Dibujo Técnico II María Amián

Bloque I: Geometría Plana

Tema 3: Proporcionalidad

Cuando dos figuras tienen la misma forma pero distinto tamaño, son semejantes y la relación que existe entre ellas, se llama proporcionalidad.

3.1 Teorema de ThalesLa semejanza se basa en el Teorema de Thales, un geómetra griego que estudió las relaciones proporcionales entre segmentos y estableció:

“Si varias paralelas cortan dos rectas secantes coplanarias (que están en un mismo plano), los segmentos que determinan (resultan) en una de ellas son proporcionales a los que determinan en la otra”

Es decir, los segmentos que obtengamos en una recta serán proporcionales a los que hallemos en la otra.

3.2 La media proporcional de dos segmentos: Podemos hallarla por varios métodos:

Teorema del cateto

“En todo triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección del cateto sobre ella.”

1) Tenemos dos segmentos: a y b2) Sobre una recta r trasladamos a y b desde un mismo punto.3) Dibujamos una semicircunferencia de diámetro el segmento hallado.4) Por el punto D (resta de a y b) trazamos una perpendicular a la recta

hasta que corte a la semicircunferencia en un punto que uniremos con

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¿Para qué sirve?

El Teorema de Thales en dibujo tiene muchas aplicaciones, pero es una herramienta muy útil para dividir segmentos en partes iguales.

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los extremos del segmento para hallar un triángulo. El cateto mayor será la media proporcional de a y b.

Teorema de la altura

“En todo triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en que queda dividida la hipotenusa”

1) Trasladamos consecutivamente (uno tras otro) los segmentos a y b sobre una recta.

2) Hallamos la semicircunferencia.3) Desde el punto donde suman los dos segmentos, levantamos una

perpendicular a la recta, que será la altura de un triángulo rectangular y media proporcional de los segmentos a y b.

3.3 Tercera proporcional.

Si tenemos dos segmentos proporcionales y queremos hallar un tercero que también sea proporcional:1) Trasladamos los dos segmentos sobre una recta (uno detrás de otro)2) Trazamos una recta cualquiera que forme un ángulo con la recta que ya

tenemos, y sobre ella trasladamos el segmento b.3) Unimos el extremo de a con el extremo de b (en la nueva recta).4) Por extremo de b (en la recta de abajo), trazamos una paralela al trazado

anterior, de este modo obtendremos un nuevo segmento X que será proporcional a a y b.

¿Para qué sirve?

Puedes encontrar ejercicios en los que en un apartado debas hallar la media proporcional de dos segmentos para hallar el lado de un polígono.

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3.4 Cuarta proporcional.

Cuando en vez de dos segmentos, tenemos tres y queremos hallar un cuarto, entonces hablamos de cuarta proporcional.

El proceso es muy parecido al anterior, tan sólo debes colocar el tercer segmento en el lugar en el que colocaste el segundo “b” en el caso anterior.

3.5 Escalas

Una escala es una proporción que relaciona el tamaño del dibujo de un elemento con el tamaño que tiene en la realidad.

Para resolver problemas de escalas puedes aplicar la siguiente fórmula:

Media en el dibujo/ Medida en la realidad = 1/x

Estableciendo entonces una regla de tres despejaremos la incógnita.

Es el caso de escalas de reducción utilizadas en arquitectura, ingeniería, topografía…: 1/100, 1/200, 1/10000, 1/25000…Podemos encontrar escalas expresadas en fracción como:

1/5 de la realidad, o 2/3. En este caso puedes realizar la operación con tu calculadora y aplicarla a la medida.

¿Para qué sirve?

Las escalas son muy importantes en los ejercicios de normalización, perspectiva caballera o axonometría isométrica.

También puedes encontrarlas en algún apartado de problemas de geometría plana, como enlaces y tangencias.

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3.6 Figuras igualesPara hallar figuras iguales podemos utilizar varios métodos. A continuación encontrarás dos:

3.6.1 TriangulaciónPara hallar una figura igual a otra por triangulación, dividimos la figura dada uniendo sus vértices de modo que quede dividida en triángulos.

A continuación copiaremos los triángulos puesto que tenemos la medida de sus tres lados.

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3.6.1 Ángulos o radiación

Para copiar figuras según este método, dibujamos un punto o aleatoriamente en el interior de la figura y lo unimos con los vértices hasta que quede dividida en ángulos.

A continuación dibujamos un segmento y sobre él nos llevamos la distancia del punto o a uno de los vértices (ejemplo OA).

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Sobre el segmento OA copiamos el ángulo OA- OE. Para obtener la figura completa vamos copiando los ángulos a

continuación del hallado anteriormente

1 Dados dos segmentos a=45 mm y b=60 mm, halla la media proporcional a)por el teorema del cateto, b) por el teorema de la altura.

Ejercicios: Para poner en práctica lo que hemos aprendido y así reforzar nuestros conocimientos

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2 Dados dos segmentos a= 50 mm b= 26mm, halla un tercero que sea proporcional a ambos.

3 Un escultor ha recibido un encargo de figuras que deben mantener una relación proporcional entre ellas. La escultura A mide 70 m, la B= 52 m y la C= 30 m. La noche antes de la entrega descubre que el encargo especificaba 4 figuras y sólo tiene 3, halla la medida de la última D, de modo que sea proporcional al resto. Hazlo a escala 1:1000 (un metro equivale a un milímetro sobre el papel)

4 El famoso cocinero Luigi Raviolini es un experto en pizzas a domicilio, anoche atendió una llamada, pero se encuentra con un problema: La masa debe ser una circunferencia de radio la media proporcional entre un segmento a =70 mm y uno b=50. ¿Puedes ayudar a Luigi (que no estudió dibujo técnico en el instituto) a resolver su problema?

5 Halla la media proporcional de los segmentos a= 50 mm y b=35 mediante el teorema del cateto, con el segmento hallado, traza una circunferencia y rectifícala.

6 Dibujar una circunferencia de radio r, siendo r el segmento cuya magnitud es media proporcional de los dados: a=70mm y b=40mm (calcular gráficamente). Dibujar el pentágono y el decágono regular inscritos en dicha circunferencia.

7 A partir del cuadrilátero ABCD, dibuja un cuadrilátero semejante que tenga el lado correspondiente a AB, en la posición A’B’.

B’