLEXIN. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.f (x) = 12x2 12x+ 2, y f (x) = 0 si y slo si x = 12

36 .

Si x (, 12 36 ), entonces f

(x) > 0. Se tiene una regin deconcavidad.Si x (12

36 ,

12 +

36 ), entonces f

(x) < 0. Se tiene una reginde convexidad.Si x (12 +

36 ,), entonces f (x) > 0. Se tiene una regin de

concavidad.Tendremos dos puntos de inflexin en x = 12

36 , ya que f

seanula en ellos y cambia de signo al atravesarlos (pasa de cncavaa convexa en x = 12

36 y de convexa a cncava en x =

12 +

36 ).

2 1 DERIVACIN

Figura 1

3h) f(x) = 3

(x+ 1)2 en el intervalo [1, 2] y en su dominio.

DOMINIO. D = R.

CORTES CON LOS EJES. Cortes con el eje OX. Si 3

(x+ 1)2 =0, entonces x = 1.Cortes con el eje OY . Si x = 0, entonces y = 1.

SIGNOS. Claramente, f(x) > 0 para todo x salvo f(1) = 0.PUNTOS CRTICOS. f (x) = 23(x+1)

1/3 = 23 3x+1

. Tendremosf (x) 6= 0 para todo x. Por otro lado, f (x) no est definida enx = 1, de modo que ste ser el nico punto crtico y f alcanzaren l un mnimo relativo, que tambin ser absoluto, tanto en[1, 2] como en su dominio D = R, ya que f(1) = 0 y f(x) > 0para todo x 6= 1. Como f(1) = 0 y f(2) = 39, el mximoabsoluto de f en [1, 2] se alcanza en x = 2 y toma el valorf(2) = 3

9. Por otro lado, lmx f(x) = +, de modo que no

habr mximo absoluto para f en su dominio.Veamos el comportamiento de f en las proximidades de x = 1(sabemos que en x = 1 no existe).lmx1 f (x) = lmx1

23 3x+1

= mientras que

lmx1+ f (x) = lmx1+2

3 3x+1

= +

ASNTOTAS. No las habr verticales, ya que D = R. Tampocolas habr horizontales ya que lmx f(x) = +. Estudiemoslas asntotas oblicuas y = mx+ n.

m = lmx

(x+ 1)2/3

x= lm

x23(x+ 1)1/3 = 0

La segunda igualdad proviene de aplicar la regla de LHpital.Tenemos que tampoco habr asntotas oblicuas (con m = 0, lanica posibilidad sera la horizontal, lo cual es imposible).

PUNTOS DE INFLEXIN. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.f (x) = 29(x + 1)4/3 = 29(x+1) 3x+1 , de modo que f (x) 6= 0para todo x y no est definida en x = 1. Como f (x) < 0 paratodo x R\{1}, resulta que la grfica es convexa a ambos ladosde x = 1, que no ser un punto de inflexin.

4 1 DERIVACIN

Figura 2

5j) f(x) = senx cosx en el intervalo [0, 2pi].

DOMINIO. D = R.

CORTES CON LOS EJES. Recordemos la identidad trigonomtri-ca sen 2x = 2 senx cosx. Tendremos que f(x) = sen 2x2 , cuya gr-fica es sencilla de dibujar.

Cortes con el eje OX.

f(x) = 0 sen 2x = 0 x = kpi2para cualquier k Z

Cortes con el eje OY . Si x = 0, entonces y = 0.

SIMETRAS. f(x) = 12 sen(2x) = 12 sen(2x) = f(x). Setiene simetra impar.

PERIODICIDAD. f(x + pi) = 12 sen(2(x + pi)) =12 sen(2x)) =

f(x), de modo que f es peridica de perodo T = pi.

SIGNOS. Si x (0, pi/2), f(x) > 0 y si x (pi/2, pi), f(x) < 0. Alser f peridica de perodo pi, podemos garantizar que f(x) > 0 six (kpi, kpi+ pi/2) y f(x) < 0 si x (kpi+ pi/2, (k+1)pi), siendok Z.

PUNTOS CRTICOS. f (x) = cos 2x. Entonces f (x) = 0 x = pi/4 + kpi/2 para cualquier k Z. En el intervalo [0, 2pi] setienen los puntos crticos {pi/4, 34pi, 54pi, 74pi} con f(pi/4) = 1/2,f(34pi) = 1/2, f(54pi) = 1/2 y f(74pi) = 1/2.Adems, f (x) = 2 sen 2x con f (pi/4) < 0, f (54pi) < 0 (mxi-mos relativos en x = pi/4 y x = 54pi) y f

(34pi) > 0, f(74pi) > 0

(mnimos relativos en x = 34pi y x =74pi). Como |f(x)| 1/2 para

todo x, los extremos relativos lo son tambin absolutos.

