DERIVACION E INTEGRACION

1. Evalu la integral siguiente: / 2

06 3cos x dx

a) En forma analtica; b) con una sola aplicacin de la regla del trapecio; c) con aplicacin

mltiple de la regla del trapecio, con n=2 y 4 d) con una sola aplicacin de la regla de

Simpson 1/3 ; e) con aplicacin mltiple de la regla de Simpson 1/3, con n=4; f) con una

sola aplicacin de la regla de Simpson 3/8; y g) con aplicacin mltiple de la regla de

Simpson, con n=5. Para cada una de las estimaciones numricas de los incisos b) a g),

determinar el error relativo porcentual con base en el inciso a)

2. Evalu la integral siguiente: 4

3 5

21-x-4x 2x dx

a) En forma analtica b) con una sola aplicacin de la regla del trapecio c) con la regla del

trapecio compuesta, con n=2 y 4 d) con una sola aplicacin de la regla de Simpson 1/3;

e) con la regla de Simpson 3/8; y f) con la regla de Boole. Para cada una de las

estimaciones numricas de los incisos b) a f) , determine el error relativo porcentual con

base en el inciso a).

3. Integre la funcin siguiente en forma analtica y con el empleo de la regla del trapecio,

con n= 1,2,3 y 4: 2 2

1x+2/x dx

Use la solucin analtica para calcular los errores relativos porcentuales verdaderos para

evaluar la exactitud de las aproximaciones de la regla del trapecio.

4. Integre la funcin siguiente en forma tanto analtica como con la regla de Simpson , con

n=4 y 5. Analice los resultados: 5 3

34x-3 dx

5. Integre la funcin 3

2

0

xx e dx ,tanto en forma analtica como numrica. Emplee las

reglas del trapecio y de Simpson 1/3 para integrar numricamente la funcin. Para ambos

casos, utilice la versin de aplicacin mltiple, con n=4. Calcule los errores relativos

porcentuales para los resultados numricos.

6. Integre la funcin1.5

2

0.514 xdx , tanto analtica como numricamente. Para las

evaluaciones numricas use a) una sola aplicacin de la regla del trapecio, b) la regla

de Simpson 1/3 c) la regla de Simpson 3/8, d) la regla de Boole. Calcule los errores

relativos porcentuales de los resultados numricos.

7. Integre: 3

05+3 cos x dx , tanto en forma analtica como numrica. Para las

evaluaciones numricas utilice: a) una sola aplicacin de la regla del trapecio; b) la regla

de Simpson 1/3;c) la regla de Simpson 3/8; d) aplicacin mltiple de reglas de Simpson

con n= 5; e) la regla de Boole f) la frmula de integracin abierta de 3 segmentos y 2

puntos y g) la frmula de integracin abierta de 4 segmentos y 3 puntos

Calcule los errores relativos porcentuales para los resultados numricos.

8. Suponga que la fuerza hacia arriba de la resistencia del aire sobre un objeto que cae es

proporcional al cuadrado de la velocidad. Para este caso, la velocidad se calcula con:

( ) tanh d

d

gcgmv t t

c m

Donde cd =coeficiente de arrastre de segundo orden a) si g=9.8 m/s2 , m=68.1kg y cd

=0.25 kg/m, use integracin analtica para determinar qu tan lejos cae el objeto en 10

segundos b) haga lo mismo pero evalu la integral con la regla del trapecio de

segmento mltiple . Use una n suficientemente grande para obtener tres dgitos

significativos de exactitud.

9. Evalu la integral de los datos que se tabula en seguida con a) la regla del trapecio y b)

las reglas de Simpson

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

F(x) 1 8 4 3.5 5 1

10. Evalu la integral de los datos que se tabula en seguida, con a) la regla del trapecio, y

b) las reglas de Simpson:

x -2 2 4 6 8 10

F(x) 35 5 -10 2 3 20

11. Determine el valor medio de la funcin:

2 3 4( ) 46 45 14 2 0.075f x x x x x

Entre x=2 y 10, por medio de a) graficar la funcin y estimar visualmente el valor medio,

b) con la ecuacin

( )

( )

b

a

f x dx

Mediab a

y la evaluacin analtica de la integral, y c)

con la ecuacin anterior y una versin de cinco segmentos de la regla de Simpson para

estimar la integral. Calcule el error porcentual relativo.

12. La funcin 1.5( ) 2 xf x e se puede utilizar para generar la tabla siguiente de datos

espaciados en forma desigual:

x 0 0.05 0.15 0.25 0.35 0.475 0.6

F(x) 2 1.8555 1.5970 1.3746 1.1831 0.9808 0.8131

Evalu la integral de a=0 a b= 0.6, con el uso de a) medios analticos b) la regla del

trapecio y c) una combinacin de las reglas del trapecio y de Simpson, emplee las

reglas de Simpson siempre que sea posible a fin de obtener la exactitud ms alta. Para

los incisos b) y c) calcule el error relativo porcentual

13. Investigue como evaluar la integral doble siguiente: 1 2

2 2 3

1 02x y xy dxdy

a) En forma analtica; b) con una aplicacin mltiple de la regla del trapecio con n=2 y

c) con aplicaciones nicas de la regla de Simpson 1/3.Para los incisos b) y c); calcule el

error relativo porcentual . Cree las mallas con los valores correspondientes de la

funcin.

14. Investigue como evaluar 2 2 1

3

2 0 33x yz dxdydz

, a) en forma analtica y b) con

el uso de aplicaciones nicas de la regla de Simpson 1/3. Para el inciso b) calcule el

error relativo porcentual ,. Cree la malla con los valores correspondientes.

15. Una viga de 11 metros est sujeta a una carga, y la fuerza cortante sigue la ecuacin

25 0.25V x x

Donde V es la fuerza cortante y x es la distancia a lo largo de la viga. Se sabe que

/V dM dx y M es el momento flexionante. La integracin conduce a la relacin:

00

x

M M Vdx

Si M0 es cero y x=11 con el empleo de a) integracin analtica b) aplicacin mltiple de

la regla del trapecio y c) aplicacin mltiple de las reglas de Simpson. Para los incisos

b) y c) use incrementos de 1 m.

16. El trabajo producido por un proceso termodinmico a temperatura, presin y volumen

constante se calcula por medio de: pdV

Donde W es el trabajo, p la presin, y V el volumen. Con el empleo de una combinacin

de la regla del trapecio, la de Simpson 1/3 y la de Simpson 3/8, utilice los datos

siguientes para calcular el trabajo en kJ (kJ=kN.m):

Presion (kPa) 336 294.4 266.4 260.8 260.5 249.6 193.6 165.6

Volumen (m3) 0.5 2 3 4 6 8 10 11

17. Determine la distancia recorrida para los datos siguientes:

t min 1 2 3.25 4.5 6 7 8 9 9.5 10

v m/s 5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5

a) Use la regla del trapecio, b) la mejor combinacin de las reglas del trapecio y de

Simpson, y c) la integracin analtica de polinomios de segundo y tercer orden,

determinados por regresin.

