1.- Movimiento periódico y oscilatorio o vibratorio:

-Bueno, como podemos observar en el título del apartado y en el del tema, durante

este tema trataremos y estudiaremos los movimientos periódicos y los oscilatorios

(también llamados vibratorios). Pues bien, dicho esto veamos empecemos viendo

la definición de cada uno para así saber sobre que hablaremos durante el tema:

Movimiento periódico: es aquel que se repite a intervalos iguales de tiempo

(o sea, aquel movimiento que se repite en un intervalo de tiempo), como el

movimiento de la aguja de un reloj, el movimiento de un péndulo […]).

Movimiento oscilatorio o vibratorio: es 1 tipo de movimiento periódico que

tiene lugar a un lado y a otro de una posición de equilibrio estable (es decir,

1 movimiento periódico en torno a 1 punto a un punto estable (oscilación)), como

la vibración de la membrana de un tambor (la membrana del tambor es el punto

estable y la vibración el movimiento periódico entorno a esta) […].

-Bien, ya conocemos los conceptos de los 2 tipos de movimientos que estudiaremos en

este tema (en realidad es 1 solo que el oscilatorio o vibratorio es 1 tipo del periódico).

De este modo, pasemos ahora a ver las magnitudes que debemos conocer previamente

para poder estudiar estos movimientos:

Espacio angular (φ): es el ángulo que abarca el movimiento (Ej: el ángulo que

forma el movimiento de 1 péndulo […]). Se mide en radianes (rad).

Espacio lineal (s): es el espacio recorrido sobre la trayectoria (en el ejemplo del

péndulo sería la medida de la línea que une el punto inicial y final del movimiento).

Al ser lineal se mide en metros (m) y como siempre para pasar de angular (rad) a

lineal (metros) multiplicamos por el radio de movimiento: s = φ · R.

Velocidad angular (ω): es el ángulo recorrido (espacio angular) en la unidad de

tiempo. Se mide en radianes/segundo (rad/s) y su expresión es: ω = φ / t.

Velocidad lineal (v): es la distancia recorrida por la partícula en la unidad de tiempo.

Se mide en m/s y al igual que hemos dicho para s para pasar la velocidad angular

(ω) a velocidad lineal (v) se multiplica por el radio del movimiento: v = ω · R.

Aceleración (a): para este tipo de movimientos nos interesa recordar la aceleración

centrípeta, ac, que es la que sucede en un movimiento circular. Se mide en m/s2 y su

expresión es la siguiente: ac = v2 / R.

Periodo (T): es el tiempo que se tarda en repetir el movimiento. Se mide en segundos.

Frecuencia (f): es el número de vueltas que realiza el móvil en la unidad de tiempo.

Se mide en mide comúnmente llamado hercios (Hz) y se puede expresar: f = 1/T.

-Así, también podemos definir el concepto de movimiento periódico mediante sus

variables de posición (r), velocidad (v) y aceleración (a) del cuerpo que lo posea; ya que

cuando este se produce estas 3 variables coinciden. Por tanto, 1 cuerpo lleva un

movimiento periódico siempre que estas 3 variables coincidan en 1 periodo de tiempo.

Por otra parte, debemos saber además que no todos los movimientos periódicos son

circulares (eso se puede ver en 1 cuerpo colgado de un resorte, en un péndulo en

movimiento […]). La diferencia es que los movimientos oscilatorios son movimientos

lentos (péndulo, muelle colgando […]) que cuando oscilan muy rápido se les llama

vibratorios (porque se produce vibraciones: oscilaciones muy rápidas).

-Bueno, vistas las diferencias entre oscilación y vibración, y movimiento periódico y

oscilatorio ahora nos queda ver que comparten estos movimientos. Pues bien, lo que

comparten estos 2 movimientos es, como ya hemos dicho, es que el oscilatorio es un

movimiento periódico; ya que se repite en 1 intervalo de tiempo. Así, debemos saber

que una oscilación completa dura 1 periodo (T) y se recorre 4 veces la amplitud del

movimiento (A), que no es más que el máximo desplazamiento que se produce en la

oscilación. Por lo tanto, si 1 oscilación dura 1 periodo T y se recorre 4 veces la amplitud,

la amplitud (máximo desplazamiento) se realiza en T/4.

2.- Movimiento armónico simple(M.A.S): Cinemática:

-Bueno, antes de definir este movimiento, que es en el que vamos a centrar su estudio en

este tema; veamos a que hacen referencia su siglas (m.a.s):

m → movimiento (es un movimiento, por lo que presentará las 3 variables cinemáticas:

posición, velocidad y aceleración).

a → armónico (sus 3 variables cinemáticas se pueden describir mediante funciones

armónicas (con senos y cosenos).

s → simple (el movimiento solo depende de 1 variable (unidimensional): el tiempo (t).

-Bien, pues tras conocer el significado de sus siglas podemos decir que el movimiento

armónico simple (m.a.s) es un movimiento periódico en el que sus variables cinemáticas

de posición, velocidad y aceleración vienen dadas por expresiones senoidales. Bien, pues

definido su concepto veamos ahora antes de nada los magnitudes relacionados al m.a.s:

x (elongación): es la posición que ocupa el cuerpo en movimiento con respecto a la

posición inicial o de equilibrio. Se mide en metros (m) y puede ser x (si el movimiento

es en horizontal) o y (si es en vertical).

A (amplitud): es el desplazamiento máximo que puede hacer el cuerpo (elongación

máxima). Se mide en metros (m) y se puede hallar: A = distancia (oscilación)/4.

T (periodo): tiempo que tarda en dar 1 oscilación completa. Se mide en segundos y se

puede obtener de las siguientes expresiones: T = 1 / f y T = 2π / ω

f (frecuencia): son las vibraciones por segundo del movimiento. Se mide en hercios

(Hz) y se puede obtener mediante 2 expresiones: f = 1 / T y f = nº oscilaciones/ t (s)

ω (frecuencia angular): es la velocidad angular que lleva el cuerpo. Se mide en rad/s

y se puede obtener de la siguiente: ω = 2π / T.

φ (desfase inicial): es la posición del cuerpo en el instante inicial (es decir, para t = 0s).

ωt + φ (fase): expresa el trayectoria angular recorrida por el cuerpo. Se mide en rad.

A

v (m/s)

-Bien, pues 1 vez que conocemos las magnitudes con las que vamos a trabajar en este

movimiento pasemos a ver ahora el movimiento armónico simple en sus 3 variables

cinemáticas: posición, velocidad y aceleración. Vamos a ello:

Posición (x o y): la ecuación de posición del m.a.s es la siguiente:

(x o y) = A · sen (ωt + φ)

-Veamos la gráfica que responde a esta función senoidal:

Velocidad(v): las ecuaciones que definen la velocidad de 1 m.a.s son los siguientes:

v = Aω · cos (ωt +φ) v = ω · √𝑨𝟐 − 𝒙𝟐

-Veamos la gráfica que responde a esta función senoidal:

A

–A

x o y(m)

T(s) T/4 T/2 3T/4 T

π/2

π

3π/2

2π

(*) Como vemos, la

gráfica muestra cada

desfase (φ) asociado

a cada intervalo de T.

–A

T(s) T/4 T/2 3T/4 T

π/2

π

3π/2

2π

(*) Como vemos, al ser la

función coseno empieza

en A, ya que para t = 0 y

v = 0, cos (ωt + φ) = 0,

por lo que φ = π/2.

