Cap 9 Derivacion Numérica

download Cap 9 Derivacion Numérica

of 112

  • date post

    11-Oct-2015
  • Category

    Documents

  • view

    17
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Cap 9 Derivacion Numérica

Derivacin Numrica 22

CAPITULO 9DERIVACION NUMERICA1. Introduccin2. Derivacin numrica3. Mtodos de diferencias finitas3.1. Formulas de diferencias finitas hacia adelante3.1.1. Primera diferencia3.1.2. Segunda diferenciaEjemplo 13.2. Formulas de diferencias finitas hacia atrs3.2.1. Primera diferencia3.2.2. Segunda diferenciaEjemplo 23.3. Formulas de diferencias centrales3.3.1. Primera diferencia3.3.2. Segunda diferenciaEjemplo 34. Inestabilidad numrica de las formulas de diferencias finitas4.1. Diferencias centralesDerivacin numrica por diferencia centrada de orden Frmulas de las diferencias centradas de los tres puntosDerivacin numrica por diferencia centrada de orden Frmula de los tres puntosFrmula de los cinco puntosEjercicios resueltosEjercicios de fijacin

CAPTULO 9

DERIVACIN NUMRICA

Introduccin

La derivada es de uso comn en la matemtica y la ingeniera, sin embargo, en la prctica, de muchas funciones con las que se trabaja, no se conoce su expresin analtica y solamente se dispone de valores en un conjunto de puntos. En algunos casos es necesario proceder a calcular el valor de alguna derivada de algunas funciones en un punto concreto. En este tipo de situaciones no se puede utilizar el concepto riguroso de derivada por desconocimiento de la expresin de la funcin. De esta manera surge la necesidad de disear mtodos numricos que permitan aproximar el valor de las derivadas de una funcin en algn punto a partir del conocimiento de los valores de la funcin en un soporte dado.Los mtodos de derivacin numrica desarrollados con el fin de aproximar algn valor buscado, muestran un buen comportamiento en numerosos casos. Es por ello que algunas veces, aun disponiendo de la expresin analtica de las funciones a derivar, se opta por aproximar los valores de las derivadas mediante frmulas numricas suficientemente precisas. La diferenciacin numrica es muy til en casos en los cuales se tiene una funcin cuya derivada es difcil o complicada de hallar, o en casos en los cuales no se tiene una funcin explcita sino una serie de datos experimentales.

El problema de la derivacin numrica consiste en la evaluacin de la derivada de la funcin en un punto, cuando nicamente conocemos los valores de la funcin en una coleccin de puntos x0, x1,... xn. Aunque, en apariencia se trata de un problema similar al de la Integracin numrica; de hecho la derivacin es ms complicada ya que,en la integracin los errores tienden a cancelarse, y, como vimos, nonecesitamos que la aproximacin describa con fidelidad la funcin localmente. Sin embargo, la derivada es una propiedad esencialmente local, por lo cul deberemos aproximar la funcin lo ms fielmente posible en el entorno inmediato del punto en el que la queramos calcular.

Las frmulas de derivacin numrica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la solucin de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias (y en ecuaciones en derivadas parciales). En general, podemos obtener aproximaciones numricas de la derivada en un punto derivando alguna funcin interpolante, por ejemplo un polinomio de Lagrange, algn trazador cbico, etc. Sin embargo, en la prctica pequeos errores en los datos pueden producir malos resultados en las derivadas. Aqu vamos a experimentar con frmulas que se obtienen derivando el polinomio interpolante de Lagrange.

Derivacin numrica

Secante

Por definicin la derivada de una funcin f(x) es:

Las posibles aproximaciones numricas de la derivada en un punto que podran calcularse tomando una sucesin , Tal que , se tienen las siguientes expresiones.

La aproximacin de la derivada por este mtodo entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximacin numrica al problema dado.

Mtodo de Diferencias FinitasEl mtodo de diferencias finitas consiste en aproximar la funcin por polinomios. Las frmulas resultantes pueden clasificarse de las siguientes maneras:a) En base al orden de la derivada, obtenindose b) En base al orden de la diferencia, pueden ser primera, segunda, tercera, etc.c) En base a los puntos de apoyo de la formula en la tabla, es decir, si se emplean puntos antes, despus o ambos lados de algn punto de inters. Existen tres tipos y son:1) Diferencias hacia adelante, cuando se usan puntos anteriores del punto de inters.2) Diferencias hacia atrs, cuando se emplean puntos posteriores al punto de inters.3) Diferencias centrales. Cuando se usan puntos tanto antes como despus del punto de inters.

Referencias para las frmulas de diferencias finitas:

: Indica el punto de inters, de estudio o de anlisis.: Espaciamiento constante de la tabla.: Funcin evaluada en el punto de anlisis.

