CLCULO IICUADERNO DE EJERCICIOS

Dra. Lorena ZogaibDepartamento de Matemticas

ITAM

Agosto 8, 2012

1

INTRODUCCIN

Este documento constituye un material de apoyo para el curso deClculo II para las carreras de Economa y Direccin Financiera en elITAM. Contiene una recopilacin de ejercicios y aplicaciones, que com-plementan el documento de trabajo Clculo II, Notas de Clase, LorenaZogaib, Departamento de Matemticas, ITAM, agosto 8 de 2012.

Gran parte de estos ejercicios fueron tomados de la bibliografa delcurso, as como del material utilizado por otros profesores, muy especial-mente de mis queridos colegas Carmen Lpez y Guillermo Pastor. Lasecuencia de los temas obedece al orden del temario vigente, por lo quese espera que el estudiante avance en las tareas a medida que se vayacubriendo en clase el material correspondiente.

Con el n de que el estudiante pueda vericar sus resultados, pongoa su disposicin mis soluciones a estos ejercicios, que estn publicadas enel documento de trabajo Clculo II, Cuaderno de Ejercicios, Soluciones,Lorena Zogaib, Departamento de Matemticas, ITAM, junio 12 de 2012.Recomiendo ampliamente al lector consultar las soluciones slo despusde haber intentado resolver los ejercicios por s mismo.

Para la elaboracin de este documento cont con la colaboracinde Alejandro Arriaga Vargas, que es estudiante de Economa del ITAM.Alejandro realiz una transcripcin del texto enWord a su versin actualen Scientic WorkPlace.

Agradezco de antemano sus comentarios y correcciones en relacincon este material.

Lorena Zogaib

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CLCULO IITAREA DE PRERREQUISITOS

1. Graca las funciones f1(x) = ln x, f2(x) = ln(x), f3(x) = ln |x| ,f4(x) = ln x.

2. Graca las funciones f1(x) = ex, f2(x) = ex, f3(x) = e|x|,f4(x) = ex.

3. Graca la curva x+y = 1 en el plano xy.

4. Proporciona el dominioDf y la imagen If de la funcin f(x) = lnx.

5. Proporciona el dominio Df y la imagen If de la funcin f(x) = ex.

6. Escribe las propiedades de la funcin ln x.

7. Escribe las propiedades de la funcin ex.

8. Resuelve para x :

(a) x2 4.(b) (x 1) ex = 0.(c) ln x 1.

9. Encuentra la derivadady

dxen cada inciso:

(a) y = ln x3.

(b) y = ln3 x.

(c) y = x ln x.

(d) y =lnx

x.

(e) y =1 + 21/x

x.

10. Verdadero o falso?:

(a)1

ln x= ln x.

(b) x1/2 =1

x2.

(c) ex2 lnx =ex

x2.

(d)ex2 = ex.

(e)ex2

= ex.

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CLCULO IITAREA 1

VECTORES. OPERACIONES CON VECTORES(Tema 1.1)

1. Encuentra un vectorb con direccin opuesta a a = i+2j, que

tenga: a) magnitud 2, b) el doble de la magnitud de a .

2. Encuentra los puntos A y B, si v representa el vector AB, conv = 4i 6j, y el punto medio del segmento de recta entre A y Bes P (3,1).

3. Si a = (1, 2, 3) y b = (4,1, 1) calcula: a)b , b) b ,

c)b , d) a b , e) a b .

4. Encuentra un vectorb con la misma direccin que a = 1

2i 1

2j 1

2k,

que tenga: a) magnitud 3, b) el triple de la magnitud de a .5. Sean P (3, 4, 5) y Q(2, 3, 4). Determina: a) la distancia entre P y

Q, b) la direccin del vectorPQ, c) el punto medio del segmento

de recta entre P y Q.

6. En cada inciso calcula a b , a ,b y el ngulo entre a y b :

(a) a = 3i 4j, b = 4i+ 3j(b) a = 3i, b =i+ j(c) a =i+ j + k, b = 2i+ 3j 4k(d) a =i+ k, b = 3i+ 4j

7. Sia = (1, 3, 2),b = (2,4, 7) yc = (1, 0, 2), calcula: a)a (b +c ) ,b)2a +b

(3c ), c) (a b ) (b +c ), d) (a b )(c c ).

8. La proyeccin de un vectorb en la direccin de un vector no nuloa es el vector

Pr oyab =

b aa a

a .

Calcula Pr oyab , si a = i+ 3j + 4k y b = 2i j + k.

4

9. (a) Demuestra quea +b 2 = a 2+b 2+2 a b cos .

Sugerencia: x 2 = x x .(b) Da ejemplos de vectores no nulosa yb en R2 que satisfagan:

i.a +b 2 = a 2 + b 2

ii.a +b 2 = a 2 + b 2 + 2 a b

iii.a +b 2 = a 2 + b 2 2 a b

10. Encuentra todos los valores tales que los vectores (3,1,1)y (, 2, 1) sean ortogonales entre s.

11. Sean u y v vectores ortogonales unitarios y sea w = u + v.Calcula

(a) w u(b) w w

12. Sean x y y vectores ortogonales, tales que x = 3 y y = 2.Si w = 2x y , calcula:

(a) w (5x )(b) w w

13. Encuentra a b ,a b y la direccin de a b , si:

(a) a =i+ j + 2k, b = i 2j k(b) a = 2i+ 3j, b =i 2j k

14. Encuentra un vector que sea ortogonal a los vectores a =ij+3kyb = 2i+ 5k.

15. En cada inciso determina si los vectores son paralelos, perpendi-culares, o ninguna de las dos cosas:

(a) a = 3i 6j + 4k y b = i 2j + (4/3)k(b) a =i+ j, b = i+ k(c) a = 3i j, b = 6i+ 2j(d) a = 2i j + k, b = 3i+ 4j 2k

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CLCULO IITAREA 2

CURVAS PARAMTRICAS. RECTAS. PLANOS.(Temas 1.2-1.4)

1. Identica y graca las siguientes curvas paramtricas r = xi+ yjen el plano xy:

(a) r (t) = (1 + t) i t j, t R.(b) r (m) = (m+ 1) i+ (m2 1) j, m R.(c) r (a) = (4 a) ia j, a 0.(d) r (b) = (24 b) i+ e2+4b j, b 4.(e) r () = 3 i+ 3

j, = 0.

(f) r (t) = et i 5e2t j, t R.(g) r (t) = ln t i+ ln(et) j, t > 0.(h) r (t) = t i+ ln(1/t) j, t > 0.(i) r () = 3 cos i+ 3sen j, [0, 2) .

