Sistemas de Ecuaciones Lineales
of 46
Transcript of Sistemas de Ecuaciones Lineales
-
OBJETIVO
Resolver problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales homogneas y no homogneas mediante la
interpretacin, expresin y representacin en trminos de matrices y determinantes utilizando definiciones
propiedades y mtodos adecuados para cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniera y ciencias
aplicadas.
CONTENIDO:
4.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4.2 METODOS PARA SOLUCIONAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
4.3 CUESTIONARIO
4.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
En esta seccin introduciremos terminologa bsica, estudiaremos los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones
lineales y sus formas de soluciones. Enunciaremos y demostraremos las propiedades ms importantes.
En el curso de Algebra Lineal la solucin del sistema AX = B se expresa,
corrientemente, segn el mtodo de Cramer como una razn de los determinantes.
Dichas frmulas no sirven para la resolucin numrica del sistema AX = B, puesto
que requieren el clculo de n + 1 determinantes, lo que, a su vez, exige un gran
nmero de operaciones aritmticas, hasta n!. Si incluso escogemos el mejor
mtodo, para el clculo de un solo determinante se necesitar aproximadamente
tanto tiempo que se requiere para la resolucin de un sistema de ecuaciones
lineales por los mtodos numricos modernos. Adems, hemos de tener en cuenta,
que los clculos segn las frmulas de Cramer conducen con frecuencia a los
grandes errores de redondeo.
La peculiaridad de la mayora de los mtodos numricos para AX = B consiste en
que se abandona la idea de buscar la matriz inversa. El requisito principal que se
levanta ante el mtodo de resolucin es el mnimo de operaciones aritmticas
suficientes para la bsqueda de una solucin aproximada con la precisin
prefijada.
Los mtodos directos permiten obtener, despus de un nmero finito de
operaciones, una solucin exacta del sistema de ecuaciones lineales, siempre que la
informacin de entrada viene dada con toda la exactitud y los clculos se realizan
sin redondeo. El mtodo iterativo permite hallar la solucin aproximada del
sistema construyendo una sucesin de aproximaciones, a partir de cierta
aproximacin inicial. La propia solucin aproximada es el resultado de los clculos
obtenido despus de haberse realizado un nmero finito de iteraciones.
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
140
Calcular los conjuntos de valores simultneos de varias incgnitas, que satisfagan
a varias ecuaciones; se dice entonces que estas ecuaciones forman un sistema, y
cada conjunto de valores que las satisface a todas se llama una solucin. Un
sistema sin soluciones, se llama inconsistente; y si tiene infinitas soluciones, se
llama indeterminado.
DEFINICION 4.1.1
Una ecuacin lineal sobre en n variables es una expresin de la forma:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
donde los ai, b son nmeros conocidos y los xi son variables. Los ai se
denominan coeficientes de los xi respectivos, y b es el trmino
independiente de la ecuacin.
Las ecuaciones en dos variables se representan geomtricamente por una recta;
las tres variables por un plano; para ms de tres variables no se tienen
representacin visual, pero los gemetras le llaman hiperplano.
Una solucin de la ecuacin lineal
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
es un conjunto ordenado de n valores k1, k2, ..., kn tales que
a1k1 + a2k2 + ... + ankn = b.
Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables, es una expresin de la
forma
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
donde los aij y los bi pertenecen a los nmeros reales. El primer subndice en los
coeficientes indica el nmero de la ecuacin, y el segundo, el nmero de la
variable. Para un sistema de m ecuaciones lineales en n variables xi, i = 1, 2, ..., n,
el conjunto solucin S es el subconjunto de n definido por S = S1 S2 ... Sm donde Si es el conjunto solucin de la i-sima ecuacin, i = 1, 2, ..., m.
Si m = n = 2, se tienen dos ecuaciones en las dos incgnitas x e y
11 12 1
21 22 2
a x a y b
a x a y b
si se interpretan x, y como coordenadas en el plano xy, entonces cada una de las
dos ecuaciones representa una recta y (x, y) es una solucin si, y slo si, el punto
P(x, y) se encuentra sobre ambas rectas. De aqu que se tienen tres casos posibles:
1.- ninguna solucin si las rectas son paralelas;
2.- precisamente una solucin si se interceptan;
3.- un nmero infinito de soluciones si coinciden.
Nos formaremos ciertas ideas de las complicaciones que pueden surgir
considerando el caso de tres ecuaciones con tres incgnitas. Cada una de esas
ecuaciones representa un plano en el espacio, y el determinante de los coeficientes
se anula si:
1.- dos cualesquiera de los tres planos son coincidentes o paralelos.
2.- la recta de interseccin de dos de los planos pertenece o es paralela al tercer
plano.
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
141
Toda solucin del sistema de ecuaciones corresponde a un punto situado en los tres
planos. En los casos 1) y 2) no existe punto alguno que est en los tres planos, o
bien hay infinitos. En particular, hay infinitas soluciones si los tres planos se
cortan a lo largo de una misma recta. El conjunto de todas las soluciones a un
sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de conjunto solucin del sistema.
Una solucin del sistema de ecuaciones lineales
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
es un conjunto ordenado de n valores k1, k2, ..., kn tales que
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a k a k a k b
a k a k a k b
a k a k a k b
Para cualesquiera sistemas de ecuaciones lineales, se presentan tres tipos de
conjunto solucin:
1.- Un conjunto solucin que contiene solamente un elemento. Se dice que el
sistema tiene solucin nica y se denomina sistema compatible determinado;
2.- Un conjunto solucin que contiene ms de un elemento. En este caso se dice
que el sistema tiene ms de una solucin y se denomina sistema compatible
indeterminado;
3.- Un conjunto solucin vaco. Se dice que el sistema no tiene solucin y se
denomina sistema incompatible.
DEFINICION 4.1.2
Se llama sistema de m ecuaciones homogneas y n incgnitas, al
sistema
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
siempre que b1 = b2 = ... = bm = 0, es decir, cuando todos los trminos
independientes son nulos.
Un sistema de este tipo se da a continuacin
2 5 0
7 9 2 0
5 0
x y z u
x y z u
x y z u
DEFINICION 4.1.3
Se llama sistema de m ecuaciones no homogneas y n incgnitas, al
sistema
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
siempre que al menos un bi 0.
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
142
Un sistema de este tipo se da a continuacin
2 3 5 2
2 1
5 0
x y z u
x y z u
x y z u
DEFINICION 4.1.4
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es sobredeterminado si hay
ms ecuaciones que incgnitas. Se dice que un sistema de ecuaciones
lineales est escasamente determinado si hay menos ecuaciones que
incgnitas.
Los sistemas sobredeterminados suelen ser inconsistentes, pero no lo son siempre.
Aunque es posible que los sistemas escasamente determinados sean inconsistentes,
en general son consistentes con muchas soluciones. Es posible que un sistema
escasamente determinado tenga solucin nica.
DEFINICION 4.1.5
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es no susceptible, si errores
pequeos en los coeficientes o en el proceso de resolucin slo tienen un
efecto pequeo sobre la solucin. Y es susceptible, si errores pequeos en
los coeficientes o en el proceso de resolucin tienen un efecto grande
sobre la solucin.
Para el sistema de ecuaciones no susceptible, la solucin est indicada con relativa
intensidad por las ecuaciones. Para el sistema de ecuaciones susceptible, la
solucin est indicada con relativa debilidad por las ecuaciones.
Dos ecuaciones lineales en dos incgnitas representan dos rectas. Un sistema tal es
susceptible si, y slo si, el ngulo entre las rectas es pequeo, es decir, si, y slo si,
las rectas son casi paralelas. En efecto, entonces un pequeo cambio en un
coeficiente puede provocar un gran desplazamiento del punto de interseccin de
las rectas. Para sistemas mayores de ecuaciones lineales, la situacin es semejante
en principio, pero no es posible una interpretacin geomtrica tan sencilla y no
podramos seguir cada detalle de la situacin.
PROBLEMAS
4.1.1 Sea A una matriz de 3 x 2. Explique por qu la
ecuacin AX = B no puede ser consistente tiene slo la
solucin nula si y slo si (QA)X = O slo tiene la
solucin nula.
4.1.2 Sean AX = O un sistema homogneo de n
ecuaciones lineales con n incgnitas y Q una matriz
invertible de n x n. Demuestre que AX = O solucin fija.
Demuestre que toda solucin del sistema se puede
escribir en la forma X = X1 + X0, donde X0 es una
solucin de AX = O. Tambin demuestre que toda
matriz de esta forma es una solucin.
4.1.3 Sea A una matriz de 5 x 3 y sean Y un vector en
3 y Z un vector en 5. Suponga que AY = Z. Qu hecho permite concluir que el sistema AX = 4Z es
consistente?
4.1.4 Sea AX = O un sistema homogneo de n ecua-
ciones lineales en n incgnitas que slo tiene la solu-
cin nula. Demuestre que si k es cualquier entero posi-
tivo, entonces el sistema AkX = O tambin tiene slo la
solucin nula.
4.1.5 Sea A una matriz de 3 x 4, sean Y1 y Y2 vectores
en 3 y sea W = Y1 + Y2. Suponga que Y1 = AX1 y que
Y2 = AX2 para algunos vectores X1 y X2 en 4. Qu
hecho permite concluir que el sistema AX = W es
consistente?
4.1.6 Sea AX = B cualquier sistema de ecuaciones
lineales consistentes, y sea X1 una para toda B en 3.
Generalice el argumento para el caso de una matriz A
arbitraria con ms filas que columnas.
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
143
4.2 METODOS PARA SOLUCIONAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
En esta seccin analizaremos la resolucin de un sistema de ecuaciones lineales por diversos mtodos, de acuerdo
a su estructura. Se enunciarn las propiedades ms importantes.
