Derivacion Numerica - 47

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PreliminaresMétodos de Derivación Numérica

Contenido

1 PreliminaresIntroducción

2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

DERIVACIÓN NUMÉRICA

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Introducción

Contenido

1 PreliminaresIntroducción

2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

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PreliminaresMétodos de Derivación Numérica

Introducción

Introducción

Las fórmulas de derivación numérica son importantes en eldesarrollo de algoritmos para resolver problemas de contornode ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones enderivadas parciales.

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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Contenido

1 PreliminaresIntroducción

2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

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C

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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

El Límite del Cociente Incremental

Se busca aproximar numéricamente la derivada de f (x ):

f (x ) =lim

h→0

f (x  + h ) − f (x )

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El Lí it d l C i t I t l

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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

El Límite del Cociente Incremental

Método: 

Se elige una sucesión {h k } tal que h k  → 0 y se calcula el límitede la sucesión

D k  =f (x  + h k ) − f (x )

h k ;

para k  = 1, 2.......

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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

El Límite del Cociente Incremental

Los términos de la sucesión {D k }se calculan hasta que

|D N +1 − D N | ≥ |D N  − D N −1| ;

la intención es tratar de determinar la mejor aproximación

antes de que los términos empiecen a alejarse del límite.

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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Contenido

1 PreliminaresIntroducción

2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Fórmulas de Diferencias Centradas

Son fórmulas de aproximación a f (x ) que requieren que lafunción se pueda evaluar en abcisas situadas simétricamente aambos lados del punto x 0 (donde se desea hallar la derivada).

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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Fórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 2)

(1) f (x 0) ≈ f 1 − f −1

2h 

(2) f (x 0) ≈f 1 − 2f 0 + f −1

h 2

(3) f (3)(x 0) ≈f 2 − f 1 + 2f −1 − f −2

2h 3

(4) f (4)

(x 0) ≈f 2 − 4f 1 + 6f 0 − 4f −1 + f −2

h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −2, −1, 0, 1, 2

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El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Fórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 2)

(1) f (x 0) ≈ f 1 − f −1

2h 

(2) f (x 0) ≈f 1 − 2f 0 + f −1

h 2

(3) f (3)(x 0) ≈f 2 − f 1 + 2f −1 − f −2

2h 3

(4) f (4)

(x 0) ≈f 2 − 4f 1 + 6f 0 − 4f −1 + f −2

h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −2, −1, 0, 1, 2

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te de Coc e te c e e taFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Fórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 2)

(1) f (x 0) ≈ f 1 − f −1

2h 

(2) f (x 0) ≈f 1 − 2f 0 + f −1

h 2

(3) f (3)(x 0) ≈f 2 − f 1 + 2f −1 − f −2

2h 3

(4) f (4)

(x 0) ≈f 2 − 4f 1 + 6f 0 − 4f −1 + f −2

h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −2, −1, 0, 1, 2

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Fórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Fórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 2)

(1) f (x 0) ≈ f 1 − f −1

2h 

(2) f (x 0) ≈ f 1 − 2f 0 + f −1

h 2

(3) f (3)(x 0) ≈f 2 − f 1 + 2f −1 − f −2

2h 3

(4) f (4)

(x 0) ≈f 2 − 4f 1 + 6f 0 − 4f −1 + f −2

h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −2, −1, 0, 1, 2

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Fórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Fórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 2)

(1) f (x 0) ≈ f 1 − f −1

2h 

(2) f (x 0) ≈ f 1 − 2f 0 + f −1

h 2

(3) f (3)(x 0) ≈f 2 − f 1 + 2f −1 − f −2

2h 3

(4) f (4)

(x 0) ≈

f 2 − 4f 1 + 6f 0 − 4f −1 + f −2

h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −2, −1, 0, 1, 2

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Fórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Fórmulas de Diferencias Centradas

Cuando se hacen los cálculos con un computador, no es

aconsejable elegir h demasiado pequeño; por eso seríaútil disponer de fórmulas que aproximen las derivadas def (x ) con un error de truncamiento de orden O (h 4).

Se logra la misma precisión con un incremento mayor.

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Fórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Fórmulas de Diferencias Centradas

Cuando se hacen los cálculos con un computador, no es

aconsejable elegir h demasiado pequeño; por eso seríaútil disponer de fórmulas que aproximen las derivadas def (x ) con un error de truncamiento de orden O (h 4).

Se logra la misma precisión con un incremento mayor.