PUNTOS DE INFLEXIN. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.Como f (x) = 2 sen 2x, f (x) = 0 x = k pi2 con k Z.Adems:

Si x (kpi, kpi + pi/2), entonces f (x) < 0 (regiones de convexi-dad).

Si x (kpi + pi/2, (k + 1)pi), entonces f (x) > 0 (regiones deconcavidad).

6 1 DERIVACIN

Figura 3

7l) f(x) = sen2 x+ cosx en el intervalo [pi, pi] y en su dominio.

En este caso haremos un estudio menos detallado. Prestaremos especialatencin al estudio de la simetra, la periodicidad y los puntos crticos.

DOMINIO. D = R.SIMETRAS. f(x) = sen2(x) + cos(x) = sen2 x + cosx =f(x). Se tiene simetra par.PERIODICIDAD. f(x+2pi) = sen2(x+2pi)+cos(x+2pi) = f(x).Perodo T = 2pi.PUNTOS CRTICOS. f (x) = senx(2 cosx 1). Entonces

f (x) = 0

senx = 0cosx = 1/2

x = kpi con k Zx = pi3 + 2kpi x =

53pi + 2kpi con k Z

Se tienen los puntos crticos {kpi, pi3 +2kpi, 53pi+2kpi} con f(pi/3+2kpi) = f(53pi + 2kpi) = 5/4 y f(kpi) = (1)k. En el intervalo[pi, pi] se tienen los puntos crticos {pi,pi/3, 0, pi/3, pi}.f (x) = cosx(2 cosx 1) 2 sen2 x y f (kpi) > 0 (mnimo rela-tivo), f (pi/3 + 2kpi) < 0 (mximo relativo) y f (53pi + 2kpi) < 0(mximo relativo).Como f(pi) = f(pi) = 1, se tiene que el mximo absolutoen [pi, pi] es 5/4 (el mismo que en el dominio) y se alcanza enx = pi/3, mientras que el mnimo absoluto es 1 (el mismo queen el dominio) y se alcanza en x = pi.

Figura 4

8 1 DERIVACIN

2. Dibujar la grfica de las siguientes funciones:

a) f(x) = x2

x2

DOMINIO. D = R \ {2}.CORTES CON LOS EJES. Cortes con el eje OX. Si y = 0, en-tonces x = 0. Cortes con el eje OY . Si x = 0, entonces y = 0.

SIGNOS. Si x (, 0), f(x) < 0. Si x (0, 2), f(x) < 0. Six (2,), f(x) > 0.

PUNTOS CRTICOS. f (x) = 2x(x2)x2

(x2)2 =x(x4)(x2)2 . Entonces

f (x) = 0 x = 0 x = 4, siendo f(0) = 0 y f(4) = 8. Adems,tenemos que f no est definida en x = 2, pero en ese puntotampoco est definida f , de modo que los puntos crticos sonx = 0 y x = 4. Veamos de qu tipo son. f (x) = 8x16

(x2)4 conf (0) = 1 < 0 (mximo relativo en x = 0) y f (4) = 1 > 0(mnimo relativo en x = 4).

ASNTOTAS. Habr una asntota vertical en x = 2 y una oblicuay = mx+ n (el grado del numerador es una unidad mayor que eldel denominador). No hay asntotas horizontales (debera ser elgrado del numerador igual o menor que el del denominador).

El comportamiento de la grfica cuando x se aproxima a esel siguiente: lmx f(x) = y lmx f(x) = .El comportamiento de la grfica en las proximidades de la asn-tota vertical es el siguiente: lmx2 x

2

x2 = , mientras quelmx2+ x

2

x2 = +. Calculemos la asntota oblicua:

m = lmxf(x)x = lmx

xx2 = 1 y n = lmx f(x)

mx = lmx 2xx2 = 2. De manera que y = x+ 2 es la asntotaoblicua.

PUNTOS DE INFLEXIN. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.Como f (x) = 8x16

(x2)4 , tenemos que f no se anula en ningn

punto de su dominio D = R \ {2}. Veamos el signo:Si x (, 2), f (x) < 0 (regin de convexidad).Si x (2,), f (x) > 0 (regin de concavidad). Resulta claroque no hay puntos de inflexin.

9Figura 5

10 1 DERIVACIN

d) f(x) = x4

1x2

DOMINIO. D = R \ {1}.CORTES CON LOS EJES. Cortes con el eje OX. Si y = 0 en-tonces x = 0. Cortes con el eje OY . Si x = 0, entonces y = 0.

SIGNOS. Si x (,1), f(x) < 0. Si x (1, 0), f(x) > 0. Six (0, 1), f(x) > 0. Si x (1,), f(x) < 0.