I. ELIMINACION GAUSSIANA
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a un segundo sistema de
ecuaciones lineales, si el primero puede obtenerse a partir del segundo por medio de
operaciones elementales. Adems los sistemas equivalentes de ecuaciones lineales
tienen los mismos conjuntos de soluciones.
DEFINICION 4.2.1
Sea S un sistema lineal de la forma
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
y sea S un sistema lineal de las mismas dimensiones que S 11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Los sistemas lineales S y S se llaman equivalentes, si ambos son
simultneamente son compatibles y tienen las mismas soluciones.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n variables, se va
a estudiar el mtodo de reduccin a la forma escalonada, que consiste en la
eliminacin sucesiva de las variables para reducir el sistema a uno equivalente ms
simple mediante la aplicacin de las operaciones elementales siguientes:
TIPO 1. La ecuacin E(i) puede multiplicarse por cualquier escalar a diferente de
cero y se puede usar la ecuacin resultante en lugar de E(i). Notamos esta operacin
como aE(i) E(i);
TIPO 2. La ecuacin E(j) puede multiplicarse por cualquier escalar a, sumarla a la
ecuacin m-1 ecuaciones restantes y se obtenga el sistema equivalente:
11 1 12 2 1 1
(1) (1) (1)222 2 2
(1) (1) (1)22
...
...
...
...
n n
nn
mn n mm
a x a x a x b
a x a x b
a x a x b
Al pasar a la ejecucin del segundo paso, supongamos que el elemento (1)22a , llamado
elemento principal del segundo paso, es distinto de cero. (En caso contrario, es
necesario efectuar la respectiva permutacin de las ecuaciones.)
11 1 12 2 1 1
(1) (1) (1) (1)2 322 23 2 2
(2) (2) (2) (2)3 433 34 3 3
(2) (2) (2) (2)3 43 4
...
...
...
...
...
n n
nn
nn
mn n mm m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
144
Despus del paso m-1 llegamos al sistema triangular
11 1 12 2 1 1
(1) (1) (1) (1)2 322 23 2 2
(2) (2) (2) (2)3 433 34 3 3
( 1) ( 1)
...
...
...
...
n n
nn
nn
n nmn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x b
La reduccin del sistema inicial S a la forma triangular actual finaliza la primera
etapa de elaboracin de la solucin segn el mtodo de reduccin a la forma
escalonada. La segunda etapa, la marcha inversa, consiste en resolver el ltimo
sistema triangular. Se realiza del modo siguiente, de la ltima ecuacin se determina
xn. De acuerdo con el valor hallado de xn de la ecuacin m-1 determinamos xn-1, a
continuacin, con los valores de xn-1 y xn de la ecuacin m-2 hallamos xn-2, etc., el
clculo sucesivo de las incgnitas contina hasta que se determina x1 de la primera
ecuacin, aqu termina el proceso de construccin de la solucin del sistema S con la
ayuda de la resolucin del sistema triangular equivalente al primero.
Si durante el proceso de reduccin se llega a un sistema tal, que una de las
ecuaciones del sistema equivalente es de la forma 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = bn, bn 0, se dice que el sistema inicial es E(i), y usar la ecuacin resultante en lugar de
E(i). Esta operacin la notaremos como E(i) + aE(j) E(i);
TIPO 3. Las ecuaciones E(i) y E(j) se pueden intercambiar, es decir E(i) E(j).
TEOREMA 4.2.1
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, si uno se obtiene
del otro aplicando una sucesin finita de operaciones elementales.
DEMOSTRACION
Es suficiente demostrar la equivalencia de los sistemas S y S, obtenido de S, al
aplicar una operacin elemental. Observemos, que el sistema S se obtiene del
sistema S tambin como resultado de una operacin elemental; por cuanto estas
operaciones son inversibles. En otras palabras, en el caso del tipo 1, cambiando otra
vez de lugar a las ecuaciones i y t, regresamos al sistema inicial; anlogamente, en el
caso del tipo 2, sumando la i-sima ecuacin en S, la t-sima ecuacin multiplicada
por r, obtendremos la i-sima ecuacin del sistema S. Demostremos ahora, que cualquier solucin k1, k2, ..., kn del sistema S resulta tambin solucin del sistema S.
Si fue realizada una operacin elemental del tipo 1, entonces, las propias ecuaciones,
en general, no cambiaron. Por eso, los nmeros k1, k2, ..., kn, que antes las satisfacan,
las satisfacern luego de la operacin elemental. En el caso de una operacin
elemental del tipo 2, las ecuaciones, excepto la i-sima, no se modificaron, y por eso
la solucin k1, k2, ..., kn satisface a stas como antes. En virtud de la reversibilidad de
las operaciones elementales, las reflexiones realizadas demuestran tambin que,
recprocamente, cualquier solucin del sistema S ser solucin del sistema S. Queda
observar, que la incompatibilidad de un sistema proporciona la incompatibilidad del
otro.
Si en el sistema S se considera que a11 0, para cada i > 1 llamado elemento principal del primer paso (En el caso de que a11 = 0 cambiamos de lugar las
ecuaciones con los nmeros 1 e i, donde ai1 0.) se aplican las operaciones elementales de modo que se sustituya la ecuacin i-sima por la ecuacin que se
obtiene multiplicando la primera por a11 y se sume con la i-sima, de tal forma que se elimine x1 en las incompatible, y, por tanto, no tiene solucin. Si en los
sistemas equivalentes se llega a una ecuacin de la forma 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0,
esta puede eliminarse sin que se afecte la solucin del sistema.
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
145
Calculemos el nmero de operaciones que hay que efectuar para obtener la solucin
del sistema de ecuaciones lineales. Para reducir el sistema de ecuaciones a la forma
escalonada, aceptando que m = n, tendremos que realizar n inversiones
n2 + (n 1)2 + ... + 12 =
1
6(2n + 1)(n + 1)n
multiplicaciones y
( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 2) 2 1
3
n n nn n n n
adiciones. Adems, para hallar del sistema reducido las incgnitas habr que realizar
adicionalmente
1 + 2 + ... + (n 1) = 1
2n(n 1)
multiplicaciones y un nmero igual de adiciones. Por consiguiente, para resolver el
sistema de ecuaciones lineales empleando el mtodo de Gauss, es necesario realizar,
en el caso general, n inversiones
1
3n(n
2 + 3n 1)
1
3n
3
multiplicaciones y
1
6n(2n
2 + 3n 5)
1
3n
3
adiciones. En resumen, este mtodo de reduccin se puede aplicar a cualquier
sistema de ecuaciones lineales. Debe observarse, adems, que el mtodo de
reduccin es sistemtico y que no se reduce a ningn artificio a base de los nmeros
particulares que aparecen en las ecuaciones.
TEOREMA 4.2.2
Para la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales es necesario y
suficiente que, despus de ser reducido a la forma escalonada, en l no se
encuentren ecuaciones del tipo 0 = b i, con b i 0. Si esta condicin se cumple, entonces, a las incgnitas independientes se les puede dar valores
arbitrarios; las incgnitas principales se determinan unvocamente en el
sistema de ecuaciones.
DEMOSTRACION
Comencemos con la cuestin de la compatibilidad. Es evidente, que si el sistema
11 1 1 1
2 2 2
3 3 3
1
0
0
n n
k k n n
t t n n
r s s r n n r
r
m
a x a x b
a x a x b
a x a x b
a x a x b
b
b
(1)
contiene ecuaciones del tipo 0 = bi, con bi 0, entonces, este sistema es incompatible, puesto que la igualdad 0 = bi no puede ser satisfecha por ningn valor
para las incgnitas. Demostremos, que si en el sistema (1) no hay tales ecuaciones,
entonces el sistema es compatible. Y bien, sea bi = 0 para i > r. Llamaremos
incgnitas principales a x1, xk, ..., xs, con las cuales comienzan la primera, segunda,
..., y r-sima ecuaciones, respectivamente; las restantes incgnitas, si es que las hay,
se denominan independientes. Por definicin, slo hay r incgnitas principales.
Otorgamos a las incgnitas independientes valores arbitrarios, y los sustituimos en el
sistema (1). Entonces, para ks se obtiene una ecuacin de tipo axs = b, con a = ar s 0, la cual tiene solucin nica. Sustituyendo el valor obtenido xs = ks en las primeras
r 1 ecuaciones, y yendo por el sistema (1) de abajo hacia arriba, nos convencemos
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
146
de que los valores de las incgnitas principales se determinan unvocamente para
cualquier valor que se d a las incgnitas independientes.
TEOREMA 4.2.3
Un sistema de ecuaciones lineales tiene solucin nica si y slo si el
sistema reducido correspondiente tiene la misma solucin.
DEMOSTRACION
De la forma en que reducimos el sistema es claro que si cierto conjunto de nmeros
x1, x2, ..., xn satisface el sistema original, cumplen tambin el sistema reducido. Ahora
cambiamos los papeles del sistema original reducido. Si comenzamos con el sistema
reducido, el sistema original se puede obtener de ste por alguna combinacin de las
tres operaciones elementales. Ahora es claro que cualquier solucin del sistema
reducido tambin es solucin del sistema original.
TEOREMA 4.2.4
El sistema compatible
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
con n > m es indeterminado.
DEMOSTRACION
Efectivamente, en todo caso r m, por cuanto en el sistema (1) no hay ms ecuaciones que en el sistema dado, las ecuaciones con identidades iguales a cero para
ambos miembros, son desechadas. Por eso, la desigualdad n > m lleva a n > r, lo cual
significa indeterminacin del sistema dado.
EJEMPLO 4.2.1
Utilizando eliminacin gaussiana, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
a.-
3
2 4 3
3 2 8
x y z
x y z
x y z
; b.-
3 4 6 7
5 2 4 5
3 5 3
x y z
x y z
x y z
.