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P li iEl Límite del Cociente IncrementalFó l d Dif i C t d

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Fórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 4)

(5) f (x 0) ≈− f 2 + 8f 1 − 8f −1 + f −2

12h 

(6) f (x 0) ≈− f 2 + 16f 1 − 30f 0 + 16f −1 − f −2

12h 2

(7) f (3)(x 0) ≈− f 3 + 8f 2 − 13f 1 + 13f −1 − 8f −2 + f −3

8h 3

(8) f (4)

(x 0) ≈

− f 3 + 12f 2 − 39f 1 + 56f 0 − 39f −1 + 12f −2 − f −3

6h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

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PreliminaresEl Límite del Cociente IncrementalFórm las de Diferencias Centradas

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Fórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 4)

(5) f (x 0) ≈− f 2 + 8f 1 − 8f −1 + f −2

12h 

(6) f (x 0) ≈− f 2 + 16f 1 − 30f 0 + 16f −1 − f −2

12h 2

(7) f (3)(x 0) ≈− f 3 + 8f 2 − 13f 1 + 13f −1 − 8f −2 + f −3

8h 3

(8) f (4)

(x 0) ≈

− f 3 + 12f 2 − 39f 1 + 56f 0 − 39f −1 + 12f −2 − f −3

6h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

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Fórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 4)

(5) f (x 0) ≈− f 2 + 8f 1 − 8f −1 + f −2

12h 

(6) f (x 0) ≈− f 2 + 16f 1 − 30f 0 + 16f −1 − f −2

12h 2

(7) f (3)(x 0) ≈− f 3 + 8f 2 − 13f 1 + 13f −1 − 8f −2 + f −3

8h 3

(8) f 

(4)

(x 0) ≈

− f 3 + 12f 2 − 39f 1 + 56f 0 − 39f −1 + 12f −2 − f −3

6h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

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Fórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 4)

(5) f (x 0) ≈− f 2 + 8f 1 − 8f −1 + f −2

12h 

(6) f (x 0) ≈ − f 2 + 16f 1 − 30f 0 + 16f −1 − f −2

12h 2

(7) f (3)(x 0) ≈− f 3 + 8f 2 − 13f 1 + 13f −1 − 8f −2 + f −3

8h 3

(8) f 

(4)

(x 0) ≈

− f 3 + 12f 2 − 39f 1 + 56f 0 − 39f −1 + 12f −2 − f −3

6h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

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Fórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O (h 4)

(5) f (x 0) ≈− f 2 + 8f 1 − 8f −1 + f −2

12h 

(6) f (x 0) ≈ − f 2 + 16f 1 − 30f 0 + 16f −1 − f −2

12h 2

(7) f (3)(x 0) ≈− f 3 + 8f 2 − 13f 1 + 13f −1 − 8f −2 + f −3

8h 3

(8) f 

(4)

(x 0) ≈

− f 3 + 12f 2 − 39f 1 + 56f 0 − 39f −1 + 12f −2 − f −3

6h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

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Contenido

1 PreliminaresIntroducción

2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias Centradas

Fórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

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Métodos de Derivación Numérica Fórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas

Si sólo se puede evaluar la función en abcisas que estánen un lado de x 

0, entonces la Fórmulas de Diferencias

Centradas no pueden usarse.

Las fórmulas que utilizan abcisas equiespaciadas queestán todas a derecha (o izquierda) de x 0 se llaman

Fórmulas de Diferencias Progresivas (o Regresivas).

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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas

Si sólo se puede evaluar la función en abcisas que estánen un lado de x 

0, entonces la Fórmulas de Diferencias

Centradas no pueden usarse.

Las fórmulas que utilizan abcisas equiespaciadas queestán todas a derecha (o izquierda) de x 0 se llaman

Fórmulas de Diferencias Progresivas (o Regresivas).

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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas

Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O (h 2)

(9) f (x 0) ≈ − 3f 0 + 4f 1 − f 22h 

(10) f (x 0) ≈ 2f 0 − 5f 1 + 4f 2 − f 3h 2

(11) f (3)(x 0) ≈ − 5f 0 + 18f 1 − 24f 2 + 14f 3 − 3f 42h 3

(12) f 

(4)

(x 0) ≈

3f 0 − 14f 1 + 26f 2 − 24f 3 + 11f 4 − 2f 5

h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = 0, 1, 2, 3, 4, 5

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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas

Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O (h 2)

(9) f (x 0) ≈ − 3f 0 + 4f 1 − f 22h 

(10) f (x 0) ≈ 2f 0 − 5f 1 + 4f 2 − f 3h 2

(11) f (3)(x 0) ≈ − 5f 0 + 18f 1 − 24f 2 + 14f 3 − 3f 42h 3

(12) f 

(4)

(x 0) ≈

3f 0 − 14f 1 + 26f 2 − 24f 3 + 11f 4 − 2f 5

h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = 0, 1, 2, 3, 4, 5

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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas

Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O (h 2)