18. La masa total de una barra de densidad variable es: 0

L

cm x A x dx

Donde m=masa, (x) =densidad, Ac(x) =rea de la seccin transversal, x= distancia a

lo largo de la barra y L =longitud total de la barra. Se midieron los datos siguientes

para una barra de 10 m de longitud. Determine la masa en kilogramos con la exactitud

mejor posible.

x, m 0 2 3 4 6 8 10

, g/cm3 4 3.95 3.89 3.80 3.60 3.41 3.30

Ac, cm2 100 103 106 110 120 133 150

19. Un estudio de ingeniera de transporte requiere que usted determine el nmero de autos

que pasan por una interseccin cuando viajan durante la hora pico de la maana. Usted

se para al lado de la carretera y cuenta el nmero de autos que pasan cada cuatro

minutos a varias horas, como se muestra en la tabla a continuacin. Utilice el mejor

mtodo numrico para determinar a) el nmero total de autos que pasan entre las 7.30

y las 9.15, y b) la tasa de autos que cruzan la interseccin por minuto (recomendacin:

tenga cuidado con las unidades)

Tiempo (h) 7.30 7.45 8.00 8.15 8.45 9.15

Tasa (autos por 4 min) 18 24 14 24 21 9

20. Determine el valor promedio para los datos de la figura mostrada:

Realice la integral que se necesita para el promedio en el orden que muestra la

ecuacin siguiente: 0 0

,n nx y

x yI f x y dy dx

.

Recuerde que para calcular el valor promedio de una funcin bidimensional se usa:

,, [ , ] , [ , ]

( )( )

d b

c af x y dx dy

I x a b y c dd c b a

. (Primero calcule las

integrales por cada fila, luego una integral usando los resultados anteriores por

columna).

21. Determine numricamente el valor de: (considere diferentes valores cada vez ms

grandes en los extremos para determinar si la integral converge)

a) 2 2dx

x x

b)

2

0

ye sen y dy

c) 2 201

1 1 / 2dy

y y

d) 2

yye dy

e) 2

2

0

1

2

x

e dx

Observe que la integral del inciso e) es la distribucin normal.

22. La cantidad de masa transportada por un tubo durante cierto periodo de tiempo se

calcula con: 2

1

t

tM Q t c t dt

Donde M=masa (mg), t1=tiempo final (min), Q(t)=tasa de flujo (m3/min), y

c(t)=concentracin (mg/m3). Las representaciones funcionales siguientes definen las

variaciones temporales en el flujo y la concentracin:

2

0.5 0.15

9 4cos 0.4

5 2t t

Q t t

c t e e

Determine la masa transportada entre t1=2min y t2= 8 min, con integracin de Trapecio

compuesto para una tolerancia de 0.1%

23. Las profundidades de un rio H se miden a distancias espaciadas iguales a travs de un

canal como se muestra en la tabla siguiente. El rea de la seccin transversal del rio se

determina por integracin con: 0

x

cA H x dx

Emplee integracin de Romberg para llevar a cabo la integracin con una tolerancia de

1%

x, m 0 2 4 6 8 10 12 14 16

H, m 0 1.9 2 2 2.4 2.6 2.25 1.12 0

24. Determine la cantidad de calor requerido para elevar la temperatura de 1200 g del

material de -150 a 100 C, usando la el valor promedio de c(T):

2

1

2 1

( )

T

Tc T dT

c TT T

.

Genere una tabla usando la funcin 4 7 2( ) 0.132 1.56*10 2.64*10c T T T , luego

aplique la regla de Simpson para hacer su clculo, con valores de T en incrementos de

50C.

25. Repita el problema anterior pero utilice la integracin de Romberg con 0.01%s

26. La integracin proporciona un medio de calcular cuanta masa entra o sale de un reactor

durante un periodo especfico de tiempo, as: 2

1

t

tM Qcdt

Donde t1 y t2 =tiempos inicial y final, respectivamente. Esta frmula es de sentido comn

si se recuerda la analoga entre la integracin y la suma. Es decir, la integral representa

la suma del producto del flujo por la concentracin, lo que da la masa total que entra o

sale de t1 a t2. Si la tasa de flujo es constante, Q se puede sacar de la integral.

2

1

t

tM Q cdt

Utilice la integracin numrica para evaluar esta ecuacin para los datos que se enlistan

a continuacin. Observe que Q=4 m3 .min

t, min 0 10 20 30 35 40 45 50

c, mg/m3 10 35 55 52 40 37 32 34

27. Se mide la concentracin qumica de la salida de un reactor mezclado por completo

t, min 0 1 4 6 8 12 16 20

c, mg/m3 12 22 32 45 58 75 70 48

Para un flujo de salida de Q=0.3 m3/s, calcule la masa del producto qumico, en gramos,

que sale del reactor entre 0 20mint y t

28. La primera ley de la difusin de Fick establece que

dcFlujodemasa D

dx (P24.6)

Donde el flujo de masa =cantidad de masa que pasa a travs de una unidad de rea por

unidad de tiempo (g/cm2/s), D=coeficiente de difusin (cm2/s), c=concentracin, y

x=distancia (cm). Un ingeniero ambiental mide la concentracin, que se presenta a

continuacin, de un contaminante en los sedimentos en el fondo de un lago (x=0 en la

interfase sedimento agua y aumenta hacia abajo)

x, cm 0 1 3

c, 10-6g/cm3 0.06 0.32 0.6

Utilice la mejor tcnica numrica de diferenciacin disponible para estimar la derivada

en x=0. Emplee esta estimacin junto con la ecuacin (P24.6) para calcular el flujo de

masa del contaminante que se desprende de los sedimentos hacia las aguas superiores

(D=1.52x10-6 cm2/s). Para un lago con 3.6 x 106 m2 de sedimentos, Cunto

contaminante ser transportado hacia el lago durante un ao?

29. Los siguientes datos se obtuvieron al cargar un gran buque petrolero:

t, min 0 10 20 30 45 60 75

V, 106 barriles 0.4 0.7 0.77 0.88 1.05 1.17 1.35

Calcule la tasa de flujo Q (es decir, dV/dt) para cada tiempo en un orden de h2

30. Usted est interesado en medir la velocidad de un fluido a travs de un canal

rectangular angosto abierto que condujera desperdicios de petrleo entre distintos

lugares de una refinera. Usted sabe que, debido a la friccin con el fondo, la velocidad

varia con la profundidad del canal. Si los tcnicos solo disponen de tiempo para hacer

dos mediciones de la velocidad, a qu profundidades las hara para obtener la mejor

estimacin de la velocidad promedio? Elabore recomendaciones en trminos del

porcentaje total de profundidad d medida a partir de la superficie del fluido. Por ejemplo,

si se midiera en la superficie se tendra 0% d, mientras que en el fondo sera 100%d.