SOLUCION
a.- Multiplicamos la ecuacin 1 por 2 y luego le restamos la fila 2, multiplicamos la
fila 1 por 3 y luego restamos la fila 3:
3
2 1
2 1
x y z
y z
y z
restamos la fila dos a la fila tres:
3
2 1
0 0
x y z
y z
podemos observar que 0 = 0, lo cual indica que el sistema es indeterminado, es decir
tiene un nmero infinito de soluciones:
z = t, x = 2 t, y = 1 + 2t. b.- Se multiplica la ecuacin 1 por 5 y luego le restamos 3 veces la fila 2, y 3 veces
la fila 3:
3 4 6 7
13 21 10
13 21 2
x y z
y z
y z
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
147
restamos la fila dos a la fila tres:
3 4 6 7
13 21 10
0 2
x y z
y z
podemos observar que 0 = 12, lo cual indica que el sistema es inconsistente.
EJEMPLO 4.2.2
Utilizando eliminacin gaussiana, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
a.-
2 3 2 4
3 3 3 2 6
3 2 6
3 3 6
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
; b.-
0
2 3 4 0
3 6 10 0
4 10 20 0
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
.
SOLUCION
a.- A la segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera
fila, a la tercera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera
fila, a la cuarta fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila
2 3 2 4
9 3 2 0
11 2 0
3 8 0
x y z u
y z u
y z u
y z u
A la tercera fila le multiplico por 9 y luego le sumo la segunda fila, a la cuarta fila le multiplico por 9 y luego le sumo la segunda fila:
2 3 2 4
9 3 2 0
6 0
12 35 0
x y z u
y z u
z u
z u
A la cuarta fila le resto 2 veces la tercera fila:
2 3 2 4
9 3 2 0
6 0
33 0
x y z u
y z u
z u
u
Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solucin
nica:
x = 2, y = z = u = 0.
b.- A la segunda fila le resto la primera fila, a la tercera fila le resto la primera fila, a
la cuarta fila le resto la primera fila:
0
2 3 0
2 5 9 0
3 9 19 0
x y z u
y z u
y z u
y z u
A la tercera fila le resto 2 veces la segunda fila, a la cuarta fila le resto 3 veces la
segunda fila:
0
2 3 0
3 0
3 10 0
x y z u
y z u
z u
z u
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
148
A la cuarta fila le resto 3 veces la tercera fila:
0
2 3 0
3 0
0
x y z u
y z u
z u
u
Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solucin
nica:
x = y = z = u = 0.
EJEMPLO 4.2.3
Utilizando eliminacin gaussiana, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
a.-
2 3 1
3 2 4
2 3 6
2 3 4
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
; b.-
2 3 2 6
2 2 3 8
3 2 2 4
2 3 2 8
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
; c.-
2 3 4 5
2 2 3 1
3 2 2 1
4 3 2 5
x y z u
x y z u
x y z u
x y z u
.
SOLUCION
a.- A la segunda fila le restamos 3 veces la primera fila, a la tercera fila le restamos 2
veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos la primera:
2 3 1
4 7 11 7
5 7 8
4 5
x y z u
y z u
y z u
y z u
A la tercera fila le multiplicamos por 4 y luego le sumamos la segunda fila, a la
cuarta fila le multiplicamos por 4 y luego le sumamos la segunda fila:
2 3 1
4 7 11 7
27 39 39
9 9
x y z u
y z u
z u
z u
A la cuarta fila le multiplicamos por 27 y luego le sumamos la tercera fila:
2 3 1
4 7 11 7
27 39 39
1
x y z u
y z u
z u
u
Observamos que el sistema se redujo a la forma triangular, lo cual indica que el
sistema tiene solucin nica:
x = y = -1, z = 0, u = 1.
b.- A la segunda fila le restamos 2 veces la primera fila, a la tercera fila le restamos
3 veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos 2 veces la primera fila:
2 3 2 6
5 8 4
2 5 4 7
7 4 5 20
x y z u
y z u
y z u
y z u
A la tercera fila le multiplicamos por 5 y luego le sumamos 2 veces la segunda
fila, a la cuarta fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos 7 veces la segunda
fila:
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
149
2 3 2 6
5 8 4
2 3
2 4
x y z u
y z u
z u
z u
A la cuarta fila le restamos 2 veces la tercera fila:
2 3 2 6
5 8 4
2 3
5 10
x y z u
y z u
z u
u
Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solucin
nica: x = 1, y = 2, z = -12, u = -2.
c.- A la segunda fila le restamos 2veces la primera fila, a la tercera fila le restamos 3
veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos 4 veces la primera fila:
2 3 4 5
3 4 5 9
2 4 5 7
2 3 5
x y z u
y z u
y z u
y z u
A la tercera fila le multiplicamos por 3 y luego le sumamos la segunda fila
multiplicada por 2, a la cuarta fila le multiplicamos por 3 y luego le sumamos la
segunda fila:
2 3 4 5
3 4 5 9
4 5 3
2 3
x y z u
y z u
z u
z u
A la cuarta fila le multiplicamos por 4 y luego le restamos la tercera fila:
2 3 4 5
3 4 5 9
4 5 3
3
x y z u
y z u
z u
u
Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solucin
nica: x = -2, y = 2, z = -3, u = 3.
II. METODO DE GAUSS JORDAN
El sistema S de ecuaciones lineales
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
puede ser escrito en forma matricial como AX = B, donde A es la matriz m x n de
coeficientes con elementos aij, B es un vector columna en m y X es un vector
columna en n. Efectuando la multiplicacin matricial en la ecuacin
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
m m mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
se ve de inmediato que esto es equivalente al sistema S.
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
150
DEFINICION 4.2.2
En cuanto a la matriz
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
se denomina matriz aumentada del sistema.
Consideremos ahora el sistema lineal no homogneo AX = B, en donde A es de m x
n y B es de m x 1 y tiene al menos un elemento distinto de cero. A continuacin
enunciaremos un teorema, en el cual se basara el mtodo de las operaciones
elementales.
TEOREMA 4.2.5
Un sistema homogneo de m ecuaciones lineales con n incgnitas tiene un
nmero indeterminado de soluciones si n > m.
DEMOSTRACION
Cuando la matriz de coeficientes se ha reducido, la matriz aumentada del sistema
reducido tiene una ltima columna formada nicamente por ceros. Entonces, el
sistema tiene una solucin, pero puede que no tenga soluciones no nulas. Sin
embargo, consideremos los elementos aii, i = 1, 2, ..., m de la matriz reducida de
coeficientes. Estos elementos son 0 1. Suponiendo que akk = 0 para algn k y k es el
menor elemento para el cual esto ocurre, la solucin se puede escribir en trminos de
xk y posiblemente de algunas otras variables. Pero tales variables son arbitrarias, y as
tomando a xk 0, tenemos una solucin no trivial. Si todos los aii, i = 1, 2, ..., m, son 1, la ltima fila de la matriz aumentada del sistema reducido es
0, 0, ..., 0, 1, am m+1, am m+2, ..., am n, 0
y
xm = -am m+1xm+1 am m+2xm+2 - ... am nxn
donde xm+1, xm+2, ..., xn son arbitrarias. Tomando xm+1 0 lograremos una solucin no
nula.
TEOREMA 4.2.6
Sea X1 cualquier solucin de AX = B. Entonces X1 X2 es una solucin de AX = O ya que A(X1 - X2) = AX1 - AX2 = B - B = O. Sea X3 = X1 -
X2. Entonces X3 es una solucin de AX = O y por supuesto X1 = X2 +
X3.
DEMOSTRACION
Supongamos que X1 y X2 son soluciones. Entonces AX1 = B y AX2 = B, y por
sustraccin A(X1 X2) = O. Como quiera que si la ecuacin homognea no tiene soluciones no nulas, entonces X1 X2 = O y X1 = X2. Esto muestra la unicidad.
Recprocamente, suponiendo que X3 O es una solucin de la ecuacin homognea, es decir AX3 = O, mientras que X1 es una solucin de AX1 = B, entonces X1 + X3
tambin es solucin, puesto que
A(X1 + X3) = AX1 + AX3 = B + O = B.
Esta es una contradiccin a la unicidad y completa la demostracin.
TEOREMA 4.2.7
Un sistema homogneo de m ecuaciones lineales con m incgnitas tiene
solucin trivial si y slo si la matriz reducida de coeficientes no tiene filas
formadas nicamente por ceros.
DEMOSTRACION
Consideremos los elementos aii, i = 1, 2, ..., m de la matriz reducida de coeficientes.
Si aii = 1 para todo i, la matriz aumentada del sistema reducido es de la forma
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
151
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
y la nica solucin es x1 = x2 = ... = xm = 0, algunos de los aii son cero si y slo si la
ltima fila de esta matriz est formada nicamente por ceros. As, el sistema de
ecuaciones lineales tiene soluciones no nulas si y slo si la matriz reducida de
coeficientes est formada nicamente por ceros.
TEOREMA 4.2.8
Sea la matriz A de n x n. Entonces el sistema de ecuaciones no
homogneo AX = B tiene solucin nica si y slo si el Rang(A) = n.
DEMOSTRACION
Supongamos primero que Rang(A) = n. Entonces AR = I. De donde (A | B)R es de la
forma (I | C) para alguna matriz C de n x 1. El sistema IX = C tiene exactamente una
solucin y esta es la nica solucin del sistema original. Recprocamente,
supongamos que AX = B tiene exactamente una solucin Y. Si AX = O tiene una
solucin Z entonces Y + Z es una solucin de AX = B. Pero entonces Y = Y + Z por
la suposicin de que AX = B tiene solamente una solucin Y. Concluimos que
Z = O y, por tanto, AX = O tiene solamente la solucin trivial. Por lo tanto
Rang(A) = n.
