OBJETIVOS

Verificar experimentalmente las leyes del movimiento oscilatorio

armónico simple utilizando el sistema mas - resorte.

Verificar las leyes del movimiento oscilatorio amortiguado sujeto a la

fricción del aire.

MATERIALES

Sensor de fuerza

Cinta métrica

Interface 3B NetLab

Resorte helicoidal (3 y 5.25 N/m)

Soporte Universal

Nuez Universal

Disco de papel de 12 cm de diámetro.

Juego de pesas

PROCEDIMIENTO

1. Instale el sistema masa resorte utilizando el sensor de fuerza y el resorte

helicoidal de 3N/m, de acuerdo a la figura 3, utilice una masa de 40g.

2. Encienda el computador, conecte el sensor a la interface y esta a su vez, a

uno de los puertos USB del computador.

3. Ejecute el Software 3B Netlab, verifique que la conexión entre el computador

y la interface este correctamente establecida, seleccione una escala de medida

de 2ms con una cantidad de valores de 1000.

4. Mueva la masa 2.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, suelte y

pulse iniciar en el programa 3B NetLab para iniciar la toma de datos.

Dependencia de las oscilaciones con la amplitud

5. Tomando una masa de 40 g, mueva la pesa 2.0 cm por debajo o sobre su

posición de equilibrio, suelte e inicie la medición en el programa 3B NetLab.

Realice el gráfico de datos y el ajuste de curvas correspondiente. Guarde sus

resultados en un archivo.

6. Mueva la pesa 3.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, suelte e

inicie la medición en el programa 3B NetLab. Realice el gráfico de datos y

ajuste de curvas. Guarde sus resultados en un archivo.

Dependencia de las oscilaciones con la masa

7. Cambie la masa por 60 g, mueva la pesa 2.0 cm por debajo o sobre su

posición de equilibrio, suelte e inicie la medición en el programa 3B NetLab.

Realice el gráfico de datos y ajuste de curvas. Guarde sus resultados en un

archivo.

8. Cambie la masa por 80 g, mueva la pesa 2.0 cm por debajo o sobre su

posición de equilibrio, suelte e inicie la medición en el programa 3B NetLab.

Realice el gráfico de datos y ajuste de curvas. Guarde sus resultados en un

archivo.

Dependencia de las oscilaciones con la constante del resorte

9. Cambie de resorte de 3N/m por la de 5.25N/m y considerando una masa de

40 g, mueva la pesa 2.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio, suelte

e inicie la medición en el programa 3B NetLab. Realice el gráfico de datos y

ajuste de curvas. Guarde sus resultados en un archivo.

Oscilaciones amortiguadas

10. Con el resorte de 3N/m, adicione un disco de papel de 12 cm de diámetro a

la masa de 40 g de acuerdo a la figura 5, cambie el intervalo de medición a

20ms, mueva la pesa 8.0 cm por debajo o sobre su posición de equilibrio,

suelte e inicie la medición en el programa 3B NetLab. Realice el gráfico de

datos y ajuste de curvas. Guarde sus resultados en un archivo.

CALCULOS Y RESULTADOS

1) De acuerdo a los gráficos obtenido en los grafico 5 al 10 del

procedimiento ¿los movimientos estudiados son armónicos

simples?¿porqué?

Los pasos del 5 al 9 son MAS Pues tienen una grafica sinusoidal

(periódica) mientras que el paso 10 seria un MAA ya que en su grafica

presenta variaciones de fuerza en el tiempo.

2) Con los datos obtenidos en los ajustes de la fuerza en función del

tiempo, realizados en los pasos 5 y 6 complete la siguiente tabla:

Tabla 1 PASO 5 PASO 6

k=3N/m k=3N/m

Masa(g) 40 g 40 g

F(t) (N) 0.18*sen(7.85t) 0.11*sen(7.39t)

X (t) = F(t)/K 0.06*sen(7.85t) 0.037*sen(7.39t)

Amplitud (m) 0.02 0.03

W (rad/s) 2pi/0.8=7.85 2pi/0.85=7.39

Periodo (s) 0.8 0.85

velocidad V(t) 0.47*cos(7.85t) 0.27*cos(7.39t)

Aceleración a(t) -3.69*sen(7.85t) - 2.02*sen(7.39t)

¿Depende el periodo del MAS de la amplitud?¿concuerdan sus resultados

con la teoría del mas? Justifique.

No depende de la amplitud pues

2𝜋√𝑚/𝑘

Con lo cual se observa que el periodo depende solo de m y k. Si concuerda con

la teoría.

Determinar el error porcentual de los valores experimentales de la

frecuencia de la oscilación. Explique

Paso 5 E =Teorico−Experimental

Teorico

E. experimental = 7.85 𝐸 =8.66−7.85

8.66∗ 100%

E. teórico = 8.66 E = 9.5%

Paso 6

E. experimental = 7.39 𝐸 =8.66−7.39

8.66∗ 100%

E. teórico = 8.66 E = 14.66%

Que indica las faces iniciales de x(t) de cada MAS?