2. Sea r () = cos i+ sen j, con 0 < 2.(a) Encuentra el vector derivada dr /d.(b) Calcula dr /d en = 0,

2, , y muestra grcamente que

estos tres vectores son tangentes a la curva r () en las posi-ciones correspondientes.

(c) Demuestra que para esta curva se satisface r (dr /d) = 0,para todo [0, 2) .Qu signica este resultado?

3. Sea r (t) = (sen t cos t) i+(sen 2t) j+(cos t) k la ecuacin de unacurva en R3.

(a) Prueba que la curva r (t) est en una esfera unitaria concentro en el origen.

(b) Encuentra el vector tangente a la curva, dr /dt, y demuestraque ste es ortogonal a r , para todo valor de t. Cul es larazn de este hecho?

4. Da un ejemplo de una curva paramtrica r (t) en R2 tal quer (dr /dt) = 0 en general.

6

5. Encuentra las ecuaciones paramtricas de la recta con la informa-cin dada:

(a) Pasa por el origen y es paralela al vector v = 3i2j+5k.(b) Pasa por el punto P (1, 2, 3) y es paralela al eje y.

(c) Pasa por los puntos P (3,1, 4) y Q(1,2, 0).(d) Pasa por el punto P (1, 2, 3) y es paralela a la recta

x+ 1

3= y

2= z 5 .

(e) Pasa por el origen y es perpendicular a las rectas x = 1 3a,y = 3, z = 1 + 2a y x = 2 + b, y = 3b, z = 1, con a, b R.

6. Encuentra las ecuaciones paramtricas de la recta tangente a lacurva r () = cos i+ sen j, 0 < 2, en =

4. Ilustra con

una grca.

7. En cada inciso halla las ecuaciones paramtricas de la recta tan-gente a la curva r (t), t R, en el punto dado t = t0:

(a) r (t) = sen t i+ (t2 cos t) j + et k, t0 = 0.(b) r (t) = (2t2) i+ (4t) j + k, t0 = 1.

8. En cada inciso halla la interseccin de las rectas L1 y L2:

(a) L1 : x = a, y = 3 3a, z = 1 + a, a R,L2 : x = 1 + b, y = 2b, z = b, b R.

(b) L1 :x 16

=y

3=

2 z3

,

L2 : x = 1 + t, y = 3 t, z = 7 3t, t R.(c) L1 : x = 1 a, y = 3 + a, z = 4 + a, a R,

L2 : x = 1 + 2b, y = 2b, z = 3 2b, b R.(d) L1 : x = 1 + t, y = 1 t, z = 1 + 2t, t R,

L2 : x = 2 2s, y = 2s, z = 3 4s, s R.

9. Encuentra la ecuacin del plano con la informacin dada:

(a) Pasa por el punto P (2, 1, 5) y es ortogonal al vectora = 3i 4 j + 2 k .(b) Pasa por los puntos A(1,1, 0), B(1, 2, 1) y C(3, 1,2).(c) Pasa por el puntoA(1, 1, 1) y es paralelo al plano 2 x 7 y + 5 z = 13 .(d) Pasa por el origen y es perpendicular a la recta x

2= 3 y = z 2

3.

7

(e) Contiene a las rectas x = 2+2t, y = 1 t, z = 1 y x = 3+s,y = 1 + s, z = s, t, s R.

(f) Pasa por el origen y es perpendicular a los planos x+y+z = 1y 2x y + 3z = 0.

(g) Pasa por el punto P (7,4, 3) y es paralelo al plano yz.(h) Es vertical y pasa por los puntos P (1, 0, 0) y Q(0, 1, 0).

10. Da la ecuacin del plano que es perpendicular a la curvar (t) = 3t i+ 2t2 j + t5 k en el punto con t0 = 1.

11. En cada inciso halla la interseccin de los planos 1 y 2:

(a) 1 : x+ y + z = 1, 2 : 2x y + z = 12.(b) 1 : 2x 6y + 4z = 4, 2 : x+ 3y 2z = 7.

12. En cada inciso halla la interseccin de la recta L con el plano :

(a) L : x = 1 t, y = 3t, z = 1 + t, : 2x y + 3z = 6.(b) L : x = 1 2t, y = 1 + t, z = 1 + t, : 2x+ y + 3z = 6.(c) L : x = 1 2t, y = 1 + t, z = 1 + t, : 2x+ y + 3z = 8.

13. Encuentra la interseccin del plano xy con la recta tangente a lacurva r (t) = sen t cos t i+ sen 2t j + cos t k en t0 = /4.

14. En cada inciso determina si los dos conjuntos son perpendiculares,paralelos o ninguno:

(a) L1 = {(x, y, z) R3|x = 1 + 2t, y = 3 t, z = 3t, t R} ,L2 = {(x, y, z) R3|x = 3s, y = 2 + s, z = 1 + 2s, s R} .

(b) 1 = {(x, y, z) R3|x 3y + 5z = 4} ,2 = {(x, y, z) R3| 4x+ 2y + 2z = 0} .

(c) L = {(x, y, z) R3|x = 2 t, y = 3 + 2t, z = t, t R} , = {(x, y, z) R3|3x+ y + z = 5} .

(d) L = {(x, y, z) R3|x = 2 t, y = 3 + 2t, z = t, t R} , = {(x, y, z) R3|x 2y z = 0} .

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15. Sean I el ingreso,p = (px, py, pz) el vector de precios yx = (x, y, z)el vector de cantidades, con p , I constantes.

(a) Encuentra la ecuacin cartesiana del plano presupuestalp x = I.(b) Encuentra la ecuacin cartesiana del plano que pasa por el

origen y es paralelo al plano p x = I.(c) Encuentra las ecuaciones paramtricas de la recta L que pasa

por el origen y es perpendicular al plano p x = I.

16. En cada inciso justica si la armacin es verdadera o falsa:

(a) El plano x+y+z = 1 es perpendicular al plano 2 x y + 3 z = 0 .(b) La recta x = t, y = 2t, z = 3t, t R, es paralela al plano

x+ 2y + 3z = 6.

(c) La ecuacin y = 4 2x representa una recta en R3.(d) La recta x = 1 + t, y = 2t, z = 1 3t, t R, contiene al

punto P (0,2, 4).

17. Encuentra la ecuacin del hiperplano en R5 que pasa por el puntoP (3, 0,2, 1, 5) y es perpendicular al vectorv = (1,2, 4,3,1).

