Derivacin Numrica 22

CAPITULO 9DERIVACION NUMERICA1. Introduccin2. Derivacin numrica3. Mtodos de diferencias finitas3.1. Formulas de diferencias finitas hacia adelante3.1.1. Primera diferencia3.1.2. Segunda diferenciaEjemplo 13.2. Formulas de diferencias finitas hacia atrs3.2.1. Primera diferencia3.2.2. Segunda diferenciaEjemplo 23.3. Formulas de diferencias centrales3.3.1. Primera diferencia3.3.2. Segunda diferenciaEjemplo 34. Inestabilidad numrica de las formulas de diferencias finitas4.1. Diferencias centralesDerivacin numrica por diferencia centrada de orden Frmulas de las diferencias centradas de los tres puntosDerivacin numrica por diferencia centrada de orden Frmula de los tres puntosFrmula de los cinco puntosEjercicios resueltosEjercicios de fijacin

CAPTULO 9

DERIVACIN NUMRICA

Introduccin

La derivada es de uso comn en la matemtica y la ingeniera, sin embargo, en la prctica, de muchas funciones con las que se trabaja, no se conoce su expresin analtica y solamente se dispone de valores en un conjunto de puntos. En algunos casos es necesario proceder a calcular el valor de alguna derivada de algunas funciones en un punto concreto. En este tipo de situaciones no se puede utilizar el concepto riguroso de derivada por desconocimiento de la expresin de la funcin. De esta manera surge la necesidad de disear mtodos numricos que permitan aproximar el valor de las derivadas de una funcin en algn punto a partir del conocimiento de los valores de la funcin en un soporte dado.Los mtodos de derivacin numrica desarrollados con el fin de aproximar algn valor buscado, muestran un buen comportamiento en numerosos casos. Es por ello que algunas veces, aun disponiendo de la expresin analtica de las funciones a derivar, se opta por aproximar los valores de las derivadas mediante frmulas numricas suficientemente precisas. La diferenciacin numrica es muy til en casos en los cuales se tiene una funcin cuya derivada es difcil o complicada de hallar, o en casos en los cuales no se tiene una funcin explcita sino una serie de datos experimentales.

El problema de la derivacin numrica consiste en la evaluacin de la derivada de la funcin en un punto, cuando nicamente conocemos los valores de la funcin en una coleccin de puntos x0, x1,... xn. Aunque, en apariencia se trata de un problema similar al de la Integracin numrica; de hecho la derivacin es ms complicada ya que,en la integracin los errores tienden a cancelarse, y, como vimos, nonecesitamos que la aproximacin describa con fidelidad la funcin localmente. Sin embargo, la derivada es una propiedad esencialmente local, por lo cul deberemos aproximar la funcin lo ms fielmente posible en el entorno inmediato del punto en el que la queramos calcular.

Las frmulas de derivacin numrica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la solucin de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias (y en ecuaciones en derivadas parciales). En general, podemos obtener aproximaciones numricas de la derivada en un punto derivando alguna funcin interpolante, por ejemplo un polinomio de Lagrange, algn trazador cbico, etc. Sin embargo, en la prctica pequeos errores en los datos pueden producir malos resultados en las derivadas. Aqu vamos a experimentar con frmulas que se obtienen derivando el polinomio interpolante de Lagrange.

Derivacin numrica

Secante

Por definicin la derivada de una funcin f(x) es:

Las posibles aproximaciones numricas de la derivada en un punto que podran calcularse tomando una sucesin , Tal que , se tienen las siguientes expresiones.

La aproximacin de la derivada por este mtodo entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximacin numrica al problema dado.

Mtodo de Diferencias FinitasEl mtodo de diferencias finitas consiste en aproximar la funcin por polinomios. Las frmulas resultantes pueden clasificarse de las siguientes maneras:a) En base al orden de la derivada, obtenindose b) En base al orden de la diferencia, pueden ser primera, segunda, tercera, etc.c) En base a los puntos de apoyo de la formula en la tabla, es decir, si se emplean puntos antes, despus o ambos lados de algn punto de inters. Existen tres tipos y son:1) Diferencias hacia adelante, cuando se usan puntos anteriores del punto de inters.2) Diferencias hacia atrs, cuando se emplean puntos posteriores al punto de inters.3) Diferencias centrales. Cuando se usan puntos tanto antes como despus del punto de inters.

Referencias para las frmulas de diferencias finitas:

: Indica el punto de inters, de estudio o de anlisis.: Espaciamiento constante de la tabla.: Funcin evaluada en el punto de anlisis.

Frmulas de diferencias finitas hacia adelante

Primera diferencia

Segunda diferencia

Ejemplo 9.1.Sea la funcin , calcular las derivadas por mtodos numricos en el punto , en base a la siguiente tabla, con , aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia adelante.

4.74.84.95.05.15.25.3

1.547561.568621.589221.609441.629241.648661.6677

Solucin:Para . El valor verdadero de

Segunda derivada

Ejemplo 9.2.Sea la funcin , calcular las derivadas por mtodos numricos en el punto , en base a la siguiente tabla, con , aplicando la formula de la segunda diferencia finita hacia adelante.

4.74.84.95.05.15.25.3

1.547561.568621.589221.609441.629241.648661.6677

Solucin:Para . El valor verdadero de

Primera derivada

Segunda derivada

Comentarios:

La aproximacin lograda presenta errores muy elevados, pues 1% para la primera derivada y 5% para la segunda derivada, en la primera diferencia hacia adelante es prcticamente intolerable en un clculo de este tipo. En la segunda diferencia de este mismo mtodo (diferencias finitas hacia adelante) presenta igualmente un error elevado del 0.01% para la primera derivada, que parecera un resultado bastante aceptable, sin embargo esto es debido a la inestabilidad del mtodo, y para la segunda derivada el error es del 5%, valor igual obtenido con la aplicacin de la primera diferencia.Los resultados obtenidos por este mtodo son engaosos, por la inestabilidad que presentan debido a la simplicidad de su forma y a los parmetros reducidos considerados para el clculo. Si el resultado procurado necesita de cierta exactitud respecto del valor real, este mtodo no es recomendable, ya que casi aleatoriamente puede presentar buena precisin en algunos casos, mientras que en otros producir errores muy grandes.

Frmulas de diferencias finitas hacia atrs

Primera diferencia

Segunda diferencia

Ejemplo 9.3.

Sea la funcin , calcular las derivadas por mtodos numricos en el punto , en base a la siguiente tabla, con , aplicando la formula de la primera diferencia finita hacia atrs.

4.74.84.95.05.15.25.3

1.547561.568621.589221.609441.629241.648661.6677

Solucin:Para . El valor verdadero de

Diferencias finitas hacia atrs (primera diferencia)Primera derivada

Segunda derivada

Ejemplo 9.4.

Sea la funcin , calcular las derivadas por mtodos numricos en el punto , en base a la siguiente tabla, con , aplicando la formula de la segunda diferencia finita hacia atrs.

4.74.84.95.05.15.25.3

1.547561.568621.589221.609441.629241.648661.6677

Solucin:Para . El valor verdadero de

Comentarios:

La aproximacin presentada por este mtodo de diferencias hacia atrs presenta resultados muy parecidos al mtodo de diferencias hacia adelante; sin embargo para la segunda derivada se nota que el error producido es del 25%, totalmente intolerable en un clculo donde normalmente se pretende precisin y exactitud.Los resultados obtenidos por este mtodo son igualmente engaosos, debido tambin a la inestabilidad del mtodo.

Frmulas de diferencias finitas centrales

Primera diferencia

Segunda diferencia

Ejemplo 9. 5.

Sea la funcin , calcular las derivadas por mtodos numricos en el punto , en base a la siguiente tabla, con , aplicando la formula de la primera diferencia finita central.

4.74.84.95.05.15.25.3

1.547561.568621.589221.609441.629241.648661.6677

Solucin:Para . El valor verdadero de

Primera derivada

Segunda derivada

Ejemplo 9. 6.

Sea la funcin , calcular las derivadas por mtodos numricos en el punto , en base a la siguiente tabla, con , aplicando la formula de la segunda diferencia finita central.

Primera derivada

Segunda derivada

b) Se buscar de nuevo la derivada segunda, pero con un valor de h menor que el anterior, reduciendo dicha amplitud o peso de h a la mitad, o sea: de

4.854.904.955.005.055.105.15

1.5789791.5892351.5993881.609441.6193881.629241.638997

Comentarios

La primera diferencia de estas diferencias finitas centrales presenta resultados parecidos a los anteriores, sin embargo, la segunda derivada de la segunda diferencia de diferencias centrales presenta un error mucho mayor que el 100% (118,25%), razn por la cual ni siquiera necesita ser estudiado, no es que la frmula empleada sea errnea, sino que la inestabilidad que produce este grupo de formulas no presenta garantas de buen resultados en el clculo de diferencias, agregndose a esto la amplitud de h, que en este caso particular parece ser muy elevado, que en vez de converger hacia el resultado exacto, diverge; sin embargo, al reducir el valor de h a la mitad, el resultado obrtenido se hacerca bastante al valor verdadero, pues el error porcentual producido es solamente del 6,25%, pero aun as, sigue siendo un error muy grande. Por lo tanto, a modo de conclusin general respecto a estas formulas de diferencias finitas, cuando se desea precisin, estas formulas de diferencias finitas no son las recomendadas y se tomaran simplemente a modo didctico.

Inestabilidad numrica de las frmulas de diferencias finitas

Las formulas presentadas anteriormente como tablas, soninestables por naturaleza, debido a la operacin de dividir entre nmeros cercanos a 0. El problema aumenta para las frmulas de mayor orden de derivacin, debido a la divisin entre potencias de h cada vez mayores. Estas frmulasno son recomendadas en los procesos en que se desean resultados relativamente precisos, pues como se dijo, presentan inestabilidad inherente en la formula, por lo tanto, su uso no es recomendado, sin embargo, para fines didcticos son totalmente aceptables la presentacin de esta tabla.La precisin de la frmula aumenta cuando mayor sea el orden de la diferencia, por otro lado, cuanto mayor sea el orden de la derivada la formula se vuelve menos confiable. Por ltimo es bueno indicar que las formulas centrales presentan mayor confiabilidad que cualquiera de las otras dos.La deduccin de las frmulas puede hacerse empleando las frmulas de interpolacin, o directamente la serie de Taylor.

DIFERENCIAS CENTRALES

Este mtodo de aproximacin numrica presenta la caracterstica de que los valores de y se sitan a ambos lados de tanto a la derecha como a la izquierda de .

Derivacin numrica por diferencia centrada de orden

Teorema 9.1. Suponiendo que , entonces

Adems existen , tal que

Este Teorema se presenta sin demostracin:[footnoteRef:2] [2: La demostracin de este teorema se encuentra en: Velzquez Zapateiro, Jorge. (2007). Anlisis Numrico (pg. 162). Notas de clase. Edicin Uninorte. Barranquilla. Colombia ]

Derivacin numrica por diferencia centrada de orden

Teorema 9.2. Suponiendo que , entonces:

Adems existe , tal que

Este Teorema se presenta sin demostracin:[footnoteRef:3] [3: La demostracin de este teorema se encuentra en: Velzquez Zapateiro, Jorge. (2007). Anlisis Numrico. Notas de clase. Edicin Uninorte. Barranquilla. Colombia]

Ejemplo 9.7. Si , calcular la aproximacin de , usando las frmulas de las diferencias centradas de orden con

Solucina) Con La formula de diferencias centradas de orden

El valor exacto de , para

Ejemplo 9.8. Si , calcular la aproximacin de , usando las frmulas de las diferencias centradas de orden con

Solucin

El valor exacto de , para

ComentariosA primera vista parecera ser que estas formulas de diferencias centrales se acercan bastante al valor verdadero de la derivada de la funcin buscada, ya que con las diferencias centradas de orden el error producido en el ejemplo es de apenas 0.166%, error bastante pequeo; sin embargo en error producido con la formulas de diferencias centradas de orden es aun menor, tan solo de 0.0096%.De nuevo vale repetir que estas formulas de diferencias centradas parecen bastantes precisas. La formula de diferencias centradas de orden es una de las recomendadas para hallar la primera derivada de .

