MOVIMIENTO

ARMONICO SIMPLE

(M.A.S.)

El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el

movimiento de la "proyección" (sombra que proyecta) de un cuerpo

auxiliar que describe un movimiento circular uniforme (M.C.U.)

El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el

que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o

cosenoidal.

La posición de un cuerpo que describe un M.A.S. viene dada por una

ecuación de tipo seno ó coseno:

El caso más sencillo se produce cuando no existe desfase (φ=0). En este caso

la ecuación queda reducida a:

1. A es la amplitud. Es el desplazamiento máximo de la partícula en la

dirección x, ya sea positiva o negativa.

2. ω es la frecuencia angular.

3. es la constante de fase o ángulo de fase

FRECUENCIA f : es el número de oscilaciones que efectúa la partícula por unidad de tiempo.

f=1/T

ω= 2πf

ω=2π/T

PERIODO “T”: es el tiempo que tarda la partícula en completar un ciclo.

T= 2π/ω

CARACTERÍSTICAS DE UN M.A.S.

La amplitud (A) es constante

El período (T) y la frecuencia (f) son independientes de la

amplitud (A).

Se pueden expresar en términos de una función de seno o

coseno.

La velocidad v de un móvil que describe un M.A.S. se obtiene

derivando la posición respecto al tiempo:

VELOCIDAD EN UN M.A.S.

La aceleración total puede obtenerse derivando el módulo de la

velocidad:

ACELERACION EN UN M.A.S.

Si se escribe en función de la posición:

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos el valor de la

fuerza elástica:

DINAMICA DEL M.A.S.

A partir de la definición de la constante elástica, se obtiene la

pulsación (frecuencia angular):

Y recordando la relación entre frecuencia angular y frecuencia, se

tiene:

Se observa que la frecuencia depende exclusivamente de la

constante elástica del movimiento y de la masa del cuerpo que lo

describe.

LA FRECUENCIA DE LA VIBRACION

La relación desplazamiento vs. tiempo para el movimiento armónico

simple es:

x= A cos (ω t+ )

V=dx/ dt= - ω Asen(ω t+ )

a=dv/ dt= - ω ²Acos (ωt+ )

Por lo tanto:

a= - ω²x

xa 2

Av max

Aa 2

max

PROBLEMA 1 Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple a lo largo del eje

“x” de acuerdo con la ecuación:

x = 4 cos(πt + π/4), Donde t está en segundos y los ángulos en radianes.

a) Determinar la amplitud, la frecuencia y el período del movimiento

b) Determinar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier

tiempo t.

Solución:

a) A = 4m, w= π rad/s

f =w/2 π= 0.5 s-¹

T=1/ f = 2 s

b) V= - 4πsen(π t+ π/4)

a = - 4π2cos(π t+ π/4)

1. SISTEMA MASA-RESORTE

Considere un sistema físico

compuesto por una masa

unida al extremo de un

resorte.

Cuando la masa se desplaza

una pequeña distancia x a

partir del equilibrio, el resorte

ejerce una fuerza sobre “m”

dada por la Ley de Hooke:

F= -k.x

Esta fuerza es “la fuerza restauradora lineal” puesto que está dirigida al hacia la posición de equilibrio del sistema y es opuesta al desplazamiento.

F= ma -kx = ma

a= - kx/m

d²x/dt² + (k/m) x = 0

d²x/ dt² +w²x = 0

Ecuación general del M.A.S.

Donde:

02

2

2

xtd

xd

k

mTy

m

k 2

Av max

Aa 2

max

tAx cos

PROBLEMA 2: Una masa de 200g está conectada a un resorte ligero con constante

de fuerza 5 N/m y puede oscilar libremente, sobre una pista

horizontal sin fricción. Si la masa se desplaza 5 cm desde el

equilibrio y se suelta a partir del reposo. Determinar:

a) el período

b) la velocidad máxima de la masa

c) la aceleración máxima de la masa

Solución:

a) Periodo:

ω=(k/m) = ((5N/m)/(0.2 kg)) = 5 rad/s.