Frmulas de diferencias finitas hacia adelante

Primera diferencia

Segunda diferencia

Ejemplo 9.1.Sea la funcin , calcular las derivadas por mtodos numricos en el punto , en base a la siguiente tabla, con , aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia adelante.

4.74.84.95.05.15.25.3

1.547561.568621.589221.609441.629241.648661.6677

Solucin:Para . El valor verdadero de

Segunda derivada

Ejemplo 9.2.Sea la funcin , calcular las derivadas por mtodos numricos en el punto , en base a la siguiente tabla, con , aplicando la formula de la segunda diferencia finita hacia adelante.

4.74.84.95.05.15.25.3

1.547561.568621.589221.609441.629241.648661.6677

Solucin:Para . El valor verdadero de

Primera derivada

Segunda derivada

Comentarios:

La aproximacin lograda presenta errores muy elevados, pues 1% para la primera derivada y 5% para la segunda derivada, en la primera diferencia hacia adelante es prcticamente intolerable en un clculo de este tipo. En la segunda diferencia de este mismo mtodo (diferencias finitas hacia adelante) presenta igualmente un error elevado del 0.01% para la primera derivada, que parecera un resultado bastante aceptable, sin embargo esto es debido a la inestabilidad del mtodo, y para la segunda derivada el error es del 5%, valor igual obtenido con la aplicacin de la primera diferencia.Los resultados obtenidos por este mtodo son engaosos, por la inestabilidad que presentan debido a la simplicidad de su forma y a los parmetros reducidos considerados para el clculo. Si el resultado procurado necesita de cierta exactitud respecto del valor real, este mtodo no es recomendable, ya que casi aleatoriamente puede presentar buena precisin en algunos casos, mientras que en otros producir errores muy grandes.

Frmulas de diferencias finitas hacia atrs

Primera diferencia

Segunda diferencia

Ejemplo 9.3.

Sea la funcin , calcular las derivadas por mtodos numricos en el punto , en base a la siguiente tabla, con , aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia atrs.

4.74.84.95.05.15.25.3

1.547561.568621.589221.609441.629241.648661.6677

Solucin:Para . El valor verdadero de

Diferencias finitas hacia atrs (primera diferencia)Primera derivada

Segunda derivada

Ejemplo 9.4.

Sea la funcin , calcular las derivadas por mtodos numricos en el punto , en base a la siguiente tabla, con , aplicando la formula de la segunda diferencia finita hacia atrs.

4.74.84.95.05.15.25.3

1.547561.568621.589221.609441.629241.648661.6677

Solucin:Para . El valor verdadero de

Comentarios:

La aproximacin presentada por este mtodo de diferencias hacia atrs presenta resultados muy parecidos al mtodo de diferencias hacia adelante; sin embargo para la segunda derivada se nota que el error producido es del 25%, totalmente intolerable en un clculo donde normalmente se pretende precisin y exactitud.Los resultados obtenidos por este mtodo son igualmente engaosos, debido tambin a la inestabilidad del mtodo.

Frmulas de diferencias finitas centrales

Primera diferencia

Segunda diferencia

Ejemplo 9. 5.

Sea la funcin , calcular las derivadas por mtodos numricos en el punto , en base a la siguiente tabla, con , aplicando la formula de la primera diferencia finita central.

4.74.84.95.05.15.25.3

1.547561.568621.589221.609441.629241.648661.6677

Solucin:Para . El valor verdadero de

Primera derivada

Segunda derivada

Ejemplo 9. 6.

Sea la funcin , calcular las derivadas por mtodos numricos en el punto , en base a la siguiente tabla, con , aplicando la formula de la segunda diferencia finita central.

Primera derivada

Segunda derivada

b) Se buscar de nuevo la derivada segunda, pero con un valor de h menor que el anterior, reduciendo dicha amplitud o peso de h a la mitad, o sea: de

4.854.904.955.005.055.105.15

1.5789791.5892351.5993881.609441.6193881.629241.638997

Comentarios

La primera diferencia de estas diferencias finitas centrales presenta resultados parecidos a los anteriores, sin embargo, la segunda derivada de la segunda diferencia de diferencias centrales presenta un error mucho mayor que el 100% (118,25%), razn por la cual ni siquiera necesita ser estudiado, no es que la frmula empleada sea errnea, sino que la inestabilidad que produce este grupo de formulas no presenta garantas de buen resultados en el clculo de diferencias, agregndose a esto la amplitud de h, que en este caso particular parece ser muy elevado, que en vez de converger hacia el resultado exacto, diverge; sin embargo, al reducir el valor de h