Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas-DefinicionMatrices Escalonadas-Metodo de Eliminacion

EjemplosEjercicios

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Martha C. Moreno

Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES


EjemplosEjercicios

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Martha C. Moreno

Departamento de Matematicas

Universidad Nacional de Colombia



EjemplosEjercicios

Definicion



EjemplosEjercicios

Definicion

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variablesx1, x2, ....., xn se denomina:



EjemplosEjercicios

Definicion

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variablesx1, x2, ....., xn se denomina: Un Sistema de Ecuaciones Lineales oSistema lineal



EjemplosEjercicios

Definicion


En general un sistema lineal de m ecuaciones y n incognitas sepuede escribir como:



EjemplosEjercicios

Definicion


En general un sistema lineal de m ecuaciones y n incognitas sepuede escribir como:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + .....+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + .....+ a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + am3x3 + ..... + amnxn = bm



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De manera equivalente se puede expresar como:



EjemplosEjercicios


a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n. . .

am1 am2 am3 · · · amn

x1x2x3...xn

=

b1b2b3...bm



EjemplosEjercicios


a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n. . .


x1x2x3...xn

=

b1b2b3...bm

AX = B



EjemplosEjercicios


a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n. . .


x1x2x3...xn

=

b1b2b3...bm

AX = B

Si B = 0 el sistema se denomina Homogeneo



EjemplosEjercicios


a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n. . .


x1x2x3...xn

=

b1b2b3...bm

AX = B

Si B = 0 el sistema se denomina HomogeneoSi B 6= 0 es No Homogeneo



EjemplosEjercicios

Una solucion del sistema AX = B es una sucesion de numerosc1, c2, .....cn tales que la igualdad AX = B se satisface si x1 = c1,x2 = c2,..........,xn = cn, es decir si:



EjemplosEjercicios

Una solucion del sistema AX = B es una sucesion de numerosc1, c2, .....cn tales que la igualdad AX = B se satisface si x1 = c1,x2 = c2,..........,xn = cn, es decir si:

a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n. . .


c1c2c3...cn

=

b1b2b3...bm



EjemplosEjercicios

Ejemplo



EjemplosEjercicios

Ejemplo

Consideremos el sistema:



EjemplosEjercicios

Ejemplo


x + 2y + z = 3

−x + y + 2z = 6

2x + y − 2z = −5



EjemplosEjercicios

Ejemplo


x + 2y + z = 3

−x + y + 2z = 6

2x + y − 2z = −5En notacion matricial es:



EjemplosEjercicios

Ejemplo


x + 2y + z = 3

−x + y + 2z = 6


1 2 1−1 1 22 1 −2

xyz

=

36−5



EjemplosEjercicios

Ejemplo


x + 2y + z = 3

−x + y + 2z = 6


1 2 1−1 1 22 1 −2

xyz

=

36−5

El sistema es No Homogeneo



EjemplosEjercicios

Ejemplo


x + 2y + z = 3

−x + y + 2z = 6


1 2 1−1 1 22 1 −2

xyz

=

36−5


¿X =

−112

es solucion?



EjemplosEjercicios

Ejemplo


x + 2y + z = 3

−x + y + 2z = 6


1 2 1−1 1 22 1 −2

xyz

=

36−5


¿X =

−112

es solucion?

¿X =

12−3

es solucion?



EjemplosEjercicios

Consideremos los siguientes sistemas:



EjemplosEjercicios


1.

{

x + y = 3

x − y = −1



EjemplosEjercicios


1.

{

x + y = 3

x − y = −1Solucion x = 1, y = 2



EjemplosEjercicios


1.

{

x + y = 3

x − y = −1Solucion x = 1, y = 2

-1

0

1

2

3

4

5



EjemplosEjercicios


1.

{

x + y = 3

x − y = −1Solucion x = 1, y = 2

-1

0

1

2

3

4

5

b



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2.

{

x + y = 3

x + y = 6



EjemplosEjercicios

2.

{

x + y = 3

x + y = 6No existen reales x y y que lo satisfagan



EjemplosEjercicios

2.

{

x + y = 3

x + y = 6No existen reales x y y que lo satisfagan

-2

-1

0

1

2

3

4

5



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3.

{

x + y = 3

2x + 2y = 6



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3.