Un sistema homogneo AX = O de m ecuaciones lineales con n incgnitas tiene un
nmero indeterminado de soluciones si el nmero de ecuaciones es menor que el
nmero de incgnitas, es decir n > m.
Sea X1 cualquier solucin de AX = B. Entonces X1 X2 es una solucin de AX = O ya que
A(X1 - X2) = AX1 - AX2 = B - B = O.
Sea X3 = X1 - X2. Entonces X3 es una solucin de AX = O y por supuesto X1 = X2
+ X3.
Como hemos podido ver, cuando un sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones,
puede tener muchas soluciones. En efecto, la situacin general cuando las soluciones
no son nicas, es que ciertas variables se pueden escribir en trminos de otras y estas
son completamente arbitrarias. Podemos pensar en tales variables como parmetros
que pueden variar para generar soluciones. Podremos decir que tenemos la solucin
general de un sistema si tenemos todas las variables expresadas en trminos de
ciertos parmetros en tal forma que toda posible solucin particular se pueda obtener
al asignar valores apropiados a estos parmetros.
Podemos ahora esbozar un procedimiento para encontrar la solucin general de un
sistema lineal no homogneo AX = B:
PASO 1. Reducir (AB) para obtener la matriz reducida de la forma (ARC). Las soluciones de AX = B son las mismas soluciones que las de ARX = C, as que
trabajaremos con este sistema reducido;
PASO 2. Si Rang((AB)) Rang(A), el sistema no tiene solucin y ya terminamos. Si estos dos rangos son iguales continuamos;
PASO 3. Identificamos las incgnitas dependientes. Si la columna j contiene el
elemento principal de la fila i, utilizamos la ecuacin i para escribir xj en trminos de
las incgnitas independientes;
PASO 4. Escribimos una matriz columna
(x1 x2 xn)T
con cada xj dependiente escrita en trminos de las incgnitas independientes y de ci.
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
152
Las incgnitas independientes son arbitrarias y se les puede asignar valores
cualesquiera;
PASO 5. Para aclarar la estructura de la solucin, la escribimos como una suma de
matrices columna multiplicadas por las incgnitas independientes (escalares
arbitrarios), ms una matriz columna que contiene las ci que aparecen en las
expresiones para las incgnitas dependientes. Esta matriz columna constante es una
solucin particular de ARX = C. Ahora tenemos la solucin general de AX = B
escrita como la solucin general de ARX = O ms una solucin particular de
ARX = C, obteniendo la solucin general del sistema no homogneo original.
TEOREMA 4.2.9
Un sistema de ecuaciones lineales AX = B tiene solucin nica si y slo si
el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz (A | B).
DEMOSTRACION
Reduciendo la matriz de coeficientes usando operaciones elementales sobre las filas
podemos lograr el sistema equivalente (I | C) en este caso, y solamente en este caso,
el rango de A es igual al rango de la matriz aumentada (A | B).
Una solucin a un sistema AX = B de m ecuaciones lineales con n incgnitas no
tiene solucin nica si n > m.
Un sistema de ecuaciones lineales AX = B tiene solucin nica si y slo si el sistema
reducido correspondiente tiene la misma solucin.
Si el sistema de ecuaciones lineales AX = B de m ecuaciones y n incgnitas es
consistente, y si r es el rango por filas de la forma escalonada reducida de la matriz
aumentada del sistema, entonces:
1.- Si r < n, el sistema tiene un nmero indeterminado de soluciones. Las soluciones
se expresan en base a n r variables. 2.- Si r = n, el sistema tiene solucin nica.
3.- Si m < n, entonces r m < n, y el sistema tiene un nmero indeterminado de soluciones.
TEOREMA 4.2.10
Un sistema homogneo de n ecuaciones lineales algebraicas con m
incgnitas tiene un nmero indeterminado de soluciones si m > n.
DEMOSTRACION
Escribimos el sistema homogneo de ecuaciones lineales como AX = O con la
matriz A de n x m. Este sistema tiene n ecuaciones y m incgnitas. Si hay ms
incgnitas que ecuaciones, m > n. Ahora, Rang(A) es el nmero de filas distintas de
cero de AR y no puede ser mayor que n. Como Rang(A) n, m Rang(A) m n > 0. Por lo tanto, existe al menos una incgnita independiente a la que se puede asignar
cualquier valor en la solucin general y, por tanto, se le pueden dar valores distintos
de cero llegando a un nmero indeterminado de soluciones.
Ahora podemos bosquejar ahora un procedimiento para resolver el sistema
homogneo de ecuaciones lineales AX = O:
PASO 1. Reducir A a AR. Como el sistema reducido tiene las mismas soluciones
que el sistema original, trabajaremos con el sistema reducido ARX = O;
PASO 2. En el sistema ARX = O, determine si cada incgnita es dependiente o
independiente de acuerdo con el siguiente criterio. Si la columna j contiene el
elemento principal de cualquier fila de A, llame a xj dependiente; si no es as, xj es
independiente;
PASO 3. Exprese cada incgnita dependiente en trminos de las independientes,
usando las filas de AR. Si, por ejemplo, xj es dependiente porque la columna j
contiene el elemento principal de la fila i, podemos resolver para xj en trminos de
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
153
las incgnitas independientes mediante la ecuacin i;
PASO 4. Para obtener la solucin, a las incgnitas independientes se les puede
asignar cualquier valor; las incgnitas dependientes se expresan en trminos de las
independientes usando el paso 3.
TEOREMA 4.2.11
Si A es una matriz de n x m, el nmero de escalares arbitrarios en la
solucin general del sistema homogneo de ecuaciones lineales AX = O es
m Rang(A).
DEMOSTRACION
Si la matriz A es de n x m, el nmero de incgnitas independientes es igual al
nmero total de incgnitas m menos el nmero de incgnitas dependientes. Pero el
nmero de incgnitas dependientes es el nmero de filas de AR que tienen entradas
principales y, por lo tanto, es igual al nmero de filas distintas de cero de AR, es
decir, el rango de A.
TEOREMA 4.2.12
Una solucin de un sistema de ecuaciones lineales AX = B es nica si y
slo si el sistema homogneo de ecuaciones AX = O tiene solucin
trivial.
DEMOSTRACION
Supongamos que X y Y son soluciones. Entonces AX = B y AY = B, y por
sustraccin A(X Y) = O. Como quiera que si la ecuacin homognea tiene solucin trivial, entonces X Y = O y X = Y. Esto muestra la unicidad.
Recprocamente, suponiendo que Z O es una solucin de la ecuacin homognea, es decir AZ = O, mientras que X es una solucin de AX = B, entonces X + Z
tambin es solucin, puesto que
A(X + Z) = AX + AZ = B + O = B.
Esta es una contradiccin a la unicidad.
TEOREMA 4.2.13
La solucin general del sistema no homogneo de ecuaciones, AX = B,
se puede obtener al sumar la solucin general del sistema homogneo
AX = O a cualquier solucin particular del sistema no homogneo.
DEMOSTRACION
Supongamos que Z es una solucin particular del sistema no homogneo, entonces
AZ = B. Suponiendo que X es cualquier otra solucin particular, entonces
AX = B y A(X Z) = AX AZ = B B = O. De donde, Y = X Z es una solucin del sistema de ecuaciones homogneas y entonces se puede obtener de la solucin general del sistema de ecuaciones
homogneas para una eleccin apropiada de ciertos parmetros. As, X = Z + Y, y
como X es cualquier solucin particular, podemos obtener la solucin general del
sistema no homogneo al sumar la solucin general del sistema homogneo a una
solucin particular del sistema no homogneo.
TEOREMA 4.2.14
Un sistema de n ecuaciones lineales algebraicas homogneas con n
incgnitas tiene un nmero indeterminado de soluciones si y slo si el
determinante de la matriz de coeficientes es cero.
DEMOSTRACION
Si Det(A) no es cero la matriz A es no singular. Entonces, al multiplicar los dos
miembros del sistema AX = O por A-1
obtendremos A-1
AX = O, es decir X = O.