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CLCULO IITAREA 3

TOPOLOGA BSICA(Tema 1.5)

1. En cada inciso: i) graca el conjunto S, ii) identica sus puntosinteriores (PI), exteriores (PE) y frontera (PF ), iii) indica si Ses abierto, cerrado, acotado, compacto, convexo:

(a) S = {(x1, x2) R2|x1 Z y x2 Z}.(b) S = {(x1, x2) R2|x1 Z o x2 Z}.(c) S = {(x1, x2) R2|x1 / Z y x2 / Z}.(d) S = {(x1, x2) R2|0 x1 1}.(e) S = {(x1, x2) R2|0 < x1 < 1}.(f) S = {(x1, x2) R2|4x1 + x2 = 12, x1 0, x2 > 0}.(g) S = {(x1, x2) R2|x21 + x22 = 1}.(h) S = {(x1, x2) R2|x21 + x22 1}.(i) S = {(0, 0)} = {(x1, x2) R2|x1 = 0 y x2 = 0}.(j) S = R2 {(0, 0)} = {(x1, x2) R2|x1 = 0 o x2 = 0}.

2. En cada inciso graca el conjunto S y determina si ste es abierto,cerrado, acotado, compacto, convexo:

(a) S = {x R|x2 4} {3}.(b) S = {x R|x2 > 1}.(c) S = {(x, y) R2| 1 < x < 1 y y = 0}.(d) S = {(x, y) R2|x+ y = 1, x, y > 0}.(e) S = {(x, y) R2|x+ y > 1, x, y 0}.(f) S = {(x, y) R2|x+ y > 0} {(1,1)}.(g) S = {(x, y) R2|x+ ln y 0, y > 0}.(h) S = {(x, y) R2|x2 + y2 < 1, x 0}.(i) S = {(x, y) R2|0 < x2 + y2 1}.(j) S = {(x, y) R2|x = t3, y = t3, t R}.

3. Al conjunto {(x1, x2, x3) R3|x1+x2+x3 = 1, xi 0} se le conocecomo el simplejo estndar en R3. Esboza la grca del conjunto.Es compacto? Es convexo?

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4. Demuestra que los siguientes conjuntos son convexos:

(a) A = {x R|1 x 2}.(b) A = {(x, y) R2|1 x 2}.(c) A = {(x, y) R2| y < x}.(d) A = {x Rn| ||x || 1}.

5. Demuestra que el hiperplano = {x Rn|a x = c, a Rn , c R }es un conjunto convexo.

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CLCULO IITAREA 4

FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES(Temas 2.1-2.4)

1. En cada inciso encuentra y graca el dominio de la funcin:

(a) f(x, y) =1y x.

(b) f(x, y) =

xy.

(c) f(x, y) =1

x2 + y2 4 +

9 x2 y2.

(d) f(x, y) = e1

1ln(x+y).

(e) f(x, y) = ln(ex + y).

(f) f(x, y, z) = 11 x y z.(g) f(x, y, z) =

1

4 x2 y2 .

(h) f(x) = ln(1 x2).

2. Para cada una de las siguientes funciones: i) escribe el dominio yla imagen (usa notacin de conjuntos), ii) determina si el dominioes un conjunto abierto, cerrado, acotado, compacto o convexo,iii) encuentra las ecuaciones de las trazas, iv) dibuja algunas cur-vas de nivel, indicando la direccin de crecimiento de la funcin,v) esboza la grca de la supercie z = f(x, y):

(a) f(x, y) = x2 + y2.

(b) f(x, y) = ln(x2 + y2).

(c) f(x, y) =

4 x2 y2.(d) f(x, y) = x1/2y1/2.

(e) f(x, y) = (xy)1/2 .

3. En cada inciso escribe el dominio y la imagen de la funcin y luegoproporciona la ecuacin y grca del conjunto de nivel que pasapor el punto P dado:

(a) f(x, y) = ln(yex), P (0, 1).

(b) f(x, y) = ln(26 x2 y2), P (3, 4).

12

(c) f(x, y) = 2 ln x+ ln y, P (12, 4).

(d) f(x, y) = x1/y, con x, y > 0, P (e, 1).

(e) f(x, y) = y1/x, con x = 0, y > 0, P (1, 1e).

(f) f(x, y, z) = e1xy, P (1, 0, 0).

(g) f(x, y, z) = e

ln(x2+y2), P (0, 1, 1).

(h) f(x, y, z) = e11ln y, P (0, 1, e).

(i) f(x, y, z) = 1 e1xyz, P (0, 0, 1).(j) f(x, y, z) = e

x2+z29, P (5, 2, 0).

4. En cada inciso graca algunas curvas de nivel f(x, y) = c, conc 0, indicando la direccin de crecimiento de c:

(a) f(x, y) = x y.(b) f(x, y) = |x|+ |y| .(c) f(x, y) = ex y.(d) f(x, y) = x+ ln y.

(e) f(x, y) = ln x+ y.

(f) f(x, y) = x+y.

(g) f(x, y) = x2 + 4xy + 4 + 4 (y + 4) .

(h) f(x, y) = min{x, y}, (x, y) R2++.(i) f(x, y) = max{x, y}, (x, y) R2++.

5. Identica los siguientes conjuntos de puntos en R3 :

(a) f(x, y) = x 3y.(b) r (t) = (1 + t)i+ (2t)j + (5 t)k.(c) y = x 1.(d) 2x2 + 6y2 + 4z2 = 12.

(e) x2 + y2 z2 = 1.(f) y = x2.

(g) x2 y2 z2 = 0.(h) x2 y2 z2 = 1.(i) x2 y2 z = 0.(j) 2x2 + y2 + 3z2 = 0.

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(k) x2 + (y 1)2 + (z + 2)2 = 3.(l) y2 + z2 = 1.

(m) f(x, y) = x2 + y2.

(n) r (t) = (cos t)i+ (sent)j + tk.(o) x+ y = 2, x = 1.

(p) x 1 = y + 1 = z = 0.

6. Calcula los siguientes lmites:

(a) lim(x,y)(1,1)

(5x+ 3xy + y 2).

(b) lim(x,y)(0,0)

cos

x2 + y3

x+ y + 1

.

(c) lim(x,y)(0,ln 2)

exy.

(d) lim(x,y)(0,1)

ln (1 + x2) .

(e) lim(x,y)(1,1)

x2 y2x y .

(f) lim(x,y)(1,1)

xy y 2x+ 2x 1 .

(g) lim(x,y)(4,3)

xy + 1x y 1 .

(h) lim(x,y)(2,4)

y + 4

x2y xy + 4x2 4x.

7. Demuestra que para las siguientes funciones no existe el limitecuando (x, y) (0, 0) :

(a) f(x, y) =x+ y

x y .

(b) f(x, y) =xy

x2 + y2.

(c) f(x, y) =x2y

x4 + y2.

(d) f(x, y) =yx

x+ y2, x 0.

(e) f(x, y) =xy3

x2 + y6.

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8. Determina en qu puntos (x, y) R2 son continuas las siguientesfunciones y graca la regin correspondiente:

(a) f(x, y) = ln(xy).