SIMETRA. f(x) = (x)41(x)2 = f(x). Simetra par.

PUNTOS CRTICOS. f (x) = 2x3(2x2)

(1x2)2 . Entonces, f(x) = 0

x = 0 x = 2, siendo f(0) = 0 y f(2) = f(2) = 4.Adems, f no est definida en x = 1, pero en esos puntos tam-poco est definida f , de modo que los puntos crticos son x = 0y x = 2. Veamos de qu tipo son. Podra hacerse calculan-do la derivada segunda, pero es un poco engorroso, de modo queveremos si f cambia de signo al pasar por los puntos crticos.Si x (,2), f (x) > 0 y si x (2,1), f (x) < 0, demodo que en x = 2 hay un mximo relativo. Por simetra, ten-dremos otro mximo relativo en x =

2. Si x (1, 0), f (x) < 0

y si x (0, 1), f (x) > 0, de modo que en x = 0 hay un mnimorelativo.

ASNTOTAS. Habr dos asntotas verticales en x = 1 y nohabr asntotas horizontales ni oblicuas. El comportamiento de lagrfica cuando x se aproxima a es el siguiente: lmx f(x) =. El comportamiento de la grfica en las proximidades de lasasntotas verticales es el siguiente: lmx1

x4

1x2 = , mien-tras que lmx1+

x4

1x2 = +. Por simetra, lmx1 x4

1x2 =+, mientras que lmx1+ x41x2 = .

PUNTOS DE INFLEXIN. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.f (x) = 2x

2(x43x2+6)(1x2)3 y f

(x) = 0 x = 0. Adems, f estdefinida en D = R \ {1}. Estudiemos el signo de f . Dandovalores, se tiene que:

Si x (,1), f (x) < 0 (regin de convexidad).Si x (1, 0), f (x) > 0 (regin de concavidad).Si x (0, 1), f (x) > 0 (regin de concavidad).Si x (1,), f (x) < 0 (regin de convexidad). No habr puntosde inflexin.

11

Figura 6

12 1 DERIVACIN

h) f(x) = xx 1

DOMINIO. D = [1,).CORTES CON LOS EJES. Cortes con el eje OX. Si y = 0, en-tonces debe ser x = 1. Cortes con el eje OY . No hay.SIGNOS. Claramente f(x) > 0 para todo x 6= 1 y f(1) = 0.PUNTOS CRTICOS. f (x) = (x 1)1/2 + 12x(x 1)1/2 =

3x22(x1)1/2 . Entonces, f

(x) = 0 x = 2/3 < 1, que est fuera deldominio. El nico punto crtico es x = 1, donde no est definidaf y la funcin alcanza el mnimo absoluto f(1) = 0. Observe-mos que la pendiente de la grfica al aproximarnos a x = 1 eslmx1+ f (x) =.ASNTOTAS. No hay asntotas verticales. El comportamiento dela grfica cuando x se aproxima a + es el siguiente:lmx+ f(x) = +. De modo que no hay asntota horizontal.Estudiemos la existencia de asntotas oblicuas:

m = lmx+

f(x)x

= lmx+(x 1)

1/2 =

Tampoco habr asntotas oblicuas.PUNTOS DE INFLEXIN. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.f (x) = 1

(x1)1/2(

3x44(x1)

)y f (x) = 0 x = 4/3. Adems f

est definida en D = (1,). Estudiemos el signo de f . Dandovalores, se tiene que:Si x (1, 4/3), f (x) < 0 (regin de convexidad).Si x (4/3,), f (x) > 0 (regin de concavidad). Tendremosque x = 4/3 es un punto de inflexin.

Figura 7

13

k) f(x) = xe1/x

DOMINIO. D = R \ {0}.CORTES CON LOS EJES. Cortes con el eje OX. No hay.Cortes con el eje OY . No hay.SIGNOS. f(x) < 0 para todo x < 0 y f(x) > 0 para todo x > 0.PUNTOS CRTICOS. f (x) = e1/x

(x1x

), de modo que f (x) =

0 x = 1, siendo f(1) = e. El nico punto crtico es x = 1. Porotro lado, f (x) = e

1/x

x3, con lo que f (1) = e > 0 y en x = 1 se

alcanza un mnimo relativo.ASNTOTAS. Veamos el comportamiento de f cuando x tiendea .

lmxxe

1/x = lmxxe

1/x =

No habr asntotas horizontales. Veamos el comportamiento de fen las proximidades de x = 0.

