Movimiento armnico simple y amortiguado

OBJETIVOEl objetivo de este experimento fue de manera principal analizar el movimiento armnico simple y el movimiento armnico amortiguado.Y de manera ms especfica en se busca: Determinar la constante de rigidez de

FUNDAMENTO TERICOMovimiento armnico simple:movimiento rectilneo con aceleracin variable producido por las fuerzas que se originan cuando un cuerpo se separa de su posicin deequilibrio.Un cuerpo oscila cuando se mueve peridicamente respecto a su posicin deequilibrio. El movimiento armnico simple es el ms importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye una buena aproximacin a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza y es muy sencillo de describir matemticamente. Se llama armnico porque la ecuacin que lo define es funcin del seno o del coseno.En el movimiento armnico simple en una dimensin, el desplazamiento del cuerpo, desde su posicin deequilibrio, en funcin del tiempo viene dado por una ecuacin del tipo:x=Asen(t+)siendoA,yconstantes. El desplazamiento mximo,A,es la amplitud. La magnitudt+es la fase del movimiento, y la constantees la constante de fase.En el movimiento armnico simple, la frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud, y la aceleracin es proporcional al desplazamiento, pero de sentido contrario:a=-2xley de hookepropiedad de un material que le hace recuperar su tamao y forma original despus de ser comprimido o estirado por una fuerza externa. Cuando una fuerza externa acta sobre un material causa un esfuerzo o tensin en el interior del material que provoca la deformacin del mismo. En muchos materiales, entre ellos los metales y los minerales, la deformacin es directamente proporcional al esfuerzo. Esta relacin se conoce como ley de Hooke, as llamada en honor del fsico britnico Robert Hooke, que fue el primero en expresarla. No obstante, si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la ley de Hooke ya no es vlida. El mximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina lmite de elasticidad.Movimiento Oscilatoriocuando se producen series de intervalos iguales del movimiento en intervalos de tiempo iguales se le llama peridico al movimiento (periodicidad), si adems se cambia de sentido lo podemos llamar oscilatorio. Ej: el pndulo simpleMasasiempre desde que empezamos a estudiar sabemos que la masa es una propiedad esencial de la materia y su medida est dada en kilogramos, podramos decir que es la agrupacin de todas las partculas que conforman un cuerpo.Pesoes una fuerza resultante de la accin de que hace la tierra de atraer los cuerpos hacia su centro y es directamente proporcional a la masa de los cuerpos. La cantidad es vectorial y la podemos describir como el producto de la masa del cuerpo por la gravedad del lugar donde se encuentra, W = m*g.Periodicidadpodemos sealar est caracterstica como la repeticin de eventos del mismo tipo durante unos intervalos de tiempo, casi exactamente iguales.Frecuencia:cuando hablamos de frecuencia, en realidad estamos hablando de la cantidad de eventos de un mismo

tipo que se repiten durante una cantidad de tiempo determinada.Dinmica del movimiento armnico simpleEn el movimiento armnico simple la fuerza que acta sobre el mvil es directamente proporcional:

Un ejemplo sera el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese casoksera la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de newton tendramos:

Comparando esta ecuacin y la que tenamos para la aceleracin (6) se deduce:

Esta ecuacin nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armnico simple en funcin de la masa de la partcula y de la constante elstica de la fuerza que acta sobre ella:

Energa del movimiento armnico simple

Energascintica(Ec),potencial(Ep) ymecnica(Em) en el movimiento armnico en funcin de la elongacin.Las fuerzas involucradas en un movimiento armnico simple soncentralesy, por tanto,conservativas. En consecuencia, se puede definir uncampo escalarllamadoenerga potencial(Ep) asociado a la fuerza. Para hallar la expresin de la energa potencial, basta con integrar la expresin de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, obtenindose:

La energa potencial alcanza su mximo en los extremos de la trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el puntox= 0, es decir el punto de equilibrio.Laenerga cinticacambiar a lo largo de las oscilaciones pues lo hace la velocidad:

La energa cintica es nula en-Ao+A(v=0) y el valor mximo se alcanza en el punto de equilibrio (mxima velocidad A).

Como slo actan fuerzas conservativas, laenerga mecnica(suma de la energa cintica y potencial) permanece constante.

