MOVIMIENTO ARMÓNICOSIMPLE

2015

PROPOSITO:

• Reconoce objetos que se mueven conmovimiento armónico simple.

• Describe el movimiento de lospéndulos

• Realiza modelos matemáticos deobjetos que se mueven con M.A.S.

MOVIMIENTO PERIÓDICO

¿QUÉ ES UN MOVIMIENTO PERIODICO?

MOVIMIENTO PERIÓDICO

El movimiento periódico simple es aquel movimientoen el que un cuerpo se mueve de ida y vuelta sobreuna trayectoria fija y regresa a cada posición yvelocidad después de un intervalo de tiempo definido.

Periodo (T): Es el tiempo correspondiente a unaoscilación completa en un movimiento oscilatorio. Semide en segundos ( s )

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTOPERIÓDICO

Amplitud (A): Es el módulo de la máxima elongaciónalcanzada por la partícula durante su movimientooscilatorio.

Frecuencia angular (ω)

Frecuencia de las oscilaciones periódicas (f): Es elnúmero de oscilaciones completas realizadas en launidad de tiempo.

para una oscilación f= Hz

para una oscilación ω= rad/s

EJEMPLO 1: LA MASA SUSPENDIDA REALIZA 30OSCILACIONES COMPLETAS EN 15 s. ¿CUÁLESSON EL PERIODO Y LA FRECUENCIA DELMOVIMIENTO?

Periodo: T = 0.500 s

Frecuencia: f = 2.00 Hz

Hz2.00s15

ciclos30

t

nf

x F

s0.50s2.00

111-

fT

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

M.A.S.

Observa, luego indica los elementos delmovimiento armónico simple

MOVIMIENTO ARMÓNICOSIMPLE, M.A.S.

El movimiento armónico simple es movimientoperiódico en ausencia de fricción y producido poruna fuerza restauradora que es directamenteproporcional al desplazamiento y de direcciónopuesta.

Una fuerza restauradora, F,actúa en la direcciónopuesta al desplazamientodel cuerpo en oscilación.

F = -kx

x F

LEY DE HOOKE

Cuando un resorte se estira, hay unafuerza restauradora que es proporcional aldesplazamiento.

F = -kx

La constante de resorte kes una propiedad delresorte dada por:

k =DF

Dx

x F

m

TRABAJO REALIZADO PARA ESTIRARUN RESORTE

F

x

m

El trabajo realizado SOBRE el resortees positivo; el trabajo DEL resorte esnegativo.

De la ley de Hooke la fuerza F es:

F (x) = kx

F

x2x1

Para estirar el resorte dex1 a x2 , el trabajo es:

212

1222

1 kxkxTrabajo

EJEMPLO 2: UNA MASA DE 4 Kg,SUSPENDIDA DE UN RESORTE, PRODUCEUN DESPLAZAMIENTO DE 20 cm. ¿CUÁL ESLA CONSTANTE DE RESORTE?

F20 cm

m

La fuerza que estira es el peso(W = mg) de la masa de 4 kg:

F = (4 kg)(9.8 m/s2) = 39.2 N

Ahora, de la ley de Hooke, laconstante de fuerza k del resorte es:

k = =ΔF

Δx

39.2 N

0.2 mk = 196 N/m

EJEMPLO 2 : LA MASA m AHORA SE ESTIRA UNADISTANCIA DE 8 cm Y SE SOSTIENE. ¿CUÁL ES LAENERGÍA POTENCIAL? (K = 196 N/m)

F8 cm

m

U = 0.627 J

LA ENERGÍA POTENCIAL ES IGUALAL TRABAJO REALIZADO PARAESTIRAR EL RESORTE:

02

1212

221 kxkxTrabajo

2212

221 )08.0)(196( mkxU

m

N

DESPLAZAMIENTO EN M.A.S.

m

x = 0 x = +Ax = -A

x

• El desplazamiento es positivo cuando la posiciónestá a la derecha de la posición de equilibrio (x = 0)y negativo cuando se ubica a la izquierda.

• Al desplazamiento máximo se le llama laamplitud A.

VELOCIDAD EN MAS

m

x = 0 x = +Ax = -A

v (+)

• La velocidad es positiva cuando se mueve a laderecha y negativa cuando se mueve a laizquierda.

• La velocidad es cero en los puntos finales y unmáximo en el punto medio en cualquierdirección (+ o -).

v (-)

ACELERACIÓN EN MAS

m

x = 0 x = +Ax = -A

• La aceleración está en la dirección de la fuerzarestauradora. (a es positiva cuando x esnegativa, y negativa cuando x es positiva.)

• La aceleración es un máximo en los puntosfinales y es cero en el centro de oscilación.

+x-a

-x+a

F ma kx F ma kx

ACELERACIÓN CONTRA DESPLAZAMIENTO

m

x = 0 x = +Ax = -A

x va

Dados la constante de resorte, el desplazamientoy la masa, la aceleración se puede encontrar de:

o

Nota: La aceleración siempre es opuesta aldesplazamiento.

