derivacion funciones trascendentes

8/9/2019 derivacion funciones trascendentes

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DERIVACIN DE FUNCIONES TRASCENDENTES.

Funciones Exponencial y logartmica.

Ida y Vuelta

Analicemos las siguientes situaciones:Al pararse una persona ante un espejo, Qu se espera que suceda?Al lanzar una piedra verticalmente hacia arriba Qu se espera que suceda?Al hacer un prstamo en dinero a un amigo Qu se espera que suceda?Al jugar un partido de tenis y lanzar la pelota al adversario Qu se espera quesuceda?

Cuando dos funciones son inversas, sucede algo similar, a las actividadesanteriores, si sta cumple con ciertas condiciones:

La funcin g se llama funcin inversa de la funcin f y se denota por 1 f ,como vemos la funcin g invierte la correspondencia dada por la funcin f, estosiempre y cuando f sa una funcin uno a uno (biunvoca).

Recordemos tambien que si una funcin continua es siempre creciente o siempredecreciente, indica que tiene funcin inversa.

Una funcin expnencial est definida por y = xe , en base ala definicin delogaritmo natural se transforma en x = ln y . las funciones xe y ln y tiene elcomportamiento de funciones inversas, si permutamos x y y de la ecuacin

yln= x resulta ln x= y , que se define como funcin logaritmica.

Dominio DominioX X

Rango Rango Y Y

Y = f (x) x = G (y)Y es la imagen de x bajo la x es la imagen de Y bajo lafuncinFuncin f g


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Grficamente las funciones exponencial f(x) = xe y logaritmica 1ln)( == f x xG quedan de la siguiente forma:

Anlogamente si la funcin exponencial tiene como base a = 10 en lugar de e,basndose en la definicin de logaritmo comn, se transforma en x = log y . lasfunciones a x y log y , tienen el comportamiento de funciones inversas y sipermutamos x y y de la ecuacin x = log y , resulta y = log x , que sedefine como una funcin logartmica su grfica es idntica a la anterior haciendonotar que en lugar de f(x) = ex queda f(x) = ax y en lugar de g(x) = ln x queda

)(log)( 1 x f x x g == .

GRAFICA EXPONENCIAL

0

50

100

150

200

0 2 4 6

VALOR DE X

E X P O N E N C I A L

GRFICA LOGARITMICA

0

1

2

3

4

5

6

0 50 100 150 200

VALOR DE X

V A L O R L O G A R I T M I C


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FRMULAS DE DERIVACIN PARA FUNCIONES LOGARTMICAS YEXPONENCIALES.

Partiendo de la frmula para derivar la funcin ln V, deduciremos las dems

frmulas:

( )

==dxdv

vvdxdv

vdxd 1

ln

( )

=dxdv

ve

vdxd log

log

( )

=dx

dvaaa

dx

d vv ln

( )

=dxdv

eedxd vv

( )

+

=

dxdv

uudxdu

vuudxd vvv ln1

EJEMPLOS DEMOSTRATIVOS.

1) Calcular la derivada de la siguiente funcin logartmica 24ln x y =

Solucin por frmula:

( ) ( )

( )

=

===

2

122

2

2

2

2

2

42

4

4

14

4

14ln

x

xdxd

x

xdxd

xdx

xd y

dxdy

( ) ( )2

2

12

12

2 442

2

4

1 x

x

x

x

x y

=

=

NOTA: Actividad para el alumno:


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Derivar la funcin anterior aplicando propiedades de los logaritmos.

2) Calcular la derivada de la siguiente funcin exponencial xa y 2=

Solucin aplicando propiedades de los logaritmos:a xa y x ln2lnln 2 ==

( ) ( )a xdxd

ydxd

ln2ln =

( ) ( ) ( ) ( )2ln022lnln21

a x xdxd

aadxd

xdxdy

y+=+=

aaa ydx

dy x ln2ln2 2==

NOTA: Actividad para el alumno:

Derivar la funcin anterior aplicando frmulas.