Finalmente, al ser la energa mecnica constante, puede calcularse fcilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partcula es nula y por lo tanto la energa potencial es mxima, es decir, en los puntosy. Se obtiene entonces que,

O tambin cuando la velocidad de la partcula es mxima y la energa potencial nula, en el punto de equilibrio

Oscilador armnico amortiguado[editar]

Oscilador armnico con amortiguador. La fuerza viscosa es proporcional a la velocidad.Aadiendo prdidas de energa, se consigue modelar una situacin ms prxima a la realidad. As, ntese que la oscilacin descrita en el apartado anterior se prolongara indefinidamente en el tiempo (la sinusoide que describe la posicin no converge a cero en ningn momento). Una situacin ms verosmil se corresponde con la presencia de una fuerza adicional que frena el movimiento. Esa fuerza puede ser constante (pero siempre con signo tal que frene el movimiento). Es el caso derozamientossecos: la fuerza no depende ni de la velocidad ni de la posicin. Otra situacin que se produce en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la velocidad elevada a unapotencia, entera o no. As sucede cuando la fuerza que frena proviene de la viscosidad o de las prdidasaerodinmicas. Se tratar nicamente el caso ms simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza ser:

Dondees uncoeficienteque mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. Sies pequeo, el sistema est poco amortiguado. Ntese el signo negativo que indica, como antes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la direccin opuesta a la velocidad. Con este trmino complementario la ecuacin diferencial del sistema es:

Se trata de una ecuacin diferencialordinaria,lineal, de segundo orden1(contiene derivadas segundas) yhomognea(no hay trmino independiente de). Tiene tres tipos de soluciones segn el valor de: Siel sistema est sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrtico) Siel sistema tiene amortiguamiento crtico. Siel sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento dbil o subcrtico)Oscilador sobreamortiguado

Posicin en funcin del tiempo de un oscilador armnico amortiguado.En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solucin es de la forma:

donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilacin):

Y

ydependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situacin del sistema para). La posicin no es oscilante y tiende hacia la posicin de equilibrio de maneraasinttica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequeay corresponde a la rpida cancelacin del efecto de la velocidad inicial. La segundaes ms grande y describe la lenta tendencia hacia la posicin de equilibrio.Oscilador con amortiguamiento crticoEste caso es el lmite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando

La solucin nica es:

como antes,yson constantes que dependen de las condiciones iniciales.El amortiguamiento crtico corresponde a la tendencia ms rpida hacia la situacin de equilibrio cuando no sobrepasa esa posicin. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca ms rpidamente a la posicin de equilibrio, pero sobrepasando la posicin oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos).Oscilador con amortiguamiento dbil

Oscilaciones amortiguadas. La amplitud de la sinusoide est controlada por la exponencial.En este caso, que es ms interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posicin de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando:

La solucin es:

como antes,yson constantes que dependen de las condiciones iniciales. La pulsacin es:

La pulsacin del sistema amortiguado es un poco menor que la pulsacin del sistema no amortiguadoporque la fuerza que lo amortigua, frena la masa y la retarda.La oscilacin del sistema est descrita por una sinusoide de frecuenciacuya amplitud est multiplicada por una exponencial decreciente cuya constante de tiempo es.Factor de calidad Q.En un sistema poco amortiguado es interesante de definir elfactor de calidad(Quality factoren ingls) o simplementeQcomo:

esta cantidad es igual aveces el inverso de las prdidas relativas de energa por perodo. As, un sistema que pierde 1% de energa a cada ciclo, tendr unQde 628. Ms interesante,Qes tambinveces el nmero de oscilaciones que el sistema hace mientras su amplitud se divide por un factor. Si se puede aceptar una aproximacin ms grosera,Qes 3 veces el nmero de oscilaciones que un sistema hace mientras su amplitud cae a 1/3 de la amplitud inicial.Como ejemplos, el Q de un vehculo con losamortiguadoresen buen estado es un poco ms grande que 1. El Q de una cuerda de guitarra es de varios miles. El Q de los cristales decuarzoutilizados enelectrnicacomo referencia de frecuencia es el orden de 1 milln. Una copa devidrioordinario tiene un Q mucho ms pequeo que una copa devidrio de plomo(cristal).

MATERIALES Una computadora con el programa Logger Pro instalado. Una interfase LabPro de Vernier. Un detector de movimiento. Un sensor de fuerza. Un resorte. Un conjunto de pesas. Un soporte universal con nueces Regla milimetrada metlica. Recipiente de plstico. Placa de mica. Agua 1 litro.PROCEDIMIENTOPRIMERA PARTEConstante de rigidez del resorte, mtodo esttico:1. Suspender del resorte distintas masas. Para ello combinar las masas que se han proporcionado.2. Medir la elongacin del resorte en cada caso.3. Registrar los datos.Masa(kg)1.000.2110.3611.2110.261