F ma kx F ma kx kx

am

kxa

m

EJEMPLO 3: UNA MASA DE 2 Kg CUELGA EN EL EXTREMODE UN RESORTE CUYA CONSTANTE ES K = 400 N/m. LAMASA SE DESPLAZA UNA DISTANCIA DE 12 cm Y SELIBERA. ¿CUÁL ES LA ACELERACIÓN EN EL INSTANTECUANDO EL DESPLAZAMIENTO ES X = +7 cm?

m+x

(400 N/m)(+0.07 m)

2 kga

a = -14.0 m/s2a

Nota: Cuando el desplazamiento es +7 cm (hacia abajo),la aceleración es -14.0 m/s2 (hacia arriba)independiente de la dirección de movimiento.

kxa

m

kxa

m

EJEMPLO 4: ¿CUÁL ES LA ACELERACIÓN MÁXIMA PARA LAMASA DE 2 Kg DEL PROBLEMA ANTERIOR? (A = 12 cm,K = 400 N/m)

m+x

La aceleración máxima ocurre cuando lafuerza restauradora es un máximo; esdecir: cuando el alargamiento ocompresión del resorte es mayor.

F = ma = -kx xmax = A

400 N( 0.12 m)

2 kg

kAa

m

amax = ± 24.0 m/s2Máximaaceleración:

CONSERVACIÓN DE ENERGÍA

La energía mecánica total (U + K) de un sistema envibración es constante; es decir: es la misma encualquier punto en la trayectoria de oscilación.

m

x = 0 x = +Ax = -A

x va

Para cualesquier dos puntos A y B, se puede escribir:

½mvA2 + ½kxA

2 = ½mvB2 + ½kxB

2

ENERGÍA DE SISTEMA EN VIBRACIÓN:

m

x = 0 x = +Ax = -A

x va

U + K = kA2 = constante (1)

• En los puntos A y B, la velocidad es cero y laaceleración es un máximo. La energía total es:

A B

U + K = kx2 + mv2 si x = A y v = 0.

ENERGÍA DE SISTEMA EN VIBRACIÓN:

• En cualquier otro punto:

U + K = kx2 + mv2 = constante ………..(2)

• De (1) y 2) la energía total es:

U + K = kx2 + mv2 = mA2

En cualquierpunto

En x=A

VELOCIDAD COMO FUNCIÓN DE LAPOSICIÓN.

m

x = 0 x = +Ax = -A

x va

kv A

m

vmax

cuandox = 0:

2 2kv A x

m 2 2 21 1 1

2 2 2mv kx kA

EJEMPLO 5: UNA MASA DE 2 kg CUELGA EN EL EXTREMO DE UNRESORTE CUYA CONSTANTE ES K = 800 N/m. LA MASA SEDESPLAZA UNA DISTANCIA DE 10 CM Y SE LIBERA. ¿CUÁL ES LAVELOCIDAD EN EL INSTANTE CUANDO EL DESPLAZAMIENTO ESX = +6 CM?

m+x

½mv2 + ½kx 2 = ½kA2

2 2kv A x

m

2 2800 N/m(0.1 m) (0.06 m)

2 kgv

v = ±1.60 m/s

De la ley de conservación de la energía:

EJEMPLO 5: ¿CUÁL ES LA VELOCIDAD MÁXIMA PARA ELPROBLEMA ANTERIOR? (A = 10 cm, K = 800 N/m, m = 2 Kg.)

m+x

v2 + kx 2 = kA2

800 N/m(0.1 m)

2 kg

kv A

m

v = ± 2.00 m/s

0

La velocidad es máxima cuando

x = 0:

EL CÍRCULO DE REFERENCIACOMPARA EL MOVIMIENTOCIRCULAR DE UN OBJETO CON SUPROYECCIÓN HORIZONTAL.

w = 2f

EL CÍRCULO DE REFERENCIA

cos(2 )x A ft cos(2 )x A ft

x = Desplazamientohorizontal.

A = Amplitud (xmax).

q = Ángulo de referencia.

VELOCIDAD EN MAS

LA VELOCIDAD (V) DE UN CUERPOEN OSCILACIÓN EN CUALQUIERINSTANTE ES EL COMPONENTEHORIZONTAL DE SU VELOCIDADTANGENCIAL (VT).

vT = wR = wA; w = 2f , R=A

v = -vT sen ; = wt

v = -w A sen w t

v = -2f A sen 2f t

LA ACELERACIÓN (a) DE UN

CUERPO EN OSCILACIÓN ENCUALQUIER INSTANTE ES ELCOMPONENTE HORIZONTAL DE SU

ACELERACIÓN CENTRÍPETA (ac).

ACELERACIÓN Y CÍRCULO DE REFERENCIA

a = -ac cos q = -ac cos(wt)

2 2 22;c c

v Ra a R

R R

R = Aa = -w2A cos(wt)

2 24 cos(2 )a f A ft 2 24a f x

V=ωR

EL PERIODO Y LA FRECUENCIA COMOFUNCIÓN DE A Y X.

