Cap 7 – Aplicaciones de la trigonometría

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Sección 7.1

La Ley del seno

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Triángulo Oblicuo • Un triángulo oblicuo es un triángulo que no

contiene un ángulo recto.

• Para resolver triángulos oblicuos cuando solo

tenemos datos sobre

o Dos ángulos y un lado o

o Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos

Para resolver estos triángulos, usaremos la ley de

senos

Ley de Senos • Cuando un triángulo oblicuo se nombra

como se muestra, la ley de senos dice

Comentarios • Noten que la ley de senos consiste de las siguientes

tres fórmulas:

• Para aplicar cualquiera de estas fórmulas a un

triángulo específico, debemos saber los valores de

3 de las 4 variables.

Ejemplo Resolver el ΔABC (al entero más cerca), si

A = 48°, C = 57°, y b = 47.

• Solución:

Como la suma de los ángulos de un

triángulo es 180°,

B = 180° – (57°+48°)

B = 75°.

• Para hallar el lado a y c, utilizaremos la

ley de senos.

Solución • Para hallar c:

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• Para hallar a:

𝑎

sin(𝐴)=

𝑏

sin(𝐵)

𝑎 =𝑏sin(𝐴)

sin(𝐵)

≈ 36

𝑐

sin(𝐶)=

𝑏

sin(𝐵)

𝑐 =𝑏sin(𝐶)

sin(𝐵)

Casos en la Ley de Senos • Los datos que se proveyeron en el ejemplo

anterior nos permiten definir exactamente un

triángulo único.

o dos ángulo y el lado incluido

• Sin embargo, si la información que nos

proveen es la medida de dos lados y un

ángulo opuesto a alguno de esos lados,

entonces, no siempre es posible definir el

triángulo de forma única.

Ejemplo Resolver el ΔABC, si a = 50, A = 57°, y b = 65. • Solución:

• El ángulo B NO existe. No existe un triángulo con esas

medidas.

sin(𝐴)

𝑎=sin 𝐵

b

bsin(𝐴)

𝑎= sin 𝐵

sin 𝐵 =65 ∙ sin(57)

50

sin 𝐵 ≈ 1.09027

Ejemplo • Resolver el ΔABC, si a = 10, A = 25°, y

b = 13.

• Solución:

sin(𝐴)

𝑎=sin 𝐵

b

bsin(𝐴)

𝑎= sin 𝐵

sin 𝐵 =13 ∙ sin(25)

10

sin 𝐵 ≈ 0.5494

B≈ sin−1 0.5494 ≈ 33.3°

Note que el seno es positivo en

el primer cuadrante y en el

segundo, por lo tanto, B podría

ser un ángulo del segundo

cuadrante, también.

Solución (cont)

θ𝑟 = sin−1 0.5494

B2 ≈ 180 − 33.3° = 146.7° C1≈ 180 − (33.3 + 25)

B1≈ sin−1 0.5494 ≈ 33.3°

C2≈ 180 − (146.7 + 25) = 8.3°

𝑐1sin(𝐶1)

=𝑏

sin(𝐵)

𝑐1 =𝑏sin(𝐶1)

sin(𝐵)

𝑐1 =13sin(121.7)

sin(33.3)

𝑐1 ≈ 20.1

≈ 121.7°

𝑐2sin(𝐶2)

=𝑏

sin(𝐵)

𝑐2 =𝑏sin(𝐶2)

sin(𝐵)

𝑐2 =13sin(8.3)

sin(146.7)

𝑐2 ≈3.4

B1 en primer cuadrante: B2 en segundo cuadrante:

≈ 33.3°

Ejemplo Cuando el ángulo de

elevación del sol es de 64 °, un

poste de teléfono que está

inclinado a un ángulo de 9 ° en

dirección opuesta al sol,

proyecta una sombra 21 pies

de largo sobre el suelo.

Aproxime la longitud del poste.

Solución En la figura, ¿cuánto mide el

ángulo marcado B ?

B = 90° – 9° = 81°

¿cuánto mide el ángulo

marcado C ?

= 180° – (64° + 81°) = 35°

B

C

Solución • Un triángulo que representa

esta situación podría ser.

• Para determinar el largo de

poste usamos la ley de seno

sin(𝐴)

𝑎=sin 𝐶

c

pies