Métodos Numéricos -2010 DERIVACION E INTEGRACION...

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DERIVACION E INTEGRACION Numérica

Métodos Numéricos - 2010

DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA

�Polinomio de interpolación es aplicable para la resolución de

problemas de diferenciación, en general y el cálculo de derivadas, en

particular.

�Dada una tabla de valores de la función f(x) para diversos valores de

x, se puede determinar el polinomio de interpolación que, satisfaciendo

a los valores dados, represente con cierto grado de aproximación a f(x).

�De acuerdo a lo anterior, es posible calcular, de manera más o

menos precisa, la derivada f'(x), de la función en cuestión.

�Se puede hallar en general y por única vez, las derivadas sucesivas

de la fórmula de interpolación y aplicarlas a cada caso particular.

2

DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE INTERPOLACION

La metodología descripta implica el uso de cualquiera de las

fórmulas de interpolación estudiadas. Se desarrolla un caso

particular.

La fórmula de NEWTON-GREGORY Ascendente, en la cual se ha

hecho la transformación x=x0 +hu, para facilitar su uso:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +−∆+∆+=+=!2

10

2

000

uuxfuxfxfuhxfxf

( ) ( )( )K+−−∆+

!3

210

3 uuuxf (8.1)

DERIVACION MEDIANTE FORMULAS DE INTERPOLACION (2)

Derivando respecto de la variable u, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) K++−∆+−∆+∆=+′6

263

2

12 2

0

3

0

2

00

uuxf

uxfxfuhxfh

y para x=x0 ; vale decir, para u=0, resulta la ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+∆−∆+∆−∆=′0

4

0

3

0

2

004

1

3

1

2

1xfxfxfxfxfh (8.2)

3


Análogamente, para la derivada segunda se obtiene la expresión:

( ) ( ) ( )( ) ( ) K++−∆+−∆+∆=+′′12

111861

2

0

4

0

3

0

2

0

2 uuxfuxfxfuhxfh

y para x=x0 ; o sea, haciendo u=0, resulta la ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) K−∆+∆−∆=′′0

4

0

3

0

2

0

2

12

11xfxfxfxfh (8.3)

Este procedimiento puede ser iterado tantas veces como se necesite,

para obtener derivadas de mayor orden.


Si se parte de la fórmula de NEWTON-GREGORY Descendente o, de

las de GAUSS, LAGRANGE, BESSEL, etc., se encontraran, nuevas

fórmulas de derivación para cada caso en particular, las que, ofrecerán

mayor o menor precisión según la posición relativa del valor de la

variable para el cual se desea calcular las derivadas

4


La aplicación de idéntico criterio para la fórmula de NEWTON-

GREGORY Descendente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) K+∇+++∇++∇+=+ nnnnn xfuuu

xfuu

xfuxfuhxf 32

!3

21

!2

1

da como resultado derivando con respecto a u e igualando a cero:

( ) ( ) ( ) ( ) K+∇+∇+∇=′nnnn xfxfxfxfh 32

3

1

2

1(8.4)

como así también:

( ) ( ) ( ) ( ) K+∇+∇+∇=′′nnnn xfxfxfxfh 4322

12

11(8.5)

ETSII-UPM

Introducción a la integración numérica

� Planteamiento del problema – Se trata de evaluar la integral definida de una función mediante un sumatorio

de valores de esa función en ciertos puntos llamados nodos, multiplicados por

unos coeficientes de ponderación llamados pesos:

�

– Esta expresión implica la sustitución de un sumatorio infinito (la integral) por

un sumatorio finito, por lo que se producirá un error de truncamiento.

– Se llama grado de precisión de la fórmula de integración al máximo grado de

los polinomios que son integrados exactamente por dicha fórmula.

– Para deducir las fórmulas de integración numérica la función f(x) se suele

sustituir por el polinomio de interpolación p(n)(x) y realizar la integración

exacta de este polinomio.

– Si un polinomio de grado n es integrado exactamente es de esperar que el error

en la integración numérica de la función f(x) dependa de la derivada de orden

(n+1) de dicha función en un punto perteneciente al intervalo de integración.