X(t) = 0.06*sen(wt+δ) 0° ≤ δ ≤ 90°

Donde δ es la fase inicial

La fase inicial de δ indica el ángulo en el cual se inicia el MAS

3) Con los datos obtenidos en los ajustes de fuerza en función del

tiempo, realizados en los pasos 5, 7 y 8 complete la siguiente tabla:

Tabla 2

PASO 5 k = 3N/m

PASO 7 k = 3N/m

PASO 8 k = 3N/m

Masa (g) 40 60 80

F(t) N 0.18*sen ( 7.85t ) 0.09*sen ( 6.61t ) 0.05*sen (5.98t )

X(t) = F(t) / k 0.06*sen (7.85t ) 0.03*sen ( 6.61t ) 0.017*sen (5.98t )

Amplitud (m) 0.02 0.02 0.02

w (rad/s) 7.85 6.61 5.98

Periodo (s) 0.8 0.95 1.05

Velocidad V(t) 0.47*cos (7.85t ) 0.2*cos ( 6.61t ) 0.10*cos (5.98t )

Aceleración (t) -3.69*sen (7.85t ) -1.32*sen ( 6.61t ) -0.6*sen ( 5.98t )

¿Depende el periodo de MAS de la masa del sistema? ¿Concuerdan sus

resultados con la teoría del MAS? Justifique.

Si depende de la masa del sistema

T = 2𝜋√𝑚/𝑘

No concuerda con la teoría porque el medio en el cual se desarrolla el

experimento presenta fuerzas opositoras.

Determinar el error porcentual de los valores experimentales del periodo

de oscilación. Explique.

Paso 7 E =Teorico−Experimental

Teorico

E. experimental = 6.61 𝐸 =7.07−6.61

7.07∗ 100%

E. teórico = 7.07 E = 6.5%

Paso 8

E. experimental = 5.98 𝐸 =6.12−5.98

6.12∗ 100%

E. teórico = 6.12 E = 2.28%

4) Con los datos obtenidos en los ajustes de fuerza en función del

tiempo, realizados en los pasos 5, 9 complete la siguiente tabla:

Tabla 3

PASO 5 k = 3N/m

PASO 9 k = 5.25N/m

Masa (g) 40 40

F(t) N 0.18*sen ( 7.85t ) 0.1*sen (9.67t )

X(t) = F(t) / k 0.06*sen (7.85t ) 0.019*sen (9.67t )

Amplitud (m) 0.02 0.02

w (rad/s) 7.85 9.67

Periodo (s) 0.8 0.65

Velocidad V(t) 0.47*cos (7.85t ) 0.18*cos (9.67t )

Aceleración (t) -3.69*sen (7.85t ) -1.74*sen ( 9.67t )

¿Depende el periodo de MAS de la constante del resorte? ¿Concuerdan

sus resultados con la teoría del MAS? Justifique.

Si depende de la constante del resorte

T = 2𝜋√𝑚/𝑘

El periodo es el tiempo mínimo después del cual se repiten los valores de

magnitudes físicas y define el movimiento oscilatorio.

5) Con los datos obtenidos en los ajustes de fuerza en función del

tiempo, realizados en los pasos 5, 10 complete la siguiente tabla:

Tabla 4

PASO 5 k = 3N/m

PASO 10 k = 3N/m

Masa (g) 40 40

F(t) N 0.18*sen ( 7.85t )

Amplitud (m) 0.02 0.08

Frecuencia (rad/s) 7.85 7.85

Periodo (s) 0.8 0.8

¿Calcular el coeficiente de amortiguamiento β? Justifique

𝐹(𝑡) = 𝑘𝐴𝑒−𝐵𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)

Si t = 7s Sen (wt) = 1 0.14 = 3 ∗ 0.08𝑒−7𝐵

0.583 = 𝑒−7𝐵 𝑙𝑛 0.58 = 𝑙𝑛 𝑒−7𝐵 -0.54 = -7B B = 0.08 kg/s

0.24 ∗ 𝑒0.08𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (7.85𝑡)

Determine el tiempo en el cual la amplitud de la fuerza total aplicada

disminuye en 50% y 80% de su amplitud inicial.

𝐹(𝑡) = 𝑘𝐴𝑒−𝐵𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)

F(x) = ½ F(t)

𝑘𝐴𝑒−𝐵𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑥) = 1

2 𝑘𝐴𝑒−𝐵𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)

Sen (wx) = 1

Sen (wt) = 1

2𝑒−𝐵𝑥 = 𝑒−𝐵𝑡

𝑙𝑛 2𝑒−𝐵𝑥 = 𝑙𝑛 𝑒−𝐵𝑡

𝑙𝑛 2 + 𝑙𝑛 𝑒−𝐵𝑥 = 𝑙𝑛 𝑒−𝐵𝑡

Ln 2 – Bx = -Bt

Ln 2 + Bt = Bx 𝑥 =𝑙𝑛2+0.08𝑡

0.08

𝐹(𝑡) = 𝑘𝐴𝑒−𝐵𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)