{

x + y = 3

2x + 2y = 6x = 1, y = 2,



EjemplosEjercicios

3.

{

x + y = 3

2x + 2y = 6x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,



EjemplosEjercicios

3.

{

x + y = 3

2x + 2y = 6x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,Hay mas?



EjemplosEjercicios

3.

{

x + y = 3

2x + 2y = 6x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,Hay mas?

-2

-1

0

1

2

3

4

5



EjemplosEjercicios



EjemplosEjercicios

En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de lastres situaciones descritas:



EjemplosEjercicios

En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de lastres situaciones descritas: Tiene unica solucion o



EjemplosEjercicios

En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de lastres situaciones descritas: Tiene unica solucion o Tiene infinitassoluciones o



EjemplosEjercicios

En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de lastres situaciones descritas: Tiene unica solucion o Tiene infinitassoluciones o No tiene solucion.



EjemplosEjercicios

En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de lastres situaciones descritas: Tiene unica solucion o Tiene infinitassoluciones o No tiene solucion.En general los sistemas se clasificaran en:



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Consistentes:



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Consistentes: Tienen solucion;



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Consistentes: Tienen solucion; Unica o



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Consistentes: Tienen solucion; Unica o Infinitas



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Inconsistentes:



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Inconsistentes:No tienen solucion.



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Nota



EjemplosEjercicios




Nota

Los Sistemas Homogeneos:



EjemplosEjercicios




Nota

Los Sistemas Homogeneos: AX = 0



EjemplosEjercicios




Nota

Los Sistemas Homogeneos: AX = 0 Son consistentes,



EjemplosEjercicios




Nota

Los Sistemas Homogeneos: AX = 0 Son consistentes,X = 0 es una solucion, se denomina



EjemplosEjercicios




Nota

Los Sistemas Homogeneos: AX = 0 Son consistentes,X = 0 es una solucion, se denomina Solucion trivial,



EjemplosEjercicios




Nota

Los Sistemas Homogeneos: AX = 0 Son consistentes,X = 0 es una solucion, se denomina Solucion trivial,puede pasarque sea la unica o que tenga infinitas soluciones.



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Ejercicio



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Ejercicio

Sean X1 y X2 soluciones del sistema homogeneo:



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Ejercicio


AX = 0



EjemplosEjercicios

Ejercicio


AX = 0

Mostrar que:



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Ejercicio


AX = 0

Mostrar que:

X1 − X2 es tambien solucion.



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Ejercicio


AX = 0

Mostrar que:


2X1 + 3X2 es tambien solucion.



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Ejercicio


AX = 0

Mostrar que:



En general cualquier combinacion lineal (c.l) de X1 y X2 estambien solucion, es decir:



EjemplosEjercicios

Ejercicio


AX = 0

Mostrar que:



En general cualquier combinacion lineal (c.l) de X1 y X2 estambien solucion, es decir:αX1 + βX2 con α, β ∈ R es solucion.



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Teorema

Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales, entonces esverdadera solo una de las siguientes afirmaciones:

Tiene unica solucion

Es inconsistente

Tiene infinitas soluciones



EjemplosEjercicios

Teorema



Es inconsistente


Veamos la tercera opcion:Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 6= X2, entonces:X0 = X1 − X2 6= O, veamos que X0 es solucion del sistemaHomogeneo AX = O



EjemplosEjercicios

Teorema



Es inconsistente


Veamos la tercera opcion:Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 6= X2, entonces:X0 = X1 − X2 6= O, veamos que X0 es solucion del sistemaHomogeneo AX = OAX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 =



EjemplosEjercicios

Teorema



Es inconsistente


Veamos la tercera opcion:Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 6= X2, entonces:X0 = X1 − X2 6= O, veamos que X0 es solucion del sistemaHomogeneo AX = OAX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = O



EjemplosEjercicios

Teorema



Es inconsistente


Veamos la tercera opcion:Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 6= X2, entonces:X0 = X1 − X2 6= O, veamos que X0 es solucion del sistemaHomogeneo AX = OAX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = OConsideremos ahora X1 + kX0 con k ∈ R



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Teorema



Es inconsistente



A(X1 + kX0) = AX1 + kAX0 =



EjemplosEjercicios

Teorema



Es inconsistente



A(X1 + kX0) = AX1 + kAX0 = B + kO = B,



EjemplosEjercicios

Teorema



Es inconsistente



A(X1 + kX0) = AX1 + kAX0 = B + kO = B, es decir es soluciondel sistema AX = B



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Definicion



EjemplosEjercicios

Definicion

Una matriz A de tamano m × n esta en forma Escalonada por filascuando satisface:



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Definicion


Todas las filas que constan solo de ceros, si las hay, estan enla parte inferior de la matriz.



