Clase 6 - Prueba de Hipotesis y Usos Chi Cuadrado

Estadística FI – 2012 Mauro Marcinkevicius

Prueba de Hipótesis

¿Qué es una prueba de hipótesis?

Es una técnica estadística que nos sirve para juzgar si una propiedad (parámetro) en una población es compatible con lo observado en una muestra de dicha población.



¿Qué es una prueba de hipótesis?

Es una técnica estadística que nos sirve para juzgar si una propiedad (parámetro) en una población es compatible con lo observado en una muestra de dicha población.

Para realizar este test, debemos formular las hipótesis a contrastar:

Hipótesis Nula – H0

Hipótesis Alternativa - H1



Hipótesis Nula – H0

Es la hipótesis que se desea comprobar. Se llama así porque se establece que no hay diferencia real entre el verdadero valor poblacional y el que suponemos debería valer.

Hipótesis Alternativa – H1

Es el complemento de la hipótesis nula. Esto quiere decir que todos los valores posibles del parámetro en estudio que no están contemplados en H

0 se contemplan acá.



Ej:H

0: μ = 0

H1: μ ≠ 0

H0: μ = 0

H1: μ < 0

H0: μ = 0

H1: μ > 0

α

α/2

α

α/2



Errores de Tipo I y de Tipo II

H

0Rechazo No rechazo

Verdadera Error I BienFalsa Bien Error II



Nivel de significación

α = probabilidad de cometer error de tipo I.β = probabilidad de cometer error de tipo II.

1 – β = Potencia de la prueba.

μ0

μ1

αβ

Pc



Pasos a seguir en una prueba de hipótesis

1) Planteo de la Hipótesis

2) Elección del nivel de significación.

3) Elección del estadístico de prueba ó variable pivotal.

4) Determinación de la región crítica y la regla de decisión

5) Cálculos

6) Decisión y Conclusión.



Prueba de hipótesis para μ conociendo σ²

Ej: Se realizó un experimento en donde 45 bolillas de acero, lubricadas con parafina purificada, estaban sujetas a una carga de 40 kg a 6000 rpm durante 60 min. El promedio de desgaste, medido por la reducción del diámetro fue de 673,2 μm. La especificación para el lubricante es que el desgaste promedio es menor a 675 μm con un desvío estándar de 14,9 μm.

¿Cumple la muestra estudiada con las especificaciones del fabricante?



1) H0: μ ≥ 675 μm ; H1: μ < 675 μm

2) α = 0,01

3) EP ó VP:

4) RD: Si Zc ≤ Z

(0,01) Rechazo H

0

Si Zc > Z

(0,01) No Rechazo H

0

Z=x̄−μ

σ/√n

α=0,01

RC



5)

Z(0,01)

= -2,33 (Punto crítico - PC)

=673,2−67514,9 /√45

=−0,81Z=x̄−μ

σ/√n



6) Como: Zc > Z(0,01)

; -0,81 ≥ -2,33 No Rechazo H

0

Por lo tanto, con un nivel de significación del 1%, el promedio de desgaste de las bolillas, usando parafina purificada como lubricante, podría ser mayor o igual a 675 μm.

La muestra no cumpliría con las especificaciones del fabricante.



Prueba de hipótesis para μ desconociendo σ²

Antes de que una sustancia se pueda considerar segura como residuo, para ser enterrada, se deben caracterizar sus propiedades químicas.En una planta de tratamiento de agua residual se toman 6 muestras de lodo y se determina que el Ph promedio es de 7,34, con S = 0,2. ¿Se puede concluir que la media del Ph es menor o igual a 7.0?



1) H0: μ ≤ 7 ; H1: μ > 7

2) α = 0,05

3) EP ó VP:

4) RD: Si tc > t

(0,95; 5) Rechazo H

0

Si tc ≤ t

(0,95; 5) No Rechazo H

0

t=x̄−μ

S /√n

α = 0,05



5)

t(1-α;gl)

= t(0,95, 5)

= 2,01505 (Punto crítico - PC)

=7,34−70,2 /√6

=4,19t=x̄−μ

S /√n



6) Como: tc > t(0,95,5)

; 4,19 ≥ 2,01 Rechazo H

0

Por lo tanto, con un nivel de significación del 5%, el Ph promedio en las muestras de lodo sería mayor 7.