DERIVA LAS SIGUIENTES FUNCIONES:

)1( .1 2 x LnY +=

Solucin:2

2

2

2

12)1(

11))1(ln(

x x

dx xd

xdx x

dxdy

+=+

+=+=

b xdxdy

dxb xd

b x

Ln y

+==++=

+=+=

+=

36)3(

31

2dx

b))1d(2Ln(3x

dx) b)d(Ln(3x

dxdy

: ,solucin

) b(3x.22

2

2)2(

21

dx

))2d(Ln(ax

dxdy

: ,solucin

)2(ax.3

+==++=

+=

+=

axa

dxdy

dxaxd

ax

Ln y

xn

xnx

dxdy

dx xd

Ln y nnn

n ======

22)2(

21

dx

))d(Ln(2x

dxdy

: ,solucin)(2x.41n

n


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x x x eee y 222x

2 2)2(dx

)d(e

dxdy

: ,solucin.5 ====

77)(77dx

)d(7 dxdy ,solucin7.6

nx

Lnnn Ln y nxnxnx ====

( ) x x

x

x x

x ee

e

eeee

y 22x 33)0(

dx

)3

d(

dxdy

,solucin3

.7====

222

2)2(edxdy

,solucin.8 x x x xe xe y ===

t et edx

ed e y t sen sent sen

t sen 3cos3))3(3(cos)(dxdy ,solucin.9 337

33 ====

xe xedx

e y x sen x sen x sen 2cos2)2)(2(cos)d(e

dxdy

,solucin.10 22sen2x

2 ====

HALLAR LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES.

1. aa x Ln y 2,2

x

2x

y sol. )( =+=

2. a Lna y x a6xy sol. 22 3x,3 ==

3. 2222 c, e2bxy sol. x xcbe y ++ ==

4. xe-y sol. xcos,cos sene y x ==

5.12x

2-2x y sol. )12( 2

,2

+=+=

x x x Ln y

6.44x

42x y sol. )44( 2

,2

+++=+= x

x x Ln y


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7. xtg2 y sol. xsec ,2 == Ln y

8. x)(1xelog

y sol. 1

2 log ,

+=+= x x

y

9. 2xarctg

,x

x1aLna

y sol. +

== arctg a y

10. x

x x y2x

e2)log-(2x y sol. )2( log 2

,2

==

FRMULAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS.

( )

=dxdv

v senvdxd

cos

( )

=dx

dv senvv

dx

d cos

( )

=dxdv

vvdxd 2sectan

( )

=dxdv

vvdxd 2csccot

( ) = dxdvvvv

dxd tansecsec

( )

=dx

dvvvv

dx

d cotcsccsc

( )21 v

dxdv

arcsenvdxd

=

( )21

arccosv

dxdv

vdxd

=

( ) 21arctan

vdxdv

vdxd

+=

( ) 21cot

vdxdv

varcdxd

+=

( )1

sec 2 = vvdx

dv

varcdxd

( )1

csc2

=vvdxdv

varcdxd


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( )

=dxdv

senvVersvdxd

( )22 vv

dxdv

arcversvdxd

=

DEMOSTRACION DE FORMULAS TRASCENDENTES

( ) x senxdxd

cos=

( ) ( ) x

senx x x sen senx

dxd

x +=

0lim

= x

senx x xsen x senx x

+

coscoslim

0

= ( ) x

x senx x xsen x

cos1coslim

0

=

x x

senx x

x sen x

x

cos1coslim

0

=

x

x senx

x

x sen x

x x

cos1limlimcos

00

=( )( ) ( )( )01cos senx x

= xcos

1). Calcular la derivada de la siguiente funcin trigonomtrica directa 23 x sen y =

Solucin:

( ) ( ) 2222 3cos633cos3 x x xdxd x x sen

dxd y

dxdy ====

2). Calcular la derivada de la siguiente funcin trigonomtrica inversa

22arctan x y =

Solucin:


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( )( )( )

( )44

12

22

2

2

414

4122

21

22arctan

x x

x x

x

xdxd

xdxd

ydxdy

+=

+=

+===

ACTIVIDAD PRA LOS ALUMNOS.

Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:

1) ( )23tan x x y +=

2)4

arccos3x

y =

3) xarc x y tan.=

4) ( 23tan x x y +=

5). 1+= xCos y

6).

+= x

xSec y

1

7). xCos x sen y 44=

8). 422 ++= x x senarc y

9). x sen x

y33tan=

10). ( )324 5sec x y =

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

SUBE Y BAJA

E

D F

C G

B H

A J

I


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En la grfica tenemos el perfil de una pirmide de base cuadrada, la cual se va aescalar, sabiendo que cada escaln tiene con base 1.00 m y como altura 50 cm. Siuna persona hace el recorrido iniciando en el punto A y terminando en el puntoJ, Cul es el avance y la altura respectiva en cada uno de los puntosintermedios B, C, D, E, F, G, H, e I?