PARA CUALQUIER CUERPO QUE EXPERIMENTE MOVIMIENTOARMÓNICO SIMPLE:

Dado que a = -4p2f2x y T = 1/f

1

2

af

x

1

2

af

x

2

xT

a

2

xT

a

La frecuencia y el periodo se puedenencontrar si se conocen el desplazamiento y

la aceleración. Note que los signos de a y xsiempre serán opuestos.

PERIODO Y FRECUENCIA COMO FUNCIÓN DE LAMASA Y LA CONSTANTE DE RESORTE.

Para un cuerpo en vibración con unafuerza restauradora elástica:

Recuerde que F = ma = -kx:

1

2

kf

m

1

2

kf

m 2

mT

k 2

mT

k

La frecuencia f y el periodo T se puedenencontrar si se conocen la constante deresorte k y la masa m del cuerpo envibración. Use unidades SI consistentes.

La frecuencia f y el periodo T se puedenencontrar si se conocen la constante deresorte k y la masa m del cuerpo envibración. Use unidades SI consistentes.

EJEMPLO 6: EL SISTEMA SIN FRICCIÓN QUE SE MUESTRA ABAJOTIENE UNA MASA DE 2 Kg UNIDA A UN RESORTE (K = 400 N/m).LA MASA SE DESPLAZA UNA DISTANCIA DE 20 cm HACIA LADERECHA Y SE LIBERA. ¿CUÁL ES LA FRECUENCIA DELMOVIMIENTO?

m

x = 0 x = +0.2 m

x va

x = -0.2 m

1 1 400 N/m

2 2 2 kg

kf

m

f = 2.25 Hz

EJEMPLO 6: SUPONGA QUE LA MASA DE 2 Kg DEL PROBLEMAANTERIOR SE DESPLAZA 20 cm Y SE LIBERA (K = 400 N/m).¿CUÁL ES LA ACELERACIÓN MÁXIMA? (F = 2.25 Hz)

m

x = 0 x = +0.2 m

x va

x = -0.2 m

2 2 2 24 4 (2.25 Hz) ( 0.2 m)a f x

La aceleración es un máximo cuando x = A

a = 40 m/s2

EJEMPLO 6: LA MASA DE 2 Kg DEL PROBLEMA ANTERIOR SEDESPLAZA INICIALMENTE A X = 20 cm Y SE LIBERA. ¿CUÁL ESLA VELOCIDAD 2.69 s DESPUÉS DE LIBERADA? (RECUERDE QUEf = 2.25 Hz.)

s2.69Hz2.252m0.2Hz2.252 senv

m

x = 0 x = +0.2 m

x va

x = -0.2 m

v = -0.916 m/s

v = -2f A sen 2f t

(Nota: q en rads) 2 (2.25 Hz)(0.2 m)(0.324)v

El signo menos significaque se mueve hacia laizquierda.

EJEMPLO 7: ¿EN QUÉ TIEMPO LA MASA DE 2 Kg SE UBICARÁ 12cm A LA IZQUIERDA DE X = 0?(A = 20 cm, F = 2.25 HZ)

m

x = 0 x = +0.2 m

x va

x = -0.2 m

t = 0.157 s

cos(2 )x A ft

-0.12 m

10.12 mcos(2 ) ; (2 ) cos ( 0.60)

0.20 m

xft ft

A

2.214 rad2 2.214 rad;

2 (2.25 Hz)ft t

EL PÉNDULO SIMPLE

El periodo de un péndulosimple está dado por:

mg

L

2L

Tg

Para ángulos pequeños q.

1

2

gf

L

EJEMPLO 8. ¿CUÁL DEBE SER LA LONGITUD DE UN PÉNDULOSIMPLE PARA UN RELOJ QUE TIENE UN PERIODO DE DOSSEGUNDOS)?

2L

Tg

L

22 2

24 ; L =

4

L T gT

g

2 2

2

(2 s) (9.8 m/s )

4L

L = 0.993 m

F ma kx F ma kx kx

am

kxa

m

m

x = 0 x = +Ax = -A

x va

mvA2 + kxA

2 = mvB2 + kxB

2

Conservación de energía:

RESUMEN (MAS)

RESUMEN (MAS)

2 2kv A x

m 2 2k

v A xm

2 2 21 1 12 2 2mv kx kA 2 2 21 1 12 2 2mv kx kA

0

kv A

m0

kv A

m

cos(2 )x A ft cos(2 )x A ft 2 24a f x 2 24a f x

ftfAv 2sen2

RESUMEN: PERIODO Y FRECUENCIAPARA RESORTE EN VIBRACIÓN.

m

x = 0 x = +Ax = -A

x va

1

2

af

x

1

2

af

x

2

xT

a

2

xT

a

2m

Tk

2m

Tk

1

2

kf

m

1

2

kf

m

RESUMEN: PÉNDULO SIMPLE

2L

Tg

1

2

gf

L

L

CONCLUSIÓNES