– La integración numérica es un proceso más estable y preciso que la derivación

numérica vista previamente.

1 1 2 2

1

( ) ( ) ...nb

i i n na

i

f x dx w f x w f w f w f=

= = + + +∑∫

5

ETSII-UPM

Fórmulas de Newton-Cotes (1/4)

� Se basan en el polinomio de interpolación de Newton con

argumentos igualmente espaciados (fórmula de diferencias finitas).

� Algunas fórmulas de Newton-Cotes:

�

�

�

�

–

–

� Observaciones: – En estas fórmulas se supone xk=x0+kh.

– Los errores dependen de potencias elevadas de h.

– La fórmula de Simpson tiene una alta relación precisión/coste.

– No se suelen utilizar fórmulas de orden muy grande porque aparecen

coeficientes negativos que dan lugar a problemas numéricos.

( )

( )

( )

1

0

2

0

3

0

4

0

3

0 1

5( )

0 1 2

5( )

0 1 2 3

Regla trapezoidal ( ) ( )2 12

Regla de Simpson ( ) 4 ( )3 90

3 3 3Regla de Simpson ( ) 3 3 ( )

8 8 80

2Regla de Boole ( )

x

x

xiv

x

xiv

x

x

x

h hf x dx f f err f

h hf x dx f f f err f

h hf x dx f f f f err f

hf x dx

ζ

ζ

ζ

′′≈ + = −

≈ + + = −

≈ + + + = −

≈

∫

∫

∫

∫ ( )7

( )

0 1 2 3 4

87 32 12 32 7 ( )

45 945

vihf f f f f err f ζ+ + + + = −

ETSII-UPM

Fórmulas de Newton-Cotes (4/4)

� El cálculo de los errores de las restantes fórmulas de Newton-Cotes

es bastante laborioso y no se incluye en estas trasparencias.

� Interpretación gráfica de la regla trapezoidal y las dos reglas de

Simpson:

31( )

12E f hξ′′= − 51

( )90

ivE f hξ= − 53( )

80

ivE f hξ= −

6

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

�Dentro del campo analítico, perteneciente a la matemática pura, se

desconoce la primitiva de la mayor parte de las funciones que ella

estudia o si esta se conoce, su aplicación es larga y compleja, para

utilizarla con provecho en la resolución de una integral.

�Incluso, es posible que se desconozca la expresión analítica de la

función sobre la cual se desea integrar.

�Consecuentemente, y en términos generales, es posible asegurar

que la gran mayoría de los problemas que se presentan en la práctica,

carecen de solución dentro del campo analítico.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA (2)

Resumiendo, la imposibilidad, o la inconveniencia, de la aplicación de

métodos tradicionales está dada, fundamentalmente, por :

I.- Que no se conozca ninguna primitiva de aquella función que

es necesario integrar,

II.- Que aún conociéndose una función primitiva, su aplicación

resulte excesivamente compleja o extensa,

III.- Que, directamente, se desconozca la expresión analítica de

la función que debe ser integrada.

7

INTRODUCCION

Cuando el problema en cuestión consiste en calcular la integral definida

de una determinada función f(x), dada por:

( )∫=b

adxxfI (8.19)

y se conoce una función F(x), primitiva de f(x), es decir, F' (x) = f(x), se aplica la regla de BARROW :

( ) ( ) ( )aFbFdxxfI

bx

ax

−== ∫=

=

(8.20)

INTRODUCCION (2)

�Cuando no se conoce ninguna primitiva de la función , resulta

necesario apelar a métodos de cálculo aproximados. Igual proceder

debe adoptarse si, aún conociéndose una primitiva, resulta poco

práctico aplicarla, por su complejidad.

�En ocasiones se cuenta solamente con una tabla de alguno de sus

valores, proveniente de resultados experimentales; en cuyo caso,

tampoco es posible aplicar la regla de BARROW.

�Considerando que la integral dada por (8.19) equivale a determinar

el valor del área bajo la curva de la función f(x), es posible desarrollar

diversos métodos aproximados para lograr dicho objetivo.