0

0

A

–A

a (m2/s)

Aceleración(a): las ecuaciones que definen la aceleración de 1 m.a.s son las siguientes:

a = –Aω2 · sen (ωt + φ) a = –ω

2 · x

-Veamos la gráfica que responde a esta función senoidal:

-Bien, pues después de ver la ecuación del m.a.s para cada variable cinemática (posición,

velocidad y aceleración) vamos a comparar sus gráficas para ver en qué se relacionan

y en qué se diferencian. Veámoslo cuando su valor es 0 (o sea, en ):

Si la posición = 0 m → Velocidad es máxima (Aω) → Aceleración = 0.

Si la velocidad = 0 m/s → Posición es máxima (A) → Aceleración es máxima (–Aω2)

Si la aceleración = 0 m/s2 → Posición = 0 m → Velocidad es máxima (Aω).

-Por lo tanto, lo que hemos dicho puede recogerse en la siguiente tabla:

Fase (ωt + φ) Posición (m) Velocidad (m/s) Aceleración (m/s2)

0 y 2π 0 máxima (±Aω) 0

π/2 máxima (A) 0 máxima (±Aω2)

π 0 máxima (±Aω) 0

3π/2 máxima (–A) 0 máxima (±Aω2)

-Bien, pues dicho esto podemos concluir 2 cosas:

La aceleración y la posición coinciden (cuando una es 0 o máxima la otra también)

La velocidad se opone a ellas (si la velocidad es 0 la aceleración y la posición son

máximas […]).

-Bueno, solo queda por aclarar que el signo de cada ecuación da el sentido del

movimiento, es decir, por ejemplo la aceleración; esta es negativa (–Aω2) por lo que

su movimiento es negativo (o sea, hacia la izquierda) mientras que las demás al ser

positivas (A y Aω) su movimiento es positivo (o sea, hacia la derecha). Si el m.a.s fuera

en vertical negativo sería hacia abajo y positivo hacia arriba. Pues bien, aclaro esto veamos

en las páginas siguientes 1 cuántos ejercicios que nos harán entender mejor este m.a.s.

T(s) T/4 T/2 3T/4 T

π/2

π

3π/2

2π

(*) Como vemos, la gráfica

de la aceleración es la

misma que la de la posición

( ya que las 2 son funciones

de seno); solo que ésta al

ser negativa (–Aω2) empieza

su movimiento en sentido

negativo (izquierda).

0

A

–A

x(m)

1.- Una partícula animada de m.a.s inicia el movimiento en el extremo

positivo de su trayectoria y tarda 0,25s en llegar al centro de la misma.

La distancia entre ambas posiciones es de 10 cm. Calcula: a) El periodo y

la frecuencia del movimiento, b) El número de vibración que realiza

en 1 minuto, c) La ecuación del movimiento y d) La posición de la

partícula 0,5s después de iniciado el movimiento:

(*) Bueno, nos piden que hallemos T y f, el número de vibraciones que se realiza en

1 minuto, la ecuación de su movimiento y la posición de la partícula 0,5 s después de

iniciado el movimiento. Pues bien, lo 1º que hay que hacer en estos ejercicios es

interpretar todo lo que nos dicen para poder recoger los datos correctos. Dicho esto, lo

1º que nos dicen es que la partícula lleva un m.a.s (o sea que debemos aplicar las

expresiones y conceptos de este movimiento), que inicia el movimiento en el extremo

positivo de su trayectoria (aquí nos están diciendo 2 cosas: 1) Que la partícula empieza

en la amplitud del movimiento (extremo = A), o sea, que para t = 0s → x = A; 2) Que se

mueve en sentido positivo, es decir, hacia la derecha o hacia arriba (nosotros

supondremos hacia la derecha pero puede ser cualquiera)), que tarda 0,25s en llegar al

centro de la misma (o sea, que si hemos dicho que estamos en x = A y nos dicen que tarda

0,25 s en llegar al centro (es decir, al punto de equilibrio donde x = 0 m) nos están

diciendo que en recorrer 1 cuarto de periodo tarda 0,25 s; o sea, T/4 = 0,25s); y por último

que la distancia entre ambas posiciones es de 10 cm (es decir, que entre el extremo (A) y

centro hay 10 cm; o sea, nos están diciendo que A = 10 cm). Bien, pues 1 vez que

conocemos los datos que nos ha dado el ejercicio pasemos a citarlos y a resolver lo que

nos pide el ejercicios con los conceptos y expresiones del movimiento en cuestión: m.a.s:

-Para t = 0s → x = A

-T/4 = 0,25 s

-A = 10 cm = 0,1 m

*a) T y f = ¿?

*b) f en 1 min = ¿?

*c) x = f(t).

*d) x → t = 0,5s

(#) Bien, pues conociendo los datos que nos ofrece el ejercicio y la gráfica que responde

al m.a.s de la partícula pasemos ahora a hallar lo que nos piden en la página siguiente de

forma clara y explicada para comprender cada cálculo y paso dado:

0 0,25 0,5 0,75 1 T(s)

π/2

π

3π/2

2π

π/2

0,1

m

a) En este apartado nos piden que hallemos el periodo T y la frecuencia f del movimiento.

Pues bien, para el caso de T no es necesario aplicar su expresión ya que solo con

observar la gráfica del movimiento podemos ver que T = 1 s. Así, una vez que

conocemos T podemos hallar f a través de su expresión: f = 1 / T = 1 / 1 → f = 1 Hz.

b) En este apartado nos piden el nº de vibraciones en 1 minuto. Pues bien, como sabemos,

la frecuencia no es más que las vibraciones que se producen en 1 segundo; por lo tanto,

si nos piden en 1 minuto solo tendremos que multiplicarlo por las vibraciones en 1

minuto, es decir: nº vibraciones en 1 min = 60s (1 min) · f = 60 · 1 →

→ nº vibraciones en 1 min = 60.

c) En este apartado nos piden que determinemos la ecuación del m.a.s de la partícula. Pues

bien, cuando nos dicen la ecuación del m.a.s de la partícula se refiere a la ecuación de

posición. Así, para determinarla debemos conocer los elementos que la forman; así que

antes vamos a hallar los que no conocemos de esta: ω y φ (en el caso del desfase (φ)

sabemos que es π/2 viendo la gráfica pero lo haremos analíticamente con las condiciones

iniciales (x = A y t = 0s) para saber hallarla en los demás ejercicios:

-A = 0,1 m

-ω = 2π/f = 2π/1 = 2π rad/s

-φ → (x = A y t = 0) →

→ A = A·sen (ωt + φ) →

→ 1 = sen (ω · (0) + φ) →

→ 1 = sen φ →

→ φ = arcsen 1 → φ = π/2

d) Por último, nos piden que hallemos la posición de la partícula 0,5 s después de

iniciarse el movimiento. Pues bien, viendo la gráfica del movimiento podemos

saber la posición de la partícula para ese tiempo, pero al igual que antes para el

desfase (φ) lo haremos analíticamente para conocer cómo se haría. Bien, pues para

ver la posición de la partícula 0,5 s después de iniciarse el movimiento solo tenemos

que sustituir ese tiempo (t = 0,5 s) en la ecuación del m.a.s de la partícula. Veámoslo: *x = 0,1·sen (2πt + π/2) → [t = 0,5s] → x = 0,1· sen (2π · (0,5) + π/2) →

→ x = 0,1 · sen (π + π/2) → x = 0,1 · sen (3π/2) → x = 0,1 · (–1) → x = –0,1 m

*La ecuación del m.a.s de la partícula es:

x = 0,1 · sen (2πt + π/2)

0,0625 0,125

0,1875

0,25 T(s)

x (m)

0,1

m

2.- Una partícula se mueve con un m.a.s entre dos puntos distantes entre sí

20 cm y realiza 4 vibraciones en un segundo. Si la partícula en el instante

inicial se encuentra en la posición x = A/2 y se dirige hacia el extremo

positivo, calcula: a) La ecuación del movimiento, b) ¿En qué instante

pasa por primera vez por la posición de equilibrio? y c) ¿En qué instante

alcanzará por primera vez el valor máximo de x?

