SISTEM

AS DE ECUACIONES LIN

EALES

MTRO. MARIO YUSEFF SEGURA MONROY

¿QUÉ ES UN SISTEMA DE ECUACIONES?

• Es un conjunto de ecuaciones con las mismas variables.

• Es un conjunto de ecuaciones para las cuales buscamos una solución común.

¿CUÁL ES LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA?• La solución es el par o los pares ordenados que

satisfacen ambas ecuaciones.

• También, se puede decir que la solución es una pareja ordenada que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS

Consistente (tiene solución)Las rectas se intersecan o coinciden.Existe al menos un par ordenado que satisface ambas ecuaciones.

Inconsistente (no tiene solución)Las dos gráficas son paralelasNo hay par ordenado alguno que satisfaga ambas ecuaciones

IndependienteSon dos rectas diferentes

DependienteDos rectas iguales que se convierten en una sola

RESUMEN DE LA CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

Gráficas de las ecuaciones

Número de soluciones Terminología

Rectas que se intersecan en un

puntoSólo una Consistente e

independiente

La misma recta Infinitas Consistente y dependiente

Rectas paralelas Ninguna Inconsistente e independiente

Ejemplo #1

CLASIFIQUEMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES

Observaciones:

Las rectas se intersecan.

Hay un sólo punto de solución.

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones en la gráfica es consistente e independiente.

EJEMPLO #2

Observaciones:

Las rectas coinciden.

Las soluciones son infinitas.

Por lo tanto, el sistema es consistente y dependiente.

EJEMPLO #3

Observaciones:

Las rectas son paralelas.

No hay puntos de solución.

Por lo tanto, el sistema es inconsistente e

independiente.

INTÉNTALO TÚ

Instrucciones:

Clasifica los sistemas de ecuaciones en dependiente, independiente, consistente e inconsistente. Selecciona la letra de tu respuesta para corroborar si la misma es correcta.

EJERCICIO #1 El sistema de ecuaciones es:

aa. consistente

bb. inconsistente-independiente

cc. consistente-independiente

dd. consistente-dependiente

ee. inconsistente

EJERCICIO #2El sistema de ecuaciones es:

aa. consistente

bb. inconsistente

cc. dependiente

dd. independiente

ee. inconsistente-independiente

EJERCICIO #3El sistema de ecuaciones es:

aa. inconsistente

bb. consistente-dependiente

cc. inconsistente-independiente

dd. dependiente

ee. consistente-independiente

EJERCICIO #4El sistema de ecuaciones es:

aa. dependiente

bb. consistente

cc. consistente-independiente

dd. consistente-dependiente

ee. inconsistente

MÉTODO GRÁFICO

Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es graficar las ecuaciones y encontrar las coordenadas del punto o puntos de intersección. Ya que el punto o puntos de intersección están en ambas rectas, estas parejas ordenadas son soluciones del sistema.

EJEMPLO #1Encuentra gráficamente la solución del siguiente sistema:

y=2x+3y=x+1

HACER LA TABLA DE VALORES PARA CADA ECUACIÓN DEL SISTEMA

y=2x +3

X Y

2

1

0

-1

•Asignar los valores para la x

•Evaluar la ecuación en cada uno de los valores asignados

•Ejemplo sustitución para x=2y=2x+3y=2(2)+3y=4+3y=7

TABLAS DE VALORES PARA CADA ECUACIÓN

y=2x +3 y=x +1

X Y 2 71 50 3-1 1

X Y 2 31 20 1-1 0

TRAZAR LA GRÁFICA PARA CADA UNA DE LAS ECUACIONES.

y=x+1

y=2x+3

Identificar la solución, si es que existe, en la gráfica del sistema.

y=x+1

y=2x+3

Solución (-2,-1)

RECUERDA

Si las rectas de un sistema son paralelas el sistema NO tiene solución.

INTÉNTALO TÚ

Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables. Realiza una tabla de valores para cada ecuación, grafica las líneas, determina la solución (si existe) y clasifica el sistema.

EJERCICIO #1

y = -x y = 2x - 6

X Y X Y

y=-x y=2x-6

Haz la gráfica del sistema e identifica si existe una

solución. Clasifica el sistema.