8

FORMULA DE LOS TRAPECIOS

Supónganse conocidos los n+1 valores x0 ; x1 ;...; xn deducidos de la

función f(x), conocida, que cumplen con la condición:

xk - xk-1 = h para k = 1; 2; ... ; n

Una primera aproximación al valor del área a calcular, limitada por

los puntos x0 ; A0 ; A1 ; ... ; An ; xn se obtiene considerando la suma

de las áreas de los trapecios inscriptos en cada una de las superficies

parciales limitadas por los puntos,

x0 ; A0 ; A1 ; x1x1 ; A1 ; A2 ; x2. . . . . . . . .

xn-1 ; An-1 ; An ; xn

FORMULA DE LOS TRAPECIOS (2)

Figura 8.1.

0

0A

1A2A

1-nA nA

0X 1X 2X1-nX

nX

0Y 1Y 2Y 1-nY nY

( )xf

h h h

9


En consecuencia, resulta:

área (x0 ; A0 ; A1 ; x1 ) ≈ 1 / 2 ( y0 + y1 ) hárea (x1 ; A1 ; A2 ; x2 ) ≈ 1 / 2 ( y1 + y2 ) h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

área (xn-1 ; An-1 ; An ; xn) ≈ 1 / 2 ( yn-1 + yn ) h

Sumando las expresiones de las áreas así obtenidas, resulta

( ) ( )nn

x

xyyyy

hdxxf

n ++++≅ −∫ 110 2220

K (8.21)


�La fórmula de los trapecios tiene una precisión suficientemente buena

cuando se trata de aplicarla a determinaciones que no requieran una

aproximación de orden elevado.

�En el caso de haberse sustituido la curva, dada por la función continua

f(x), mediante la poligonal inscripta, descripta mediante los puntos

dados o calculados, el modelo realizado puede clasificarse como una

Discretización; y no satisface plenamente cuando se trata de obtener

gran precisión.

10

FORMULA DE SIMPSON (1)

�Basado en la utilización de segmentos de parábola para aproximar

los arcos de curva, en lugar de emplear segmentos de recta;es decir

utilizar curvas en lugar de una poligonal, se obtiene una mayor

precisión en el cálculo de integrales definidas.

�Primeramente se considerará el caso de la parábola de segundo

grado, a partir del que se deducirá la expresión analítica de la

fórmula de SIMPSON.


0

0A1A

2A

0X

1X

2X

0Y 1Y

2Yh

Y

h−

Figura 8.2

11


El primer paso consiste en determinar el área comprendida entre el eje

de las x, la parábola de eje vertical que pasa por los tres primeros

puntos dados y sus ordenadas extremas.

Llamando A0 ; A1 ; A2 a los puntos mencionados y suponiendo que

tienen abscisas equidistantes; es decir, que:

x1 - x0 = x2 - x1 = h

Considerando, además que, haciendo pasar el eje y por el punto

intermedio A1 no se pierde generalidad (ver figura 8.2).


Dadas estas condiciones y teniendo en cuenta que, en general, la

parábola de segundo grado es:

y = a x2 + b x + c

pero, como debe pasar por los tres puntos A0 ; A1 ; A2 , es posible

escribir:

y0 = a x02 + b x0 + c = a (-h)

2 + b (-h) + c = a h2 - b h +c

y1 = a x12 + b x1 + c = c

y2 = a x22 + b x2 + c = a h

2 + b h + c = a h2 + b h +c

12


Sumando y restando la primera y la última de estas expresiones, y

directamente de la segunda, se obtienen los siguientes valores:

102

2

012 ;2

;2

2yc

h

yyb

h

yyya =−=+−=

Valores que serán empleados para reemplazarlos en la expresión de la

integral


Por otra parte, del análisis sabemos que la expresión analítica del área

buscada vale:

( ) hchaxcx

bx

adxcxbxadxyI

h

h

h

h

h

h2

3

2

23

323

2 +=

++=++==

−−− ∫∫

Reemplazando en esta última los valores de a y c anteriormente

obtenidos, resulta:

( ) ( )21010121

3

2

012 43

623

22

2

3

2yyy

hyyyy

hhyh

h

yyyI ++=++−=++−=

El conocimiento de tres ordenadas es suficiente para determinar el área

limitada por el arco de parábola cuadrática que pasa por los puntos

correspondientes.

