aa

bb

tan tan = = aabbRepaso Repaso

sobre sobre trigonometrítrigonometrí

aa

Clase 46

TrigonometríaTrigonometría, rama de las , rama de las matemáticas que estudia las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa Etimológicamente significa “medida de triángulos”.“medida de triángulos”.

Las dos ramas fundamentales Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría plana y la trigonometría esférica.trigonometría esférica.

La historia de la La historia de la trigonometría se remonta a trigonometría se remonta a las primeras matemáticas las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de establecieron la medida de los ángulos en grados, los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no de la Grecia clásica no empezó a haber empezó a haber trigonometría en las trigonometría en las matemáticas. matemáticas.

En el siglo II a.C. el En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla compiló una tabla trigonométrica para resolver trigonométrica para resolver triángulos. triángulos. Los astrónomos de la India Los astrónomos de la India habían desarrollado habían desarrollado también un sistema también un sistema trigonométrico basado en trigonométrico basado en la función seno en vez de la función seno en vez de cuerdas como los griegos.cuerdas como los griegos.

Esta función seno, al Esta función seno, al contrario que el seno contrario que el seno

utilizado en la actualidad, no utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino la era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa rectángulo de hipotenusa

dada. Los matemáticos indios dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores utilizaron diversos valores

para ésta en sus tablas.para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían astrónomos árabes habían recibido la herencia de las recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron la India, y prefirieron trabajar con la función trabajar con la función seno. seno.

En las últimas décadas del En las últimas décadas del siglo X ya habían completado siglo X ya habían completado

la función seno y las otras la función seno y las otras cinco funciones y habían cinco funciones y habían descubierto y demostrado descubierto y demostrado

varios teoremas varios teoremas fundamentales de la fundamentales de la

trigonometría tanto para trigonometría tanto para triángulos planos como triángulos planos como

esféricos.esféricos.

El occidente latino se El occidente latino se familiarizó con la familiarizó con la

trigonometría árabe a través trigonometría árabe a través de traducciones de libros de de traducciones de libros de

astronomía arábigos, que astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo siglo XII. El primer trabajo

importante en esta materia en importante en esta materia en Europa fue escrito por el Europa fue escrito por el matemático y astrónomo matemático y astrónomo alemán Johann Müller, alemán Johann Müller,

llamado Regiomontano. llamado Regiomontano.

Sea Sea ABC: ABC: rectángulo rectángulo en Cen C

Sea Sea ABC: ABC: rectángulo rectángulo en Cen C

AAAACCCC

BBBB

aaaa

bbbb

cccc

sen sen = = sen sen = =

aaaacccc

cos cos = = cos cos = =

bbbbcccc

tan tan = = tan tan = =

aaaabbbb

cot cot = = cot cot = =

bbbbaaaa

11

11

300 450 600

sen xcos x

tan x

cot x

Razón trig.

33

1 3

33

1 3

32

22

12

32

22

12

Conclusión:Conclusión:

Si dos ángulos son Si dos ángulos son complemen- tarios entonces complemen- tarios entonces se cumple:se cumple:

Si dos ángulos son Si dos ángulos son complemen- tarios entonces complemen- tarios entonces se cumple:se cumple:

sen (sen (909000 – – ) = cos ) = cos sen (sen (909000 – – ) = cos ) = cos cos (cos (909000 – – ) = sen ) = sen cos (cos (909000 – – ) = sen ) = sen tan (tan (909000 – – ) = cot ) = cot tan (tan (909000 – – ) = cot ) = cot cot (cot (909000 – – ) = tan ) = tan cot (cot (909000 – – ) = tan ) = tan

Ejercicio Ejercicio 11Ejercicio Ejercicio 11

Si en un Si en un ABC rectángulo en ABC rectángulo en C, el ángulo C, el ángulo = 30= 3000. ¿. ¿Qué Qué relación existe entre los relación existe entre los catetos y la hipotenusa?catetos y la hipotenusa?

Si en un Si en un ABC rectángulo en ABC rectángulo en C, el ángulo C, el ángulo = 30= 3000. ¿. ¿Qué Qué relación existe entre los relación existe entre los catetos y la hipotenusa?catetos y la hipotenusa?

AAAA

BBBB

CCCC

ccccaaaa

bbbb

sen sen = = sen sen = =

aaaacccc

sen sen 303000 = = sen sen 303000 = =

11112222

aaaacccc

====

11112222

a a = = a a = =

cccc

Si un triángulo rectángulo Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo agudo de tiene un ángulo agudo de 30300 0 el cateto opuesto a ese el cateto opuesto a ese ángulo es la mitad de la ángulo es la mitad de la hipotenusa.hipotenusa.

Si un triángulo rectángulo Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo agudo de tiene un ángulo agudo de 30300 0 el cateto opuesto a ese el cateto opuesto a ese ángulo es la mitad de la ángulo es la mitad de la hipotenusa.hipotenusa.

Ejercicio Ejercicio 22Sean Sean y y las amplitudes las amplitudes de los ángulos agudos de de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo un triángulo rectángulo ABC. Calcula:ABC. Calcula:

Sean Sean y y las amplitudes las amplitudes de los ángulos agudos de de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo un triángulo rectángulo ABC. Calcula:ABC. Calcula:

cos cos , tan , tan y sen y sen cos cos , tan , tan y sen y sen si sen si sen = = si sen si sen = = 4444

5555

a) cos, tan y sen si sen =

45

C A

B

c =

5

a =

4

b = ?

Por el Teorema de Por el Teorema de Pitágoras Pitágoras tenemos:tenemos: cc22= a= a22 + +

bb22b2= c2 – a2 b2= 52 – 42 b2= 25 – 16b2= 9b = 3

b = 3cos

= 53bc

tan =

ab34

sen =

b35c

Para el estudio Para el estudio individualindividualSean Sean y y las amplitudes las amplitudes de los ángulos agudos de de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo un triángulo rectángulo ABC. Calcula:ABC. Calcula:

Sean Sean y y las amplitudes las amplitudes de los ángulos agudos de de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo un triángulo rectángulo ABC. Calcula:ABC. Calcula:

sen sen , tan , tan y cos y cos sen sen , tan , tan y cos y cos si cos si cos ==si cos si cos ==

888817171717

15151717 88

1515 15151717

Resp: ; Resp: ; ; ;