A qu avance corresponde el punto donde la persona est a la altura mxima?.

A qu avance corresponde el punto donde la persona empieza a bajar?.Cuando la persona ha avanzado 12.5 mts. A qu altura se encuentra?.

Cuando la persona ha avanzado 18.5 mts. A qu altura se encuentra?.

Ahora analizaremos el comportamiento de un punto a travs de la grfica de unafuncin; como veremos, distintas y diversas funciones tienen un recorridosemejante al de la persona subiendo y bajando la pirmide.Analicemos el comportamiento de las funciones:

y = x y y = -x ; en un intervalo (-3, 3)

y


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y = x y = -x y = x y = -x

x x

TABLA 1 TABLA 2

y

GRFICA 1

Analizando la tabla 1 y la grfica 1, vemos que los valores de x crecen y losvalores de y tambin crecen, por lo tanto la funcin y = x esCRECIENTE.

En el caso de la tabla 2 y la grfica 1; vemos que los valores de x crecen y losvalores de y decrecen, por lo tanto la funcin y = -x esDECRECIENTE.

En ambos casos si se amplia el intervalo, las dos funciones siguen siendoCRECIENTE y DECRECIENTE,respectivamente.

FUNCIN CRECIENTE.- Es aquella en la que los valores de xcrecen y losvalores de ytambin crecen .

FUNCIN DECRECIENTE.- Es aquella en la que los valores de xcrecen y losvalores de ydecrecen.

De una manera similar analicemos el valor de las funciones: y = x y y = x; en unintervalo igual.

2 x y = y 2 x y =

2 x y =

x x

x y-3 -3-2 -2-1 -1

0 01 12 23 3

x y-3 3-2 2-1 1

0 01 -12 -23 -3

x y-3 9-2 4-1 10 01 12 43 9

x y-3 -9-2 -4-1 -10 01 -12 -43 -9


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2 x y = y

TABLA 3 TABLA 4GRFICA 2

La funcin 2 x y = ; es DECRECIENTE en ( -, 0) y CRECIENTE en (0, ).La funcin 2 x y = ; es CRECIENTE en (-, 0) y DECRECIENTE en (0, ).

En el punto (0, 0), vemos que la pendiente de la tangente (para ambas funciones)es CERO, por lo tanto el punto (0, 0) es un punto crtico y el VALOR x = 0 es unvalor crtico.

Ahora analizaremos un intervalo creciente de la funcin y = x.y

y = x

(+) yx

xx (+)

GRFICA 3Sabemos que si x crece, y crece y los incrementos al pasar del punto A alpunto B, (x y y) tendrn el mismo signo y las tangentes por dichos puntos (A yB) forman ngulos agudos con el eje x, por lo tanto la pendiente de las tangenteses positiva (grfica 3).

y

(-) y


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x x (+)GRFICA 4

De la misma manera en un intervalo decreciente, sabemos que si x crece, ydecrece y los incrementos x y y al pasar de un punto A a un punto B tendrnsignos opuestos y las tangentes por dichos puntos, forman ngulos obtusos con eleje x, por lo tanto su pendiente es negativa. (Grfica 4).

De lo anterior podemos afirmar que:

Una funcin es CRECIENTE en un punto dado, si el valor de su primera derivadaes POSITIVO.

Una funcin es DECRECIENTE en un punto dado, si el valor de la primeraderivada es NEGATIVO.

Regresemos a las funciones y = x y y = -x y sustituyendo valores de x dondesabemos de antemano que la funcin es CRECIENTE o DECRECIENTE comox = -1 y x = 1.Sea la funcin: Sea la funcin:

y = x y = -xy = 2x y = -2x

si x = -1 si x = -1

y = 2 (-1) y = -2 (-1)y = -2 y = +2como la y es negativa como la y es positivay = x es decreciente en x = -1 y = -x es creciente en x = -1

si x = 1 si x = 1

y = 2 (1) y =-2 (1)y = 2 y = -2como la y es positiva como la y es negativay = x es creciente en x = 1 y = -x es decreciente en x = 1

Lo cual podemos comprobar en la grfica N 2.