(*) Bueno, en este ejercicio nos piden que hallemos la ecuación de movimiento de la

partícula, el instante en que pasa por 1ª vez por la posición de equilibrio y el instante en

que llega al valor máximo de x. Pues bien, como sabemos lo 1º es saber el tipo de

movimiento que lleva la partícula: m.a.s. Así, nos dicen después que esta se mueve entre 2

puntos distantes entre sí 20 cm (es decir, que la distancia entre los 2 extremos (el + y el –)

es de 20 cm; por lo tanto lo que nos están diciendo con esto es que A = 10 cm, ya que A la

distancia entre 1 extremo y el centro (x = 0 m)), que realiza 4 vibraciones en un segundo

(o sea, como sabemos las vibraciones por segundo nos la da la frecuencia, f, por lo que lo

que nos están dando aquí es f: f = 4 Hz), que en el instante inicial la partícula se encuentra

en x = A/2 (es decir, lo que nos están dando la posición de la partícula en tiempo

determinado para hallar el desfase φ del movimiento) y que se dirige hacia el extremo

positivo (o sea, se encuentra en la parte – y va hacia el extremo +). Bien, pues aclarados

todos los datos que nos da el ejercicio pasemos a citarlos y a representar la gráfica del

movimiento y resolver lo que nos piden. Vamos a ello:

-A = 10 cm = 0,1 m

-f = 4 Hz

-x = A/2 → t = 0s

*a) x = f(t)

*b) t = ¿? → x = 0 m

*c) t = ¿? → xmax

(#) Bien, pues 1 vez que conocemos los datos que nos da el ejercicio, lo que nos pide este

y la gráfica que representa el m.a.s que lleva la partícula (en la gráfica hemos puesto el

periodo T del movimiento ya que como nos dan f y sabemos que f = 1/T lo hemos hallado

mediante esta expresión: f = 4 Hz → [f = 1/T] → 4 = 1/T → T = 0,25 s) estamos en

condiciones de pasar en la página siguiente a resolver y hallar todo lo que nos piden.

Vamos a ello:

–A

A

0

a) En este apartado nos piden la ecuación del m.a.s de la partícula. Pues bien, para ello

al = que en el ejercicio anterior debemos hallar antes los elementos de esta que

no conocemos. Vamos a ello:

-A = 0,1 m

-ω = 2πf = 2π · 4 = 8π rad/s

-φ → (x = A/2 y t = 0) →

→ A/2 = A·sen (ωt + φ) →

→ 1/2 = sen (ω · (0) + φ) →

→ 1/2 = sen φ →

→ φ = arcsen 1/2 → φ = π/6

b) En este apartado nos piden que hallemos el instante en que la partícula pasa por 1ª vez

por el punto de equilibrio (es decir, cuando x = 0 m). Pues bien, para ello, al igual que

en el ejercicio anterior; solo tenemos que sustituir la posición en la que se encuentra la

partícula (x = 0 m) en su ecuación del m.a.s y ver a que instante (t) corresponde.

Vamos a ello:

*x = 0,1·sen (8πt + π/6) → [x = 0 m] → 0 = 0,1· sen (8πt + π/6) →

→ 0 = 0,1 · sen (8πt + π/6) → 8πt + π/6 = π → 8t + 1/6 = 1 → t = 0,1 s

(#) Como para que 0 = 0,1·sen (8πt + π/6) tiene que darse que sen (8πt + π/6) = 0;

o sea que 8πt + π/6 = π (ya que el sen (π) es 0 por lo que lo dentro de ( ) debe de ser 0

para que se cumpla la igualdad.

c) Por último nos piden que hallemos el instante en que la partícula alcanza por 1ª

vez el valor máximo de x (o sea, cuando x = A). Pues bien, para ello al igual que

en el apartado anterior solo tenemos que sustituir la posición en la que se encuentra

la partícula (x = A) en su ecuación del m.a.s para ver su instante (t) correspondiente.

Vamos a verlo:

*x = 0,1·sen (8πt + π/6) → [x = A] → 0,1 = 0,1· sen (8πt + π/6) →

→ 1 = sen (8πt + π/6) → 8πt + π/6 = π/2 → 8t + 1/6 = 1/2 → t = 0,042 s

*La ecuación del m.a.s de la partícula es:

x = 0,1 · sen (8πt + π/6)

x (m)

y (s)

–1 1 2 3

1

2

3

4

A

–A

0

0,5

1

2

1,5

T

(s)

3.- Un móvil describe un m.a.s siendo los puntos extremos de su

trayectoria el P1 (–1,2) y P2 (3,2), coordenadas expresadas en metros.

Sabiendo que inicialmente se encuentra en P1 y que su aceleración viene

dada en todo momento por la expresión: a = – π2 · x (S.I), determinar:

a) Ecuación de la elongación en función del tiempo, b) Posición del móvil

al cabo de 1 segundo, c) Ecuación de la velocidad en función del tiempo

y d) Velocidad del móvil al cabo de 1,5 segundos.

(*) Bueno, en este ejercicio nos piden que hallemos la ecuación de la elongación en función

del tiempo, la posición del móvil al cabo de 1 s, la ecuación de la velocidad en función del

tiempo y la velocidad del móvil al cabo de 1,5 s. Pues bien, para ello debemos saber como

siempre el movimiento del móvil: m.a.s. Así, luego nos dicen que los puntos extremos de su

trayectoria son P1 (–1,2) y P2 (3,2) (o sea, que nos dan los extremos de su vibración en los

ejes XY, y ya sabemos que cuando nos dan los extremos es para hallar la amplitud A del

movimiento, por lo que como entre P1 y P2 hay 4 m de distancia (desde –1 hasta 3 = 4) la

amplitud A = 2 m) y que inicialmente se encuentra en P1 y que su aceleración viene dada

por la expresión: a = –π2 · x (es decir, que nos dicen que inicialmente el móvil se encuentra

en P1 para así darnos las condiciones iniciales (t = 0 → x = A) para determinar el desfase

del movimiento (φ) y nos dicen que a = –π2 · x para darnos de forma implícita ω, ya que

como sabemos la aceleración del m.a.s también se puede expresar como a = –ω2 · x; por lo

que si comparamos ambas expresiones identificamos ω como en la expresión a = –π2 · x

como ω = π rad/s). Bien, pues 1 vez que conocemos los datos que nos da el ejercicio

pasemos a citarlos a representar gráficamente el movimiento en este caso en los ejes XY

y a hallar todo lo que nos piden:

-A = 2 m

-ω = π rad/s

*a) x = f(t)

*b) x = ¿? → t = 1 s

*c) v = f(t)

*d) v = ¿? → t = 1,5 s

(#) Bien, pues 1 vez que sabemos lo que nos dan y lo que nos piden y la gráfica del

m.a.s que lleva el móvil (como vemos, hemos representado el T del movimiento el

hemos sacado de la expresión de ω = 2π/T → π = 2π/T → T = 2π/π → T = 2s)

pasemos en la página siguiente a hallar lo que nos piden.

a) En este apartado nos piden que determinemos la ecuación de la elongación en función

del tiempo (o sea, en pocas palabras nos piden que determinemos la ecuación de

posición del móvil). Pues bien, para ello como ya sabemos necesitamos conocer los

elementos que la componen por lo que pasemos a ello:

-A = 2 m

-ω = π rad/s

-φ → (x = A y t = 0) →

→ –A = A·sen (ω·(0) + φ) →

→ –1 = sen (φ) → φ = –π/2 rad

b) En este apartado nos piden que hallemos la posición del móvil al cabo de 1 segundo

(o sea, para t = 1 s). Pues bien, como sabemos tan solo tenemos que sustituir t = 1s en

la ecuación de posición del móvil para hallar la posición correspondiente. Vamos a ello:

*x = 2·sen (πt – π/2) → [t = 1s] → x = 2· sen (π·(1) – π/2) →

→ x = 2 · sen (π – π/2) → x = 2 · sen (π/2) → x = 2 m

c) En este apartado nos piden que hallemos la ecuación de la velocidad en función del

tiempo (o sea, la ecuación velocidad del móvil). Pues bien, como ya conocemos todos

los elementos que la componen solo tenemos que sustituirlos. Vamos a ello:

*v = Aω · cos (ωt + φ) → v = 2π · cos (πt – π/2)

d) Por último nos piden que hallemos la velocidad del móvil al cabo de 1,5 segundos

(o sea, para t = 1,5s). Pues bien, al igual que antes solo tenemos que sustituir t = 1,5 s

en la ecuación de velocidad del móvil para hallar la velocidad correspondiente.

Vamos a ello:

* v = 2π · cos (πt – π/2) → [t = 1,5s] → v = 2π · cos (π · (1,5) – π/2) →

→ v = 2π · cos (1,5π – π/2) → v = 2π · cos (π) → v = –2π m/s

*La ecuación del m.a.s de la partícula es:

x = 2 · sen (πt – π/2)

4.- Un oscilador vibra de forma que para t = 0s se encuentra a 4 cm de

la posición de equilibrio con una velocidad v0 = 87 cm/s. Si la

frecuencia del movimiento es de 2 Hz, calcula: a) La fase inicial y la

amplitud del movimiento, b) La elongación y la velocidad en el

instante t = 0,5 s; c) El valor máximo de la velocidad.

(*) Bueno, en este ejercicio nos piden que hallemos la fase inicial y la amplitud del

movimiento, la elongación y la velocidad en el instante t = 0,5 s, y el valor máximo

de la velocidad. Pues bien, como ya sabemos lo 1º de todo es saber el movimiento que

sigue el oscilador: m.a.s. Así, después nos dicen que para t = 0s el oscilador se

encuentra a 4 cm de la posición de equilibrio con una velocidad de v0 = 87 cm/s (o sea,

aquí nos están dando las condiciones iniciales para hallar el desfase inicial (φ) del

movimiento y la amplitud (A) del mismo, la cual hallaremos en este caso por la

expresión de la velocidad del m.a.s: v = ω√𝐴2 − 𝑥2, ya que es de donde podemos

conocer todo para hallar A), y por último nos dicen que la frecuencia del movimiento

de 2 Hz (aquí nos dan la frecuencia (f) para hallar la velocidad angular del movimiento

(ω), mediante la expresión que los relaciona: ω = 2πf → ω = 2π · 2 → ω= 4π rad/s).

Bien, pues ahora que conocemos los datos que nos da el ejercicio pasemos a citarlos y

representar el movimiento del oscilador gráficamente y con esto hallar lo que nos pide

el ejercicio. Vamos a ello:

-t = 0 s

-f = 2 Hz → ω = 4π rad/s

*a) φ y A = ¿?

*b) x y v = ¿? → t = 0,5 s

*c) vmax = ¿?

(#) Bien, 1 vea que conocemos lo que nos dan y lo que nos piden pasemos a hallar lo

que nos piden como siempre claro y bien explicado para entender cada paso y cálculo

realizado (la gráfica del m.a.s se realiza siempre tras conocer el desfase inicial φ, y en

ella se deduce el periodo T de la frecuencia f u otro dato; en este caso: T = 1/f = 1/2

→ T = 0,5 s).

x = 4 cm = 0,04 m

v = 87 cm/s = 0,87 m/s A

– A

0,125 0,25

0,375 0,5

0

a) En este apartado nos piden que hallemos la fase inicial y la amplitud (o sea, el

desfase inicial (φ) y la amplitud del movimiento (A)). Pues bien, para ello 1º

hallamos, como se ha dicho antes, la amplitud (A) a partir de la expresión de la

velocidad del m.a.s: v = ω√𝐴2 − 𝑥2; de donde conocemos v (0,87 m/s), ω (4π rad)

y x (0,04 m). Así, 1vez que la tengamos, la sustituimos en la ecuación de posición

del m.a.s del oscilador y hallamos el otro elemento que nos piden: el desfase inicial

(φ). Vamos a ello:

*v = ω√𝐴2 − 𝑥2 → A = √𝑣2

𝜔2− 𝑥2 → [ v = 0,87; ω = 4π y x = 0,04] →

→ A = √0,872

16𝜋2− 0,042 → A = 0,08 m

*x = A·sen (ωt + φ) → [A = 0,08, x = 0,04 y t = 0] → 0,04 = 0,08·sen (ω · (0) + φ)

→ 0,5 = sen (φ) → φ = π/6 rad

b) En este apartado nos piden que hallemos la elongación y la velocidad en el instante

t = 0,5 s. Pues bien, como sabemos solo tenemos que sustituir t = 0,5 en la

ecuación de posición para halla la elongación y en la ecuación de velocidad para

hallar la velocidad del oscilador. Vamos a ello: *x = 0,08·sen (4πt + π/6) → [t = 0,5s] → x = 0,08· sen (4π·(0,5) + π/6) →

→ x = 0,08·sen (2π + π/6) → x = 0,08·sen (π/6) → x = 0,04 m

*v = Aω·cos (4πt + π/6) → [t = 0,5s] → v = 0,32π· cos (4π·(0,5) + π/6) →

→ x = 0,32π · sen (2π + π/6) → x = 0,32π· cos (π/6) → v = 0,87 m/s

(#) Como vemos x y v para t = 0,5 s coinciden con los iniciales, lo cual es lógico ya

que el periodo T del movimiento es de 0,5s por lo que cada 0,5s se repiten las

condiciones iniciales del movimiento.

c) Por último nos piden que hallemos el valor máximo de la velocidad (o sea, vmax).

Pues bien, como bien sabemos de la teoría la velocidad máxima de 1 m.a.s se da

cuando el cuerpo pasa por el centro (x = 0 m), y en la que la expresión queda:

v = Aω (ya que sería v = Aω · 1, debido a que el máximo valor de 1 seno o coseno

es 1 o –1 por lo que este se sustituye por 1 o – 1). Dicho esto hallemos vmax: v = Aω·cos (ωt + φ) → [vmax → cos (ωt + φ) = 1 o –1] →

→ vmax = Aω = ±0,08 · 4π = 0,32π → vmax = ±0,32π m/s = ±1 m/s

5.- Una partícula de 250g de masa vibra con m.a.s de forma que,

para t = 0s, pasa por la posición de equilibrio en sentido negativo. Si

tarda 1 minuto y 40 segundos en dar 125 oscilaciones completas y la

distancia recorrida en una oscilación completa es de 6,48m, calcula:

a) Las constantes del movimiento, b) La ecuación del movimiento,

expresada en seno y coseno, c) La velocidad y aceleración máximas:

(*) Bueno, en este ejercicio que hallemos las constantes del movimiento, la ecuación del

movimiento expresada en seno y coseno, y la velocidad y aceleración máximas. Pues bien,

como siempre lo 1º es determinar el tipo de movimiento de la partícula: m.a.s. Así, después

nos dicen que 1 partícula de 250g en t = 0s pasa por la posición de equilibrio en sentido

negativo (o sea, que en t = 0s → x = 0 m, en el sentido negativo (es decir, hacia la

izquierda). Así, nos dan la masa de la partícula; lo cual es un dato innecesario (en ejercicios

de este tipo: cinemática) que nos dan para que hagamos este razonamiento), que tarda 1

minuto y 40s en dar 125 oscilaciones (es decir, nos están dando la frecuencia f (oscilaciones

por tiempo), solo tenemos que pasar ese tiempo al S.I (segundos) y aplicar su expresión: f =

nº oscilaciones/t = 125/100 (1 min 40s) = 1,25 Hz) y que la distancia recorrida en una

oscilación completa es de 6,48 m (aquí nos dan lo necesario para hallar la amplitud A del

movimiento, ya que como sabemos: A = distancia recorrida por oscilación/4). Bien, pues

una vez que conocemos los datos necesarios que nos da el ejercicio pasemos a citarlos, a

representar gráficamente el movimiento y a hallar lo que nos piden:

-t = 0 s → x = 0 m

-f = 1,25 Hz

-Distancia recorrida: 6,48 m

*a) Constantes del m.a.s = ¿?

*b) x seno y coseno = f(t)

*c) vmax y amax = ¿?

(*) Bien, pues 1 vez que conocemos lo que nos dan y lo que nos piden pasemos como

siempre en la página siguiente a hallar lo que nos piden con los conocimientos y las

expresiones necesarias para ello. Vamos a ello:

A

–A

0 T(s)

x (m)

0,8 0,6 0,4

0,2

a) En este apartado nos piden que hallemos las constantes del movimiento de la partícula

(o sea, del m.a.s). Pues bien, debemos saber que las constantes del m.a.s son los

siguientes elementos: amplitud (A), velocidad angular (ω) y el desfase inicial (φ).

Bien, pues 1 vez que sabemos lo que tenemos que hallar pasemos a ello conociendo

las expresiones a la que responde cada elemento:

*A = distancia recorrida en 1 oscilación / 4 = 6,48/4 → A = 1,62 m

*ω = 2πf = 2π · 1,25 → ω = 2,5π rad/s

*φ → [t = 0 y x = 0] → x = A·sen (ωt + φ) → 0 = 1,62·sen (ω · (0) + φ) →

→ 0 = sen (φ) → φ = π rad

b) En este apartado nos piden que hallemos la ecuación del movimiento expresada en

seno y coseno (o sea, la de posición determinada en 2 expresiones: 1 expresada con

seno y otra con coseno). Pues bien, 1º determinaremos la ecuación posición del m.a.s

(expresada en seno como ya sabemos) y luego la expresaremos en coseno mediante la

siguiente igualdad: sen α = cos (α – π/2) (o sea, que para pasar de seno a coseno tan

solo tenemos que quitarle π/2 a la fase). Bien, pues aclarado todo pasemos a la acción:

-A = 1,62 m

-ω = 2,5π rad/s

-φ = π rad -x = 1,62·sen (2,5πt + π) → [sen α = cos (α – π/2)] → x = 1,62·cos (2,5πt + π – π/2)

→ *La ecuación del m.a.s expresada en coseno es: x = 1,62·cos (2,5πt + π/2)

c) Por último nos piden que hallemos la velocidad máxima (vmax) y la aceleración

máxima del movimiento (amax). Pues bien, como ya sabemos para valores máximos

tanto seno como coseno adquieren su máximo valor: 1 o –1 (por ello el ±); por lo que

las expresiones que definen a vmax y amax son las siguientes:

*Velocidad máxima (vmax) → vmax = ± Aω = 1,62 · 2,5π → vmax = ±12,72 m/s

*Aceleración máxima (amax) → amax = ± Aω2 = 1,62 · 2,5π

2 → amax = ±99,82 m/s

2

*La ecuación del m.a.s expresada en seno es:

x = 1,62 · sen (2,5πt + π)

*F: fuerza que actúa sobre la masa m.

*K: constante recuperadora del resorte.

*x: elongación del resorte.

3.- Oscilador Armónico (Dinámica y Energía del M.A.S):

-Bueno, anteriormente hemos estudiado el aspecto cinemático del m.a.s, es decir, el estudio

de la posición, velocidad y aceleración del cuerpo con m.a.s (principalmente se puede

observar que cuando el cuerpo pasa o se dirige hacia el centro (punto de equilibrio) la

velocidad de este ↑ hasta llegar a la máxima (como sabemos para φ = 0 o π rad (centro) la

velocidad es máxima: vmax = Aω), y cuando pasa o se dirige a los extremos (A) su velocidad

disminuye hasta llegar a 0 (como sabemos para φ = π/2 o 3π/2 la velocidad es 0). Pues bien,

en este apartado vamos a estudiar los otros 2 aspectos de estudio de 1 movimiento (m.a.s):

el aspecto dinámico (el estudio de las fuerzas que provocan que 1 cuerpo adquiera 1 m.a.s)

y el aspecto energético (el estudio de las transformaciones energéticas que suceden en

el m.a.s). Bien, pues 1 vez que conocemos el concepto de los 2 aspectos del m.a.s que

vamos a estudiar (dinámica y energía), pasemos a desarrollarlos a continuación:

Dinámica del m.a.s: como hemos dicho, la dinámica estudia las fuerzas que provocan

1 movimiento, por lo que en este apartado estudiaremos las fuerzas que provocan 1

m.a.s en 1 cuerpo. Así, estudiaremos el caso del oscilador armónico (o sea, una masa

sujeta a un resorte). Un oscilador armónico es 1 claro ejemplo para este apartado porque

la masa que cuelga del resorte adquiere 1 m.a.s debido a la acción de una fuerza (ya sea

su peso (porque esté colgando en vertical) o por una fuerza externa (una persona). De

este modo, vamos a ver a continuación las expresiones que utilizaremos para el estudio

dinámico del oscilador armónico:

F = –K · x → siendo a su vez: k = mω2

(#) Debemos saber que el signo negativo de K (–K) no tiene sentido físico, es decir

que da igual poner –K o K por lo que la expresión nos quedaría: F = K· x.

T = 2π√𝒎

𝒌 →

𝟐𝝅

𝑻 =√

𝒌

𝒎 → ω = √

𝒎

𝒌

(#) Bien, pues aclarado esto pasemos a ver en la página siguiente 2 ejercicios que

nos harán comprender mucho mejor el m.a.s en 1 oscilador armónico:

*m: masa del cuerpo que cuelga del resorte.

*T: periodo del oscilador.

*ω: velocidad angular del oscilador.

1.- Cierto resorte tiene sujeto un cuerpo de 2 kg en su extremo libre y se

requiere una fuerza de 8 N para mantenerlo a 20 cm del punto de

equilibrio. Si el cuerpo realiza un más al soltarlo, halla: a) la

constante recuperadora del resorte y b) El periodo de su oscilación:

(*) Bueno, en este ejercicios nos piden que hallemos la constante recuperadora del

resorte y el periodo de su oscilación. Pues bien, como siempre lo 1º es determinar el

movimiento que lleva el cuerpo en cuestión: m.a.s. Así, después nos dicen que tiene

sujeto un cuerpo de 2 kg en su extremo libre (aquí nos dan la masa del cuerpo: 2 kg),

y que se requiere 1 fuerza de 8 N para mantenerlo a 20 cm del punto de equilibrio

(aquí, nos dan la fuerza que produce el m.a.s (F = 8 N) y la amplitud del movimiento A

(ya que como nos dicen, para mantenerlo a 20 cm del punto de equilibrio (centro),

es decir que ese es su extremo desde el centro, o sea, la amplitud). Bien pues 1 vez que

conocemos los datos que nos dan pasemos a citarlos y a representar la situación del

ejercicio, y a hallar todos los elementos que nos piden. Vamos a ello:

-m = 2 kg

-F = 8 N

-A = 20 cm = 0,2 m

*a) K = ¿?