lmx0

xe1/x = 0

y

lmx0+

xe1/x = lmx0+

e1/x

1/x= lm

x0+(1/x2)e1/x1/x2 = lmx0+ e

1/x =

La segunda igualdad resulta de aplicar la regla de LHpital.De manera que existe una asntota vertical en x = 0 (la grficatiende a al aproximarse a x = 0 por la derecha). Estudiemosla existencia de asntotas oblicuas:

m = lmx e

1/x = 1

n = lmxxe

1/x x = lmxx(e

1/x 1) =

= lmx

e1/x 11/x

= lmx e

1/x = 1

La penltima igualdad proviene de aplicar la regla de LHpital.La asntota oblicua es y = x+ 1.PUNTOS DE INFLEXIN. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.Calculemos el signo de f (x) = e

1/x

x3. f (x) 6= 0 para todo x de su

dominio D = R \ {0}.Si x (, 0), f (x) < 0 (regin de convexidad).Si x (0,), f (x) > 0 (regin de concavidad).

14 1 DERIVACIN

Figura 8

15

m) f(x) = x lnx

DOMINIO. D = (0,).CORTES CON LOS EJES. Cortes con el eje OX. Si x lnx = 0,entonces x = 1.Cortes con el eje OY . No hay.SIGNOS. Si x (0, 1), f(x) < 0. Si x (1,), f(x) > 0.PUNTOS CRTICOS. f (x) = lnx + 1, de modo que f (x) =0 lnx = 1 x = e1, que ser el nico punto crtico. Comof (x) = 1x , tenemos f

(e1) = e > 0, de modo que se alcanza unmnimo relativo en x = e1, con f(e1) = e1.ASNTOTAS. Tenemos que lmx x lnx =, de modo que nohay asntota horizontal. Veamos el comportamiento de f en lasproximidades de x = 0.

lmx0+

x lnx = lmx0+

lnx1/x

= lmx0+

x = 0La penltima igualdad se obtiene a partir de la regla de LHpital.No habr asntota vertical en x = 0. Tampoco habr asntotasoblicuas ya que m = lmx lnx =.PUNTOS DE INFLEXIN. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.Como f (x) = 1x > 0 para todo x D = (0,), la grfica sercncava. No habr puntos de inflexin.

Figura 9

16 1 DERIVACIN

n) f(x) = ln(x+1x1)

DOMINIO.

D = {x : (x+1) > 0 y (x1) > 0}{x : (x+1) < 0 y (x1) < 0} =

= {x : x > 1 y x > 1} {x : x < 1 y x < 1} =

= {x : x > 1} {x : x < 1}

De manera que D = (,1) (1,).CORTES CON LOS EJES. Cortes con el eje OX.

ln(x+ 1x 1

)= 0 x+ 1

x 1 = 1 x+ 1 = x 1 1 = 1

de modo que no hay cortes con el eje OX. Tampoco habr cortescon el eje OY .

SIGNOS. Si x (,1), f(x) < 0. Si x (1,), f(x) > 0.PUNTOS CRTICOS. f (x) = 2

x21 , de modo que f(x) 6= 0 para

todo x en el dominio de f . La funcin f no est definida enx = 1, donde tampoco lo est f , de manera que no hay ningnpunto crtico.

ASNTOTAS. Como lmx f(x) = 0, hay una asntota hori-zontal y = 0 (esto implica que no va a haberlas oblicuas). Veamosel comportamiento de f en las proximidades de x = 1 paradetectar posibles asntotas verticales:

lmx1

f(x) = lmx1+

f(x) =

de manera que hay dos asntotas verticales, en x = 1 y en x = 1.PUNTOS DE INFLEXIN. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.f (x) = 4x

(x21)2 .

Si x (,1), f (x) < 0 (regin de convexidad).Si x (1,), f (x) > 0 (regin de concavidad). No habr puntosde inflexin.

17

Figura 10

18 1 DERIVACIN

3. Hallar dos nmeros positivos cuya suma sea 20 y cuyo producto sea elmximo posible.

Sean x > 0, y > 0 dichos nmeros. Entonces x + y = 20. LlamemosP = xy = x(20 x) = 20x x2 al producto. Tenemos la funcinP (x) = x2 + 20x y deseamos obtener el valor de x > 0 donde lafuncin P alcanza su mximo valor. Como P (x) = 2x+20, P (x) = 0si y slo si x = 10. En ese punto se tiene un punto crtico (ser unmximo local, ya que P (x) = 2 < 0 para todo x, incluido x = 10).Por tanto, deben ser x = 10 e y = 10, alcanzndose el valor mximodel producto P = 100.

4. Hallar las dimensiones del rectngulo de mayor rea que pueda inscri-birse en una semicircunferencia de radio a.

Consideramos la semicircunferencia superior de la circunferencia x2 +y2 = a2. Se debe maximizar la funcin A = 2xy = 2x

a2 x2 =

2x(a2 x2)1/2 con 0 x a.