13


En el caso de que la curva se encuentre descripta mediante una tabla

compuesta de n+1 puntos A0 ; A1 ; ...; An , siendo n un número par y

con abscisas x0 ; x1 ; ...; xn equidistantes, es posible aplicar la

metodología expuesta, cada tres puntos (A0 ; A1 ; A2 ); (A2 ; A3 ; A4 );

etc. y, de este modo, obtener la expresión:

( ) ( ) ( )nnn

x

xyyy

hyyy

hyyy

hdxxfI

n +++++++++≅= −−∫ 12432210 43

43

43

)(0

K


De donde, considerando a los operadores E, P, I con idéntico

significado al establecido en el punto anterior, se obtiene:

( ) ( )PIE 2430

++≅= ∫h

dxxfInx

x(8.23)

Esta última expresión es la conocida e importante FORMULA DE

SIMPSON, muy utilizada para determinaciones expeditivas.

14

REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON

�Como es fácil apreciar, la fórmula de SIMPSON , solo es válida y

utilizable en el caso en que se haya subdividido el intervalo de

integración en un número de franjas tal, que la cantidad de puntos

resultantes; vale decir, los que describen la curva y = f(x), sea impar.

�Esto sucede cuando el número de franjas aludido es par.

�El mismo Simpson ha desarrollado una fórmula utilizable en el caso

que el número n de franjas sea impar.

REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE SIMPSON (2)

23H−

2

H−2

H2

3H

0Y 1Y 2Y 3Y

0A1A

2A3AY

0

Figura 8.3

15


La deducción de la correspondiente fórmula es similar a la realizada

para la de SIMPSON, excepto que, para la determinación de las áreas

parciales, es necesario utilizar parábolas de tercer grado que conecten

cuatro puntos consecutivos de la curva en cuestión.

La forma general de la ecuación de tercer grado representada por una

parábola cúbica es:

y = a x3 + b x2 + c x + d (8.24)


Para determinar los valores de los parámetros a; b; c; d es necesario

imponer a la expresión (8.24), la condición que pase por los cuatro

puntos A0 ; A1 ; A2 ; A3 y ubicar el eje de las y como se indica en la

figura 8.3, lo cual no hace perder generalidad al razonamiento; con

ello el intervalo de integración resulta:

2

3

2

3

hx

h ≤≤−

16


Se puede calcular el área buscada mediante la expresión:

( )∫−−

=

+++=+++= 2

3

2

3

2

3

2

3234

23423

h

h

h

h

xdxcxbxa

dxdxcxbxaI

=+−+−+++=2

3

2

3

2.3

3

2.4

3

2

3

2

3

2.3

3

2.4

33

22

3

33

4

44

3

22

3

33

4

44 hdhchbhahdhchbha

de donde:

2

3.2

2.3

3.23

33 hdhb +=I


Y, realizando las operaciones indicadas, resulta:

hdhb

I 32

32

32

+= (8.25)

Para calcular los valores de las constantes que intervienen en el

cálculo es necesario hacer:

dh

ch

bh

ay

dh

ch

bh

ay

dh

ch

bh

ay

dh

ch

bh

ay

+

+

+

=

+

+

+

=

+

−+

−+

−=

+

−+

−+

−=

2

3

2

3

2

3

222

222

2

3

2

3

2

3

23

3

23

2

23

1

23

0

17


Resolviendo, por cualquier método, el conjunto de ecuaciones

simultáneas y reemplazando sus valores en la expresión (8.25):

( ) ( ) ( ) ( )[ ]30212

2130

3

916

3

8

22

4

9yyyy

h

h

yyyyhI +−++

+−+=

de lo que, en definitiva, resulta:

( ) ( )∫− +++== 23

23 3210 33

8

3h

hyyyy

hdxxfI

que es la expresión analítica de la denominada REGLA DE LOS

TRES OCTAVOS DE SIMPSON.