*b) T = ¿?

(*) Bien, pues 1 vez que sabemos lo que nos dan y lo que nos piden pasemos a hallar

lo que nos piden a continuación:

a) En este apartado nos piden la constante recuperadora del resorte (o sea, K). Pues bien,

para hallar la constante recuperadora del resorte tan solo tenemos que sustituirla en

la expresión adecuada (en la que conozcamos todo excepto K), la cual es la que

responde a la ley de Hook: F = K · x. Bien, pues dicho esto vamos a hallarla:

*F = K · x → [F = 8 N → x = A = 0,2 m] → 8 = K · 0,2 → K = 40 N/m

b) Por último nos piden que hallemos el periodo de su oscilación (o sea, T). Pues bien,

solo tenemos al igual que antes aplicar su expresión adecuada así que vamos a ello:

*T = 2π√𝑚

𝑘 = 2π√

2

40 = 2π · 0,22 → T = 1,4 s

m

Antes de ejercer

la fuerza F

Tras ejercer la

fuerza F

F

0,2 m

2.- Un cuerpo unido a un resorte horizontal oscila con m.a.s sobre una

superficie horizontal sin rozamiento. Si se duplica la masa del cuerpo

¿Cómo variarán la pulsación, el periodo, la velocidad máxima y la

aceleración máxima?.

(*) Bueno, en este ejercicio nos piden que determinemos la variación de la pulsación,

periodo, velocidad y aceleración máximas del m.a.s del cuerpo. Pues bien, como

vemos este es un ejercicio teórico cuyo único fin es saber comprender e interpretar

como afecta duplicar el valor de la masa del cuerpo en los elementos anteriores a

través de sus expresiones. Así, como nos dicen, el cuerpo oscila con 1 m.a.s en

horizontal y sin rozamiento (datos necesarios para su representación). Bien, pues

aclarado lo que nos piden y lo que tenemos pasemos a representar como siempre la

situación del ejercicio y a determinar todo lo que nos piden. Vamos a ello:

-m (masa del cuerpo)

*Si m = 2m (se duplica):

ω = ¿?

T = ¿?

Vmax = ¿?

Amax = ¿?

(*) Bien, pues a partir de esto pasemos a hallar lo dicho:

*ω (pulsación) → ω1 = √𝑘

𝑚 → [m = 2m] → ω2 = √

𝑘

2𝑚 →

[Para ver como varía comparamos ω1 con ω2] → 𝜔1

𝜔2=

√𝑘

𝑚

√𝑘

2𝑚

= √2 → ω1 = √𝟐 ω2

*T (periodo) → T1 = 2π√𝑚

𝑘 → [m = 2m] → T2 = 2π√

2𝑚

𝑘 →

[Para ver como varía comparamos T1 con T2 → 𝑇1

𝑇2=

2𝜋√𝑚

𝑘

2𝜋√2𝑚

𝑘

= 1

√2 → T1 =

𝟏

√𝟐 T2

*Vmax → 𝑉𝑚𝑎𝑥1= Aω1 → [m = 2m] → 𝑉𝑚𝑎𝑥2

= Aω2 →

→ 𝑉𝑚𝑎𝑥1

𝑉𝑚𝑎𝑥2

= 𝐴𝜔1

𝐴𝜔2 =

√2𝜔2

𝜔2 → 𝑽𝒎𝒂𝒙𝟏

= √𝟐 𝑽𝒎𝒂𝒙𝟐

*Amax → 𝐴𝑚𝑎𝑥1= Aω1

2 → [m = 2m] → 𝑉𝑚𝑎𝑥2

= Aω22 →

→ 𝑉𝑚𝑎𝑥1

𝑉𝑚𝑎𝑥2

= 𝐴𝜔

22

𝐴𝜔22 =

2𝜔22

𝜔22 → 𝑽𝒎𝒂𝒙𝟏

= 2 𝑽𝒎𝒂𝒙𝟐

2m

Energía del m.a.s: como hemos dicho, estudiaremos también aparte de la

dinámica del m.a.s las energías que tiene el hecho de llevar un m.a.s. Veamos cuales son:

Movimiento (M): como sabemos, por el simple hecho de ser un movimiento

ya implica tener 1 energía, en este caso energía cinética (Ec):

Armónico (A): como sabemos, lo que provoca el m.a.s en la masa del

oscilador es el resorte, el cual tiene energía potencial elástica (𝐸𝑝𝑒).

Simple (S): como sabemos, si la masa del oscilador está en horizontal

(apoyada en el suelo) no, pero si se encuentra en vertical colgando, por el

simple hecho de estar a 1 altura posee energía potencial gravitatoria (𝐸𝑝𝑔).

-Bueno, pues dicho esto ya sabemos las energías que suceden en 1 oscilador

armónico: Ec , 𝐸𝑝𝑒 y 𝐸𝑝𝑔

. De este modo, pasemos a continuación a definirlas

y a ver su expresión asociada al m.a.s. Vamos a ello:

Energía cinética (Ec): es la energía que posee todo cuerpo por estar en

movimiento, es decir, por llevar una velocidad v. Así, en 1 m.a.s la

energía cinética (Ec) responde a las siguientes expresiónes:

Ec = 𝟏

𝟐 m v

2 → Ec =

𝟏

𝟐 K (A

2 – x

2)

Energía potencial elástica (𝐄𝐩𝐞): es aquella que tienen los cuerpos elásticos

(resortes […]) cuando estos recuperan su forma inicial tras la deformación de

una fuerza F (la causante del m.a.s). Así, en 1 m.a.s la energía potencial

elástica (𝐸𝑝𝑒) viene definida por la siguiente expresión:

𝑬𝒑𝒆 =

𝟏

𝟐 K x

2

Energía potencial gravitatoria (𝑬𝒑𝒈): es aquella que tiene todo cuerpo por el

hecho de encontrarse a una altura del suelo. Así, debemos saber que en el

oscilador solo interviene la 𝐸𝑝𝑒 aunque la masa se encuentre a 1 altura; ya que

el m.a.s en 1 oscilador solo depende de la K del resorte y la A del movimiento

(aunque si el oscilador está colocado de forma que la gravedad influya si

existiría también una energía potencial gravitatoria que respondería a la misma

expresión que la 𝐸𝑝𝑒: 𝐸𝑝𝑔

= 1

2 K x

2).

*K: constante recuperadora del resorte.

*m: masa que cuelga del resorte.

*x: elongación del resorte.

*v: velocidad del oscilador.

-Del mismo modo, nos queda por conocer la energía total en 1 oscilador que

recoge todas las anteriores (o sea, la suma de ambas) en 1 sola: la energía mecánica

(Em). Pues bien, dicho esto pasemos a conocer su concepto y las expresión a las

que responde en 1 m.a.s. Vamos a ello:

Energía mecánica (Em): es la energía resultante de 1 movimiento (en este

caso del m.a.s), es decir, como hemos dicho; la suma de la Ec y la 𝐸𝑝𝑒. Así,

en todo m.a.s la Em responde a las siguientes expresiones:

Em = Ec + 𝑬𝒑𝒆 Em =

𝟏

𝟐 K A

2

-Bien, pues 1 vez que conocemos todas las energías que participan en el m.a.s de

un oscilador armónico pasaremos a ver ahora, antes de empezar a realizar

ejercicios relacionados con este apartado; algunas consideraciones sobre cada

energía que nos despejarán muchas dudas y nos ayudará a entender mejor la

relación de cada una con el m.a.s en un oscilador. Veámoslas:

La energía cinética (Ec) máxima cuando la velocidad (v) es máxima (como

ya sabemos cuándo pasa por el centro o punto de equilibrio) y 0 cuando la

velocidad es 0, ya que como se ha dicho antes la energía cinética depende

de la velocidad del movimiento (del m.a.s).