(x, y)

x

ya

Calculemos A(x) e igualemos el resultado a 0.

2x12(a2x2)1/2(2x)+2(a2x2)1/2 = 0 x

2

a2 x2 =

a2 x2

x2 = a2 x2 2x2 = a2 x = a2=2a2

Para x =2a2 tenemos un punto crtico. Como un valor mximo del

rea se alcanza con seguridad y el mnimo A = 0 se alcanza en x = ay x = 0, resulta que A alcanza en x =

2a2 su valor mximo.

5. Un alambre de longitud L debe cortarse en 2 trozos, formndose conuno de ellos un cuadrado y con el otro una circunferencia. Cmo debecortarse el alambre para que la suma de las reas encerradas por losdos trozos sea mxima? Y para que sea mnima?

Si x es el lado del cuadrado y r el radio de la circunferencia, la sumade las reas buscada es A = x2 + pir2. La relacin entre x y r es

19

4x + 2pir = L. Despejando r en funcin de x, queda r = 12pi (L 4x).Entonces

A = x2 +14pi

(L 4x)2

Si x = 0, el alambre se usa para la circunferencia y A = L2

4pi . Si x = L/4,el alambre se usa para el cuadrado y A = L

2

16 . Se tiene que A(x) estdefinida entre x = 0 y x = L/4. Es claro que para x = 0 se alcanzaun rea mayor que para x = L/4. Calculemos A e igualemos a 0 paraobtener puntos crticos.

A(x) = 2x 2pi(L 4x) = 0 pix = L 4x x = L

4 + pi

Como A(x) = 2 + 8pi > 0, A alcanza en x =L

4+pi un mnimo local.Para alcanzar un rea mxima debemos hacer x = 0 (todo el alambre seutiliza para construir la circunferencia), obteniendo A = L2/4pi. Paraalcanzar un rea mnima, debemos cortar en x = L4+pi , esto es, debemosemplear una longitud de 4x = 4 L4+pi para construir el cuadrado y elresto para la circunferencia.

6. Al precio de 1,50 e un comerciante puede vender 500 botes de refrescoque le cuestan 70 cntimos cada uno. Por cada cntimo que rebaja elprecio, el nmero de refrescos vendidos aumenta en 25.Qu precio deventa maximiza el beneficio?

Sea x el nmero de cntimos que se rebaja el precio de cada refresco.El beneficio de cada unidad es 80 x cntimos y el nmero total deunidades vendidas es de 500 + 25x. El beneficio total es

B(x) = (80 x)(500 + 25x) = 40000 + 1500x 25x2

Maximizamos esta funcin derivando e igualando a 0.

B(x) = 1500 50x = 0 x = 30

Como B(x) = 50 < 0, efectivamente, en x = 30 tenemos un mximolocal de B. De modo que el precio ms ventajoso es de 1, 20 e.

7. Determnese si las funciones f y g son derivables en x = 0, siendo

f(x) ={

x sen 1x si x 6= 00 si x = 0 g(x) =

{x2 sen 1x si x 6= 00 si x = 0

20 1 DERIVACIN

Estudiemos en primer lugar f(x). Veamos si existe lmh0

f(0 + h) f(0)h

.

lmh0

f(0 + h) f(0)h

= lmh0

h sen 1h 0h

= lmh0

sen1h

Pero dicho lmite no existe. De modo que f no es derivable en 0.

Estudiemos g(x). Se tiene

lmh0

g(0 + h) g(0)h

= lmh0

h2 sen 1h 0h

= lmh0

h sen1h

= 0

De manera que g es derivable en 0 y g(0) = 0.

8. Calcular, utilizando la nocin de lmite, las derivadas de las siguientesfunciones1. f(x) = 1 3x2 2. f(x) = 5x2 3x+ 23. f(x) =

1 + 2x 4. f(x) = 3+x13x

Calculemos el caso 1.

f (x) = lmh0

f(x+ h) f(x)h

= lmh0

1 3(x+ h)2 (1 3x2)h

=

= lmh0

3h2 6xhh

= lmh0

(3h 6x) = 6x

Calculemos el caso 2.

f (x) = lmh0

f(x+ h) f(x)h

=

= lmh0

5(x+ h)2 3(x+ h) + 2 5x2 + 3x 2h

=

= lmh0

5h2 + 10xh 3hh

= lmh0

(5h+ 10x 3) = 10x 3

Calculemos el caso 3.

f (x) = lmh0

f(x+ h) f(x)h

=

= lmh0

1 + 2(x+ h)1 + 2x

h

[1 + 2(x+ h) +

1 + 2x

1 + 2(x+ h) +1 + 2x

]=

21

= lmh0

2hh[

1 + 2(x+ h) +1 + 2x]