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En general:

Una funcin es CRECIENTE en un intervalo, si para cualquier par de nmeros x1,x2 del intervalo, x1< x2, implica (x1) < (x2).

Una funcin es DECRECIENTE en un intervalo, si para cualquier par de nmerosx1, x2 del intervalo, x1 < x2 implica (x1) > (x2).

Veamos el siguiente ejemplo:

Hallar los intervalos en que la funcin x x x y 96 23 += es creciente o decreciente:

x x x y 96 23 +=

1. Calcular y 9123 2 += x x y

2. Igualando 0= y09123 2 =+ x x

Simplificando la expresin tenemos:0342 =+ x x

Resolviendo por factorizacin la expresin 0342 =+ x x tenemos:

( )( ) 013 = x x

03 = x 01 = x

31 = x 12 = x Valores crticos, 31 = x , 12 = x

Los puntos crticos representan el valor de x donde la funcin cambia deCRECIENTE a DECRECIENE o viceversa.

De lo anterior podemos decir que la funcin cambia de (-,1), (1,3) y de (3, +).

Considerando un valor 0= x del intervalo (-,1) y lo sustituimos en y tenemos:9123 2 += x x y

( ) ( ) 901203 2 += y90-0 += y

9= yComo 0> y , La funcin es CRECIENTE.


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Considerando un valor 2= x del intervalo (1,3) y lo sustituimos en y tenemos:9123 2 += x x y

( ) ( ) 921223 2 += y92412 += y

3= yComo 0 y , La funcin es CRECIENTE.Al graficar x x x y 96 23 += podemos observar que la funcin crece de (-,1),decrece de (1,3) y crece de (3,+).

x x x y 96 23 += y4

2

1 2 3 4

En las siguientes funciones, determinar los intervalos en los que la funcin escreciente o decreciente. Construir las grficas correspondientes.

a) 154 34 += x x y

b)92

2

= t t

s

c)2

3 23 vvu =

d) 225 x x y =

e) t t t s 3632 23 =f) 132 += ww z

Verifica si las funciones dadas son crecientes o decrecientes en los valoresindicados

x y0 01 42 23 0

4 4

x


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Qu propones para resolver este problema?.Cul es la informacin de la que dispones?.Se puede establecer una funcin que nos de la solucin?.

Problemas como los dos anteriores, que se resolvern ms adelante, consisten enobtener el mximo o el mnimo. En el primero se desea el volumen mximo, en elsegundo, que el gasto de papel sea mnimo. Como este, existen gran variedad deproblemas en los que se buscan maximizar o minimizar reas, volmenes,tiempos, costos, gastos, material, velocidades, etc.

En este capitulo aprenders a calcular el mximo o el mnimo de una funcin y enel siguiente resolvers problemas de aplicacin como los dos planteados al inicio.Aplicando la derivada de una funcin, determinamos los intervalos en que lafuncin es creciente o decreciente, ahora la utilizaremos para analizar los puntosen que la funcin cambia de creciente a decreciente o viceversa, generando lospuntos mximos o mnimos de una funcin.

Un mximo y un mnimo, no significa que sean el mayor o el menor valor de lafuncin, por eso se especifica qu son mximos y mnimos locales o tambinmximos y mnimos relativos y no deben confundirse con los puntos cuyaordenada es la mayor o la menor de la grfica completa.

Los valores de x donde existe un mximo o un mnimo relativo de la funcin, seles define como valores crticos y a los puntos correspondientes se les definecomo puntos crticos.

En un mximo relativo, la funcin cambia de creciente a decreciente, es decir, laderivada cambia de un valor positivo a un valor negativo. (GRAFICA 1).

En un mnimo relativo, la funcin cambia de decreciente a creciente, es decir, laderivada cambia de un valor negativo a un valor positivo: (GRAFICA 1).

y MXIMOABSOLUTO

MXIMORELATIVOm = 0

m (+) m (-)

a cx

b 0d

MNIMO m (-) m (+)ABSOLUTO m = 0

MNIMO RELATIVO

GRFICA 1


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Sea la funcin y = 2x 9x + 12x 3, analiza si tiene mximos y/o mnimos.