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Definicion



El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y se denomina



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Definicion



El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y se denominauno principal de su fila.



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Definicion



El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y se denominauno principal de su fila.

El uno principal de cada fila debe estar a la derecha del unoprincipal de la fila inmediatamente anterior.



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Ejemplo



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Ejemplo

A =

1 3 −10 0 10 0 0



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Ejemplo

A =

1 3 −10 0 10 0 0

Escalonada



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Ejemplo

A =

1 3 −10 0 10 0 0

Escalonada

A =

1 0 4 30 1 3 20 0 0 1



EjemplosEjercicios

Ejemplo

A =

1 3 −10 0 10 0 0

Escalonada

A =

1 0 4 30 1 3 20 0 0 1

Escalonada



EjemplosEjercicios

Ejemplo

A =

1 3 −10 0 10 0 0

Escalonada

A =

1 0 4 30 1 3 20 0 0 1

Escalonada

A =

1 7 −41 0 10 0 0



EjemplosEjercicios

Ejemplo

A =

1 3 −10 0 10 0 0

Escalonada

A =

1 0 4 30 1 3 20 0 0 1

Escalonada

A =

1 7 −41 0 10 0 0

No Escalonada



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Definicion



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Definicion

Una matriz A de tamano m × n esta en forma EscalonadaReducida por filas cuando satisface:



EjemplosEjercicios

Definicion


Es Escalonada por filas



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Definicion


Es Escalonada por filas

Si una columna contiene un uno principal en alguna fila,entonces el resto de entradas de esta columna deben ser ceros.



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Ejemplo



EjemplosEjercicios

Ejemplo

A =

1 0 00 0 10 0 0



EjemplosEjercicios

Ejemplo

A =

1 0 00 0 10 0 0

Escalonada Reducida



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Ejemplo

A =

1 0 00 0 10 0 0

Escalonada Reducida

A =

1 0 4 00 1 3 00 0 0 1



EjemplosEjercicios

Ejemplo

A =

1 0 00 0 10 0 0

Escalonada Reducida

A =

1 0 4 00 1 3 00 0 0 1

Escalonada Reducida



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Ejemplo

A =

1 0 00 0 10 0 0

Escalonada Reducida

A =

1 0 4 00 1 3 00 0 0 1

Escalonada Reducida

A =

1 0 −40 1 00 0 1



EjemplosEjercicios

Ejemplo

A =

1 0 00 0 10 0 0

Escalonada Reducida

A =

1 0 4 00 1 3 00 0 0 1

Escalonada Reducida

A =

1 0 −40 1 00 0 1

Escalonada pero no reducida



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Nota



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Nota

Toda matriz A se puede reducir a una matriz en la formaEscalonada por filas o Escalonada Reducida por filas realizandoOperaciones Elementales con filas.



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Nota


Operaciones Elementales por Filas



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Nota



Intercambiar la fila i y la fila j



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Nota



Intercambiar la fila i y la fila j Fi↔Fj



EjemplosEjercicios

Nota




Multiplicar la fila i por un escalar α no nulo



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Nota




Multiplicar la fila i por un escalar α no nulo αFi



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Nota





Reemplazar la fila j por el resultado obtenido al sumar la fila jy la fila i



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Nota





Reemplazar la fila j por el resultado obtenido al sumar la fila jy la fila i Fi + Fj



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Nota





Reemplazar la fila j por el resultado obtenido al sumar la fila jy la fila i Fi + Fj

Combinaciones de las operaciones anteriores, por ejemploαFi + Fj .