La energía potencial elástica (𝐸𝑝𝑒) es máxima cuando la elongación es

máxima, es decir, cuando nos encontramos en los extremos (o sea, cuando

x = A) y 0 cuando la elongación es 0, es decir, cuando nos encontramos en

el centro o en el punto de equilibrio (o sea, cuando x = 0); ya que como se

ha dicho antes la 𝐸𝑝𝑒 aparece cuando el resorte recupera su forma tras la

deformación de una fuerza F, para lo cual debe estar en el extremo (x = A)

y es 0 en el centro ya que aquí ya no recupera su forma ya que ya la tiene.

La energía mecánica (Em) no depende de la posición de la masa del

oscilador (ya que como hemos dicho la 𝐸𝑝𝑔 no interviene en el oscilador

armónico) y su valor de la Em se conserva, es decir, permanece constante

(ya que en el m.a.s de un oscilador armónico no hay rozamientos (no se

supone rozamiento con el aire), por lo que a medida que 1 energía ↑ la otra

↓ su valor (por ejemplo, si la Ec ↑ la 𝐸𝑝𝑒 ↓ y viceversa).

(#) Bueno, pues hasta aquí todo lo que tenemos que saber sobre la energía del

m.a.s en un oscilador armónico; de modo que a continuación pasaremos a ver 2

ejercicios resueltos relacionados con este apartado que nos ayudaran a entender

por completo todo lo estudiado en el mismo.

1.- Disponemos de un muelle que se alarga 5 cm cuando se cuelga de

él una masa de 1 kg. Colocamos después este muelle unido a una

masa de 500g sobre una mesa horizontal sin rozamiento. La masa se

separa 3 cm de su posición de equilibrio y se deja vibrar sobre el eje

horizontal. Calcula: a) La constante de recuperación del resorte b) La

energía potencial en el punto de máxima deformación en horizontal

c) La energía cinética cuando x = 2 cm d) La velocidad de la partícula

en el punto mencionado en el apartado anterior.

(*) Bueno, pues en este ejercicio nos piden que hallemos la constante de recuperación

del resorte, la energía potencial en el punto de máximo deformación en horizontal, la

energía cinética cuando x = 2 cm y la velocidad de la partícula en x = 2 cm. Pues bien,

lo 1º como siempre es determinar el movimiento que se da: m.a.s. Así, después nos

dicen que el muelle se alarga 5 cm cuando se cuelga de él una masa de 1 kg (aquí nos

dicen que si colgamos la masa de 1kg en el resorte este se alarga 5 cm, o sea, aquí nos

dan lo necesario para hallar la K del resorte; mediante la ley de Hooke: F = K· x), y que

después se une el muelle a una masa de 500g sobre una masa horizontal y este separa 3

cm de su posición de equilibrio (aquí nos dicen la situación real del oscilador (en

posición horizontal) y nos dan la masa del cuerpo (500g) y la amplitud A del

movimiento (3 cm)). Bien, pues una vez que conocemos lo que nos da el ejercicio

pasemos a representar la situación del oscilador y hallar lo que nos piden. Vamos a ello:

En vertical:

-x = 5 cm = 0,05 m → m = 1 kg

En horizontal:

-m = 500g = 0,5 kg

-A = 3 cm = 0,03 m

*a) K = ¿?

*b) 𝐸𝑝𝑒 = ¿? → x = A

*c) Ec = ¿? → x = 2 cm = 0,02 m

*d) v = ¿? → x = 2 cm = 0,02 m

(*) Bien, pues una vez que conocemos lo que nos dan y lo que nos piden y la situación

gráfica del oscilador pasemos a determinar en la página siguiente lo que nos piden.

Vamos a ello:

1 kg

0,5 kg

0,05 m 0,03 m

a) En este apartado nos piden que hallemos la constante recuperadora del resorte

(o sea, K). Pues bien, como ya hemos, la expresión adecuada para ello es la que

define a la ley de Hooke: F = K· x, a partir de los datos del oscilador vertical, que

en el cual conocemos todo lo necesario (F es el peso del cuerpo y x = 5 cm = 0,05).

Vamos a ello:

*F = K· x → [F = P = m·g = 1·10 = 10 N y x = 0,05 m] → 10 = K·0,05 → K = 200 N/m

b) En este apartado nos piden que hallemos la energía potencial elástica (𝐸𝑝𝑒) en el

punto de máxima deformación (o sea, cuando x = A). Pues bien, como nos piden la

𝐸𝑝𝑒 cuando x = A tan solo tenemos que sustituir x por A en su expresión y así

obtener la 𝐸𝑝𝑒 en ese punto. Vamos a ello:

*𝐸𝑝𝑒 =

1

2 K x

2 → [x = A = 0,03 m] → 𝐸𝑝𝑒

= 1

2 · 200 · (0,03)

2 → 𝑬𝒑𝒆

= 0,135 J

c) En este apartado nos piden la energía cinética (Ec) cuando x = 2 cm (o sea, la Ec para

x = 2 cm = 0,02 m). Pues bien, al igual que antes, tan solo tenemos que sustituir en

su expresión x = 0,02 m y así a hallar la Ec en ese punto:

*Ec = 1

2 K (A

2 – x

2) → [x = 0,02 m] → Ec =

1

2·200·((0,03)

2 – (0,02)

2) → Ec = 0,05 J

d) Por ultimo nos piden la velocidad (v) en el punto del apartado anterior (o sea, v para

x = 2 cm = 0,02 m). Pues bien, para hallar la velocidad del oscilador solo conocemos

1 expresión: Ec = 1

2 m v

2, por lo que como antes hemos hallado la Ec para x = 0,02 m

tan solo tenemos que sustituir Ec = 0,05 J en la expresión y sacar su velocidad (v)

relacionada a esta (o sea para x = 0,02 m) (si la x que nos pidieran fuera distinta a la

anterior tendríamos que hallar 1º la Ec para esa x y luego sustituirla y hallar su

velocidad (v) asociada). Bien, pues 1 vez que sabemos lo que hay que hacer

pasemos a la acción:

*Ec = 1

2 m v

2 → [Ec = 0,05 J → x = 0,02 m] → 0,05 =

1

2·0,5·v

2 → v = ±1,41 m/s

2.- Dos partículas de masas m y m’ (m’ > m) están animadas de m.a.s

de igual amplitud, unidas a resortes de la misma constante k; a) ¿Qué

partícula tiene mayor energía mecánica? b) ¿Cuál de las dos partículas

tiene mayor energía cinética al pasar por la posición de equilibrio? c)

¿Cuál de las dos pasa por la posición de equilibrio a mayor velocidad?

(*) Bueno, en este ejercicio nos piden que hallemos la partícula con > energía mecánica,

la que tiene > energía cinética al pasar por el centro y la que pasa a > velocidad por este.

Pues bien, como vemos este ejercicio es un ejercicio teórico cuya finalidad es aplicar

conceptos del tema y estudiar las expresiones de cada magnitud asociada al m.a.s (en

este caso del oscilador armónico), por lo tanto en este ejercicio tendremos que tener

claro los conceptos relacionados con la energía de 1 oscilador. Bien, pues 1 vez que

conocemos lo que tenemos que hacer pasemos a citar lo que tenemos y lo que nos

piden y a representar como siempre la situación del oscilador. Vamos a ello:

-m y m’

-m’ > m

*a) > Em → m o m’ = ¿?