T = 2π/ω = 2π/5 =1.26 s.

b) Velocidad máxima de la masa

Vmax= ωA = (5 rad/s) (0.05m) = 0.25 m/s

c) Aceleración máxima de la masa

Amax= ω²A = (5 rad/s)² (0.05m) = 1.25 m/s²

ENERGIA DE UN OSCILADOR

ARMONICO SIMPLE

Examinemos la energía mecánica del sistema masa-resorte:

k=1/2mV² = ½(mω²)A²sen²(ωt+ )

U=1/2kx² = 1/2kA²cos²(ωt+ )

Etotal=1/2kA²{sen²(wt+ )+cos²(wt+ )}

Etotal=1/2kA²

2

2

1kAEtotal

UkEtotal

22

maxmax2

1

2

1kAmvk

ENERGIA CINETICA Y

POTENCIAL

ENERGIA DE UN OSCILADOR

ARMONICO SIMPLE

PROBLEMA 3: Un sistema masa-resorte con

k=221 N/m y m=2.43 kg se estira

en dirección positiva x una

distancia de 11.6 cm. del

equilibrio y luego se suelta.

Determinar:

a) La energía total almacenada

en el sistema

b) La velocidad máxima del

bloque

c) La aceleración máxima del

bloque

Solución:

a) Energía total:

E=1/2kx² =1/2(221N/m)(0.116m)²

E=1.49 J.

b) Velocidad máxima (punto de vista energético):

Vmáx=(2kmáx/m) = (2(1.49J)/2.43kg)

Vmáx= 1.11 m/s

c) Aceleración máxima (Según Ley de Newton):

amáx = Fmáx/m=kx/m =(221N/m)(0.116m)/2.43kg

amáx= 10.6 m/s²

2. EL PENDULO SIMPLE

Se compone de una masa

puntual m suspendida por una

cuerda ligera de longitud L,

donde el extremo superior de

la cuerda está fijo.

Mostraremos que, siempre y

cuando el ángulo sea

pequeño, este es otro modelo

de un oscilador armónico

simple.

Entonces:

∑Ftan = m.atan

-mgsen = m (α L)

-gsen = L. d²/ dt²

Si es pequeño: sen ≈

-g . = L. d²/ dt²

d²/ dt² + (g/L) = 0

02

2

2

xtd

xd

02

2

L

g

td

d

g

LTy

L

g 2

PROBLEMA 4:

Un péndulo simple tiene un período de 2.5 s. Determinar:

a) La longitud de la cuerda del péndulo

b) Su período en un lugar donde g = 1.67 m/s²

g

LTy

L

g 2

Solución:

T=2π (L/g): L=(2.5)². g/4π²

L=1.55m.

T=2π (L/g): T=2π(1.55/1.67)

T=6.05 s.

3. PENDULO FISICO

Es un cuerpo que gira

libremente alrededor de un

eje que no pasa por su

centro de masa.

= I.α

= - (mg).dsen

Entonces:

-mgdsen = I .d²/ dt²

d²/ dt² +(mgd/I )sen =0

Si es pequeño, entonces sen ≈

d²/ dt² +(mgd/I) = 0

Entonces:

02

2

2

xtd

xd

02

2

I

mgd

td

d

mgd

ITy

I

mgd 2

PROBLEMA 5:

Una “masa M” está unida al extremo de una barra uniforme de masa M y longitud L que puede girar en su parte superior. Determinar:

a) El periodo T de oscilación para desplazamientos pequeños desde la posición de equilibrio

b) El periodo T para L= 2m.

= I.α

∑ = I.α

-Lsen (Mg) – (½) Lsen (Mg)= i d²/dt²

-(3/2)MgLsen =(1/3ML²+ML²)d²/dt²

Si es pequeño: sen ≈

-3/2g = 4/3 L d²/dt²

d²/dt² +9 g /8L.=0

w=3/2(g/2L)

T=4/3π(2L/g)

Solución:

4. PENDULO DE TORSION

Cuando el cuerpo se hace girar cierto

ángulo pequeño , el alambre torcido

ejerce un momento de torsión

restaurador sobre el cuerpo

proporcional al desplazamiento

angular.

Es decir:

= -k

= -k = I d²/dt²

d²/dt²+(k/I) =0

Donde:

ω= (k/I)

T=2π (I/k)

PENDULO DE TORSION