Frmulas de las diferencias centradas de los tres puntos

Las ecuaciones (9.1) y (9.2) son las llamadas frmulas de los tres puntos de derivacin numrica, aun cuando la formula (9.1) solamente utiliza dos puntos y no aparece en ella el punto central . El error presentado en la ecuacin (9.1) es aproximadamente la mitad que en la ecuacin (9.2), esta situacin se debe a que en la ecuacin (9.1) se usan datos que estn a ambos lados de , mientras que en la ecuacin (9.2.) se considera solo un lado y se desconoce el valor del otro lado que est fuera del intervalo.La ventaja que presenta la ecuacin (9.1) es su simplicidad, ya que solamente se evala en dos puntos, mientras que la ecuacin (9.2) necesita tres puntos.

Ejemplo 9.9.

Aproximar el valor de la funcin , utilizando la frmula (9.1) de los tres puntos, con

Solucin:

Estimacin de error:

El valor verdadero de la derivada de la funcin

Comentarios:

La aproximacin lograda es bastante buena, pues el error porcentual es solamente del 0.2%, y este valor es aceptable para cualquier clculo promedio. Adems, debe tenerse siempre en cuenta el tipo de clculo que se realiza y la precisin que se requiera para estimar el error.

Ejemplo 9.10.

Aproximar el valor de la funcin , utilizando la frmula (9.2) de los tres puntos, con

Solucin:La solucin inicia con la formula de los tres puntos (9.2)

Estimacin de error:

El valor verdadero de la derivada de la funcin

Comentarios:

En este caso, con la aplicacin de la formula (9.2) de los tres puntos la aproximacin lograda es de menor precisin que la de (9.1), aun as, sigue siendo bastante buena la aproximacin lograda, pues el error porcentual es de 0.44%.Comparando los dos ejercicios resueltos se nota claramente que la ecuacin (9.1) presenta menor error, aproximadamente la mitad de error producido por (9.2), lo que se haba ya indicado al definir las dos frmulas de los tres puntos.

Importante: Recodar siempre que el error puede ser pequeo o grande dependiendo siempre de la precisin que se desee al evaluar una determinada funcin.

Frmula de los tres puntos

Ejemplo 9.11.

Aproximar el valor de la funcin , utilizando la frmula de los tres puntos, con

Solucin:La solucin inicia con la formula de los tres puntos

Estimacin de error:

El valor verdadero de la derivada de la funcin

Comentarios:En este caso, con la aplicacin de la formula de los tres puntos la aproximacin lograda es de menor precisin que la de las diferencias centradas, aun as, sigue siendo bastante buena la aproximacin lograda, pues el error porcentual es de 0.44%, un poco mayor que la de las diferencias centradas de tan solo del 0.2%.

Frmula de los cinco puntos

Entre las distintas frmulas de cinco puntos, las ms utilizadas son:

Ejemplo 9.12.Aproximar el valor de la funcin , utilizando la frmula de los cinco puntos, con

Solucin:Se inicia el clculo de la solucin partiendo de la formula de los cinco puntos

Estimacin de error:

El valor verdadero de la derivada de la funcin

Comentarios:La aproximacin lograda con la formula de los cinco puntos es excelente, puede notarse en este ejercicio que el error porcentual es de apenas 0.01%, y que la aproximacin lograda puede considerarse un valor totalmente valido, demostrando que este mtodo es el mejor que cualquiera de lo empleado anteriormente.

Conclusiones generales

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio resuelto 9.13.

Para estudiar un determinado fenmeno fsico, se registran los cambios producidos en l en la siguiente tabla. Aproxima el valor de la derivada a utilizando la formula de derivacin numrica por diferencia centrada de orden

x11.11.21.31.41.51.6

2.52.4368512.3728952.3087852.2450662.1821792.120472

Solucin

El valor exacto de

Ejercicio resuelto 9.14.

Para estudiar un determinado fenmeno fsico, se registran los cambios producidos en l en la siguiente tabla. Aproxima el valor de la derivada a utilizando la formula de derivacin numrica por diferencia centrada de orden

x11.11.21.31.41.51.6

2.52.4368512.3728952.3087852.2450662.1821792.120472

Solucin

El valor exacto de

Ejercicio resuelto 9.15. Aproximar el valor de la funcin , utilizando la frmula de los tres puntos (9.2), con

Solucin

5.75.85.9

9.51572610.27202610.944245

Estimacin de error:

El valor verdadero de la derivada de la funcin

Ejercicio resuelto 9.15. Aproximar a la funcin , utilizando la frmula de los cinco puntos, con

Solucin

4.04.14.24.34.44.5

1.6050812.0085772.5512643.3341724.5875276.974906

El valor verdadero de la derivada de la funcin

Ejercicio resuelto 9.8

Por el mtodo de diferencia hacia adelante encontrar la derivada de la funcin f(x) para x=2, o seaencontrar f(x). Para resolver este ejercicio utilize la siguiente tabla de x y f(x).

Ejercicio medio (Respuesta)

Derivacin lineal de Newton1.Dada la funcin, aproxima el valor de su derivada en el punto, con la frmula de derivacin lineal de Newton.a).- Establece la frmula de derivacin lineal de Newton para este problema.b).- Calcula el valor de la derivada con incremento constante.c).- Calcula el error absoluto de la aproximacin, con el valor real deNota: Para los clculos utiliza hasta 6 cifras despus del punto decimal.Solucina).- Para establecer la frmula de derivacin de Newton, se recurre a la frmula de interpolacin de Newton:,En donde:,es el incremento constante,ylak-sima diferencia en la posicini.Derivando con respecto ax, por la regla de la cadena tenemos (expresin 5.8 del libro pgina 237):

Finalmente se llega a la frmula de derivacin lineal por Newton:

b).-Con base en la frmula anterior se calcula el valor de la derivada con incremento constante.Evaluando la funcin en cada uno de los puntos:yLuego:

c).-Para el error absoluto de la aproximacin, con el valor real de

Ejercicio resuelto N 7La carga en un circuito elctrico con base en el tiempo est dada por: t q0.000 2.50000.002 2.55230.004 2.60870.006 2.66820.008 2.72990.010 2.7931En donde t es el tiempo en segundos y q la carga en coulombios. Se sabe que la corrienteinstantnea es igual a la derivada de la carga en ese instante; determina por derivacin lineal de Newton la corriente del circuito en t 0.005 segundos.a) Establece la frmula de derivacin lineal de Newton para este problema.b) Calcula el valor de la derivada con incremento constante h 0.002 .Nota: Para los clculos utiliza hasta 4 cifras despus del punto decimal.

Ejercicio resuelto N 8Aplicacin a la medicinaPara estudiar la tasa de crecimiento de una bacteria se hacen cultivos y se registran suscambios peridicamente durante 7 das obtenindose los valores de la siguiente tabla:Tiempo en das Bacterias0 351 522 953 1404 1985 2666 3427 465Empleando los valores de la tabla anterior aproxima por derivacin de Newton la tasa decrecimiento al cuarto da.a) Establece la frmula de derivacin lineal de Newton para este problema.b) Calcula el valor de la derivada con incremento constante h 1 .Nota: Para los clculos utiliza hasta 4 cifras despus del punto decimal.Ejercicio resuelto N 91.Dada la funcin3.4 13.5( )22 0.25x xx ef xx, aproxima el valor de su derivada en el punto x 1.25 , conla frmula de derivacin lineal de Newton.a) Establece la frmula de derivacin lineal de Newton para este problema.b) Calcula el valor de la derivada con incremento constante h 0.05 .c) Calcula el error absoluto de la aproximacin, con el valor real de f (1.25) 1.079616...Nota: Para los clculos utiliza hasta 6 cifras despus del punto decimal.2. Dada la siguiente tabla de valores obtenidos en observaciones en diferentes tiempos de unexperimento:t y0 38.200.20 35.250.50 30.450.60 27.800.85 24.901.10 22.75Por medio de la diferenciacin de Lagrange de segundo grado hacia delante aproxima elvalor de rapidez de decrecimiento del fenmeno en estudio en el tiempo t 0.55 .a) Establece la frmula de la derivacin de Lagrange de segundo grado para esteproblema.b) Aproxima la derivada numrica en t 0.55 .Nota: Para los clculos utiliza hasta 3 cifras despus del punto decimal.Ejercicio resuelto N 101. La siguiente tabla contiene los datos de f(x) = senh(x) correctos hasta las cifrasdadas.x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6f(x) 1.5095 1.6984 1.9043 2.1293 2.3756Calcular f0(1.4) mediante las tres formulas de 3 puntos. Comparar los resultadosobtenidos con la solucion f0(1.4) = 2.150898. Obtener tambien f00(1.4) ycompararla con la real.2. Con los datosx 1 1.01 1.02fi 1.27 1.32 1.38a) Aproximar f0(1.005) y f0(1.015)b) Aproximar f00(1.01) usando los resultados del apartado a).c) Obtener f00(1.01) con la formula de la derivada segunda3. La siguiente tabla contiene los valores de f(x) = 1_R _0 cos(xsen t)dtx 0 0.2 0.4 0.6 0.7 0.9fi 1 0.990025 0.960398 0.912005 0.881201 0.807524Sabemos que f 2 C1(lR) y 8n 2 lN y__fn)(x)___ 1a) Mediante interpolacion con 3 puntos estimar f0(0.5) y acotar el error cometido.b) Mediante interpolacion con cinco puntos estimar f0(0.4) y acotar el errorcometido.c) Mediante interpolacion con 3 puntos estimar f00(0.2) y acotar el error cometido.d) Mediante interpolacion con 5 puntos estimar f00(0.4) y acotar el error cometido.4. De cierta funcion f 2 C1(lR) se conoce los datosx 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6fi 1.5095 1.6984 1.9043 2.1293 2.3756y que para todo numero natural n y para todo x 2 [1, 2] se tiene que__fn)(x)___e2 + e12.Aproximar f0(1.4) y f00(1.4) mediante formulas de 5 puntos y estimar el errorcometido.

Ejercicio resuelto N 11EJEMPLO.Consideremos la siguiente tabla de datos

0.00 1.00

0.01 1.010050167

0.02 1.02020134

0.03 1.030454534

0.04 1.040810774

0.05 1.051271096

0.06 1.061836547

0.07 1.072508181

0.08 1.083287068

0.09 1.094174284

Estimary.SOLUCIN. Para estimarse puede usar la frmula de cinco puntos mientras que para estimarpodemos usar una frmula de tres puntos, para ser exactos, la frmula apropiada es la frmula para.EjercicioEJERCICIOS1. Considere la tabla

1.1 1.042236692

1.2 1.082222055

1.3 1.120140413

1.4 1.156156396

1.5 1.190417757

1.6 1.223057566

1.7 1.254195979

1.8 1.283941742

i.) En Excel, estimar,yy comparar con el valor real. ii.) En Excel, estimar,yy comparar con el valor real.2. Implementar una hoja en Excel, con o sin macros, para que poder calcular la aproximacin de cada una de las derivadas usando las cinco frmulas vistas en la teora.

EJERCICIOS DE FIJACIN

11)

12)

13)

14)

15)

Mtodo de los 5 pasosTenemos una funcin f(x) y se quiere hallar la derivada en el punto aPara calcular la derivada por definicin se utiliza este mtodo que consiste en los 5 siguientes pasos:1- calcular 2. Calcular 3. Calcular que es

EjemploCalcular la derivada de f(x) = x3 en el punto a1- calcular 2. Calcular 3. Calcular Se ha sacado el factor comn h para que el siguiente paso sea fcil.