(9) f (x 0) ≈ − 3f 0 + 4f 1 − f 22h 

(10) f (x 0) ≈ 2f 0 − 5f 1 + 4f 2 − f 3h 2

(11) f (3)(x 0) ≈ − 5f 0 + 18f 1 − 24f 2 + 14f 3 − 3f 42h 3

(12) f 

(4)

(x 0) ≈

3f 0 − 14f 1 + 26f 2 − 24f 3 + 11f 4 − 2f 5

h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = 0, 1, 2, 3, 4, 5

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Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O (h 2)

(9) f (x 0) ≈ − 3f 0 + 4f 1 − f 22h 

(10) f (x 0) ≈ 2f 0 − 5f 1 + 4f 2 − f 3h 2

(11) f (3)(x 0) ≈ − 5f 0 + 18f 1 − 24f 2 + 14f 3 − 3f 42h 3

(12) f 

(4)

(x 0) ≈

3f 0 − 14f 1 + 26f 2 − 24f 3 + 11f 4 − 2f 5

h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = 0, 1, 2, 3, 4, 5

DERIVACIÓN NUMÉRICA 

PreliminaresMétodos de Deri ación N mérica

El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórm las de Diferencias Progresi as Regresi as

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Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas

Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O (h 2)

(13) f (x 0) ≈ 3f 0 − 4f −1 + f −2

2h 

(14) f (x 0) ≈ 2f 0−

5f −1 + 4f −2−

f −3h 2

(15) f (3)(x 0) ≈5f 0 − 18f −1 + 24f −2 − 14f −3 + 3f −4

2h 3

(16) f (4)(x 0) ≈3f 0 − 14f −1 + 26f −2 − 24f −3 + 11f −4 − 2f −5

4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −5, −4, −3, −2, −1, 0

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Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O (h 2)

(13) f (x 0) ≈ 3f 0 − 4f −1 + f −2

2h 

(14) f (x 0) ≈ 2f 0−

5f −1 + 4f −2−

f −3h 2

(15) f (3)(x 0) ≈5f 0 − 18f −1 + 24f −2 − 14f −3 + 3f −4

2h 3

(16) f (4)(x 0) ≈3f 0 − 14f −1 + 26f −2 − 24f −3 + 11f −4 − 2f −5

4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −5, −4, −3, −2, −1, 0

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Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O (h 2)

(13) f (x 0) ≈ 3f 0 − 4f −1 + f −2

2h 

(14) f (x 0) ≈ 2f 0−

5f −1 + 4f −2−

f −3h 2

(15) f (3)(x 0) ≈5f 0 − 18f −1 + 24f −2 − 14f −3 + 3f −4

2h 3

(16) f (4)(x 0) ≈3f 0 − 14f −1 + 26f −2 − 24f −3 + 11f −4 − 2f −5

h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −5, −4, −3, −2, −1, 0

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Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O (h 2)

(13) f (x 0) ≈ 3f 0 − 4f −1 + f −2

2h 

(14) f (x 0) ≈ 2f 0−

5f −1 + 4f −2−

f −3h 2

(15) f (3)(x 0) ≈5f 0 − 18f −1 + 24f −2 − 14f −3 + 3f −4

2h 3

(16) f (4)(x 0) ≈3f 0 − 14f −1 + 26f −2 − 24f −3 + 11f −4 − 2f −5

h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −5, −4, −3, −2, −1, 0

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Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O (h 2)

(13) f (x 0) ≈ 3f 0 − 4f −1 + f −2

2h 

(14) f (x 0) ≈ 2f 0−

5f −1 + 4f −2−

f −3h 2

(15) f (3)(x 0) ≈5f 0 − 18f −1 + 24f −2 − 14f −3 + 3f −4

2h 3

(16) f (4)(x 0) ≈3f 0 − 14f −1 + 26f −2 − 24f −3 + 11f −4 − 2f −5

h 4

f k  = f (x 0 + kh ); k  = −5, −4, −3, −2, −1, 0

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g y gDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Contenido

1 PreliminaresIntroducción

2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

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g y gDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Se mostrará la relación que existe entre las fórmulas deorden O (h 2) para aproximar f (x ) y un algoritmo generalque permite calcular derivadas numéricamente.

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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Recordar que el Polinomio Interpolador de Newton (PIN) P (t )de grado N  = 2 que aproxima f (t ) usando los nodos t 0, t 1 y t 2,viene dado por

P (t ) = a 0 + a 1(t  − t 0) + a 2(t  − t 0)(t  − t 1),

(1)siendo

a 0 = f (t 0)

a 1 =

f (t 1) − f (t 0)

t 1 − t 0

a 2 =

f (t 2)−f (t 1)t 2−t 1

− f (t 1)−f (t 0)t 1−t 0

t 2 − t 0

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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

La derivada de P (t ) es

P (t ) = a 1 + [a 2(t − t 1) + a 2(t − t 0)] = a 1 + a 2 [(t − t 1) + (t − t 0)] (2)

que evaluada en t  = t 0, produce

P (t 0) = a 1 + a 2(t 0 − t 1) ≈ f (t 0). (3)

En (a), (b) y (c) no hace falta que los nodos {t k } esténequiespaciados. Ordenando los nodos de maneras distintasobtendremos fórmulas de aproximación a f (x ) distintas.

