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Universidad Autónoma de Madrid Análisis de Datos en Psicología II Tema 1 1 Muestreo Tema 1 1. Muestreo 2. Muestreo aleatorio 3. Tipos de muestreo aleatorio 3.1.Muestreo aleatorio sin reposición 3.2.Muestreo aleatorio con reposición (muestreo aleatorio simple) 3.3.Muestreo aleatorio en población infinita (muestreo aleatorio simple) 4. Distribución muestral 4.1.Distribución muestral de la media 4.2.Distribución muestral de la proporción

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1

Muestreo Tema 1

1. Muestreo 2. Muestreo aleatorio

3. Tipos de muestreo aleatorio

3.1. Muestreo aleatorio sin reposición 3.2. Muestreo aleatorio con reposición

(muestreo aleatorio simple) 3.3. Muestreo aleatorio en población infinita

(muestreo aleatorio simple)

4. Distribución muestral

4.1. Distribución muestral de la media 4.2. Distribución muestral de la proporción

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1. Muestreo

Población

Parámetros (fijos) µ: media

σ2 : varianza π : probabilidad

Muestra

Estadísticos (variables o aleatorios) X : media

2nS : varianza

P : proporción

Inferencia: Estimación Contraste

Muestreo

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Muestreo: Proceso de obtención de una muestra procedente de una población Muestreo aleatorio: Todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de aparecer en la muestra. Se denomina muestra aleatoria Ejemplo.

Población:

67,023

321

23

3213

2222

2 =−++

=

=++

=

=

σ

µ

N

Persona Edad A 1 B 2 C 3

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3. Tipos de muestreo aleatorio 3.1. Muestreo aleatorio sin reposición Los elementos no son devueltos a la población. Sólo pueden aparecer una vez en la muestra. Número de muestras posibles:

Ejemplo Población: N=3. Elementos = (1, 2, 3) Muestras con n = 2 Muestra X1 X2 X

2nS Prob.

1 1 2 1,5 0,25 1/6 2 1 3 2,0 1 1/6 3 2 1 1,5 0,25 1/6 4 2 3 2,5 0,25 1/6 5 3 1 2,0 1 1/6 6 3 2 2,5 0,25 1/6

)!(!

, nNNV nN −

=

6!1!3

)!(!

, ==−

=nN

NV nN

67,0 ,2 2 == σµ

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3.2. Muestreo aleatorio con reposición Los elementos son devueltos a la población. Pueden aparecer más de una vez en la muestra. Muestreo aleatorio simple (muestreo aleatorio) Número de muestras posibles:

nnN NV =

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67,02

2 =

=

σ

µEjemplo Población: N = 3 Muestras: n = 2 Elementos = (1, 2, 3)

932 ==nN Muestra X1 X2 X

2nS Prob.

1 1 1 1 0 1/9 2 1 2 1,5 0,25 1/9 3 1 3 2 1 1/9 4 2 1 1,5 0,25 1/9 5 2 2 2 0 1/9 6 2 3 2,5 0,25 1/9 7 3 1 2 1 1/9 8 3 2 2,5 0,25 1/9 9 3 3 3 0 1/9

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3. 3. Muestreo aleatorio en población infinita

• Se asume que la población tiene

infinitos elementos. • El número de posibles muestras es

infinito.

• Muestreo aleatorio simple:

1. Con reposición.

2. En población infinita.

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4. Distribución muestral Distribución de un estadístico en todas las posibles muestras de tamaño n que es posible extraer de una población

Ejemplo. Muestreo sin reposición

Muestra X1 X2 X 2nS Prob.

1 1 2 1,5 0.25 1/6 2 1 3 2,0 1 1/6 3 2 1 1,5 0,25 1/6 4 2 3 2,5 0,25 1/6 5 3 1 2,0 1 1/6 6 3 2 2,5 0,25 1/6

262

5,262

262

5,1)( =++=XE 166,0)( =XVar 5,0)( 2 =nSE 125,0)( 2 =nSVar

X f ( X ) 1,5 2/6 2 2/6

2,5 2/6

2nS f (

2nS )

0,25 4/6 1 2/6

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4.1. Distribución muestral de la media Se asume muestreo aleatorio simple Sea X una variable con µ=)(XE y 22 σσ =X . Se cumple que:

µ=)(XE

nX

22 σσ =

Además: Si X es normal o si n es grande (aún no siendo X normal)