= lmh0

21 + 2x+ 2h+

1 + 2x

=

=1

1 + 2x

Calculemos el caso 4.

f (x) = lmh0

f(x+ h) f(x)h

= lmh0

3+(x+h)13(x+h) 3+x13x

h=

= lmh0

(3 + x+ h)(1 3x) (3 + x)(1 3x 3h)h(1 3x 3h)(1 3x) =

= lmh0

10hh(1 3x 3h)(1 3x) =

= lmh0

10(1 3x 3h)(1 3x) =

10(1 3x)2

9. Calclense las derivadas de las siguientes funciones:

1. f(x) = ((ex tg2 x) cos2 x)2 2. f(x) = ex sen3 x3. f(x) = arc tg

(sen x

1+cosx

)4. f(x) = tg xx

5. f(x) = tg x1secx 6. f(x) = ex(tg x x)

7. f(x) = cos(x3) 8. f(x) = cos3 x

9. f(x) =x+

x+

x 10. f(x) =

(x22x+1

)911. f(x) = sen(sen(sen x)) 12. f(x) = cos(tg x)

13. f(x) = 2x arc tg(2x) ln(1 + 4x2) 14. f(x) = ln(2 tg x+1tg x+2

)1. f (x) = 2(ex cos2 x sen2 x)(ex cosx2ex cosx senx 2 senx cosx)2. f (x) = ex sen2 x(senx+ 3 cosx) 3. f (x) = 1/24. f (x) = sec

2 xx tg xx2 5. f (x) = senx+ cosx

6. f (x) = ex(tg2 x+ tg x x) 7. f (x) = 3x2 sen(x3)8. f (x) = 3 senx cos2 x9. f (x) = 12

[x+ (x+ x1/2)1/2

]1/2 [1 + 12(x+ x

1/2)1/2(1 + 12x1/2)

]10. f (x) = 45 (x2)

8

(2x+1)1011. f (x) = cos(sen(sen(x))) cos(sen(x)) cosx

12. f (x) = sen(tg x) sec2 x 13. f (x) = 2 arc tg(2x)14. f (x) = 32+5 senx cosx

22 1 DERIVACIN

10. Encuntrese la ecuacin de la recta tangente a la curva dada en elpunto especificado

a) y = tg x, (pi/4, 1) b) y = 2 sen x, (pi/6, 1)

Caso a). Se tiene y(x) = sec2 x. Como y(pi/4) = 1, efectivamente elpunto dado pertenece a la curva. La ecuacin de la recta tangente esyy0 = m(xx0) siendo (x0, y0) = (pi/4, 1) y m = y(x0) = y(pi/4) =sec2(pi/4) = 2. Obtenemos

y 1 = 2(x pi/4).

Caso b). Se tiene y(x) = 2 cosx. La ecuacin de la recta tangente a lacurva en (pi/6, 1) es

y 1 =3(x pi/6)

11. Determinar y(x) mediante derivacin implcita sabiendo que x3+y3 =6xy y calcular la recta tangente a la curva determinada por la ecuacin(folio de Descartes) en el punto (3, 3). Determinar y(x) sabiendo quesen(x+ y) = y2 cos x.

Aplicamos derivacin implcita a la primera ecuacin para obtener3x2 + 3y2y = 6y + 6xy. De modo que

y =3x2 6y6x 3y2 =

x2 2y2x y2

Cuando x = y = 3, resulta y = 326

632 = 1. En consecuencia, laecuacin de la recta es y 3 = 1(x 3) o x+ y = 6.Para la segunda ecuacin se tiene cos(x + y)(1 + y) = 2yy cosx y2 senx. Despejando y se obtiene

y =y2 senx+ cos(x+ y)2y cosx cos(x+ y)

12. Calclese, aplicando la derivacin implcita, y(x) siendo y = arc sen x.

Se tiene sen y = x. Aplicando derivacin implcita a esta igualdad,resulta y cos y = 1, esto es, y = 1cos y . De manera que y

= 11x2 .

