Muestreo Tema 1 2. Muestreo aleatorio 3. Tipos de muestreo ... Muestreo Tema 1 1. Muestreo 2....

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  • Universidad Autónoma de Madrid

    Análisis de Datos en Psicología II Tema 1

    1

    Muestreo Tema 1

    1. Muestreo 2. Muestreo aleatorio

    3. Tipos de muestreo aleatorio

    3.1. Muestreo aleatorio sin reposición 3.2. Muestreo aleatorio con reposición

    (muestreo aleatorio simple) 3.3. Muestreo aleatorio en población infinita

    (muestreo aleatorio simple)

    4. Distribución muestral

    4.1. Distribución muestral de la media 4.2. Distribución muestral de la proporción

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    1. Muestreo

    Población

    Parámetros (fijos) µ: media

    σ2 : varianza π : probabilidad

    Muestra

    Estadísticos (variables o aleatorios) X : media

    2nS : varianza P : proporción

    Inferencia: Estimación Contraste

    Muestreo

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    Muestreo: Proceso de obtención de una muestra procedente de una población Muestreo aleatorio: Todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de aparecer en la muestra. Se denomina muestra aleatoria Ejemplo.

    Población:

    67,02 3

    321

    2 3

    321 3

    2 222

    2 =− ++

    =

    = ++

    =

    =

    σ

    µ

    N

    Persona Edad A 1 B 2 C 3

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    3. Tipos de muestreo aleatorio 3.1. Muestreo aleatorio sin reposición Los elementos no son devueltos a la población. Sólo pueden aparecer una vez en la muestra. Número de muestras posibles:

    Ejemplo Población: N=3. Elementos = (1, 2, 3) Muestras con n = 2 Muestra X1 X2 X

    2 nS Prob.

    1 1 2 1,5 0,25 1/6 2 1 3 2,0 1 1/6 3 2 1 1,5 0,25 1/6 4 2 3 2,5 0,25 1/6 5 3 1 2,0 1 1/6 6 3 2 2,5 0,25 1/6

    )!( !

    , nN NV nN −

    =

    6 !1 !3

    )!( !

    , ==− =

    nN NV nN

    67,0 ,2 2 == σµ

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    3.2. Muestreo aleatorio con reposición Los elementos son devueltos a la población. Pueden aparecer más de una vez en la muestra. Muestreo aleatorio simple (muestreo aleatorio) Número de muestras posibles:

    nn N NV =

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    67,0 2

    2 =

    =

    σ

    µ Ejemplo Población: N = 3 Muestras: n = 2 Elementos = (1, 2, 3)

    932 ==nN Muestra X1 X2 X

    2 nS Prob.

    1 1 1 1 0 1/9 2 1 2 1,5 0,25 1/9 3 1 3 2 1 1/9 4 2 1 1,5 0,25 1/9 5 2 2 2 0 1/9 6 2 3 2,5 0,25 1/9 7 3 1 2 1 1/9 8 3 2 2,5 0,25 1/9 9 3 3 3 0 1/9

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    3. 3. Muestreo aleatorio en población infinita

    • Se asume que la población tiene

    infinitos elementos. • El número de posibles muestras es

    infinito.

    • Muestreo aleatorio simple:

    1. Con reposición.

    2. En población infinita.

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    4. Distribución muestral Distribución de un estadístico en todas las posibles muestras de tamaño n que es posible extraer de una población

    Ejemplo. Muestreo sin reposición

    Muestra X1 X2 X 2 nS Prob.

    1 1 2 1,5 0.25 1/6 2 1 3 2,0 1 1/6 3 2 1 1,5 0,25 1/6 4 2 3 2,5 0,25 1/6 5 3 1 2,0 1 1/6 6 3 2 2,5 0,25 1/6

    26 2

    5,2 6 2

    2 6 2

    5,1)( =++=XE 166,0)( =XVar 5,0)( 2 =nSE 125,0)( 2 =nSVar

    X f ( X ) 1,5 2/6 2 2/6

    2,5 2/6

    2 nS f (

    2 nS )

    0,25 4/6 1 2/6

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    4.1. Distribución muestral de la media Se asume muestreo aleatorio simple Sea X una variable con µ=)(XE y 22 σσ =X . Se cumple que:

    µ=)(XE

    nX 2

    2 σσ = Además: Si X es normal o si n es grande (aún no siendo X normal)

    X es normal )/,( nσµ Por tanto

    n XZ

    /σ µ−

    =

    X es normal )1,0(

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    Distribución muestral de la media con σ2 desconocida En caso de que se desconozca σ2 puede calcularse:

    nS

    X nS

    X T

    n

    n

    /

    1/

    1−

    − =

    − =

    µ

    µ

    Cuya distribución es t con n-1 grados de libertad

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    Ejemplo La variable ‘edad de la clase’ tiene µ=20 y σ2=2. Asumiendo que X es normal: a) Tomamos todas las posibles muestras de n=4 y calculamos X . Obtener )(XE y

    2 Xσ

    b) Obtener la probabilidad de encontrar un sujeto con X > 22 c) Obtener la probabilidad de encontrar una muestra con X > 22

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    a)

    20)( == µXE

    5,0 4 222 ===

    nX σσ

    b)

    41,1 2 2022

    = −

    = −

    = σ

    µXZ

    0793,0)41,1()22( =>=> ZPXP c)

    83,2 4/2

    2022 /

    = −

    = −

    = n

    XZ σ

    µ

    0023,0)83,2()22( =>=> ZPXP

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    4.2. Distribución muestral de la proporción n variables dicotómicas: X1, X2, ..., Xn E (Xi) = π Var (Xi) = π (1− π ) Ejemplo. El 20% de los pasajeros de un avión tienen fobia. Si se toma un pasajero al azar:

    E (Xi) = π = 0,2 Var (Xi) = π (1− π ) = 0,2 (0,8) = 0,16

    Suma: ∑ =

    =++= n

    i in XXXX

    1 1 L

    Proporción: P = X / n

    Ejemplo. Si hay tres pasajeros, uno con fobia y dos que no:

    33,0 3 1

    1321

    ===

    =++=

    n XP

    XXXX

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    El valor esperado y varianza de X y P son:

    πnXE =)( π=)(PE

    )1(2 ππσ −= nX nP )1(2 ππσ −=

    Ejemplo. Entre tres pasajeros, cabe esperar que tengan fobia:

    6,0)2,0(3)( === πnXE 48,08,0)2,0(3)1(2 ==−= ππσ nX

    Proporción con fobia:

    2,0)( == πPE

    05,0 3

    )8,0(2,0)1(2 ==−= nP

    ππσ

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    Muestras pequeñas: X es binomial (n, π) Muestras grandes (n>25):

    X es normal (nπ, )1( ππ −n )

    P es normal (π, n/)1( ππ − )

    n P n

    nX Z

    /)1(

    )1(

    ππ π

    ππ π

    − =

    − =

    Es normal (0, 1) Ejemplo. La probabilidad de que haya más de 30 con fobia en un avión de 100 pasajeros es:

    5,2 8,0)2,0(100 )2,0(10030

    )1( =

    − =

    − −

    = ππ

    π n

    nXZ P (Z ≥ 2,5) = 0,0062

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    0 1 2 3 X

    0,00

    0,10

    0,20

    0,30

    0,40

    0,50

    0,60

    f ( x)

    Binomial (3, 0,2) E (X) = nπ = 3(0,2) = 0,6

    Var(X) = nπ(1-π) = 3(0,2)0,8 = 0,