31. El tejido suave sigue una deformacin de comportamiento exponencial ante la tensin

uniaxial, mientras se encuentre en el rango fisiolgico o normal de elongacin. Esto se

expresara as: 0 1atE

ea

Donde esfuerzo tensin, y 0E y a son constantes materiales que se

determinan en forma experimental. Para evaluar las dos constantes materiales se deriva

la ecuacin anterior con respecto a , la cual es una relacin fundamental para el tejido

suave: 0

dE a

d

Para evaluar E0 y a, se emplean datos de esfuerzo tensin para graficar d

d

versus

, y la pendiente e interseccin de esta grafica con las dos constantes del material

respectivamente. La tabla siguiente contiene datos de esfuerzo tensin para los

tendones cordados del corazn (tendones pequeos que durante la contraccin del

musculo cardiaco mantienen cerradas sus vlvulas) estos son los datos tomados

durante la carga del tejido, se obtendran curvas distintas durante la descarga.

a) Calcule la derivada de /d d por medio de diferencias finitas con exactitud de

segundo orden. Grafique los datos y elimine aquellos puntos cerca de cero que que

parezcan no seguir la relacin de lnea recta. El error en dichos datos proviene de la

incapacidad de los instrumentos para medir los valores pequeos en dicha regin. Lleve

a cabo un anlisis de regresin de los dems puntos para determinar los valores de oE y

a. Grafique los datos de esfuerzo versus tensin junto con la curva analtica expresada

por la primera ecuacin. Esto indicara que tan bien se ajustan los datos a curva

analtica.

b) Es frecuente que el anlisis anterior no funciona bien debido a que es difcil evaluar el

valor de 0E . Para resolver este problema, no se utiliza 0E . Se selecciona un punto

, de los datos que este a la mitad del rango empleado para el anlisis de regresin.

Estos valores se sustituyen en la primera ecuacin y se determina un valor 0E la que se

remplaza en la primera ecuacin: 11

a

ae

e

Con este enfoque, los datos experimentales que estn bien definidos producirn un

buen ajuste entre los datos y la curva analtica. Emplee esta nueva relacin y grafique

otra vez los datos del esfuerzo versus la tensin y tambin la nueva curva analtica.

32. La tcnica estndar para determinar la salida cardiaca es el mtodo de dilucin de un

colorante, desarrollado por Hamilton. Se inserta el extremo de un catter pequeo en la

arteria radial y el otro se conecta a un denstometro, que registra en forma automtica la

concentracin del colorante en la sangre, se inyecto con rapidez una cantidad conocida,

5.6 mg, de colorante y se obtuvieron los datos siguientes:

Tiempo, s Concentracin, mg/L Tiempo, s Concentracin, mg/L

5 0 21 2.3

7 0.1 23 1.1

9 0.11 25 0.9

11 0.4 27 1.75

13 4.1 29 2.06

3 210 /x N m 87.8 96.6 176 263 350 569 833 1227 1623 2105 2677 3378 4257

310 /x m m 153 198 270 320 355 410 460 512 562 614 664 716 766

15 9.1 31 2.25

17 8 33 2.32

19 4.2 35 2.43

Al graficarse los datos anteriores se obtienen la curva de dilucin del colorante que se

muestra en la figura de arriba. La concentracin alcanza un valor mximo alrededor de

15 segundos despus, luego hay una disminucin seguida de un aumento ocasionado

por la recirculacin del colorante. En la figura b), se muestra la curva graficada en

papel semilogartmico. Observe que la rama descendente de la curva de dilucin se

aproxima a una lnea recta. A fin de separar el efecto de recirculacin, los analistas

extienden la porcin de la lnea recta. Entonces, la salida cardiaca se calcula por

medio de la ecuacin siguiente.

60 / minM

C x sA

Donde C= salida cardiaca (L/min), M=cantidad de colorante inyectado (mg), y A=rea

bajo la curva con la correlacin lineal. Calcule la salida cardiaca de este paciente con

el empleo de la regla del trapecio con un trapecio con un tamao de paso de 2 s.

33. En todo el mundo, el glaucoma es la segunda causa principal de perdida de la vista.

La presin intraocular alta (presin dentro del ojo) casi siempre acompaa la perdida

de la visin. Existe la hiptesis de que la presin elevada daa un subconjunto de

clulas en el ojo responsables de la vista. Un investigador postula que la relacin entre

la perdida de la visin y la presin esta descrita por la ecuacin.

25exp 13t

VL A k P dt

Donde VL es el porcentaje de prdida de visin, P es la presin intraocular (mm de

mercurio (mm Hg), t es el tiempo (aos), y k y A son constantes. Con el uso de los

datos siguientes procedentes de tres pacientes, estime los valores de las constantes k

y A.

Paciente A B C

Edad al emitir el

diagnostico

65

60

43

40

80

30

Edad, aos P, mm Hg Edad, aos P, mm Hg Edad, aos P, mm Mg

25 13 25 11 25 13

40 15 40 30 40 14

50 22 41 32 50 15

60 23 42 33 60 17

65 24 43 35 80 19

34. Una de sus colegas diseo una parche transdermico nuevo para aplicar insulina a

travs de la piel de los pacientes diabticos en forma controlada, con lo que se elimina

la necesidad de inyecciones dolorosas. Recabo los datos siguientes acerca del flujo de

masa de la insulina que se aplica a travs del parche (y piel) como funcin del tiempo:

Flujo

Mg/cm2/h

Tiempo,

h

Flujo,

mg/cm2/h

Tiempo,

h

15 0 8 5

14 1 5 10

12 2 2.5 15

11 3 2 20

9 4 1 24

Recuerde que el flujo de masa es la tasa de flujo a travs de un rea, o (1/A)dm/dt.

Proporcione su mejor estimacin posible de la cantidad de medicina distribuida a

travs de la piel en 24 horas de uso de un parche de 12 cm2.

35. Se emplea la video angiografa para medir el flujo sanguneo y determinar el estado de

la funcin circulatoria. A fin de cuantificar los video angiogramas se necesita conocer

el dimetro del vaso sanguneo y la velocidad de la sangre, de modo que se determine

el flujo total de la sangre. A continuacin se presenta el perfil densiomtrico tomado de

un video angiograma de cierto vaso sanguneo: Una forma de determinar de modo

consistente a que distancia del angiograma se localiza el borde del vaso sanguneo, es

determinar la primera derivada del perfil en un valor extremo. Con los datos que se

proporciona, encuentre las fronteras del vaso sanguneo y estime el dimetro de este.

Emplee frmulas de diferencias centradas tanto O(h2) como de O(h4) y compare los

resultados.

Distancia Densidad Distancia Densidad Distancia Densidad Distancia Densidad

0 26.013 28 38.273 56 39.124 84 37.331

4 26.995 32 39.103 60 38.813 88 35.980

8 26.351 36 39.025 64 38.925 92 31.936

12 28.343 40 39.432 68 38.804 96 28.843

16 31.100 44 39.163 72 38.806 100 26.309

20 34.667 48 38.920 76 38.666 104 26.146

24 37.251 52 38.631 80 38.658

36. Las fuerzas del viento (f) , ejercidas por pie de mstil de las velas (de un bote de vela

de carreras) varian en funcin de la distancia sobre la cubierta del bote (z) . Calcule la

fuerza de tensin T en el cable de soporte izquierdo del mstil, suponiendo que el

cable de soporte derecho est totalmente flojo y que el mstil se une a la cubierta de

modo que transmite fuerzas horizontales o verticales, pero no momentos. Suponga

que el mstil permanece vertical.