13. Dervense, aplicando derivacin logartmica, las siguientes funciones:

a) y = xx b) y = x

3/4x2+1

(3x+2)5c) y = (sen x)x

d) y = (lnx)x e) y = (1 + x)ln(1+x)

Caso a). Aplicando logaritmos, ln y =x lnx. Al derivar, resulta

23

y

y=

12xlnx+

x

x

y = xx

(lnx+ 22x

)Caso b). Tras aplicar logaritmos, se tiene

ln y =34lnx+

12ln(x2 + 1) 5 ln(3x+ 2)

Al derivar con respecto a x,

y

y=

34x

+x

x2 + 1 15

3x+ 2

de modo que

y =x3/4

x2 + 1

(3x+ 2)5

(34x

+x

x2 + 1 15

3x+ 2

)Caso c). Se procede como en los casos anteriores.

ln y = x ln(senx)

y = (senx)x(ln(senx) +

x cosxsenx

)Caso d). Se tiene ln y = x ln(lnx), de modo que

y

y= ln(lnx) +

1lnx

En consecuencia,

y = (lnx)x(ln(lnx) +

1lnx

)Caso e). Aplicando logaritmos, ln y = ln(1 + x)2. Al derivar, se tieneyy = 2 ln(1 + x)

11+x , de modo que

y = 2(1 + x)ln(1+x)ln(1 + x)1 + x

24 1 DERIVACIN

14. Dada f(x) = lnx, utilcese que f (1) = 1 para probar que

lmx0

(1 + x)1/x = e.

Dado que

1 = f (1) = lmx0

f(1 + x) f(1)x

= lmx0

ln(1 + x) ln(1)x

=

= lmx0

ln(1 + xx

= lmx0

ln(1 + x)1/x = ln(lmx0

(1 + x)1/x),

se concluye que lmx0

(1 + x)1/x = e.

15. Dada la funcin f(x) =x+ 3, utilcese la diferencial dy para obtener

una aproximacin al valor de4, 05. Hgase lo mismo con f(x) = lnx

para obtener una aproximacin a ln(0, 9).

Sabemos que f(a + dx) f(a) + dy. Dado que dy = f (x)dx y quef (x) = 1

2x+3

, considerando a = 1 y dx = 0, 05, obtenemos

4, 05 = f(1, 05) f(1) + f (1)(0, 05) = 2 + 1

4(0, 05) = 2, 0125

Para el segundo caso sabemos que f (x) = 1x . Elegimos a = 1 y dx =0, 1.

ln(0, 9) = f(0, 9) f(1) + f (1)(0, 1) = 0 + 1(0.1) = 0.1

16. Prubese, aplicando el teorema del valor medio, que la ecuacin ex x 1 = 0 tiene una nica solucin real.Considrese la funcin derivable f(x) = ex x 1. Como f(0) = 0, siexistiese un segundo valor real a, pongamos a > 0, tal que f(a) = 0,por el teorema del valor medio debera existir un x0 (0, a) tal quef (x0) = 0. Sin embargo, f (x) = ex 1 > 0 para todo x > 0, locual nos lleva a contradiccin. Si suponemos a < 0, llegamos a unacontradiccin anloga, ya que f (x) < 0 para todo x < 0.

En consecuencia, no existe tal valor real a de modo que f(a) = 0.

17. Calclense los siguientes lmites haciendo uso de la regla de LHpital:

25

a) lmx1

lnxx 1 b) lmx0+ x lnx c) lmx

ex

xn, n N

d) lmx

lnx3x

e) lmx0

tg x xx3

f) lmxpi

2(secx tg x)

g) lmx0+

(1 + sen 4x)cotg x h) lmx0+

xx i) lmx

lnx3x

j) lmx0+

x lnx k) lm

x(x2 + x x) l) lm

x(x lnx)

a) lmx1

lnxx 1 = lmx1

1/x1

= 1

b) lmx0+

x lnx = lmx0+

lnx1/x

= lmx0+

1/x1/x2 = lmx0+(x) = 0

c) lmx

ex

xn= lm

xex

nxn1= lm

xex

n(n 1)xn2 = = lmxex

n!=

d) lmx

lnx3x

= lmx

1/x13x2/3 = lmx

3x1/3

= 0

e) lmx0

tg x xx3

= lmx0

sec2 x 13x2

= lmx0

2 sec2 x tg x6x

=

= lmx0

4 sec2 x tg2 x+ 2 sec4 x6

= 2/6 = 1/3

f) lmxpi

2(secx tg x) = lm

xpi2

1 senxcosx

= lmxpi

2

cosx senx = 0

g) Sea y = (1 + sen 4x)cotg x. Aplicando logaritmos, se tiene

ln y =ln(1 + sen 4x)

tg x

Aplicando lmites, resulta

lmx0+

ln y = lmx0+

4 cos 4x1+sen 4x

sec2 x= 4

Por tanto, como y = eln y,

lmx0+

(1 + sen 4x)cotg x = lmx0+

eln y = elmx0+ ln y = e4

h) Sea y = xx. Al aplicar logaritmos y calcular lmites se obtiene

lmx0+

ln y = lmx0+

x lnx = lmx0+

lnx1/x

= lmx0+

1/x1/x2 = lmx0+(x) = 0

En consecuencia,

26 1 DERIVACIN

lmx0+

xx = lmx0+

eln y = elmx0+ ln y = e0 = 1

i) lmx

lnx3x

= lmx

1/x13x2/3 = lmx 3x

1/3 = 0

j) lmx0+

x lnx = lm

x0+lnxx1/2

= lmx0+

1/x12 x

3/2 = lmx0+(3x1/2) = 0

k) lmx(

x2 + x x) = lm

x

((x2 + x x)

x2 + x+ xx2 + x+ x

)=

= lmx xx2+x+x = lmx1

1+1/x+1= 1/2

l) lmx(x lnx) = lmxx

(1 lnx

x

). Debido a que

lmx

lnxx

= lmx

1/x1

= 0,

resulta lmx(x lnx) =.