(8.26)


�Al quitarle tres franjas a una zonificación dada por una cantidad

impar de ellas, da como resultado una cantidad par, a la que puede

aplicarse la fórmula de SIMPSON ya estudiada.

�Por ejemplo, si se estuviera frente al problema de calcular el área

subdividida en 47 franjas, la REGLA DE LOS TRES OCTAVOS DE

SIMPSON se podría utilizar para aproximar el área bajo la curva

ocupada por las tres primeras franjas. El área bajo las 44 franjas

restantes, luego de ser calculada mediante la fórmula de Simpson, se

sumaría a la de las tres anteriores.

18

FORMULA DE EULER-MACLAURIN

�Mediante el agregado de términos complementarios que corrigen

otras fórmulas elementales como la de los TRAPECIOS o SIMPSON,

es posible obtener un sin número de expresiones elementales de

fórmulas de integración.

�Una de las más comunes es la que muestra a continuación. La

misma propone adicionar una serie de términos a la fórmula de los

TRAPECIOS, aumentando de este modo, su precisión.

( ) ( )nn

xn

xyyyy

hdxxf ++++≅ −∫ 110 22

20

K

FORMULA DE EULER-MACLAURIN (2)

Considérese que F(x) es una primitiva de f(x); vale decir que,

F’(x)=f(x), del mismo modo que, F”(x)=f’(x); etc.

Aplicando la fórmula del desarrollo en serie de TAYLOR a la

función primitiva F, resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′′+′′+′+=+ xFh

xFh

xFhxFhxF!3!2

32

19


Transponiendo el primer término del segundo miembro, al primer

miembro y tomando, sucesivamente, x=x0 ; x=x1 ; ...; x=xn-1 , resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′+=− oxfh

xfh

xfhxFxF!3!2

3

0

2

001

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′+=− 1

3

1

2

112!3!2

xfh

xfh

xfhxFxF

M

M MM M

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′+=− −−−− 1

3

1

2

11!3!2

nnnnn xfh

xfh

xfhxFxF


La suma miembro a miembro de estas ecuaciones da como resultado

en el primer miembro F(xn )-F(x0 ), pero, como F(x) es una primitiva

de f(x), es lícito aplicar la Regla de BARROW al primer miembro,

siendo:

( ) ( ) ( ) ( )+′′+′+= ∑∑∑∫−

=

−

=

−

=

1

0

31

0

21

0 !3!20

n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

xxf

hxf

hxfhdxxf

n

(8.27)

( ) ...!4

1

0

4

+′′′+ ∑−

=

n

i

ixfh

20


Expresiones análogas a la anterior se obtienen considerando,

sucesivamente, las funciones f ’(x); f ”(x); etc., resultando:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′=−=′ ∑∑∫−

=

−

=

1

0

21

0

0!20

n

i

i

n

i

in

x

xxf

hxfhxfxfdxxf

n

(8.28)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+′′′+′′=′−′=′′ ∑∑∫−

=

−

=

1

0

21

0

0!20

n

i

i

n

i

in

x

xxf

hxfhxfxfdxxf

n (8.29)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K++′′′=′′−′′=′′′ ∑∑∫−

=

−

=

1

0

21

0

0!20

n

i

i

IVn

i

in

x

xxf

hxfhxfxfdxxf

n

(8.30)


Sumando a la expresión (8.27) la (8.28) multiplicada por C1 h; la (8.29)

multiplicada por C2 h2; la (8.30) multiplicada por C3 h

3, etc., se obtiene:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =+′′−′′+′−′+−+∫ K0

3

30

2

2010

xfxfhCxfxfhCxfxfhCdxxf nnn

x

x

n

( ) ( ) ( ) +

++′′+

+′+= ∑∑∑−

=

−

=

−

=2

11

0

3

1

1

0

21

0 !2!3

1

!2

1C

CxfhCxfhxfh

n

i

i

n

i

i

n

i

i

( ) K+

+++′′′+ ∑−

=3

211

0

4

!2!3!4

1C

CCxfh

n

i

i

21


Es necesario determinar ahora, los valores que deben tomar los

coeficientes Ci de modo que se anulen los corchetes que figuran en el

segundo miembro. En consecuencia, se obtiene:

0!2

11 =+C

0!2!3

12

1 =++ CC

0!2!3!4

13

21 =+++ CCC

0!2!3!4!5

14

321 =++++ CCCC

2

11 −=C

12

12 =C

03 =C

720

14 −=C

.......................... .............