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Metodo de Eliminacion de Gauss



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Para resolver el sistema lineal:



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AX = B



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AX = B

Se considera la Matriz Aumentada



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AX = B

Se considera la Matriz Aumentada (A|B)



EjemplosEjercicios



AX = B

Se considera la Matriz Aumentada (A|B) (Adicionamos unacolumna(terminos independientes) a la matriz de coeficientes)



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AX = B

Se considera la Matriz Aumentada (A|B) (Adicionamos unacolumna(terminos independientes) a la matriz de coeficientes) yesta se reduce a la forma escalonada por filas, se despeja el valorde la ultima incognita y despues se usa la sustitucion hacia atraspara las demas incognitas.



EjemplosEjercicios



AX = B

Se considera la Matriz Aumentada (A|B) (Adicionamos unacolumna(terminos independientes) a la matriz de coeficientes) yesta se reduce a la forma escalonada por filas, se despeja el valorde la ultima incognita y despues se usa la sustitucion hacia atraspara las demas incognitas.

(A|B) ∼∼ ...... ∼ (A′

|B′

)



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Metodo de Eliminacion de Gauss-Jordan



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EjemplosEjercicios



AX = B



EjemplosEjercicios



AX = B

La Matriz Aumentada se reduce a la forma escalonada reducidapor filas.



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AX = B

La Matriz Aumentada se reduce a la forma escalonada reducidapor filas.

(A|B) ∼∼ ...... ∼ (A”|B”)



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Ejemplo

Estudiar la consistencia o inconsitencia del sistema:

2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10

−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2

x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4

3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17



EjemplosEjercicios

Ejemplo


2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10

−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2

x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4

3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17

2 −4 16 −14 |10−1 5 −17 19 | − 21 −3 11 −11 |43 −4 18 −13 |17



EjemplosEjercicios

Ejemplo


2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10

−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2

x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4

3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17

2 −4 16 −14 |10−1 5 −17 19 | − 21 −3 11 −11 |43 −4 18 −13 |17

∼F1←→F3

1 −3 11 −11 |4−1 5 −17 19 | − 22 −4 16 −14 |103 −4 18 −13 |17



EjemplosEjercicios

Ejemplo


2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10

−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2

x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4

3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17

2 −4 16 −14 |10−1 5 −17 19 | − 21 −3 11 −11 |43 −4 18 −13 |17

∼F1←→F3

1 −3 11 −11 |4−1 5 −17 19 | − 22 −4 16 −14 |103 −4 18 −13 |17

∼F1+F2 −2F1+F3 −3F1+F4



EjemplosEjercicios

1 −3 11 −11 |40 2 −6 8 |20 2 −6 8 |20 5 −15 20 p 5



EjemplosEjercicios

1 −3 11 −11 |40 2 −6 8 |20 2 −6 8 |20 5 −15 20 p 5

∼ 12F2

1 −3 11 −11 |40 1 −3 4 |10 2 −6 8 |20 5 −15 20 |5



EjemplosEjercicios

1 −3 11 −11 |40 2 −6 8 |20 2 −6 8 |20 5 −15 20 p 5

∼ 12F2

1 −3 11 −11 |40 1 −3 4 |10 2 −6 8 |20 5 −15 20 |5

∼−2F2+F3 −5F2+F4

1 −3 11 −11 |40 1 −3 4 |10 0 0 0 |00 0 0 0 |0



EjemplosEjercicios

1 −3 11 −11 |40 2 −6 8 |20 2 −6 8 |20 5 −15 20 p 5

∼ 12F2

1 −3 11 −11 |40 1 −3 4 |10 2 −6 8 |20 5 −15 20 |5

∼−2F2+F3 −5F2+F4

1 −3 11 −11 |40 1 −3 4 |10 0 0 0 |00 0 0 0 |0

↑



EjemplosEjercicios

x2 − 3x3 + 4x4 = 1



EjemplosEjercicios

x2 − 3x3 + 4x4 = 1x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R



EjemplosEjercicios

x2 − 3x3 + 4x4 = 1x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R

x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4



EjemplosEjercicios

x2 − 3x3 + 4x4 = 1x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R

x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4x1 = 4 + 3x2 − 11x3 + 11x4