(b) f(x, y) =x2 1.

(c) f(x, y) =1

|x|+ |y| .

(d) f(x, y) =x2y

x2 y2 .

9. Encuentra el valor de la constante C de tal modo que f(x, y) seacontinua, si

f(x, y) =

(x2 + 5) seny

y, (x, y) = (0, 0),

C, (x, y) = (0, 0).

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CLCULO IITAREA 5

DIFERENCIACIN, LINEALIZACIN, DIFERENCIALTOTAL Y REGLA DE LA CADENA

(Temas 3.1-3.3)

1. Encuentra las derivadas parciales fx y fy:

(a) f(x, y) = 5xy 7x2 y2 + 3x 6y + 2.(b) f(x, y) =

x

x2 + y2.

(c) f(x, y) =

2x5 3y.(d) f(x, y) =

1

ln(2x y) .

(e) f(x, y) = sen4 (x 3y) .(f) f(x, y) = ln5(x/y). Nota: ln5 u == 5 lnu.(g) f(x, y) = (1 + xy) ey

(h) f(x, y) = ln

x+ yx2 + 1

.

(i) f(x, y) =ex2

+ey2.

(j) f(x, y) = x1/y.

(k) f(x, y) =1 + x1/y

y.

2. Encuentra todas las primeras derivadas parciales de las siguientesfunciones:

(a) E(p, q) = ap2ebq, a, b constantes.

(b) R(p1, p2) = p1 + e

p1p2, , , constantes.

(c) V (px, py, I) =

I

px +12py

2.

(d) x(v1, . . . , vn) =ni=1

ivi, i constantes.

(e) u(x1, . . . , xn) =ni=1

i ln xi i constantes.

(f) P (L,K, , ) = (L1/ + (1 )K1/).

3. Demuestra que la funcin de produccin P (L,K) = [1L + 2K]1/

satisface la ecuacin LP

L+K

P

K= P (L,K).

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4. Demuestra que la funcin de produccin P (L,K) = ALaKbecK/L

satisface la ecuacin LP

L+K

P

K= (a+ b)P (L,K).

5. Encuentra todas las derivadas parciales de segundo orden para f :

(a) f(x, y) = 3xy 5x2 6y + 2.(b) f(x, y) = 3ye2xy.

(c) f(x, y) = ln(x y).

6. Sea f(x, y) = xy + lnex2y2 + ln (y/x2). Calcula fxy (e, 1).

7. Encuentra la linealizacin de f en el punto P :

(a) f(x, y) = x2 + y2 + 1, P (1, 1).

(b) f(x, y) = ex ln(2 + y), P (0,1) .(c) f(x, y) = (x+ 1)a (y + 1)b, a, b constantes, P (0, 0) .

8. Sea g (, ) = [(1 + ) (1 + )]1/(1) 1, , constantes, = 1.Muestra que si y son cercanos a 0, entonces

g (, )

1

1 +

1 .

9. Supn que v(1, 0) = 1, vx(1, 0) = 4/3, vy(1, 0) = 1/3. Utiliza lalinealizacin para encontrar un valor aproximado para v(1.01, 0.02).

10. Utiliza la diferencial total dz para aproximar el cambio en z cuando(x, y) se mueve de P a Q y luego calcula el cambio exacto zutilizando una calculadora:

(a) z = 2x2y3, P (1, 1) , Q (0.99, 1.02) .

(b) z = x2 5xy, P (2, 3) , Q (2.03, 2.98) .

11. La produccin de una empresa est dada por P (L,K) = 120L1/3K1/2,en donde L denota el trabajo y K el capital. Se planea disminuirla fuerza de trabajo, de 1, 000 a 999, e incrementar la produccin,de 24, 000 a 24, 082. Aproxima el cambio en el capital.

12. De acuerdo con un estudio de alcohlicos annimos, las demandasdiarias en el D.F. de Bacard blanco (D1) y brandy Presidente (D2)estn dadas por

D1 (p1, p2) =6000 p

1/32

p21, D2 (p1, p2) =

2000 p1/21

p2

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en donde p1 y p2 son los precios del Bacard y del Presidente,respectivamente. En un momento dado, los precios son p1 = 9 yp2 = 8. Bacard se ver obligado a cambiar su precio, debido a lavariacin de la produccin de caa de azcar.

(a) Qu sucede con la demanda de Bacard, si su precio aumentade $9 a $9.50, mientras que Presidente mantiene su precioconstante?

(b) Si Bacard cambia su precio de acuerdo con el inciso anterior,cmo debe Presidente cambiar su precio, si desea mantenerconstante su demanda?

13. El volumen V de un cilindro circular recto de radio r y altura h estdado por V = r2h. Si el radio cambia de r0 = 1 a rf = 1.03,y la altura cambia de h0 = 5 a hf = 4.9, estima el cambio ab-soluto (dV ), el cambio relativo (dV/V0) y el cambio porcentual(dV/V0 100%) en el valor del volumen.

14. Dibuja un diagrama de rbol y escribe la frmula de la regla de lacadena para calcular las derivadas indicadas:

(a)dz

dt, si z = f(x, y), x = g (t) , y = h (t) .

(b)dz

dt, si z = f(x, y, t), x = g (t) , y = h (t) .

(c)z

tyz

s, si z = f(x, y), x = g (t) , y = h (t, s) .

(d)z

tyz

s, si z = f(x, t), x = g (t, s) .

15. Sea U = f (x, z) el bienestar total de una sociedad, en donde x esun ndice de la cantidad total de bienes producidos y consumidosy z = h (x) es una medida del nivel de contaminacin. Escribe unaexpresin para calcular cmo cambia U al cambiar x y luego aplicaeste resultado para f (x, z) = A ln (1 + (x/z)) , con A, R+.

16. Sea U = f (c1, c2, t), con c1 = c1(t) y c2 = c2 (t, w). Da unaexpresin para calcular cmo cambia U al cambiar t y luego aplicaeste resultado a f (c1, c2, t) = e2t ln (c1c2).

17. La cantidad x de un bien demandado depende del precio p delbien y la cantidad a que el productor gasta en publicidad, es decir,x = f(p, a), con fp(p, a) < 0 y fa(p, a) > 0. El precio depende del

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clima w y el impuesto t, es decir, p = g(w, t), con gw(w, t) > 0y gt(w, t) < 0. La cantidad de publicidad depende slo de t, esdecir, a = h(t), con h(t) > 0. Si el impuesto aumenta, discute qusucede con la demanda (aumenta, disminuye, o ninguna de stas).