Considere que la fuerza distribuida f se convierta en una fuerza total equivalente F y

que se calcula su localizacin d sobre la cubierta. Este clculo se complica por el

hecho de que la fuerza ejercida por pie de mstil varia con la distancia sobre la

cubierta. La fuerza total ejercida sobre el mstil se expresa como la integral de una

funcin continua: 30

/10

0

250

6

zzF e dzz

, calcule el valor F con el uso de la regla del

trapecio y las de Simpson 1/3 y 3/8. Divida el mstil en intervalos de cinco pies.

Calcule tambin la fuerza efectiva d sobre la lnea de accin, mediante la integral:

30

0

30

0

. ( )

( )

z f z dzd

f z dz

37. Las reas (A) de la seccin transversal de una corriente se requieren para varias

tareas de la ingeniera de recursos hidrulicos, como el pronstico del escurrimiento y

el diseo de presas. A menos que se disponga de dispositivos electrnicos muy

avanzados para obtener perfiles continuos del fondo del canal, el ingeniero debe

basarse en mediciones discretas de la profundidad para calcular A. En la figura inferior

se representa un ejemplo de seccin transversal comn de una corriente. Los puntos

de los datos representan ubicaciones en las que ancl un barco y se hicieron

mediciones de la profundidad. Utilice aplicaciones (h=4 y 2 m) de la regla del trapecio

y de la de Simpson 1/3 (h=2m) para estimar el rea de la seccin transversal

representada por esos datos.

38. De acuerdo al problema anterior, el rea de la seccin transversal de un canal se

calcula con: 0

B

cA H y dy

Donde B=ancho total del canal (m), H=profundidad (m), y y=distancia desde uno de los

mrgenes (m). En forma similar, el flujo promedio Q (m3/s) se calcula por medio de:

0

B

Q U y H y dy

Donde U=velocidad del agua (m/s). Use estas relaciones y algn mtodo numrico

para determinar Ac y Q, para os datos siguientes:

y, m 0 2 4 5 6 9

H, m 0.5 1.3 1.25 1.7 1 0.25

U, m/s 0.03 0.06 0.05 0.12 0.11 0.02

39. Durante un levantamiento, se le pide que calcule el rea del terreno que se muestra en

la figura inferior. Emplee reglas de Simpson para determinar el rea (limitada por 2

caminos y un cauce)

40. Un estudio de ingeniera del transporte requiere que se calcule el nmero total de autos

que cruzan por una interseccin en un periodo de 24 horas. Un individuo la visita en

diferentes momentos durante el curso de un da y cuenta durante un minuto los autos

que pasan por la interseccin. Utilice los datos que se resumen en la tabla inferior para

estimar el nmero total de autos que cruzan por da (tenga cuidado con las unidades)

Tabla : Tasa de flujo de trfico (autos/min) en una interseccin medida en diferentes

momentos durante un periodo de 24 horas.

Hora Tasa Hora Tasa Hora Tasa

12:00

medianoche 2 9:00 AM 11 6:00 PM 20

2:00 AM 2 10:30 AM 4 7:00 PM 10

4:00 AM 0 11:30 AM 11 8:00 PM 8

5:00 AM 2 12:30 PM 12 9:00 PM 10

6:00 AM 6 2:00 PM 8 10:00 PM 8

7:00 AM 7 4:00 PM 7 11:00 PM 7

8:00 AM 23 5:00 PM 26 12:00

medianoche 3

41. Se midi la fuerza del viento distribuida contra el costado de un rascacielos, as:

Altura, l, m 0 30 60 90 120 150 180 210 240

Fuerza, F(l), N/m 0 340 1200 1600 2700 3100 3200 3500 3800

Calcule la fuerza neta y fuerza efectiva sobre la lnea de accin debida a este viento

distribuido (vase ejercicio 36)

42. El agua ejerce presin sobre la cara aguas arriba de una presa, como se ilustra en la

figura inferior :

La presin se describe con la ecuacin: p z g D z

Donde p(z) es la presin en pascales (o N/m2) que se ejerce a z metros de elevacin

sobre el fondo de la presa; = densidad del agua; que para este problema se supone

ser constante de 103 kg/m3; g=aceleracin de la gravedad (9,8m/s2); y D=elevacin (en

m) que hay del fondo de la presa a la superficie del agua. De acuerdo con la ecuacin

p z g D z , la presin se incrementa en forma lineal con la profundidad, como

se ilustra en la figura (a). Si se omite la presin atmosfrica (porque opera contra ambos

lados de la cara de la presa y en esencia se cancela), la fuerza total f se determina con

la multiplicacin de la presin por el rea de la cara de la presa (como se muestra en la

figura (b). Como tanto la presin como el rea varan con la elevacin, la fuerza total se

obtiene con la evaluacin de: 0

D

tf gw z D z dz

Donde w(z)= ancho de la cara de la presa (m) en la elevacin z (vase la figura b). La

lnea de accin tambin puede obtenerse con la evaluacin de:

0

0

0

D

gzw z D z dzd

gw z D z dz

Use la regla de Simpson para calcular ft y d. Compruebe los resultados con un

programa de cmputo para la regla del trapecio.

43. Para estimar el tamao de una presa nueva, usted tiene que determinar el volumen total

de agua (m3) que fluye por un rio por un ao. Usted dispone de los datos histricos

promedio para el rio:

Fecha Med

Ene

Med

Feb

Med

Mar

Med

Abr

Med

Jun

Med

Sep

Med

Oct

Med

Nov

Med

Dic

Flujo, m3/s 30 38 82 125 95 20 22 24 35

Determine el volumen. Tenga cuidado con las unidades y al hacer una estimacin

apropiada del flujo en los puntos extremos.

44. Los datos que se enlistan en la tabla siguiente proporcionan mediciones por hora del

flujo de calor q (cal/cm2/h) en la superficie de un colector solar. Como ingeniero , usted

debe estimar el calor total absorbido por un panel colector de 150000 cm2 durante un

periodo de 14 horas. El panel tiene una eficiencia de absorcin abe de 45 %. El calor

total absorbido est dada por: 0

t

abh e qAdt , donde A es el rea y q el flujo de calor.

t 0 2 4 6 8 10 12 14

q 0.10 5.32 7.80 8.00 8.03 6.27 3.54 0.20

45. El flujo de calor q es la cantidad de calor que fluye a travs de una unidad de rea de

cierto material por unidad de tiempo. Se calcula con la ley de Fourier: dT

J kdx

Donde J est en unidades de J/m2/s, y k es un coeficiente de conductividad trmica que

parametriza las propiedades conductoras de calor del material y se expresa en

unidades de W/(C.m). T= temperatura (C); y x=distancia (m) a lo largo de la trayectoria

del flujo de calor. La ley de Fourier la emplean en forma rutinaria los ingenieros para

determinar el flujo de calor a travs de las paredes. Se midieron las temperaturas

siguientes a partir de la superficie (x=0) de una pared de piedra:

x, m 0 0.08 0.16

T, C 20 17 15

Si el flujo en x= 0 es de 60 W/m2, calcule el valor de k.