*b) > Ec → m o m’ = ¿?

*c) > v → m o m’ = ¿?

(*) Bien, pues 1 vez que conocemos lo que tenemos y lo que nos piden y la situación

gráfica del ejercicio pasemos a determinar lo que nos piden. Vamos a ello:

a) En este apartado nos piden que determinemos que partícula (m o m’) tiene > Em.

Pues bien, lo 1º que debemos hacer es ver si la Em depende de la masa del cuerpo del

oscilador; lo cual nos lo muestra su expresión: Ec = 1

2 K A

2. Como vemos, Em solo

depende de K y A y como nos dicen que estas son iguales en cada caso podemos

concluir que la Em es la misma para las 2 partículas.

b) En este apartado nos piden que determinemos qué partícula tiene > Ec al pasar por

el centro o punto de equilibrio. Pues bien, aquí debemos hacer 1 razonamiento

lógico. Como ya hemos visto anteriormente, cuando la partícula pasa por el centro

solo existe Ec (ya qué la 𝐸𝑝𝑒 es 0) por lo que la Ec ocupa toda la energía del oscilador

(ya que como hemos dicho en el oscilador solo hay 2 energías Ec y 𝐸𝑝𝑒 por lo que si

esta es 0 la Ec es toda la energía que tiene el oscilador), es decir, que es la misma que

la Em; por lo tanto Em = Ec, y como sabemos, hemos dicho que la Em es la misma

para las 2 partículas; por lo que la Ec también es la misma para las 2 partículas.

c) Por último nos piden que determinemos que partícula lleva > velocidad en el centro.

Pues bien, como sabemos en el centro la partícula lleva la máxima velocidad por lo que

se cumple la siguiente expresión: vmax = ±Aω de donde como sabemos ω = √𝐾/𝑚,

m m'

por lo que vmax nos la da la siguiente expresión: vmax = ±A·√𝐾/𝑚; por tanto como

podemos deducir mientras > sea m menor será vmax, por lo que m lleva > velocidad.

x

l

α

4.- El Péndulo Simple:

-Bueno, hasta aquí hemos estudiado todo sobre el movimiento armónico simple (m.a.s.)

y los casos en que aparece (masa colgada de un resorte → oscilador armónico […]).

Pues bien, por último vamos a ver el péndulo simple; otro ejemplo de m.a.s el cual

estudiar todo sobre él a continuación. Vamos a ello:

Péndulo simple: es un oscilador formado por un cuerpo colgado de un hilo o cable

cuyo movimiento adquiere las características del m.a.s. Bien, antes de hablar de sus

características y expresiones que lo definen pasemos a ver de los elementos que está

formado y de las magnitudes que lo describen. Vamos a ello:

-Bueno, pues estas son las magnitudes que presenta el péndulo simple. Así, debemos

de saber que para que este describa un m.a.s el ángulo recorrido (α) debe de ser igual

o inferior a 15º (0,26 rad), es decir: α ≤ 15º (0,26 rad). Bien, pues dicho esto

pasemos a continuación a ver las expresiones que responden a este oscilador y las

compararemos con las del oscilador armónico:

x = α · l K = 𝑷

𝒍 (*) P: peso del cuerpo. T = 2π √

𝒍𝒈

-Una vez que conocemos las expresiones que responden al péndulo simple pasemos a

compararlas con el oscilador armónico. Bien, la 1ª expresión: x = α · l, nos describe

que el arco formado (x) es el producto entre el ángulo recorrido (α) y la longitud del

hilo (l). Así, la constante del péndulo (K) es el cociente entre el peso del cuerpo (P) y

la longitud del hilo (debemos saber que está K es distinta a la del oscilador armónico,

ya que aquí no hay resorte. Además si comparamos las expresiones del periodo (T) de

cada uno: T = 2π √𝑚𝐾

y T = 2π √𝑙𝑔

, vemos que en el oscilador armónico sí depende

de la K mientras que en el péndulo simple solo depende de la longitud del hilo y del

lugar donde se encuentre (g en la tierra = 10 m/s). Bien, pues aclarado todo esto

pasemos a ver un ejercicio relacionado con este aparatado: el péndulo simple, que nos

despejará muchas dudas y nos hará entender mejor su significado y aplicación:

*l: longitud del hilo

(radio de la curva).

*α: ángulo formado (rad).

*x: arco formado (m).

x

1 m

8º

0,5 kg

1.- Un péndulo simple está formado por una masa puntual de 0,5 kg

que cuelga de 1 hilo de 1 m de longitud. Oscila con una amplitud de 8º

en un lugar con gravedad igual a 9,8 m/s2. Determina a) Su energía

potencial máxima b) Su velocidad máxima.

(*) Bueno pues en este ejercicio nos piden que hallemos la energía potencial máxima y la

velocidad máxima. Pues bien, como siempre lo 1º es determinar el movimiento que se da:

m.a.s (ya que el péndulo oscila con un amplitud de 8º (≤ 15º)). Así, nos dicen que cuelga

de él 1 masa de 0,5 kg colgada de 1 hilo de 1 m y que se encuentra en 1 lugar donde g =

9,8 m/s2. Bien, pues a partir de esto pasaremos como siempre a citar los datos que nos

dan, a representar la situación del péndulo y a hallar lo que nos piden. Vamos a ello:

-m = 0,5 Kg

(*) Bien, pues 1 vez que conocemos lo que nos dan y lo que nos piden y la situación

gráfica del péndulo pasemos a determinar lo que nos piden:

a) En este apartado nos piden que hallemos la energía potencial máxima del péndulo.

Pues bien, como sabemos el péndulo describe un m.a.s (ya que recorre ≤ 15º) por lo

que podemos usar las expresiones del m.a.s. Así, después de esto debemos saber qué

tipo de energía potencial posee: 𝐸𝑝𝑔 (ya que como no hay resortes no hay 𝐸𝑝𝑒

), la

cual responde a la expresión: 𝐸𝑝𝑔 =

1

2 K x

2 (siendo x en este caso claro está el arco

formado). De este modo, como podemos observar, para determinar la 𝐸𝑝𝑔 que nos

piden antes necesitamos conocer tanto x (arco) como K (constante del hilo). Bien,

pues 1 vez que conocemos todo lo que tenemos que hacer pasemos a la acción:

-x = α · l = 0,14 · 1 = 0,14 m

-K = 𝑃

𝑙 =

𝑚·𝑔

𝑙 =

0,5·9,8

1 = 4,9 N/m

*𝐸𝑝𝑔 =

1

2 K x

2 =

1

2 · 4,9 · (0,14)

2 → 𝑬𝒑𝒈

= 0,048 J

b) Por último nos piden que hallemos la velocidad máxima del péndulo (o sea, vmax).

Pues bien, como hemos visto en el apartado anterior, hemos hallado la energía

potencial máxima (𝐸𝑝𝑔), es decir, que en ese punto Ec = 0 y por lo tanto 𝐸𝑝𝑔

= Em; de

modo que como la Em se conserva, la Ec máxima = Em de donde podemos hallar vmax:

-l = 1 m

-α = 8º = 0,14 rad

-g = 9,8 m/s2

*a) 𝐸𝑝𝑔 = ¿?

*b) Vmax = ¿?

*Ec = 1

2 m v

2 → [Ec = Em = 0,048 J] → 0,048 =

1

2 · 0,5 · v

2 → v = ±0,43 m/s