18. Una empresa produce un solo bien utilizando un solo insumo. Seanf su funcin de produccin (diferenciable), w el precio del insumoy p el precio del bien. Sea z(w, p) la cantidad de insumos quemaximizan el benecio de la empresa. De esta manera, su bene-cio mximo es (w, p) = pf(z(w, p)) wz(w, p). Encuentra unaexpresin para determinar cmo cambia el benecio mximo si seincrementa p.

19

CLCULO IITAREA 6

DERIVACIN IMPLCITA, VECTOR GRADIENTE YPLANO TANGENTE

(Temas 3.4-3.5)

1. Determina si la ecuacin 2x2+4xyy4+67 = 0 dene a y como unafuncin implcita diferenciable de x alrededor del punto P (1, 3).

En ese caso, calculady

dx

P

.

2. Las siguientes ecuaciones denen a y como funcin implcita dife-renciable de x. En cada caso, calcula dy/dx en el punto P :

(a) x2 + xy + y2 = 7, P (1, 2) .

(b) e1xy + ln (x/y) = 1, P (1, 1) .

(c) xey + sen (xy) + y ln 2 = 0, P (0, ln 2) .

3. Sea P (L,K) = L1/2K1/2 una funcin de produccin. Utiliza elteorema de la funcin implcita para calcular dK/dL en el punto(L0, K0) = (25, 4) de la isocuanta P (L,K) = 10.

4. Sea P (L,K) =L2/3eL

K1/3eK

una funcin de produccin.

Utiliza el teorema de la funcin implcita para calcular dK/dL enel punto (L0, K0) = (1, 1) de la isocuanta P (L,K) = e2.

5. Para una funcin de produccin P (L,K), la tasa marginal desustitucin (TMS) entre K y L en cada punto de una isocuantaP (L,K) = Q0 es el negativo de la derivada, dK/dL, de lacurva isocuanta en ese punto. Encuentra la TMS para la fun-cin CES, P (L,K) = A (aL + (1 a)K)1/ y comprala con laTMS de la funcin de Cobb-Douglas, P (L,K) = ALaK1a, endonde 0 < a < 1.

6. Sea D = f (t, p) la demanda de un bien en funcin del preciosin impuestos p y del IVA unitario t, y sea S = g (p) la funcinde oferta. Determina si la condicin de equilibrio f (t, p) = g (p)dene a p como funcin diferenciable de t. En caso armativo,encuentra una expresin para dp/dt.

7. Determina si la ecuacin x2y + y2z + z2x = 1 dene a x comofuncin de y y z en la vecindad del punto (1, 2,1). En casoarmativo, calcula las derivadas parciales x/y y x/z.

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8. Las siguientes ecuaciones denen a z como funcin implcita dife-renciable de x y y. En cada caso, encuentra z/x y z/y en elpunto P :

(a) xey + yez + 2 ln x 2 3 ln 2 = 0, P (1, ln 2, ln 3) .(b) xy + yz + zx 3 = 0, P (1, 1, 1) .

9. Una funcin de produccin generalizadaQ = P (L,K) est denidaimplcitamente por QerQ = ALK, con A,, , r > 0. Obtn losproductos marginales Q/L y Q/K.

10. Calcula el gradiente f de la funcin f en el punto P y dibjalosobre la curva de nivel que pasa por ese punto:

(a) f(x, y) = y x, P (2, 1) .(b) f(x, y) = y x2, P (1, 0) .(c) f(x, y) = 2 x2 y2, P (1, 1) .(d) f(x, y) = ln (x2 + y2) , P (1, 1) .

11. Calcula el gradiente de la funcin en el punto dado:

(a) f(x, y) = ln (xy + 1) , P (e, 1) .

(b) P (L,K) =

L+K, (L0, K0) = (1, 9) .

(c) f(x, y, z) = x2 + y2 2z2 + z ln x, P (1, 1, 1) .

12. Calcula f y f en el punto P :

(a) f(x, y) = x2e(y2/x)1, P (4, 2) .

(b) f(x, y) = x ln yx2

, P (e, 1) .

(c) f(x, y) = ln

e16x2 + e8 ln y, P (1, 1) .

13. Encuentra la derivada direccional de f en el punto P en la direccindeA :

(a) f(x, y) = 2xy 3y2, P (5, 5) , A = 4i+ 3j.(b) f (x, y, z) = x2 + 2y2 3z2, P (1, 1, 1) , A =i+ j + k.

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14. Encuentra la direccin en la que la funcin f (x, y) = x2 + xy + y2

crece ms rpidamente, y la direccin en la que decrece ms rpi-damente, en el punto P0 (1, 1).

15. La temperatura en cada punto (x, y, z) de una habitacin estdada por T (x, y, z) = xyz (1 x) (2 y) (3 z), con 0 x 1,0 y 2, 0 z 3. Si un mosquito se localiza en el punto(1/2, 1, 1), hacia qu direccin debe volar para enfriarse lo msrpidamente posible?

16. Encuentra las ecuaciones de i) el plano tangente y ii) la recta nor-mal a las siguientes supercies z = f (x, y) en el punto P :

(a) f (x, y) = xey, P (1, 0, 1) .

(b) f (x, y) = ex2y2, P (0, 0, 1) .

(c) f (x, y) =3 xexy, P (2, 0, 1) .

17. Encuentra el punto de la supercie z = e1+

(x1)2+y2+1 en dondeel plano tangente es horizontal y escribe la ecuacin de ese planotangente.

18. Encuentra el punto de la supercie z = 2x2+3y2 en donde el planotangente es paralelo al plano 8x 3y z = 0 y escribe la ecuacinde ese plano tangente.

19. Encuentra el punto de la supercie z = 16 4x2 y2 en dondeel plano tangente es perpendicular a la recta x = 3 + 4t, y = 2t,z = 2 t, t R, y escribe la ecuacin de ese plano tangente.

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CLCULO IITAREA 7

FUNCIONES HOMOGNEAS(Tema 3.6)

1. En cada inciso determina si la funcin f es homognea, y de qugrado:

(a) f(x, y) = x2 + y2.

(b) f(x, y) = x2y3.

(c) f(x, y) = x2 + y3.

(d) f(x, y) =x

y.

(e) f(x, y, z) =xy

x3 + yz2.

(f) f(x, y) = ln(xy).

(g) f(x, y) = lnx2 + y2

xy

.

(h) f(x, y) =xy ln

x2 + y2

xy

.

(i) f(x1, x2) = (xd1 + xd2)

1/d, d R+.

2. Supn que f(x ) es homognea de grado r y g(x ) es homogneade grado s. Determina si la funcin h en cada inciso es homognea,y de qu grado:

(a) h(x ) = f(x )g(x ).

(b) h(x ) = f(x )

g(x ) .