Diferenciacin numricaComo cualquier tipo de operacin numrica, la diferenciacin numrica refiere a una funcin y un punto arbitrario en . Se necesita un mtodo para aproximar , con para algn , lo suficientemente pequea para asegurar que , se calcula . Usando la siguiente notacin:

2. Frmulas de derivacin numricaSea f(x) una funcin derivable en un cierto intervalo I de la recta real y sea x* un punto de dicho intervalo. Consideremos adems un soporte de (n+1) puntos {x0, x1, ..., xn} del intervalo I en el que se suponen conocidos los valores de la funcin f(x). Por simplicidad supondremos adems, en todo cuanto sigue, que los puntos del soporte son todos ellos distintos y estn ordenados de menor a mayor es decir que: x0 < x1 < ... < xn.Definicin 2.1.Siendo f(x) una funcin de la que se conocen sus valores en el soportede (n+1) puntos {x0 , x1, ...., xn} del intervalo I, se denomina frmula dederivacin numrica para aproximar el valor de la primera derivadaf(x) en el punto x* sobre el soporte de puntos considerado, a todaexpresin de la forma:f(x*) '* f = c0.f(x0) + c1.f(x1)+ . + cn.f(xn) =ni ii 0c .f(x )= donde c0, c1, , cn son (n+1) escalares denominados coeficientes (opesos) de la frmula de derivacinNOTA:La frmula de derivacin que se acaba de definir puede decirse que es unafrmula lagrangiana pues en ella slo intervienen valores de la funcin f en lospuntos del soporte. Podran considerarse frmulas ms generales, hermitianas,en las que el valor de f(x*) fuese aproximado a partir del valor de la funcin f yde algunas de sus derivadas en los puntos del soporte. No obstante, estasltimas frmulas tienen un uso mucho ms espordico que las de tipolagrangiano y es por ello que en este tema nos limitaremos a considerar comofrmulas de derivacin numrica tan slo a las que hacen intervenir los valoresde la funcin en los puntos del soporte.En general el valor aproximado '*f y el valor exacto f(x*) diferirn,cometindose un error en la aproximacin de f(x*). Es por ello que junto a ladefinicin de una frmula numrica conviene precisar de forma rigurosa ladefinicin del error que con ella se comete. En este sentido se introduce lasiguiente definicin:Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.5Definicin 2.2.Siendo '* f la aproximacin de f(x*) que se obtiene operando sin error deredondeo segn la frmula de derivacin numrica:f(x*) '* f =ni ii 0c .f(x )= se denomina error de truncamiento de la frmula en el punto x*y parala funcin f al valor Rf(x*) = f(x*) - '* fObviamente se verificar que: 'f '(x*) = f*+Rf(x*) por lo que considerando lafrmula en cuestin aplicada a todos los puntos x de un dominio dadopuede definirse la funcin error de truncamiento de la frmula derivacinnumrica para la funcin f considerada como la funcin:Rf : I Rx Rf(x) = f(x) - '*fEn el anlisis del error de truncamiento de las frmulas de derivacin numricase perseguir encontrar cotas del valor de esta funcin de error Rf(x) en elintervalo I sobre el que se trabaje.Ejemplo:Siendo {x0 , x1 } un soporte formado por dos puntos tales que x1 = x0 + h, yconsiderando que x* = x0, la sustitucin de la expresin de f(x0) por el cocienteincremental:' 1 00f(x ) f(x )fh=conduce a una frmula en la que sus coeficientes son c0 = (-1/h) y c1 = (1/h).Una forma de acotar el error de truncamiento de esta frmula, si se supone quef(x) es al menos de clase C2([x0, x1]) consiste en considerar el desarrollo enserie de Taylor siguiente:f(x1) = f(x0+h) = f(x0) + h.f(x0) +20h .f "(x .h)2+ (0,1)de donde:= 0 1 +0 0f '( x ) f ( x ) f ( x ) h .f "( x .h)h 2 (0,1)Por tanto:= '= +f 0 0 0 0R (x ) f '(x ) f h .f "(x .h)2 (0,1)expresin que puede acotarse por:Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica6{ }= 0 1'f 0 0 0x (x ,x )R (x ) f '( x ) f h . Sup f "( x )2Para el caso particular de la funcin f(x) = x2 el cociente incrementalconsiderado conduce a la expresin:+ = = +2 2' 0 00 0f ( x h) x 2.x hhpor lo que el error de truncatura cometido es en este caso Rf(x0) = h.Obsrvese que la acotacin antes realizada conducira (para esta funcin x2) ala acotacin |Rf(x0)| h coincidente con el error de truncatura realmentecometido1.Las frmulas que conducen al valor exacto de la derivada se denominanfrmulas exactas. Ms concretamente:Definicin 2.3.Se dice que la frmula de derivacin numrica f(x*) '* f =ni ii 0c .f(x )= esexacta para la funcin f(x) en el punto x* y para el soporte {x0, ..., xn}cuando el error de truncatura Rf(x*) es nulo.Ejemplo:Dado un soporte {x0 < x1 } y denotando por h = x1 x0, la frmula: = = +1 0* 0 11 0f(x*) f ' f(x ) f(x ) 1f(x ) 1f(x )x x h hes una frmula exacta para la funcin f(x) = x2, en el punto x* = 1 y para elsoporte {x0 = 0, x1 = 2}. En efecto, f(1) = 2 y:= = = 2+ 2=*2 f'(1) f ' 10 12 22 2Ahora bien esta frmula no tiene que ser exacta si se cambia de punto x* (porejemplo f(1.5) = 3 f* = 2) o si se cambia de soporte (por ejemplo para x0 = -1y x1 = 2 , siendo f(x) = x2 y x* = 1 se tiene que f(1) = 2 f* = 1) o si se cambiade funcin (por ejemplo si f(x) = x3 con el soporte {x0 = 0 y x2 = 2} y para x* = 1se tiene que: 3 = f(1) f* = 4)1 No siempre las acotaciones del error de truncatura que se obtendrn sern tan finas como laque se acaba de describir.Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.7De poco servira tener frmulas que slo fuesen exactas para funcionesconcretas con soportes concretos y en puntos concretos pues la aplicabilidadde dichas frmulas sera escasa. Por ello, las frmulas de derivacin numricasuelen disearse de forma que sean exactas para determinadas familias defunciones con independencia de cules sean los (n+1) puntos del soporte quese elijan y para cualquier punto x* en el que se apliquen. Ms concretamentepuede darse la definicin siguiente:Definicin 2.4.Se dice que la frmula de derivacin numrica:n'* i ii 0f '(x*) f c .f(x )= = es exacta de orden k para la familia de funciones de clase C1([x0 , xn]):{0(x),1(x),...,k(x),....}cuando es nulo el error de truncatura cometido al aplicar la frmula parala estimacin de la primera derivada de cualquiera de las (k+1) primerasfunciones de la familia y en cualquier punto x* perteneciente al intervalo[x0 , xn]: k 0 n R (x) 0 x [x ,x ] = Propiedad 2.1.Si la frmula de derivacin numrican'* i ii 0f '(x*) f c .f(x )= = es exacta deorden k para la familia de funciones { } 0 1 k (x),(x),..., (x),.... entonces esexacta para cualquier combinacin lineal de las (k+1) primeras funcionesde la familiaDemostracin:Si la frmula es exacta de orden k para la familia de funciones consideradas sepodr escribir que:[ ]= = n'j i j i 0 ni 0(x*) c . (x ) x* x ,x (j = 0, ..., k)Por otra parte, una funcin cualquiera que sea combinacin lineal de las (k+1)primeras funciones de la familia ser de la forma:k0 0 1 1 k k j jj 0f(x) (x) (x) ..... (x) (x)== + + + = por lo que su primera derivada en cualquier punto x* del intervalo [x0, xn]sepuede expresar como:Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica8= = = = = = = = = = k k n n k n'j j j i j i i j j i i ij 0 j 0 i 0 i 0 j 0 i 0f '(x*) (x*) c (x ) c (x ) c f(x )y puesto que la aplicacin de la frmula de derivacin numrica a la funcin f(x)en cualquier punto x* conduce a que:n'x i ii 0f c.f(x)== puede concluirse que:[ ] f 0n R (x*)=0 x*x ,xEsto demuestra que la frmula es exacta para cualquier funcin f(x) que seacombinacin lineal de las (k+1) primeras funciones de la familia de funcionesconsiderada.c.q.d.Las frmulas de derivacin numrica ms utilizadas en la prctica son exactas,de algn orden k, para la familia de funciones formada por los monomios, esdecir: {1, x, x2, ...,xk, ....}. En este tema nos referiremos en exclusiva a estafamilia de funciones y por ello cuando digamos que una frmula es de orden kse sobreentender que es de orden k para la familia de los monomios, esdecir que permite estimar sin error alguno la primera derivada de cualquierfuncin polinmica de grado menor o igual que k en cualquier punto x*.Ejemplo:La frmula que se ha utilizado en ejemplos anteriores consistente en sustituir ellmite con el que se define la derivada por el cociente incremental en un soportede dos puntos consecutivos es una frmula exacta de orden 1. En efecto, parala funcin f(x) = 1 se verifica que:' 0 0 [ ]x 0 0f f(x h) f(x ) 1 1 0 f '(x) x x ,x hh h+ = = = = +Asimismo para la funcin g(x) = x se tiene que:+ + [ ]' = 0 0 = 0 0 = = +x 0 0g g(x h) g(x ) x h x 1 g'(x) x x ,x hh hPero para la funcin q(x) = x2, en general, ya no coincidir el valor de la primeraderivada y el valor estimado mediante la frmula de derivacin:Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.9+ + [ ]= = = + +2 2' 0 0 0 0x 0 0 0q q(x h) q(x ) (x h) x 2 x h q'(x) x x ,x hh hpor lo que slo se puede afirmar que el error de la frmula es nulo para losmonomios {1, x}. En consecuencia, como se seal anteriormente, la frmulaes de orden 1.NOTA:Para facilitar el seguimiento de todo cuanto hasta aqu se ha dicho, nos hemosreferido nicamente a frmulas que permiten estimar el valor de la primeraderivada de una funcin. Anlogo tratamiento podra realizarse para lasfrmulas de derivacin numrica que permiten estimar derivadas de ordenmayor (segundas derivadas, terceras derivadas, etc...). A ellas nos referiremosen el apartado 7 de este tema.Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica103. Frmulas de derivacin numrica de tipo interpolatorio para aproximarla primera derivada de una funcin.Como se ha comentado en el apartado anterior, las frmulas ms utilizadas enla prctica se buscan de forma que sean exactas para polinomios de gradomenor o igual que n (es decir frmulas de orden de exactitud n). Una maneranatural de construir frmulas exactas de orden n consiste en recordar que elpolinomio pn(x) que interpola en el sentido de Lagrange y sobre un soporte de(n+1) puntos a una funcin f(x) que sea polinmica de grado menor o igual quen coincide con dicha funcin2. Por ello es equivalente derivar la funcinpolinmica f(x) que derivar la su polinomio interpolador pn(x). A todas lasfrmulas de derivacin que se obtienen derivando la expresin del polinomiointerpolador de Lagrange se las denomina frmulas de derivacin de tipointerpolatorio.Definicin 3.1.Se denomina frmula de derivacin numrica de tipo interpolatorio(de Lagrange) para aproximar derivadas de primer orden a cualquierfrmula obtenida derivando una vez la expresin del polinomiointerpolador de Lagrange construido sobre un soporte de (n+1) puntosdistintos.NOTA:Obsrvese que en la definicin anterior se ha escrito entre parntesis deLagrange. En efecto podra pensarse en derivar tambin la expresin delpolinomio interpolador de Hermite obtenindose otros tipos de frmulas dederivacin de tipo interpolatorio. Puesto que nosotros slo nos vamos a referir alas frmulas que se obtienen al derivar la expresin del polinomio interpoladorde Lagrange omitiremos en lo sucesivo la coletilla de Lagrange y simplementediremos frmula de derivacin numrica de tipo interpolatorio.Una frmula de derivacin numrica de tipo interpolatorio puede obtenrse decualquiera de las expresiones del polinomio interpolador. Recordando laexpresin del polinomio interpolador en funcin de los polinomios de base deLagrange puede deducirse la expresin de los pesos que intervienen en dichafrmula. En efecto:2 Consltese, por ejemplo, el tema dedicado a la Interpolacin de Lagrange elaborado por A.Hidalgo y C. Conde en estos mismos apuntes.Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.11Propiedad 3.1.La condicin necesaria y suficiente para que la frmula de derivacinnumrican'x* i ii 0f c.f(x)== que sea de tipo interpolatorio es que suscoeficientes satisfagan las igualdades:'ci=Li(x*) (i = 0, 1, ..., n)donde se ha denotado por Li(x) a los (n+1) polinomios de base deLagrange3 sobre el soporte {x0, x1, ..., xn}.Demostracin:a) Demostremos en primer lugar que si la frmula es de tipo interpolatorioentonces sus pesos satisfacen la relacin ci = Li(x*). En efecto, la expresindetallada del polinomio interpolador de Lagrange pn(x) de una funcin f(x) sobreel soporte de (n+1) puntos {x0, x1, ..., xn} en funcin de los (n+1) polinomios debase de Lagrange { }ni i 0 L (x) = es:nn i ii 0f(x) p (x) f(x ) L (x)= = de donde, en cualquier punto x* se puede considerar la aproximacin:n' 'n i ii 0f '(x*) p (x*) L (x*) f(x )= = Esta frmula es una frmula de derivacin numrica en la que sus coeficientesestn dados por la expresin:'i i c =L(x*) (i = 0, ..., n)b) Demostremos que si la frmula de derivacin numrica satisface 'i i c =L(x*)(i = 0, ..., n) entonces es de tipo interpolatorio. En efecto, considerando que elpolinomio interpolador de Lagrange de f(x) sobre el soporte {x0, ..., xn} se puedeexpresar como: pn(x) == ni ii 0f(x )L (x) se tiene que si se verifican las igualdadesconsideradas para los coeficientes:3 Recurdese que:n ni j i jj 0 j 0j i j iL (x) (x x ) (x x )= = = (i = 0, 1, ..., n)Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica12f(x*) ( ) ( )= = = = = = = = n n n n 'i i i i i i i i ni 0 i 0 i 0 i 0c f(x ) L' (x*)f(x ) L (x*)f(x ) ' L (x*)f(x ) p' (x*)lo que demuestra que el valor de la primera derivada en x* se aproxima con elvalor de la primera derivada del polinomio interpolador en x*.c.q.d.La propiedad anterior caracteriza a las frmulas de derivacin numrica de tipointerpolatorio que permiten aproximar primeras derivadas. Adems nos permiteobtener otras propiedades que deben satisfacer los coeficientes de las frmulasde tipo interpolatorio. Por ejemplo:Propiedad 3.2.En toda frmula de derivacin numrica de tipo interpolatorion'x* i ii 0f c.f(x)== se verifica que:nii 1c 0= =Demostracin:Puesto que segn las propiedades de los polinomios de base de Lagrange severifica que:nii 0L (x) 1= = x , es obvio que:n ' n'i ii 0 i 0L (x) L (x) 0= = = = x En particular para el punto x* se tendr que:n n'i ii 0 i 0L (x*) c 0= = = =c.q.d.Ocupmonos ahora de analizar el error en las frmulas de derivacin numricade tipo interpolatorio. Denotando por (x) a la funcin error de interpolacincometido al aproximar una funcin f(x) por su polinomio interpolador deLagrange pn(x) sobre el soporte de (n+1) puntos considerado, se verifica que:f(x) = pn(x) + (x) 0 n x(x ,x )por lo que:'nf '(x*)=p (x*)+'(x*)Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.13lo cual nos conduce a poder expresar el error en el punto x* de la frmula dederivacin numrica mediante:Rf(x*) = '(x*)En el caso particular en que f(x) sea un polinomio de grado menor o igual que nse verificar que f(x) pn(x) y por tanto (x) = 0 x , de donde resulta que lafrmula de derivacin numrica de tipo interpolatorio construida sobre unsoporte de (n+1) puntos es exacta para cualquier polinomio de grado menor oigual que n. En resumen es exacta de orden n.Este hecho nos permite incluir a las frmulas de derivacin numricas de tipointerpolatorio en el conjunto de frmulas de derivacin exactas de orden n.Pero an puede precisarse ms, puesto que adems toda frmula exacta deorden n construida sobre un soporte de (n+1) puntos debe ser necesariamentede tipo interpolatorio. Este hecho se demuestra en el siguiente teorema.Teorema 3.1.La condicin necesaria y suficiente para que una frmula de derivacinnumrica construida sobre un soporte de (n+1) puntos,n'x* i ii 0f c.f(x)== ,sea exacta de orden n es que sea de tipo interpolatorio.Demostracin:a) Demostremos en primer lugar que la condicin recogida en el enunciadodel teorema es suficiente, es decir que si la frmula construida sobre elsoporte de (n+1) puntos es de tipo interpolatorio entonces es exacta deorden n. Para ello basta con recapitular los razonamientos anteriormenterealizados. En efecto, si f(x) es una funcin polinmica de grado menor oigual que n su polinomio interpolador de Lagrange sobre el soporte de(n+1) puntos coincide con la funcin y por tanto:f(x) = pn(x) x por lo que f(x) = pn(x) x . En particular para cualquier punto x* setendr que:' 'n x* f '(x*) = p (x*) fProgramacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica14Ello demuestra que la frmula es exacta sea cual sea el polinomio f(x)de grado menor o igual que n al que se aplique y el punto x* en el que seaproxime la primera derivada.. En particular lo ser cuando se aplique alos (n+1) primeros monomios {1, x, ..., xn} y por ello es exacta de gradon.b) Demostremos ahora que la condicin anterior tambin es necesaria, esdecir que si la frmula construida sobre el soporte de (n+1) puntos esexacta de orden n entonces tiene que ser de tipo interpolatorio. Para ellopartimos del hecho de que, al ser la frmula exacta de orden n, paracualquier funcin polinmica de grado menor o igual que n, p(x), se debeverificar que:ni ii 0p'(x*) c .p(x )== Por otra parte, puesto que hemos considerado que p(x) es un polinomiode grado menor o igual que n, se verificar que el polinomio interpoladorde p(x) en el soporte de (n+1) puntos coincidir con p(x) y por tanto p(x)se puede expresar como:ni ii 0p(x) p(x ).L (x)== de donde su primera derivada en el punto x* estar dada por:n'i ii 0p'(x*) L (x*).p(x )== Identificando las dos expresiones de la primera derivada de p(x) en x* setiene que:n n'i i i ii 0 i 0c .p(x ) L (x*).p(x )= = =Esta igualdad debe ser satisfecha para cualquier polinomio p(x) que seade grado menor o igual que n. Por tanto deber verificarse tambin en elcaso de que consideremos como p(x) cualquiera de los (n+1) polinomiosde base de Lagrange construidos sobre el soporte { }ni i 0 x = . Recordemosadems que los polinomios de base de Lagrange verifican:Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.15i j0 si i jL (x )1 si i=j =Por tanto, particularizando la igualdad antes obtenida para L0(x) se tieneque:n n' 'i 0 i i 0 i 0 0i 0 i 0c.L (x ) L(x*).L (x ) c L (x*)= = = =Al hacerlo para el polinomio L1(x) resultar que:n n' 'i 1 i i 1 i 1 1i 0 i 0c .L (x ) L (x*).L (x ) c L (x*)= = = =Y en general al particularizar para cualquier polinomio de base Lj(x)obtendremos que:n n' 'i j i i j i j ji 0 i 0c .L (x ) L (x*).L (x ) c L (x*)= = = =c.q.d.Ejemplos:1) Si se considera un nico punto de soporte {x0} el polinomio interpolador deuna funcin f(x) en dicho soporte ser el polinomio: p0(x) = f(x0). La figura 1recoge, junto al grafo de la funcin f(x) el grafo de p0(x) y la tangentegeomtrica a la curva en (x0, f(x0)). La pendiente de esta tangente geomtricaser la derivada f(x0).Figura 1: Interpretacin grfica del proceso de aproximacin de la derivada primerade una funcin mediante la frmula de tipo interpolatorio con soporte de un punto.Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica16Ello nos conducira a que, para cualquier punto x*, la frmula de derivacin detipo interpolatorio de una funcin con un soporte de un nico punto es:' 'f '(x*) fx* =p0(x*)=0 =0.f(x0 )Obviamente esta frmula slo sera exacta en el caso de derivar constantes (esdecir, polinomios de grado 0).2) Si se considera un soporte de 2 puntos {x0, x1} el polinomio interpolador dela funcin f(x) en el sentido de Lagrange est dado por:1 01 0 10 1 1 0p (x) f(x ). (x x ) f(x ). (x x )(x x ) (x x ) = + La derivada de este polinomio es:' 1 01 0 10 1 1 0 1 0p (x) f(x ). 1 f(x ). 1 f(x ) f(x )(x x ) (x x ) (x x )= + = Al no depender del punto en el que se evale la derivada podemos concluir quepara cualquier abscisa x* el valor de la primera derivada de la funcin en ella,f(x*), se aproximar mediante:' 1 0x*1 0f(x ) f(x )f '(x*) fx x =Esta expresin se corresponde con el cociente incremental que se utiliz en losejemplos de los apartados anteriores. Puede observarse que los pesos de lafrmula son: c0 = -1/(x1 x0) y c1 = 1/(x1 x0) por lo que su suma se anula. Lagrfica de la figura 2 representa junto a los grafos del polinomio interpolador yde la funcin f(x) la tangente geomtrica al grafo de f(x) en un punto (x*, f(x*)).Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.17Figura 2: Interpretacin grfica del proceso de aproximacin de la derivada primerade una funcin mediante la frmula de tipo interpolatorio con soporte de dos puntos.Obviamente esta frmula de derivacin numrica ser exacta sobre cualquierpolinomio de grado menor o igual que 1 (es decir sobre lneas rectas).Otras relaciones entre los pesos y los puntos del soporte de las frmulas dederivacin numrica de tipo interpolatorio se recogen en la propiedad siguiente:Propiedad 3.3En toda frmula de derivacin numrica de tipo interpolatorion'x* i ii 0f c.f(x)== , construida sobre un soporte de (n+1) puntos, se verificaque:( ) nk k 1i ii 1c x k x* = = (k = 1, ...n)Demostracin:Por ser la frmula de tipo interpolatorio es exacta para todo polinomio de gradomenor o igual que n. En particular lo ser para la funcin f(x) = xk sea cual seael valor del entero positivo k siempre que k < n. Puesto que f(x*) = k(x*)(k-1), laexactitud de la frmula implica que:( ) == nk k 1i ii 1c x k x * ( 0 < k < n)c.q.d.Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica18EJERCICIO PROPUESTO:Demustrese que para cualquier funcin f(x) que sea derivable en todo puntodel intervalo [x0, x1] siempre existe algn punto x* de dicho intervalo para el quela frmula de derivacin numrica de tipo interpolatorio construida sobre elsoporte {x0 ,x1} proporciona el valor exacto f(x*). Ntese que, si esto es as, enparticular se puede afirmar que siempre existir algn punto x* en el intervalo[x0, x1] para el que la frmula construida con dos puntos de soporte proporcionael valor exacto de la derivada de xk sea cual sea el valor que le demos al enterono negativo k. Contradice esto la afirmacin de que la frmula es de orden 1?.A la luz de este comentario no sera ms preciso decir que la frmula es deorden infinito?.Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.194. Expresiones del error de las frmulas de derivacin numrica de tipointerpolatorio que aproximan la primera derivada de una funcin.El proceso seguido para obtener las frmulas de derivacin numrica de tipointerpolatorio nos conduce de forma natural a que el error de cada frmulaRf(x*) de derivacin as determinada es igual a la primera derivada de lafuncin de error interpolacin (x) particularizada en el punto x* en que sederiva: Rf(x*)= '(x*) . No obstante trabajar con la expresin del error deinterpolacin que se dedujo en los temas dedicados al estudio de las tcnicasde interpolacin4 no es cmodo en muchas ocasiones. Es por ello interesanteobtener otras expresiones ms cmodas para el anlisis del error de lasfrmulas de derivacin numrica.Una primera forma de obtener otra expresin del error de derivacin numricase basa en utilizar diferencias divididas. Para ello, como es habitual,denotaremos por f[x0, x1, ..., xn, x] a la diferencia dividida de orden (n+1) de lafuncin f(x) en los puntos {x0, x1, ..., xn, x] y consideraremos una funcin g(x)que a todo punto x le haga corresponder el valor: g(x) = f[x0, x1, ..., xn, x]La primera derivada de esta funcin estar dada por:g(x)= 0 1 n 0 1 nh 0 h 0 0 1 nlimf[x ,x ,....,x ,x h] f[x ,x ,....,x ,x] limf[x ,x ,....,x ,x,x h] (x h) x + = ++ que representaremos por:0 1 n g'(x) = f[x ,x ,....,x ,x,x]Ms concretamente:Definicin 10.4.1.Se define la diferencia dividida de orden (n+2 )de una funcin en elsoporte {x0, x1, ..., xn, x, x} mediante:0 1 n0 1 ndf[x ,x ,....,x ,x]f[x ,x ,...,x ,x,x]dx=4 Recurdese que la expresin obtenida era:(n 1 nxii 0f ( )(x) . (x x )(n 1)!+= = + donde x era unpunto dependiente de la abscisa x en la que se deseaba estimar el error de interpolacin. Esteerror tambin se poda expresar usando las diferencias divididas comon0 1 n ii 0(x) f[x , x ,..., x , x] (x x )= = .Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica20Con ayuda de las diferencias divididas con puntos repetidos que se acaban dedefinir y partiendo de la expresin del error de interpolacin que se obtuvo altrabajar con diferencias divididas, es sencillo demostrar la siguiente propiedad:Propiedad 4.1.La frmula de derivacin numrica de tipo interpolatorion'x* i ii 0f c.f(x)== tiene asociado un error de truncatura dado por la expresin[ ]n [ ] nnf 0 1 n i 0 1 n ji 0 i 0 j 0j iR ( x*) f x ,x ,...,x ,x*,x * . ( x * x ) f x ,x ,...,x ,x*,x * . ( x * x )= = = = + Demostracin:Basta con particularizar en x* la expresin obtenida al derivar una vez lafuncin de error de interpolacin:n0 1 n ii 0(x) f[x ,x ,...,x ,x]. (x x )= = c.q.d.La expresin anterior, teniendo un inters terico, tambin es de difcilaplicacin prctica. Es por eso que lo que resta de este apartado lodedicaremos a determinar una expresin de fcil aplicacin advirtiendo deantemano al lector que ms que la frmula que finalmente determinemos, en laprctica es el mtodo que vamos a seguir el que tiene inters prctico.Consideremos que f(x) es una funcin de clase Cn+1((x0, xn)) y que paraaproximar la primera derivada de la funcin f(x) en un punto x* perteneciente alintervalo [x0 , xn] se considera la frmula de derivacin numrica de tipointerpolatorion'x* i ii 0f c.f(x)== construida sobre un soporte de (n+1) puntosdistintos {x0 < x1 < ....< xn}. Advirtase que, por ser la frmula de tipointerpolatorio, al menos, ser de orden n. Ello, en particular implica que servirpara determinar sin error de truncatura ninguno las derivadas de las funciones{1, x, x2, ..., xn}. Ello a su vez se traduce en que:n nk k' k *(k1)i i x x* i ii 0 i 0c x (x ) c x k.(x ) == = = = (k = 0,..., n)Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.21Denotemos adems por h al valor:h=Max( x *x0, x * xn)y sean { }ni i=0 (n+1) escalares de valor absoluto no superior a 1 y tales que:i i x =x*+ hPara cada uno de estos puntos, al haber supuesto la funcin f(x)suficientemente regular, se puede considerar el desarrollo en serie de Taylorsiguiente:2 2 n ni i (ni i if(x ) f(x * .h) f(x*) .h.f '(x*) .h .f "(x*) .... .h .f (x*)2 n! = + = + + + + +n 1 n 1i (n 1i.h .f (x * .h)(n 1)!+ ++ + ++Por tanto la frmula de derivacin numrica de tipo interpolatorio consideradapodr rescribirse en la forma:n n n 2 n' 2x* i i i i i i ii 0 i 0 i 0 i 0f c .f(x ) c .f(x*) h. c . .f '(x*) h . c . .f "(x*) .....= = = 2! = = = + + + + ++ += = + + + + n n n1 nn (n (n 1) (n 1i i i i ii 0 i 0h. c. .f (x*) h . c. .f (x* .h)n! (n 1)!Simplifiquemos la expresin que se acaba de obtener. El coeficiente quemultiplica a f(x*) es nulo pues es la suma de los pesos de la frmula (vase lapropiedad 3.2.). Para simplificar otros sumandos de la expresin utilizaremoslas dos propiedades siguientes:Propiedad 4.2.Con la notacin introducida anteriormente y siendon'x* i ii 0f c.f(x)== unafrmula de derivacin numrica de tipo interpolatorio con n > 0, severifica que:ni ii 0c . 1= h =Demostracin:Con la notacin que estamos utilizando se tiene que:Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica22iix x*h =de donde:n n n ni i i i i i ii 0 i 0 i 1 i 0c . 1. c .(x x*) 1. c .x 1.x *. c= h= h = h = = = En esta ltima igualdad se sabe quenii 0c 0= = (vase la propiedad 3.2.). Porotra parteni ii 1c .x= se corresponde con la expresin de la derivada del monomiox en el punto x*. Por ello su valor ser 1. En resumen:ni ii 0c .x 1= h =c.q.d.Propiedad 4.3.Con la notacin introducida anteriormente y siendon'x* i ii 0f c.f(x)== unafrmula de derivacin numrica de tipo interpolatorio, con n>1, severifica que:nki ii 0c . 0= = (k=2,....,n)Demostracin:Con la notacin que se est utilizando y empleando la frmula de Newton paradesarrollar potencias de binomios5, se tiene que:n n n kk k j (k j) ji i k i i k i ii 0 i 0 i 0 j 0c . 1. c .(x x*) 1. c . ( 1) . k .x .(x*)h h j= = = = = = = k nj j (k j)k i ij 0 i 01. ( 1). k .(x*). c.xh j= = = Al ser la frmula de tipo interpolatorio ser exacta para cualquier polinomio degrado menor o igual que n. En particular, al haber considerado n > 1 si setoman valores de k tales que 2 k n se debe verificar para todo valor delentero j comprendido entre 0 y (k-1) que el sumatorion(k j)i ii 0c .x = coincide con el5 Como es habitual, en dicha frmula se utiliza la notacinkj para representar a k!(k j)!.j!Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.23valor de la derivada del monomio x(k-j) particularizado en el punto x*. Es decirque:n (k j) ( (k j))' (k j 1)i ii 0 x x*c .x x (k j).(x*) = = = = Para el caso en que j coincida con el valor de k el sumatorio quedarnii 0c= cuyo valor es nulo(vase la propiedad 3.2.). Por tanto:nki ii 0c .= =(k 1)j j (k j 1)kj 01 . ( 1) . k .(x*) .(k j).(x*)h j = = (k 1)(k 1) jkj 01 .(x*) . ( 1) .(k j). kh j= = Puesto que6 se verifica que:= = (k 1)jj 0k( 1).(k j). 0 k 2jpuede concluirse que:nki ii 0c . 0= = (k = 2, ..., n)c.q.d.Estas dos propiedades junto a la expresin que obtuvimos antes de enunciarlasnos permiten demostrar fcilmente el siguiente teorema:Teorema 4.1.Dado el soporte de (n+1) puntos x0 < x1 < ... < xn , siendo f(x) unafuncin de clase C(n+1)((x0 , xn)), siendo x* un punto del intervalo [x0 , xn],denotando hi = xi x* , por h al valor h = mx(|x*-x0| , |x* - xn|) y por{ }ni i=0 a los (n+1) escalares tales que hi = i .h , para toda frmula dederivacin numrica de tipo interpolatorio:n'x* i ii 0f '(x*) f c .f(x )= = existen (n+1) valores i pertenecientes al intervalo [-1 , 1] tales que:6 El lector interesado puede encontrar la demostracin en el anexo a este apartado (Lema 4.2.)Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica24( ) +== = ++ n n' n (n 1f x* i i i ii 0R (x*) f(x*) f h . c . .h.f (x * .h)(n 1)!Demostracin:Introduciendo el resultado de las propiedades 4.2. y 4.3. en la expresin antesobtenida resulta:n n n 2 n' 2x* i i i i i i ii 0 i 0 i 0 i 0f c .f(x ) c .f(x*) h. c . .f '(x*) h . c . .f "(x*) .....= = = 2! = = = + + + + ++ += = + + + + n n n1 nn (n (n 1) (n 1i i i i ii 0 i 0h. c. .f (x*) h . c. .f (x* .h)n! (n 1)!=( ) +== + ++ n nn (n1i i i ii 0f '(x*) h . c . .h.f (x * .h)(n 1)!c.q.d.NOTAS:1) Obsrvese que en el trmino del error se ha descompuesto hn+1 en la formahnh, dejando slo como factor comn del sumatorio hn y expresando en cadauno de los sumandos del trmino de error ih como hi. El motivo de ello es quelos coeficientes ci de la frmula de derivacin dependen en general de losvalores hi por lo que procediendo de esta manera el trmino de error podrexpresarse en funcin de los valores de las derivadas f(n+1( i) (siendo i lospuntos x*+ ih), de hn y de (n+1) constantes i = ci inhi/(n+1)!. En los ejemplosdel siguiente apartado se ilustrar este hecho.2) La expresin anterior se resume frecuentemente indicando que el error esde orden O(hn).3) Para algunas funciones y en algunos puntos se verificar que el trminoque multiplica a la derivada de orden (n+1) en el desarrollo en serie de Taylordel que se parta tambin se anula. En dichos casos, si f(x) es losuficientemente regular, puede ampliarse el desarrollo en serie consideradotruncndolo en el primero de los trminos que no se anule (que ser posterior aaquel en el que interviene la derivada n-sima).Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.254) Con todo, como ya seal anteriormente, lo ms interesante de esta formade proceder no es tanto el resultado obtenido como el procedimiento seguidopara determinar el error de la frmula (combinando desarrollos en serie deTaylor).5) Cuando el soporte es equidistante los clculos anteriores suelen rehacersedesignando como h a la distancia entre los puntos del soporte.Habitualmente el error se acota en valor absoluto, |Rf(x*)|. A partir del teoremaanterior es fcil obtener una cota de este error utilizando el lema siguiente:Lema 4.1.Si g(x) es una funcin continua en [a, b] y se consideran (n+1)coeficientes positivos, { }ni i=0 , y (n+1) puntos { }ni i=0 pertenecientes alintervalo [a, b], entonces existe un punto [a,b] tal que:= = ni ii 0.g( ) .g( )dondenii=0 = .Demostracin:Denotemos por gm y por gM a los valores mnimo y mximo que toma la funcing(x) en [a, b]. Por ser todos los coeficientes positivos se verifica que:i m i i i M .g .g().g (i = 0, 1, ..., n)Sumando las expresiones anteriores se tiene que:n n n ni m i i i M m i i Mi 0 i 0 i 0 i 0.g .g( ) .g .g .g( ) .g= = = = nm i i Mi 0g 1. .g( ) g= Las desigualdades anteriores, junto a la hiptesis realizada sobre lacontinuidad de la funcin g(x) en el intervalo [a, b], nos muestran que, poraplicacin del teorema del valor medio, existir en [a, b] al menos un punto para el que se verifique que:Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica26n ni i i ii 0 i 01 . .g( ) g( ) .g( ) .g( )= = = = c.q.d.El lema precedente y el teorema 4.1. nos permiten demostrar fcilmente elsiguiente teorema:Teorema 4.2.Dado el soporte de (n+1) puntos x0 < x1 < .... < xn, siendo f(x) una funcinde clase C(n+1)((x0 , xn)), x* un punto del intervalo [x0 , xn] y denotando porh al valor h = mx( |x* x0 |, |xn x|), para toda frmula de derivacinnumrica de tipo interpolatorio:n'x* i ii 0f '(x*) f c .f(x )= =existe algn punto [x0,xn] y alguna constante real positiva para losque se verifica:|Rf(x*)| .hn.f(n+1()Demostracin:Segn el teorema 4.1., y utilizando la misma notacin que en l, se tiene que:( ) n n' n (n 1f x* i i i ii 0R (x*) f(x*) f h . c . .h .f (x * .h)(n 1)!