Por lo tanto, si Det(A) 0, entonces X = O ser la nica solucin de AX = O. Supongamos a continuacin que el sistema AX = O quede satisfecho por un
vector Y distinto de cero. Si k es el rango de A, entonces n k tiene que ser, por lo menos, igual a 1. Dicho de otro modo, el rango por filas de A ser
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
154
estrictamente menor que n. Pero A no puede ser no singular, es singular y, por lo
tanto, Det(A) = 0. % RESUELVE UN SISTEMA DE ECUACIONES
clc;clear;
fprintf('\n SISTEMA DE ECUACIONES AX=B \n')
fil=input('Ingrese el numero de ecuaciones: ');
col=input('Ingrese el numero de incognitas: ');
%Ingreso de elementos
fprintf('\nIngrese los coeficientes y terminos independientes del sistema\n')
for f=1:fil
fprintf('\n Ingrese los coeficientes (%d)\n', f)
for c=1:col
fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf('\n Ingrese los coeficientes de B \n')
%for f=1:col
for c=1:fil
fprintf('Ingrese el elemento %d',f)
B(c,1)=input(' :');
end
fprintf('\n LA MATRIZ DE COEFICIENTES A ES:\n')
A
end
fprintf('El VECTOR B es:\n')
B
end
fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA DE A ES:')
R1= rref(A);
R1
fprintf('EL RANGO DE LA MATRIZ A ES:')
RangA=rank(A)
fprintf('\n LA MATRIZ AUMENTADA ES: \n',c);
C=[A,B];
C
fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA DE C ES:')
R2= rref(C);
R2
fprintf('EL RANGO DE LA MATRIZ AUMENTADA C ES:')
RangC=rank(C)
end
end
if RangC==col
fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES TIENE SOLUCION UNICA\n')
end
if RangA
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
155
SOLUCION
Construimos la matriz aumentada (A|B) y luego procedemos por el mtodo de Gauss
Jordan:
1 3 1 1 3
2 0 1 1 1
0 1 4 1 6
0 1 1 5 16
A la primera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la segunda fila:
1 3 1 1 3
0 6 1 3 5
0 1 4 1 6
0 1 1 5 16
A la tercera fila le multiplicamos por 6 y luego le sumamos la segunda fila, a la
cuarta fila le multiplicamos por 6 y luego le sumamos la segunda fila, a la primera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la segunda fila:
2 0 1 1 1
0 6 1 3 5
0 0 25 3 41
0 0 5 27 91
A la primera fila le multiplicamos por 25 y luego le restamos la tercera fila, a la
segunda fila le multiplicamos por 25 y luego le restamos la tercera fila, a la cuarta
fila le multiplicamos por 5 y luego le sumamos la tercera fila:
25 0 0 11 8
0 25 0 13 14
0 0 25 3 41
0 0 0 1 3
A la primera fila le restamos 25 veces la cuarta fila y luego dividimos toda la fila
para -25, a la segunda fila le sumamos 13 veces la cuarta fila y luego dividimos toda
la fila para 25, a la tercera fila le restamos 3 veces la cuarta fila y luego dividimos
toda la fila para 25:
4125
5325
3225
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 3
Por lo tanto Rang(A) = Rang(A|B) = 4 y la solucin est dada por el vector siguiente: T
41 53 323
25 25 25
X .
EJEMPLO 4.2.5
Resuelva el sistema
a.- 3 2 0
2 3 0
x y z
x y z
; b.-
2 3 5 2
3 2 4 1
4 2 3 3
x y z
x y z
x y z
; c.-
3 1
2 2 3
4 2 4 6
x y z
x y z
x y z
.
SOLUCION
a.- Este sistema se puede resolver fcilmente sin matrices, pero queremos ilustrar el
mtodo matricial.
PASO 1. Reducir A. Procedemos como sigue: Sumar 2 veces la fila 1 a la fila 2
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
156
1 3 2
0 5 1
multiplicar la fila 2 por -1/5
1 3 2
10 5
5
sumar 3 veces la fila 2 a la fila 1
R
71 0
5
10 1
5
A .
PASO 2. Identificar las incgnitas dependientes e independientes. La entrada
principal de la fila 1 est en la columna 1, as que x es dependiente; anlogamente, y
es dependiente. Finalmente, z es independiente.
PASO 3. Escribimos las incgnitas dependientes en trminos de las independientes.
De la fila 1 de AR, x + 7z/5 = 0, as que x = - 7z/5. De la fila 2, y - z/5 = 0, as que y =
z/5. En estas ecuaciones z es arbitraria.
PASO 4. Por conveniencia, sea x = - 7t/5, y = t/5. En forma matricial, la solucin es
7
5 5
Tt t
t
X .
Esta expresin se llama solucin general del sistema porque obtenemos todas las
soluciones dando a t diferentes valores.
b.- Primero: resolvemos el sistema no homogneo de ecuaciones lineales AX = B.
Construimos la matriz aumentada del sistema:
2 3 5 2
3 2 4 1
4 2 3 3
A la segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila, a
la tercera fila le restamos 2 veces la primera fila:
2 3 5 2
0 13 7 4
0 8 13 1
A la primera fila le multiplicamos por 13 y luego le sumamos 3 veces la segunda fila,
a la tercera fila le multiplicamos por 13 y luego le restamos 8 veces la segunda fila:
13 0 43 7
0 13 7 4
0 0 5 1
A la primera fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos 43 veces la tercera fila y
a continuacin dividimos toda la fila para 65, a la segunda fila le multiplicamos por 5
y luego le sumamos 7 veces la tercera fila y despus dividimos toda la fila para -65:
865
15
15
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Por lo tanto, la solucin est dada por el vector siguiente:
1
8 1 1
65 5 5
T
X .
Segundo: resolvemos el sistema homogneo de ecuaciones lineales AX = O:
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
157
2 3 5
3 2 4
4 2 3
2 3 5
0 13 7
0 8 13
13 0 43
0 13 7
0 0 5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Por lo tanto, la solucin est dada por el vector siguiente: 2 0 0 0X . La solucin al sistema esta dada por X1 + X2, es decir:
8 865 65
1 15 5
1 15 5
0
0
0
X .
Por lo tanto queda comprobado que el sistema tiene una nica solucin.
c.- Encontramos la solucin del sistema AX = B:
1 3 1 1
2 1 2 3
4 2 4 6
1 3 1 1
0 7 4 1
0 14 8 2
7 0 5 10
0 7 4 1
0 0 0 0
De aqu que la solucin general del sistema AX = B es
T1
( ) 10 5 1 4 77
t t t t X .
Si asignamos cualquier valor a t, digamos t = 1, obtenemos una solucin particular:
T1
(1) 15 5 77
X .
A continuacin encontramos la solucin general del sistema AX = O:
1 3 1 0
2 1 2 0
4 2 4 0
1 3 1 0
0 7 4 0
0 14 8 0
7 0 5 0
0 7 4 0
0 0 0 0
De aqu que la solucin general del sistema AX = O es
T1
( ) 5 4 77
t t t tX .
Si asignamos cualquier valor a t, digamos t = 7, obtenemos una solucin particular:
T
(7) 5 4 7X .
Por lo tanto la matriz X = X(7) + X(1) es solucin del sistema AX = B, es decir
T1
50 33 567
X .
EJEMPLO 4.2.6
Utilizando el mtodo de Gauss-Jordan, solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
a.-
3 1
2 2 1
3
2 3 1
x y z
x y z
x y z
x y z
; b.-
2 2
3 5
5 7
2 3 3 14
x y z
x y z
x y z
x y z
; c.-
2 3 3
3 5 0
4 3
3 13 6
x y z
x y z
x y z
x y z
.
SOLUCION
a.- A la segunda fila le restamos 2 veces la primera fila, a la tercera fila le restamos
la primera fila, a la cuarta fila le restamos la primera fila:
1 1 3 1
0 1 4 3
0 0 1 4
0 1 0 2
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
158
a la primera fila le sumamos la segunda fila:
1 0 1 2
0 1 4 3
0 0 1 1
0 1 0 2
a la primera fila le restamos la tercera fila, a la segunda fila le restamos la tercera
fila:
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 1 0 2
a la cuarta fila le restamos la segunda fila:
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 1
por la cuarta fila, tenemos que el sistema de ecuaciones no tiene solucin.
b.- Multiplicamos la segunda fila por 2 y luego le restamos la primera fila,
multiplicamos la tercera fila por 2 y luego le restamos la primera fila, a la cuarta fila
le restamos la primera fila:
2 1 1 2
0 5 1 8
0 1 9 16
0 1 2 6
a la primera fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos la segunda fila,
multiplicamos la tercera fila por 5 y luego le restamos la segunda fila,
multiplicamos la cuarta fila por 5 y luego le restamos la segunda fila:
5 0 2 1
0 5 1 8
0 0 1 2
0 0 1 2
a la primera fila le restamos 2 veces la tercera fila, a la segunda fila le restamos la
tercera fila y a la cuarta fila le sumamos la tercera fila:
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 2
0 0 0 0
el sistema tiene solucin nica, por lo tanto la solucin general es: T(1 2 2) X .
c.- Multiplicamos la segunda fila por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila, a
la tercera fila le restamos 2 veces la primera fila, a la cuarta fila le multiplicamos por
2 y luego le restamos la primera fila:
2 1 3 3
0 5 19 9
0 1 5 3
0 7 29 15
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
159
a la primera fila le multiplicamos por 5 y luego le sumamos la segunda fila, a la
tercera fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos la segunda fila, a la cuarta
fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos 7 veces la segunda fila:
5 0 2 3
0 5 19 9
0 0 1 1
0 0 1 1
a la primera fila le sumamos 2 veces la tercera fila, a la segunda fila le sumamos
19 veces la tercera fila y a la cuarta fila le restamos la tercera fila:
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 1
0 0 0 0
el sistema tiene solucin nica, por lo tanto la solucin general es: T(1 2 1)X .
EJEMPLO 4.2.7
Utilizando el mtodo de Gauss-Jordan, solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
a.-
3 0
2 0
4 2 6 3 4 0
2 4 2 4 7 0
x y u w
x y z u
x y z u w
x y z u w
; b.-
7
3 2 3 2
2 2 6 23
5 4 3 3 12
x y z u w
x y z u w
y z u w
x y z u w
.
SOLUCION a.- A la segunda fila le restamos la primera fila, a la tercera fila le restamos 4 veces
la primera fila y a la cuarta fila le restamos 2 veces la primera fila:
1 1 0 3 1 0
0 2 2 2 1 0
0 2 2 5 0 0
0 2 2 10 5 0
multiplicamos la primera fila por 2 y luego le restamos la segunda fila, a la tercera
fila le restamos la segunda fila y a la cuarta fila le sumamos la segunda fila:
2 0 2 4 1 0
0 2 2 2 1 0
0 0 0 3 1 0
0 0 0 3 1 0
multiplicamos la primera fila por 3 y luego le sumamos 4 veces la tercera fila,
multiplicamos la segunda fila por 3 y luego le restamos 2 veces la tercera fila y a
la cuarta fila le restamos la tercera fila:
6 0 6 0 7 0
0 6 6 0 5 0
0 0 0 3 1 0
0 0 0 0 0 0
en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene un
nmero indeterminado de soluciones y stas se dan de la siguiente manera:
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
160
T7 5
6 6 3
t t tr r r t
X .
b.- A la segunda fila le restamos 3 veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos
5 veces la primera fila:
1 1 1 1 1 7
0 1 2 2 6 23
0 1 2 2 6 23
0 1 2 2 6 23
a la primera fila le restamos la segunda fila, a la tercera fila le sumamos la
segunda fila y a la cuarta fila le restamos la segunda fila:
1 0 1 1 5 16
0 1 2 2 6 23
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene un
nmero indeterminado de soluciones y stas se dan de la siguiente manera:
T
16 23 2 2 6t r s t r s t r s X .