EjemplosEjercicios

x2 − 3x3 + 4x4 = 1x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R

x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4x1 = 4 + 3x2 − 11x3 + 11x4

x1 = 4 + 3(1 + 3x3 − 4x4)− 11x3 + 11x4



EjemplosEjercicios

x2 − 3x3 + 4x4 = 1x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R

x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4x1 = 4 + 3x2 − 11x3 + 11x4

x1 = 4 + 3(1 + 3x3 − 4x4)− 11x3 + 11x4x1 = 7− 2x3 − x4



EjemplosEjercicios

x2 − 3x3 + 4x4 = 1x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R

x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4x1 = 4 + 3x2 − 11x3 + 11x4

x1 = 4 + 3(1 + 3x3 − 4x4)− 11x3 + 11x4x1 = 7− 2x3 − x4

Conjunto solucion:S = {(7 − 2x3 − x4, 1 + 3x3 − 4x4, x3, x4)

t | x3, x4 ∈ R}



EjemplosEjercicios

Ejemplo



EjemplosEjercicios

Ejemplo

Encontrar una funcion cuadratica que pase por lospuntos:P(−1, 4), Q(2, 1) y R(3, 4).



EjemplosEjercicios

Ejemplo


Solucion



EjemplosEjercicios

Ejemplo


Solucion

Una funcion cuadratica es de la forma:

y = ax2 + bx + c



EjemplosEjercicios

Ejemplo


Solucion


y = ax2 + bx + c

Como contiene los puntos: P, Q y R, entonces al reemplazar suscoordenadas obtenemos el sistema:



EjemplosEjercicios

Ejemplo


Solucion


y = ax2 + bx + c

Como contiene los puntos: P, Q y R, entonces al reemplazar suscoordenadas obtenemos el sistema:

a − b + c = 4

4a + 2b + c = 1

9a + 3b + c = 4



EjemplosEjercicios

Solucion Continuacion



EjemplosEjercicios


La matriz aumentada es:

1 −1 1 |44 2 1 |19 3 1 |4



EjemplosEjercicios



1 −1 1 |44 2 1 |19 3 1 |4

Aplicamos Gauss-Jordan

1 −1 1 |44 2 1 |19 3 1 |4

∼

1 −1 1 | 40 6 −3 | − 150 12 −8 | − 32

∼

1 −1 1 |40 1 −1

2|−52

0 12 −8 | − 32

∼

1 −1 1 | 40 1 −1

2| −5

2

0 0 −2 | − 2

∼

1 −1 1 | 40 1 −1

2|−52

0 0 1 |1



EjemplosEjercicios



1 −1 1 |44 2 1 |19 3 1 |4


1 −1 1 |44 2 1 |19 3 1 |4

∼

1 −1 1 | 40 6 −3 | − 150 12 −8 | − 32

∼

1 −1 1 |40 1 −1

2|−52

0 12 −8 | − 32

∼

1 −1 1 | 40 1 −1

2| −5

2

0 0 −2 | − 2

∼

1 −1 1 | 40 1 −1

2|−52

0 0 1 |1

se aplicaron las operaciones:



EjemplosEjercicios



1 −1 1 |44 2 1 |19 3 1 |4


1 −1 1 |44 2 1 |19 3 1 |4

∼

1 −1 1 | 40 6 −3 | − 150 12 −8 | − 32

∼

1 −1 1 |40 1 −1

2|−52

0 12 −8 | − 32

∼

1 −1 1 | 40 1 −1

2| −5

2

0 0 −2 | − 2

∼

1 −1 1 | 40 1 −1

2|−52

0 0 1 |1

se aplicaron las operaciones:

−4F1 + F2;−9F1 + F3;16F2;−12F2 + F3;

−12F3.



EjemplosEjercicios

Continuacion



EjemplosEjercicios

Continuacion

De la ultima fila:

c = 1

De la segunda fila:

b = −52

+ 12(1) = −2

De la primera fila:

a = 4 + (−2)− (1) = 1

Solucion Unica



EjemplosEjercicios

Continuacion

De la ultima fila:

c = 1

De la segunda fila:

b = −52

+ 12(1) = −2

De la primera fila:

a = 4 + (−2)− (1) = 1

Solucion UnicaLa funcion cuadratica buscada es:

y = x2 − 2x + 1



EjemplosEjercicios

Ejemplo



EjemplosEjercicios

Ejemplo

Balancear la reaccion quimica:



EjemplosEjercicios

Ejemplo


xCH4 + yO2 → zCO2 + wH2O



EjemplosEjercicios

Ejemplo



Solucion



EjemplosEjercicios

Ejemplo



Solucion

x , y , z ,w representan el numero de moleculas de cada sustancia,para tener balanceada la reaccion el numero de atomos en cadamiembro debe ser igual, es decir:



EjemplosEjercicios

Ejemplo



Solucion

x , y , z ,w representan el numero de moleculas de cada sustancia,para tener balanceada la reaccion el numero de atomos en cadamiembro debe ser igual, es decir:x = z, 4x = 2w, y 2y = 2z + wEquivalente al sistema:



EjemplosEjercicios

Ejemplo



Solucion

x , y , z ,w representan el numero de moleculas de cada sustancia,para tener balanceada la reaccion el numero de atomos en cadamiembro debe ser igual, es decir:x = z, 4x = 2w, y 2y = 2z + wEquivalente al sistema:

x − z = 0

2x − w = 0

2y − 2z − w = 0

Sistema Homogeneo



EjemplosEjercicios

Continuacion Solucion



EjemplosEjercicios





EjemplosEjercicios



1 0 −1 0 |02 0 0 −1 |00 2 −2 −1 |0



EjemplosEjercicios



1 0 −1 0 |02 0 0 −1 |00 2 −2 −1 |0

Aplicamos Gauss



EjemplosEjercicios



1 0 −1 0 |02 0 0 −1 |00 2 −2 −1 |0

Aplicamos Gauss

1 0 −1 0 |02 0 0 −1 |00 2 −2 −1 |0

∼

1 0 −1 0 |00 0 2 −1 |00 2 −2 −1 |0

∼

1 0 −1 0 |00 2 −2 −1 |00 0 2 −1 |0

∼

1 0 −1 0 |00 1 −1 −1

2|0

0 0 1 −12|0



EjemplosEjercicios



1 0 −1 0 |02 0 0 −1 |00 2 −2 −1 |0

Aplicamos Gauss

1 0 −1 0 |02 0 0 −1 |00 2 −2 −1 |0

∼

1 0 −1 0 |00 0 2 −1 |00 2 −2 −1 |0

∼

1 0 −1 0 |00 2 −2 −1 |00 0 2 −1 |0

∼

1 0 −1 0 |00 1 −1 −1

2|0

0 0 1 −12|0

De la tercera fila se obtiene: z = 12w

De la segunda fila:y = z + 12w = 1

2w + 1

2w = w

De la primera: x = z



EjemplosEjercicios



1 0 −1 0 |02 0 0 −1 |00 2 −2 −1 |0

Aplicamos Gauss

1 0 −1 0 |02 0 0 −1 |00 2 −2 −1 |0

∼

1 0 −1 0 |00 0 2 −1 |00 2 −2 −1 |0

∼

1 0 −1 0 |00 2 −2 −1 |00 0 2 −1 |0

∼

1 0 −1 0 |00 1 −1 −1

2|0

0 0 1 −12|0

De la tercera fila se obtiene: z = 12w

De la segunda fila:y = z + 12w = 1

2w + 1

2w = w

De la primera: x = zEl conjunto solucion del sistema de ecuaciones es:S = {(x , y , z ,w) = (1

2w ,w , 1

2w ,w)|w ∈ R} Infinitas soluciones



EjemplosEjercicios



EjemplosEjercicios

Pero en el contexto del problema, x , y , z y w deben tomar valoresenteros positivos por lo tanto el menor valor que puede tomar w es2.Y si es ası una de las soluciones del problema es:



EjemplosEjercicios

Pero en el contexto del problema, x , y , z y w deben tomar valoresenteros positivos por lo tanto el menor valor que puede tomar w es2.Y si es ası una de las soluciones del problema es:

x = 1y = 2z = 1w = 2



EjemplosEjercicios

Ejemplo



EjemplosEjercicios

Ejemplo

Determinar (si existen ) valores de x , y , z para los cuales la matriz:



EjemplosEjercicios

Ejemplo


A =

3 2x − 1 −y + 5zy − 3z −2 3 + 5x + 5y3x + 2 21z 4

es simetrica.