18. Calclense los polinomios de Taylor siguientes:

a) Polinomio de Taylor de orden 4 de f(x) =x+ 1 en a = 0. Dar

un valor aproximado de1, 02 utilizando un polinomio de orden

2 y obtener una estimacin del error cometido.

b) Polinomio de Taylor de orden 4 de f(x) = ln

1+x1x en a = 0. Dar

un valor aproximado de ln 3 utilizando un polinomio de orden 3.

c) Frmula general del polinomio de Taylor de orden n de f(x) =senx en a = pi/6.

d) Frmula general del polinomio de Taylor de orden n de f(x) = ex,en a = 0. Dar un valor aproximado del nmero e utilizando elpolinomio de orden 7 obtenido.

Apartado a). f(x) = (x+1)1/2, f (x) = 12(x+1)1/2, f (x) = 14(x+

1)3/2, f (x) = 38(x+ 1)5/2, f4)(x) = 1516(x+ 1)7/2.

f(0) = 1, f (0) = 1/2, f (0) = 1/4, f (0) = 3/8, f4)(0) = 15/16.El polinomio de Taylor pedido ser

P4,0(x) = 1 +12x 1

4 2x2 +

38 3!x

3 1516 4!x

4 =

= 1 +12x 1

8x2 +

116 3!x

3 5128

x4

27

La aproximacin pedida es

1, 02 =

1 + 0, 02 P2,0(0, 02) = 1+ 12(0, 02)

18(0, 02)2 = 1, 0099

Una cota para el error cometido es

|R2,0(0, 02)| = |f(0, 02) P2,0(0, 02)| =f3)(t)3! (0, 02 0)3

== 116(t+ 1)5/2(0, 02)3

==

116(t+ 1)5/2

(0, 02)3 para cierto t (0, 002)

De manera que |R2,0(0, 02)| < 116(0, 02)3 = 5 107

Apartado b). f(x) = ln

1+x1x =

12(ln(1 + x) ln(1 x)), f (x) =

12

(1

1+x +1

1x), f (x) = 12

(1

(x+1)2+ 1

(1x)2), f (x) = 12

(2

(x+1)3+ 2

(1x)3),

f4)(x) = 12(

6(x+1)4

+ 6(1x)4

).

f(0) = 0, f (0) = 1, f (0) = 0, f (0) = 2, f4)(0) = 0.

El polinomio de Taylor pedido ser

P4,0(x) = x+13x3

Tngase en cuenta que P3,0(x) = P4,0(x). El valor aproximado de ln 3pedido es

ln 3 = ln(

1 + 0, 81 0, 8

)= f(0, 8) P3,0(0, 8) = (0, 8)+13(0, 8)

3 0, 9706

Apartado c). Obsrvese que f(x) = senx, f (x) = cosx = sen(x+ pi2

),

f (x) = senx = sen (x+ 2pi2 ), f (x) = cosx = sen (x+ 3pi2 ),f4)(x) = senx = sen

(x+ 4pi2

). Se tiene

fk)(x) = sen(x+ k

pi

2

).

28 1 DERIVACIN

De modo que

fk)(pi/6) = sen(pi/6 + k

pi

2

)El polinomio de Taylor pedido ser

Pn,pi/6(x) = sen(pi/6)+sen(pi/6+pi/2)(xpi/6)+sen(pi/6+pi)(x pi/6)2

2!+

+ sen(pi/6 + n

pi

2

) (x pi/6)nn!

=

=12+32

(xpi/6) 12(x pi/6)2

2!+ +sen

(pi/6 + n

pi

2

) (x pi/6)nn!

Apartado d). f(x) = f (x) = = fn)(x) = ex. Adems, f(0) =f (0) = = fn)(0) = 1.El polinomio de Taylor pedido ser

Pn,0(x) = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ + x

n

n!

El polinomio de Taylor de orden 7 es

P7,0(x) = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ + x

7

7!

La aproximacin al nmero e = f(1) pedida ser

P7,0(1) = 1 + 1 +12!

+13!

+ + 17!

= 2, 718253968

DERIVACIN