EJEMPLO 4.2.8
Utilizando el mtodo de Gauss-Jordan, solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
a.-
4 6 4 0
4 6 4 0
4 4 6 0
6 4 4 0
4 6 4 0
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
; b.-
2 2
2 0
3 3
4 2
5 5
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
.
SOLUCION a.- A la segunda fila le restamos la primera fila, a la tercera fila le restamos 4 veces
la primera fila, a la cuarta fila le restamos 6 veces la primera fila y a la quinta fila le
restamos 4 veces la primera fila:
1 4 6 4 1 0
0 3 2 2 3 0
0 15 23 12 2 0
0 20 35 23 2 0
0 10 20 15 3 0
a la primera fila le multiplicamos por 3 y luego le restamos 4 veces la segunda fila, a
la tercera fila le restamos 5 veces la segunda fila, a la cuarta fila le multiplicamos por
3 y luego le restamos 20 veces la segunda fila, a la quinta fila le multiplicamos por 3
y luego le restamos 10 veces la segunda fila:
3 0 10 20 15 0
0 3 2 2 3 0
0 0 13 22 13 0
0 0 65 109 66 0
0 0 40 65 39 0
a la primera fila le multiplicamos por 13 y luego le sumamos 10 veces la tercera fila,
a la segunda fila le multiplicamos por 13 y luego le restamos 2 veces la tercera fila, a
la cuarta fila le restamos 5 veces la tercera fila, a la quinta fila le multiplicamos por
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
161
13 y luego le restamos 40 veces la tercera fila:
39 0 0 40 65 0
0 39 0 70 65 0
0 0 13 22 13 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 35 13 0
a la primera fila le restamos 40 veces la cuarta fila, a la segunda fila le restamos 70
veces la cuarta fila, a la tercera fila le sumamos 22 veces la cuarta fila, a la quinta fila
le restamos 35 veces la cuarta fila:
39 0 0 0 105 0
0 39 0 0 135 0
0 0 13 0 35 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 0
a la primera fila le restamos 105 veces la quinta fila, a la segunda fila le restamos 13
veces la quinta fila, a la tercera fila le sumamos 35 veces la quinta fila, a la cuarta fila
le sumamos la quinta fila:
39 0 0 0 0 0
0 39 0 0 0 0
0 0 13 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene
solucin nica y sta se expresa de la siguiente manera:
x = y = z = u = w = 0.
b.- A la segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila, a la
tercera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila, a la cuarta fila
le multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila, a la quinta fila le
multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila:
2 1 1 1 1 2
0 3 1 1 1 2
0 1 5 1 1 4
0 1 1 7 1 6
0 1 1 1 9 8
a la tercera fila le multiplicamos por 3 y luego le restamos la segunda fila, a la cuarta
fila le multiplicamos por 3 y luego le restamos la segunda fila, a la quinta fila le
multiplicamos por 3 y luego le restamos la segunda fila:
3 0 1 1 1 4
0 3 1 1 1 2
0 0 7 1 1 7
0 0 1 10 1 8
0 0 1 1 13 13
a la primera fila le multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila, a la
segunda fila le multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila, a la cuarta fila
le multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila, a la quinta fila le
multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila:
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
162
7 0 0 2 2 7
0 7 0 2 2 7
0 0 7 1 1 7
0 0 0 23 2 21
0 0 0 1 15 14
a la primera fila le multiplicamos por 23 y luego le restamos 2 veces la cuarta fila, a
la segunda fila le multiplicamos por 23 y luego le restamos 2 veces la cuarta fila, a la
tercera fila le multiplicamos por 23 y luego le restamos la cuarta fila, a la quinta fila
le multiplicamos por 23 y luego le restamos la cuarta fila:
161 0 0 0 42 203
0 161 0 0 42 119
0 0 161 0 21 182
0 0 0 23 2 21
0 0 0 0 1 1
a la primera fila le restamos 42 veces la quinta fila, a la segunda fila le restamos 42
veces la quinta fila, a la tercera fila le restamos 21 veces la quinta fila, a la cuarta fila
le restamos 2 veces la quinta fila:
161 0 0 0 0 161
0 161 0 0 0 161
0 0 161 0 0 161
0 0 0 23 0 23
0 0 0 0 1 1
en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene
solucin nica y sta se expresa de la siguiente manera:
x = 1, y = -1, z = 1, u = -1, w =1.
EJEMPLO 4.2.9
Cul es la condicin para que tres rectas
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
0
0
a x b y c
a x b y c
a x b y c
pasen por un punto?
SOLUCION
Las tres rectas forman un sistema de ecuaciones lineales no homogneo
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
0
0
a x b y c
a x b y c
a x b y c
y, para que estas tres rectas pasen por un punto, el determinante formado por los
coeficientes del sistema y trminos independientes debe ser igual a cero, es decir:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
a b c
a b c
a b c
.
III. METODO DE CRAMER
La definicin de un determinante de n x n es sugerida por sistemas de n ecuaciones
en incgnitas y en el presente mtodo se deducir la regla de Cramer, que expresa
las soluciones como cocientes de determinantes.
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
163
Para el trabajo numrico, son preferibles otras frmulas, pero la regla de Cramer
tiene un inters prctico. Aunque para la resolucin numrica es el mtodo de
reduccin ms rpido, sobre todo si los coeficientes son nmeros decimales, tiene
gran importancia la resolucin por medio de determinantes, pues permite hacer a
discusin completa de los sistemas de ecuaciones lineales.
El valor de cada incgnita se obtiene dividiendo por el determinante del sistema, el
determinante formado sustituyendo por los trminos independientes que estn en los
segundos miembros, la columna que forman los coeficientes de dicha incgnita.
TEOREMA 4.2.15
Sea A una matriz no singular de n x n. Entonces la nica solucin del
sistema no homogneo AX = B est dada por
xk =kBDet( )
Det( )kx
A
A para k = 1, 2, ..., n,
donde AkB es la matriz de orden n x n que se obtiene reemplazando la
columna k de A con B.
DEMOSTRACION
Si Det(A) 0, entonces la matriz A es no singular y, por lo tanto X = A-1B es la solucin nica de AX = B. Por consiguiente se tiene
X = A-1
B
1= Adj( )
Det( ) A B
A
11 21 1 1
12 22 2 2
1 2
Det( ) Det( ) Det( )
Det( ) Det( ) Det( )1=
Det( )
Det( ) Det( ) Det( )
n
n
n n nn n
b
b
b
A A A
A A A
A
A A A
1 11 2 21 1
1 12 2 22 2
1 1 2 2
Det( ) + Det( ) + + Det( )
Det( ) + Det( ) + + Det( )1=
Det( )
Det( ) + Det( ) + + Det( )
n n
n n
n n n nn
b b b
b b b
b b b
A A A
A A A
A
A A A
.
Por tanto, el elemento de la j-sima fila de X es
1 1 2 2Det( ) + Det( ) + + Det( )( ) =
Det( )
j j n njb b bx j
A A A
A.
Ahora, sea
11 12 1 1 1 1 1 1
21 22 2 1 2 2 1 2
1 2 1 1
j j n
j j n
j
n n nj n nj nn
a a a b a a
a a a b a a
a a a b a a
A ,
Dado que Aj difiere de A nicamente en la j-sima columna, los cofactores de los
elementos b1, b2, ..., bn de Aj son iguales a los cofactores de los elementos
correspondientes que estn en la j-sima columna de A. Como consecuencia, el
desarrollo por cofactores de Det(Aj) a lo largo de la j-sima columna es
Det(Aj) = b1Det(A1j) + b2Det(A2j) + ... + bnDet(Anj).
Al sustituir este resultado en (1) se obtiene Det( )
Det( )
j
jx A
A.
Para resolver un sistema de n ecuaciones en n incgnitas por la regla de Cramer, se
necesita evaluar n + 1 determinantes de n x n. Desde el punto de vista del clculo,
para sistemas con ms de tres ecuaciones, la eliminacin gaussiana resulta superior,
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
164
puesto que slo se ha de reducir una matriz aumentada (A | B) de n x n + 1. Sin
embargo, la regla de Cramer da una frmula para la solucin.
Debemos mencionar que es posible, aunque no muy prctico, aplicar la regla de
Cramer a sistemas de m ecuaciones lineales en n incgnitas. Si la matriz de los
coeficientes A y la matriz aumentada (A | B) tienen el mismo rango k, se sabe que
pueden asignrseles valores arbitrarios a n k incgnitas apropiadas, llammoslas xk+1, xk+2, ..., xn, tales que la submatriz de los coeficientes de las otras incgnitas x1, x2,
..., xk tenga rango k.