F(x) = 4/5 F(t)

𝑘𝐴𝑒−𝐵𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑥) = 4

5 𝑘𝐴𝑒−𝐵𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)

Sen (wx) = 1

Sen (wt) = 1

5𝑒−𝐵𝑥 = 4𝑒−𝐵𝑡

𝑙𝑛 5𝑒−𝐵𝑥 = 𝑙𝑛4 𝑒−𝐵𝑡

𝑙𝑛 5 + 𝑙𝑛 𝑒−𝐵𝑥 = 𝑙𝑛4 + 𝑙𝑛 𝑒−𝐵𝑡

Ln 5 – Bx = ln 4 -Bt

Ln 5 + Bt - ln 4 = Bx 𝑥 =𝑙𝑛5−𝑙𝑛4+0.08𝑡

0.08

CUESTIONARIO

1. Deducir detalladamente la ecuación de oscilación del péndulo

simple

Cuando una masa colgada de

un hilo es desplazada

ligeramente de su posición de

equilibrio, la masa empieza a

oscilar con un movimiento

armónico simple.

Como se deduce de la imagen,

la fuerza restauradora es :

−Fp ⋅senθ [1]

Por otro lado, la relación entre el arco recorrido por la masa que cuelga

del hilo, la longitud del hilo y el ángulo del hilo con la vertical viene dada

por: s(t)=l ⋅θ(t) [2]

Derivando dos veces esta expresión respecto del tiempo, obtenemos: 𝒅𝟐

𝒅𝒕𝟐 = 𝒅𝟐

𝒅𝒕𝟐 [3]

En donde hay que recordar que, por definición, 𝑑2𝑠

𝑑𝑡2 = a. [4]

Combinamos ahora las expresiones [1] ,[3] y [4]

Fp.senɵ = ma Fp*senɵ = m*𝑙𝒅𝟐ɵ

𝒅𝒕𝟐 . [5]

Reordenando términos y recordando que Fp= -mg se tiene:

m∗ 𝑙𝒅𝟐ɵ

𝒅𝒕𝟐 + 𝒎𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏ɵ = 𝟎 𝒅𝟐ɵ

𝒅𝒕𝟐 +𝒈

𝒍∗ 𝒔𝒆𝒏ɵ = 𝟎 [6]

Si ɵ es muy pequeño, podemos hacer el siguiente desarrollo:

θ l

m Fp*senθ

Fp=-mg θ

𝒔𝒆𝒏ɵ = ɵ −ɵ𝟑

𝟑¡+

ɵ𝟓

𝟓¡− ⋯ ≈ ɵ [7]

Entonces [6] se puede escribir así:

𝒅𝟐ɵ

𝒅𝒕𝟐 +𝒈

𝒍ɵ = 0 [8]

La cual es una ecuación diferencial del tipo 𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐 + 𝒘𝟐 ∗ 𝒚 = 0, de

solución: y = yo sen(wt+δ)

En nuestro caso, la ecuación del movimiento y la pulsación del péndulo

simple serán:

ɵ = ɵ0 sen (wt+δ)

𝒅𝟐ɵ

𝒅𝒕𝟐 +𝒈

𝒍ɵ = 0 𝒘 = √

𝒈

𝒍 [9]

2. Deducir detalladamente la ecuación de oscilación armónico

amortiguado

CONCLUSIONES

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la

posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal.

En el movimiento armónico simple, la frecuencia y el periodo son

independientes de la amplitud.

La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el

centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia

el sentido del movimiento.

El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente.

Su aceleración es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a

este. Toma su valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras

que es mínimo en el centro.

Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento

Circular Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el

instante inicial.

MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO

Tras realizar el experimento, logramos demostrar que la frecuencia del

oscilador sometido a una fuerza exterior (roce, gravedad, etc.)

disminuye, como cabe esperar, ya que las fuerzas se oponen al

movimiento.

La amplitud de las oscilaciones (implícitamente la energía también)

disminuye de forma exponencial en el transcurso del tiempo, así que la

fuerza exterior disipa energía mecánica del sistema.

Podemos ver a través de su representación gráfica como la amplitud

disminuye con el tiempo. Esto es una evidencia experimental de la

acción de las fuerzas de fricción sobre el movimiento oscilatorio. Si estas

no actuaran (en vacío) el resorte oscilaría indefinidamente, y con una

amplitud constante.

Como la frecuencia angular en un movimiento armónico es

independiente de la amplitud del movimiento, entonces, a pesar de la

disminución progresiva de la amplitud, W se mantendrá constante. Nos

valemos de esta constancia para determinar el valor de la K del resorte

con el que trabajamos. Esta constante nos da una idea de la rigidez del

mismo.

ANEXOS

Grafica de paso N°5

Grafica de paso N°6

Grafica de paso N°7

Grafica de paso N°8

Grafica de paso N°9

Grafica de paso N°10