⇒

⇒

⇒

⇒


Así siguiendo se calculan los demás coeficientes.

Sustituyendo estos valores en la última expresión de la integral, se

obtiene la FORMULA DE EULER-MACLAURIN:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −

−+++= −∫ nn

x

xxfxfxfxfdxxf

h

n

2

1

2

11110

0

K

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]−′′′−′′′+′−′− 0

3

072012

xfxfh

xfxfh

nn

( ) ( )[ ] K+−− 0

5

30240xfxf

h V

n

V (8.31)

22

FORMULA DE GREGORY

Una fórmula que utiliza solamente los valores de la función y de las

correspondientes diferencias sucesivas, interiores al intervalo (x0 ; xn)

es la denominada FORMULA DE GREGORY, la cual

será deducida a partir de la ya estudiada expresión de EULER-

MACLAURYN.

FORMULA DE GREGORY (2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+∆−∆+∆−∆=′0

4

0

3

0

2

004

1

3

1

2

1xfxfxfxfxfh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K+∇+∇+∇+∇=′nnnnn xfxfxfxfxfh 432

4

1

3

1

2

1

Si en la citada fórmula, las derivadas son reemplazadas por las

expresiones correspondientes en términos de las diferencias; que son:

23


( ) ( ) ( ) ( ) K−∆+∆−∆=′′′0

5

0

4

0

3

0

3

4

7

2

3xfxfxfxfh

( ) ( ) ( ) ( ) K+∇+∇+∇=′′′nnnn xfxfxfxfh 5433

4

7

2

3

( ) ( ) ( ) K+∆−∆= 0

6

0

5

0

5

2

5xfxfxfh

V

( ) ( ) ( ) K+∇+∇= nnn

V xfxfxfh 655

2

5


Resulta la FORMULA de GREGORY:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −

++++= −∫ nn

x

xxfxfxfxfdxxf

h

n

2

1

2

11110

0

K

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]−∆−∇−∆−∇− 0

22

024

1

12

1xfxfxfxf nn

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]−∆−∇−∆−∇− 0

44

0

33

360

3

720

19xfxfxfxf nn

( ) ( )[ ] K−∆−∇− 0

55

60480

863xfxf n

24

METODOS COMBINADOS

•En algunas ocasiones resulta interesante combinar algunos de los

métodos analizados anteriormente para resolver satisfactoriamente

algunos problemas.

•Supongamos dada f(x) en un intervalo (a,b) Cerrado, sobre el cual se

desea obtener la integral de dicha función. Supóngase también que se

dispone de 5 segmentos de recta.

•Una opción seria aplicar el método de Trapecios. No obstante debido al

enorme error por Truncamiento resulta aconsejable combinar las reglas

de Simpson de 1/3 y 3/8 para atacar el problema. Así la regla de

Simpson 1/3 seria aplicada a los dos 1eros segmentos ( 3 puntos )

mientras que para los otros 3 segmentos restantes se recurre a la regla de

Simpson 3/8. Así se obtiene una estimación del error de tercer orden

para todo el intervalo.

METODOS COMBINADOS

Ejercicio: Aplicar esta idea para calcular la integral de la función:

f(x) = 300 x5 – 800 x4+ 600 x3 – 200 x2 + 25 x – 0.2 sobre el intervalo

( 0.05, 0.25) con 5 segmentos sobre dicho intervalo. Efectuar un análisis

comparativo y analizar el error aplicando distintos métodos.

Ejercicio: Aplicar a un ej. práctico las formulas de trapecios, Euler

Mac Laurin y Gregory, comparar resultados y extraer conclusiones.

Métodos Numéricos -2010 DERIVACION E INTEGRACION...

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