46. El rea de la superficie horizontal As(m2) de un lago, a cierta profundidad, se calcula a

partir del volumen por medio de diferenciacin: dV

As z zdz

Donde V=volumen (m3) y z=profundidad (m), se mide a partir de la superficie en

direccin del fondo. La concentracin promedio de una sustancia que vara con la

profundidad c(g/m3) se obtiene por integracin:

0

0

z

s

z

s

c z A z dzc

A z dz

Donde z= profundidad total (m). Determine la concentracin promedio con base en los

datos siguientes:

z, m 0 4 8 12 16

V, 106 m3 9.8175 5.1051 1.9635 0.3927 0.0000

C, g/m3 10.2 8.5 7.4 5.2 4.1

47. El valor promedio de la corriente elctrica oscilante en un periodo puede ser cero . Por

ejemplo , suponga que la corriente se describe por una senoide simple:

( ) (2 / )i t sen T , donde T es el periodo. El valor promedio de esta funcin se

determina mediante la siguiente ecuacin:

0

2

cos(2 ) cos00

0

T tsen dt

Ti

T T

. A pesar del hecho de que el resultado

total es cero, dicha corriente es capaz de realizar trabajo y generar calor. Por

consiguiente, los ingenieros a menudo caracterizan esta corriente por:

20

1 TRMCI i t dt

T , donde i(t) es la corriente instantnea. Calcule la raz media

cuadrtica para la corriente segn las especificaciones siguientes:

1.255 2 0 / 2

0 / 2

ti t e sen t para t T

i t paraT t T

Donde T=1 s. Use la regla del trapecio y Simpson 1/3 y romberg con 1%s para

estimar la integral

48. Repita el problema anterior, pero emplee la regla de Simpson 1/3 de cinco

segmentos.

49. La ley de Faraday caracteriza la cada de voltaje a travs de un inductor, as:

L

diV L

dt

Donde VL =cada de voltaje (V), L= inductancia (en henrios; H=1V.s/A), i=corriente

(A) y t= tiempo (s). Determine la cada de voltaje como funcin del tiempo, con los

datos siguientes para una inductancia de 4H

t 0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7

i 0 0.16 0.32 0.56 0.84 2.0

50. Con base en la ley de Faraday (vase el problema anterior) use los datos siguientes

de voltaje para estimar la inductancia en henrios si se pasa durante 400

milisegundos una corriente de 2 A por el inductor.

t, ms 0 10 20 40 60 80 120 180 280 400

V, volts 0 18 29 44 49 46 35 26 15 7

51. Suponga que la corriente a travs de una resistencia esta descrita por la funcin:

260 60i t t t sen t , y que la resistencia es funcin de la corriente:

2/312 2R i i . Calcule el voltaje promedio desde t=0 hasta 60 con el uso de la

regla de Simpson 1/3 de segmentos mltiples.

52. Si inicialmente un capacitor no tiene carga, el voltaje a travs de l como funcin

del tiempo se calcula por medio de: 0

1 tV t i t dt

C

Si C=105 faradios, use los datos de corriente que siguen para elaborar una grfica

del voltaje versus el tiempo:

t, s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

I, 10-3A 0.2 0.3683 0.3819 0.2282 0.0486 0.0082 0.1441

53. En ingeniera muchos problemas implican el clculo del trabajo. La formula general

es : Trabajo =fuerza x distancia. Si la fuerza varia durante el clculo, la ecuacin

para el trabajo se define como:

0

( )nx

x

W F x dx

Donde: W=trabajo (lb.ft), donde x0,xn: posiciones inicial y final respectivamente, y

F(x) fuerza que varia con la posicin. Si F(x) es fcil de integrar, la ecuacin anterior

se puede calcular analticamente. En la solucin de un problema real, quiz la

fuerza no se exprese de esta manera. De hecho, cuando se analizan los datos

obtenidos de las mediciones, la fuerza podra estar disponible solo en forma

tabular. En tal sentido, la integracin numrica es la nica opcin viable para la

evaluacin. Se obtiene mayor complejidad si el ngulo de entre la fuerza y la

direccin del movimiento tambin vara en funcin de la posicin. La ecuacin del

trabajo llega a dificultarse aun ms al tomar en cuenta este efecto, entonces:

0

( ) cos[ ( )]nx

x

W F x x dx

De nuevo, si F(x) y ( )x son funciones sencillas, la ecuacin anterior se podra

resolver analticamente, pero es mas comn que la relacin funcional sea

complicada. En tal situacin, los mtodos numricos ofrecen la nica alternativa

para determinar la integral. De acuerdo a las restricciones experimentales usted

cuenta con mediciones discretas a intervalos de x=5 ft (ver tabla anexa). Use

versiones de una y mltiples aplicaciones de la regla del trapecio y las reglas de

Simpson 1/3 y 3/8 para calcular el trabajo con estos datos.

x, ft F(x), lb ,rad ( ) cosF x

0 0.0 0.50 0.0000

5 9.0 1.40 1.5297

10 13.0 0.75 9.5120

15 14.0 0.90 8.7025

20 10.5 1.30 2.8087

25 12.0 1.48 1.0881

30 5.0 1.50 0.3537

54. Ejecute el mismo clculo que en el problema anterior, pero use la ecuacin siguiente:

21.6 0.045f x x x .Emplee los valores de de la tabla anterior.

55. Efectu el mismo clculo que en problema 53 pero emplee la ecuacin que sigue:

2 30.8 0.125 0.009 0.0002x x x x

Utilice la funcin f(x) del problema anterior. Use reglas del trapecio con 4,8 y 16

segmentos para calcular la integral.

56. Repita el problema anterior, pero emplee la regla de Simpson 1/3.

57. Resuelva el problema 55 , pero utilice integracin de Romberg con 0.5%s

58. El trabajo que realiza un objeto es igual a la fuerza por la distancia que se desplaza

en la direccin de la fuerza. La velocidad de un objeto en la direccin de una fuerza

est dada por:

2

4 0 4

16 4 4 14

v t t

v t t

Donde v=m/s. Emplee la aplicacin mltiple de la regla de Simpson para determinar

el trabajo si se aplica una fuerza constante de 200 N para toda t.

59. La tasa de enfriamiento de un cuerpo (ver figura inferior) se expresa como:

0dT

k T Tdt

Donde T=temperatura del cuerpo (C), To=temperatura del medio circundante (C) y

k=constante de proporcionalidad (por minuto) . Asi esta ecuacin (denominada ley

de Newton para el enfriamiento) especifica que la tasa de enfriamiento proporcional

a la diferencia de temperaturas del cuerpo y del medio circundante. Si una bola de

metal calentada a 80C se sumerge en agua que se mantiene a T0=20C constante,

la temperatura de la bola cambia as.

Tiempo, min 0 5 10 15 20 25

T, C 80 44.5 30 24.1 21.7 20.7

Utilice diferenciacin numrica para determinar dT/dt en cada valor del tiempo.