EjemplosEjercicios

Ejemplo


A =

3 2x − 1 −y + 5zy − 3z −2 3 + 5x + 5y3x + 2 21z 4

es simetrica.

Solucion



EjemplosEjercicios

Ejemplo


A =

3 2x − 1 −y + 5zy − 3z −2 3 + 5x + 5y3x + 2 21z 4

es simetrica.

Solucion

La matriz A es simetrica si satisface que A = At , por lo tanto sedebe cumplir:



EjemplosEjercicios

Ejemplo


A =

3 2x − 1 −y + 5zy − 3z −2 3 + 5x + 5y3x + 2 21z 4

es simetrica.

Solucion


2x − 1 = y − 3z

−y + 5z = 3x + 2

21z = 3 + 5x + 5y



EjemplosEjercicios

Ejemplo


A =

3 2x − 1 −y + 5zy − 3z −2 3 + 5x + 5y3x + 2 21z 4

es simetrica.

Solucion


2x − 1 = y − 3z

−y + 5z = 3x + 2

21z = 3 + 5x + 5y

⇄

2x − y + 3z = 1

3x + y − 5z = −2

5x + 5y − 21z = −3



EjemplosEjercicios

Solucion-Continuacion



EjemplosEjercicios



2 −1 3 |13 1 −5 | − 25 5 −21 | − 3



EjemplosEjercicios



2 −1 3 |13 1 −5 | − 25 5 −21 | − 3

Aplicando operaciones elementales (¿Cuales?) se obtiene:



EjemplosEjercicios



2 −1 3 |13 1 −5 | − 25 5 −21 | − 3


2 −1 3 |13 1 −5 | − 25 5 −21 | − 3

∽ · · · ∽

1 2 −8 |10 −5 −19 | − 70 0 0 |10



EjemplosEjercicios



2 −1 3 |13 1 −5 | − 25 5 −21 | − 3


2 −1 3 |13 1 −5 | − 25 5 −21 | − 3

∽ · · · ∽

1 2 −8 |10 −5 −19 | − 70 0 0 |10

En la ultima fila se lee que 0 = 10 (7→←) Contradictorio.



EjemplosEjercicios



2 −1 3 |13 1 −5 | − 25 5 −21 | − 3


2 −1 3 |13 1 −5 | − 25 5 −21 | − 3

∽ · · · ∽

1 2 −8 |10 −5 −19 | − 70 0 0 |10

En la ultima fila se lee que 0 = 10 (7→←) Contradictorio.Esto nos permite concluir que este sistema es Inconsistente y porlo tanto en el problema no es posible que la matriz A sea simetrica.



EjemplosEjercicios

Ejercicio

1. Determinar los valores de a para los que el sistema:

x + 2y − 3z = 5

2x + 5y − 3z = 14

x + 3y + (4− a2)z = a + 7Tiene unica solucion, tiene infinitas soluciones o esinconsistente.



EjemplosEjercicios

Ejercicio

1. Determinar los valores de a para los que el sistema:

x + 2y − 3z = 5

2x + 5y − 3z = 14

x + 3y + (4− a2)z = a + 7Tiene unica solucion, tiene infinitas soluciones o esinconsistente.

2. La matriz

(

6 −8−1 8

)

es combinacion lineal de las matrices:

A =

(

4 0−2 −2

)

B =

(

1 −12 3

)

C =

(

0 21 4

)

?



EjemplosEjercicios

3. En un lago se cultivan tres especies de peces y les suministran tres tipos de

alimento. Cada pez de la especie 1 consume, por semana, un promedio de 1

unidad de alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimento C.

Cada pez de la especie 2 , consume por semana en promedio 3, 4 y 5

unidades de los alimentos A,B y C respectivamente. El consumo semanal

promedio de cada pez de la especie 3 es 2,1 y 5 unidades de los alimentos

A,B y C respectivamente.Si semanalmente se vierten al lago 15000

unidades de A, 10000 unidades de B y 35000 unidades de C y se consumen

la totalidad de los tres alimentos.¿Que poblaciones de las tres especies

pueden coexistir en el lago?

3. Determinar si existe una matriz X2×2 que satisfaga la igualdad:

(

2 6

1 3

)

X + 2

(

−1 2

3 1

)

=

(

8 11

6 3

)t


Sistemas de ecuaciones lineales

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