(c) h(x ) = f(x ) + g(x ).(d) h(x ) = [g(x )]p.(e) h(x1, ..., xn) = f(xm1 , ..., x

mn ).

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3. Sea u(x, y) una funcin de utilidad, homognea de grado 1. De-termina si las siguientes funciones de u son homogneas, y de qugrado:

(a) f(x, y) = lnu(x, y)

x

.

(b) f(x, y) = ln u(x, y).

4. Sea H = eQ, donde Q(a, b) = Aab. Es H una funcin ho-mognea?

5. Demuestra que la pendiente de la recta tangente a las curvas denivel de una funcin homognea, z = f(x, y), es constante a lolargo de rayos que parten del origen.

6. Demuestra que la funcin f(x, y) =x

y2es homognea y determina

de que grado. Luego verica que f satisface el teorema de Euler,x f(x ) = kf(x ), con k el grado de homogeneidad de f .7. Demuestra que una funcin de produccin tipo Cobb-Douglas,

F (L,K) = ALK, es homognea de grado + . Luego veri-ca que F satisface el teorema de Euler, LFL +KFK = (+ )F.

8. Demuestra que los productos marginales FL y FK de una funcinde produccin tipo Cobb-Douglas, F (L,K) = ALK, son ho-mogneos de grado + 1.

9. Demuestra que la funcin CES, F (L,K) = (L+(1)K)m/,es homognea de grado m. Luego verica que F satisface el teo-rema de Euler, LFL +KFK = mF.

10. Demuestra que la funcin de produccin F (L,K) = ALaKbecK/L

es homognea de grado a + b. Luego verica que F satisface elteorema de Euler.

11. Sea f(x, y) una funcin homognea de grado 2, tal que f(2, 3) = 6y fx(2, 3) = 3.

(a) Cunto vale f(4, 6)?

(b) Cunto vale fx(4, 6)?

(c) Utiliza el teorema de Euler para encontrar el valor de fy(2, 3).

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12. Sea F (L,K) una funcin de produccin homognea de grado 1. Sesabe que F (100, 40) = 300, FL(100, 40) = 1 y FK(100, 40) = 5. La

productividad media del trabajo,M , se dene comoM(L,K) =F (L,K)

L.

(a) Determina si M es homognea, y de qu grado.

(b) Calcula M(25, 10), ML(25, 10) y MK(25, 10). Sugerencia:M(25, 10) = M

(14)100, (1

4)40.

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CLCULO IITAREA 8

FUNCIONES CNCAVAS, CONVEXAS,CUASICNCAVAS Y CUASICONVEXAS

(Temas 4.1-4.3)

1. En cada inciso encuentra el polinomio de Taylor de orden 2, P2 (x, y),generado por f en el punto (x0, y0) dado:

(a) f (x, y) =1

x y + 1 , (x0, y0) = (0, 0).

(b) f (x, y) = e2x ln y, (x0, y0) = (0, 1).

(c) f (x, y) = ex2y, (x0, y0) = (1, 1).

2. A partir de la denicin, demuestra que las siguientes funcionesson convexas en su dominio:

(a) f : R R, f(x) = |x|.(b) f : R R, f(x) = x2.(c) f : R2 R, f(x, y) = |x+ y|.(d) f : R2 R, f(x, y) = x2 + y2.

3. Sea C(y) el costo de mantenimiento de una empresa para un nivelde produccin anual y, con C > 0 y C > 0. La empresa cambiasu nivel de produccin, de un valor y1 durante una fraccin deao (0 < < 1), a otro valor y2 durante la fraccin 1 restante,de modo que su costo total anual es C(y1) + (1 ) C (y2). Seest considerando mantener un nico nivel Y = y1 + (1 ) y2 alo largo de todo el ao. Es sta una buena idea? Argumenta.

4. Los ejidatarios del Valle del Yaqui tienen una funcin de demandap = f(q), con f < 0 y f < 0. Venden q1 unidades en el ciclo deverano y q2 < q1 unidades en el de invierno, obteniendo un ingresototal de q1f(q1) + q2f(q2). No hay costo de almacenaje. Paraestabilizar precios el gobierno les pide que vendan q1+q2

2en cada

ciclo. Es perjudicial, o benca, esta medida para los ejidatarios?

5. Utiliza la matriz hessiana para determinar si las siguientes fun-ciones son cncavas, convexas, estrictamente cncavas, estricta-mente convexas o ninguna de stas:

(a) f(x, y) = x2 + y2.

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(b) f(x, y) = (x+ y)2 .

(c) f(x, y) = y2.(d) f(x, y) = x+ y ex ex+y.(e) f(x, y) = yex, y > 0.

(f) f(x, y) = ax2 + by2, a, b < 0.

(g) f(x, y) = 6x+ 2y.

6. Sea f(x, y) = 2x2+(2a+4)xy 2y2+4ay. Para qu valores dela constante a es f una funcin cncava?Para qu valores de a esf una funcin convexa?

7. Para cada una de las siguientes funciones f en R2 determina sies cncava, convexa, cuasicncava o cuasiconvexa (recuerda que fpuede presentrar varias de estas propiedades):

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8. Para cada una de las siguientes funciones f en R2 encuentra loscontornos CSf(1) y CIf (1) :

(a) f : R {2} R, f(x) = 12 x .

(b) f : (0, e2] R, f(x) = 2 lnx.9. Muestra que f(x) = ln x es cuasicncava y cuasiconvexa en R+.

10. Para cada una de las siguientes funciones f en R3 encuentra ygraca los contornos superior CSf(k) e inferior CIf (k), para unvalor tpico de k, y determina si f es cuasicncava, cuasiconvexa,ambas o ninguna de stas:

(a) f : R2 R, f(x, y) = x2 + y2.(b) f : R2++ R, f(x, y) = 2 ln x+ 8 ln y.(c) f : R2+ R, f(x, y) = x 4y.(d) f : R2 R, f(x, y) = 4 x2 y2.(e) f : R2 R, f(x, y) =

x2 + y2.

(f) f : R2 R, f(x, y) = 1 yex.(g) f : {(x, y) R2 | x2+y2 16} R, f(x, y) =

x2 + y2 16.

11. Para la funcin f(x, y) =

x2 y + 1 encuentra y graca:

(a) Los contornos Cf , CSf y CIf correspondientes a k = 1.

(b) Los contornos Cf , CSf y CIf correspondientes a k = 0.

(c) Los contornos Cf , CSf y CIf correspondientes a k = 1.12. La gura muestra una curva de nivel tpica de una funcin z = f(x, y)

junto con la direccin del gradiente f en esa curva. De acuerdocon esta informacin, puedes asegurar que f es: i) cncava, ii) con-vexa, iii) cuasicncava, iv) cuasiconvexa, v) algunas de las anterio-res (cules?), vi) ninguna de stas.