Qu vas a hacer?, Conoces su derivada?, Conoces sus puntos crticos?,Sabes si es creciente o decreciente?, En qu intervalos?, Si hay un mximo,en qu punto se localiza?, Conoces su grfica?, La grfica de la funcin teayudara a resolver el problema?, Conoces algn procedimiento para resolver elproblema?.Con los conocimientos previos, escribe un plan de solucin para tu problema,ordenndolos segn prioridades.

Sea la funcin y = 2x - 9x + 12x 3; para obtener sus mximos y/o mnimos,aplicamos el criterio de la primera derivada:

y = 2x - 9x + 12x 3

1 Calcular y y = 6x - 18 x + 12

2 Igualar 0

= y

6x - 18x + 12 = 0Factorizando la expresin anterior e igualando a cero cada factor se obtienen losvalores crticos.

(x-1) (x-2) = 0 Valores crticos x1 = 1, x2 = 2

De lo anterior podemos decir que la funcin cambia de (-,1), (1, 2) y de (2, +).

Analizando el valor crtico x1=1

Considerando un valor 0= x Considerando un valor 23= x

tomndolo del intervalo (-,1) tomndolo del intervalo (1, 2)y lo sustituimos en y tenemos: y lo sustituimos en y tenemos:

232 += x x y 232 += x x y

( ) ( ) 2030 2 += y 223

323

2

+

= y

20-0 += y 229

49 +

= y

2= y81= y

Como 0> y Como 0


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tomndolo del intervalo (1, 2) tomndolo del intervalo (1, 2)y lo sustituimos en y tenemos: y lo sustituimos en y tenemos:

232 += x x y 232 += x x y

223

323

2

+

= y ( ) ( ) 2333 2 += y

229

49 +

= y 299 += y

8

1= y 2= y

Como 0 yLa funcin es DECRECIENTE. La funcin es CRECIENTE.

MNIMO

La funcin y = 2x - 9x + 12x 3 tiene un valor MNIMO para el valor crtico x=2.

Sustituyendo el valor crtico en la funcin, se obtiene el valor MNIMO de y = 1.

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MXIMO de la funcin, seencuentra en el punto (1, 2) y que el valor MNIMO de la misma, se encuentra enel punto (2,1).

Encuentre los valores mximo y mnimo absoluto de la funcin ( ) 222

+= x x x f .( ) 222 += x x x f

1 Calcular y 22 = x y

2 Igualar 0= y 022 = x

Resolviendo la ecuacin resultante se obtiene el valor crtico x = 1.


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tomndolo del intervalo (-,2) tomndolo del intervalo (2, +)y lo sustituimos en y tenemos: y lo sustituimos en y tenemos:

42 = x y 42 = x y

( ) 412 = y ( ) 432 = y42 = y 46 = y2= y 2= y

Como 0 yLa funcin es DECRECIENTE. La funcin es CRECIENTE.

MNIMO

La funcin 142 += x x y tiene un valor MNIMO para el valor crtico x=2.

Sustituyendo el valor crtico en la funcin, se obtiene el valor MNIMO de y = -3.

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MNIMO de la funcin, seencuentra en el punto (2, -3).

MXIMOS Y MNIMOS APLICANDO EL CRITERIO DE LA SEGUNDADERIVADA:

1 Se obtiene la primera derivada de la funcin.2 La primera derivada se iguala a cero y se calculan las races reales de laecuacin resultante, que representan los valores crticos de la ecuacin.3 Se obtiene la segunda derivada de la funcin.4 Se sustituye en la segunda derivada, en el lugar de la variable, cada uno de losvalores crticos obtenidos; si el valor resultante es positivo , la funcin tiene unMNIMO para el valor crtico que se est analizando; si el resultado es negativo , lafuncin tiene un MXIMO para el valor crtico que se analiza, si el valor de la

segunda derivada es cero, no podemos decir si existe mximo o mnimo, oposiblemente ni uno ni otro.

El procedimiento de la segunda derivada, no es aplicable, si la segunda derivadaes igual a CERO o no existe, en tal caso se aplica el procedimiento de la primeraderivada.


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Para comprobar los ejemplos desarrollados con el criterio de la primera derivada,ahora los resolveremos con el criterio de la segunda derivada, haciendo notar quelos pasos 1 y 2 de ambos criterios son iguales.

