Inferencias para una Varianza Poblacional Las pruebas presentadas con anterioridad se centraban en la estimacin de medias y proporciones poblacionales, pero en muchas circunstancias quienes toman las decisiones no slo estn interesados en la media de una distribucin, sino tambin en el grado de dispersin en torno a la media y la varianza es una magnitud importante para determinar el comportamiento de un proceso. Dada la importancia de la varianza para mantener estndares de produccin, se han ideado pruebas para estimar la varianza de una distribucin. La prueba del valor de una 2 sola varianza se basa en una distribucin conocida como distribucin ji). Distribucin ji-cuadrada La distribucin ji-cuadrada es, como la distribucin t, una familia completa de distribuciones; hay una distribucin diferente para cada valor de los grados de libertad (g.l.= n 1).

Esta distribucin est sesgada positivamente, pero a medida que aumentan los grados de libertad, la distribucin se hace ms simtrica y se aproxima a la normal. Por otra parte, al ser una distribucin de probabilidad, el rea total bajo la curva es 1. As como en el caso de la distribucin normal, que sirvi para estandarizar medias muestrales, la distribucin 2 cumple la misma misin para las varianzas. Intervalo de confianza para la varianza de una poblacin El intervalo de confianza de una varianza poblacional se calcula por la frmula: (n 1) * s 2 (n 1) * s 2 2 2 superior i2 nferior2

Ejemplo: Se desea estimar la precisin de un instrumento de medicin. Al realizar tres mediciones con el instrumento encontr una varianza muestral de 10.57 unidades. Usando un nivel de confianza del 95%, Calcule un intervalo de confianza para la variacin real del instrumento.1 = 0.9 = 0.05 2 2 0.95 = 0.1025 2 0.05 = 5.99147

)('&$#! % % "

son los tomados a partir de la tabla.

Sustituyendo en la frmula del Intervalo de Confianza obtenemos: 2 * 10.57 2 *10.57 2 5.99 0.1025 2 3.53 206.1 Note que este intervalo es de una longitud muy grande, es decir la estimacin es muy imprecisa, lo cual se debe a que el tamao de la muestra es muy pequea. Pruebas de hiptesis Para realizar esta pruebas necesitamos, igual que hicimos en el caso de pruebas de hiptesis para media y proporciones, comparar el valor de un estadstico de prueba con el percentil adecuado de la distribucin muestral del estadstico. En este caso el estadstico de prueba es:

(n 1) * S 2 20 2 0 es la varianza hipottica de la poblacin, s2 es la varianza muestral y n el tamao de la muestra.

2 prueba =

1.Pruebas unilaterales. a) H 0 : 2 02

H 1 : 2 2 2 b) H 0 : 2 0H 1 : 2 > 0

2

2

Regla de Decisin: Se Rechaza H 0 si 2 prueba < 21 2 2. Prueba bilateralH 0 : 2 = 02

H 1 : 2 0

2

Regla de Decisin: Se Rechaza H 0 si 2 prueba < 21 2 o 2 prueba > 2 2

Ejemplo(continuacin) Suponga ahora que lo estndar es que la desviacin de este tipo de instrumento sea de dos unidades, y se ha decidido probar si con los resultados obtenidos de esta muestra puede refutarse la hiptesis planteada. Con el mismo nivel de significacin tenemos que:

Hiptesis:H 0 : 2 = 4 H1 : 2 4

Estadstico:

(n 1) S 2

02

= 5.29

Percentil: 2 0.95 = 0.1025 2 0.05 = 5.99147 Decisin: Debemos comprobar si el valor del estadstico cae o no en la regin de rechazo. 0.1025