Grafique dT/dt versus T-T0 y emplee regresin lineal para evaluar k.

60. Una barra sujeta una carga axial (vase la figura a) se deformar como se ilustra en

la curva esfuerzo tensin que aparece en la figura b) El rea bajo la curva desde

el esfuerzo cero hasta el punto de ruptura se denomina mdulo de rigidez del

material. Proporciona una medida de la energa por unidad de volumen que se

requiere para hacer que el material se rompa. Por ello, es representativo de la

capacidad del material para superar una carga de impacto. Use integracin

numrica para calcular el mdulo de rigidez para la curva esfuerzo-tensin que se

aprecia en la figura b)

61. Si se conoce la distribucin de la velocidad de un fluido a travs de un tubo (vase

la figura), la tasa de flujo Q(es decir, el volumen de agua que pasa por el tubo por

unidad de tiempo) se calcula por medio de Q vdA , donde v es la velocidad y A

es el rea de la seccin transversal del tubo. (Para entender el significado fsico de

esta relacin, recuerde la estrecha conexin que hay entre la suma y la integracin)

Para un tubo circular, A=r2 y dA=rdr. Por lo tanto, 0

2r

Q v r dr donde r es la

distancia radial medida hacia fuera del centro del tubo. Si la distribucin de la

velocidad est dada por

176

0

2 1r

vr

donde r0 es el radio total (en este caso

3cm), calcule Q con el empleo de la regla del trapecio de aplicacin mltiple.

Analice los resultados.

62. Con los datos siguientes, calcule el trabajo realizado con la compresin hasta

x=0.35 m, de un resorte cuya constante es de k=300 N/m:

F, 103N 0 0.01 0.028 0.046 0.063 0.082 0.11 0.13

x, m 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

63. Se midi la posicin de un avin de combate durante su aterrizaje en la cubierta de

un portaviones:

t, s 0 0.52 1.04 1.75 2.37 3.25 3.83

x, m 153 185 210 249 261 271 273

Donde x es la distancia desde el extremo del portaviones. Estime a) la velocidad

(dx/dt) y b) la aceleracin (dv/dt), por medio de diferencia numrica.

64. Emplee la regla de Simpson de aplicacin mltiple para evaluar la distancia vertical

que recorre un cohete si su velocidad vertical est dada por:

2

2

11 5 0 10

1100 5 10 20

50 2 20 20 30

v t t t

v t t

v t t t

65. La velocidad hacia arriba de un cohete se calcula con la frmula que sigue:

0

0

lnm

v u gtm qt

Donde v=velocidad hacia arriba, u = velocidad a que se expele el combustible en

relacin con el cohete, m0=masa inicial del cohete en el tiempo t=0, q=tasa de

consumo de combustible y g=aceleracin de la gravedad hacia abajo (se supone

constante=9.8m/s2). U=1800m/s, m0=160000 kg, y q=2500 kg/s, utilice la regla del

trapecio de seis segmentos y de Simpson 1/3 y los mtodos de Romberg o(h8) para

determinar que altura alcanzara el cohete en un vuelo de 30 s.

66. Un flujo desarrollado por completo que pasa a travs de un tubo de 40 cm de

dimetro tiene el perfil de velocidad siguiente:

Radio, r, cm 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0

Velocidad,v, m/s 0.914 0.890 0.847 0.795 0.719 0.543 0.427 0.204 0

Encuentre, la tasa de flujo volumtrico, Q, con la relacin 0

2k

Q rvdr , donde r es

el eje radial del tubo, R es el radio del tubo, y v es la velocidad. Resuelve el

problema con dos enfoques diferentes.

a) Ajuste una curva polinomial a los datos de velocidad e intgrela en forma

analtica

b) Para la integracin utilice una aplicacin mltiple de la regla de Simpson 1/3.

c) Encuentre el error porcentual con el uso de la integral de ajuste polinomial como

el valor ms correcto.

67. Un fluido desarrollado por completo de un plstico de Bingham que se mueve por

un tubo de 12 pulgadas de dimetro, tiene el perfil de velocidades que sigue. El flujo

de un fluido de Bingham no corta el fluido central, lo que produce un flujo tapn

alrededor de la lnea central.

Radio, r, pulg 0 1 2 3 4 5 6

Velocidad, v, pie/s 5.00 5.00 4.62 4.01 3.42 1.69 0.00

Encuentre la tasa de flujo volumtrico total, Q, con el uso de la relacin

2

1

2r

c cr

Q rvdr v A donde r es el eje radial del tubo, R es el radio del tubo, v es la

velocidad, vc es la velocidad en el ncleo, y Ac es el rea de la seccin transversal

del tapn. Resuelva el problema con dos enfoques distintos.

a) Ajuste una curva polinomial a los datos fuera del ncleo e intgrela

b) Para la integracin emplee la regla de Simpson de aplicaciones mltiples.

c) Encuentre el error porcentual con el uso de la integral del ajuste polinomial como

el valor ms correcto.

68. La entalpa de un gas real es funcin de la presin como se describe a

continuacin. Los datos se tomaron para un fluido real. Estime la entalpia del fluido

a 400K y 50 atm (evalu la integral de 0.1 atm a 50 atm).

0

P

p

VH V T dP

T

P, atm V, L

T=350K T=400K T=450K

0.1 220 250 282.5

5 4.1 4.7 5.23

10 2.2 2.5 2.7

20 1.35 1.49 1.55

25 1.1 1.2 1.24

30 0.90 0.99 1.03

40 0.68 0.75 0.78

45 0.61 0.675 0.7

50 0.54 0.6 0.62

69. Dados los datos siguientes, encuentre el trabajo isotrmico realizado sobre el gas

cuando se comprime de 23 L a 3 L (recuerde que 2

1

v

vW Pdv ).

V, L 3 8 13 18 23

P, atm 12.5 3.5 1.8 1.4 1.2

a) Encuentre en forma numrica el trabajo realizado sobre el gas, con la regla del

trapecio de 1,2 y 4 segmentos.

b) Calcule las razones de los errores en estas estimaciones y relacinelas con el

anlisis del error de la regla del trapecio.

70. La ecuacin de Rosin Rammler Bennet (RRB) se emplea para describir la

distribucin de los tamaos de polvo fino. F(x) representa la masa acumulada de las

partculas de polvo de dimetro x y ms pequeas x y n son constantes iguales a

30um y 1.44 respectivamente. La distribucin de la densidad de masa f(x) o masa

de las partculas de polvo de un dimetro x, se encuentra con la derivada de la

distribucin acumulada.

/

1n

x x dF xF x e f x

dx

a) Calcule en forma numrica la distribucin de la densidad de masa f(x) y grafique

tanto f(x) como la distribucin acumulada F(x).

b) Con sus resultados del inciso a), calcule la moda del tamao de la distribucin de

la densidad de masa es decir, el tamao en que la derivada de f(x) es igual a

cero.

c) Encuentre el rea superficial por masa de polvo Sm (cm2/g), por medio de:

min

6m

d

f xS dx

x

La ecuacin es vlida solo para partculas esfricas. Suponga una densidad

31 .g cm y un dimetro mnimo dmin, de polvo incluido en la distribucin, de 1 m .