Ejemplo 1:

Sea la funcin 31292 23 += x x x y ; para obtener sus mximos y/o mnimos,aplicamos el criterio de la primera derivada:

31292 23 += x x x y

1 Calcular y 12186 2 += x x y

2 Igualar 0= y 012186 2 =+ x x

Factorizando la expresin anterior e igualando a cero cada factor se obtienen losvalores crticos.

(x-1) (x-2) = 0 Valores crticos x1 = 1, x2 = 2


Analizando el valor crtico x1=1 Analizando el valor crtico x1=2

1812 = x y 1812 = x y( ) 18112 = y ( ) 18212 = y

18-12= y 18-24= y6= y 6= y

Como 0 yLa funcin tiene un MXIMO. La funcin tiene un MNIMO.

La funcin 31292 23 += x x x y tiene un valor MXIMO para el valor crtico x=1.

Sustituyendo el valor crtico en la funcin, se obtiene el valor MXIMO de y = 2.

La funcin 31292 23 += x x x y tiene un valor MNIMO para el valor crtico x=2.



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En base a lo anterior podemos concluir que el valor MXIMO de la funcin, seencuentra en el punto (1, 2) y que el valor MNIMO de la misma, se encuentra enel punto (2,1).

Ejemplo 2.- Encuentre los valores mximo y/o mnimo absoluto de la funcin( ) 222 += x x x f .

( ) 222 += x x x f 1 Calcular y 22 = x y



3 Calcular y 2= y


2= y

Como 0> yLa funcin tiene un MNIMO.

La funcin ( ) 222 += x x x f tiene un valor MNIMO para el valor crtico x=1.


En base a lo anterior podemos concluir que el valor MNIMO de la funcin, seencuentra en el punto (1, 1).

Ejemplo 3.- Examine la funcin 142 += x x y y determine si tiene mximo o

mnimo:142 += x x y





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3 Calcular y 2= y

Analizando el valor crtico x = 2

2= y

Como 0> yLa funcin tiene un MNIMO.

La funcin 142 += x x y tiene un valor MNIMO para el valor crtico x=2.

Sustituyendo el valor crtico en la funcin, se obtiene el valor MNIMO de y = -3.

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MNIMO de la funcin, seencuentra en el punto (2, -3).

Examine si tienen mximo o mnimo las siguientes funciones:a) 262 x x y += f) ( ) 233 += x x x f

b) x x y =27

3

g) ( ) 2311

x x f

+=

c)12

3 x x y = h) ( ) ( )31= x x f

d) 210 23 += x x y

e) 154 23 ++= x x x y

PLATOS, TAPAS, ANTENAS PARABLICAS, FAROS DE LUZ Y ANEXAS.


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CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION.

PLATOS, ANTENAS PARABLICAS, FAROS DE LUZ

Hasta este punto hemos manejado trminos como creciente, decreciente, mximo,mnimo, crtico; que desde el punto de vista matemtico hemos definido. Los

trminos concavidad e inflexin se presentan ahora, y vamos a ver cmo sedefinen de acuerdo a un diccionario y compararlos con su definicin matemtica.

De un diccionario obtn la definicin de las siguientes palabras:

Creciente:Decreciente:Mximo:Mnimo:Crtico:Concavidad:

Inflexin:Busca en un diccionario de sinnimos y antnimos las siguientes palabras:

Creciente:Decreciente:Mximo:Mnimo:

ALTOTOPES


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Crtico:Concavidad:Inflexin:

Deduce conclusiones de las actividades 1) y 2) y comntalas con tus compaeros.

Observe la curva definida por y = f (x) que se muestra en la grfica.

Y C

AB

X

Sabemos que en el punto A la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente dela tangente a la izquierda de A es positiva y a la derecha es negativa, por lo tantola curva en el punto A es cncava hacia abajo .

En el punto B, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente ala izquierda de A es negativa y a la derecha es positiva, por lo tanto la curva en elpunto B es cncava hacia arriba + .

En el punto C, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente ala izquierda es positiva y a la derecha tambin es positiva, es decir no cambia designo, slo cambia el sentido de concavidad, por lo tanto no existe ni mximo,mnimo, a este punto se le define como PUNTO DE INFLEXIN.