EJERCICIO #2 y=2x+6

y=-x-3

X Y X Y

y=2x+6 y=-x-3

Haz la gráfica del sistema e identifica si existe una solución. Clasifica el sistema.

EJERCICIO #3y=2x+3y=2x+1

X Y X Y

y=2x+3 y=2x+1

Haz la gráfica del sistema e identifica si existe una solución. Clasifica el sistema.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Si las soluciones no son enteras, la resolución de sistemas de ecuaciones por el método de graficación suele ser inexacta. Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones sin graficar. Uno de ellos se llama el método de sustitución.

Si una variable de un sistema de ecuaciones aparece sola en uno de los miembros de una de las ecuaciones, podemos sustituirla en la otra.

En ocasiones, ninguna de las ecuaciones tiene alguna variable sola en uno de sus miembros. Si esto sucede, despejamos una variable de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra.

EJEMPLO #1

1. X + y = 4

y = 3x

Sustituimos así:

X + 3x = 4

4x = 4 Sumamos términos.

4x = 4 Dividimos en ambos lsemejantesados por 4.

• 4

X = 1

Como ya tenemos los valores de ambas variables escribimos la solución del sistema.

x = 1 y = 3

Por lo tanto, la solución es (1,3)

Sustituimos el valor de la x para encontrar el de y en una de

las ecuaciones.

y=3x

y=3(1)

y=3

INTÉNTALO TÚ

Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables por el método de sustitución. Identifica la solución y verifica tu respuesta.

x + y = 4 y = 2x + 1

EJERCICIO #1

x + y = 10 x – y = 8

EJERCICIO #2

y = 2x - 5 3y – x = 5

EJERCICIO #3

MÉTODO DE ELIMINACIÓN (DIRECTA)

Ejemplo #1

x+y=6-x+3y=-2

Si miramos el sistema al sumar las ecuaciones verticalmente se elimina directamente una de las variables.

Sumo vertical de las ecuaciones del sistema.

x+y = 6+ -x+3y=-2

4y=4Divido en ambos 4 4lados por 4

y=1

Sustituyo el valor de y en una de las ecuaciones del sistema.x+y=6x+(1)=6x=6+-1x=5

Solución (5,1)

INTÉNTALO TÚ

Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables por el método de eliminación. Identifica la solución y verifica tu respuesta.

3x-3y=63x+3y=0

EJERCICIO #1

x+y=8-x+2y=7

EJERCICIO #2

3x-y=92x+y=6

EJERCICIO #3

MÉTODO DE ELIMINACIÓN (MULTIPLICANDO POR -1)

5x+3y=175x-2y=-3

Para eliminar una de las variables de las ecuaciones del sistema multiplico todos los componentes de una de las ecuaciones por -1.

5x+3y=17+ -1(5x-2y=-3)

5x+3y=17+ -5x+2y=3

Sumo verticalmente

5y=20 5 5 Divido por 5y=4

Sustituyo el valor de y en una de las ecuaciones del sistema.

5x+3y=175x+3(4)=175x+12=175x=17+-125x=5 5 5x=1

Solución (1,4)

INTÉNTALO TÚ

Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables por el método de eliminación. Para esto utiliza la propiedad multiplicativa (-1). Identifica la solución y verifica tu respuesta.

5x+3y=175x-2y=-3

EJERCICIO #1

8x+11y=37-2x+11y=7

EJERCICIO #2

5x+4y=123x+4y=4

EJERCICIO #3

MÉTODO DE ELIMINACIÓN (MULTIPLICANDO)

4x-3y=15 x-2y=0

Para eliminar una de las variables de mi sistema multiplico todos los componentes de una de las ecuaciones de mi sistema.

-4(x-2y=0) 4x-3y=15

-4x+8y=0+ 4x-3y=15 Sumo

verticalmente5y=155 5

Divido por 5

y=3

Sustituyo el valor de y en una de las ecuaciones del sistema.

x-2y=0x-2(3)=0x+-6=0x=6

Solución (6,3)

INTÉNTALO TÚ

Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables por el método de eliminación. Utiliza la propiedad multiplicativa. Identifica la solución y verifica tu respuesta.

5x-2y=143x+6y=-6

EJERCICIO #1

x+y=5 5x-3y=17

EJERCICIO #2

x-2y=0 4x-3y=15

EJERCICIO #3