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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Caso 1: 

Si t 0 = x , t 1 = x  + h , t 2 = x  + 2h  , entonces

a 1 =f (x  + h ) − f (x )

a 2 =f (x +2h )−f (x +h )

h − f (x +h )−f (x )

2h =

f (x ) − 2f (x  + h ) + f (x  + 2h )

2h 2

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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

y al sustituir estos valores en (c), obtenemos

P (x ) =f (x  + h ) − f (x )

+(−h ) [f (x ) − 2f (x  + h ) + f (x  + 2h )]

2h 2

=f (x  + h ) − f (x )

h +

−f (x ) + 2f (x  + h ) − f (x  + 2h )

2h 

=2f (x  + h ) − 2f (x ) − f (x ) + 2f (x  + h ) − f (x  + 2h )

2h 

= −3f 

(x 

) +4f 

(x 

+h 

) −f 

(x 

+2h 

)2h  ≈ f (x ),

que es la fórmula (9).

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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Caso 2: 

Si t 0 = x , t 1 = x  + h , t 2 = x  − h  , entonces

a 1 =f (x  + h ) − f (x )

a 2 =

f (x −h )−f (x +h )−2h 

− f (x +h )−f (x )h 

−h =

f (x −h )−f (x +h )+2f (x +h )−2f (x )−2h 

−h 

= f (x  + h ) − 2f (x ) + f (x  − h )2h 2

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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

y al sustituir estos valores en (c), obtenemos

(x ) =f (x  + h ) − f (x )

h  +−f (x  + h ) + 2f (x ) − f (x  − h )

2h 

=2f (x  + h ) − 2f (x ) − f (x  + h ) + 2f (x ) − f (x  − h )

2h 

=f (x  + h ) − f (x  − h )

2h ≈ f (x ),

que es la fórmula (1).

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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Caso 3: 

Si t 0 = x , t 1 = x  − h , t 2 = x  − 2h  , entonces

a 1 =f (x  − h ) − f (x )

−h =

f (x ) − f (x  − h )

a 2 =

f (x −2h )−f (x −h )−h 

− f (x )−f (x −h )h 

−2h =

−f (x −h )+f (x −2h )+f (x )−f (x −h )−h 

−2h 

= f (x ) − 2f (x  − h ) + f (x  − 2h )2h 2

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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

y al sustituir estos valores en (c), obtenemos

(x ) =f (x ) − f (x  − h )

h  +f (x ) − 2f (x  − h ) + f (x  − 2h )

2h 

=2f (x ) − 2f (x  − h ) + f (x ) − 2f (x  − h ) + f (x  − 2h )

2h 

=3f (x ) − 4f (x  − h ) + f (x  − 2h )

2h ≈ f (x ),

que es la fórmula (13).

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Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Generalización: 

El Polinomio Interpolador de Newton (PIN) P (t ) de grado N queaproxima f (t ) usando los nodos t 0, t 1, ...., t N  viene dado por

P (t ) = a 0 + a 1(t  − t 0) + a 2(t  − t 0)(t  − t 1) + a 3(t  − t 0)(t  − t 1)(t  − t 2)

+........ + a N (t  − t 0).....(t  − t N −1).

La derivada de P (t ) es

(t ) = a 1 + a 2 [(t − t 0) + (t − t 1)] + a 3 [(t − t 0)(t − t 1) + (t − t 0)(t − t 2) + (t − t 1)(t − t 2)]

+........ + a N 

N −1X

k =0

N −1Y

 j =0

(t − t  j ) para j = k .

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p

Derivada del Polinomio Interpolador de Newton

Evaluando P (t ) en t  = t 0,

P (t 0) = a 1 + a 2(t 0 − t 1) + a 3(t 0 − t 1)(t 0 − t 2) + ........

+a N (t 0 − t 1)(t 0 − t 2)(t 0 − t 3).....(t 0 − t N −1) f 

(t 0).

(4)

Si|t 0 − t 1| ≤ |t 0 − t 2| ≤ ...... ≤ |t 0 − t N |

y si {t  j }N  j =0 es un conjunto equiespaciado (quizáreordenándolos) de N  + 1 nodos, entonces la suma parcialN-ésima de (*) es una aproximación a f (t 0) de orden O (h N ).

DERIVACIÓN NUMÉRICA 

Apéndice

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Bibliografía

MATHEWS, John; KURTIS, Fink.Métodos Numéricos con MATLAB .Prentice Hall, 2000.

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