Peso(N)9.812.0693.54111.8792.560

Elongacin(cm)9.90.21.013.70.5

Constante de rigidez del resorte, mtodo dinmico:1. Suspender el resorte del sensor de fuerza.2. Del resorte suspender una masa de un kilogramo.3. Colocar un detector de movimiento debajo de la masa.4. Conectar los sensores a la interface.5. Conectar la interface al computador.6. Configurar el programa para mostrar la grfica Fuerza vs. Posicin.7. Hacer oscilar la masa y simultneamente iniciar la toma de datos.8. Grabar los resultados.SEGUNDA PARTEDeterminacin de las ecuaciones del movimiento armnico simple1. Utilice el arreglo experimental de la figura 2.2. Configurar el software para que la frecuencia de toma de datos sea de 10 muestras por segundo y el tiempo de muestre sea de 15 segundos.3. Seleccione una masa de 1000 g y suspndala del resorte.4. Haga oscilar verticalmente la masa y empiece la toma de datos.5. Repita el proceso para tres masas diferentes.TERCERA PARTE1. Arme el mdulo de la pesa con la placa reflectora, para ello retire la armella de la pesa de 1kg y coloque el perno y ajuste la placa con las dos tuercas, de modo que quede completamente horizontal, como se muestra en la figura.2. Realizar el montaje experimental.3. Seleccionar una masa de 1kg y suspenderla del resorte de modo que el sistema efectu solo oscilaciones verticales dentro del agua.4. Haga oscilar verticalmente las masas y empiece a registrar sus datos de posicin.

RESULTADOS, CLCULOS Y GRFICASPRIMERA PARTE1. Graficando el peso vs. elongacin con los datos tomados en los dos mtodos esttico y dinmicoEsttico:

Dinmico:

2. Realizando el ajuste de curva a una recta para determinar la pendiente de la recta, la cual ser la constante de rigidez k del resorte.

Esttico:

Dinmico:

3. El error porcentual seria :

SEGUNDA PARTE4. Realizando un ajuste de curvas y de terminando la ecuacin de la posicinTomamos los datos desde hasta TiempoPosicin

0.14,292

0.26,350

0.37,703

0.47,174

0.55,262

0.63,645

0.73,909

0.85,762

0.97,468

17,468

1.15,821

1.23,968

1.33,733

1.45,233

1.57,086

1.67,674

1.76,350

1.84,351

1.93,586

24,703

5. Del resultado anterior determinando:Amplitud:Hallamos el valor mximo promedio:

Hallamos el valor mnimo promedio:

Tomamos esos valores como las crestas as que:

Periodo:Restamos los valores de 2 crestas:

Fase inicial:De acuerdo a la grfica el eje se tomara en Entonces en un tiempo tenemos Hallamos la frecuencia natural:

Tenemos la ecuacin de movimiento:Asumimos la ecuacin:

6. Del resultado de la pregunta 4, determinando la velocidad y aceleracin:Derivamos la ecuacin de la posicin respecto del tiempo y posteriormente volvemos a derivar y obtenemos:

Elabore la grfica de fuerza vs. aceleracin y determine la relacin entre ellos.Tomamos los datos desde hasta AceleracinFuerza

-2,0654,292

-2,0856,350

-1,8307,703

-0,9217,174

0,3755,262

1,1363,645

0,8273,909

-0,25855,762

-1,1827,468

-1,0467,468

0,08545,821

1,1923,968

1,2643,733

0,24575,233

-0,92287,086

-1,1387,674

-0,32336,350

0,66834,350

0,99793,586

0,36714,703

TERCERA PARTEGrafique la posicin a travs del tiempo

Realice un ajuste de curvas y determine:Amplitud inicial de las oscilacionesPeriodo (pseudo-periodo) T1 de las oscilacionesFrecuencia angular (w1) de oscilacin mediaFase inicial de oscilacinDecremento logartmicoCoeficiente de amortiguamientoCUARTA PARTE Modifique los datos de la posicin del mvil, teniendo en cuanta que el nivel de referencia esta en la posicin de equilibrio.Elabore la grfica de energa cintica a travs del tiempo.Elabore la grfica de energa potencial a travs del tiempo.Elabore la grfica de energa cintica a travs de la posicin. Elabore la grfica de energa potencial a travs de la posicin. Elabore la grfica de energa cintica versus energa potencial y deduzca las magnitudes asociadas al movimiento armnico simple. CONCLUSIONESLa caracterstica principal de todo Movimiento Armnico Simple es presentar una fuerza que pretende regresar el sistema a su posicin de equilibrio, determinadafuerza restauradora.Despus de el estudio de fenmenos ocurridos en nuestra cotidianita observamos, en el campo de oscilaciones q una oscilacin depende de la amplitud del cuerpo y es directamente proporcional al tiempoLas oscilaciones son directamente proporcional a rango del periodo que genera decir entre mas oscile los objetos su periodo se torna mayor

BIBLIOGRAFIA Fsica para la ciencia y tecnologa, Paul Allen Tipler, Gene Mosca (2005). Marion, Jerry B. (1996).Dinmica clsica de las partculas y sistemas. Barcelona: Ed. Revert. Ortega, Manuel R. (1989-2006).Lecciones de Fsica (4 volmenes). Monytex. Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001).Physics(en ingls). New York: John Wiley & Sons.