Pueba de hipótesis para la varianza - σ²

En un proceso de fabricación de placas de silicio cubiertas con tungsteno, para pasar el control de calidad las placas no deben tener una variabilidad mayor de 0,3 (μΩ)² en la resistencia promedio.Se extrae una muestra de 30 placas y al medir la resistencia se obtuvo una variabilidad de 0,32 (μΩ)².¿Pasará la muestra el control de calidad?



1) H0: σ² ≤ 0,3 ; H1: σ² > 0,3

2) α = 0,05

3) EP ó VP:

4) RD: Si χ²

c ≤ χ²

(0,95; 29) Rechazo H

0

Si χ²

c > X²

(0,95; 29) No Rechazo H

0

α = 0,05

χ ²=(n−1)S²

σ ²



5)

Χ²(1-α;gl)

= χ²(0,95; 29)

= 42,5569 (Punto crítico - PC)

=(30−1)0,32

0,3=30,93χ ²=

(n−1)S²σ ²



6) Como: Χ²c < Χ²

(0,95,29); 30,93 < 45,55

No Rechazo H0

Por lo tanto, con un nivel de significación del 5%, se podría decir que la variabilidad en la resistencia promedio es menor o igual 30 (μΩ)².Esto significa que la muestra pasa el control de calidad.


Análisis de Frecuencias – Usos de Chi ²- Tablas de Contingencia

Cuando se tiene datos en forma de frecuencias se puede realizar una prueba de hipótesis utilizando como distribución de contraste, la distribución Chi² ya vista.

Para esto hay que tener algunas consideraciones particulares.



Cuando se tiene datos en forma de frecuencias se puede realizar una prueba de hipótesis utilizando como distribución de contraste, la distribución Chi² ya vista.

Para esto hay que tener algunas consideraciones particulares.

Frecuencias observadas: en la muestra aleatoria, la frecuencias absoluta que se observa para cada categoría a considerar.

Frecuencias esperadas: la frecuencias que se esperaría tener en cada categoría si la hipótesis nula fuera cierta.



Se utiliza como estadístico de contraste:

Analicemos la expresión.

χ2=∑(Oi – E i)

2

E i



Podemos realizar tres pruebas diferentes según la pregunta que nos aqueja:

- Prueba de Bondad de ajuste (Una variable con sus categorías y las frecuencias observadas para cada categoría)

- Prueba de Independencia Dos variables con sus categorías y las frecuencias - Prueba de Homogeneidad observadas para cada combinación de posible.



Bondad de Ajuste

En una universidad se espera que en el corriente año la matricula de los alumnos siga el nivel histórico por facultad. Se conoce que históricamente la cantidad de alumnos inscriptos es la misma en todas las facultades. Los siguientes datos presentan la matricula actual:

FACULTAD N INSCRIPTOS⁰

Ingeniería 300

Ciencias Naturales 220

Hum. Y Cs Sociales 320

Económicas 180

TOTAL 1020



Independencia

Se desea conocer si la proporción cemento-arena en una mezcla de hormigón para la construcción de edificios tiene alguna relación con la resistencia que tendrá el hormigón al fraguar. Para esto se toman 88 muestras de hormigón y se las clasifica según la siguiente tabla:

Muy resistente Poco resistente Total

60/40 32 14 46

70/30 26 16 42

Total 58 30 88



Homogeneidad

Una empresa electrónica está desarrollando un nuevo equipo de medición para la intensidad de corriente que promete ser mas exacto que el modelo en vigencia. Para comparar los dos instrumentos se tomaron 300 mediciones con cada uno y se vuelcan los datos en la siguiente tabla:

Buena Muy buena Total

Nuevo 110 190 300

Viejo 160 140 300

Total 270 330 600

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