Osciladores cunticos

Presentado por:

Jorge Misael Padilla Crdenas. Julin David Hernndez Pea.

Oscilador armnico cuntico El oscilador armnico cuntico es forma mecano

cuntico del oscilador armnico clsico.

Es uno de los sistemas modelo ms importante en

mecnica cuntica, ya que cualquier potencial se puede aproximar por un potencial armnico en las proximidades del punto de equilibrio estable (mnimo). Adems, es uno de los sistemas mecano cunticos que admite una solucin analtica sencilla.

Desde el punto de vista clsico. Si una partcula se sujeta a una fuerza de

restitucin lineal.

Aqu

es el desplazamiento de la partcula con respecto al punto de equilibrio y es la constante de fuerza. La energa potencial correspondiente

Figura 1. grafica de estabilidad De una energa potencial

Considerando la funcin de energa potencial que se muestra en la figura 1.

Para el caso de un oscilador armnico cuntico, es necesario considerar el mismo caso de una oscilacin en trminos clsicos, para este caso es necesario usar la ecuacin de schrodinger, otra consideracin tambin es que a diferencia de un sistema M:A:S este no depende de su representacin en un eje x,y, esto en consecuencia implica que no podemos determinar una posicin de una partcula en un instante dado. Algo interesante de un oscilador cuntico, es el hecho de que el concepto de fuerza que maneja el sistema armnico clsico, pierde validez, esto significa que no podemos encontrar ni la posicin ni la velocidad, mas no obstante no pierde los criterios de momento y energa potencial de los que se manejan en un sistema clsico.

Para nuestro anlisis no es conveniente analizar una onda que se propague en el infinito dado que esto no nos permite normalizar. Generalmente cuando analizamos un oscilador clsico, se tiene en cuenta un punto que esta en funcin de su desplazamiento ligada por fuerzas ligadas proporcional al movimiento.

La forma mas apropiada por as decirlo es imaginarnos un pozo o una botella, pero de energa potencial:

En la anterior grafica se ilustra la idea que se pretende proponer, el comportamiento de este comportamiento lo da la figura 1, de esta forma podemos encontrar las posibilidades que hay dentro del pozo y encontrar sus respectivos energas dentro del pozo, no es de asombrarse si este pozo toma forma estacionarios. lo que se trata de plantear es una solucin que se asemeje a una parbola

El primer paso, es definir una energa potencial, como : (1)

Ahora si la energa de un sistema se expresa por medio de mtodos clsicos(2)

en forma de trminos de mecnica cuntica a cada de estas variables le corresponde un operador de tal forma que

(3)

Ahora usando la ecuacin de schrodinger queda:

(4)

Algo interesante de esto es el hecho de que en la poca esta expresin era mas conocida por los matemticos que por lo fsicos antes de ser aplicados en sistemas fsicos reales. Tambin la ecuacin 4 se puede escribir como: (5)

con el fin de reducir clculos posteriores se hace un cambio de variable (6) Debemos aclarar que la expresin 6 es de carcter adimensional, ahora por regla de la cadena.

(7)

Ahora reemplazando la expresin 7 en la ecuacin 5 queda :

(8)

Haciendo los procedimientos pertinentes de E.D queda: (9)

para reducir aun mas la ecuacin daremos un valor se sigma como: (10)

ahora teniendo en cuenta que:

Vamos a usar las consideraciones anteriormente dichas para para reemplazar el primer termino del parntesis de la ecuacin 9. (11)

Ahora finalmente la ecuacin queda de la siguiente manera:

(12)

Resumiendo partimos de la ecuacin 1 que modela el comportamiento de un oscilador armnico, usando cambio de variables lo que se emplea para pasar una ecuacin diferencial de segundo grado no homognea a una de segundo grado homognea.

