Sistemas Ecuaciones Lineales

NGJ/v06 Unidad III 31

Mtodos numricos y lgebra lineal CB00851

Sistemas de ecuaciones lineales

Objetivos UNIDAD III Sistemas de ecuaciones lineales

duracin 9 hrs. Contenido temtico objetivos

3.1 Matrices 3.2 Vectores 3.3 Independencia y ortogonalizacin de vectores 3.4 Mtodos para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales

Definir Matriz, vector, tipos de matrices y operaciones de matrices

Definir, reconocer, operar y analizar la independencia y la ortogonalizacin de vectores.

Definir conceptos bsicos de sistema de ecuaciones lineales

Definir, explicar y aplicar los mtodos para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales:

o Cramer o Gauss simple o Gauss con pivote o Eliminacin de Jordan

Bibliografa del tema Chapra, pp 235 a 350 TEMAS:

Ecuaciones algebraicas lineales, parte 3 todos los captulos Gerber, pp 49 a 252 TEMAS:

Matrices Determinantes Espacios lgebra del espacio

Captulos 2, 3, 4 y 5 Nieves, pp 125 a 253 TEMAS:

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Captulo 3




3. Sistema de ecuaciones lineales HISTORIA. 1.1 Historia de las ecuaciones lineales. El periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracteriz por la invencin gradual de smbolos y la resolucin de ecuaciones. Dentro de perodo se desarroll la llamada lgebra geomtrica por los griegos (300 a. de C.), rica en mtodos geomtricos para resolver ecuaciones algebraicas. La introduccin de la notacin simblica asociada a Vite (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notacin. En este momento, el lgebra se convierte en la ciencia de los clculos simblicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teora de los "clculos con cantidades de distintas clases" (clculos con nmeros racionales enteros, fracciones ordinarias, races cuadradas y cbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones). Para llegar al actual proceso de resolucin de la ecuacin ax + b = c han pasado ms de 3.000 aos. Los egipcios dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Mosc -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemticos resueltos. La mayora de ellos son de tipo aritmtico y respondan a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningn objeto concreto. En stos, de una forma retrica, obtenan una solucin realizando operaciones con los datos de forma anloga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones. Las ecuaciones ms utilizadas por los egipcios eran de la forma:

x + ax = b x + ax + bx = 0

donde a, b y c eran nmeros conocidos y x la incgnita que ellos denominaban aha o montn. Una ecuacin lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente:

"Un montn y un sptimo del mismo es igual a 24". En notacin moderna, la ecuacin: x + 1 / 7 x = 24 La solucin la obtenan por un mtodo que hoy conocemos con el nombre de "mtodo de la falsa posicin" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concreto para la incgnita, probamos con l y si se verifica la igualdad se tiene la solucin, si no, mediante clculos se obtiene la solucin exacta. Los babilonios (el mayor nmero de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atencin a las ecuaciones lineales, quizs por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron ms los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.




Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuacin 5x = 8 . En las tablas en base sexagesimal hallaban el recproco de cinco que era 12/60 y en la tabla de multiplicar por 8 , encontramos 8 12/60 = 1 36/60 . Los matemticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al lgebra, pues su preocupacin era como hemos visto, mayor por la geometra. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuacin lineal y dice:

" Transente, sta es la tumba de Diophante: es l quien con esta sorprendente distribucin te dice el nmero de aos que vivi. Su juventud ocup su sexta parte, despus durante la doceava parte su mejilla se cubri con el primer vello. Pas an una sptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco aos despus, tuvo un precioso nio que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereci de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorndole durante cuatro aos. De todo esto, deduce su edad. "

Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, cmo resolver ecuaciones lineales. La incgnita la representada por la abreviatura ya , y las operaciones con la primera slaba de las palabras. Dada la ecuacin ax + b = cx + d , la solucin vendr dada dividiendo la diferencia de los trminos conocidos entre la diferencia de los coeficientes de los desconocidos, esto es,

Estos mtodos pasaron a los rabes que los extendieron por Europa. Al algebrista Abu-Kamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la solucin de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posicin. 1.2 Historia de los sistemas de ecuaciones lineales. Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incgnitas con palabras tales como longitud, anchura, rea, o volumen , sin que tuvieran relacin con problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilnica plantea la resolucin de un sistema de ecuaciones en los siguientes trminos: 1/4 anchura + longitud = 7 manos

longitud + anchura = 10 manos Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solucin poda ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un mtodo parecido al de eliminacin. En nuestra notacin, es




y + 4x = 28 y + x = 10

restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 . Tambin resolvan sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrtica. Los griegos tambin resolvan algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando mtodos geomtricos. Thymaridas (400 a. de C.) haba encontrado una frmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incgnitas. Diophante resuelve tambin problemas en los que aparecan sistemas de ecuaciones, pero transformndolos en una ecuacin lineal. Diophante slo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utiliz ya un lgebra sincopada como hemos sealado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolucin de ecuaciones por Diophante es que carece de un mtodo general y utiliza en cada problema mtodos a veces excesivamente ingeniosos. Los sistemas de ecuaciones aparecen tambin en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener mtodos generales de resolucin, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones. El libro El arte matemtico, de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del mtodo de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho mtodo matricial.

Bibliografa del tema

2007-06-08T14:40:23-0500M.C. Nazira Guerrero-Jezzini

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