Esto implica que A y (A | B) tienen k vectores filas linealmente independientes,
digamos los primeros k vectores fila, y si k < m, entonces cualquiera de los otros
vectores fila es una combinacin lineal de aquellos. Se deduce que las m k ecuaciones correspondientes pueden reducirse a la forma 0 = 0 mediante operaciones
elementales. De esto se ve que pueden omitirse esas m k ecuaciones del sistema. Ahora puede escribirse el sistema reducido en la forma
11 1 12 2 1 1 1 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2 1 1 2
1 1 2 2 1 1
( )
( )
( )
k k k k n n
k k k k n n
k k kk k k k k k k n n
a x a x a x b a x a x
a x a x a x b a x a x
a x a x a x b a x a x
donde, si k = n, las expresiones de la derecha son b1, b2, ..., bk y resolverlo para x1,
x2, ..., xk mediante la regla de Cramer.
% RESOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
clc;clear;
fprintf('\n METODO DE CRAMER \n')
fil=input('Ingrese el numero de incognitas: ');
%Ingreso de elementos
fprintf('Ingrese los coeficientes del sistema de ecuaciones\n')
for f=1:fil
for c=1:fil
fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf('\n Ingrese los terminos independientes\n')
%for f=1:fil
for c=1:fil
fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c)
B(c,1)=input(' :');
end
%end
N=A(:,:);
A
for c=1:fil
N(:,c)=B(:,1)
DetN=det(N)
DetA=det(A)
fprintf('\n La incognita (%d) es igual X : ', c)
X=det(N)/det(A);
X
N=A(:,:);
end
end
if DetA==0
fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES NO TIENE SOLUCION\n')
end
end
% RESOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
165
clc;clear;
fprintf('\n METODO DE CRAMER GENERALIZADO \n')
fil=input('Ingrese el numero de incognitas: ');
%Ingreso de elementos
fprintf('Ingrese los coeficientes del sistema de ecuaciones\n')
for f=1:fil
for c=1:fil
fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf('\n Ingrese los terminos independientes\n')
%for f=1:fil
for c=1:fil
fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c)
B(c,1)=input(' :');
end
end
fprintf('LA MATRIZ A ES :\n')
A
end
DetA=det(A)
end
fprintf('LA MATRIZ B ES:\n')
B
fprintf('LA INVERSA DE A ES:\n')
C=inv(A)
fprintf('EL VECTOR SOLUCION X ES:\n')
X=inv(A)*B;
X
end
end
if DetA==0
fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES NO TIENE SOLUCION\n')
end
end
EJEMPLO 4.2.10 Resolver el sistema
a.-
3 4 1
3 14
3 5
x y z
x y z
y z
; b.-
2
3 2
4 3
( 1) 3
( 1) 3
( 1) 3
a x y z a a
x a y z a a
x y a z a a
.
SOLUCION
a.- La matriz de coeficientes es
1 3 4
1 1 3
0 1 3
A .
Encontramos que Det(A) = 13. Por la regla de Cramer,
1 3 41 117
Det 14 1 3 913 13
5 1 3
x
,
1 1 41 10
Det 1 14 313 13
0 5 3
y
,
1 3 11 25
Det 1 1 1413 13
0 1 5
z
.
b.- La matriz de coeficientes es
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
166
1 1 1
1 1 1
1 1 1
a
a
a
A
Encontramos que Det(A) = a3 + 3a
2. Por la regla de Cramer,
2
2 3 53 2 2
3 2 3 2
4 3
3 1 11 3 2
3 1 1 23 3
3 1 1
a aa a a
x a a a aa a a a
a a a
,
2
4 3 23 2
3 2 3 2
4 3
1 3 11 2 5 3
1 3 1 2 13 3
1 3 1
a a aa a a
y a a aa a a a
a a a
,
2
6 5 4 3 23 2 3 2
3 2 3 2
4 3
1 1 31 5 5 4 3
1 1 3 2 13 3
1 1 3
a a aa a a a a
z a a a a a aa a a a
a a
EJEMPLO 4.2.11
Utilizando el mtodo de Cramer, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
a.-
2 3 4 5 13
2 2 3 4 10
2 2 2 3 11
2 2 2 2 6
2 2 2 2 3
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
; b.-
2 3 4 1
2 3 4 2 8
3 2 3
4 3 4 2 2 2
2 3 3
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
x y z u w
.
SOLUCION
a.- Calculamos los determinantes correspondientes:
13 2 3 4 5
10 1 2 3 4
011 2 1 2 3
6 2 2 1 2
3 2 2 2 1
x ,
1 13 3 4 5
2 10 2 3 4
622 11 1 2 3
2 6 2 1 2
2 3 2 2 1
y ,
1 2 13 4 5
2 1 10 3 4
622 2 11 2 3
2 2 6 1 2
2 2 3 2 1
z ,
1 2 3 13 5
2 1 2 10 4
02 2 1 11 3
2 2 2 6 2
2 2 2 3 1
u ,
1 2 3 4 13
2 1 2 3 10
932 2 1 2 11
2 2 2 1 6
2 2 2 2 3
w ,
1 2 3 4 5
2 1 2 3 4
312 2 1 2 3
2 2 2 1 2
2 2 2 2 1
.
A continuacin reemplazamos en cada una de las variables, y obtenemos la solucin
general:
00
31
xx
, 62
231
yy
, 62
131
zz
, 0
031
uu
,
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
167
933
31
ww
.
b.- Calculamos los determinantes correspondientes:
1 2 3 4 1
8 1 3 4 2
963 1 1 2 1
2 3 4 2 2
3 1 1 2 3
x
,
1 1 3 4 1
2 8 3 4 2
03 3 1 2 1
4 2 4 2 2
1 3 1 2 3
y
,
1 2 1 4 1
2 1 8 4 2
963 1 3 2 1
4 3 2 2 2
1 1 3 2 3
z
,
1 2 3 1 1
2 1 3 8 2
963 1 1 3 1
4 3 4 2 2
1 1 1 3 3
u
,
1 2 3 4 1
2 1 3 4 8
483 1 1 2 3
4 3 4 2 2
1 1 1 2 3
w
,
1 2 3 4 1
2 1 3 4 2
483 1 1 2 1
4 3 4 2 2
1 1 1 2 3
.
A continuacin reemplazamos en cada una de las variables, y obtenemos la solucin
general:
962
48
xx
, 0
048
yy
, 96
248
zz
, 96
248
uu
,
481
48
ww
.
EJEMPLO 4.2.12
Analizar segn los parmetros dados y solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
a.-
(5 1) 2 (4 1) 1
(4 1) ( 1) (4 1) 1
2(3 1) 2 (5 2) 2
a x ay a z a
a x a y a z
a x ay a z a
; b.-
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
.
SOLUCION
a.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
3
5 1 2 4 1
4 1 1 4 1
2(3 1) 2 5 2
a a a
a a a a a
a a a
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solucin nica, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
a3 a 0 a(a2 1) 0 a(a 1)(a + 1) 0
0
1
1
a
a
a
por lo tanto a \ {-1, 0, 1}. Cuando a = -1:
2 2 2 2
1 1 1 1
a c c d
a c c d
1 1 3 1
0 0 2 2
1 1 4 1
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
168
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, si a = -1, el sistema es inconsistente.
Cuando a = 0:
1 0 1 1
1 1 1 1
2 0 2 2
1 1 3 1
0 0 2 2
0 0 1 0
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, si a = 0, el sistema es indeterminado.
Cuando a = 1:
6 2 5 2
3 0 3 1
8 2 7 1
6 2 5 2
0 2 1 4
0 2 1 5
3 22( 1) 3
4 1 1 2 1 6 11 6
5 4 1 3 4
a a
a a a a a a
a a a
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, si a = 1, el sistema es inconsistente.
Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar la inversa de la
matriz de coeficientes y luego multiplicamos el sistema AX = B a la izquierda por
A-1
, para obtener el vector solucin X = A-1
B:
22 2
2
2
2
2 2 2
2
5 73 2 4 12
1( 1) ( 1)1
1 1 4 4 1 8 71 1
1 1 1 12
2 2 2 3 2 1 5 2 12
( 1) ( 1) 1
a aa a a a
aa a a aa
a a a a
a a a aa
a a a a a a
a a a a a
X .
b.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
1
1 2
1 2 3
a a a
a a a a
a a a
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solucin nica, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero: - 2a 0 a 0 por lo tanto
a \ {0}. Cuando a = 0:
0 0 1 0
0 0 1 0
1 0 3 1
0 0 1 0
0 0 0 0
1 0 3 1
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, cuando a = 0, el sistema es indeterminado.
Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar la inversa de la
matriz de coeficientes y luego multiplicamos el sistema AX = B a la izquierda por
A-1
, para obtener el vector solucin X = A-1
B:
2 2
4 21
2 21
3 1 11
2 21 0
1 10
2 2
a a
a aa a a a
a aa a
X .
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
169
EJEMPLO 4.2.13
Analizar segn los parmetros dados y solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
a.-
(2 1) ( 2) 1
( 1) ( 3) 1
(3 2) (3 1) 2
ax a y a z
a y a z a
ax a y a z a
;
b.-
2( 1) 3 4
(4 1) ( 1) (2 1) 2 2
(5 4) ( 1) (3 4) 1
a x y az a
a x a y a z a
a x a y a z a
.