X es normal )/,( nσµ Por tanto

nXZ

/σµ−

=

X es normal )1,0(

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Distribución muestral de la media con σ2 desconocida En caso de que se desconozca σ2 puede calcularse:

nS

XnS

XT

n

n

/

1/

1−

−=

−=

µ

µ

Cuya distribución es t con n-1 grados de libertad

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Ejemplo La variable ‘edad de la clase’ tiene µ=20 y σ2=2. Asumiendo que X es normal: a) Tomamos todas las posibles muestras de n=4 y calculamos X . Obtener )(XE y

2Xσ

b) Obtener la probabilidad de encontrar un sujeto con X > 22 c) Obtener la probabilidad de encontrar una muestra con X > 22

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a)

20)( == µXE

5,0422

2 ===nX

σσ b)

41,122022

=−

=−

µXZ

0793,0)41,1()22( =>=> ZPXP c)

83,24/2

2022/

=−

=−

=n

XZσ

µ

0023,0)83,2()22( =>=> ZPXP

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4.2. Distribución muestral de la proporción n variables dicotómicas: X1, X2, ..., Xn E (Xi) = π Var (Xi) = π (1− π ) Ejemplo. El 20% de los pasajeros de un avión tienen fobia. Si se toma un pasajero al azar:

E (Xi) = π = 0,2 Var (Xi) = π (1− π ) = 0,2 (0,8) = 0,16

Suma: ∑=

=++=n

iin XXXX

11 L

Proporción: P = X / n

Ejemplo. Si hay tres pasajeros, uno con fobia y dos que no:

33,031

1321

===

=++=

nXP

XXXX

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El valor esperado y varianza de X y P son:

πnXE =)( π=)(PE

)1(2 ππσ −= nX nP)1(2 ππσ −

= Ejemplo. Entre tres pasajeros, cabe esperar que tengan fobia:

6,0)2,0(3)( === πnXE 48,08,0)2,0(3)1(2 ==−= ππσ nX

Proporción con fobia:

2,0)( == πPE

05,03

)8,0(2,0)1(2 ==−

=nP

ππσ

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Muestras pequeñas: X es binomial (n, π) Muestras grandes (n>25):

X es normal (nπ, )1( ππ −n )

P es normal (π, n/)1( ππ − )

nPn

nXZ

/)1(

)1(

πππ

πππ

−=

−=

Es normal (0, 1) Ejemplo. La probabilidad de que haya más de 30 con fobia en un avión de 100 pasajeros es:

5,28,0)2,0(100)2,0(10030

)1(=

−=

−−

=ππ

πn

nXZ P (Z ≥ 2,5) = 0,0062

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0 1 2 3X

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

f (x)

Binomial (3, 0,2) E (X) = nπ = 3(0,2) = 0,6

Var(X) = nπ(1-π) = 3(0,2)0,8 = 0,48

0 5 10 15 20 25 30

X

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

f (x)

Binomial (30, 0,2) E (X) = nπ = 30(0,2) = 6

Var(X) = nπ(1-π) = 30(0,2)0,8 = 4,8

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Ejemplo Un sujeto responde al azar un examen de 5 preguntas, cada una con 5 alternativas. a) Obtener n y π. b) Obtener E (X1) y σ2

X1 c) Obtener E (X), σ2

X, E (P) y σ2P

d) Obtener P (X ≤ 3) e) Obtener P (P > 0,4)

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a) n = 5 π = 1/5 = 0,2 b) E (X1) = π = 0,2 σ2

X1 = π (1-π) = 0,2(0,8) = 0,16 c) E (X) = nπ = 5(0,2) = 1

σ2X = nπ(1−π) = 5(0,2)0,8 = 0,8

E (P) = π = 0,2

σ2P = π (1−π)/n = 0,2(0,8) / 5 = 0,023

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d) Binomial (5, 0,2), P (X ≤ 3) = 0,993

24,28,013

)1(=

−=

−−

=ππ

πn

nXZ P (X ≤ 3) = P (Z ≤ 2,24) = 0,9875 e) P = X / n; 0,4 = X / 5; X = 2 Binomial (5, 0,2), P (X > 2) = 1 - P (X ≤ 2) = 1 - 0,942 = 0,058

32,1023,0

2,04,0/)1(

=−

=−−

=n

PZπππ

P (P > 0,4) = P (Z > 1,32) = 0,0934

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Formulario del tema 1

Muestreo aleatorio sin reposición:

)!(!

, nNNV nN −

=

Muestreo aleatorio con reposición:

nnN NV =

Distribución muestral de la media:

nXZ

/σµ−

= Z ~ Normal (0, 1)

nS

XnS

XT

n

n

/

1/

1−

−=

−=

µ

µ

T ~ tn-1

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Distribución muestral de la proporción:

nPn

nXZ

/)1(

)1(

πππ

πππ

−=

−=

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Ejercicios recomendados del libro 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.9 1.15 1.16