+== = ++ de donde:( ) n n' n (n 1f x* i i i ii 0R (x*) f(x*) f h . c . .h .f (x * .h)(n 1)!+== = + + n nn (n1i i i ii 0h . c. .h.f (x* .h)(n 1)!+= ++ Aplicando el lema 4.1. (para la funcin g(x) = |f(n+1(x)|, evaluada en los puntosi = x* + i.h, y con los coeficientes i = |ci.in.hi| ) se puede concluir queexistir un valor x [x0 , xn] para el que se verificar que:nii 0 (n 1) (n 1f R (x*) .h . f ( )(n 1)!= + + +de donde se tiene el resultado de este teorema sin ms que llamar al escalarnii 01 .(n 1)! == + c.q.d.Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.27En el apartado siguiente se deducirn algunas frmulas de derivacin numricay se detallar cmo obtener la expresin del error que con ellas se comete.ANEXO AL APARTADO 4Lema 4.2.Para todo valor entero k superior o igua a 2 se verifica que:( k 1)jj 0k( 1) .(k j). 0 k 2j= = Demostracin:Se tiene que:= = = = = = (k 1) k k kj j j jj 0 j 0 j 0 j 0k k k k( 1) (k j) ( 1) (k j) k ( 1) ( 1) jj j j jAnalicemos, utilizando la frmula del binomio de Newton7, el primero de lossumandos del lado derecho de esta igualdad:= = = = kj kj 0kk ( 1) k(1 1) k0 0jAnalicemos ahora el sumando que queda en el lado derecho:= kjj 0k( 1)jj.Para ello procederemos por induccin. Para el valor k = 2 se tiene que elsumando anterior tiene el valor:= = + + = 2jj 02( 1) j 1 0 1 ( 1) 1 2 1 2 1 0jAdmitamos entonces que para algn valor (k-1) > 2 se verifica que:= = (k 1)jj 0k 1( 1)j 0j7 Recurdese que la frmula del binomio de Newton establece que:( ) = + = kk (k j) jj 0ka b a bjProgramacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica28y demostremos que en ese caso tambin se anula el sumatorio para el enterok. En efecto, con esta suposicin:= = = = = = = = k k k kj j j jj 0 j 0 j 1 j 1( 1) j k ( 1) j k! ( 1) j k! ( 1) k!j j!(k j)! j!(k j)! (j 1)!(k j)!= = = = = = = k k kj j jj 1 j 0 j 0k ( 1) (k 1)! k ( 1) (k 1)! k ( 1) k 1 0(j 1)!(k j)! j!(k j 1)! jPor tanto:= = = = = = (k 1) k kj j jj 0 j 0 j 0k k k( 1) (k j) k ( 1) ( 1) j 0 0 0j j jc.q.d.Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.295. Algunas frmulas de derivacin numrica de tipo interpolatorio usualespara aproximar primeras derivadas.5.1. Frmula con dos puntos de soporteSi se considera el soporte {x0 , x1} y una funcin f(x) de la que se conoce suvalor en los puntos del soporte, el polinomio interpolador de Lagrange de talfuncin sobre el soporte escogido est dado por:1 00 10 1 1 0p(x) f(x ). (x x ) f(x ). (x x )(x x ) (x x ) = + Por tanto la expresin de la frmula que permite aproximar f(x*) se obtendrderivando la expresin de este polinomio de manera que:'x* 0 1 0 10 1 1 0 1 0 1 0f '(x*) f p'(x*) 1 .f(x ) 1 .f(x ) 1 .f(x ) 1 .f(x )(x x ) (x x ) (x x ) (x x ) = = + = + Es habitual en este caso denotar por H a la distancia entre puntos: H = (x1 x0)con lo que la frmula anterior puede expresarse como:'x* 0 1f(x*) f 1.f(x ) 1.f(x )H H = +siendo los coeficientes de la frmula c0 = -(1 / H) y c1 = (1 / H).NOTAS:1) Obsrvese que la frmula obtenida coincide con el cociente incremental quenos sirvi para ilustrar las frmulas de derivacin numrica en la introduccin aeste tema (apartado 1).2) En la obtencin de esta frmula se ha partido de la expresin del polinomiointerpolador que utiliza los polinomios de base de Lagrange. Cualquier otraexpresin del polinomio interpolador nos hubiese conducido a idnticoresultado pues el polinomio interpolador de Lagrange, sobre un soporte dado,es el mismo se utilice el mtodo que se utilice para determinarlo. As porejemplo si se hubiera partido de la frmula de Newton en diferencias divididas:p(x) = f(x0) + f[x0, x1].(x-x0)Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica30que al derivarlo, teniendo en cuenta la expresin de la diferencia dividida nosproporciona:p(x) = f[x0, x1].(x-x0) = 1 001 0f(x ) f(x ).(x x )x xpor lo que particularizando esta expresin en el punto x = x* y denotando por Ha la distancia entre puntos se tiene finalmente que:'x* 0 1f(x*) f p'(x*) 1.f(x ) 1.f(x )H H = = +En este caso, al haber slo dos puntos de soporte, se puede considerar elsoporte equidistante y podran haberse utilizado las expresiones del polinomiointerpolador en diferencias finitas (centradas, regresivas o progresivas)obtenindose la misma frmula. Se deja el desarrollo detallado de estos casoscomo ejercicio propuesto al lector.3) La figura 2 representada anteriormente (ver apartado 3) recoge lainterpretacin grfica de este proceso de aproximacin.La expresin del error de esta frmula, admitiendo la hiptesis de que f(x) seade clase C2 ((x0 , x1)) y que x* pertenezca a [x0, x*], puede obtenerse sin msque denotar por h al valor h = mx(|x0 x*|, |x1 x*|) y considerandoentonces que:x0 - x* = 0 .h x1 - x* = 1 .hpor lo que:'x* f = c0.f(x0) + c1.f(x1) = ( ) 1 01 . f(x ) f(x )H = ( ) 1 01. f(x* .h) f(x* .h)H+ + =2 21 1 11. f(x*) .h.f '(x*)1. .h .f "(x * .h)H 2 = + + + 2 20 0 0f(x*) .h.f '(x*) 1. .h .f "(x * .h)2 + = = 1 0.h.f '(x*)H + 2 2 2 21 1 0 01 .h .f "(x * .h) 1 .h .f "(x * .h)2.H 2.H + + == 1 0 1. x x .h.f '(x*)H h + 2 2 2 21 1 0 01 .h .f "(x * .h) 1 .h .f "(x * .h)2.H 2.H + + == f(x*) + ( ) 22 21 1 0 0h . .f"(x* .h) .f"(x* .h)2.H + +Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.31Puesto que H se podr expresar como .h con ( > 1) resultar finalmente,aplicando el lema 4.1., que:Rf(x*) = h .2.(2 2 )1 1 0 0 .f "(x *+.h).f "(x *+.h) = .h.f "()En el caso de ser x* un punto cualquiera el orden del error de la frmula dederivacin numrica es 0(h) donde h representa la mayor de las distancias delpunto x* a los extremos del intervalo. Ms frecuente an que la expresin delerror anterior es la que se obtiene al expresar dicha frmula en funcin de ladistancia entre los puntos del soporte (H). Fcilmente se obtiene esta nuevaexpresin sin ms que considerar que h = .H (con < < 1) por lo que laexpresin del error queda en el caso ms general en la forma:Rf(x*) = .H.f()La frmula de derivacin con dos puntos de soporte suele utilizarse cuando x*es uno de los puntos extremos del intervalo o el punto medio del mismo (caso,este ltimo, en el que el orden del error de la frmula se incrementa en unaunidad). A continuacin se desarrollan estos casos particulares de la frmulade derivacin con un soporte de dos puntos.5.1.1. Casos particularesA) Caso en el que x* = x0En este caso h = H, 0 = 0 y 1 = 1 y la frmula se puede escribir en laforma:'x*f f(x * h) f(x*)h+ =denominndose aproximacin mediante la diferencia finita progresiva deprimer orden (o en adelanto). El error de esta frmula, si f(x) essuficientemente regular puede obtenerse particularizando en laexpresin antes obtenida resultando:'f x*R (x*) f(x*) f h.f "(x * .h)2= = + [0,1]Por tanto en este caso la frmula es exacta de orden 1.Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica32NOTA:Al mismo resultado sobre el error se llegara sin ms que considerar que:f(x*+h) = f(x*) + h.f(x*) + (h2/ 2).f(x*) + ..... de donde:f(x*) = 'x*f(x * h) f(x*) 1.h.f "(x*) .... f 1.h.f "(x*) ....h 2 2+ = B) Caso en el que x* = x1En este caso h = H, 0 = 1 y 1 = 1 y la frmula se puede escribir en laforma:'x*f f(x*) f(x * h)h =denominndose aproximacin mediante la diferencia finita regresiva deprimer orden (o en retroceso o upwind). El error de esta frmula, si f(x)es suficientemente regular puede obtenerse particularizando en laexpresin antes obtenida resultando:'f x*R (x*) f(x*) f h.f "(x * .h)2= = [0,1]Por tanto, en este caso la frmula es exacta de orden 1.NOTA:Al mismo resultado sobre el error se llegara sin ms que considerar que:f(x*-h) = f(x*) - h.f(x*) + (h2/ 2).f(x*) - ..... de donde:f(x*) = 'x*f(x*) f(x * h) 1.h.f "(x*) .... f 1.h.f "(x*) ....h 2 2 + = + C) Caso en que x* es el punto medio del intervalo: x* = (x0 + x1) / 2En este caso h = H/2, 0 = 1 y 1 = 1 pudindose rescribir la frmulade derivacin numrica en la forma:'x*f f(x * h) f(x * h)2.h+ =Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.33denominndose aproximacin mediante la diferencia finita centrada deprimer orden. El error de esta frmula, si f(x) es suficientemente regularpuede obtenerse, en un primer intento, particularizando en la expresinantes obtenida resultando:' ( )f x* 1 0R (x*) f(x*) f h . f "(x * .h) f "(x * .h)4= = + [ ] 0 1 , 0,1No obstante la expresin anterior nos deja con la duda de si no podrnanularse ms trminos del desarrollo en serie de Taylor a partir del cualse obtuvo la expresin del error. En efecto, en este caso si se admiteque f(x) es suficientemente regular se podran considerar los desarrollosen serie de Taylor de f(x) con ms trminos que los antes planteados, esdecir:f(x0) = f(x*-h) = f(x*) h.f(x*) + ().h2f(x*) -3 4h.f '''(x*) h.f(iv (x*) ....6 24+ f(x1) = f(x*+h) = f(x*) + h.f(x*) + ().h2f(x*) +3 4h.f '''(x*) h.f(iv (x*) ....6 24+ +por lo que:f(x+h) f(x-h) = 2.h.f(x*) +3 5h.f '''(x*) h.f(v (x*) ...3 60+ +de donde:2 4' (vx*f f(x * h) f(x * h) f '(x*) h .f '''(x*) h .f (x*) ....2.h 6 120+ = = + + +y por tanto:Rf(x*) = f(x*) -2 4' (vx*f h.f '''(x*) h .f (x*) ....6 120= En resumen, si f(x) es de clase C3((x0, x1)) puede afirmarse en este casoque:2fR (x*) h .f '''(x* h)6= + [0,1]por lo que en este caso la frmula es exacta de orden 2.5.2. Frmula con tres puntos de soporteSea ahora el soporte de tres puntos x0 < x1 < x2 y consideremos un punto x*perteneciente al intervalo [x0, x2]. Sea adems f(x) una funcin de la que seconocen sus valores en los puntos del soporte. El polinomio interpolador deLagrange de f(x) sobre este soporte puede expresarse, utilizando la frmula deNewton en diferencias divididas, mediante:Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica34p2(x) = f(x0) + f[x0, x1].(x - x0) + f[x0 , x1, x2].(x x0).(x x1)por lo que:p2(x) = f[x0, x1]+ f[x0 , x1, x2].((x x0) + (x x1))lo que nos conduce a que la frmula de derivacin numrica de tipointerpolatorio con este soporte est dada por:f(x*) ' '__________fx* =p2(x*) = f[x0, x1]+ f[x0 , x1, x2].