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13. Demuestra que una funcin de produccin tipo Cobb-Douglas,P (L,K) = LaKb, a, b > 0, siempre es cuasicncava en R2++.Adicionalmente, si a+ b < 1, entonces P es estrictamente cncava,y si a+ b = 1, entonces P es cncava no estricta.

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CLCULO IITAREA 9

OPTIMIZACIN LIBRE. CRITERIO DEL HESSIANO(Tema 5.1)

1. Encuentra y clasica los puntos crticos de las siguientes funciones:

(a) f (x, y) = x2 + 2xy.

(b) f (x, y) = xy x2y xy2.(c) f (x, y) = 4xy x4 y4.(d) f (x, y) = xy x2 y2 + 3y.(e) f (x, y) =

1

x+ xy +

1

y, x = 0, y = 0.

2. Encuentra y clasica los puntos crticos de las siguientes funciones:

(a) f (x, y) = 1 x2.(b) f (x, y) = x4 + y4.

(c) f (x, y) = 112(x+ y)4 .

(d) f (x, y) = y4.

3. Encuentra los mximos, mnimos o puntos silla de f (x, y), si sesabe que fx = 9x2 9 y fy = 2y + 4.

4. Sea f (x, y) = ax2 + y2 2y, con a = 0. Encuentra y clasica lospuntos crticos de f .

5. Sea f (x, y) = ax2 + ay2 2xy 2x+ 5, con |a| = 1. Encuentra yclasica los puntos crticos de f .

6. Sea f (x, y) = ax2y + bxy + 2xy2 + c. Halla los valores de a, b y ctales que f (x, y) tenga un mnimo local fmin = 19 en

23, 13

.

7. Sea (v1, v2) = pv1/31 v

1/22 q1v1 q2v2 una funcin de benecio,

con p, q1, q2, v1, v2 > 0.

(a) Encuentra los niveles v1, v2, que maximizan el benecio y en-cuentra el benecio mximo.

(b) Verica que efectivamente se trata de un mximo.

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CLCULO IITAREA 10

OPTIMIZACIN RESTRINGIDA. TEOREMA DE LAENVOLVENTE(Temas 5.2-5.4)

1. Encuentra y clasica los valores extremos de las siguientes fun-ciones sujeto a restricciones de igualdad:

(a) f (x, y) = 2x+ y s.a.x+

y = 2.

(b) f (x, y) = ax+ y s.a. axy = 1 (a > 1).(c) f (x, y) = x2 + y2 s.a.

x

a+y

b= 1 (a, b > 0).

(d) f (x, y) = x 3y xy s.a. x+ y = 6.(e) f (x, y, z) = x+ y + z s.a. y2 + z2 = 1, x+ z = 2.

2. Encuentra y clasica el punto que optimiza f (x, y) = 10x1/2y1/3

sujeto a 2x+ 4y = I, con I > 0 un parmetro. Si f (I) denota elvalor ptimo de f , verica que df /dI = .

3. Encuentra y clasica el valor extremo de f(x, y) = 2x+2y sujetoa yln x = 1. Si f denota el valor ptimo de f , aproxima el cambioen f si se utiliza y ln x = 1.15 como nueva restriccin.

4. Resuelve los siguientes problemas de optimizacin con restriccionesde igualdad:

(a) mx f (x, y) = x2 y2 s.a. ax + y = 1, con a > 0 unparmetro. Si f (a) denota el valor mnimo de f , con elteorema de la envolvente determina df /da.

(b) mn C (x, y) = ax + by s.a. ln x + y = 1, con a, b > 0parmetros. Si C (a, b) denota el valor mnimo de C, con elteorema de la envolvente determina C/a y C/b.

(c) mn f (x, y) = x+ay s.a. ln (xy) = a, con a > 0 un parmetroy x, y > 0. Si f (a) denota el valor mnimo de f , con elteorema de la envolvente determina df /da.

5. En relacin con los incisos del problema 4, presenta un argumentopara justicar que efectivamente se trata de un mximo o de unmnimo, segn proceda.

31

6. Sea U(x, y) una funcin de utilidad y sean p1, p2, los precios de losbienes x, y. Se desea maximizar la utilidad, dado un presupuestoI, es decir,

mx U(x, y)

s.a. p1x+ p2y = I,

con (x, y) las variables de decisin y (p1, p2, I) las variables ex-genas. Se dene la funcin de utilidad mxima, o funcin valor,como

V (p1, p2, I) = U(x (p1, p2, I) , y (p1, p2, I)),

en donde x (p1, p2, I) , y (p1, p2, I) es la solucin del problema.Prueba que en ptimo se cumplen las siguientes relaciones:

V (p1, p2, I)

p1=x,

V (p1, p2, I)

p2=y

V (p1, p2, I)

I=.

7. Para la funcin de utilidad en cada inciso, resuelve el problemamx U (x, y) s.a. p1x + p2y = I, con p1, p2, I > 0 parmetros(x, y > 0) y luego determina V/p1, V/p2 y V/I:

(a) U (x, y) =1

2ln x+

1

2ln y.

(b) U (x, y) = y + ln x.

(c) U (x, y) = 1x 1y.

(d) U (x, y) = 100 ex ey.

8. Considera el problema de maximizacin del benecio

mx (L,K; a, b, w, r, p) = p (a lnL+ b lnK) wL rK,

con a, b, w, r, p > 0 parmetros.

(a) Encuentra los niveles ptimos (L, K) y el benecio mximo(a, b, w, r, p).

(b) Con el teorema de la envolvente determina /a.

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9. Sea f(x1, x2) una funcin de produccin y sean w1, w2, los preciosde los insumos x1, x2 0. Se desea maximizar benecios, dado unnivel de produccin q, es decir,

mx pq (w1x1 + w2x2)

s.a. f (x1, x2) = q,

con (x1, x2, q) las variables de decisin y (w1, w2, p) las variablesexgenas. Se dene la funcin de benecio mximo como

(w1, w2, p) = pq(w1, w2, p) w1x1(w1, w2, p) w2x2(w1, w2, p),

en donde x1(w1, w2, p), x2(w1, w2, p) y q

(w1, w2, p) es la solucindel problema. Prueba que en el ptimo se cumplen las siguientesrelaciones (Lema de Hotelling):

(w1, w2, p)

p= q(w1, w2, p)

(w1, w2, p)

wi=xi (w1, w2, p), i = 1, 2.

10. Demuestra que con el mtodo de Lagrange no puedes encontrar elpunto que maximiza f (x, y) = x2y2 sujeto a (x 1)3y2 = 0.Encuentra el ptimo utilizando el mtodo grco. Justica por quel mtodo de Lagrange falla en este ejemplo.