Para calcular el sentido de concavidad de una funcin sigamos el proceso de lasegunda derivada:

1 Calcular la primera y segunda derivada de la funcin.2 Igualar la segunda derivada a cero y obtener las races (puntos crticos) dela ecuacin resultante.3 Analizamos la segunda derivada; si para un valor menor que la razobtenemos un resultado NEGATIVO la curva es CNCAVA HACIA ABAJO4 Si el resultado es POSITIVO, la curva es CNCAVA HACIA ARRIBA.

Dicho de otra manera:

Si f (x) > 0, es condicin para que una curva sea CNCAVA HACIA ARRIBA +Si f (x) < 0; es condicin para que una curva sea CNCAVA HACIA ABAJO


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Para determinar los puntos de inflexin de una CURVA se sigue el mismo procesoanterior, slo que el punto tres tiene una variacin:

Calcular la primera y segunda derivada de la funcin.Igualar la segunda derivada a cero y obtener las races (punto crtico) de la

ecuacin resultante.Analizamos la segunda derivada. Si para un valor menor que la raz y para otrovalor mayor que la raz cambia de signo al sustituir los valores en la segundaderivada, entonces hay punto de inflexin en el punto crtico analizado.

Ejemplo 1.- Calcula la concavidad de la funcin 1632 23 ++= x x x y , y el puntode inflexin si existe.

1632 23 ++= x x x y

1 Calcular y 666 2 += x x y

Calcular y 612 = x y

2 Igualar 0= y 0612 = x

Resolviendo la expresin anterior se obtiene el valor crtico21= x .

De lo anterior podemos decir que la funcin cambia de

21

, , y de

+,21 .

Analizando el valor crtico 21

= x


tomndolo del intervalo

21

, tomndolo del intervalo

21

,

y lo sustituimos en y tenemos: y lo sustituimos en y tenemos:

612 = x y 612 = x y( ) 6012 = y ( ) 6112 = y

60 = y 612 = y6= y 6= y

Como 0 y

La curva es: La curva es:CNCAVA HACIA ABAJO. CNCAVA HACIA ARRIBA.En base a que la concavidad de la curva cambia, podemos concluir que para elvalor crtico

21= x , la funcin tiene un punto de inflexin.


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Ejemplo 1.- Calcula la concavidad de la funcin 2x-3

x 2

4

= y , y el punto de

inflexin si existe.

2x-3

x 2

4

= y

1 Calcular y 4x- 3

4x

3

= y

Calcular y 44 2 = x y

2 Igualar 0= y 044 2 = x

Factorizando la expresin anterior e igualando a cero, se obtienen los valorescrticos.

( ) 0142

= x Valores crticos x1 = -1, x2 = 1De lo anterior podemos decir que la funcin cambia de (-,-1), (-1, 1) y de (1, +).

Analizando el valor crtico x1= -1

Considerando un valor 2= x Considerando un valor 0= xtomndolo del intervalo (-,-1) tomndolo del intervalo (-1, 1)y lo sustituimos en y tenemos: y lo sustituimos en y tenemos:

44 2 = x y 44 2 = x y( ) 424 2 = y ( ) 404 2 = y( ) 444 = y ( ) 404 = y

416 = y 40 = y12= y 4= y

Como 0> y Como 0


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( ) 404 2 = y ( ) 424 2 = y( ) 404 = y ( ) 444 = y

40 = y 416 = y4= y 12= y

Como 0 y

La curva es: La curva es:CNCAVA HACIA ABAJO. CNCAVA HACIA ARRIBA.

Debido a que la concavidad de la curva cambia, podemos concluir que para elvalor crtico 1= x , la funcin tiene un punto de inflexin.

Calcular el sentido de concavidad y puntos de inflexin de las funcionessiguientes, en los puntos que se indican.

a) y = x + 2x - 4x 2 en x = -1, x = 0 Sol. +b) f (x) = x - x + 3 en x = - 3/5; x = 0; x = 2 Sol. ;+

c) y = x - 6x + 9x + 2en x = - 1; x = 0 Sol. ;

Calcula en qu intervalos las curvas siguientes son cncavas hacia arriba ocncava hacia abajo.

d) 362 23 += x x y Sol. , a la izquierda de x = 1+ , a la derecha de x = 1

e) ( ) 553 x x x f += Sol. + , a la izquierda de x = 0, a la derecha de x = 0

f)31

-3x- 3

x

23 = x y Sol. , a la izquierda de x

= 1+ , a la derecha de x = 1

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