((x* x0) + (x* x1))NOTAS:1) En este caso se ha utilizado la frmula de Newton del polinomiointerpolador para inferir a partir de ella la frmula de derivacin de tipointerpolatorio. Puesto que, sobre un soporte dado, el polinomio interpolador deLagrange es nico podran haberse utilizado otras expresiones de estepolinomio para obtener el mismo resultado. No obstante es cmodo utilizar lafrmula de Newton en el caso general para no obtener expresiones que,desarrolladas, quedan muy aparatosas sin aportar nada para nuestrospropsitos.2) En la expresin anterior pueden sustituirse las diferencias divididas queintervienen por sus expresiones respectivas8. Ello hace que la frmula tome unaspecto ms engorroso para su manipulacin.3) En el sentido de lo expresado en la primera de estas notas el polinomiointerpolador podra haberse expresado en la forma:p2(x) = f(x0).L0(x) + f(x1).L1(x) + f(x2).L2(x)con:1 200 1 0 2L (x) (x x ).(x x )(x x ).(x x ) = , 0 211 0 1 2(x x ).(x x )L (x)(x x ).(x x ) = , 0 122 0 2 1(x x ).(x x )L (x)(x x ).(x x ) = 8 Recurdese que: [ ] =1 00 11 0f ( x ) f ( x )f x ,xx x, [ ] 2 11 22 1f ( x ) f ( x )f x ,xx x=y[ ] 1 2 0 10 1 22 0f [ x ,x ] f [ x ,x ]f x , x , xx x=Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.35para as obtener la misma frmula de derivacin numrica pero ahora con laexpresin' ' ' ' 'x* 2 0 0 1 1 2 2 f(x*) f p (x*) L (x*). = = f(x )+L (x*).f(x )+L (x*).f(x )En esta ltima expresin los coeficientes de la frmula aparecen de forma msexplcita y toman la expresin:c0 ' 1 200 1 0 2L (x*) (x * x ) (x * x )(x x ).(x x ) + = = , c10 211 0 1 2(x * x ) (x * x )L (x*)(x x ).(x x ) + = = c2 0 122 0 2 1(x * x ) (x * x )L (x*)(x x ).(x x ) + = = 4) La interpretacin grfica del proceso de derivacin numrica seguido conesta frmula consiste en sustituir la tangente trigonomtrica del ngulo formadoentre el eje de abscisas y la tangente geomtrica al grafo de f(x) en el punto(x*, f(x*)) por la tangente trigonomtrica del ngulo formado entre el eje deabscisas y la tangente geomtrica en el punto (x*, p2(x*)) al grafo de laparbola p2(x) que pasa por los puntos (x0 , f(x0)), (x1 , f(x1)) y (x2 , f(x2)). Lafigura 3 ilustra este proceso.Figura 3: Interpretacin grfica del proceso de derivacin numrica seguido con unafrmula de tipo interpolatorio con tres puntos de soporte.Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica36En lo que se refiere al error de truncatura de esta frmula, su expresin puedeacotarse, si fC3((x0 , x1)), utilizando el teorema 4.2. mediante:2 '''Rf(x*) .h . f ()Los casos de aplicacin ms tpicos para esta frmula de derivacin numricason aquellos en los que el punto x* coincide con uno de los puntos del soportesiendo, adems, el soporte equidistante. A continuacin se analizan con detalleestas situaciones.5.2.1. Casos particulares con soporte equidistanteEn este caso, denotando por H a la distancia entre puntos consecutivos delsoporte las diferencias divididas que intervienen en la frmula pueden serexpresadas mediante:1 00 1f(x ) f(x )f[x ,x ]H= 2 1 00 1 2 2f(x ) 2.f(x ) f(x )f[x ,x ,x ]2.H +=por lo que la frmula de derivacin numrica de tipo interpolatorio se convierteen:' 1 0 2 1 0*x* 2 0 1f '(x*) f f(x ) f(x ) f(x ) 2.f(x ) f(x ).((x x ) (x * x ))H 2.H + = + + A) Caso de soporte equidistante en el que x* = x0Si se toma como punto x* el extremo izquierdo del soporte se tiene que:x0 = x*, x1 = x* + H y x2 = x* + 2.H. Con ello (x* - x0) = 0 y (x* - x1) = -Hpor lo que:x0 x1 x2H HDerivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.37' 1 0 2 1 0x*f '(x*) f f(x ) f(x ) f(x ) 2.f(x ) f(x )H 2.H + = =2 1 0 f(x ) 4.f(x ) 3.f(x ) f(x * 2.H) 4.f(x * H) 3.f(x*)2.H 2.H + + + + = =La frmula anterior se conoce con el nombre de frmula de derivacinnumrica en diferencias progresivas de segundo orden.Si se admite que f(x) es una funcin suficientemente mente regular, el errorde derivacin puede obtenerse fcilmente combinando los desarrollos enserie de Taylor:f(x* + 2.H) = f(x*) + 2.H.f(x*) +2.H2.f(x*) + (8/6).H3.f(x*) + f(x* + H) = f(x*) + H.f(x*) + ( ) H2.f(x*) + (1/6).H3.f(x*) +...por lo que:-f(x*+2.H) + 4.f(x*+H) 3.f(x*) = 2.H.f(x*) (2/3).H3.f(x*) + .de donde:f(x*) f(x * 2.H) 4.f(x * H) 3.f(x*) 1.H2.f '''(x*) ....2.H 3 + + + = + +pudindose concluir que si f(x) es al menos de clase C3((x0 , x1)) entonces:Rf(x*) = f(x*) fx* = (1/3).H2.f()B) Caso de soporte equidistante en el que x* = x1Si se toma como punto x* el punto medio del soporte se tiene que:x0 = x* - H, x1 = x* y x2 = x* + H. Con ello (x* - x0) = H y (x* - x1) = 0 porlo que:' 1 0 2 1 0 2 0x*f '(x*) f f(x ) f(x ) f(x ) 2.f(x ) f(x ) f(x ) f(x )H 2.H 2.H + = + = =f(x * H) f(x * H)2.H+ =Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica38frmula que coincide con la que se obtuvo al utilizar un soporte de 2 puntosy aproximar la derivada en el punto medio de ellos.C) Caso de soporte equidistante en el que x* = x2Si se toma como punto x* el punto derecho del soporte se tiene que:x0 = x* - 2.H, x1 = x*- H y x2 = x*. Con ello (x*-x0) = 2.H y (x*-x1) = H porlo que:' 1 0 2 1 0x* 2f '(x*) f f(x ) f(x ) f(x ) 2.f(x ) f(x ).(3.H)H 2.H + = + =2 1 0 3.f(x ) 4.f(x ) f(x ) 3.f(x*) 4.f(x * H) f(x * 2.H)2.H 2.H + + = =expresin que se conoce como frmula de derivacin numrica enderivadas regresivas de segundo orden.Si f(x) es suficientemente regular pueden combinarse los desarrollos enserie de Taylor:f(x* - 2.H) = f(x*) - 2.H.f(x*) +2.H2.f(x*) - (8/6).H3.f(x*) + f(x* - H) = f(x*) - H.f(x*) + ( ) H2.f(x*) - (1/6).H3.f(x*) +...obteniendo:3.f(x*) 4.f(x*-H) + f(x*-2.H) = 2.H.f(x*) (2/3).H3.f(x*) - ....de donde, si f(x) es al menos de clase C3((x0, x2) se obtiene que:Rf(x*) = f(x*) fx* = (1/3).H2.f()Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.396. Otros mtodos para la obtencin de frmulas de derivacin numricade tipo interpolatorio.6.1. Mediante la combinacin de desarrollos en serie de Taylor.El proceso seguido en el apartado 4 para determinar el error de derivacinnumrica muestra otra manera de calcular las frmulas de derivacin. Enefecto, una alternativa al proceso de obtencin de frmulas de derivacinnumrica mediante el clculo de la primera derivada del polinomio interpoladorde Lagrange de la funcin f(x) en los (n+1) puntos del soporte, consiste encombinar los desarrollos de Taylor en torno al punto x* de f(x0), f(x1), ..., f(xn)buscando que en dicha combinacin se anulen el mayor nmero posible de losprimeros trminos salvo, obviamente, el que multiplica a f(x*). Despejandodespus f(x*) de esta combinacin se obtendr la frmula de derivacin y eltrmino de error. De forma ms detallada, si se denota por hi = xi x* (i = 0, ..,n) y se admite que f(x) posee la regularidad necesaria, se puede escribir que:f(xi) = f(x*+hi) = f(x*) + hif(x*) + + + + +2 3 ki i i (k hf "(x*) hf '''(x*) .... h f (x*) ....2! 3! k!Por lo que:= = = = = + + + n n n n2i i i i i i ii 0 i 0 i 0 i 0f(x ) f(x*) h f '(x*) 1 h f "(x*)2!= = + + + n n3 k(ki i i ii 0 i 01 h f '''(x*) ....1 h f (x*) ...3! k!(1)Si se desea que la frmula de derivacin sea del mayor orden posible debebuscarse que, salvo el coeficiente de f(x*), se anulen el mayor nmero de losprimeros sumandos del desarrollo anterior. Esto es, que:= = nii 00= = n2i ii 0h 0 .........= = nki ii 0h 0En general el nmero de ecuaciones que as se pueden formar es de necuaciones quedando un sistema con (n+1) incgnitas (0, ..., n) y tan slo necuaciones. Ello es debido a que con el coeficiente de f(x*) se debe aadir lainecuacin= ni ii 0h 0 .Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica40Por ello los coeficientes (0, ..., n) que se determinen mediante la resolucindel sistema:= = nii 00= = n2i ii 0h 0........= = nni ii 0h 0quedarn en funcin del valor que libremente se le asigne a uno de ellos.En todo caso, una vez calculados estos coeficientes, denotando por= = ni ii 0hse tendr que los coeficientes de la frmula de derivacin se obtienenmediante: ci = i / (i = 0, ..., n) y que del primer trmino que no se hayapodido anular en la expresin (1) se podr inferir fcilmente la expresin delerror de derivacin.Ilustremos estos extremos con un ejemplo.Ejemplo:Determinemos la frmula de derivacin numrica del mayor orden de exactitudposible que permite calcular el valor aproximado de f(x*) usando un soporte dela forma: {x0 = x* - 2h, x1 = x* - ()h, x2 = x* + ()h, x3 = x* + (3/2)h} donde hes un valor real estrictamente positivo.Para ello, si suponemos que f(x) es suficientemente regular en (x0, x3) podemosconsiderar los desarrollos en serie de Taylor:f(x*-2h) =f(x*) 2hf(x*) + +4h2f "(x*) 8h3f '''(x*)2 6416h f(iv (x*)24 +532h f(v (x*) ...120f(x*-()h) =f(x*) 12hf(x*) + +h2f "(x*) h3f '''(x*)8 484h f(iv (x*)384 +5h f(v (x*) ...3840Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.41f(x*+()h) =f(x*) + 12hf(x*) + + +h2f "(x*) h3f '''(x*)8 48+4h f(iv (x*)384+ +5h f(v (x*) ...3840f(x*+ 32h) =f(x*) + 32hf(x*) + + +9h2f "(x*) 27h3f '''(x*)8 48+491h f(iv (x*)384+ +5273h f(v (x*) ...3840de donde: + + + + + = 0 1 2 3f(x * 2h) f(x * 1h) f(x * 1h) f(x * 3h)2 2 2=( + + + ) + 0 1 2 3f(x*)+ + + + 0 1 2 32 1 1 3 hf '(x*)2 2 2+ + + + + 20 1 2 32 1 1 9 h f "(x*)8 8 8+ + + + 30 1 2 38. 1 1 27 h f '''(x*)6 48 48 48+ + + + + 4 (iv0 1 2 316. 1 1 91 hf(x*)24 384 384 384+ + + + 5 (v0 1 2 332 . 1 1 273 h f (x*) ....120 3840 3840 3840Si se desea que la frmula tenga el mayor orden posible se obligar a que: + + + = 0 1 2 3 00 1 2 32 1 1 9 08 8 8 + + + =0 1 2 38. 1 1 27 06 48 48 48 + + =Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica42de donde9, dejando como incgnita libre 1, se tiene:0 1 2 1 3 18 , 66 , 3455 65 91 = = = Si se asigna a 1 el valor 1 = 1 se tiene que:0 1 2 38, 1, 66 , 3455 65 91 = = = =Para estos valores de los coeficientes i, se tiene entonces que la combinacinde desarrollo en serie de Taylor antes obtenida se convierte en:8f(x * 2h) f(x *1h) 66f(x * 1h) 3 f(x * 3h)455 2 65 2 91 2 + + + + == 12hf '(x*) 1 h4f(iv(x*) + ....13 208por lo que:f(x*) = ( ) ( h) ( h) ( 3h )2 2 21 2 f x * 2h 13f x * 11f x * 1 f x *h 105 12 10 28 + + + - 1 h3f(iv(x*)+.....192De esta igualdad se infiere que la frmula buscada es:( ) ( h) ( h) ( 3h )* 2 2 2f '(x*) f ' 1 2 f x * 2h 13f x * 11f x * 1f x *h 105 12 10 28 = + + + y que con ella, si fC4((x*-2h, x*+3h/2)), se comete un error dado por:= 3 (iv fR (x*) 1 h f ( )192para algn valor (x*-2h, x*+3h/2). Es decir un error de orden 3.9 Obsrvese que si al sistema anterior se le aadiese la ecuacin procedente de obligar a quese anulase el coeficiente de f(x*) se tendra un sistema que slo admite la solucin trivial 0 == 1 = 2 = 3 = 0.Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.436.2. Modo de coeficientes indeterminados.Este mtodo de determinacin de frmulas de derivacin de tipo interpolatoriosoportadas en (n+1) puntos se basa en que, segn el teorema 3.1. todafrmula de tal tipo debe ser exacta para los monomios {1, x, ..., xn}. Por tanto, sise busca una frmula con expresin:= =n* i ii 0f '(x*) f ' c f(x ) , su aplicacin acada uno de los (n+1) monomios xk (0 < k < n) nos conduce a que:== nii 0c 0( ) == nk (k 1)i ii 0c x k x * (k = 1, ..., n)es decir al sistema:( ) = 00 1 2 n 12 2 2 20 1 2 n 2n n n n (n 1)0 1 2 n n1 1 1 ... 1 c 0x x x ... x c 1x x x ... x c 2x *... ... ... ... ... ... ...x x x ... x c n x*Si los (n+1) puntos del soporte son diferentes puede asegurarse que el sistemaanterior es compatible determinado. Su resolucin proporciona los pesos de lafrmula de derivacin buscada.Siendo h un valor estrictamente positivo en funcin del cual se puedanescribir, para valores convenientes de i (i = 0, ...,n), los puntos del soporte enla forma xi = x* + ih, el sistema anterior puede simplificarse si en lugar deaplicar la frmula a los monomios {1, x, ..., xn} se aplica a los polinomios:{ 1, (x-x*), (x-x*)2, ...., (x-x*)n}En efecto, la aplicacin de la frmula a f(x) = 1 conduce a que:== nii 0c 0Si n > 0, su aplicacin a f(x) = (x x*) proporciona la ecuacin:= = = = n ni i i ii 0 i 0c h 1 c 1hProgramacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica44Y si n > 1 , para valores del exponente menores o iguales que n se tiene que:( ) = = = = n n(k 1) k k ki i i ii 0 i 0k x* x* c h c 0En resumen, los coeficientes de la frmula de tipo interpolatorio se obtienenresolviendo el sistema: = 010 1 2 n 1 h2 2 2 20 1 2 n 2n n n n0 1 2 n n1 1 1 ... 1 c 0... c... c 0... ... ... ... ... ... ...... c 0Una vez determinada la frmula, su error puede tambin ser calculado si sebusca en la forma Rf(x*) = Kh(m-1)f(m() aplicndolo al primer binomio (x-x*)m(cuya derivada m-sima es una constante no nula) para el que la frmula dejade ser exacta (hecho que tendr lugar para m > n).Ilustremos esta forma de proceder obteniendo nuevamente la frmula dederivacin numrica hallada en el subapartado anterior mediantecombinaciones de desarrollos en serie de Taylor.Ejemplo:Determinemos la frmula de derivacin numrica de tipo interpolatorio quepermite calcular el valor aproximado de f(x*) usando un soporte de la forma:{x0 = x* - 2h, x1 = x* - ()h, x2 = x* + ()h, x3 = x* + (3/2)h} donde h es unvalor real estrictamente positivo.Segn se ha visto anteriormente, los coeficientes de la frmula se puedenobtener resolviendo el sistema: = 01 1 3 12 2 2 1 h1 1 94 4 4 21 1 278 8 8 31 1 1 1 c 02 c4 c 08 c 0o, eliminando denominadores, el sistema equivalente:Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.45 = 021 h231 1 1 1 c 04 1 1 3 c16 1 1 9 c 064 1 1 27 c 0La solucin del sistema anterior nos proporciona los valores: = = = = 0 1 2 4c 2,c 13,c 11,c 1105h 12h 10h 28hPara determinar el error de la frmula consideraremos la funcin f(x) = (x-x*)4.La primera derivada de dicha funcin en x* es:f(x*) = 4.(x*-x*)3 = 0siendo el valor aproximado dado por la frmula: ( ) ( ) = + = ' 4 1 4 1 4 3 4 3* 2 2 2f 1 2 (2h) 13( h) 11 h 1 h 1hh 105 12 10 28 8por lo que = = = 43' 3(x x*) *R (x*) f '(x*) f 0 h 1h8 8. Si se busca el error en laforma:= 3 (ivf R (x*) Kh f (x*)para la funcin considerada (cuya cuarta derivada es: f(iv(x*) = 24) se tiene que:K = -1/192En resumen la frmula buscada es:= + ( + ) ( + ) ' 1 1 3* 2 2 2f 1 2 f(x * 2h) 13 f(x * h) 11f x * h 1 f x * hh 105 12 10 28y el error de derivacin numrica est dado por:= 3 (iv fR (x*) 1 h f ( )192Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica46Ejercicio propuesto:a) Siendo h un parmetro estrictamente positivo, determinar la frmula dederivacin numrica que permite aproximar el valor de f(x*) sobre elsoporte: x0 = x* +h, x1 = x* + 2h y x2 = x* + (5 )2 h. Suponiendo que f(x)es suficientemente regular en el intervalo [x*, x2], determnese tambin laexpresin de su error e indquese la regularidad que se le debe exigir af(x) para que dicha expresin sea vlida. Obtngase la frmula pedida ysu error:i) Derivando el correspondiente polinomio interpolador deLagrange,ii) Combinando desarrollos en serie de Taylor, yiii) Mediante el mtodo de coeficientes indeterminados.b) Aplquese la frmula obtenida en el apartado anterior a la obtencin deun valor aproximado de la primera derivada de la funcin f(x) = ecos(x) conlos siguientes valores de h: h0 = 0.1, h1 = 0.01, h2 = 0.001, h3 = 0.0001y h4 = 0.00001. Realcense los clculos en coma flotante usandomantisas con 5 decimales significativos.c) Obtngase una cota del error de derivacin numrica vlida en elintervalo [x*, x2] para la funcin considerada en el apartado anterior. Elerror realmente cometido es en todos los casos inferior a la cotahallada? Si no lo fuese justifquese el motivo.Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.477. Fmulas de derivaci numica de tipo interpolatorio para laaproximaci de derivadas de orden superior.Los mtodos de obtencin de frmulas numricas para aproximar primerasderivadas pueden extenderse fcilmente para deducir frmulas de derivacinnumrica que permitan aproximar derivadas de orden superior al primero.Destinaremos este apartado a describir este proceso con detalle.Sea f(x) una funcin k veces derivable en un cierto intervalo I de la recta real ysea x* un punto de dicho intervalo. Consideremos adems un soporte de (n+1)puntos {x0, x1, ..., xn} del intervalo I en el que se suponen conocidos los valoresde la funcin f(x). Por simplicidad supondremos que los puntos del soporte sontodos ellos distintos y estn ordenados de menor a mayor es decir que: x0 < x1< ... < xn.Definici 7.1.Siendo f(x) una funcin de la que se conocen sus valores en el soportede (n+1) puntos {x0 , x1, ...., xn} del intervalo I, se denomina frmula dederivacin numrica para aproximar el valor de la k-sima derivadaf(k(x) en el punto x* sobre el soporte de puntos considerado, a todaexpresin de la forma:f(k(x*) (k* f = c0.f(x0) + c1.f(x1)+ . + cn.f(xn) =ni ii 0c .f(x )= donde c0, c1, , cn son (n+1) escalares denominados coeficientes (opesos) de la frmula de derivacin.NOTA:La frmula de derivacin que se acaba de definir puede decirse que es unafrmula lagrangiana pues en ella slo intervienen valores de la funcin f en lospuntos del soporte. Podran considerarse frmulas ms generales, hermitianas,en las que el valor de f(k(x*) fuese aproximado a partir del valor de la funcin f yde algunas de sus derivadas en los puntos del soporte. No obstante, estasltimas frmulas tienen un uso mucho ms espordico que las de tipolagrangiano y es por ello que nos limitaremos a considerar como frmulas dederivacin numrica tan slo a las que hacen intervenir los valores de lafuncin en los puntos del soporte.Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica48En general el valor aproximado (k* f y el valor exacto f(k(x*) diferirn,cometindose un error en la aproximacin de f(k (x*). Es por ello que junto a ladefinicin anterior conviene precisar la definicin del error que con la frmulase comete. En este sentido se introduce la siguiente definicin:Definici 7.2.Siendo (k* f la aproximacin de f(k(x*) que se obtiene operando sin errorde redondeo segn la frmula de derivacin numrica:f(k(x*) (k* f =ni ii 0c .f(x )= se denomina error de truncamiento de la frmula en el punto x* alvalor Rf(x*) = f (k(x*) - (k* fObviamente se verificar que: (k (kf (x*)= f* +Rf(x*) por lo que considerandola frmula en cuestin aplicada a todos los puntos x de un dominio dadopuede definirse la funcin error de truncamiento de la frmula derivacinnumrica para la funcin f considerada como la funcin:Rf : I Rx Rf(x)En el anlisis del error de truncamiento de las frmulas de derivacin numricase perseguir encontrar cotas del valor de esta funcin de error Rf(x) en elintervalo I sobre el que se trabaje.Ejemplo:Siendo {x0 , x1 , x2 } un soporte formado por tres puntos tales que x0 = x1 h yx2 = x1 + h, considerando que x* = x1, la sustitucin de la expresin de f(x1)por:[ ] + " = = 2 1 01 1 0 1 2 2f "(x ) f 2f x ,x ,x f(x ) 2f(x ) f(x )hconduce a una frmula en la que sus coeficientes son c0 = (1/h2) , c1 = (-2/h2) yc2 = (1/h2). Una forma de acotar el error de truncamiento de esta frmula, si sesupone que f(x) es al menos de clase C3([x0, x1]) consiste en considerar losdesarrollos en serie de Taylor siguientes:Derivacin Numrica Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo LpezETSI Minas de la Universidad Politcnica de Madrid.49f(x0) = f(x*-h) = f(x*) - h.f(x*) ++2 3 4( iv0h.f "( x*) h.f "'( x*) h .f ( x * .h)2 3! 4 ! + + 0 (1,0)f(x2) = f(x*+h) = f(x*) + h.f x*) ++2 3 4( iv1h.f "(x*) h.f '''( x*) h .f ( x * .h)2 3! 4!+ + + 1 (0,1)de donde:42 (iv ( iv2 0 0 1f ( x ) f ( x ) 2f ( x*) h f "( x*) h (f ( x * h) f ( x* h))24+ = + + + + + ( ) 2( iv ( iv* 2 0 1f " f ( x* h) 2f ( x*) f ( x * h) f "( x*) h f ( x * h) f (x* h)h 24 + + = = + + + +Por tanto:( ) 2( iv ( ivf 0 0 0 0 1R (x ) f "( x ) f " h f (x* h) f ( x * h)24= = + + +expresin que puede acotarse por:{ }0 12( ivf 0 0 0x (x ,x )R ( x ) f "( x ) f " h . Sup f ( x )12 = Para el caso particular de la funcin f(x) = x4 en que f(x*) = 12(x*)2 se tieneque:+ + += =4 4 4* 2f " (x * h) 2(x*) (x * h)h12(x*)2+ 2h2por lo que el error de truncatura cometido es en este caso Rf(x0) = -2h2.Obsrvese que la acotacin antes realizada conducira (para esta funcin x4) ala acotacin |Rf(x0)| 2h2 coincidente con el valor absoluto del error detruncatura realmente cometido10.10 No siempre las acotaciones del error de truncatura que se obtendrn sern tan finas comola que se acaba de describir.Programacin y Mtodos Numricos Derivacin Numrica50Definici 7.3.Se dice que la frmula de derivacin numrica:= =n(k (k* i ii 0f (x*) f c.f(x)es exacta de orden m para la familia de funciones de clase Ck([x0 , xn]):{ } 0 1 m (x), (x),..., (x),....cuando es nulo el error de truncatura cometido al aplicar la frmula parala estimacin de la k-sima derivada de cualquiera de las (m+1) primerasfunciones de la familia en cualquier punto x* perteneciente al intervalo[x0 , xn]: j 0 n R ( x ) 0 x [ x ,x ], ( j 0,...,m) = =Propiedad 7.1.Si la frmula de derivacin numrica= =n(k (k* i ii 0f (x*) f c.f(x) es exacta deorden m para la familia de funciones { } 0 1 m (x), (x),..., (x),.... entonceses exacta para cualquier combinacin lineal de las (m+1) primerasfunciones de la familiaDemostraci:Si la frmula es exacta de orden m para la familia de funciones consideradasse podr escribir que:[ ]= = n(kj i j i 0 ni 0(x*) c . (x ) x* x ,x (j = 0, ..., m)Por otra parte, una funcin cualquiera que sea combinacin lineal de las (m+1)primeras funciones de la familia ser de la forma:== + + + = m0 0 1 1 m m j jj 0f(x) (x) (x) ..... (x) (x)por lo que su k-sima derivada en cualquier punto x* del intervalo [x0, xn]sepuede expresar como:=