71. Para el flujo de un fluido sobre una superficie, el flujo de calor hacia la superficie se

calcula con:

dTJ k

dy

Donde J=flujo de calor (W/m2). K=conductividad trmica (W/m.K), T=temperatura

(K) y y=distancia normal a la superficie (m). Se hicieron las mediciones siguientes

para el flujo de aire sobre una placa plana que mide 200 cm de largo y 50 cm de

ancho.

y, cm 0 1 3 5

T, k 900 480 270 200

Si k= 0.028 J/s.m.K, a) determine el flujo a la superficie, y b) la transferencia de

calor en watts. Observe que 1J=1W.s

72. El gradiente de presin para un flujo laminar a travs de un tubo de radio constante,

est dado por: 4

8dp uQ

dx r

Donde = presin (N/m2), x =distancia a lo largo de la lnea central del tubo (m) ,

u=viscosidad dinmica (N.s/m2), Q=flujo (m3/s), y r=radio (m).

a) Determine la cada de presin para un tubo de 10 cm de longitud para un lquido

viscoso (u=0.005 N. s/m2, densidad = =1x103kg/m3) con un flujo de 10x10-6m3/s, y

las variaciones del radio con la longitud que siguen,

x, cm 0 2 4 5 6 7

r, mm 2 1.35 1.34 1.6 1.58 2

b) Compare su resultado con la cada de presin que tendra que ocurrir si el tubo

tuviera un radio constante igual al radio promedio.

c) Determine el nmero de Reynolds promedio para el tubo a fin de comprobar que

el flujo es de verdad laminar (Re= / 2100,vD u donde v =velocidad).

73. Se recabaron datos de la velocidad del aire en radios diferentes desde la lnea

central de un tubo circular de 16cm de dimetro, como se muestra a continuacin:

r, cm 0 1.6 3.2 4.8 6.4 7.47 7.87 7.95 8

v, m/s 10 9.69 9.30 8.77 7.95 6.79 5.57 4.89 0

Utilice integracin numrica para determinar la tasa de flujo de masa, que se

calcula como: 0

2R

v r d r . Donde =densidad (=1.2kg/m3). Exprese sus

resultados en kg/s.

74. El fondo de un cilindro circular tiene un radio de 0.5 m y es perpendicular al eje,

pero la tapa tiene una inclinacin de 45 grados respecto al eje, como se muestra en

la figura obtenga el volumen mediante la regla trapezoidal con 20 intervalos.

75. Con la tabla de funcin que se da ms abajo, evalu: 0.8

0f x dx

Por la regla trapezoidal extendida con h=0.4, h=0.2, y h=0.1

x f(x)

0.0 0

0.1 2.1220

0.2 3.0244

0.3 3.2568

0.4 3.1399

0.5 2.8579

0.6 2.5140

0.7 2.1639

0.8 1.8358

76. Aplicando la integral de Romberg a los resultados de la regla trapezoidal con h=0.1

y h=0.2 del problema anterior estime una integral ms exacta.

77. A continuacin se da una tabla de funcin:

i xi f(xi)

1 0 0.9162

2 0.25 0.8109

3 0.5 0.6931

4 0.75 0.5596

5 1.0 0.4055

a) Calcule 1

0I f x dx , por la regla trapezoidal extendida con h=0.25 y h= 0.5

b) mediante la integracin de Romberg de los resultados de la pregunta (a), estime

un valor ms exacto de I.

78. Considere tres puntos de datos, (-1, f1), (0, f2), (1,f3). Ajuste el conjunto de datos por

la frmula de interpolacin de Lagrange. Integrando la frmula de interpolacin de

Lagrange, demuestre que se obtiene la regla 1/3 de Simpson.

Sugerencia: Transforme las funciones de forma en series de potencias con polyfit.

Una vez que obtenga los coeficientes de la potencias, integre el polinomio con

poly_itg.

79. La regla 1/3 de Simpson es exacta si se integra un polinomio de orden 3 o menor.

Verifique esto integrando: 3

3

0J x dx

Por la regla 1/3 de Simpson y analticamente. Repita utilizando la regla 3/8 de

Simpson.

80. Evalu las siguientes integrales con la regla 1/3 de Simpson extendida empleando

n=2, 4, 8, 16 y 32.

a) 0 2 cos

dx

x

b)

21

log 1 xdx

x

c)

220 1

dx

sen x

d) 1

0exp 2x x dx e)

1

0

xx dx f) 2

2

0exp 2 sinx x dx

81. Suponga que es un arquitecto y piensa utilizar un arco grande cuya forma

parablica esta dado por: 0.1 30y x x metros , donde y es la altura sobre el

suelo y x est en metros. Calcule la longitud total del arco por la regla de Simpson

extendida. (Divida el dominio desde x = 0 hasta x=30 m en 10 intervalos igualmente

espaciados.)

230

01

dyL dx

dx

82. Un automvil de masa M=5400 kg viaja a una velocidad de 30m/s. La transmisin

se pone en neutral repentinamente en t=o s. Suponga que la ecuacin de

desaceleracin despus de t=0 est dada por.

25400 8.276 2000dv

vdx

Donde v=v(t) es la velocidad (m/s) del automvil en t. El miembro izquierdo

representa Mv(dv/dx). El primer trmino del miembro derecho es el arrastre

aerodinmico y el segundo trmino es la resistencia al rodamiento de los

neumticos. Calcule la distancia que recorre el automvil hasta que la velocidad se

reduce a 15 m/s.

Sugerencia. La ecuacin del movimiento se puede integrar como

30

215 0

5400

8.276 2000

x

vdv dx xv

Evalu la ecuacin anterior utilizando la regla de 1/3 de Simpson

83. (a) si f(x) es un polinomio de orden n o menor, la formula cerrada de Newton

Cotes de orden n (empleando n+1 puntos) se hace exacta. Explique la razn. b) La

frmula cerrada de Newton Cotes de orden par n se hace exacta si f es de orden

n+1. Explique por qu.

84. La longitud de una curva definida por , ,x t y t a t b , esta dada por:

2 2

b

as t t dt

Investigar en que consiste el mtodo de la cuadratura de Gauss y aplicarla con

n=2,4 y 6 para encontrar la longitud del cicloide definido por.

3 , 2 2cos , 0 2x t sen t y t t

85. Evalue la siguiente integral impropia con exactitud de seis posiciones decimales

mediante la regla del trapezoidal extendida: 2

2

exp

1

xdx

x

86. Calcule 2 1

0 0I sen x y dydx por la regla trapezoidal extendida por cada eje:

(utilice solo dos intervalos para cada eje; la funcin seno est en radianes)

87. Evalue la siguiente integral por la regla de Simpson:

1

0 0

x

I x ydydx

88. El rea de un crculo unitario es . La exactitud de un mtodo numrico para la

doble integracin puede probarse con el problema:

DI dydx

Donde D significa que la integracin se extiende sobre el interior de: 2 2 2x y x

Que es un crculo unitario. Realice la evaluacin numrica de la doble integral

anterior por la regla de Simpson extendida en ambas direcciones con 2x2, 4x4, 8x8,

16x16, 32x32 y 64x64 intervalos.