Normalmente la ecuacin 12 se podra resolver por medio de series de potencias pero dado que hay una condicin especial de esta ecuacin es que:

lo cual nos sugiere emplear algo denominado condicin asinttica de una funcin, esto significa que en nuestro caso una partcula JAMAS se puede encontrar en el infinito sino tendiendo a cero, a esto se denomina condicin asinttica, una vez definido esto vamos a buscar los valores grandes tanto positivos como negativos de entonces dado que depende de en este caso la ecuacin 12 queda expresado de forma:

(13)

ahora si planteamos una solucin para esta ecuacin ser:

(14) Dado que la expresin:

Dado que si la evaluamos esta expresin tiende a infinito por ende nuestra ecuacin se transforma en: (15)

Ahora reemplazando la ecuacin 15 en la ecuacin 12 queda:

(16) Ahora si factorizamos el termino de A de la ecuacin 16 queda :

consideremos que A0 entonces en este caso haremos que A=1, al realizar la segunda derivada queda: (17)

Charles Hermite (24 de diciembre de 1822 - 14 de enero de 1901) fue un matemtico francs que investig en el campo de la teora de nmeros, sobre las formas cuadrticas, polinomios ortogonales y funciones elpticas, y en el lgebra. Varias entidades matemticas se llaman hermitianas en su honor. Tambin es conocido por la interpolacin polinmica de Hermite.

Una frmula ampliamente utilizada para generar los polinomios de Hermite es la frmula de Rodrigues:

PROBLEMA: Obtnganse los primeros cuatro polinomios de Hermite con la frmula de Rodrgues.La aplicacin de la frmula de Rodrgues es directa y no tiene mayor ciencia:

Las funciones de onda correspondientes a cada uno de los nmeros cunticos del oscilador armnico simple sern iguales al producto de cada uno de los polinomios de Hermite dados arriba multiplicados por la funcin exponencial decreciente que se sobrepone rpidamente a los exponentes de los polinomios logrando que (x)..0 cuando x.. tanto para los valores positivos como los valores negativos de x, multiplicadas por una constante de normalizacin dada por la siguiente expresin para cada uno de los nmeros cunticos principales n:

Las grficas de cada una de las funciones de onda que corresponden al oscilador armnico simple para encontrar sus funciones a continuacion:

Densidades de probabilidades con distintos valores de n

En la siguiente figura tenemos una grfica tridimensional en la cual

tenemos en un plano el diagrama de los niveles de energa del oscilador armnico simple y en el cual aparecen interpuestos en tercera dimensin las amplitudes de probabilidad para las funciones de onda de los estados del oscilador armnico simple:

ahora si usamos un valor de n=25

Grafica para 25 estados cunticos:

El objetivo de esto es llegar a una previa conclusin:entre mas grande sea el numero cuntico mas su densidad de probabilidad se acerca al de un oscilador clsico

Para afianzar nuestra idea entendamos la siguiente grafica:

laserEl fundamento del lser: la emisin estimulada El tomo est integrado por un ncleo, formado por un conjunto de protones y neutrones, y por una serie de electrones emplazados a determinada distancia, alrededor del ncleo. Electrones, protones y neutrones son las tres partculas bsicas. Los electrones poseen una masa muy pequea y carga negativa. Por su parte, protones y neutrones tienen aproximadamente la misma masa, pero mientras los primeros poseen carga elctrica positiva, los neutrones carecen de carga. Los electrones del tomo, cuya energa depende de su distancia al ncleo, pueden encontrarse en estado excitado con una energa superior a la normal o en reposo. En el estado excitado, el electrn almacena una determinada proporcin de energa. En virtud del llamado proceso de absorcin, cuando un fotn recordemos que las ondas de luz tambin se denominan fotones choca con un electrn no excitado, puede hacer que pase al estado de excitado. Habitualmente, un electrn que resulta excitado, al cabo de un tiempo pasa nuevamente al estado de reposo, emitiendo al pasar un fotn. Este fenmeno, conocido como emisin espontnea, es el que tiene lugar, por ejemplo, en el Sol o en las bombillas. Ahora bien, un electrn puede ser inducido a liberar su energa almacenada. Si un fotn pasa al lado de un electrn excitado, ste retorna al estado no excitado a travs de la emisin de un fotn de luz igual al que pas junto a l inicialmente. Este proceso se conoce como emisin estimulada y constituye el fundamento del lser.