Muestreo Tema 1 2. Muestreo aleatorio 3. Tipos de muestreo ... Tema 1 1. Muestreo 2. Muestreo...

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    Muestreo Tema 1

    1. Muestreo 2. Muestreo aleatorio

    3. Tipos de muestreo aleatorio

    3.1. Muestreo aleatorio sin reposicin 3.2. Muestreo aleatorio con reposicin

    (muestreo aleatorio simple) 3.3. Muestreo aleatorio en poblacin infinita

    (muestreo aleatorio simple)

    4. Distribucin muestral

    4.1. Distribucin muestral de la media 4.2. Distribucin muestral de la proporcin

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    1. Muestreo

    Poblacin

    Parmetros (fijos) : media

    2 : varianza : probabilidad

    Muestra

    Estadsticos (variables o aleatorios) X : media

    2nS : varianza P : proporcin

    Inferencia: Estimacin Contraste

    Muestreo

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    Muestreo: Proceso de obtencin de una muestra procedente de una poblacin Muestreo aleatorio: Todos los elementos de la poblacin tienen la misma probabilidad de aparecer en la muestra. Se denomina muestra aleatoria Ejemplo.

    Poblacin:

    67,023

    321

    23

    3213

    2222

    2 =++

    =

    =++

    =

    =

    N

    Persona Edad A 1 B 2 C 3

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    3. Tipos de muestreo aleatorio 3.1. Muestreo aleatorio sin reposicin Los elementos no son devueltos a la poblacin. Slo pueden aparecer una vez en la muestra. Nmero de muestras posibles:

    Ejemplo Poblacin: N=3. Elementos = (1, 2, 3) Muestras con n = 2 Muestra X1 X2 X

    2nS Prob.

    1 1 2 1,5 0,25 1/6 2 1 3 2,0 1 1/6 3 2 1 1,5 0,25 1/6 4 2 3 2,5 0,25 1/6 5 3 1 2,0 1 1/6 6 3 2 2,5 0,25 1/6

    )!(!

    , nNNV nN

    =

    6!1!3

    )!(!

    , ===

    nNNV nN

    67,0 ,2 2 ==

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    3.2. Muestreo aleatorio con reposicin Los elementos son devueltos a la poblacin. Pueden aparecer ms de una vez en la muestra. Muestreo aleatorio simple (muestreo aleatorio) Nmero de muestras posibles:

    nnN NV =

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    67,02

    2 =

    =

    Ejemplo Poblacin: N = 3 Muestras: n = 2 Elementos = (1, 2, 3)

    932 ==nN Muestra X1 X2 X

    2nS Prob.

    1 1 1 1 0 1/9 2 1 2 1,5 0,25 1/9 3 1 3 2 1 1/9 4 2 1 1,5 0,25 1/9 5 2 2 2 0 1/9 6 2 3 2,5 0,25 1/9 7 3 1 2 1 1/9 8 3 2 2,5 0,25 1/9 9 3 3 3 0 1/9

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    3. 3. Muestreo aleatorio en poblacin infinita

    Se asume que la poblacin tiene

    infinitos elementos. El nmero de posibles muestras es

    infinito.

    Muestreo aleatorio simple:

    1. Con reposicin.

    2. En poblacin infinita.

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    4. Distribucin muestral Distribucin de un estadstico en todas las posibles muestras de tamao n que es posible extraer de una poblacin

    Ejemplo. Muestreo sin reposicin

    Muestra X1 X2 X 2nS Prob.

    1 1 2 1,5 0.25 1/6 2 1 3 2,0 1 1/6 3 2 1 1,5 0,25 1/6 4 2 3 2,5 0,25 1/6 5 3 1 2,0 1 1/6 6 3 2 2,5 0,25 1/6

    262

    5,262

    262

    5,1)( =++=XE 166,0)( =XVar 5,0)( 2 =nSE 125,0)( 2 =nSVar

    X f ( X ) 1,5 2/6 2 2/6

    2,5 2/6

    2nS f (

    2nS )

    0,25 4/6 1 2/6

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    4.1. Distribucin muestral de la media Se asume muestreo aleatorio simple Sea X una variable con =)(XE y 22 =X . Se cumple que:

    =)(XE

    nX2

    2 = Adems: Si X es normal o si n es grande (an no siendo X normal)

    X es normal )/,( n Por tanto

    nXZ

    /

    =

    X es normal )1,0(

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    Distribucin muestral de la media con 2 desconocida En caso de que se desconozca 2 puede calcularse:

    nS

    XnS

    XT

    n

    n

    /

    1/

    1

    =

    =

    Cuya distribucin es t con n-1 grados de libertad

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    Ejemplo La variable edad de la clase tiene =20 y 2=2. Asumiendo que X es normal: a) Tomamos todas las posibles muestras de n=4 y calculamos X . Obtener )(XE y

    2X

    b) Obtener la probabilidad de encontrar un sujeto con X > 22 c) Obtener la probabilidad de encontrar una muestra con X > 22

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    a)

    20)( == XE

    5,04222 ===

    nX

    b)

    41,122022

    =

    =

    =

    XZ

    0793,0)41,1()22( =>=> ZPXP c)

    83,24/2

    2022/

    =

    =

    =n

    XZ

    0023,0)83,2()22( =>=> ZPXP

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    4.2. Distribucin muestral de la proporcin n variables dicotmicas: X1, X2, ..., Xn E (Xi) = Var (Xi) = (1 ) Ejemplo. El 20% de los pasajeros de un avin tienen fobia. Si se toma un pasajero al azar:

    E (Xi) = = 0,2 Var (Xi) = (1 ) = 0,2 (0,8) = 0,16

    Suma: =

    =++=n

    iin XXXX

    11 L

    Proporcin: P = X / n

    Ejemplo. Si hay tres pasajeros, uno con fobia y dos que no:

    33,031

    1321

    ===

    =++=

    nXP

    XXXX

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    El valor esperado y varianza de X y P son:

    nXE =)( =)(PE

    )1(2 = nX nP)1(2 =

    Ejemplo. Entre tres pasajeros, cabe esperar que tengan fobia:

    6,0)2,0(3)( === nXE 48,08,0)2,0(3)1(2 === nX

    Proporcin con fobia:

    2,0)( == PE

    05,03

    )8,0(2,0)1(2 ===nP

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    Muestras pequeas: X es binomial (n, ) Muestras grandes (n>25):

    X es normal (n, )1( n )

    P es normal (, n/)1( )

    nPn

    nXZ

    /)1(

    )1(

    =

    =

    Es normal (0, 1) Ejemplo. La probabilidad de que haya ms de 30 con fobia en un avin de 100 pasajeros es:

    5,28,0)2,0(100)2,0(10030

    )1(=

    =

    =

    n

    nXZ P (Z 2,5) = 0,0062

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    0 1 2 3X

    0,00

    0,10

    0,20

    0,30

    0,40

    0,50

    0,60

    f (x)

    Binomial (3, 0,2) E (X) = n = 3(0,2) = 0,6

    Var(X) = n(1-) = 3(0,2)0,8 = 0,48

    0 5 10 15 20 25 30

    X

    0,00

    0,05

    0,10

    0,15

    0,20

    f (x)

    Binomial (30, 0,2) E (X) = n = 30(0,2) = 6

    Var(X) = n(1-) = 30(0,2)0,8 = 4,8

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    Ejemplo Un sujeto responde al azar un examen de 5 preguntas, cada una con 5 alternativas. a) Obtener n y . b) Obtener E (X1) y 2X1 c) Obtener E (X), 2X, E (P) y 2P d) Obtener P (X 3) e) Obtener P (P > 0,4)

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    a) n = 5 = 1/5 = 0,2 b) E (X1) = = 0,2 2X1 = (1-) = 0,2(0,8) = 0,16 c) E (X) = n = 5(0,2) = 1

    2X = n(1) = 5(0,2)0,8 = 0,8 E (P) = = 0,2

    2P = (1)/n = 0,2(0,8) / 5 = 0,023

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    d) Binomial (5, 0,2), P (X 3) = 0,993

    24,28,013

    )1(=

    =

    =

    n

    nXZ P (X 3) = P (Z 2,24) = 0,9875 e) P = X / n; 0,4 = X / 5; X = 2 Binomial (5, 0,2