89. Por la regla de Simpson 1/3 con 10 intervalos en cada direccin, evalu la integral

doble

a)

2 2

0 0exp

sen x

I x y dydx

b) 2 2 0.5

1 0

x

I x ydxdy

90. La distribucin de la velocidad de un fluido cerca de una superficie plana es:

i yi, mm ui ,mm

0 0 0.0000

1 2 9.8853

2 4 15.4917

3 6 18.2075

4 8 19.0210

Evalu todas las derivadas de u(y) que pueda en y=0

91. Evalu la primera derivada de y(x) =sen(x) para x=1 utilizando los tres mtodos

distintos:

a) 1 1 1 /y y h y h b) 1 1 1 /y y y h h

c) 1 1 1 /y y h y h h

Evalue lo errores con h=0.1, 0.05, 0.01, 0.005, y 0.001 comparando con los valores

exactos.

92. Calcule df(x)/dx, donde f(x)= x , para x=1, utilizando las aproximaciones de

diferencia hacia adelante, hacia atrs y central con h=0.1, 0.05, y o.o25. Evalu el

error de cada resultado (i) por comparacin con el valor exacto y (ii) utilizando el

termino de error es decir, 21/ 2 , 1/ 2 , 1/ 6 hf hf y h f , respectivamente.

93. Puede derivarse una frmula de aproximacin de diferencia diferenciando una

frmula de interpolacin de Lagrange. Suponga que tenemos 2 1, 0,f f f con un

intervalo equiespaciado h. Elabore un guion en Matlab que encuentre los

coeficientes en la aproximacin de diferencia. Suponga que el tamao de intervalo

entre dos puntos consecutivos es igual a h. (cada trmino de la interpolacin de

Lagrange puede transformarse en una forma de potencias con el comando polyfit.

Despus, encuentre los coeficientes de la derivada del polinomio.)

94. Deduzca una aproximacin de diferencia y el trmino de error para if en trminos

de (i) 1if y 2, 1 2 2 2, .i i i i i if ii f f y f y iii f y f Suponga que los puntos de

retcula estn equiespaciados.

95. Deduzca una aproximacin de diferencia y el termino de error para if en trminos

de 1 2,i i if f y f (aproximacin de diferencia hacia atrs de tres puntos para if ).

96. Repita el problema 98) con las aproximaciones de diferencia hacia adelante y hacia

atrs con exactitud de segundo orden:

a) 1 1 2 4 1 3 1 / 2f f h f h f h

b) 1 3 1 4 1 1 2 / 2f f f h f h h

y evalu los errores mediante una comparacin con el valor exacto de 1f

97. Calcule la primera derivada 1f para f x sen x utilizando las aproximaciones

de diferencia hacia adelante y hacia atrs con exactitud de segundo orden

utilizadas en el problema anterior para h=0.1, 0.05, 0.025, y 0.001. Despus, evale

el error de cada aproximacin numrica comparndola con el valor exacto. Grafique

el resultado. Si observa un incremento del error al reducirse, h, explique la razn.

98. Se quiere deducir una aproximacin de diferencia para f en trminos de

2 1 0 1 1 2, , , ,f f f f f y f diferenciando la frmula de interpolacin de Lagrange.

Escriba un guion en Matlab que realice esta tarea. (Cada trmino de la interpolacin

de Lagrange puede transformarse a una forma de potencias con polyfit. Despus,

encuentre los coeficientes de la derivada del polinomio).

99. Evalu la segunda derivada de tan x en 1x con la frmula de diferencia central

empleando h=0.1, 0.05, y 0.02. Evalu el error mediante comparacin con el valor

exacto y demuestre que el error es proporcional a 2h

100. a) Conociendo el trmino de error de: 1 /i i if f f h

Estime el termino de error para : 2 / 2i i if f f h

b) La exactitud de una aproximacin de diferencia puede mejorarse con una

combinacin lineal de dos aproximaciones de diferencia con objeto de eliminar el

error de truncado de orden ms bajo de cada aproximacin. Determine la siguiente

aproximacin tal que se optimice la exactitud.

1 2 / 1 / 2i i i i if f f h f f h

101. Determine el valor ptimo de para la siguiente ecuacin:

2

1 1 2 2 2 / 2 1 / 2i i i i i if f f F h f f h

Sugerencia: Elimine el error inicial tanto de : 21 12 /i i if f f h

Como de 2

2 22 / 2i i if f f h

102. Deduzca las aproximaciones de diferencia ms exactas para i if y f en trminos

de 2 1 1 2, , , ,i i i i if f f f y f . Suponga que los puntos de datos estn equiespaciados.

103. Aplicando la expansin de Taylor, deduzca las aproximaciones de diferencia para if

y if en trminos de 1 2 3, , ,i i i if f f y f con la mayor exactitud posible cada una.

Suponga que el espaciado de la retcula es constante

104. Una tabla de funcin est dada por

x f

-0.1 4.157

0 4.020

0.2 4.441

a) Deduzca la mejor aproximacin de diferencia para calcular 0f con los datos

dados aqu

b) Cual es el termino de error para la aproximacin de diferencia?

c) Calcule 0f por la frmula que dedujo

105. Evale el error de truncado de la siguiente formula de diferencia:

3 1 9 8 / 6i i if x f f f h

106. Dos aproximaciones de diferencia para la cuarta derivada estn dados por

4 3 144 6

0i i i iif f f f

f hh

22 1 1 244 6 4

0i i i i iif f f f f

f hh

Utilice la expansin de Taylor para encontrar los trminos de error

107. La distribucin de velocidades de un fluido cerca de una superficie plana est dada

por:

i yi (m) ui (m/s)

0 0,0 0.0

1 0.001 0.4171

2 0.003 0.9080

3 0.006 1.6180

Donde y es la distancia desde la superficie y u es la velocidad. Suponiendo que el

flujo es laminar y que u =0.001 Ns/m2, calcule el esfuerzo de corte en y=0 utilizando

datos en los siguientes puntos:

0 1

0, 1 2

i i y

ii i y

108. A continuacin se da tabla de funcin de f(x,y):

y/x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0 0.0775 0.1573 0.2412 0.3309 0.4274

0.5 0.1528 0.3104 0.4767 0.6552 0.8478

1.0 0.2235 0.4547 0.7002 0.9653 1.2533

1.5 0.2866 0.5846 0.9040 1.2525 1.6348

i) Evalu /f y en x=1.0 y y=0 empleando la aproximacin de diferencia hacia

adelante con un error de orden h2 donde h=0.5

ii) Evalu 2 2/f x en x=1.0 y y=1.0 empleando la aproximacin de diferencia

central con un error de orden h2 donde h=0.5

iii) Evalu 2 /f x y en x=0 y y=0 empleando la aproximacin de diferencia hacia

adelante con un error de orden h2 donde h=0.5