MÉTODOS NUMÉRICOS

Unidad III.

Solución de Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Lineales y No Lineales

Unidad III. Solución de Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Lineales y No Lineales.

En la Unidad II determinamos el valor de x que satisface una única ecuación,

f (x) = 0. Ahora nos ocuparemos de determinar los valores x1, x2 ,…, xn que en

forma simultánea satisfacen un sistema de ecuaciones:

0)(,,,(

..........

..........

..........

0)(,,,(

0)(,,,(

0)(,,,(

21

213

212

211

nn

n

n

n

xfxxf

xfxxf

xfxxf

xfxxf

Unidad III. Solución de Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Lineales y No Lineales.

Tales sistemas pueden ser lineales o no lineales. En esta unidad trataremos con

ecuaciones algebraicas lineales, que tienen la forma general:

0

............

............

............

0

0

0

2211

3232131

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Donde las a son los coeficientes constantes, las b son los términos independientes

constantes y n es el número de ecuaciones.

Unidad III. Solución de Sistemas de Ecuaciones Algebraicas Lineales y No Lineales.

Una matriz A se define como un arreglo de n x m elementos ai j , donde el subíndice

i representa el número de renglón en el cual está el elemento, y el subíndice j

representa la columna. Así, la matriz A de una dimensión de n x m esta

representada por el arreglo siguiente:

nmnn

m

m

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

La matriz A tiene n renglones y m columnas, y se dice que tiene una dimensión de n por m (n x m). Ésta se conoce como una matriz de n por m.

nbbbB 21

A las matrices con dimensión renglón de n = 1, tales como:

Se les conoce como vectores renglón. Observe que para simplificar se elimina el primer subíndice de cada elemento.

Las matrices con dimensión columna m = 1, como:

nc

c

c

c

C

3

2

1

Se conocen como vectores columna. Para simplificar se elimina el segundo subíndice.

A las matrices en las que n = m se les llama matices cuadradas. Por ejemplo, una matriz de 4 x 4 es:

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

A la diagonal que contiene los elementos a11 , a22 , a33 , a44 se le llama diagonal principal de la matriz.

Las matrices cuadradas resultan particularmente importantes cuando se resuelven

sistemas de ecuaciones simultáneas. En tales sistemas, el número de ecuaciones

(que corresponde a los renglones) y el número de incógnitas (que corresponde a las

columnas) debe ser igual para que sea posible tener una solución única. En

consecuencia, cuando se trabaja con tales sistemas se tienen matrices cuadradas de

coeficientes.

Hay diferentes formas especiales de matrices cuadradas que son importantes y que

deben mencionarse:

Matriz Simétrica

Una matriz simétrica es aquella donde ai j = aj i para toda i y j. Por ejemplo,

872

731

215

A

Es una matriz de 3 x 3.

Matriz Diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la

diagonal principal son iguales a cero,

33

22

11

a

a

a

A

Matriz de Identidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal donde todos los elementos sobre la

diagonal principal son iguales a 1,

1

1

1

1

I

El símbolo I se utiliza para representar la matriz de identidad. La matriz de

identidad tiene propiedades similares a la unidad.

Matriz Triangular Superior

Una matriz triangular superior es aquella donde todos los elementos por debajo de

la diagonal principal son cero,

44

3433

242322

14131211

a

aa

aaa

aaaa

A

Matriz Triangular Inferior

Una matriz triangular inferior es aquella donde todos los elementos por arriba de la

diagonal principal son cero,

44434241

333231

2221

11

aaaa

aaa

aa

a

A

Matriz Bandeada

Una matriz bandeada tiene todos los elementos iguales a cero con la excepción de

una banda centrada sobre la diagonal principal,

4443

343332

232221

1211

aa

aaa

aaa

aa

A

La matriz anterior tiene un ancho de banda de 3 y se le da un nombre especial: matriz tridiagonal.

Operaciones Básicas de Matrices

En esta sección se presentan las operaciones básicas de suma, resta y multiplicación

de matrices. Se desarrollan las fórmulas recursivas de suma, resta y multiplicación

de matrices. Finalmente, se proporcionan diagramas de flujo y algoritmos de

subrutinas para programar en algún programa de cómputo para estas operaciones de

matrices.

Suma de Matrices

Las matrices A y B se pueden sumar siempre y cuando tengan las mismas

dimensiones. La suma (resta) de dos matrices A y B de n x m se obtiene sumando

(restando) los elementos correspondientes de A y B. Así, si

BAD

BAC

Suma de Matrices

ijijij

ijijij

bad

bac

Entonces los elementos de C y D se definen respectivamente, como,

),1)(,1(

),1)(,1(

mjni

mjni

Programa Principal

Leerm, n

LeerA, B

CalcularC = Suma (A, B, m, n)

ImprimirC

End

Algoritmo de Suma de Matrices

Function Suma (A, B, m, n)

For i = 1 to n

ijijij bac

For j = 1 to m

End

Suma = C

Programa Principal

Leerm, n

LeerA, B

CalcularD = Resta (A, B, m, n)

ImprimirD

End

Algoritmo de Suma de Matrices

Function Suma (A, B, m, n)

For i = 1 to n

ijijij bad

For j = 1 to m

End

Suma = D

Multiplicación de Matrices

m

ijkijik bac

1),1( nj

El producto C = AB de dos matrices A y B se puede realizar si el número de columnas

de la matriz A es igual al número de renglones de la matriz B. El producto de A (n x

m) y B (m x p ) es la matriz C (n x p) con los elementos definidos por

),1( pk

A continuación se proporciona el diagrama de flujo para calcular los elemento cik de la

matriz producto C = AB.

Leerm, n, p

LeerA, B

Flag = mult (A, B, m, n, p)

ImprimirC

End

Algoritmo del Programa Principal

Function mult (A, B, C, m, n, p)

For i = 1 to m

Sum = 0

For k = 1 to p

Sum = Sum + aij * bjk

For j = 1 to n

ci k = Sum

End

Algoritmo para la Multiplicación de Dos Matrices