SOLUCION
a.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
3 2
2 1 2
0 1 3 2
3 2 3 1
a a a
a a a a a
a a a
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solucin nica, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
a3 + a
2 2a 0 a(a2 + a 2) 0 a(a 1)(a + 2) 0
0
1
2
a
a
a
por lo tanto a \ {-2, 0, 1}. Cuando a = -2:
2 5 0 0
0 3 5 1
2 8 5 4
2 5 0 0
0 3 5 1
0 3 5 4
2 5 0 0
0 3 5 1
0 0 0 5
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, cuando a = -2, el sistema es inconsistente. Cuando a = 0:
2 2 2 2
1 1 1 1
a c c d
a c c d
0 1 2 1
0 0 5 0
0 0 3 0
0 1 2 1
0 0 5 0
0 0 0 0
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, cuando a = 0, el sistema es indeterminado. Cuando a = 1:
1 1 3 1
0 0 2 2
1 1 4 1
1 1 3 1
0 0 2 2
0 0 1 0
1 1 3 1
0 0 2 2
0 0 0 2
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, cuando a = 1, el sistema es inconsistente. Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales,
debemos encontrar la inversa de la matriz de coeficientes y luego multiplicamos el
sistema AX = B a la izquierda por A-1
, para obtener el vector solucin X = A-1
B:
22 2
2
4 12 109 7 3 5 3 8 5
(1 )( 2)( 1)( 2) (1 )( 2) ( 1)( 2)1
3 2 1 3 3 3 21
( 1)( 2) ( 1)( 2) (1 )( 2) (1 )( 2)2
1 1 1 2
2 2 2 2
a aa a a a a
a aa a a a a a a a a
a a a a aa
a a a a a a a aa
a
a a a a
X
.
b.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
170
3 2
2( 1) 3
4 1 1 2 1 6 11 6
5 4 1 3 4
a a
a a a a a a
a a a
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solucin nica, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
a3 - 6a
2 + 11a - 6 0 (a 1)(a 2)(a - 3) 0
1
2
3
a
a
a
por lo tanto a \ {1, 2, 3}. Cuando a = 1:
4 3 1 5
3 2 1 4
1 2 1 0
4 3 1 5
0 1 1 1
0 5 5 5
4 3 1 5
0 1 1 1
0 0 0 0
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, cuando a = 1, el sistema es indeterminado.
Cuando a = 2:
6 3 2 6
7 3 3 6
6 3 2 1
6 3 2 6
0 3 4 6
0 0 0 5
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, cuando a = 2, el sistema es inconsistente.
Cuando a = 3:
8 3 3 7
11 4 5 8
11 4 5 2
8 3 3 7
0 1 12 13
0 1 12 61
8 3 3 7
0 1 12 13
0 0 0 48
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, cuando a = 3, el sistema es inconsistente. Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales,
debemos encontrar la inversa de la matriz de coeficientes y luego multiplicamos el
sistema AX = B a la izquierda por A-1
, para obtener el vector solucin X = A-1
B:
2 2
2
1 6 5 3 2 4 15
( 1)( 2) ( 1)( 3) (1 )( 2)( 3) ( 2)(4
2 4 3 22 2
(1 )( 2) ( 1)( 3) (1 )( 2)( 3)1
1 2 7 2 8 5
(1 )( 2) (1 )( 3) ( 1)( 2)( 3)
a a a a a a
a a a a a a a aa
a a aa
a a a a a a aa
a a a a
a a a a a a a
X
2
3)
18
( 2)( 3)
3 3 21
(2 )( 3)
a
a
a a
a a
a a
EJEMPLO 4.2.14
Analizar segn los parmetros dados y solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
a.-
2 3
2 3
2 3
x ay a z a
x by b z b
x cy c z c
; b.-
2 2 2 2
1x y z
ax by cz d
a x b y c z d
.
SOLUCION
a.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
171
2
2
2
1
1 ( )( )( )
1
a a
b b a b a c c b
c c
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solucin nica, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
(a b)(a c)(c - b) 0
b a
c a
b c
a b c
Cuando a = b: 2 3
2 3
2 3
1
1
1
b b b
b b b
c c c
2 31
0 0 0 0
1 0 ( )
b b b
bc bc b c
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, cuando a = b, el sistema es indeterminado.
Cuando a = c:
2 3
2 3
2 3
1
1
1
c c c
b b b
c c c
2 31
1 0 ( )
0 0 0 0
c c c
bc bc b c
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, cuando a = c, el sistema es indeterminado.
Cuando b = c: 2 3
2 3
2 3
1
1
1
a a a
c c c
c c c
2 3
1 0 ( )
1
0 0 0 0
ac ac a c
c c c
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 2. Por lo tanto, cuando b = c, el sistema es indeterminado.
Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar la inversa de la
matriz de coeficientes y luego multiplicamos el sistema AX = B a la izquierda por
A-1
, para obtener el vector solucin X = A-1
B:
3
3
3
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
bc ac ab
a b a c a b c b a c b c a abcb c a c a b
b ab ac bca b c a a b b c a c c b
a b cc
a b a c a b c b a c b c
X .
b.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
2 2 2
1 1 1
( )( )( )a b c a b a c c b
a b c
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solucin nica, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
172
(a b)(a c)(c - b) 0
b a
c a
b c
a b c.
Cuando a = b:
2 2 2 2
1 1 1 1
b b c d
b b c d
2 2 2 2
1 1 1 1
0 0
0 0
b c b d
b c b d
1 1 1 1
0 0
0 0 0 ( )( )
b c b d
c d b d
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, cuando a = b, el sistema es inconsistente.
Cuando a = c:
2 2 2 2
1 1 1 1
c b c d
c b c d
2 2 2 2
1 1 1 1
0 0
0 0
c b c d
c b c d
1 1 1 1
0 0
0 0 0 ( )( )
c b c d
b d c d
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, cuando a = c, el sistema es inconsistente.
Cuando b = c:
2 2 2 2
1 1 1 1
a c c d
a c c d
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
0
0
a c a c a d
a c a c a d
1 1 1 1
0
0 0 0 ( )( )
a c a c a d
c d a d
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A B) = 3. Por lo tanto, cuando b = c, el sistema es inconsistente. Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales,
debemos encontrar la inversa de la matriz de coeficientes y luego multiplicamos el
sistema AX = B a la izquierda por A-1
, para obtener el vector solucin X = A-1
B:
2
1 ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1
1 ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
1 ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )(
bc b c b d c d
a b a c a b c a a b a c a b a c
ac a c a d d cd
a b c b a b b c a b c b a b b cd
ab a b a d b d
a c b c a c c b a c b c a c b
X
)c
.
IV. METODO DE CHOLESKY
Si una matriz A de n x n y todas sus submatrices cuadradas principales son no
singulares, entonces A = LU donde L y U son las matrices triangulares inferior y
superior respectivamente. L y U son esencialmente nicas y se especifican los
elementos diagonales de L o bien, de U, son nicas. El punto es que pueden
obtenerse L y U sin resolver ecuaciones simultneas. Para resolver un sistema AX =
B de n ecuaciones en n incgnitas, ahora puede introducirse A = LU, teniendo LUX
= B, y premultiplicando por L-1
. Esto da UX = C donde C = L-1
B, y se ve que sta es
la forma triangular del sistema. Primero se determina C a partir de LC = B y, a
continuacin, se resuelve UX = C para X.
Los mtodos numricos se usan principalmente en aquellos problemas para los que
se sabe que la convergencia es rpida, de modo que se obtiene la solucin con mucho
menos trabajo que con un mtodo directo, y para sistemas de orden grande pero con
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
173
muchos coeficientes cero, para los cuales los mtodos de eliminacin seran
relativamente laboriosos y necesitaran mucha memoria en un computador. Los
mtodos de clculo numrico tienen un gran inters en ciertas aplicaciones de las
Matemticas a la resolucin de problemas en variadas reas de la ingeniera, y entre
aquellos mtodos destacan los que hacen referencia a la resolucin de sistemas de
ecuaciones lineales.
EJEMPLO 4.2.15
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales
2 3 14
2 3 4 20
3 4 14
x y z
x y z
x y z
.
SOLUCION
La matriz A de coeficientes del sistema es simtrica. Esto implica que L = UT y
pueden determinarse los elementos de U a partir de
11 11 12 13
12 22 22 23
13 23 33 33
1 2 3 0 0
2 3 4 0 0
3 4 1 0 0
a a a a
a a a a
a a a a
multiplicando e igualando los elementos correspondientes. Sucesivamente se obtiene
211 11 12 11 13
2 211 12 12 22 12 13 22 23
2 2 211 13 12 13 22 23 13 23 33
1 2 3
2 3 4
3 4 1
a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
211 11 12 11 13
2 211 12 12 22 12 13 22 23
2 2 211 13 12 13 22 23 13 23 33
1, 2, 3
2, 3, 4
3, 4, 1
a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
11 12
13 22
23 33
1, 2
3,
2 , 2
a a
a a i
a i a i
.
De aqu que LC = B tiene la forma
1
2
3
1 0 0 14
2 0 20
3 2 2 14
c
i c
i i c
1
2
3
14
8
6
c
c i
c i
Ahora se resuelve
1
2
3
1 2 3 14
0 2 8
0 0 2 6
x
i i x i
i x i
1
2
3
1
2
3
x
x
x
.
V. METODO DE GAUSS - SEIDEL
Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales dado n ecuaciones. Sean X0, X1, ... la
sucesin iterativa de las aproximaciones sucesivas de Gauss Seidel, correspondientes a una aproximacin inicial X0. Se dice que el mtodo converge para
un X0, si la sucesin iterativa correspondiente converge a una solucin del sistema de
ecuaciones dado.
Sin prdida de generalidad, puede suponerse aij = 1 para j = 1, 2, ..., n, debido a que
puede lograrse esta forma de A, rearreglando las ecuaciones de modo que no se anule
coeficiente diagonal alguno y, a continuacin, dividiendo cada ecuacin por el
coeficiente diagonal que corresponda. Entonces puede escribirse A = I + L + U,
donde I es la matriz identidad de n filas y L y U son, respectivamente, matrices
triangulares inferior y superior con diagonales principales nulas.
-
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
JOE GARCIA ARCOS
174
Sustituyendo esta forma de A en AX = B, se tiene (I + L + U)X = B. Se
acostumbra hacer L = - L y U = -U; entonces (I L U)X = B, de donde de hecho, U es triangular superior y sus elementos (I L)X = B + UX. De es