11. En los siguientes problemas de optimizacin con restricciones dedesigualdad: i) escribe el problema en un formato adecuado,ii) escribe la funcin lagrangeana y las condiciones correspondientesde Kuhn-Tucker, iii) dibuja la regin factible y algunas curvas denivel de la funcin f , y iv) usa la informacin del inciso anteriorpara encontrar rpidamente la solucin ptima.

(a) mn f (x, y) = (x 4)2 + (y 4)2 s.a. x+ y 5, x, y 0.(b) mx f (x, y) = 9x2y2 s.a. x+y 3, 2x+3y 6, x 0.(c) mn f (x, y) = (x 4)2 + (y 4)2 s.a. x + y 5, x 6,

2y 11, x, y 0.(d) mx f (x, y) = x y s.a. x2 + y 1, x2 + 2x+ y 1.(e) mn f (x, y) = 6x+ y s.a. y x, y x2.(f) mx f (x, y) = x+

y s.a. y x, x+ y 2, x 0.

(g) mx f (x, y) = 2y x s.a. x+2y 6, x2+ y2 8, x, y 0.

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12. Considera el problema de maximizacin de la utilidadU(x, y) = lnx + y sujeto a p1x+ p2y I, y 0, con p1, p2, I > 0parmetros (claramente, x > 0). Demuestra que la posicin delptimo (x, y) depende de si I > p2 o I p2. En cada uno de estoscasos analiza el comportamiento de la curva de ingreso-consumo(x(I), y(I)).

13. Considera el problema de maximizacin de la utilidadU(x, y) = x +

y sujeto a p1x + p2y I, x 0, con p1, p2, I > 0

parmetros (claramente, y 0). Demuestra que la posicin delptimo (x, y) depende de si I > p21/4p2 o I p21/4p2. En cada unode estos casos analiza el comportamiento de la curva de ingreso-consumo (x(I), y(I)).

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CLCULO IITAREA 11

FUNCIONES DE Rn EN Rm. REGLA DE LA CADENA.TEOREMA GENERAL DE LA FUNCIN IMPLCITA

(Temas 6.1-6.3)

1. Los siguientes incisos denen diferentes funciones de Rn en Rm.Para cada funcin identica los valores correspondientes de n y m.Luego escribe una expresin para la derivada de la funcin:

(a) f(x, y) = x1/3y2/3.

(b) F (t) = (t, t2, 1).

(c) u(x1,..., xk) =k

I=1

i lnxi.

(d) x+ y + z = 1.

(e) (x, y) = (+ 3 ln 2, ).

(f) F (x, y) = (exy, x y, y3, 7).

2. Considera las funciones de demanda q1 = 6p21 p3/22 y, q2 = 4p1p

12 y

2,donde p1, p2 y y varan respecto al tiempo t de acuerdo con las ecua-ciones p1 =

12t, p2 = t

2, y = t 1. Sean F (p1, p2, y) = (q1, q2),G(t) = (p1, p2, y)) y H = F G.

(a) Identica los valores de k y n para la composicinH = F G : Rk Rn y proporciona la regla de corres-pondencia de H.

(b) Encuentra una expresin para la derivada DH(t)

(c) Evala H(t) y DH(t) en t = 3 e interpreta el resultado.

3. Considera las funciones de demanda q1 = 6p21 p3/22 y, q2 = 4p1p

12 y

2,donde p1, p2 y y varan respecto al tiempo t y a la tasa de intersr de acuerdo a las ecuaciones p1 =

12t, p2 = 10rt

2, y = 20r. SeanF (p1 , p2 , y) = (q1, q2), G(t, r) = (p1 , p2 , y) y H = F G.

(a) Identica los valores de k y n para la composicinH = F G : Rk Rn y proporciona la regla de corres-pondencia de H.

(b) Encuentra una expresin para la derivada DH(t, r).

(c) Evala H(t, r) y DH(t, r) en t = 3, r = 0.1 e interpreta elresultado.

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4. Sean F (w, i, r,Q) = (L(w, i, r, Q), K(w, i, r, Q), T (w, i, r, Q)) yG(t, s) = (w(t, s), i(t, s), r(t, s), Q(t, s)). Haz un diagrama y escribeel producto de matrices para la derivada D (F G) .

5. Determina bajo qu condiciones las ecuaciones x + y = uv yxy = u v denen implcitamente a x y v como funciones diferen-ciables de u y y. En ese caso, utiliza el teorema general de la fun-

cin implcita para encontrar las derivadas parcialesx

u,x

y,v

u,v

y.

6. Determina bajo qu condiciones las ecuaciones QeQ KL = 0 yK + L m = 0 denen implcitamente a Q y m como funcionesdiferenciables de L y K, donde Q,m,L,K > 0. En ese caso,

determinaQ

K.

7. Sea f(x, y) =ax2

2+ xy2 + x+ y, con a > 0 un parmetro.

(a) Escribe (no resuelvas) las condiciones de primer orden quedebe satisfacer el punto ptimo x(a), y(a).

(b) Suponiendo que las ecuaciones del inciso (a) denen implcita-mente a x y y como funciones diferenciables de a, encuentradx(a)da

ydy(a)da

.

8. Sea f(x, y) = aex bey x2 + y2, con a, b > 0 parmetros.

(a) Escribe (no resuelvas) las condiciones de primer orden quedebe satisfacer el punto ptimo x(a, b), y(a, b).

(b) Suponiendo que las ecuaciones del inciso (a) denen implci-tamente a x y y como funciones diferenciables de a y b,

encuentrax

a.

9. Considera el problema de maximizacin de ax + by sujeto ax4 + y4 = c, con a, b y c parmetros.

(a) Demuestra que las condiciones de primer orden conducen alsistema

ay3 bx3=0x4 + y4= c.

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(b) Suponiendo que el sistema anterior dene a x y a como fun-ciones de y, b y c, utiliza el teorema general de la funcin

implcita para encontrarx

y.

10. Sea Q(L,K) la funcin de produccin de una empresa y sean p, w yr los precios por unidad del producto, el trabajo y el capital, res-pectivamente. La funcin de benecio de la empresa esta dada por(L,K) = pQ(L,K) wL rK.

(a) Escribe las condiciones de primer orden que deben satisfacerlos niveles ptimos L y K de los factores de la produccin.

(b) Escribe las condiciones de segundo orden que efectivamentegarantizan que los niveles del inciso anterior maximizan (lo-calmente) los benecios.

(c) Con el teorema general de la funcin implcita demuestra queel sistema de ecuaciones del inciso (a) dene implcitamentea los niveles ptimos L y K como funciones diferenciables

de los precios p,w y r. Obtn frmulas paraK

pyL

r.

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